天津市南开中学 2020届高三第五次月考 数学试卷(图片版 无答案)
2020-2020学年天津市南开区高一上期末数学试卷(含答案解析)
2020-2020学年天津市南开区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（3分）设集合U={n|n∈N*且n≤9}，A={2，5}，B={1，2，4，5}，则∁U（A ∪B）中元素个数为（）A．4 B．5 C．6 D．72．（3分）与α=+2kπ（k∈Z）终边相同的角是（）A．345°B．375° C．﹣πD．π3．（3分）sin80°cos70°+sin10°sin70°=（）A．﹣B．﹣ C．D．4．（3分）下列函数中是奇函数的是（）A．y=x+sinx B．y=|x|﹣cosx C．y=xsinx D．y=|x|cosx5．（3分）已知cosθ＞0，tan（θ+）=，则θ在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（3分）函数f（x）=log2x+x﹣4的零点在区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）7．（3分）若偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，设a=f（1），b=f（log0.53），c=f（log23﹣1），则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b8．（3分）如图，正方形ABCD边长为1，从某时刻起，将线段AB，BC，CD，DA 分别绕点A，B，C，D顺时针旋转相同角度α（0＜α＜），若旋转后的四条线段所围成的封闭图形面积为，则α=（）A．或B．或C．或D．或9．（3分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的单调递减区间为[kπ﹣，kπ+]（k ∈Z），则下列说法错误的是（）A．函数f（﹣x）的最小正周期为πB．函数f（﹣x）图象的对称轴方程为x=+（k∈Z）C．函数f（﹣x）图象的对称中心为（+，0）（k∈Z）D．函数f（﹣x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）10．（3分）设函数f（x）=，则下列说法正确的是（）①若a≤0，则f（f（a））=﹣a；②若f（f（a））=﹣a，则a≤0；③若a≥1，则f（f（a））=；④若f（f（a））=，则a≥1．A．①③B．②④C．①②③D．①③④二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分）.11．（4分）函数f（x）=的定义域为．12．（4分）函数f（x）=2cos2x•tanx+cos2x的最小正周期为；最大值为．13．（4分）如果将函数f（x）=sin2x图象向左平移φ（φ＞0）个单位，函数g （x）=cos（2x﹣）图象向右平移φ个长度单位后，二者能够完全重合，则φ的最小值为．14．（4分）如图所示，已知A，B是单位圆上两点且|AB|=，设AB与x轴正半轴交于点C，α=∠AOC，β=∠OCB，则sinαsinβ+cosαcosβ=．15．（4分）设函数f（x）=，若关于x的方程f（x）﹣a=0有三个不等实根x1，x2，x3，且x1+x2+x3=﹣，则a=．三、解答题：本大题共5小题，共50分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．16．（8分）已知集合A={x|2x﹣6≤2﹣2x≤1}，B={x|x∈A∩N}，C={x|a≤x≤a+1}．（Ⅰ）写出集合B的所有子集；（Ⅱ）若A∩C=C，求实数a的取值范围．17．（10分）已知函数f（x）=cos（x﹣）﹣sin（x﹣）．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；（Ⅱ）若θ为第一象限角，且f（θ+）=，求cos（2θ+）的值．18．（10分）设函数f（x）为R上的奇函数，已知当x＞0时，f（x）=﹣（x+1）2．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（m2+2m）+f（m）＞0，求m的取值范围．19．（10分）设某等腰三角形的底角为α，顶角为β，且cosβ=．（Ⅰ）求sinα的值；（Ⅱ）若函数f（x）=tanx在[﹣，α]上的值域与函数g（x）=2sin（2x﹣）在[0，m]上的值域相同，求m的取值范围．20．（12分）函数f（x）=4sinωx•cos（ωx+）+1（ω＞0），其图象上有两点A （s，t），B（s+2π，t），其中﹣2＜t＜2，线段AB与函数图象有五个交点．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若函数f（x）在[x1，x2]和[x3，x4]上单调递增，在[x2，x3]上单调递减，且满足等式x4﹣x3=x2﹣x1=（x3﹣x2），求x1、x4所有可能取值．2020-2020学年天津市南开区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（3分）设集合U={n|n∈N*且n≤9}，A={2，5}，B={1，2，4，5}，则∁U（A ∪B）中元素个数为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：∵A={2，5}，B={1，2，4，5}，∴A∪B={1，2，4，5}，又∵集合U={n|n∈N*且n≤9}={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，∴∁U（A∪B）={3，6，7，8，9}，故∁U（A∪B）共有5个元素，故选：B．2．（3分）与α=+2kπ（k∈Z）终边相同的角是（）A．345°B．375° C．﹣πD．π【解答】解：由α=+2kπ（k∈Z），得与角α终边相同的角是：，360°+15°=375°．故选：B．3．（3分）sin80°cos70°+sin10°sin70°=（）A．﹣B．﹣ C．D．【解答】解：sin80°cos70°+sin10°sin70°=cos10°cos70°+sin10°sin70°=．故选：C．4．（3分）下列函数中是奇函数的是（）A．y=x+sinx B．y=|x|﹣cosx C．y=xsinx D．y=|x|cosx【解答】解：A，y=x+sinx，有f（﹣x）=﹣x﹣sinx=﹣f（x），为奇函数；B，y=|x|﹣cosx，f（﹣x）=|﹣x|﹣cos（﹣x）=f（x），为偶函数；C，y=xsinx，f（﹣x）=（﹣x）sin（﹣x）=xsinx=f（x），为偶函数；D，y=|x|cosx，f（﹣x）=|﹣x|cos（﹣x）=f（x），为偶函数．故选：A．5．（3分）已知cosθ＞0，tan（θ+）=，则θ在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由题意得，tan（θ+）=，所以=，即，解得tanθ=＜0，则θ在第二或四象限，由cosθ＞0得，θ在第一或四象限，所以θ在第四象限，故选：D．6．（3分）函数f（x）=log2x+x﹣4的零点在区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：f（x）=log2x+x﹣4，在（0，+∞）上单调递增．∵f（2）=1+2﹣4=﹣1＜0，f（3）=log23﹣1＞0∴根据函数的零点存在性定理得出：f（x）的零点在（2，3）区间内∴函数f（x）=log2x+x﹣4的零点所在的区间为（2，3），故选：C．7．（3分）若偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，设a=f（1），b=f（log0.53），c=f（log23﹣1），则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，∴f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，∵log0.53=＜=﹣1，log23﹣1=log21.5∈（0，1），a=f（1），b=f（log0.53），c=f（log23﹣1），∴b＜a＜c．故选：B．8．（3分）如图，正方形ABCD边长为1，从某时刻起，将线段AB，BC，CD，DA 分别绕点A，B，C，D顺时针旋转相同角度α（0＜α＜），若旋转后的四条线段所围成的封闭图形面积为，则α=（）A．或B．或C．或D．或【解答】解：如图所示，旋转后的四条线段所围成的封闭图形为正方形，边长为cosα﹣sinα，由题意可得：（cosα﹣sinα）2=，可得：cosα﹣sinα=±①，2sinαcosα=又0＜α＜，可得：cosα+sinα==，②所以：由①②可得：cosα=．故α=或．故选：A．9．（3分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的单调递减区间为[kπ﹣，kπ+]（k ∈Z），则下列说法错误的是（）A．函数f（﹣x）的最小正周期为πB．函数f（﹣x）图象的对称轴方程为x=+（k∈Z）C．函数f（﹣x）图象的对称中心为（+，0）（k∈Z）D．函数f（﹣x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）【解答】解：由题意，ω=2，函数f（x）=Asin（ωx+φ）的周期为π，φ=，f（﹣x）=Asin（﹣2x+），x=+，﹣2x+=kπ+，f（﹣x）=Asin（﹣2x+）≠0，故选C．10．（3分）设函数f（x）=，则下列说法正确的是（）①若a≤0，则f（f（a））=﹣a；②若f（f（a））=﹣a，则a≤0；③若a≥1，则f（f（a））=；④若f（f（a））=，则a≥1．A．①③B．②④C．①②③D．①③④【解答】解：当a≤0时，则f（f（a））==﹣a，故①正确；当a≥1时，f（f（a））==，故③正确；当0＜a＜1，f（f（a））=log0.5（log0.5a）∈R，故此时存在0＜a＜1，使得f（f（a））=﹣a也存在0＜a＜1，使得f（f（a））=，故②④错误；故选：A二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分）.11．（4分）函数f（x）=的定义域为（﹣1，0）∪（0，+∞）．【解答】解：由题意得：，解得：x＞﹣1且x≠0，故函数的定义域是（﹣1，0）∪（0，+∞），故答案为：（﹣1，0）∪（0，+∞）．12．（4分）函数f（x）=2cos2x•tanx+cos2x的最小正周期为π；最大值为．【解答】解：函数f（x）=2cos2x•tanx+cos2x=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+）的最小正周期为=π，最大值为，故答案为：π，13．（4分）如果将函数f（x）=sin2x图象向左平移φ（φ＞0）个单位，函数g （x）=cos（2x﹣）图象向右平移φ个长度单位后，二者能够完全重合，则φ的最小值为．【解答】解：将函数y=sin2x的图象向左平移φ（φ＞0）个单位得到：y=sin[2（x+φ）]=sin（2x+2φ）的图象，将函数g（x）=cos（2x﹣）图象向右平移φ个长度单位后，可得函数y=cos[2（x﹣φ）﹣]=cos（2x﹣2φ﹣）=sin[﹣（2x﹣2φ﹣）]=sin（﹣2x+2φ）=sin（2x﹣2φ+）的图象，二者能够完全重合，由题意可得，即：2x+2φ=2x﹣2φ++2kπ，k∈Z，解得：φ=kπ+，（k∈Z）当k=0时，φmin=．故答案为：．14．（4分）如图所示，已知A，B是单位圆上两点且|AB|=，设AB与x轴正半轴交于点C，α=∠AOC，β=∠OCB，则sinαsinβ+cosαcosβ=．【解答】解：由题意，∠OAC=β﹣α，∵A，B是单位圆上两点且|AB|=，∴sinαsinβ+cosαcosβ=cos（β﹣α）=cos∠OAC==，故答案为．15．（4分）设函数f（x）=，若关于x的方程f（x）﹣a=0有三个不等实根x1，x2，x3，且x1+x2+x3=﹣，则a=．【解答】解：如图所示，画出函数f（x）的图象，不妨设x1＜x2＜x3，则x1+x2=2×=﹣3，又x1+x2+x3=﹣，∴x3=．∴a==．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共50分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．16．（8分）已知集合A={x|2x﹣6≤2﹣2x≤1}，B={x|x∈A∩N}，C={x|a≤x≤a+1}．（Ⅰ）写出集合B的所有子集；（Ⅱ）若A∩C=C，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）对于集合A，因为2x﹣6≤2﹣2x≤1，则x﹣6≤﹣2x≤0，解可得：0≤x≤2．即A={x|0≤x≤2}，又由B={x|x∈A∩N}，则B={0，1，2}；故B的子集有∅、{0}、{1}、{2}、{0，1}、{0，2}、{1，2}、{0，1，2}；（Ⅱ）若A∩C=C，则C是A的子集，则必有：，解可得：0≤a≤1，即a的取值范围是：[0，1]．17．（10分）已知函数f（x）=cos（x﹣）﹣sin（x﹣）．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；（Ⅱ）若θ为第一象限角，且f（θ+）=，求cos（2θ+）的值．【解答】解：（Ⅰ）结论：函数f（x）为定义在R上的偶函数．证明：函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，f（x）=cos（x﹣）﹣sin（x﹣）=f（﹣x）=．因此，函数f（x）为定义在R上的偶函数；（Ⅱ）∵f（θ+）=，∴．由于θ为第一象限角，故，∴cos（2θ+）===．18．（10分）设函数f（x）为R上的奇函数，已知当x＞0时，f（x）=﹣（x+1）2．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（m2+2m）+f（m）＞0，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）为R上的奇函数，∴f（0）=0，若x＜0，则﹣x＞0，∵当x＞0时，f（x）=﹣（x+1）2．∴当﹣x＞0时，f（﹣x）=﹣（﹣x+1）2=﹣（x﹣1）2．∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣（x﹣1）2=﹣f（x），则f（x）=（x﹣1）2，x＜0，则函数f（x）的解析式f（x）=；（Ⅱ）若f（m2+2m）+f（m）＞0，则f（m2+2m）＞﹣f（m）=f（﹣m），当x＞0时，f（x）=﹣（x+1）2为减函数，且f（x）＜﹣1＜f（0），当x＜0时，f（x）=（x﹣1）2为减函数，且f（x）＞1＞f（0），则函数f（x）在R上是减函数，则m2+2m＜﹣m，即m2+3m＜0，则﹣3＜m＜0，即m的取值范围是（﹣3，0）．19．（10分）设某等腰三角形的底角为α，顶角为β，且cosβ=．（Ⅰ）求sinα的值；（Ⅱ）若函数f（x）=tanx在[﹣，α]上的值域与函数g（x）=2sin（2x﹣）在[0，m]上的值域相同，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意，β=π﹣2α，∴cosβ==﹣cos2α=2sin2α﹣1∵α∈（0，），∴sinα=；（Ⅱ）由题意，函数f（x）=tanx在[﹣，α]上单调递增，∵α∈（0，），sinα=，∴cosα=，∴tanα=2，∴函数f（x）=tanx在[﹣，α]上的值域为[﹣，2]，∴函数g（x）=2sin（2x﹣）在[0，m]上的值域为[﹣，2]，∴y=sinx在[﹣，2m﹣]上的取值范围是[﹣，1]，∴≤2m﹣≤，∴≤m≤．20．（12分）函数f（x）=4sinωx•cos（ωx+）+1（ω＞0），其图象上有两点A （s，t），B（s+2π，t），其中﹣2＜t＜2，线段AB与函数图象有五个交点．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若函数f（x）在[x1，x2]和[x3，x4]上单调递增，在[x2，x3]上单调递减，且满足等式x4﹣x3=x2﹣x1=（x3﹣x2），求x1、x4所有可能取值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=4sinωx•cos（ωx+）+1====，由于|AB|=2π，且线段AB与函数f（x）图象有五个交点，因此，故ω=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，函数f（x）=，由题意知，因此x4﹣x3=x2﹣x1=（x3﹣x2）=．即，．∵函数f（x）在[x1，x2]上单调递增，在[x2，x3]上单调递减，∴f（x）在x2处取得最大值，即=2．，即．∴=．=．。
2020年天津卷数学高考试题文档版（含答案）
2020年天津卷数学⾼考试题⽂档版（含答案）绝密启⽤前2020年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试（天津卷）数学本试卷分为第卷（选择题）和第卷（⾮选择题）两部分，共150分，考试⽤120分钟第卷1⾄3页，第卷4⾄6页答卷前，考⽣务必将的姓名、考⽣号、考场号和座位号填写在答规定位置粘贴考试⽤条形码答卷时，考⽣务必将答案涂写在答题卡的⽆效考试结束后，将本试卷和答题卡⼀并交回祝各位考⽣考试顺利！第卷注意事项1．每⼩题选出答案后，⽤铅笔将答题上应的答案标号涂⿊如需改动，⽤橡⽪擦⼲后，再选涂其他2．本卷共9⼩题，每⼩题5参考公式·如果事件与事互斥，那么．如果事件与事相互独⽴，那么．球的表积公式其中表⽰球的半径⼀．选择题在每题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的1．设，集合，则B．C．D．2设，则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3函数的图象⼤致为ABCD4．从⼀批零件中抽取80个，测量其直径（位），将所得数据分为9组：，并整理得到如下频率分布直⽅图，则在被抽取的零件中，直径落在间内的个数为A．10B．18C．20D．365若棱长为的正⽅体的顶点都在同⼀球⾯上，则该球的表⾯积为A．B．C．D．6设，则的⼤⼩关系为B． C．D．7设双曲线的⽅程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的⼀条渐近线与平⾏，另⼀条渐近线与垂直，则双曲线的⽅程为A．B．C．D．8已知函数给出下列结论①的最⼩正周期为；是的最⼤值③把函数的图象上点向左平移个单位长度，可得到函数的图象其中所有正确结论的序A．B．C．D．9．已知函数恰有4个零点，则的取值范围是A．B．C．D．第卷注意事项1．⽤⿊⾊墨⽔的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上2．本卷共11⼩题，共105分．填空题：本⼤题共6⼩题，每⼩题5分，共30分．试题中包含两个对1个的给3分，全部答对的给5分10．是虚数单位，复数11．在的展开式中，的系数是12．已知直线和圆相交于两点．若，则的值为13．已知甲、⼄两球落⼊的概率分别为和．假定两球是否落⼊盒⼦互不影响，则甲、⼄两球都⼦的概率为甲、⼄两球⾄少有个落⼊盒⼦的14．已知且，则的最⼩值为15．如图，在四边形中，，，且则实数的值为，若是线段上的动点，且，则的最⼩值为三解答题本⼤题共5⼩题，共75分．解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤16．（本⼩题满分14分）在中，⾓所对的边分别为．已知．（）求⾓的⼤⼩；（）求的值；（求的值．17（本⼩题满分15分）如图，在三棱柱中，平⾯，，点分别在棱和上，且为棱的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求⼆⾯⾓的正弦值；（Ⅲ）求直线与平⾯所成⾓的正弦值．18．（本⼩题满已知的⼀个顶点为，右焦点为，且，其中为（Ⅰ）求椭圆的⽅程（已知点满⾜，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆⼼的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的⽅程．19（本⼩题满分15分）已知为等差数列，为等⽐数列，（）求和的通项公式（）记的前项和为，求证：；（）对任意的正整数，设的项和20．（本⼩题满分16分）已知函数为的导函数（）当时，（i）求曲线点处的切线⽅程（i）求函数的单调区间和极值（当时求证：对任意的，且，有．2020年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试（天津卷数学参考解答选择题：每⼩题5分，满分45分1．C 2．A 3．A 4．B 5．C 6．D 7．D 8．B 9．D⼆填空题：每⼩题5分，满分30分．试题中个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分10． 11．10 12．5 13．； 14．4 15．；三解答题16满分14分（）解：中，由余弦定理及，有⼜因为，所以．中，由正弦定理及可得（Ⅲ）解由及，可得进⽽．所以．17满分15分依题意，以为原点，分别以的⽅向为轴，轴，轴的正⽅向建⽴空间直⾓坐标系（如图）可得，，．（）证明：依题意，，，从⽽，所以（）解：依题意，是平⾯的法向量，，设为平⾯的则不妨设，可得因此有是所以，⼆⾯⾓正弦值为（）解：．由（）知为平⾯的⼀个法向量是．所以直线与平⾯所成⾓的正弦值为18．满分15分（）解：由已知可得．记半焦距为，由可得．⼜由，可得．所以，椭圆的⽅程为（）解：因为直线与以为圆⼼的圆相切于点，所以．依题意，直线和直线的斜率均存在设直线的⽅程为由⽅程组消去，可得，解得，或依题意，可得点的．因为为线段的中点，点的坐标为，所的坐标为由，得点的坐标为，故直线，即⼜因为，所以整理得解得或所以，直线的⽅程为，或19．满分15分（）解：设等差数列，等⽐数列的公⽐为．由，，可得的通项公式为．由，⼜，可得解得，从⽽的通项公式为（）证明可得，，，从⽽，所以（Ⅲ）解当为奇数时，当为偶数时，对任意的正整数，有和由得由得从⽽得因此．所以，数列的前项和为20．满分16分（）（）解：当时，．可得，，所以曲线在点处的线⽅程为，即（i）解：依题意，．从⽽可得．令，解得当变化时，的变化情况如下表：1 - 0 + 极⼩值所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；的极⼩值为，⽆极⼤值．（）证明：由，得对任意的，且，令，则令当时，由此可得在单调递增，所以当时，．因为，，所以．②由（）（i）可知，当，即，故由可得．所以，当时，对任意的，且，有1。
2023-2024学年天津市南开中学高一上学期月考数学试卷+答案解析(附后)
2023-2024学年天津市南开中学高一上学期月考数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )A. B. C. D.2.设，且则( )A. B. C. D.3.若集合，，则的充要条件是( )A. B. C. D.4.设命题p：，，则为( )A. ，B. ，C. ，D. ，5.不等式中等号成立的条件是 ( )A. B. C. D.6.已知集合，，若，则a的取值范围为( )A. B.C. D.7.正实数a，b满足，，则的最小值为( )A. B. C. D.8.命题“任意，”为真命题的一个充分不必要条件是( )A. B. C. D.9.已知命题，，命题，，若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围是.( )A. B.C.或 D.10.若关于x的方程的两个实数根，，集合，，，，则关于x的不等式的解集为( )A. B.C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.设a，，若集合，则__________.12.试用列举法表示集合：__________；13.不等式的解集为__________.14.已知实数，当取得最小值时，则的值为__________.15.若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是__________.16.若函数的最小值为0，则m的取值范围为__________.三、解答题：本题共3小题，共36分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题10分设全集为，集合，，求，，；若，求实数a的取值范围.18.本小题12分解关于x的不等式：19.本小题14分已知且，记m为的最大值，记n为ab的最大值.求的值;若，且对任意，恒成立，求的最大值.答案和解析1.【答案】C 【解析】【分析】本题考查交集运算，属于基础题.根据交集的定义求解即可.【解答】解：因为 ，，所以.故选：2.【答案】D 【解析】【分析】本题考查不等式的性质，属于基础题.运用不等式的性质，结合特例法逐一判断即可.【解答】解：A ：当 时，显然不成立，因此本选项不正确；B ：当 时， 没有意义，因此本选项不正确；C ：若 ，显然，但是不成立，因此本选项不正确；D ：由 ，因此本选项正确，故选：D 3.【答案】D 【解析】【分析】本题考查充要条件及含参数的集合关系问题，属于基础题.利用充要条件及两个集合的关系即可得出答案.【解答】解：因为集合 ，，且，所以，故选：4.【答案】B 【解析】【分析】本题考查全称量词命题的否定，属于基础题.根据全称量词命题的否定是特称量词命题可得答案.【解答】解：命题p：，，则为， .故选：5.【答案】C【解析】【分析】本题考察基本不等式，属于基础题.易知取等时解出x即可.【解答】解：故选6.【答案】C【解析】【分析】本题考查交集及集合包含关系的判断，分类讨论含参数的集合包含关系，属于中档题.由可以得到，从而对集合B分类讨论即可求解参数a的范围.【解答】解：已知，又因为，，即，①当时，满足，此时，解得；②当时，由，得，解得；综上所述， .故选：7.【答案】A【解析】【分析】本题考查由基本不等式求最值，属于基础题.由题意可得，，再利用基本不等式求解即可．【解答】解：，，且，，当且仅当，即，时，等号成立，即的最小值为 .故选：8.【答案】C【解析】【分析】本题考查充分不必要条件的应用，属于中档题.求出命题“任意，”为真命题的充要条件，然后可选出答案.【解答】解：由可得，当时，，所以，所以命题“任意，”为真命题的充要条件是，所以命题“任意，”为真命题的一个充分不必要条件是C，故选：C9.【答案】C【解析】【分析】本题考查利用基本不等式解决恒成立及一元二次方程问题，属于中档题.若命题p为真命题，利用基本不等式求出的最小值即可得到a的取值范围，若命题q为真命题，则由即可求出a的取值范围，再取两者的交集即可.【解答】解：命题p：为真命题，对任意恒成立，又，，当且仅当，即时，等号成立，，命题，，为真命题，，或，命题p，q都是真命题，或 .故选：C10.【答案】A【解析】【分析】本题考查一元二次方程与一元二次不等式解集的关系，涉及集合的混合运算，属于中档题.根据一元二次不等式的解法，可知的解集在两根之外，讨论两根大小，然后根据集合的运算即可求解.【解答】解：当，则的解集为或，，，，，所以或 .当，则的解集为或，，，，，所以或，综上，故选：11.【答案】0【解析】【分析】本题考查集合相等，属于中档题.利用集合相等以及，可得，即，代入原式可得的值，进而求出答案．【解答】解：由题意可知：，因为，则，可得，则，可得，且满足，所以 .故答案为：12.【答案】【解析】【分析】本题考查集合的表示方法，属于基础题.求解x 的范围，然后表示成描述法即可.【解答】解：由题意可得： .故答案为： .13.【答案】【解析】【分析】本题考查分式不等式的解法，属于基础题.根据分式不等式求解方法进行求解即可．【解答】解：不等式等价于，解得，所以原不等式的解集为 .故答案为： .14.【答案】4 【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题.先利用配凑法根据基本不等式求最值，根据取等条件得 ，即 即得.【解答】解：根据题意可得，，因 ，所以，，所以即，当且仅当时等号成立，此时，解得，则 .故答案为： 415.【答案】【解析】【分析】本题考查利用基本不等式解决有解问题，属于中档题.由已知结合基本不等式中“1”的代换求解的最小值，然后结合存在性问题与最值关系的转化，解一元二次不等式即可.【解答】解：因为两个正实数x，y满足，所以，所以，当且仅当即时，等号成立.因为有解，所以，即，解得或，即实数m的取值范围是 .故答案为： .16.【答案】【解析】【分析】本题考查由函数的最值求参，属于较难题.根据题意，讨论，求得时，取得最小值 0 ，去绝对值，结合二次函数的最值求法，即可得到所求范围.【解答】解：当时，，当时，取得最小值 0 ，满足条件；当时，，当时，可得，当时，，，当时，，当时，取得最小值0，此时；当时，，由题意可得恒成立，不满足.则m的取值范围为 .故答案为：17.【答案】解：因为，，根据并集、补集的概念可得，或，或，所以，或 .若，则，解得，若，则，且或，解得，所以实数a的取值范围是 .【解析】本题考查集合的运算，属于中档题.根据集合A、B利用集合的交集、并集、补集的运算即可求得结果.分集合C为空集和C不为空集两种情况分类讨论，利用交集运算的概念得到a的范围.18.【答案】解：，时，，解集为时，不等式无解；时，，解集为时，不等式为，解集为；时，不等式的解集为或，综上，时，不等式的解集是；时，不等式的解集是或；时，不等式的解集是；时，不等式无解；时，不等式的解集是【解析】本题考查了含有参数的一元二次不等式的解法，解题关键在于对参数的分类讨论，注意参数的正负情况对于解集的影响，属于中档题.分类讨论，进行求解即可.19.【答案】解：因为，所以，因为，所以，因为，当且仅当时取等号，所以，得，当且仅当时取等号，所以ab的最大值为1，即，因为，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为2，即，由题可得，令，则，故 .对任意，，则恒成立，因为a为正数，所以所以，此时，所以，当时，等号成立，此时成立，所以的最大值为第11页，共11页【解析】本题主要考查利用基本不等式求最值，一元二次不等式恒成立问题，属于难题.利用基本不等式结合已知可求得，则 ，从而可求出 n 的值，再结合完全平方公式可求出 m ；令，则 ，得 ，根据 时， ，求得 的关系，从而可得 的取值范围，根据 取最大值的的值检验不等式 恒成立，即可求得结果.。
重庆南开中学校2024届高三第五次质检数学试卷+答案
重庆市高2024届高三第五次质量检测数学试题命审单位：重庆南开中学注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1.已知复数()i z a =∈R ，复数z 的共轭复数为z 若3z z ⋅=，则a =（ ）A.2B. D.82.函数()()sin cos f x x x x =−∈R 的图象的一条对称轴方程是（ ） A.π4x =B.π4x =−C.π2x = D.π2x =−3.已知函数()222x xf x −−=，则不等式()()230f x f x −+ 的解集是（ ）A.(],1∞−B.[)1,∞+C.(],3∞−D.[)3,∞+4.已知()26(21)x x a x ++−展开式中各项系数之和为3，则展开式中x 的系数为（ ） A.-10 B.-11 C.-13 D.-155.已知集合{}0,1,2,3,4A =，且,,a b c A ∈，用,,a b c 组成一个三位数，这个三位数满足“十位上的数字比其它两个数位上的数字都大”，则这样的三位数的个数为（ ） A.14 B.17 C.20 D.236.已知正三棱台111ABC A B C −的上､下底面的边长分别为6和12，且棱台的侧面与底面所成的二面角为60 ，则此三棱台的体积为（ ）A. D.7.已知函数()()120(0)xkx x x f x e kx x −−+=−>恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A.[)1,e B.()1,1,2e ∞ −∪+ C.1,2e−D.1,12 −8.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点3,02A p−，点M 在抛物线上，且满足MA MF =，若MAF的面积为p 的值为（ ）A.3B.4C.D.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.9.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，112a =，若数列{}n n a S −既是等差数列，又是等比数列，则（ ）A.{}n a 是等差数列B.ln n a n是等比数列 C.{}n S 为递增数列 D.(){}1n n n a −最大项有两项10.已知圆22:4O x y +=，过直线:3l y x =−上一点P 向圆O 作两切线，切点为A B ､，则（ ）A.直线AB 恒过定点44,33−C.AB 的最小值为43D.满足PA PB ⊥的点P 有且只有一个 11.某中学为了提高同学们学习数学的兴趣，激发学习数学的热情，在初一年级举办了以“智趣数学，“渝”你相约”为主题的数学文化节活动，活动设置了各种精彩纷呈的数学小游戏，其中有一个游戏就是数学知识问答比赛.比赛满分100分，分为初赛和附加赛，初赛不低于75的才有资格进入附加赛（有参赛资格且未获一等奖的同学都必须参加）.奖励规则设置如下：初赛分数在[]95,100直接获一等奖，初赛分数在[)85,95获二等奖，但通过附加赛有15的概率升为一等奖，初赛分数在[)75,85获三等奖，但通过附加赛有13的概率升为二等奖（最多只能升一级，不降级），已知A 同学和B 同学都参加了本次比赛，且A 同学在初赛获得了二等奖，根据B 同学的实力评估可知他在初赛获一､二､三等奖的概率分别为111,,642，已知4，B 获奖情况相互独立.则下列说法正确的有（ ） A.B 同学最终获二等奖的概率为13B.B 同学最终获一等奖的概率大于A 同学获一等奖的概率C.B 同学初赛获得二等奖且B 最终获奖等级不低于A 同学的概率为21100D.在B 同学最终获奖等级不低于A 同学的情况下，其初赛获三等奖的概率为41512.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，点P 在侧面11AA D D 内运动（包括边界），Q 为棱DC 中点，则下列说法正确的有（ ）A.存在点P 满足平面PBD ∥平面11B D CB.当P 为线段1DA 中点时，三棱锥111P A B D −C.若()101DP DA λλ=，则PQ PB −最小值为32D.若QPD BPA ∠∠=，则点P 的轨迹长为2π9三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知角α终边上有一点()2,1P ，则πsin 22α+=__________. 14.已知数列{}n a 满足111750,1751n n a a a +==−，若123n n T a a a a =⋅⋅ ，则2024T =__________. 15.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为()()12,0,,0F c F c −，过椭圆外一点()3,0P c 和上顶点M 的直线交椭圆于另一点N ，若1MF ∥2NF ，则椭圆的离心率为__________.16.平面向量,,a b c 满足||||2,()()1a b c a c b ==−⋅−=−，则a c ⋅ 最大值为__________. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.如图，在平面四边形ABCD 中，ACD 为钝角三角形，,AC BC P ⊥为AC 与BD 的交点，若π,4,6ACD AD AC ∠===，且7tan 9BAD ∠=（1）求ADC ∠的大小； （2）求PDC 的面积.18.已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足__________.①首项*11,,a m n =∀∈N ，均有2m nn S S mn +=+ ②*n ∀∈N ，均有0n a >且()214n n a S −=请从条件①和②中选一个填到题目条件下划线上（若两个都填，以第一个为准），并回答下面问题： （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}2na n a ⋅前n 项和nT 的表达式19.新能源渗透率是指在一定时期内，新能源汽车销量占汽车总销量的比重.在2022年，新能源汽车的渗透率达到了28.2%，提前三年超过了“十四五”预定的20%的目标.2023年，随着技术进步，新能源车的渗透率还在继续扩大.将2023年1月视为第一个月，得到2023年1-10月，我国新能源汽车渗透率如下表： 月份代码x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 渗透率%y29323432333436363638（1）假设自2023年1月起的第x 个月的新能源渗透率为%y ，试求y 关于x 的回归直线方程，并由此预测2024年1月的新能源渗透率.（2）为了鼓励大家购买新能源汽车，国家在2024年继续执行新能源车购置税优惠政策：在2024年6月1日前购买的新能源车无需支付购置税，而燃油车需按照车价10%支付购置税.2024年1月小张为自己的客户代付购置税，当月他的客户购买了3辆车价格均为20万元，假设以（1）中预测的新能源渗透率作为当月客户购买新能源车的概率，设小张总共需要代付的购置税为X 万元，求X 的分布列和期望.附：一组数据()()()1122,,,,,n n x y x y x y 的线性回归直线方程ˆˆˆybx a =+的系数公式为：1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nxyb ay bx xnx ==−==−−∑∑ 20.如图，斜三棱柱111ABC A B C −中，底面ABC 是边长为a 的正三角形，侧面11ABB A 为菱形，且160A AB ∠= .（1）求证：1AB A C ⊥； （2）若11cos 4A AC ∠=，三棱柱111ABC A B C −的体积为24，求直线1A C 与平面11CBB C 所成角的正弦值.21.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的一条浙近线方程为y x =，且点P在双曲线上.（1）求双曲线的标准方程；（2）设双曲线左右顶点分别为,A B ，在直线1x =上取一点()()1,0P t t ≠，直线AP 交双曲线右支于点C ，直线BP 交双曲线左支于点D ，直线AD 和直线BC 的交点为Q ，求证：点Q 在定直线上.22.若函数()f x 在定义域内存在两个不同的数12,x x 同时满足()()12f x f x =且()f x 在点()()11,x f x ，()()22,x f x 处的切线斜率相同，则称()f x 为“切合函数”.（1）证明：()326f x x x =−为“切合函数”； （2）若()21ln g x x x x ax e=−+为“切合函数”（其中e 为自然对数的底数），并设满足条件的两个数为12,x x .①求证：2124e x x <；②求证：2123(1)4a x x +<.数学试题参考答案与评分细则题号 1 23 4 5 6 7 8 9101112选项 A BABCCDDBCD ACBCDABD13.35【解析】2π3sin 2cos212sin 25αααα +==−=14.750【解析】2341231111750751,,117501751a a a a a a ====−==−−− 所以{}n a 周期为3，且6741232024121,(1)750a a a T a a =−=−⋅⋅=【解析】法一：因为2F 为1PF 中点，1MF ∥2NF ，所以N 也是PM 中点. 则3,22c b N，代入椭圆方程可得离心率c e a==法二：因为2F 为1PF 中点，1MF ∥2NF ，所以2113,222N a c NF MF x === 用焦半径公式322a a e c −⋅=，解得c e a==16.4【解析】设()()0,0,2,0O OA a == ，向量,a b夹角为θ，则()2cos ,2sin b OB θθ==设(),c x y =，由()()1c a c b −⋅−=− 得： ()()2,02cos ,2sin 1x y x y θθ−−⋅−−=−化简得： 22(1cos )(sin )12cos x y θθθ −++−=−，即(),x y 在一个圆上 而2a c x ⋅= ，所以即求x 的最大值，为c 在a上投影长度最大时，即1cos θ+ 令t=，则(22221cos 32(1)44x t t t θ=++=−+=−−+ 在1t =即π2θ=时取得17.解：（1）在ACD中，由正弦定理得：sin sin sin AD ACADC ACD ADC∠∠∠=⇒==π3ADC ∠∴=或2π3，当π3ADC ∠=时，π2DAC ∠=，与ACD 为钝角三角形不符合，舍去.所以2π3ADC ∠=. （2）由（1）知，ACD 为等腰三角形，()πtan tanπ6,4,tan tan π61tan tan 6BAD DAC DC BAC BAD DAC BAD ∠∠∠∠∠∠−===−=+⋅ ,tan 3AC BC BC AC BAC ∠⊥∴=⋅= ，由1π11ππsin sin 262262DCP PCBDCB S S S DC PC PC CB DC CB ∧+=⇒⋅⋅⋅+⋅=⋅⋅+，可得1πsin 26PDC PC S DC PC =∴=⋅⋅=法二：作DH AC ⊥于H ，则πsin 26DH DC ==， 由PDH PBC ∽得23DP DH PB BC ==，则221ππsin 55262DCP DCB S S CD ==⋅⋅+. 18.解：（1）若选条件①，则令1m =，可得：121n n S S n +−=+，故当2n 时有：()()()()212132113521n n n S S S S S S S S n n −=+−+−++−=++++−=⇒ 221(1)21n n n a S S n n n −=−=−−=−又当11a =也符合上式，所以21na n =− 若选条件②，则由()214n n a S +=可得当2n 时有：()21114n n a S −−+=，两式相减得；()()1120n n n n a a a a +−+−−=，因为0n a >，故有120n n a a −−−= 又由题可求得11a =，所以{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，从而有21na n =− （2）由（1）可知：()212212na n n a n −⋅=−，则()13521123252212n n T n −=×+×+×++− ()357214123252212n n T n +=×+×+×++−两式相减得：()()13521213122222212n n n T n −+−=×+×+++−−()()1212181410522212221433n n n n n −++−=+×−−=−+− −所以2110252939n n n T + =+−⋅19.（1）计算得 5.5,34xy =，所以：122211936105.53466ˆˆˆ0.8,340.85.529.6385105.582.5ni ii nii x y nxyb a y bx xnx ==−−⋅⋅=====−=−⋅=−⋅−∑∑ 则同归直线方程为ˆ0.829.6y x =+，代入13x =得40y = 所以预测2024年1月新能源渗透率为40%； （2）由题意，每个客户购买新能源车的概率为25，燃油车概率为35X 所有可能取值为0,2,4,6则()()321132823360,2512555125P X P X C ======， ()()2323123543274,6551255125P X C P X======所以X 的分布列为所以()365427450182461251251251255E X =⋅+⋅+⋅==（万元）. 20.解：（1）证明：取AB 中点O ，连接1,A O CO ，由题知1A AB 为正三角形，而ABC 也是正三角形，1,A O AB CO AB ∴⊥⊥，又1,A O CO O AB ∩=∴⊥ 平面1ACO ， 1A C ⊂ 平面11,A CO AB A C ∴⊥（2）111,cos 4A AAB AC a A AC ∠==== ， 由余弦定理得2222111132cos 2A C AA AC AA AC A AC a ∠=+−⋅⋅=1AC ∴，又1AO CO ==， 222111,AO CO AC AO CO ∴+∴⊥ 又11,,A O AB AB CO O A O ⊥∩=∴⊥ 平面1,ABC A O CO AB ∴､､两两垂直. 以O 为原点，以,,CO OB OA的方向分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系如图.因为三棱柱111ABC A B C −的体积为21244ABC V S AO a a =⋅==⇒= ， 则()()()((110,2,0,0,2,0,,0,0,,A B C A AC −−−−(()110,2,,2,0CC AA CB ===.设平面11CBB C 的法向最为(),,nx y z =，由120020y n CC n CB y +⋅=⇒ ⋅=+= ′，可取()1,n = ，设向量n 与1AC的夹角为θ，()(11,cos n AC θθ∴⋅=⋅−−=−⇒， ∴直线1A C 与平面11CBB C.21.解：（1）因为渐近线方程为y x =，所以a b =，设双曲线为222x y a −=，代入P得24a =，双曲线的标准力程为224x y −=（2）设直线3:2AP x y t =−，联立双曲线22324x y tx y=−−= 得： 22222291212318244,,299cc t t y y y y x y t t t t t ε+−+−===−=−−；设直线1:2BP x y t =−+，联立双曲线22124x y t x y=−+ −= 得： 22222214412244,,2;11D D D t t y y y y x y t t t t t −−−+−===−+=−− 所以2222224121319,442219C D AD BCD C t ty y t t k k t t x t x tt t −−===−===−+−−− 则()()13:2,:2AD y x BC y x t t=−+=− 设()00,Q x y ，则()()00001232y x t y x t=−+=−，两式相除消t 得00021,123x x x −=−=+ 所以Q 在直线1x =上 另证：设直线()()()2242:22222D D D D D D D D y y x x AD y x x x x x y y −−=+=⋅+=+++， 直线()()()2242:22222C C C C C C C Cy y x x BC y x x x x x y y −+=−=⋅−=−−−，由于BP BD k k =，即2DD y t x =−−，由于AP AC k k =，即23C C y tx =+则()()13:2,:2AD y x BC y x tt=−+=−.后同前证22.解：（1）假设存在12,x x 满足题意，易知()266f x x =−′，由题可得： ()()3322121122112226263f x f x x x x x x x x x ⇔−−⇒++()()221212121266660f x f x x x x x x x ′=⇔−−′=⇒+=⇒=−代入上式可解得()(12,x x =或，故()f x 为“切合函数”（2）由题可知()2ln 1xg x x a e=−++′，因为()g x “切合函数”，故存在不同的12,x x （不妨设120x x <<）使得：()()()()221122211211122221121221121221ln ln 1ln ln :222ln 1ln 12ln ln x x x x x x x x a x x ax x x ax x x e g x g x e e g x g x x x e x x x a x a x x e e −+ =+ −+=−+ −= ⇔⇔ =− =−++=−++ − ′′①先证：2121ln ln x x x x −>−2211ln ln ln x x x x =>−=令t =，则由120x x <<可知1t >，要证上式，只需证： ()211ln 2ln 2ln 0(1)t t t m t t t t l l −>=⇔=−+<>，易知()22(1)0t m t t−−=<′ 故()m t 在()1,∞+单调递减，所以()()10m t m <=，故有2121ln ln x x x x −>− 由上面的221224e e x x <⇒< ②由上面的2式可得：21211ln ln 12x x x x e −−，代入到1式中可得： ()()()()212111221122211211221221212121ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln 1222x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x a x x x x x x x x −+−−−+−=+===−−−− 21212ln 2a x x x x e −−⇒=且由（1）可得2ln 24ln 2e a e >−= （另解：由上面的2式可得2121ln ln 2x x x x e−−=，代入到1式的变形： ()2221211122ln ln x x a x x x x x x e−−=−+，整理后也可得到12ln 2x x a =−）故要证2123(1)4a x x +<，只需证： 2222332(1)(1)0ln 44a a a a a e e e e a a e −− +−<⇔+−+>>设()2232(1)ln 4a a h a e e a a e =+−+>，则即证：()0h a > ()()()()()22321,323212a a a a a a h a e e a h a e e e e ′=+−+=+−′=′−+ ()()222ln ln ,320033a a a e e h a h a e >>∴>⇒>′′⇒>⇒′− 在2ln ,3∞ + 单调递增()()2222ln ln 2ln 10ln 10333h a h h x x e >>=′′′−−>−− ()h a ⇒在2ln ,3∞ + 单调递增()2222ln ln ln ln 20333h a h h e ⇒>>=−−> 所以原不等式成立 另证：当2ln ,0a e∈时，可用1a e a + 放缩代入证明不等式成立 当()0,a ∞∈+时，可用2112a e a a ++放缩代入证明不等式成立 综上，原不等式成立。
天津市南开中学2023-2024学年高三上学期第二次月考数学试卷
答案第31 页，共22 页
【详解】设{an
-
n}
的公比为
q
，则
q
=
a2 a1
-2 -1
=
11- 2 4 -1
=
3
，
所以 an - n = (a1 -1) × qn-1 = (4 -1) ×3n-1 = 3n ，则 an = n + 3n ，
所以 a4 = 4 + 34 = 85 ，
所以落在区间[4,85] 内的偶数共有 41 个，故t (a4 ) = 41 .
11．在
æ çè
3x2
-
2 x
ö5 ÷ø
的展开式中，
x
的系数是
．
三、双空题
12．已知直线 l : y = kx - 2(k > 0) 与圆 x2 + y2 = 1 相切，且被圆 x2 + ( y + a)2 = 4(a > 0) 截
得的弦长为 2 3 ，则 k = ； a = ．
四、填空题
13．锐角a
(2)求数列{anbn} 的前 n 项和 Sn ；
å (3)若数列{dn} 满足 d1 = 1 ， dn + dn+1 = bn ，记Tn =
n
dk
m ．是否存在整数 ，使得对
b k =1 2k
任意的 n Î N * 都有1 £
mTn
-
dn b2n
<
m 2 成立？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．
故选：C. 9．B
【分析】根据三角函数的变换规则求出 g ( x) 的解析式，再根据正弦函数的性质判断
A、C、D，利用诱导公式判断 B.
2021-2022学年天津市南开中学高三(上)第一次月考数学试卷(学生版+解析版)
2021-2022学年天津市南开中学高三（上）第一次月考数学试卷一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知集合{1A =-，0，1，2}，2{|1}B x x =，则(A B = )A ．{1-，0，1}B ．{0，1}C ．{1-，1}D ．{0，1，2}2．（5分）“22m n <”是“lnm lnn <” ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件3．（5分）下列函数中，在定义域上单调递增且为奇函数的是( ) A ．1()f x x=B ．()sin f x x =C ．()cos f x x x =D ．()sin f x x x =+4．（5分）某部门为了了解一批树苗的生长情况，在3000棵树苗中随机抽取200棵，统计这200棵树苗的高度，将所得200个高度数据分为7组：[70，80)，[80，90)，[90，100)，[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140]，并绘制了频率分布直方图（如图），那么根据该图可推测，在这3000棵树苗中高度小于100cm 的树苗棵数是( )A ．360B ．600C ．840D ．13205．（5分）函数222()cos x x f x x x --=+在[π-，]π的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．6．（5分）已知121()3a =，121log 3b =，31log 2c =，则( )A ．c b a >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >>7．（5分）设函数()1||xf x x =+，则下列结论中错误的是( ) A ．()y f x =的图象关于点(1,1)-对称 B ．()f x 在其定义域上单调递增 C ．()f x 的值域为(1,1)-D ．函数()()g x f x x =-有且只有一个零点8．（5分）以下区间为函数()||2||f x ln x =-的一个单调递增区间的是( ) A ．(3,2)--B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(2,)+∞9．（5分）已知函数|1|2,0()21,0x e x f x x x x -⎧>=⎨--+⎩，若方程2()()20f x bf x ++=有8个相异实根，则实数b 的取值范围( ) A ．(4,2)--B ．(4,22)--C ．(3,2)--D ．(3,22)--二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．10．（5分）若复数z 满足(1)12(i z i i -=+虚数单位），则||z = ． 11．（5分）62)x展开式中，常数项是 ．12．（5分）若函数13(1)2,1(),1a x a x f x log x x --⎧⎪=⎨>⎪⎩的值域是R ，则实数a 的取值范围是 ．13．（5分）已知a ，b 是正数，且3ab a b =++，则ab 的最小值为 ．14．（5分）已知()x f x e =，()g x =若12()()f x g x =，21||d x x =-，则d 的最小值为 ． 15．（5分）设函数1|2|||,02()1|(2)()|,02x x x f x x x x ⎧-+-⎪⎪=⎨⎪++<⎪⎩，则函数1()2y f x x =-+的零点个数为 ；若1()2g x kx =-，且函数()()()F x f x g x =-有偶数个零点，则实数k 的取值范围是 ． 三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（14分）求下列关于x 的不等式的解集： （Ⅰ）211xx --； （Ⅱ）2(21)20()ax a x a R +--<∈．17．（15分）设函数2(1)()(0,1)x xa t f x a a a --=>≠是定义域为R 的奇函数，且()y f x =的图象过点3(1,)2．（Ⅰ）求t 和a 的值；（Ⅱ）若x R ∀∈，2()(1)0f kx x f x -+-<，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）是否存在实数m ，使函数22()22()x x g x mf x -=+-在区间[1，2log 3]上的最大值为1．若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．18．（15分）如图，P ABCD -是一个四棱锥，已知四边形ABCD 是梯形，PD ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，//AB CD ，1PD AD AB ===，2CD =，点E 是棱PC 的中点，点F 在棱PB 上，12PF FB =． （Ⅰ）证明：直线//BE 平面PAD ；（Ⅱ）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值； （Ⅲ）求平面DEF 与平面ABCD 的夹角的余弦值．19．（15分）设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左焦点为F ，3，过点F 且与x 轴43． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆E 交于点C ，D 两点，且527AC DB AD CB ⋅+⋅=，求k 的值． 20．（16分）已知函数21()(1)2x f x x ax x a e -=-+-+，其中a R ∈． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若(0,1)a ∈，设()()(0)g x f x f =-，（ⅰ）证明：函数()g x 在区间(0,)+∞内有唯一的一个零点； （ⅱ）记（ⅰ）中的零点为0x ，证明：当0(0,)x x ∈时，11x xe a<+-．2021-2022学年天津市南开中学高三（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知集合{1A =-，0，1，2}，2{|1}B x x =，则(A B = )A ．{1-，0，1}B ．{0，1}C ．{1-，1}D ．{0，1，2}【解答】解：因为{1A =-，0，1，2}，2{|1}{|11}B x x x x ==-， 所以{1AB =-，0，1}，故选：A ．2．（5分）“22m n <”是“lnm lnn <” ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【解答】解：lnm lnn <，则0m n <<，故22m n <， 反之，22m n <，得||||m n <，推不出lnm lnn <， 故“22m n <”是“lnm lnn <”的必要不充分条件． 故选：B ．3．（5分）下列函数中，在定义域上单调递增且为奇函数的是( ) A ．1()f x x=B ．()sin f x x =C ．()cos f x x x =D ．()sin f x x x =+【解答】解，根据题意，依次分析选项： 对于A ，1()f x x=，是反比例函数，在其定义域上不是增函数，不符合题意， 对于B ，()sin f x x =，是正弦函数，在其定义域上不是增函数，不符合题意， 对于C ，()cos f x x x =，有(0)()02f f π==，在其定义域上不是增函数，不符合题意，对于D ，()sin f x x x =+，其定义域为R ，有()sin ()f x x x f x -=--=-，()f x 为奇函数，且()1cos 0f x x '=+，在R 上为增函数，符合题意， 故选：D ．4．（5分）某部门为了了解一批树苗的生长情况，在3000棵树苗中随机抽取200棵，统计这200棵树苗的高度，将所得200个高度数据分为7组：[70，80)，[80，90)，[90，100)，[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140]，并绘制了频率分布直方图（如图），那么根据该图可推测，在这3000棵树苗中高度小于100cm 的树苗棵数是( )A ．360B ．600C ．840D ．1320【解答】解：由直方图可知，高度小于100cm 的树苗所占的频率为(0.0020.0060.012)100.2++⨯=所以在这3000棵树苗中高度小于100cm 的树苗棵数是30000.2600⨯=， 故选：B ．5．（5分）函数222()cos x xf x x x --=+在[π-，]π的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：222()cos x x f x x x --=+，222()0cos f πππππ--∴=>+，222()0cos()()f πππππ---=<-+-， ∴选项B 符合，其它选项不符合．故选：B ．6．（5分）已知121()3a =，121log 3b =，31log 2c =，则( )A ．c b a >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >>【解答】解：12132111(),log ,log 332a b c ===，102110()()133a ∴<=<=，112211132b log log =>=，331102c c log log ==<=， b a c ∴>>．故选：C ．7．（5分）设函数()1||xf x x =+，则下列结论中错误的是( ) A ．()y f x =的图象关于点(1,1)-对称 B ．()f x 在其定义域上单调递增 C ．()f x 的值域为(1,1)-D ．函数()()g x f x x =-有且只有一个零点【解答】解：根据题意，,01()1||,01xx x xf x xx x x ⎧⎪⎪+==⎨+⎪<⎪-⎩，依次分析选项： 对于A ，()1||x f x x =+，(0)0f =，2(2)3f -=-，(0，(0))f 与(2-，(2))f -不关于(1,1)-对称，A 错误；对于B ，,01()1||,01xx x xf x xx x x⎧⎪⎪+==⎨+⎪<⎪-⎩，在R 上为增函数，B 正确； 对于C ，,01()1||,01xx x xf x xx x x ⎧⎪⎪+==⎨+⎪<⎪-⎩，当0x 时，0()1f x <，同理0x <时，有1()0f x -<<， 综合可得：1()1f x -<<，即函数的值域为(1,1)-，C 正确； 对于D ，()0f x x -=即1||xx x =+，只有一解，即0x =，即函数()()g x f x x =-有且只有一个零点，D 正确； 故选：A ．8．（5分）以下区间为函数()||2||f x ln x =-的一个单调递增区间的是( ) A ．(3,2)--B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(2,)+∞【解答】解：作出函数()f x 的图象，如图所示，可得函数的一个单增区间为(1,2)， 故选：B ．9．（5分）已知函数|1|2,0()21,0x e x f x x x x -⎧>=⎨--+⎩，若方程2()()20f x bf x ++=有8个相异实根，则实数b 的取值范围( ) A ．(4,2)--B ．(4,22)--C ．(3,2)--D ．(3,22)--【解答】解：令()f x t =，则方程2()()20f x bf x ++=⇔方程220t bt ++=． 如图是函数|1|2,0()21,0x e x f x x x x -⎧>=⎨--+⎩，的图象，根据图象可得：方程2()()20f x bf x ++=有8个相异实根⇔方程220t bt ++=．有两个不等实数解1t ，2t且1t ，2(1,2)t ∈．可得2228011203222220122b b b b b ⎧=->⎪+⋅+>⎪⎪⇒-<<-⎨+⋅+>⎪⎪<-<⎪⎩． 故选：D ．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 10．（5分）若复数z 满足(1)12(i z i i -=+虚数单位），则||z = 10． 【解答】解：由(1)12i z i -=+， 得12(12)(1)131(1)(1)2i i i iz i i i +++-+===--+， 所以22(1)310||z -+== 10． 11．（5分）62()x x展开式中，常数项是 60 ．【解答】解：62()x x-展开式的通项为33621662()()(2)r r r r r rr T C x C x x --+=-=-令3302r-=得2r =故展开式的常数项为2236(2)60T C =-= 故答案为60．12．（5分）若函数13(1)2,1(),1a x a x f x log x x --⎧⎪=⎨>⎪⎩的值域是R ，则实数a 的取值范围是 [1-，1) ．【解答】解：当1x >时，13()f x log x =，此时值域为(,0)-∞，依题意，当1x 时，[0，)()f x +∞⊆，显然10a -≠，即1a ≠，①若10a ->，即1a >时，()(1)2f x a x a =--单调递增，此时值域为(-∞，1]a --，不可能满足[0，)()f x +∞⊆，舍去；②若10a -<，即1a <时，()(1)2f x a x a =--单调递减，此时值域为[1a --，)+∞，则需10a --，1a -，故此时11a -<．综上，实数a 的取值范围为[1-，1)． 故答案为：[1-，1)．13．（5分）已知a ，b 是正数，且3ab a b =++，则ab 的最小值为 9 ． 【解答】解：a ，b 是正数，且323ab a b ab =+++，31)0ab ∴--=，∴3ab ，9ab ∴，故ab 的最小值为9，故答案为：9．14．（5分）已知()x f x e =，()g x =12()()f x g x =，21||d x x =-，则d 的最小值为 122ln - ． 【解答】解：设12()()(0)f x gx t t ==>，则1,x e t t ==，∴212,4t x lnt x ==，∴2||4t d lnt =-，设2()4t ht lnt =-，则1(()22t t t h t t t +'=-=，易知函数()h t在单调递减，在)+∞单调递增，且0t →时，()h t →+∞，t →+∞时，()h t →+∞，122ln h -=， ∴12|()|2min ln h t -=，即d 的最小值为122ln -．故答案为：122ln -． 15．（5分）设函数1|2|||,02()1|(2)()|,02x x x f x x x x ⎧-+-⎪⎪=⎨⎪++<⎪⎩，则函数1()2y f x x =-+的零点个数为 1个 ；若1()2g x kx =-，且函数()()()F x f x g x =-有偶数个零点，则实数k 的取值范围是 ．【解答】解：函数1()2y f x x =-+的零点个数等价于1()2f x x =-的解的个数， 又方程1()2f x x =-的解的个数等价于函数()y f x =与12y x =-的交点个数， 又52,2231,22251()2,0221(2)(),02x x x f x x x x x x ⎧-⎪⎪⎪<⎪⎪=⎨-<⎪⎪⎪++⎪<⎪⎩，作出函数的图象如图所示，函数12y x =-与函数()y f x =只有一个交点， 故第一个空应填1个，函数()()()F x f x g x =-有偶数个零点，则()()f x g x =有偶数个解， 即()y f x =与()y g x =有偶数个交点，根据图象知12k <<时有2个交点， 当122x --时，设1(2)()2y x x =-++在0x x =处的切线过点1(0,)2-， 由1(2)()2y x x =-++，可得522y x '=--，所以切线斜率为005|22x x y x ='=-，所以函数在0x x =处的切线方程为000015(2)()(2)()22y x x x x x +++=--，又切线过点1(0,)2-，所以0000115(2)()(2)(0)222x x x x -+++=--，解得0x =，此时52k ，()y f x =与()y g x =有3个交点，不是偶数， ()g x 过点1(2-，0)时，512k =->，()y f x =与()y g x =有3个交点，不是偶数，()g x 过点(2,0)-时，14k =-，()y f x =与()y g x =有1个交点，不是偶数，所以函数()()()F x f x g x =-有偶数个零点时k 的取值范围为(-∞，552)(222--⋃，1)(1--⋃，1)4-．故答案为：1；(-∞，552)(222--⋃，1)(1--⋃，1)4-．三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（14分）求下列关于x 的不等式的解集： （Ⅰ）211xx --； （Ⅱ）2(21)20()ax a x a R +--<∈． 【解答】解：（Ⅰ）不等式211x x --，即2301x x --，即(23)(1)0x x --，且10x -≠， 求得1x <，或32x，故不等式的解集为3(,1)[2-∞，)+∞． （Ⅱ）对于不等式2(21)20()ax a x a R +--<∈，当0a =时，不等式即20x --<， 故它的解集为(2,)-+∞．由于当0a ≠时，2(21)20ax a x +--=的根为2-和1a， 当0a >时，12a >-，求得不等式2(21)20ax a x +--<的解集为1(2,)a-， 当0a <时，若12a =-，不等式即2(2)0x +<，它的解集为∅；若102a -<<，12a <-，不等式的解集1(a ，2)-；若12a <-，12a >-，不等式的解集1(2,)a-．综上，当0a =时，它的解集为(2,)-+∞；当12a =-时，它的解集为∅；当0a >，或12a <-时，它的解集为1(2,)a -，当102a -<< 时，它的解集1(a，2)-．17．（15分）设函数2(1)()(0,1)x xa t f x a a a --=>≠是定义域为R 的奇函数，且()y f x =的图象过点3(1,)2．（Ⅰ）求t 和a 的值；（Ⅱ）若x R ∀∈，2()(1)0f kx x f x -+-<，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）是否存在实数m ，使函数22()22()x x g x mf x -=+-在区间[1，2log 3]上的最大值为1．若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）因为()f x 是定义域为R 的奇函数， 所以(0)0f =，即1(1)01t --=，解得2t =， 经检验，当2t =时符合题意， 所以()x x f x a a -=-， 又()y f x =的图象过点3(1,)2，则132a a --=，解得2a =或12a =-， 又0a >且1a ≠， 所以2a =；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，()22x x f x -=-， 因为x R ∀∈，2()(1)0f kx x f x -+-<， 即2()(1)f kx x f x -<--对x R ∀∈恒成立， 因为()f x 为奇函数，则2()(1)f kx x f x -<-对x R ∀∈恒成立， 又()22x x f x -=-为R 上的单调递增函数， 所以21kx x x -<-对x R ∀∈恒成立，即2(1)10x k x -++>对x R ∀∈恒成立， 则△2(1)40k =+-<，解得31k -<<， 所以实数k 的取值范围为(3,1)-；（Ⅲ）由题意2222()22()22(22)x x x x x x g x mf x m ---=+-=+--， 令22x x t -=-，则222(22)222x x x x ---=+-， 所以22222(22)2x x x x m t mt --+--=-+， 因为[1x ∈，2log 3]， 所以38[,]23t ∈，记函数2()2h t t mt =-+，则函数()h t 在38[,]23上有最大值1，①若对称轴25212m t =>， 则3173()()1242max h t h m ==-=，解得136m =（舍)；②当对称轴25212m t =， 则252128()()3maxm h t h ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2567324m m ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以7324m =． 综上所述，存在实数7324，使函数22()22()x x g x mf x -=+-在区间[1，2log 3]上的最大值为1． 18．（15分）如图，P ABCD -是一个四棱锥，已知四边形ABCD 是梯形，PD ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，//AB CD ，1PD AD AB ===，2CD =，点E 是棱PC 的中点，点F 在棱PB 上，12PF FB =． （Ⅰ）证明：直线//BE 平面PAD ；（Ⅱ）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值； （Ⅲ）求平面DEF 与平面ABCD 的夹角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取PD 的中点G ，连接AG ，GE ， 因为G ，E 分别为PD ，PC 的中点， 则//GE DC ，12GE DC =， 又//AB DC ，12AB DC =， 所以//GE AB 且GE AB =， 故四边形AGEB 为平行四边形， 所以//BE AG ，又BE ⊂/平面PAD ，AG ⊂平面PAD ， 所以//BE 平面PAD ；（Ⅱ）解：因为PD ⊥平面ABCD ，且AD ，DC ⊂平面ABCD ， 则PD AD ⊥，PD DC ⊥，又AD CD ⊥，故以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 所以1(1,1,0),(0,1,),(0,0,0),(0,0,1)2B E D P ，则1(1,0,),(0,0,1),(1,1,0)2BE DP DB =-==，1(0,1,)2DE =，设平面PBD 的法向量为(,,)m x y z =， 则0m DP z m DB x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 令1x =，则1y =-， 故(1,1,0)m =-， 所以||10|cos ,|||||1101104BE m BE m BE m ⋅<>===++⨯++ 所以直线BE 与平面PBD 10； （Ⅲ）解：因为12PF FB =，则12PF FB =，所以1()2DF DP DB DF -=-，故2121112(0,0,1)(1,1,0)(,,)3333333DF DP DB =+=+=，设平面DEF 的法向量为(,,)n a b c =， 则1120333102n DF a b c n DE b c ⎧⋅=++=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，令2c =，则1b =-，3a =-， 故(3,1,2)n =--，又平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)s =， 所以||214|cos ,|||||7914001n s n s n s ⋅<>===++⨯++， 故平面DEF 与平面ABCD 的夹角的余弦值为147．19．（15分）设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左焦点为F，3，过点F 且与x 轴43． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆E 交于点C ，D 两点，且527AC DB AD CB ⋅+⋅=，求k 的值．【解答】解：（1）设(,0)F c -，由c a =，知a =． 过点F 且与x 轴垂直的直线为x c =-，代入椭圆方程有2222()1c y a b -+=，解得y ==，解得b ，又222a c b -=，从而a =1c =，所以椭圆的方程为22132x y +=．（2）设点1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，由(1,0)F -得直线CD 的方程为(1)y k x =+， 联立直线方程和椭圆方程，消去y ，整理得2222(23)636k x k x k +++-．求解可得2122623k x x k +=-+，21223623k x x k -=+．因为(A 0)，B ，0)，所以11222211(),)(),)AC DB AD CB x y x y x y x y ⋅+⋅=+⋅-+⋅- 212121212622622(1)(1)x x y y x x k x x =--=--++2222121222126(22)2()2623k k x x k x x k k +=-+-+-=++， 由已知得22212526237k k ++=+，解得2k =±． 20．（16分）已知函数21()(1)2x f x x ax x a e -=-+-+，其中a R ∈．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若(0,1)a ∈，设()()(0)g x f x f =-，（ⅰ）证明：函数()g x 在区间(0,)+∞内有唯一的一个零点； （ⅱ）记（ⅰ）中的零点为0x ，证明：当0(0,)x x ∈时，11x xe a<+-． 【解答】（Ⅰ）解：2?1()?(?1)()2x f x x ax x a e a R =++∈， 则1()??(?)(x x x x a e f x x a x a e e--'==)，若0a =，则当0x <时，()0f x '>，当0x >时，()0f x '>， 所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；若0a >，则当0x <时，()0f x '>，当0x a <<时，()0f x '<，当x a >时，()0f x '>， 所以()f x 在(,0)-∞单调递增，在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增；若0a <，则当x a <时，()0f x '>，当0a x <<时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在(,)a -∞单调递增，在(,0)a 单调递减，在(0,)+∞单调递增． 综上所述，当0a =时，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(,0)-∞单调递增，在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增； 当0a <时，()f x 在(,)a -∞单调递增，在(,0)a 单调递减，在(0,)+∞单调递增．（Ⅱ）()i 证明：由（1）可知，当01a <<时，()g x 在(0，}a 单调递减，在(,)a +∞单调递增，所以g （a ）(0)0g <=， 又21(22)(22)?(22)(3)?(22)?(1?)31(3)?(22)3102g a a a a a c a a a a c a a +=+++++=+++++>，所以()g x 存在唯一正零点0(,22)x a a ∈+， 故()g x 有唯一正零点； （ⅱ）证明：设()??11x xh x e a=-， 则1()?1x h x e a'=-， 当0(1)x ln a <<--时，()0h x '<， 当(1)x ln a >--时，()0h x '>，所以()h x 在(0，(1))ln a --上单调递减，在((1)ln a --，)+∞上单调递增， 又因为(0)0h =，所以要证明0(0,)x x ∀∈，11x xe a<+-， 只需要证明0()0h x ， 即证_0011x x e a +-，即证0011?x x aa e+-， 因为0()(0)f x f =，即020001?1?2x x x aax a e +-+=，所以只需证02000011?2x x x x ax aax ee +-+-+，即证02x a ， 因为()f x 在(,)a +∞单调递增， 所以只需证明0()(2)f x f a ， 因为0()(0)f x f =， 所以只需证明(2)(0)f a f ，因为21(2)?(0)?(1?)a a f a f a e+=， 设r （a ）21?1(1)aa a e +=-，则r '（a ）22220(1)aa a e =>-，所以r （a ）在(0,1)上单调递增， 所以r （a ）(0)0r >=， 所以(2)(0)f a f >， 所以原不等式得证．。
2023届天津市南开中学滨海名校高三年级上册学期期末数学试题【含答案】
天津市南开中学滨海名校高三年级2022—2023第一学期质量反馈数学学科试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号涂写在答题卡和答题纸上．答卷时，考生务必将Ⅰ卷答案涂在答题卡上，Ⅱ卷答案写在答题纸上，答在试卷上的无效．第Ⅰ卷选择题（45分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集，集合，，则{}1,0,1,2,3U =-{}0,1,2A ={}1,0,1B =-()UA B ⋂=A. B. {}1-{}0,1C.D.{}1,2,3-{}1,0,1,3-2. 设，则“”是“”的x ∈R 11||22x -<31x <A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D 既不充分也不必要条件3. 已知，则（）2sin 55πα⎛⎫+=⎪⎝⎭sin 210πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭B.C. D. 17251725-4. 函数的图象大致是（ ）()x xf x ee -=+A. B.C. D.5. 已知等比数列满足，，则的值为（）{}n a 12a =23564a a a ⋅=3a A B. C. 1 D. 214126. 设，则大小关系为（）0.3113211log 2,log ,32a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,,a b c A. B. a c b <<a b c <<C. D. b a c<<b<c<a7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说π()sin()(R,0,0,2f x A x x A ωϕωϕ=+∈>><法正确的是（）A. 直线是图象的一条对称轴πx =()f x B. 图象的对称中心为，()f x π(π,0)12k -+Zk ∈C. 在区间上单调递增()f x ,36-⎢⎥⎣⎦D. 将的图象向左平移个单位长度后，可得到一个奇函数的图象()f x π128. 已知定义在上的函数满足，，则关于的()0,+∞()f x ()()22+<0xf x xf x '()324f =x 不等式的解集为（）()23f x x >A.B.C.D.()0,4()2,+∞()4,+∞()0,29. 已知定义在R 上的函数，若函数恰有2个零()2ln ,1,1x x f x x x x >⎧⎪=⎨-≤⎪⎩()()g x f x mx =+点，则实数m 的取值范围为（）A.B.(){}1,10,e ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ (){}1,10,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ C. D. {}11,0,1e e ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ {}()11,01,e ⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭ 第Ⅱ卷（105分）注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．10._______2212lg5lg 2log 54++=11. 若复数是纯虚数，则实数的值是__________.3i12i a ++a 12. 已知函数，若正数a 、b 满足，则()3223x x f x x x-=-++()()2110f a f b -+-=______，的最小值为______.2a b +=22211a b a b +++13. 设100件产品中有70件一等品，25件二等品，规定一、二等品为合格品．从中任取1件，已知取得的是合格品的条件下，则它是一等品的概率为_______．14. 已知函数在上有且仅有2个零点，则实数的()5cos 6f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭()0ω>0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ω取值范围为______.15. 已知函数，若恰有2个零点，则实数a 的值为()21,0,0e x x x f x xx -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩()()g x f x a =-______，若关于x 的方程恰有4个不同实数根，则实数m 的()()22210f x f x m -+-=取值范围为______.三、解答题（共75分）16. 已知a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，且.ABC 22cos b c a C =+（1）求A ；（2）若的值；cos B =()sin 2B A +（3）若的，，求的周长.ABC 3a =ABC 17. 如图,正三棱柱中,是中点．111ABC A B C -E AC （1）求证:平面;1AB 1BEC （2）若,,求点到平面的距离;2AB =1AA =A 1BEC （3）当为何值时,二面角1A A AB 1E BC C --18. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆：，xOy C 22221x y ab +=(0)a b >>短轴长是2．（1）求椭圆的方程；C （2）设椭圆的下顶点为，过点作两条互相垂直的直线，，这两条直线与椭圆C D D 1l 2l的另一个交点分别为，．设的斜率为（），的面积为，当C M N 1l k 0k ≠DMN S ，求的取值范围．169S k >k 19. 已知数列是等差数列，其前n 项和为，，；数列的前n 项{}n a n S 715a =763S={}n b 和为，.n T ()233n nT b n *=-∈N （1）求数列，的通项公式；{}n a {}n b （2）求数列的前n 项和；2n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n Q （3）求证；.12nii i a T =<∑20. 已知函数，.()e ln x f x a x=-R a ∈（1）当时，若曲线与直线相切，求k 的值；0a =()y f x =y kx =（2）当时，证明：；e a =()ef x ≥（3）若对任意，不等式恒成立，求a 的取值范围.()0,x ∈+∞()()ln 2ln 2f x a x a a ->⋅天津市南开中学滨海名校高三年级2022—2023第一学期质量反馈数学学科试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号涂写在答题卡和答题纸上．答卷时，考生务必将Ⅰ卷答案涂在答题卡上，Ⅱ卷答案写在答题纸上，答在试卷上的无效．第Ⅰ卷选择题（45分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集，集合，，则{}1,0,1,2,3U =-{}0,1,2A ={}1,0,1B =-()UA B ⋂=A. B. {}1-{}0,1C.D.{}1,2,3-{}1,0,1,3-【答案】A 【解析】【分析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.【详解】，则={1,3}U C A -(){1}U C A B =- 故选：A【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.2. 设，则“”是“”的x ∈R 11||22x -<31x <A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】分析：首先求解绝对值不等式，然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系.详解：绝对值不等式，1122x -<⇔111222x -<-<⇔01x <<由.31x <⇔1x <据此可知是的充分而不必要条件.1122x -<31x <本题选择A 选项.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 已知，则（）2sin 55πα⎛⎫+=⎪⎝⎭sin 210πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭B.C. D. 17251725-【答案】D 【解析】【分析】结合，利用诱导公式和二倍角公式即可求解2π221052ππαα⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭【详解】因为，2sin 55πα⎛⎫+=⎪⎝⎭所以，25s c i 2n 2π17o 5s 1252παα⎛⎫+⎛⎫⎝+= ⎪⎝⎭=- ⎪⎭所以，2π2πsin 2sin 2cos 210525ππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1725=-故选：D4. 函数的图象大致是（ ）()3sin x xx xf x e e -+=+A. B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】判断函数为奇函数，由图像可排除C ，D ；然后利用特殊值，取，可排除B.x π=【详解】定义域为，定义域关于原点对称，R ，()()()33sin sin x x x xx x x xf x e e e e ---+-+-==-++是奇函数，排除C ，D ；()f x 当时，，排除B ；x π=()33sin 0f x e e e e πππππππ--+==>++故选：A.【点睛】本题考查了函数图像的识别，函数奇偶性的判断，属于基础题.5. 已知等比数列满足，，则的值为（）{}n a 12a =23564a a a ⋅=3a A. B. C. 1 D. 21412【答案】C 【解析】【分析】根据，利用等比数列的性质求得，再利用通项公式求解.23564a a a ⋅=2q 【详解】在等比数列中，，，{}n a 12a =23564a a a ⋅=所以，46224a a =所以，4211,42q q ==所以，2311a a q ==6. 设，则大小关系为（）0.3113211log 2,log ,32a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,,a b c A. B. a c b <<a b c <<C. D. b a c <<b<c<a【答案】A 【解析】【分析】根据函数单调性及中间值比大小.【详解】因为，，在定义域上单调递减，()13log f x x =()12log g x x =()0.312h x ⎛⎫= ⎪⎝⎭故，，，1133log 2log 10a =<=112211log log 132b =>=0.3110122c ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以.a c b <<故选：A7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说π()sin()(R,0,0,2f x A x x A ωϕωϕ=+∈>><法正确的是（）A. 直线是图象的一条对称轴πx =()f x B. 图象的对称中心为，()f x π(π,0)12k -+Zk ∈C. 在区间上单调递增()f x ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 将的图象向左平移个单位长度后，可得到一个奇函数的图象()f x π12【答案】C【分析】由已知图象求得函数解析式，将代入解析式，由其结果判断A;求出函数的πx =对称中心可判断B; 当时，，结合正弦函数的单调性判断C;ππ,36x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦πππ2[,]622x +∈-根据三角函数图象的平移变换可得平移后函数解析式，判断D.【详解】由函数图象可知，,最小正周期为，2A =5ππ4()π126T =-=所以，2π2πω==将点代入函数解析式中，得：，结合，π(,2)6π22sin()3ϕ=+π2ϕ<所以，故，π6ϕ=π()2sin(2)6f x x =+对于A ，当时，，故直线不是图象的一条对称轴，πx =π(π)2sin(2π16f =+=πx =()f x A 错误;对于B ，令，则，π()2sin(2)06f x x =+=πππ2π,Z,,Z6122k x k k x k +=∈∴=-+∈即图象的对称中心为，，故B 错误；()f x ππ(,0)122k -+Z k ∈对于C ，当时，，由于正弦函数在上递增，ππ,36x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦πππ2[,]622x +∈-sin y x =ππ[,22-故在区间上单调递增，故C 正确；()f x ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦对于D ，将的图象向左平移个单位长度后，得到()f x π12的图象，该函数不是奇函数，故D 错误；πππ()2sin[2()]2sin(2)1263g x x x =++=+故选：C8. 已知定义在上的函数满足，，则关于的()0,+∞()f x ()()22+<0xf x xf x '()324f =x不等式的解集为（）()23f x x >A.B.C.D.()0,4()2,+∞()4,+∞()0,2【答案】D 【解析】【分析】构造函数，得到函数的单调性，根据单调性解不等式即可.()()2h x x f x =()h x 【详解】令，则，所以在单()()2h x x f x =()()()220h x xf x x f x ''=+<()h x ()0,+∞调递减，不等式可以转化为，即，所以()23f x x >()()2234224x f x f >⨯=()()2h x h >.02x <<故选：D.9. 已知定义在R 上的函数，若函数恰有2个零()2ln ,1,1x x f x x x x >⎧⎪=⎨-≤⎪⎩()()g x f x mx =+点，则实数m 的取值范围为（）A.B.(){}1,10,e ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ (){}1,10,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ C. D. {}11,0,1e e ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ {}()11,01,e ⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭ 【答案】D 【解析】【分析】把函数恰有2个零点转化为和有两个交点.利()()g x f x mx=+()y f x =y mx =-用图像法解.【详解】因为函数恰有2个零点，()()g x f x mx=+所以和有两个交点.()y f x =y mx =-作出函数的图像如图所示：()2ln ,1,1x x f x x x x >⎧⎪=⎨-≤⎪⎩因为时，和相交，所以只需和再有一个交点.0x =()y f x =y mx =-()y f x =y mx =-.()22ln , 1.,01,,0x x f x x x x x x x >⎧⎪=-+<≤⎨⎪-≤⎩当时，若与相切，则有的判别式0x ≤()2f x x x=-y mx =-2x x mx -=-，此时.()2100m ∆=--=1m =当时，若与相切，则有的判别式01x <≤()2f x x x=-+y mx =-2x x mx -+=-，此时.()2100m ∆=+-=1m =当时，若与相切，设切点为.1x >()ln f x x=y mx =-(),a b 则有，解得：.ln 1b ma b a m a ⎧⎪=-⎪=⎨⎪⎪=-⎩e 11e a b m ⎧⎪=⎪=⎨⎪⎪=-⎩所以要使函数恰有2个零点，()()g x f x mx=+只需或或，解得：1m -<-11e m <-<0m -=或或.11e m -<<-0m =1m >故选：D【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．第Ⅱ卷（105分）注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．10._______2212lg5lg 2log 54++=【答案】3-【解析】【分析】根据对数的运算性质即可求得答案.【详解】,221222lg 5lg 2log lg 25lg 4lg 254lg1041435455++=+-=⨯-=-=-=-故答案为：.3-11. 若复数是纯虚数，则实数的值是__________.3i12i a ++a 【答案】6-【解析】【分析】先利用复数的除法运算化简复数，再由实部等于，虚部不等于即可求解.00【详解】因为是纯虚数，()()()()()3i 12i 632i 3i 632i 12i 12i 12i 555a a a a a a+-++-++-===+++-所以，解得，6053205a a +⎧=⎪⎪⎨-⎪≠⎪⎩6a =-故答案为：.6-12. 已知函数，若正数a 、b 满足，则()3223x x f x x x-=-++()()2110f a f b -+-=______，的最小值为______.2a b +=22211a b a b +++【答案】 ①. ②. 294【解析】【分析】分析出函数为上的增函数且为奇函数，由已知条件可得出，()f x R 22a b +=将所求不等式变形得出，然后再利用基本不等式可求得结果.22212111a b a b a b ++=+++【详解】函数的定义域为，()3223x x f x x x-=-++R ，故函数为奇函数，()()()33223223x x x x f x x x x x f x ---=-+--=---=-()f x 因为函数、、、均为上的增函数，故函数为上12x y =22x y -=-33y x =3y x =R ()f x R 的增函数，由可得，，()()2110f a f b -+-=()()()2111f a f b f b -=--=-211a b∴-=-可得，则，22a b +=()214a b ++=所以，()()22221121121214111a a b b a b a b a b a b+-⎡⎤+⎣⎦+=++=++-+++++.()()2121121121921551414144a b a b a b a b b a ⎡+⎡⎤⎛⎫=+=+++=++≥+=⎡⎤⎢⎢⎥ ⎪⎣⎦+++⎝⎭⎢⎣⎦⎣当且仅当，时，等号成立，13a =43b =所以，的最小值为.22211a b a b +++94故答案为:；.29413. 设100件产品中有70件一等品，25件二等品，规定一、二等品为合格品．从中任取1件，已知取得的是合格品的条件下，则它是一等品的概率为_______．【答案】1419【解析】【分析】方法1：由条件概率公式计算可得结果.()(|)()P AB P B A P A =方法2：由条件概率公式计算可得结果.()(|)()n AB P B A n A =【详解】设事件A 表示“取得合格品”，事件B 表示“取得一等品”，由已知得：，∴，BA ⊆AB B =方法1：∴取得的是合格品，它是一等品的概率为：70()14100(|)95()19100P AB P B A P A ===方法2： ∴取得的是合格品，它是一等品的概率为：()7014(|)()9519n AB P B A n A ===故答案为：.141914. 已知函数在上有且仅有2个零点，则实数的()5cos 6f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭()0ω>0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ω取值范围为______.【答案】1628,33⎛⎤⎥⎝⎦【解析】【分析】令，解得，然后根据在上有且只有()0f x =()43k x k ππωω=+∈Z ()f x 0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭2个零点列不等式，解不等式即可.【详解】令，则，解得，()0f x =()562x k k ππωπ-=+∈Z ()43k x k ππωω=+∈Z 因为在上有且只有2个零点，所以，解得.()f x 0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭434734ππωππω⎧<⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩162833ω<≤故答案为：.1628,33⎛⎤ ⎥⎝⎦15. 已知函数，若恰有2个零点，则实数a 的值为()21,0,0e x x x f x xx -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩()()g x f x a =-______，若关于x 的方程恰有4个不同实数根，则实数m 的()()22210f x f x m -+-=取值范围为______.【答案】 ①. ； ②. 1112m m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】先利用导数研的的图象，再作出的图象,恰有0x >()f x ()f x ()()g x f x a=-2个零点，则与有2个交点，数形结合即可得实数a 的值;若关于x 的方程()y f x =y a =恰有4个不同实数根，令，通过分析可得()()22210f x f x m -+-=()t f x =有2个不等根,且，，再数形结合即()22210h t t t m =-+-=12,t t ()11,t ∈+∞()20,1∈t 可建立的不等式组，即可求解m 【详解】当时，则，，0x >()1e x x f x -=()11e x xf x --'=()11f =令，解得，()0f x '=1x =所以当时，,单调递增，时，,单调递()0,1x ∈()0f x ¢>()f x ()1,x ∈+∞()0f x '<()f x 减,再根据题意可作出的图象如下:()fx 若有2个零点,则与有2个交点，数形结合可知;()()g x f x a=-()y f x =y a =1a =若关于x 的方程恰有4个不同实数根，()()22210f x f x m -+-=令，则有两个不等实数根，()t f x =()22210h t t t m =-+-=12,t t 故，与都有2个交点或者与仅1个交点，与1y t =2y t =()f x 1y t =()f x 2y t =有3个交点；()f x 当，与都有2个交点，根据图象可得，不满足，舍去；1y t =2y t =()f x 121t t ==12t t ≠当与仅1个交点，与有3个交点，则，1y t =()f x 2y t =()f x {}()101,t ∈⋃+∞，()20,1∈t 当时，，解得，故，解得或，10t =210m -=12m =()220h t t t =-=10t =()220,1t =∉舍去；故两个实数根的范围为，()()222211220h t t t m t m =-+-=-+-=()11,t ∈+∞，()20,1∈t 所以解得，()()12200210h m h m ⎧=-<⎪⎨=->⎪⎩112m <<所以实数m 的取值范围为，112m m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭故答案为：；1112m m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是利用数形结合思想作出函数的图象，再通过图象得到与仅1个交点，与有3个交点，并通过分析得到，1y t =()f x 2y t =()f x ()11,t ∈+∞()20,1∈t 三、解答题（共75分）16. 已知a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，且.ABC 22cos b c a C =+（1）求A ；（2）若的值；cos B =()sin 2B A +（3）若，，求的周长.ABC 3a =ABC 【答案】（1）；3π（2；（3）8.【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行边角互换，然后利用和差公式进行化简得到，1cos 2A =即可得到；A （2）利用二倍角公式得到，，然后利用和差公式得到sin 2B =1cos 23B =-，最后代入即可；()sin 2sin 2cos cos 2sin B A B A B A+=+（3）利用面积公式得到，利用余弦定理得到，两式结合可得163bc =229b c bc +-=，然后求周长即可.5b c +=【小问1详解】根据正弦定理得，()2sin sin 2sin cos 2sin sin 2sin cos B C A C A C C A C=+⇒+=+，2sin cos 2sin cos sin 2sin cos A C C A C A C ⇒+=+2sin cos sin C A C ⇒=∵，∴，则，()0,C π∈sin 0C ≠1cos 2A =∵，∴.()0,A π∈3Aπ=【小问2详解】∵cos B =∴，，，0,2B π⎛⎫∈⎪⎝⎭sin B ==sin 22sin cos B B B ==，21cos 22cos 13B B =-=-∴()sin 2sin 2cos cos 2sin B A B A B A+=+1123=-.=【小问3详解】∵，ABC 3a=∴，整理得①，1sin 2bc A ==163bc =根据余弦定理可得，②，222222cos 9a b c bc A b c bc =+-=+-=联立①②，可得，所以周长为8.5b c +=17. 如图,正三棱柱中,是中点．111ABC A B C -E AC （1）求证:平面;1AB 1BEC （2）若,,求点到平面的距离;2AB =1AA =A 1BEC （3）当为何值时,二面角1A A AB 1E BC C --【答案】（1）证明见解析（2（3）1【解析】【分析】(1) 连接交于点,连接,根据中位线即可证明,再利用线面1CB 1BC F EF 1EF AB ∥平行判定定理即可证明;(2)根据正三棱柱的几何特征,求出各个长度及,再用等体积法即可求得;1,BEC ABES S (3)建立合适空间直角坐标系,设出长度,找到平面及平面的法向量,建1,AB A A 1EBC 1BC C 立等式,求出长度之间的关系即可证明.1,AB A A 【小问1详解】证明:连接交于点,连接如图所示:1CB 1BC F EF因为三棱柱,111ABC A B C -所以四边形为平行四边形,11BB C C 所以为中点,F 1CB 因为是中点,E AC 所以,1EF AB ∥因为平面,平面,EF ⊂1BEC 1AB ⊄1BEC 所以平面;1AB 1BEC 【小问2详解】由题知,因为正三棱柱,111ABC A B C -所以平面,1CC ⊥ABC 且为正三角形,ABC因为,2AB =1AA =所以,,BE=1EC =1BC =所以为直角三角形,1BEC △,11322BEC S ==112ABE S =⨯=△记点到平面的距离为,A 1BEC h 则有,11A BEC C ABEV V --=即,111133BEC ABE S h S CC ⨯⨯=⨯⨯即,131323h ⨯⨯=解得h =故到平面;A 1BEC 【小问3详解】由题,取中点为,可知,11A C H 1EH CC ∥所以平面,EH ⊥ABC 因为为正三角形,是中点,ABC E AC 所以,BEAC ⊥故以为原点,方向为轴,方向为轴,方向为轴建立如图所示空间直角坐标E EC x EH y EB z 系,不妨记,1AB a,A A b ==所以,()10000000022a a E ,,,B ,,,b,,,,C C ææöçç÷ç÷çæöç÷ç÷èèøøè,()11,,,0,,02,a b EB b BC CC æç-==çæçè=çè记平面的法向量为,1EBC ()111,,x n y z =则有,100n BC n EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即,1111020a x by z z ⎧+-=⎪⎪=取,可得;12x b=()2,,0b a n =-记平面的法向量为,1BC C ()222,,m x y z =则有,1100n CC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即,2222002by a x by z =⎧⎪⎨+=⎪⎩取,可得;2x=)m =因为二面角1E BC C --所以cos,m nm nm n⋅===,=解得: ,a b=即当时,二面角.11A AAB=1E BC C--18. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆：，xOyC22221x ya b+=(0)a b>>短轴长是2．（1）求椭圆的方程；C（2）设椭圆的下顶点为，过点作两条互相垂直的直线，，这两条直线与椭圆C D D1l2l的另一个交点分别为，．设的斜率为（），的面积为，当C M N1l k0k≠DMNS ，求的取值范围．169Sk>k【答案】（1）2214xy+=（2）或<<k0k<<【解析】【分析】（1）根据离心率和短轴长求出，可得椭圆的方程；,a b C （2）写出直线和的方程，并与椭圆方程联立求出的坐标，求出和，1l 2l,M N ||DM ||DN 求出直角三角形的面积，代入，解不等式可得结果.S 169S k >【小问1详解】设椭圆的半焦距为，C c 根据题意可得，解得，22222c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆的方程为.C 2214x y +=【小问2详解】由（1）知，椭圆的方程为，，C 2214x y +=(0,1)D -所以直线，，1:1l y kx =-(0)k ≠21:1l y x k =--设，，11(,)M x y 22(,)N x y 联立，消去并整理得，22141x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩y 221408()k x kx -+=所以，所以，12814k x k =+2128114k y k =-+所以，||DM ===联立，消去并整理得，221411x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩y 22(4)80k x kx ++=所以，所以，2284k x k -=+22814y k =-+所以,||DN ===所以，1||||2S DM DN =⋅=1222232||(1)(14)(4)k k k k +=++由，得，169S k >22232(1)16(14)(4)9k k k +>++整理得，得，424140--<k k 2724-<<k 又，所以，20k >202<<k 所以或.0<<k 0k <<19. 已知数列是等差数列，其前n 项和为，，；数列的前n 项{}n a n S 715a =763S ={}n b 和为，.n T ()233n nT b n *=-∈N （1）求数列，的通项公式；{}n a {}n b （2）求数列的前n 项和；2n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n Q （3）求证；.12nii i a T =<∑【答案】（1），；21n a n =+3nn b =（2）；()()323212n n n +-++（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式列方程，解得，即可得到，123d a =⎧⎨=⎩n a 利用时，，得到数列为等比数列，然后求即可；2n ≥1n n n T T b --={}n b n b（2）根据（1）得到，然后利用裂项相消的方法求和即可；2112n S n n =-+（3）利用放缩的方法得到，然后用错位相减的方法求和，得到213n n na n T +≤，即可证明.2223n n n B +=-<12ni i i a T =<∑【小问1详解】设数列的公差为，则，解得，∴，{}n a d 1161572163a d a d +=⎧⎨+=⎩123d a =⎧⎨=⎩21na n =+由①可得，当时，，则，233n n T b =-1n =1112233T b b ==-13b =当时，②，2n ≥11233n n T b --=-①②相减得，，整理得，所以数列为等比数列，.1233n n n b b b -=-13n n b b -={}n b 3nn b =【小问2详解】由（1）可得，，()()22211122322nn n S n n n n n ===--+++⨯所以111111111132435112n Q n n n n =-+-+-++-+--++ 1111212n n =+--++.()()323212n n n +=-++【小问3详解】由（1）可得，，又，()()()2212133133131n n n n n a n T ++==---11131233123n n n n ----=⨯+-≥⨯∴，()1221213233n n nnn a n T -++≤=⨯⨯设，则，123521333n n n B +=+++ 231135213333n n n B ++=+++两式相减得，2312111211233333n nn n B ++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 2111112133121313n n n -+⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+⨯--，142433n n ++=-∴，2223n n n B +=-<∴.12nin i i a B T =≤<∑20. 已知函数，.()e ln x f x a x=-R a ∈（1）当时，若曲线与直线相切，求k 的值；0a =()y f x =y kx =（2）当时，证明：；e a =()ef x ≥（3）若对任意，不等式恒成立，求a 的取值范围.()0,x ∈+∞()()ln 2ln 2f x a x a a ->⋅【答案】（1）；e （2）证明见解析；（3）.e 02⎛⎫⎪⎝⎭,【解析】【分析】（1）设切点坐标为，然后利用导数的几何意义列方程，解方程即可得到()0,e x x ；k （2）证明即证明，然后求导，利用单调性求最值，即可证明()ef x ≥()min f x ≥e；()ef x ≥（3）将不等式转化为，然()()ln 2ln 2f x a x a a ->⋅()()ln 2ln ln 2ln x a x x a x-+->+e e 后构造函数，根据的单调性得到恒成立，即()e x g x x =+()g x ()ln 2ln x a x->，构造函数，根据的单调性得到，然()()min ln ln 2x x a ->()ln t x x x =-()t x ()min 1t x =后代入解不等式即可.【小问1详解】当时，，则，0a =()e x f x =()xf x '=e 设切点坐标为，则，解得，()0,e x x 000e e xx k kx ⎧=⎪⎨=⎪⎩01e x k =⎧⎨=⎩所以.e =k 【小问2详解】当时，，定义域为，，e a =()e eln x f x x =-()0,∞+()xxx f x x x '=-=e e -e e 令，则，当时，，则在上单调()e xh x x =()()1e xh x x '=+0x >()0h x '>()h x ()0,∞+递增，又，所以当时，，时，，所以在()10f '=1x >()0f x ¢>01x <<()0f x '<()f x 上单调递减，上单调递增，()0,1()1,+∞所以，则.()()min 1ef x f ==()ef x ≥【小问3详解】由题可知，，则不等式恒成立，0a >()ln ln 2ln 2x a x a x a a -->⋅e 即，()2ln 2ln 2x a x a a ->⋅e 即，()()ln 2ln ln 2x a x a -->e 即，()()ln 2ln 2ln x a x a x x-+->+e 即在上恒成立，()()ln 2ln ln 2ln x a x x a x-+->+e e ()0,∞+令，易知在上单调递增，()e x g x x=+()g x ()0,∞+所以在上恒成立，即，()ln 2ln x a x->()0,∞+()()min ln ln 2x x a ->令，则，当时，，当时，()ln t x x x=-()111x t x x x -'=-=1x >()0t x '>01x <<，所以在上单调递减，上单调递增，()0t x '<()t x ()0,1()1,+∞则，所以，解得，()()min 11t x t ==()1ln 2a >e 2a <所以的取值范围为.a e 02⎛⎫ ⎪⎝⎭,【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：（1）恒成立⇔；()a f x ≥()max a f x ≥（2）恒成立⇔.()a f x ≤()mina f x ≥。
天津市南开中学2023届高三高考模拟数学试题
一、单选题1. 某几何体的三视图为三个直角边为1的等腰直角三角形，如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A．B．C．D．2. 已知三棱锥的各棱长都相等，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为A．B．C．D．3.已知集合，，则等于．A．B．C．D．4. 如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列结论一定成立的是（）A ．三棱锥的体积大小与点的位置有关B．与平面相交C ．平面平面D．5. 若复数满足，其中是虚数单位，则复数的共轭复数为（ ）A．B．C．D．6. 2020年新型冠状病毒肺炎疫情发生后，党中央、国务院高度重视，及时做出防控部署，坚决打赢这场疫情战役，下面是武汉某医院2月6号到15号每天新接收的发热病人数的统计图，下列叙述错误的是（ ）天津市南开中学2023届高三高考模拟数学试题A．从8号到10号，每天新接收的发热病人数逐渐增加B．这10天中每天新接收的发热病人数的平均数是49.3C．从这10天中随机选一天，这一天新接收的发热病人数小于35的概率是D．这10天中每天新接收的发热病人数的中位数是457. 若，且，则下列不等式成立的是（ ）A．B．C．D．8. 设，，则（）A．B．C．D．9. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，下列结论正确的是（）A．是最小正周期为的偶函数B．是最小正周期为的奇函数C ．)在上单调递减D．在上的最大值为10. 已知正实数，，满足，，，则，，之间的大小关系为（）A．B．C．D．11. 设函数的零点，函数的零点，其中，，若过点作圆的切线，则的方程为（）A．B．C．D．，12. 图1中，正方体的每条棱与正八面体（八个面均为正三角形）的条棱垂直且互相平分．将该正方体的顶点与正八面体的顶点连结，得到图2的十二面体，该十二面体能独立密铺三维空间．若，则点M到直线的距离等于（）A．B．C．D．13.设函数的最小正周期为.且过点.则下列说法正确的是（）A．B ．在上单调递增二、多选题C．的图象关于点对称D ．把函数向右平移个单位得到的解析式是14.设复数，则（ ）A．B ．4C．D ．215.设函数，若在上有且仅有5个零点，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．16.如图，在三棱柱中，底面ABC ，，点D是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为（）A ．1:2B ．4:5C ．4:9D ．5:717. 已知向量，则（ ）A．B．C．D．18.如图，在正方体中，点是的中点，点是直线上的动点，则下列说法正确的是（）A ．是直角三角形B ．异面直线与所成的角为C ．当的长度为定值时，三棱锥的体积为定值D ．平面平面19. 已知，，且，则下列判断正确的是（ ）A．的最小值为12B．的最小值为C ．若不等式恒成立，则D．的最大值为820.设函数，则下列说法正确的是（ ）A．函数的图象可由的图象伸缩平移变换得到B ．直线为函数的图象的对称轴C．函数的图象的对称中心是，三、填空题D．函数的单调递增区间是，21. 已知直线与曲线相切，则下列直线中可能与垂直的是（ ）A．B．C．D．22. 已知函数的定义域为R ，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的为（ ）A．是偶函数B．C．的图象关于对称D．23. 饮料瓶的主要成分是聚对苯二甲酸乙二醇酯，简称“PET ”.随着垃圾分类和可持续理念的普及，饮料瓶作为可回收材料的“主力军”之一，得以高效回收，获得循环再生，对于可持续发展具有重要意义.温州某高中随机调查了该校某两个班（A 班，B 班）4月份每天产生饮料瓶的数目（单位：个），并按，，，，，分组，分别得到频率分布直方图如下：下列说法正确的是（）A．B ．A 班该月平均每天产生的饮料瓶比B 班更多C ．若A 班和B 班4月产生饮料瓶数的第75百分位数分别是和，则D ．已知该校共有学生2000人，则约有400人4月份产生饮料瓶数在之间24.已知函数，则（ ）A．的图象关于直线轴对称B．的图象关于点中心对称C．的所有零点为D ．是以为周期的函数25. 2021年9月17日，搭载着3名英航天员的神舟十二号载人飞船返回舱成功着陆于东风着陆场，标志着神舟十二号返回任务取得圆满成功.假设返回舱D 是垂直下落于点C，某时刻地面上点观测点观测到点D 的仰角分别为，若间距离为10千米（其中向量与同向），试估算该时刻返回舱距离地面的距离约为___________千米（结果保留整数，参考数据：）.26. 若对任意正实数，不等式恒成立，则实数的最小值为________________．27. 把正整数按如下规律排列：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，……，构成数列，则__________．28.记函数的图象为，作关于直线的对称曲线得到，则曲线上任意一点与曲线上任意一点之间距离的最小值为__________．29. 已知，为单位向量，，且，则________．四、解答题五、解答题30. 直线与圆交，两点，若为等边三角形，则的值为______．31. 我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列的前3项和是________．32. 设表示不超过的最大整数，如，，则________．33.在数列中，，且.(1)求的通项公式；(2)若，数列的前项和为，求34. 如图，两射线、均与直线l 垂直，垂足分别为D 、E 且.点A 在直线l 上，点B 、C 在射线上.(1)若F 为线段BC 的中点（未画出），求的最小值；(2)若为等边三角形，求面积的范围.35.已知（1）求的值；（2）若是第三象限的角，化简三角式，并求值.36.已知数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．37. （1）求值：；（2）已知，求的值.38. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，已知曲线C上任意一点满足.(1)化简曲线的方程；(2)已知圆（为坐标原点），直线经过点且与圆相切，过点A 作直线的垂线，交于两点，求面积的最小值.39. 中国在欧洲的某孔子学院为了让更多的人了解中国传统文化，在当地举办了一场由当地人参加的中国传统文化知识大赛，为了了解参加本次大赛参赛人员的成绩情况，从参赛的人员中随机抽取名人员的成绩（满分100分）作为样本，将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如图所示，已知抽取的人员中成绩在内的频数为3.(1)求的值；(2)已知抽取的名参赛人员中，成绩在和女士人数都为2人，现从成绩在和的抽取的人员中各随机抽取2人，记这4人中女士的人数为，求的分布列与数学期望.40. 已知函数，其中[x]表示不超过的最大整数，例如(1)将的解析式写成分段函数的形式;(2)请在如图所示的平面直角坐标系中作出函数的图象;(3)根据图象写出函数的值域.41. 如图所示，在三棱锥A-BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，且.（1）在∠BDC的角平分线上，是否存在一点O，使得AO∥平面EFC？若存在，请作出证明；若不存在，请说明理由；（2）若平面BCD⊥平面ADC，BD⊥DC，，求二面角F-EC-D的正切值.42. 如图，正方体的棱长为，为棱的中点．（1）画出过点且与直线垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；（2）求点到该平面的距离．43. 一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高．现对10名成年人的脚掌长与身高进行测量，得到数据（单位均为）作为样本如下表所示.20212223242526272829脚掌长(x)六、解答题身高(y )141146154160169176181188197203（1）在上表数据中，以“脚掌长”为横坐标，“身高”为纵坐标，作出散点图后，发现散点在一条直线附近，试求“身高”与“脚掌长”之间的线性回归方程；（2）若某人的脚掌长为，试估计此人的身高；（3）在样本中，从身高180cm 以上的4人中随机抽取2人作进一步的分析，求所抽取的2人中至少有1人身高在190cm 以上的概率．(参考数据：，，，)44. 某小型学院对所有入学新生进行了数学摸底考试，如果学生得分在35分以下，则不能进入正常数学班学习，必须进补习班补习，10名进入正常数学班的学生的摸底考试成绩和学期末考试成绩如下：摸底成绩50354055806065359050期末成绩53515668877146317968并计算得：（1）画出散点图；（2）建立一个回归方程，用摸底考试成绩来预测期末考试成绩(精确到0.1)；（3）如果期末考试60分是某课程结业的最低标准，预测摸底考试成绩低于多少分学生将不能获得某课程结业．(附：)45. 如图，四棱柱中，平面平面，底面为菱形，与交于点O ，．(1)求证：平面；(2)线段上是否存在点F ，使得与平面所成角的正弦值是？若存在，求出；若不存在，说明理由．46. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，，，.（1）求证：；（2）求点到平面的距离.47. 如图，在五面体中，已知平面，，为正三角形，且．(1)求证：平面平面；(2)求二面角的余弦值．48. 如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正三角形，，，点为线段上一点.(1)求证：平面；(2)若与平面所成角为，求平面与平面所成角的余弦值.49. 如图，在长方体中，，，点是线段中点．(1)求证：；(2)求点到平面的距离．50. 如图，在四棱锥中，，平面平面，设平面与平面的交线为.七、解答题(1)证明：平面平面；(2)已知.若直线与直线所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值.51. 某运动产品公司生产了一款足球，按行业标准这款足球产品可分为一级正品､二级正品､次品共三个等级.根据该公司测算：生产出一个一级正品可获利100元，一个二级正品可获利50元，一个次品亏损80元.该运动产品公司试生产这款足球产品2000个，并统计了这些产品的等级，如下表：等级一级正品二级正品次品频数1000800200(1)求这2000个产品的平均利润是多少；(2)该运动产品公司为了解人们对这款足球产品的满意度，随机调查了100名男性和100名女性，每位对这款足球产品给出满意或不满意的评价，得到下面的列联表：满意不满意总计男性3268100女性6139100总计93107200问：能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为男性和女性对这款足球产品的评价有差异？附：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82852. 为了增强学生体质，茂名某中学的体育部计划开展乒乓球比赛，为了解学生对乒乓球运动的兴趣，从该校一年级学生中随机抽取了200人进行调查，男女人数相同，其中女生对乒乓球运动有兴趣的占80%，而男生有15人表示对乒乓球运动没有兴趣．(1)完成2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对乒乓球运动是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没兴趣合计男女合计(2)为了提高同学们对比赛的参与度，比赛分两个阶段进行.第一阶段的比赛赛制采取单循环方式，每场比赛采取三局二胜制，然后由积分的多少选出进入第二阶段比赛的同学，每场积分规则如下：比赛中以取胜的同学积3分，负的同学积0分；以取胜的同学积2分，负的同学积1分.其中，小强同学和小明同学的比赛倍受关注，设每局小强同学取胜的概率为，记小强同学所得积分为， 求的分布列和期望.附表：P （K 2≥k 0）0.500.400.250.1500.1000.050k 00.4550.7801.3232.0722.7063.84153. 根据中国造纸协会统计数据显示，2014年以来，我国纸及纸板生产量整体呈现震荡上行趋势，增速保持在低位运行.如图是2014~2020年八、解答题中国纸及纸板生产量统计图.(1)试计算2014~2020年中国纸及纸板生产量的平均值、中位数与极差（平均值结果保留两位小数）；(2)2018年，行业景气度下滑，中国纸及纸板生产量小幅下滑，试计算2014~2017年、2018~2020年两个时间段中国纸及纸板生产量的平均值的大小，并比较这两个时间段中国纸及纸板生产量的方差的大小.54. 8年来，某地第年的第三产业生产总值（单位：百万元）统计图表如下图所示，根据该图提供的信息解决下列问题.(1)在所统计的8个生产总值中任取2个，记其中不低于平均值的个数为，求的分布列和数学期望；(2)由统计图表可看出，从第5年开始，该地第三产业生产总值呈直线上升趋势，试用线性回归模型预测该地第10年的第三产业生产总值.（参考公式：，）55. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A 类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.56. 在二十大报告中，体育､健康等关键词被多次提及，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标.某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟举行羽毛球团体赛，赛制采取局胜制，每局都是单打模式，每队有名队员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手对乙队每名队员的胜率均为，甲队其余名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局）(1)求甲队最终获胜且种子选手上场的概率；(2)已知甲队获得最终胜利，求种子选手上场的概率.57.设函数，.（1）若，，求函数的单调区间；（2）若曲线在点处的切线与直线平行.①求，的值；②求实数的取值范围，使得对恒成立.58. 已知函数(1)当时，①求曲线的单调区间和极值；②求曲线在点处的切线方程；(2)若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围．59. 已知椭圆：上的点到左焦点的最大距离是，且点在椭圆上，其中为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）如图所示，是椭圆上的两点，且，求面积的取值范围．60. 如图，平面平面ABC，，，D分别为PA的中点，，．(1)设平面平面，若直线，证明：O为AC中点；(2)在（1）的条件下，求点P到平面BOD的距离．61. 一机械制造加工厂的某条生产线设备在正常运行的情况下，生产的零件尺寸z（单位：）服从正态分布，且.(1)求的概率；(2)若从该条生产线上随机选取2个零件，设X表示零件尺寸小于的零件个数，求X的分布列与数学期望.62. 如图，四棱锥P-ABCD的底面为梯形，底面ABCD，，，，E为PA的中点．(1)证明：平面平面BCE；(2)若二面角P-BC-E的余弦值为，求三棱锥P-BCE的体积．。
立体几何中的截面解析版
专题13 立体几何中的截面1．截面定义：在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体〔包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等〕，得到的平面图形，叫截面。
其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。
最后，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。
2、正六面体的根本斜截面：3、圆柱体的根本截面：正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。
技能1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题； 技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题；技能3.猜测法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，"动中找静〞：如正三角形、正六边形、正三棱锥等；技能4.建立函数模型求最值问题：①设元②建立二次函数模型③求最值。
例1 一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能．．．是〔〕分析考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，应选D 。
例2 如图，在透明的塑料制成的长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有以下四个命题： ① 水的局部始终呈棱柱状； ② 水面EFGH 的面积不改变； ③ 棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行；ACBD④ 当容器倾斜到如图5〔2〕时，BE·BF 是定值； 其中正确的命题序号是______________分析当长方体容器绕BC 边转动时，盛水局部的几何体始终满足棱柱定义，故①正确；在转动过程中EH//FG ，但EH 与FG 的距离EF 在变，所以水面EFGH 的面积在改变，故②错误；在转动过程中，始终有BC//FG//A 1D 1，所以A 1D 1//面EFGH ，③正确；当容器转动到水局部呈直三棱柱时如图5〔2〕，因为BC BF BE V ⋅⋅=21水是定值，又BC 是定值，所以BE·BF 是定值，即④正确。
2023届天津市南开中学高三高考模拟数学试题+答案解析
天津市南开中学2023届高三高考模拟数学试题一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，则( )A. B.C.D.2.函数的部分图象大致为( )A. B.C. D.3.已知a ，，则“”是“函数是奇函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏5.设，，，则 ( )A. B.C.D.6.若向量，满足：，，则在上的投影向量为( )A.B.C.D.7.已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A且离心率为，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则双曲线的方程为( )A. B. C. D.8.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若在区间上单调递增，且函数的最大负零点在区间上，则的取值范围是( )A. B. C. D.9.直线l：与x，y轴的交点分别为A，B，直线l与圆O：的交点为C，D，给出下面三个结论：，；，；，其中，所有正确结论的序号是( )A. B. C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.在复平面内，复数与对应的点关于虚轴对称，且，则__________.11.某次体检，7位同学的身高单位：米分别为，，，，，，，则这组数据的第75百分位数是__________米12.的展开式的常数项为_______用数字作答13.海棠同学在参加南开中学陶艺社时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为32厘米的正方体的六个面所截后剩余的部分球心与正方体的中心重合，若其中一个截面圆的周长为厘米，则该球的表面积为__________平方厘米．14.已知，函数若对任意恒成立，则a 的取值范围是__________.15.某校从5名学生中选派3人参加劳动技能大赛.已知这5名学生中有高一年级学生2名，高二年级学生2名，高三年级学生1名，则所选3人分别来自不同年级的概率为__________.记所选3人中高一年级学生的人数为X，则随机变量X的数学期望__________.三、解答题：本题共5小题，共60分。
2024-2025学年天津市天津一中高三(上)统练数学试卷(一)(含答案)
2024-2025学年天津一中高三（上）统练数学试卷（一）一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“∀x ∈R ，x 2−3x +5≤0”的否定是( )A. ∃x 0∈R ，x 20−3x 0+5≤0B. ∃x 0∈R ，x 20−3x 0+5>0C. ∀x ∈R ，x 2−3x +5≤0D. ∀x 0∈R ，x 20−3x 0+5>02.已知集合A ={x ∈R|12<2x <8}，B ={x ∈R|−1<x <m +1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是( )A. m ≥2B. m ≤2C. m >2D. −2<m <23.已知a =log 23，b =log 34，c =log 45，则有( )A. a >b >cB. a <b <cC. b >c >aD. b >a >c 4.函数f(x)=sinx |x|的图象大致是( )A. B.C. D.5.若f(x)=x 3+ax 2+bx−a 2−7a 在x =1处取得极大值10，则b a 的值为( )A. −32或−12B. −32或12C. −32D. −126.如图是某校随机抽取100名学生数学月考成绩的频率分布直方图，据此估计该校本次月考数学成绩的总体情况(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)，下列说法正确的是( )A. 平均数为74B. 众数为60或70C. 中位数为75D. 该校数学月考成绩80以上的学生约占25%7.已知某函数的图象如图所示，则下列函数中，图象最契合的函数是( )A. y =sin(e x +e −x )B. y =sin(e x −e −x )C. y =cos(e x −e −x )D. y =cos(e x +e −x )8.已知a ，b ，c 为正实数，则代数式a b +3c +b 8c +4a +9c 3a +2b 的最小值为( )A. 4748B. 1C. 3536D. 349.设f(x)是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有f(x +4)=f(x)，且当x ∈[−2,0]时，f(x)=(13)x−6，若在区间(−2,6]内关于x 的方程f(x)−log a (x +2)=0(a >1)恰有3个不同的实数根，求实数a 的取值范围是( )A. (1,2)B. (2,+∞)C. (1,34)D. (34,2)二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
天津市南开中学2022-2023学年高三上学期数学统练试卷(含答案)
2022-2023学年天津市南开中学高三（上）统练数学试卷（11）一、单选题（本大题共9小题，共45.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知全集U={1,2,3,4,5,6}，集合A={1,2,3}，B={2,5,6}，则A∩(∁U B)=( )A. {4}B. {1,3}C. {1,2,3,4}D. {1,3,4,5,6}>0”的( )2.设x∈R，则“|x|>1”是“xx−1A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数y=sinx+4x的图象大致为( )e|x|A. B.C. D.4.某市为了解全市环境治理情况，对本市的200家中小型企业的污染情况进行了摸排，并把污染情况各类指标的得分综合折算成标准分100分，统计并制成如图所示的直方图，则标准分不低于70分的企业数为( )A. 30B. 60C. 70D. 1305.已知a=20.1，b=2ln1，c=ln2，则a，b，c的大小关系为( )2A. c>a>bB. a>c>bC. b>a>cD. b>c>a6. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x +6)=f(x)，y =f(x +3)为偶函数，若f(x)在(0,3)内单调递减.则下面结论正确的是( )A. f(10)<f(e 12)<f(ln2) B. f(e 12)<f(ln2)<f(10) C. f(ln2)<f(10)<f(e 12)D. f(ln2)<f(e 12)<f(10)7. 已知函数f(x)=4cos(ωx +π3)(ω>0)的最小正周期为π，将其图象沿x 轴向右平移m(m >0)个单位，所得函数为奇函数，则实数m 的最小值为( )A. π12B. π6 C. 5π12D. π48. 若将函数g(x)图象上所有的点向右平移π6个单位长度得到函数f(x)的图象，已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则下列说法错误的是．( )A. f(x)在[0,π4]上的最小值是12 B. (4π3,0)是f(x)的一个对称中心 C. g(x)在(π4,π2)上单调递减D. g(x)的图象关于点(π6,0)对称9. 已知函数f(x)={2x 2−4|x|+4,x >1e 1−x +x,x ≤1，若不等式12f(x)−|x −m 2|<0的解集为⌀，则实数m 的取值范围为( )A. [14,5−2ln3]B. [13,5−3ln3] C. [14,6−2ln3] D. [12,6−3ln3]二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10. 若复数z 满足z(1−i)=1+2i(i 为虚数单位)，则复数z 的虚部是______．11. 已知(x 2−2x )n 的展开式的二项式系数之和为64，则展开式第三项的系数是______．12. 各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，S 3=7a 3，则使S n >12764成立的n 的最小值为______．13. 已知x >0，y >0，x +y =1，则3yx +1x +1y 的最小值为______．14. 为了抗击新冠肺炎疫情，现在从A 医院200人和B 医院100人中，按分层抽样的方法，选出6人加入“援鄂医疗队”，再从此6人中选出3人作为联络员，则这3名联络员中甲乙两所医院均有人员入选的条件下，恰有2人来自B 医院的概率是______.设3名联络员中A 医院的人数为X ，则随机变量X 的数学期望为______． 15. 如图，在菱形ABCD 中，AB =2，∠BAD =60°，E 、F 分别为BC 、CD 上的点，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若线段EF 上存在一点M ，使得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (x ∈R)，则|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=______；若AN −=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈[0,1]，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为______．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分。
2023届天津市五校联考高三上学期期中数学试题(解析版)
2023届天津市五校联考高三上学期期中数学试题一、单选题1．已知全集{}N 6U x x =∈≤，集合{}1,2,3A =，{}1,3,5B =，则()UA B ⋃=（ ）A ．{}1,2,4,5,6B ．{}4,6C ．{}0,4,6D ．{}0,1,4,5,6【答案】C【分析】利用列举法即可.【详解】由题知{}0,1,2,3,4,5,6U =，{}1,2,3,5A B ⋃=， 则(){}0,4,6UA B ⋃=，故选:C.2．数列{}n a 的通项公式为2n a n kn =+，则“2k ≥-”是“{}n a 为递增数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【答案】A【分析】根据10n n a a +->以及充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可【详解】由题意得数列{}n a 为递增数列等价于对任意*1N ,210n n n a a n k +∈-=++>恒成立，即21>--k n 对任意*N n ∈恒成立，故()max 213k n >--=-， 所以“2k ≥-”是“{}n a 为递增数列”的充分不必要条件， 故选：A3．函数()1cos f x x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（33x -≤≤，且0x ≠）的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】利用奇偶性和函数值的特点即可.【详解】因为()1cos f x x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()()()11cos =cos f x x x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=----+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数为奇函数，排除B,C当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，10x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，cos 0x >，所以()1cos 0f x x x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭排除A 故选：D4．对任意实数a ，b ，c ，d ，命题： ①若a b >，0c ≠，则ac bc >； ②若a b >，则22ac bc >； ③若22ac bc >，则a b >； ④若33a b >，则11a b <； 其中真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【分析】根据不等式的性质判断即可. 【详解】①当0c <时，ac bc <，故①错； ②当0c 时，22ac bc =，故②错；③若22ac bc >，则0c ≠且20c >，则a b >，故③正确； ④若330a b >>，则11a b>，故④错. 故选：B.5．已知1lg 2a =，0.12b =，sin3c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c b a >>【答案】B【分析】利用对数函数、指数函数、正弦函数的性质比较大小即可. 【详解】1lg lg102a =<=，0.10221b =>=，0sin31<<，∴bc a >>. 故选：B.6．已知2sin 55πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 210πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A B ． C ．1725D ．1725-【答案】D【分析】结合2π221052ππαα⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，利用诱导公式和二倍角公式即可求解 【详解】因为2sin 55πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以25s c i 2n 2π17o 5s 1252παα⎛⎫+⎛⎫⎝+=⎪⎝⎭=- ⎪⎭， 所以2π2πsin 2sin 2cos 210525ππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1725=-，故选：D7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第一天走的路程为（ ） A ．63里 B ．126里 C ．192里 D ．228里【答案】C【分析】由题意知，每天走的路程构成一个公比为12等比数列，已知和求首项，代入公式即可得到. 【详解】由已知，设等比数列首项为1a ，前n 项和为n S ， 公比为12q =,6378S =， 则 ()661116111632378113212a a q a S q⎛⎫- ⎪-⎝⎭====--，等比数列首项1192a =.故选：C.8．已知函数()()cos 22sin cos R 344f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，现给出下列四个结论，其中正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的最大值为2C ．函数()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．将函数()f x 的图象向右平移12π个单位长度；所得图象对应的解析式为()sin 2g x x = 【答案】C【分析】首先利用三角恒等变换化简函数，再根据函数的性质依次判断选项 【详解】对于A 和B ，()cos 22sin cos 344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13cos 2sin 2cos 2sin 2cos 23222x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31sin 2cos 2sin 2226x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为22ππ=，()f x 的最大值为1，故A 错误，B 错误， 对于C ，当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,626x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，因为sin y x =在,26ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以函数()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故C 正确；对于D ，将函数()f x 的图像向右平移12π个单位长度，所得图像对应的函数解析式为πππ()sin 2=sin 21263g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 不正确，故选：C9．已知定义在R 上的函数()2ln ,1,1x x f x x x x >⎧⎪=⎨-≤⎪⎩，若函数()()g x f x mx =+恰有2个零点，则实数m的取值范围为（ ） A ．(){}1,10,e ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．(){}1,10,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．{}11,0,1e e ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．{}()11,01,e ⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】把函数()()g x f x mx =+恰有2个零点转化为()y f x =和y mx =-有两个交点.利用图像法解. 【详解】因为函数()()g x f x mx =+恰有2个零点， 所以()y f x =和y mx =-有两个交点.作出函数()2ln ,1,1x x f x x x x >⎧⎪=⎨-≤⎪⎩的图像如图所示：因为0x =时，()y f x =和y mx =-相交，所以只需()y f x =和y mx =-再有一个交点.()22ln , 1.,01,,0x x f x x x x x x x >⎧⎪=-+<≤⎨⎪-≤⎩.当0x ≤时，若()2f x x x =-与y mx =-相切，则有2x x mx -=-的判别式()2100m ∆=--=，此时1m =.当01x <≤时，若()2f x x x =-+与y mx =-相切，则有2x x mx -+=-的判别式()2100m ∆=+-=，此时1m =.当1x >时，若()ln f x x =与y mx =-相切，设切点为(),a b .则有ln 1b mab a m a ⎧⎪=-⎪=⎨⎪⎪=-⎩，解得：e 11e a b m ⎧⎪=⎪=⎨⎪⎪=-⎩.所以要使函数()()g x f x mx =+恰有2个零点， 只需1m -<-或11em <-<或0m -=，解得：11e m -<<-或0m =或1m >.故选：D【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．二、填空题10．设命题0:p x ∃∈R ，2000x ax a ++≤.若p 为假命题，则实数a 的取值范围是______.【答案】04a <<【分析】分析可知命题p 的否定为真命题，可得出Δ0<，即可解得a 的取值范围. 【详解】命题p 的否定为：x ∀∈R ，20x ax a ++>，由题意可知，命题p 的否定为真命题，所以，240a a ∆=-<，解得04a <<. 故答案为：04a <<.11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =-，510S =-，若对任意的n *∈N ，n m S ≤恒成立，则实数m 的取值范围是______. 【答案】(],10∞--【分析】利用等差数列通项公式和前n 项公式列方程组即可. 【详解】由题知：等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =-，510S =-，1153135()5510102a d a a a a d +=-⎧⎪∴⎨+==+=-⎪⎩，14,1a d ∴=-= ，21(1)(1)1942222n n n n n S na d n n n --∴=+=-+=- ，n *∈N ，当4n =或5时，n S 取得最小值10-， 10n S ∴≥- ，10m ∴≤- .故答案为：(],10-∞-.12．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos a C ，cos b B ，cos c A 成等差数列，若4a c +=，则b 边的最小值为______. 【答案】2【分析】利用等差中项的性质得到2cos cos cos b B a C c A =+，然后利用正弦定理和和差公式得到1cos 2B =，然后利用余弦定理和基本不等式求最值即可. 【详解】由题意得，()2cos cos cos 2sin cos sin cos sin cos sin sin b B a C c A B B A C C A A C B =+⇒=+=+=，又()0,B π∈，所以sin 0B ≠，则1cos 2B =， 因为4a c +=，所以()222222cos 316316342a c b a c ac B a c ac ac +⎛⎫=+-=+-=-≥-⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当2a c ==时，等号成立，所以b 的最小值为2.故答案为：2.13．已知函数()5cos 6f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭()0ω>在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有2个零点，则实数ω的取值范围为______.【答案】1628,33⎛⎤⎥⎝⎦【分析】令()0f x =，解得()43k x k ππωω=+∈Z ，然后根据()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且只有2个零点列不等式，解不等式即可.【详解】令()0f x =，则()562x k k ππωπ-=+∈Z ，解得()43k x k ππωω=+∈Z ， 因为()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有2个零点，所以434734ππωππω⎧<⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，解得162833ω<≤. 故答案为：1628,33⎛⎤⎥⎝⎦.三、双空题14．已知函数()3223x x f x x x -=-++，若正数a 、b 满足()()2110f a f b -+-=，则2a b +=______，22211a b a b+++的最小值为______. 【答案】 2 94【分析】分析出函数()f x 为R 上的增函数且为奇函数，由已知条件可得出22a b +=，将所求不等式变形得出22212111a b a b a b++=+++，然后再利用基本不等式可求得结果. 【详解】函数()3223x x f x x x -=-++的定义域为R ，()()()33223223x x x x f x x x x x f x ---=-+--=---=-，故函数()f x 为奇函数，因为函数12x y =、22xy -=-、33y x =、3y x =均为R 上的增函数，故函数()f x 为R 上的增函数，由()()2110f a f b -+-=可得()()()2111f a f b f b -=--=-，211a b ∴-=-， 可得22a b +=，则()214a b ++=，所以，()()22221121121214111a a b b a b a b a b a b+-⎡⎤+⎣⎦+=++=++-+++++ ()()2121121121921551414144a b a b a b a b b a ⎡+⎡⎤⎛⎫=+=+++=++≥+=⎡⎤⎢⎢⎥ ⎪⎣⎦+++⎝⎭⎢⎣⎦⎣. 当且仅当13a =，43b =时，等号成立，所以，22211a b a b+++的最小值为94. 故答案为:2；94.15．已知函数()21,0,0ex x x f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若()()g x f x a =-恰有2个零点，则实数a 的值为______，若关于x 的方程()()22210f x f x m -+-=恰有4个不同实数根，则实数m 的取值范围为______.【答案】 1； 112m m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【分析】先利用导数研0x >的()f x 的图象，再作出()f x 的图象,()()g x f x a =-恰有2个零点，则()y f x =与y a =有2个交点，数形结合即可得实数a 的值;若关于x 的方程()()22210f x f x m -+-=恰有4个不同实数根，令()t f x =，通过分析可得()22210h t t t m =-+-=有2个不等根12,t t ,且()11,t ∈+∞，()20,1∈t ，再数形结合即可建立m 的不等式组，即可求解【详解】当0x >时()1ex xf x -=，则()11e x xf x --'=，()11f =， 令()0f x '=，解得1x =， 所以当()0,1x ∈时，0fx,()f x 单调递增，()1,x ∈+∞时，()0f x '<,()f x 单调递减,再根据题意可作出()f x 的图象如下:若()()g x f x a =-有2个零点,则()y f x =与y a =有2个交点，数形结合可知1a =;若关于x 的方程()()22210f x f x m -+-=恰有4个不同实数根，令()t f x =，则()22210h t t t m =-+-=有两个不等实数根12,t t ，故1y t =，2y t =与()f x 都有2个交点或者1y t =与()f x 仅1个交点，2y t =与()f x 有3个交点； 当1y t =，2y t =与()f x 都有2个交点，根据图象可得121t t ==，不满足12t t ≠，舍去； 当1y t =与()f x 仅1个交点，2y t =与()f x 有3个交点，则{}()101,t ∈⋃+∞，()20,1∈t ，当10t =时，210m -=，解得12m =，故()220h t t t =-=，解得10t =或()220,1t =∉，舍去； 故()()222211220h t t t m t m =-+-=-+-=两个实数根的范围为()11,t ∈+∞，()20,1∈t ， 所以()()12200210h m h m ⎧=-<⎪⎨=->⎪⎩解得112m <<，所以实数m 的取值范围为112m m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，故答案为：1；112m m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是利用数形结合思想作出函数的图象，再通过图象得到1y t =与()f x 仅1个交点，2y t =与()f x 有3个交点，并通过分析得到()11,t ∈+∞，()20,1∈t四、解答题16．已知函数()()2cos sin 0f x x x x ωωωω⋅->的最小正周期为π. (1)求ω的值和函数()f x 的单调递增区间； (2)求函数()f x 图像的对称轴方程和对称中心坐标.【答案】(1)1ω=，(),,36k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z ；(2)(),6x k k ππ=+∈Z ，(),0,12k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z .【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简()f x ，然后利用正弦型函数的性质求ω和单调区间即可；（2）利用整体代入法求对称轴和对称中心即可.【详解】（1）()cos 2112sin 2262x f x x x ωπωω-⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭， 因为()f x 最小正周期为π，所以22ππω=，解得1ω=， 令()222,262k x k k πππππ-+<+<+∈Z ，解得(),36k x k k ππππ-+<<+∈Z ，所以单调递增区间为(),,36k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z .（2）令()2,62x k k πππ+=+∈Z ，解得(),6x k k ππ=+∈Z ，所以对称轴方程为(),6x k k ππ=+∈Z ；令()2,6x k k ππ+=∈Z ，解得(),12x k k ππ=-+∈Z ，所以对称中心为(),0,12k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z . 17．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且22cos b c a C =+. (1)求A ；(2)若cos B =()sin 2B A +的值；(3)若ABC 3a =，求ABC 的周长. 【答案】(1)3π；； (3)8.【分析】（1）利用正弦定理进行边角互换，然后利用和差公式进行化简得到1cos 2A =，即可得到A ；（2）利用二倍角公式得到sin 2B =1cos 23B =-，然后利用和差公式得到()sin 2sin 2cos cos2sin B A B A B A +=+，最后代入即可；（3）利用面积公式得到163bc =，利用余弦定理得到229b c bc +-=，两式结合可得5b c +=，然后求周长即可.【详解】（1）根据正弦定理得，()2sin sin 2sin cos 2sin sin 2sin cos B C A C A C C A C =+⇒+=+2sin cos 2sin cos sin 2sin cos A C C A C A C ⇒+=+2sin cos sin C A C ⇒=，∵()0,C π∈，∴sin 0C ≠，则1cos 2A =， ∵()0,A π∈，∴3A π=.（2）∵cos B =∴0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin B =，sin 22sin cos B B B ==21cos 22cos 13B B =-=-， ∴()sin 2sin 2cos cos2sin B A B A B A +=+1123=-=（3）∵ABC 3a =，∴1sin 2bc A ==163bc =①， 根据余弦定理可得，222222cos 9a b c bc A b c bc =+-=+-=②，联立①②，可得5b c +=，所以周长为8.18．已知函数()32f x x ax bx c =+++在点()1,2P 处的切线斜率为4，且在=1x -处取得极值.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()()1g x f x m =+-恰有两个零点，求实数m 的取值范围.【答案】(1)答案见详解 (2)51,27⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意，列出方程组求得()321f x x x x =+-+，得到()2321f x x x '=+-，进而求得函数的单调区间；（2）由题意得到()32x x x m g x =+-+，利用导数求得函数()g x 的单调性与极值，列出不等式组，即可求解.【详解】（1）解：由题意，函数32()f x x ax bx c =+++，可得()232f x x ax b '=++，因为函数32()f x x ax bx c =+++在点()1,2P 处的切线斜率为4，且在=1x -处取得极值，可得(1)2(1)4(1)0f f f ''=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，即12324320a b c a b a b +++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，解得1,1,1a b c ==-=， 所以()321f x x x x =+-+，可得()2321f x x x '=+-，令()0f x '=，解得=1x -或13x =． 解0f x ，得<1x -或13x >，即()f x 在区间(),1-∞-上单调递增，在1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 解()0f x '<，得11<3x -<，即()f x 在11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减. 所以函数()f x 的单调递减区间是11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；单调递增区间是(),1-∞-，1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． （2）解：由（1）得，()()321g x f x m x x x m =+--++=，则()()2321g x f x x x '=+'=-，由（1）知，当=1x -或13x =时，()()0g x f x ''== 当<1x -或13x >时，0f x ，即()0g x '>； 当11<3x -<时，()0f x '<，即()0g x '<. 所以，函数()g x 在=1x -处取得极大值，在13x =处取得极小值， 要使得()g x 有三个零点，则满足()10103g g ⎧->⎪⎨⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎩，即105027m m +>⎧⎪⎨-<⎪⎩，解得5127m -<<， 所以m 的取值范围为51,27⎛⎫- ⎪⎝⎭． 19．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，715a =，763S =；数列{}n b 的前n 项和为n T ，()233n n T b n *=-∈N .(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)求数列2n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n Q ； (3)求证；12n i i ia T =<∑. 【答案】(1)21n a n =+，3n nb =； (2)()()323212n n n +-++； (3)证明见解析.【分析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式列方程，解得123d a =⎧⎨=⎩，即可得到n a ，利用2n ≥时，1n n n T T b --=，得到数列{}n b 为等比数列，然后求n b 即可；（2）根据（1）得到2112nS n n =-+，然后利用裂项相消的方法求和即可；（3）利用放缩的方法得到213n n n a n T +≤，然后用错位相减的方法求和，得到2223n nn B +=-<，即可证明12n i i i a T =<∑.【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，则1161572163a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得123d a =⎧⎨=⎩，∴21n a n =+， 由233n n T b =-①可得，当1n =时，1112233T b b ==-，则13b =，当2n ≥时，11233n n T b --=-②，①②相减得，1233n n n b b b -=-，整理得13n n b b -=，所以数列{}n b 为等比数列，3n n b =.（2）由（1）可得，()()22211122322n n n S n n n n n ===--+++⨯， 所以111111111132435112n Q n n n n =-+-+-++-+--++ 1111212n n =+--++ ()()323212n n n +=-++. （3）由（1）可得，()()()2212133133131n n n n n a n T ++==---，又11131233123n n n n ----=⨯+-≥⨯， ∴()1221213233n n n n n a n T -++≤=⨯⨯， 设123521333n n n B +=+++，则231135213333n n n B ++=+++， 两式相减得，2312111211233333n n n n B ++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 2111112133121313n n n -+⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+⨯-- 142433n n ++=-， ∴2223n n n B +=-<， ∴12n i n i ia B T =≤<∑.20．已知函数()e ln x f x a x =-，R a ∈.(1)当0a =时，若曲线()y f x =与直线y kx =相切，求k 的值；(2)当e a =时，证明：()e f x ≥；(3)若对任意()0,x ∈+∞，不等式()()ln 2ln 2f x a x a a ->⋅恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1)e ；(2)证明见解析； (3)e 02⎛⎫ ⎪⎝⎭,.【分析】（1）设切点坐标为()00,e x x ，然后利用导数的几何意义列方程，解方程即可得到k ； （2）证明()e f x ≥即证明()min f x ≥e ，然后求导，利用单调性求最值，即可证明()e f x ≥；（3）将不等式()()ln 2ln 2f x a x a a ->⋅转化为()()ln 2ln ln 2ln x a x x a x -+->+ee ，然后构造函数()e x g x x =+，根据()g x 的单调性得到()ln 2ln x a x ->恒成立，即()()min ln ln 2x x a ->，构造函数()ln t x x x =-，根据()t x 的单调性得到()min 1t x =，然后代入解不等式即可.【详解】（1）当0a =时，()e x f x =，则()x f x '=e ，设切点坐标为()00,ex x ，则000e e x x k kx ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得01e x k =⎧⎨=⎩， 所以e =k . （2）当e a =时，()e eln x f x x =-，定义域为()0,∞+，()x xx f x x x '=-=e e -e e ， 令()e x h x x =，则()()1e xh x x '=+，当0x >时，()0h x '>，则()h x 在()0,∞+上单调递增， 又()10f '=，所以当1x >时，0f x ，01x <<时，()0f x '<，所以()f x 在()0,1上单调递减，()1,+∞上单调递增， 所以()()min 1e f x f ==，则()e f x ≥.（3）由题可知，0a >，则不等式()ln ln 2ln 2x a x a x a a -->⋅e 恒成立，即()2ln 2ln 2x a x a a ->⋅e ，即()()ln 2ln ln 2x a x a -->e， 即()()ln 2ln 2ln x a x a x x -+->+e ，即()()ln 2ln ln 2ln x a x x a x -+->+e e 在()0,∞+上恒成立， 令()e x g x x =+，易知()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()ln 2ln x a x ->在()0,∞+上恒成立，即()()min ln ln 2x x a ->，令()ln t x x x =-，则()111x t x x x-'=-=，当1x >时，()0t x '>，当01x <<时，()0t x '<，所以()t x 在()0,1上单调递减，()1,+∞上单调递增，则()()min 11t x t ==，所以()1ln 2a >，解得e 2a <， 所以a 的取值范围为e 02⎛⎫ ⎪⎝⎭,. 【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：（1）()a f x ≥恒成立⇔()max a f x ≥；（2）()a f x ≤恒成立⇔()min a f x ≥.。
2020年高考数学天津卷-答案
2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】C【解析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.由题意结合补集的定义可知：{}U 211B=--，，，则(){}U11A B =-，.故选：C .【考点】补集运算，交集运算 2.【答案】A【解析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.求解二次不等式2a a ＞可得：1a ＞或0a ＜，据此可知：1a ＞是2a a ＞的充分不必要条件.故选：A . 【考点】二次不等式的解法，充分性和必要性的判定 3.【答案】A【解析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==+＞，选项B 错误.故选：A . 【考点】函数图象的识辨 4.【答案】B【解析】根据直方图确定直径落在区间[)5.435.47，之间的零件频率，然后结合样本总数计算其个数即可.根据直方图，直径落在区间[)5.435.47，之间的零件频率为：()6.25 5.000.020.225+⨯=，则区间[)5.435.47，内零件的个数为：800.22518⨯=.故选：B . 【考点】频率分布直方图的计算与实际应用 5.【答案】C【解析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即3R ==，所以，这个球的表面积为2244336S R πππ==⨯=.故选：C . 【考点】正方体的外接球的表面积的求法6.【答案】D【解析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出a ，b ，c 的大小关系.因为0.731a =＞，0.80.80.71333b a -⎛⎫=== ⎪⎝⎭＞，0.70.7log 0.8log 0.71c ==＜，所以1c a b ＜＜＜.故选：D .【考点】抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，直线与直线的位置关系的应用 8.【答案】B【解析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.因为()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以周期22T ππω==，故①正确；51sin sin 122362f ππππ⎛⎫⎛⎫=+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故②不正确；将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，得到sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故③正确.故选：B .【考点】正弦型函数的性质及图象的平移 9.【答案】D【解析】由()00g =，结合已知，将问题转化为2y kx =-与()()f x h x x=有3个不同交点，分0k =，0k ＜，0k ＞三种情况，数形结合讨论即可得到答案.注意到()00g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()2f x kx x-=恰有3个实根即可，令()()f x h x x=，即2y kx =-与()()f x h x x=的图象有3个不同交点.因为()()2010f x x x h x xx ⎧⎪⎨⎪⎩==，＞，＜，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0＜时，如图2，此时2y kx =-与()()f x h x x=恒有3个不同交点，满足题意；当0k ＞时，如图3，当2y kx =-与2yx 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得)(22+∞，【考点】函数与方程的应用第Ⅱ卷二、填空题 10.【答案】32i -【解析】将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果.()()()()8i 2i 8i 1510i32i 2i 2i 2i 5----===-++-.故答案为：32i -. 【考点】复数的四则运算 11.【答案】10【解析】写出二项展开式的通项公式，整理后令x 的指数为2，即可求出.因为522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()553155222012345rr r rr r r T C x C x r x --+⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，，，，，，令532r -=，解得1r =.所以2x 的系数为15210C ⨯=.故答案为：10.【考点】圆的弦长，圆的标准方程，点到直线的距离公式【解析】根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率.甲、乙两球落入盒子的概率分别为12，13，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为111236⨯=，甲、乙两球都不落入盒子的概率为11111233⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为23.故答案为：16；23. 【考点】独立事件同时发生的概率，利用对立事件求概率 14.【答案】4.0a ＞，b 4b=，当且仅当【考点】应用基本不等式求最值【解析】可得120BAD ∠=，利用平面向量数量积的定义求得λ的值，然后以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设点()0M x ，，则点()10N x +，（其中05x ≤≤），得出DM DN ⋅关于x 的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得DM DN ⋅的最小值.AD BC λ=，AD BC ∴∥，180120BAD B ∴∠=-∠=，13cos12063922AB AD BC AB BC AB λλλλ⎛⎫⋅=⋅=⋅=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭，解得16λ=，以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，6BC =，()60C ∴，，3AB =，60ABC ∠=，A ∴的坐标为32A ⎛⎝⎭，，又16AD BC =,则52D ⎛ ⎝⎭，，设()0M x ，，则()10N x +，（其中05x ≤≤），52DM x ⎛=- ⎝⎭，32DN x ⎛=- ⎝⎭，()222532113422222DM DN x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，当2x =时，DM DN ⋅取得最小值132.故答案为：16；132. 【考点】平面向量数量积的计算，平面向量数量积的定义与坐标运算4Cπ【解析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可.在ABC △中，由a =，5b =，c =及余弦定理222cos 22a b c C ab +-===，又因为()0C π∈，，所以4Cπ.（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案.在ABC △中，由4Cπ，a =c sin sin a C A c===（Ⅲ）先计算出sin A ，cos A ，进一步求出sin2A ，cos2A ，再利用两角和的正弦公式计算即可.由a c ＜知角A 为锐角，由sin A =，可得cos A =，进而12sin 22sincos 13A A A ==，25cos22cos 113A A =-=，所以125sin 2sin 2cos cos2sin 4441313A A A πππ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭.【考点】正、余弦定理解三角形，三角恒等变换在解三角形中的应用17.【答案】依题意，以C 为原点，分别以CA 、CB 、1CC 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得()000C ，，、()200A ，，、()020B ，，、()1003C ，，、()1203A ，，、()1023B ，，、()201D ，，、()002E ，，、()113M ，，.（Ⅰ）证明：依题意，()1110C M =，，，()1222B D =--，，，从而112200C M B D ⋅=-+=，所以11C M B D ⊥.【解析】（Ⅰ）计算出向量1C M 和1B D 的坐标，得出110C M B D ⋅=，即可证明出11C M B D ⊥.依题意，以C 为原点，分别以CA 、CB 、1CC 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得()000C ，，、()200A ，，、()020B ，，、()1003C ，，、()1203A ，，、()1023B ，，、()201D ，，、()002E ，，、()113M ，，.依题意，()1110C M =，，，()1222B D =--，，，从而112200C M B D ⋅=-+=，所以11C M B D ⊥. （Ⅱ）可知平面1BB E 的一个法向量为CA ，计算出平面1B ED 的一个法向量为n ，利用空间向量法计算出二面角1B B E D --的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果.依题意，()200CA =，，是平面1BB E 的一个法向量，()1021EB =，，，()201ED =-，，.设()n x y z =，，为平面1DB E 的法向量，则10n EB n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020y z x z +=⎧⎨-=⎩，不妨设1x =，可得()112n =-，，.cos CA ＜，26C CA n A n n ⋅⋅===⨯，230sin 1cos CA n CA n ∴=-=，，.所以，二面角1B B E D --的正弦值为6. （Ⅲ）利用空间向量法可求得直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值.依题意，()220AB =-，，.由（Ⅱ）知()112n =-，，为平面1DB E 的一个法向量，于是cos 22AB n AB n AB n⋅===⋅，.所以，直线AB 与平面1DB E .【解析】（Ⅰ）根据题意，并借助222a b c =+，即可求出椭圆的方程.椭圆()222210x y a b a b+=＞＞的一个顶点为()03A -，，3b ∴=，由OA OF =，得3c b ==，又由222a b c =+，得2228313a =+=，所以，椭圆的方程为221189x y +=.（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到CP AB ⊥，设出直线AB 的方程，并与椭圆方程联立，求出B 点坐标，进而求出P 点坐标，再根据CP AB ⊥，求出直线AB 的斜率，从而得解. 直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP AB ⊥， 根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3y kx ，即3y kx =-，2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =或21221k x k =+. 将21221kx k =+代入3y kx =-，得222126321213k y k k k k =⋅--=++，所以，点B 的坐标为22212632121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，， 因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()03-，， 所以点P 的坐标为22632121kk k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，，由3OC OF =，得点C 的坐标为()10，， 所以，直线CP 的斜率为222303216261121CPk k k k k k --+=-+-+=，又因为CP AB ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =或1k =. 所以，直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-. 【考点】椭圆标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系，直线与圆的位置关系，中点坐标公式以及直线垂直关系的应用19.【答案】（Ⅰ）n a n =，12n n b -=（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得()12n n n S +=，故()()()211234n n S S n n n n +=+++，()()22211124n S n n +=++，从而()()22111202n n n S S S n n ++-=-++＜，所以221n n n S S S ++＜. （Ⅲ）465421949n n n n +--+⨯【解析】（Ⅰ）由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果.设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .由11a =，()5435a a a =-，可得1d =从而{}n a 的通项公式为n a n =.由11b =，()5434b b b =-，又0q ≠，可得2440q q -+=，解得2q =，从而{}n b 的通项公式为12n n b -=.（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论首先求得数列{}n a 前n 项和，然后利用作差法证明即可.证明：由（Ⅱ）可得()12n n n S +=，故()()()211234n n S S n n n n +=+++，()()22211124n S n n +=++，从而()()22111202n n n S S S n n ++-=-++＜，所以221n n n S S S ++＜. （Ⅲ）分类讨论n 为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算211nk k c-=∑和21nkk c=∑的值，据此进一步计算数列{}n c 的前2n 项和即可.当n 为奇数时，()()()1112323222222n n n n n n n n a b n c a a n n n n-+-+--===-++， 当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==，对任意的正整数n ，有222221112221212121nnk k nk k k c k k n --==⎛⎫=-=- ⎪+-+⎝⎭∑∑， 和223111211352321444444nnkk n n k k k n n c-==---==+++++∑∑① 由①得22314111352321444444nknn k n n c+=--=+++++∑② 由①②得22111211312221121441444444414nn k n n n k n n c ++=⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+++-=---∑，由于11211121221121156544143344124443414nn n n n n n n ++⎛⎫-⎪--+⎝⎭--=-⨯--⨯=-⨯-， 从而得：21565994nk n k n c =+=-⨯∑. 因此，2212111465421949n nnnk k k n k k k n c c c n -===+=+=--+⨯∑∑∑. 所以，数列{}n c 的前2n 项和为465421949n n n n +--+⨯.【考点】数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等 20.【答案】（Ⅰ）（i ）98y x =-（ii ）()g x 的极小值为()11g =，无极大值（Ⅱ）证明：由()3ln f x x k x =+，得()23k f x x x'=+. 对任意的1x ，[)21x ∈+∞，，且12x x ＞，令()121x t t x =＞，则()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+-- ⎪⎝⎭.①令()12ln h x x x x=--，[)1x ∈+∞，. 当1x ＞时，()22121110h x x x x ⎛⎫'=+-=- ⎪⎝⎭＞， 由此可得()h x 在[)1+∞，单调递增，所以当1t ＞时，()()1h t h ＞，即12ln 0t t t--＞. 因为21x ≥，()33233110t t t t -+-=-＞，3k -≥， 所以()()332322113312ln 33132ln x t t t k t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫-+-+------- ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭≥ 32336ln 1t t t t=-++-.② 由（Ⅰ）（ii ）可知，当1t ＞时，()()1g t g ＞，即32336ln 1t t t t-++＞， 故32336ln 10t t t t-++-＞③ 由①②③可得()()()()()()()12121220x x f x f x f x f x ''-+--＞. 所以，当3k -≥时，任意的1x ，[)21x ∈+∞，，且12x x ＞，有 ()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+--＞.【解析】（Ⅰ）（i ）首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可.（i ）当6k =时，()36ln f x x x =+，()263f x x x '=+.可得()11f =，()19f '=，所以曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程为()191y x -=-，即98y x =-.（ii ）首先求得()g x '的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可.依题意，()32336ln g x x x x x=-++，()0x ∈+∞，.从而可得()226336g x x x x x '=-+-，整理可得：()()()32311x x g x x -+'=，令()0g x '=，解得1x =.当x 变化时，()g x '，()g x 的变化情况如下表：所以，函数()g x 的单调递减区间为()01，，单调递增区间为()1+∞，；()g x 的极小值为()11g =，无极大值. （Ⅱ）首先确定导函数的解析式，然后令12x t x =，将原问题转化为与t 有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论.证明：由()3ln f x x k x =+，得()23k f x x x'=+. 对任意的1x ，[)21x ∈+∞，，且12x x ＞，令()121x t t x =＞，则()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3322121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+-- ⎪⎝⎭.① 令()12ln h x x x x=--，[)1x ∈+∞，. 当1x ＞时，()22121110h x x x x ⎛⎫'=+-=- ⎪⎝⎭＞， 由此可得()h x 在[)1+∞，单调递增，所以当1t ＞时，()()1h t h ＞，即12ln 0t t t--＞. 因为21x ≥，()33233110t t t t -+-=-＞，3k -≥， 所以()()332323221133312ln 33132ln 36ln 1x t t t k t t t t t t t t t t t t t +⎛⎫⎛⎫-+-+-------=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥.② 由（Ⅰ）（ii ）可知，当1t ＞时，()()1g t g ＞，即32336ln 1t t t t-++＞， 故32336ln 10t t t t-++-＞③ 由①②③可得()()()()()()()12121220x x f x f x f x f x ''-+--＞. 所以，当3k -≥时，任意的1x ，[)21x ∈+∞，，且12x x ＞，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+--＞.【考点】研究函数的单调性，极值（最值）最有效的工具。
2022-2023学年天津市南开中学高三(上)期中数学试卷+答案解析(附后)
2022-2023学年天津市南开中学高三（上）期中数学试卷1. 设集合，，，则( )A. B. C. D.2.已知，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知一组数据的频率分布直方图如图所示，则数据的中位数估计值为( )A. 64B. 65C.D. 664. 函数图像大致为( )A. B.C. D.5. 三个数，，之间的大小关系是( )A. B. C. D.6. 已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则( )A. B. C. D. 17. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的值为( )A. B. C. D.8.已知是等差数列的前n项和，公差，，若，，成等比数列，则的最小值为( )A. B. 2 C. D.9. 设函数若方程有四个不同的实根，，，，则的取值范围是；若方程有四个不同的实根，，，，则的取值范围是；若方程有四个不同的实根，则a的取值范围是；方程的不同实根的个数只能是1，2，3，四个结论中，正确的结论个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 410. 已知复数，则______.11. 展开式中的常数项是______用数字作答12.已知各项都为正的等差数列中，若，，，成等比数列，则______.13. 甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球球除颜色外，大小质地均相同先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则______.14. 若正数a，b满足，则的最小值为______.15. 如图，在梯形ABCD中，且，E为BC的中点，AC与DE交于若，则的余弦值为______.16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且求B；如图，若D为外一点，且，，，，求并求17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，点E为棱PC的中点．证明：；求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；若F为棱PC上一点，满足，求平面FAB与平面ABP夹角的余弦值．18. 已知等差数列为递增数列，为数列的前n项和，，求的通项公式；若数列满足，求的前n项和19.记是公差不为0的等差数列的前n项和，已知，，数列满足，且求的通项公式，并证明数列是等比数列；若数列满足，求的前n项和的最大值、最小值．求证：对于任意正整数n，20. 已知函数若，求的单调区间和极值；若、为的两个不同的极值点，且，求a的取值范围；对于任意实数，不等式恒成立，求b的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合，，，，故选：先求出，由此能求出本题主要考查了交集、补集的求法，解题时要认真审题，注意交集、补集定义的合理运用，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：解不等式可得：，因为，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：先解出不等式的解集，然后根据集合的包含关系以及充分，必要条件的定义即可判断求解．本题考查了充分，必要条件的定义，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：因为，所以中位数位于之间，设中位数为x，则，解得，即中位数为故选：首先判断中位数位于之间，设中位数为x，依题意可得，，解得x即可．本题主要考查频率分布直方图，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：，则，即是奇函数，排除A，当，，排除D，当时，，排除C，故选：先化简，判断函数的奇偶性和对称性，利用极限思想进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，利用极限数学进行判断是解决本题的关键，是基础题．5.【答案】C【解析】解：，，，，，，，故选：利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．6.【答案】C【解析】解：曲线，，当时，，即，，故选：先求出导函数，进而求得倾斜角的正切值，再结合二倍角公式即可求得结论．本题主要考查导数知识的应用，以及二倍角公式的应用，考查计算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：函数的图象先向右平移个单位长度，得，再把所得函数图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得函数，故故选：先根据图象的变换规律求出的解析式，然后计算即可．本题考查利用三角函数图象的变换规律求解析式，以及正弦函数值的计算，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：由，，成等比数列，得，即，解得，，则令，则且，由函数在上为减函数，在上为增函数，当时，，则的最小值为故选：由已知列式求得公差，得到等差数列的通项公式与前n项和，代入，再由数列的函数特性求最小值．本题考查等差数列的通项公式与前n项和，考查数列的函数特性，是中档题．9.【答案】B【解析】解：对于：作出的图像如下：若方程有四个不同的实根，，，，则，不妨设，则，是方程的两个不等的实数根，，是方程的两个不等的实数根，所以，，所以，所以，，所以的取值范围是，故正确；对于：由上可知，，，且，所以，所以，，所以，所以，故错误；对于：方程的实数根的个数，即为函数与的交点个数，因为恒过坐标原点，当时，有3个交点，当时最多2个交点，所以，当与相切时，设切点为，即，所以，解得，所以，所以当与相切时，即时，此时有4个交点，若有4个实数根，即有4个交点，当时由图可知只有3个交点，当时，令，，则，则当时，，即单调递增，当时，，即单调递减，所以当时，函数取得极大值即最大值，，又及对数函数与一次函数的增长趋势可知，当x无限大时，即在和内各有一个零点，即有5个实数根，故错误；对于：，所以，所以或，由图可知，当时，的交点个数为2，当，0时，的交点个数为3，当时，的交点个数为4，当时，的交点个数为1，所以若时，则，交点的个数为个，若时，则，交点的个数为3个，若，则，交点有个，若且时，则且，交点有个，若，交点有1个，综上所述，交点可能有1，2，3，6个，即方程不同实数根1，2，3，6，故正确；故选：作出的图像，利用函数与方程之间的关系，分析问题，即可得出答案．本题考查函数零点问题，属于中档题．10.【答案】【解析】解：复数，故答案为：利用复数的乘除法运用，即可得出结论．本题考查复数的乘除法运用，考查学生的计算能力，比较基础．11.【答案】【解析】解：由展开式的通项公式可得：当时，即时，该项为常数项，即展开式中的常数项是，故答案为：由展开式的通项公式可得：当时，该项为常数项，然后求解即可．本题考查了二项式定理的应用，重点考查了二项式展开式的通项公式，属基础题．12.【答案】19【解析】解：在各项都为正的等差数列中，设等差数列的公差为d，且，，，，成等比数列，，即，将代入整理得，解得或不合题意，舍去，，，故答案为：由题意设等差数列的公差为d，可得，整理得，求解即可得出答案．本题考查等差数列和等比数列的综合，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：根据题意，事件发生且B事件发生的概率为，事件发生且B事件发生的概率为，事件发生且B事件发生的概率为，故故答案为：分析事件B所有的可能性，结合已知条件，计算即可．本题主要考查条件概率公式，属于基础题．14.【答案】16【解析】解：正数a，b满足，则有，则有，，即有，则有，当且仅当即有，又，即有，，取得最小值，且为故答案为：由条件可得，，且，代入所求式子，再由基本不等式，即可得到最小值，注意等号成立的条件．本题考查基本不等式的运用：求最值，考查化简变形的能力，属于中档题和易错题．15.【答案】【解析】解设，，则，，，，又，，即，，，，，则，即，，，，，故答案为：由向量共线，找出，与，的数量关系，再由三角形法则，把，用，表示，由已知，，利用向量数量积的定义，求出夹角余弦值．本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及几何计算，考查计算能力．属于中档题．16.【答案】解：在中，，，可得，，，，为外一点，且，，，，连接BD，，，，所以，在中，，【解析】利用两角和与差的三角函数，结合正弦定理，三角形内角和定理化简已知等式，转化可求B的值．由，可求并求本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．17.【答案】依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系如图，可得，，，，由点E为棱PC的中点，得证明：向量，，故解：向量，设为平面PBD的法向量，则，即，不妨令，可得为平面PBD的一个法向量．于是有，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为解：，由点F在棱PC上，故，由，得，解得，即设为平面ABF的法向量，则，即，不妨令，可得为平面ABF的一个法向量．取平面PAB的法向量，则易知二面角是锐角，其余弦值为【解析】可以建立空间直角坐标系，利用向量数量积来证明；向量法：先求平面PBD的法向量，然后利用公式求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；向量法：先求平面ABF和平面PBA的法向量，再利用公式来求二面角的余弦值．本题主要考查异面直线垂直的证明，线面角的相关计算，面面角的计算，空间向量及其应用等知识，属于中等题．18.【答案】解：设等差数列的公差为，由，得，又，得，解得或，当时，，舍去，当时，，，所以，所以；，所以，则，两式相减得，所以【解析】设等差数列的公差为，根据题意可得，则，进一步根据即可求出与的值，从而利用可求出首项与公差d，最后利用进行求解即可．易知，从而利用错位相减求和法即可求出本题考查等差数列的性质、通项公式，错位相减求和法，考查学生逻辑推理与运算求解的能力，属于中档题．19.【答案】证明：设数列的公差为d，因为，，所以，，解得，所以的通项公式为，由，两边同时除以得，，整理得，故数列是公比为的等比数列．解：，设数列的前n项和为，当n为偶数时，……，随着n增大，也增大，所以的最小值为；当n为奇数时，…，随着n增大，减小，所以的最大值为，综上，的前n项和的最大值为，最小值为证明：因为，所以，由可得，数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即，所以，所以……，得证．【解析】根据等差数列的通项公式与前n项和公式可求得数列的公差d，从而得的通项公式；在两边同时除以，再移项整理，利用等比数列的定义，得证；裂项可得，再分n为偶数和n为奇数两种情况，分别求得的前n项和，并结合数列的单调性，得解；易知数列是首项为，公比为的等比数列，从而求得的通项公式，再结合放缩法，得解．本题主要考查数列的求和，熟练掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，裂项求和法，放缩法，数列的单调性是解题的关键，考查转化思想，逻辑推理能力和运算能力，属于难题．20.【答案】解：由已知得，，令得或1，或，，故的单调减区间为，单调增区间为，，的极小值为，极大值为；，若、为的两个不同的极值点，则，是，即的两不等实根，即，，且，而，结合，上式可化为，即，因为，故，所以，得即为所求；由恒成立得：恒成立，，令，，，当时，，令得，故时，，时，，故在上单调递增，在上单调递减，故，故要使原式恒成立，只需即可，故所求b的范围是【解析】按照求导数，令导数为0，并判断导数的零点两侧的符号，确定单调区间和极值点；先将原式化简为①，结合、为的两个不同的极值点，即的两个互异实根，结合韦达定理代入①式，解关于a的不等式即可；将原不等式化简，分离b得到在上恒成立，将右边看成一个关于a的新函数，求其最大值即可．本题考查利用导数研究函数的单调性、极值以及最值，从而解决不等式恒成立问题的基本思路，同时考查了学生的逻辑推理、数学运算等核心素养，属于较难的题目．。
2020届天津市南开区高考一模数学试题(解析版)
（Ⅰ）若 ，求 与 所成角的余弦值；
（Ⅱ）若 ，求 与平面 所成角的大小；
（Ⅲ）若二面角 的大小为 ，求 的值．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）30°；（Ⅲ）1．
【解析】（Ⅰ）以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出 与 所成角的余弦值；
（Ⅱ）求 ．
【答案】（Ⅰ） ； （Ⅱ） ．
【解析】（Ⅰ）直接根据前n项和与通项的关系求出数列 的通项公式，再根据递推关系式求出数列 的通项公式；
（Ⅱ）先根据 ，然后利用错位相减求和，整理即可求得出结果．
【详解】
解：（Ⅰ）当 时， ，
当 时， ，适合上式，
所以： ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴数列 的奇数项和偶数项都是首项为2，公比为2的等比数列，
则 ，为增函数，
∴ 在R上为减函数，
， ，
∵ ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】
本题考查指对数比较大小，利用函数的单调性和奇偶性，涉及了指数函数和对数函数的性质和图象．
7．已知函数 .的部分图象如图所示，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】先据图象的最高点与最低点求出 ，然后根据零点间的横向距离是四分之一周期的倍数求出 ，进而求出 的值，最后利用对应的观点结合范围求出 的值．
解得： ；
②当 时，只需 有两个正根即可，
方程可化为 ，故两根为： 或 ，
由题意只需 且 ，
综合①②可知，当 时，方程 有4个不同的实数根．
所以实数 的取值范围是（0，1）.
故选：B．
【点睛】
本题考查已知函数零点个数求参数取值范围，涉及一元二次方程的性质的应用，注意方程与不等式的相互应用，同时考查学生运用转化与化归思想、函数与方程思想以及解题的能力．
2025届天津市南开大学附属中学高三第一次调研测试数学试卷含解析
2025届天津市南开大学附属中学高三第一次调研测试数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在三棱锥S ABC -中，4SB SA AB BC AC =====，26SC =，则三棱锥S ABC -外接球的表面积是（ ）A ．403πB ．803πC ．409πD ．809π2．已知函数()2cos sin 6f x x x m π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭（m ∈R ）的部分图象如图所示.则0x =（ ）A ．32π B ．56π C ．76π D ．43π-3．已知实数0a >，1a ≠，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．12a <≤B ．5a <C ．35a <<D ．25a ≤≤4．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对5．()()()cos 0,0f x A x A ωϕω=+>>的图象如图所示，()()sin g x A x ωϕ=--，若将()y f x =的图象向左平移()0a a >个单位长度后所得图象与()y g x =的图象重合，则a 可取的值的是（ ）A ．112π B ．512π C ．712π D ．11π126．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积2136V L h ≈的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式23112V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（ ） A ．227B ．15750C ．289D ．3371157．设，则"是""的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．给出下列三个命题：①“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”的否定；②在ABC 中，“30B ︒>”是“3cos B <的充要条件； ③将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度，得到函数π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象． 其中假命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．39．已知函数2()4ln f x ax ax x =--，则()f x 在(1,4)上不单调的一个充分不必要条件可以是（ ）A ．12a >-B ．1016a <<C ．116a >或102a -<< D ．116a >10．已知函数2()(2)g x f x x =+为奇函数，且(2)3f =，则(2)f -=（ ）A ．2B ．5C ．1D ．311．存在点()00,M x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，且点M 在第一象限，使得过点M 且与椭圆在此点的切线00221x x y y a b +=垂直的直线经过点0,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A．2⎛ ⎝⎦B．2⎛⎫⎪⎪⎝⎭C．0,3⎛ ⎝⎦D．3⎛⎫⎪⎪⎝⎭12．若202031i iz i+=+，则z 的虚部是（ ）A ．iB ．2iC ．1-D ．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。