2009年4月高等教育自学考试《高等数学工本》试题和答案 00023
自考高数(工本)讲义00023
自考高数(工本)讲义
课程代码:00023
目录 1.函数与极限 2.导数与微分 3.不定积分 4.定积分及其应用 5.第一章 空间解析几何与向量代数 6.第二章 多元函数的微分学 7.第三章 重积分 8.第四章 曲线积分与曲面积分 9.第五章 常微分方程
1 − cos 2α 2
cos 2 α =
1 + cos 2α 2
二、极限 1、无穷小：极限为 0 的变量称为无穷小 运算法则：(1)有限个无穷小相加是无穷小 (2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小 ● 有极限的变量与无穷的乘积是无穷小 ● 常数与无穷的乘积是无穷小 ● 有限个无穷小的乘积是无穷小 2、无穷小与函数极限的关系： lim f ( x ) = A ⇔ f ( x ) = A + α ( x ) ⇔ f ( x ) − A = α ( x )
α − tan 2 α = 1 ；(8) csc2 α − cot 2 α = 1
sin (α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β
cos (α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β
tan (α ± β ) =
tan α ± tan β 1 ∓ tan α an β
例： ⎨
⎧ x = a(t − sin t ) dy d 2 y ，求 , 。 dx dx 2 ⎩ y = a(1 − cos t )
A ⋅ Δx 称为线性主部，记为 dy。
六、函数的微分 1、定义： Δy = f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) = A ⋅ Δx + o( Δx) 2、与导数关系：可微 iff 可导
自学考试 《高等数学(工本)》历年真题全套试题
自考00023《高等数学（工本）》历年真题集电子书目录1. 目录 (2)2. 历年真题 (5)2.1 00023高等数学（工本）200404 (5)2.2 00023高等数学（工本）200410 (7)2.3 00023高等数学（工本）200504 (9)2.4 00023高等数学（工本）200507 (11)2.5 00023高等数学（工本）200510 (14)2.6 00023高等数学（工本）200604 (15)2.7 00023高等数学（工本）200607 (18)2.8 00023高等数学（工本）200610 (21)2.9 00023高等数学（工本）200701 (24)2.10 00023高等数学（工本）200704 (26)2.11 00023高等数学（工本）200707 (28)2.12 00023高等数学（工本）200710 (29)2.13 00023高等数学（工本）200801 (34)2.14 00023高等数学（工本）200804 (35)2.15 00023高等数学（工本）200807 (36)2.16 00023高等数学（工本）200810 (38)2.17 00023高等数学（工本）200901 (39)2.18 00023高等数学（工本）200904 (40)2.19 00023高等数学（工本）200907 (42)2.20 00023高等数学（工本）200910 (43)2.21 00023高等数学（工本）201001 (45)2.22 00023高等数学（工本）201004 (46)2.23 00023高等数学（工本）201007 (47)2.24 00023高等数学（工本）201010 (49)2.25 00023高等数学（工本）201101 (50)2.26 00023高等数学（工本）201104 (52)2.27 00023高等数学（工本）201107 (54)2.28 00023高等数学（工本）201110 (55)2.29 00023高等数学（工本）201204 (57)3. 相关课程 (59)1. 目录历年真题()00023高等数学（工本）200404()00023高等数学（工本）200410()00023高等数学（工本）200504()00023高等数学（工本）200507()00023高等数学（工本）200510()00023高等数学（工本）200604()00023高等数学（工本）200607()00023高等数学（工本）200610()00023高等数学（工本）200701()00023高等数学（工本）200704() 00023高等数学（工本）200707() 00023高等数学（工本）200710() 00023高等数学（工本）200801() 00023高等数学（工本）200804() 00023高等数学（工本）200807() 00023高等数学（工本）200810() 00023高等数学（工本）200901() 00023高等数学（工本）200904() 00023高等数学（工本）200907()00023高等数学（工本）200910()00023高等数学（工本）201001()00023高等数学（工本）201004()00023高等数学（工本）201007()00023高等数学（工本）201010()00023高等数学（工本）201101()00023高等数学（工本）201104()00023高等数学（工本）201107()00023高等数学（工本）201110()00023高等数学（工本）201204() 相关课程()2. 历年真题2.1 00023高等数学（工本）200404高等数学（工本）试题（课程代码0023）一、单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
00023高等数学(工本) 笔记
高等数学是大学阶段数学的重要学科，是理工科学生必修的一门课程。
它不仅是理工科学生的必修课，也是数学专业学生的基础课，其内容包括微积分、复变函数、常微分方程、泛函分析等。
它为学生提供了深刻的数学基础，培养了学生的数学思维和分析解决问题的能力。
以下将对高等数学做一个全面的评估，并撰写一篇深入、广泛的文章。
一、微积分微积分是高等数学中的重要组成部分，涉及到导数、积分、微分方程等内容。
在微积分中，我们学习了函数的极限、导数、微分、积分等内容，在实际运用中常常用于求解函数的极值、曲线的切线方程、定积分的应用等。
二、复变函数复变函数是高等数学中的一门重要课程，其内容包括复数、解析函数、留数定理等。
复变函数的概念和方法对数学、物理、工程等领域具有重要的应用价值，是现代科学技术发展中的重要工具。
三、常微分方程常微分方程是高等数学中的一门重要课程，其内容包括一阶微分方程、高阶微分方程、微分方程的解法等。
常微分方程在科学技术发展中有着广泛的应用，例如在物理学、化学、生物学等领域都有着重要的应用。
四、泛函分析泛函分析是高等数学中的一门重要课程，其内容包括巴拿赫空间、希尔伯特空间、算子理论等。
泛函分析在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用，是数学的重要分支之一。
通过以上论述，我们可以看出高等数学在提升学生的数学素养、提高学生的分析问题的能力方面起着至关重要的作用。
它在实际的科学、技术领域中也有着广泛的应用，对于培养学生的科学技术素养有着重要的作用。
在我个人看来，高等数学是一门非常重要的学科，它不仅有着深厚的理论基础，同时也有着广泛的应用价值。
通过学习高等数学，可以培养学生的抽象思维能力和解决实际问题的能力，帮助学生更好地理解和应用数学知识。
我认为高等数学是大学阶段不可或缺的一门重要学科。
高等数学是一门具有深刻理论基础和广泛应用价值的学科，对于培养学生的数学思维和解决问题的能力有着重要的作用。
通过学习高等数学，可以帮助学生更好地理解和应用数学知识，为他们未来的学习和工作打下坚实的数学基础。
自考00023《高等数学(工本)》考点押题版
1. a b a x bx a y b y a z bz
2. a b 的充要条件是： a b 0
3. cos( ab)
ab ab
2：向量的向量积{一级重点}{选择、计算} 公式：
i
1. a b a x
j ay by
k a z (a y bz a z b y )i (a z bx a x bz ) j (a x b y a y bx )k bz
2
1
dx
r2 ( )
r1 ( )
rdr
z 2 ( r , )
z1 ( r , )
f (r cos , r sin , z )dz
x r cos sin 3. 利用球面坐标计算： 为 y r sin sin y r cos
z z u z v x u x v x
z z u z v y u y v y
2. 设 z f (u, v), u ( x, y ), v ( x, y )
dz z du z dv dx u dx v dx
3. 设 F ( x, y, z ) 0
f ( x, y)dxdy, 曲面 : z
D
f ( x, y )
2. 设 V 为 的体积： V dv
3. 设 为曲面 z f ( x, y )
曲面的面积为 S
1 f x2 f y2 d
第四章 曲线积分与曲面积分
1：两类曲线积分的计算{一类重点}{计算题} 公式： 1. 对弧长的曲线积分计算： {1}若 L： y f ( x), a x b ，则
2023年4月自考00023《高等数学(工本)》真题
2023年4月自考00023《高等数学（工本）》真题2023年4月自考00023《高等数学（工本）》真题一.单项选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分。
在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的,请将其选出。
1.设向量α={- 1,1,1},且b ={2,- 1,2},则α* b=A.-2B.-1C.1D.22.设函数z=xy,则全微分dz=A.B.dx+dyC.ydx+xdyD.xdx+ydy3.下列微分方程中,可分离变量的微分方程是A.B.C.D.4.设级数收敛，则x的取值可为下列数值中的B.-1C.D.15.设积分区域D:,则二重积分A.0B.6C.12D.186.将oxy平面上的曲线绕x轴旋转一周，所得旋转曲面方程为A.B.C.D.7.极限A.0B.1C.2D.8.设积分区域A.B.D.9.级数的和为A.B.-1C.D.110.当x0时，下列函数中是微分方程满足的特解y=A.x+1B.2xC.D.第二部分非选择题二,计算题:本大题共10小题,每小题6分,共60分。
11.求过点(3,- 2,1)且在三个坐标轴上的截距相等的平面方程.12.求过点(1,2,-3)且与直线平行的直线方程.13.求曲面在点（2，2，1）处的切平面方程.14.求函数在点(1,1,1)处的梯度.15.设z=z(x,y)由方程所确定，求16.计算二重积分，其中积分区域17.计算的对弧长的曲线积分其中L是由点A(0,-2)沿x=到点B(0,2)的圆弧段.18.计算对坐标的曲线积分其中L是由所围闭区域D的取正向的边界曲线.19.判断级数的敛散性.20.求微分方程的通解三.综合题:本大题共2小题,每小题5分,共10分。
21.求幂级数的收敛半径和收敛区间22.计算对坐标的曲面分其中是球面被三个坐标面所截得在第一卦限部分曲面得前侧。
整理历年高等数学(工本)00023真题 A4打印版
全国2008年4月高等数学（工本）试题课程代码：00023一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设函数f (x ,y )在(x 0,y 0)处偏导数存在，则f x (x 0,y 0)=（ A ）A ．0lim →∆x x y x f y x x f ∆-∆+),(),(0000B ．0lim →∆x xy x f y x x f ∆-∆+),(),(00 C ．0lim →∆x xy x f y x x f ∆-∆+),(),( D ．0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00 2．设函数f (x ,y )=(4x -x 2) (6y -y 2),则f (x ,y )的一个驻点是（ ）A ．(2，6)B ．（4，3）C ．（0，6）D ．（0，3）3．设f (u )是连续函数，区域D :x 2+y 2≤1，则二重积分⎰⎰D f （22y x +）dxdy =（ ） A ．2⎰01πf (r 2)dr B ．2⎰01πrf (r )dr C ．2⎰01πf (r )dr D ．4⎰01πrf (r )dr 4．微分方程y ''-5y '+6y =x 2e 3x 的一个特解y *可设为（ ）A ．（b 0x 2+b 1x ）e 3xB ．(b 0x 2+b 1x )xe 3xC ．(b 0x 2+b 1x +b 2)e 3xD ．(b 0x 2+b 1x +b 2)xe 3x 5．若∞→n lim u n ≠0,k 是常数，则级数∑∞=1n n ku （ ）A ．收敛B ．条件收敛C ．发散D ．敛散性与k 值有关 二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.在空间直角坐标系中，Oxz 平面上的曲线⎩⎨⎧==022y x z 绕z 轴旋转的旋转曲面方程为______________. 7.设函数z=e -x sin2y,则x z ∂∂|（0，4π）=____________. 8.设∑为上半球面x 2+y 2+z 2=1(z ≥0)，则对面积的曲面积分⎰⎰∑dS =______________. 9.微分方程y ''+4y=0的通解y=______________.10.当|x|＜1时，无穷级数∑∞=+-01)1(n n n x 的和函数为______________.三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）11.求与点P 1(3,-1,2)和点P 2(5,0,-1)的距离都相等的动点轨迹方程.12.设函数z=2y xe-,求yx z ∂∂∂2.13.设函数z=f(x,xy),其中f 是可微函数，求xz ∂∂和y z ∂∂.14.求函数f(x,y)=xy 在点（2，3）处沿从点（2，3）到点（3，3+3）的方向的方向导数.15.求曲面x 2+2y 2-3z =0在点（2，1，2）处的法线方程.16.计算二重积分I=⎰⎰D ydxdy ，其中D 是顶点分别为(0,0)(1,1)(2,0)的三角形闭区域.17.计算三重积分I=⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x )(，其中Ω是由平面x=2,y=2,z=2及坐标面所围成的闭区域.18.计算对弧长的曲线积分⎰L （2x -y +1）ds ,其中L 是直线y =x -1上点（0，-1）到点（1，0）的直线段.19.计算对坐标的曲线积分⎰-L xdy ydx ，其中L 为圆周x 2+y 2=a 2(a ＞0)，沿逆时针方向.20.求微分方程dx dy +x x y n 1=x x n 12的通解.21.判断级数[]∑∞=-+-111)n(1)1(n n n n 是否收敛.如果收敛，是条件收敛还是绝对收敛？22.设函数f (x )=x (0≤x ≤π)展开成正弦级数为∑∞=1sin n n nx b，求系数b 7.四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）23.求函数f (x ,y )=x 3+y 3-3xy 的极值.24.求曲面z =x 2+2y 2及曲面z =6-2x 2-y 2所围成的立体体积.25.将函数f (x )=21x 展开成（x +2）的幂级数.全国2008年10月高等教育自学考试高等数学（工本）试题课程代码：00023一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
历年全国自考高等数学(工本)试题及答案(更新至4月)
全国20XX 年4月高等教育自学考试高等数学（工本）试题课程代码：00023一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题号的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．下列曲面中，母线平行于y 轴的柱面为（ ）A ．z =x 2B ．z = y 2C ．z = x 2 + y 2D ．x + y + z =12．已知函数h (x,y )=x –y+f (x+y ),且h (0,y )=y 2,则f (x+y )为（ ）A ．y (y + 1)B ．y (y - 1)C ．( x + y )( x + y -1)D ．( x + y )( x + y +1)3．下列表达式是某函数u (x,y )的全微分的为（ ）A ．x 2y d x + xy 2d yB ．x d x + xy d yC ．y d x - x d yD ．y d x + x d y4．微分方程y xy d d =x 的阶数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．35．无穷级数∑∞=2!1n n 的和为（ ）A ．e + 1B ．e - 1C ．e - 2D ．e + 2 二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6．已知向量a ={ -2, c, 6}与向量b ={ 1, 4, -3}垂直，则常数c=______.7.函数z =224y x --ln(x 2+y 2-1)的定义域为______.8．二次积分I =⎰⎰--21011d d y x f ( x, y )y ,交换积分次序后I =______.9．已知y =sin2x +ce x 是微分方程y ''+4y =0的解，则常数c =______.10.幂级数∑∞=+013n n n x 的收敛半径R =______. 三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）11．将直线⎩⎨⎧=-++=++0432023z y x z y x 化为参数式和对称式方程. 12.设方程f ( x + y + z, x, x + y )=0确定函数z = z ( x, y ),其中f 为可微函数，求x z ∂∂和y z ∂∂. 13.求曲面z = 2y + ln yx 在点（1，1，2）处的切平面方程. 14.求函数z = x 2 - y 2在点（2，3）处，沿从点A （2，3）到点B （3，3+3）的方向l 的方向导数.15.计算二重积分()⎰⎰+D y x x yd d sin 32，其中积分区域D 是由y = | x |和y =1所围成.16.计算三重积分I =⎰⎰⎰Ωz y x xy d d d ，其中积分区域Ω是由x 2+y 2=4及平面z =0，z =2所围的在第一卦限内的区域. 17.计算对弧长的曲线积分I =⎰L ds y 2，其中L 为圆周x 2+y 2=9的左半圆. 18.计算对坐标的曲线积分I =⎰-++L y y x x x y d )1(d )1(22，其中L 是平面区域D ：x 2 + y 2 ≤4的正向边界.19.验证y 1 = e x ,y 2 = x 都是微分方程（1 – x ）y ''+y x '-y = 0的解，并写出该微分方程的通解。
4月全国自考高等数学(工本)试题及答案解析
1全国2018年4月自学考试高等数学(工本)试题课程代码：00023一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.在空间直角坐标系中,方程1222222=++cz b y a x 表示的图形是( )A.椭圆抛物面B.圆柱面C.单叶双曲面D.椭球面2.设函数z =x 2y ,则=∂∂xz( ) A.212-y yxB.x xyln 2C.x x yln 22 D.()12-y yx3.设Ω是由平面01=-+-z y x 及坐标面所围成的区域,则三重积分=⎰⎰⎰Ωdxdydz ( ) A.81 B.61 C.31 D.21 4.已知微分方程)()(x Q y x P y =+'的两个特解为y 1=2x 和y 2=cos x ,则该微分方程的通解是y =( ) A.2C 1x +C 2cos x B.2Cx +cos x C.cos x +C (2x -cos x ) D.C (2x -cos x )5.设幂级数∑∞--1)3(n n nx a在x =1处收敛,则在x =4处该幂级数( )A.绝对收敛B.条件收敛2C.发散D.敛散性不定二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.设函数y x y z cos sin =,则=∂∂xz. 7.已知dy e dx e y x yx +++是某函数()y x u ,的全微分,则()=y x u , .8.设∑是上半球面()01222≥=++z z y x ,则对面积的曲面积分⎰⎰∑=dS .9.微分方程x y 2sin =''的通解为y= .10.无穷级数∑∞=0!2n nn 的和为 .三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 11.求过点P (3,-1,0)并且与直线321-=-=z y x 垂直的平面方程. 12.设函数()y x x f z -=,3,其中f 是可微函数,求x z ∂∂,yz∂∂. 13.设方程xyx ln=确定函数()y x z z ,=,求全微分dz. 14.求函数()22,xy y x y x f +=在点(1,-1)沿与x 轴正向成30°角的方向l 的方向导数.15.求空间曲线t z t y t x ===,sin ,cos 在点⎪⎪⎭⎫⎝⎛4,22,22π处的切线方程.16.计算二重积分()dxdy e I Dy x⎰⎰+-=22,其中区域D ：.0,422≥≤+y y x17.计算二次积分⎰⎰=22sin ππydx xxdy I . 18.计算对弧长的曲线积分()⎰+-L ds y x 132,其中L 是直线2-=x y 上从点(-1,-3)到点(1,-1)的直线段. 19.计算对坐标的曲线积分⎰+Lydx xdy 其中L 是抛物线2x y =上从点(-2,4)到点(2,4)的一段3弧.20.求微分方程034=+'-''y y y 满足初始条件()8)0(,40='=y y 的特解. 21.判断级数()∑∞=-+-131321n n nn 是否收敛,如果收敛,是条件收敛还是绝对收敛?22.设函数()⎩⎨⎧<≤<≤-=ππx x x x f 0,0,0的傅里叶级数展开式为()∑∞=++10sin cos 2n n n nx b nx a a ,求系数b 7.四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 23.求函数()y x xy y x y x f 311381021,22-----=的极值.24.设曲线()x y y =在其上点(x ,y )处的切线斜率为x +y ,且过点(-1,e -1),求该曲线方程. 25.将函数()2312+-=x x x f 展开为(x +1)的幂级数.。
2010-2014年高等数学(工本)00023历年试题及参考答案
2010-2014年高等数学(工本)00023历年试题及参考答案全国2010年10月自学考试高等数学（工本）试题一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．在空间直角坐标系下，方程2x 2+3y 2=6表示的图形为（ ）A ．椭圆B ．柱面C ．旋转抛物面D ．球面2．极限021lim →→y x arcsin(x +y 2)=（ ）A ．6π B ．3π C ．2π D ．π3．设积分区域22:y x Ω+≤R 2，0≤z ≤1，则三重积分⎰⎰⎰=+Ωdxdydz y x f )(22（ ） A ．⎰⎰⎰π200102)(R dz r f dr d θ B ．⎰⎰⎰π200102)(R dz r f rdr d θ C ．⎰⎰⎰+π2001022)(R rdz y x f dr d θ D ．⎰⎰⎰π00102)(R dz r f rdr d θ4．以y =sin 3x 为特解的微分方程为（ ）A ．0=+''y yB ．0=-''y yC ．09=+''y yD ．09=-''y y 5．设正项级数∑∞=1n n u收敛，则下列无穷级数中一定发散的是（ ）A ．∑∞=+1100n n uB ．∑∞=++11)(n n n u uC ．∑∞=1)3(n nu D ．∑∞=+1)1(n n u二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6．向量a ={1,1,2}与x 轴的夹角=α__________.7．设函数22),(y x xy y x f -=，则=)1,(x y f __________. 8．设∑是上半球面z =221y x --的上侧，则对坐标的曲面积分⎰⎰∑=dxdy y 3__________.9．微分方程x y y sin 3='+'''的阶数是__________.10．设)(x f 是周期为2π的函数，)(x f 在[)ππ,-上的表达式为[)[)⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=.π,0,23sin .0,π,0)(x x x x f )(x S 是)(x f 的傅里叶级数的和函数，则S （0） =__________.三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）11．设平面π过点P 1（1，2，－1）和点P 2（－5，2，7），且平行于y 轴，求平面π的方程.12．设函数22ln y x z +=，求y x z ∂∂∂2. 13．设函数232y x e z -=，求全微分dz .14．设函数)2,(22xy y x f z -=，其中f (u , v )具有一阶连续偏导数，求x z ∂∂和y z ∂∂. 15．求曲面x 2+y 2+2z 2=23在点（1，2，3）处的切平面方程.16．计算二重积分⎰⎰+Ddxdy y x )sin(22，其中积分区域D ：x 2+y 2≤a 2. 17．计算三重积分⎰⎰⎰Ωzdxdydz ，其中Ω是由曲面z =x 2+y 2，z =0及x 2+y 2=1所围区域.18．计算对弧长的曲线积分⎰C ds x 2，其中C 是圆周x 2+y 2=4的上半圆. 19．计算对坐标的曲线积分⎰+-+-C dy y x dx y )21()31(，其中C 为区域D ：| x |≤1，| y |≤1 的正向边界曲线.20．求微分方程02=-+-dy e dx e y x y x 的通解.21．判断无穷级数∑∞=--+1212)1(1n n n 的敛散性. 22．将函数51)(+=x x f 展开为x +1的幂级数. 四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）23．设函数)(xy z ϕ=，其中)(u ϕ为可微函数. 证明：0=∂∂+∂∂yz y x z x 24．设曲线y =y (x )在其上点（x , y ）处的切线斜率为x y x -24，且曲线过点（1，1），求该曲线的方程.25．证明：无穷级数∑∞=-=++-+121)122(n n n n .全国2011年1月自学考试高等数学(工本)试题一、单项选择题(本大题共5小题。
2009年4月高等教育自学考试全国统一命题考试高等数学(工本)试卷
2009年4月高等教育自学考试全国统一命题考试高等数学(工本)试题课程代码：00023一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．向量a ={1,-1,2}与b ={2,1,-1}的夹角为α，则cos α=（ ）A ．B ．C ．D ．2．设函数，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．交换积分顺序，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．微分方程y ＇- y=x 2+1是（ ）A ．一阶线性微分方程B ．二阶线性微分方程C ．齐次微分方程D ．可分离变量的微分方程5．设0≤u n ≤v n (n =1,2,…)，且无穷级数收敛，则无穷级数（）A ．条件收敛B ．绝对收敛C ．发散D ．收敛性不确定二、填空题(本大题共5小题。
每小题2分，共10分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6．过点(-1，2，5)并且平行于oxz 坐标面的平面方程为________.7．设函数z =2x 2y +xy -3x +1，则=________.8．设积分区域D 由x 2+y 2=a 2(a >0)所围成，并且二重积分．，则常数a =________.9．微分方程xdx +ydy =0的通解为________.61-361-36161xy y x y x f --=3),(=)1(y ，f 321y -xy y x --3xy x y --3y y --31=⎰⎰dx y x f dy y 1002),(dy y x f dx x ⎰⎰1002),(dy y x f dx x ⎰⎰1012),(dy y x f dx x ⎰⎰101),(dy y x f dx x⎰⎰100),(∑∞=1n nv ∑∞=1n nu x z∂∂π32222=--⎰⎰dxdy y x a D10．无穷级数的和为________.三、计算题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)11．求过点(3，-1，5)并且与直线平行的直线方程．l2．求曲面z = x 2 + y 2上点(1，l ，2)处的切平面方程．13．求函数f(x,y) = x 2y + xy 2在点P (1，2)处沿方向l ={3，4}的方向导数．14．设函数，求．15．计算二重积分，其中积分区域D 是由及x +y =4所围成． 16．计算三重积分，其中积分区域Ω：0≤x ≤1，0≤y ≤1，1≤z ≤2． 17．计算对弧长的曲线积分，其中C 是连接A (2，0)及B (0,2)两点的直线段．18．验证(2x +y )dx +(x +2y )dy 在整个oxy 平面内是某个二元函数u (x ，y )的全微分，并求这样一个u (x ，y )．19．求微分方程xy ＇- y = 2x 3满足初始条件y (1)=1的特解．20．求微分方程- 4y ＇+ 4y =0的通解． 21．判断级数的敛散性. 22．求幂级数的收敛区间．四、综合题(本大题共3小题，每小题5分，共l5分)23．求函数f (x ，y )=8x 3-12xy + y 3的极值．24．求平面x + y + z = 2在第一卦限部分的面积．25．将函数f (x )=展开为x -1的幂级数．ΛΛ++++++⋅⋅⋅)1(1431321211n n ⎩⎨⎧==21y x y x e z sin 2=y x z∂∂∂2⎰⎰D xdxdy 3x y 3=dydz dx zxy Ω⎰⎰⎰⎰+C ds y x )(〃y ∑∞=++111n n n ∑∞=+-11)1(n n n x x +31。
2009年专升本(高等数学一)真题试卷(题后含答案及解析)
2009年专升本（高等数学一）真题试卷(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．A．0B．2/3C．1D．3/2正确答案：A解析：本题考查的知识点为无穷小量的性质：有界变量与无穷小量之积仍为无穷小量．当x→∞时，1/3x→0，即1/3x为无穷小量，又sin2x为有界变量：-1≤sin2x≤1．由有界变量与无穷小量之积仍为无穷小量可知故选A．2．A．-2B．-1C．1D．2正确答案：B解析：本题考查的知识点为连续的性质：函数f(x)在点x0处连续的充分必要条件是f(x)在点x0左连续且右连续．所给函数f(x)为分段函数，x=1为分段点，在x=1两侧f(x)的表达式不同．应考虑左连续与右连续．注意f(1)=-1．f(x)在点x=1处连续，必有，因此a=1，故选B．3．A．2x-2eB．2x-e2C．2x-eD．2x正确答案：D解析：本题考查的知识点为导数的运算．y=x2-e2，则y’=(x2)’-(e2)’=2x-0=2x．[错误防范] 有些考生没能将e认定为常量，忘记常量的导数为零，错误地选A．4．A．B．C．D．正确答案：C解析：本题考查的知识点为复合函数的微分运算．由于y=e-3x，可得故选C．5．A．1B．1/3C．0D．-1/3正确答案：B解析：本题考查的知识点为复合函数求导运算，在某点处的导数值．故选B．6．A．f(2x)B．2f(x)C．-f(2x)D．-2f(x)正确答案：A解析：本题考查的知识点为可变上限积分求导：若f(x)为连续函数，则F’(x)=，即可变上限的导数为被积函数在上限处值．因此故选A．[错误防范] 有些考生误选B．如果令f1(2t)=f1(x)．则上述错误可以避免．7．A．sinx+CB．-sinx+CC．cosx+CD．-cosx+C正确答案：D解析：本题考查的知识点为不定积分基本公式．∫sinxdx=-cosx+C．故选D．8．A．2x+1B．2xy+1C．x2+1D．2xy正确答案：B解析：本题考查的知识点为偏导数计算．求时，只需将y认定为常量，依一元函数求导法则运算．由于z=x2y+x-3，因此，故选B．9．A．B．C．D．正确答案：C解析：本题考查的知识点为正项级数的比较判别法．由正项级数的比较判别法可知：若与都为正项级数，且un＜vn(n=1，2，…)，则当收敛时，必定收敛．故选C．10．A．B．C．D．正确答案：C解析：本题考查的知识点为求解可分离变量方程．可得，故选C．填空题11．=______．正确答案：e-1解析：本题考查的知识点为重要极限公式．12．______．正确答案：0解析：本题考查的知识点为极限运算．所求极限的表达式为分式，其分母的极限不为零．因此13．设y=e-x，则y“=______”．正确答案：e-x解析：本题考查的知识点为二阶导数运算．14．设，则y’=______．正确答案：解析：本题考查的知识点为导数运算．由于所给函数为分式，由商的求导法则可得15．∫(1-2x)dx=______．正确答案：x-x2+C．解析：本题考查的知识点为不定积分计算．∫(1-2x)dx=∫dx-∫2xdx=x-x2+C．16．=______．正确答案：解析：本题考查的知识点为定积分的换元积分法．设t=x/2，则x=2t，dx=2dt．当x=0时，t=0；当x=π时，t=π/2．因此17．设z=sin(y-x2)，则=______．正确答案：COS(y-x2)．解析：本题考查的知识点为偏导数运算．求时，只需将x认定为常量．z=sin(y-x2)，因此18．过点M0(1，-1，0)且与平面x-y+3z=1平行的平面方程为______．正确答案：(x-1)-(y+1)+3z=0(或x-y+3z=2)．解析：本题考查的知识点为平面方程．已知平面π1：x-y+3z=1的法线向量n1=(1，-1，3)．所求平面π与π1，平行，则平面π的法线向量n∥n1，可取n=(1，-1，3)，由于所给平面过点M0(1，-1，0)．由平面的点法式方程可知所求平面方程为(x-1)-[y-(-1)]+3(z-0)=0，即(x-1)-(y+1)+3z=0，或写为x-y+3z=2．19．设区域D={(x，y)|-1≤x≤1，0≤y≤2}，则______．正确答案：4。
高等数学(工本)00023历年试题及参考答案
高等数学(工本)历年试题及参考答案 自学考试高等数学（工本）试题一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．在空间直角坐标系下，方程2x 2+3y 2=6表示的图形为（ ） A ．椭圆 B ．柱面 C ．旋转抛物面D ．球面2．极限021lim →→y x arcsin(x +y 2)=（ ）A ．6πB ．3π C ．2π D ．π3．设积分区域22:y x Ω+≤R 2，0≤z ≤1，则三重积分⎰⎰⎰=+Ωdxdydz y xf )(22（ ）A ．⎰⎰⎰π200102)(Rdz r f drd θ B ．⎰⎰⎰π20012)(Rdz r f rdrd θC ．⎰⎰⎰+π20122)(Rrdz y x f dr d θD ．⎰⎰⎰π102)(Rdz r f rdrd θ4．以y =sin 3x 为特解的微分方程为（ ） A ．0=+''y y B ．0=-''y y C ．09=+''y y D ．09=-''y y5．设正项级数∑∞=1n nu收敛，则下列无穷级数中一定发散的是（ ）A ．∑∞=+1100n nuB ．∑∞=++11)(n n n u uC ．∑∞=1)3(n nuD ．∑∞=+1)1(n nu二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6．向量a ={1,1,2}与x 轴的夹角=α__________. 7．设函数22),(y x xy y x f -=，则=)1,(x yf __________.8．设∑是上半球面z =221y x --的上侧，则对坐标的曲面积分⎰⎰∑=dxdy y 3__________.9．微分方程x y y sin 3='+'''的阶数是__________.10．设)(x f 是周期为2π的函数，)(x f 在[)ππ,-上的表达式为[)[)⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=.π,0,23sin .0,π,0)(x x x x f )(x S 是)(x f 的傅里叶级数的和函数，则S （0） =__________.三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）11．设平面π过点P 1（1，2，－1）和点P 2（－5，2，7），且平行于y 轴，求平面π的方程. 12．设函数22ln y x z +=，求yx z∂∂∂2.13．设函数232y x e z -=，求全微分dz .14．设函数)2,(22xy y x f z -=，其中f (u , v )具有一阶连续偏导数，求xz ∂∂和y z ∂∂. 15．求曲面x 2+y 2+2z 2=23在点（1，2，3）处的切平面方程. 16．计算二重积分⎰⎰+D dxdy y x )sin(22，其中积分区域D ：x 2+y 2≤a 2.17．计算三重积分⎰⎰⎰Ωzdxdydz ，其中Ω是由曲面z =x 2+y 2，z =0及x 2+y 2=1所围区域.18．计算对弧长的曲线积分⎰Cds x 2，其中C 是圆周x 2+y 2=4的上半圆.19．计算对坐标的曲线积分⎰+-+-Cdy y x dx y )21()31(，其中C 为区域D ：| x |≤1，| y |≤1 的正向边界曲线.20．求微分方程02=-+-dy e dx e y x y x 的通解. 21．判断无穷级数∑∞=--+1212)1(1n n n 的敛散性. 22．将函数51)(+=x x f 展开为x +1的幂级数. 四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）23．设函数)(x yz ϕ=，其中)(u ϕ为可微函数.证明：0=∂∂+∂∂y zy x z x24．设曲线y =y (x )在其上点（x , y ）处的切线斜率为xyx -24，且曲线过点（1，1），求该曲线的方程. 25．证明：无穷级数∑∞=-=++-+121)122(n n n n .全国2011年1月自学考试高等数学(工本)试题一、单项选择题(本大题共5小题。
学历类《自考》自考公共课《高等数学(工本)》考试试题及答案解析
学历类《自考》自考公共课《高等数学（工本）》考试试题及答案解析姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分得分评卷人得分1、将函数展开为2的幂级数．正确答案：答案解析：暂无解析2、证明对坐标的曲线积分曲在整个xoy面内与路径无关．正确答案：答案解析：暂无解析3、求函数f（x，y）（x0，y0）的极值正确答案：答案解析：暂无解析4、已知f(x)是周期为2π的周期函数，它在[-π，π）上的表达式为f（x）=x+1，求f(x)傅里叶级数中系数b正确答案：答案解析：暂无解析5、判断无穷级数的敛散性正确答案：答案解析：暂无解析6、求微分方程的通解正确答案：答案解析：暂无解析7、求微分方程的通解正确答案：答案解析：暂无解析8、计算对坐标的曲线积分，其中N抛物线y=x2上从点A(一1，1)到点B（1,1）的一段弧。
正确答案：答案解析：暂无解析9、计算对弧长的曲线积分，其中C是从点A(3，0)到点B(3，1)的直线段·正确答案：答案解析：暂无解析10、计算三重积分，其中积分区域正确答案：答案解析：暂无解析11、计算二重积分，其中D是由y2=x和y=x2所围成的区域．正确答案：答案解析：暂无解析12、已知方程x2+y2-z2+2z=5确定函数z=z(x，y)，求正确答案：答案解析：暂无解析13、求曲线x=4cost,y=4sint,z=3t在对应于的点处的法平面方程正确答案：答案解析：暂无解析14、求过点A(2，10，4)，并且与直线x=-1+2t,y=1-3t,z=4-t平行的直线方程正确答案：答案解析：暂无解析15、已知向量a={-1，3，2)，b={-3，0，1)，则a×b=A、{3，5，9}B、{-3，5，9)C、(3，-5，9)D、{-3，-5，-9)正确答案：C答案解析：暂无解析16、已知函数，则全微分dz=A、B、C、D、正确答案：D答案解析：暂无解析17、设积分区域D：x²+y²≤4，则二重积分A、B、C、D、正确答案：A答案解析：暂无解析18、微分方程是A、可分离变量的微分方程B、齐次微分方程C、一阶线性齐次微分方程D、一阶线性非齐次微分方程正确答案：A答案解析：暂无解析19、无穷级数的敛散性为A、条件收敛B、绝对收敛C、发散D、敛散性无法确定正确答案：B答案解析：暂无解析20、已知无穷级数，则u1=正确答案：答案解析：暂无解析21、已知点p（-4,2+√3,2-√3）和点Q（-1，√3,2），则向量的模=正确答案：6.4答案解析：暂无解析22、已知函数f（x，y）=，则=正确答案：答案解析：暂无解析23、设积分区域D：|x|≤1，0≤y≤a，且二重积分，则常数a=正确答案：8.4答案解析：暂无解析24、微分方程的特解y*=正确答案：答案解析：暂无解析25、求过点A(2，10，4)，并且与直线x=-1+2t,y=1-3t,z=4-t平行的直线方程正确答案：答案解析：暂无解析26、求曲线x=4cost,y=4sint,z=3t在对应于的点处的法平面方程正确答案：答案解析：暂无解析27、已知方程x2+y2-z2+2z=5确定函数z=z(x，y)，求正确答案：答案解析：暂无解析28、计算二重积分，其中D是由y2=x和y=x2所围成的区域．正确答案：答案解析：暂无解析29、计算三重积分，其中积分区域正确答案：答案解析：暂无解析30、计算对弧长的曲线积分，其中C是从点A(3，0)到点B(3，1)的直线段·正确答案：答案解析：暂无解析。
成人自考00023《高等数学(工本)》考点
第一章空间解析几何与向量代数考点一：空间直角坐标系1．空间直角坐标系建立过空间定点O作三条垂直的数轴，以O为原点，具有相同单位长度，三条数轴分别为x轴、y轴、z轴，统称坐标轴。
三条坐标轴的任意两条都可确定一个平面，称为坐标面。
分别是x和y确定的Oxy平面，y和z确定的Oyz平面,x和z确定的Oxz平面。
三个相互垂直的坐标面把空间分为八个部分，每一部分称为一个卦象。
2．空间中两点间的距离公式设空间两点（）,（）,他们两点之间的距离为：||==。
特别地，点P（x，y，z）到原点O（0，0，0）的距离|OP|=。
考点二：向量代数1.向量的概念由数值决定大小的量，如：质量，温度，面积，密度等，称之为标量（数量）。
有大小还有方向，如：力，加速度，速度等，称之为向量。
空间中以A为起点，B为终点的线段称为有向线段，记为，简记为，将向量的长度记为||或||，称为向量的模。
如果向量的模为零，称为零向量。
定义1：如果两个向量与的长度相等且方向相同，则称这两个向量是相等的向量，记作=。
一个向量在空间中平移到任何位置而得到的向量与原向量相等，称为自由向量。
将若干个向量起点平移到同一个点后，它们的起点和终点都位于同一直线上，则称向量是共线的；起点和终点都位于同一个平面上，则称这些向量是共面的。
不论长度大小，两向量与的方向相反或相同，称与平行，记为。
2.向量的加法平行四边形法则：给定两个向量与，平移到同一个O点，设它们终点为A和B，则=，=，以，为邻边构造一个平行四边形OBCA。
以O为起点C为终点的向量=称为向量与的和，记为+=，即+=。
三角形法则：给定两个向量与，将平移，使其起点平移到的终点，此时的终点与用平行四边形法则确定的点C重合，从而=，于是与的和为+=。
零向量起点与终点重合，对于任何向量，三角形法则可得+0=。
向量加法的逆运算称为向量减法。
给定向量与，如存在使得=，则称是向量与的差，记为-=。
设=，=，有三角形法则可知=+，于是-=。
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2009年4月高等教育自学考试全国统一命题考试
高等数学(工本)试题
课程代码：00023
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．向量a ={1,-1,2}与b ={2,1,-1}的夹角为α，则cos α=（ ）
A ．61
- B ．361
-
C ．361
D ．61
2．设函数xy y x y x f --=3),(，则=)1(y ，f （ ）
A ．321y -
B ．xy y x --3
C ．xy x y --3
D ．y y --31
3．交换积分顺序，则=⎰⎰dx y x f dy y
1002
),(（ ）
A ．dy y x f dx x ⎰⎰1002
),( B ．dy y x f dx x ⎰⎰1012),(
C ． dy y x f dx x ⎰⎰101),(
D ．dy y x f dx x
⎰⎰100),(
4．微分方程y ＇- y=x 2+1是（ ）
A ．一阶线性微分方程
B ．二阶线性微分方程
C ．齐次微分方程
D ．可分离变量的微分方程
5．设0≤u n ≤v n (n =1,2,…)，且无穷级数∑∞=1n n v 收敛，则无穷级数∑∞
=1
n n u （
）
A ．条件收敛
B ．绝对收敛
C ．发散
D ．收敛性不确定
二、填空题(本大题共5小题。
每小题2分，共10分)
请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6．过点(-1，2，5)并且平行于oxz 坐标面的平面方程为________.
7．设函数z =2x 2y +xy -3x +1，则x z
∂∂=________.
8．设积分区域D 由x 2+y 2=a 2(a >0)所围成，并且二重积分．
π3
2222=--⎰⎰dxdy y x a D ，则常数a =________. 9．微分方程xdx +ydy =0的通解为________.
10．无穷级数 ++++++⋅⋅⋅)
1(1431321211n n 的和为________. 三、计算题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
11．求过点(3，-1，5)并且与直线⎩
⎨⎧==21y x 平行的直线方程． l2．求曲面z = x 2 + y 2上点(1，l ，2)处的切平面方程．
13．求函数f(x,y) = x 2y + xy 2在点P (1，2)处沿方向l ={3，4}的方向导数．
14．设函数y x e z sin 2=，求y
x z ∂∂∂2． 15．计算二重积分⎰⎰D xdxdy 3，其中积分区域D 是由x
y 3=及x +y =4所围成． 16．计算三重积分dydz dx z
xy Ω⎰⎰⎰，其中积分区域Ω：0≤x ≤1，0≤y ≤1，1≤z ≤2． 17．计算对弧长的曲线积分⎰+C
ds y x )(，其中C 是连接A (2，0)及B (0,2)两点的直线段． 18．验证(2x +y )dx +(x +2y )dy 在整个oxy 平面内是某个二元函数u (x ，y )的全微分，并求这样一个u (x ，y )．
19．求微分方程xy ＇- y = 2x 3满足初始条件y (1)=1的特解．
20．求微分方程〃y - 4y ＇+ 4y =0的通解．
21．判断级数∑∞=++1
11n n n 的敛散性. 22．求幂级数∑
∞=+-11)1(n n
n x 的收敛区间． 四、综合题(本大题共3小题，每小题5分，共l5分)
23．求函数f (x ，y )=8x 3-12xy + y 3
的极值．
24．求平面x + y + z = 2在第一卦限部分的面积．
25．将函数f (x )=x
+31展开为x -1的幂级数．。