高中数学 电子题库 模块综合检测 苏教版选修2-1
苏教版数学选修2-1：第1章章末综合检测
(时间：120分钟；满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)1.给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．解析：易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题．故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题有一个．答案：12.a <0是方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根的______条件．解析：由Δ＝22－4a >0，得a <1时方程有根；a <0时，x 1x 2＝1a<0，方程有负根，又a ＝1时，方程根为x ＝－1.答案：充分不必要3.命题“若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1”的逆否命题是______．解析：命题的条件为“x 2≥1”，结论为“x ≥1或x ≤－1”，否定结果作条件，否定条件作结论，即为其逆否命题．答案：若－1<x <1，则x 2<14.下列命题：①G ＝ab (G ≠0)是a ，G ，b 成等比数列的充分不必要条件；②若角α，β满足cos αcos β＝1，则sin(α＋β)＝0；③若不等式|x －4|<a 的解集非空，则必有a >0；④函数y ＝sin x ＋sin|x |的值域是[－2，2]． 其中正确命题的序号是________(把你认为正确的命题序号都填上)．解析：当G ＝ab (G ≠0)时，有G 2＝ab ，所以a ，G ，b 成等比数列，但当a ，G ，b 成等比数列时，还可以有G ＝－ab ，所以G ＝ab (G ≠0)是a ，G ，b 成等比数列的充分不必要条件，故①正确；当cos αcos β＝1时，有cos α＝cos β＝－1或cos α＝cos β＝1，即α＝2k 1π＋π(k 1∈Z )，β＝2k 2π＋π(k 2∈Z )或α＝2k 3π(k 3∈Z )，β＝2k 4π(k 4∈Z )，这时α＋β＝2(k 1＋k 2)π＋2π(k 1，k 2∈Z )或α＋β＝2(k 3＋k 4)π(k 3，k 4∈Z )，必有sin(α＋β)＝0，故②正确；由于|x －4|的最小值等于0，所以当a ≤0时，不等式|x －4|<a 的解集是空集，如果不等式|x －4|<a 的解集非空，必有a >0，故③正确；函数y ＝sin x ＋sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，x ≥00，x <0，所以该函数的值域为[－2，2]，故④正确． 答案：①②③④5.给出命题：①∀x ∈(－∞，1)，使x 3<1；②∃x ∈Q ，使x 2＝2；③∀x ∈N ，有x 3>x 2；④∀x ∈R ，有x 2＋4>0.其中的真命题是________(填序号)．解析：方程x 2＝2的解只有无理数x ＝±2，所以不存在有理数x 使得方程x 2＝2成立，故②为假命题；比如存在x ＝0，使得03＝02，故③为假命题，①④显然正确．答案：①④6.若非空集合A ，B ，C 满足A ∪B ＝C ，且B 不是A 的子集，则“x ∈C ”是“x ∈A ”的________条件．解析：x ∈A ⇒x ∈C ，但是x ∈C 不能推出x ∈A .答案：必要不充分7.“a ＝18”是“对任意的正数x ，2x ＋a x≥1”的________条件． 解析：a ＝182x ＋a x ＝2x ＋18x ≥22x ×18x ＝1，另一方面对任意正数x ，2x ＋a x≥1只要2x ＋a x ≥22x ×a x ＝22a ≥1⇒a ≥18. 答案：充分不必要8.已知命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对∀x ∈R 恒成立；命题q ：函数y ＝－(4－2a )x 是R 上的减函数．若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：先简化命题p 、q ，构建关于a 的关系式．由x 2＋2ax ＋4>0对∀x ∈R 恒成立，得Δ＝(2a )2－4×4<0，解得－2<a <2.所以p ：－2<a <2.由y ＝－(4－2a )x 是R 上的减函数，得4－2a >1，解得a <32. 所以q ：a <32. 由“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假知，p 与q 中必有一真一假，即p 真q 假或p 假q 真．所以⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a ≥32，或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a <32，从而得32≤a <2或a ≤－2. 答案：[322)∪(－∞，－2] 9.已知函数f (x )、g (x )定义在R 上，h (x )＝f (x )·g (x )，则“f (x )、g (x )均为奇函数”是“h (x )为偶函数”的________条件．解析：由f (x )、g (x )均为奇函数可得h (x )＝f (x )·g (x )为偶函数，反之则不成立，如h (x )＝x 2是偶函数，而f (x )＝x 2x －1g (x )＝x －1都不是奇函数． 答案：充分不必要10.已知命题p ：不等式x (x －1)<0的解集是{x |0<x <1}，命题q ：“A ＝B ”是“cos A ＝cos B ”成立的必要不充分条件，则下列正确的是________．①p 真q 假；②p ∧q 为真；③p ∨q 为假；④p 假q 真．解析：对于命题p ，由x (x －1)<0，解得0<x <1，故解集是{x |0<x <1}，因此命题p 为真命题；对于命题q ，由A ＝B ，一定有cos A ＝cos B ，但当cos A ＝cos B 时，不一定有A ＝B ，所以“A ＝B ”是“cos A ＝cos B ”成立的充分不必要条件，因此命题q 为假命题．答案：①11.已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，那么实数m 的取值范围是____________．解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，即m ≥3.又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，即m <8.故实数m 的取值范围是3≤m <8.答案：3≤m <812.给出下列四个命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b ≤－1，则x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实数根”的逆否命题；④若sin α＋cos α>1，则α必定是锐角．其中真命题的序号是________(请把所有真命题的序号都填上)．解析：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题为“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，是真命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题为“两个三角形不相似，则周长不相等”，显然是假命题；③∵b ≤－1，∴Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ≥4>0，∴“若b ≤－1，则x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实数根”为真命题，∴其逆否命题也是真命题；④∵当α＝7π3时，sin α＋cos α>1成立，∴此命题是假命题． 答案：①③13.已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若上述两个命题都是真命题，则实数a 的取值范围为________．解析：由∀x ∈[0，1]，a ≥e x ，得a ≥e ；由∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0，得Δ＝42－4a ≥0，解得a ≤4，从而a 的取值范围为[e ，4]．答案：[e ，4]14.已知“关于x 的不等式x 2－ax ＋2x 2－x ＋1<3对于∀x ∈R 恒成立”的充要条件是“a ∈(a 1，a 2)”，则a 1＋a 2＝________．解析：∵x 2－x ＋1>0，∴原不等式化为x 2－ax ＋2<3x 2－3x ＋3，即2x 2＋(a －3)x ＋1>0.∵∀x ∈R 时，2x 2＋(a －3)x ＋1>0恒成立，∴Δ＝(a －3)2－8<0.∴3－22<a <3＋22，∴a 1＋a 2＝6.答案：6二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)将命题“ab ＝0，则a ，b 中至少有一个为0”改写为“若p 则q ”的形式，写出其逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．解：原命题：若ab ＝0，则a ，b 中至少有一个为0.是真命题；逆命题：若a ，b 中至少有一个为0，则ab ＝0.是真命题；否命题：若ab ≠0，则a ，b 中都不为0.是真命题；逆否命题：若a ，b 中都不为0，则ab ≠0.是真命题．16.(本小题满分14分)写出下列命题的否定，并判断真假．(1)正方形都是菱形；(2)∃x ∈R ，使4x －3>x ；(3)∀x ∈R ，有x ＋1＝2x ；(4)集合A 是集合A ∩B 或集合A ∪B 的子集．解：(1)命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．(2)命题的否定：∀x ∈R ，有4x －3≤x .因为当x ＝2时，4×2－3＝5>2，所以“∀x ∈R ，有4x －3≤x ”是假命题．(3)命题的否定：∃x ∈R ，使x ＋1≠2x .因为当x ＝2时，x ＋1＝2＋1＝3≠2×2，所以“∃x ∈R ，使x ＋1≠2x ”是真命题．(4)命题的否定：集合A 既不是集合A ∩B 的子集也不是集合A ∪B 的子集，是假命题．17.(本小题满分14分)已知两个命题r (x )：sin x ＋cos x >m ，s (x )：x 2＋mx ＋1>0.如果对∀x∈R ，r (x )与s (x )有且仅有一个是真命题．求实数m 的取值范围．解：∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≥－2， ∴当r (x )是真命题时，m <－ 2.又∵对∀x ∈R ，s (x )为真命题，即x 2＋mx ＋1>0恒成立，有Δ＝m 2－4<0，∴－2<m <2.∴当r (x )为真，s (x )为假时，m <－2，同时m ≤－2或m ≥2，即m ≤－2；当r (x )为假，s (x )为真时，m ≥－2且－2<m <2，即－2≤m <2.综上，实数m 的取值范围是m ≤－2或－2≤m <2.18.(本小题满分16分)已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，求实数m 的取值范围． 解：由不等式|x －m |<1得m －1<x <m ＋1； 因为不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，所以⎩⎨⎧m －1≤13m ＋1≥12⇒－12≤m ≤43；经检验知，等号可以取得；所以－12≤m ≤4319.(本小题满分16分)已知x ，y ∈R ，求证|x ＋y |＝|x |＋|y |的成立的充要条件是xy ≥0. 证明：充分性：如果xy ＝0，那么x ＝0，y ≠0或x ≠0，y ＝0或x ＝0，y ＝0，于是|x ＋y |＝|x |＋|y |； 如果xy >0，即x >0，y >0或x <0，y <0，当x >0，y >0时，|x ＋y |＝x ＋y ＝|x |＋|y |，当x <0，y <0时，|x ＋y |＝－x －y ＝(－x )＋(－y )＝|x |＋|y |，总之，当xy ≥0时，|x ＋y |＝|x |＋|y |.必要性：由|x ＋y |＝|x |＋|y |及x ，y ∈R 得(x ＋y )2＝(|x |＋|y |)2，即x 2＋2xy ＋y 2＝x 2＋2|xy |＋y 2，得|xy |＝xy ，所以xy ≥0，故必要性成立；综上，原命题成立．20.(本小题满分16分)(1)设集合M ＝{x |x >2}，P ＝{x |x <3}，则“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的什么条件？(2)求使不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立的充要条件．解：(1)x ∈M 或x ∈P ⇒x ∈R ，x ∈(M ∩P )⇔x ∈(2，3)，因为x ∈M 或x ∈P ⇒/ x ∈(M ∩P )，但x ∈(M ∩P )⇒x ∈M 或x ∈P .故“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的必要不充分条件．(2)当m ≠0时，不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立⇒⎩⎪⎨⎪⎧4m <0，Δ＝4m 2＋16m <0，⇔－4<m <0.又当m ＝0时，不等式4mx 2－2mx －1<0，对x ∈R 恒成立．故使不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立的充要条件是－4<m ≤0.。
苏教版数学选修2-1：第3章章末综合检测
(时间：120分钟；满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)1.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，点O 为空间任意一点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则向量OD →用a ，b ，c 可表示为________．解析：OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋BC →＝OA →＋(OC →－OB →) ＝a －b ＋c . 答案：a －b ＋c2.已知空间四边形ABCD 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝3MA ，N 为BC 中点，则MN →＝________.(用a ，b ，c 表示)解析：显然MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－34OA →.答案：－34a ＋12b ＋12c3.在下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是________(填序号)． ①OM →＝3OA →－OB →－OC →；②OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →；③MA →＋MB →＋MC →＝0；④OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0.解析：①对，空间的四点M ，A ，B ，C 共面只需满足OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x ＋y ＋z ＝1即可．根据空间向量共面定理可知③也能使M 与A ，B ，C 共面．答案：①③4.已知向量a ＝(2，－3，0)，b ＝(k ，0，3)，若a ，b 成120°的角，则k ＝________．解析：cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝2k 13×9＋k 2＝－12<0∴k <0，∴k ＝－39.答案：－395.已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝4，AD ＝3，AA ′＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′等于________．解析：只需将AC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→，运用向量运算|AC ′→|＝|AC ′→|2即可． 答案：856.已知A (－1，－2，6)，B (1，2，－6)，O 为坐标原点，则向量OA →与OB →的夹角是________．解析：利用cos 〈OA →，OB →〉＝OA →·OB →|OA →||OB →|，计算结果为－1.答案：π7.设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 是________三角形．解析：过点A 的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形． 答案：锐角8.空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝60°，则cos 〈OA →，BC →〉＝________．解析：选择一组基向量OA →，OB →，OC →，再来处理OA →·BC →的值． 答案：09.已知A (1，1，1)，B (2，2，2)，C (3，2，4)，则△ABC 的面积为________．解析：应用向量的运算，计算出cos 〈AB →，AC →〉，再计算sin 〈AB →，AC →〉，从而得S ＝12|AB→||AC →|sin 〈AB →，AC →〉＝62.答案：6210.下列命题：①若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则n 1∥n 2⇔α∥β； ②若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n 1·n 2＝0； ③若n 是平面α的法向量，a 与α共面，则n ·a ＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直； 其中正确的个数为________．解析：①中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，易知②③④正确答案：311.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则sin 〈CM →，D 1N →〉的值为________．解析：设正方体棱长为2，以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴建立空间直角坐标系，如图，可知CM →＝(2，－2，1)，D 1N →＝(2，2，－1)，所以cos 〈CM →，D 1N →〉＝－19，故 sin 〈CM →，D 1N →〉＝459.答案：45912.已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，则直线AE 与平面ABC 1D 1所成角的正弦值________．解析：如图所示，建立空间直角坐标系，则AB →＝(0，1，0)，AD 1→＝(－1，0，1)，AE →＝(0，12，1)；设平面ABC 1D 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AD 1→＝0，可解得一个n ＝(1，0，1)；设直线AE 与平面ABC 1D 1所成角为θ，则sin θ＝|AE →·n ||AE →||n |＝105.答案：10513.在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，侧棱AA 1＝2，D ，E 分别是CC 1，A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ，则A 1B 与平面ABD 所成角的余弦值为________．解析：以C 为坐标原点，CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，CC 1所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CA ＝CB ＝a ，则A (a ，0，0)，B (0，a ，0)，A 1(a ，0，2)，D (0，0，1)∴E (a 2，a 2，1)，G (a 3，a 3，13)，∴GE →＝(a 6，a 6，23)，BD →＝(0，－a ，1)，∵点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ， ∴GE ⊥平面ABD ， ∴GE →·BD →＝0.解得a ＝2.∴GE →＝(13，13，23)，BA 1→＝(2，－2，2)．∵GE →⊥平面ABD ，∴GE →为平面ABD 的一个法向量，那么cos 〈GE →，BA 1→〉＝GE →·BA 1→|GE →||BA 1→|＝4363×23＝23，∴A 1B 与平面ABD 所成角的余弦值为1－（23）2＝73. 答案：7314.在空间直角坐标系中，定义：平面α的一般方程为Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0(A ，B ，C ，D∈R ，且A ，B ，C 不同时为零)，点P (x 0，y 0，z 0)到平面α的距离为：d ＝|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C2，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O 到侧面的距离等于________．解析：如图，以底面中心O 为原点建立空间直角坐标系O －xyz ，则A (1，1，0)，B (－1，1，0)，P (0，0，2)，设平面PAB 的方程为Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0，将以上3个坐标代入计算得A ＝0，B ＝－D ，C ＝－12D ，所以－Dy －12Dz ＋D ＝0，即2y ＋z －2＝0，则d ＝|2×0＋0－2|22＋1＝255.答案：255二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)已知：E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：(1)E 、F 、G 、H 四点共面；(2)BD ∥平面EFGH .证明：(1)如图所示，连结EG ，∵E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴BG →＝12BC →＋BD →)，12BD →＝EH →； ∴EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →；∴由共面向量定理知：EG →，EF →，EH →共面； ∴E 、F 、G 、H 四点共面．(2)∵EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →，∴EH ∥BD ； 又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， ∴BD ∥平面EFGH .16.(本小题满分14分)已知空间向量AB →，AC →，AD →等满足|AC →|＝5，|AB →|＝8，AD →＝511DB →，且CD →·AB →＝0.(1)求|AB →－AC →|；(2)设∠BAC ＝θ，且已知cos(θ＋x )＝45，－π<x <－π4，求sin(θ＋x )．解：(1)由已知得AB →＝DB →－DA →＝DB →＋AD →＝1611DB →，所以DB →＝1116AB →，AD →＝511DB →＝516AB →，则|AD →|＝516|AB →|＝52，|DB →|＝112，因为CD →·AB →＝0，所以CD ⊥AB ，在Rt △BCD 中，BC 2＝BD 2＋CD 2，又CD 2＝AC 2－AD 2，所以BC 2＝BD 2＋AC 2－AD 2＝49，所以|AB →－AC →|＝|CB →|＝7.(2)在Rt △ADC 中，cos ∠BAC ＝12，所以θ＝π3；所以cos(θ＋x )＝cos(π3＋x )＝45，故sin(π3＋x )＝±35.而－π<x <－π4，∴－2π3<π3＋x <π12.如果0<π3＋x <π12，则sin(π3＋x )<sin π12<sin π6<12<35，故sin(π3＋x )＝35舍去，所以sin(π3＋x )＝－35.17.(本小题满分14分)在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，AB ＝3，BC ＝1，PA ＝2，E 为PD 的中点．(1)求直线AC 与PB 所成角的余弦值；(2)在侧面P AB 内找一点N ，使NE ⊥面P AC ，并求出点N 到AB 和AP 的距离．解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A ，B ，C ，D ，P ，E 的坐标为A (0，0，0)、B (3，0，0)、C (3，1，0)、D (0，1，0)、P (0，0，2)、E (0，12，1)，从而AC →＝(3，1，0)，PB →＝(3，0，－2)，设AC →与PB →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·PB →|AC →||PB →|＝327＝3714，∴AC 与PB 所成角的余弦值为3714.(2)由于N 点在侧面PAB 内，故可设N 点坐标为(x ，0，z )，则NE →＝(－x ，12，1－z )，由NE ⊥面PAC ，可得⎩⎪⎨⎪⎧NE →·AP →＝0，NE →·AC →＝0，即⎩⎨⎧（－x ，12，1－z ）·（0，0，2）＝0，（－x ，12，1－z ）·（3，1，0）＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧z －1＝0，－3x ＋12＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝36，z ＝1.即N 点的坐标为(36，0，1)，从而N 点到AB 和AP 的距离分别为1，36.18.(本小题满分16分)已知一个多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截而得到的，其中AB ＝4，BC ＝2，CC 1＝3，BE ＝1.(1)求BF 的长；(2)求点C 到平面AEC 1F 的距离．解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系．则D (0，0，0)，B (2，4，0)，C (0，4，0)，E (2，4，1)，A (2，0，0)，C 1(0，4，3)； 设F (0，0，z )，∵四边形AEC 1F 为平行四边形， ∴AF →＝EC 1→，得(－2，0，z )＝(－2，0，2)，∴z ＝2，∴F (0，0，2)，∴BF →＝(－2，－4，2)．于是|BF →|＝26，即BF 的长为2 6.(2)设n 1为平面AEC 1F 的法向量，显然n 1不垂直于平面ADF ，故可设n 1＝(x ，y ，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AE →＝0，n 1·AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧0×x ＋4×y ＋1＝0，－2×x ＋0×y ＋2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4y ＋1＝0，－2x ＋2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－14.∴n 1＝(1，－14，1)． 又CC 1→＝(0，0，3)，设CC 1→与n 1的夹角为α，则cos α＝CC 1→·n 1|CC 1→||n 1|＝33×1＋116＋1＝43333.∴C 到平面AEC 1F 的距离为d ＝|CC 1→|cos α＝3×43333＝43311.19.(本小题满分16分)如图，四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ＝DC ＝12AB ，M 是PB 的中点．(1)证明：面P AD ⊥面PCD ；(2)求AC 与PB 所成角的余弦值；(3)求面AMC 与面BMC 所成二面角的余弦值．解：以A 为坐标原点，AD 长为单位长度，如图所示，建立空间直角坐标系，则各点坐标为A (0，0，0)，B (0，2，0)，C (1，1，0)，D (1，0，0)，P (0，0，1)，M (0，1，12)．(1)证明：因AP →＝(0，0，1)，DC →＝(0，1，0)， 故AP →·DC →＝0， 所以AP ⊥DC .由题设知AD ⊥DC ，且AP ∩AD ＝A ，由此得DC ⊥面PAD .又DC 在面PCD 上，故面P AD ⊥面PCD .(2)因为AC →＝(1，1，0)，PB →＝(0，2，－1)， 故|AC →|＝2，|PB →|＝5，AC →·PB →＝2，所以cos 〈AC →，PB →〉＝AC →·PB →|AC →||PB →|＝105.故所求AC 与PB 所成角的余弦值为105.(3)在MC 上取一点N (x ，y ，z )，则存在λ∈R ，使NC →＝λMC →，∵NC →＝(1－x ，1－y ，－z )，MC →＝(1，0，－12)，∴x ＝1－λ，y ＝1，z ＝12λ.要使AN ⊥MC ，只需AN →·MC →＝0，即x －12z ＝0，解得λ＝45.可知当λ＝45时，N 点坐标为(15，1，25)，∴AN →·MC →＝0，此时AN →＝(15，1，25)，BN →＝(15，－1，25)，有BN →·MC →＝0.由AN →·MC →＝0，BN →·MC →＝0得AN ⊥MC ，BN ⊥MC ，所以∠ANB 为面AMC 与面BMC 所成二面角的平面角．∵|AN →|＝305，|BN →|＝305，AN →·BN →＝－45，∴cos 〈AN →，BN →〉＝AN →·BN →|AN →||BN →|＝－23，故所求的二面角的余弦值为－23.20.(本小题满分16分)已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ＝2，A 1在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知BA 1⊥AC 1.(1)求证：AC 1⊥平面A 1BC ；(2)求点C 1到平面A 1AB 的距离； (3)求二面角A －A 1B －C 的余弦值．解：如图所示，取AB 的中点E ，则DE ∥BC ， 因为BC ⊥AC ， 所以DE ⊥AC ，又A 1D ⊥平面ABC ，以DE ，DC ，DA 1为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则A (0，－1，0)，C (0，1，0)，B (2，1，0)，A 1(0，0，t )，C 1(0，2，t )．(1)证明：∵AC 1→＝(0，3，t )，BA 1→＝(－2，－1，t )，CB →＝(2，0，0)，由AC 1→·CB →＝0，知AC 1⊥CB ，又BA 1⊥AC 1，CB ∩BA 1＝B ，所以AC 1⊥平面A 1BC .(2)由AC 1→·BA 1→＝－3＋t 2＝0，得t ＝ 3. 设平面A 1AB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 又AA 1→＝(0，1，3)，AB →＝(2，2，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·AA 1→＝y ＋3z ＝0，n ·AB →＝2x ＋2y ＝0，设z ＝1，则n ＝(3，－3，1)，所以点C 1到平面A 1AB 的距离d ＝|AC 1→·n ||n |＝2217.(3)设平面A 1BC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， CA 1→＝(0，－1，3)，CB →＝(2，0，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ·CA 1→＝－y ＋3z ＝0m ·CB →＝2x ＝0，设z ＝1，则m ＝(0，3，1)．cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－77，根据法向量的方向，可知二面角A －A 1B －C 的平面角的余弦值为77.。
苏教版数学选修2-1：模块综合检测(A) 课时作业(含答案)
模块综合检测(A)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知p ：2x －3<1，q ：x(x －3)<0，则p 是q 的________________条件．2．命题“若△ABC 不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是________________________________________________________________________． 3．下列结论正确的个数是________．①命题“所有的四边形都是矩形”是存在性命题； ②命题“∀x ∈R ，x 2＋1<0”是全称命题；③若p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋1≤0，则⌝p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1≤0.4．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，那么实数m 的取值范围是___________________________________________________________________． 5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为________________．6．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为________．7．设O 为坐标原点，F 1、F 2是x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足∠F 1PF 2＝60°，OP ＝7a ，则该双曲线的渐近线方程为__________________________________________________________________． 8．若a 与b －c 都是非零向量，则“a·b ＝a·c ”是“a ⊥(b －c )”的________条件． 9.如图所示，正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，M 是AB 的中点，则sin 〈DB ′→，CM →〉的值是______．10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的焦点分别为F 1、F 2，b ＝4，离心率为35.过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为________．11．设F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点．若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°，且AF 1＝3AF 2，则该双曲线的离心率为______．12．直线l 的方程为y ＝x ＋3，P 为l 上任意一点，过点P 且以双曲线12x 2－4y 2＝3的焦点为焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为________．13．已知点M 是△ABC 所在平面内的一个点，并且对于空间任意一点O ，有OM →＝－23OA→＋3OB →＋mOC →，则m 的值为________．14．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为________． 二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知p ：2x 2－9x ＋a <0，q ：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0x 2－6x ＋8<0， 且⌝q 是⌝p 的必要条件，求实数a 的取值范围．16.(14分)设P 为椭圆x 2100＋y 264＝1上一点，F 1、F 2是其焦点，若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积．17．(14分)已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1交于A，B两点．(1)求a的取值范围；(2)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值．18.(16分)如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.证明：(1)P A∥平面EDB；(2)PB⊥平面EFD.19．(16分)已知两点M (－2,0)、N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →||MP →|＋MN →·NP →＝0，求动点P (x ，y )的轨迹方程．20.(16分)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点． (1)求直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值．(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．模块综合检测(A)1．既不充分也不必要解析∵p：{x|x<2}，q：{x|0<x<3}，∴p⇒q，q⇒p.2．“若△ABC有两个内角相等，则它是等腰三角形”；3．1解析①不正确，②正确，③不正确．4．[3,8)解析 因为p(1)是假命题，所以1＋2－m ≤0， 即m ≥3.又因为p(2)是真命题，所以4＋4－m>0， 即m<8.故实数m 的取值范围是3≤m<8. 5.x 24－y 212＝1 解析 由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a>0，b>0)的一条渐近线方程为y ＝3x 得ba＝3，∴b ＝3a.∵抛物线y 2＝16x 的焦点为F(4,0)，∴c ＝4. 又∵c 2＝a 2＋b 2，∴16＝a 2＋(3a)2， ∴a 2＝4，b 2＝12.∴所求双曲线的方程为x 24－y 212＝1.6.52解析 由题意知，过点(4，－2)的渐近线方程为y ＝－b a x ，∴－2＝－ba×4，∴a ＝2b ，设b ＝k ，则a ＝2k ，c ＝5k ，∴e ＝c a ＝5k 2k ＝52.7.2x±y ＝0解析 如图所示，∵O 是F 1F 2的中点，∴PF 1→＋PF 2→＝2PO →，∴(PF 1→＋PF 2→)2＝(2PO →)2. 即|PF 1→|2＋|PF 2→|2＋ 2|PF 1→|·|PF 2→|·cos 60°＝4|PO →|2. 又∵PO ＝7a ， ∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＋|PF 1→||PF 2→|＝28a 2.① 又由双曲线定义得PF 1－PF 2＝2a ， ∴(PF 1－PF 2)2＝4a 2.即PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2＝4a 2.② 由①－②得PF 1·PF 2＝8a 2，∴PF 21＋PF 22＝20a 2.在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos 60°＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2，∴8a 2＝20a 2－4c 2.即c 2＝3a 2. 又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝2a 2. 即b 2a 2＝2，ba＝ 2. ∴双曲线的渐近线方程为2x±y ＝0. 8．充要 解析 a·b ＝a·c ⇔a ·(b －c )＝0⇔a ⊥(b －c )， 故“a·b ＝a·c ”是“a ⊥(b －c )”的充要条件．9.21015解析 以D 为原点，DA ，DC ，DD ′所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则DB ′→＝(1,1,1)，C (0,1,0)，M ⎝⎛⎭⎫1，12，0， CM →＝⎝⎛⎭⎫1，－12，0. 故cos 〈DB ′→，CM →〉＝1×1＋1×⎝⎛⎭⎫－12＋1×012＋12＋12·12＋⎝⎛⎭⎫122＋02＝1515，则sin 〈DB ′→，CM →〉＝21015.10．20解析 由椭圆定义知△ABF 2的周长为4a ，又e ＝c a ＝35，即c ＝35a ，∴a 2－c 2＝1625a 2＝b 2＝16，∴a ＝5，△ABF 2的周长为20.11.102解析 由AF 1＝3AF 2，设AF 2＝m ，AF 1＝3m (m >0)，则2a ＝AF 1－AF 2＝2m ，2c ＝AF 21＋AF 22＝10m ，∴离心率e ＝2c 2a ＝102.12.x 25＋y 24＝1 解析 设F 1、F 2为椭圆的左、右焦点，则F 1(－1,0)、F 2(1,0)． 由于PF 1＋PF 2＝2a ，当2a 最小时PF 1＋PF 2最小．由此问题变成在直线l 上求一点P 使PF 1＋PF 2最小，最小值为2a .点F 1关于直线l 的对称点为F 1′(－3,2)，F 1′F 2＝(－3－1)2＋(2－0)2＝25， ∴a ＝ 5.又c ＝1.∴b 2＝4，即所求椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.13．－43解析 ∵M ，A ，B ，C 共面，∴－23＋3＋m ＝1，∴m ＝1－73＝－43.14.62解析 ∵双曲线中焦距比虚轴长，∴焦点处内角为60°，又由双曲线性质得四边形为菱形．∴b c ＝tan 30°＝33， ∴c ＝3b ，∴a 2＝c 2－b 2＝2b 2，∴a ＝2b .∴e ＝c a ＝3b 2b ＝62.15．解 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0x 2－6x ＋8<0，得⎩⎨⎧1<x <32<x <4，即2<x <3.∴q ：2<x <3.设A ＝{x |2x 2－9x ＋a <0}，B ＝{x |2<x <3}，∵綈p ⇒綈q ，∴q ⇒p ，∴B ⊆A . 即2<x <3满足不等式2x 2－9x ＋a <0. 设f (x )＝2x 2－9x ＋a ，要使2<x <3满足不等式2x 2－9x ＋a <0， 需⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)≤0f (3)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧8－18＋a ≤018－27＋a ≤0. ∴a ≤9.故所求实数a 的取值范围是{a |a ≤9}． 16．解 如图所示，设PF 1＝m ，PF 2＝n ，则S △F 1PF 2＝12mn sin π3＝34mn .由椭圆的定义知，PF 1＋PF 2＝20， 即m ＋n ＝20.① 又由余弦定理，得PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos π3＝F 1F 22， 即m 2＋n 2－mn ＝122.②由①2－②，得mn ＝2563.∴S △F 1PF 2＝643 3.17．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1消去y ，得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2≠0，Δ>0，即－6<a <6且a ≠±3.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2a3－a 2，x 1x 2＝－23－a 2.∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，即x 1x 2＋(ax 1＋1)(ax 2＋1)＝0， 即(a 2＋1)x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1＝0.∴(a 2＋1)·－23－a 2＋a ·2a3－a 2＋1＝0， ∴a ＝±1，满足(1)所求的取值范围． 故a ＝±1.18．证明 (1)以D 为坐标原点，以DA 、DC 、DP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．连结AC ，AC 交BD 于G .连结EG .设DC ＝a ， 依题意得A (a,0,0)，P (0,0，a )，E ⎝⎛⎭⎫0，a 2，a 2， ∵底面ABCD 是正方形， ∴G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，0，且P A →＝(a,0，－a )，EG →＝⎝⎛⎭⎫a 2，0，－a 2. ∴P A →＝2EG →，即P A ∥EG .而EG ⊂平面EDB 且P A ⊄平面EDB ， ∴P A ∥平面EDB .(2)依题意得B (a ，a,0)，PB →＝(a ，a ，－a )．又DE →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，a 2，故PB →·DE →＝0＋a 22－a 22＝0，∴PB ⊥DE ，由已知EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ， 所以PB ⊥平面EFD .19．解 设P (x ，y )，则MN →＝(4,0)，MP →＝(x ＋2，y )， NP →＝(x －2，y )． ∴|MN →|＝4，|MP →|＝(x ＋2)2＋y 2， MN →·NP →＝4(x －2)，代入|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0， 得4(x ＋2)2＋y 2＋4(x －2)＝0， 即(x ＋2)2＋y 2＝2－x ， 化简整理，得y 2＝－8x .故动点P (x ，y )的轨迹方程为y 2＝－8x . 20.解 设正方体的棱长为1，如图所示，以AB →，AD →，AA 1→分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O —xyz .(1)依题意，得B (1,0,0)，E (0,1，12)，A (0,0,0)，D (0,1,0)，所以BE →＝(－1,1，12)，AD →＝(0,1,0)． 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，因为AD ⊥平面ABB 1A 1，所以AD →是平面ABB 1A 1的一个法向量．设直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角为θ，则sin θ＝|BE →·AD →||BE →|·|AD →|＝132×1＝23. 故直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23. (2)在棱C 1D 1上存在点F ，使B 1F ∥平面A 1BE .证明如下：依题意，得A 1(0,0,1)，BA 1→＝(－1,0,1)，BE →＝(－1,1，12)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 的一个法向量，则由n ·BA 1→＝0，n ·BE →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋z ＝0，－x ＋y ＋12z ＝0. 所以x ＝z ，y ＝12z ，取z ＝2，得n ＝(2,1,2)． 设F 是棱C 1D 1上的点，则F (t,1,1)(0≤t ≤1)．又B 1(1,0,1)，所以B 1F →＝(t －1,1,0)．而B 1F ⊄平面A 1BE ，于是B 1F ∥平面A 1BE ⇔B 1F →·n ＝0⇔(t －1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t －1)＋1＝0⇔t ＝12⇔F 为棱C 1D 1的中点．这说明在棱C 1D 1上存在点F (C 1D 1的中点)，使B 1F ∥平面A 1BE .。
苏教版高中数学选修2-1高二第一学期期中考试及模块检测.docx
海门市锡类中学2007～2008高二第一学期期中考试及模块检测数 学 试 卷2007.11.12一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．若一个平面图形在某一平面上的投影是一条线段，则这个图形不可能．．．是 （ ） A.线段 B.直线 C.平行四边形 D.圆 2、如右图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别是1AB ，1BC 的中点，则以下结论中不成立．．．的是 （ ） A ．EF 与1CC 垂直 B ．EF 与BD 垂直 C ．EF 与11A C 异面 D ．EF 与1AD 异面3. 0)4(0)4(222222=-++=-+y x x y x x 与表示的曲线是（ ）.A 都表示一条直线和一个圆 .B 都表示两个点 .C 前者是一条直线和一个圆，后者是两个点 .D 前者是两个点，后者是一直线和一个圆4、如图是一个正方体的展开图，将它折叠成正方体后，“建”字 的对面是 （ ）Ａ．“和”字 Ｂ．“谐”字Ｃ．“社”字 Ｄ．“会”字 5、若圆心坐标为（2，-1）的圆在直线01=--y x 上截得的弦长为22，则这个圆的方程是 （ ） A ．()()01222=++-y x B ．()()41222=++-y xC ．()()81222=++-y x D ．()()161222=++-y x6、一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过 ( ) .A 1.8米 .B 3米 .C 3.6米 .D 4米7、在直角坐标系中，已知两点(4,2),(1,3)M N -，沿x 轴把直角坐标平面折成直二面角后，,M N 两点的距离为 （ ）谐 和 建设 社 会 E FB 1C 1D 1C ABDA 1A 、38B 、34C 、22D 、108、将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得直线l 1：x ＋y ＋4＝0与直线l 2：－x ＋y+2＝0重合，若此时点A （０，－４）与点B （m ，n ）重合，则m －n 的值是 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 9、棱长为a 的正四面体的全面积为_____，体积为______；10、在四面体O ABC -中，O A O B O C D ===，，，a b c 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE = （用，，a b c 表示）． 11、与直线20x y +-=和曲线054121222=+--+y x y x 都相切的半径最小的圆的标准方程是 ．12、若l 为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β;②α⊥γ,β∥γ⇒α⊥β；③l ∥α,l ⊥β⇒α⊥β． 其中正确的命题有 13.圆x 2+y 2+2x +4y -3=0上到直线4x -3y =2的距离为2的点数共有14、设集合m={(x,y)|x 2+y 2≤25},N={(x,y)｜(x-a)2+y 2≤9}，若M ∪N=M ，则实数a 的取值范围是15、四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，四条侧棱都是长为5的等腰三角形，则二面角V-AB-C 的平面角为 度16、用一张圆弧长等于12π分米，半径是10分米的扇形胶片制作一个圆锥体模型，这个圆锥体的体积等于 立方分米。
苏教版数学选修2-1：模块综合检测
(时间：120分钟；满分：160分)模块综合检测一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)1.已知命题p ：∀x ∈R ，x 2＋x －1<0，则命题﹁p 是________． 解析：全称命题的否定是存在性命题． 答案：∃x ∈R ，x 2＋x －1≥02.已知点A (1，－2，0)和向量a ＝(－3，4，12)，若AB →＝2a ，则点B 的坐标为________．解析：设B (x ，y ，z )，则AB →＝(x －1，y ＋2，z )，又AB →＝2a ，解得x ＝－5，y ＝6，z ＝24，所以B 点坐标为(－5，6，24)．答案：(－5，6，24)3.若向量a ＝(1，1，x )，b ＝(1，2，1)，c ＝(1，1，1)，满足条件(c －a )·(2b )＝－2，则x ＝________．解析：c －a ＝(0，0，1－x )，(c －a )·(2b )＝2(0，0，1－x )·(1，2，1)＝2(1－x )＝－2，解得x ＝2.答案：24.已知a ∈R ，则“a >2”是“1a <12”的________条件．解析：由1a <12可得a －22a >0，即得a >2或a <0，∴“a >2”是“1a <12”的充分不必要条件．答案：充分不必要5.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为________．解析：根据椭圆方程可得c ＝25－9＝4，又椭圆与双曲线焦点相同，故其焦点坐标为(±4，0)，又据已知得：⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝2，c ＝4，故a ＝2，b ＝c 2－a 2＝23，故其渐近线方程为y ＝±bax ＝±3x .答案：3x ±y ＝06.双曲线x 216－y 29＝1上一点P 到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，则P 点到左焦点的距离为________．解析：由a ＝4，b ＝3，得c ＝5.设左焦点为F 1，右焦点为F 2，则|PF 2|＝12(a ＋c ＋c －a )＝c ＝5，由双曲线的定义得：|PF 1|＝2a ＋|PF 2|＝8＋5＝13.答案：137.已知抛物线C ：y 2＝x 与直线l ：y ＝kx ＋1，“k ≠0”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的____________条件．解析：当k ＝0时，直线y ＝1与抛物线C ：y 2＝x 只有一个交点；所以直线l 与抛物线C有两个不同交点必须k ≠0；当k ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝kx ＋1，得k 2x 2＋(2k －1)x ＋1＝0，Δ＝(2k －1)2－4k 2＝－4k ＋1，则Δ不一定大于零，此时直线l 与抛物线C ，可能没有交点，可能有一个交点，也可能有两个交点，所以“k ≠0”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”必要不充分条件．答案：必要不充分8.抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________．解析：设抛物线y ＝－x 2上一点为(m ，－m 2)，该点到直线4x ＋3y －8＝0的距离为|4m －3m 2－8|5，故当m ＝23时，取得最小值为43.答案：439.已知G 是△ABC 的重心，O 是平面ABC 外的一点，若λOG →＝OA →＋OB →＋OC →，则λ＝________．解析：如图，正方体中，OA →＋OB →＋OC →＝3OG →，所以λ＝3. 答案：310.若点P (2，0)到双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为________．解析：设过第一象限的渐近线倾斜角为α⇒sin α＝22⇒α＝45°⇒k ＝1；所以y ＝±bax＝±x ⇒a ＝b ，因此c ＝2a ，e ＝ca＝ 2.答案： 211.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为________．解析：抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F 坐标为(a 4，0)，则直线l 的方程为y ＝2(x －a4)，它与y 轴的交点为A (0，－a 2)，所以△OAF 的面积为12|a 4|·|a2|＝4，解得a ＝±8，所以抛物线方程为y 2＝±8x .答案：y 2＝±8x12.若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →²FP →的最大值为________．解析：由题意，F (－1，0)，设点P (x 0，y 0)，则有x 204＋y 203＝1，解得y 20＝3(1－x 204)，因为FP →＝(x 0＋1，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 0(x 0＋1)＋3(1－x 204)＝x 204＋x 0＋3，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x 0＝－2，因为－2≤x 0≤2，所以当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值224＋2＋3＝6.答案：613.如图在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，A 1A ＝6，M 是CC 1的中点，则二面角B －AM －C 的大小为________．解析：以点C 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则B (1，0，0)，A (0，3，0)，A 1(0，3，6)，M (0，0，62)，所以A 1B →＝(1，－3，－6)，AM →＝(0，－3，62)，因为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，所以CC 1⊥面ABC ，所以CC 1⊥BC ， 因为∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC ， 所以BC ⊥平面ACC 1， 即BC ⊥面AMC ，所以CB →＝(1，0，0)是平面AMC 的一个法向量， 设n ＝(x ，y ，z )是平面BAM 的一个法向量，BA →＝(－1，3，0)，BM →＝(－1，0，62)．由⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA →＝0n ·BM →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3y ＝0－x ＋62z ＝0， 取z ＝2，得n ＝(6，2，2)，因为|CB →|＝1，|n |＝23，所以cos 〈CB →，n 〉＝623＝22，又二面角B －AM －C 的平面角是锐角， 因此二面角B －AM －C 的大小为45°. 答案：45°14.设x 1，x 2∈R ，常数a >0，定义运算“*”，x 1*x 2＝(x 1＋x 2)2－(x 1－x 2)2，若x ≥0，则动点P (x ，x *a )的轨迹是________．解析：因为x 1*x 2＝(x 1＋x 2)2－(x 1－x 2)2，所以x *a ＝（x ＋a ）2－（x －a ）2＝2ax ， 则P (x ，2ax )，设P (x 1，y 1)，即⎩⎨⎧x 1＝xy 1＝2ax ，消去x 得y 21＝4ax 1(x 1≥0，y 1≥0)， 故点P 的轨迹为抛物线的一部分． 答案：抛物线的一部分二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)已知p ：(x ＋2)(x －10)≤0，q ：[x －(1－m )][x －(1＋m )]≤0(m >0)，若﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：因为﹁p 是﹁q 的必要不充分条件， 则p 是q 的充分不必要条件，由p ：(x ＋2)(x －10)≤0可得－2≤x ≤10， 由q ：[x －(1－m )][x －(1＋m )]≤0(m >0)， 可得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)， 因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－21＋m ≥10，得m ≥9，即实数m 的取值范围为m ≥9.16.(本小题满分14分)如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，H 是正方形AA 1B 1B 的中心，AA 1＝22，C 1H ⊥平面AA 1B 1B ，且C 1H ＝ 5.(1)求异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值； (2)求二面角A －A 1C 1－B 1的正弦值；(3)设N 为棱B 1C 1的中点，点M 在平面AA 1B 1B 内，且MN ⊥平面A 1B 1C 1，求线段BM 的长．解：如图所示，以点B 为坐标原点，建立空间直角坐标系，依题意，得A (22，0，0)，B (0，0，0)，C (2，－2，5)，A 1(22，22，0)，B 1(0，22，0)，C 1(2，2，5)．(1)易得AC →＝(－2，－2，5)，A 1B 1→＝(－22，0，0)，因为cos 〈AC →，A 1B 1→〉＝AC →·A 1B 1→|AC →||A 1B 1→|＝43³22＝23.所以异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值为23.(2)易知AA 1→＝(0，22，0)，A 1C 1→＝(－2，－2，5)． 设平面AA 1C 1的法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1C 1→＝0，m ·AA 1→＝0，即⎩⎨⎧－2x 1－2y 1＋5z 1＝0，22y 1＝0.不妨令x 1＝5，可得z 1＝2，即m ＝(5，0，2)． 同样地，设平面A 1B 1C 1的法向量n ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1C 1→＝0，n ·A 1B 1→＝0.即⎩⎨⎧－2x 2－2y 2＋5z 2＝0，－22x 2＝0.不妨令y 2＝5，可得z 2＝2，即n ＝(0，5，2)．于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝27³7＝27，从而sin 〈m ，n 〉＝357.所以二面角A －A 1C 1－B 1的正弦值为357.(3)由N 为棱B 1C 1的中点，得N (22，322，52)．设M (a ，b ，0)，则MN →＝(22－a ，322－b ，52)．由MN ⊥平面A 1B 1C 1，得 ⎩⎪⎨⎪⎧MN →·A 1B 1→＝0，MN →·A 1C 1→＝0.即⎩⎨⎧（22－a ）·（－22）＝0，（22－a ）·（－2）＋（322－b ）·（－2）＋52³5＝0.解得⎩⎨⎧a ＝22，b ＝24.故M (22，24，0)．因此BM →＝(22，24，0)，所以线段BM 的长为|BM →|＝104.17.(本小题满分14分)已知椭圆与双曲线2x 2－2y 2＝1共焦点，且过(2，0)． (1)求椭圆的标准方程；(2)求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程．解：(1)依题意得，将双曲线方程标准化为x 212－y 212＝1，则c ＝1.∵椭圆与双曲线共焦点，∴设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1，∵椭圆过(2，0)，∴2a 2＋0a 2－1＝1，即a 2＝2，∴椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)依题意，设斜率为2的弦所在直线的方程为y ＝2x ＋b ，弦的中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋b x 22＋y 2＝1得9x 2＋8bx ＋2b 2－2＝0， ∴⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－8b 9，y 1＋y 2＝2b 9.即⎩⎨⎧x ＝－4b9，y ＝b9，∴y ＝－14x .令Δ＝0，64b 2－36(2b 2－2)＝0，即b ＝±3， 所以斜率为2且与椭圆相切的直线方程为y ＝2x ±3，即当x ＝±43时斜率为2的直线与椭圆相切．所以平行弦的中点轨迹方程为：y ＝－14x (－43≤x ≤43)．18.(本小题满分16分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝CC 1，M 、N 分别是A 1B 、B 1C 1的中点．(1)求证：MN ⊥平面A 1BC ；(2)求直线BC 1和平面A 1BC 所成角的大小．解：(1)据题意CA 、CB 、CC 1两两垂直，以C 为原点，CA 、CB 、CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图．设AC ＝BC ＝CC 1＝a ，则B (0，a ，0)，B 1(0，a ，a )，A (a ，0，0)，C (0，0，0)，C 1(0，0，a )，A 1(a ，0，a )，M (a 2，a 2，a 2)，N (0，a2，a )． 所以BA 1→＝(a ，－a ，a )，CA 1→＝(a ，0，a )，MN →＝(－a 2，0，a 2)．所以MN →·BA 1→＝0，MN →·CA 1→＝0， 即MN ⊥BA 1，MN ⊥CA 1. 又BA 1∩CA 1＝A 1， 故MN ⊥平面A 1BC .(2)因为MN ⊥平面A 1BC ， 则MN →为平面A 1BC 的法向量， 又BC 1→＝(0，－a ，a )，则cos 〈BC 1→，MN →〉＝BC 1→·MN →|BC 1→||MN →|＝a 222a ³22a＝12，所以〈BC 1，MN →〉＝60°，故直线BC 1和平面A 1BC 所成的角为30°.19.(本小题满分16分)已知动点P 到定点F (2，0)的距离与点P 到定直线l ：x ＝22的距离之比为22.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设M 、N 是直线l 上的两个点，点E 与点F 关于原点O 对称，若EM →²FN →＝0，求MN 的最小值．解：(1)设点P (x ，y )，依题意，有（x －2）2＋y 2|x －22|＝22，整理，得x 24＋y 22＝1.所以动点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)∵点E 与点F 关于原点O 对称， ∴点E 的坐标为(－2，0)． ∵M 、N 是直线l 上的两个点，∴可设M (22，y 1)，N (22，y 2)(不妨设y 1>y 2)． ∵EM →·FN →＝0， ∴(32，y 1)·(2，y 2)＝0，则6＋y 1y 2＝0，即y 2＝－6y 1.由于y 1>y 2，则y 1>0，y 2<0.∴MN ＝y 1－y 2＝y1＋6y 1≥2y 1²6y 1＝2 6.当且仅当y 1＝6，y 2＝－6时，等号成立， 故MN 的最小值为2 6.20.(本小题满分16分)如图，抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上，过点M (0，－2)作直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且满足OA →＋OB →＝(－4，－12)．(1)求直线l 和抛物线的方程；(2)当抛物线上一动点P 从点A 到B 运动时，求△ABP 面积的最大值．解：(1)据题意可设直线l 的方程为y ＝kx －2，抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2x 2＝－2py 得x 2＋2pkx －4p ＝0. 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4.所以OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2) ＝(－2pk ，－2pk 2－4)．因为OA →＋OB →＝(－4，－12)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2pk ＝－4－2pk 2－4＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1k ＝2. 故直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线为x 2＝－2y .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2x 2＝－2y 得，x 2＋4x －4＝0.所以AB ＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋22³（－4）2－4³（－4）＝410.设点P (t ，－12t 2)(－2－22<t <－2＋22)，点P 到直线l 的距离为d ，则d ＝|2t ＋12t 2－2|22＋（－1）2＝|（t ＋2）2－8|25(－2－22<t <－2＋22)，当t ＝－2时，d max ＝455， 此时点P (－2，－2)．故△ABP 面积的最大值12·AB ·d ＝12³410³455＝8 2.。
高中数学苏教版选修2-1章末综合测评1含解析
章末综合测评(一) 常用逻辑用语(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)1．命题“1＜3＜4”使用的逻辑联结词是________.【解析】“1＜3＜4”的含义为“3＞1且3＜4”，所以使用了逻辑联结词“且”．【答案】且2．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则它的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．【解析】原命题正确，所以逆否命题正确；逆命题“若y＝f(x)的图象不过第四象限，则它是幂函数”是假命题．故否命题也是假命题．【答案】 13．(2015·浙江高考改编)设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的________条件．【解析】取a＝3，b＝－2，知“a＋b>0”D“ab>0”，取a＝－3，b＝－2知“ab>0”D“a＋b>0”，故“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件．【答案】既不充分也不必要4．设命题p：∀x∈R，x2＋2x＋a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．【解析】据题意知，Δ＝4－4a≤0，解得a≥1.【答案】[1，＋∞)5．命题“∀x ∈R ，|x|＋x 2≥0”的否定．．是________． 【解析】 ∀改为∃，否定结论，即∃x ∈R ，|x|＋x 2<0.【答案】 ∃x ∈R ，|x|＋x 2<06．(2016·湛江高二检测)设命题p 和命题q ，“p 或q ”的否定是真命题，则必有________．①p 真q 真；②p 假q 假；③p 真q 假；④p 假q 真．【解析】 因为“p 或q ”的否定是真命题，所以“p 或q ”是假命题，则p 假q 假．【答案】 ②7．给出以下命题：①∀x ∈R ，有x 4>x 2；②∃α∈R ，使得sin 3α＝3sin α；③∃a ∈R ，对∀x ∈R ，使得x 2＋2x ＋a<0.其中真命题为________(填序号)．【解析】 ①错，如x ＝0时不成立；②对，如α＝0时sin 0＝0；③错，因为y ＝x 2＋2x ＋a 开口向上．【答案】 ②8．(2016·邯郸高二检测)“0＜a ＜b ”是“⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14b ”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”)．【解析】 当0＜a ＜b 时，根据指数函数y ＝αx (0＜α＜1)是减函数，可得 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14b ；反之，当⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14b 时，可得a ＜b.所以“0＜a ＜b ”是“⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14a＞⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14b ”的充分不必要条件．【答案】 充分不必要条件9．已知命题“若x ＞m ，则x 2－3x ＋2＞0”的逆否命题是真命题，则实数m 的取值范围是________．【解析】 因为命题“若x ＞m ，则x 2－3x ＋2＞0”的逆否命题是真命题，所以原命题是真命题，解不等式x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞2，所以m ≥2，实数m 的取值范围是[2，＋∞)．【答案】 [2，＋∞)10．已知命题p ：若x>y ，则－x<－y ；命题q ：若x>y ，则x 2>y 2.在命题①且q ；②p 或q ；③且(非q)；④(非p)或q 中，其中真命题是________．【解析】 p 为真q 为假，根据“或”、“且”、“非”命题的真假判断知②③为真命题．【答案】 ②③11．(2016·江苏扬州中学高三模拟)已知p ：－4<x －a<4，q ：(x －2)(3－x)>0.若非p 是非q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________. 【09390017】【解析】 p ：a －4<x<a ＋4，q ：2<x<3，由条件非p 是非q 的充分条件知q 是p 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6. 【答案】 [－1,6]12．已知命题p ：∃x ∈R ，x －2＞lg x ，命题q ：∀x ∈R ，x 2＞0，下列说法正确的是________．。
高二数学电子题库2.1《圆锥曲线》含答案(苏教版)选修2-1
1.已知点A (－1，0)，B (1，0)，动点P 满足P A ＋PB ＝3，则动点P 的轨迹是________． 解析：由P A ＋PB ＝3>AB 结合椭圆的定义有：动点P 的轨迹是以A (－1，0)，B (1，0)为焦点的椭圆．答案：以A (－1，0)，B (1，0)为焦点的椭圆2.已知点A (－2，0)，B (2，0)，动点M 满足|MA －MB |＝4，则动点M 的轨迹为________． 解析：动点M 满足|MA －MB |＝4＝AB ，结合图形思考判断动点M 的轨迹为直线AB (不包括线段AB 内部的点)上的两条射线．答案：直线AB (不包括线段AB 内部的点)上的两条射线3.到两定点F 1(0，－10)，F 2(0，10)的距离之和为20的动点M 的轨迹是________．解析：MF 1＋MF 2＝20＝F 1F 2，故动点M 为线段F 1F 2上任意一点，即动点M 的轨迹是线段F 1F 2.答案：线段F 1F 24.到定点(2，1)和定直线x ＋2y －4＝0的距离相等的点的轨迹是________．解析：点(2，1)在直线x ＋2y －4＝0上，不符合抛物线定义．答案：过点(2，1)且和直线x ＋2y －4＝0垂直的直线5.(2012·马鞍山学业水平测试)已知动点P (x ，y )满足（x ＋2）2＋y 2－（x －2）2＋y 2＝2，则动点P 的轨迹是________．解析： （x ＋2）2＋y 2－（x －2）2＋y 2＝2即动点P (x ，y )到两定点(－2，0)，(2，0)的距离之差等于2，由双曲线定义知动点P 的轨迹是双曲线的一支．答案：双曲线的一支[A 级 基础达标]1.动点M 到定点A ⎝⎛⎭⎫12，0，B ⎝⎛⎭⎫－12，0的距离之和是2，则动点M 的轨迹是________． 解析：根据椭圆的定义判断，要注意定义中的“常数”是否大于AB .答案：椭圆2.已知F 1(－8，3)，F 2(2，3)，动点P 满足PF 1－PF 2＝10，则点P 的轨迹是________． 解析：由于两点间的距离为10，所以满足条件PF 1－PF 2＝10的点P 的轨迹应是一条射线． 答案：一条射线3.动点P 到直线x ＋2＝0的距离减去它到M (1，0)的距离之差等于1，则动点P 的轨迹是________．解析：将直线x ＋2＝0向右平移1个长度单位得到直线x ＋1＝0，则动点到直线x ＋1＝0的距离等于它到M (1，0)的距离，由抛物线定义知：点P 的轨迹是以点M 为焦点的抛物线．答案：以点M 为焦点的抛物线4.动点P 到定点A (0，－2)的距离比到定直线l ：y ＝10的距离小8，则动点P 的轨迹为________．解析：将直线l ：y ＝10沿y 轴向下平移8个单位，得到直线l ′：y ＝2，则动点P 到A (0，－2)的距离等于到定直线l ′：y ＝2的距离，故点P 的轨迹为抛物线．答案：抛物线5.已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q使得PQ＝PF2，则动点Q的轨迹是________．解析：由P是椭圆上的一点，根据椭圆的定义，则PF1＋PF2＝定值，而PQ＝PF2，则QF1＝PF1＋PQ＝PF1＋PF2＝定值，所以点Q的轨迹是以F1为圆心的圆．答案：圆6.设定点F1(0，－3)，F2(0，3)，动点P满足条件PF1＋PF2＝a(a>0)，试求动点P的轨迹．解：当a＝6时，PF1＋PF2＝a＝F1F2，所以点P的轨迹为线段F1F2.当a>6时，PF1＋PF2＝a>F1F2，所以点P的轨迹为椭圆．当0<a<6时，PF1＋PF2＝a<F1F2，所以点P的轨迹不存在．7.若动点P到两个定点F1(－1，0)、F2(1，0)的距离之差的绝对值为定值a(0≤a≤2)，试求动点P的轨迹．解：当a＝0时，|PF1－PF2|＝0，从而PF1＝PF2，所以点P的轨迹为直线：线段F1F2的垂直平分线．当a＝2时，|PF1－PF2|＝2＝F1F2，所以点P的轨迹为两条射线．当0<a<2时，|PF1－PF2|＝a<F1F2，所以点P的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线．[B级能力提升]8.过已知圆B内一个定点A作圆C与已知圆相切，则圆心C的轨迹是________．解析：分A点与B点是否重合两种情况讨论．答案：圆或椭圆9.若点M到定点F和到定直线l的距离相等，则下列说法正确的是________．①点M的轨迹是抛物线；②点M的轨迹是一条与x轴垂直的直线；③点M的轨迹是抛物线或一条直线．解析：当点F不在直线l上时，点M的轨迹是以F为焦点、l为准线的抛物线；而当点F 在直线l上时，点M的轨迹是一条过点F，且与l垂直的直线．答案：③10.求满足下列条件的动圆圆心M的轨迹．(1)与⊙C：(x＋2)2＋y2＝2内切，且过点A(2，0)；(2)与⊙C1：x2＋(y－1)2＝1和⊙C2：x2＋(y＋1)2＝4都外切；(3)与⊙C1：(x＋3)2＋y2＝9外切，且与⊙C2：(x－3)2＋y2＝1内切．解：设动圆M的半径为r.(1)∵⊙C与⊙M内切，点A在⊙C外，∴MC＝r－ 2.∴MA＝r，∴MA－MC＝2，且2<4.∴点M的轨迹是以C，A为焦点的双曲线的一支．(2)∵⊙M与⊙C1，⊙C2都外切，∴MC1＝r＋1，MC2＝r＋2.∴MC2－MC1＝1，且1<2.∴点M的轨迹是以C2，C1为焦点的双曲线的一支．(3)∵⊙M与⊙C1外切，且与⊙C2内切，∴MC1＝r＋3，MC2＝r－1.∵MC1－MC2＝4，且4<6，∴点M的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的一支．11.(创新题)已知定直线l及定点A(A不在l上)，n为过点A且垂直于l的直线，设N为l 上任意一点，线段AN的垂直平分线交n于B，点B关于AN的对称点为P，求证：点P的轨迹为抛物线．证明：如图所示，建立平面直角坐标系，并且连结P A，PN，NB.由题意知PB垂直平分AN，且点B关于AN的对称点为P，∴AN也垂直平分PB.∴四边形P ABN为菱形，∴P A＝PN.∵AB⊥l，∴PN⊥l.故点P符合抛物线上点的条件：到定点A的距离和到定直线l的距离相等，∴点P的轨迹为抛物线．。
苏教版高中数学选修2-1模块综合测评.docx
模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)1．若空间三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (p,3，q ＋2)共线，则p ＋q ＝________.【解析】 易得AB →＝(1，－1,3)，AC →＝(p －1，－2，q ＋4)．∵AB →∥AC →，∴p －11＝－2－1＝q ＋43，∴p ＝3，q ＝2，p ＋q ＝5. 【答案】 52．设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若非p 是非q的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________. 【导学号：09390093】【解析】 先列出命题非p 和非q ：|4x －3|>1和x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)>0，分别解得非p ：x >1或x <12；非q ：x >a ＋1或x <a .若非p ⇐非q ，则a ≤12且a ＋1≥1，即0≤a ≤12. 【答案】 0≤a ≤123．已知双曲线x 264－y 236＝1上一点P 到它的右焦点的距离为8，那么点P 到它的右准线的距离是________．【解析】 设到右准线的距离为d ，则8d ＝54，所以d ＝325.【答案】 3254．设a ∈R ，则a ＞1是1a ＜1的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”)【解析】 由1a ＜1，得1－a a ＜0，即a ＜0或a ＞1，所以a ＞1是1a ＜1的充分不必要条件．【答案】 充分不必要5．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是________. 【导学号：09390094】【解析】 由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)， 双曲线的渐近线方程为3x －y ＝0或3x ＋y ＝0，则焦点到渐近线的距离d 1＝|3×1－0|(3)2＋(－1)2＝32或d 2＝|3×1＋0|(3)2＋12＝32. 【答案】 326．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ＝________.【解析】 由题意得c ＝t a ＋μb ＝t (2，－1,3)＋μ(－1,4，－2)＝(2t －μ，－t＋4μ，3t －2μ)，即(7,5，λ)＝(2t －μ，－t ＋4μ，3t －2μ)， ∴⎩⎨⎧ 7＝2t －μ，5＝－t ＋4μ，λ＝3t －2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ t ＝337，μ＝177，λ＝657.【答案】 657 7．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是________(填序号)．①OM →＝OA →＋OB →＋OC →；②OM →＝2OA →－OB →－OC →；③OM →＝OA →＋12OB →＋13OC →；④OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →；⑤ OM →＝5OA →－3OB →－OC →.【解析】 对空间任一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若满足向量关系式OM→＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)，则四点M ，A ，B ，C 共面．所以④⑤满足题意．【答案】 ④⑤8．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是________．【解析】 因为方程x 24＋y 2k ＝1表示双曲线，所以k <0，所以a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，因为e ∈(1,2)，所以4－k 4∈(1,4)，解得k ∈(－12,0)． 【答案】 (－12,0)9．如图1所示，正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，M 是AB 的中点，则sin〈DB ′→，CM →〉＝________.图1【解析】 设正方体的棱长为1，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD ′所在直线为z 轴建系．易得B ′(1,1,1)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，A (1,0,0)，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，0，DB ′→＝(1,1,1)，得cos 〈DB ′→，CM →〉＝1515，所以sin 〈DB ′→，CM →〉＝21015.【答案】 2101510．已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M ，N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程是________．【解析】 如图所示，设直线MP 与直线NP 分别与动圆C 切于点E ，F ，则PE ＝PF ，ME ＝MB ，NF ＝NB .从而PM －PN ＝ME －NF ＝MB －NB ＝4－2＝2<MN ，又由题意知点P 不能在x 轴上，所以点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支并除去与x 轴的交点．设对应的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则a ＝1，c ＝3，b 2＝8.故P 点的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x >1)． 【答案】 x 2－y 28＝1(x >1)11．在四面体O -ABC 中，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 的中点，若OG →＝13OA →＋x 4OB →＋x 4OC →，则使G 与M ，N 共线的x 的值为________．【解析】 若G ，M ，N 共线，则存在实数λ使MG →＝λMN →，即OG →－OM →＝λ(ON →－OM →)，∴OG →＝(1－λ)OM →＋λON →＝(1－λ)·23OA →＋λ·12(OB →＋OC →)＝2(1－λ)3OA →＋λ2OB →＋λ2OC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2(1－λ)3＝13，x 4＝λ2，∴x ＝1.【答案】 112．动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点________．【解析】 抛物线y 2＝8x ，p ＝4，其准线方程为x ＝－2，焦点为F (2,0)，设动圆圆心为P ，由已知点P 到准线x ＋2＝0的距离为其半径r ，且点P 在抛物线上，∴点P 到焦点F 的距离也为r ，∴动圆必过定点F (2,0)．【答案】 (2,0)13．如果椭圆x 236＋y 29＝1的弦被点(4,2)平分，则这条弦所在的直线方程是________．【解析】 设弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程，得9x 21＋36y 21＝9×36,9x 22＋36y 22＝9×36 ，两式相减，得9(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋36(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，由中点坐标公式x 1＋x 22＝4，y 1＋y 22＝2，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12，所以所求直线方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.【答案】 x ＋2y －8＝014．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若FQ ＝2，则直线的斜率等于________．【解析】 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，联立⎩⎨⎧y ＝k (x ＋1)，y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，由根与系数的关系，x A ＋x B ＝－2k 2－4k 2，于是x Q ＝x A ＋x B 2＝2k 2－1，把x Q 带入y ＝k (x ＋1)，得到y Q ＝2k ，根据FQ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＝2，解得k ＝±1.【答案】 ±1 二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知p ：－2≤x ≤10；q ：x 2－2x ＋1≤m 2(m ＞0)．若非p 是非q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【解】 由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，得1－m ≤x ≤1＋m ，∴非q ：A ＝{x |x ＜1－m 或x ＞1＋m }，非p ：B ＝{x |x ＜－2或x ＞10}，∵非p 是非q 的必要不充分条件，且m ＞0，∴A ⊆B ，∴⎩⎨⎧ m ＞0，①1－m ≤－2，②1＋m ≥10，③，即m ≥9，注意到当m ＝9时，③中等号成立，而②中等号不成立，∴m 的取值范围是m ≥9.16．(本小题满分14分)在四棱锥V -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD .(1)证明：AB ⊥平面VAD ；(2)求二面角A -VD -B 的平面角的余弦值．【解】 取AD 的中点O 作为坐标原点，由题意知，VO ⊥底面ABCD ，则可建立如图所示的空间直角坐标系．设AD ＝2，则A (1,0,0)，D (－1，0,0)，B (1,2,0)，V (0,0，3)．(1)证明：易得AB →＝(0,2,0)，VA →＝(1,0，－3)．∵AB →·VA →＝(0,2,0)·(1,0，－3)＝0，∴AB →⊥VA →，即AB ⊥VA .又AB ⊥AD ，AD ∩VA ＝A ，∴AB ⊥平面VAD .(2)易得DV →＝(1,0，3)．设E 为DV 的中点，连结EA ，EB ，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，32，∴EA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，－32，EB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，－32. ∵EB →·DV →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，－32·(1,0，3)＝0， ∴EB →⊥DV →，即EB ⊥DV .同理得EA ⊥DV ，∴∠AEB 为所求二面角的平面角，∴cos 〈EA →，EB →〉＝EA →·EB →|EA →||EB →|＝217. 故所求二面角的平面角的余弦值为217.17．(本小题满分14分)椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条直线l 经过点F 1与椭圆交于A ，B 两点．(1)求△ABF 2的周长；(2)若l 的倾斜角为π4，求△ABF 2的面积. 【导学号：09390095】【解】 (1)由椭圆的定义，得AF 1＋AF 2＝2a ，BF 1＋BF 2＝2a ，又AF 1＋BF 1＝AB ，所以，△ABF 2的周长＝AB ＋AF 2＋BF 2＝4a .又因为a 2＝4，所以a ＝2，故△ABF 2的周长为8.(2)由条件，得F 1(－1,0)，因为AB 的倾斜角为π4，所以AB 的斜率为1，故直线AB 的方程为y ＝x ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1，x 24＋y 23＝1，消去x ，得7y 2－6y －9＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，解得y 1＝3＋627，y 2＝3－627， 所以S △ABF 2＝12F 1F 2·|y 1－y 2|＝12×2×1227＝1227.18．(本小题满分16分)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，E 为BB 1的中点．图2(1)证明：AC ⊥D 1E ；(2)求DE 与平面AD 1E 所成角的正弦值．【解】 (1)证明：连结BD ，∵ABCD -A 1B 1C 1D 1是长方体，∴D 1D ⊥平面ABCD, 又AC ⊂平面ABCD ，∴D 1D ⊥AC ，在长方形ABCD 中，AB ＝BC ，∴BD ⊥AC ，又BD ∩D 1D ＝D ，∴AC ⊥平面BB 1D 1D, 而D 1E ⊂平面BB 1D 1D ，∴AC ⊥D 1E .(2)如图，建立空间直角坐标系D -xyz ，则A (1,0,0)，D 1(0,0,2)，E (1,1,1)，B (1,1,0)，AE →＝(0,1,1)，AD 1→＝(－1,0,2)，DE→＝(1,1,1)．设平面AD 1E 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ n ·AD 1→＝0，n ·AE →＝0，∴⎩⎨⎧－x ＋2z ＝0，y ＋z ＝0，令z ＝1， 则n ＝(2，－1,1)，cos 〈n ，DE →〉＝n ·DE →|n ||DE →|＝2－1＋13×6＝23， 所以DE 与平面AD 1E 所成角的正弦值为23.19．(本小题满分16分)如图3，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥AC ，M ，N 分别是CC 1，BC 的中点，点P 在直线A 1B 1上，且A 1P ＝λA 1B 1.图3(1)证明：无论λ取何值，总有AM ⊥PN ；(2)当λ取何值时，直线PN 与平面ABC 所成的角θ最大？并求该角取最大值时的正切值．(3)是否存在点P ，使得平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为30°？若存在，试确定点P 的位置；若不存在，请说明理由．【解】 以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(0,0,1)，B 1(1,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0.∵A 1P →＝λA 1B 1→＝λ(1,0,0)＝(λ，0,0)，∴P (λ，0,1)，∴PN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－λ，12，－1，NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，12. (1)证明：∵AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，∴AM →·PN →＝0＋12－12＝0， ∴AM →⊥PN →，∴无论λ取何值，总有AM ⊥PN .(2)∵m ＝()0，0，1是平面ABC 的一个法向量，∴sin θ＝|cos 〈m ·PN →〉|＝|0＋0－1|⎝ ⎛⎭⎪⎫12－λ2＋14＋1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－122＋54，又θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴当λ＝12时，sin θ取得最大值，即θ取得最大值，此时sin θ＝45，cos θ＝15，∴tan θ＝2.(3)假设存在点P 满足题意，设n ＝(x ，y ，z )是平面PMN 的法向量，由⎩⎨⎧ n ·NM →＝0，n ·PN →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －12x ＋12y ＋12z ＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－λx ＋12y －z ＝0，令x ＝3，得y ＝1＋2λ，z ＝2－2λ，∴n ＝(3,1＋2λ，2－2λ)，由(2)知平面ABC 的一个法向量为m ＝(0,0,1)，∴|cos 〈m ，n 〉|＝|2－2λ|9＋(1＋2λ)2＋(2－2λ)2＝32，化简得4λ2＋10λ＋13＝0(*)， ∵Δ＝100－4×4×13＝－108<0，∴方程(*)无解，∴不存在点P 使得平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为30°.20．(本小题满分16分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且过点A (2，1)．直线y ＝22x ＋m 交椭圆C 于B ，D (不与点A 重合)两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)△ABD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．【解】 (1)∵e ＝22＝c a ，2a 2＋1b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2，b ＝2，c ＝2，∴椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝22x ＋m ，x 24＋y 22＝1⇒x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，∴Δ＝8－2m 2＞0⇒－2＜m ＜2，x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝m 2－2.∵BD ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222 |x 1－x 2|＝628－2m 2， 设d 为点A 到直线BD ：y ＝22x ＋m 的距离，∴d ＝|2m |6，∴S △ABD ＝12BD ·d ＝22(4－m 2)m 2≤ 2.当且仅当m ＝±2∈(－2,2)时，等号成立，∴当m ＝±2时，△ABD 的面积最大，最大值为 2.。
苏教版数学选修2-1：模块综合检测(C) 课时作业(含答案)
模块综合检测(C)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知命题p ：∀x ∈R ，12x 2＋6x ＋7≥0，则⌝p 是______________________．2．若方程x 2|k |－2＋y 25－k ＝1表示双曲线，则实数k 适合的条件是__________________．3．平面内F 1、F 2是两不同定点，P 是一动定点，则“PF 1－PF 2是定值”是“点P 的轨迹是双曲线”的__________________条件． 4．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，线段AB 的中点为M (3，m )，则AB ＝______.5．已知下列命题(其中a ，b 为直线，α为平面)：①若一条直线垂直于平面内无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线一定垂直于这个平面； ③若a ∥α，b ⊥α，则a ⊥b ；④若a ⊥b ，则过b 有惟一α与a 垂直．上述四个命题中，是真命题的有________．(填序号)6．若不等式tt 2＋9≤a ≤t ＋2t 2，在t ∈(0,2]上恒成立，则a 的取值范围是________．7．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是D 1D 与BD 的中点，则EF与B 1C 所成的角是________．8．点P 是双曲线x 24－y 2＝1的右支上一点，点M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝1和圆(x －5)2＋y 2＝1上的点，则PM －PN 的最大值是________．9．已知抛物线y 2＝4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到直线3x －4y ＋9＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是________．10．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的准线与x 轴交于点P ，直线l 经过点P ，且与抛物线有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是________________．11．已知空间三点A (－1,2,4)、B (1，－4,2)、Q (x ，－1，－1)，点P 为线段AB 的中点，若PQ ⊥AB ，则x ＝________.12．已知向量a ＝(x,2,0)，b ＝(3,2－x ，x 2)，且向量a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是__________．13．若函数y ＝lg(4－a ·2x )在(－∞，1]上有意义，则实数a 的取值范围是________． 14．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠A 1B 1C 1＝90°，且AB ＝BC ＝BB 1，E 、F 分别是AB 、CC 1的中点，那么A 1C 与EF 所成的角的余弦值为________． 二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)设P ：关于x 的不等式2|x |<a 的解集为∅，Q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R .如果P 和Q 有且仅有一个正确，求a 的取值范围．(14分)如图，从双曲线x2－y2＝1上一点Q引直线x＋y＝2的垂线，垂足为点N.求线段QN的中点P的轨迹方程．17．(14分)如图，在三棱锥S—ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，O为BC的中点．求二面角A—SC—B的余弦值．18.(16分)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)与直线x＋y－1＝0相交于两点P、Q，且OP⊥OQ (O为坐标原点)．(1)求1a2＋1b2的值；3 3，22上变化时，求椭圆长轴长的取值范围．(2)若椭圆的离心率在⎣⎡⎦⎤19.(16分)在四棱锥V—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.(1)求证：AB⊥平面VAD；(2)求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值．20．(16分)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a ，∃x ∈[－1,1]，使得f (x )＝0，求a 的取值范围．模块综合检测(C)1．∃x ∈R ，12x 2＋6x ＋7<02．－2<k <2或k >5 3．既不充分也不必要 4．8解析 AB ＝x 1＋x 2＋2＝6＋2＝8. 5．③④ 6.⎣⎡⎦⎤213，1 解析 ∵t 2＋9t ＝t ＋9t ，t ∈(0,2]．∴0<t t 2＋9≤213.∵t 2t ＋2＝t ＋2＋4t ＋2－4，∴t ＋2t 2≥1.综上213≤a ≤1.7．90° 8．6解析 设两圆(x ＋5)2＋y 2＝1和(x －5)2＋y 2＝1的圆心分别为F 1、F 2，则PF 1－PF 2＝4，∴(PM －PN )max ＝4＋2＝6. 9.125 解析d 1＋d 2的最小值为抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)到直线3x －4y ＋9＝0的距离|3×1＋0＋9|32＋42＝125. 10.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫34π，π 解析 P ⎝⎛⎭⎫－a 4，0，设l 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋a 4， 代入y 2＝ax ，得k ·y 2a －y ＋a 4k ＝0.由Δ＝1－4×k a ×a4k ≥0，得k 2≤1.∴－1≤k ≤1，∴直线l 倾斜角的范围是 ⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫34π，π. 11．－4解析 P (0，－1,3)，由PQ →·AB →＝0， 得x ＝－4.12．(－∞，－4)解析 由a·b <0，得3x ＋4－2x <0，得x <－4， 经验证，此时a ，b 不共线． 13．(－∞，2)解析 由已知，4－a ·2x >0在(－∞，1]上恒成立．∴a <42x 在(－∞，1]上恒成立，又x ≤1时，⎝⎛⎭⎫42x min ＝2. ∴a <2.14.2315．解 对于P ：∵2|x |≥1，又不等式2|x |<a 的解集为∅，∴a ≤1. 对于Q ：ax 2－x ＋a >0恒成立．①若a ＝0，则－x >0(不符合，舍去)．②若a ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－4a 2<0⇒a >12.∵P 和Q 有且仅有一个正确，∴P 真Q 假或者P 假Q 真．(ⅰ)若P 真Q 假，则a ≤12；(ⅱ)若P 假Q 真，则a >1.综上，所求a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，12∪(1，＋∞)． 16．解 设动点P 的坐标为(x ，y )，点Q 的坐标为(x 1，y 1)，则点N 的坐标为(2x －x 1,2y －y 1)．∵N 在直线x ＋y ＝2上，∴2x －x 1＋2y －y 1＝2.①又PQ 垂直于直线x ＋y ＝2，∴y －y 1x －x 1＝1，即x －y ＋y 1－x 1＝0.②由①②联立解得⎩⎨⎧x 1＝32x ＋12y －1，y 1＝12x ＋32y －1.③又点Q 在双曲线x 2－y 2＝1上， ∴x 21－y 21＝1.④ 将③代入④，得动点P 的轨迹方程是 2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0. 17.解 以O 为坐标原点，射线OB 、OA 、OS 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系O —xyz .设B (1,0,0)， 则C (－1,0,0)、A (0,1,0)、S (0,0,1)．SC 的中点M ⎝⎛⎭⎫－12，0，12， MO →＝⎝⎛⎭⎫12，0，－12，MA →＝⎝⎛⎭⎫12，1，－12， SC →＝(－1,0，－1)． ∴MO →·SC →＝0，MA →·SC →＝0.故MO ⊥SC ，MA ⊥SC ，所以〈MO →，MA →〉等于二面角A —SC —B 的平面角．因为cos 〈MO →，MA →〉＝MO →·MA →|MO →|·|MA →|＝33，所以二面角A —SC —B 的余弦值为33.18．解 (1)设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋1，b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2 ⇒(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2－a 2b 2＝0，∴x 1＋x 2＝2a 2a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2－a 2b 2a 2＋b2.∵OP ⊥OQ ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0， x 1x 2＋(－x 1＋1)(－x 2＋1)＝0， 2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0.∴2·a 2－a 2b 2a 2＋b 2－2a 2a 2＋b 2＋1＝0.即a 2＋b 2＝2a 2b 2. ∴1a 2＋1b 2＝2. (2)由1a 2＋1b 2＝2，得b 2＝a 22a 2－1.由33≤e ≤22，知13≤e 2≤12. ∴13≤a 2－b 2a 2≤12.∴12≤b 2a 2≤23. 故12≤12a 2－1≤23. ∴52≤a ≤62，从而5≤2a ≤6， 故所求长轴长的取值范围是[5，6]．19．(1)证明取AD 的中点O ，则VO ⊥底面ABCD . 建立如图所示空间直角坐标系，并设正方形边长为1，则A ⎝⎛⎭⎫12，0，0、B ⎝⎛⎭⎫12，1，0、C ⎝⎛⎭⎫－12，1，0、D ⎝⎛⎭⎫－12，0，0、V ⎝⎛⎭⎫0，0，32，∴AB →＝(0,1,0)，AD →＝(－1,0,0)， AV →＝⎝⎛⎭⎫－12，0，32.由AB →·AD →＝(0,1,0)·(－1,0,0)＝0⇒AB →⊥AD →⇒AB ⊥AD .AB →·AV →＝(0,1,0)·⎝⎛⎭⎫－12，0，32＝0⇒AB →⊥AV →⇒AB ⊥AV .又AD ∩AV ＝A ，∴AB ⊥平面VAD .(2)解 由(1)得AB →＝(0,1,0)是面VAD 的法向量，设n ＝(1，y ，z )是面VDB 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·VB →＝0，n ·BD →＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ (1，y ，z )·⎝⎛⎭⎫12，1，－32＝0，(1，y ，z )·(－1，－1，0)＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－1，z ＝－33⇒n ＝⎝⎛⎭⎫1，－1，－33.∴cos 〈AB →，n 〉＝(0，1，0)·⎝⎛⎭⎫1，－1，－331×213＝－217.又由题意知，面VAD 与面VDB 所成的二面角为锐角．∴所求余弦值为217.20．解 当a ＝0时，函数为f (x )＝2x －3，其零点x ＝32不在区间[－1,1]上． 当a ≠0时，函数f (x )在区间[－1,1]分为两种情况：①函数在区间[－1,1]上只有一个零点，此时：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－8a (－3－a )≥0f (－1)·f (1)＝(a －5)(a －1)≤0 或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－8a (－3－a )＝0－1≤－12a ≤1， 解得1≤a ≤5或a ＝－3－72. ②函数在区间[－1,1]上有两个零点，此时 ⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0－1<－12a <1f (－1)f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 8a 2＋24a ＋4>0－1<－12a <1(a －5)(a －1)≥0.解得a ≥5或a <－3－72. 综上所述，如果函数在区间[－1,1]上有零点，那么实数a 的取值范围为(－∞，－3－72]∪[1，＋∞)。
(新教材)高中数学苏教版选修2-1全册同步练习(含解析)
课时分层作业(十四)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．以q 为公比的等比数列{a n }中，a 1>0，则“a 1<a 3”是“q >1”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [等比数列{a n }中，若a 1>0，则a 1<a 3，可得q 2>1，即q >1或q <－1；若q >1，则有q 2>1，所以a 1q 2>a 1，即a 1<a 3，所以“a 1<a 3”是“q >1”的必要不充分条件．]2．已知p ：x ＋y ≠－2，q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1或y ≠－1，所以綈p ：x ＋y ＝－2，綈q ：x ＝－1且y ＝－1，因为綈q ⇒綈p 但綈p 綈q ，所以綈q 是綈p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件．故选A.]3．函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ＞0，－2x ＋a ，x ≤0，有且只有一个零点的充分不必要条件是( )A ．a ＜0B ．0＜a ＜12 C.12＜a ＜1 D ．a ≤0或a ＞1 A [因为函数f (x )过点(1,0)，所以函数f (x )有且只有一个零点⇒ 函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)没有零点⇒ 函数y ＝2x 的图象(x ≤0)与直线y ＝a 无公共点．由数形结合可知a ≤0或a ＞1，根据集合之间的关系{a |a ＜0}{a |a ≤0或a ＞1}，可知选A.]二、填空题4．已知α，β是两个不同的平面，直线a⊂α，直线b⊂β，p：a与b无公共点，q：α∥β，则p是q的________条件．[解析]α∥β⇒a，b无公共点，反之不成立．故p是q的必要不充分条件．[答案]必要不充分5．给出下列三个命题：①“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件；②“α＞β”是“cos α＜cos β”的必要不充分条件；③“a＞b”是“2a＞2b”的充分不必要条件．其中正确命题的序号为________．[解析]对于①，当a＝0时，f(x)＝x3＋ax2＝x3为奇函数．即“a＝0”⇒“f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数．”若f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数，则任意x∈R，都有f(－x)＝(－x)3＋a(－x)2＝－f(x)＝－x3－ax2成立，即2ax2＝0对任意x∈R都必成立，所以a＝0.故“f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”⇒“a＝0”．综上所述，可知“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件，是正确的；对于②，因为“α＞β”是“cos α＜cos β”的既不充分又不必要条件，故②错误；对于③，因为指数函数y＝2x是R上的单调增函数，所以“a＞b”是“2a＞2b”的充要条件，故③错误．[答案]①6．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是________(填序号)．①b≥0；②b＞0；③b＜0；④b≤0.[解析]∵函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数，∴根据二次函数＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的的性质得出：－b2≤0，b≥0，∴函数y＝x2充要条件是b≥0，故填①.[答案] ①7．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的________条件．[解析] 充分性：“x ≠y ”不一定能推出“cos x ≠cos y ”，如x ＝0，y ＝2π，此时cos x ＝cos y ．必要性：“cos x ≠cos y ”一定能推出“x ≠y ”，所以“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的必要不充分条件．[答案] 必要不充分8．若条件p ：|x |≤2，条件q ：x ≤a ，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．[解析] 由题意可知p ：－2≤x ≤2，q ：x ≤a .p 是q 的充分不必要条件，所以a ≥2.[答案] [2，＋∞)三、解答题9．若方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，求其中一根大于3，一根小于3的充要条件．[解] 方程x 2－mx ＋2m ＝0对应的二次函数f (x )＝x 2－mx ＋2m ，则方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3，一根小于3的充要条件是f (3)<0，即32－3m ＋2m <0，解得m >9.故其中一根大于3，一根小于3的充要条件是(9，＋∞)．10．已知p ：x 2－4x －5≤0，q ：|x －3|<a (a >0)．若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．[解] 解不等式x 2－4x －5≤0，得－1≤x ≤5，解不等式|x －3|<a (a >0)，得－a ＋3<x <a ＋3，设A ＝{x |－1≤x ≤5}，B ＝{x |－a ＋3<x <a ＋3}，因为p 是q 的充分不必要条件，从而有A B .故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋3<－1，a ＋3>5，解得a >4.所以实数a 的取值范围是(4，＋∞)．[能力提升练]1．设p：x2－x－20＞0，q：1－x2|x|－2＜0，则p是q成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[不等式x2－x－20＞0的解集A＝{x|x＜－4或x＞5}，不等式1－x2|x|－2＜0的解集B＝{x|x＞2或x＜－2或－1＜x＜1}，由于A B，所以p⇒q且q p，所以p是q的充分不必要条件．故选A.]2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的________条件．[解析]若函数f(x)在[0,1]上是增函数，则根据f(x)是偶函数可知f(x)在[－1,0]上是减函数，结合f(x)的周期为2可知f(x)在[3,4]上是减函数．反过来，若函数f(x)为[3,4]上的减函数，则根据f(x)的周期为2，可知f(x)为[－1,0]上的减函数．因此“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件．[答案]充要3．“k>4，b<5”是“一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的________条件．[解析]①当k>4，b<5时，一次函数y＝(k－4)x＋b－5的大致图象如图．②若一次函数y＝(k－4)x＋b－5交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，当x＝0时，y＝b－5<0，∴b<5.当y＝0时，x＝5－bk－4>0.∵b<5，∴k>4.故“k>4，b<5”是“一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的充要条件．[答案]充要4．已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.[证明]必要性：∵a＋b＝1，即b＝1－a，∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，∴(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，∴a2－ab＋b2≠0，故a＋b＝1.综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. 课时分层作业(十五)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列命题中为全称命题的是()A．过直线外一点有一条直线和已知直线平行B．矩形都有外接圆C．存在一个实数与它的相反数的和为0D．0没有倒数B[命题“矩形都有外接圆”可改写为“每一个矩形都有外接圆”，是全称命题．故选B.]2．下列命题中为存在性命题的是()A．所有的整数都是有理数B．三角形的内角和都是180°C．有些三角形是等腰三角形D．正方形都是菱形C[A，B，D为全称命题，而C含有存在量词“有些”，故为存在性命题．] 3．下列命题中，是全称命题且是真命题的是()A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0B．菱形的两条对角线相等C．∀x∈R，x2＝xD．对数函数在定义域上是单调函数D[A中的命题是全称命题，但a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故是假命题；B中的命题是全称命题，但是假命题；C中的命题是全称命题，但x2＝|x|，故是假命题；很明显D中的命题是全称命题且是真命题，故选D.]二、填空题4．命题“∀x＞0，x2＋x＞0”的否定是________．[解析]因为全称命题的否定是存在性命题，所以命题“∀x＞0，x2＋x＞0”的否定是“∃x＞0，x2＋x≤0”．[答案]∃x＞0，x2＋x≤05．已知命题p：∃x∈N，x2＜4，则非p为________．[解析]因为存在性命题的否定是全称命题，所以非p为∀x∈N，x2≥4.[答案]∀x∈N，x2≥46．对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．[解析]因为x>3时，x>a恒成立，所以a≤3.[答案](－∞，3]7．若命题“∃x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1≤0”为假命题，则实数a的取值范围是________．[解析]由条件知，“∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1>0”为真命题，即(a－1)2－4<0，解得－1<a<3.[答案](－1,3)8．对下列命题的否定说法错误的是________．①p：能被2整除的数是偶数，非p：存在一个能被2整除的数不是偶数；②p：有些矩形是正方形，非p：所有的矩形都不是正方形；③p：有的三角形为正三角形，非p：所有的三角形不都是正三角形；④p：∃x∈R，x2＋x＋2≤0，非p：∀x∈R，x2＋x＋2>0.[解析]根据含有一个量词的命题的否定知③错误．[答案]③三、解答题9．写出下列命题的否定并判断其真假．(1)p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；(2)p：每一个非负数的平方都是正数；(3)p：存在一个三角形，它的内角和不等于180°；(4)p：有的四边形没有外接圆；(5)p：某些梯形的对角线互相平分．[解](1)非p：存在一个末位数字是0或5的整数不能被5整除，假命题．(2)非p：存在一个非负数的平方不是正数，真命题．(3)非p：任意三角形的内角和都等于180°，真命题．(4)非p：所有的四边形都有外接圆，假命题．(5)非p：所有梯形的对角线都不互相平分，真命题．10．已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a ＞0成立”为真，试求参数a的取值范围．[解]法一：由题意知，x2＋2ax＋2－a＞0在[1,2]上有解，令f(x)＝x2＋2ax ＋2－a，则只需f(1)＞0或f(2)＞0，即1＋2a＋2－a＞0或4＋4a＋2－a＞0.整理得a＞－3或a＞－2，即a ＞－3.故参数a 的取值范围为(－3，＋∞)．法二：非p ：∀x ∈[1,2]，x 2＋2ax ＋2－a ＞0无解，令f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则⎩⎨⎧ f (1)≤0，f (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0，解得a ≤－3. 故命题p 中，a ＞－3.即参数a 的取值范围为(－3，＋∞)．[能力提升练]1．有四个关于三角函数的命题：p 1：∀x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12； p 2：∃x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ；p 3：∀x ∈[0，π]，1－cos 2x 2＝sin x ； p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2. 其中的假命题是( )A ．p 1，p 4B ．p 2，p 4C ．p 1，p 3D ．p 2，p 3A [∵∀x ∈R ，均有sin 2x 2＋cos 2x 2＝1，而不是12，故p 1为假命题．当x ，y ，x －y 有一个为2k π(k ∈Z)时，sin x －sin y ＝sin(x －y )成立，故p 2是真命题．∵cos2x ＝1－2sin 2x ，∴1－cos 2x 2＝1－1＋2sin 2x 2＝sin 2x .又x ∈[0，π]时，sin x ≥0，∴∀x ∈[0，π]，均有1－cos 2x 2＝sin x ，故p 3是真命题．当sin x ＝cos y ，即sin x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－y 时，x ＝2k π＋π2－y 或x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－y ＝(2k ＋1)π，即x ＋y ＝2k π＋π2或x －y ＝2k π＋π2(k ∈Z)，故p 4为假命题．故选A.] 2．下列命题中，是假命题的是 ( )A ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减B ．∀a ＞0，函数f (x )＝(ln x )2＋ln x －a 有零点C ．∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋sin βD ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数D [∵f (x )为幂函数，∴m －1＝1，∴m ＝2，∴f (x )＝x －1，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，故A 中的命题为真命题；∵y ＝(ln x )2＋ln x 的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞，∴∀a ＞0，方程(ln x )2＋ln x －a ＝0有解，即函数f (x )有零点，故B 中的命题为真命题；当α＝π6，β＝2π时，cos(α＋β)＝cos α＋sin β成立，故C 中的命题为真命题；当φ＝π2时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 为偶函数，故D 中的命题为假命题．]3．若命题“∀x ≥1，x 2≥a ”的否定为真命题，则实数a 的取值范围为________．[解析] 命题“∀x ≥1，x 2≥a ”的否定为“∃x ≥1，x 2＜a ”为真命题，所以a ∈(1，＋∞)．[答案] (1，＋∞)4．已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ∶∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0.若命题“p 和q ”都是真命题，求实数a 的取值范围．[解] ∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，即a ≤x 2，当x ∈[1,2]时恒成立，∴a ≤1.∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，∴Δ＝4a 2－4(2－a )≥0.∴a ≤－2或a ≥1.又p 和q 为真，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≤－2或a ≥1， ∴a ≤－2或a ＝1. 课时分层作业(十六)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知点M 到两个定点A (－1,0)和B (1,0)的距离之和是定值2，则动点M 的轨迹是( )A 一个椭圆B ．线段ABC ．线段AB 的垂直平分线D ．直线ABB [定值2等于|AB |，故点M 只能在线段AB 上．]2．“ab <0”是“方程ax 2＋by 2＝c 表示双曲线”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [当方程表示双曲线时，一定有ab <0，反之，当ab <0时，若c ＝0， 则方程不表示双曲线．]3．已知F 1(－5,0)，F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，当a 为3或5时，点P 的轨迹分别是( )A ．双曲线和一条直线B ．双曲线和一条射线C ．双曲线的一支和一条直线D ．双曲线的一支和一条射线D [依题意得|F 1F 2|＝10，当a ＝3时，2a ＝6<|F 1F 2|，故点P 的轨迹为双曲线的一支；当a ＝5时，2a ＝10＝|F 1F 2|，故点P 的轨迹为一条射线．故选D.]二、填空题4．已知双曲线的焦点为F 1，F 2，双曲线上一点P 满足|PF 1－PF 2|＝2.若点M 也在双曲线上，且MF 1＝4，则MF 2＝________.[解析] 由双曲线的定义可知，|MF 1－MF 2|＝2.又MF 1＝4，所以|4－MF 2|＝2，解得MF 2＝2或6.[答案] 2或65．已知点A (－1,0)，B (1,0)．曲线C 上任意一点P 满足PA →2－PB →2＝4(|PA →|－|PB →|)≠0.则动点P 的轨迹是________．[解析] 由条件可化简为PA ＋PB ＝4，因为4>2＝AB ， 所以曲线C 是椭圆． [答案] 椭圆6．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为______．(填“椭圆”、“双曲线”、“抛物线”)[解析] 由题意P 到直线x ＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P 的轨迹为一条抛物线．[答案] 抛物线7．已知平面上定点F 1，F 2及动点M ，命题甲：|MF 1－MF 2|＝2a (a 为常数)，命题乙：点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的________条件．[解析] 根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲D 乙，只有当0<2a <|F 1F 2|时，其轨迹才是双曲线．故甲是乙的必要不充分条件．[答案] 必要不充分8．△ABC 的顶点A (0，－4)，B (0,4)，且4(sin B －sin A )＝3sin C ，则顶点C 的轨迹是________．[解析] 运用正弦定理，将4(sin B －sin A )＝3sin C 转化为边的关系，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫b2R －a 2R ＝3×c 2R ，则AC －BC ＝34AB ＝6<AB .显然，顶点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的上支去掉点(0,3)．[答案] 以A ，B 为焦点的双曲线的上支去掉点(0,3) 三、解答题9．已知动点M 的坐标(x ，y )满足方程2(x －1)2＋2(y －1)2＝(x ＋y ＋6)2，试确定动点M 的轨迹．[解] 方程可变形为(x －1)2＋(y －1)2|x ＋y ＋6|2＝1，∵(x －1)2＋(y －1)2表示点M 到点(1,1)的距离，|x ＋y ＋6|2表示点M 到直线x ＋y ＋6＝0的距离． 又由(x －1)2＋(y －1)2|x ＋y ＋6|2＝1知点M 到定点(1,1)的距离等于点M 到直线x ＋y＋6＝0的距离．由抛物线的定义知点M 的轨迹是抛物线．10．一炮弹在某处爆炸，在F 1(－5 000,0)处听到爆炸声的时间比在F 2(5 000,0)处晚30017s ，已知坐标轴的单位长度为1 m ，声速为340 m/s ，爆炸点应在什么样的曲线上？[解] 由声速为340 m/s ，可知F 1，F 2两处与爆炸点的距离差为340×30017＝6 000(m)，且小于F 1F 2＝10 000(m)，因此爆炸点在以F 1，F 2为焦点的双曲线上，又因为爆炸点离F 1处比F 2处更远，所以爆炸点应在靠近F 2处的双曲线一支上．[能力提升练]1．已知点P (x ，y )的坐标满足(x －1)2＋(y －1)2－(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝±4，则动点P 的轨迹是________．[解析] 方程表示点到(1,1)和(－3，－3)两点的距离差，∵4<(1＋3)2＋(1＋3)2，∴点P 的轨迹是双曲线．[答案] 双曲线2．已知椭圆上一点P 到两焦点F 1，F 2的距离之和为20，则PF 1·PF 2的最大值为________．[解析] 由条件知PF 1＋PF 2＝20，∴PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎪⎫PF 1＋PF 22 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫202 2＝100.当且仅当PF 1＝PF 2时取得等号．[答案] 1003．如图，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是________．[解析] 连接FP (图略)，∵M ，F 关于直线CD 对称， ∴PF ＝PM ，∴PF ＋PO ＝OP ＋PM ＝OM (定值)． ∵OM >OF ，∴点P 的轨迹是以F ，O 为焦点的椭圆． [答案] 以F ，O 为焦点的椭圆4．在△ABC 中，B (－6,0)，C (0,8)，且sin B ，sin A ，sin C 成等差数列． (1)顶点A 的轨迹是什么？(2)指出轨迹的焦点和焦距．[解] (1)由sin B ，sin A ，sin C 成等差数列，得sin B ＋sin C ＝2sin A ．由正弦定理可得AB ＋AC ＝2BC .又因为BC ＝10，所以AB ＋AC ＝20，且20>BC ， 所以点A 的轨迹是椭圆(除去直线BC 与椭圆的交点)． (2)椭圆的焦点为B ，C ，焦距为10.课时分层作业(十七)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．7C ．5D ．8 D [将椭圆的方程转化成标准形式为y 2(m －2)2＋x 2(10－m )2＝1.由题意知m －2＞10－m ＞0，即6＜m ＜10.由(m －2)2－(10－m )2＝22，解得m ＝8，满足题意．]2．已知椭圆x 28＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，则|PF 1|·|PF 2|的最大值是( )A ．8B ．2 2C ．10D ．42 A [由椭圆的定义得， |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝42，∴|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝8(当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号)．3．过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为( )A ．2B ．4C ．8D ．22B [因为椭圆方程为4x 2＋y 2＝1，所以a ＝1.根据椭圆的定义，知△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝4.]二、填空题4．若方程x 2m －y 2m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数m 的取值范围是________．[解析] ∵方程x 2m －y 2m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，将方程改写为y 22－m 2＋x 2m ＝1，∴有⎩⎪⎨⎪⎧2－m 2>m ，m >0，解得0<m <1. [答案] (0,1)5．设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，点P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是________三角形(填“直角”“锐角”或“钝角”)[解析] 不妨设PF 1>PF 2，由条件知PF 1－PF 2＝2，又PF 1＋PF 2＝2a ＝8，解得PF 1＝5，PF 2＝3.又∵F 1F 2＝2c ＝216－12＝4，∴F 1F 22＋PF 22＝PF 21， 故△PF 1F 2是直角三角形． [答案] 直角6．设F 1，F 2是椭圆4x 249＋y 26＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，则△PF 1F 2的面积为________．[解析] 根据椭圆定义有⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，|PF 1|＋|PF 2|＝7，因此|PF 1|＝4，|PF 2|＝3.又因为|F 1F 2|＝5，因此△PF 1F 2为直角三角形，S △PF 1F 2＝12×3×4＝6.[答案] 67．过点(3，－ 5 )且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．[解析] 椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4.由椭圆的定义知，2a ＝(3－0)2＋(－5＋4)2＋(3－0)2＋(－5－4)2，解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2，可得b 2＝4，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x24＝1.[答案] y 220＋x 24＝18．椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是________．[解析] 设椭圆的另一焦点为F 2，由条件可知PF 2∥OM ，∴PF 2⊥x 轴．设P 点纵坐标为y ，则由x 212＋y 23＝1，得y ＝±32，∴点M 的纵坐标为±34. [答案] ±34三、解答题9．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→，若△PF 1F 2的面积为9，求b 的值．[解] 如图所示，PF 1⊥PF 2，F 1F 2＝2c ， 根据椭圆的定义可知，PF 1＋PF 2＝2a ，在Rt △F 1PF 2中，PF 21＋PF 22＝4c 2. 又S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2＝9，即PF 1·PF 2＝18.∴(PF 1＋PF 2)2＝PF 21＋PF 22＋2PF 1·PF 2＝4c 2＋36＝4a 2， ∴4a 2－4c 2＝36，即a 2－c 2＝9，即b 2＝9，∴b ＝3.10．求符合下列条件的参数的值或取值范围．(1)若方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在x 轴上的椭圆，求k 的取值范围； (2)若椭圆8k 2x 2－ky 2＝8的一个焦点为(0，7)，求k 的值． [解] (1)原方程可化为x 22＋y 22k ＝1.∵其表示焦点在x 轴上的椭圆，∴⎩⎪⎨⎪⎧k >0，2k <2，解得k >1.故k 的取值范围是(1，＋∞)．(2)原方程可化为x 21k 2＋y 28－k＝1.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－8k >0，－8k >1k 2，－8k －1k 2＝7，即⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k <－18，k ＝－1或k ＝－17.故k 的值为－1或－17.[能力提升练]1．以圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为椭圆的右焦点，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32的椭圆的标准方程为( )A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.4x 29＋y 2＝1 D ．x 2＋4y 29＝1 B [由已知c ＝1，且焦点在x 轴上， 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入求得a 2＝4或a 2＝14(舍去)．故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.]2．已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5,3，过P 且与x 轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，则椭圆的方程为________．[解析] 由题意知椭圆焦点在x 轴上，设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3，(2c )2＝52－32，解得a ＝4，c ＝2，b 2＝12. 故所求方程为x 216＋y 212＝1.[答案] x 216＋y 212＝13．“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆”的________条件． [解析] 由方程mx 2＋ny 2＝1，得x 21m ＋y 21n＝1，所以要使 方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧1m >0，1n >0，m ≠n ，即m >0，n >0且m ≠n .所以“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件．[答案] 必要不充分4．已知椭圆的标准方程为x 225＋y 2m 2＝1(m >0)，焦距为6，求实数m 的值．[解] ①当椭圆焦点在x 轴上时， 由2c ＝6，得c ＝3.由椭圆的标准方程为x 225＋y 2m 2＝1(m >0)，得a 2＝25，b 2＝m 2， 所以m 2＝25－9＝16. 因为m >0，所以m ＝4.②当椭圆焦点在y 轴上时，由2c ＝6，得c ＝3. 由椭圆的标准方程为x 225＋y 2m 2＝1(m >0)，得a 2＝m 2，b 2＝25， 所以m 2＝25＋9＝34. 因为m >0，所以m ＝34.综上所述，实数m 的值为4或34.课时分层作业(十八)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．9B [由题意知25－m 2＝16，解得m 2＝9，又m >0，所以m ＝3.]2．已知椭圆C 的短轴长为6，离心率为45，则椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端点的距离为 ( )A ．9B ．1C ．1或9D ．以上都不对C[⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝45，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝5，b ＝3，c ＝4.∴椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端点的距离为a ＋c ＝9或a －c ＝1.] 3．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．2B ．1C ．0D ．0或1 A [由题意，得4m 2＋n 2＞2，所以m 2＋n 2＜4，则－2＜m ＜2，－2<n <2，所以点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1内，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有2个交点．故选A.]二、填空题4．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________．[解析] 由题意得2a ＝12，c a ＝32，所以a ＝6，c ＝33，b ＝3.故椭圆方程为x 236＋y 29＝1. [答案] x 236＋y 29＝15．椭圆x 2m ＋y 24＝1的离心率为12，则实数m 的值为________．[解析] 当椭圆的焦点在x 轴上时，a 2＝m ，b 2＝4，且m ＞4，则e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝1－4m ＝14，∴m ＝163； 当椭圆的焦点在y 轴上时，a 2＝4，b 2＝m ，且0＜m ＜4， 则e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝1－m 4＝14，∴m ＝3. [答案] 3或1636．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 到过顶点A (－a ，0)，B (0，b )的直线的距离等于b7，则椭圆的离心率为________． [解析] 由题意知直线AB 的方程为x －a ＋yb ＝1，即bx －ay ＋ab ＝0.左焦点为F (－c,0)，则|－cb ＋ab |a 2＋b 2＝b 7. ∴7(a －c )＝a 2＋b 2，∴7(a －c )2＝a 2＋b 2＝a 2＋a 2－c 2＝2a 2－c 2，即5a 2－14ac ＋8c 2＝0， ∴8e 2－14e ＋5＝0，解得e ＝12或e ＝54.又∵0<e <1，∴e ＝12.[答案]127．某航天飞行控制中心对某卫星成功实施了第二次近月制动，卫星顺利进入周期为3.5 h 的环月小椭圆轨道(以月球球心为焦点)．卫星远月点(距离月球表面最远的点)高度降至 1 700 km ，近月点(距离月球表面最近的点)高度是200km ，月球的半径约是1 800 km ，且近月点、远月点及月球的球心在同一直线上，此时小椭圆轨道的离心率是________．[解析] 可设小椭圆的长轴长为2a ，焦距为2c ，由已知得 2a ＝1 700＋2×1 800＋200，∴a ＝2 750. 又a ＋c ＝1 700＋1 800，∴c ＝750. ∴e ＝c a ＝7502 750＝311.[答案]3118．过椭圆x 2＋2y 2＝4的左焦点作倾斜角为30°的直线，交椭圆于A ，B 两点，则弦长AB ＝________.[解析] 椭圆左焦点为(－2，0)， ∴直线方程为y ＝33(x ＋2)， 由⎩⎨⎧y ＝33(x ＋2)，x 2＋2y 2＝4得5x 2＋42x －8＝0，∴x 1＋x 2＝－425，x 1x 2＝－85，∴弦长AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－4252－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－85＝165. [答案] 165三、解答题9．若椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，点P 是椭圆上的一点，P 在x 轴上的射影恰为椭圆的左焦点，P 与中心O 的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的距离等于10－5，试求椭圆的离心率及其方程．[解] 令x ＝－c ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，得y 2＝b 2⎝⎛⎭⎪⎫1－c 2a 2＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a . 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，椭圆的右顶点A (a,0)，上顶点B (0，b )．∵OP ∥AB ，∴k OP ＝k AB ，∴－b 2ac ＝－b a ，∴b ＝c .而a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22.又∵a －c ＝10－5，解得a ＝10，c ＝5，∴b ＝5， ∴所求椭圆的标准方程为x 210＋y 25＝1.10．设直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点．(1)求实数b 的取值范围； (2)当b ＝1时，求|AB |.[解] (1)将y ＝x ＋b 代入x 22＋y 2＝1，消去y ，整理得3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0.①因为直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点，所以Δ＝16b 2－12(2b 2－2)＝24－8b 2＞0， 解得－3＜b ＜ 3.所以b 的取值范围为(－3，3)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 当b ＝1时，方程①为3x 2＋4x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－43.所以y 1＝1，y 2＝－13.所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝423. [能力提升练]1．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )A ．32B ．26C ．27D ．42C [设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n >0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧mx 2＋ny 2＝1x ＋3y ＋4＝0，消去x ，得(3m ＋n )y 2＋83m m y ＋16m －1＝0，Δ＝192m 2－4(16m －1)(3m ＋n )＝0，整理得3m ＋n ＝16mn ，即3n ＋1m ＝16 ①.又由焦点F 1(－2,0)，F 2(2,0)在x 轴上，得1m －1n ＝4②，联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝17n ＝13，故椭圆的方程为x 27＋y 23＝1，所以长轴长为27.故选C.]2．若A 为椭圆x 2＋4y 2＝4的右顶点，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，则该三角形的面积为________．[解析] 由题意得，该三角形的两直角边关于x 轴对称，且其中一边在过点A (2,0)，斜率为1的直线上，且此直线的方程为y ＝x －2，代入x 2＋4y 2＝4，得5x 2－16x ＋12＝0，解得x 1＝2，x 2＝65.把x ＝65代入椭圆方程，得y ＝±45，所以三角形的面积S ＝12×85×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－65＝1625.[答案]16253．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是________．[解析] 因为13 <k <12，所以点B 在第一象限．由题意可知点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a .因为点A 的坐标为(－a ，0)， 所以k ＝b 2a －0c ＋a，所以13<b 2a －0c ＋a <12.又因为b 2＝a 2－c 2，所以b 2a －0c ＋a ＝b 2ac ＋a 2＝a 2－c 2a 2＋ac＝a －c a ＝1－e ，所以13 <1－e <12，解得12<e <23，故椭圆离心率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23. [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，234.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P (3,1)在椭圆上，△PF 1F 2的面积为2 2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点Q 在椭圆C 上，且∠F 1QF 2＝π3，求QF 1·QF 2的值；(3)设直线y ＝x ＋k 与椭圆C 相交于A 、B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数k 的值．[解] (1)∵椭圆过点P (3,1)， ∴9a 2＋1b2＝1. 又S △PF 1F 2＝12×2c ×1＝22，解得c ＝2 2.又a 2＝b 2＋c 2解得a 2＝12，b 2＝4，∴椭圆的标准方程为x 212＋y 24＝1.(2)当∠F 1QF 2＝π3时，有⎩⎨⎧QF 1＋QF 2＝2a ＝43，QF 21＋QF 22－2QF 1·QF 2cos π3＝(2c )2＝32，∴QF 1·QF 2＝163.(3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 212＋y 24＝1，y ＝x ＋k得4x 2＋6kx ＋3k 2－12＝0，故x 1＋x 2＝－3k2，x 1x 2＝3k 2－124，y 1y 2＝k 2－124.∵以AB 为直径的圆经过坐标原点，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝k 2－6＝0，解得k ＝±6， 此时Δ＝120＞0，满足条件，因此k ＝± 6.课时分层作业(十九)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．双曲线x 2a ＋y 2a －1＝1的焦距为( )A ．1B ．2C ．22a －1D ．21－2aB [∵a (a －1)＜0，∴0＜a ＜1，方程化为标准方程为x 2a －y 21－a＝1，∴c 2＝a ＋1－a ＝1，∴焦距2c ＝2.]2．若双曲线x 24－y 212＝1上的一点P 到它的右焦点的距离为8，则点P 到它的左焦点的距离是 ( )A ．4B ．12C ．4或12D ．6 C [由题意知c ＝4＋12＝4，设双曲线的左焦点为F 1(－4,0)，右焦点为F 2(4,0)，且|PF 2|＝8.当P 点在双曲线右支上时，|PF 1|－|PF 2|＝4，解得|PF 1|＝12；当P 点在双曲线左支上时，|PF 2|－|PF 1|＝4，解得|PF 1|＝4，所以|PF 1|＝4或12，即P 到它的左焦点的距离为4或12.]3．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．42B ．8 3C ．24D ．48 C [由⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|－|PF 2|＝2，3|PF 1|＝4|PF 2|，可解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.又由|F 1F 2|＝10可得△PF 1F 2是直角三角形， 则S △PF 1F 2＝12|PF 1|×|PF 2|＝24.]二、填空题4．焦点分别是(0，－2)，(0,2)，且经过点P (－3,2)的双曲线的标准方程是________．[解析] 由题意，焦点在y 轴上，且c ＝2，可设双曲线方程为y 2m －x 24－m ＝1(0<m <4)，将P (－3,2)代入，解得m ＝1.因此所求双曲线标准方程为y 2－x 23＝1. [答案]y 2－x 23＝1 5．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则PF 1＋PF 2的值为________．[解析] 不妨设P 在双曲线的右支上，因为PF 1⊥PF 2，所以(22)2＝PF 21＋PF 22，又因为|PF 1－PF 2|＝2，所以(PF 1－PF 2)2＝4，可得2PF 1·PF 2＝4，则(PF 1＋PF 2)2＝PF 21＋PF 22＋2PF 1·PF 2＝12，所以PF 1＋PF 2＝2 3.[答案] 236．已知双曲线x 29－y 216＝1上一点M 的横坐标为5，则点M 到左焦点的距离是________．[解析] 由于双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为F (5,0)，将x M ＝5代入双曲线可得|y M |＝163，即双曲线上一点M 到右焦点的距离为163，故利用双曲线的定义可求得点M 到左焦点的距离为2a ＋|y M |＝6＋163＝343. [答案]3437．已知双曲线x 216－y 225＝1的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上的一点，且PF 与圆x 2＋y 2＝16相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则|MN |－|MO |＝________.[解析] 设F ′是双曲线的右焦点，连接PF ′(图略)，因为M ，O 分别是FP ，FF ′的中点，所以|MO |＝12|PF ′|.由双曲线方程知a 2＝16，b 2＝25， ∴c 2＝a 2＋b 2＝16＋25＝41， 又|FN |＝|OF |2－|ON |2＝5，且由双曲线的定义知|PF |－|PF ′|＝8，故|MN |－|MO |＝|MF |－|FN |－12|PF ′|＝12(|PF |－|PF ′|)－|FN |＝12×8－5＝－1.[答案] －18．若圆x 2＋y 2－4x －9＝0与y 轴的两个交点A ，B 都在双曲线上，且A ，B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为________．[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －9＝0，x ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－3.∵圆x 2＋y 2－4x －9＝0与y 轴的两个交点A ，B 都在双曲线上，且A ，B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分，∴A (0，－3)，B (0,3)，且a ＝3,2c ＝18， ∴b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1822－32＝72，∴双曲线方程为y 29－x 272＝1.[答案] y 29－x 272＝1三、解答题9．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)a ＝4，经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4103； (2)经过点(3,0)，(－6，－3)． [解] (1)当焦点在x 轴上时， 设所求标准方程为x 216－y 2b2＝1(b ＞0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝－1615×1609＜0，不符合题意；当焦点在y 轴上时，设所求标准方程为y 216－x 2b 2＝1(b ＞0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝9， ∴所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.(2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)， ∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋0＝1，36m ＋9n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝－13，∴所求双曲线的标准方程为x 29－y 23＝1.10．已知F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 是双曲线左支上的点，且PF 1·PF 2＝32，试求△F 1PF 2的面积．[解] 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，可知a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.由双曲线的定义，得|PF 2－PF 1|＝2a ＝6，将此式两边平方，得PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2＝36， ∴PF 21＋PF 22＝36＋2PF 1·PF 2＝36＋2×32＝100.在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝100－1002PF 1·PF 2＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2＝12×32＝16.[能力提升练]1．已知双曲线的一个焦点坐标为(6，0)，且经过点(－5,2)，则双曲线的标准方程为 ( )A.x 25－y 2＝1 B.y 25－x 2＝1 C.x 225－y 2＝1 D.x 24－y 22＝1 A [依题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则有⎩⎨⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，故双曲线标准方程为x 25－y 2＝1.]2．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为__________________________________________．[解析] 对于椭圆C 1，∵长轴长2a 1＝26，∴a 1＝13， 又离心率e 1＝c 1a 1＝513，∴c 1＝5.由题意知曲线C 2为双曲线，且与椭圆C 1共焦点， ∴c 2＝5.又2a 2＝8，∴a 2＝4，b 2＝c 22－a 22＝3，又焦点在x 轴上，故曲线C 2的标准方程为x 216－y 29＝1.[答案] x 216－y 29＝13．已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1→·PF 2→＝0，PF 1·PF 2＝2，则双曲线的标准方程为________．[解析] 由题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．由PF 1→·PF 2→＝0，得PF 1⊥PF 2. 根据勾股定理得PF 21＋PF 22＝(2c )2，即PF 21＋PF 22＝20.根据双曲线定义，有PF 1－PF 2＝±2a . 两边平方并代入PF 1·PF 2＝2，得20－2×2＝4a2，解得a2＝4，从而b2＝5－4＝1.故双曲线的标准方程是x24－y2＝1.[答案]x24－y2＝14．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的P处空降了一批救灾药品，今要把这批药品沿道路PA，PB 送到矩形灾民区ABCD中去，已知PA＝100 km，PB＝150 km，BC＝60 km，∠APB＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近，而另一侧的点沿道路PB送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程．[解]矩形灾民区ABCD中的点可分为三类，第一类沿道路PA送药较近，第二类沿道路PB送药较近，第三类沿道路PA和PB送药一样远近．依题意，界线是第三类点的轨迹．设M 为界线上的任一点，则PA ＋MA ＝PB ＋MB ，MA －MB ＝PB －PA ＝50(定值)，所以界线是以A ，B 为焦点的双曲线的右支的一部分．如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，设所求双曲线方程的标准形式为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，因为a ＝25,2c ＝|AB | ＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝507，所以c ＝257，b 2＝c 2－a 2＝3 750， 故双曲线的标准方程为x 2625－y 23 750＝1.注意到点C 的坐标为(257，60)，故y 的最大值为60，此时x ＝35，故界线的曲线方程为x 2625－y 23 750＝1(25≤x ≤35，y >0)．课时分层作业(二十)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A.5 B ．5 C.2 D ．2 A [由题意得b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2. ∴e 2＝c 2a 2＝5，∴e ＝ 5.] 2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为4，离心率为5，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 216＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22－y 23＝1 D ．x 2－y 26＝1 A [∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为4，∴a ＝2，又∵e ＝ca ＝5，∴c ＝25，∴b ＝c 2－a 2＝20－4＝4.则双曲线的标准方程x 24－y 216＝1.]3．已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为 ( ) A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0A [由题意知e 1＝c 1a ，e 2＝c 2a ， ∴e 1·e 2＝c 1a ·c 2a ＝c 1c 2a 2＝32.又∵a 2＝b 2＋c 21，c 22＝a 2＋b 2，∴c 21＝a 2－b 2， ∴c 21c 22a 4＝a 4－b 4a 4＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4，即1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4＝34，解得b a ＝±22，∴b a ＝22.令x 2a 2－y 2b 2＝0，解得bx ±ay ＝0，∴x ±2y ＝0.] 二、填空题4．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率为________．[解析] 由2a ＋2c ＝4b ，得a ＋c ＝2b ＝2c 2－a 2，即a 2＋2ac ＋c 2＝4c 2－4a 2，得5a 2＋2ac －3c 2＝0，(5a －3c )·(a ＋c )＝0，即5a ＝3c ，e ＝c a ＝53.[答案] 535．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程是________．[解析] 双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，则焦点在x 轴上，且a ＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4，即c ∶b ＝5∶4，解得c ＝5，b ＝4，则双曲线的标准方程是x 29－y 216＝1.[答案] x 29－y 216＝16．当双曲线C ：x 2m 2－y 22m ＋4＝1(－2＜m ＜0)的焦距取得最小值时，双曲线C 的渐近线方程为________．[解析] 由题意可得c 2＝m 2＋2m ＋4＝(m ＋1)2＋3， ∴当m ＝－1时，焦距2c 取得最小值， 此时双曲线C 的标准方程为x 2－y 22＝1。
苏教版高中数学选修2-1模块检测.docx
模块检测(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．命题“若a＞－1，则a＞－2”及其逆命题、否命题、逆否命题4个命题中，真命题的个数是______．解析原命题为真命题，故逆否命题为真命题；逆命题为“若a＞－2，则a＞－1”为假命题，故否命题为假命题．故4个命题中有2个真命题．答案 22．已知命题p：∃x∈R，sin x≤1，则命题綈p为______．解析存在性命题的否定为全称命题，同时注意否定结论：sin x≤1的否定为sin x＞1.答案∀x∈R，sin x＞13．命题“a＞1是a＞a的充要条件”是______(填“真”或“假”)命题．解析因为a＞1，所以a＞1, 所以a·a＞a，即a＞a.所以a＞1⇒a＞a；因为a ＞a，所以a(a－1)＞0，所以a＞1，即a＞1.所以a＞a⇒a＞1.综上可知a＞1⇔a ＞a，所以a＞1是a＞a的充要条件．答案真4．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任三个点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是______．解析命题①：“若四点不共面，则这四点中任三个点都不共线”的逆命题是“若四点中任三个点都不共线，则这四点不共面”，是假命题．命题②：“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题是“若两直线是异面直线，则这两条直线没有公共点”，是真命题．答案 ②5．已知|a|＝|b|＝5，a ，b 的夹角为π3，则|a ＋b|与|a －b|的值分别等于______． 解析 |a ＋b|2＝|a|2＋2a·b ＋|b|2＝52＋2×5×5×12＋52＝75，|a ＋b|＝53，|a －b|2＝|a|2－ 2a·b ＋|b|2＝52－2×5×5×12＋52＝25，|a －b|＝5. 答案 53，56．若直线l 的方向向量为a ＝(1，0，2)，平面α的法向量u ＝(－2，0，－4)，则直线与平面的位置关系是______．解析 由已知得a ＝－12u ，即向量a 和u 共线，∴直线l 与平面α垂直． 答案 l ⊥α7．以双曲线x 23－y 2＝1的一条准线为准线，顶点在原点的抛物线方程是____________． 解析 因为a ＝3，b ＝1，所以c ＝2，所以双曲线的准线方程为x ＝±32， 所以p 2＝32，得p ＝3， 所以抛物线方程是y 2＝6x 或y 2＝－6x .答案 y 2＝6x 或y 2＝－6x8．焦点在y 轴上，半虚轴长为4，焦距的一半为6的双曲线的标准方程为____________．解析 双曲线焦点在y 轴上，设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0.)已知b ＝4，c ＝6，则a 2＝c 2－b 2＝62－42＝20.故所求双曲线的标准方程为y 220－x 216＝1. 答案 y 220－x 216＝1 9．对于实数x ，y ，命题p ：x ＋y ≠8是命题q ：x ≠2或y ≠6的______条件．解析 利用命题的等价性，因为命题“若x ＝2且y ＝6，则x ＋y ＝8”是真命题，故非q ⇒ 非p ，即p ⇒q ；命题“若x ＋y ＝8，则x ＝2且y ＝6”是假命题，故非p ⇒/ 非q ，即q ⇒/p ， 所以p 是q 的充分不必要条件．答案 充分不必要10．已知t ∈R ，a ＝(1－t ，1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a|的最小值是______．解析 因为a －b ＝(－1－t ，1－2t ，0)，所以|a －b|＝（－1－t ）2＋（1－2t ）2＝5t 2－2t ＋2，当t ＝15时，|b －a|取到最小值355. 答案 355 11．椭圆x 236＋y 29＝1的弦被点(4，2)平分，则此弦所在的直线方程是____________． 解析 设弦所在的直线方程为y －2＝k (x －4)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k （x －4），x 236＋y 29＝1，消去y ，得方程(4k 2＋1)x 2＋16k (1－2k )x ＋4(16k 2－16k － 5)＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝16k （2k －1）4k 2＋1＝8，解得k ＝－12. 从而得到弦所在直线方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0. 答案 x ＋2y －8＝012．动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点______．解析 抛物线y 2＝8x ，p ＝4，其准线方程为x ＝－2，焦点为F (2，0)，设动圆圆心为P ， 由已知点P 到准线x ＋2＝0的距离为其半径r ，且点P 在抛物线上，∴点P 到焦点F 的 距离也为r ，∴动圆必过定点F (2，0)．答案 (2，0)13．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与椭圆x 2m ＋y 2n＝1(m ＞n ＞0)的共同焦点分别为F 1，F 2，P 是它们的一个公共点，则PF 1·PF 2等于______．解析 不妨设点P 在双曲线的右支上，由双曲线和椭圆的定义可得PF 1－PF 2＝2a ，PF 1 ＋PF 2＝2m ，∴PF 1＝a ＋m ，PF 2＝m －a .∴PF 1·PF 2＝m －a 2.答案 m －a 214．设曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，右准线l 与两渐近线交于P ，Q 两点，其右焦点为F ，若△PQF 为等边三角形，则双曲线C 的离心率e 为______.解析 因为点P 是右准线l 与渐近线的交点，不妨设P 在x 轴上 方，可得P (a 2c ，ab c)， 设右准线l 与x 轴的交点为M ，因为△PQF 为等边三角形，所以MF ＝3PM ，所以c －a 2c ＝3ab c ， 化简得：b ＝3a ，所以b a＝3，所以e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝1＋（a b）2＝1＋3＝2. 答案 2 二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知命题p ：对数log a (－2t 2＋7t －5)(a ＞0且a ≠1)有意义；q ：关于实数t 的不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)＜0.(1)若命题p 为真命题，求实数t 的取值范围；(2)若命题p 是命题q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解 (1)因为命题p 为真命题，所以对数式有意义，即－2t 2＋7t －5＞0，解得1＜t ＜52. (2)因为命题p 是命题q 的充分不必要条件， 所以1＜t ＜52是不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)＜0解集的真子集． 解法1：因为方程t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)＝0的两根为1，a ＋2， 故只需a ＋2＞52，解得a ＞12. 解法2：令f (t )＝t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)，因为f (1)＝0，故只需f (52)＜0，解得a ＞12. 16．(14分)已知命题p ：∃x ∈R ，使得x 2－2ax ＋2a 2－5a ＋4＝0；命题q ：∀x ∈[0，1]，都有(a 2－4a ＋3)x －3＜0.若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围．解 若命题p 为真命题，则有Δ＝4a 2－4(2a 2－5a ＋4)≥0，解得1≤a ≤4.对于命题q ，令f (x )＝(a 2－4a ＋3)x －3，若命题q 为真命题，则有f (0)＜0且f (1)＜0，可得0＜a ＜4.由题设有命题p 和q 中有且只有一个真命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧1≤a ≤4，a ≤0或a ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜1或a ＞4，0＜a ＜4.解得a ＝4或0＜a ＜1，故所求a 的取值范围是(0，1)∪{4}．17．(14分)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1B 1.(1)证明：AB ＝AC ；(2)设二面角A －BD －C 为60°，求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小．解 (1)以A 为坐标原点，射线AB 、AC 、AA1分别为x 、y 、z轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A －xyz .设B (1，0，0)，C (0，b ，0)，D (0，0，c )，则B 1(1，0，2c )，E (12，b 2，c )． 于是DE →＝(12，b 2，0)，BC →＝(－1，b ，0)． 由DE ⊥平面BCC 1B 1知DE ⊥BC ，DE →·BC →＝0，求得b ＝1，所以AB ＝AC .(2)设平面BCD 的法向量AN →＝(x ，y ，z )，则AN →·BC →＝0，AN →·BD →＝0.又BC →＝(－1，1，0)，BD →＝(－1，0，c )，故⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋cz ＝0. 令x ＝1，则y ＝1，z ＝1c ，AN →＝(1，1，1c)． 又平面ABD 的法向量AC →＝(0，1，0)．由二面角A －BD －C 为60°知，〈AN →，AC →〉＝60°，故AN →·AC →＝|AN →||AC →|cos60°，求得c ＝12. 于是AN →＝(1，1，2)，CB 1→＝(1，－1，2)，cos 〈AN →，CB 1→〉＝AN →·CB 1→|AN →||CB 1→|＝12，〈AN →，CB 1→〉＝60°. 所以B 1C 与平面BCD 所成的角为30°.18．(16分)如图，在五面体ABCDEF 中，F A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .(1)求异面直线BF 与DE 所成的角的大小；(2)证明平面AMD ⊥平面CDE ；(3)求二面角A －CD －E 的余弦值．解 如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点．设AB ＝1，依题意得B (1，0，0)，C (1，1，0)，D (0，2，0)，E (0，1，1)，F (0，0，1)，M (12，1，12)． (1)BF →＝(－1，0，1)，DE →＝(0，－1，1)，于是 cos 〈BF →，DE →〉＝BF →·DE →|BF →||DE →|＝0＋0＋12×2＝12.所以异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60°.(2)由AM →＝(12，1，12)，CE →＝(－1，0，1)，AD →＝(0，2，0)，可得CE →·AM →＝0，CE →·AD →＝ 0.因此，CE ⊥AM ，CE ⊥AD .又AM ∩AD ＝A ，故CE ⊥平面AMD .又CE ⊂平面CDE ，则平面AMD ⊥平面CDE .(3)设平面CDE 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧u ·CE →＝0，u ·DE →＝0， 于是⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－y ＋z ＝0.令x ＝1，可得u ＝(1，1，1)． 又由题设，平面ACD 的一个法向量为v ＝(0，0，1)． 所以，cos 〈u ，v 〉＝u ·v |u||v |＝0＋0＋13×1＝33. 因为二面角A －CD －E 为锐角，所以其余弦值为33. 19．(16分)根据我国汽车制造的现实情况，一般卡车高3 m ，宽1.6 m ．现要设计横断面为抛物线形的双向二车道的公路隧道，为保障双向行驶安全，交通管理部门规定汽车进入隧道后必须保持距中线0.4 m 的距离行驶．已知拱口AB 宽恰好是拱高OC 的4倍，若拱宽为a m ，求能使卡车安全通过的a 的最小整数值．解 如右图，以拱口AB 所在直线为x 轴，以拱高OC 所在直线为y 轴，建立直角坐标系．由题意可得抛物线的方程为x 2＝－2p (y －a 4)(a ＞0)． 因为点A (－a 2，0)在抛物线上， 所以(－a 2)2＝－2p (0－a 4)，得p ＝a 2. 所以抛物线的方程为x 2＝－a (y －a 4)． 取x ＝1.6＋0.4＝2，代入抛物线的方程，得22＝－a (y －a 4)，则y ＝a 2－164a .由题意，y ＞3，即a 2－164a＞3. 因为a ＞0，所以a 2－12a －16＞0，所以a ＞6＋213.又因为a ∈Z ，所以a 应取14，15，16，…答：能使卡车安全通过的a 的最小正整数值为14 m.20．(16分)抛物线y 2＝4x ，椭圆经过点M (0，3)，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆的对称轴是坐标轴．(1)求椭圆的方程；(2)若P 是椭圆上的点，设点T 的坐标为(t ，0)(t 是正实数)，求点P 与点T 之间的最短距离．解 (1)抛物线的焦点为(1，0)．设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则a 2－b 2＝1. 又椭圆经过点M (0，3)，所以b ＝ 3.所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1. (2)设P (x ，y )，则|PT |＝（x －t ）2＋y 2＝（x －t ）2＋3（1－x 24）＝ （x －4t ）2＋12－12t 24(－2≤x ≤2)． ①当0＜t ≤12时，x ＝4t ，即P (4t ，±3－12t 2)时，|PT |min ＝3－3t 2； ②当t ＞12时，x ＝2，即P (2，0)时，|PT |min ＝|t －2|： 综上，|PT |min ＝⎩⎨⎧3－3t 2（0≤t ≤12），|t －2|（t ＞12）.。
高中数学 模 块 综 合 检 测 苏教版选修2-1
(时间：120分钟；满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中横线上) 1．已知命题p ：若实数x ，y 满足x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为0；命题q ：若a >b ，则1a <1b.给出下列4个复合命题：①p ∧q ；②p ∨q ；③p ；④ q . 其中真命题的序号是__________．解析：∵x 2＋y 2＝0，∴x ＝y ＝0，∴p 真；∵a >b 1a <1b ，当a >0>b 时，1a >0，1b<0，∴1a >1b，∴q 假．∴①③假，②④真．答案：②④2．已知命题p ：∃x 0∈R ，sin x 0≤1，则 p 为__________． 解析：存在性命题的否定是全称命题． 答案：∀x ∈R ，sin x >13．双曲线的渐近线为y ＝±22x ，且过点M (2，－1)，则双曲线的方程为__________．解析：依题设双曲线为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，将点M 代入，得λ＝1.答案：x 22－y 2＝14．下列命题的否定是真命题的有__________个．①p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋14≥0；②q ：所有的正方形都是菱形；③r ：∃x 0∈R ，x 20－2x 0＋2≤0；④s ：至少有一个实数x ，使x 2＋1＝0. 解析：因为p 、q 均为真命题，所以 p 、 q 都是假命题．又因为r 、s 均为假命题，所以 r 、 s 都是真命题．答案：25．如图所示，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，M 是AB 的中点，则sin 〈DB ′→，CM →〉的值是__________．解析：以D 为原点，DA ，DC ，DD ′所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，B ′(1,1,1)，C (0,1,0)，M (1，12，0)，所以DB ′→＝(1,1,1)，CM →＝(1，－12，0)．故cos 〈DB ′→，CM →〉＝1×1＋－12＋1×012＋12＋12·12＋－122＋02＝1515， 则sin 〈DB ′→，CM →〉＝21015.答案：210156．已知M 是抛物线x 2＝8y 上一点，若以M 为圆心且与抛物线准线相切的圆恰好过抛物线顶点，则该圆的周长是__________．解析：由抛物线定义可知，圆M 过焦点F (0,2)，故其圆心M 又在直线y ＝1上，所以圆心坐标为M (±22，1)，半径r ＝3，圆M 的周长为6π.答案：6π7．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为__________．解析：椭圆的离心率e 1＝ 1－b 2a 2＝32，所以b 2a 2＝14，故双曲线的离心率e 2＝ 1＋b 2a2＝52. 答案：528．已知正四棱锥P －ABCD 的体积为12，底面边长为23，则侧面与底面所成二面角的大小为__________．解析：设正四棱锥底面中心为O ，取AB 的中点E ，连结OE 、PE 、PO (图略)，则∠PEO 为所求二面角的平面角，由已知可得PO ＝3，OE ＝3，tan ∠PEO ＝POOE＝3，∴∠PEO ＝60°. 答案：60°9．已知点A (4,1,3)，B (2,3,1)，C (3,7，－5)，若P (x ，－1,3)在平面ABC 内，则x 的值为__________．解析：由已知设OP →＝a OA →＋b OB →＋c OC →，故有⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋3c ＝x a ＋3b ＋7c ＝－13a ＋b －5c ＝3a ＋b ＋c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－4c ＝1x ＝11.答案：1110．给出以下结论：①“x ≠0或y ≠0”是“x 2＋y 2≠0”的充要条件； ②q ∨p 为真命题是“p ∧q ”为真命题的必要条件；③命题“a 、b 都是偶数，则a ＋b 是偶数”的否命题是“a 、b 都是偶数，则a ＋b 不是偶数”．其中正确结论的序号是__________． 答案：①②11．已知抛物线y 2＝ax 与直线y ＝1－x 有惟一公共点，则该抛物线的焦点到准线的距离为__________．解析：将x ＝1－y 代入抛物线方程，得y 2＋ay －a ＝0，依题意有Δ＝a 2＋4a ＝0，所以a ＝－4，抛物线方程为y 2＝－4x .故焦点到准线距离为：p ＝2.答案：212．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．若椭圆上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值范围为__________．解析：由a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1⇒sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝a c ＝|PF 2||PF 1|>1，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝2ac a ＋c ，|PF 2|＝2a2a ＋c.又∵|PF 2|－|PF 1|<|F 1F 2|，即2a 2a ＋c －2ac a ＋c <2c ， ∴c 2＋2ac －a 2>0， ∴e 2＋2e －1>0， ∴2－1<e <1.答案：(2－1,1) 13.如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成角的大小是__________．解析：建立如图所示的坐标系，O 为BC 中点，设三棱柱的棱长为2a ，则点A (3a,0,0)，B (0，a,0)，B 1(0，a,2a )，M (0，－a ，a )则AB 1→＝(－3a ，a,2a )，BM →＝(0，－2a ，a ) AB 1→·BM →＝0－2a 2＋2a 2＝0，所以异面直线AB 1与BM 所成的角为90°. 答案：90°14．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1,1)，BA →|BA →|＋BC →|BC →|＝3|BD →|BD →，则四边形ABCD 的面积为__________．解析：由已知AB →＝DC →＝(1,1)，得四边形ABCD 为平行四边形，且平行四边形ABCD 为菱形，其中锐角为60°，边长为2，所以四边形ABCD 的面积为2·2sin60°＝ 3.答案： 3二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，化简下列向量表达式． (1)AB →＋DD 1→＋B 1C 1→；(2)AA 1→＋BC →；(3)AB →＋12(CC 1→＋A 1D 1→＋CD →)．解：(1)AB →＋DD 1→＋B 1C 1→＝AB →＋BB 1→＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.(2)AA 1→＋BC →＝AA 1→＋A 1D 1→＝AD 1→.(3)AB →＋12(CC 1→＋A 1D 1→＋CD →)＝AB →＋12(BB 1→＋B 1C 1→＋C 1D 1→)＝AB →＋12BD 1→＝AO →(O 为正方体中心)．16．(本小题满分14分)已知A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是抛物线y ＝2x 2上两个不同点，若x 1x 2＝－12，且A 、B 两点关于直线y ＝x ＋m 对称，试求m 的值．解：由已知得k AB ＝－1，且AB 的中点C (x 0，y 0)在直线y ＝x ＋m 上，设直线AB 的方程为y ＝－x ＋n ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋n y ＝2x2，消去y 并整理得2x 2＋x －n ＝0， 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1＋8n >0x 1x 2＝－n 2＝－12，∴n ＝1.又x 1＋x 2＝－12，∴x 0＝－14，y 0＝－x 0＋1＝54.∵C (x 0，y 0)在直线y ＝x ＋m 上， ∴54＝－14＋m ，∴m ＝32. 17．(本小题满分14分)已知命题p ：函数f (x )＝log 2m (x ＋1)是定义域上的增函数，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0.(1)写出命题q 的否定 q ；并求出m 的取值范围，使得命题 q 为真命题； (2)如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数m 的取值范围．解：(1)由已知得 q ：∃x 0∈R ，x 2＋mx ＋1<0. 若 q 为真命题，则Δ＝m 2－4>0， ∴m <－2或m >2.即m 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)． (2)由已知得，p 为真命题时， m >12，即A ＝{m |m >12}． q 为真命题时，Δ＝m 2－4≤0，∴－2≤m ≤2，即B ＝{m |－2≤m ≤2}．若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题， 则p 与q 一真一假． ∴m ∈A ∩∁R B ＝{m |m >2}或m ∈B ∩∁R A ＝{m |－2≤m ≤12}．故m 的取值范围是[－2，12]∪(2，＋∞)．18．(本小题满分16分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝CC 1＝2，AC ⊥BC ，点D 是AB 的中点． (1)求证：AC 1∥平面CDB 1； (2)求点B 到平面CDB 1的距离； (3)求二面角B －B 1C －D 的余弦值．解：(1)证明：如图，建立空间直角坐标系，则A (2,0,0)，B (0,2,0)，C (0,0,0)，B 1(0,2,2)，C 1(0,0,2)，D (1,1,0)． 设平面CDB 1的法向量为n ＝(x ，y ，z ) 由⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥CD →n ⊥CB 1→，得⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ，z，1，＝x ＋y ＝0x ，y ，z ，2，＝2y ＋2z ＝0.取z ＝1，得n ＝(1，－1,1)．又AC 1→＝(－2,0,2)， ∴AC 1→·n ＝－2＋0＋2＝0， ∴AC 1→⊥n .∵AC 1⊄平面CDB 1，∴AC 1∥平面CDB 1. (2)设B 到平面CDB 1的距离为h ，则h ＝|n ·CB →||n |＝23＝233.(3)显然平面BCB 1的一个法向量为CA →＝(2,0,0)，∴cos 〈n ，CA →〉＝n ·CA →|n ||CA →|＝23×2＝33，∴二面角B －B 1C －D 的余弦值为33. 19．(本小题满分16分)在△ABC 中，已知B (－3,0)，C (3,0)，D 为直线BC 上的一个点，AD →·BC →＝0，△ABC 的垂心为H ，且AH →＝3HD →.(1)求点H 的轨迹M 的方程；(2)若过点C 且斜率为－12的直线与轨迹M 交于点P ，设Q (t,0)点是x 轴上任意一点，求当△CPQ 为锐角三角形时t 的取值范围．解：(1)设H (x ，y )是曲线上任意一点．∵AD →·BC →＝0，∴AD ⊥BC . ∴点H 在线段AD 上，又∵AH →＝3 HD →， AD →＝4 HD →，∴A 点的坐标为(x,4y )．∵H 为△ABC 的垂心，所以AC →⊥BH →，AC →·BH →＝0. AC →＝(3－x ，－4y )，BH →＝(x ＋3，y )， ∴(3－x ，－4y )·(x ＋3，y )＝0.化简整理得x 29＋4y 29＝1.所以H 点的轨迹方程为x 29＋4y 29＝1(y ≠0)．(2)过点C 且斜率为－12的直线方程为y ＝－12(x －3)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x －x 29＋4y 29＝y，得P (0，32)．要使△CPQ 为锐角三角形，则三个内角均为锐角，所以PQ →·PC →>0，QP →·QC →>0，CP →·CQ →>0三式同时成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧t ，－32，－32＝3t ＋94>0－t ，32－t ，＝t 2－3t >0－3，32t －3，＝9－3t >0，解得t 的取值范围为(－34，0)．20．(本小题满分16分)已知椭圆E 的方程是x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，其左顶点为(－2,0)，离心率e ＝12.(1)求椭圆E 的方程；(2)已知倾斜角为45°且过右焦点的直线l 交椭圆E 于A 、B 两点，若椭圆上存在一点P ，使OP →＝λ(OA →＋OB →)，试求λ的值．解：(1)由已知得a ＝2， e ＝c a ＝12，∴c ＝1，b ＝3， 故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)得右焦点F (1,0)， 因此直线l 的方程为y ＝x －1.代入椭圆方程并整理得7x 2－8x －8＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则x 1＋x 2＝87，∴y 1＋y 2＝(x 1－1)＋(x 2－1)＝(x 1＋x 2)－2＝－67.∴OP →＝λ(OA →＋OB →) ＝λ(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝λ(87，－67)，∴P 点坐标为(8λ7，－6λ7)，代入椭圆方程得：14×64λ249＋13×36λ249＝1. ∴λ2＝74，∴λ＝±72.。
高中数学电子题库第2章章末综合检测苏教版选修2-1
高中数学电子题库 第 2 章章末综合检测 苏教版选修 2-1( 时间： 120 分钟；满分： 160 分)一、填空题 ( 本大题共 14 小题，每题5 分，共 70 分．把答案填在题中横线上 )x 2 y 21. 椭圆 20＋ k ＝ 1 的焦距为 6，则 k 的值为 ________．分析：由已知 2c ＝6，∴ c ＝ 3，而 c 2＝ 9，∴ 20－ k ＝ 9 或 k － 20＝ 9，∴ k ＝ 11 或 k ＝ 29. 答案： 11 或 29 2. 双曲线 mx 2＋ y 2＝ 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m ＝ ________.222x 22 2分析：由题意知， m <0，双曲线 mx ＋ y ＝ 1 化为标准形式 y －1＝ 1，故 a ＝ 1，b ＝－－m111 1，因此 a ＝1， b ＝ －，则由2－ ＝ 2× 2，解得 m ＝－ .mmm41答案：－ 43. 在给定椭圆中， 过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为 1，则该椭圆的离心率为 ________．2b 22b 2x 2 y 2a ＝2 a ＝ 2， ①分析：不如设椭圆方程为a 2＋b 2＝ 1( a >b >0) ，则有a 2，即b 2 ②－ c ＝ 1＝ 1，cc2①÷②得 e ＝.22答案：24. 与 x 2－4y 2＝ 1 有同样的渐近线，且过 M (4 ， 3) 的双曲线方程为 ________ ．分析：设方程为x 22，将(4 ，x 2－ 4 ＝λ ( λ ≠0) 3) 代入方程得 λ ＝ 4，因此方程为 －yM4y 2＝1.x 22答案： 4 － y ＝ 15. 已知双曲线 3x 2－y 2＝ 9，则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距离之比等于 ________．分析：即求离心率，双曲线化为标准方程x 2 y 2－ ＝1，3 922c 23可知 a ＝ 3， c ＝ a ＋ b ＝ 3＋9＝ 2 3， e ＝ a ＝ 3 ＝2.答案： 22 26. 若抛物线 y 2＝ 2px 的焦点与椭圆 x＋y＝ 1 的右焦点重合，则p 的值为 ________．6 2x 2y 22pp分析：椭圆 ＋＝ 1 的右焦点为 (2 ， 0) ，而抛物线y ＝ 2px的焦点为 ( ， 0)，则 ＝2，6222故 p ＝ 4.答案： 47. 设 O 为坐标原点， F 2＝ 4x 的焦点， A 是抛物线上一点，若→ →为抛物线 y OA · AF ＝－ 4，则点 A 的坐标是 ________．2分析：由题意得 y 0→F (1 ， 0) ，设 A ( 4 ，y ) ，则 OA ＝(22y 0→y 0→ →4 ，y ) ，AF ＝ (1 － 4 ，－ y ) ，由 OA ·AF2y＝－ 4，解得 y 0＝± 2，此时点 A 的横坐标为4 ＝ 1，故点 A 的坐标为 (1 ，± 2) ．答案： (1 ，± 2)x 2y 28. 设 P 是椭圆 25＋ 16＝1 上的随意一点，又点Q 的坐标为 (0 ，－ 4) ，则 PQ 的最大值为________．y 22222964 2分析：设 P 的坐标 ( x ， y ) ，则 PQ ＝ x ＋ ( y ＋ 4) ＝ 25(1 －16) ＋ ( y ＋4) ＝－ 16( y － 9 )625＋9 ( －4≤ y ≤4) ，2当 y ＝4 时， PQ 最大，此时 PQ 最大，且 PQ 的最大值为225×（ 1－ 164）＋（ 4＋4） 2＝ 8.答案： 89.x 2y 2＝1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是________．以双曲线 9 － 164分析：由题意知圆心坐标应为(5 ， 0) ．又由于点 (5 ， 0) 到渐近线 y ＝± 3x 的距离为 4， 22因此圆的方程为 x ＋ y －10x ＋ 9＝0.10. 椭圆对称轴在座标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为3，则这个椭圆方程为 ________．a － c ＝ 3a ＝ 2 3分析：由题意知 c 1，解得，a ＝c ＝ 32x 2y2y 2x2椭圆方程为 12＋ 9＝ 1 或 12＋ 9＝ 1.x2y2y2x2答案： 12＋ 9＝1 或12＋ 9＝111. 已知两点 M ( － 2，0) ，N (2 ，0) ，点 P 为坐标平面内的动点，→→→ →知足 | MN | ·| MP | ＋MN ·NP＝0，则动点 P ( x ， y ) 的轨迹方程为 ________．→ → →分析：设 P ( x ，y ) ， M ( －2， 0) ， N (2 ， 0) ，则 MN ＝ (4 ， 0) ， | MN |＝ 4， MP ＝ ( x ＋ 2， y ) ， → ＝ ( x － 2， y ) ；NP由 → → → → ，得 4 2 2| MN |·| MP | ＋ MN · NP ＝ 0 （ x ＋ 2） ＋ y ＋ 4( x － 2) ＝ 0，化简整理得 2 ＝－8 .yx答案： y 2＝－ 8x12. 设过点 P ( x ，y ) 的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A ，B 两点，点 Q 与→→ → → P 的轨迹方程是 ________．点 P 对于 y 轴对称， O 为坐标原点， 若 BP ＝ 2PA 且 OQ ·AB ＝1，则点 分析：设 P ( x ，y ) ，则 Q ( － x ， y ) ，又设 A ( a ， 0) ， B (0 ， b ) ，则 a >0， b >0.→ → → →于是 BP ＝ ( x ，y － b ) ，PA ＝ ( a － x ，－ y ) ，由 BP ＝ 2PA 可得→ 3又 AB ＝ ( － a ， b ) ＝( － 2x ， 3y ) ，→ → 32 2由 OQ ·AB ＝ 1 可得 2x ＋ 3y ＝ 1( x >0， y >0) ． 答案： 3x 2＋ 3y 2＝ 1( x >0， y >0)23a ＝2x ，b ＝ 3y ，因此 x >0，y >0.x 2 y 2 x 2y 213. 椭圆 4 ＋ 9 ＝ 1 与曲线 9－ k ＋ 4－ k ＝1(0< k <4) 的关系是 ________． ( 填正确的序号 )①有相等的焦距，同样的焦点； ②有相等的焦距，不一样的焦点； ③有不等的焦距，同样的焦点；④有不等的焦距，不一样的焦点．x 2 y 2x 2 y 2分析：椭圆 4＋ 9＝1 的焦点在 y 轴上，曲线 9－ k ＋ 4－ k ＝ 1(0< k <4) 是椭圆，焦点在 x 2轴上，清除①，③；又 c ＝ 9－ 4＝ (9 － k ) － (4 － k ) ＝ 5，因此有同样的焦距．x 2 y 214. 已知 F 1，F 2 为双曲线 a 2－ b 2＝ 1( a >0，b >0 且 a ≠b ) 的两个焦点， P 为双曲线右支上异于极点的随意一点， O 为坐标原点．下边四个命题：①△ PF 1F 2 的内切圆的圆心必在直线 x ＝a 上； ②△ PF 1F 2 的内切圆的圆心必在直线 x ＝b 上； ③△ PF 1F 2 的内切圆的圆心必在直线 OP 上；④△ PFF 的内切圆必经过点 ( a ， 0) ．1 2此中真命题有 ________( 写出全部真命题的代号 ) ．分析：设△ 1 2 的内切圆分别与 1， 2切于点、 ，与1 2切于点，则＝，PFFPFPFA BF FMPAPBF 1A ＝F 1M ， F 2B ＝ F 2M ，又点 P 在双曲线右支上，因此 PF 1－ PF 2＝2a ，故 F 1M － F 2M ＝ 2a ，而 F 1M＋ F 2M ＝ 2c ，设 M 点坐标为 ( x ， 0) ，则由 F 1M － F 2M ＝ 2a 可得 ( x ＋ c ) － ( c －x ) ＝ 2a 解得 x ＝ a ，明显内切圆的圆心与点 M 的连线垂直于 x 轴，故①④正确．答案：①④二、解答题 ( 本大题共 6 小题，共 90 分，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 )15. ( 本小题满分 14 分 ) 如图，一个抛物线形拱桥，当水面离拱顶 4 m 时，水面宽 8 m.(1) 试成立坐标系，求抛物线的标准方程；(2) 若水面上涨 1 m ，求水面宽度．解： (1) 如图成立坐标系，设抛物线的标准方程为 x 2＝－ 2py ( p >0) ． 42＝－ 2 ×( －4)，即由已知条件可知，点 B 的坐标是 (4 ，－ 4) ，代入方程，得p ＝2.x 2＝－ 4y .p因此，所求抛物线标准方程是(2) 若水面上涨 1 m ，则 y ＝－ 3，代入 x 2＝－ 4y ，得 x 2＝－ 4× ( － 3) ＝ 12， x ＝± 2 3，因此这时水面宽为 4 3 m.16. ( 本小题满分 14 分 ) 已知双曲线过点 (3 ，－ 2) ，且与椭圆 4x 2＋ 9y 2＝ 36 有同样的焦点．(1) 求双曲线的标准方程；(2) 求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．x 2 y 2F 1( －， F 2(解： (1) 把椭圆方程化为标准形式为 9 ＋ 4＝ 1，焦点坐标为 5， 0) 5，0)．故设双曲线的标准方程为x 2 y 2a 2＋b 2＝ 5a 2＝ 3a 2－b 2＝ 1( a>0， b>0) ，则9 4，解得2，a 2－b 2＝1b ＝ 2x2y 2故所求双曲线的标准方程为3－ 2＝1.(2) 由 (1) 知双曲线的右准线方程为 3 5x ＝，即为抛物线的准线方程．故设抛物线的标5准方程为y2(p 356 5＝－ 2 >0) ，则有 ＝，故＝.px p25p5212 5因此抛物线的标准方程为y ＝－ 5 x .17.x 2 y 2与点 M (5 ，3) ，F 为右焦点， 试在双曲线上( 本小题满分 14 分 ) 已知双曲线 9－27＝1求一点，使＋1最小，并求出这个最小值．PPM2PF3解：双曲线的右焦点F (6 ，0) ，离心率 e ＝ 2，右准线为 l ：x ＝2. 作 MN ⊥l 于 N ，交双曲1 1 3 7线右支于 P ，连接 FP ，则 PF ＝ ePN ＝ 2PN ? PN ＝ 2PF . 此时 PM ＋ 2PF ＝PM ＋ PN ＝MN ＝ 5－2＝ 2为最小值．2 2在x9 － 27y＝ 1 中，令 y ＝ 3， x 2＝12? x ＝± 2 3；又∵ x >0，∴取 x ＝ 2 3.1 7即当所求 P 点的坐标为 (2 3， 3) 时， PM ＋ 2PF 取最小值 2.18.2 21 2x 2 y 2(本小题满分 16 分)已知 F ，F 是椭圆 C ：a ＋ b ＝ 1( a >b >0) 的左、右焦点，点 N ( － 2，→ →1) 在椭圆上，线段 NF 2与 y 轴的交点 M 知足 NM ＋ F 2M ＝ 0；(1) 求椭圆 C 的方程； (2) 设 P 为椭圆 C 上一点，且∠ F PF ＝ 3 ，求△ F PF 的面积．12 π 12解： (1) 由已知，点 N ( － 2， 1) 在椭圆上，2 1 ∴有 a 2 ＋b 2＝ 1，①→ →又∵ NM ＋ F M ＝ 0，M 在 y 轴上，∴ M 为 NF 的中点，22∴－ 2＋ c ＝ 0， c ＝ 2. ∴有 a 2－b 2＝2，②222C 的方程为x 2 y 2由①②，解得 b＝2( b ＝－ 1舍去 ) ，∴ a＝ 4，故所求椭圆＋＝ 1.42(2) 设1＝ ，2＝，则 △ 12＝ 1 sin π＝ 3 .PF m PF PS F PF 2mn 3 4 mn 由椭圆的定义知1＋2＝ 2 ，即 ＋ ＝4.①PF PFam n又由余弦定理得221·π＝ 1 22 n 2＝ (221＋2－22cos2，即＋－2) .②PFPFPFPF3F Fmmn28 1 2 2 3.由① －②，得mn ＝3，∴ S △F PF ＝ 319. ( 本小题满分→ →216 分 ) 已知点 A (0 ，－ 2) ，B (0 ，4) ，动点 P ( x ，y ) 知足 PA · PB ＝y － 8. (1) 求动点 P 的轨迹方程；(2) 若 (1) 中所求轨迹方程与直线 y＝ ＋ 2 交于 ， 两点，求证 ⊥ (此中 O 为原点 )．xC DOC OD解：→ → 2－ 8，化简得 2 ＝ 2y . 故动(1) 由题意得 PA · PB ＝ ( － x ，－ 2－y ) ·( － x ， 4－ y ) ＝ y x点 P 的轨迹方程为 x 2＝2 .y 221 1 22(2) 证明：设 C ， D 两点的坐标分别为 ( x ， y ) ，( x， y) ．将 y ＝ x ＋ 2 代入 x＝ 2y 得 x＝2( x ＋ 2) ，即 x 2－ 2x －4＝ 0，则＝ 4＋16＝ 20>0， x 1＋ x 2＝ 2， x 1x 2＝－ 4. 由于 y 1＝ x 1＋ 2，221 2 1 21 212OCODy 1y 2y 1y 2＝y ＝x ＋ 2 ，因此 y y ＝ ( x ＋ 2)( x ＋ 2) ＝ x x ＋ 2( x ＋ x )＋ 4＝ 4. 因此 k ·k ＝ x 1 ·x 2＝x 1x 2 － 1. 因此 OC ⊥ OD .20.y2p( 本小题满分16 分 ) 已知抛物线＝ 2( >0) 的焦点为 ， 是抛物线上横坐标为 4，pxF A且位于 x 轴上方的点， A 到抛物线准线的距离等于 5. 过 A 作 AB 垂直于 y 轴，垂足为 B ， OB的中点为 M .(1) 求抛物线方程；(2) 过 M 作 MN ⊥FA ，垂足为 N ，求点 N 的坐标；(3) 以 为圆心， 为半径作圆 ，当 ( ，0)是 x 轴上一动点时，议论直线 与圆M MB M K mAKM的地点关系．2p解： (1) 抛物线 y ＝2px 的准线为 x ＝－ ，p于是 4＋ 2＝ 5，∴ p ＝ 2.2∴抛物线方程为 y ＝ 4x .(2) ∵点 A 的坐标是 (4 ， 4) ，由题意得 B (0 ，4) ， M (0 ， 2) ， 又∵ (1 ，0) ，∴k FA＝ 4； ⊥ ，∴ k MN＝－ 3，F3 MN FA443则 FA 的方程为 y ＝ 3( x － 1) ， MN 的方程为 y － 2＝－ 4x .4 y ＝ 3（ x －1）解方程组，得3y － 2＝－ 4x8x ＝5，4y ＝58 4∴点 N 的坐标为 ( 5， 5) ．(3) 由题意得，圆 M 的圆心是点 (0 ， 2) ，半径为 2.当 m ＝4 时，直线 AK 的方程为 x ＝ 4，此时，直线 AK 与圆 M 相离，当 m ≠4时，直线 AK 的方程为 y ＝ 4( x － m ) ，即为 4x － (4 － m ) y － 4m ＝0，4－m|2 m ＋ 8| 圆心 M (0 ， 2) 到直线 AK 的距离 d ＝ 16＋（ m － 4） 2，令 d >2，解得 m >1. ∴当 m >1 时，直线 AK 与圆 M 相离； 当 m ＝1 时，直线 AK 与圆 M 相切；当 m <1 时，直线 AK 与圆 M 订交．。
苏教版数学高二-选修2-1模块综合检测(B)
模块综合检测(B)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．用“p 或q ”“p 且q ”“⌝p ”填空，命题“a 2＋1≥1”是________形式，命题“奇数的平方不是偶数”是________形式．2．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(3－x )>0，若⌝p 是⌝q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________________．3．若双曲线x 24－y 2b ＝1 (b >0)的渐近线方程为y ＝±12x ，则b ＝________.4．设F 1、F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的焦点，P 是曲线C 2：x 23－y 2＝1与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为________．5．若点P 到直线y ＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P 的轨迹方程为________． 6．已知M (－1,3)，N (2,1)，点P 在x 轴上，且使PM ＋PN 取得最小值，则最小值为________． 7．已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：①若α∩β＝n ，m ∥n ，则m ∥α，m ∥β；②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；③若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α；④若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n . 其中所有真命题的序号是________．8．已知向量a ＝(－2,3,2)，b ＝(1，－5，－1)，则m a ＋b 与2a －3b 相互垂直的充要条件为________．9．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过点F 1且垂直于x 轴的弦的弦长等于点F 1到l 1的距离，则椭圆的离心率是________．10．设F 为抛物线x 2＝8y 的焦点，点A ，B ，C 在此抛物线上，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝________.11．已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋λe 2，CD →＝6e 1－2e 2，当A ，C ，D 三点共线时，λ＝________. 12.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝22a ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________． 13．已知OA →＝(1,1,0)，OB →＝(4,1,0)，OC →＝(4,5，－1)，则向量AB →和AC →的夹角的余弦值为________． 14.如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝AA 1＝3，∠ABC ＝60°，则二面角A —A 1C —B 的余弦值是________． 二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －10≤0，命题q ：1－m ≤x ≤1＋m ，m >0，若⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．16.(14分)椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条直线l 经过点F 1与椭圆交于A ，B 两点．(1)求△ABF 2的周长；(2)若l 的倾斜角为π4，求△ABF 2的面积．17.(14分)如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，面ABCD 与面D 1C 1CD 垂直，且∠D 1DC ＝π3，DC ＝DD 1＝2，DA ＝3，∠ADC ＝π2，求异面直线A 1C 与AD 所成角余弦值．18.(16分)已知命题p：方程ax2＋ax－2＝0在[－1,1]上只有一个解；命题q：只有一个实数x满足x2＋2ax＋2a≤0.若命题“p∨q”为假命题，求实数a的取值范围．19．(16分)在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝BD＝2AE，M是AB的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：(1)求证：CM⊥EM；(2)求CM与平面CDE所成角的大小．20.(16分)已知直线(1＋4k)x－(2－3k)y－(3＋12k)＝0 (k∈R)所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C的长轴长为10.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知圆O：x2＋y2＝1，直线l：mx＋ny＝1，当点P(m，n)在椭圆C上运动时，求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围．模块综合检测(B)1．p或q綈p解析a2＋1≥1，即a2＋1>1或a2＋1＝1是p或q形式，奇数的平方不是偶数为綈p形式．2．－1≤a≤6解析由已知q⇒p，∴(2,3)⊆(a－4，a＋4)．∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2a ＋4≥3，∴－1≤a ≤6. 3．1 4. 2解析 设P 点在第一象限，由⎩⎨⎧x 26＋y 22＝1x23－y 2＝1，得P 点坐标为⎝⎛⎭⎫322，22. ∴S △PF1F2＝12F 1F 2·y p ＝12×4×22＝ 2.5．x 2＝12y解析 点P 到直线y ＝－3的距离和它到点(0,3)的距离相等． 6．5解析 设M 关于x 轴的对称点为M ′，则M ′(－1，－3)，所求最小值为M ′N ＝(2＋1)2＋(1＋3)2＝5. 7．②④ 8．m ＝1713解析 由(m a ＋b )·(2a －3b )＝0，可得(－2m ＋1,3m －5,2m －1)·(－7,21,7)＝0. ∴14m －7＋63m －105＋14m －7＝0. ∴91m ＝119，∴m ＝1713.9.12解析 由已知得2b 2a ＝a 2c －c ＝b 2c ，∴a ＝2c ，∴椭圆的离心率e ＝c a ＝12.10．12 11．－2解析 设AB →＋BC →＝kCD →，即有3e 1＋(1＋λ)e 2＝6k e 1－2k e 2，所以k ＝12，λ＝－2.12．平行解析 MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝12(A 1A →＋A 1B 1→)＋BC →＋12(CB →＋CD →)＝12(A 1A →＋CB →)＋BC →＝12B 1B →＋12BC →＝12B 1C →. 所以MN ∥平面BCC 1B 1. 13.32626解析 AB →＝(3,0,0)，AC →＝(3,4，－1)， cos 〈AB →，AC →〉＝32626.14.15515．解 p ：x ∈[－2,10]，q ：x ∈[1－m,1＋m ]，m >0， ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴p ⇒q 且q ⇒p . ∴[－2,10][1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m ≥10.∴m ≥9.16．解 (1)由椭圆的定义，得AF 1＋AF 2＝2a ， BF 1＋BF 2＝2a ，又AF 1＋BF 1＝AB ， 所以，△ABF 2的周长＝AB ＋AF 2＋BF 2＝4a . 又因为a 2＝4，所以a ＝2，故△ABF 2点周长为8. (2)由条件，得F 1(－1,0)，因为AB 的倾斜角为π4，所以AB 斜率为1，故直线AB 的方程为y ＝x ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 24＋y 23＝1，消去x ，得7y 2－6y －9＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 解得y 1＝3＋627，y 2＝3－627，所以，S △ABF 2＝12F 1F 2·|y 1－y 2|＝12×2×1227＝1227. 17．解 建立如图所示的空间直角坐标系， 则A (3，0,0)，D 1(0,1，3)，C (0,2,0)，D (0,0,0)， 由AA 1→＝DD 1→ 得A 1(3，1，3)． ∴A 1C →＝(－3，1，－3)． D 1A →＝(3，－1，－3)． ∴cos 〈A 1C →，D 1A →〉＝A 1C →·D 1A →|A 1C →|·|D 1A →|＝(－3，1，－3)·(3，－1，－3)7·7＝－17.∴异面直线A 1C 与AD 1所成角的余弦值为17.18．解 p ：方程ax 2＋ax －2＝0在[－1,1]上只有一个解，令f (x )＝ax 2＋ax －2， 则f (－1)·f (1)<0或f (1)＝0或Δ＝0⇒a ≥1或a ＝－8； q ：x 2＋2ax ＋2a ≤0，只有一个x 满足， 则Δ＝4a 2－8a ＝0⇒a ＝0或a ＝2.若p ∨q 为假命题，则p 假，且q 假．p 为假，则a <1，且a ≠－8，而q 为假，则a ≠0且a ≠2.综合得a <1且a ≠0，a ≠－8.19．(1)证明 分别以CB ，CA 所在直线为x ，y 轴，过点C 且与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系C —xyz .设AE ＝a ，则M (a ，－a,0)，E (0，－2a ，a )，所以CM →＝(a ，－a,0)，EM →＝(a ，a ，－a )，所以CM →·EM →＝a ×a ＋(－a )×a ＋0×(－a )＝0，所以CM ⊥EM .(2)解 CE →＝(0，－2a ，a )，CD →＝(2a,0,2a )，设平面CDE 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ －2ay ＋az ＝0，2ax ＋2az ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2y ，x ＝－z ，令y ＝1，则n ＝(－2,1,2)，cos 〈CM →，n 〉＝CM →·n |CM →||n |＝a ×(－2)＋(－a )×1＋0×22a ×3＝－22， 所以，直线CM 与平面CDE 所成的角为45°.20．解 (1)由(1＋4k )x －(2－3k )y －(3＋12k )＝0 (k ∈R )，得(x －2y －3)＋k (4x ＋3y －12)＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －3＝04x ＋3y －12＝0，解得F (3,0)， 设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝3a ＝5，所以椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1. (2)因为点P (m ，n )在椭圆C 上运动，所以1＝m 225＋n 216<m 2＋n 2， 从而圆心O 到直线l ：mx ＋ny ＝1的距离 d ＝1m 2＋n 2<1＝r . 所以直线l 与圆O 恒相交．又直线l 被圆O 截得的弦长为L ＝2r 2－d 2＝21－1m 2＋n 2 ＝21－1925m 2＋16 由于0≤m 2≤25，所以16≤925m 2＋16≤25， 则L ∈⎣⎡⎦⎤152，465， 即直线l 被圆O 截得的弦长的取值范围是 L ∈⎣⎡⎦⎤152，465.。
高二数学苏教版选修2-1阶段质量检测(四)模块综合检测Word版含解析
阶段质量检测(四)模块综合检测［考试时间：120分钟试卷总分：160分］一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分•把正确答案填在题中的横线上)1.(安徽高考)命题“存在实数X,使x>1 ”的否定是______________________________•2•“相似三角形的对应角相等”的否命题是_______________________________________ .3•已知点P(6, y)在抛物线y2= 2px(p>0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8,则焦点F到抛物线准线的距离等于__________________ .4. __________________________________________________________________ 若a= (1, - 1,—1), b= (0,1,1)，且(a + ◎丄b,则实数入的值是___________________________.b 2 25. (重庆高考)设P为直线y= 3ax与双曲线a2—b^= 1(a>0, b>0)左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直于x轴，则双曲线的离心率e= _______ .6. _________________________________________________________ 已知a= (t+ 1,1, t), b= (t—1, t,1)，则|a—b|的最小值为________________________________ .2 27方稈7^-「J = 1表示焦点在X轴上的双曲线，则m的取值范围是.3+ m 1 —m2&(北京高考改编)双曲线x2—m=1的离心率大于上的充分必要条件是__________________ .9.(山东高考改编)给定两个命题p, q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的 _______ 条件.10 .命题“ ？ x € R, 2x2—3ax + 9 v 0”为假命题，则实数a的取值范围是11. 已知A(4,1,3)、B(2,3,1)、C(3,7，—5)，点P(x,—1,3)在平面ABC 内，贝U x 的值为1 2 x2212. (山东高考改编)抛物线C1: y= ^px (p>0)的焦点与双曲线C2： -—y = 1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p =13. 设过点P(x, y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若BP— = 2PA—，且OQ —-> AB — = 1,贝U P高中数学点的轨迹方程是__________ .高中数学4A B(1) pABTT⑵ OA OB316 (C 1 t 4 t 5 2Ct 4 t1CCx1 t3 2.((6901 u115 ( 14 )xOy2y 142 2x y 4 t t 12px(p>0)F14) f(x)J 2_! q |f (x ) m| 3x J ^cos 2xp q17. (本小题满分14分)如图，在正方体AC i中，0为底面ABCD的中心，P是DD i的中点，设Q是CC i上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D i BQ //平面PAO?2 2 1 椭圆E：予+ *= 1(a>b>0)上一点，离心率18.(本小题满分16分)已知点为(1)求椭圆E的方程；⑵设不过原点0的直线I与该椭圆E交于P, Q两点，满足直线OP , PQ, 0Q的斜率依次成等比数列，求△ OPQ面积的取值范围.19.(新课标全国卷H )(本小题满分16分)如图，直三棱柱ABC-J2A1B1C1 中，D , E 分别是AB, BB1 的中点，AA1 = AC= CB = -^AB.(1) 证明：BC1〃平面A1CD;(2) 求二面角D —A1C-E的正弦值.if高中数学(1)⑵ B il1 x x 126 p 8P 4 F答案：3 24 44 b (0 ) a b (1(ab ) b (ab ) b0.1 0 1. 15 PF 1 x P bb 2 b..y3a xa 3a ( c) c 3b 鉅 a ^2b 4 .)(16 )20 (B 1 B 2AB 1B 2F i F 24PB 2 QB 2P(6 y)1 1)c 3b c 2 * a 2 b 2 a 2^2ba -46. 解析：|a—b|2=22+ (1 -1)2+ (t- 1)2= 2(t—1)2+ 4,所以当t = 1时，|a- b|取得最小值2.答案：22 2X y7. 解析：若一 =1表示焦点在x轴上的双曲线，3 + m 1 - m了3+ m>0,贝U ? - 3<m<1 ,1 —m>0•••m的取值范围是(一3,1).答案：(—3,1)2C 2 C8. 解析：依题意，e=a，e=孑>2，得1 + m>2,所以m>1.答案：m>19. 解析：由q?綈p且綈p ? q可得p?綈q且綈q ? p，所以p是綈q的充分不必要条件.答案：充分不必要10. 解析：？ x€ R,2x2- 3ax+ 9v 0” 为假命题，• ? x€ R, 2x2- 3ax+ 9 > 0 为真命题，•△= 9a - 4 x 2 x 9< 0,即卩 a < 8,•••—2 2 w a w 2 2.答案：[-2 2, 2 2 ]11. 解析：因为A(4,1,3), B(2,3,1) , C(3,7,—5),P(x,- 1,3),所以AP = (x—4, —2,0),AC =(—1, 6, -8).由于点P在平面ABC内，所以P、A、B、C四点共面.所以量共面.故由共面向量定理，知存在有序实数对(m , n),使AP即(x- 4, - 2,0)= m( -2,2 , - 2) + n( - 1,6 , - 8),x—4=—2m—n ,所以—2= 2m+ 6n ,0 =—2m—8n.m=- 4 ,解得n= 1,x= 11.答案：11AB = (-2,2 , - 2),高中数学12oP) 24 44 .3 3|x 2 3y 21(x>0 y>0)4 t 0i t 1 0 1 t 4 t〔4 t t 1(4 t)(t 1)4 t t 1 t 5Cx21 t 521 px. M(x o1 -J 3 yo)P xo 3y0X 2 3p X 1X22P _ AB x 1 x 2 p 4p. (2) (1)X 1X2p 2X1 X2 3p13AB (3 A(°x,O) B(0,3y) OQQ( x y)3x,3y)OQ AB |x 2 3y 2 4 1(x y)3 22x23y 21(x>0 y>0)1415(1)A(X 1 y” B(X2 y 2)-2 yyK.2pxFp高中数学“ 22^22• y1y2=x1—2x2—2 =x1x2—2(*+x 2)+7=鲁—-2+牛=—p2,••• OAOB =X 1&+ y 1y 2= p^ — p? =—=— 3,解得 p 2= 4，二 p = 2.•这个抛物线的方程为 y 2= 4x.2 fn \16.解：■/ f(x) = 2sin 4+ x•••当Q 为CC 1的中点时，平面 D 1BQ //平面PAO.2 .2c 1〜— b 124 218. 解：（1）由题意知，；=2,所以—厂=4 , a = 3b . 又±+ 4b 2=1,解得 a 2= 4, b 2= 3.2 2因此椭圆E 的方程为:+ 3 = 1.⑵由题意可知，直线l 的斜率存在且不为 0, 故可设直线I 的方程为y = kx + m （m ^0）,3cos 2x — 1=1 — cos2x — ■- J3cos 2x — 1=sin 2x — 3cos 2x = 2sin 2x — n ， •••若p 成立，即x €由 |f(x) — m|v 3? m — 3v f(x)v m + 3. ••• p 是q 的充分条件，• n 2 n 6 , ~3m — 3 v 1,i解得—1 v m v 4 ,m + 3>2 , 即m 的取值范围是（一1,4）.17.解：如图，以D 为坐标原点，分别以 DA 、DC 、DD i 所在 直线为x , y , z 轴，建立空间直角坐标系, 设正方体的棱长为1,A(1,0,0) , B(1,1,0) , D 1(0,0,1), 设 Q(0,1 , z)，则 OP = — 1,1 2,BD I = (— 1,— 1,1), • OP • OP // BD 1,1当z = 1时,// BD i ,AP = — 1, 0, 1, BQ = (— 1,0, z), AP = BQ ，即 AP // BQ ,有平面 AOP //平面 D 1BQ ,P LP (X 1 y i ) Q (X 2y2)y2X_ J kx2y_ 32 2(3 4k )x 8kmx 24(m 23) 0.64k 2,16(3 4k 2)(m 2 3)16(12k 2 3m 2 9)>0 4k 2 m 2 3>0. x 1 x 2_8km 3呆X1X2y1y 2i 2 k X 1X 2(kx 1 km(x 13m 2 12k 2 3 4k 2m)(kx 2 m) 2X 2) mOP PQ OQ2 2 y 1 y 2 3m ” 12kX 1 X 24(m 3)k 2(4 k 2 3)m 23 4. OP OQ>02 0<m 2<63.S OPQ ^|PQ| 1 |m| « 一 .2 严2® kX1X 2| m 2 3S OPQ 齣m 2(6 ~T . m < 3 2 m OPQ(0 3) 19. (1) AC 1 AQ D AB DF BC 1 DF? A 1CD BC 1?A 1CDBC 1 A 1CD.》m| x iF DF.m 2 ^B62 x 2 J 4x 1X 2 F AC 1 C IAC CBAC BC.以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 C — xyz.高中数学设 CA = 2,则 D(1,1,0), E(0,2,1), A 1(2,0,2), CD = (1,1,0), CE = (0,2,1) , CA 1 = (2,0,2).设n = (X 1, y 1, z”是平面A 1CD 的法向量，贝U n 昌 °’ j n CA t = 0,可取 n = (1, - 1, - 1).因厶AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1=|AB 2|,故/ B 1AB 2为直角，c因此 |OA|= |OB 2|,得 b = 2.结合 c 2= a 2— b 2得 4b 2= a 2— b 2，故 a 2= 5b 2,c 2= 4b 2，所以离心率 e = ： = 2'："5.在 Rt △ AB 1B 2 中，OA 丄 B 1B 2,1故 S A AB 1B 2 = -|B 1B 2| |OA|c 2=IOB 2I |OA|= 2 b = b .由题设条件 S A AB 1B 2= 4,得 b 2= 4,从而 a 2= 5b 2 = 20.2 2 因此所求椭圆的标准方程为 20 + 4 = 1.(2)由(1)知B 1(— 2,0), B 2(2,0).由题意知直线l 的倾斜角不为0,故可设直线l 的方程为 x = my — 2.代入椭圆方程得(m 2+ 5)y 2— 4my —16= 0.设 PX , y”，Q(x 2, y 2),则y 1, y 是上面方程的两根，4m 16因此 y 1 + y 2= 2丄 5, y 1y 2=— 2丄 5,m + 5 3 m + 5同理，设 m =饨,y 2, Z 2)是平面 A i CE 的法向量，则 m CE = 0, m-CA l = 0, 2y 2+ z 2 = 0 2x 2 + 2Z 2= 0 可取 m = (2,1 , - 2). 从而cos 〈n , m > 故 sin 〈 n , m 〉=並. 3 即二面角 20.解: D — A 1C — E 的正弦值为舟. 2 :(1)设所求椭圆的标准方程为为+b 2 2= 1(a>b>0)，右焦点为 F 2(C ,0). 即宀y1 = 0,|2x 1 + 2Z 1 =0.(my i 4)( my 2 4) y$2 2 (m 1)y i y 2 4m(y i y ?)1616m 64 2_T - m 5 PB 2 QB 2 B 2 P B 2Q 0 16m 2 64 0 m 2. x 2y 20 x 2y 2 0.2 y 2px(p>0)B 2P (x i 2 y i ) B 2Q (X 2 2 y 2)B 2P B 2Q(x i 2)(x 2 2) y i y 216 16m 2 m 2 52。
高中数学 模块综合测评 苏教版选修22
模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把正确答案填在题中的横线上) 1.已知复数z ＝5i1＋2i(i 是虚数单位)，则|z |＝________. 【解析】 |z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5i 1＋2i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－5＝|i ＋2|＝ 5. 【答案】52.若f (x )＝sin α－cos x (α是常数)，则f ′(α)＝________. 【解析】 f ′(x )＝(sin α－cos x )′＝sin x ， ∴f ′(α)＝sin α. 【答案】 sin α3.(2016·重庆一中高二期末)复数z 满足z i －2i ＋1＝0(其中i 为虚数单位)，则z ＝________.【解析】 由z i －2i ＋1＝0得z ＝－1＋2i i ＝－1＋－－＝2＋i.【答案】 2＋i4.若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的 解集为________. 【解析】 f ′(x )＝2x －2－4x >0，x 2－x －2x>0.∵x >0，∴(x －2)(x ＋1)>0. ∴x >2.【答案】 (2，＋∞)5.(2016·淄博质检)设复数z ＝1m ＋5＋(m 2＋2m －15)i 为实数，则实数m 的值是________.【解析】 由题意知m 2＋2m －15＝0，解之得m ＝3或m ＝－5.当m ＝－5时，1m ＋5无意义，所以m ＝3.【答案】 36.函数y ＝ln x (x >0)的图象与直线y ＝12x ＋a 相切，则a 等于________.【导学号：01580074】【解析】 y ′＝(ln x )′＝1x(x >0)，又y ＝ln x 的图象与直线y ＝12x ＋a 相切，∴1x ＝12，∴x ＝2， 因此，切点P (2，ln 2)在直线y ＝12x ＋a 上，∴ln 2＝1＋a ，∴a ＝ln 2－1. 【答案】 ln 2－17.观察下列的图形中小正方形的个数，则第10个图形中有________个小正方形.图1【解析】 第n 个图形中有小正方形1＋2＋…＋(n ＋1)＝n ＋n ＋2(个)，故第10个图形中有66个小正方形.【答案】 668.用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)”时，由n ＝k (k >1，k ∈N *)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是________.【解析】 令f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n －1，∴f (k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋…＋12k ＋1－1，因此应增加的项为12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1，共2k项.【答案】 2k9.(2016·天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab的值为________.【解析】 因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，又a ，b ∈R ，所以1＋b ＝a 且1－b ＝0，得a ＝2，b ＝1，所以a b＝2.【答案】 210.(2016·咸阳模拟)n ]表示不超过n 的最大整数.S 1＝1]＋2]＋3]＝3，S 2＝4]＋5]＋6]＋7]＋8]＝10，S 3＝9]＋10]＋11]＋12]＋13]＋14]＋15]＝21，……那么S n ＝________.【解析】 S 1＝12]＋12＋1]＋12＋2]＝1×3，S 2＝22]＋22＋1]＋22＋2]＋22＋3]＋22＋4]＝2×5，S 3＝32]＋32＋1]＋32＋2]＋32＋3]＋32＋4]＋32＋5]＋32＋6]＝3×7，观察式子规律，可以得出S n ＝n 2]＋n 2＋1]＋n 2＋2]＋…＋n 2＋2n ]＝n (2n ＋1). 【答案】 n (2n ＋1)11.(2014·湖南高考改编)若0<x 1<x 2<1，则下列四个结论正确的是________(填序号) ①e x 2－e x 1>ln x 2－ln x 1； ②e x 2－e x 1<ln x 2－ln x 1； ③x 2e x 1>x 1e x 2； ④x 2e x 1<x 1e x 2.【导学号：01580075】【解析】 设f (x )＝e x－ln x (0<x <1)，则f ′(x )＝e x－1x ＝x e x－1x.令f ′(x )＝0，得x e x －1＝0，根据函数y ＝e x与y ＝1x的图象可知两函数图象交点x 0∈(0,1)，因此函数f (x )在(0,1)上不是单调函数，故①②不正确.令g (x )＝exx(0<x <1)，则g ′(x )＝x e x －e x x 2＝e x x －x 2.当0<x <1时，g ′(x )<0，即g (x )在(0,1)上单调递减，∵0<x 1<x 2<1，∴g (x 2)<g (x 1)，即e x 2x 2<e x 1x 1，∴x 2e x 1>x 1e x 2.即③正确.【答案】 ③12.函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间是________.【解析】 y ′＝x －1x ＝x 2－1x＝x －x ＋x(x >0)令y ′<0，∵x >0，∴0<x <1，即函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间是(0,1).【答案】 (0,1)13.(2016·大连测试)已知函数f (x )＝e x－2x －1(其中e 为自然对数的底数)，则y ＝f (x )的图象大致为________(填序号).图2【解析】 依题意得f ′(x )＝e x－2.当x <ln 2时，f ′(x )<0，f (x )是减函数，f (x )>f (ln 2)＝1－2ln 2；当x >ln 2时，f ′(x )>0，f (x )是增函数，因此对照图象知③正确.【答案】 ③14.观察下列推理过程：∵tan 2α－1tan α＝2tan 2α－12tan α＝－2tan 2α，∴tan α－1tan α＝－2tan 2α， ∴tan 2α－1tan 2α＝－2tan 4α，∴tan 4α－1tan 4α＝－2tan 8α，…由此可化简：tan π31＋2tan 2π31＋4tan 4π31＋8tan 8π31＋16tan 16π31＝________.【解析】 由推理过程得tan α＝1tan α－2tan 2α，2tan 2α＝2tan 2α－4tan 4α，4tan 4α＝4tan 4α－8tan 8α，8tan 8α＝8tan 8α－16tan 16α，16tan 16α＝16tan 16α－32tan 32α，将这五个等式相加，得tan α＋2tan 2α＋4tan 4α＋8tan 8α＋16tan 16α＝1tan α－32tan 32α，令α＝π31，可得原式＝－31tan π31.【答案】 －31tan π31二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15.复数z 1＝3a ＋5＋(a 2－10)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值.【解】 z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a＋(2a －5)i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13a ＋a －＋(a 2＋2a －15)i.∵z 1＋z 2是实数， ∴a 2＋2a －15＝0， 解得a ＝－5或a ＝3.∵a ＋5≠0，∴a ≠－5，故a ＝3.16.(本小题满分14分)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3x ＋1. (1)当a ＝－2时，讨论f (x )的单调性；(2)若x ∈2，＋∞)时，f (x )≥0，求a 的取值范围. 【解】 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 3－32x 2＋3x ＋1，f ′(x )＝3x 2－62x ＋3.令f ′(x )＝0，得x 1＝2－1，x 2＝2＋1.当x ∈(－∞， 2－1)时，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，2－1)上是增函数； 当x ∈(2－1，2＋1)时，f ′(x )＜0，f (x )在(2－1, 2＋1)上是减函数； 当x ∈(2＋1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(2＋1，＋∞)上是增函数. (2)由f (2)≥0，得a ≥－54.当a ≥－54，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＝3(x 2＋2ax ＋1)≥3⎝⎛⎭⎪⎫x 2－52x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －2)＞0，所以f (x )在(2，＋∞)上是增函数，于是当x ∈2，＋∞)时，f (x )≥f (2)≥0.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，＋∞. 17.(本小题满分14分)设等差数列{a n }的公差为d ，S n 是{a n }中从第2n －1项开始的连续2n －1项的和，即S 1＝a 1， S 2＝a 2＋a 3， S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7，……S n ＝a 2n －1＋a 2n －1＋1＋…＋a 2n －1，……若S 1，S 2，S 3成等比数列，问：数列{S n }是否成等比数列？请说明你的理由. 【解】 ∵S 1，S 2，S 3成等比数列， ∴S 1＝a 1≠0，且S 1·S 3＝S 22，由S 1·S 3＝S 22，得a 1(a 4＋a 5＋a 6＋a 7)＝(a 2＋a 3)2， 即a 1(4a 1＋18d )＝(2a 1＋3d )2,2a 1d ＝3d 2.∴d ＝0或a 1＝32d .当d ＝0时，S n ＝2n －1a 1≠0，S n ＋1S n ＝2n a 12n －1a 1＝2(常数)，n ∈N *，{S n }成等比数列； 当a 1＝32d 时，S n ＝a 2n －1＋a 2n －1＋1＋a 2n －1＝2n －1a 2n －1＋2n －1n －1－2d＝2n －1a 1＋(2n －1－1)d ]＋2n －1n －1－2d＝2n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫32d ·2n －1＋a 1－32d ＝32d ·4n －1≠0， S n ＋1S n ＝32d ·4n32d ·4n －1＝4(常数)，n ∈N *，{S n }成等比数列. 综上所述，若S 1，S 2，S 3成等比数列，则{S n }成等比数列.18.(本小题满分16分)已知幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设函数g (x )＝14f (x )＋ax 3＋92x 2－b (x ∈R )，其中a ，b ∈R ，若函数g (x )仅在x ＝0处有极值，求a 的取值范围.【解】 (1)因为f (x )在区间(0，＋∞)上是单调增函数， 所以－m 2＋2m ＋3>0，即m 2－2m －3<0， 所以－1<m <3，又m ∈Z ，所以m ＝0,1,2. 而m ＝0,2时，f (x )＝x 3不是偶函数，m ＝1时，f (x )＝x 4是偶函数，所以f (x )＝x 4.(2)由(1)知g (x )＝14x 4＋ax 3＋92x 2－b ，则g ′(x )＝x (x 2＋3ax ＋9)，显然x ＝0不是方程x 2＋3ax ＋9＝0的根. 为使g (x )仅在x ＝0处有极值， 必须x 2＋3ax ＋9≥0恒成立，即有Δ＝9a 2－36≤0，解不等式得a ∈－2,2]. 这时，g (0)＝－b 是唯一极值，所以a ∈－2,2].19.(本小题满分16分)在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n .(1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想到数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想. 【解】 (1)由S 1＝a 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，得a 21＝1，因为a n >0，所以a 1＝1.由S 2＝a 1＋a 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2，得a 22＋2a 2－1＝0，所以a 2＝2－1，由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋1a 3，得a 23＋22a 3－1＝0，所以a 3＝3－ 2. (2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N *). 证明：①当n ＝1时，a 1＝1－0＝1，命题成立；②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，a k ＝k －k －1成立，则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ， 即a k ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ，所以a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0.所以a k ＋1＝k ＋1－k ， 则n ＝k ＋1时，命题成立.则①②知，n ∈N *，a n ＝n －n －1.20.(本小题满分16分)设函数f (x )＝a e xln x ＋b e x －1x，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2.(1)求a ，b ； (2)证明：f (x )>1.【解】 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x ln x ＋a x e x －b x 2e x －1＋bxe x －1.由题意可得f (1)＝2，f ′(1)＝e.故a ＝1，b ＝2. (2)证明：由(1)知，f (x )＝e xln x ＋2xe x －1，从而f (x )>1等价于x ln x >x e －x－2e .设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x .所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x )<0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，g ′(x )>0. 故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e . 设函数h (x )＝x e －x －2e ，则h ′(x )＝e －x(1－x ).所以当x ∈(0,1)时，h ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0.故h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e .综上，当x >0时，g (x )>h (x )，即f (x )>1.。
苏教版高中数学选修2-1模块检测(选修2-1)
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作选修2-1 模块检测（苏教版选修2-1）建议用时 实际用时满分 实际得分120分钟160分一、填空题（每小题5分，共70分）1. 若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为 ．2. （2012·山东济宁一模）已知p :|x +1|≤4;q :＜5x －6,则p 是q 成立的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 3. 设 ,若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ．4. 已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M 的坐标为(－1，2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且PM ＝MQ ，则点Q 的轨迹方程是 ．5. 若AB 是过椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且AM ，BM 与坐标轴不平行，k AM ，k BM 分别表示直线AM ，BM 的斜率，则k AM •k BM = ．6. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，M ，N 分别是棱DD 1，D 1C 1的中点，则直线OM 与MN 的位置关系是 ．7. 如图，在空间直角坐标系中，正方体棱长为2，点E 是棱AB 的中点，点F （0，y ，z ）是正方体的面AA 1D 1D 上一点，且CF ⊥B 1E ，则点 F （0，y ，z ）满足方程 ．8. 圆心在抛物线22y x =（0y >）上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是 ．9. 设双曲线的半焦距为，直线过两点.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为 ．10. 已知△ABC 的顶点A(－5,0)、B(5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是 ．11. 已知抛物线上一点0到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数的值是 ．12. 已知椭圆221x y m n+=与双曲线2x p －2y q 有共同的焦点，是椭 圆和双曲线的一个交点，则 ．13. 下列四个结论中，正确的有 (填序号).①若A 是B 的必要不充分条件，则非B 也是非A 的必要不充分条件； ②“是“一元二次不等式a ＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件； ③“x ≠1”是“≠1”的充分不必要条件； ④“x ≠0”是“x ＋|x |＞0”的必要不充分条件.14. 若点O 和点F 分别为椭圆的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则的最大值为二、解答题（共90分）15.（14分）设p ：实数x 满足－4ax +3＜0，其中a ＞0；q ：实数x 满足 （1）若a =1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.16. （14分）已知四棱锥-P ABCD 的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90底面ABCD ，且1PA AD DC ===，2AB =，点M 是PB 的中点.（1）证明：平面PAD ⊥平面PCD ；（2）求AC 与PB 所成角的余弦值；（3）求平面AMC 与平面BMC 所成二面角的平面角的余弦值.17.（14分）已知定点A(0，－1)，点B在圆F：x2＋(y－1)2＝16上运动，F为圆心，线段AB的垂直平分线交BF于点P.(1)求动点P的轨迹E的方程；若曲线Q：x2－2ax＋y2＋a2＝1被轨迹E包围着，求实数a的最小值.(2)已知M(－2,0)，N(2,0)，动点G在圆F内，且满足MG∙NG＝OG2(O为坐标原点)，求M G N G∙的取值范围．18.（16分）已知椭圆22221x ya b+=(0)a b>>的离心率63e=，过点和的直线与原点的距离为32．（1）求椭圆的方程．（2）已知定点，若直线与椭圆交于两点．问：是否存在，使以为直径的圆过点?请说明理由．19. （16分）如图，在长方体1111-ABCD A B C D 中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AB 上移动.（1）证明：11D E A D ⊥；（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到平面1ACD 的距离；（3）当AE 为何值时，二面角1--D EC D 的大小为4？20. （16分）设分别为椭圆：22221x y a b += (0)a b >>的左、右两个焦点. （1）若椭圆上的点到两点的距离之和等于，写出椭圆的方程和焦点坐标（2）设点是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程.（3）已知椭圆具有性质：若是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，当直线、的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点位置无关的定值.试对双曲线22221x ya b-=写出类似的性质，并加以证明一、填空题1.抛物线解析：由题意知，点P到点(2,0)的距离与点P到直线x＝－2的距离相等，由抛物线定义得点P的轨迹是以(2,0)为焦点，以直线x＝－2为准线的抛物线.2. 必要不充分解析：由|x+1|≤4得－4≤x+1≤4，得－5≤x≤3，即p对应的集合为[－5,3];由＜5x－6得－5x+6＜0，解一元二次不等式可得2＜x＜3，即q对应的集合为(2,3).因为(2,3)[－5,3]，所以p是q成立的必要不充分条件.3.解析：由已知得若成立，则,若成立，则.又﹁p是﹁q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，所以所以.4. 2x－y＋5＝0 解析：设点Q(x，y)，则点P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y ＋5＝0.5.22ba-解析：设A（x1，y1），M（x0，y0），则B（x1，y1），则k AM•k BM=22012201y yx x--.∵A，M在椭圆上，∴2222001122221,1x yx ya b a b+=+=，两式相减，可得k AM•k BM=22ba-．6.垂直解析：以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2a，则D（0，0，0），D1（0，0，2a），M（0，0，a），O（a，a，0），N （0，a，2a）．∴OM=（-a，-a，a），MN=（0，a，a）．∴OM•MN=0，∴OM⊥MN．7.z-1=0 解析：如题图所示，由已知可得E（1，0，0），B1（2，0，2），C（2，2，0），所以1B E=(-1，0，-2)，CF=(-2，y-2，z).因为CF⊥B1E，所以1B E•CF=0.即2-2z=0，即z-1=0．8.221204x y x y+--+=解析：抛物线的焦点坐标为，由圆心在抛物线y2=2x（y＞0）上，且与轴和该抛物线的准线都相切以及抛物线的定义可知，所求圆的圆心的横坐标为，即圆心是，半径长是1，故所求圆的方程为221204x y x y+--+=．9.2 解析：由已知，直线的方程为.原点到直线的距离为34，则有2234abca b=+.又，所以，两边平方，得.两边同除以并整理，得，所以或43.而，得222221a b ba a+=+＞2，所以.故（负值舍去）．10.221916x y-=(x＞3) 解析:如图,AD＝AE＝8，BF＝BE＝2，CD＝CF，所以CA－CB＝AD - BF =8－2＝6.根据双曲线的定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支（不包括顶点），方程为221916x y-=(x＞3)．11.解析：依题意知，所以，所以，所以，点的坐标为.又，所以直线的斜率为.由题意得，解得.12. 解析：因为椭圆221x ym n+=与双曲线221x yp q-=有共同的焦点，所以其焦点位于轴上，由其对称性可设在双曲线的右支上，左、右焦点分别为,由椭圆以及双曲线的定义可得，，由①②得，，所以．13.①②④解析：∵原命题与其逆否命题等价，∴若A是B的必要不充分条件，则非B也是非A的必要不充分条件.故①正确.结合二次函数的图象知②正确.x≠1≠1，反例：x＝－1＝1，∴“x≠1”不是“≠1”的充分条件.故③不正确.x≠0x＋|x|＞0，反例：x＝－2x＋|x|＝0.但x＋|x|＞0x＞0x≠0，∴“x≠0”是“x＋|x|＞0”的必要不充分条件.故④正确.14. 6 解析：由题意，得F(-1，0)，设点，，则有 =1，解得 .因为＝，，=，，所以此二次函数对应的抛物线的对称轴为直线=-2，因为-2≤≤2，所以当=2时，取得最大值 +2+3＝6.二、解答题15.解：由－4ax+3＜0，得(x－3a)(x－a)＜0.又a＞0，所以a＜x＜3a.（1）当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3.由得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3.若p∧q为真，则p真q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3.（2）若p是q的充分不必要条件，即q，且p.设A={x|p},B={x|q},则A B.又A={x|p}={x|x≤a或x≥3a}，B={x|q}={x|x≤2或x＞3}，则有0＜a≤2且3a＞3，所以实数a的取值范围是1＜a≤2.16.（1）证明：如图，以A为坐标原点，AD长为单位长度，建立空间直角坐标系，则各点坐标为：1(0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2A B C D P M .因为.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=∙==所以所以由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此 得DC ⊥平面PAD .又DC 在平面PCD 内，故平面PAD ⊥平面PCD . （2）解：因为),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC.510||||,cos ,2,5||,2||=∙>=<=∙==PB AC PB AC PB AC PB AC PB AC 所以故故AC 与PB 所成角的余弦值为510. （3）解：在MC 上取一点(,,)N x y z ，则存在λ∈R 使,MC NC λ=.21,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x MC z y x NC要使14,0,0,.25AN MC AN MC x z λ⊥∙=-==只需即解得 .0),52,1,51(),52,1,51(,.0),52,1,51(,54=∙-===∙=MC BN BN AN MC AN N 有此时能使点坐标为时可知当λANB MC BN MC AN MC BN MC AN ∠⊥⊥=∙=∙所以，得由.,0,0为所求二面角的平面角.30304||,||,.5552cos ,.3||||2.3AN BN AN BN AN BN AN BN AN BN ==∙=-∙<>==--因为所以故所求的二面角的平面角的余弦值为17. 解：(1)由题意得PA ＝PB ， ∴ PA ＋PF ＝PB ＋PF ＝4＞AF ＝2，∴ 动点P 的轨迹E 是以A 、F 为焦点的椭圆．设该椭圆的方程为22221y x a b+= (a ＞b ＞0)，则2a ＝4,2c ＝2，即a ＝2，c ＝1，故b 2＝a 2－c 2＝3，∴ 动点P 的轨迹E 的方程为22143y x +=. x 2－2ax ＋y 2＋a 2＝1即(x －a)2＋y 2＝1，∴ 曲线Q 是圆心坐标为(a,0)，半径为1的圆．而轨迹E 为焦点在y 轴上的椭圆，其左、右顶点坐标分别为(－3，0)，(3，0)． 若曲线Q 被轨迹E 包围着，则－3＋1≤a ≤3－1， ∴ a 的最小值为－3＋1.(2)设G(x ，y)，由MG ·NG ＝OG 2得： 2222(2)(2)x y x y ++∙-+＝x 2＋y 2.化简得x 2－y 2＝2，即x 2＝y 2＋2，∴ MG NG ∙＝(x ＋2，y )·(x －2，y)＝x 2＋y 2－4＝2(y 2－1)． ∵ 点G 在圆F ：x 2＋(y －1)2＝16内，∴ x 2＋(y －1)2＜16，∴ 0≤(y －1)2＜16⇒－3＜y ＜5⇒0≤y 2＜25，∴－2≤2(y 2－1) ＜48， ∴ MG NG ∙的取值范围为[－2,48)． 18. 解：（1）因为直线的方程为，依题意得解得所以椭圆方程为2213x y +=．（2）假若存在这样的值，由得22(13)1290k x kx +++=, 所以22(12)36(13)0k k D =-+>.① 设11()C x y ，、22()D x y ，，则②而212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++×．当且仅当时，以为直径的圆过点，则1212111y y x x =-++×， 即1212(1)(1)0y y x x +++=，所以21212(1)(21)()50k x x k x x +++++=． ③将②式代入③式整理解得76k =．经验证，76k =使①式成立． 综上可知，存在76k =，使得以为直径的圆过点．19. （1）证明：如图，以D 为坐标原点，直线1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴轴轴，建立空间直角坐标系， 设AE x=，则11(1,0,1),(0,0,1),(1,,0),(1,0,0),(0,2,0)A D E x A C ，).1,1(,1,0111-==x E D DA ，），（.,0)1,,1()1,0,1(111111D A E D E D DA x E D DA ⊥⊥=-∙=∙，即所以因为（2）解：因为E 为AB 的中点，则(1,1,0)E ， 从而)0,2,1(),1,1,1(1-=-=AC E D ，)1,0,1(1-=AD ， 设平面1ACD 的法向量为n ),,(c b a =，则10,0,AC AD ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩n n也即⎩⎨⎧=+-=+-,0,02c a b a 得⎩⎨⎧==,,2c a b a 令b =1,从而n )2,1,2(=，所以点E 到平面1ACD 的距离为=h 1D E ∙n n.313212=-+=（3）解：设平面1D EC 的法向量1n ),,(111c b a =， ∴),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1(11=-=-=DD C D x CE由1110,D C CE ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩n n ⎩⎨⎧=-+=-⇒.0)2(,021111x b a c b 令1111,2,2b c a x =∴==-，所以1n ).2,1,2(x -=依题意=4πcos 1111DD DD ∙n n .225)2(2222=+-⇒=x 所以321+=x （不合题意，舍去），322-=x .所以当23AE =-时，二面角1--D EC D 的大小为4π. 20. 解：（1）由题意知椭圆的焦点在轴上，由椭圆上的点到两点的距离之和是4，得，即.又点312A 骣÷ç÷ç÷ç÷桫，在椭圆上，因此22232112b 骣÷ç÷ç÷÷ç桫+=，得，于是. 所以椭圆的方程为22143x y +=，焦点、.（2）设椭圆上的动点，线段的中点满足111,22x y x y -+==，即，.因此=22(21)(2)143x y ++，即2214123y x 骣÷ç÷++=ç÷ç÷桫为所求的轨迹方程. （3）类似的性质为： 若是双曲线22221x y a b -=上关于原点对称的两个点，点是双曲线上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为时，那么与之积是与点位置无关的定值.证明如下：设点的坐标为，则点的坐标为，其中22221m n a b -=.又设点的坐标为，由,PMPN y n y n k k x m x m -+==-+，得2222y n y n y n x m x mx m-+-?-+-.将22222222,b b y x b n a a =-=代入得22b a。
高中数学综合练习 苏教版选修2—1
高中苏教版选修（2-1）综合测试题选择题 1．已知{}M =直线，{}N =抛物线，则M N 的元素个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．1或2答案：A 2．“p 或q 为真命题”是“p 且q 为真命题”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：B 3．在正方体1111ABCD A BC D -中，下列各式中运算的结果为向量1AC 的有（ ）①1()AB BC CC ++； ②11111()AA A D DC ++； ③111()AB BB BC ++； ④11111()AA A B BC ++．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：D4．下列命题中是假命题的是（ ）A ．αβ∃∈R ，，使sin()sin sin αβαβ-=-B ．x ∀∈R ，E 6310x x ++>C ．x y ∀∈R ，，使2x y+D ．x y ∀∈R ，，有22x y xy +⎛⎫⎪⎝⎭≤ 答案：C5．设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线方程为12y x=±，则该双曲线的离心率等于（ ）A ．5BC． D ．54答案：C6．已知正四体ABCD 的棱长为1，点E F ，分别是AD DC ，的中点，则EF BA 等于（ ）A ．14B．4 C ．14-D．4-答案：C7．设A B ，为两个集合，下列四个命题： ①A B x A ⇔∀∈Ú，有x B ∉； ②A B A B ⇔=∅Ú； ③A B AB ⇔谯；④A B x A ⇔∃∈Ú，使得x B ∉．其中真命题的是（ ） A ．①② B ．②④ C ．①③④D ．④答案：D8．如果方程221x y p q +=-表示曲线，则表示与该双曲线共焦点的椭圆是（ ） A ．2212x y q p q +=+ B ．2212x y q p p +=-+ C ．2212x y p q q +=+D ．2212x y p q p +=-+答案：D9．如图1，在直三棱柱ABO111A B O -中，π2AOB ∠=，3AO =，4BO =，15OO =，M 是11A B 的中点，则BM 的坐标是（ ）A ．(325)-，，B ．3252⎛⎫- ⎪⎝⎭，， C ．3052⎛⎫⎪⎝⎭，，D ．(305)，， 答案：B10．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，双曲线22221(0)x y a b a b -=>>和抛物线22(0)y px p =>的离心率分别为123e e e ，，，则（ ）A ．123e e e >B ．123e e e =C ．123e e e <D ．123e e e ≥答案：C11．如图2，设直三棱柱111ABC A B C -中，1A B A C A A ==，90BAC ∠=，M Q ，分别是1CC BC ，的中点，P 点在11A B 上，且11:1:2A P PB =，则AM 与PQ 所成的角等于（ ）A ．30 B ．45C ．60D ．90答案：D12．设过点()P x y ，的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A B ，两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =且1OQ AB =，则P 点的轨迹方程是（ ）A ．22331(00)2x y x y +=>>， B ．22331(00)2x y x y -=>>，C ．22331(00)2x y x y -=>>， D ．22331(00)2x y x y +=>>，答案：D 二、填空题13．如图3，已知正方体1111ABCD A BC D -中，点E F ，分别是底面11AC 和侧面1CD 的中心，若1EF A D λ+=0，则λ= ．答案：12-14．设P 为椭圆2214x y +=上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是 ．答案：2241x y += 15．边长为2的正方形ABCD 的中心为O ，过O 作平面ABCD 的垂线，在其垂线上取点P ，使2OP =，连结PC ，取PC 的中点E ，则cos BE DE =， ． 答案：17-16．有下列四个命题：①命题“若1xy =，则x y ，互为倒数”的逆命题； ②命题“存在两个等边三角形，它们不相似”的否定； ③命题“若1m ≤，则220x x m -+=有实根”的逆否命题； ④命题“若AB B =，则A B ⊆”的逆否命题．其中是真命题的有 ． 答案：①②③ 三、解答题17．已知a b ∈R ，，若20x ax b ++≤有非空解集，则240a b -≥．写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．解：逆命题：已知a b ∈R ，，若240a b -≥， 则20x ax b ++≤有非空解集．真命题．否命题：已知a b ∈R ，，若20x ax b ++≤没有非空解集，则240a b -<．真命题． 逆否命题：已知a b ∈R ，，若240a b -<，则20x ax b ++≤没有非空解集．真命题．18．在平行六面体1111ABCD A BC D -中，求证：1112AC AB AD AC ++=．证明：因平行六面体的六个面均为平行四边形，所以有以下三式：AC AB AD =+，1111AB AB AA AD AD AA =++=+，则11111()()()2()AC AB AD AB AD AB AA AD AA AB AD AA ++=+++++=++． 由于11AA CC =，AD BC =，所以1111AB AD AA AB BC CC AC CC AC ++=++=+=．故1112AC AB AD AC ++=．19．已知12F F ，是双曲线221916x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且1232PF PF =，求证：12PF PF ⊥．证明：由126PF PF -=，得221122236PF PF PF PF -+=．由1232PF PF =，得2212100PF PF +=．而291625c =+=，则212100F F =，即221212PF PF F F +=，故12PF PF ⊥．20．已知直线10x y +-=与椭圆2234x by +=相交于两个不同点，求实数b 的取值范围．解：由221034x y x by +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得2(44)810b y y +-+=．因为直线与椭圆相交于两个不同点，所以440644(44)0b b +≠⎧⎨∆=-+>⎩，，解得3b <且1b ≠-．又方程2234x by +=表示椭圆．所以0b >，且1b ≠． 综上，实数b 的取值范围是{}|031b b b <<≠，且．21．如图4，已知ABC △是以B ∠为直角的直角三角形，SA ⊥平面ABC ，2SA BC ==，4AB =，N D ，分别是AB BC ，的中点，求A 到平面SND 的距离．解：如图所示，建立空间直角坐标系，则(022)(142)NS SD =-=--，，，，，．设平面SND 的法向量为(1)x y =，，n ． 0NS =n ，0SD =n ，220420y x y -+=⎧∴⎨-+-=⎩，，21x y =⎧∴⎨=⎩，．(211)∴=，，n ．(002)AS =，，，A ∴到平面SND 的距离为：AS d ===n n．22．如图5，F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，(42)A ，为抛物线内一定点，P 为抛物线上一动点，PA PF+的最小值为8．（1）求该抛物线的方程；（2）若O 为坐标原点，问是否存在点M ，使过点M 的动直线与抛物线交于B C ，两点，且90BOC ∠=，证明你的结论． 解：（1）由抛物线性质，得min ()2A p PA PF x +=+，482p+=，解得8p =．故抛物线方程为216y x =； （2）假设存在满足条件的定点M ，当过点M 的直线斜率存在时，设直线方程为y kx b =+， 显然00k b ≠≠，，直线交抛物线于B C ，两点． 设()()B B C C B xyC x y ，，，90BOC ∠=，1BO CO k k ∴=-，0B C B C x x y y ∴+=．将直线方程代入抛物线方程， 得216160ky y b -+=．16B C b y y k ∴=，2222216B C B C y y b x x k ==，22160b bk k ∴+=，16b k ∴=-．∴动直线方程为16y kx k =-，即(16)y k x =-，它必过点(160)，． 当过点M 的直线斜率不存在时，直线16x =交抛物线于点(1616)(1616)B C -，，，，仍有90BOC ∠=． 故存在定点(160)M ，满足条件．高考资源网w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 高中苏教版选修（2-1）综合测试题 一、选择题 1．已知命题“p 或q ”为真，“非p ”为假，则必有（ ）A ．p 真，q 假B ．q真，p 假C ．p 真，q 真D ．p 真，q 可真可假答案：D2．抛物线22y x =-的焦点坐标是（ ）A ．102⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ．(01)，C ．108⎛⎫- ⎪⎝⎭，D．104⎛⎫- ⎪⎝⎭， 答案：C3．四面体ABCD 中，设M 是CD 的中点，则1()2AB BD BC ++化简的结果是（ ）A ．AMB ．BMC ．CMD ．DM答案：A4．方程2x xy x +=的曲线是（ ）A ．一个点B ．一条直线C ．两条直线D ．一个点和一条直线答案：C5．若焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，则m 等于（ ） A ．32BC ．83D ．23答案：A6．(83)(265)a b ==，，，，，m n ，若∥m n ，则a b +的值为（ ） A ．0 B ．52C ．212D ．8答案：C7．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么（ ）A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C ．丙是甲的充要条件D ．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 答案：A 8．设12x x ∈R ，，常数0a >，定义运算“*”为：12124x x x x *=，等号右边是通常的乘法运算，如果在平面直角坐标系中，动点P 的坐标()x y ，满足关系式：22y ya x*=*，则动点P 的轨迹方程为（ ）A ．212y ax =B ．2y ax = C ．22y ax =D ．24y ax = 答案：D9．正方体1111ABCD A BC D -的棱长为a ，点M 在对角线1AC 上，且112AM MC =，N 为1B B 的中点，则MN 为（ ） A．B．C． D．答案：A10．若函数()()f x g x ，的定义域和值域都是R ，则“()()f x g x <”成立的充要条件是（ ） A ．0x ∃∈R ，使得00()()f x g x <B ．存在无数多个实数x ，使得()()f x g x <C ．x ∀∈R ，都有1()()2f x g x +<D ．不存在实数x ，使得()()f x g x ≥ 答案：D11．若椭圆221x y m p +=与双曲线221(0)x y m n p m p n p -=>≠，，，有公共的焦点12F F ，，其交点为Q ，则12QF F △的面积是（ ）A ．m n +B ．2m n+C ．pD ．2p答案：C12．将正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角后，异面直线AB 与CD 所成的角的余弦值是（ ）A．B． C ．12-D ．12答案：D 二、填空题13．已知正方体111A B C D A B C D -中，P M ，为空间任意两点，若1111764PM PB BA AA AD =+++，则M 点一定 平面11BA D 内（填“在”或“不在”）．答案：在14．下面结论：①命题:p “设，a b 为向量，如果⊥a b ，则0a b =”的否命题为“如果a 不垂直于b ，则0≠a b ”；②命题22:0()p a b a b +<∈R ，；命题22:0()q a b a b +∈R ，，则“p q ∧”是真命题； ③“0ab <”是“方程22ax by c +=”表示双曲线的必要非充分条件； ④命题:()p x M p x ∀∈，的否定是：x ∃∈R ，()p x ⌝； ⑤命题:p “4的平方根是2”的否定是：“4的平方根不是2”．其中正确的序号是 ．答案：①③④15．如图1，已知l αβ--为直二面角，A B ，在l 上，AC BD ，分别在αβ，内，且AC 与l 的夹角为45，BD l ⊥，AC =，24AB BC ==，，则CD 的长为 ．16．在ABC △中，(20)(20)()B C A x y -，，，，，，给出ABC △满足的条件，就得到动点A 的轨迹方程．下面给出了一些条件及方程，请你用线把左边ABC △满足的条件及相应的右边A 点的轨迹方程连起来（错一条连线得0分）；答案：①——c ，②——a ，③——b三、解答题17．设a b c ，，为ABC △的三边，求证：方程2220x ax b ++=与2220x cx b +-=有共公根的充要条件是90A ∠=． 证明：充分性：90A ∠=，222a b c ∴=+，于是方程2220x ax b ++=，可化为22220x ax a c ++-=． 22()()0x ax a c a c ∴+++-=，即[()][()]0x a c x a c +++-=． 该方程有两根1()x a c =-+，2()x a c =--．同样另一方程2220x cx b +-=，也可化为2222()0x cx a c +--=， 即[()][()]0x c a x c a +++-=， 也有两根3()x a c =-+，4()x c a =--． 可以发现13x x =，∴方程①②有公共根．必要性：设x 是方程的公共根，则22222020x ax b x cx b ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，①．②由+①②，得()x a c =-+，或0x =（不合题意，舍去） 代入①并整理，得222a b c =+．90A ∴∠=．综上所述，结论成立．18．若一动点M 与定直线16:5l x =的距离和它到定点(50)A ，的距离的比是45． （1）求动点M 的轨迹方程；（2）设所求轨迹C 上有一点P 与两个定点(50)(50)A B -，，，的连线互相垂直，求PA PB的值．解：（1）设动点()M x y ，45=，整理，得221169x y -=；（2）依题意，得221008PB PA PB PA ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，，解得18PA PB =．19．如图2，在四棱锥M ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱AM 的长为3，且AM 和AB AD ，的夹角都是60，N 是CM的中点．设AB ADAM ===，，a b c ，试以，，a b c 为基向量表示出向量BN 的长．解：12BN BC CN AD CM=+=+1()2AD AM AC =+- 1[()]2AD AM AD AB =+-+ 111222AB AD AM=-++ 111222=-++a b c．222111222BN BN ⎛⎫==-++ ⎪⎝⎭a b c 2221(222)4=++--+a b c a b a c b c117(4490223cos 60223cos 60)44=++--⨯⨯+⨯⨯=．故线段BN 的长为．20．已知三点12(52)(60)(60)P F F -，，，，，．（1）求以12F F ，为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；（2）设点12P F F ，，关于直线y x =的对称点分别为12P F F '''，，，求以12F F ''，为焦点且过点P '的双曲线的标准方程．解：（1）由题意，可设所求椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>，其半焦距6c =．122a PF PF =+==a ∴=22245369b ac =-=-=．所以所求椭圆的标准方程为221459x y +=；（2）点12(52)(60)(60)P F F -，，，，，关于直线y x =的对称点分别为12(25)(06)(06)P F F '''-，，，，，．设所求双曲线的标准方程为221122111(00)y x a b a b -=>>，．由题意知，半焦距16c =，1122a P F P F ''''=-==．1a ∴=222111362016b c a =-=-=．所以所求双曲线的标准方程为2212016y x -=．21．如图3，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC =，D E ，分别为11BB AC ，的中点．（1）证明：ED 为异面直线1BB 与1AC 的公垂线；（2）设1AA AC =D ，求二面角11A AD C --的大小．（1）证明：如图，建立直角坐标系O xyz -，其中原点O 为AC 的中点， 设1(00)(00)(02)A a B b B b c ，，，，，，，，．则1(00)(02)(00)(0)C a C a c E c D b c --，，，，，，，，，，，．(00)ED b =，，，1(002)BB c =，，． 10ED BB =， 1ED BB ∴⊥．又1(202)AC a c =-，，，10ED AC =， 1ED AC ∴⊥，所以ED 是异面直1BB 与1AC 的公垂线．（2）解：不妨设(100)A ，， 则1(010)(100)(102)B C A -，，，，，，，，，(110)BC =--，，，(110)AB =-，，，1(002)AA =，，， 0BC AB =，10BC AA =，即BC AB ⊥，1BC AA ⊥，又1ABAA A =，BC ∴⊥面1A AD ．又(001)(001)(100)E D C -，，，，，，，，， (101)(101)(010)EC AE ED =--=-=，，，，，，，，，0EC AE =，0EC ED =，即EC AE ⊥，EC ED ⊥，又AEED E =，EC ∴⊥面1C AD ．1cos 2EC BC EC BC EC BC==，，即得EC 和BC 的夹角为60． 所以二面角11A AD C --为60．22．有如下命题：已知椭圆22194x y +=，AA '是椭圆的长轴，11()P x y ，是椭圆上异于A A '，的任意一点，过P 作斜率为1149x y -的直线l ，过直线l 上的两点M M '，分别作x 轴的垂线，垂足分别为点A A '，，则（1）AM A M ''为定值4；（2）由A A M M ''，，，四点构成的四边形面积的最小值为12．请分析上述命题，并根据上述命题对于椭圆22221(0)x y a b a b +=>>构造出一个具有一般性结论的命题，使上述命题是一个特例．写出这一命题，并证明这一命题是真命题．解：这一命题是：已知22221(0)x y a b a b +=>>，AA '是椭圆的长轴，11()P x y ，是椭圆上异于A A '，的任意一点，过P 作斜率为2121b x a y -的直线l ，过直线l 上的两点M M '，分别作x 轴的垂线，垂足分别为A A '，，则 （1）AM A M ''为定值2b ；（2）由A A M M ''，，，四点构成的四边形面积的最小值为2ab ． 这一命题是真命题，证明如下：（1）不妨设(0)(0)A a A a '-，，，，则直线211121:()b x l y y x x a y -=--，即222222221111b x x a y y b x a y a b +=+=． 由M 与A ，M '与A '有相同的横坐标，得22221111ab b x ab b x M a M a ay ay ⎛⎫⎛⎫+-'- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，， M M AM A M y y '''∴=22221111ab b x ab b x ay ay +-=2222221221a b b x b b a y -==；（2）由图形分析知，不论四点的位置如何，四边形的面积1()2S AA AM A M '''=+．2AA a'=，且AM A M ''，都为正数，1()()2S AA AM A M a AM A M '''''∴=+=+2a ab=≥．即四边形的面积的最小值为2ab ．高考资源网w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 高中苏教版选修（2-1）综合测试题一、选择题1．设命题:05p x <<，命题:23q x -<，那么p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案：A2．给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行．④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 其中真命题的个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案：B3．下列命题中的真命题是（ ）A ．“2x >且3y >”是“5x y +>”的充要条件B ．“AB ≠∅”J “A B Ü”的充分条件C ．“240b ac -<”是“一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为R ”的充要条件 D ．一个三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形 答案：D4．在平面直角坐标系中，到两坐标轴的距离之差等于1的点的轨迹方程是（ ） A ．1x y -= B ．1x y -= C ．1x y -=±D ．1x y ±=5．椭圆2214x y m +=的焦距是2，则m 的值是（ ）A ．5B ．5或8C ．3或5D ．20答案：C6．已知椭圆22221x y a b +=与椭圆2212516x y +=有相同的长轴，椭圆22221x y a b +=的短轴长与椭圆221219y x +=的短轴长相等，则（ ）A ．225a =，216b = B ．29a =，225b =C ．225a =，29b =，或29a =，225b = D ．225a =，29b = 答案：D7．已知方程22152x y k k -=--表示的图形是双曲线，则k 的取值范围是（ ）A ．5k >B ．5k >或22k -<<C ．2k >，或2k <-D ．22k -<< 答案：B8．椭圆222134x y n +=和双曲线222116x y n -=有共同的焦点，则n =（ ）A ．5±B ．3±C ．25D ．9答案：B9．过抛物线28y x =的焦点F 作倾斜角为3π4的直线，交抛物线于A B ，两点，则AB =（ ） A ．8B．C．D ．1610．若椭圆221(05)5x y m m +=<<和双曲线221(0)3x y n n -=>有相同的焦点12F F ，，P 是两条曲线的一个交点，12PF PF ⊥，则12PF F △的面积是（ ）A ．1B ．12C ．4D ．4答案：A11．已知a b ，是异面直线：A B a ∈，，C D b ∈，，AC b ⊥，BD b ⊥，且21AB CD ==，，则a b ，所成的角为（ ）A ．30 B ．45C ．60D ．90答案：C12．如图1，已知P 是二面角AB αβ--棱上的一点，分别在αβ，内引射线P M P N ，，使45BPM BPN ∠=∠=，60MPN ∠=，那么二面角AB αβ--的大小为（ ）A ．60 B ．70C ．80D ．90答案：D 二、填空题13．已知平面α的一个法向量1214x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，a ，(121)=-，，b ，1322⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，c ，且，b c 在α内，则=a ．答案：91152264⎛⎫-- ⎪⎝⎭，， 14．在长方体1111ABCD A BC D -中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点1A 到截面11AB D 的距离为 ．答案：4315．设中心在坐标原点的椭圆与双曲线22221x y -=有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 ．答案：2212x y +=16．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为60cm ，灯深40cm ，则光源到反射镜顶点的距离是 ． 答案：5.625cm 三、解答题17．已知:p 方程210x mx ++=有两个不相等的负根；:q 方程244(2)10x m x +-+=无实根，若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．解：p 真2400m m ⎧∆=->⇔⎨>⎩，，解得2m >，即:2p m >，q 真216(43)0m m ⇔∆=-+<，解得13m <<，即:13q m <<． 因p 或q 为真，所以p q ，至少有一个为真；又p 且q 为假，所以p 或q 是至少有一个为假． 因此p q ，必一真一假，即213m m m >⎧⎨⎩，≤或≥，或213m m ⎧⎨<<⎩≤，，解得3m ≥或12m <≤．18．如图2，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点分别为12F F ，，斜率为k 的直线l 过左焦点1F 且与椭圆的交点为A B ，，与y 轴交点为D ，又B 为线段1DF 的中点，若k ，求椭圆离心率e的取值范围．解：设:()l y k x c =+，则(0)22c kc D kc B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，．B 在椭圆上，22222144c k c a b ∴+=，即222222144()c k c a a c +=-，即222241k e e e +=-．2222(4)(1)72e e k e --∴=≤，则有4221780e e -+≤，解得2112e <≤．e ∴的取值范围为12⎫⎪⎪⎣⎭．19．双曲线22221(10)x y a b a b -=>>，的焦距为2c ，直线l 过点(0)a ，和(0)b ，且点(10)，到直线l 的距离与点(10)-，到直线l 的距离之和45s c≥，求双曲线的离心率e 的取值范围． 解：直线l 的方程为1x y a b +=，即0bx ay ab +-=，由点到直线的距离公式，且1a >，得点(10)，到直线l的距离1d =同理可得点(10)-，到直线l的距离2d =122abs d d c ∴=+==，又45s c ≥，得245ab c c ≥，即22252a c a c-≥， 于是得22e ，即42425250e e -+≤，解得2554e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，又1e >，e ∴的范围是e ∈⎣． 20．如图3，棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，E F G ，，分别是11DD BD BB ，，的中点．（1）求证：EF CF ⊥；（2）求EF 与CG 所成角的余弦； （3）求CE 的长．解：以D 为坐标原点，建立如图所示的坐标系D xyz -，则1111(000)00(010)0112222D E C F G ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，， 1111111010012222222EF CF CG CE ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，． （1）111110022222EF CF ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，EF CF ∴⊥，即EF CF ⊥；（2）111111022224EFCG ⎛⎫=⨯+⨯+-⨯=⎪⎝⎭， 1EF ⎛==， 212CG ==，cos EF CG EF CG EF CG∴=，1==；（3）202CE ==． CE ∴的长为．21．如图4，ABCD 是边长为a 的菱形，且60BAD ∠=，PAD △为正三角形，且面PAD ⊥面ABCD ． （1）求cos AB PD，的值；（2）若E 为AB 的中点，F 为PD 的中点，求EF；（3）求二面角P BC D --的大小．解：（1）以AD 中点O 为原点，射线OB 为非负x 轴， 射线OD 为非负y 轴，射线OP 为非负z 轴，建立空间直角坐标系，则000000002222a a A B a P a D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，30022a a AB a PD ⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，则1cos 4AB PDAB PD AB PD==，；（2）E F ，分别为AB PD ，的中点，0044a a E F ⎫⎛⎫∴-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，则4EF a ⎛== ；（3）面PAD ⊥面ABCD ，PO AD ⊥，PO ∴⊥面ABCD ， BO AD ⊥，AD BC ∥， BO BC ∴⊥，则PB BC ⊥．PBO ∴∠为二面角P C D --的平面角，又33000BO a BP ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，， 2cos cos 2PBO BO BP ∴∠==，，45PBO ∴∠=，即该二面角大小为45．高考资源网w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 高中苏教版选修（2-1）综合测试题 一、选择题1．下列各组命题中，满足“p 或q 为真”，且“非p 为真”的是（ ）A ．:0p =∅；:0q ∈∅B ．:p 在ABC △中，若cos 2cos 2A B =，则A B =；:sin q y x =在第一象限是增函数C ．:)p a b a b +∈R ≥，；:q 不等式x x >的解集为(0)-∞，D ．:p 圆22(1)(2)1x y -+-=的面积被直线1x =平分；:q 椭圆22143x y +=的一条准线方程是4x = 答案：C2．平面内有一长度为2的线段AB 和一动点P ，若满足6PA PB +=，则PA的取值范围是（ ）A ．[14]， B ．[16]， C ．[26]， D ．[24]，答案：D3．设M 是ABC △的重心，记BC =a ，CA =b ，AB =c ，则AM =（ ）A ．2-b cB ．2-c bC ．3-b cD ．3-c b答案：D4．35m <<是方程222156x y m m m +=---表示双曲线的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案：A5．已知双曲线221x y -=，则过(01)P ，与它只有一个公共点的直线的条数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D6．如图1，在正三棱柱111ABC A B C -中，若1AB =，则1AB 与1C B 所成角的大小为（ ） A ．60B ．90C ．105D ．75答案：B7．下列全称命题为真命题的是（ ） A ．所有的素数是奇数 B ．x ∀∈R ，211x +≥C ．对任一个无理数x ，2x 也是无理数 D ．所有的平行向量均相等 答案：B8．已知曲线221x y a b +=和直线10ax by ++=（a b ，为非零实数），在同一坐标系中，它们的图象可能为（ ）答案：C9．已知12F F ，分别为双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的左、右焦点，P 为双曲线上任一点，若221PF PF 的最小值为8a ，则此双曲线离心率e 的取值范围是（ ）A ．(1)+，∞ B ．(]03，C ．(]13，D ．(]12，答案：C10．如图2所示，正方体1111ABCD A BC D -中，棱长为1，O 是底面1111A B C D 的中心，则O 到平面11ABC D 的距离是（ ）A ．12B．4 C．2 D．答案：B11．已知圆锥曲线2244mx y m +=的离心率e 为方程22520x x -+=的根，则满足条件的圆锥曲线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条答案：C12．如图3所示，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB =，1AF =，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点坐标为（ ）A ．(111)，，B．1⎫⎪⎪⎝⎭ C ．122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， D．144⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， 答案：C 二、填空题13．已知点A B C ∈，，平面 α，点P α∉，则0A P A B =，且0AP A C =是0AP BC =的 条件． 答案：充分不必要14．已知两点551444M N ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，给出下列曲线方程： ①4210x y +-=；②223x y +=； ③2214x y +=；④2212x y -=．在曲线上存在点P 满足MP NP=的所有曲线方程是 （填序号）．答案：②③④ 15．已知M 为长方体1AC 的棱BC 的中点，点P 在长方体1AC 的面11CC D D 内，且11PM BB D D ∥，则点P 位置应落在 ．答案：点P 在面11DCC D 内DC 的中垂线上16．方程22141x y t t +=--表示的曲线为C ，给出下列四个命题：①曲线C 不可能是圆；②若曲线C 为椭圆，则14t <<； ③若曲线C 为双曲线，则1t <或4t >；④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则512t <<．其中真命题的序号是 ． 答案：③④ 三、解答题17．用量词符号“∀”“∃”表示下列命题： （1）任一个奇数减去1，成为一个偶数； （2）没有一个实数x 使220x +=成立；（3）存在一个角α，满足1sin 2α<；（4）对任意有理数x ，都有2233x x --是有理数；（5）存在无理数，满足两个无理数的和是有理数． 解：（1）{}x ∀∈奇数，{}1x -∈偶数．（2）x ∀∈R ，220x +≠．（3）α∃∈R ，1sin 2α<．（4）x ∀∈Q ，2233x x --∈Q ．（5）{}x y ∃∈，无理数，x y +∈Q ．18．设过原点的直线l 与抛物线24(1)y x =-交于A B ，两点，且以AB 为直径的圆恰好过抛物线焦点F ． 求（1）直线l 的方程； （2）AB的长．解：（1）设:l y kx =，抛物线的焦点为(20)F ，， 2224(1)440y x k x x y kx ⎧=-⇒-+=⎨=⎩，．当0k =时，l 与x 轴重合，不合题意，所以0k ≠． 设1122()()A x y B x y ，，，，则1224x x k +=，1224x x k =． ①因为AF BF ⊥，所以1AF BF k k =-，所以1212122y yx x =---，，整理得21212122()40k x x x x x x +-++=， ②①代入②，得22244(1)240k k k ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，解得2k =±．所以直线l的方程为2y x =±；（2）由（1）的求解，易得128x x +=，128x x =，所以AB ===．所以弦AB的长为19．已知{}123，，e e e 为空间的一个基底，且12323OP =-+e e e ，1232OA =+-e e e ，12332OB =-++e e e ，123OC =+-e e e ．（1）判断P A B C ，，，四点是否共面； （2）能否以{}OAOBOC ，，作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能，试以这一基底表示向量OP ．解：（1）假设四点共面，则存在实数x y z ，，使OP xOA yOB zOC =++，且1x y z ++=， 即12312312312323(2)(32)()x y z -+=+-+-++++-e e e e e e e e e e e e ．比较对应的系数，得一关于x y z ，，的方程组322123x y z x y z x y z -+=⎧⎪++=-⎨⎪-+-=⎩，，，解得17530x y z =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，，与1x y z ++=矛盾，故四点不共面；（2）若向量OAOBOC ，，共面，则存在实数m n ，使OA mOB nOC =+， 同（1）可证，这不可能，因此{}OAOB OC ，，可以作为空间的一个基底，令OA OB OC ===，，a b c ， 由1232+-=e e e a ，12332-++=e e e b ，123+-=e e e c 联立得到方程组，从中解得1233547=--⎧⎪=-⎨⎪=--⎩，，，e a b c e a c e a b c所以17530OP OA OB OC =--．20．如图4，已知双曲线的中心在原点，右顶点为(10)A ，，点P Q ，在双曲线的右支上，点(0)M m ，到直线AP 的距离为1． （1）若直线AP 的斜率为k，且k ∈⎣，求实数m 的取值范围；（2）当1m =时，APQ △的内心恰好是点M ，求此双曲线的方程．解：（1）由条件得直线AP 的方程为(1)y k x =-， 即0kx y k --=．因为点M 到直线AP 的距离为1，1=，即1m -==因为k ∈⎣，所以123m -≤解得11m -≤≤或13m +≤．所以m的取值范围是231113⎡⎡⎤--+⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，；（2）设双曲线方程为2221(0)y x b b -=≠，由10)(10)M A ，，，， 得AM =．又因为M 是APQ △的内心，M 到AP 的距离是1，所以45MAP ∠=， 直线AM 是QAP ∠的角平分线，且M 到AQ PQ ，的距离均为1，因此1AP k =，1AQ k =-（不妨设P 在第一象限），则得直线PQ方程为2x =+AP 的方程为1y x =-．所以P 点坐标为(2，将P点坐标代入2221y x b -=，得2b = 所以双曲线方程为221x y =，即221)1x y -=．21．如图5是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑．已知镜口圆的直径为12m ，镜深2m ．（1）建立适当的坐标系，求抛物线的方程和焦点的位置；（2）若把盛水和食物的容器近似地看作点，试求每根铁筋的长度． 解：（1）如图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x 轴垂直于镜口直径．由已知，得A 点坐标是(26)，． 设抛物线方程为22(0)y px p =>， 则36229p p =⨯⇒=．∴所求抛物线的方程为218y x =，焦点坐标是902F ⎛⎫⎪⎝⎭，．（2）盛水的容器在焦点处，A F ∴，两点间的距离即为每根铁筋长．132AF ==或913222AF ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． 故每根铁筋的长度是6.5m ．22．如图6，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为等腰梯形，AB DC ∥，AC BD ⊥，AC 与BD 相交于点O ，且顶点P 在底面上的射影恰好为点O ，又2BO =，PO =PB PD ⊥． （1）求异面直线PD 与BC 所成角的余弦值； （2）求二面角P AB C --的大小；（3）设点M 在棱PC 上，且PMMC λ=，问λ为何值时，PC ⊥平面BMD ．解：PO ⊥平面ABCD ，PO BD ∴⊥，又PB PD ⊥，2BO =，PO =以O 为原点，OA OB OP ，，分别为x y z ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为(000)(200)(020)(100)(010)(00O A B C D P --，，，，，，，，，，，，，，，． （1）(01PD =-，，(120)BC =--，，， 3PD ∴=5BC =，2PD BC =， 215cos PD BCPD BC PD BC ∴==，．故直线PD 与BC 所成的角的余弦值为15；（2）设平面PAB 的一个法向量为()x y z =，，n ， 由于(220)(20AB AP =-=-，，，， 由00AB AP⎧=⎪⎨=⎪⎩，，n n 得x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩，． 取=n ，又易知平面ABCD 的一个法向量(001)=，，m ， 2cos 2∴==，m n m n m n ，又二面角P AB C --为锐角，∴所求二面角P AB C --的大小为45；（3）设00(0)Mx z ，，，由于P M C ，，三点共线，00z① PC ⊥平面BMD ，OM PC ∴⊥，00(10(0)0x z ∴-=，，，，000x ∴=．②由①②知023x =-，0z =，203M ⎛∴- ⎝⎭， 2PM MC λ∴==，故2λ=时，PC ⊥平面BMD ．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学 电子题库 模块综合检测 苏教版选修2-1(时间：120分钟；满分：160分)模块综合检测一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)1.已知命题p ：∀x ∈R ，x 2＋x －1<0，则命题﹁p 是________． 解析：全称命题的否定是存在性命题．答案：∃x ∈R ，x 2＋x －1≥02.已知点A (1，－2，0)和向量a ＝(－3，4，12)，若AB →＝2a ，则点B 的坐标为________．解析：设B (x ，y ，z )，则AB →＝(x －1，y ＋2，z )，又AB →＝2a ，解得x ＝－5，y ＝6，z ＝24，所以B 点坐标为(－5，6，24)．答案：(－5，6，24)3.若向量a ＝(1，1，x )，b ＝(1，2，1)，c ＝(1，1，1)，满足条件(c －a )²(2b )＝－2，则x ＝________．解析：c －a ＝(0，0，1－x )，(c －a )²(2b )＝2(0，0，1－x )²(1，2，1)＝2(1－x )＝－2，解得x ＝2.答案：24.已知a ∈R ，则“a >2”是“1a <12”的________条件．解析：由1a <12可得a －22a >0，即得a >2或a <0，∴“a >2”是“1a <12”的充分不必要条件．答案：充分不必要5.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为________．解析：根据椭圆方程可得c ＝25－9＝4，又椭圆与双曲线焦点相同，故其焦点坐标为(±4，0)，又据已知得：⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝2，c ＝4，故a ＝2，b ＝c 2－a 2＝23，故其渐近线方程为y ＝±bax ＝±3x . 答案：3x ±y ＝06.双曲线x 216－y 29＝1上一点P 到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，则P 点到左焦点的距离为________．解析：由a ＝4，b ＝3，得c ＝5.设左焦点为F 1，右焦点为F 2，则|PF 2|＝12(a ＋c ＋c －a )＝c ＝5，由双曲线的定义得：|PF 1|＝2a ＋|PF 2|＝8＋5＝13.答案：137.已知抛物线C ：y 2＝x 与直线l ：y ＝kx ＋1，“k ≠0”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的____________条件．解析：当k ＝0时，直线y ＝1与抛物线C ：y 2＝x 只有一个交点；所以直线l 与抛物线C有两个不同交点必须k ≠0；当k ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝kx ＋1，得k 2x 2＋(2k －1)x ＋1＝0，Δ＝(2k－1)2－4k 2＝－4k ＋1，则Δ不一定大于零，此时直线l 与抛物线C ，可能没有交点，可能有一个交点，也可能有两个交点，所以“k ≠0”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”必要不充分条件．答案：必要不充分8.抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________．解析：设抛物线y ＝－x 2上一点为(m ，－m 2)，该点到直线4x ＋3y －8＝0的距离为|4m －3m 2－8|5，故当m ＝23时，取得最小值为43.答案：439.已知G 是△ABC 的重心，O 是平面ABC 外的一点，若λOG →＝OA →＋OB →＋OC →，则λ＝________．解析：如图，正方体中，OA →＋OB →＋OC →＝3OG →，所以λ＝3. 答案：310.若点P (2，0)到双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为________．解析：设过第一象限的渐近线倾斜角为α⇒sin α＝22⇒α＝45°⇒k ＝1；所以y ＝±bax ＝±x ⇒a ＝b ，因此c ＝2a ，e ＝ca＝ 2.答案： 211.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为________．解析：抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F 坐标为(a 4，0)，则直线l 的方程为y ＝2(x －a4)，它与y 轴的交点为A (0，－a 2)，所以△OAF 的面积为12|a 4|²|a2|＝4，解得a ＝±8，所以抛物线方程为y 2＝±8x .答案：y 2＝±8x 12.若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →²FP →的最大值为________．解析：由题意，F (－1，0)，设点P (x 0，y 0)，则有x 204＋y 203＝1，解得y 2＝3(1－x 204)，因为FP →＝(x 0＋1，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →²FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 0(x 0＋1)＋3(1－x 204)＝x 204＋x 0＋3，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x 0＝－2，因为－2≤x 0≤2，所以当x 0＝2时，OP →²FP →取得最大值224＋2＋3＝6.答案：613.如图在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，A 1A ＝6，M 是CC 1的中点，则二面角B －AM －C 的大小为________．解析：以点C 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则B (1，0，0)，A (0，3，0)，A 1(0，3，6)，M (0，0，62)，所以A 1B →＝(1，－3，－6)，AM →＝(0，－3，62)，因为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，所以CC 1⊥面ABC ，所以CC 1⊥BC ， 因为∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC ， 所以BC ⊥平面ACC 1， 即BC ⊥面AMC ，所以CB →＝(1，0，0)是平面AMC 的一个法向量， 设n ＝(x ，y ，z )是平面BAM 的一个法向量，BA →＝(－1，3，0)，BM →＝(－1，0，62)．由⎩⎪⎨⎪⎧n ²BA →＝0n ²BM →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3y ＝0－x ＋62z ＝0， 取z ＝2，得n ＝(6，2，2)，因为|CB →|＝1，|n |＝23，所以cos 〈CB →，n 〉＝623＝22，又二面角B －AM －C 的平面角是锐角， 因此二面角B －AM －C 的大小为45°. 答案：45°14.设x 1，x 2∈R ，常数a >0，定义运算“*”，x 1*x 2＝(x 1＋x 2)2－(x 1－x 2)2，若x ≥0，则动点P (x ，x *a )的轨迹是________．解析：因为x 1*x 2＝(x 1＋x 2)2－(x 1－x 2)2，所以x *a ＝（x ＋a ）2－（x －a ）2＝2ax ，则P (x ，2ax )，设P (x 1，y 1)，即⎩⎨⎧x 1＝xy 1＝2ax，消去x 得y 21＝4ax 1(x 1≥0，y 1≥0)， 故点P 的轨迹为抛物线的一部分． 答案：抛物线的一部分二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)已知p ：(x ＋2)(x －10)≤0，q ：[x －(1－m )][x －(1＋m )]≤0(m >0)，若﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：因为﹁p 是﹁q 的必要不充分条件， 则p 是q 的充分不必要条件，由p ：(x ＋2)(x －10)≤0可得－2≤x ≤10， 由q ：[x －(1－m )][x －(1＋m )]≤0(m >0)， 可得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)， 因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－21＋m ≥10，得m ≥9，即实数m 的取值范围为m ≥9.16.(本小题满分14分)如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，H 是正方形AA 1B 1B 的中心，AA 1＝22，C 1H ⊥平面AA 1B 1B ，且C 1H ＝ 5.(1)求异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值； (2)求二面角A －A 1C 1－B 1的正弦值；(3)设N 为棱B 1C 1的中点，点M 在平面AA 1B 1B 内，且MN ⊥平面A 1B 1C 1，求线段BM 的长．解：如图所示，以点B 为坐标原点，建立空间直角坐标系，依题意，得A (22，0，0)，B (0，0，0)，C (2，－2，5)，A 1(22，22，0)，B 1(0，22，0)，C 1(2，2，5)．(1)易得AC →＝(－2，－2，5)，A 1B 1→＝(－22，0，0)，因为cos 〈AC →，A 1B 1→〉＝AC →²A 1B 1→|AC →||A 1B 1→|＝43³22＝23.所以异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值为23. (2)易知AA 1→＝(0，22，0)，A 1C 1→＝(－2，－2，5)． 设平面AA 1C 1的法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ²A 1C 1→＝0，m ²AA 1→＝0，即⎩⎨⎧－2x 1－2y 1＋5z 1＝0，22y 1＝0.不妨令x 1＝5，可得z 1＝2，即m ＝(5，0，2)．同样地，设平面A 1B 1C 1的法向量n ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ²A 1C 1→＝0，n ²A 1B 1→＝0.即⎩⎨⎧－2x 2－2y 2＋5z 2＝0，－22x 2＝0.不妨令y 2＝5，可得z 2＝2，即n ＝(0，5，2)．于是cos 〈m ，n 〉＝m ²n |m ||n |＝27³7＝27，从而sin 〈m ，n 〉＝357.所以二面角A －A 1C 1－B 1的正弦值为357.(3)由N 为棱B 1C 1的中点，得N (22，322，52)． 设M (a ，b ，0)，则MN →＝(22－a ，322－b ，52)．由MN ⊥平面A 1B 1C 1，得 ⎩⎪⎨⎪⎧MN →²A 1B 1→＝0，MN →²A 1C 1→＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧（22－a ）²（－22）＝0，（22－a ）²（－2）＋（322－b ）²（－2）＋52³5＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝22，b ＝24.故M (22，24，0)．因此BM →＝(22，24，0)，所以线段BM 的长为|BM →|＝104.17.(本小题满分14分)已知椭圆与双曲线2x 2－2y 2＝1共焦点，且过(2，0)． (1)求椭圆的标准方程；(2)求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程． 解：(1)依题意得，将双曲线方程标准化为x 212－y 212＝1，则c ＝1.∵椭圆与双曲线共焦点，∴设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1，∵椭圆过(2，0)，∴2a 2＋0a 2－1＝1，即a 2＝2，∴椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)依题意，设斜率为2的弦所在直线的方程为y ＝2x ＋b ，弦的中点坐标为(x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋bx 22＋y 2＝1得9x 2＋8bx ＋2b 2－2＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8b 9，y 1＋y 2＝2b 9.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4b 9，y ＝b9，∴y ＝－14x .令Δ＝0，64b 2－36(2b 2－2)＝0，即b ＝±3，所以斜率为2且与椭圆相切的直线方程为y ＝2x ±3，即当x ＝±43时斜率为2的直线与椭圆相切．所以平行弦的中点轨迹方程为：y ＝－14x (－43≤x ≤43)．18.(本小题满分16分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝CC 1，M 、N分别是A 1B 、B 1C 1的中点．(1)求证：MN ⊥平面A 1BC ；(2)求直线BC 1和平面A 1BC 所成角的大小．解：(1)据题意CA 、CB 、CC 1两两垂直，以C 为原点，CA 、CB 、CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图．设AC ＝BC ＝CC 1＝a ，则B (0，a ，0)，B 1(0，a ，a )，A (a ，0，0)，C (0，0，0)，C 1(0，0，a )，A 1(a ，0，a )，M (a 2，a 2，a 2)，N (0，a2，a )．所以BA 1→＝(a ，－a ，a )，CA 1→＝(a ，0，a )，MN →＝(－a 2，0，a 2)．所以MN →²BA 1→＝0，MN →²CA 1→＝0， 即MN ⊥BA 1，MN ⊥CA 1. 又BA 1∩CA 1＝A 1， 故MN ⊥平面A 1BC .(2)因为MN ⊥平面A 1BC ，则MN →为平面A 1BC 的法向量， 又BC 1→＝(0，－a ，a )，则cos 〈BC 1→，MN →〉＝BC 1→²MN →|BC 1→||MN →|＝a 222a ³22a＝12， 所以〈BC 1，MN →〉＝60°，故直线BC 1和平面A 1BC 所成的角为30°.19.(本小题满分16分)已知动点P 到定点F (2，0)的距离与点P 到定直线l ：x ＝22的距离之比为22.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设M 、N 是直线l 上的两个点，点E 与点F 关于原点O 对称，若EM →²FN →＝0，求MN 的最小值．解：(1)设点P (x ，y )，依题意，有（x －2）2＋y 2|x －22|＝22，整理，得x 24＋y22＝1. 所以动点P 的轨迹C 的方程为x24＋y22＝1.(2)∵点E 与点F 关于原点O 对称， ∴点E 的坐标为(－2，0)． ∵M 、N 是直线l 上的两个点，∴可设M (22，y 1)，N (22，y 2)(不妨设y 1>y 2)． ∵EM →²FN →＝0，∴(32，y 1)²(2，y 2)＝0，则6＋y 1y 2＝0，即y 2＝－6y 1.由于y 1>y 2，则y 1>0，y 2<0.∴MN ＝y 1－y 2＝y 1＋6y 1≥2y 1²6y 1＝26.当且仅当y 1＝6，y 2＝－6时，等号成立， 故MN 的最小值为2 6.20.(本小题满分16分)如图，抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上，过点M (0，－2)作直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且满足OA →＋OB →＝(－4，－12)．(1)求直线l 和抛物线的方程；(2)当抛物线上一动点P 从点A 到B 运动时，求△ABP 面积的最大值．解：(1)据题意可设直线l 的方程为y ＝kx －2，抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2x 2＝－2py 得x 2＋2pkx －4p ＝0. 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4.所以OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－2pk ，－2pk 2－4)．因为OA →＋OB →＝(－4，－12)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2pk ＝－4－2pk 2－4＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1k ＝2. 故直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线为x 2＝－2y .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2x 2＝－2y 得，x 2＋4x －4＝0.所以AB ＝1＋k 2²（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋22³（－4）2－4³（－4）＝410.设点P (t ，－12t 2)(－2－22<t <－2＋22)，点P 到直线l 的距离为d ，则d ＝|2t ＋12t 2－2|22＋（－1）2＝|（t ＋2）2－8|25(－2－22<t <－2＋22)， 当t ＝－2时，d max ＝455，此时点P (－2，－2)．故△ABP 面积的最大值12²AB ²d ＝12³410³455＝8 2.。