2014年全国大纲卷高考理科数学试题真题含答案

2014年普通高等学校统一考试（大纲）

理科

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设103i

z i

=

+，则z 的共轭复数为 （ ）

A ．13i -+

B ．13i --

C ．13i +

D ．13i - 【答案】D ．

2.设集合2

{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N =

（ ）

A ．(0,4]

B ．[0,4)

C ．[1,0)-

D ．(1,0]- 【答案】B.

3.设sin33,cos55,tan35,a b c =︒=︒=︒则 （ ）

A ．a b c >>

B ．b c a >>

C ．c b a >>

D ．c a b >> 【答案】C ．

4.若向量,a b 满足：()()

1,,2,a a b a a b b =+⊥+⊥则b = （ ）

A ．2

B

C ．1

D ．2

【答案】B ．

5.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）

A ．60种

B ．70种

C ．75种

D ．150种 【答案】C ．

6.已知椭圆C ：22

221x y a b

+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F 2F 的

直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为 （ ）

A ．

22132x y += B ．22

13x y += C ．221128x y += D ．221124

x y += 【答案】A ． 7.曲线1

x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于

（ ）

A ．2e

B ．e

C ．2

D ．1 【答案】C ．

8．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ） A ．

814

π

B ．16π

C ．9π

D ．274π

【答案】A ．

9.已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则

21cos AF F ∠=（ ）

A ．

14 B ．1

3

C ．4

D ．3

【答案】A ．

10.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于 （ ）

A ．6

B ．5

C ．4

D ．3 【答案】C ．

11.已知二面角l αβ--为60︒，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，

135ACD ∠=︒，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为

（ ）

A ．

14 B

C

D ．1

2

【答案】B.

12.函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，则()y f x =的反函数是（ ）

A ．()y g x =

B ．()y g x =-

C ．()y g x =-

D ．()y g x =-- 【答案】D.

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.

8

⎛⎫的展开式中22

x y 的系数为 .（用数字作答） 【答案】70.

14.设,x y 满足约束条件0

2321x y x y x y -≥⎧⎪

+≤⎨⎪-≤⎩

，则4z x y =+的最大值为 .

【答案】5.

15．直线1l 和2l 是圆2

2

2x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为()1,3，则1l 与2l 的夹角的

正切值等于 . 【答案】

43

． 16.若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62

ππ

是减函数，则a 的取值范围是 . 【答案】(],2-∞．

三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3cos 2cos a C c A =，1

tan 3

A =，

求B .

解：由题设和正弦定理得

1

3sin cos 2sin cos ,3tan cos 2sin .tan ,cos 2sin ,3

A C C A A C C A C C =\==

\= ()()1tan tan tan ,tan tan 180tan 1,2tan tan 1

A C C

B A

C A C A C +轾\=\=?+=-+==-臌-又0180,135B B

?

<癨??．

18. （本小题满分12分）

等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤. （I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设1

1

n n n b a a +=

，求数列{}n b 的前n 项和n T . 解：（I ）由110a =，2a 为整数知，等差数列{}n a 的公差d 为整数．又4n S S ≤，故

450,0,a a ≥≤于是1030,1040d d +≥+≤，解得10

5

3

2

d -＃-

，因此3d =-，故数列{}n a 的通项公式为133n a n =-．（II ）

()()1

1111331033103133n b n n n n ⎛⎫=

=- ⎪----⎝⎭

，于是

()

12111111

111137104710313331031010103n n n T b b b n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++

+=-+-+

+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎢⎥----⎝⎭⎝⎭

⎝⎭⎝⎭⎣⎦．

19. （本小题满分12分）

如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，0

90ACB ∠=

，

11,2BC AC CC ===.

（I ）证明：11AC A B ⊥；

（II ）设直线1AA 与平面11BCC B 1A AB C --的大小.