2014年全国大纲卷高考理科数学试题真题含答案
2014年高考理科数学大纲卷-答案
【考点】双曲线的性质
10.【答案】C
【解析】 ， ， ，
∵ ，∴
【提示】给出等比数列两项求变形数列的前n项和
【考点】等比数列
11.【答案】B
【解析】将C点移至A点，做 ，由于 ，所以 ，因为二面角 为 ，所以可令 ，可求得 ， ， ，易求得
【提示】给出空间上的异面直线求余弦值
【考点】异面直线及其所成的角
12.【答案】D
【解析】 与其反函数关于 对称，因为 与 关于 对称，
所以有
【提示】给出约束条件求反函数
【考点】反函数
第Ⅱ卷
二、填空题
13.【答案】70
【解析】 由 ，即 ，解得 ，∴ 系数为
【提示】给出解析式利用二项式定理解得某项系数
【考点】二项式定理.
14.【答案】5
三、解答题
17.【答案】
【解析】由题设和正弦定理得 ，
， ，
又 ，
【提示】给出约束条件利用正弦定理解求某个角度
【考点】正弦定理，三角函数
18.【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）由 ， 为整数知，等差数列 的公差 为整数．又 ，故 ，于是 ，解得 ，因此 ，
故数列 的通项公式为 ，
（Ⅱ） ，于是
【提示】给出约束条件求等差数列的通项公式、给出数列求前n项和公式
（i）当 时，由已知 ，故结论成立；
（ii）假设当 时结论成立，即
当 时， ，
，即当 时有 ，结论成立.
根据（i）、（ii）知对任何 结论都成立
【提示】给出函数解析式讨论其单调性，根据组合式证明其取值范围
【考点】导数的意义
若 则 , 在 上是增函数
（ii）当 时， , 成立当且仅当 , 在 上是增函数
2014年(大纲全国卷)数学(理科) 高考真题及答案解析
函数是( ).
A.y=g(x) B.y=g(-x) C.y=-g(x) D.y=-g(-x)
【答案】D
【解析】因为函数 y=f(x)的图像与函数 y=g(x)的图像关于直线 x+y=0 对称,
而函数图像与其反函数的图像关于直线 y=x 对称,
所以这两个函数的反函数图像也关于直线 x+y=0 对称.
设函数 y=f(x)的反函数图像上任一点 P(x,y),
62
是
.
【答案】(-∞,2]
4
【解析】f(x)=cos 2x+asin x=1-2sin2x+asin x.
令 t=sin x,∵x∈
π,π
62
,∴t∈
1 2
,1
,
∴g(t)=1-2t2+at=-2t2+at+1
1 2
<
t
<
1
,
由题意知2×(-2)
≤
1 ,∴a≤2,
2
∴a 的取值范围为(-∞,2].
11.(2014 大纲全国,理 11)已知二面角α-l-β为 60°,AB⊂α,AB⊥l,A 为垂足,CD⊂β,C∈l,∠ACD=135°,则
异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为( ).
A.1
B. 2
C. 3
D.1
4
4
4
2
【答案】B
【解析】如图,在平面α内过 C 作 CE∥AB,
则∠ECD 为异面直线 AB 与 CD 所成的角或其补角,
【答案】C
【解析】∵a=sin 33°,b=cos 55°=sin 35°,c=tan 35°=csoins3355°°, ∴csoins3355°°>sin 35°>sin 33°. ∴c>b>a,选 C.
2014年高考全国卷1理科数学试题及标准答案-(word版)
2０14年普通高等学校招生全国统一考试全国课标1理科数学注意事项：1． 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分。
答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮搽干净后,再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.３. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,答在本试题上无效.4． 考试结束,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一.选择题：共12小题，每小题５分，共６0分。
在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项。
1． 已知集合A ＝｛x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x <2=,则A B ⋂= A .[-2,-1] B .[-1,２) C .[-1,1］ D ．[1，２)２. 32(1)(1)i i +-＝ A ．1i + B ．1i - C .1i -+ D .1i --3. 设函数()f x ，()g x 的定义域都为R,且()f x 时奇函数,()g x 是偶函数，则下列结论正确的是 A .()f x ()g x 是偶函数 B .|()f x ｜()g x 是奇函数C .()f x ｜()g x ｜是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数4. 已知F 是双曲线C :223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 A .3 B ．３ C .3m D .3m5. ４位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C .58D .78６． 如图,圆O 的半径为1，A 是圆上的定点,P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为７. 执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203B .165C .72D .1588. 设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈,且1sin tan cos βαβ+=，则 A .32παβ-= B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+= 9． 不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题:1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥,3P :(,),23x y D x y ∀∈+≤,4p :(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A ．2p ,3PB .1p ,4pC .1p ,2pD .1p ，3P10. 已知抛物线C :28y x =的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个焦点,若4FP FQ =,则||QF =A .72B .52C .３D .2 11. 已知函数()f x =3231ax x -+,若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0,则a 的取值范围为A .(２,＋∞)B ．(-∞，-2）C .(1，+∞）D .(-∞，-1)12． 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中,最长的棱的长度为A .62B .42C .6D .4第Ⅱ卷。
2014年全国一卷高考理科数学试卷及答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标I 理科数学第Ⅰ卷 (选择题 共60分）一．选择题:共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={x |2230x x --≥｝，B={x |－2≤x ＜2＝,则A B ⋂=A .［—2，—1]B 。
[-1，2）C .[-1,1］D .[1,2） 2.32(1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C 。
1i -+ D .1i --3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R,且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B 。
|()f x |()g x 是奇函数C .()f x ｜()g x ｜是奇函数D .|()f x ()g x ｜是奇函数4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A .3B 。
3C 。
3mD 。
3m5。
4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C 。
58D 。
786.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M ,将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π］上的图像大致为7。
执行下图的程序框图,若输入的,,a b k 分别为1，2,3,则输出的M =A 。
203 B 。
165 C .72D 。
1588。
设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈,且1sin tan cos βαβ+=，则 A .32παβ-=B .22παβ-=C 。
32παβ+=D .22παβ+=9.不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D 。
2014年全国统一高考数学试卷真题及答案(理科)(新课标Ⅰ)
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[1，2） B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]2．（5分）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数4．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3 C．m D．3m5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M 到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．8．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=9．（5分）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3 p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p310．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3 C．D．211．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6 B．6 C．4 D．4二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为．（用数字填写答案）14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．15．（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为．16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．三、解答题17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：a n﹣a n=λ+2（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l 的方程．21．（12分）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．四、选做题（22-24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．选修4-5：不等式选讲24．若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[1，2） B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，解得：x≥3或x≤﹣1，即A=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∵B=[﹣2，2），∴A∩B=[﹣2，﹣1]．故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2014•新课标Ⅰ）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．【解答】解：==﹣（1+i）=﹣1﹣i，故选：D．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）（2014•新课标Ⅰ）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），f（﹣x）•g（﹣x）=﹣f（x）•g（x），故函数是奇函数，故A错误，|f（﹣x）|•g（﹣x）=|f（x）|•g（x）为偶函数，故B错误，f（﹣x）•|g（﹣x）|=﹣f（x）•|g（x）|是奇函数，故C正确．|f（﹣x）•g（﹣x）|=|f（x）•g（x）|为偶函数，故D错误，故选：C【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．4．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3 C．m D．3m【分析】双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．【解答】解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为，∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，∴点F到C的一条渐近线的距离为=．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题．5．（5分）（2014•新课标Ⅰ）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．【解答】解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，∴所求概率为=．故选：D．【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．6．（5分）（2014•新课标Ⅰ）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择．【解答】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|=|cosx|•|sinx|=|sin2x|，其周期为T=，最大值为，最小值为0，故选C．【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用．7．（5分）（2014•新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环M=1+=，a=2，b=，n=2；第二次循环M=2+=，a=，b=，n=3；第三次循环M=+=，a=，b=，n=4．不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=．故选：D．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．8．（5分）（2014•新课标Ⅰ）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=【分析】化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=cosα，则答案可求．【解答】解：由tanα=，得：，即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）=cosα=sin（），∵α∈（0，），β∈（0，），∴当时，sin（α﹣β）=sin（）=cosα成立．故选：C．【点评】本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题．9．（5分）（2014•新课标Ⅰ）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3 p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3【分析】作出不等式组的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可．【解答】解：作出图形如下：由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域，p1：区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方，故：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；p2：在直线x+2y=2的右上方和区域D重叠的区域内，∃（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2正确；p3：由图知，区域D有部分在直线x+2y=3的上方，因此p3：∀（x，y）∈D，x+2y ≤3错误；p4：x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误；综上所述，p1、p2正确；故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于难题．10．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3 C．D．2【分析】求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，∵=4，∴|PQ|=3d，∴不妨设直线PF的斜率为﹣=﹣2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），与y2=8x联立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3，故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．11．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）【分析】由题意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；而当x=时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f（）=﹣3•+1＞0；故a＜﹣2；综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；故选：D．【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题．12．（5分）（2014•新课标Ⅰ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6 B．6 C．4 D．4【分析】画出图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可．【解答】解：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C到BD的中点的距离为：4，∴．AC==6，AD=4，显然AC最长．长为6．故选：B．【点评】本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力．二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（2014•新课标Ⅰ）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为﹣20．（用数字填写答案）【分析】由题意依次求出（x+y）8中xy7，x2y6，项的系数，求和即可．【解答】解：（x+y）8的展开式中，含xy7的系数是：8．含x2y6的系数是28，∴（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为：8﹣28=﹣20．故答案为：﹣20【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．14．（5分）（2014•新课标Ⅰ）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为A．【分析】可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A．故答案为：A．【点评】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．15．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为90°．【分析】根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论．【解答】解：在圆中若=（+），即2=+，即+的和向量是过A，O的直径，则以AB，AC为邻边的四边形是矩形，则⊥，即与的夹角为90°，故答案为：90°【点评】本题主要考查平面向量的夹角的计算，利用圆直径的性质是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C 的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．【分析】由正弦定理化简已知可得2a﹣b2=c2﹣bc，结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求bc≤4，再利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC⇒（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c⇒2a﹣b2=c2﹣bc，又因为：a=2，所以：，△ABC面积，而b2+c2﹣a2=bc⇒b2+c2﹣bc=a2⇒b2+c2﹣bc=4⇒bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．三、解答题17．（12分）（2014•新课标Ⅰ）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n ﹣1，其中λ为常数．﹣a n=λ（Ⅰ）证明：a n+2（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．【分析】（Ⅰ）利用a n a n+1=λS n﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1，相减即可得出；（Ⅱ）对λ分类讨论：λ=0直接验证即可；λ≠0，假设存在λ，使得{a n}为等差﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，．得数列，设公差为d．可得λ=a n+2到λS n=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵a n a n+1=λS n﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1，（a n+2﹣a n）=λa n+1∴a n+1≠0，∵a n+1﹣a n=λ．∴a n+2（Ⅱ）解：①当λ=0时，a n a n+1=﹣1，假设{a n}为等差数列，设公差为d．﹣a n=0，∴2d=0，解得d=0，则a n+2∴a n=a n+1=1，∴12=﹣1，矛盾，因此λ=0时{a n}不为等差数列．②当λ≠0时，假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，则λ=a n+2∴．∴，，∴λS n=1+=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ=4．此时可得，a n=2n﹣1．因此存在λ=4，使得{a n}为等差数列．【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题．18．（12分）（2014•新课标Ⅰ）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．【分析】（Ⅰ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意运用所给数据；（ii）由（i）知X～B（100，0.6826），运用EX=np即可求得．【解答】解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为：=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826；（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，依题意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26．【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力．19．（12分）（2014•新课标Ⅰ）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．【分析】（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，可证B1C⊥平面ABO，可得B1C ⊥AO，B10=CO，进而可得AC=AB1；（2）以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值．【解答】解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，﹣，），∴cos＜，＞==，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为【点评】本题考查空间向量法解决立体几何问题，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．20．（12分）（2014•新课标Ⅰ）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b ＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l 的方程．【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．【解答】解：（Ⅰ）设F（c，0），由条件知，得又，所以a=2，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．（6分）（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，从而又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，设，则t＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…（12分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）（2014•新课标Ⅰ）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．【分析】（Ⅰ）求出定义域，导数f′（x），根据题意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，函数h（x）=，只需证明g（x）min＞h（x）max，利用导数可分别求得g（x）min，h（x）max；【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=+，由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e x lnx+，∵f（x）＞1，∴e x lnx+＞1，∴lnx＞﹣，∴f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）=﹣．设函数h（x）=xe﹣x﹣，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣．综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．【点评】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．四、选做题（22-24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2014•新课标Ⅰ）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．【分析】（Ⅰ）利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠A=∠E，即可证明△ADE为等边三角形．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D=∠CBE，∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由（Ⅰ）知，∠D=∠E，∴△ADE为等边三角形．【点评】本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2014•新课标Ⅰ）已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．【分析】（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3si nθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．【点评】本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．选修4-5：不等式选讲24．（2014•新课标Ⅰ）若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．【分析】（Ⅰ）由条件利用基本不等式求得ab≥2，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．（Ⅱ）根据ab≥2及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b=6．【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=，∴=+≥2，∴ab≥2，当且仅当a=b=时取等号．∵a3+b3 ≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，∴a3+b3的最小值为4．（Ⅱ）∵2a+3b≥2=2，当且仅当2a=3b时，取等号．而由（1）可知，2≥2=4＞6，故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．【点评】本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．。
2014年高考真题(课标全国Ⅰ)数学(理科) 附答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国Ⅰ)数学(理科)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014课标全国Ⅰ,理1)已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则A∩B=().A.[-2,-1]B.[-1,2)C.[-1,1]D.[1,2)答案:A解析:由已知,可得A={x|x≥3或x≤-1},则A∩B={x|-2≤x≤-1}=[-2,-1].故选A.2.(2014课标全国Ⅰ,理2)=().-A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i答案:D解析:=-1-i.故选D.---3.(2014课标全国Ⅰ,理3)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是().A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数答案:C解析:由题意,知f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于A选项,f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),f(x)g(x)为奇函数,故A错误;对于B选项,|f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x),|f(x)|g(x)为偶函数,故B错误;对于C选项,f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,f(x)|g(x)|为奇函数,故C正确;对于D选项,|f(-x)g(-x)|=|f(x)·g(x)|,|f(x)g(x)|是偶函数,故D错误.4.(2014课标全国Ⅰ,理4)已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为().A.B.3C.m D.3m答案:A解析:由题意,可得双曲线C为=1,则双曲线的半焦距c=.不妨取右焦点(,0),其渐近线方程为y=±x,即x±y=0.所以由点到直线的距离公式得d=.故选A.5.(2014课标全国Ⅰ,理5)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为().A.B.C.D.答案:D解析:(方法一)由题意知基本事件总数为24=16,对4名同学平均分组共有=3(种),对4名同学按1,3分组共有种,所以周六、周日都有同学参加共有3×=14(种).由古典概型得所求概率为.(方法二)周六没有同学参加公益活动即4位同学均在周日参加公益活动,此时只有一种情况;同理周日没有同学参加公益活动也只有一种情况,所以周六、周日均有同学参加公益活动的情况共有16-2=14(种).故所求概率为.故选D.6.(2014课标全国Ⅰ,理6)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]的图像大致为().答案:C解析:由题意|OM|=|cos x|,f(x)=|OM||sin x|=|sin x cos x|=|sin2x|,由此可知C正确.7.(2014课标全国Ⅰ,理7)执行右面的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M=().A.B.C.D.答案:D解析:当a=1,b=2,k=3,n=1时,1≤3,M=1+,a=2,b=,n=2;2≤3,M=2+,a=,b=,n=3;3≤3,M=,a=,b=,n=4;4>3,程序结束,输出M=.8.(2014课标全国Ⅰ,理8)设α∈,β∈,且tanα=,则().A.3α-β=B.3α+β=C.2α-β=D.2α+β=答案:C解析:由已知,得,∴sinαcosβ=cosα+cosαsinβ.∴sinαcosβ-cosαsinβ=cosα.∴sin(α-β)=cosα,∴sin(α-β)=sin-.∵α∈,β∈,∴-<α-β<,0<-α<,∴α-β=-α,∴2α-β=.故选C.的解集记为D,有下面四个命题:9.(2014课标全国Ⅰ,理9)不等式组-p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2,p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2,p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3,p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤-1,其中的真命题是().A.p2,p3B.p1,p2C.p1,p4D.p1,p3答案:B解析:画出可行域如图阴影部分所示.作直线l0:y=-x,平移l0,当直线经过A(2,-1)时,x+2y取最小值,此时(x+2y)min=0.故p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2为真.p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2为真.故选B.10.(2014课标全国Ⅰ,理10)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点.若=4,则|QF|=().A.B.3C.D.2答案:B解析:如图,由抛物线的定义知焦点到准线的距离p=|FM|=4.过Q作QH⊥l于H,则|QH|=|QF|.由题意,得△PHQ∽△PMF,则有,∴|HQ|=3.∴|QF|=3.11.(2014课标全国Ⅰ,理11)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是().A.(2,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,-2)D.(-∞,-1)答案:C解析:当a=0时,显然f(x)有2个零点,不符合题意;当a>0时,f'(x)=3ax2-6x=3x(ax-2),易知函数f(x)在(-∞,0)上单调递增.又f(0)=1,当x→-∞时,f(x)=x2(ax-3)+1→-∞,故不适合题意;当a<0时,f(x)在-∞上单调递减,在上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,只需f>0就满足题意.由f>0,得+1>0,解得a<-2或a>2(舍去).故a<-2.12.(2014课标全国Ⅰ,理12)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为().A.6B.6C.4D.4答案:B解析:如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4.取B1B的中点G,即三棱锥G-CC1D1为满足要求的几何体,其中最长棱为D1G,D1G==6.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2014课标全国Ⅰ,理13)(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为.(用数字填写答案)答案:-20解析:(x+y)8的通项公式为T r+1=x8-r y r(r=0,1,…,8,r∈Z).当r=7时,T8=xy7=8xy7,当r=6时,T7=x2y6=28x2y6,所以(x-y)(x+y)8的展开式中含x2y7的项为x·8xy7-y·28x2y6=-20x2y7,故系数为-20.14.(2014课标全国Ⅰ,理14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为.答案:A解析:根据甲、乙、丙说的可列表得15.(2014课标全国Ⅰ,理15)已知A,B,C为圆O上的三点,若),则与的夹角为. 答案:90°解析:由)可得O为BC的中点,则BC为圆O的直径,即∠BAC=90°,故与的夹角为90°.16.(2014课标全国Ⅰ,理16)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为.答案:解析:由正弦定理,可得(2+b)(a-b)=(c-b)·c.∵a=2,∴a2-b2=c2-bc,即b2+c2-a2=bc.由余弦定理,得cos A=-.∴sin A=.由b2+c2-bc=4,得b2+c2=4+bc.∵b2+c2≥2bc,即4+bc≥2bc,∴bc≤4.∴S△ABC=bc·sin A≤,即(S△ABC)max=.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2014课标全国Ⅰ,理17)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n≠0,a n a n+1=λS n-1,其中λ为常数.(1)证明:a n+2-a n=λ;(2)是否存在λ,使得{a n}为等差数列?并说明理由.分析:(1)已知数列{a n}的前n项和S n与相邻两项a n,a n+1间的递推关系式a n a n+1=λS n-1,要证a n+2-a n=λ,故考虑利用a n+1=S n+1-S n消去S n进行证明.(2)若{a n}为等差数列,则有2a2=a1+a3,故可由此求出λ,进而由a n+2-a n=4验证{a n}是否为等差数列即可.解:(1)由题设,a n a n+1=λS n-1,a n+1a n+2=λS n+1-1,两式相减,得a n+1(a n+2-a n)=λa n+1.由于a n+1≠0,所以a n+2-a n=λ.(2)由题设,a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1.由(1)知,a3=λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4.故a n+2-a n=4.由此可得{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.所以a n=2n-1,a n+1-a n=2.因此存在λ=4,使得数列{a n}为等差数列.18.(本小题满分12分)(2014课标全国Ⅰ,理18)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布,求P(187.8<Z<212.2);②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用①的结果,求E(X).附:≈12.2.若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.9544.分析:(1)利用=x1p1+x2p2+…+x n p n求,利用s2=(x1-)2p1+(x2-)2p2+…+(x n-)2p n,求s2.(2)①由(1)可知μ,σ2,则N(μ,σ2)可知.将P(187.8<Z<212.2)进行转化,利用3σ原则求解.②由①可知一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为p,则100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数X服从二项分布B(100,p),则由E(X)=100p可求E(X).解:(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.(2)①由(1)知,Z~N(200,150),从而P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<200+12.2)=0.6826.②由①知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826,依题意知X~B(100,0.6826),所以E(X)=100×0.6826=68.26.19.(本小题满分12分)(2014课标全国Ⅰ,理19)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,AB⊥B1C.(1)证明:AC=AB1;(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角A-A1B1-C1的余弦值.分析:(1)因为侧面BB1C1C为菱形,故考虑利用菱形的性质:对角线互相垂直平分,故连接BC1,不妨设其交B1C于点O,则O为B1C的中点,要证AC=AB1,故只需证B1C⊥AO.又B1C⊥AB,故考虑通过证B1C⊥平面ABO来达到目的.(2)利用空间直角坐标系求解,由(1)知B1O⊥AO,B1O⊥BO.故考虑以O点为坐标原点,以的方向为x轴正方向,的方向为y轴正方向,的方向为z轴正方向建立空间直角坐标系,但需证明OB⊥OA,然后分别求出平面AA1B1和平面A1B1C1的法向量n,m,最后利用cos<n,m>=·求出二面角A-A1B1-C1的余弦值.解:(1)连接BC1,交B1C于点O,连接AO,因为侧面BB1C1C为菱形,所以B1C⊥BC1,且O为B1C及BC1的中点.又AB⊥B1C,所以B1C⊥平面ABO.由于AO⊂平面ABO,故B1C⊥AO.又B1O=CO,故AC=AB1.(2)因为AC⊥AB1,且O为B1C的中点,所以AO=CO.又因为AB=BC,所以△BOA≌△BOC.故OA⊥OB,从而OA,OB,OB1两两互相垂直.以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.因为∠CBB1=60°,所以△CBB1为等边三角形.又AB=BC,则A,B(1,0,0),B1,C-----.设n=(x,y,z)是平面AA1B1的法向量,则··即所以可取n=(1,.设m是平面A1B1C1的法向量,则··同理可取m=(1,-).则cos<n,m>=·.所以二面角A-A1B1-C1的余弦值为.20.(本小题满分12分)(2014课标全国Ⅰ,理20)已知点A(0,-2),椭圆E:=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.分析:(1)由过A(0,-2),F(c,0)的直线AF的斜率为或过两点的直线斜率公式可求c,再由e=,可求a,由b2=a2-c2可求b2,则椭圆E的方程可求.(2)由题意知动直线l的斜率存在,故可设其斜率为k,写出直线方程,并与椭圆方程联立,消去y,整理成关于x 的一元二次方程,利用弦长公式求出弦PQ的长|PQ|,利用点到直线的公式求出点O到直线PQ的距离d,则由S△OPQ=|PQ|·d,可将S△OPQ表示成关于k的函数,转化为求函数f(k)的最大值问题.注意k应使得一元二次方程的判别式大于0.解:(1)设F(c,0),由条件知,,得c=.又,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程为+y2=1.(2)当l⊥x轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).将y=kx-2代入+y2=1,得(1+4k2)x2-16kx+12=0.当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>时,x1,2=-.从而|PQ|=|x1-x2|=·-.又点O到直线PQ的距离d=,所以△OPQ的面积S△OPQ=d·|PQ|=-.设-=t,则t>0,S△OPQ=.因为t+≥4,当且仅当t=2,即k=±时等号成立,且满足Δ>0.所以,当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=x-2或y=-x-2.21.(本小题满分12分)(2014课标全国Ⅰ,理21)设函数f(x)=a e x ln x+-,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2.(1)求a,b;(2)证明:f(x)>1.分析:(1)由已知可得f(1)=e(1-1)+2=2,切线斜率k=e=f'(1),由此可求出a,b.(2)由(1)可求f(x),结合不等式的特点将之转化为g(x)>h(x)的形式,通过比较g(x)的最小值与h(x)的最大值进行证明.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=a e x ln x+e x-e x-1+e x-1.由题意可得f(1)=2,f'(1)=e.故a=1,b=2.(2)由(1)知,f(x)=e x ln x+e x-1,从而f(x)>1等价于x ln x>x e-x-.设函数g(x)=x ln x,则g'(x)=1+ln x.所以当x∈时,g'(x)<0;当x∈∞时,g'(x)>0.故g(x)在单调递减,在∞单调递增,从而g(x)在(0,+∞)的最小值为g=-.设函数h(x)=x e-x-,则h'(x)=e-x(1-x).所以当x∈(0,1)时,h'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0.故h(x)在(0,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减,从而h(x)在(0,+∞)的最大值为h(1)=-.综上,当x>0时,g(x)>h(x),即f(x)>1.请考生在第22,23,24题中任选一题做答.如果多做,则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.22.(本小题满分10分)(2014课标全国Ⅰ,理22)选修4—1:几何证明选讲如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE.(1)证明:∠D=∠E;(2)设AD不是☉O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:△ADE为等边三角形.分析:(1)由CB=CE可得∠CBE=∠E,要证∠D=∠E,故只需证∠CBE=∠D,利用圆内接四边形的一个外角等于它的内对角可证.(2)由(1)知∠D=∠E,要证△ADE为等边三角形,只需证∠A=∠E,又因为∠CBE=∠E,故只需证∠A=∠CBE,只需证AD∥BC,因为已知MB=MC,故考虑利用等腰三角形的三线合一的性质.故取BC的中点N,连接MN,则MN⊥BC,通过证明MN⊥AD来达到证明AD∥BC的目的.解:(1)由题设知A,B,C,D四点共圆,所以∠D=∠CBE.由已知得∠CBE=∠E,故∠D=∠E.(2)设BC的中点为N,连接MN,则由MB=MC知MN⊥BC,故O在直线MN上.又AD不是☉O的直径,M为AD的中点,故OM⊥AD,即MN⊥AD.所以AD∥BC,故∠A=∠CBE.又∠CBE=∠E,故∠A=∠E.由(1)知,∠D=∠E,所以△ADE为等边三角形.23.(本小题满分10分)(2014课标全国Ⅰ,理23)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C:=1,直线l:-(t为参数).(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.分析:(1)利用椭圆=1(a>0,b>0)的参数方程为(θ为参数),写出曲线C的参数方程.消去直线l的参数方程中的参数t可得直线l的普通方程.(2)设出点P的坐标的参数形式.求出点P到直线l的距离d,则|PA|=.转化为求关于θ的三角函数的最值问题,利用辅助角公式a sinθ+b cosθ=sin(θ+φ)求解.解:(1)曲线C的参数方程为(θ为参数).直线l的普通方程为2x+y-6=0.(2)曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ)到l的距离为d=|4cosθ+3sinθ-6|,则|PA|=|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tanα=.当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.24.(本小题满分10分)(2014课标全国Ⅰ,理24)选修4—5:不等式选讲若a>0,b>0,且.(1)求a3+b3的最小值;。
[历年真题]2014年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)
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2014年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分）1．（5分）设z=,则z的共轭复数为（）A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i2．（5分）设集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0},N={x|0≤x≤5},则M∩N=（）A．（0,4]B．[0,4）C．[﹣1,0）D．（﹣1,0]3．（5分）设a=sin33°,b=cos55°,c=tan35°,则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b4．（5分）若向量、满足:||=1,（+）⊥,（2+）⊥,则||=（）A．2 B．C．1 D．5．（5分）有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种6．（5分）已知椭圆C:+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点,若△AF1B的周长为4,则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=17．（5分）曲线y=xe x﹣1在点（1,1）处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2 D．18．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．9．（5分）已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上,若|F1A|=2|F2A|,则cos∠AF2F1=（）A．B．C．D．10．（5分）等比数列{a n}中,a4=2,a5=5,则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6 B．5 C．4 D．311．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°,AB⊂α,AB⊥l,A为垂足,CD⊂β,C∈l,∠ACD=135°,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称,则y=f（x）的反函数是（）A．y=g（x）B．y=g（﹣x）C．y=﹣g（x）D．y=﹣g（﹣x）二、填空题(本大题共4小题,每小题5分)13．（5分）的展开式中x2y2的系数为．（用数字作答）14．（5分）设x、y满足约束条件,则z=x+4y的最大值为．15．（5分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线,若l1与l2的交点为（1,3）,则l1与l2的夹角的正切值等于．16．（5分）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（,）是减函数,则a的取值范围是．三、解答题17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acosC=2ccosA,tanA=,求B．18．（12分）等差数列{a n}的前n项和为S n．已知a1=10,a2为整数,且S n≤S4．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=,求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D在AC上,∠ACB=90°,BC=1,AC=CC1=2．（Ⅰ）证明:AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为,求二面角A1﹣AB﹣C的大小．20．（12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望．21．（12分）已知抛物线C:y2=2px（p＞0）的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程．22．（12分）函数f（x）=ln（x+1）﹣（a＞1）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a1=1,a n+1=ln（a n+1）,证明:＜a n≤．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题,每小题5分）1．（5分）（2014•大纲版）设z=,则z的共轭复数为（）A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简,则z的共轭可求．【解答】解:∵z==,∴．故选:D．【点评】本题考查复数代数形式的除法运算,考查了复数的基本概念,是基础题．2．（5分）（2014•大纲版）设集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0},N={x|0≤x≤5},则M∩N=（）A．（0,4]B．[0,4）C．[﹣1,0）D．（﹣1,0]【分析】求解一元二次不等式化简集合M,然后直接利用交集运算求解．【解答】解:由x2﹣3x﹣4＜0,得﹣1＜x＜4．∴M={x|x2﹣3x﹣4＜0}={x|﹣1＜x＜4},又N={x|0≤x≤5},∴M∩N={x|﹣1＜x＜4}∩{x|0≤x≤5}=[0,4）．故选:B．【点评】本题考查了交集及其运算,考查了一元二次不等式的解法,是基础题．3．（5分）（2014•大纲版）设a=sin33°,b=cos55°,c=tan35°,则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b【分析】可得b=sin35°,易得b＞a,c=tan35°=＞sin35°,综合可得．【解答】解:由诱导公式可得b=cos55°=cos（90°﹣35°）=sin35°,由正弦函数的单调性可知b＞a,而c=tan35°=＞sin35°=b,∴c＞b＞a故选:C【点评】本题考查三角函数值大小的比较,涉及诱导公式和三角函数的单调性,属基础题．4．（5分）（2014•大纲版）若向量、满足:||=1,（+）⊥,（2+）⊥,则||=（）A．2 B．C．1 D．【分析】由条件利用两个向量垂直的性质,可得（+）•=0,（2+）•=0,由此求得||．【解答】解:由题意可得,（+）•=+=1+=0,∴=﹣1；（2+）•=2+=﹣2+=0,∴b2=2,则||=,故选:B．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质,两个向量垂直,则它们的数量积等于零,属于基础题．5．（5分）（2014•大纲版）有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种【分析】根据题意,分2步分析,先从6名男医生中选2人,再从5名女医生中选出1人,由组合数公式依次求出每一步的情况数目,由分步计数原理计算可得答案．【解答】解:根据题意,先从6名男医生中选2人,有C62=15种选法,再从5名女医生中选出1人,有C51=5种选法,则不同的选法共有15×5=75种；故选C．【点评】本题考查分步计数原理的应用,注意区分排列、组合的不同．6．（5分）（2014•大纲版）已知椭圆C:+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点,若△AF1B的周长为4,则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1【分析】利用△AF1B的周长为4,求出a=,根据离心率为,可得c=1,求出b,即可得出椭圆的方程．【解答】解:∵△AF1B的周长为4,∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a,∴4a=4,∴a=,∵离心率为,∴,c=1,∴b==,∴椭圆C的方程为+=1．故选:A．【点评】本题考查椭圆的定义与方程,考查椭圆的几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题．7．（5分）（2014•大纲版）曲线y=xe x﹣1在点（1,1）处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2 D．1【分析】求函数的导数,利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．【解答】解:函数的导数为f′（x）=e x﹣1+xe x﹣1=（1+x）e x﹣1,当x=1时,f′（1）=2,即曲线y=xe x﹣1在点（1,1）处切线的斜率k=f′（1）=2,故选:C．【点评】本题主要考查导数的几何意义,直接求函数的导数是解决本题的关键,比较基础．8．（5分）（2014•大纲版）正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上,记为O,求出PO1,OO1,解出球的半径,求出球的表面积．【解答】解:设球的半径为R,则∵棱锥的高为4,底面边长为2,∴R2=（4﹣R）2+（）2,∴R=,∴球的表面积为4π•（）2=．故选:A．【点评】本题考查球的表面积,球的内接几何体问题,考查计算能力,是基础题．9．（5分）（2014•大纲版）已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C 上,若|F1A|=2|F2A|,则cos∠AF2F1=（）A．B．C．D．【分析】根据双曲线的定义,以及余弦定理建立方程关系即可得到结论．【解答】解:∵双曲线C的离心率为2,∴e=,即c=2a,点A在双曲线上,则|F1A|﹣|F2A|=2a,又|F1A|=2|F2A|,∴解得|F1A|=4a,|F2A|=2a,||F1F2|=2c,则由余弦定理得cos∠AF2F1===．故选:A．【点评】本题主要考查双曲线的定义和运算,利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键,考查学生的计算能力．10．（5分）（2014•大纲版）等比数列{a n}中,a4=2,a5=5,则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】利用等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解:∵数列{a n}是等比数列,a4=2,a5=5,∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．∴lga1+lga2+…+lga8=lg（a1a2•…•a8）=4lg10=4．故选:C．【点评】本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质,属于基础题．11．（5分）（2014•大纲版）已知二面角α﹣l﹣β为60°,AB⊂α,AB⊥l,A为垂足,CD ⊂β,C∈l,∠ACD=135°,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】首先作出二面角的平面角,然后再构造出异面直线AB与CD所成角,利用解直角三角形和余弦定理,求出问题的答案．【解答】解:如图,过A点做AE⊥l,使BE⊥β,垂足为E,过点A做AF∥CD,过点E做EF⊥AE,连接BF,∵AE⊥l∴∠EAC=90°∵CD∥AF又∠ACD=135°∴∠FAC=45°∴∠EAF=45°在Rt△BEA中,设AE=a,则AB=2a,BE=a,在Rt△AEF中,则EF=a,AF=a,在Rt△BEF中,则BF=2a,∴异面直线AB与CD所成的角即是∠BAF,∴cos∠BAF===．故选:B．【点评】本题主要考查了二面角和异面直线所成的角,关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角,考查了学生的空间想象能力和作图能力,属于难题．12．（5分）（2014•大纲版）函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称,则y=f（x）的反函数是（）A．y=g（x）B．y=g（﹣x）C．y=﹣g（x）D．y=﹣g（﹣x）【分析】设P（x,y）为y=f（x）的反函数图象上的任意一点,则P关于y=x的对称点P′（y,x）一点在y=f（x）的图象上,P′（y,x）关于直线x+y=0的对称点P″（﹣x,﹣y）在y=g（x）图象上,代入解析式变形可得．【解答】解:设P（x,y）为y=f（x）的反函数图象上的任意一点,则P关于y=x的对称点P′（y,x）一点在y=f（x）的图象上,又∵函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称,∴P′（y,x）关于直线x+y=0的对称点P″（﹣x,﹣y）在y=g（x）图象上,∴必有﹣y=g（﹣x）,即y=﹣g（﹣x）∴y=f（x）的反函数为:y=﹣g（﹣x）故选:D【点评】本题考查反函数的性质和对称性,属中档题．二、填空题(本大题共4小题,每小题5分)13．（5分）（2014•大纲版）的展开式中x2y2的系数为70．（用数字作答）【分析】先求出二项式展开式的通项公式,再令x、y的幂指数都等于2,求得r的值,即可求得展开式中x2y2的系数．【解答】解:的展开式的通项公式为T r=•（﹣1）+1r••=•（﹣1）r••,令8﹣=﹣4=2,求得r=4,故展开式中x2y2的系数为=70,故答案为:70．【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中档题．14．（5分）（2014•大纲版）设x、y满足约束条件,则z=x+4y的最大值为5．【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,由图得到最优解,联立方程组求出最优解的坐标,代入目标函数得答案．【解答】解:由约束条件作出可行域如图,联立,解得C（1,1）．化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式,得．由图可知,当直线过C点时,直线在y轴上的截距最大,z最大．此时z max=1+4×1=5．故答案为:5．【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题．15．（5分）（2014•大纲版）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线,若l1与l2的交点为（1,3）,则l1与l2的夹角的正切值等于．【分析】设l1与l2的夹角为2θ,由于l1与l2的交点A（1,3）在圆的外部,由直角三角形中的边角关系求得sinθ=的值,可得cosθ、tanθ 的值,再根据tan2θ=,计算求得结果．【解答】解:设l1与l2的夹角为2θ,由于l1与l2的交点A（1,3）在圆的外部,且点A与圆心O之间的距离为OA==,圆的半径为r=,∴sinθ==,∴cosθ=,tanθ==,∴tan2θ===,故答案为:．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质,直角三角形中的变角关系,同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用,属于中档题．16．（5分）（2014•大纲版）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（,）是减函数,则a的取值范围是（﹣∞,2] ．【分析】利用二倍角的余弦公式化为正弦,然后令t=sinx换元,根据给出的x的范围求出t的范围,结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解a的范围．【解答】解:由f（x）=cos2x+asinx=﹣2sin2x+asinx+1,令t=sinx,则原函数化为y=﹣2t2+at+1．∵x∈（,）时f（x）为减函数,则y=﹣2t2+at+1在t∈（,1）上为减函数,∵y=﹣2t2+at+1的图象开口向下,且对称轴方程为t=．∴,解得:a≤2．∴a的取值范围是（﹣∞,2]．故答案为:（﹣∞,2]．【点评】本题考查复合函数的单调性,考查了换元法,关键是由换元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位置,是中档题．三、解答题17．（10分）（2014•大纲版）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acosC=2ccosA,tanA=,求B．【分析】由3acosC=2ccosA,利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA,再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC,利用tanB=tan[π﹣（A+B）]=﹣tan（A+B）即可得出．【解答】解:∵3acosC=2ccosA,由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA,∴3tanA=2tanC,∵tanA=,∴2tanC=3×=1,解得tanC=．∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=﹣1,∵B∈（0,π）,∴B=【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于中档题．18．（12分）（2014•大纲版）等差数列{a n}的前n项和为S n．已知a1=10,a2为整数,且S n≤S4．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=,求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）由题意得a4≥0,a5≤0,即10+3d≥0,10+4d≤0,解得d=﹣3,即可写出通项公式；（Ⅱ）利用裂项相消法求数列和即可．【解答】解:（Ⅰ）由a1=10,a2为整数,且S n≤S4得s3≤s4,s5≤s4,即s4﹣s3≥0,s5﹣s4≤0,∴a4≥0,a5≤0,即10+3d≥0,10+4d≤0,解得﹣≤d≤﹣,∴d=﹣3,∴{a n}的通项公式为a n=13﹣3n．（Ⅱ）∵b n==（﹣）=﹣（﹣）,∴T n=b1+b2+…+b n=（﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）=．【点评】本题主要考查数列通项公式及数列和的求法,考查学生对裂项相消求和的能力及运算能力,属中档题．19．（12分）（2014•大纲版）如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D在AC上,∠ACB=90°,BC=1,AC=CC1=2．（Ⅰ）证明:AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为,求二面角A1﹣AB﹣C的大小．【分析】（Ⅰ）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；（Ⅱ）作辅助线可证∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角,解三角形由反三角函数可得．【解答】解:（Ⅰ）∵A1D⊥平面ABC,A1D⊂平面AA1C1C,∴平面AA1C1C⊥平面ABC,又BC⊥AC∴BC⊥平面AA1C1C,连结A1C,由侧面AA1C1C为菱形可得AC1⊥A1C,又AC1⊥BC,A1C∩BC=C,∴AC1⊥平面A1BC,AB1⊂平面A1BC,∴AC1⊥A1B；（Ⅱ）∵BC⊥平面AA1C1C,BC⊂平面BCC1B1,∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1,作A1E⊥CC1,E为垂足,可得A1E⊥平面BCC1B1,又直线AA1∥平面BCC1B1,∴A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离,即A1E=,∵A1C为∠ACC1的平分线,∴A1D=A1E=,作DF⊥AB,F为垂足,连结A1F,又可得AB⊥A1D,A1F∩A1D=A1,∴AB⊥平面A1DF,∵A1F⊂平面A1DF∴A1F⊥AB,∴∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角,由AD==1可知D为AC中点,∴DF==,∴tan∠A1FD==,∴二面角A1﹣AB﹣C的大小为arctan【点评】本题考查二面角的求解,作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键,属中档题．20．（12分）（2014•大纲版）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望．【分析】记A i表示事件:同一工作日乙丙需要使用设备,i=0,1,2,B表示事件:甲需要设备,C表示事件,丁需要设备,D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备（Ⅰ）把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加,即得所求．（Ⅱ）X的可能取值为0,1,2,3,4,分别求出PX i,再利用数学期望公式计算即可．【解答】解:由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为0.6×0.5×0.5×0.4+（1﹣0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1﹣0.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（1﹣0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）=0.31．（Ⅱ）X的可能取值为0,1,2,3,4P（X=0）=（1﹣0.6）×0.52×（1﹣0.4）=0.06P（X=1）=0.6×0.52×（1﹣0.4）+（1﹣0.6）×0.52×0.4+（1﹣0.6）×2×0.52×（1﹣0.4）=0.25P（X=4）=P（A2•B•C）=0.52×0.6×0.4=0.06,P（X=3）=P（D）﹣P（X=4）=0.25,P（X=2）=1﹣P（X=0）﹣P（X=1）﹣P（X=3）﹣P（X=4）=1﹣0.06﹣0.25﹣0.25﹣0.06=0.38．故数学期望EX=0×0.06+1×0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2【点评】本题主要考查了独立事件的概率和数学期望,关键是找到独立的事件,计算要有耐心,属于难题．21．（12分）（2014•大纲版）已知抛物线C:y2=2px（p＞0）的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程．【分析】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0,4）,把点Q的坐标代入抛物线C的方程,求得x0=,根据|QF|=|PQ|求得p的值,可得C的方程．（Ⅱ）设l的方程为x=my+1 （m≠0）,代入抛物线方程化简,利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简,利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB,故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|,由此求得m的值,可得直线l的方程．【解答】解:（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0,4）,把点Q的坐标代入抛物线C:y2=2px （p＞0）,可得x0=,∵点P（0,4）,∴|PQ|=．又|QF|=x0+=+,|QF|=|PQ|,∴+=×,求得p=2,或p=﹣2（舍去）．故C的方程为y2=4x．（Ⅱ）由题意可得,直线l和坐标轴不垂直,y2=4x的焦点F（1,0）,设l的方程为x=my+1（m≠0）,代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0,显然判别式△=16m2+16＞0,y1+y2=4m,y1•y2=﹣4．∴AB的中点坐标为D（2m2+1,2m）,弦长|AB|=|y1﹣y2|==4（m2+1）．又直线l′的斜率为﹣m,∴直线l′的方程为x=﹣y+2m2+3．过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点,把线l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4（2m2+3）=0,∴y3+y4=,y3•y4=﹣4（2m2+3）．故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3,）,∴|MN|=|y3﹣y4|=,∵MN垂直平分线段AB,故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|,∴+DE2=MN2,∴4（m2+1）2 ++=×,化简可得m2﹣1=0,∴m=±1,∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0,或x+y﹣1=0．【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定理、弦长公式的应用,体现了转化的数学思想,属于难题．22．（12分）（2014•大纲版）函数f（x）=ln（x+1）﹣（a＞1）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a1=1,a n+1=ln（a n+1）,证明:＜a n≤．【分析】（Ⅰ）求函数的导数,通过讨论a的取值范围,即可得到f（x）的单调性；（Ⅱ）利用数学归纳法即可证明不等式．【解答】解:（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣1,+∞）,f′（x）=,①当1＜a＜2时,若x∈（﹣1,a2﹣2a）,则f′（x）＞0,此时函数f（x）在（﹣1,a2﹣2a）上是增函数,若x∈（a2﹣2a,0）,则f′（x）＜0,此时函数f（x）在（a2﹣2a,0）上是减函数,若x∈（0,+∞）,则f′（x）＞0,此时函数f（x）在（0,+∞）上是增函数．②当a=2时,f′（x）≥0,此时函数f（x）在（﹣1,+∞）上是增函数,③当a＞2时,若x∈（﹣1,0）,则f′（x）＞0,此时函数f（x）在（﹣1,0）上是增函数,若x∈（0,a2﹣2a）,则f′（x）＜0,此时函数f（x）在（0,a2﹣2a）上是减函数,若x∈（a2﹣2a,+∞）,则f′（x）＞0,此时函数f（x）在（a2﹣2a,+∞）上是增函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）知,当a=2时,此时函数f（x）在（﹣1,+∞）上是增函数,当x∈（0,+∞）时,f（x）＞f（0）=0,即ln（x+1）＞,（x＞0）,又由（Ⅰ）知,当a=3时,f（x）在（0,3）上是减函数,当x∈（0,3）时,f（x）＜f（0）=0,ln（x+1）＜,下面用数学归纳法进行证明＜a n≤成立,①当n=1时,由已知,故结论成立．②假设当n=k时结论成立,即,=ln（a n+1）＞ln（）,则当n=k+1时,a n+1a n+1=ln（a n+1）＜ln（）,即当n=k+1时,成立,综上由①②可知,对任何n∈N•结论都成立．【点评】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系,以及利用数学归纳法证明不等式,综合性较强,难度较大．参与本试卷答题和审题的老师有:sxs123；lincy；caoqz；danbo7801；刘长柏；maths；沂蒙松；whgcn；liu老师（排名不分先后）菁优网2017年3月24日。
2014年全国一卷高考理科数学试卷及答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标I 理科数学第Ⅰ卷 (选择题 共60分）一．选择题:共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={x |2230x x --≥｝，B={x |－2≤x ＜2＝,则A B ⋂=A .［—2，—1]B 。
[-1，2）C .[-1,1］D .[1,2） 2.32(1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C 。
1i -+ D .1i --3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R,且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B 。
|()f x |()g x 是奇函数C .()f x ｜()g x ｜是奇函数D .|()f x ()g x ｜是奇函数4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A .3B 。
3C 。
3mD 。
3m5。
4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C 。
58D 。
786.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M ,将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π］上的图像大致为7。
执行下图的程序框图,若输入的,,a b k 分别为1，2,3,则输出的M =A 。
203 B 。
165 C .72D 。
1588。
设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈,且1sin tan cos βαβ+=，则 A .32παβ-=B .22παβ-=C 。
32παβ+=D .22παβ+=9.不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D 。
2014年全国一卷高考理科数学试卷及答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标I 理科数学第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ⋂=A .[-2,-1]B .[-1,2）C .[-1,1]D .[1,2） 2.32(1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i --3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A .3B .3C .3mD .3m5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C .58D .786.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为7.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203 B .165 C .72 D .1588.设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则 A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=9.不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-， 2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤， 4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A .2p ，3pB .1p ，4pC .1p ，2pD .1p ，3p10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4FP FQ =，则||QF =A .72 B .52C .3D .2 11.已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为 A .（2，+∞） B .（-∞，-2） C .（1，+∞） D .（-∞，-1） 12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A .62B .42C .6D .4第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两个部分。
2014年全国统一高考数学试卷高考理科数学大纲版试卷及参考答案与试题解析
2014年全国统一高考数学试卷高考理科数学大纲版试卷及参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分)1.(5分)设z ＝,则z 的共轭复数为( ) A.－1＋3i B.－1－3i C.1＋3i D.1－3i2.(5分)设集合M ＝{x|x 2－3x －4＜0},N ＝{x|0≤x ≤5},则M ∩N ＝( ) A.(0,4] B.[0,4) C.[－1,0) D.(－1,0]3.(5分)设a ＝sin33°,b ＝cos55°,c ＝tan35°,则( ) A.a ＞b ＞c B.b ＞c ＞a C.c ＞b ＞a D.c ＞a ＞b4.(5分)若向量、满足：||＝1,(＋)⊥,(2＋)⊥,则||＝( )A.2B.C.1D.5.(5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( ) A.60种 B.70种 C.75种 D.150种6.(5分)已知椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1、F 2,离心率为,过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点,若△AF 1B 的周长为4,则C 的方程为( )A.＋＝1B.＋y 2＝1C.＋＝1D.＋＝17.(5分)曲线y ＝xe x －1在点(1,1)处切线的斜率等于( ) A.2e B.e C.2 D.18.(5分)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( )A. B.16π C.9π D.9.(5分)已知双曲线C 的离心率为2,焦点为F 1、F 2,点A 在C 上,若|F 1A|＝2|F 2A|,则cos ∠AF 2F 1＝( )A.B.C.D.10.(5分)等比数列{a n }中,a 4＝2,a 5＝5,则数列{lga n }的前8项和等于( ) A.6 B.5 C.4 D.311.(5分)已知二面角α－l －β为60°,AB ⊂α,AB ⊥l,A 为垂足,CD ⊂β,C ∈l,∠ACD ＝135°,则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为( )A.B.C.D.12.(5分)函数y ＝f(x)的图象与函数y ＝g(x)的图象关于直线x ＋y ＝0对称,则y ＝f(x)的反函数是( )A.y ＝g(x)B.y ＝g(－x)C.y ＝－g(x)D.y ＝－g(－x)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分)13.(5分)的展开式中x2y2的系数为.(用数字作答)14.(5分)设x、y满足约束条件,则z＝x＋4y的最大值为.15.(5分)直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线,若l1与l2的交点为(1,3),则l1与l2的夹角的正切值等于.16.(5分)若函数f(x)＝cos2x＋asinx在区间(,)是减函数,则a的取值范围是.三、解答题17.(10分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acosC＝2ccosA,tanA＝,求B.18.(12分)等差数列{an }的前n项和为Sn,已知a1＝13,a2为整数,且Sn≤S4.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn ＝,求数列{bn}的前n项和Tn.19.(12分)如图,三棱柱ABC－A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D在AC上,∠ACB＝90°,BC＝1,AC＝CC1＝2.(Ⅰ)证明：AC1⊥A1B；(Ⅱ)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为,求二面角A1－AB－C的大小.20.(12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立.(Ⅰ)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(Ⅱ)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.21.(12分)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F,直线y＝4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|＝|PQ|.(Ⅰ)求C的方程；(Ⅱ)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.22.(12分)函数f(x)＝ln(x＋1)－(a＞1). (Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)设a1＝1,an＋1＝ln(an＋1),证明：＜an≤(n∈N*).2014年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题,每小题5分)1.(5分)设z＝,则z的共轭复数为( )A.－1＋3iB.－1－3iC.1＋3iD.1－3i【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简,则z的共轭可求.【解答】解：∵z＝＝,∴.故选：D.【点评】本题考查复数代数形式的除法运算,考查了复数的基本概念,是基础题.2.(5分)设集合M＝{x|x2－3x－4＜0},N＝{x|0≤x≤5},则M∩N＝( )A.(0,4]B.[0,4)C.[－1,0)D.(－1,0]【分析】求解一元二次不等式化简集合M,然后直接利用交集运算求解.【解答】解：由x2－3x－4＜0,得－1＜x＜4.∴M＝{x|x2－3x－4＜0}＝{x|－1＜x＜4},又N＝{x|0≤x≤5},∴M∩N＝{x|－1＜x＜4}∩{x|0≤x≤5}＝[0,4).故选：B.【点评】本题考查了交集及其运算,考查了一元二次不等式的解法,是基础题.3.(5分)设a＝sin33°,b＝cos55°,c＝tan35°,则( )A.a＞b＞cB.b＞c＞aC.c＞b＞aD.c＞a＞b【分析】可得b＝sin35°,易得b＞a,c＝tan35°＝＞sin35°,综合可得.【解答】解：由诱导公式可得b＝cos55°＝cos(90°－35°)＝sin35°,由正弦函数的单调性可知b＞a,而c＝tan35°＝＞sin35°＝b,∴c＞b＞a故选：C.【点评】本题考查三角函数值大小的比较,涉及诱导公式和三角函数的单调性,属基础题.4.(5分)若向量、满足：||＝1,(＋)⊥,(2＋)⊥,则||＝( )A.2B.C.1D.【分析】由条件利用两个向量垂直的性质,可得(＋)•＝0,(2＋)•＝0,由此求得||.【解答】解：由题意可得,(＋)•＝＋＝1＋＝0,∴＝－1；(2＋)•＝2＋＝－2＋＝0,∴b2＝2,则||＝,故选：B.【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质,两个向量垂直,则它们的数量积等于零,属于基础题.5.(5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( )A.60种B.70种C.75种D.150种【分析】根据题意,分2步分析,先从6名男医生中选2人,再从5名女医生中选出1人,由组合数公式依次求出每一步的情况数目,由分步计数原理计算可得答案.【解答】解：根据题意,先从6名男医生中选2人,有C62＝15种选法,再从5名女医生中选出1人,有C51＝5种选法,则不同的选法共有15×5＝75种；故选：C.【点评】本题考查分步计数原理的应用,注意区分排列、组合的不同.6.(5分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点,若△AF1B的周长为4,则C的方程为( )A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D.＋＝1【分析】利用△AF1B的周长为4,求出a＝,根据离心率为,可得c＝1,求出b,即可得出椭圆的方程.【解答】解：∵△AF1B的周长为4,∵△AF1B的周长＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝2a＋2a＝4a,∴4a＝4,∴a＝,∵离心率为,∴,c＝1,∴b ＝＝,∴椭圆C 的方程为＋＝1.故选：A.【点评】本题考查椭圆的定义与方程,考查椭圆的几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题.7.(5分)曲线y ＝xe x －1在点(1,1)处切线的斜率等于( ) A.2e B.e C.2 D.1【分析】求函数的导数,利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率. 【解答】解：函数的导数为f′(x)＝e x －1＋xe x －1＝(1＋x)e x －1, 当x ＝1时,f′(1)＝2,即曲线y ＝xe x －1在点(1,1)处切线的斜率k ＝f′(1)＝2, 故选：C.【点评】本题主要考查导数的几何意义,直接求函数的导数是解决本题的关键,比较基础.8.(5分)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( )A. B.16π C.9π D.【分析】正四棱锥P －ABCD 的外接球的球心在它的高PO 1上,记为O,求出PO 1,OO 1,解出球的半径,求出球的表面积.【解答】解：设球的半径为R,则 ∵棱锥的高为4,底面边长为2, ∴R 2＝(4－R)2＋()2,∴R ＝,∴球的表面积为4π•()2＝.故选：A.【点评】本题考查球的表面积,球的内接几何体问题,考查计算能力,是基础题.9.(5分)已知双曲线C 的离心率为2,焦点为F 1、F 2,点A 在C 上,若|F 1A|＝2|F 2A|,则cos ∠AF 2F 1＝( )A. B. C. D.【分析】根据双曲线的定义,以及余弦定理建立方程关系即可得到结论. 【解答】解：∵双曲线C的离心率为2,∴e＝,即c＝2a,点A在双曲线上,则|F1A|－|F2A|＝2a,又|F1A|＝2|F2A|,∴解得|F1A|＝4a,|F2A|＝2a,||F1F2|＝2c,则由余弦定理得cos∠AF2F1＝＝＝.故选：A.【点评】本题主要考查双曲线的定义和运算,利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键,考查学生的计算能力.10.(5分)等比数列{an }中,a4＝2,a5＝5,则数列{lgan}的前8项和等于( )A.6B.5C.4D.3【分析】利用等比数列的性质可得a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝10.再利用对数的运算性质即可得出.【解答】解：∵数列{an }是等比数列,a4＝2,a5＝5,∴a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝10.∴lga1＋lga2＋…＋lga8＝lg(a1a2•…•a8)＝4lg10＝4.故选：C.【点评】本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质,属于基础题.11.(5分)已知二面角α－l－β为60°,AB⊂α,AB⊥l,A为垂足,CD⊂β,C∈l,∠ACD＝135°,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为( )A. B. C. D.【分析】首先作出二面角的平面角,然后再构造出异面直线AB与CD所成角,利用解直角三角形和余弦定理,求出问题的答案.【解答】解：如图,过A点做AE⊥l,使BE⊥β,垂足为E,过点A做AF∥CD,过点E做EF⊥AE,连接BF,∵AE⊥l∴∠EAC＝90°∵CD∥AF又∠ACD＝135°∴∠FAC＝45°∴∠EAF＝45°在Rt△BEA中,设AE＝a,则AB＝2a,BE＝a,在Rt△AEF中,则EF＝a,AF＝a,在Rt△BEF中,则BF＝2a,∴异面直线AB与CD所成的角即是∠BAF,∴cos∠BAF＝＝＝.故选：B.【点评】本题主要考查了二面角和异面直线所成的角,关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角,考查了学生的空间想象能力和作图能力,属于难题.12.(5分)函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象关于直线x＋y＝0对称,则y＝f(x)的反函数是( )A.y＝g(x)B.y＝g(－x)C.y＝－g(x)D.y＝－g(－x)【分析】设P(x,y)为y＝f(x)的反函数图象上的任意一点,则P关于y＝x的对称点P′(y,x)一点在y＝f(x)的图象上,P′(y,x)关于直线x＋y＝0的对称点P″(－x,－y)在y＝g(x)图象上,代入解析式变形可得.【解答】解：设P(x,y)为y＝f(x)的反函数图象上的任意一点,则P关于y＝x的对称点P′(y,x)一点在y＝f(x)的图象上,又∵函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象关于直线x＋y＝0对称,∴P′(y,x)关于直线x＋y＝0的对称点P″(－x,－y)在y＝g(x)图象上,∴必有－y＝g(－x),即y＝－g(－x)∴y＝f(x)的反函数为：y＝－g(－x)故选：D.【点评】本题考查反函数的性质和对称性,属中档题.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分)13.(5分)的展开式中x2y2的系数为70 .(用数字作答)【分析】先求出二项式展开式的通项公式,再令x、y的幂指数都等于2,求得r的值,即可求得展开式中x2y2的系数.【解答】解：的展开式的通项公式为 Tr＋1＝•(－1)r••＝•(－1)r••,令 8－＝－4＝2,求得 r＝4,故展开式中x2y2的系数为＝70,故答案为：70.【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中档题.14.(5分)设x、y满足约束条件,则z＝x＋4y的最大值为 5 .【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,由图得到最优解,联立方程组求出最优解的坐标,代入目标函数得答案.【解答】解：由约束条件作出可行域如图,联立,解得C(1,1).化目标函数z＝x＋4y为直线方程的斜截式,得.由图可知,当直线过C点时,直线在y轴上的截距最大,z最大.此时zmax＝1＋4×1＝5.故答案为：5.【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.15.(5分)直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线,若l1与l2的交点为(1,3),则l1与l2的夹角的正切值等于.【分析】设l1与l2的夹角为2θ,由于l1与l2的交点A(1,3)在圆的外部,由直角三角形中的边角关系求得sinθ＝的值,可得cosθ、tanθ 的值,再根据tan2θ＝,计算求得结果.【解答】解：设l1与l2的夹角为2θ,由于l1与l2的交点A(1,3)在圆的外部,且点A与圆心O之间的距离为OA＝＝,圆的半径为r＝,∴sinθ＝＝,∴cosθ＝,tanθ＝＝,∴tan2θ＝＝＝,故答案为：.【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质,直角三角形中的变角关系,同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用,属于中档题.16.(5分)若函数f(x)＝cos2x＋asinx在区间(,)是减函数,则a的取值范围是(－∞,2] .【分析】利用二倍角的余弦公式化为正弦,然后令t＝sinx换元,根据给出的x的范围求出t 的范围,结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解a的范围.【解答】解：由f(x)＝cos2x＋asinx＝－2sin2x＋asinx＋1,令t＝sinx,则原函数化为y＝－2t2＋at＋1.∵x∈(,)时f(x)为减函数,则y＝－2t2＋at＋1在t∈(,1)上为减函数,∵y＝－2t2＋at＋1的图象开口向下,且对称轴方程为t＝.∴,解得：a≤2.∴a的取值范围是(－∞,2].故答案为：(－∞,2].【点评】本题考查复合函数的单调性,考查了换元法,关键是由换元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位置,是中档题.三、解答题17.(10分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acosC＝2ccosA,tanA＝,求B.【分析】由3acosC＝2ccosA,利用正弦定理可得3sinAcosC＝2sinCcosA,再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC,利用tanB＝tan[π－(A＋C)]＝－tan(A＋C)即可得出.【解答】解：∵3acosC＝2ccosA,由正弦定理可得3sinAcosC＝2sinCcosA,∴3tanA＝2tanC,∵tanA＝,∴2tanC＝3×＝1,解得tanC＝.∴tanB＝tan[π－(A＋C)]＝－tan(A＋C)＝－＝－＝－1,∵B∈(0,π),∴B＝【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于中档题.18.(12分)等差数列{an }的前n项和为Sn,已知a1＝13,a2为整数,且Sn≤S4.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn ＝,求数列{bn}的前n项和Tn.【分析】(1)通过Sn ≤S4得a4≥0,a5≤0,利用a1＝13、a2为整数可得d＝－4,进而可得结论；(2)通过an ＝13－3n,分离分母可得bn＝(－),并项相加即可.【解答】解：(1)在等差数列{an }中,由Sn≤S4得：a 4≥0,a5≤0,又∵a1＝13,∴,解得－≤d≤－,∵a2为整数,∴d＝－4,∴{an }的通项为：an＝17－4n；(2)∵an＝17－4n,∴bn＝＝＝－(－),于是Tn ＝b1＋b2＋……＋bn＝－[(－)＋(－)＋……＋(－)]＝－(－)＝.【点评】本题考查求数列的通项及求和,考查并项相加法,注意解题方法的积累,属于中档题.19.(12分)如图,三棱柱ABC－A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D在AC上,∠ACB＝90°,BC＝1,AC＝CC1＝2.(Ⅰ)证明：AC1⊥A1B；(Ⅱ)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为,求二面角A1－AB－C的大小.【分析】(Ⅰ)由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；(Ⅱ)作辅助线可证∠A1FD为二面角A1－AB－C的平面角,解三角形由反三角函数可得.【解答】解：(Ⅰ)∵A1D⊥平面ABC,A1D⊂平面AA1C1C,∴平面AA1C1C⊥平面ABC,又BC⊥AC∴BC⊥平面AA1C1C,连结A1C,由侧面AA1C1C为菱形可得AC1⊥A1C,又AC1⊥BC,A1C∩BC＝C,∴AC1⊥平面A1BC,AB1⊂平面A1BC,∴AC1⊥A1B；(Ⅱ)∵BC⊥平面AA1C1C,BC⊂平面BCC1B1,∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1,作A1E⊥CC1,E为垂足,可得A1E⊥平面BCC1B1,又直线AA1∥平面BCC1B1,∴A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离,即A1E＝,∵A1C为∠ACC1的平分线,∴A1D＝A1E＝,作DF⊥AB,F为垂足,连结A1F,又可得AB⊥A1D,A1F∩A1D＝A1,∴AB⊥平面A1DF,∵A1F⊂平面A1DF∴A1F⊥AB,∴∠A1FD为二面角A1－AB－C的平面角,由AD＝＝1可知D为AC中点,∴DF＝＝,∴tan∠AFD＝＝,1－AB－C的大小为arctan∴二面角A1【点评】本题考查二面角的求解,作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键,属中档题.20.(12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立.(Ⅰ)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(Ⅱ)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.表示事件：同一工作日乙丙需要使用设备,i＝0,1,2,B表示事件：甲需要设备,C 【分析】记Ai表示事件,丁需要设备,D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备(Ⅰ)把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加,即得所求.,再利用数学期望公式计算即可.(Ⅱ)X的可能取值为0,1,2,3,4,分别求出PXi【解答】解：由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为0.6×0.5×0.5×0.4＋(1－0.6)×0.5×0.5×0.4＋0.6×(1－0.5)×0.5×0.4＋0.6×0.5×(1－0.5)×0.4＋0.6×0.5×0.5×(1－0.4)＝0.31.(Ⅱ)X的可能取值为0,1,2,3,4P(X＝0)＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)＝0.06P(X＝1)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25•B•C)＝0.52×0.6×0.4＝0.06,P(X＝4)＝P(A2P(X＝3)＝P(D)－P(X＝4)＝0.25,P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38. 故数学期望EX＝0×0.06＋1×0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2【点评】本题主要考查了独立事件的概率和数学期望,关键是找到独立的事件,计算要有耐心,属于难题.21.(12分)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F,直线y＝4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|＝|PQ|.(Ⅰ)求C的方程；(Ⅱ)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.【分析】(Ⅰ)设点Q的坐标为(x0,4),把点Q的坐标代入抛物线C的方程,求得x＝,根据|QF|＝|PQ|求得 p的值,可得C的方程.(Ⅱ)设l的方程为 x＝my＋1 (m≠0),代入抛物线方程化简,利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|.把直线l′的方程代入抛物线方程化简,利用韦达定理、弦长公式求得|MN|.由于MN垂直平分线段AB,故AMBN四点共圆等价于|AE|＝|BE|＝|MN|,由此求得m的值,可得直线l的方程.【解答】解：(Ⅰ)设点Q的坐标为(x,4),把点Q的坐标代入抛物线C：y2＝2px(p＞0),可得x＝,∵点P(0,4),∴|PQ|＝.又|QF|＝x＋＝＋,|QF|＝|PQ|,∴＋＝×,求得 p＝2,或 p＝－2(舍去).故C的方程为 y2＝4x.(Ⅱ)由题意可得,直线l和坐标轴不垂直,y2＝4x的焦点F(1,0),设l的方程为 x＝my＋1(m≠0),代入抛物线方程可得y2－4my－4＝0,显然判别式△＝16m2＋16＞0,y1＋y2＝4m,y1•y2＝－4.∴AB的中点坐标为D(2m2＋1,2m),弦长|AB|＝|y1－y2|＝＝4(m2＋1).又直线l′的斜率为－m,∴直线l′的方程为 x＝－y＋2m2＋3.过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点,把线l′的方程代入抛物线方程可得 y2＋y－4(2m2＋3)＝0,∴y3＋y4＝,y3•y4＝－4(2m2＋3).故线段MN的中点E的坐标为(＋2m2＋3,),∴|MN|＝|y3－y4|＝,∵MN垂直平分线段AB,故AMBN四点共圆等价于|AE|＝|BE|＝|MN|,∴＋DE2＝MN2,∴4(m2＋1)2 ＋＋＝×,化简可得 m2－1＝0,∴m＝±1,∴直线l的方程为 x－y－1＝0,或 x＋y－1＝0.【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定理、弦长公式的应用,体现了转化的数学思想,属于难题.22.(12分)函数f(x)＝ln(x＋1)－(a＞1).(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)设a1＝1,an＋1＝ln(an＋1),证明：＜an≤(n∈N*).【分析】(Ⅰ)求函数的导数,通过讨论a的取值范围,即可得到f(x)的单调性；(Ⅱ)利用数学归纳法即可证明不等式.【解答】解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(－1,＋∞),f′(x)＝,①当1＜a＜2时,若x∈(－1,a2－2a),则f′(x)＞0,此时函数f(x)在(－1,a2－2a)上是增函数,若x∈(a2－2a,0),则f′(x)＜0,此时函数f(x)在(a2－2a,0)上是减函数,若x∈(0,＋∞),则f′(x)＞0,此时函数f(x)在(0,＋∞)上是增函数.②当a＝2时,f′(x)≥0,此时函数f(x)在(－1,＋∞)上是增函数,③当a＞2时,若x∈(－1,0),则f′(x)＞0,此时函数f(x)在(－1,0)上是增函数,若x∈(0,a2－2a),则f′(x)＜0,此时函数f(x)在(0,a2－2a)上是减函数,若x∈(a2－2a,＋∞),则f′(x)＞0,此时函数f(x)在(a2－2a,＋∞)上是增函数.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a＝2时,此时函数f(x)在(－1,＋∞)上是增函数,当x∈(0,＋∞)时,f(x)＞f(0)＝0,即ln(x＋1)＞,(x＞0),又由(Ⅰ)知,当a＝3时,f(x)在(0,3)上是减函数,当x∈(0,3)时,f(x)＜f(0)＝0,ln(x＋1)＜,下面用数学归纳法进行证明＜an≤成立,①当n＝1时,由已知,故结论成立.②假设当n＝k时结论成立,即,则当n＝k＋1时,an＋1＝ln(an＋1)＞ln(),ak＋1＝ln(ak＋1)＜ln(),即当n＝k＋1时,成立,综上由①②可知,对任何n∈N•结论都成立.【点评】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系,以及利用数学归纳法证明不等式,综合性较强,难度较大.。
2014年全国一卷高考理科数学试卷及答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标I 理科数学第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ⋂=A .[-2,-1]B .[-1,2）C .[-1,1]D .[1,2） 2.32(1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i --3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A .3B .3C .3mD .3m5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C .58D .786.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为7.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203 B .165 C .72D .1588.设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则 A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=9.不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-， 2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤， 4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A .2p ，3pB .1p ，4pC .1p ，2pD .1p ，3p10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4FP FQ =，则||QF =A .72 B .52C .3D .2 11.已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A .62B .42C .6D .4第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两个部分。
2014年高考全国Ⅰ理科数学试题及答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2014年全国Ⅰ，理1，5分】已知集合{}2230A x x x =--≥，{}22B x x =-≤<，则A B =（ ）（A ）[]2,1-- （B ）[)1,2- （C ）[]1,1- （D ）[)1,2 【答案】A【解析】∵{}{}223013A x x x x x x =--≥=≤-≥或，{}22B x x =-≤<，∴{}21AB x x =-≤≤-，故选A ．（2）【2014年全国Ⅰ，理2，5分】()()321i 1i +=-（ ）（A ）1i + （B ）1i - （C ）1i -+ （D ）1i -- 【答案】D【解析】∵32(1i)2i(1i)1i (1i)2i++==----，故选D ． （3）【2014年全国Ⅰ，理3，5分】设函数()f x ，()g x 的定义域为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函 数，则下列结论中正确的是（ ）（A ）()()f x g x 是偶函数 （B ）()()f x g x 是奇函数 （C ）()|()|f x g x 是奇函数 （D ）|()()|f x g x 是奇函数 【答案】C【解析】∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴()f x 为偶函数，()g x 为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得()|()|f x g x 为奇函数，故选C ．（4）【2014年全国Ⅰ，理4，5分】已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ）（A （B ）3 （C （D ）3m 【答案】A【解析】由C ：223(0)x my m m -=>，得22133x y m -=，233,c m c =+)F ，一条渐近线y =，即0x =，则点F 到C 的一条渐近线的距离d =，故选A ．（5）【2014年全国Ⅰ，理5，5分】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（ ）（A ）18 （B ）38 （C ）58（D ）78【答案】D【解析】由题知()1F ，)2F 且220012x y -=，所以())120000,,MF MF x y x y ⋅=-⋅-2220003310x y y =+-=-<，解得0y <<，故选D ． （6）【2014年全国Ⅰ，理6，5分】如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上的图像大致为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】B【解析】如图：过M 作MD OP ⊥于D ，则sin PM x =，cos OM x =,在Rt OMP ∆中，cos sin 1cos sin sin 212x x OM PM MD x x x OP ⋅⋅===⋅=，∴()1sin 2(0)2f x x x π=≤≤，故选B ． （7）【2014年全国Ⅰ，理7，5分】执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =（ ）（A ）203（B ）165 （C ）72 （D ）158【答案】D【解析】输入1,2,3a b k ===；1n =时：1331,2,222M a b =+===；2n =时：28382,,3323M a b =+===；3n =时：3315815,,28838M a b =+===；4n =时：输出158M =，故选D ．（8）【2014年全国Ⅰ，理8，5分】设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则（ ）（A ）32παβ-= （B ）22παβ-=（C ）32παβ+=（D ）22παβ+=【答案】B 【解析】∵sin 1sin tan cos cos αβααβ+==，∴sin cos cos cos sin αβααβ=+，()sin cos sin 2παβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，,02222ππππαβα-<-<<-<，∴2παβα-=-，即22παβ-=，故选B ．（9）【2014年全国Ⅰ，理9，5分】不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D ．有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥,3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-．其中真命题是（ ）（A ）2p ，3p （B ）1p ，4p （C ）1p ，2p （D ）1p ，3p 【答案】C【解析】作出可行域如图：设2x y z +=，即122zy x =-+，当直线过()2,1A -时，min 220z =-+=，∴0z ≥，∴命题1p 、2p 真命题，故选C ． （10）【2014年全国Ⅰ，理10，5分】已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =（ ）（A ）72 （B ）52（C ）3 （D ）2【答案】C【解析】过Q 作QM l ⊥于M ，∵4FP FQ =，∴34PQ PF =，又344QM PQ PF ==，∴3QM =， 由抛物线定义知3QF QM ==，故选C ．（11）【2014年全国Ⅰ，理11，5分】已知函数()3231f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >， 则a 的取值范围为（ ）（A ）()2,+∞ （B ）(),2-∞- （C ）()1,+∞ （D ）(),1-∞-【答案】B【解析】解法一：由已知0a ≠，2()36f x ax x '=-，令()0f x '=，得0x =或2x a=， 当0a >时，()22,0,()0;0,,()0;,,()0x f x x f x x f x a a ⎛⎫⎛⎫'''∈-∞>∈<∈+∞> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；且(0)10f =>，()f x 有小于零的零点，不符合题意．当0a <时，()22,,()0;,0,()0;0,,()0x f x x f x x f x a a ⎛⎫⎛⎫'''∈-∞<∈>∈+∞< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭要使()f x 有唯一的零点0x 且00x >，只需2()0f a>，即24a >，2a <-，故选B ．解法二：由已知0a ≠，()3231f x ax x =-+有唯一的正零点，等价于3113a x x =⋅-有唯一的正零根，令1t x=，则问题又等价于33a t t =-+有唯一的正零根，即y a =与33y t t =-+有唯一的交点且交点在在y 轴右侧记3()3f t t t =-+，2()33f t t '=-+，由()0f t '=，1t =±，()(),1,()0;1,1,()0;t f t t f t ''∈-∞-<∈->， ()1,,()0t f t '∈+∞<，要使33a t t =-+有唯一的正零根，只需(1)2a f <-=-，故选B ．（12）【2014年全国Ⅰ，理12，5分】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（ ）（A ） （B ） （C ）6 （D ）4 【答案】C【解析】如图所示，原几何体为三棱锥D ABC -，其中4,AB BC AC DB DC =====6DA ==，故最长的棱的长度为6DA =，故选C ．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 （13）【2014年全国Ⅰ，理13，5分】8()()x y x y -+的展开式中22x y 的系数为 ．（用数字填写答案） 【答案】20-【解析】8()x y +展开式的通项为818(0,1,,8)r r r r T C x y r -+==，∴777888T C xy xy ==，626267828T C x y x y ==， ∴8()()x y x y -+的展开式中27x y 的项为7262782820x xy y x y x y ⋅-⋅=-，故系数为20-．（14）【2014年全国Ⅰ，理14，5分】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为 ． 【答案】A【解析】由乙说：我没去过C 城市，则乙可能去过A 城市或B 城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A ，B 中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A ．（15）【2014年全国Ⅰ，理15，5分】已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 ． 【答案】090【解析】∵1()2AO AB AC =+，∴O 为线段BC 中点，故BC 为O 的直径，∴090BAC ∠=，∴AB 与AC 的夹角为090．（16）【2014年全国Ⅰ，理16，5分】已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，2a =，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 ．【解析】由2a =且 (2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，即()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，由及正弦定理得：()()()a b a b c b c +-=-，∴222b c a bc +-=，故2221c o s 22b c a A bc +-==，∴060A ∠=，∴224b c bc +-=，224b c bc bc =+-≥，∴1sin 2ABC S bc A ∆=≤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）【2014年全国Ⅰ，理17，12分】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数．（1）证明：2n n a a λ+-=；（2）是否存在λ，使得{}n a 为等差数列？并说明理由．解：（1）由题设11n n n a a S λ+=-，1211n n n a a S λ+++=-，两式相减()121n n n n a a a a λ+++-=，由于0n a ≠，所以2n n a a λ+-=．……6分（2）由题设11a =，1211a a S λ=-，可得211a λ=-，由（1）知31a λ=+假设{}n a 为等差数列，则123,,a a a 成等差数列，∴1322a a a +=，解得4λ=；证明4λ=时，{}n a 为等差数列：由24n n a a +-=知：数列奇数项构成的数列{}21m a -是首项为1，公差为 4的等差数列2143m a m -=-，令21,n m =-则12n m +=，∴21n a n =-(21)n m =- 数列偶数项构成的数列{}2m a 是首项为3，公差为4的等差数列241m a m =-，令2,n m =则2n m =， ∴21n a n =-(2)n m =，∴21n a n =-（*n N ∈），12n n a a +-=因此，存在存在4λ=，使得{}n a 为等差数列． ……12分（18）【2014年全国Ⅰ，理18，12分】从某企业的某种产品中抽取500件，测 量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2δ近似为样本方差2s ． （i ）利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<； （ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示100件产品中质量指标值为区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i ）的结果，求EX ．12.2．若2(,)ZN μδ，则()0.6826P Z μδμδ-<<+=，(22)P Z μδμδ-<<+=0.9544．解：（1）抽取产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s 分别为：()()()()()()2222222300.02200.09100.2200.33100.24200.08300.02150s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．……6分 （2）（ⅰ）由（1）知(200,150)Z N ，从而(187.8212.2)P Z <<=(20012.220012.2)0.6826P Z -<<+=． ……9分 （ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为0.6826依题意知(100,0.6826)X B ，所以1000.682668.26EX =⨯=． ……12分 （19）【2014年全国Ⅰ，理19，12分】如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥． （1）证明：1AC AB =；（2）若1AC AB ⊥，o 160CBB ∠=，AB BC =，求二面角111A A B C --的余弦值． 解：（1）连结1BC ，交1B C 于O ，连结AO ．因为侧面11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥，且O 为1B C 与1BC 的中点．又1AB B C ⊥，所以1B C ⊥平面ABO ，故1B C AO⊥又 1B O CO =，故1AC AB =． ……6分 （2）因为1AC AB ⊥且O 为1B C 的中点，所以AO CO =，又因为AB BC =，所以BOA BOC ∆≅∆，故OA OB ⊥，从而OA ，OB ，1OB 两两互相垂直． 以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，OB 为单位长，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -． 因为0160CBB ∠=，所以1CBB ∆为等边三角形．又AB BC =，则0,0,A ⎛ ⎝⎭，()1,0,0B ，1B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，0,C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1AB ⎛= ⎝⎭，111,0,A B AB ⎛== ⎝⎭，111,B C BC ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，设(),,n x y z =是平面的法向量，则11100nAB nA B ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即00y x -=⎨⎪-=⎪⎩所以可取(1,3,n =，设m 是平面的法向量，则11110m A B n B C ⎧=⎪⎨=⎪⎩，同理可取(1,m =，则1cos ,7n m n m n m ==，所以二面角111A A B C --的余弦值为17． ……12分（20）【2014年全国Ⅰ，理20，12分】已知点()0,2A -，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>，F 是椭圆的焦点，直线AF O 为坐标原点．（1）求E 的方程；（2）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程．解：（1）设(),0F c，由条件知2c=，得c c a =， 所以2a =，2221b a c =-=，故E 的方程2214x y +=． ……6分（2）依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线l ：2y kx =-，设()()1122,,,P x y Q x y ，将2y kx =-代入2214x y +=， 得()221416120k x kx +-+=，当216(43)0k ∆=->，即234k >时，1,2x = 从而21221434k PQ x k -=-=，又点O到直线PQ的距离d =，所以OPQ ∆的 面积12OPQ S d PQ ∆==，设243k t -，则0t >，244144OPQ t S t t t∆==≤++， 当且仅当2t =，k =等号成立，且满足0∆>，所以当OPQ ∆的面积最大时，l 的方程为：2y x - 或2y =-．.……12分 （21）【2014年全国Ⅰ，理21，12分】设函数()1ln x xbe f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线为(1)2y e x =-+． （1）求,a b ；（2）证明：()1f x >．解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，112()ln x x x x a b bf x ae x e e e x x x--'=+-+由题意可得(1)2,(1)f f e '==，故1,2a b ==． ……6分 （2）由（1）知，12()ln x xe f x e x x -=+，从而()1f x >等价于2ln x x x xe e ->-，设函数()ln g x x x =，则()ln g x x x '=+，所以当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，故()g x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭单调减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，从而()g x 在()0,+∞的最小值为11()g e e =-． (8)分设函数2()x h x xe e-=-，则()()1xh x e x -'=-，所以当()0,1x ∈时，()0h x '>，当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，故()h x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，从而()h x ()g x 在()0,+∞的最小值为1(1)h e=-．综上：当0x >时，()()g x h x >，即()1f x > .……12分请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． （22）【2014年全国Ⅰ，理22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB CE =． （1）证明：D E ∠=∠；（2）设AD 不是O 的直径，AD 的中点为M ，且MB MC =，证明：ABC ∆为等边三角形． 解：（1）由题设得，A ，B ，C ，D 四点共圆，所以，D CBE ∠=∠又CB CE =，CBE E ∴∠=∠，所以D E ∠=∠ ……5分（2）设BC 的中点为N ，连结MN ，则由MB MC =知MN BC ⊥，故O 在直线MN 上，又AD 不是O 的直径，M 为AD 的中点，故OM AD ⊥，即MN AD ⊥， 所以//AD BC ，故A CBE ∠=∠，又CBE E ∠=∠，故A E ∠=∠，由（1）知，D E ∠=∠，所以ADE ∆为等边三角形． ……10分（23）【2014年全国Ⅰ，理23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线22:149x y C +=，直线2:22x tl y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）．（1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值． 解：（1）曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）直线l 的普通方程为260x y +-=．……5分（2）曲线C 上任意一点(2cos ,3sin )P θθ到l 的距离为4cos 3sin 6|d θθ=+-，则||5sin()6|sin30d PA θα==+-，其中α为锐角，且4tan 3α=，当sin()1θα+=-时，||PA当sin()1θα+=时，||PA ． ……10分（24）【2014年全国Ⅰ，理24，10分】（选修4-5：不等式选讲）若0a >，0b >且 11a b+=．（1）求33a b +的最小值；（2）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由．解：（111a b +，得2ab ≥，且当a b ==时等号成立．故33a b +≥，且当a b ==时等号成立，所以33a b +的最小值为 ……5分（2）由（1）知，23a b +≥，由于6，从而不存在,a b ，使得236a b +=． ……10分。
2014年高考全国Ⅰ卷理科数学试题(含答案解析)
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至6页。
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4．考试结束后．将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
（1）已知集合A ={x |2230x x --≥}，B ={x |−2≤x ＜2}，则A∩B =（A ）[−2, −1]（B ）[−1, 2）（C ）[−1, 1]（D ）[1, 2）（2）32(1)(1)i i +-= （A ）1i +（B ）1i -（C ）1i -+（D ）1i --（3）设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（A ）()f x ()g x 是偶函数 （B ）|()f x |()g x 是奇函数 （C ）()f x |()g x |是奇函数（D ）|()f x ()g x |是奇函数（4）已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（A （B ）3 （C （D ）3m（5）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（A ）18（B ）38（C ）58（D ）78（6）如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线， 垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为（A ） （B ）（C ） （D ）（7）执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1, 2, 3，则输出的M = （A ）203（B ）165 （C ）72（D ）158（8）设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则（A ）32παβ-= （B ）32παβ+= （C ）22παβ-=（D ）22παβ+=（9）不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-. 其中真命题是（A ）2p ，p 3 （B ）1p ，4p （C ）1p ，2p（D ）1p ，p 310．已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4FP FQ =，则||QF = （A ）72（B ）52（C ）3 （D ）211．已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为（A ）（2，+∞） （B ）（−∞，−2） （C ）（1，+∞）（D ）（−∞，−1）12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为 （A ）62 （B ）42 （C ）6 （D ）4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)参考答案与试题解析
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.23．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）解答：解：∵|+|=，|﹣|=，∴分别平方得+2•+=10，﹣2•+=6，两式相减得4•=10﹣6=4，即•=1，故选：A．4．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）．C解答：解：∵钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，∴S=acsinB=，即sinB=，当B为钝角时，cosB=﹣=﹣，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=，当B为锐角时，cosB==，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，则AC=．故选：B．5．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．解答：解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故选：C．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）解答：解：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D．解答：解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=3．故答案选D．9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即C（5，2）代入目标函数z=2x﹣y，得z=2×5﹣2=8．故选：B．10．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，．B．C．D．解答：解：由y2=3x，得2p=3，p=，则F（）．∴过A，B的直线方程为y=，即．联立，得．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．∴==．故选：D．11．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，．B．C．D．解答：解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC 的中点为O，连结ON，，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，∵BC=CA=CC1，设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===，在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO===．故选：C．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，解答：解：由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈z，即x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4．求得m＞2，或m＜﹣2，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．解答：解：（x+a）10的展开式的通项公式为T r+1=•x10﹣r•a r，令10﹣r=7，求得r=3，可得x7的系数为a3•=120a3=15，∴a=，故答案为：．14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为1．取值范围是（﹣1，3）．16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1]．∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．解答：证明（Ⅰ）==3，∵≠0，∴数列{a n+}是以首项为，公比为3的等比数列；∴a n+==，即；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当n≥2时，∵3n﹣1＞3n﹣3n﹣1，∴＜=，∴当n=1时，成立，当n≥2时，++…+＜1+…+==＜．∴对n∈N+时，++…+＜．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD 的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．解答：（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，（2分）EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）（Ⅱ）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥平面AMD，二面角D﹣AE﹣C为60°，∴∠CMD=60°，∵AP=1，AD=，∠ADP=30°，∴PD=2，E为PD的中点．AE=1，∴DM=，CD==．三棱锥E﹣ACD的体积为：==．19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．解：（Ⅰ）由题意，=（1+2+3+4+5+6+7）=4，=（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）答：=4.3，∴===0.5，=﹣=4.3﹣0.5×4=2.3．∴y关于t的线性回归方程为=0.5t+2.3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3，得：=0.5×9+2.3=6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；解答：解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2+﹣a2=0，则，即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2（舍去），即e=．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位线，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．解答：解：（Ⅰ）由f（x）得f'（x）=e x+e﹣x﹣2，即f'（x）≥0，当且仅当e x=e﹣x即x=0时，f'（x）=0，∴函数f（x）在R上为增函数．（Ⅱ）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，则g'（x）=2[e2x+e﹣2x﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣2）]=2[（e x+e﹣x）2﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣4）]=2（e x+e﹣x﹣2）（e x+e﹣x﹣2b+2）．①∵e x+e﹣x≥2，e x+e﹣x+2≥4，∴当2b≤4，即b≤2时，g'（x）≥0，当且仅当x=0时取等号，从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0，∴x＞0时，g（x）＞0，符合题意．②当b＞2时，若x满足2＜e x+e﹣x＜2b﹣2即时，g'（x）＜0，又由g（0）=0知，当时，g（x）＜0，不符合题意．综合①、②知，b≤2，得b的最大值为2．（Ⅲ）∵1.4142＜＜1.4143，根据（Ⅱ）中g（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b ﹣4）x，为了凑配ln2，并利用的近似值，故将ln即代入g（x）的解析式中，得．当b=2时，由g（x）＞0，得，从而；令，得＞2，当时，由g（x）＜0，得，得．所以ln2的近似值为0.693．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程ρ=2cosθ，θ∈[0，]．（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标．解答：解：（Ⅰ）半圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，x∈[0，2]、y∈[0，1]．令x﹣1=cosα∈[﹣1，1]，y=sinα，α∈[0，π]．故半圆C的参数方程为，α∈[0，π]．（Ⅱ）由于点D在C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，∴直线CD和直线l平行，故直线CD和直线l斜率相等．设点D的坐标为（1+cosα，sinα），∵C（1，0），∴=，解得tanα=，即α=，故点D的坐标为（，）．六、解答题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2 =2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．。
2014年全国一卷高考理科数学试卷及答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标I 理科数学第♊卷 （选择题 共 分） 一．选择题：共 小题，每小题 分，共 分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
已知集合✌x 2230x x --≥❝， x － ♎x ＜ ＝，则A B ⋂A☯B☯）C ☯D ☯）32(1)(1)i i +-A 1i +B 1i -C 1i -+D 1i --设函数()f x ，()g x 的定义域都为 ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A ()f x ()g x 是偶函数B ()f x ()g x 是奇函数C ()f x ()g x 是奇函数D ()f x ()g x 是奇函数已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A 3B C 3mD 3m位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A18 B 38 C 58 D 78如图，圆 的半径为 ，✌是圆上的定点， 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y ()f x 在☯π 上的图像大致为执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为 ，则输出的MA203 B 165 C 72D 158设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则 A 32παβ-=B 22παβ-=C 32παβ+=D 22παβ+=不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D 有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-， 2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥ 3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤， 4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-其中真命题是A 2p ，3pB 1p ，4pC 1p ，2p D 1p ，3p已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4FP FQ =，则||QFA72 B 52C D 已知函数()f x 3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞ ，则a 的取值范围为 A （ ，） B （ ， ） C （ ， ） D （ ， ）如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A B C D 第♋卷（非选择题 共 分）本卷包括必考题和选考题两个部分。
2014年高考真题—理科数学(全国大纲卷)
2014年普通高等学校统一考试（大纲）理科一、选择题：1.设103i z i=+，则z 的共轭复数为（ ） A ．13i -+ B ．13i -- C ．13i + D ．13i -2.设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N =I （ ）A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[1,0)-D ．(1,0]-3.设0sin 33a =，0cos55b =，0tan 35c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >> 4.若向量,a b r r 满足：||1a =r ，()a b a +⊥r r r ，(2)a b b +⊥r r r ，则||b =r （ ）A ．2BC ．1D 5.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种6.已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，离心率为3，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为（ ）A ．22132x y +=B ．2213x y +=C ．221128x y +=D ．221124x y += 7.曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）A ．2eB ．eC ．2D ．18．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）A ．814π B ．16π C ．9π D ．274π 9.已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若12||2||F A F A =，则21cos AF F ∠=（ ）A ．14B ．13 CD10.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（ ）A ．6B ．5C ．4D ．311.已知二面角l αβ--为060，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，0135ACD ∠=，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ）A ．14 B．4 CD ．1212.函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，则()y f x =的反函数是（ ）A ．()y g x =B ．()y g x =-C ．()y g x =-D ．()y g x =--第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.8-的展开式中22x y 的系数为 . 14.设x 、y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为 .15．直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为（1,3），则1l 与2l 的夹角的正切值等于 .16.若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3cos 2cos a C c A =，1tan 3A =，求B.18. （本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 19. （本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，090ACB ∠=，11,2BC AC CC ===.（1）证明：11AC A B ⊥；（2）设直线1AA 与平面11BCC B 的距离为3，求二面角1A AB C --的大小.20. （本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.60.50.50.4、、、，各人是否需使用设备相互独立.（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（2）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望.21. （本小题满分12分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =. （1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线'l 与C 相较于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程.22. （本小题满分12分） 函数()ln(1)(1)ax f x x a x a=+->+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设111,ln(1)n n a a a +==+，证明：23+22n a n n <≤+.。
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2014年普通高等学校统一考试（大纲）理科第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设103iz i=+，则z 的共轭复数为 （ ）A ．13i -+B ．13i --C ．13i +D ．13i - 【答案】D ．2.设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N =（ ）A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[1,0)-D ．(1,0]- 【答案】B.3.设sin33,cos55,tan35,a b c =︒=︒=︒则 （ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >> 【答案】C ．4.若向量,a b 满足：()()1,,2,a a b a a b b =+⊥+⊥则b = （ ）A ．2BC ．1D ．2【答案】B ．5.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种 【答案】C ．6.已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F 2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为 （ ）A ．22132x y += B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y += 【答案】A ． 7.曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）A ．2eB ．eC ．2D ．1 【答案】C ．8．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ） A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π【答案】A ．9.已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则21cos AF F ∠=（ ）A ．14 B ．13C ．4D ．3【答案】A ．10.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于 （ ）A ．6B ．5C ．4D ．3 【答案】C ．11.已知二面角l αβ--为60︒，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，135ACD ∠=︒，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ）A ．14 BCD ．12【答案】B.12.函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，则()y f x =的反函数是（ ）A ．()y g x =B ．()y g x =-C ．()y g x =-D ．()y g x =-- 【答案】D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.8⎛⎫的展开式中22x y 的系数为 .（用数字作答） 【答案】70.14.设,x y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为 .【答案】5.15．直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为()1,3，则1l 与2l 的夹角的正切值等于 . 【答案】43． 16.若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 . 【答案】(],2-∞．三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3cos 2cos a C c A =，1tan 3A =，求B .解：由题设和正弦定理得13sin cos 2sin cos ,3tan cos 2sin .tan ,cos 2sin ,3A C C A A C C A C C =\==\= ()()1tan tan tan ,tan tan 180tan 1,2tan tan 1A C CB AC A C A C +轾\=\=?+=-+==-臌-又0180,135B B?<癨??．18. （本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤. （I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 解：（I ）由110a =，2a 为整数知，等差数列{}n a 的公差d 为整数．又4n S S ≤，故450,0,a a ≥≤于是1030,1040d d +≥+≤，解得10532d -＃-，因此3d =-，故数列{}n a 的通项公式为133n a n =-．（II ）()()11111331033103133n b n n n n ⎛⎫==- ⎪----⎝⎭，于是()12111111111137104710313331031010103n n n T b b b n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．19. （本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，090ACB ∠=，11,2BC AC CC ===.（I ）证明：11AC A B ⊥；（II ）设直线1AA 与平面11BCC B 1A AB C --的大小.1解：解法一：（I ）1A D ^平面ABC ，1A D Ì平面11AAC C ，故平面11AAC C ^平面ABC ．又BC AC ^，BC \^平面11AAC C ．连结1AC ，∵侧面11AAC C 为菱形，故11AC AC ^，由三垂线定理得11AC A B ^；（II ）BC ^平面11,AAC C BC Ì平面11BCC B ，故平面11AAC C ^平面11BCC B ．作11,A E CC E ^为垂足，则1A E ^平面11BCC B ．又直线1AA ∥平面11BCC B ，因而1A E为直线1AA 与平面11BCC B 的距离，1AE =．∵1AC 为1ACC Ð的角平分线，故11A D A E ==．作,DF AB F ^为垂足，连结1A F ，由三垂线定理得1A F AB ^，故1AFD Ð为二面角1AAB C --的平面角．由1AD =得D 为AC 的中点，111tan 2A DAC BCDF A FD AB DF´=??=∴二面角1A AB C --的大小为1解法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -．由题设知1A D 与z 轴平行，z 轴在平面11AAC C 内． （I）设()1,0,A a c，由题设有()()2,2,0,0,0,1,a A B £则()()()()()11112,1,0,2,0,0,2,0,,4,0,,,1,.AB AC AA a c AC AC AA a c BA a c =-=-=-=+=-=-由12AA =得2，即2240a a c -+=（①）．于是22111140,AC BA a a c AC A B ?-+=\^．（II ）设平面11BCC B 的法向量(),,,m xy z =则1,,m CB m BB ^^即10,0m CBm BB ??．()0,1,0,CB =()112,0,,BB AA a c ==-故0y =，且()20a x cz -+=．令x c =，则()2,,0,2z a m c a =-=-，点A到平面11BCC B 的距离为c os ,C A m C A mC A c m×?==．又依题设，点A 到平面11BCC B的距离为,c \=3a =（舍去）或1a =．于是(11,0AA =-．设平面1ABA 的法向量(),,n p q r =，则1,n AA n AB ^^，即10,0,0n AA n AB p r ??\-=，故且20p q -+=．令p =则1,q r ==()3,23n =．又()0,0,1p =为平面ABC 的法向量，故1cos ,4n p n p n p⋅==⋅，∴二面角1A AB C --的大小为1arccos 4．20. （本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.（I ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（II ）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望.解：记i A 表示事件：同一工作日乙、丙恰有i 人需使用设备，0,1,2i =；B 表示事件：甲需使用设备；C 表示事件：丁需使用设备；D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备． （I ）122D A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅，又()()()()220.6,0.4,0.5,0,1,2.ii P B P C P A C i P D ===⨯=∴=()()()()()()()()()()()()1221221220.31.P A B C A B A B C P A B C P A B P A B C P A P B P C P A P B P A P B P C ⋅⋅+⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅+⋅⋅=++=（II ）X 的可能取值为0，1，2，3，4．()()()()()()()200010.60.510.40.06P X P B A C P B P A P C ==⋅⋅==-⨯⨯-=，()()()()()()()()()()()200100110.60.5P X P B A C B A C B A C P B P A P C P B P A P C P B P A P C ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=++=⨯()()()()()()22210.410.60.50.410.620.510.40.25,4P X P A B C ⨯-+-⨯⨯+-⨯⨯⨯-===⋅⋅=()()()()()()()(220.50.60.40.06,340.25,210P A P B P C P X P D P X P X P X =⨯⨯===-====-=()()()13410.060.250.250.060.38.P X P X P X -=-=-==----=∴数学期望()()()()()00112233440.2520.3830.2540.062.EX P XP XP XP XP X=?+?+?+?+?=+???21. （本小题满分12分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =. （I ）求C 的方程；（II ）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相较于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程. 解：（I ）设()0,4Q x ，代入22y px =，得00888,,.22p p x PQ QF x p p p=\==+=+．由题设得85824p p p+=?，解得2p =-（舍去）或2p =，∴C 的方程为24y x =；（II ）由题设知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为()10x my m =+?，代入24y x =得2440y my --=．设()()1122,,,,A x y B x y 则124,y y m +=124y y =-．故AB 的中点为()()221221,2,41D m m AB y m +=-=+．又l ¢的斜率为,m l ¢-\的方程为2123x y m m=-++．将上式代入24y x =，并整理得()2244230y y m m+-+=．设()()3344,,,,M x y Bx y 则()234344,423y y y y m m+=-=-+．故MN的中点为(223422412223,,m E m MN y mmm+骣÷ç++-=-=÷ç÷ç桫 由于MN 垂直平分线AB ，故,,,A M B N 四点在同一圆上等价于12AE BE MN ==，从而22211,44AB DE MN +=即()()()2222222244121224122m m m m m m m ++骣骣鼢珑+++++=鼢珑鼢珑桫桫，化简得210m -=，解得1m =或1m =-．所求直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=．22. （本小题满分12分）函数()()()ln 11axf x x a x a=+->+. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）设111,ln(1)n n a a a +==+，证明：23+22n a n n <≤+. 解：（I ）()f x 的定义域为()()()()()2221,,1x x a a f x x x a ⎡⎤--⎣⎦'-+∞=++．（i ）当12a <<时，若()21,2x a a ∈--，则()()0,f x f x '>在()21,2a a --上是增函数；若()22,0,x a a ∈-则()()0,f x f x '<在()22,0aa -上是减函数；若()0,,x ∈+∞则()()0,f x f x '>在()0,+∞上是增函数． （ii ）当2a =时,()()0,0f x f x ⅱ?成立当且仅当()0,x f x =在()1,-+?上是增函数．（iii ）当2a >时，若()1,0x ?，则()()0,f x f x '>在是()1,0-上是增函数；若()20,2x a a ∈-，则()()0,f x f x '<在()20,2a a -上是减函数；若()22,x a a ∈-+∞，则()()0,f x f x '>在()22,a a -+∞上是增函数．（II ）由（I ）知，当2a =时，()f x 在()1,-+?是增函数．当()0,x ??时，()()00f x f >=，即()()2ln 102xx x x +>>+．又由（I ）知，当3a =时，()f x 在[)0,3上是减函数；当()0,3x Î时，()()00f x f <=，即()()3l n 1033xx x x +<<<+．下面用数学归纳法证明2322n a n n <?++． （i ）当1n =时，由已知1213a <=，故结论成立；（ii ）假设当n k =时结论成立，即2322k a k k <?++．当1n k =+时，()()112323223322ln 1ln 1,ln 1ln 12323232322k k k k k k a a a a k k k k k k ++创骣骣++鼢珑=+>+>==+?<=鼢珑鼢珑桫桫++++++++，即当1n k =+时有2333k a k k <?++，结论成立．根据（i ）、（ii ）知对任何n N *Î结论都成立．。