2017-2018学年湘教版数学选修2-2当堂检测：4-2-3导数的运算法则 Word版含解析
高中数学湘教版选修2-2(课件)4.2导数的运算
4．2.1 几个幂函数的导数 4．2.2 一些初等函数的导数表
4.2.2
学习目标 课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练
学习目标
1.能根据定义求 y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x的 导数． 2．掌握基本初等函 数的导数公式． 3．能应用基本初等 函数的导数解决有关问题．
3
(3)y′＝(x x)′＝(x 2
)′＝3x
3 1 2
＝3
x.
2
2
(4)y′＝(x14)′＝ (x－ 4)′＝－ 4x－ 4－ 1＝－ 4x－ 5＝－x45 .
(5)y′＝(5
x3 )′＝(x
3 5
)′＝3x
3 5
-1＝3x
-
2 5
5
5
＝3 .
5 5
x2
(6)y′＝(2x)′＝ 2x公式是我们 解决函数导数的基本工具，适当变形，恰当选择 公式，准确套用公式是解决此类题目的关键．当 记忆不准确时，应作适当推理，证明或用特例检 验．
∴ y′＝ (lgx)′＝(log1 0x)′＝x·ln110.
(5)∵ y＝(s inx＋ cosx)2 － 1 22
＝ sin2x2＋ 2·s inx2·cos x2＋ cos 2x2－ 1＝ s inx.
∴y′＝(sinx)′＝cosx.
求在点P处的切线方程
利用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程 的步骤：(1)求出函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)； (2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为 y－y0 ＝ f′(x0)·(x－ x0)．
1
点为(x0，y0)，因为 y＝ x＝x 2 ，可根据幂函数 的求导公式确定函数在切点处的切线斜率，再由 切线过点(3,2)，从而确定切线的斜率，进而写出 所求切线的方程．
2018学年高中数学新选修2-2课件：第一章 导数及其应用1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运
1 2
)(1－2x2)′
＝(
1
u
3 2
)·(－4x)＝
1
(1
2
x2
)
3 2
(－4x)
2
2
＝2
x(1
2
x
2
)
3 2
.
解析答案
(4)y＝(2x2－3) 1＋x2.
解 令 y＝uv，u＝2x2－3，v＝ 1＋x2，
令 v＝ w，w＝1＋x2.
v′x＝v′w·w′x＝(
w)′(1＋x2)′＝
1
1
w2
2x
2
返回
题型探究
题型一 导数运算法则的应用
解 y′＝15x5＋23x3′＝15x5′＋23x3′ ＝x4＋2x2. (2)y＝lg x－ex； 解 y′＝(lg x－ex)′＝(lg x)′－(ex)′＝xln110－ex.
重点突破
解析答案
解析答案
(4)y＝x－sin
x 2·cos
x 2.
解
∵y＝x－sin
答案
(3)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导成立吗？ 答案 导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导仍然成立. 两个函数和(差)的导数运算法则可以推广到有限个函数的情况， 即[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]′＝f′1(x)±f′2(x)±f′3(x)±…±f′n(x).
自主学习 重点突破 自查自纠
知识梳理
知识点一 导数运算法则
自主学习
法则
语言叙述
[f(x)±g(x)]′＝_f_′__(x_)_±__g_′__(_x)__
两个函数的和(或差)的导数，等于这 两个函数的导数的和(或差)
湘教版数学选修2-2配套课件：4-1-3导数的概念和几何意义
(2)点(1,0)不在曲线y＝x2上． 设过点(1,0)与曲线C相切的直线其切点为(x0，x20)， 则切点处的斜率为2x0.切线方程为y－x02＝2x0(x－x0) (*) 又因为此切线过点(1,0)． ∴－x02＝2x0(1－x0)，解得x0＝0或x0＝2， 代入(*)式得过点(1,0)与曲线 C：y＝x2相切的直线方程为y＝0 或4x－y－4＝0.
的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元
法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
规律方法 本题主要考查了导数的几何意义以及直 线方程的知识，若求某点处的切线方程，此点即为 切点，否则除求过二次曲线上的点的切线方程外，
不论点是否在曲线上，均需设出切点．
跟踪演练4 求曲线f(x)＝2x在点(－2，－1)处的切线的方程．
解 由于点(－2，－1)恰好在曲线f(x)＝2x上，
所以曲线在点(－2，－1)处的切线的斜率就等于函数f(x)＝
时，f1＋2dd－f1的值为
()
1 A.2
B．2
C．f′(2)
D．f′(12)
答案 B
要点二 求函数某一点处的导数 例2 已知f(x)＝1x，求f′(1)．
解 f1＋dd－f1＝1＋1 dd－1＝1－ ＋ddd＝1－＋1d， 由于d→0时，1－＋1d→－1，故f′(1)＝－1.
规律方法 差分式化成分子和分母极限都在的情形 (但分母极限不能为0)，如果分母极限为0，则从分 母中分离出导致分母趋于0的因式，与分子约分消去， 便可得出正确结论．
2017-2018学年高中数学 第四章 导数及其应用 4.2 导数的运算 4.2.3 导数的运算法则分层训练 湘教版选修2-2
4．2.3 导数的运算法则一、基础达标1．设y ＝－2e xsin x ，则y ′等于( )A ．－2e xcos x B ．－2e xsin xC ．2e xsin x D ．－2e x(sin x ＋cos x )答案 D解析 y ′＝－2(e xsin x ＋e xcos x )＝－2e x(sin x ＋cos x )．2．当函数y ＝x 2＋a 2x(a >0)在x ＝x 0处的导数为0时，那么x 0＝( )A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －x 2＋a2x 2＝x 2－a 2x2，由x 20－a 2＝0得x 0＝±a . 3．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于 ( )A ．2 B.12 C ．－12 D ．－2答案 D 解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1， ∴y ′＝－2x －2.∴y ′|x ＝3＝－12.∴－a ＝2，即a ＝－2.4．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( )A ．(－2，－8)B ．(－1，－1)或(1,1)C ．(2,8) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18答案 B解析 y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1，则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．5．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________．答案 4解析 依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4.6．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________.答案 1解析 由于f ′(0)是一常数，所以f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)， 令x ＝0，则f ′(0)＝0， ∴f ′(1)＝12＋3f ′(0)＝1. 7．求下列函数的导数：(1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)； (2)y ＝x －sin x 2cos x2.解 (1)法一 y ′＝(2x 2＋3)′(3x －1)＋(2x 2＋3)(3x －1)′＝4x (3x －1)＋ 3(2x 2＋3)＝18x 2－4x ＋9.法二 ∵y ＝(2x 2＋3)(3x －1)＝6x 3－2x 2＋9x －3， ∴y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′＝18x 2－4x ＋9.(2)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x .二、能力提升8．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12 B.12 C ．－22 D.22答案 B 解析 y ′＝cos x x ＋cos x －sin xx －sin xx ＋cos x2＝1x ＋cos x2，故y ′|x ＝π4＝12，∴曲线在点M ⎝⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12.9．已知点P 在曲线y ＝4e x＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 ( )A ．[0，π4)B ．[π4，π2)C ．(π2，3π4]D ．[3π4，π)答案 D 解析 y ′＝－4exx ＋2＝－4e xe 2x ＋2e x＋1，设t ＝e x∈(0，＋∞)，则y ′ ＝－4tt 2＋2t ＋1＝－4t ＋1t＋2，∵t ＋1t ≥2，∴y ′∈[－1,0)，α∈[3π4，π)． 10．(2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x，则f ′(1)＝________.答案 2解析 令t ＝e x，则x ＝ln t ，所以函数为f (t )＝ln t ＋t ，即f (x )＝ln x ＋x ，所以f ′(x )＝1x ＋1，即f ′(1)＝11＋1＝2. 11．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程．解 点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30)．由题意，所求直线方程的斜率k ＝x 30－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 20，即x 30x 0－2＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3.当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0； 当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27， 则所求直线方程是y －27＝27(x －3)， 即27x －y －54＝0.综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0.12．已知曲线f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程．解 设切点为(x 0，y 0)，则由导数定义得切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3， ∴切线方程为y ＝(3x 20－3)x ＋16， 又切点(x 0，y 0)在切线上， ∴y 0＝3(x 20－1)x 0＋16， 即x 30－3x 0＝3(x 20－1)x 0＋16， 解得x 0＝－2，∴切线方程为9x －y ＋16＝0. 三、探究与创新13．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．(1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，①又f ′(x )＝a ＋b x2， ∴f ′(2)＝74，②由①，②得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。
高中数学选修2-2 1.2.1 导数的运算及运算法则
§1.2.1 导数的运算及运算法则编者：1. 掌握常用函数、基本初等函数的导数公式；掌握的导数的运算法则。
2.通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以及用已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。
3.通过动手算、动脑思和集体合作讨论，树立敢于战胜困难的信心，养成主动获取知识和敢于探究求新知的习惯，激发求知欲，增强合作交流意识。
教学重点：常见函数、基本初等函数的导数公式及运算法则 教学难点：常见函数、基本初等函数的导数公式及运算法则使用说明： （1）预习教材P 32~ P 36，用红色笔画出疑惑之处，并尝试完成下列问题，总结规律方法；（2）用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容； （3）不做标记的为C 级，标记★为B 级，标记★★为A 级。
预习案（20分钟）一．创设情景我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x ，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数． 二．新知导学【知识点一】几个常见函数的导数组长评价： 教师评价：思考：仔细观察（3）（4）（5）的结构特点，你能得到函数()(),nf x x n Q =∈的导函数？ 【知识点二】基本初等函数的导数公式（★）思考：sin cos 442ππ'⎛⎫== ⎪⎝⎭正确吗？【知识点三】导数的运算法则思考：[]'()cf x =[]'()()af x bg x +='1()f x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦探究案（30分钟）三．典例探究【典例一】应用公式求函数的导数例1-1：根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）2y x = （2）2xy = （3）13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭（4）3log y x =（5）y = （6）3cos 4sin y x x =- （7）ln xy x=（8）()()()123y x x x =+++ （9）tan y x x = （10）y ＝xxln 1ln 1+-．例1-2：求下列函数的导数（1）22cos 3log xy x x x =- （2）5432y ax bx cx dx ex f =+++++【典例二】导数运算法则在切线中的应用例2-1：已知曲线4323294C y x x x --：=+，求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程；例2-2：求曲线ln y x =在点(),1M e 处的切线的斜率和切线方程？例2-3：已知函数()321f x x ax bx =+++的导数()f x '满足()()12,2f a f b ''==-，其中常数,a b R ∈，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的方程？四．我的疑惑（把自己在使用过程中遇到的疑惑之处写在下面，先组内讨论尝试解决，能解决的划“√”，不能解决的划“×”）（1） （ ） （2） （ ）（通过解决本节导学案的内容和疑惑点，归纳一下自己本节的收获，和大家交流一下，写下自己的所得）※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：15分钟 满分：30分）计分：1.若函数2xy x e =，则y '= 2．函数2cos 1xy x=+的导数为3．求下列函数的导数 （1）y ＝xx4； （2） y ＝x x x x x x sin cos cos sin +-4．已知函数32()f x x bx ax d =+++的图像过点P （0,2），且在点(1,(1))M f --处的切线方程为670x y -+=，求函数的解析式。
2018学年湘教版数学选修2-2分层训练：4-1-3导数的概念和几何意义含解析
4．1.3 导数的概念和几何意义一、基础达标1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线() A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴斜交答案 B2．已知函数y＝f(x)的图象如图，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是()A．f′(x A)>f′(x B) B．f′(x A)<f′(x B)C．f′(x A)＝f′(x B) D．不能确定答案 B解析分别作出A、B两点的切线，由题图可知k B>k A，即f′(x B)>f′(x A)．3．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则在点A处的切线斜率为() A．4 B．16 C．8 D．2解析在点A处的切线的斜率即为曲线y＝2x2在x＝2时的导数，由导数定义可求y′＝4x，∴f′(2)＝8.答案 C4．已知函数f(x)在x＝1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为() A．f(x)＝(x－1)2＋3(x－1)B．f(x)＝2(x－1)C．f(x)＝2(x－1)2D．f(x)＝x－1答案 A解析分别求四个选项的导函数分别为f′(x)＝2(x－1)＋3；f′(x)＝2；f′(x)＝4(x－1)；f′(x)＝1.5．抛物线y＝x2＋x＋2上点(1,4)处的切线的斜率是________，该切线方程为____________．答案33x－y＋1＝0解析Δy＝(1＋d)2＋(1＋d)＋2－(12＋1＋2)＝3d＋d2，故y′|x＝1＝limd→0Δy d＝limd→0(3＋d)＝3.∴切线的方程为y－4＝3(x－1)，即3x－y＋1＝0.6．若曲线y＝x2－1的一条切线平行于直线y＝4x－3，则这条切线方程为____________．答案4x－y－5＝0解析∵f′(x)＝f(x＋d)－f(x)d＝(x＋d)2－1－(x2－1)d＝2xd＋d2d＝(2x＋d)＝2x.设切点坐标为(x0，y0)，则由题意知f′(x0)＝4，即2x0＝4，∴x0＝2，代入曲线方程得y0＝3，故该切线过点(2,3)且斜率为4.所以这条切线方程为y－3＝4(x－2)，即4x－y－5＝0.7．求曲线y＝x3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积．解∵f′(3)＝f(3＋d)－f(3)d＝(3＋d)3－33d＝(d2＋9d＋27)＝27，∴曲线在点(3,27)处的切线方程为y－27＝27(x－3)，即27x－y－54＝0.此切线与x轴、y轴的交点分别为(2,0)，(0，－54)．∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝12×2×54＝54.二、能力提升8．曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为() A．y＝3x－1 B．y＝－3x＋5C．y＝3x＋5 D．y＝2x答案 A解析－(Δx＋1)3＋3(Δx＋1)2－(－13＋3×12)Δx＝－Δx2＋3.Δx→0时，－Δx2＋3→3.∴f′(1)＝3.即曲线在(1,2)处的切线斜率为3. 所以切线方程为y－2＝3(x－1)，即y＝3x－1.9．函数y＝f(x)图象在M(1，f(1))处的切线方程为y＝12x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.答案 3解析由已知切点在切线上．∴f(1)＝12×1＋2＝5 2.切线的斜率f′(1)＝12.∴f(1)＋f′(1)＝3.10．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程为x－y＋1＝0，则a，b的值分别为________，________.答案1 1解析∵点(0，b)在切线x－y＋1＝0上，∴－b＋1＝0，b＝1.又f(0＋Δx)－f(0)Δx＝Δx2＋aΔx＋b－bΔx＝a＋Δx，∴f′(0)＝a＝1.11．已知曲线y＝x3＋1，求过点P(1,2)的曲线的切线方程．解 设切点为A (x 0，y 0)，则y 0＝x 30＋1.(x 0＋Δx )3＋1－(x 30＋1)Δx ＝Δx 3＋3x 20Δx ＋3x 0Δx2Δx ＝Δx 2＋3x 0Δx ＋3x 20.∴f ′(x 0)＝3x 20，切线的斜率为k ＝3x 20.点(1,2)在切线上，∴2－(x 30＋1)＝3x 20(1－x 0)．∴x 0＝1或x 0＝－12. 当x 0＝1时，切线方程为3x －y －1＝0， 当x 0＝－12时，切线方程为3x －4y ＋5＝0.所以，所求切线方程为3x －y －1＝0或3x －4y ＋5＝0. 12．求抛物线y ＝x 2的过点P (52，6)的切线方程．解 由已知得，Δyd ＝2x ＋d ， ∴当d →0时，2x ＋d →2x ， 即y ′＝2x ，设此切线过抛物线上的点(x 0，x 20)， 又因为此切线过点(52，6)和点(x 0，x 20)， 其斜率应满足x 20－6x 0－52＝2x 0， 由此x 0应满足x 20－5x 0＋6＝0.解得x 0＝2或3.即切线过抛物线y ＝x 2上的点(2,4)，(3,9)．所以切线方程分别为y －4＝4(x －2)，y －9＝6(x －3)． 化简得4x －y －4＝0,6x －y －9＝0， 此即是所求的切线方程． 三、探究与创新13．求垂直于直线2x－6y＋1＝0并且与曲线y＝x3＋3x2－5相切的直线方程．解设切点为P(a，b)，函数y＝x3＋3x2－5的导数为y′＝3x2＋6x.故切线的斜率k＝y′|x＝a＝3a2＋6a＝－3，得a＝－1，代入y＝x3＋3x2－5得，b＝－3，即P(－1，－3)．故所求直线方程为y＋3＝－3(x＋1)，即3x＋y＋6＝0.赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321AC1F B正方形ABCD中，∠EAF=45°∠1=12∠BAD推导说明：1.1在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠FAE＝45°，求证：EF＝BE+DF45°DBa+b-aa 45°A BE1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°DBa +b-aa45°ABE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DEa +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM .（1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．DE3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.DC变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．DAB CFEDCDC。
2018学年湘教版数学选修2-2分层训练：4-3-1利用导数研究函数的单调性含解析
4.3 导数在研究函数中应用4．3.1 利用导数研究函数单调性一、基础达标1．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增，则甲是乙( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙充分不必要条件，选A.2．函数y ＝12x 2－ln x 单调减区间是( )A ．(0,1)B ．(0,1)∪(－∞，－1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，＋∞) 答案 A解析 ∵y ＝12x 2－ln x 定义域为(0，＋∞)，∴y ′＝x －1x ，令y ′<0， 即x －1x <0，解得：0<x <1或x <－1. 又∵x >0，∴0<x <1，故选A.3．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，其中a ，b ，c 为实数，当a 2－3b ＜0时，f (x )是( )A ．增函数B ．减函数C ．常函数D ．既不是增函数也不是减函数 答案 A解析 求函数导函数f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，导函数对应方程f ′(x )＝0 Δ＝4(a 2－3b )＜0，所以f ′(x )＞0恒成立，故f (x )是增函数．4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝x e 2C ．y ＝x 3－xD ．y ＝ln x －x答案 B解析 显然y ＝sin x 在(0，＋∞)上既有增又有减，故排除A ；对于函数y ＝x e 2，因e 2为大于零常数，不用求导就知y ＝x e 2在(0，＋∞)内为增函数； 对于C ，y ′＝3x 2－1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33，故函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33上为减函数；对于D ，y ′＝1x －1 (x ＞0)．故函数在(1，＋∞)上为减函数， 在(0,1)上为增函数．故选B.5．函数y ＝f (x )在其定义域⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3内可导，其图象如图所示，记y ＝f (x )导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0解集为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1∪[2,3)6．函数y ＝ln(x 2－x －2)递减区间为________． 答案 (－∞，－1) 解析 f ′(x )＝2x －1x 2－x －2，令f ′(x )＜0得x ＜－1或12＜x ＜2，注意到函数定义域为(－∞，－1)∪(2，＋∞)，故递减区间为(－∞，－1)．7．已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋8单调递减区间为(－5,5)，求函数y ＝f (x )递增区间． 解 f ′(x )＝3x 2＋a .∵(－5,5)是函数y ＝f (x )单调递减区间，则－5,5是方程3x 2＋a ＝0根， ∴a ＝－75.此时f ′(x )＝3x 2－75，令f′(x)＞0，则3x2－75＞0，解得x＞5或x＜－5，∴函数y＝f(x)单调递增区间为(－∞，－5)和(5，＋∞)．二、能力提升8．如果函数f(x)图象如图，那么导函数y＝f′(x)图象可能是()答案 A解析由f(x)与f′(x)关系可选A.9．设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)＞g′(x)，则当a＜x＜b时，有() A．f(x)＞g(x)B．f(x)＜g(x)C．f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)D．f(x)＋g(b)＞g(x)＋f(b)答案 C解析∵f′(x)－g′(x)＞0，∴(f(x)－g(x))′＞0，∴f(x)－g(x)在[a，b]上是增函数，∴当a＜x＜b时f(x)－g(x)＞f(a)－g(a)，∴f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)．10．(2013·大纲版)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞是增函数，则a 取值范围是________．答案 [3，＋∞)解析 因为f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数，故f ′(x )＝2x ＋a －1x 2≥0在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，即a ≥1x 2－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立．令h (x )＝1x 2－2x ，则h ′(x )＝－2x 3－2，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，h ′(x )＜0，则h (x )为减函数，所以h (x )＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3，所以a ≥3.11．求下列函数单调区间： (1)y ＝x －ln x ； (2)y ＝ln(2x ＋3)＋x 2.解 (1)函数定义域为(0，＋∞)，y ′＝1－1x ， 由y ′＞0，得x ＞1；由y ′＜0，得0＜x ＜1.∴函数y ＝x －ln x 单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)． (2)函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞.∵y ＝ln(2x ＋3)＋x 2，∴y ′＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3＝2(2x ＋1)(x ＋1)2x ＋3.当y ′＞0，即－32＜x ＜－1或x ＞－12时， 函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2单调递增； 当y ′＜0，即－1＜x ＜－12时， 函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2单调递减．故函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12. 12．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 图象经过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处切线方程为6x－y ＋7＝0.(1)求函数y ＝f (x )解析式； (2)求函数y ＝f (x )单调区间．解 (1)由y ＝f (x )图象经过点P (0,2)，知d ＝2， ∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c . 由在点M (－1，f (－1))处切线方程为6x －y ＋7＝0， 知－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6. ∴⎩⎨⎧ 3－2b ＋c ＝6，－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎨⎧2b －c ＝－3，b －c ＝0， 解得b ＝c ＝－3.故所求解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2. (2)f ′(x )＝3x 2－6x －3.令f ′(x )＞0， 得x ＜1－2或x ＞1＋2； 令f ′(x )＜0，得1－2＜x ＜1＋ 2.故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2单调递增区间为(－∞，1－2)和(1＋2，＋∞)，单调递减区间为(1－2，1＋2)． 三、探究与创新13．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2(m 、n ∈R ，m ≠0)，函数y ＝f (x )图象在点(2，f (2))处切线与x 轴平行．(1)用关于m 代数式表示n ； (2)求函数f (x )单调增区间．解 (1)由已知条件得f ′(x )＝3mx 2＋2nx ， 又f ′(2)＝0，∴3m ＋n ＝0，故n ＝－3m . (2)∵n ＝－3m ，∴f (x )＝mx 3－3mx 2， ∴f ′(x )＝3mx 2－6mx .令f ′(x )＞0，即3mx 2－6mx ＞0，当m ＞0时，解得x ＜0或x ＞2，则函数f (x )单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)； 当m ＜0时，解得0＜x ＜2，则函数f (x )单调增区间是(0,2)． 综上，当m ＞0时，函数f (x )单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)； 当m ＜0时，函数f (x )单调增区间是(0,2).。
高二数学配套课件4.2.3 导数的运算法则(湘教版选修2-2)
(1)(cf(x))′＝ cfБайду номын сангаас(x) (2)(f(x)＋g(x))′＝ (3)(f(x)－g(x))′＝
；
f′(x)＋g′(x) f′(x)－g′(x)_
； ；
(4)(f(x)g(x))′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ； f′x 1 － 2(f(x)≠0) f x (5) ′＝ ； fx fxg′x－gxf′x gx (f(x)≠0) 2 fx (6) ′＝ fx
(4)法一
x－4 y′＝ x＋4 ′
x－4′x＋4－x－4x＋4′ ＝ x＋42 x＋4－x－4 8 ＝ ＝ 2 2； x＋4 x＋4 x－4 x＋4－8 8 法二 ∵y＝ ＝ ＝1－ ， x＋4 x＋4 x＋4
8 8 8 1 － － ∴y′＝ 2. ′＝ x＋4 ′＝ x ＋ 4 x ＋ 4
(3)法一 y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′ ＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′ ＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2 ＝3x2＋12x＋11； 法二 ∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋ 11x＋6， ∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′ ＝3x2＋12x＋11；
哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；②分步计算
中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意 的是中间变量的关系；③根据基本函数的求导公式及导数的 运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量 的函数；
2017-2018学年湘教版数学选修2-2当堂检测：4-1-3导数的概念和几何意义
4．1.3 导数的概念和几何意义1．f (x )在x ＝x 0处可导，则lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0)h( )A ．与x 0、h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0、h 均无关答案 B2．若f (x 0)－f (x 0－d )＝2x 0d ＋d 2，下列选项正确的是( )A ．f ′(x )＝2B ．f ′(x )＝2x 0C ．f ′(x 0)＝2x 0D ．f ′(x 0)＝d ＋2x 0答案 C3．已知函数y ＝f (x )图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB )B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定答案 A4．在曲线f (x )＝x 2＋x 上取一点P (1,2)，则在区间[1,1＋d ]上的平均变化率为________，在点P (1,2)处的导数f ′(1)＝________.答案 3＋d 31．求导数的步骤主要有三步：(1)求函数值的增量：Δy＝f(x0＋d)－f(x0)；(2)求平均变化率：Δyd＝f(x0＋d)－f(x0)d；(3)取极限：f′(x0)＝Δy d.2．导数的几何意义(1)对于函数y＝f(x)在x0处的导数是表示在x0处函数值变化快慢的一个量，其几何意义为在x＝x0处的切线的斜率．(2)f′(x)是指随x变化，过曲线上的点(x，f(x))的切线斜率与自变量x之间的函数.。
2018年数学同步优化指导湘教版选修2-2练习：4-2-3 导
活页作业(五) 导数的运算法则(2)1．函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数y ′等于( )A.12(e x ＋e －x ) B ．12(e x －e －x )C ．e x ＋e －xD ．e x －e －x解析：y ′＝12(e x ＋e －x )′＝12(e x －e －x )．答案：B2．函数y ＝sin ⎝⎛⎫2x ＋π6·cos ⎝⎛⎫2x ＋π6，则f ′(0)等于( ) A ．1 B ．0C ．－1D ．以上都不对解析：∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6·cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝12sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3， ∴y ′＝12cos ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3·⎝⎛⎭⎫4x ＋π3′＝2cos ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3. 当x ＝0时，y ′＝2cos π3＝1.答案：A 3．曲线f (x )＝e 2x－4在x ＝2处的切线方程为( )A ．2x －y －3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．e x －y －2e ＋1＝0D ．e x ＋y ＋2e －1＝0解析：∵f ′(x )＝e 2x －4(2x －4)′＝2e 2x －4，∴f ′(2)＝2. 又切点为(2,1)，∴切线方程为y －1＝2(x －2)， 即2x －y －3＝0. 答案：A4．函数y ＝ln(x 2－1)的导数y ′＝( ) A.2x x 2－1B ．1x 2－1C.2x －1x 2－1D ．x 2x 2－1解析：y ′＝(x 2－1)′x 2－1＝2xx 2－1.答案：A5．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2解析：设切点为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1，y 0＝ln(x 0＋a )． ∵当x ＝x 0时，y ′＝1x 0＋a＝1，∴x 0＋a ＝1. ∴y 0＝0，x 0＝－1. ∴a ＝2. 答案：B6．函数y ＝x －(2x －1)2的导数是____________.解析： y ′＝x ′－[(2x －1)2]′＝1－2(2x －1)(2x －1)′＝1－4(2x －1)＝5－8x . 答案：y ′＝5－8x7．曲线y ＝sin 3x 在点P ⎝⎛⎭⎫π3，0处的切线方程为____________. 解析：∵y ′＝cos 3x ·(3x )′＝cos 3x ·3＝3cos 3x ，∴曲线y ＝sin 3x 在点P ⎝⎛⎭⎫π3，0处的切线的斜率为3cos ⎝⎛⎭⎫3×π3＝－3. ∴切线方程为y ＝－3·⎝⎛⎭⎫x －π3，即3x ＋y －π＝0. 答案：3x ＋y －π＝08．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝____________. 解析：由于直线x ＋2y ＋1＝0的斜率为－12，故所求切线的斜率k ＝2.又y ′＝e ax ·(ax )′＝a e ax ，故当x ＝0时，y ′＝a .所以a ＝2.答案：29．求下列函数的导数： (1)y ＝⎝⎛⎭⎫3x －1x 5； (2)y ＝11－x 2； (3)y ＝cos x 2.解：(1)设y ＝u 5，u ＝3x －1x，则y ′＝(u 5)′⎝⎛⎭⎫3x －1x ′＝5u 4·⎝⎛⎭⎫3＋1x 2＝5⎝⎛⎭⎫3x －1x 4⎝⎛⎭⎫3＋1x 2.(2)设y ＝u －12，u ＝1－x 2，则y ′＝(u －12)′·(1－x 2)′＝⎝⎛⎭⎫－12u －32·(－2x )＝x (1－x 2)－32. (3)设y ＝cos u ，u ＝x 2，则y ′＝(cos u )′·(x 2)′＝(－sin u )·2x ＝(－sin x 2)·2x ＝－2x sin x 2. 10．已知函数y ＝x ln(2x －1)． (1)求这个函数的导数．(2)求这个函数的图象在x ＝1处的切线方程． 解：(1)y ′＝x ′ln(2x －1)＋x [ln(2x －1)]′ ＝ln(2x －1)＋x2x －1·(2x －1)′＝ln(2x －1)＋2x2x －1.(2)由(1)知切线的斜率k ＝f ′(1)＝ln(2×1－1)＋2×12×1－1＝2.又当x ＝1时，f (1)＝0， ∴切点为(1,0)．故切线方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.11．函数y ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 5的导数y ′＝( ) A ．5⎝⎛⎭⎫x ＋1x 4 B ．5⎝⎛⎭⎫x ＋1x 4⎝⎛⎭⎫1＋1x C ．5⎝⎛⎭⎫x ＋1x 4(1－x －2) D ．5⎝⎛⎭⎫x ＋1x 4(1＋x －2) 解析：y ′＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋1x 5′＝5⎝⎛⎭⎫x ＋1x 4·⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝5⎝⎛⎭⎫x ＋1x 4(1－x －2)． 答案：C12．已知函数f (x )＝(2x ＋a )2，若f (x )在x ＝a 处的导数值为20，则a ＝____________. 解析：由题意，得f ′(x )＝2(2x ＋a )·2. ∵f ′(a )＝20，∴12a ＝20.∴a ＝53.答案：5313．曲线y ＝ln(2x －1) 上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离d 为____________. 解析：当曲线的切线与直线2x －y ＋3＝0平行时，切点到该直线的距离最短． 对于y ＝ln(2x －1)，y ′＝22x －1， 令y ′＝2，得x ＝1.将x ＝1代入曲线方程y ＝ln(2x －1)，得y ＝0. ∴切点(1,0)到直线2x －y ＋3＝0的距离最短， 最短距离d ＝|2×1－0＋3|22＋(－1)2＝ 5.答案： 5 14．曲线y ＝e －2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为____________.解析：∵y ′＝－2e －2x ，且曲线在点(0,2)处的切线的斜率k ＝－2，∴切线方程为y ＝－2x ＋2.该直线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形如图所示，其中直线y ＝－2x ＋2与y ＝x 的交点A ⎝⎛⎭⎫23，23，∴三角形的面积S ＝12×1×23＝13.答案：1315．若函数f (x )＝e xx 在x ＝a 处的导数值与函数值互为相反数，求a 的值．解：∵f (x )＝e x x ，∴f (a )＝e aa .∵f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫e xx ′＝e x·x －exx 2， ∴f ′(a )＝e a ·a －e a a 2.由题意知f (a )＋f ′(a )＝0，∴e a a ＋e a·a －e a a 2＝0. ∴2a －1＝0.∴a ＝12.16．曲线y ＝e 2x cos 3x 在点(0,1)处的切线与直线l 的距离为5，求直线l 的方程． 解：由题意知y ′＝(e 2x )′cos 3x ＋e 2x (cos 3x )′＝2e 2x cos 3x ＋(3x )′(－sin 3x )·e 2x ＝2e 2x cos 3x －3e 2x sin 3x ，∴曲线在点(0,1)处的切线的斜率k ＝2. ∴该切线的方程为y －1＝2x ，即y ＝2x ＋1. 设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ， 则d ＝|m －1|5＝ 5.解得m ＝－4或m ＝6.当m ＝－4时，直线l 的方程为y ＝2x －4； 当m ＝6时，直线l 的方程为y ＝2x ＋6.综上可知，直线l 的方程为y ＝2x －4或y ＝2x ＋6.。
2018年数学同步优化指导湘教版选修2-2练习：4-2-3 导
活页作业(四) 导数的运算法则(1)1．已知f (x )＝sin x －cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π3等于( ) A ．0 B ．3－12C.3＋12D ．1解析：f (x )＝sin x －cos x ，则f ′(x )＝cos x ＋sin x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π3＝cos π3＋sin π3＝12＋32＝3＋12. 答案：C2．曲线y ＝x 3－3x 在某一点处的切线平行于x 轴，则该点的坐标是( ) A ．(－1,2) B ．(1，－2) C ．(1,2)D ．(－1,2)或(1，－2)解析：由y ＝x 3－3x ，得y ′＝3x 2－3.令y ′＝0，则x ＝±1.故切点为(－1,2)或(1，－2)． 答案：D3．点P 在曲线y ＝x 3－x 上移动，设点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫0，π2 B ．⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫34π，π C.⎣⎡⎭⎫3π4，πD ．⎝⎛⎦⎤π2，3π4 解析：由y ＝x 3－x ，得y ′＝3x 2－1≥－1.则在点P 处的切线的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫34π，π.答案：B4．设函数f (x )＝13ax 3＋bx (a ≠0)，若f (3)＝3f ′(x 0)，则x 0等于( )A ．±1B ．±2C ．±3D ．2解析：由已知，得f ′(x )＝ax 2＋b . ∴f ′(x 0)＝ax 20＋b .又f (3)＝9a ＋3b ，由f (3)＝3f ′(x 0)，得3a ＋b ＝ax 20＋b .解得x 0＝±3. 答案：C5．已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( ) A ．－2πB ．3πC ．－1πD ．－3π解析：∵f (x )＝1x cos x ，∴f (π)＝－1π，f ′(x )＝－1x 2cos x －1x sin x ．∴f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－2π.∴f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－3π. 答案：D6．曲线y ＝x 3－2ax 2＋2ax 上任意一点处的切线的倾斜角都是锐角，则整数a ＝____________.解析：由y ＝x 3－2ax 2＋2ax ，得y ′＝3x 2－4ax ＋2a .若曲线上任意一点处的切线的倾斜角都是锐角，则y ′＞0恒成立，即y ′＝3x 2－4ax ＋2a ＞0恒成立． 则有Δ＝16a 2－24a ＜0恒成立， 解得0＜a ＜32.故整数a ＝1.答案：17．某物体的运动曲线是s ＝t 2＋3t ，则该物体的初速度是____________. 解析：由s ＝t 2＋3t ，得s ′＝2t ＋3.当t ＝0时，s ′＝3. 答案：38．求下列函数的导数： (1)y ＝cos 2xsin x ＋cos x ；(2)y ＝x ln x 1＋x ；(3)y ＝sin x 2cos x2.解：(1)∵y ＝cos 2xsin x ＋cos x ＝cos 2x －sin 2x sin x ＋cos x ＝cos x －sin x ，∴y ′＝(cos x －sin x )′＝(cos x )′－(sin x )′＝－sin x －cos x .(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫x ln x 1＋x ′＝(x ln x )′(1＋x )－x ln x (1＋x )′(1＋x )2＝(ln x ＋1)(1＋x )－x ln x (1＋x )2＝ln x ＋x ＋1x 2＋2x ＋1.(3)∵y ＝sin x 2cos x 2＝12sin x ，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫12sin x ′＝12(sin x )′＝12cos x .9．已知函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 为偶函数，它的图象过点A (0，－1)且在x ＝1处的切线方程为2x ＋y －2＝0，求函数f (x )的表达式．解：由函数f (x )为偶函数，得f (－x )＝f (x )， 即ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e . ∴b ＝d ＝0. ∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋e .又∵函数图象过点A (0，－1)，∴e ＝－1. ∴f (x )＝ax 4＋cx 2－1. ∴f ′(x )＝4ax 3＋2cx .∴x ＝1处的切线的斜率k ＝－2＝f ′(1)． ∴4a ＋2c ＝－2.由2x ＋y －2＝0，得x ＝1时，y ＝0. ∴点(1,0)在函数f (x )的图象上． ∴a ＋c －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2c ＝－2，a ＋c －1＝0， 解得a ＝－2，c ＝3. 故函数f (x )＝－2x 4＋3x 2－1.10．曲线y ＝x ln x 在点M (e ，e)处的切线在x ，y 轴上的截距分别为a ，b ，则a ＋b ＝( ) A ．－32eB ．－12eC.12e D ．32e解析：y ′＝(x ln x )′＝x ′ln x ＋x (ln x )′＝ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1，∴当x ＝e 时，y ′＝ln e ＋1＝2.故曲线y ＝x ln x 在点M (e ，e)处的切线方程为y －e ＝2(x －e)． 令x ＝0，得y ＝－e ；令y ＝0，得x ＝e2.∴a ＝e2，b ＝－e.∴a ＋b ＝－e2.答案：B11．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n ∈N＋，n ≥2)，则f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 016⎝⎛⎭⎫π2＝____________. 解析：f 1(x )＝sin x ＋cos x ， f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ， f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ， 依此类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )． 又f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，∴f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 016⎝⎛⎭⎫π2＝f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋f 3⎝⎛⎭⎫π2＋f 4⎝⎛⎭⎫π2＝0. 答案：012．函数f (x )＝(x －a )(x －b )( x －c )(a ，b ，c 是两两互不相等的常数)，则a f ′(a )＋b f ′(b )＋cf ′(c )＝____________. 解析：∵f (x )＝x 3－(a ＋b ＋c )x 2＋(ab ＋bc ＋ca )·x －abc, ∴f ′(x )＝3x 2－2(a ＋b ＋c )x ＋ab ＋bc ＋ca . ∴f ′(a )＝(a －b )(a －c )．同理可得f ′(b )＝(b －a )(b －c )，f ′(c )＝(c －a )(c －b )． 代入原式，得a f ′(a )＋b f ′(b )＋c f ′(c )＝0.答案：013．已知f (x )＝(x －1)(x －2)…(x －10)，则f ′(10)＝____________. 解析：∵f (x )＝(x －1)(x －2)…(x －10)＝[(x －1)·(x －2)…(x －9)](x －10)，∴f ′(x )＝[(x －1)(x －2)…(x －9)]′(x －10)＋[(x －1)(x －2)…(x －9)](x －10)′＝[ (x －1)·(x －2)…(x －9)]′(x －10)＋(x －1)(x －2)…(x －9)．∴f ′(10)＝9×8×7×…×2×1＝362 880. 答案：362 88014．对正整数n ，设曲线y ＝x n (1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和的公式． 解：∵y ＝x n (1－x )，∴y ′＝nx n －1(1－x )－x n ＝nx n －1－(n ＋1)x n .∴当x ＝2时，y ′＝n ·2n －1－(n ＋1)2n ＝－(n ＋2)·2n －1，f (2)＝－2n .故所求的切线方程为y ＋2n ＝－(n ＋2)·2n －1(x －2)．令x ＝0，得y ＝(n ＋1)·2n .∴a n ＝(n ＋1)·2n ，a nn ＋1＝2n .则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1是前项为2，公比为2的等比数列．故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和为2(1－2n)1－2＝2n ＋1－2.15．已知函数y ＝f (x )＝a ＋b ln xx ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋y ＝2，求a ，b的值．解：∵f (x )＝a ＋b ln xx ＋1，∴f ′(x )＝bx(x ＋1)－(a ＋b ln x )(x ＋1)2.∵点(1，f (1))在直线x ＋y ＝2上，∴f (1)＝1. ∵直线x ＋y ＝2的斜率为－1， ∴f ′(1)＝－1.故有⎩⎨⎧a2＝1，2b －a4＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1.。
数学同步优化指导(湘教版选修2-2)课件：4.2.3 导数的运算法则(2)
【点评】 求复合函数导数的步骤： (1) 确定中间变量，正确分解复合关系，即明确函数关系 y ＝f(u)，u＝g(x)； (2) 分步求导 ( 弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求
导)，要特别注意中间变量对自变量的求导，即先求f′(u)，再求
g′(x)； (3)计算f′(u)g′(x)，并把中间变量转化为自变量的函数． 整个过程可简记为“分解—求导—回代”三个步骤，熟练以 后可以省略中间过程．
【点评】
将复合函数的求导与导数的实际意义结合，旨
在巩固函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率， 体现导数揭示物体某时刻的变化状况．
2．求证：可导的奇函数的导数是偶函数． 证明：设f(x)是奇函数，即f(－x)＝－f(x)． 两边对x求导数，得 f′(－x)·(－x)′＝－f′(x)，
即－f′(－x)＝－f′(x)．
∴f′(－x)＝f′(x)． 故命题成立．
多层复合函数求导
求函数y＝sin
2
π 2x＋ 的导数． 3
[ 思路点拨] 方法一：视为三层复合函数，逐层求导． 方法二：先视为两层y＝u
π u＝sin2x＋3进一步分解．
2
π ，u＝sin 2x＋3 ，再将复合函数
1 1 2π ∴y′＝2－2cos4x＋ 3 ′
2π 2π 1 4x＋ ′ ＝2sin4x＋ 3 · 3
2π ＝2sin4多样性，总结
规律，选择最优方法．
3．求下列函数的导数： 1 (1)y＝ 2； 1－2x (2)y＝esin(ax
方法三：通过降幂公式变形后，再求导．
解：方法一
π 设y＝u ，u＝sin v，v＝2x＋ 3 ，则y′x＝
2
湘教版高中数学选修2-2同步精练：4.2.3 导数的运算法则 含解析
1．设f(x）＝x ln x，若f′（x0)＝2,则x0的值是( )．A．e2B．e C．错误!D．ln 22．函数f(x）＝错误!的导数是（)．A．错误!（x＞0）B．错误!（x＞0）C．错误!(x＞0) D．错误!(x＞0）3．有下列求导运算：①(2x3－cos x)′＝6x2＋sin x；②错误!′＝错误!；③（3＋x2)(2－x3）]′＝2x（2－x3)＋3x2(3＋x2）；④错误!′＝错误!；⑤错误!′＝错误!；⑥(tan x)′＝错误!。
其中正确的有（)．A．①②③⑤B．②④⑤⑥C．①②⑤⑥D．①②③④⑤⑥4．已知函数f（x)＝x(x2＋1）（x3＋2）…(x2 010＋2 009)，则f′(0)＝（)．（注:1×2×3×…×n＝n!)A．2 009! B．2 010! C．2 011! D．x!5．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C:y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为( ）．A．(2，15) B．(15,2)C．(2，－15）D．（－2,15）6．曲线y＝f（x）＝错误!在原点处的切线的倾斜角是________．7．若曲线f(x)＝ax5＋ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是________．8．半径为r的圆的面积S（r）＝πr2,周长C(r)＝2πr,若将r看作(0，＋∞)上的变量，则（πr2)′＝2πr,该式子可用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R看做(0，＋∞）上的变量，请你写出类似于①的式子：________,该式子可用语言叙述为__________________________________________________________．9．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点(1,1），且在点(2,－1）处与直线y＝x－3相切,求a，b，c的值．10．求经过原点与曲线y＝错误!相切的直线的方程．参考答案1．B ∵f ′(x )＝(x ln x ）′＝ln x ＋1，∴f ′（x 0)＝ln x 0＋1＝2，∴x 0＝e.2．C ∵f (x ）＝17118824x x x x ⋅⋅=，∴f ′（x )＝1878x -（x ＞0)． 3．C ③中,(3＋x 2)(2－x 3)]′＝2x (2－x 3）－3x 2（3＋x 2）．④中，错误!′＝错误!，故③④错误，①②⑤⑥正确．4．A 设g （x ）＝(x 2＋1)（x 3＋2）…(x 2 010＋2 009 )，则g (0)＝1×2×3×…×2 009＝2 009!.又∵f (x )＝xg (x ），∴f ′(x ）＝g (x )＋xg ′(x )．∴f ′（0)＝g (0)＋0×g ′（0）＝g (0)＝2 009!.5．D ∵y ′＝3x 2－10，设切点P (x 0，y 0)（x 0＜0），则点P 处的切线斜率k ＝3x 02－10＝2，∴x 0＝－2。
2017-2018学年湘教版数学选修2-2当堂检测：4-2-3导数的运算法则
4．2.3 导数的运算法则1．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x＋1 D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x答案 D解析 利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D 项，∵y ＝sin x ＋cos x ， ∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x .2．函数y ＝cos x 1－x的导数是 ( )A.－sin x ＋x sin x (1－x )2 B.x sin x －sin x －cos x (1－x )2 C.cos x －sin x ＋x sin x (1－x )2 D.cos x －sin x ＋x sin x 1－x 答案 C解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′＝(－sin x )(1－x )－cos x ·(－1)(1－x )2 ＝cos x －sin x ＋x sin x (1－x )2. 3．曲线y ＝x x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为 ( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C．y＝－2x－3 D．y＝－2x＋2 答案 A解析∵y′＝x′(x＋2)－x(x＋2)′(x＋2)2＝2(x＋2)2，∴k＝y′|x＝－1＝2(－1＋2)2＝2，∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.4．直线y＝12x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b＝________.答案ln 2－1解析设切点为(x0，y0)，∵y′＝1x，∴12＝1x0，∴x0＝2，∴y0＝ln 2，ln 2＝12×2＋b，∴b＝ln 2－1.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.。
高中数学 第4章 导数及其应用 4.2 导数的运算 4.2.3 导数的运算法则课堂讲义配套课件 湘教版选修2-2
答 利用导数的运算法则．
[预习导引]
1．导数的运算法则
(1)(cf(x))′＝cf′(x)
；
(2)(f(x)
f′(x)＋＋g′(x)
＝
f′(x)－g′(x)
跟踪演练3
已知某运动着的物体的运动方程为s(t)＝
t－1 t2
＋
2t2(位移单位：m，时间单位：s)，求t＝3 s时物体的瞬时速
度．
解 ∵s(t)＝t－t21＋2t2＝tt2－t12＋2t2＝1t －t12＋2t2，
∴s′(t)＝－t12＋2·t13＋4t，
∴s′(3)＝－19＋227＋12＝32273，
即物体在t＝3 s时的瞬时速度为32273 m/s.
再见
编后语
折叠课件作用 ①向学习者提示的各种教学信息; ②用于对学习过程进行诊断、评价、处方和学习引导的各种信息和信息处理; ③为了提高学习积极性，制造学习动机，用于强化学习刺激的学习评价信息; ④用于更新学习数据、实现学习过程控制的教学策略和学习过程的控制方法。 对于课件理论、技术上都刚起步的老师来说，POWERPOINT是个最佳的选择。因为操作上非常简单，大部分人半天就可以基本掌握。所以，就可以花
4．2.3 导数的运算法则
[学习目标]
1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．
2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公 式和四则运算求简单函数的导数．
3．了解复合函数的概念，理解复合函数的求导法 则．
4．能求简单的复合函数的导数．(仅限于形如f(ax ＋b)的导数)．
2020学年高中数学第4章导数及其应用4.2.3导数的运算法则课件湘教版选修2_2
【解】 (1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′ ＝(x5)′－(3x3)′－(5x2)′＋6′ ＝5x4－9x2－10x. (2)法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′ ＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3 ＝18x2－8x＋9. 法二：因为 y＝(2x2＋3)(3x－2) ＝6x3－4x2＋9x－6，所以 y′＝18x2－8x＋9.
1．曲线 y＝－x3＋3x2 在点(1，2)处的切线方程为( )
A．y＝3x－1
B．y＝－3x＋5
C．y＝3x＋5
D．y＝2x
解析：选 A.y′＝－3x2＋6x，当 x＝1 时，切线的斜率 k＝－3×12
＋6×1＝3，故切线方程为 y－2＝3(x－1)，即 y＝3x－1，故选 A.
2．已知函数 f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为 f(x)的导函数，则 f′(0)的值为 ________． 解析：由题意得 f′(x)＝(2x＋3)ex，则得 f′(0)＝3.
答案：3
3．求下列函数的导数：
(1)y＝ x－ln x；
(2)y＝(x2＋1)(x－1)；
(3)y＝1＋xc2os
x .
解：(1)y′＝( x－ln x)′＝(
x)′－(ln x)′＝21x－1x.
(2)y′＝[(x2＋1)(x－1)]′
＝(x3－x2＋x－1)′＝(x3)′－(x2)′＋(x)′－(1)′
B．2x3－sin x
C．6x2＋sin x
D．6x2－cos x
答案：A
3．设函数 f(x)＝sinx x，f′(x)为函数 f(x)的导函数，则 f′(π)＝
________．
答案：－π1
求导法则的直接运用 求下列函数的导数： (1)y＝x5－3x3－5x2＋6；(2)y＝(2x2＋3)(3x－2)； (3)y＝xx－＋11；(4)y＝x·tan x；(5)y＝lgxx.
2019年高中数学湘教版选修2-2讲义+精练：第4章4.2导数的运算含解析
4．2导数的运算[读教材·填要点] 1．求导公式(1)几个幂函数的导数：1 (2)基本初等函数的导数公式：2．求导法则(1)(cf(x))′＝cf′(x)；(2)(f (x )＋g (x ))′＝f ′(x )＋g ′(x )， (f (x )－g (x ))′＝f ′(x )－g ′(x )； (3)(f (x )g (x ))′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (4)⎝⎛⎭⎫1f (x )′＝－f ′(x )(f (x ))2(f (x )≠0)； (5)⎝⎛⎭⎫g (x )f (x )′＝f (x )g ′(x )－g (x )f ′(x )(f (x ))2(f (x )≠0)； (6)若y ＝f (u )，u ＝g (x )，则y x ′＝y u ′·u x ′.[小问题·大思维]1．下面的计算过程正确吗？⎝⎛⎭⎫sin π4′＝cos π4＝22. 提示：不正确．因为sin π4＝22是一个常数，而常数的导数为零，所以⎝⎛⎭⎫sin π4′＝0. 若函数f (x )＝sin x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π4＝22.2．若f (x )，g (x )都是可导函数，且f (x )≠0，那么下列关系式成立吗？ (1)[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )(a ，b 为常数)； (2)⎣⎡⎦⎤a f (x )′＝－af ′(x )[f (x )]2(a 为常数)． 提示：由导数的运算法则可知，这两个关系式都正确． 3．函数y ＝ln(2x ＋1)的导函数是什么？提示：y ＝ln(2x ＋1)是由函数y ＝ln u 和u ＝2x ＋1复合而成的， ∴y x ′＝y u ′·u x ′＝1u ·(2x ＋1)′＝2u ＝22x ＋1.求下列函数的导数：(1)y ＝10x ；(2)y ＝lg x －1x 2；(3)y ＝log 12x ；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x 22－1. [自主解答] (1)y ′＝(10x )′＝10x ln 10.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫lg x －1x 2′＝(lg x )′－⎝⎛⎭⎫1x 2′＝1x ln 10＋2x 3. (3)y ′＝(log 12x )′＝1x ln12＝－1x ln 2.(4)y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x －14＝3 44x.(5)∵y ＝⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x22－1 ＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x 2＋cos 2x2－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .求简单函数的导函数有两种基本方法 (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．1．求下列函数的导数： (1)y ＝⎝⎛⎭⎫1e x； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫110x ；(3)y ＝lg 5；(4)y ＝3lg 3x ； (5)y ＝2cos 2x2－1.解：(1)y ′＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1e x ′＝⎝⎛⎭⎫1e x ln 1e ＝－1e x ＝－e －x . (2)y ′＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫110x ′＝⎝⎛⎭⎫110x ln 110＝－ln 1010x＝－10－x ln 10.(3)∵y ＝lg 5是常数函数， ∴y ′＝(lg 5)′＝0. (4)∵y ＝3lg 3x ＝lg x ， ∴y ′＝(lg x )′＝1x ln 10. (5)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .求下列函数的导数．(1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝x ＋3x 2＋3；(4)y ＝x sin x －2cos x ；(5)y ＝e 3x ；(6)y ＝5log 2(2x ＋1)．[自主解答] (1)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′ ＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos 2x＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x cos 2x ＝sin x cos x ＋x cos 2x .(2)∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′ ＝3x 2＋12x ＋11.(3)y ′＝(x ＋3)′(x 2＋3)－(x ＋3)(x 2＋3)′(x 2＋3)2＝－x 2－6x ＋3(x 2＋3)2.(4)y ′＝(x sin x )′－⎝⎛⎭⎫2cos x ′＝sin x ＋x cos x －2sin xcos 2x . (5)函数y ＝e 3x 可以看成函数y ＝e u 和函数u ＝3x 的复合函数． ∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(e u )′·(3x )′＝3e u ＝3e 3x .(6)函数y ＝5log 2(2x ＋1)可以看成函数y ＝5log 2u 和函数u ＝2x ＋1的复合函数． ∴y x ′＝y u ′·u x ′＝5(log 2u )′·(2x ＋1)′＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2.(1)利用函数的和、差、积、商的求导法则求函数的导数时，要分清函数的结构，再利用相应的法则进行求导． (2)遇到函数的表达式是乘积形式或是商的形式，有时先将函数表达式展开或化简，然后再求导．(3)对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解—求导—回代”，即：①弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；②利用求导法则分层求导；③最终结果要将中间变量换成自变量．注意不要漏掉第③步回代的过程．2．求下列函数的导数：(1)y ＝2x cos x －3x log 2x ；(2)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)；(3)y＝e x＋1e x－1；(4)y＝(x－1)2x；(5)y＝1(1＋3x)4；(6)y＝x·e－x.解：(1)y′＝(2x cos x－3x log2x)′＝(2x)′cos x＋2x(cos x)′－3[x′log2x＋x(log2x)′]＝2x ln 2cos x－2x sin x－3(log2x＋x·1x ln 2)＝2x ln 2cos x－2x sin x－3log2x－3 ln 2.(2)法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3 ＝18x2－8x＋9.法二：∵y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，∴y′＝18x2－8x＋9.(3)y′＝(e x＋1)′(e x－1)－(e x＋1)(e x－1)′(e x－1)2＝－2e x(e x－1)2.(4)法一：y′＝[(x－1)2]′x－(x－1)2·x′x2＝(x2－2x＋1)′x－(x－1)2x2＝(2x－2)x－(x－1)2x2＝1－1x2.法二：∵y＝x2－2x＋1x＝x－2＋1x，∴y′＝1－1x2.(5)函数y＝1(1＋3x)4＝(1＋3x)－4可以看作函数y＝t－4和t＝1＋3x的复合函数，根据复合函数求导法则可得y x′＝y t′·t x′＝(t－4)′·(1＋3x)′＝(－4t－5)·3＝－12(1＋3x)－5.(6)函数y＝e－x可以看作函数y＝e u和u＝－x的复合函数，所以y x′＝y u′·u x′＝(e u)′·(－x)′＝－e u＝－e－x，所以y′＝(x e－x)′＝x′e－x＋x(e－x)′＝e－x＋x(－e－x)＝(1－x)e－x.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h (m)与时间t (s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，求烟花在t＝2 s时的瞬时速度，并解释烟花升空后的运动状况．[自主解答] 烟花在t ＝2 s 时的瞬时速度就是h ′(2)． ∵h ′(t )＝－9.8t ＋14.7， ∴h ′(2)＝－4.9.即在t ＝2 s 时，烟花正以4.9 m/s 的瞬时速度下降． 如图，结合导数的几何意义，我们可以看出：在t ＝1.5 s 附近曲线比较平坦，也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0，达到最高点并爆裂；在0～1.5 s 之间，曲线在任何点的切线斜率都大于0且切线的倾斜程度越来越小，也就是说烟花在达到最高点前，以越来越小的速度升空；在1.5 s 后，曲线在任何点的切线斜率都小于0且切线的倾斜程度越来越大，即烟花达到最高点后，以越来越大的速度下落，直到落地．解决此类问题，应在熟悉导数的数学意义的同时熟悉导数的物理意义，建立变量之间的表达式是关键．3．某圆柱形容器的底面半径为1 m ，深度为1 m ，盛满液体后以0.01 m 3/s 的速度放出，求液面高度的瞬时变化率．解：设液体放出t s 后的液面高度为h m ， 则由题意得π·12·h ＝π－0.01t ， 化简得h ＝1－0.01πt ， ∴液面高度的瞬时变化率为 h ′＝⎝⎛⎭⎫1－0.01πt ′ ＝－0.01π(m/s)．求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．[解] 法一：设直线l ：x －y ＋m ＝0(m ≠－2)与抛物线y ＝x 2相切， 显然直线l 与直线x －y －2＝0平行．依题意知，l 与直线x －y －2＝0间的距离就是要求的最短距离，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，y ＝x 2，得x 2－x －m ＝0. 由Δ＝1＋4m ＝0，得m ＝－14，∴l 的方程为x －y －14＝0.两平行线间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪－2＋142＝728.∴抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728. 法二：依题意知，与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短．设切点坐标为(x 0，x 20)．∵y ′＝(x 2)′＝2x ， ∴2x 0＝1，∴x 0＝12.∴切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14.切点到直线x －y －2＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728.1．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为( ) A ．1 B. 2 C ．－1D ．0解析：∵f (x )＝ax 2＋c ，∴f ′(x )＝2ax ， 又∵f ′(1)＝2a ，∴2a ＝2，∴a ＝1. 答案：A2．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2解析：∵f ′(x )＝1＋1x ，∴f ′(1)＝2.答案：B3．下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2sin x解析：⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝x ′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1－1x 2；(3x )′＝3x ln 3； (x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x . 答案：B4．若函数f (x )＝ln xx ，则f ′(2)＝________.解析：由f ′(x )＝1－ln x x 2，得f ′(2)＝1－ln 24. 答案：1－ln 245．(全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x 在点(1,2)处的切线方程为________．解析：因为y ′＝2x －1x2，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为 y ′|x ＝1＝2×1－1＝1，所以切线方程为 y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0. 答案：x －y ＋1＝06．已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R.若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交且在交点处有相同的切线，求a 的值及该切线的方程．解：f ′(x )＝12x ，g ′(x )＝a x (x >0)，设两曲线的交点为P (x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝a ln x 0，12x 0＝ax 0， 解得a ＝e2，x 0＝e 2，所以两条曲线交点的坐标为(e 2，e)． 切线的斜率为 k ＝f ′(e 2)＝12e，所以切线的方程为y －e ＝12e (x －e 2)，即x －2e y ＋e 2＝0.一、选择题1．若指数函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)满足f ′(1)＝ln 27，则f ′(－1)＝( ) A ．2 B ．ln 3 C.ln 33D ．－ln 3解析：f ′(x )＝a x ln a ，由f ′(1)＝a ln a ＝ln 27， 解得a ＝3，则f ′(x )＝3x ln 3，故f ′(－1)＝ln 33.答案：C2．某汽车的路程函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，汽车的加速度是( )A ．14 m/s 2B ．4 m/s 2C ．10 m/s 2D ．－4 m/s 2解析：由题意知，汽车的速度函数为v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，则v ′(t )＝12t －g ， 故当t ＝2 s 时，汽车的加速度是v ′(2)＝12×2－10＝14 m/s 2. 答案：A3．函数f (x )＝e x sin x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( ) A.3π4 B.π3 C.π4 D.π6 解析：因为f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ，所以f ′(0)＝1， 即曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为1， 所以在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为π4.答案：C 4．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12 B.12C ．－22 D.22解析：y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝11＋sin 2x， 把x ＝π4代入得导数值为12.答案：B 二、填空题5．已知f (x )＝1x ，g (x )＝mx ，且g ′(2)＝1f ′(2)，则m ＝________.解析：∵f ′(x )＝－1x 2，∴f ′(2)＝－14.又∵g ′(x )＝m ，∴g ′(2)＝m .由g ′(2)＝1f ′(2)，得m ＝－4.答案：－46．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 解析：因为f (e x )＝x ＋e x ，所以f (x )＝x ＋ln x (x >0)，所以f ′(x )＝1＋1x ，所以f ′(1)＝2. 答案：27．已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________． 解析：∵f ′(x )＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4×22＋22，得f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2－1. ∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x ．∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝1. 答案：18．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 解析：∵y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直， 又y ′＝a e ax ，∴a ＝2. 答案：2 三、解答题9．求下列函数的导数． (1)y ＝(2 018－8x )8；(2)y ＝2x sin x；(3)y ＝x 1＋x 2；(4)y ＝cos x ·sin 3x . 解：(1)y ′＝8(2 018－8x )7·(2 018－8x )′ ＝－64(2 018－8x )7＝64(8x －2 018)7. (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫2xsin x ′＝(2x)′·sin x －2x·(sin x )′(sin x )2＝2x ln 2·sin x －2x ·cos xsin 2x . (3)y ′＝1＋x 2＋x [(1＋x 2) 12]′＝1＋x 2＋x ·12·(1＋x 2) -12 (1＋x 2)′＝1＋x 2＋x ·12·(1＋x 2) -12·2x＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝1＋2x 21＋x 2.(4)y ′＝(cos x )′·sin 3x ＋cos x ·(sin 3x )′ ＝－sin x ·sin 3x ＋cos x ·cos 3x ·(3x )′＝－sin x ·sin 3x ＋3cos x ·cos 3x .10．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R)．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值；(2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3， 解得b ＝0，a ＝－3或1.(2)∵曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，∴关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)＞0，即4a 2＋4a ＋1＞0，∴a ≠－12. ∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.。
湘教版高中数学选修学导数的运算法则活页训练
2013-2014学年高中数学 3.2.3导数的运算法则活页训练 湘教版选修1-1基础达标 (限时20分钟)1．f (x )＝sin x －cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π3和[f (π3)]′分别为 ( )．A.3＋12，0 B.3＋12，3－12 C.3＋12，3＋12D.3＋12，1 解析 f ′(x )＝cos x ＋sin x ，f ′⎝⎛⎭⎫π3＝cos π3＋sin π3＝3＋12，f (π3)＝sin π3－cos π3＝3－12，[f (π3)]′＝0.答案 A2．下列求导运算正确的是( )．A.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2B.()log 2x ′＝1x ln 2C.()x 2cos x ′＝－2x sin xD ．(3x )′＝3x log 3e解 ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1－1x 2，(log 2x )′＝1x ln 2，(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，(3x )′＝3x ln 3.故选B.答案 B3．设f (x )＝x cos x ＋3x 2，则f ′(0)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2等于 ( )．A ．1＋5π2B ．3π－1C ．1＋7π2D ．3π＋1解析 f ′(x )＝cos x －x sin x ＋6x ，f ′(0)＝1，f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－π2＋3π＝52π.f ′(0)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1＋5π2. 答案 A4．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________.解析 f (x )＝4x 2＋4ax ＋a 2，f ′(x )＝8x ＋4a ，f ′(2)＝16＋4a ＝20，∴a ＝1. 答案 15．设f (x )＝x 2(x －1)，当x ＝x 0时f ′(x 0)＝f (x 0)，则x 0＝________.解析 f (x )＝x 3－x 2，f ′(x )＝3x 2－2x ，f ′(x 0)＝f (x 0)即为3x 20－2x 0＝x 30－x 20，∴x 0＝0或2＋2或2－ 2.答案 0或2＋2或2－ 26．在曲线y ＝x 3＋x －1上求一点P ，使过点P 的切线与直线4x －y ＝0平行．解 y ′＝3x 2＋1，设P (x 0，y 0)，则3x 20＋1＝4，∴x 0＝1或x 0＝－1.∴P 点坐标为(1,1)或(－1，－3)．综合提高 (限时25分钟)7．一点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则α的范围为( )．A.⎣⎡⎦⎤0，π2B.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎭⎫3π4，πD.⎝⎛⎦⎤π2，3π4解 y ′＝3x 2－1≥－1，∴tan α≥－1，又α∈[0，π)，∴x ∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 答案 B8．函数y ＝x 3cos x 的导数为( )．A ．3x 2cos x ＋x 3sin xB ．3x 2cos x －x 3sin xC ．3x 2cos xD ．－x 3sin x解析 y ′＝(x 3cos x )′＝(x 3)′cos x ＋x 3(cos x )′＝3x 2cos x －x 3sin x .答案 B9．曲线y ＝2xx 2＋1在点P (1,1)处的切线方程为________．解析 y ′＝2(x 2＋1)－2x(x 2＋1)2，y ′|x ＝1＝0，∴切线方程为y ＝1.答案 y ＝110．(2011·山东高考)曲线y ＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标为________． 解析 ∵y ′＝3x 2，y ′|x ＝1＝3，切线方程为y －12＝3(x －1)，令x ＝0，得y ＝9. 答案 911．求下列函数的导数： (1)y ＝x －1x ＋1；(2)y ＝3x 2－x x ＋5x －9x ；(3)y ＝sin 4x 4＋cos 4x4；(4)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x .解 (1)y ′＝(x －1)′(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)′(x ＋1)2＝(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)2＝2(x ＋1)2.(3)∵y ＝⎝⎛⎭⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x4 ＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫34＋14cos x ′＝－14sin x .(4)∵y ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x ＝2x ＋21－x ＝－2＋41－x，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫41－x －2′＝⎝⎛⎭⎫41－x ′＝4′(1－x )－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2.12．(创新拓展)求经过原点且与曲线y ＝x ＋9x ＋5相切的切线方程．解 设切点为M (x 1，y 1)，则y 1＝x 1＋9x 1＋5.又y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋9x ＋5′＝(x ＋9)′(x ＋5)－(x ＋9)(x ＋5)′(x ＋5)2＝－4(x ＋5)2， ∴当x ＝x 1时切线的斜率为－4(x 1＋5)2，∴k OM ＝y 1x 1＝－4(x 1＋5)2，即x 1＋9x 1＋5x 1＝－4(x 1＋5)2， 解出{ x 1＝－3，y 1＝3或⎩⎨⎧x 1＝－15，y 1＝35.故切点为(－3,3)或⎝⎛⎭⎫－15，35， 所求切线方程为x ＋y ＝0或x ＋25y ＝0.。
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4．2.3 导数的运算法则
1．下列结论不正确的是
( )
A ．若y ＝3，则y ′＝0
B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3
C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x
＋1 D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x
答案 D
解析 利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D 项，∵y ＝sin x ＋cos x ， ∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x .
2．函数y ＝cos x 1－x
的导数是 ( )
A.
－sin x ＋x sin x (1－x )2 B.x sin x －sin x －cos x (1－x )2 C.cos x －sin x ＋x sin x (1－x )2 D.
cos x －sin x ＋x sin x 1－x 答案 C
解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′＝(－sin x )(1－x )－cos x ·(－1)(1－x )
2 ＝cos x －sin x ＋x sin x (1－x )2.
3．曲线y ＝x x ＋2
在点(－1，－1)处的切线方程为 ( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1 C．y＝－2x－3 D．y＝－2x＋2 答案 A
解析∵y′＝x′(x＋2)－x(x＋2)′
(x＋2)2
＝
2
(x＋2)2
，
∴k＝y′|x＝－1＝2
(－1＋2)2
＝2，
∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
4．直线y＝1
2x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b＝________.
答案ln 2－1
解析设切点为(x0，y0)，
∵y′＝1
x，∴
1
2＝
1
x0，
∴x0＝2，∴y0＝ln 2，ln 2＝1
2×2＋b，∴b＝ln 2－1.
求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.。