微积分思想在高中数学中的应用毕业设计论文
微积分在中学数学教学中的应用
微积分在中学数学教学中的应用摘要微积分是高中数学新增加的容，也是大学数学的重要的基础课程，容包括导数和积分两个重要概念以及它们的应用；微积分是现代数学的基础，提供以直代曲，把非线性问题转化为线性问题解决的思维方式，在人类思想文化的发展中占有特殊的地位.在高中阶段开设部分微积分的容，不但是社会、经济、科学文化发展在数学课程上的要求，也是实现高中教育性目标和发展性目标的要求.微积分的容，在我国高中数学课程容中的选择和教学要求中，没有得到它应有的体现，难以满足我国社会、经济、科学文化高速的发展对它的要求和体现微积分自身的价值.对高中微积分的研究多数是中学是否开设微积分以及开设微积分的深度和广度的探讨.论文立足于教材《全日制普通高级中学教科书数学》第三册（选修2—2）（人民教育），从微积分产生的时代背景和历史意义出发，简要分析了国外对微积分教学的研究现状和意义，论述了高中开设微积分知识的必要性和可行性，通过对高中微积分课程的主要容的分析和研究，结合现代教育教学理论，归纳并总结了微积分在高中数学教学中的地位、作用和应用.并希望这些意见和建议对高中数学微积分的教学和发展具有一定的积极意义.关键词：微积分；导数；应用目录1引言 (1)2文献综述 (3)2.1国外研究现状 (3)2.2国外研究现状评价 (4)2.3提出问题 (4)3微积分在中学数学教学中的应用 (4)3.1微积分与中学数学的联系 (4)3.2微积分在中学数学中的地位和作用 (5)3.3微积分在中学数学解题中的应用 (5)3.3.1导数在求曲线的切线中的应用 (5)3.3.2导数在不等式证明中的应用 (6)3.3.3导数在恒等式证明中的应用的 (8)3.3.4导数法在求函数极值、最大（小）值中的应用 (9)3.3.5导数在几何上的应用 (12)3.3.6导数在方程解的问题上的应用 (12)3.3.7导数在数列问题中的应用 (12)3.3.8运用微分学知识研究函数图像[4] (13)4定积分在中学数学中的应用 (14)4.1定积分在求曲边形面积上的应用 (14)4.2积分在不等式证明中的应用 (14)4.3定积分在组合恒等式证明中的应用 (15)5提高现代数学教师数学修养的必要性、可行性 (16)5.1提高现代数学教师修养的必要性 (16)5.2提高现代数学教师修养的可行性 (16)6结论 (16)6.1主要发现 (16)6.2启示 (16)6.3局限性 (16)6.4努力方面 (17)参考文献 (17)1引言微积分的产生具有悠久的历史渊源.在中国，公元前4世纪前，恒团，公龙等提出的“一尺之锤，日取其半，万事不竭”；公园3世纪徽的“割圆术”和公元5—6世纪祖冲之、祖横对圆周率、面积和体积的研究（祖冲之在徽割圆术的基础上首先地计算了地球的体积），都包含着微积分概念的萌芽.在欧洲，公元前3世纪阿基米德对面积及体积的进一步研究（穷竭法），也都包含着上述的萌芽.欧洲文艺复兴之后，资本主义生产方式兴起，生产力有了较大发展.到了16世纪，由于航海、机械制造以及军事上的需要，运动的研究成了自然科学的中心议题.于是在数学中开始研究各种变化过程中的变化的量间的依赖关系，变量的引进，形成了数学中的转折点.在伽利略等人的数学著作中，都包含着微积分的初步想法.到了17世纪，生产的发展提出了许多技术上的新要求，而要实现技术要求必须有相应的科学知识，例如流体力学、机械力学等都有了突飞猛进的发展.在资本主义社会的商品生产中，贸易活动占有重要的地位，与此相关的海运事业迅速发展，向外扩的军事需要，也促进了航海的发展.航海需要精确而方便地确定位置（经纬度）、预报气象，天文学因而发展起来，所有这些发展都对数学提出了新的要求，这些要求变现为一些急需解决的问题，可以分为一下四种类型：（1）球运动物体的瞬时速度和加速度.（2）已知曲线求其切线.（3）已知函数求函数的极大值和极小值.（4）求曲线的长度.这些问题都是17世纪时，其他科学，尤其是天文学和力学极其某些技术科学所提出的基本数学问题.总之，到17世纪前叶，已经积累了许多关于微积分思想的成果，但微积分作为一门学科来发展，还是由于牛顿和莱布尼茨总结了诸多数学家的工作之后，分别独立建立了微积分学，他们建立微积分的出发点都是直观无穷小量.牛顿在数学上最卓越的贡献是创建微积分学，17世纪早期，数学家们已经建立起一系列求解无限小问题（诸如曲线的切线、曲率、极值，求运动的瞬时速度以及面积、体积、曲线长度以及物体重心的计算）的特殊方法.牛顿超越前人的功绩在于将这些特殊的技巧归结为一般的算法，特别是确立了微分与积分的逆运算关系（微积分基本定理）.微积分的产生具有深远的历史意义.一方面，它极促进了数学科学的发展，丰富了数学科学的思想宝库，随着微积分的理论基础逐步完善，以微积分为基础的数学分析科学得到空前发展，建立了多种数学分支，如微分方程、积分方程、复变函数、拓扑学、流形等.另一方面，微积分在力学、天文学以及物理和其它科学技术中的应用，极促进了以上科学的发展.2文献综述2.1国外研究现状国，由于历史的原因，我国对微积分的教学研究和把微积分容引入课堂相对比较滞后.自从1961年的大纲将微积分初步的知识纳入我国中学数学以后，广大的教育工作者在不同的时期，从不同的角度，利用不同的方法，对高中阶段微积分初步的教学目标、课程目的、容选取、教材编排以及教学方法等一系列的问题进行了一定的理论探索和实践研究，取得了一定的成果.早在1983年，的孟季和老师就针对1978年的高中数学大纲编著了《中学微积分教材教法》[1]一书，对当时大纲中所列出的中学微积分容进行了教学和教法的探讨.而在现阶段，教育学院的宏安教授、西北师大学附属中学教师高维纵和五中的特级教师袁桐等人，也分别从不同的角度对微积分课程容的选择、教学和教法等进行了有益的探索.在这一研究领域中有影响的另外一些学者和研究集体，也都从不同的角度和层面进行了广发而深入的研究.这些集体和个人的研究中，有一些还是国家和地方教育研究的重要课题.可见，高中微积分课程和教学的探索是一个重要的研究领域.国外，对微积分的教学研究较早，并且微积分的知识进入中学课本也较国超前.早在20世纪初，德国著名数学家F·克莱因就主微积分知识要进入中学.20世纪50年代末在美国兴起的“新数学”运动及后来60年代末在法国进行的“现代数学教育改革”运动，他们的主之一就是要求中小学数学课程容体现现代数学的发展，将微积分知识纳入中学数学课程.进入上个世纪80年代，各国又掀起了新一轮的微积分课程的改革.美、英、法、日、俄罗斯、国和我国的地区等国家和地区都相继出版了新的针对高中阶段学生学习的微积分教材.例如，日本，文英堂，竹之修，高等学校新编，数学II（1998）；我国地区高中三年级学习使用的《理科数学》上、下册（1988）；英国，剑桥大学SMP教材系列，纯数学（1997）；俄罗斯出版了由吉洪诺夫担任科学指导，阿利莫夫等主编的高中“代数与分析初步”（2000）等新编高中微积分教材，都在课程容的选择、编制和教学上进行了有益的探索.2.2国外研究现状评价文献分别就微积分在中学数学应用中的重要性及微积分在求导和曲边形面积的计算中的意义举例做了说明，文献中主要阐述微积分在中学数学解题中的几种应用方法，没有全面的介绍中学数学中常用的微积分数学思想.而且文献中对微积分在中学数学中怎样应用的问题提及较少，对学生在应用微积分时存在的问题也未给出详细说明. 2.3提出问题在一些发达的省市，微积分已纳入高考，对微积分的进一步学习迫在眉睫，但就部分高中生而言，他们已具备较强的学习能力，数学学习过程中会根据教师的指导，除学好基础知识外，还会体会微积分的思想，总结微积分在各方面的应用.但对普通高中多数学生，要教好掌握高中数学知识尚且困难，更谈不上对微积分的具体应用有更进一步的了解.因此，除对问题解决中应用微积分外，还要对应用微积分过程中学生可能遇到的难点及解决办法作探讨，包括了解中学数学与微积分的联系、微积分在中学数学中的地位和作用等.3微积分在中学数学教学中的应用3.1微积分与中学数学的联系微积分是高三数学第三册（选修2—2）的进一步延伸和发展，而这恰是高三学生步入大学需要继续学习微积分的基础.作为学习和研究数学的步骤，无疑是要先学习和掌握初等的微积分知识，进入大学后才能更好的学习和应用微积分.反之，学习高等数学中的微积分能加深对初等数学中微积分的理解和掌握，可以开阔思路、提高数学修养和解决问题的能力.但由于中学数学知识几乎很难和高等数学知识直接衔接，使不少大一新生一接触到“数学分析”时，就对数学专业课产生了畏惧、抵触情绪.而且高等数学中的微积分理论与中学教学又严重脱节，许多大学师毕业生对如何运用微积分理论指导中学数学感到迷茫；毫无头绪.为了解决上述长期存在的问题，研究微积分在中学数学教学中的应用是一项有效的措施.3.2微积分在中学数学中的地位和作用微积分在高中阶段只从几何意义的角度出发讲了导数、微分、定积分三部分的容，为中学生进入大学埋下伏笔，微积分在中学数学解题中提供了新的方法，同时也提供了重要的思想，为中学生以后进一步学好微积分打下基础．在中学数学中我们可以用微积分的一些观点引伸出解初等数学问题的某些技巧, 这些初等的方可以为中学生所接受, 而应用这些方法都可以将表面上看来完全无关的初等数学问题用几乎相同的方法解出.同时也可以对中学数学中的难题证明起到一些简化的作用.微积分的数学思想方法不仅在初等数学中有广泛的应用, 而且用微积分的观点往往可以揭示数学问题的本质, 从而使学生不仅知其然而且知其所以然.3.3微积分在中学数学解题中的应用3.3.1导数在求曲线的切线中的应用在中学教材里，由于初等数学知识本身的极限性，对切线的定义是建立在直线与圆和直线与圆锥曲线只有之个交点的基础上的，并且切线是不能穿过切线的.因此，求曲线的切线方法一般都是将直线方程与曲线方程组成方程组，消去y，化成关于x的一元二次方程，利用判别式0=∆来求解的.现在我们知道曲线上某点处的切线是曲线过该点的割线在这一点的极限位置，即只要曲线在这点的极限存在并连续，那么它的切线就存在.并且切线可以通过切点穿过这条曲线，即一条切线除切点外，还可能与这条曲线有其它的公共点，因此我们可以用导数的方法求曲线的切线.例1(2013年卷 理科)已知函数()x x x f ln 2-=，求曲线()x f y =在点()()1,1f A 处的切线方程.解：函数()x f 的定义域为()∞+，0， ()xx f 21'-，()0>x 因为 ()11=f ，()11'-=f所以曲线()x f y =在点()()1,1f A 处的切线方程为：()11--=-x y即02=-+y x因此，用导数的方法不仅修正了切线的定义，还可以用来求一些较为复杂的曲线的切线.3.3.2导数在不等式证明中的应用不等式不但是研究高等数学的重要工具，包括解不等式和不等式的证明两大部分容.相对来说，前者较易，后者较难.虽然在中学教材中也介绍了不等式证明的一些常用方法，如：比较法、分析综合法、反证法、数学归纳法等，但这些方法毕竟带有局限性，对于一些比较复杂的问题往往就不起作用，而且还有这些情况，题目略有不同，证明方法就迥然不同.总之，证明不等式是方法很多，要得出确定的方法几乎是不可能的.因此，不等式是证明在中学数学中是一个显著的难点.微积分却为不等式的明提供了强有力的方法和工具.下面通过例题分析说明利用导数证明不等式的基本方法和规律.例2已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有x x x ≤+≤+-)1ln(111 证明：构造函数111)1ln()(-+++=x x x g ， 从其导数入手即可证明：1111)(+-=-+='x x x x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数 当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数 故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞ 于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为：0)0()(max ==f x f因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x∴x x ≤+)1ln( （右面得证） 现证左面，令111)1ln()(-+++=x x x g ，则： 22)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ，即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数， 故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为：0)0()(min ==g x g ，∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即：0111)1ln(≥-+++x x ∴111)1ln(+-≥+x x ，综上可知，当1->x 时，有：x x x ≤+≤-+)1ln(111从此例可以看到，导数作为证明不等式的工具，方法简单、实用.而且渗透了很强的数学思想.3.3.3导数在恒等式证明中的应用的恒等式的证明在数学的各个分支几乎都要用到，这里就恒等式的三种情况（组合恒等式、代数恒等式、三角恒等式）利用导数的方法来证明更加简便.例3求证1321232-⋅=++++n n n n n nn nC C C C 解 方法一 利用组合数公式 11--=k n k n nC kC ，则()()1111110132121132------⋅=+⋅=+++=++++n n n n n n n n n n n n n C C C n nC C C C这种方法简单，但是技巧强，若想不到这样或者遗忘公式，就无法作答. 方法二 由二项式定理展开得：()nn n n n o n n x C x C x C C x ++++=+ 2211由幂函数的导数公式()1'-=n n nx x ，对上式两边求导得：()13211321--++++=+n n n n n n n x nC C x C C x n令1=x ，即可得：1321232-⋅=++++n n n n n n n nC C C C利用微积分中导数这种运算工具不仅能使问题变得简单，更重要的是可以优化解题过程，开阔学生视野，发展学生思维. 例3证明()()2112111321x nx x n nxx x n n n -++-=+++++-证明：()'3212321n n x x x x nx x x ++++=++++-()()[]()21'111111x x x x n x x x x n n n --++--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++()()21111x nx x n n n -++-=+例4 ()π=--343arccos arccos 3x x x ,⎪⎭⎫ ⎝⎛≤21x证明：令()()343arccos arccos 3x x x X F --=,则()()()2322'43141313xx x xx F ---+--=当2121<<-x 时，()0131322'=-+--=xx x F 故在⎪⎭⎫⎝⎛-21,21，()c X F ≡令0=x ，则()()0arccos 20403arccos 0arccos 30=⨯-⨯-=Fππ=⋅=22故π=c ，所以在⎪⎭⎫⎝⎛-21,21，()π=--343arccos arccos 3x x x又π=⎪⎭⎫⎝⎛±21F ，所以当21≤x 时()π=--343arccos arccos 3x x x在三角学中，有时从关于正（余）弦的恒等式出发，通过求导，即可得到有关余（正）弦的相应很等式恒等式.3.3.4导数法在求函数极值、最大（小）值中的应用 一、求函数()x f 极值的方法[3]一般地，求函数()x f y =的极值的方法是： 解方程()0'=x f ，当()00'=x f 时：⑴如果在0x 附近的左侧()00'>x f ，右侧()00'<x f ，那么()0'x f 是极大值； ⑵如果在0x 附近的左侧()00'<x f ，右侧()00'>x f ，那么()0'x f 是极小值. 二、求函数()x f 最值的方法我们知道，如果()x f 在闭区间[]b a ,上连续，那么()x f 必可在[]b a ,上取得最大值和最小值.求最值的方法是：先求出()x f 在[]b a ,上的所有极值点，设1x ，2x ，……，n x ，则()()()()(){}b f x f x f x f a f Max f n Max ，，，，， 21= ()()()()(){}b f x f x f x f a f f n ，，，，， 21min m in =如果确知()x f 的最值存在的话，这个方法也适用于开区间和无穷区间.例5求()44313+-=x x x f 的极值 解：因为()44313+-=x x x f ，所以()()()2242'+-=-=x x x x f令()0'=x f ，解得2=x 或2-=x . 下面分两种情况讨论：①当()00'>x f 时，2>x 或2-<x ； ②当()00'<x f 时，22<<-x当x 变化时，()0'x f ，()x f 的变化如下表：因此，当2-=x 时，()x f 有极大值，极大值为()3282=-f 当2=x 时，()x f 有极小值，极小值为()342-=f例6求()44313+-=x x x f 在[]3,0上的最大值与最小值. 解：由例4可知，在[]3,0上，当2=x 时，()44313+-=x x x f 有极小值，并且极小值为()342-=f又由于()40=f ，()13=f 因此函数()44313+-=x x x f 在[]3,0上的最大值是4，最小值是34-. 通过这两个例题我们看到，求函数极大（小）值和最大（小）时，运用导数在计算过程中简单快捷.通过例题我们看到，初等方法只能处理一些特殊问题，有很大的局限性，并且往往需要一定的技巧，还容易遗漏一些极值点，导数法不但方法简单、统一，易于掌握和运用，而且不会漏掉极值点，更重要的是它的应用围比初等方法广得多.3.3.5导数在几何上的应用3.3.6导数在方程解的问题上的应用利用导数判定单调性，可研究方程根的个数问题. 例 若3>m ，则方程0123=+-mx x 在[]2,0上有多少根？ 解：设()123+-=mx x x f ，则()mx x x f 232'-=，当3>m 且[]2,0∈m 时，()0'<x f ，故()x f 在()2,0上单调递减，而()x f 在0=x 与2=x 处都连续，且()010>=f ， ()0492<-=m f故()x f 在[]2,0上只有一个根． 3.3.7导数在数列问题中的应用导数是解决函数问题的有力工具, 更为数学解题注入了新的活力. 由于数列可看作特殊的函数, 所以自然可联想、尝试、应用导数知识解决数列问题.例已知数列{}n a 满足：n nn a a a 3231+-=+，*∈N n ，且()1,01∈a ，求证： 10<<n a证明：构造函数()x x x f 23213+-=，则：()()()1123'+--=x x x f当()1,0∈x 时，()0'>x f ，所以()x f 在()1,0上是增函数. 因为()1,01∈a ，即：101<<a故1=n 时，原不等式成立.设k n =时，原不等式成立，即10<<k a 因为()x f 在()1,0上是增函数，所以()()()10f a f f k <<又()00=f ，()11=f ，所以()10<<k a f ，即101<<+k a即1+=k n 时，原不等式成立，故：当*∈N n 时，10<<n a导数在数列中的应用还远不止这些，如利用导数还可以确定数列的最大项和最小项、研究数列的增减性、求数列的前n 项和等，但基本思想方法是一样的，在这里就不一一例举.3.3.8运用微分学知识研究函数图像[4]函数图像的直观性有着别的工具不可替代的作用，特别是在说明一个函数的整体情况及其特性的时候，其作用尤为明显，这就要求我们能正确地作出函数的图形．学微分学之前，用描点法作图是十分必要的，不过它有缺陷，带有一定的盲目性、点取得不够多也许就会得到一个错误的图像等．而运用微分学作出的函数图像，就能克服描点法作图的缺点，可有效地对函数的增减性、极值点、凹凸性等重要性态和关键点作出准确的判断．一般来说，讨论函数图像的步骤是：例4定积分在中学数学中的应用定积分是新课标中选修2—2新加的容，《课标》对定积分的定位如下：“（1）通过求曲边梯形的面积、变力做功等实例，从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础；（2）通过实例，直观了解微积分基本定理的含义；（3）了解微积分的文化价值．可见，高中课程学习定积分，重在粗浅地领略其主要思想和基本方法，从一些实例中初步认识定积分的工具作用．纵观这几年新课改地区高考主要在定积分的求法，定积分的简单应用尤其是利用定积分求面积上作文章．4.1定积分在求曲边形面积上的应用定积分的几何意义[3]：如果在区间[]b a ,上函数()x f 连续且恒有()0≥x f ，那么定积分()⎰ba dx x f 表示直线a x =，b x =，0=y 和曲线()x f y =所围成的曲边梯形的面积.例(2013年卷理科) 求直线 l 过抛物线y x C 4:2=的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于解析：本题考查抛物线的性质，定积分的计算.利用微积分基本定理求解.因为l 的方程是1=y ，所求面积等于一个矩形的面积减去一个积分值，即38122442420322=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=-=⎰x dx x S 例4.2积分在不等式证明中的应用利用导数之所以能证明不等式，主要是因为导数可以判断函数的单调性，可以求函数的极值和最值，此外还可以应用微分中值定理等等.而积分与微分互为逆运算，积分本身又具有单调性，此外也有积分中值定理，再加上积分明显的几何直观，使积分在不等的证明中也有广泛的应用. 例 比较12-和()21ln +的大小解： ∵1211102102-=+=+⎰x dx x x ()21ln ln111122+==+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎰x x xdx而当10≤≤x 时，有22111xx x+>+∴由积分单调性得()12ln 21->+4.3定积分在组合恒等式证明中的应用选择适当的二项式，通过求导运算，可以证明组合恒等式，这是我们在3.3中已经介绍过.同样，选择适当的二项式，通过积分运算，也可以证明组合恒等式.例 证明()11113121210+=+-+-+-n C n C C C n n nn n n 证明：考虑积分()⎰-=11dx x I n的两种算法：①11111+==-=⎰⎰-=n du u du u I n nxu ②()dx x C I n k k n kk n ⎰∑⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-==-1001()()1111010+-=-=∑⎰∑==k C dx x Ckn knk k nk knk()n nnn n nC n C C C 113121210+-+-+-= 比较积分I 的两种计算结果，即得所证.局限于高中对微积分不做过深的研究，如定积分在求平面区域的面积，求平面曲线的弧长，求旋转体的体积，求旋转体的侧面积等方面的应用在这就不做过多的讨论.5提高现代数学教师数学修养的必要性、可行性5.1提高现代数学教师修养的必要性5.2提高现代数学教师修养的可行性6结论6.1主要发现微积分在高考中越来越来被重视，且题型灵活多变，一般的学生难于把握，在解决的过程中更是困难重重，在解题中很难找到清晰的思路.然而当学生能够灵活掌握导数在解题中的应用以及数学思想方法，以其为指导，并熟练掌握微积分的基础知识以后，问题就能够迎刃而解，使得在解决微积分问题时思路清晰，运算简便，尤其是导数在求函数的单调性、极大（小）值和定积分在计算曲边形面积时对学生的帮助很大.6.2启示从上面的研究中可以看出微积分在求曲线的斜率、不等式的证明、函数的单调性以及求极大极小值、曲边梯形等有着广泛的应用，以后在处理微积分问题时，若能灵活应用微积分在这些方面的数学思想，对学生学习则会起到事半功倍的效果；微积分是高中教材选修2—2新增的容，无论是对于教师还是学生都是“新”的.作为教师要从思想方法上指导学生，6.3局限性本文主要就几种微积分在中学数学上的应用举例说明，其主要是归结概括，还有诸多知识需待补充，微积分在中学数学中的应用远远不止这些，未能一一例举.而本只介绍了几种微积分常用思想，其余的还有待进一步探讨.6.4努力方面微积分在中学数学中应用的领域众多，并不是短时间就可以学习掌握的.学好微积分是学习数学的关键，应用微积分可以解决很多数学数学问题，需进一步学习积累，灵活应用，以解决各类数学问题.参考文献[1]孟季和.中学微积分教材教法[M].：，1983：73—221[2]发祯.微积分在中学数学中的应用[M].教育，1991[3] 人民教育课程教材研究所.普通高中课程标准实验教科书《数学》（选修2—2）.人民教育.2009.。
数学微积分论文范文
数学微积分论文范文微积分是高等数学的一部分知识，关于微积分的论文有哪些？接下来店铺为你整理了数学微积分论文的范文，一起来看看吧。
数学微积分论文范文篇一：初等微积分与中学数学摘要：初等微积分作为高等数学的一部分，属于大学数学内容。
在新课程背景下，几进几出中学课本。
可见初等微积分进入中学是利是弊已见分晓，其重要性不言而喻。
但对很多在岗教师而言，还很陌生，或是理解不透彻。
这样不利于这方面的教学。
我将对初等微积分进入中学数学背景，作用及教学作简单研究.关键词：微积分;背景;作用;函数一、微积分进入高中课本的背景及必要性在数学发展史上，自从牛顿和莱布尼茨创建微积分以来，数学中的很多问题都得以解决。
微积分已成为我们学习数学不可或缺的知识。
其在经济、物理等领域的大量运用也使之成为解决生活实际问题的重要工具。
但牛顿和莱布尼茨创建的微积分为“说不清”的微积分，也就是连他们自己也说不清微积分的理论依据，只是会应用。
这使得很多人学不懂微积分，更不用说让中学生来学习微积分。
柯西和维尔斯特拉斯等建立了严谨的极限理论，巩固了微积分基础，这是第二代微积分，但概念和推理繁琐迂回，对高中生更是听不明白。
近十年来，在大量的数学家如：张景中，陈文立，林群等的不懈努力下，第三代微积分出现了相比前两代说得清楚，对高中生而言，也更容易理解。
这为其完全进入高中课本奠定了基础。
从内容来看，新一轮的课改数学教材在微积分部分增加了定积分的概念及应用(求曲边梯形面积，旋转体体积，以及在物理中的应用)，可能考虑到中学生的认知能力，人教版新教材与北师大版在这方面有所不同。
即利用定积分求简单旋转体体积在北师大版教材中出现了，但人教版没有。
从课标和考试大纲(参考2011年高考考试大纲)上看，初等微积分所占比重也是越来越重。
回顾历届高考，微积分相关题型分值越来越高。
但就我个人观点，初等微积分在中学数学中的作用还没有真正全面发挥。
我认为，它是学生中学数学和教师教学的一条线索，它是我们研究中学函数问题的统一方法，也是联系中学与大学数学知识的纽带!二、微积分在中学数学中的作用1.衔接性与后继作用。
微积分思想在高中数学教学中的应用
浅谈数学史的教育价值摘要：“数学史与数学教育”是国际数学教育研究的热点论题。
数学史的教育价值日益凸显。
我国数学课程标准关注数学史，旨在把数学史引入数学课堂。
然而，教学实践中，对数学史“高评价，低运用”的现象普遍存在。
研究资料显示，中学数学教师的数学素养不高是造成这一现象的关键原因。
关键字：数学史教育价值数学素养通常而言，自然科学往往是后来的理论推翻以前的理论，然后建立新的理论，但是数学不同于其他学科，它的历史性或者说积累性很强，重大的数学理论总是在继承和发展原有理论的基础上建立起来的，它们不仅不会推翻原有的理论，而且总是包容原来的理论。
从这个意义上说，不了解数学史就不可能全面了解科学。
所谓数学史就是研究数学发展进程与规律的学科，即研究数学概念、数学方法和数学思想的起源和发展、及其与社会政治、经济和一般文化的联系的一门学科。
其内容包括：研究数学发展的规律；研究社会因素的制约性；揭示数学对科学技术的作用等。
而数学史教育的主要任务是：通过对数学发展过程中的主要事件、主要内容及主要人物的学习，使学生掌握数学发展的基本规律，以及数学发展与社会进步的互动关系，了解数学家的简历及其基本的数学思想、数学精神与数学方法对人类文明的促进作用。
从中吸取经验和教训，并得到启迪，为日后工作打下坚实的基础。
20世纪70年代以来，关于数学史与数学教育的研究不断深入，尤其是进入21世纪以后，世界上许多国家先后进行了中小学数学课程改革。
改革的一个重要方面就是注重对数学文化与数学本质的探讨，让数学史融入数学课程。
时至今日，数学史对于数学教育的重要价值已在国内外得到广泛重视。
我国在2005年召开了“第一届全国数学史与数学教育会议”，在会上提出：“数学是处理为历史、为数学而历史之外，还应该为教育而历史，这也就是要发挥数学史的教育功能，使之成为一门可以‘应用’的学问”。
随着教育部《普通高中数学课程标准》和《义务教育数学课程标准》中数学史选修课的设置和各类数学史与数学教育的专著与论文日渐增多，近年来还有一些硕士和博士论文也是基于这一方向。
浅析微积分在中学数学中的应用.docx
学号 2009311010152 编号2013110152研究类型应用研究分类号O122文理学院College Of Arts And Science Of Hubei Normal University学士学位论文Bachelor ’s Thesis论文题目浅析微积分在中学数学中的应用作者姓名指导老师傅朝金所在院系数学系专业名称数学与应用数学完成时间2013年 5月湖北师范学院文理学院学士学位论文诚信承诺书中文题目：浅析微积分在中学数学中的应用外文题目： Application of calculus in mathematics teaching in middleschool学生姓名学生学号2009311010152数学系院系专业学生班级0901班数学与应用数学学生承诺我承诺在毕业论文（设计）活动中遵守学校有关规定，恪守学术规范，本人毕业论文（设计）内容除特别注明和引用外，均为本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的情况. 如有违规行为，我愿承担一切责任，接受学校的处理 .学生（签名）：年月日指导教师承诺我承诺在指导学生毕业论文（设计）活动中遵守学校有关规定，恪守学术规范，经过本人核查，该生毕业论文（设计）内容除特别注明和引用外，均为该生本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的现象.指导教师（签名）：年月日目录1.引言12.中学微积分的基本数学思想方法22. 1“极限”思想22.2化归思想42.3微积分中的哲学与辩证的思想52.4函数思想 [1]52.5数形结合思想63.微积分在中学数学中的应用63.1 关于函数的单调性63.2求函数的极值、最大值与最小值73.3函数的变化性态及作图83.4微积分在解方程中的应用103.5不等式的证明113.6恒等式的证明113.7曲线的切线及求法124.结语135.参考文献14浅析微积分在中学数学中的应用罗（导师：傅朝金教授）（湖北师范学院文理学院数学系中国黄石435002 ）摘要：微积分是大学数学必修的基础课程，它的基本理论对中学数学有着重要的指导作用 . 微积分的思想方法和基本理论有着广泛的应用，与中学数学联系非常紧密 . 对微积分中蕴涵的主要数学思想，如极限的思想、辩证的哲学思想、函数的思想、数形结合思想等都有不同程度的涉及 . 在讨论在函数的单调性、求函数的极值和最值、函数的变化性态及作图、微积分在解方程中的应用、不等式和恒等式的证明、曲线的切线及求法时，使用微积分的方法，能起到以简驭繁的作用，以进一步体现微积分与中学数学的联系 .关键词：微积分；函数性态；思想方法中国图书分类号： O122Application of calculus in mathematics teaching in middleschool Luo Fang (Tulor: Fu Chaojin Professor )(Hubei Normal University College of Arts and Sciences, Departmentof mathematics, China Huangshi 435002)Abstract:Calculus is a compulsory basic course of university mathematics, its basic theory plays an important role in middle school mathematics. Way of thinking in calculus and basic theory has been widely used, very close contact with the middle schoolmathematics. Mathematics to calculus ideas, such as the ultimatethinking,dialectical philosophy thought, the idea of function,number form combining thought have got different involved. In thediscussion on monotonicity of function, and the extreme values ofa function,function changes of behavior and mapping, in theapplication of calculus equation,inequality and identities,tangent to the curve and calculating method,methods use thecalculus, can play the role of deduce simplicity into complexity,to further reflect the calculus with the middle schoolmathematics.Keywords: Calculus; Functional properties; Thinking method浅析微积分在中学数学中的应用罗（导师 : 傅朝金教授）（湖北师范学院文理学院数学系中国黄石435002 ）1.引言2l 世纪高科技高速发展，数学是高科技发展的基础，世界各国都非常重视数学在各个领域的运用．我们广大教师，无论从事初等教育还是高等教育，一个重要目标就是培养满足社会需要的人才．相应地，数学教育的目的不仅要使学生掌握基本的数学知识与技巧，更加重视发展学生的能力．因此，如何培养学生数学的思维能力和思想方法，做到学数学、用数学，养成勤于思考，用“数学思维”去分析问题、解决问题的良好习惯，全面提高学生的数学素养，是摆在数学教育工作者面前一项既迫切又艰巨的任务．在我国新制定的《数学课程标准》中写道：“数学可以帮助人们更好地探求客观世界的规律，并对现代社会中大量纷繁复杂的信息做出恰当的选择与判断，同时为人们交流信息提供了一种有效、简捷的手段．数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值．”这无论是在基础教育阶段还是高等教育阶段都是数学教育目的所在．数学思想方法是形成学生良好认识结构的纽带，是有知识转化为能力的桥梁 . 在数学教育中，学生掌握科学的思维方法是成为创造型人才的基础，是培养高科技研究型人才、迎接新世纪高科技挑战的必由之路 . 作为一名中学数学教师，了解微积分与中学数学的关系，掌握微积分在中学数学中的应用，用较高的观点分析与处理中学教材，这对提高中学数学教学是十分重要的 .微积分的思想方法和基本理论有着广泛的应用 . 对微积分中蕴涵的主要数学思想，如极限的思想、辩证的哲学思想、函数的思想、数形结合思想等都有不同程度涉及 .本文同时举例说明微积分在函数的单调性、求函数的极值和最值、函数的变化性态及作图、微积分在解方程中的应用、不等式和恒等式的证明、曲线的切线及求法方面的应用 .2.中学微积分的基本数学思想方法所谓数学思想，是指人们对数学理论与内容本质的认识，它直接支配着数学的时间活动，是解决数学问题的根本策略.所谓数学方法，是指某一数学活动过程的途径、程序、手段，它具有程性、次性和可操作性等特点 . 数学方法是解决数学的手段和工具 . 数学思想方法是数学思想和教学方法的称 . 数学思想是数学知与方法形成的律性的理知 , 是数学方法的灵魂 . 数学方法是数学思想的表形式和得以的手段 . 数学思想是数学知和方法的，数学方法是解决数学、体数学思想的手段和工具 .微分如今既是大学的重要基，也是高中新增加的数学程的内容. 微分的展是很有趣的，其中思方法极重要，引起我在教学中的重 . 微分中涵的主要数学思想，如极限的思想、化思想、的哲学思想、函数的思想、数形合思想等从不同面都有不同程度的研究 .2.1 “极限”思想所极限的思想是用无限的化程来研究有限的思想．它是用有限描述无限、由近似渡到精确，更是一种工具、一种程，特是于化的“无小” 程，是高等数学的中心思想 . “极限”思想方法揭示了常量与量、有限与无限、直与曲等一系列立一及矛盾相互化的关系 . 其极限思想的本是人通化程量的分析来把握化程的果 . 是一种极有价的思方式 . 种思也是非常重要的，有利于学生形成思，到数学知的一性 .例如在求曲梯形的面，了四个程：化“整” “零”，以“直”代“曲”，“零” “整”，取极限四个程．首先将曲梯形任意分割成若干个小曲梯形，每个小曲梯形的面用接近的小矩形的面作近似替代，分割得越，近似程度越精确，最后以小矩形面之和得极限作曲梯形面．即：(1)化“整” “零”：分曲梯形个小曲梯形.2-12-2在区中任意插入若干个分点，把分成个小区度依次：，，，⋯，作，⋯，.，它的，经过每一个分点作平行于轴的直线段，把曲边梯形分成个窄曲边梯形，第个小曲边梯形的面积记作，(2) 以“直”代“曲”：用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积. .在每个小区间上任取一点，以为底，为高的小矩形近似替代第个小曲边梯形() ，则有，.(3)积“零”为“整”：求个小矩形面积之和 .把这样得到的个小矩形面积之和作为所求曲边梯形面积 A 的近似值，即.(4) 取极限：由近似值过渡到精确值，时，可得曲边梯形的面积，求得曲边梯形的面积 .通过极限思想在这些概念中的应用，使学生体会到数学的思想方法是从现实生活生产中产生的，并可以应用到现实生活中去．2.2 化归思想化归思想是指数学家们把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，把它归结到某个 ( 或某些 ) 己经解决或简单的，比较容易解决的问题上去，最终求得原问题的解答的思想，其核心就是简化与转化．化归思想有三要素：化归对象( 要化什么 ) ，化归目标 ( 化成什么形式 ) ，化归途径 ( 怎么化 ) ．在化归思想中，“转化”是关键．认知心理学认为 : 新知识的获得，新概念的形成，总要以旧知识为基础进行组织和构造的．即把新旧知识建立起联系，而这种联系常常用到化归思想．可见，化归思想贯穿于数学教材的始终，贯穿于解题过程的始终，它是最重要的、应用最广的数学思想．化归思想实际上是我们在研究问题时通过“去伪存真”，改“正面进攻”为“迂回侧攻”来简化问题的一种手段，以此来认清问题的数学本源，达到顺利解决问题的目的．例如在高等数学中常常利用化归原则，把反三角函数求导，复合函数求导，转化为导数的四则运算法则与基本初等函数的求导公式；根据复合函数求导法则，把普通初等函数求导及参数方程求导转化为导数的四则运算法则与基本初等函数的求导公式；将函数的单调性、极值、最值、凹凸性、拐点等问题判定转化为其( 二阶 )导函数的值的问题；将曲边四边形面积和旋转体的体积转化为定积分问题；也常将实际问题通过建立数学模型后转化为定积分运算来求解．像这种用化归思想方法解决实际问题从方法论角度说就是“化归原则”．一般说来，可以按下面的几种方式实施问题的转化：陌生问题熟悉化；复杂问题简单化；抽象问题形象化；命题形式的转化；引入辅助元素的转化．化归原则在解决问题时的一般模式为:还原图 2-3求曲边梯形的面积时，“一条曲线边”影响着问题用以往的知识的解答，是解决问题的矛盾的所在 . 然而，将进行任意分割个小区间后，得到了个小曲边梯形 . 通过“以直代曲”，即对每个小曲边梯形面积近似替代，则“曲”变“直”，问题迎刃而解 .还原图 2-4可见，化归思想在解决应用问题和数学建模过程中应用非常广泛．2.3 微积分中的哲学与辩证的思想微积分中的哲学思想、辩证的思想是微积分中的又一主要数学思想 . 微积分学是变量数学的主要组成部分，它本身就包含着唯物辩证法的丰富内容，如：量变到质变、特殊到一般、具体到抽象、近似到精确 . 在它的每一个定义、公式和法则中无不闪烁着唯物辩证法的光芒 . 微积分学中，通过曲线的切线研究曲线的性质，就是将曲线线性化，即以直代曲 . 又如微分与积分作为微积分的核心内容，微分是由整体研究局部性问题，而积分是由局部来研究整体问题 . 它们是两个互逆的过程，也是对立统一的 . 2.4 函数思想 [1]函数思想是函数概念、性质等知识更高层次的提炼和概括，是一种策略性的指导方法，是由研究状态过渡到研究变化过程的思想．辩证唯物主义认为，世界上一切事物都是处在运动、变化和发展的过程中，静止是相对的．函数思想是客观世界中事物运动变化、相互联系、相互制约的普遍规律在数学中的反映，它的本质是变量之间的对应．以这种观点去分析函数的思想，不难看出，函数是自变量与函数值的“绝对运动”，才换来了等式的“相对静止”．从而将两种方式对函数的定义统一于运动静止的体系中．要想辩证的理解好这两种“运动”形式，就要求我们教学中重视函数的思想方法的教学．微积分就是以极限的思想研究函数的特性的学科，经常要用到函数思想方法去分析处理问题 . 如导函数 ( 导数 ) 就是一个特殊的函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想：一个函数在某区间内的每一点都有导数，则该区间内每一个确定的值都对应一个确定的导数，即在该区间内构成一个新的函数——导函数. 由定积分知道，原来的函数称为原函数．这里建立两个函数之间的联系，在解决其中一个函数的问题时，可转化为另一个函数问题来解决( 化归思想 ) ；函数的单调性、凹凸性、函数的极值，最值 ( 尤其在经济问题中函数的最值应用题 ) 经常要考虑到函数思想方法；拉格朗日中值定理证明及其运用均需构造合适的函数．函数是微积分研究的主要对象，函数思想方法是学习微积分的基础，其在微积分的学习过程中得到升华和内化．函数与方程有非常密切的关系，方程的根可视为其相应函数在某种特定状态数学思想方法及其在微积分教学中的运用研究下的值．因此当研究方程问题时，特别是证明方程根的存在性及个数时，我们可以采用函数的思想，这样往往可以起到化难为易、化繁为简的效果，大大简化解题的步骤.2.5 数形结合思想微积分的许多概念都来源于实际，都有其几何或物理意义，不少结论也反映了某种几何关系或性质．如导数与曲线的切线密切相关、定积分表示曲边梯形的面积、积分中值定理反映了图形的面积之间的关系等 . 这就决定了数形结合法成为微积分中的一个重要思想方法 . 因此，在微积分的教学中，对某些知识，应从思想方法角度去分析，把握其本质联系，使一些看似静止孤立的知识成为有机联系的动态的知识，使学生逐步掌握系统、完整的知识结构 .3.例说微积分在中学数学中的应用3.1 关于函数的单调性中学数学中讨论函数的单调性，用的是定义法，即在定义域某区间上任取，若，则在该区间单调递增，若，则在该区间单调递减 . 该方法的优点是直观易懂，其缺点是函数表达式复杂时判断的正负比较困难，往往运用较高技巧，且适用面也较窄 [2].运用微积分方法讨论函数单调性时，只需求出，再考虑的正负即可 . 该方法简单易行，不需太多技巧，且适用面也宽.例 1已知函数，讨论的单调性.解的定义域为，，令，得，当时，，的变化情况如下：-+极小值所以，在上的最小值是.当，单调递减且的取值范围是；当，单调递增且的取值范围是.3.2 求函数的极值、最大值与最小值设在点连续，在点的某一空心领域内可导，当由小增大经过时，如果：（ 1）（ 2）由正变负，那么由负变正，那么是极大值点；是极小值点；（3）不变号，那么不是极值点.特别说明：(1) 驻点 ( 使的点叫做函数的驻点)不一定是点 .是函数的驻点，但不是其极值点.(2) 极值点还可能是使导数不存在的点. 如函数，在在，但是是它的极小值点 .的极值处导数不存例 2已知函数在取得极小值 5，其导函数的图象经过点，，如图 3-1所示，求：(1)的值；(2)，，的值；(3)的极大值 .解(1) 观察图象，我们可发现：当时，，此时为增函数；当，此时为减函数；当时，因此在处函数取得极小值 . 结合已知，可得，此时.时，图 3-1为增函数 .(2) 由(1) 知，即，再结合的图象可知，方程的两根分别是, .那么，即.联立(3) 由(1)知，得在，，.处函数取得极大值，所以3.3 函数的变化性态及作图中学数学教材中在介绍了二次函数、幂函数、指数函数、三角函数等函数时，通常用描点法作出函数的图像，这种图像不一定能反应曲线在一些点和区间上的性态 . 学习了导数及其应用后，就可以利用函数的导数并结合函数的某些性质，有效地对函数的增减性、极致点、凹凸性等重要性态和关键点做出准确的判断，从而较为准确的描绘出函数的图像 . 对于一些非初等函数，采用这一方法冒险而冗长，有许多不足之处，点取得不够多，也许就会得到一个错误的图象；而如果取得点太多，那将花费过多的精力，且仍会担心是否忽略了一些重要的点 . 例如函数与的正确图形应为图 3-2 所示，而用描点法很可能画出图 3-3 的错误图形 [4].图 3-3图 3-2利用导数作为工具，就可以有效地对函数的增减性、极值点等重要性态和关键点作出准确的判断，从而比较准确地作出函数的图象 . 一般来说描绘函数的图像可以按以下步骤进行：（1）求出函数的定义域确定图像范围.（2）判别函数是否具有奇偶性或周期性缩小描绘图像的范围.（3）求函数的不连续点，并讨论函数在不连续点的左、右变化情况，可能在极限，也可能趋向无穷( 此时有垂直渐近线 ) ，如果函数定义域是无限区间，则要讨论当无限增加时的变化趋势若存在极限，则有水平渐近线；若趋于无穷，应考虑是否有斜渐近线.（4）计算函数的一、二阶导数并求解和讨论的单调性、局部极值、凹凸性与拐点，列表.（5）计算曲线的稳定点、局部极值点、拐点的坐标以及曲线与坐标轴交点的坐标 .（6）在直角坐标系中，标出关键点的坐标，画出渐近线，再按讨论的性态逐段描绘 .例3 作函数解定义域为令，得驻点的图形 .，曲线与轴的交点为，，；令，得. 利用连续函数..列表如下 :极大值拐点极小值作图像如下：图 3-43.4 微积分在解方程中的应用在超越方程中判别根的情况大多是采用图像法，但是采用图像法对作图要求较高，往往会由于作图误差而出错.例 4[6]试证明方程在内只有个实根，并求出它的近似值 , 使误差不超过.本题首先要用到函数的零点存在定理和函数的单调性证明，接着用切线法求出近似值 .解设，则，，容易验证在区间上，，，，.因为在内连续，且是单调递增，两端点处的函数值异号，所以此方程在内只有 1 个实根 .可以看出在内，曲线是单调递增、下凹并从轴的下方穿过轴到上方的，曲线与轴交点的横坐标. 就是方程在内的根，现在用切线法求根的近似值 .在端点处作切线来求方程的近似实根，现在，所以它比更接近于根，继续施行这样的方法，得：因为，，而，所以取.为根的近似值，它的误差就不超过.3.5不等式的证明不等式的证明方法多种多样，但没有较为统一的方法，初等数学通过恒等变形、数学归纳法等方法解决，或应用已有的基本不等式来证明，为此往往先要进行恒等变形，这需要较高的技巧 . 而利用微积分的方法和知识，将不等式问题转化为函数问题，进而通过求导数法判断函数的单调性或最值，再利用函数单调性或最值来证明不等式，可简化不等式的证明过程，降低技巧性 [7].例 5证明不等式，.证明设，则，，所以递增，又例，故，即6设是自然对数的底，.是圆周率，求证:.证明因为函数单调递增，故等价于，即，即.令，则.因此，当时，，于是在内单调递减，从而，即，原命题得证 .3.6 恒等式的证明例7 求证：.本题不能用求和公式证明，但可以用二项式定理求导得证.证明因为，对等式两边求导得：，令即得：.3.7 曲线的切线及求法例 8[8]（2009全国卷Ⅰ理）已知，函数.（1）设曲线在点处的切线为，若与圆相切，求的值；（2）求函数的单调区间；（3）求函数在上的最小值.解（1）依题意有，，过点的直线斜率为，所以过点的直线方程为.又已知圆的圆心为，半径为 1. 所以，解得.(2)，当时，.令，解得；令，解得.所以的增区间为，减区间是.（3）当，即时，在上是减函数，所以的最小值为.当，即时，在上是增函数，在是减函数 .所以需要比较和两个值的大小.因为，所以. 所以，当时最小值为；当时，最小值为. 当，即时，在上是增函数 .所以最小值为.综上，当时，为最小值为；当时，的最小值为.4. 结语微积分作为人类文明史上宝贵的精神财富 [9], 凝聚了一代又一代数学家的心血，它那闪烁着人类理性思维的光辉，将永远鼓舞着后来人 . 因此，在中学数学教学中，向学生介绍微积分的思想，激发他们献身科学事业的热情是很有必要的. 因此，微积分的学习将有助于学生动态思维以及唯物主义思想的培养. 不仅如此，教师应向学生弘扬数学文化，使学生体会到数学荡漾着浓郁的人文气息 . 激发学生的创造热情，是每个中学教师义不容辞的责任 .用微积分处理中学数学中的问题，具有居临下的作用，对于沟通初等数学与高等数学的联系，提高教师把握教材的能力，开拓师生的思路都很有帮助 . 而且对中学数学中较难的题型通过用高等数学的理论与方法较易解决，充分体现了高等数学的优越性，从而使学生感到高等数学与初等数学的联系，增加学习数学的兴趣 . 另外，还可扩展中学数学的应用范围 . 微积分在解决中学数学问题中的应用远不止这些，在其它如因式分解、化简代数式、求值与求和等方面也有广泛的运用 . 随着微积分等高等数学知识再次现身中学数学教材，中学数学教师除应熟练掌握各种题型的初等解法外，还应善于运用高等数学知识解决中学数学问题.5.参考文献[1]丁向前 . 微积分思想在中学数学中的渗透 [J]. 数学教学研究， 2008， 27(8):4 ～5.[2]俞宏毓 . 例说微积分知识在解决中学数学问题中的应用 [J]. 高等函授学报（自然科学版）， 2006，20(2):32 ～ 36.[3] 贤锋 . 浅析微积分理论在中学数学的简单应用[J].引进与咨询，2000(1)：64～65.[4]魏本成，吴中林 . 微积分在中学数学中的应用 [J]. 天中学刊， 2001， 16(5) ：54 ～55.[5]吴向群，庄认训 . 微积分在中学数学中的应用 [J]. 青海师专学报（自然学科）， 2002，22(5):77 ～ 78.[6]徐岳灿 . 探索微积分在中学数学中的必要性 [J]. 上海中学数学， 2011，64 （6）： 27～ 29.[7]包建廷 . 微积分在不等式中的应用 [J]. 承德民族师专学报， 2003，23(2):27 ～30.[8]肖新义，肖尧 . 微积分方法在初等数学中的应用研究 [J]. 和田师范专科学校学报2009，28（5）： 15～16.[9]王昆扬 . 给中学生讲好微积分基本知识 [J]. 数学通报， 2001(6):23 ～ 24.[10]李霞 . 浅论数学分析的原理与方法在中学数学中的应用[J]. 牡丹江教育学院学报，2006，95（ 1）： 83～84.致谢大学生活转眼就要结束了，这几年是我人生中最重要的学习时间. 在大学校园里，我不仅学到了丰富的专业知识，更学到了终身受用的学习方法和积极的生活态度，通过对各门课程的学习和与相关专业老师的沟通，使我深感机会难得，获益匪浅，母校严谨的学风和老师的广博丰富的知识令我敬佩，各位老师的悉心授课使我对数学有了更多、更深层的认识，为以后的学习和工作打下坚实的基础 . 四年的读书生活在这个季节即将划上一个句号，而于我的人生却只是一个逗号，我将面对又一次征程的开始 . 四年的求学生涯在师长、亲友的大力支持下，走得辛苦却也收获满囊 .本学位论文是在我的导师傅朝金教授的亲切关怀和悉心指导下完成的的选择到项目的最终完成，傅老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持. 从课题. 在此，我还要感谢在一起愉快的度过大学生活的605 室友们，正是由于你们的帮助和支持，我才能克服一个一个的困难和疑惑，直至本文的顺利完成.在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意 !最后，再次对关心、帮助我的老师和同学表示衷心地感谢.湖北师范学院文理学院学士学位论文评审表系部数学系学生罗芳班级班评阅人傅朝金名称姓名0901姓名名称。
微积分思想在中学数学中的应用
毕业论文（设计）论文（设计）题目：微积分思想在中学数学中的应用姓名陈东学号 11111022037院系数学与信息科学学院专业信息与计算科学年级 2011级指导教师庄乐森2015 年 4 月 21日目录摘要 (1)ABSTRACT (2)第1章中学数学中的微积分思想 (3)1.1 中学数学与微积分的关系 (3)1.2 微积分的基本思想方法 (3)1.3 微积分的几种基本思想 (3)1.3.1 极限思想 (3)1.3.2 化归思想 (4)1.3.3 函数思想 (4)1.3.4 数形结合思想 (5)第2章微积分的基本应用 (6)2.1 关于函数单调性的讨论 (6)2.2 函数极值与最值相关问题讨论 (7)2.3 函数的变化性态与图像关系讨论 (8)2.4 关于用微积分解方程问题的讨论 (9)2.5 关于不等式证明的讨论 (11)2.6 关于曲线的切线及求法的讨论 (12)第3章结语和展望 (13)参考文献 (14)致谢 (15)摘要本文主要以微积分思想为基础来讨论微积分与中学数学之间的联系，介绍了常见的几种微积分思想，通过导数，来研究函数的单调性与极值问题，以及验证如何利用导数来证明不等式等问题.以此得到，将微积分应用到中学数学中，能够起到化难为易的重要作用，而且把微积分思想与中学数学之间的联系也需要我们进一步去研究与探讨.关键词：微积分；导数；不等式；最值ABSTRACTThis paper is mainly based on the idea of calculus to discuss links between calculus and middle school mathematics, it introduces several common calculus thought, through derivatives, to study the problem and Extremes monotonic function, and verify how to use derivatives proof of inequality and other issues. in this get, will be applied to high school calculus mathematics, it can play an important role in anything easy, and the contact calculus between thought and middle school mathematics, we also need to go further study and discussion.Keywords: Calculus; Derivative; Inequality; The most value第1章中学数学中的微积分思想微积分思想应用到中学数学中的方面有很多：求函数的极值与最值问题、函数单调性问题、以及利用导数证明不等式和恒等式，它们都是数学最基础的知识，通过微积分可以让问题更简单的解答出来，从而使学生更容易的去接受和理解中学数学.1.1 中学数学与微积分的关系初等数学是高等数学的基础，二者有着本质上的联系.将微积分运用到中学数学中也可以使得本质得以体现，进而更容易掌握初等数学.早在1983年，四川的孟季和老师就针对1978年的高中数学大纲编著了《中学微积分教材教法》[1]一书，对当时大纲中所列出的中学微积分内容进行了教学和教法的探讨，而且把微积分思想运用到初中数学中也能够为以后学习微积分打下一个坚固的基础.1.2 微积分的基本思想方法微积分思想方法在解决问题上一般分为变化率问题与积累性问题，两个问题虽然本质上看来有所不同，但在解决问题上却有异曲同工之处，都是讨论在局部范围的内近似状态，最后通过极限方法使近似状态精确到某一单点值，这就是所谓的微积分思想，微积分思想主要以极限为工具，对数学中的函数、不等式等问题进行解析，而且微积分能够运用到初等数学中的方法有很多：“以直代曲”、“局部刻画整体”、“极限方法”，但是在中学数学中一般偏重于对极限的运用与探讨.1.3 微积分的几种基本思想1.3.1 极限思想极限思想是数学思想的基础，它主要是讨论运用有限的值来描述无限的变化状态，通过多次运算把估算出的近似值转化到相对准确值上，这样也就充分体现出极限思想的本质，他可以讨论变化趋势的“无穷小”过程，同时也揭露了“曲线性与直线性”“量变与质变”“近似于精确”等一些对立统一而又能相互转化的辩证关系.例10.999991?我们知道1/3=0.33333...，两边同时乘以3就可以得到10.99999...=，这样我们就看左边是一个有限的数，右边是无限的数，0.99999...10.99999...990.99999...10⨯-⨯==⨯，所以0.99999 (1)=.同样的想法在求曲边梯形面积时，就要运用到“化整为零”、“以直代曲”、“取极限”等思想，首先把曲边梯形分割成若干个小梯形面积，对每个小梯形进行面积近似求值，最后求和取到近似值，而且分割的越细面积值就越接近曲边梯形面积，最后取极限值，问题得以解决.1.3.2 化归思想在数学问题上，一般都会运用到化归思想，它是解决问题的一个转折点，通过把问题转化，变向的去解决问题的思想方法，也是让问题通过更方便的途径或方法解决出来的另一种形式，起到化复杂为简单，化抽象为具体，化生为熟的作用，化归思想可以说在解决问题时是无处不在的，在问题与问题之间进行相互转化，最后求得原问题的答案，对于化归思想来说它的重要本质主要体现在“转化”，能够做到把复杂转化成简单，使问题更一目了然的展现出来.在数学问题上我们最常见几个利用化归原理来解答问题的例子：对反三角函数进行求导；复合函数求导，通常将其转化成最基本的导数，然后根据四则运算，求其结果，最后得到结果；求曲边形面积，将其转化成极限、积分问题.如在求曲边梯形面积时直接去求解，相对比较更繁琐、困难，但是若把它分割成若干个近似无限个小梯形，去求面积的总和，最后极限求值，这样问题就能更简单的解答出来.而且化归思想同时运用到数学建模上也是比较常见的，在设计模型时，就可以把抽象化具体，寻找实际的例子进行分析，最后转化到模型中.1.3.3 函数思想函数思想是数学中最重要的部分，也是主体部分，它的主体思想与辩证唯物主义是有密切关系的，在讨论事物的相对性，以及一一对应的关系时，不存在绝对性问题，只存在相对性关系，函数思想以变量关系为本质，讨论自变量、因变量以及函数值之间的对应关系.在中学数学中，我们了解熟悉基本初等函数有以下六类：（1）常量函数；（2）幂函数；（3）指数函数；（4）对数函数；（5）三角函数；（6）反三角函数.而且在高等数学中也会有很多的证明需要通过函数来完成，如：柯西中值定理，拉格朗日中值定理，罗尔定理，可见函数思想的重要性以及广泛的应用.中学中函数思想在数学中与其相关最密切的应该是微积分，因为函数中的很多问题都可以通过微积分中的导数来解决，如：解多元函数；讨论函数的单调性；计算函数的极值与最值；判断函数是否连续等问题.我们知道，通过导数来解析函数思想是很有意义的，设某函数在一个规定的区间内成立，那么不难得到区间内的每一个点都有相对应的导数，这样在该区间内就可以定义一个新的函数（即为导数），通过微积分思想我们可以了解到函数里包含导函数，原函数，在解决问题时，我们通常都是对原函数进行解析，但这样做可能变得更繁琐，因此，我们运用化归思想，将其进行转化变形，成为导函数，然后再解决，这样就是问题得以解决.1.3.4 数形结合思想所谓的数形结合思想就是利用图形把相应的数量关系有效地表达出来，做到数与图相结合，从而解决问题的本质，可以说是数学领域一项重要且基础的数学思想，它运用几何关系去表达数量关系，使数与形完美的结合，把抽象的问题或思维具体化，达到转难为易的程度，在微积分的学习中，用导数去证明函数的单调性以及用导数去求曲线的切线方程，这些都涉及到了数形结合思想，而且，对于初中学生来讲，刚刚接触初等数学知识，还不能很好地运用与掌握，但是如果能够把图形运用上，那么问题以及结果就更直观的展现出来，数与形相结合更有利于他们的起步，同时也为高等数学打下良好的基础.第2章 微积分的基本应用2.1 关于函数单调性的讨论定义 2.1：设函数()f x 在区间(),a b 上有定义，如果对于区间(),a b 内的任意两点12,x x ，满足：（1）当12x x <，恒有()()12f x f x ≥则称函数()f x 在开区间(),a b 单调递减；（2）当12x x <，恒有()()12f x f x ≤则称函数()f x 在开区间(),a b 单调递增； 在解决中学数学中函数问题时，一般都会用定义法，但是遇到比较复杂的函数反而不容易判断，如：反三角函数，复合函数，但是运用导数，反而使得问题更简单，更能让学生接受.利用导数来判断函数单调性问题的方法大致有以下几个步骤：（1）首先确定函数的定义域；（2）算出()0f x '=下函数的解，并判断是否是可导点，同时把定义域根据这些点分成多个子区间；（3）确定函数()'f x 在不同的子区间内的符号，根据正、负来判断函数的单调性. 例2 判断函数()()231f x x x =-的单调性.分析 本题主要考查函数的单调性，解决一般的函数大致都会用定义法，但是本题是幂函数，用定义法反而更麻烦，因此我们对函数()f x 进行一阶求导，求出导点与不可导点，然后根据导函数的符号判断函数的单调性.解 首先易知函数的定义域为(),-∞+∞， ()()123313252133x f x x x x x --'=-+=令()'0f x =得到125x =并且20x =是()f x 的不可导点. 所以可以将定义域(),-∞+∞分为三个子区间()22,0,0,,,55⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则画表如下:因此在区间()2,0,,5⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭函数是递增的，在区间20,5⎛⎫ ⎪⎝⎭是递减的. 2.2 函数极值与最值相关问题讨论可以说，函数的极值与最值问题一直都是大家讨论的热点话题，也是中学数学中一条重要的知识点，极值与最值可以反映出函数的特性.在很多应用中都有涉及，如：求讨论多元函数问题.若函数f 在闭区间[],a b 上连续，则在定区间[],a b 上一定有最大、最小值，这就为我们求连续函数的最大值、最小值提供了理论保证.具体的若函数f 的最大（小）值点0x 在开区间(),a b 内，则0x 必定是的极大（小）值点.又若f 在点0x 可导，则点0x 还是一个稳定点，所以我们只要比较f 在所有稳定点、不可导点和区间端点上的函数值，就能从中找到f 在定区间[],a b 上的最大值和最小值.下面举例解释这个过程.例3 求函数()322912f x x x x =-+在闭区间15,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值. 解 函数在闭区间15,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上连续，故必存在最大最小值.由于 ()()()()322222912291212912,0,452912,0,2f x x x xx x x x x x x x x x x =-+=-+⎧--+-≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩因此，()()()()()1612,0,45612,0.2x x x f x x x x ⎧----≤≤⎪⎪'=⎨⎪--<≤⎪⎩ 又因为()0012f '-=-，()0012f '+=，所以由导数极限定理推知函数0x =处不可导，令0f '=可得1,2x x ==，不可导点0x =，以及端点15,42x x =-=的函数值. ()()()1115515,24,00,, 5.4322f f f f f ⎛⎫⎛⎫===-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由此函数f 在0x =处取得最小值0，在1x =和52x =处去的最大值5. 2.3 函数的变化性态与图像关系讨论在中学数学中，我们最常见的几种函数图像基本上都是通过描点法来完成的，然而这样的方法得到的图像不一定能够明了的反映出曲线在一定的区间内的性态，这也是描点法的不足之处，但是学习了导数后，可以把导数应用到函数中去，利用导数来判断函数的单调、极值、最值、凹凸性等问题，进而也可以准确的画出函数的变化图像，但是对于一些初等函数而言，取点不够多，就会导致图像的错误，但是如果点取的很多，很浪费时间.对此类问题的例子有很多如：21y x =，正确的图像应为2-2，但是2-3确是用描点法得到的错误图像[]7.图2.1 图2.2所以图像的准确性直接关系着函数变化性的具体体现.作函数图像一般程序：(1)求函数的定义域；(2)考察函数的奇偶性；(3)求函数的某些特殊点,如：与两个坐标轴的交点，不连续点，不可导点等；（4）计算出函数曲线与坐标轴的交点坐标，以及极值点、拐点、稳定点的坐标；（5）把上述的重要点的坐标描到直角坐标系中，并画出渐近线，最后讨论曲线的变化性态.例4 作出函数3213x y x =-+的图形. 解 首先判断出函数的定义域∞∞（-，+），并且由题可知与y 轴的交点为（0,2）.22(2)y x x x x '=-=-，2 2.y x ''=-令0y '=，的驻点0x =，2x =；令0y '=，得驻点0x =，2x =；令0y ''=，得1x =. 列表如下:图2.3 2.4 关于用微积分解方程问题的讨论在解方程中尤其是超越方程，凭借以往的图像法去解决问题，往往会导致误差太大，使得答案不准确，因此，我们改用通过微积分，利用函数的单调性以及切线法来解方程.例5 用牛顿切线法求方程322470x x x ---=的近似解，使误差不超过0.01. 分析 首先通过构造函数，然后对函数进行求导，求出x 值，然后来判断是不是极值点，通过运算来得出近似解.解 设()32247f x x x x =---.求得导数()()()()322,6 4.f x x x f x x '=+-''=- 容易检验23x =-为极大值点，2x =为极小值点，并且203f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，又因为()()lim ,lim x x f x f x →-∞→+∞=-∞=-∞，所以方程()0f x =有且只有一个根.如图2.4所示，从点()4,9B 作切线与轴相交于()()1'44 3.684f x f =-≈ 我们来估计以1x 代替δ的误差：()f x '在[]3,4上的最小值为11m =，而()()1 3.68 1.03f x f ==，由误差计算公式可得 ()11 1.0311f x x m δ-≤=, 而1.030.0111≥，因此尚不合要求.图2.4再在点()()11,B x f x '作切线，求得,()()121'1 3.36f x x x f x =-≈, 由于()20.042f x =-，此时, 20.01x δ-≤,因此取 3.36δ≈已能所要求的精确度.2.5 关于不等式证明的讨论不等式是研究数学的重要工具，研究不等式以及不等式的证明两个问题也是数学领域的一个重大突破，相对来说，前者较易，后者较难，利用导数研究函数的单调性，再有单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合的一个难点，也是近几年高考的热点，同时证明不等式也是学生的弱点与难点，而利用微积分的方法和知识，将不等式问题转化为函数问题，进而通过求导数法判断函数的单调性或最值，再利用函数单调性或最值来证明不等式，可简化不等式的证明过程，降低技巧性[]10.那么以下则介绍以下用导数证明不等式的一般思路：（1）构造函数()f x ；（2）通过对函数的运算，求出函数在区间内的单调性；（3）通过函数单调性对不等式进行证明；（4）用函数的最值证明不等式.例6 已知,m n 为正整数，且1m n <<，求证()()11n m m n +>+.分析 直接验证无从下手，则对不等式进行化简变形即可得到，()()ln 1ln 1n m m n +>+，然后验证不等式()()ln 1ln 1m n m n ++>是否成立. 证明 构造函数()()ln 1x f x x +=，当()2x ≥时，求导得()()()()21ln 101x x x f x x x -++'=<+，所以()f x 在[)2,+∞上是减函数，由2m n ≤<知()()f m f n >，即()()ln 1ln 1m n m n++>或()()ln 1ln 1n m m n +>+ 所以()()ln 1ln 1n n m n +>+，即()()11n mm n +>+.从此例可以看到，导数作为证明不等式的工具，方法简单、实用.而且渗透了很强的数学思想.除了不等式的证明外，我们往往也会遇到恒等式的证明问题，对此也可以通过导数的方法来进行证明.例7 求证 1231232n n n n n n C C C nC n -++++=.分析 此题主要考查对二项式定理求导的理解与运用.证明 因为 012233(1)n n n n n n n n x C C x C x C x C x +=+++++，对等式两边求导得：112321(1)23n n n n n n n n x C C x C x nC x --+=++++，令1x =即得：1231232n n n n n n C C C nC n -++++=. 2.6 关于曲线的切线及求法的讨论例8[]11(2013年福建卷 理科)已知函数()x x x f ln 2-=，验证曲线()x f y =在点()()1,1f A 处是否存在切线方程并算出.分析 此题验证如何来求曲线的切线方程，怎样运用导数进行计算.解 函数()x f 的定义域为()∞+，0，()21f x x '=-，()0>x 因为 ()11=f ，()11,f '=-所以我们可以得到在点()()1,1f A 的切线方程为，()11--=-x y ，即 02=-+y x .综上所述，就可以证明出通过导数来求曲线的切线是一个很好的解题思想和方法.第3章结语和展望本论文研究的主要内容是:讲述微积分思想的意义以及作用，直接深入本文主旨提出微积分思想与中学数学的联系，通过举例证明在初等数学中的广泛应用，并且详细介绍了微积分的主要几种思想，然后在通过实际例子的解答与验证，了解到这些思想的相关应用，从而得到微积分思想在中学数学中的广泛应用，如：微积分关于函数的单调性、求函数的极值、最大值与最小值、函数的变化形态及作图、微积分在解方程中的应用、不等式的证明、曲线的切线及求法.用微积分去处理中学数学上的问题，能够起到化难为易的重要作用，而且能够让学生更容易的去接受，对于刚接触初等数学的学生，可以起到引导的的作用，同时也为以后更好的学习高等数学打下稳定的基础，微积分思想运用到中学数学中的知识也不仅仅只有这么多，如求不定规则图形的面积、讨论导数在数列中的应用、在几何上的应用、求方程的解、因式分解等很多问题上，它能够把问题通过转化变得简单，起到“化曲为直”的作用，而且在近几年的高考中也逐渐侧重了对微积分的考查与运用，在初等数学与高等数学之间，微积分思想起到承上启下的重要作用，同时也能够开拓师生的思路，掌握教材的能力，微积分思想在中学数学中的作用与地位主要体现在以下几个方面：（1）了解微积分的相关知识，能够增强学生的运算能力以及逻辑思维能力与空间何想象能力；（2）能够帮助学生提高解决问题的能力，为学生打下良好的数学基础；（3）微积分运用到初中数学中能够起到化难为易，化抽象为具体的重要转化作用.综上所述，都足以表明微积分思想在中学数学中的重要性，也使得这一重要的数学思想的本质得以体现.本文章主要介绍了微积分思想在中学数学中的应用，但是它也在其他的领域有所应用，如：在天文学上对经纬度的测量，从而进行了相关的研究：（1）研究黑洞与其他行星；（2）月食现象产生的原因；（3）计算气候变化周期.微积分作为人类文明史上宝贵的精神财富[15],数学史上的重要里程碑，也是数学家们辛劳的结晶，掌握和了解微积分，能够增强学生对数学的理解与运用能力，所以说微积分思想不但是数学史上的创举也是人类发展史上的重要的一部分.参考文献[1]孟季和.中学微积分教材教法[M].重庆：重庆出版社，1983：73～221.[2]曹发祯.微积分在中学数学中的应用[M].广东教育出版社，1991[3] 人民教育出版社课程教材研究所.普通高中课程标准实验教科书《数学》（选修2—2）.人民教育出版社.2009.[4] 丁向前.微积分思想在中学数学中的渗透[J].数学教学研究，2008，27(8):4～5.[5] 俞宏毓.例说微积分知识在解决中学数学问题中的应用[J].高等函授学报（自然科学版），2006，20(2):32～36.[6] 贤锋.浅析微积分理论在中学数学的简单应用[J].引进与咨询，2000(1)：64～65.[7] 魏本成，吴中林.微积分在中学数学中的应用[J].天中学刊，2001，16(5)：54～55.[8] 吴向群，庄认训.微积分在中学数学中的应用[J].青海师专学报（自然学科），2002，22(5):77～78.[9] 徐岳灿.探索微积分在中学数学中的必要性[J].上海中学数学，2011，64（6）：27～29.[10] 包建廷.微积分在不等式中的应用[J].承德民族师专学报，2003，23(2):27～30.[11] 肖新义，肖尧.微积分方法在初等数学中的应用研究[J].和田师范专科学校学报2009，28（5）：15～16.[12] 徐岳灿.探索微积分在中学数学中的必要性[J].上海中学数学，2011，64（6）：27～29.[13] 丁向前.微积分思想在中学数学中的渗透[J].数学教学研究，2008，27(8):4～5.[14] 李霞.浅论数学分析的原理与方法在中学数学中的应用[J].牡丹江教育学院学报，2006，95（1）：83～84.[15] 王昆扬.给中学生讲好微积分基本知识[J].数学通报，2001(6):23～24.致谢大学的四年生活转瞬即逝，回首过去的日子，感觉收获到很多东西，当完成这篇文章的时候，我感慨万分.首先真诚的感谢我的论文指导老师庄乐森老师，他能够在百忙之中帮我指导论文的修改与审查，同时，我也很感谢大学四年内教过我的老师们，是你们一丝不苟的工作精神与职业责任心深深地感染了我，是你们在教会我很多的数学知识与文学上的知识，是你们的启迪让我对知识探求的渴望，最后，我也很感谢陪伴我身边的朋友，是你们在我困难的时候帮助我，鼓励我，在我困惑的时候给予我宝贵的意见与建议，谢谢你们曾陪我走过，我的大学生活因为有你们而变得充实、丰富而又多彩.。
微积分思想在高中数学和物理中的体现版
设函数y=∫（x）的图像是一条光滑的曲线，从 图像上可以看出：当△X取不同的值时，可以 得到不同的割线；当△X趋于零时，点B讲沿 着曲线Y=∫（X）趋于点A，割线AB将绕点A转 动最后趋于直线L,直线L和曲线Y= ∫（X）在点 A处;相切”,称直线L为曲线Y= ∫（X）在点A处 的切线，
设函数Ｙ＝∫（Ｘ），当自变量Ｘ从Ｘ０变到１时， 函数值从∫（Ｘ０）变到∫（Ｘ１），函数值Ｙ关于Ｘ的平
解；1，前1秒的平均速度：9m/s 前2秒的平均速度 8 m/s前3秒的平均速 度7m/s 前4秒的平均速度:6m/s
2,
线密度
线密度—长度质量（g/km)。用纤维或纱线质量除以它的 长度就可以得到线密度。纤维的线密度是指纤维的粗细程 度。线密度是纤维很重要的物理特性和几何特征之一，它 不仅影响纺织加工和产品质量，而且还与织物的服用性能 密切相关。同样，线密度也是纱线最重要的指标。纱线的 线密度影响到纺织品的物理机械性能、手感、风格等，它 也是进行织物设计的重要依据之一。
在叙述一些生活的概念时有所应用 （1）瞬时速度 （2）线密度 （3）降雨强度 （4）生产速度 （5）血液中药物质量浓度
瞬时速度
定义：物体在某位置或某时刻的速度叫做 瞬时速度
一，汽车从制动到停下来需5s，这段时间内，汽车每1s前进距离为 9m,7m,5m,3m,1m. (1)求前1，2，3，4s和全程的平均速度。这5个速 度哪一个最接近汽车关闭油门时到最后1秒的平均速度？汽车的末速度？
(莱布尼茨)
(牛顿)
微积分思想的分类
1 微分思想
2 积分思想
目录
1 微积分思想概述 2 在高中数学的体现 3 在高中物理的体现 4 日常应用
在高中数学的体现
1在几何的体现 (1)求圆的周长和面积的应用 (2)求球的面积体积的应用 (3)求曲线的切线的应用 2在代数的体现 (1)导数 (2)求函数的最大值和最小值问题
微积分与高中数学的联系及应用---毕业 精品
【标题】微积分与高中数学的联系及应用【作者】周鹏飞【关键词】微积分中学数学极值【指导老师】米永生【专业】数学教育【正文】1 引言数学是一门逻辑性很强的科学，各个知识联系紧密，互相渗透。
将高等数学的理论应用于高中数学，使其内在的本质联系得到体现，进而去指导高中数学的教学工作，降低教学的难度和学生学习的难度，是一个值得研究的课题。
把微积分的知识应用于解决中学数学问题上，能起到以简取繁的作用，使一些证明更严整或更简单，并为许多问题提供新的解决途径；同时，微积分知识运用技巧性强，它有利于优化学生的认知结构，开阔思路，从而能够使学生形成良好的创造性思维和创新意识，是培养学生能力和科学素养的理想素材。
本文介绍中学数学的8个方面应用微积分解题的情况，着重结构分析，突出解题技巧，尽现微积分解题特点。
2 不等式与恒等式的证明不等式是高等数学和近代数学分析的重要内容之一，它反应了变量之间很重要的一种关系。
论证不等式的方法很多，本文着重介绍用微积分知识证明不等式的几种常用方法，常见的有函数的单调性，微分中值定理，级数中的泰勒公式，极值的判定法，定积分的性质等。
2.1利用函数的单调性证明不等式若函数在区间可微，则在严格递增(递减)的充要条件：，利用此法证明不等式时，一般取不等式两边的函数之差为新函数f(x)，然后讨论的单调性。
例 2．1【1】当0 ≤x≤,求证sin x ≥ x 。
分析:若令F( x) = sin x – x , F′( x)= - ,由于导数符号不断变化, 故辅助函数F( x) 无单调性, 需重设辅助函数F( x) ,可用除法试之。
证明:令F( x) = , F(0) =F( x) = 1 , F( ) = F′( x)= ,令g( x) = x - sin x , g(0) = 0 g′( x)= - x - ≤0,∴g( x)单调递减,因此g( x) ≤g(0)= 0∴F′( x)≤0, ∴F( x)单调递减,∴F( x)≥F() =∴sin≥ x例2.2 当时，求证.证明：令，可知在时单调递增，故所以在上是单调递增，又得即证得当时.注初等数学中讨论函数的单调性时,经常在某区间任取, ,令,若,则在该区间单调增加,若, 则在该区间单调减少。
谈微积分思想在高中数学中的应用
谈微积分思想在高中数学中的应用作者：金燕子来源：《教育周报·教育论坛》2019年第39期摘要：伴随新课程标准进程的不断深入，曾经大学数学内容中的微积分理论已应用于初等数学，在高中数学课堂教学中为函数、变量问题的研究提供了便捷的途径，在许多问题上起到化繁为简、事半功倍的作用。
本文主要就导数（含极限理论）和定积分（含极限理论）、微积分基本定理在高中数学中的一些应用作出说明和探讨，为学生解题带来新的解题思路和众多技巧，帮助学生快速、准确解题。
关键词：导数、定积分、极限理论、微积分基本定理、应用正文：微积分本是高等数学中研究函数的重要工具，它是数学的一个基础学科，新课标将一元函数微积分的部分内容拿到高中教材中，主要包括导数（含极限理论）、定积分（含极限理论）和微积分基本定理等。
其中微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论，它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论运算，下面就举例说明。
一、导数几何意义的应用1、导数几何意义的应用是高考命题的热点问题之一。
主要命题角度有：（1）利用导数的几何意义求参数值或范围;（2）求切线倾斜角的范围。
二、导数在函数研究中的综合应用导数在函数研究中的综合应用是历年高考考查的热点，问题多涉及单调性、极值、最值、不等式证明、方程根的讨论，以及不等式恒成立或存在问题，体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归的数学思想的运用。
利用导数解决恒成立问题主要涉及以下方面：（1）已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值問题求解;三、定积分的创新交汇问题近几年各地高考命题将定积分与概率、数列、二项式定理等知识结合起来交汇命题，下面我们通过例题来感受一下定积分的创新交汇问题。
总结：微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。
本文从高中教材中涉及到的导数几何意义的应用、导数在函数研究问题中的综合应用、定积分的创新交汇问题等几方面，举例说明了微积分在高中数学中的应用问题，希望能为学生带来全新的解题视角和解题技巧，同时也由衷希望读者能由简入繁、举一反三，能够真正掌握微积分的真谛和精髓所在，感受数学世界的奥妙和魅力！参考文献：人民教育出版社课程教材研究所，普通高中课程标准实验教科书《数学》（选修2-2）.人民教育出版社.2009韩清海，《高中总复习导与练》理科数学，第一轮，A版.新世纪出版社.2015。
探究微积分在高中数学解题中的应用
探究微积分在高中数学解题中的应用作者：李培来源：《天津教育·下》2018年第08期微积分在数学学科当中有着极其重要的地位，在当下的数学教学中发挥着基础性作用，使函数和变量之间的关系被重新定义。
微积分在高中数学中属于关键性的内容，其可以帮助我们强化对数学的思考方式，不仅在很大程度上解开了数学中的诸多难题，同时为大学高等数学的学习打下了坚实的基础。
本文在此针对微积分在高中数学解题中的应用进行了研究。
近年来，在我国教育不断地进行深化改革的过程中，教育机构也渐渐开始关注高中和大学间教育对接的问题。
高中数学和大学高等数学中的很多内容都存在着必然的联系，可以说大学高等数学是高中数学的延续内容。
在当前的高中数学当中，反三角函数、微积分以及数列极限等相关教学内容慢慢地渗入进来，尽管使高中数学的困难程度有所增加，但在有效提升数学基础方面也起到了很大的作用。
微积分在高中数学解题中的应用导数应用于几何中导数的相关内容应用于几何解题之中，能够使几何题目的求解过程简单化，加快解题的速度。
比如在切线方程当中，倘若提供了曲线外的一点，而求解该点的切线方程，可利用导数的相关知识内容对此加以快速计算。
因在高考的内容当中关于微积分的题目越来越多，教师在授课的过程当中对特殊曲线的切线求值也显得越发关注，例如数学当中的三角曲线、对数曲线和指数函数等。
而对于此类较为复杂的曲线实施切线的计算，倘若还是用之前的计算方法，那么其工作量之大可想而知，并且很可能得到错误的结果，所以一定要使用微积分的相关知识内容对切线加以计算，在应用微积分的过程中，只要把切线的斜率计算出来，就会使相关问题得以解决。
微分中值定理应用于方程根的判断中一般情况下，在高中数学的教学内容中对方程根的判断基本上就是使用判别式来对其加以分析，而在高等数学当中，判别式的求解过程要更加烦琐一些，所以極易使计算出的结果失去准确性。
而在使用微分中值定理的情况下，就可以使求解的过程在一定程度上得到简化，从而使最终的结果也更加具有准确性。
浅谈微积分在高中数学解题中的应用
浅谈微积分在高中数学解题中的应用作者：陈昊东来源：《中学课程辅导·教学研究》2017年第02期摘要：微积分是数学发展史中的重要历程点，为近代数学的发展提供了有利基础，让人们重新定义函数与变量关系。
微积分是高中数学中的重要内容，其能够帮助我们培养数学思维，从而有效解决数学难题，同时也为大学高等数学的学习建立良好的基础。
文章主要针对微积分在高中数学解题中的应用展开讨论。
关键词：微积分；高中数学；解题思维随着现代教育改革的不断深入，教育部门越来越重视高中与大学之间的教育衔接问题。
高中数学也有许多内容与大学高数有着密切的相关性，甚至将高等数学作为高中数学的延伸。
近些年来，高中数学逐渐加入一些反三角函数、微积分、数列极限等内容，虽然一定程度上增加了高中数学的难度，但同时对于培养良好的数学基础具有积极影响。
一、微积分在高中数学解题中的应用1.导数在几何问题中的应用导数知识点在几何求解中的应用，能够简化计算过程，提高解答效率。
例如在切线方程中，若给出曲线外一点，要求计算该点的切线方程，可以通过导数知识对于该问题进行快速解答。
2.微分中值定理在方程根判断中的应用传统高中数学知识点中对于方程根的判断主要是利用判别式进行分析的，但是对于高等数学来说，判别式的计算过程相对比较复杂，容易导致计算错误。
但利用微分中值定理则能够有效简化计算流程，如图1所示。
3.利用导数描绘函数图像和判断函数的单调性和区间通过一阶导数能够确定函数图像的上升区间和下降区间，同时能够确定极值点的位置；通过二阶导数能够确定函数图像的凹凸区间、拐点，同时可以根据这些参数了解函数的单调性，从而准确绘出函数图像。
二、高中数学学习微积分的积极影响1.帮助我们更快解决数学问题微积分的学习能够帮助我们有效解决数学问题，同时对于生活中一些常见的问题也能够使用微积分进行计算[1]，例如我们能够利用微积分进行速度、加速度、边际成本、利润、比表面积、极值等参数的计算，让我们在解决问题的过程中了解微积分的应用价值，从而更加主动的学习数学知识。
高数微积分思想及其在实践中的应用探讨
高数微积分思想及其在实践中的应用探讨【摘要】本文探讨了高数微积分思想及其在实践中的应用。
首先介绍了微积分的基本概念，包括导数和积分等内容。
接着分析了微积分思想在物理学、工程学、经济学和计算机科学中的具体应用，展示了微积分在各个领域中的重要性和价值。
结尾部分总结了高数微积分思想的重要性，并展望了未来微积分思想在实践中的潜在应用。
通过本文的探讨，我们可以更深入地理解高数微积分思想，并认识到它在现代科学和技术发展中的关键作用，为我们进一步探索微积分思想的应用提供了有益的参考和启示。
【关键词】高数、微积分、思想、应用、物理学、工程学、经济学、计算机科学、重要性、潜在应用、总结1. 引言1.1 高数微积分思想及其在实践中的应用探讨微积分作为数学的一个重要分支，具有深刻的思想内涵和广泛的应用价值。
在实践中，微积分思想被广泛运用于物理学、工程学、经济学、计算机科学等领域，为这些学科的发展和应用提供了重要支撑。
本文将探讨高数微积分思想在实践中的应用，旨在深入理解微积分的基本概念，并探讨其在不同领域中的具体应用案例。
微积分的基本概念包括导数、积分和微分方程等内容，在现代科学和工程学中已经成为不可或缺的基础知识。
导数可以描述函数在某一点的变化率，积分则可以计算函数在某一区间内的面积或体积，微分方程则可以描述物理现象或工程问题中的数学关系。
这些基本概念不仅构建了微积分学科体系，也为其在实践中的应用奠定了基础。
在物理学中，微积分思想被广泛应用于描述物体运动的速度、加速度和力学等问题。
通过微积分分析，可以更准确地预测物体在空间中的运动轨迹，为天体运动、机械运动等问题提供了精确的数学模型。
在工程学领域，微积分思想则被应用于建筑设计、航空航天、电子通信等方面，为工程师解决复杂问题提供了数学工具。
在经济学中，微积分思想被用于分析市场供需关系、利润最大化等问题，为经济学家提供了量化分析工具。
在计算机科学领域，微积分思想也被应用于算法分析、数据处理等方面，为计算机科学家解决实际问题提供了数学支持。
初等微积分在高中数学中的运用
龙源期刊网
初等微积分在高中数学中的运用
作者：郭志荣夏红林
来源：《中学课程辅导高考版·教师版》2009年第03期
17世纪微积分的出现，是数学史上的一件划时代的大事，是数学发展的里程牌。
由于微
积分具有将复杂问题化归为简单规则和步骤的非凡能力以及深遂的思想方法，它的出现极大的影响了数学以及整个科学的发展。
正如美国数学家柯朗(Courant)所说：“这是一门撼人心灵的智力奋斗的结晶，这种奋斗已经经历了两千五百年之久，它深深的扎根于人类活动的许多领域，并且只要人们认识自己和认识自然的努力一日不止，这种奋斗就将继续不已”。
因此让学生了解微积分在高中数学中的运用，是完善中学生逻辑思维与辨证思维，提高中学生数学素养的有力举措。
23245微积分思想在高中数学和物理中的体现最新版-精选文档
目 录
1 微积分思想概述 2 在高中数学的体现
3 在高中物理的体现 4 日常应用
什么是微积分思想
微积分思想是微分思想和积分思想的总称。 它是一种数学思想，微分就是‘无限细分’ ， 积分就是‘无限求和’ 。无限就是极限，极 限的思想是微积分的基础，它是用一种运动微积分是研究函数 的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。 微积分是为了解决变量的瞬时变化率而存在的。 从数学的角度讲，是研究变量在函数中的作用。 从物理的角度讲，是为了解决长期困扰人们的 关于速度与加速度的定义的问题。
设函数y=∫（x）的图像是一条光滑的曲线，从 图像上可以看出：当△X取不同的值时，可以 得到不同的割线；当△X趋于零时，点B讲沿 着曲线Y=∫（X）趋于点A，割线AB将绕点A转 动最后趋于直线L,直线L和曲线Y= ∫（X）在点 A处;相切”,称直线L为曲线Y= ∫（X）在点A处 的切线，
设函数Ｙ＝∫（Ｘ），当自变量Ｘ从Ｘ０变到１时， 函数值从∫（Ｘ０）变到∫（Ｘ１），函数值Ｙ关于Ｘ的平
目 录
1 微积分思想概述 2 在高中数学的体现
3 在高中物理的体现
4 日常应用
日常应用
在天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程 学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各 个分支中得到充分应用。 在叙述一些生活的概念时有所应用 （1）瞬时速度 （2）线密度 （3）降雨强度 （4）生产速度 （5）血液中药物质量浓度
在高中数学的体现
1在几何的体现 (1)求圆的周长和面积的应用 (2)求球的面积体积的应用 (3)求曲线的切线的应用 2在代数的体现 (1)导数 (2)求函数的最大值和最小值问题
几何
微积分在中学数学中的应用
微积分在中学数学中的应用摘要：用高等数学乃至现代数学的思想、观点和方法来分析、认识初等数学的内容，高屋建瓴地处理教材，是高等专业学校数学教学中的一个重要问题。
本文从求函数的极值、讨论函数的单调性、不等式的证明、恒等式的证明、切线方程的求法、数的概念的深刻理解、定积分计算体积等七个方面对微积分在中学数学中的应用问题加以分析，既为解决中学数学的相关问题找到了一些新的解题途径，又使微积分对中学数学的指导作用得到了具体说明。
这样，既拓宽了数学解题的思路，使学生原有的数学知识体系更连贯，学生对知识的理解也更深刻，也能对学生学习高等数学产生良好的心理效应。
关键词：微积分；切线方程；单调性；极值我国现在普遍使用的高中数学教材(人民教育出版社)中，增加了微积分的部分知识。
为什么要增加这部分内容，笔者认为，至少有以下五个原因：一是微积分是人类宝贵的精神财富，加进微积分知识可以增强高中数学的人文价值：二是使学生掌握更有用的变量数学知识，有利于学生数学思维能力的培养；三是可发挥微积分对初等数学的指导作用，促进中学数学教学及邻近学科教学质量的提高；四是增加了解决实际问题的工具，有利于学生分析问题、解决问题能力的培养；五是微积分进入中学已成为国际潮流。
本文将就第三条原因展开讨论，主要讨论微积分在初等数学中的应用问题。
一、求函数的极值初等数学中，经常用不等式、配方法求极值，这些方法的优点是学生熟悉，易于掌握。
但这些方法往往有三个缺点：一是技巧性要求较高，特别是对较复杂的问题；二是适用面较窄，只能解一些较特殊的问题；三是容易混淆极值和最值两个概念，遗漏了极值。
用微积分方法求极值，有固定程序可循，技巧性要求低一些，适用面也广一些，极值和最值也容易区分。
例1.求++1的极值解： =，令=0 得解得或由可得或，因此：当时,得极小=；当时，得极大=3；当时，得极大=1此题若用配方法解如下：(+)2+，当时，得极小=；当时,得极大=3,但很容易遗漏极大=1.二、讨论函数的单调性初等数学中讨论函数的单调性时，经常在某区间任取，令若，则在该区间单调增加。
浅析微积分在中学数学中的应用
毕业论文（设计）论文（设计）题目：浅析微积分在中学数学中的应用姓名学号院系专业年级指导教师2016年04月17日目录摘要 (1)ABSTRACT (2)第1章引言 (3)第2章中学微积分的基本数学思想方法 (4)2.1 “极限”思想 (4)2.2 化归思想[1] (5)第3章微积分在中学数学中的应用 (7)3.1 导数在函数单调性问题上的应用 (7)3.2 利用导数求函数的极值问题 (7)3.3 函数的变化形态及作图 (8)3.4 微积分在解方程中的应用 (10)3.5 不等式的证明 (10)3.6 恒等式的证明 (11)3.7 曲线的切线及求法 (12)第4章结论 (13)参考文献 (14)致谢 (15)摘要本文对微积分中的思想诸如如函数的思想、极限的思想、和化归思想等思想都有深浅不同的探讨。
我们使用微积分的方法来讨论函数的单调性、函数的极值和最值、函数的变化形态及作图、微积分在解方程中的应用、不等式和恒等式的证明、曲线的切线及求法。
这样就简化了解题思路和步骤，更深层次的体现出微积分与中学数学间的联系。
关键词：微积分；函数形态；思想方法ABSTRACTThis article focuses on the varying degrees of the main mathematical thinking in calculus,such as limit thought,the the thought of function,and the transforming thought.In discussions on the monotonicity of the function, and the function extreme value and maximum function, and the change of configuration and mapping, application of calculus in solving equations, inequalities and proof of identity, the tangent of the curve and the method, using the methods of calculus to solve problem more easy, in order to reflect calculus links with the middle school mathematics.Key words: Calculus;Function form;Math Thought第1章引言由古至今数学都与人类的生活息息相关，特别是当今社会，科技迅速的发展，高科技产物的层出不穷也使得人们对生活质量的需要越来越高。
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微积分思想在高中数学中的应用摘要如今，微积分这一部分已经成为了高中数学教材中较为重要的一知识部分。
教学大纲中已经将微积分的部分知识正式提出，相应的教材也出版了多次。
微积分是理工科大学生的必修课程，而高中开设的微积分，对大学微积分教学产生了很多很重要的影响。
同时，利用微积分可以解决许多初等数学中的问题，如在函数；方程；数列；曲线等都有很多应用。
微积分有助于初等数学的深入学习。
目前高考中的一个热门就是利用微积分来处理初等数学中的值域问题及不等式问题。
所以，如何开设高中微积分课程，如何完成从初等数学到高等数学上的一个基本过渡，这是一个很值得研究的问题。
本文就在此背景下研究这个问题，力求在教育思想、教育理念上达到一个升华。
关键词：微积分；新课标；高中数学；函数；方程；数列；曲线；不等式微积分思想在高中数学中的应用The application of calculus in high-level mathematicsAbstractNow infinitesimal calculus has become a pretty important part in high school textbook．In teaching program，infinitesimal calculus is raised and be published in textbook three times．Especially in the new standard for course，infinitesimal calculus has been a key point．And，infinitesimal calculus is a obligatory course for science students in university。
The set up of infinitesimal calculus in high school took affect for university study a lot．Infinitesimal calculus could solve basic mathematics problem in a convenient method．Learning infinitesimal calculus is an efficient tool for basic mathematics learning．How to set up infinitesimal calculus lesson in high school，how to solve the transition from junior middle school to senior middle school ? It’s a question that valuable to study．At this background，we do some research for this question，to get a sublimation of teaching thinking．Key words：infinitesimal ；calculus ；new standard of course ；function ；function ；equation ；progression ；curve目录中文摘要.................................. .. (Ⅰ)英文摘要................................. (Ⅱ)引言................................... (1)1.问题的提出与研究综述................... . (1)1.1研究背景 (1)1.2微积分在高中的教学与研究综 (2)1.2.1中学微积分课程的教学现状. (2)1.2.2 我国中学微积分的教学研究现状.. (2)1.2.3 中学微积分的学习现状........... .. (3)2.导数在高中数学的应用................ . (3)2.1导数在函数单调性问题上的应用 (4)2.2利用导数求函数的极值问题 (4)2.3导数关于方程解的应用 (6)2.4导数在曲线的切线问题上的应用 (7)2.5导数在数列问题上的应用 (8)2.6导数在不等式问题上的应用 (10)3.积分在高中数学的应用..... .. (10)3.1定积分在几何中的应用 (11)3.2定积分在物理中的应用 (11)4.结论与展望............ .. (13)参考文献. (14)巢湖学院2013届毕业论文（设计）引言微积分的建立是离不开实数、函数和极限的。
在古代的时候就有极限和微积分的概念，从十七世纪后半叶起，经过长期的发展演变，才得以严密化。
微积分的发展与实际应用有着密不可分的联系，随着社会的进步发展，微积分在天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学学等自然科学都有广泛的应用。
微积分不仅在自然科学、社会科学及应用科学各个分支等也起到很大的作用，在数学方面的发展更是提供了极大的推动。
计算机的出现，更有助于这些应用的不断发展，在研究这些变化着的量时数学也就进入了“变量数学”时代。
一门渐渐完善的学科——微积分，越来越受到人们的关注，也就有了越来越多的人不断研究、应用微积分思想。
1.问题的提出与研究综述1.1 研究背景微积分在天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学学等自然科学都有广泛的应用。
它推动了人类科学的进步，使人类经济、社会生活都取得较快的发展。
在当今竞争激烈的高考中，微积分成为高考考查的一个重点、难点。
微积分所具有的教育价值是需要我们重视的，它使得我们能够更全面的认识数学价值。
新中国成立以后，随着课程改革微积分经过多次修改才被正式列入中学教材内容。
在2003的课程改革中，微积分内容又进行了修改，并且改名为导数及其应用[]1。
在2006年可以看到不少关于学生在学习微积分的认知心理过程的文章。
专门研究中学微积分教学方面的论文在2009年之后也出现不少。
当前已经有不少专家对微积分的教学现状进行了调查研究,并提出了一些中可供参考的教学策略。
通过对以上内容的分析研究，我决定从微积分思想在高中数学的应用这一方面做深入的探讨。
微积分思想在高中数学中的应用1．2 微积分在高中的教学与研究1.2.1微积分在中学课程的教学现状微积分出现在很多国家的高中课程中。
德、英、法都把微积分设为必修课，并且在内容安排上都是比较深奥的[]2。
美国和日本虽然把它设为选修课，但高考的范围里面也包含微积分。
别的许多国家也把微积分写入了高中教材中。
在我国，微积分在高中课程的教学并不是一帆风顺的。
我国的高中数学课程水平也是起起落落，微积分在其中也扮演着不同的角色。
经过多次改革，很多高等数学知识在高中教材中出现了，微积分成为高中了教学的内容之一。
受我国国情和中学数学教学情况的影响，微积分又在教学教材中消失了一段时间。
在文化大革命结束后，新的教学大纲即“试行草案”新鲜出炉了，微积分再一次被编入高中教材。
经过几年的试验之后，又发现了一个问题，即老师和学生都不能适应新的教学内容。
微积分在1983年底又改成了选学内容，尽由各个学校自由选择，只是保留了要求比较低的极限这一内容[]3。
近年来受到高考的影响，微积分被很多高中作为在高中课程必须学习的功课，微积分的教学也被真正被重视起来。
1.2.2 微积分在我国中学教学研究现状通过对我国中学教学研究，很多专家认为，微积分的课程在高中时期应包含实数连续统、极限和函数、导数及其意义、导数的运算及其运用、通过微积分认识中学数学、微积分所具含的文化价值。
在对教师如何给高中生讲授微积分这一问题，其中匡继昌老师在他的论文中进行了讨论，匡继昌是湖南师范大学的一名教授。
他提出了一些新的思路[]4：第一、在给高中生讲授微积分课程时，要做到在学生的接受、理解的基础上讲授与大学课程相衔接的内容；第二、高中微积分课程应该以基础课程为主，这样可以降低学生学习的难度，教师也能有更多的时间讲授微积分的应用方面的知识；第三、教师在教授微积分概念和微积分思想的时候不能只是单单按照课本念，应该做充分准备性说明，更好的让学生理解接受；第四、微积分应该作为高中的必修课来学习。
张晓波的硕士学位论文在教学方面作了研究，在他的论文中讲述了我国与西方国家的微积分教学的不同之处，研究了新的教学大纲和微积分在高考要求之后，对如何在高中进行微积分的教学作了探讨。
他提出的教学策略有[]5：(1)首先要给学生贯入变量思维的数学观，深化对概念的理解记忆；(2)防止学生在学习微积分时只是记住一些公式和结论；(3)让学生理解微积分在高中数学的重要性；（4)加强对数学的文化的渗透.在对微积分教学设计上面可以多采用问题教学法进入到对微积分的学习。
我国有好多专业人士在微积分这一知识做了大量的探索研究，但是对微积分思想在高中数学的应用这一方面的研究却不多，该论文主要对其应用进行研究。
1.2.3 中学微积分的学习现状在高中数学的教学中，微积分是在学完必修课本以后，在选修内容中进行学习的。
微积分近些年来已经成为高考必考点，老师和学生在平时学习中也对它足够重视。
在客观上讲，学生已经能够理解极限的思想、运动变化的思想，这就使得学生在理解导数、积分等重要概念的可能性大大提高了。
经过对必修内容的学习学生已经具备了函数知识的基础。
用极限的思想来研究函数是微积分的表现形式，而构建一种运动变化模型则是函数。
但由于学生对运动变化的认识层面不高，而函数突出表现了函数关系和函数性质，因此对客观事物数学形式的认识是不够全面的。
在高中教材中微积分主要突出了对变化率的研究，用导数的大小来表示一些生活事物的变化快慢。
微积分内容在高中教材中有一专题，即利用微积分中的导数这个知识点来探究函数的基本性质，学生通过观察函数图像的切线斜率的大小来判断函数的单调性和极值等性质。
很多学者经过对全国各地的高中生进行了大量的问卷调查研究，发现绝大部分的学生微积分的掌握还是很好的，对微积分的思想理解的很好，能够很好的利用微积分解决一些比较复杂的难题。
2.导数在高中数学的应用导数是高中教学的一个重点、难点内容。
在关于函数单调性问题上的应用、关于函数的极值问题的应用、关于方程解的应用、在曲线的切线问题上的应用、在数列问题上的应用、在不等式问题上的应用等都可以很好的利用导数这个重要工具来解决。
近几年来不断加强了导数在高考中的考查，在题目所占的比重和难度上都有微积分思想在高中数学中的应用很大的提高，我国各个地区的高考题中都有关于导数的试题。