2021高考数学大一轮复习考点规范练24解三角形理新人教A版
2021年高考数学总复习 第24讲《解斜三角形》
2021年高考数学总复习第24讲《解斜三角形》1.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，A＝π3，a＝3，b＝1，则C等于( )A．1 B．2 C.3－1 D.32.在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且b2＋c2＋3bc＝a2，则角A 为( )A．120° B．60° C．150° D．30°3.(xx·上海卷)在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是( )A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定4.如图，AA1与BB1相交于点O，AB∥A1B1且AB＝12A1B1，若△AOB的外接圆的直径为1，则△A1OB1的外接圆的直径为______．5.(x x·湖北卷)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a＋b－c)(a ＋b＋c)＝ab，则角C＝______．6.在△ABC中，已知tan A＋B2＝sin C，给出下列四个论断：①tan A·1tan B＝1；②0<sin A＋sin B≤2；③sin2A＋cos2B＝1；④cos2A＋cos2B＝sin2C.其中正确的是________．7.△ABC中，a＝1，B＝45°，△ABC的面积S＝2，则△ABC的外接圆的直径为( )A．5 B．5 2 C．4 D．428.在△ABC中，BC＝1，∠B＝π3，当△ABC的面积等于3时，tan C＝________．9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2＋c2－b2＝65 ac.(1)求2sin2A＋C2＋sin 2B的值；(2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值．10.在△ABC中，m＝(sin A，cos C)，n＝(cos B，sin A)，m·n＝sin B＋sin C.(1)求证：△ABC为直角三角形；(2)若△ABC外接圆半径为1，求△ABC周长的取值范围．第24讲1．B 2.C 3.C 4.2 5.2π36.②④7．B 解析：因为S△ABC＝12ac sin B＝2，所以12×1×c×22＝2，所以c＝42，所以由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2ac cos B＝1＋32－2×42×22＝25，所以b＝5，由正弦定理得，2R＝bsin B＝522＝5 2.8．－2 3 解析：由已知，S△ABC＝12c sin 60°＝3⇒c＝4，b2＝1＋42－2×1×4×cos B＝13⇒b＝13.由余弦定理，cos C＝1＋（13）2－42213＝－113，sin C＝2313，因此tan C＝－2 3.9．解析：(1)由已知a2＋c2－b22ac＝35，所以cos B＝35，sin B＝1－cos2B＝45，所以2sin2A＋C2＋sin 2B＝2cos2B2＋sin 2B＝1＋cos B＋2sin B cos B＝1＋35＋2×35×45＝6425.(2)因为b＝2，所以a2＋c2＝65ac＋4，又因为a2＋c2≥2ac，所以2ac≤65ac＋4，所以ac≤5，所以S△ABC＝12ac sin B≤12×5×45＝2.所以△ABC的面积的最大值为2.10．解析：(1)由已知，sin A cos B＋sin A cos C＝sin B＋sin C，sin A cos B＋sin A cos C＝sin(A＋C)＋sin(A＋B)，所以cos A sin C＋cos A sin B＝0，所以cos A(sin B＋sin C)＝0，又sin B＋sin C≠0，所以cos A＝0，所以A＝90°，所以△ABC为直角三角形．(2)c＝2r sin C＝2sin C，b＝2r sin B＝2sin B＝2cos C，a＝2，所以周长l＝a＋b＋c＝2sin C＋2cos C＋2＝22sin(C＋π4)＋2.因为0<C<π2，所以C＋π4∈(π4，3π4)，所以22<sin(C＋π4)≤1，所以4<l≤22＋2，所以l的取值范围为(4，22＋2]．24330 5F0A 弊23883 5D4B 嵋>*u<c31920 7CB0 粰 Hq X(。
高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理练习(含解析)新人教A版必修5(2021年最新整理)
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1正弦定理一、选择题:1. 在ABC △中，45 60 10A B a =︒=︒=，，，则b =（ ） A．．． 【答案】D【解析】根据正弦定理sin sin a bA B=得10sin sin 2a Bb A ===，故选D.2。
在△ABC 中,若2,a b ==, 030A = ， 则B 等于（ ） A ．60 B ．60或 120 C ．30 D ．30或150 【答案】B【解析】由正弦定理sin sin a bA B =得22sin sin 30B B ===60或 120 3。
在ABC △中,角 A B C，，的对边分别是 a b c ，，，若 2a AB ==，，则cos B =（ )ABC D【答案】B【解析】由已知2a =,根据正弦定理变形有sin sin 2A B =，又因为2A B =，所以sin sin 2A B =，则sin 22B B =，即2sin cos 2B B B =，因为sin 0B ≠，所以cos 4B =，故选B.4．在ABC ∆中，已知22tan tan a B b A =，则该ABC ∆的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．正三角形 D ．等腰或直角三角形 【答案】D【解析】由正弦定理得22sin sin sin sin cos cos B AA B B A⋅=⋅，化简得sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22,2A B A B ππ+=+=，故选D.5. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则以下结论错误的为（ )A ．若sin cos cos A B Ca b c ==，则90A =︒ B ．sin sin sin a b c A B C+=+ C ．若sin sin A B >，则A B >；反之，若A B >，则sin sin A B > D ．若sin 2sin 2A B =，则a b = 【答案】D【解析】∵sin cos cos A B Ca b c==，∴由正弦定理B B cos sin =,C C cos sin =，又∵B ,C 为ABC ∆的内角，∴ 45==C B ,故90A =︒，A 正确；∵由正弦定理可得R CcB b A a 2sin sin sin ===，∴()AaR C B C B R C B c b sin 2sin sin sin sin 2sin sin ==++=++，故B 正确;在ABC ∆，设外接圆的半径为R ,若sin sin A B >,则B R A R sin 2sin 2>,由正弦定理可得b a >，即A B >;若A B >，即有b a >，即B R A R sin 2sin 2>，即b a >．则在ABC ∆中，B A B A >⇔>sin sin ，故C 正确;∵sin 2sin 2A B =,∴()()0sin cos 2sin 2sin =-+=-B A B A B A ，∴()0cos =+B A 或()0sin =-B A ,∴2π=+B A 或B A =，∴三角形为直角三角形或等腰三角形，故D 错误．故选:D ．6. 在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C B A ,,所对的边，若3=a ，3π=A ，则c b +的最大值为（ )A ．4B ．33 C.32 D ．2 【答案】C【解析】由正弦定理可得:23b c sinB sinC sin π===，∴2222()23b c sinB sinC sinB sin B π+=+=+-()12222sinB sinB =++3()6sinB B π==+≤，当且仅当3B π=时取等号．∴b c +的最大值为32．故选:C. 二、填空题：7. 在ABC ∆中,则 a =【解析】根据正弦定理32522315sin sin sin sin =⨯==⇔=BA b aB b A a ,8。
备战2024年高考数学大一轮老教材人教A版理第四章解三角形及其应用举例
A.10 6 km
B.30( 3－1)km
C.30( 2－1)km
√D.10 5 km
在 △ACD 中 ， ∠ADC ＝ 30° ， ∠ACB ＝ 75° ， ∠ACD＝120°， 所 以 ∠BCD ＝ 45° ， ∠CAD ＝ 30° ， ∠ADC ＝ ∠CAD＝30°，所以AC＝CD＝10 3， 在△BDC中，∠CBD＝180°－(30°＋45°＋45°)＝60°， 由正弦定理得 BC＝10si3ns6in0°75°＝5 2＋5 6，
在△ABC 中，由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝ (10 3)2＋(5 2＋5 6)2－2×10 3×(5 2＋5 6)cos 75°＝500，
所以 AB＝10 5，即基站 A，B 之间的距离为 10 5 km.
命题点2 测量高度问题
例2 (1)(2023·青岛模拟)如图甲，首钢滑雪大跳台是冬奥历史上第一座与 工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化 遗产敦煌壁画中“飞天”的元素.如图乙，某研究性学习小组为了估算赛 道造型最高点A距离地面的高度AB(AB与地面垂直)，在赛道一侧找到一座 建筑物CD，测得CD的高度为h，并从C点测得A点的仰角为30°；
(2)(2022·东北师大附中模拟)为加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设， 如图，在某市地面有四个5G基站A，B，C，D.已知基站C，D建在某江的 南岸，距离为10 k3m；基站A，B在江的北岸，测得∠ACB＝75°，∠ACD ＝120°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则基站A，B的距离为
命题点1 测量距离问题
例1 (1)(2023·重庆模拟)一个骑行爱好者从A地出发，向西骑行了2 km到
达B地，然后再由B地向北偏西60°骑行2 k3m到达C地，再从C地向南偏
2021年高考数学大一轮总复习 4.5 简单的三角恒等变换高效作业 理 新人教A版
人教A版一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(xx·温州模拟)设a＝12cos6°－32sin6°，b＝2sin13°cos13°，c＝1－cos50°2，则有( )A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b 答案：D2．已知函数f(x)＝cos2(π4＋x)－cos2(π4－x)，则f(π12)等于( )A.12B．－12C.32D．－32答案：B3．已知x∈(2kπ－34π，2kπ＋π4)(k∈Z)，且cos(π4－x)＝－35，则cos2x的值是( )A．－725B．－2425C.2425D.725答案：B4．(xx·青岛模拟)已知cos2θ＝23，则sin4θ＋cos4θ的值为( )A.1318B.1118C.79D．－1答案：B5．若f(x)＝2tan x－2sin2x2－1sinx2cosx2，则f(π12)的值为( )A．4 3 B.83 3C．4 D．8答案：D6．(xx·湖南模拟)函数f(x)＝sin x－cos(x＋π6)的值域为( )A．[－2,2] B．[－3，3]解析：∵f(x)＝sin x－cos(x＋π6 )＝sin x－cos x cos π6＋sin x sinπ6＝sin x－32cos x＋12sin x＝3(32sin x－12cos x)＝3sin(x－π6)(x∈R)，∴f(x)的值域为[－3，3]．答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7．(xx·课标全国Ⅰ)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cosθ＝________.解析：f(x)＝sin x－2cos x＝5(sin x·15－cos x·25)＝5sin(x－φ)，其中cos φ＝15，sin φ＝25，由题知θ－φ＝π2＋2kπ，k∈Z，∴cos θ＝cos(φ＋π2＋2kπ)＝－sin φ＝－255.答案：－25 58．已知sin(π4－x2)＝35，x∈(0，π2)，则tan x＝________.解析：∵sin(π4－x2)＝35，∴cos(π2－x)＝1－2sin2(π4－x2)＝1－2×925＝725.即sin x＝725，又x∈(0，π2)，∴cos x＝2425，∴tan x＝724.答案：7249．已知α是第三象限角，且sinα＝－2425，则tanα2＝________.解析：∵α是第三象限角且sinα＝－24 25，∴cosα＝－1－sin2α＝－1－－24252＝－725，∴tan α2＝1－cosαsinα＝－43.答案：－4 310．若1＋tanα1－tanα＝2 014，则1cos2α＋tan2α＝________.解析：1cos2α＋tan2α＝1＋sin2αcos2α＝cosα＋sinα2cos2α－sin2α＝cosα＋sinαcosα－sinα＝1＋tanα1－tanα＝2 014.答案：2 014三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别交单位圆于A，B两点．已知A，B两点的横坐标分别是2 10，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．解：(1)由已知条件及三角函数的定义，可知cosα＝210，cosβ＝255.因为α为锐角，故sinα>0，从而sinα＝1－cos2α＝72 10；同理可得sinβ＝1－cos2β＝55，因此tanα＝7，tanβ＝1 2 .所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝7＋121－7×12＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝－3＋121－－3×1 2＝－1.又0<α<π2，0<β<π2，故0<α＋2β<3π2.从而由tan(α＋2β)＝－1，得α＋2β＝3π4.12．(xx·郑州质检)已知α为第二象限角，sinα＝35，β为第一象限角，cosβ＝513.求tan(2α－β)的值．解：tan(2α－β)＝tan2α－tanβ1＋tan2αtanβ，因为α为第二象限角，sinα＝3 5，所以cosα＝－1－sin2α＝－45，∴tanα＝sinαcosα＝－34，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝－247，β为第一象限角，cosβ＝513，∴sinβ＝1－cos2β＝1213，tanβ＝125，∴tan(2α－β)＝－247－1251＋－247×125＝204253.13．(xx·广州珠海区综合测试)已知函数f(x)＝cos(2x＋π6)＋cos(2x－π6)＋2sin x cos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间[－π3，π3]上的最大值和最小值，并求此时x的值．解：(1)f(x)＝cos(2x＋π6)＋cos(2x－π6)＋2sin x cos x＝cos2x cos π6－sin2x sinπ6＋cos2x cosπ6＋sin2x sinπ6＋2sin x cos x＝3cos2x ＋sin2x ＝2(32cos2x ＋12sin2x )＝2(sinπ3cos2x ＋cos π3sin2x ) ＝2sin(2x ＋π3) ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π (2)由(1)知f (x )＝2sin(2x ＋π3)， 由－π3≤x ≤π3，得－π3≤2x ＋π3≤π，∴当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π3＝－π3，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－ 3. h 27179 6A2B 樫?26817 68C1 棁d}30304 7660 癠25031 61C7 懇|23607 5C37 尷21905 5591 喑 35300 89E4 觤。
2021人教A版高考数学总复习《解三角形应用举例》
＝30°，CD＝30，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60°，则塔高
AB 等于( )
A.5 6
B.15 3
C.5 2
D.15 6
解析 在△BCD 中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.
由正弦定理得 BC ＝ 30 ，所以 BC＝15 2. sin 30° sin 135°
在 Rt△ABC 中，
考点一 解三角形的实际应用 多维探究
角度 1 测量距离问题
【例 1－1】 如图，为了测量两座山峰上 P，Q 两点之间的距
离，选择山坡上一段长度为 300 3 m 且和 P，Q 两点在同一平
面内的路段 AB 的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，
∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则 P，Q 两点间的距离为________ m.
AB＝BCtan ∠ACB＝15 2× 3＝15 6.
答案 D
规律方法 1.在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一
铅垂面内，视线与水平线的夹角.
的长为________.
解析 因为 sin∠BAC＝2 2，且 AD⊥AC， 3
所以
sin
π＋∠BAD 2
＝2
2，
3
所以 cos∠BAD＝2 2，在△BAD 中，由余弦定理， 3
得 BD＝ AB2＋AD2－2AB·ADcos ∠BAD
＝ （3 2）2＋32－2×3 2×3×2 2＝ 3. 3
答案 3
在该建筑物的正东方向有一个通信塔 CD.在它们之间的地面
上的点 M(B，M，D 三点共线)处测得楼顶 A，塔顶 C 的仰角
分别是 15°，60°，在楼顶 A 处测得塔顶 C 的仰角为 30°，则
高考数学一轮总复习 第24讲 解斜三角形课件 理 新人教A版
A．3 3
B. 3
3 C. 2
D．2 3
第十页，共46页。
【解析】由正弦定理得sBinCA＝sAinCB，AC＝BCsisniAnB＝3×1
3 2＝
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
3 3，故选 A.
第十一页，共46页。
2.在△ABC 中，如果 BC＝6，AB＝4，cosB＝13，那么
AC 等于( )
A．6
B．2 6
C．3 6
对角，试判断△ABC 的形状．
第二十四页，共46页。
【解析】设方程两根为 x1，x2，由根与系数的关系得 x1 ＋x2＝bcosA，x1x2＝acosB.
由题意，bcosA＝acosB， 由正弦定理，2RsinBcosA＝2RsinAcosB， 所以 sin(A－B)＝0， 又－π<A－B<π， 所以 A－B＝0，即 A＝B， 所以△ABC 为等腰三角形．
第四十一页，共46页。
备选(bèi xuǎn)例
题 如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角 形，∠ACB＝90°，BD 交 AC 于 E，AB＝2. (1)求 cos∠CBE 的值； (2)求 AE.
第四十二页，共46页。
【解析】(1)因为∠BCD＝90°＋60°＝150°，
又 DC＝AC＝BC，
算的正确性；
4 给出答案．
第七页，共46页。
【要点指南】
①； b ②2Rsin B； sinB
③ c ；④a2 c2 2ac cos B； 2R
⑤ a2 b2 c2 ；⑥ 1 ac sin B
2ab
2
第八页，共46页。
第九页，共46页。
1.△ABC 中，BC＝3，A＝30°，B＝60°，则 AC 等于( )
最新-2021年高考数学理人教A版一轮复习课件：第四章 三角函数、解三角形 43 精品
,
,1 ,
在区间
π
0, 2
√2
关闭
上的最小值为- 2 .
解析
答案
-10知识梳理
1
双基自测
2
3
4
5
π
5.函数 y=3cos 2- 4 的单调递增区间是
.
关闭
π
3π
π
由题意,得-π+2kπ≤2x-4≤2kπ(k∈Z),即- 8 +kπ≤x≤8+kπ(k∈Z),
故所求函数的单调递增区间是
3π
π
- + π, + π (k∈Z)
(2)A
如何求参数的范围?
答案
-19考点1
考点2
考点3
解析: (1)f(x)=√3sin ωx+cos ωx=2sin
π
+
6
.
由函数 y=f(x)的图象与直线 y=2 的两个相邻交点的距离为 π,
2π
知函数 y=f(x)的最小正周期 T=π,所以 T= =π,解得 ω=2.
π
即 f(x)=2sin 2 + 6 .
π
π
∴当 0≤ωx≤2,即 0≤x≤2时,y=sin ωx 是增函数;
π
3π
π
3π
当2≤ωx≤ 2 ,即2≤x≤2时,y=sin ωx 是减函数.
π
π π
由 f(x)=sin ωx(ω>0)在 0, 上单调递增,在 , 上单调递减
3
3 2
π
π
3
知,2 = 3,∴ω=2.
-24考点1
考点2
考点3
增区间
单调递
减区间
2025数学大一轮复习讲义人教A版 第四章 必刷大题9 解三角形
π＝6 4
2，
所以 b＝6 2sin B，c＝6 2sin C，
所以 S＝12bcsin A＝18 2sin Bsin C ＝18 2sin BsinB＋π4
＝18
2sin
B
2 2 cos
B＋
2 2 sin
B
123456
＝18sin Bcos B＋18sin2B ＝9sin 2B＋9－9cos 2B ＝9 2sin2B－4π＋9， 因为△ABC是锐角三角形， 所以00<<BC<<π2π2，， 又 C＝34π－B，所以π4<B<π2，
cos
A＝b2＋2cb2c－a2>0，
所以cos
B＝a2＋2ca2c－b2>0，
cos
C＝a2＋2ba2b－c2>0，
b2＋c2－a2＝b2＋10－b2－36>0，
即a2＋c2－b2＝36＋10－b2－b2>0， a2＋b2－c2＝36＋b2－10－b2>0，
123456
解得156<b<354， 因为 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝5b3－b16， 所以 sin C＝ 1－cos2C＝4 b－32b8－b， 所以 S＝12absin C＝3b·4 b－32b8－b＝4 －b2＋10b－16，156<b<354， 设 g(x)＝－x2＋10x－16＝－(x－5)2＋9，156<x<354， 由二次函数的性质可得，当x＝5时，g(x)取得最大值g(5)＝9，
123456
3.(2023·烟台联考)已知在平面四边形 ABCD 中，AB∥CD，BC＝ 3AD， ∠BAD＝2∠BCD. (1)求∠ABC；
123456
2024届一轮复习人教A版 解三角形解答题的提分策略 课件(15张)
1. 典例 [2021新高考卷Ⅱ,12分]在△ABC 中,
角A,B,C所对的边分别为 a,b,c,b=a+1,c=a+2.
(1)若2sin C=3sin A,求△ABC的面积;
(2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形,
给什么
由2sin C=3sin A及正弦定理可得2c=3a,结合条件
得什么
解题思维2 高考中三角函数、
解三角形解答题的提分策略
考情解读 该部分解答题是高考得分的基本组成部分,考生要能够先从已知中抽象出可以利用正、余弦定理的条件,然后应用三角恒等变换和相关定理求解,主要考查数学抽象、数学运算和逻辑推理素养.在
解题过程中,要注意三角恒等变换公式的多样性和灵活性,注意题目中隐含的各种限制条件,选择合理的解决方法,灵活地实现问题的转化.
命题
探源
素养
探源
感悟升华
一题
多解
本题主要考查正弦定理,余弦定理,解三角形,三角恒等变换等基础知识及
考生分析解决问题的能力.
素养
考查途径
数学运算
三角函数式的恒等变换.
利用正弦定理将“角”转化为“边”;利用余
逻辑推理
弦定理求出cos A;利用正弦定理求出b,c,进
而表示出周长.
提分
策略
第二:定工具.根据已知条件和转化方向,选择使用的定理和
公式,进行边角之间的转化.
第三步:求结果.根据前两步的分析,代入求值得出结果.
第四步:反思.转化过程中要注意转化的方向,审视结果的合理
性.
2. 典例 [2020全国卷Ⅱ,12分]△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=
sin Bsin C.
想什么 结合三角形的三边关系及a为正整数,确定a的值,最后作
(山东专用)2021新高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 课时作业24 函数y=Asin(
课时作业24函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的应用一、选择题1．若函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位长度后得到y ＝f (x )的图象，则( C )A ．f (x )＝－cos2xB ．f (x )＝sin2xC ．f (x )＝cos2xD ．f (x )＝－sin2x解析：函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位长度后得到y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象，所以f (x )＝cos2x .2．要得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π12的图象，只需将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3图象上所有点的横坐标( A )A ．伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位长度B ．伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向右平移π4个单位长度C ．缩短为原来的12(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移5π24个单位长度D ．缩短为原来的12(纵坐标不变)，再将得到的图象向右平移5π24个单位长度解析：将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， 得到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12×2x －π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象， 再将得到的图象向左平移π4个单位长度，得到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋π4＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π12的图象．故选A ． 3．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( D )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6 B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6 C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 解析：由函数的图象得A ＝2，T ＝4×⎝⎛⎭⎫5π12－π6＝π， ∴2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)． ∵f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1， 则π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋π6，k ∈Z . ∵|φ|<π2，∴φ＝π6，则函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.故选D ． 4．将函数f (x )＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)，再将所得图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的单调递增区间为( C )A ．⎣⎡⎦⎤2k π－π12，2k π＋5π12(k ∈Z ) B ．⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) C ．⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) D ．⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋5π6(k ∈Z ) 解析：将函数f (x )＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)，可得y ＝sin2x 的图象，再将所得图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )＝sin2⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象．令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，所以函数g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .故选C ． 5．为了得到函数y ＝sin2x 的图象，可以将y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象( A ) A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度解析：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度后得函数y ＝sin2x 的图象，故选A ．6．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度，则所得图象的对称轴方程可以为( B )A ．x ＝－π6B ．x ＝π4C ．x ＝π3D ．x ＝π2解析：由题意知，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度后函数解析式变为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3＝sin2x ，由2x ＝π2＋k π(k ∈Z )，平移后的图象的对称轴方程为x ＝π4＋k π2(k ∈Z )，令k ＝0，则对称轴方程为x ＝π4.故选B ．7．已知函数f (x )＝12sin x ＋32cos x ，将函数f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( A )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2解析：由题知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，将其图象向左平移m 个单位长度后得到函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋m ＋π3的图象， ∵函数g (x )的图象关于y 轴对称， ∴m ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，∴m ＝k π＋π6(k ∈Z )，∵m >0，∴m 的最小值为π6，故选A ．8．(多选题)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)，f ⎝⎛⎭⎫π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，且f (x )在(0，π)上单调．下列说法正确的是( AC )A ．ω＝23B ．f ⎝⎛⎭⎫－π8＝6－22C ．函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π，－π2上单调递增 D ．函数y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫3π4，0对称解析：由五点法作图知，⎝⎛⎭⎫π2，0为五点法中的第二个零点，则πω2＋φ＝π ①.又根据正弦函数的图象及已知条件知⎝⎛⎭⎫π8，2为靠近第二个零点的点，所以πω8＋φ＝3π4②.由①②解得ω＝23，φ＝2π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋2π3，所以f ⎝⎛⎭⎫－π8＝6＋22，故A 正确，B 不正确；由－π2＋2k π≤23x ＋2π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－7π4＋3k π≤x ≤－π4＋3k π(k ∈Z )，所以函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π，－π2上单调递增，故C 正确；因为f ⎝⎛⎭⎫3π4＝－1≠0，所以函数y ＝f (x )的图象不关于点⎝⎛⎭⎫3π4，0对称，故D 错误，故选AC ．二、填空题9.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫7π6的值为1.解析：设f (x )的最小正周期为T ，根据题中图象可知，T 2＝π2，∴T ＝π，故ω＝2，根据2sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝0(增区间上的零点)可知，π6＋φ＝2k π，k ∈Z ，即φ＝2k π－π6，k ∈Z ，又|φ|<π2，故φ＝－π6.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，∴f ⎝⎛⎭⎫7π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫14π6－π6＝2sin π6＝1. 10. (多填题)如图所示，弹簧挂着一个小球做上下运动，小球在t 秒时相对于平衡位置的高度h (厘米)由如下关系确定：h ＝2sin t ＋2cos t ，t ∈[0，＋∞)，则小球在开始运动(即t ＝0)时h 的值为2，小球运动过程中最大的高度差为4厘米．解析：由题可得h ＝2sin t ＋2cos t ＝2⎝⎛⎭⎫22sin t ＋22cos t ＝2sin ⎝⎛⎭⎫t ＋π4，令t ＝0， 可得h ＝ 2.由振幅为2，可得小球运动过程中最大的高度差为4厘米．11．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (18)的值等于2＋2.解析：由题图知A ＝2，T2＝6－2＝4，∴T ＝8，则ω＝2π8＝π4.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ. 又∵函数图象过点(2,2)，∴2sin ⎝⎛⎭⎫π4×2＋φ＝2， ∴π2＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，则φ＝2k π(k ∈Z )， ∴f (x )＝2sin π4x .∵f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＋f (8)＝0，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (18)＝2f (1)＋2f (2)＋…＋2f (8)＋f (1)＋f (2)＝f (1)＋f (2)＝2＋2.12．将函数f (x )＝a sin x ＋b cos x (a ，b ∈R 且a ≠0)的图象向左平移π6个单位长度后，得到一个偶函数图象，则ba＝ 3.解析：解法1：将f (x )＝a sin x ＋b cos x (a ，b ∈R 且a ≠0)的图象向左平移π6个单位长度后，得到函数f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋b cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象．f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋b cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋φ，其中tan φ＝ba，因为y ＝a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋φ为偶函数，所以π6＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝π3＋k π(k ∈Z )，所以ba＝tan φ＝ 3. 解法2：因为将f (x )＝a sin x ＋b cos x (a ，b ∈R 且a ≠0)的图象向左平移π6个单位长度后，得到一个偶函数图象，所以函数f (x )＝a sin x ＋b cos x 图象的一条对称轴为直线x ＝π6，所以f ⎝⎛⎭⎫π3＝f (0)，所以a sin π3＋b cos π3＝b ，因为a ≠0，所以ba＝ 3.三、解答题13．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0，图象上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝⎛⎭⎫π3，5.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调递增区间．解：(1)依题意得A ＝5，周期T ＝4⎝⎛⎭⎫π3－π12＝π， ∴ω＝2ππ＝2.故f (x )＝5sin(2x ＋φ)，又图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0，∴5sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝0， 由已知可得π6＋φ＝k π，k ∈Z ，∵|φ|<π2，∴φ＝－π6，∴f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． 14．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，其中0<ω<3，且f ⎝⎛⎭⎫π6＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值． 解：(1)因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2， 所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝⎛⎭⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3. 因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z . 故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0<ω<3，所以ω＝2. (2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π12. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， 当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.15．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向左平移π4个单位长度，所得图象对应的函数在区间[－m ，m ]上单调递增，则m 的最大值为( A )A ．π8B ．π4C ．3π8D ．π2解析：函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向左平移π4个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z )，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )，所以当k ＝0时函数的一个单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－3π8，π8，所以m 的最大值为π8.故选A ． 16．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，点⎝⎛⎭⎫0，－32，⎝⎛⎭⎫π3，0，⎝⎛⎭⎫7π3，0在图象上，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫π3，7π3，x 1≠x 2，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝－32.解析：由题图可知函数f (x )的最小正周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫7π3－π3＝4π，所以ω＝12，又点⎝⎛⎭⎫π3，0，⎝⎛⎭⎫0，－32在函数f (x )的图象上，所以⎩⎨⎧A sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝0，A sin φ＝－32，又A >0，|φ|<π2，所以φ＝－π6，A ＝3，则f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6.由x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫π3，7π3，x 1≠x 2，f (x 1)＝f (x 2)，根据图象的对称性知x 1＋x 2＝π3＋7π3＝8π3，所以f (x 1＋x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫8π3＝3sin 7π6＝－32.。
2021年高考数学一轮复习 第二讲 三角恒等变换与解三角形习题 理 新人教A版
2021年高考数学一轮复习 第二讲 三角恒等变换与解三角形习题 理 新人教A 版1．(xx·四川高考)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________．【解析】 由sin 2α＝2sin αcos α及sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π解出α，进而求得tan 2α的值．∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α≠0，∴cos α＝－12. 又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴α＝23π， ∴tan 2α＝tan 43π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝tan π3＝ 3. 【答案】 32、（xx 山东）函数的最小正周期为 .【答案】【解析】2111sin 2cos 2cos 2sin 2222262y x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭ . (1)函数f (x )＝3sin x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x 的最大值为( ) A ．2 B. 3 C ．1 D.12(1)f (x )＝3sin x ＋cos π3·cos x －sin π3sin x ＝12cos x ＋32sin x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6 ∴当x ＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值1. 3、(xx·湖北高考)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) A.π12 B.π6 C.π3 D.5π6答案：由于y ＝3cos x ＋sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，向左平移m (m >0)个单位长度后得到函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋m －π6的图象．由于该图象关于y 轴对称，所以m －π6＝k π(k ∈Z ，m >0)，于是m ＝k π＋π6(k ∈Z ，m >0)，故当k ＝0时，m 取得最小值π6. 4、在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形有( )A ．无解B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定【解析】 ∵b sin A ＝24sin 45°＝122＜18，∴b sin A ＜a ＜b ，故此三角形有两解．【答案】 B5、（xx 山东）的内角的对边分别是，若，，，则(A) (B) 2 (C) (D)16．(xx·湖南高考)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π12B.π6C.π4D.π3【解析】 在△ABC 中，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B (R 为△ABC 的外接圆半径)．∵2a sin B ＝3b ，∴2sin A sin B ＝3sin B .∴sin A ＝32.又△ABC 为锐角三角形，∴A ＝π3. 【答案】 D7．(xx·陕西高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【解析】 ∵b cos C ＋c cos B＝b ·b 2＋a 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac＝b 2＋a 2－c 2＋c 2＋a 2－b 22a＝2a 22a＝a ＝a sin A ，∴sin A ＝1.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π2，即△ABC 是直角三角形． 【答案】 B8、（2011山东）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知. （I ）求的值； （II ） 若cosB=，【解析】(1)由正弦定理得所以=,即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=-,即有,即,所以=2.(2)由(1)知=2,所以有,即c=2a,又因为的周长为5,所以b=5-3a,由余弦定理得：，即，解得a=1，所以b=2.9、（xx 山东）在△ABC 中，内角所对的边分别为，已知.(Ⅰ)求证：成等比数列；(Ⅱ)若，求△的面积S .【答案】(17)(I)由已知得：，，，再由正弦定理可得：，所以成等比数列.(II)若，则，∴，，∴△的面积.h39853 9BAD 鮭 38960 9830 頰20460 4FEC 俬39129 98D9 飙39937 9C01 鰁30561 7761 睡$ ] &%f。
2021高考数学大一轮复习考点规范练24解三角形理新人教A版
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∴ 1 ≤sin 2x + π +1≤2.∴函数 f(x)的值域为 1 ,2 .
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(2)∵f(A)=sin 2A + π +1=3,∴sin 2A + π = 1 .
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又 0<A<π,∴ π<2A+π < 13π,
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∴2A+π = 5π,即 A=π .
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3
∵ 2a= 3b,∴由正弦定理得, 2sinA= 3sinB,∴sinB= 2 .
∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.故选 D.
3.在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,a=1,ccos A+acos C=2bcos B,△ABC 的面积 S= 3,
则 b 等于( )
A. 13
B.4
C.3
D. 15
答案:A
解析:由题意可得,2sinBcosB=sinC·cosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB,∴cosB=1,∴B=π .
10.(2019 广西崇左天等高级中学高三下学期模拟)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 3b2+3c2-4 2bc=3a2.
(1)求 sin A;
(2)若 3csin A= 2asin B,△ABC 的面积为 2,求△ABC 的周长.
解:(1)因为 3b2+3c2-4 2bc=3a2,所以 b2+c2-a2=4 2bc.
2
(2)△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 f(A)=3 , 2a= 3b,c=1+ 3,求△ABC 的面积.
解三角形高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)复习讲义：热点集训：与三角函数的综合问题(共38张)
(1)求 A； (2)设 a＝ 3，S 为△ABC 的面积，求 S＋3cos Bcos C 的最 大值，并指出此时 B 的值． [思维导引] (1)利用余弦定理求 cos A，(2)利用正弦定理 将 S 用角 B，角 C 的三角函数表示出来，再根据式子特点求最 值．
热点集训二 2016年新课标高考·大一轮复习讲义
3．(2015·湖北省八市联考)已知函数 f(x)＝2sin xcos2φ2＋cos xsin φ－sin x(0<φ<π)在 x＝π 处取最小值．
(1)求 φ 的值； (2)在△ABC 中，a、b、c 分别是 A、B、C 的对边，已知 a ＝1，b＝ 2，f(A)＝ 23，求角 C.
2 .
2
方法二：由(1)知道：f(A)＝2sin2A＋π3＝0，
∴sin2A＋π3＝0
又因为 0<A<π2，所以π3<2A＋π3<43π，
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热点集训二 2016年新课标高考·大一轮复习讲义
所以 2A＋π3＝π，所以 A＝π3.
所以由正弦定理sina A＝sinb B得到
b＝assiinnAB＝2×322＝2
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热点集训二 2016年新课标高考·大一轮复习讲义
解：(1)f(x)＝2sin
1＋cos x· 2
φ＋cos
xsin
φ－sin
x＝sin
x＋sin
xcos φ＋cos xsin φ－sin x＝sin (x＋φ)．
因为 f(x)在 x＝π 处取得最小值，所以 sin(π＋φ)＝－1，故
高中数学复习课一解三角形新人教A版必修.doc
复习课(一) 解三角形其中以求边或角的取值范围为主，以解三角形与三角函数的结合为命题热点，试题多以大题的形式出现，难度中等．[考点精要]解三角形的常见类型及方法(1)已知三边：先由余弦定理求出两个角，再由A ＋B ＋C ＝π，求第三个角．(2)已知两边及其中一边的对角：先用正弦定理求出另一边的对角，再由A ＋B ＋C ＝π，求第三个角，最后利用正弦定理或余弦定理求第三边．(3)已知两边及夹角：先用余弦定理求出第三边，然后再利用正弦定理或余弦定理求另两角．(4)已知两角及一边：先利用内角和求出第三个角，再利用正弦定理求另两边． [典例] 设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且有a ＝2b sin A . (1)求B 的大小；(2)若a ＝33，c ＝5，求b . [解] (1)由a ＝2b sin A ，根据正弦定理得sin A ＝2sin B sin A ，所以sin B ＝12，由于△ABC 是锐角三角形，所以B ＝π6.(2)根据余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝27＋25－45＝7，所以b ＝7. [类题通法]利用正、余弦定理来研究三角形问题时，一般要综合应用三角形的性质及三角函数关系式，正弦定理可以用来将边的比和对应角正弦值的比互化，而余弦定理多用来将余弦值转化为边的关系．[题组训练]1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sinB ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选 A 由正弦定理可知c ＝23b ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，所以A ＝30°，故选A.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B＝________.解析：依题意得，由正弦定理知：1sinπ6＝3sin B ，sin B ＝32，又0<B <π，b >a ，可得B ＝π3或2π3. 答案：π3或2π33．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值． 解：(1)证明：∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )． (2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立． ∴cos B 的最小值为12.判断三角形的形状是一种常见的题型，就是利用条件寻找边的关系或角的关系，题型多为选择题、解答题，难度中等．[考点精要]三角形中的常用结论(1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C2. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．[典例] 在△ABC 中，a ，b ，c 分别表示三个内角A ，B ，C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．[解] ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，∴a 2[sin(A －B )－sin(A ＋B )]＝b 2[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]，∴2a 2cos A sin B ＝2b 2sinA cosB .由正弦定理得2sin 2A cos A sinB ＝2sin 2B sin A cos B ， 即sin 2A ·sin A sin B ＝sin 2B ·sin A sin B .∵0<A <π，0<B <π，∴sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形． [类题通法]根据所给条件判断三角形的形状的途径(1)化边为角．(2)化角为边，转化的手段主要有： ①通过正弦定理实现边角转化； ②通过余弦定理实现边角转化； ③通过三角变换找出角之间的关系；④通过对三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性来确定三角形的形状．[题组训练]1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：选D ∵c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，∴由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，∴sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cosA －sinB cos A ，∴cos A (sin B －sin A )＝0，∴cos A ＝0或sin B ＝sin A ，∴A ＝π2或B＝A 或B ＝π－A (舍去)．故△ABC 为直角三角形或等腰三角形．2．在△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且A ，B ，C 成等差数列，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选C ∵A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，即3B ＝π，解得B ＝π3.∵3b ＝23a sin B ，∴根据正弦定理得3sin B ＝23sin A sin B ．∵sin B ≠0，∴3＝23sin A ，即sin A ＝32，即A ＝π3或2π3，当A ＝2π3时，A ＋B ＝π不满足条件．∴A ＝π3，C ＝π3.故A ＝B ＝C ，即△ABC 的形状为等边三角形．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3A2，sin 3A 2，n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A2，sin A 2，且满足|m ＋n |＝ 3.(1)求角A 的大小；(2)若b ＋c ＝3a ，试判断△ABC 的形状．解：(1)因为|m ＋n |＝3，所以|m ＋n |2＝3，即m 2＋n 2＋2m ·n ＝3.又因为m 2＝n 2＝1，所以m ·n ＝12，所以cos 3A 2cos A 2＋sin 3A 2sin A 2＝12，所以cos A ＝12，又0<A <π，所以A ＝π3.(2)因为b ＋c ＝3a ，所以sin B ＋sin C ＝3sin A ＝32.所以sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝32，化简得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝32. 因为0<B <2π3，0<B ＋π6<5π6，所以B ＋π6＝π3或2π3，所以B ＝π6，C ＝π2或B ＝π2，C ＝π6，所以△ABC 为直角三角形．题以解答题为主，难度一般．[考点精要](1)仰角与俯角是相对水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．(2)利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置．[典例] 如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值．[解] (1)依题意，∠BAC ＝120°，AB ＝12海里，AC ＝10×2＝20(海里)，∠BCA ＝α. 在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC ＝28海里．∴渔船甲的速度为BC2＝14(海里/小时)．(2)在△ABC 中，AB ＝12海里，∠BAC ＝120°，BC ＝28海里，∠BCA ＝α，由正弦定理，得ABsin α＝BCsin 120°.即sin α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314. 故sin α的值为3314.[类题通法]应用解三角形知识解决实际问题的步骤(1)读题．分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)图解．根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)建模．将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)验证．检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．[题组训练]1.要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，如图，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40 m ，则电视塔的高度为( )A ．10 2 mB ．20 mC ．20 3 mD ．40 m解析：选D 设电视塔的高度为x m ，则BC ＝x ，BD ＝3x .在△BCD 中，根据余弦定理得3x 2＝x 2＋402－2×40x ×cos 120°，即x 2－20x －800＝0，解得x ＝40或x ＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.2．北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10 6 m ，则旗杆的高度为________m.解析：设旗杆高为h m ，最后一排为点A ，第一排为点B ，旗杆顶端为点C ，则BC ＝hsin 60°＝233h .在△ABC 中，AB ＝106，∠CAB ＝45°，∠ABC ＝105°， 所以∠ACB ＝30°，由正弦定理，得106sin 30°＝233h sin 45°，故h ＝30(m)．答案：303.某高速公路旁边B 处有一栋楼房，某人在距地面100米的32楼阳台A 处，用望远镜观测路上的车辆，上午11时测得一客车位于楼房北偏东15°方向上，且俯角为30°的C 处，10秒后测得该客车位于楼房北偏西75°方向上，且俯角为45°的D 处．(假设客车匀速行驶)(1)如果此高速路段限速80千米/小时，试问该客车是否超速？(2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向E 处，问此时客车距离楼房多远？ 解：(1)在Rt △ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝100米，则BC ＝1003米． 在Rt △ABD 中，∠BAD ＝45°，AB ＝100米，则BD ＝100米． 在△BCD 中，∠DBC ＝75°＋15°＝90°，则DC ＝BD 2＋BC 2＝200米，所以客车的速度v ＝CD10＝20米/秒＝72千米/小时，所以该客车没有超速．(2)在Rt △BCD 中，∠BCD ＝30°， 又因为∠DBE ＝15°，所以∠CBE ＝105°， 所以∠CEB ＝45°.在△BCE 中，由正弦定理可知EB sin 30°＝BCsin 45°，所以EB ＝BC sin 30°sin 45°＝506米，即此时客车距楼房506米．1．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝3，c ＝8，则其面积等于( ) A ．12 B.212C ．28D ．6 3解析：选D 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋82－722×3×8＝12，所以sin A ＝32，则S△ABC＝12bc sin A ＝12×3×8×32＝6 3. 2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2A sin 2A的值为( )A.19B.13 C ．1D.72解析：选D 由正弦定理可得2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2b 2－a 2a 2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2－a 2a 2＝72. 3．在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝5，△ABC 的面积为4，若∠ABC ＝θ，则cos θ等于( )A.35 B ．－35C ．±35D ．±45解析：选C ∵S △ABC ＝12AB ·BC sin ∠ABC ＝12×2×5×sin θ＝4.∴sin θ＝45.又θ∈(0，π)，∴cos θ＝±1－sin 2θ＝±35.4．某人从出发点A 向正东走x m 后到B ，向左转150°再向前走3 m 到C ，测得△ABC 的面积为334m 2，则此人这时离开出发点的距离为( )A ．3 m B. 2 m C ．2 3 mD. 3 m解析：选D 在△ABC 中，S ＝12AB ×BC sin B ，∴334＝12×x ×3×sin 30°，∴x ＝ 3. 由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos B ＝3＋9－9＝3(m)． 5．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积S △ABC ＝32，则边BC 的边长为( ) A. 3 B ．3 C.7D ．7解析：选A ∵S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝32，∴AC ＝1，由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3，即BC ＝ 3.6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝80，b ＝100，A ＝30°，则此三角形( )A ．一定是锐角三角形B ．可能是直角三角形，也可能是锐角三角形C ．一定是钝角三角形D ．一定是直角三角形 解析：选C 由正弦定理a sin A ＝bsin B 得80sin A ＝100sin B ，所以sin B ＝58.因为a <b ，所以B 有两种可能：锐角或钝角．若B 为锐角时， cos C ＝－cos (A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝12×58－32×398<0，所以C 为钝角，即△ABC 为钝角三角形；若B 为钝角时，则△ABC 是钝角三角形，所以此三角形一定为钝角三角形．故选C.7．在△ABC 中，a ＝b ＋2，b ＝c ＋2，又知最大角的正弦等于32，则三边长为________． 解析：由题意知a 边最大，sin A ＝32，∴A ＝120°，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .∴a 2＝(a －2)2＋(a －4)2＋(a －2)(a －4)． ∴a 2－9a ＋14＝0，解得a ＝2(舍去)或a ＝7. ∴b ＝a －2＝5，c ＝b －2＝3. 答案：a ＝7，b ＝5，c ＝38．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝________.解析：因为C ＝2B ，所以sin C ＝sin 2B ＝2sin B ·cos B ，所以cos B ＝sin C 2sin B ＝c 2b ＝12×85＝45， 所以cos C ＝2cos 2B －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.答案：7259．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝23，C ＝45°，1＋tan Atan B ＝2cb，则边c 的值为________．解析：由1＋tan A tan B ＝2c b ，得1＋sin A cos Bcos A sin B＝sin A cos B ＋cos A sin B cos A sin B ＝A ＋B cos A sin B ＝sin Ccos A sin B＝cb cos A ＝2c b ，所以cos A ＝12，故A ＝60°.由正弦定理得23sin 60°＝c sin 45°，所以c ＝2 2.答案：2 210．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积． 解：(1)因为0<A <π，cos A ＝23，所以sin A ＝1－cos 2A ＝53， 又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C ，所以253cos C ＝23sin C ，tan C ＝ 5.(2)由tan C ＝5得sin C ＝56，cos C ＝16，于是sin B ＝5cos C ＝56.由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c sin C 得c ＝3，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×3×56＝52. 11.如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．解：(1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B ) ＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝437×12－17×32＝3314. (2)在△ABD 中，由正弦定理得 BD ＝AB ·sin∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC ＝7.12．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列．(1)求B 的值；—————————— 精心制作仅供参考 灿若出品必属精品 ——————————灿若寒星 (2)求2sin 2A ＋cos(A －C )的范围．解：(1)∵a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列，∴a cos C ＋c cos A ＝2b cos B .由正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos B ，即sin(A ＋C )＝sin B ＝2sin B cos B .又在△ABC 中，sin B ≠0，∴cos B ＝12. ∵0<B <π，∴B ＝π3. (2)∵B ＝π3，∴A ＋C ＝2π3， ∴2sin 2A ＋cos(A －C )＝1－cos 2A ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －2π3 ＝1－cos 2A －12cos 2A ＋32sin 2A ＝1＋32sin 2A －32cos 2A ＝1＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π3. ∵0<A <2π3，－π3<2A －π3<π， ∴－32<sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π3≤1. ∴2sin 2A ＋cos(A －C )的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1＋3.。
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考点规范练24 解三角形1.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知a=√3,b=2,A=60°,则c=( ) A .12 B.1 C .√3 D.2答案:B解析:由已知及余弦定理,得3=4+c 2-2×2×c ×12,整理,得c 2-2c+1=0,解得c=1.故选B . 2.在△ABC 中,已知a cos A=b cos B ,则△ABC 的形状是( ) A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形 答案:D解析:∵a cos A=b cos B ,∴sin A cos A=sin B cos B , ∴sin2A=sin2B ,∴A=B 或2A+2B=180°, 即A=B 或A+B=90°,∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.故选D .3.在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,a=1,c cos A+a cos C=2b cos B ,△ABC 的面积S=√3,则b 等于( ) A .√13 B.4 C.3 D .√15答案:A解析:由题意可得,2sin B cos B=sin C ·cos A+sin A cos C=sin(A+C )=sin B ,∴cos B=12,∴B=π3.又S=12ac ·sin B=12×1×c ×√32=√3,∴c=4.又b 2=a 2+c 2-2ac cos B=1+16-2×1×4×12=13,∴b=√13.4.如图,两座相距60 m 的建筑物AB ,CD 的高度分别为20 m,50 m,BD 为水平面,则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为( )A.30°B.45°C.60°D.75°答案:B解析:依题意可得AD=20√10m,AC=30√5m,又CD=50m,所以在△ACD 中,由余弦定理,得cos ∠CAD=AA 2+AA 2-AA 22AA ·AA=√5)2√10)222×305×2010=60002=√22, 又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.5.在△ABC 中,A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若b cos A+a cos B=c 2,a=b=2,则△ABC 的周长为( ) A.7.5 B.7 C.6 D.5答案:D解析:∵b cos A+a cos B=c 2,a=b=2, ∴由余弦定理可得b ×A 2+A 2-A 22AA +a ×A 2+A 2-A 22AA =c 2,整理可得2c 2=2c 3,解得c=1,则△ABC 的周长为a+b+c=2+2+1=5.故选D .6.(2019全国Ⅱ,理15)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若b=6,a=2c ,B=π3,则△ABC 的面积为 . 答案:6√3解析:∵b 2=a 2+c 2-2ac cos B , ∴(2c )2+c 2-2×2c ×c ×12=62,即3c 2=36,解得c=2√3或c=-2√3(舍去). ∴a=2c=4√3.∴S △ABC =12ac sin B=12×4√3×2√3×√32=6√3.7.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(sin A-sin A)(A+A)A=sin A-sin B,则C=.答案:π3解析:在△ABC中,∵(sin A-sin A)(A+A)A=sin A-sin B,∴(A-A)(A+A)A=a-b.∴a2+b2-c2=ab,∴cos C=A2+A2-A22AA =12.∴C=π3.8.在△ABC中,B=120°,AB=√2,A的角平分线AD=√3,则AC=. 答案:√6解析:由题意及正弦定理,可知AAsin∠AAA =AAsin A,即√2sin∠AAA =√3√32,故∠ADB=45°.所以12A=180°-120°-45°,故A=30°,则C=30°,所以三角形ABC是等腰三角形.所以AC=2√2sin60°=√6.9.如图,为了测量两山顶D,C间的距离,飞机沿水平方向在A,B两点进行测量,在A位置时,观察D 点的俯角为75°,观察C点的俯角为30°;在B位置时,观察D点的俯角为45°,观察C点的俯角为60°,且AB=√3 km,则C,D之间的距离为.答案:√5 km解析:在△ABD中,∵∠BAD=75°,∠ABD=45°,∴∠ADB=60°,由正弦定理可得AAsin∠AAA =AAsin∠AAA,即√3sin60°=AAsin45°,∴AD=√3sin45°sin60°=√2(km),由题意得∠ABC=120°,∠BAC=∠BCA=30°,∴BC=AB=√3km,∴AC=3km,在△ACD中,由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC·AD sin∠DAC=5,即CD=√5km.10.(2019广西崇左天等高级中学高三下学期模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3b2+3c2-4√2bc=3a2.(1)求sin A;(2)若3c sin A=√2a sin B,△ABC的面积为√2,求△ABC的周长.解:(1)因为3b2+3c2-4√2bc=3a2,所以b2+c2-a2=4√23bc.所以cos A=A2+A2-A22AA =2√23,所以sin A=√1-cos2A=√1-89=13.(2)因为3c sin A=√2a sin B,所以3ac=√2ab,即b=3√22c.因为△ABC的面积为√2,所以12bc sin A=√2,即12×3√22c2×13=√2,解得c=2.所以b=3√2,a=18+4-2×3√2×2×3=√6.故△ABC的周长为2+3√2+√6.能力提升11.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若b2+c2-a2=√3bc,且b=√3a,则下列关系一定不成立的是()A.a=cB.b=cC.2a=cD.a2+b2=c2答案:B解析:∵b2+c2-a2=√3bc,∴cos A=A2+A2-A22AA =√32,∴A=30°.∵b=√3a,∴sin B=√3sin A=√32,∴B=60°或B=120°.当B=60°时,C=90°,此时△ABC为直角三角形,得到a2+b2=c2,2a=c;当B=120°时,C=30°,此时△ABC 为等腰三角形,得到a=c ;故选B . 12.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若2A -AA=cos Acos A ,b=4,则△ABC 的面积的最大值为( ) A.4√3 B.2√3 C.2 D .√3答案:A解析:∵在△ABC 中,2A -AA=cos Acos A ,∴(2a-c )cos B=b cos C.∴(2sin A-sin C )cos B=sin B cos C.∴2sin A cos B=sin C cos B+sin B cos C=sin(B+C )=sin A. ∴cos B=12,即B=π3.由余弦定理可得16=a 2+c 2-2ac cos B=a 2+c 2-ac ≥2ac-ac=ac ,故ac ≤16,当且仅当a=c 时取等号, 因此,△ABC 的面积S=12ac sin B=√34ac ≤4√3,故选A .13.(2019浙江,14)在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D 在线段AC 上.若∠BDC=45°,则BD= ,cos ∠ABD= .答案:12√25 7√210解析:如图所示,设CD=x ,∠DBC=α,则AD=5-x ,∠ABD=π2-α,在△BDC 中,由正弦定理得3sinπ4=Asin A =3√2⇒sin α=.在△ABD 中,由正弦定理得5-Asin (π2-A )=4sin3π4=4√2⇒cos α=由sin 2α+cos 2α=A 218+(5-A )232=1,解得x 1=-35(舍去),x 2=215⇒BD=12√25.在△ABD 中,由正弦定理得0.8sin∠AAA=4sin (π-π4)⇒sin ∠ABD=√210⇒cos ∠ABD=7√210.14.(2019辽宁凌源高三一模)设函数f (x )=sin (2A -π6)+2cos 2x.(1)当x ∈[0,π2]时,求函数f (x )的值域;(2)△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且f (A )=32,√2a=√3b ,c=1+√3,求△ABC 的面积. 解:(1)由已知得,f (x )=√32sin2x-12cos2x+cos2x+1=√32sin2x+12cos2x+1=sin (2A +π6)+1.∵x ∈[0,π2],∴π6≤2x+π6≤7π6,∴12≤sin (2A +π6)+1≤2.∴函数f (x )的值域为[12,2]. (2)∵f (A )=sin (2A +π6)+1=32,∴sin (2A +π6)=12. 又0<A<π,∴π6<2A+π6<13π6,∴2A+π6=5π6,即A=π3.∵√2a=√3b ,∴由正弦定理得,√2sin A=√3sin B ,∴sin B=√22. 又0<B<2π3,∴B=π4.∴sin C=sin(A+B )=√6+√24. 由正弦定理得,A sin A =A sin A =+√3√6+√24=2√2,∴b=2.∴S △ABC =12bc sin A=3+√32.高考预测15.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,△ABC 的面积为S ,若4√3S=b 2+c 2-a 2. (1)求角A ;(2)若a=2,b=2√3,求角C.解:(1)∵△ABC 中,b 2+c 2-a 2=4√3S=4√3·12bc sin A=2bc ·√3sin A ,∴cos A=A 2+A 2-A 22AA=√3sin A ,∴tan A=√33,∵0<A<π,∴A=π6. (2)∵a=2,b=2√3,A=π6,∴由Asin A=Asin A 得sin B=A sin AA=2√3×122=√32, ∵0<B<5π6,且B>A ,∴B=π3或2π3,∴C=π2或π6.。