南昌二中初中物理竞赛教程光学中的成像问题

南昌二中物理竞赛教程浅谈光学中的成像问题光在同一种均匀介质中传播时遵循光的直线传播规律，若从一种介质进入另一种介质，在其介面上要同时发生反射与折射现象，其光线分别遵循光的反射定律与光的折射定律，这就是几何光学的三大传播规律。

在高中物理竞赛辅导的过程中，经常会遇到有关物体成像问题。

光学中的成像问题可归结为两类：一类是反射成像，也就是反射光直接相交成像（实像），或反射光延长线相交成像（虚像 ）；另一类是折射成像，也就是折射光直接相交成像（实像），或折射光延长线相交成像（虚像 ）。

现将光学竞赛中涉及的成像问题作一归类分析.一、 反射镜与反射成像反射镜遵循光的反射定律，如果反射面是平的我们就称是平面镜，如果反射面是球面的一部分，这种镜叫球面镜。

反射面如果是凹面的叫凹面镜，简称凹镜；反射面是凸面的叫凸面镜，简称凸镜。

它们有共同的成像规律： 成像公式：f v u 111=+=R2（R 为球面镜的曲率半径） 像的长度放大率：uv f u f AB B A m =-==11 这些公式只适用于近轴光线成像。

u 、v 的符号法则与透镜类似，即实物u 为正值，虚物u 为负值；实像v 为正值，虚像v 为负值；凹镜的焦距f>0，凸镜的焦距f<0。

而对于平面镜可看作是球面镜的一个特例，即曲率半径R=∞。

这样，我们可得到平面镜成像的简单公式：1,=-=m u v二、 折射镜与折射成像棱镜与透镜的成像规律遵循光的折射定律，属于折射镜。

这里只谈薄透镜成像的规律。

薄透镜是一种理想化的物理模型，它们两表面的曲率中心之间的距离大于它两个顶点之间的距离。

对近轴光线，其成像规律与球面镜相似。

成像公式：fv u 111=+ 其中透镜的焦距)11)(1(121r r n f +-= (1r 、2r 是二球面的半径，n 是透镜的折射率) 像的长度放大率：uv f u f AB B A m =-==11 u 、v 的符号法则：实物u 为正值，虚物u 为负值；实像v 为正值，虚像v 为负值；凸透镜的焦距f>0，凹透镜的焦距f<0。

三、 光具组成像各个光学元件组成的光光系统称为光具组。

解物体通过光具组成像这类问题的总原则是：物体通过前一光学元件所成的像就是后一光学元件的物，遇到平面镜、球面镜等反射镜，就考虑光线折回后再成像这一点。

具体地说，可有以下几个结论：1、后一次成像的物距（有正负）等于前后两光具的距离（总为正）与前一次成像的像距（有正负）之差，即n n n v d u -=+12、最终成像位置由最后一个光具所成像的位置决定。

0>n v 表示最终成像在最后光具沿主轴的正向侧，0<n v 表示最终成像在最后光具的反向侧。

3、最终成像的虚实，由最后一次成像决定，0>n v 为实像，0<n v 为虚像。

4、总放大系数等于各次放大系数的乘积，即Λ321m m m m =5、最后成像正倒的确定：先根据单次成像时，实物成实像与虚物成虚像为倒立，实物成虚像与虚物成实像为正立的原则确定正、倒立的总次数，再根据倒立了偶数次则最终成像正立、倒立了奇数次则最终成像倒立确定最终成像的正倒情况。

如果各光学元件之间的距离0=d ，那么整个光具组的总焦距f 与各个光学元件的焦距f 1、f 2、f 3之间存在如下的关系：Λ+++=3211111f f f f 。

我们就可应用整个光具组成像法解决成像问题。

四、 应用举例例1：一平行光沿薄平凸透镜的主光轴入射，经透镜折射会聚于透镜后f=48cm 处，透镜的折射率为n=1.5。

若将此透镜的凸面镀银，物置于平面前12cm 处，求最后所成像的位置。

分析与求解：根据透镜的焦距公式)11)(1(121r r n f +-=， 而r 1=∞,21)1(1r n f -= 解得凸球面的半径r 2=24cm. 凸面镀银后，相当于有三个光学元件组合成像，即先通过透镜折射成像，再经球面镜反射成像，最后再经透镜折射成像。

先经透镜成像111111v u f +=，得cm v 161-= 再经凹面镜成像cm u 162=，22222111r f v u ==+ 得cm v 482=最后又经透镜成像cm u 483-= ，331111v u f +=，cm v 243=。

即最后成像在透镜前24cm 处。

此题还有另外一种解法。

由于三个光学元件之间的间距为0，设整个光学系统的总焦距为f ，则有3211111f f f f ++=，得光具的总焦距为f=8cm.再由成像公式f v u 111=+，811121=+v ，得cm v 24= 例2：在焦距为15cm 的会聚透镜左方30cm 处放一物体，在透镜右侧放一垂直于主轴的平面镜，试求平面镜在什么位置，才能使物体通过此系统所成的像距离透镜30cm? 分析与求解：设平面镜与透镜的距离为d ，物距cm u 301=,焦距cm f 151=111111v u f +=， 得cm v 301=。

由平面镜成像时cm d u )30(2-=，cm d v )30(2-=最后又经透镜成像，cm d v d u )302(23-=-=331111v u f += 解得452)302(153--=d d v 若成实像cm v 303=， 此时d=30cm若成虚像cm v 303-=， 此时d=20cm例3：设有两个薄凸透镜o 1和o 2，其焦距分别为f 1=20cm ，f 2=30cm ，两者共轴，相距d=35cm ，在主光轴上透镜o 1左方100cm 处垂直于主轴放一长为4cm 的物体，求最终成像的位置、大小和虚实情况。

分析与求解：物体先经透镜o 1成像，物距cm u 1001=,焦距cm f 201= 由111111v u f +=， 得cm v 251=。

放大率25.0211==u v m再经透镜O 2成像，cm cm d u 10)25(2=-=，焦距cm f 302= 由222111v u f +=，得cm v 152-=。

放大率5.1222==u v m 最终成像的总放大率375.021==m m m ，像长为1.5cm 倒立的虚像，像在透镜O 2左方15cm 处。

例4、一平凸透镜焦距为f ，其平面上镀了银，现在其凸面一侧距它2f 处，垂直于主轴放置一高为Ｈ的物，其下端在透镜的主轴上。

1、用作图法画出物经镀银透镜所成的像，并标明该像是虚、是实。

2、用计算法求出此像的位置和大小。

分析与求解：1. 用作图法求得物AP ，的像''A P 及所用各条光线的光路如图预解16-5所示。

说明：平凸薄透镜平面上镀银后构成一个由会聚透镜L 和与它密接的平面镜M 的组合LM ，如图所示．图中O 为L 的光心，'AOF 为主轴，F 和'F 为L 的两个焦点，AP 为物，作图时利用了下列三条特征光线：（1）由P 射向O 的入射光线，它通过O 后方向不变，沿原方向射向平面镜M ，然后被M 反射，反射光线与主轴的夹角等于入射角，均为α。

反射线射入透镜时通过光心O ，故由透镜射出时方向与上述反射线相同，即图中的'OP ．（2）由P 发出已通过L 左方焦点F 的入射光线PFR ，它经过L 折射后的出射线与主轴平行，垂直射向平面镜M ，然后被M 反射，反射光线平行于L 的主轴，并向左射入L ，经L 折射后的出射线通过焦点F ，即为图中的RFP ．（3）由P 发出的平行于主轴的入射光线PQ ，它经过L 折射后的出射线将射向L 的焦点'F ，即沿图中的'QF 方向射向平面镜，然后被M 反射，反射线指向与'F 对称的F 点，即沿QF 方向。

此反射线经L 折射后的出射线可用下法画出：通过O 作平行于QF 的辅助线'S OS ，'S OS 通过光心，其方向保持不变，与焦面相交于T 点，由于入射平行光线经透镜后相交于焦面上的同一点，故QF 经L 折射后的出射线也通过T 点，图中的QT 即为QF 经L 折射后的出射光线。

上列三条出射光线的交点'P 即为LM 组合所成的P 点的像，对应的'A 即A 的像点．由图可判明，像''A P 是倒立实像，只要采取此三条光线中任意两条即可得''A P ，即为正确的解答。

2.计算物AP 经LM 组合所成像的位置、大小。

解法一：按光具组整个系统成像计算像的位置和大小。

由于三个光学元件之间的间距为0，设整个光学系统的总焦距为总f 。

这三个光学元件分别是两个透镜和一个平面镜。

根据3211111f f f f ++=总，其中f f f ==31，=2f ∞ 解得光具组的总焦距2f f =总 再由成像公式总f v u 111=+，得 f v 32= 总的放大率31==u v m ，像高为物高的13。

解法二：按陆续成像计算物AP 经LM 组合所成像的位置、大小。

物AP 经透镜L 成的像为第一像，取12u f =，由成像公式可得像距12v f =，即像在平向镜后距离2f 处，像的大小'H 与原物相同，'H H =。

第一像作为物经反射镜M 成的像为第二像。

第一像在反射镜M 后2f 处，对M 来说是虚物，成实像于M 前2f 处。

像的大小H ''也与原物相同，H H H '''==。

第二像作为物，而经透镜L 而成的像为第三像，这时因为光线由L 右方入射，且物（第二像）位于L 左方，故为虚物，取物32u f =-，由透镜公式33111u v f+=可得像距 333203fu v f u f ==>- 上述结果表明，第三像，即本题所求的像的位置在透镜左方距离23f 处，像的大小H '''可由3313v H H u '''==''求得，即 1133H H H '''''==，像高为物高的13。

例5、两个薄透镜L 1和L 2共轴放置，如图所示。

已知L 1的焦距f 1＝f ，L 2的焦距f 2＝－f ，两透镜间距离也是f 。

小物体位于物面P 上，物距u 1＝3f 。

（1）小物体经这两个透镜所成的像在L 2的＿＿＿＿边，到L 2的距离为＿＿＿＿，是＿＿＿＿像（虚或实）、＿＿＿＿像（正或倒），放大率为＿＿＿＿。

（2）现在把两透镜位置调换，若还要给定的原物体在原像处成像，两透镜作为整体应沿光轴向＿＿＿＿边移动距离＿＿＿＿。

这个新的像是＿＿＿＿像（虚或实）、＿＿＿＿像（正或倒），放大率为＿＿＿＿。

分析与求解：（1）由题意知：f u 31=，f 1=f11111v u f += 得f v 5.11= 而ff f v d u 5.05.112-=-=-=22111v u f +=-，得f v =2 放大率15.035.121=⨯==ff f f m m m 所以像成在L 2的右边，到L 2的距离为f ，像的放大率为1，是倒立的实像。