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高一数学第二学期入学测试题

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福建省高一下学期入学考试数学试题(解析版)

福建省高一下学期入学考试数学试题(解析版)

高一数学试题一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 若是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是 αA. B.C.D.90α︒-90α︒+360α︒-180α︒+【答案】C 【解析】【详解】分析：由题意逐一考查所给选项即可求得最终结果. 详解：若是第一象限角，则：α位于第一象限， 90α︒-位于第二象限， 90α︒+位于第四象限， 360α︒-位于第三象限，180α︒+本题选择C 选项.点睛：本题主要考查象限角的概念，意在考查学生的转化能力和概念熟练程度. 2. 已知：，那么命题的一个必要非充分条件是（ ） P 20x x -<P A. B. 01x <<11x -<<C.D.1223x <<122x <<【答案】B 【解析】【分析】先解不等式求出，然后结合选项根据必要不充分条件的概念即可判断. 01x <<【详解】因为，所以，然后结合选项根据必要不充分条件的概念可判断， 20x x -<01x <<故选：B.3. 已知集合，则（ ） (){}{}ln 12,Z 3sin A x x B y y x =+<=∈=A B = A. B.C.D.{}0,1,2,3{}0,3{}3∅【答案】A 【解析】【分析】由对数的单调性求得集合A ，根据正弦函数性质求得集合，进而求其交集.B【详解】由，可得，则 ()ln 12x +<201e x <+<{}21e 1A xx =-<<-∣又， {}{}Z 3sin 3,2,1,0,1,2,3B y y x =∈==---所以. {}0,1,2,3A B = 故选：A4. 已知角的终边经过点，则（ ）θ(2,3)-sin θ=A. B.C. 2D.3-【答案】A 【解析】【分析】根据正弦函数的定义直接计算即可. 【详解】因为角的终边经过点，θ(2,3)-所以，r ==sin θ==故选：A5. 函数的零点所在区间为（ ） ()4ln 1f x x x=-+A. B. (0,1)(1,2)C. D.(2,3)(3,4)【答案】C 【解析】【分析】根据解析式判断函数在定义域上的连续性，再根据零点存在性定理判断零点所在区间即可. 【详解】由题设，是定义域在上连续不断的递增函数, ()f x (0,)+∞又，， (2)ln221ln210f =-+=-<()413ln31ln3033f =-+=->由零点存在定理可知,零点所在区间为. (2,3)故选:.C 6. 已知函数的定义域是，则的定义域是（ ） (1)y f x =-[2,4]-()ln(3)y f x x =⋅+A.B.C. D.(3,3]-1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦[1,3]-(3,5]-【答案】A 【解析】【分析】根据复合函数定义域及对数函数定义域即可求.【详解】的定义域是，即，故，则的定义域为(1)y f x =-[2,4]-[]2,4x ∈-[]13,3x -∈-()y f x =，[]3,3-又的定义域为，故的定义域为. ln(3)y x =+()3,-+∞()ln(3)y f x x =⋅+[]()(]3,33,3,3 --+∞=-故选：A. 7. 已知，则（ ） 33111log ,,2223c a b ===A. B. a b c <<b c a <<C. D.c a b <<c b a <<【答案】D 【解析】【分析】根据对数计算，指数幂，并与常见的数值比较大小即可得解. 【详解】因为， 33111log ,,2223c a b ===所以，1231,a ==>11331021,2b -⎛⎫<==< ⎪⎝⎭，2231log log 10c =<=所以. c b a <<故选：D .8. 已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，设函数()f x R ()()2f x f x -=01x ≤≤()f x x =，则函数的零点个数为（ ）()()7log g x f x x =-()g x A. 6 B. 8C. 12D. 14【答案】C 【解析】【分析】根据函数奇偶性即可以得到函数为周期函数，把函数的零点个数转()()2f x f x -=()f x ()g x化成方程的根的个数，即在同一坐标系中和图像的交点个数. ()7log 0f x x -=()y f x =7log y x =【详解】依题意可知，函数是定义在上的偶函数，且 ()f x R ()()2f x f x -=所以，， ()()()()22f x f x f x f x =-=--=+即函数是以2为周期的偶函数；()f x 令，即，()()7log 0g x f x x =-=()7log f x x =在同一坐标系中分别作出和的图像如下图所示：()y f x =7log y x =由图像可知，两函数图像共有12个交点， 即函数共由12个零点. ()g x 故选：C.二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 a b >lg lg a b >22a b >a b >C. 若，则 D. 若，则,a b c d >>22ac bd >22ac bc >a b >【答案】BD 【解析】【分析】根据对数函数、不等式的性质等知识确定正确答案.【详解】A 选项，若，但没有意义，所以A 选项错误.1,2,a b a b =-=->lg ,lg a b B 选项，由于，所以B 选项正确.22a b a b >⇔>C 选项，若，则， 2,1,1,2a b c d ====-,a b c d >>但，所以C 选项错误.22ac bd <D 选项，由于，则，所以，D 选项正确.22ac bc >20c >a b >故选：BD10. 给出以下四个结论，其中所有正确结论的序号是（ ） A. 命题“”的否定是“．”21,1x x ∀>>2001,1x x ∃≤≤B. 若函数，则4211x f x x x +⎛⎫+= ⎪⎝⎭(2)2f =C. “”是“函数在区间内有零点”的充要条件 ()()0f a f b <()f x (,)a b D. 函数（其中，且）的图象过定点1()log (21)1x a f x a x -=+--0a >1a ≠(1,0)【答案】BD 【解析】【分析】对A ，任意一种都符合的否定是存在一种不符合；对B ，化简得，即可2112f x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由整体法代入求值.对C ，结合零点存在定理，注意需在连续；对D ，结合指数函数、对数函数()f x (,)a b 的定点判断即可.【详解】对A ，命题“”的否定是“．”，A 错；21,1x x ∀>>2001,1x x ∃>≤对B ，，故，B 对； 2422211112x f x x x x x x x +⎛⎫⎛⎫+==+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2(2)222f =-=对C ，由零点存在定理得，函数需在内连续且，则在区间内有零点，()f x (,)a b ()()0f a f b <()f x (,)a b C 错；对D ，由，故过定点，D 对.(1)log 111010a f a =+-=+-=()f x (1,0)故选：BD11. 关于函数有如下四个命题，其中正确的是（ ） 1()sin sin f x x x=+A. 的图象关于y 轴对称B. 的图象关于原点对称 ()f x ()f xC. 的图象关于直线对称D. 的图象关于点(π，0)对称()f x π2x =()f x 【答案】BCD 【解析】【分析】求得的奇偶性判断选项AB ；利用与是否相等判断选项C ；利用()f x π()2f x -π()2f x +与是否相等判断选项D.(2π)f x +()f x --【详解】∵的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z}， 1()sin sin f x x x=+()()11()sin sin ()sin sin f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭∴为奇函数，其图象关于原点对称.故A 错误，B 正确；()f x ∵ ππ11()sin cos π22cos sin 2f x x x x x ⎛⎫-=-+=+⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭ππ11()sin cos π22cos sin 2f x x x x x ⎛⎫+=++=+⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭∴，∴的图象关于直线对称，故C 正确；ππ()()22f x f x -=+()f x π2x =又()()11(2π)sin 2πsin sin 2πsin f x x x x x+=++=++，()()11()sin sin sin sin f x x x x x-=-+=-+--∴，(2π)()f x f x +=--∴的图象关于点(π，0)对称，故D 正确． ()f x 故选：BCD ．12. 设函数（，是常数，）若在区间上具有()()cos f x x ωϕ=+ωϕ0ω>π02ϕ<<()f x π5π,2424⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调性，且，则下列说法正确的是（ ） π5π11π242424f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A. 的周期为 ()f x 2πB. 的单调递减区间为()f x πππ,π(Z)63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C. 的对称轴为 ()f x ππ(Z)122k x k =+∈D. 的图象可由的图象向左平移个单位得到 ()f x ()sin g x x ω=5π6【答案】B 【解析】【分析】由于函数（，是常数，）若在区间()()cos f x x ωϕ=+ωϕ0ω>π02ϕ<<()f x π5π,2424⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上具有单调性，可得，由可得函数的一个对称中心和相邻和04ω<≤π5π11π242424f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对称轴，即可得与的值，即可得函数的解析式，结合余弦型函数的周期性、单调性、对称性、ωφ()f x 图象变换逐项判断即可.【详解】解：函数，是常数，，， ()cos()(f x x ωϕω=+ϕ0ω>π0)2ϕ<<若在区间上具有单调性，则，． ()f x π5π,2424⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12π5ππ22424ω⋅≥+04ω∴<≤， π5π11π242424f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则的图象关于点对称，的图象关于直线对称，()f x π,012⎛⎫⎪⎝⎭()f x π3x =，①，且，． πππ122k ωϕ∴⨯+=+Z k ∈ππ3n ωϕ⨯+=Z n ∈两式相减，可得，故 或（舍去）． 4()2n k ω=--2ω=6ω=当时，则由①可得，．2ω=π3ϕ=()πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭综上，．()πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故它的周期为，故A 错误； 2ππ2=令，求得，可得函数的减区间为ππ2π22π3k x k ≤+≤+Z k ∈ππππ63k x k -≤≤+Z k ∈，故B 正确． πππ,π(Z)63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦令，求得，，故的对称轴为直线，，故C 错误；π2π3x k +=ππ26k x =-Z k ∈()f x ππ26k x =-Z k ∈由的图象向左平移个单位得到函数 的图象，故D 错()sin 2g x x =5π65ππsin 2cos 233y x x ⎛⎫⎛⎫=+≠+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭误.故选：B ．三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填写至答题卷的相应位置.13. 已知半径为1的扇形，其弧长与面积的比值为___________． 【答案】2 【解析】【分析】根据扇形的弧长和面积的公式运算求解.【详解】设扇形的圆心角为，则其弧长，面积， ()0,2πα∈1l αα=⨯=11122S l α=⨯=故弧长与面积的比值. 212l Sαα==故答案为：2.14. 已知正数x ，y 满足，则上的最小值为______________． 21x y +=21y x y+【答案】 2+【解析】 【分析】变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，从而2111111y x x y x y y x ++=+--=11x y+得到的最小值. 21y x y+【详解】正数x ，y 满足，21x y +=故， 2111111yx x y x y yx ++=+--=其中， ()1111221233x y x y y y y x x x ⎛⎫+=++=+++≥+=+ ⎪⎝⎭当且仅当，即时，等号成立，2x y y x=1,x y =-=故. 211112x y x y y+-≥+=+故答案为：2+15. 若，，且，则的最大值为______． απ0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()21sin sin sin cos cos αβααβ+=tan β【解析】【分析】由题意结合商数关系及平方关系可得，再利用基本不等式即可得出答案.2tan tan 2tan 1=+αβα【详解】解：由， ()21sin sin sin cos cos αβααβ+=得，2222sin cos sin cos tan tan 1sin 2sin cos 2tan 1αααααβαααα===+++因为，所以， π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()tan 0,α∈+∞则，2tan 1tan 12tan 12tan tan αβααα==≤=++当且仅当，即时，取等号， 12tan tanαα=tan α=所以. tan β. 16. 对于函数，若存在，使，则称点是曲线的“优美()y f x =0x ()()000f x f x +-=()()00,x f x ()f x 点”．已知，则曲线的“优美点”个数为______． 21,0()2,0x x f x x x x x ⎧->⎪=⎨⎪--≤⎩()f x 【答案】5 【解析】【分析】由曲线与曲线交点个数即可得到曲线的“优美点”个数. ()f x ()f x --()f x 【详解】曲线的“优美点”个数即曲线与曲线交点个数.()f x ()f x ()f x --由，可得， 21,0()2,0x x f x xx x x ⎧->⎪=⎨⎪--≤⎩()()21,0()2,0x x x f x x x x ⎧--->⎪--=⎨⎪-----≤⎩即，则， 21,0()2,0x x f x x x x x ⎧-+<⎪-=⎨⎪-+≥⎩21,0()2,0x x f x xx x x ⎧-<⎪--=⎨⎪-≥⎩同一坐标系内作出（实线）与的图像（虚线）.()y f x =()y f x =--由图像可得两函数图像共有5个交点，则曲线的“优美点”个数为5 ()f x 故答案为：5四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 在①，②，③到这三个条件中任2111x A xx -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭1322A x x ⎧⎫=-<⎨⎬⎩⎭{}22log (1)log 3A x x =+<选一个，补充在下面的横线上，并回答下列问题．设全集，__________，U =R ．{}220B x x x a a =++-<（1）若，求；3a =()()A B R RIðð（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． x A ∈x B ∈【答案】（1）或{3x x ≤-2}x ≥（2） [0,1]【解析】【分析】（1）化简集合，然后利用补集的定义计算出，，即可求解；,A B R A ðR B ð（2）由题意可得 ,接着分，，三种情况进行讨论即可 B A (1)a a -<--(1)a a -=--(1)a a ->--【小问1详解】若选①：， ()(){}{}212102101211x x A x x x x x x x x x --⎧⎫⎧⎫=<=<=-+<=-<<⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎩⎭，{}{}26032B x x x x x =+-<=-<<∴或，或，{R 1A x x =≤-ð}2x ≥{R 3B x x =≤-ð}2x ≥故或；()(){R R 3A B x x ⋂=≤-ðð}2x ≥若选②：， {}133131222222A x x x x x x ⎧⎫⎧⎫=-<=-<-<=-<<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，{}{}26032B x x x x x =+-<=-<<∴或，或，{R 1A x x =≤-ð}2x ≥{R 3B x x =≤-ð}2x ≥故或；()(){R R 3A B x x ⋂=≤-ðð}2x ≥若选③：， {}{}{}22log (1)log 301312A x x x x x x =+<=<+<=-<<， {}{}26032B x x x x x =+-<=-<<∴或，或，{R 1A x x =≤-ð}2x ≥{R 3B x x =≤-ð}2x ≥故或；()(){R R 3A B x x ⋂=≤-ðð}2x ≥【小问2详解】由（1）知，{}{}2212,0{()[(1)]0}A x x B x x x a a x x a x a =-<<=++-<=++-<因为“”是“”的必要不充分条件，∴ ,x A ∈x B ∈B A （ⅰ）若，即，此时， (1)a a -<--12a >{(1)}B x a x a =-<<--所以且等号不同时取得，解得，故； 112a a -≤-⎧⎨-≤⎩1a ≤112a <≤（ⅱ）若，即，此时，符合题意； (1)a a -=--12a =B =∅（ⅲ）若，即，此时， (1)a a ->--12a <{(1)}B x a x a =--<<-等号不同时取得，解得故． 112a a -≤-⎧⎨-≤⎩0,a ≥102a ≤<综上所述，a 的取值范围是[0,1]18. 已知二次函数（a ，b ，c 为常数）2()f x ax bx c =++（1）若不等式的解集为且，求函数在上的最值； ()0f x ≤{}05x x x ≤≥或(1)4f =()f x [1,3]x ∈-（2）若b ，c 均为正数且函数至多一个零点，求的最小值． ()f x (1)f b【答案】（1）最小值为，最大值为6-254（2）2【解析】 【分析】（1）根据二次函数和对应的二次不等式的解集的对应关系即可求解；（2）根据二次不等式的恒成立确定，再由均值不等式即可求解.240∆=-≤b ac 【小问1详解】由题意， ()()()0015255051400f c a f a b c b f a b c c a ⎧===-⎧⎪=++=⎪⎪⇒=⎨⎨=++=⎪⎪=⎩⎪<⎩所以2()5f x x x =-+∵在上单增，在上单减 ()f x 51,2éö÷-ê÷êëø5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦当时，的最大值为， [1,3]x ∈-()f x 52524f ⎛⎫=⎪⎝⎭最小值为．(1)6f -=-【小问2详解】 由至多只有一个零点，(0)0,()f c f x =>则，240∆=-≤b ac 又可知，0b >0a >所以0b <≤则（当且仅当时取等号），(1)1112f a b c a c b b b +++==+≥+≥+=22a b c ==则的最小值为2. (1)f b19. 我国某企业自主研发了一款具有自主知识产权的平板电脑，并从2021年起全面发售.经测算，生产该平板电脑每年需投入固定成本1350万元，每生产 （千台）电脑需要另投成本万元，且x ()T x 另外每台平板电脑售价为0.6万元，假设每年生产的平板电脑能够全2+100+1000,0<<40,()=10000601+-7450,40,ax x x T x x x x ≥⎧⎪⎨⎪⎩部售出.已知2021年共售出10000台平板电脑，企业获得年利润为1650万元.（1）求该企业获得年利润（万元）关于年产量 （千台）的函数关系式;()W x x （2）当年产量为多少千台时，该企业所获年利润最大?并求最大年利润.【答案】（1） 210+500-2350,0<<40,()=10000+6100,40.x x x W x x x x ---≥⎧⎪⎨⎪⎩（2）100千台，最大年利润为5 900万元.【解析】【分析】（1）由已知的条件知道该函数为一个分段函数，所以分两种情况把表达式分别求出来即可 （2）由（1）知当时，为二次函数，利用二次函数的性质求它在该区间上的最大值，当040x <<40x ≥时，利用基本不等式性质求最大值.【小问1详解】解：10 000台=10千台,则，根据题意得：(10)1002000T a =+0.610000100200013501650a ⨯---=，解得，=10a 当时，，040x <<22()0.610001350101001000105002350W x x x x x x =⨯----=-+-当时，40x ≥， 1000010000()0.61000135060174506100W x x x x x x=⨯---+=--+综上所述. 210+5002350,0<<40()=10000+6100,40x x x W x x x x ----≥⎧⎪⎨⎪⎩【小问2详解】当时，040x <<22()10500235010(25)3900W x x x x =-+-=--+当时， 取得最大值；25x =()W x max ()3900W x =当时，40x ≥， 10000()61006100900W x x x =--+≤-=当且仅当时，=100x max ()5900W x =因为，59003900>故当年产量为100千台时,该企业所获年利润最大,最大年利润为5 900万元.20. 已知函数的部分图象如图． ()()π=cos +>0,>0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（1）求的解析式及单调减区间；()f x （2）求函数在上的最大值和最小值． π=24y f x -⎛⎫ ⎪⎝⎭π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】（1），减区间为 π()cos(26f x x =-π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）函数在上的最大值为2，最小值为 y π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦1-【解析】 【分析】（1）利用已知条件求出函数的关系式，从而可求单调减区间；()f x （2）由（1）得函数，根据的范围，结合余弦函数性质得最值. 2π2cos(23y x =-x 【小问1详解】解：由图可知，且， 1A =ππ2π43124T ω=-=所以，2ω=所以，()cos(2)f x x ϕ=+将点代入解析式可得，得 π(,1)12πcos()16ϕ+=π2π,Z 6k k ϕ+=∈即，又，所以 π2π,Z 6k k ϕ=-+∈π2ϕ≤π6ϕ=-则 ()cos(2)6f x x π=-所以的单调减区间满足 ()f x π2π2π2π,Z 6k x k k ≤-≤+∈解得： π7πππ,Z 1212k x k k +≤≤+∈则的单调减区间为： ()f x π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【小问2详解】解：由（1）得： πππ2π2()2cos 2()2cos(2)4463y f x x x --⎡⎤==-=-⎢⎥⎣⎦因为，所以 π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2π2π2,33π3x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦故当时，；当时， =0x min 1y =-3x π=max 2y =所以函数在上的最大值为2，最小值为. y π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦1-21. 已知定义域为的函数是奇函数． R ()2313x x f x a +-=+（1）求实数的值；a （2）判断函数的单调性并证明；()f x （3）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． t ∈R ()()2520f mt f m ++->m 【答案】（1）9a =（2）增函数；证明见解析（3）()3,-+∞【解析】【分析】（1）根据奇函数定义可构造方程求得的值；a （2）任取，整理得，由此可得结论； 21x x >()()()()()2121212331093131x x x x f x f x --=⋅>++（3）由奇偶性和单调性可化简不等式为，分离变量可得，根据能成立的思想252mt m +>-231m t >-+可知，由此可求得结果. 2min31m t ⎛⎫>- ⎪+⎝⎭【小问1详解】为定义在上的奇函数，，()f x R ()()f x f x ∴-=-即，，. 223113313393x x x x x x a a a --+---==-+⋅++239393x x x a a a +∴⋅+=+=+⋅9a ∴=【小问2详解】由（1）得：， ()23113193931x x x x f x +--==⋅++任取，则， 21x x >()()()()()21212121212331313119313193131x x x x x x x x f x f x -⎛⎫---=-=⋅ ⎪++++⎝⎭，，，，21330x x -> 2310x +>1310x +>()()210f x f x ∴->为定义在上的增函数.()f x \R 【小问3详解】不等式可化为， ()()2520f mt f m ++->()()()2522f mt f m f m +>--=-由（2）知：为上的增函数，，， ()f x R 252mt m ∴+>-231m t ∴>-+若存在，使得不等式成立，则； t ∈R ()()2520f mt f m ++->2min31m t ⎛⎫>- ⎪+⎝⎭，，，， 211t +≥ 2331t ∴≤+2min331t ⎛⎫∴-=- ⎪+⎝⎭3m ∴>-即实数的取值范围为.m ()3,-+∞22. 已知函数的定义域关于原点对称，且． 22(),()ln ,()2x x b c x f x g x g x b x b⋅+-==++(0)4f =（1）求b ，c 的值，判断函数的奇偶性并说明理由；()g x （2）若关于x 的方程有解，求实数m 的取值范围．2[()](1)()20f x m f x ---=【答案】（1）为奇函数2,10,()b c g x ==（2） 282,5m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】(1)根据奇函数的定义域的对称性即可确定参数，再根据奇函数的定义即可求解; (2)根据分离常数法和参编分离确定范围即可求解.【小问1详解】由题意，的定义域满足， 2()ln x g x x b -=+20x x b->+即的解集关于原点对称，(2)()0x x b -+>根据二次函数的性质可得与关于原点对称，故．2x =x b =-2b =∴， 222()ln ,()222x x x c g x f x x -⋅+==++∴， 2(0)43c f +==∴.10c =又定义域关于原点对称， ()g x , 222()ln ln ln ()222x x x g x g x x x x --+--===-=--+-+故()(),g x g x -=-为奇函数．()g x 【小问2详解】由（1）， 252233()2221222222x x x x x f x +++⎛⎫===+ ⎪+++⎝⎭因为∵，222x +>∴， 330222x <<+∴的值域为()f x (2,5)故关于x 的方程有解，2[()](1)()20f x m f x ---=即在上有解． 2[()]21()f x m f x -=+()(2,5)f x ∈令，()((2,5))t f x t =∈则， 22211t m t t t-=+=-+∵在上单调递增, 21m t t=-+(2,5)t ∈的值域为, 21m t t =-+222821,512,255⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即m 的值域为， 282,5⎛⎫ ⎪⎝⎭即实数m 的取值范围为．282,5⎛⎫ ⎪⎝⎭。

贵州高一下学期开学考试数学试题(解析版)

贵州高一下学期开学考试数学试题(解析版)

高一年级数学试卷一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）1. 已知集合，集合，则（ ） {}1A x x =>{}03B x x =<<A B = A.B. C. D. (0,1)(1,3)(1,)+∞(0,3)【答案】B【解析】【分析】直接计算交集即可.【详解】集合，集合，.{}1A x x =>{}03B x x =<<{}13A B x x ⋂=<<故选：B2. 已知为奇函数，当时，，则（ ） ()f x 0x >()1f x =()2f -=A.B. 1-1+C. D.1-1--【答案】C【解析】【分析】先由题设条件得到，再利用的奇偶性求得即可. ()21f =-()f x ()2f -【详解】因为当时，， 0x >()1f x =-所以，()21f =-又因为为奇函数，()f x所以. ()())2211f f -=-=--=-故选：C.3. 已知函数 ，则（ ） ()()3log 3,022,0x x x f x x -⎧+>=⎨+≤⎩()()2f f -=A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B【解析】【分析】根据分段函数的解析式，先计算的值，再求得的值即可.(2)f -()()2f f -【详解】由题意，所以， ()()3log 3,022,0x x x f x x -⎧+>=⎨+≤⎩(2)(2)226f ---=+=故，()()32(6)log (63)2f f f -==+=故选：B .4. 若幂函数y =f （x ）的图象经过点（16，4），则幂函数f （x ）是（ ）A. 奇函数B. 偶函数C. 增函数D. 减函数 【答案】C【解析】【分析】求出的解析式，分别研究的奇偶性、单调性可得结果.()f x ()f x 【详解】设，则，解得：， ()f x x α=416α=12α=∴，则的定义域为，12()f x x ==()f x [0,)+∞∴非奇非偶，在上单调递增.()f x ()f x [0,)+∞故选：C.5. 设，，，则（ ） 21log 3a =131()2b =121(3c =A.B. C. D. c b a <<b a c <<a b c <<a c b <<【答案】D【解析】【分析】根据对数函数的单调性，得出，再判断和的大小，即可得到答案.a<03b 3c 【详解】根据对数函数的单调性，， 221log log 103a =<=，，则，，明显可见，， 0b >0c >312b =3321()3c ===12>，得.b c ∴>b c a >>故选：D6. 函数的部分图象大致是（ ）()sin f x x x =⋅A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. ()f x 0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭【详解】函数的定义域为，，()sin f x x x =⋅R ()()()sin sin f x x x x x f x -=--==函数为偶函数，排除BD 选项，()f x 当时，，则，排除C 选项.02x π<<sin 0x >()sin 0f x x x =⋅>故选：A.7. 若不等式的解集为，则的取值范围是（ ）2210ax ax +-<R a A.B. 10a -<<10a -≤<C.D.10a -≤≤10a -<≤【答案】D【解析】【分析】讨论是否为0，不为0时，根据开口方向和判别式建立不等式组，解之即可求出所求.a 【详解】①当时，成立0a =10-<②当 时，若不等式的解集为，0a ≠2210ax ax +-<R 则不等式在恒成立， 2210ax ax +-<R 则， ()()220Δ241440a a a a a <⎧⎪⎨=-⨯⨯-=+<⎪⎩解得：10a -<<综上，实数的取值范围是a 10a -<≤故选：D.8. 把函数的图象向右平移个单位，所得的图象正好关于轴对称，则的最小正值为4cos(3y x π=+ϕy ϕ（ ）A. B. C. D.6π56π43π3π【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的图象变换得到，再结合三角函数的图象与性质，即可求解. 4cos()3y x πϕ=-+【详解】把函数的图象向右平移个单位， 4cos()3y x π=+ϕ所得的图象对应的函数解析式为， 4cos()3y x πϕ=-+再根据所得函数的图象正好关于轴对称，可得， y 4,3k k πϕπ-+=∈Z 即，所以的最小正值为. 4,3k k πϕπ=-∈Z ϕ3π故选：D ．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分）9. 下列命题为假命题的是（ ）A. 若,则a b >22ac bc >B. 若,,则23a -<<12b <<42a b -<-<C. 若,,则 0b a <<0m <m m a b>D. 若,,则a b >c d >ac bd >【答案】BC【解析】【分析】根据不等式的性质对照选项一一进行判断即可得出结果。

高一数学下学期开学考试试题含解析

高一数学下学期开学考试试题含解析

卜人入州八九几市潮王学校HY二零二零—二零二壹高一下学期开学考试数学试题一、选择题〔本大题一一共12小题，一共分〕，，那么以下关系正确的选项是A. B. C. D.与没有公一共元素【答案】B【解析】【分析】判断两个集合的元素的特征，即可推出结果．【详解】5，，，所以．应选：B．【点睛】此题考察集合的相等的条件的应用，集合的运算的关系，考察计算才能.，那么满足的的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】画出函数的图象，利用函数的单调性列出不等式转化求解即可．【详解】函数，的图象如图：满足，可得：或者，解得．应选：D．【点睛】此题考察分段函数的应用，函数的单调性以及不等式的解法，考察计算才能．，那么是()A.奇函数，且在〔0,1〕上是增函数B.奇函数，且在〔0,1〕上是减函数C.偶函数，且在〔0,1〕上是增函数D.偶函数，且在〔0,1〕上是减函数【答案】A【解析】试题分析：由题意得，函数的定义域为，解得，又，所以函数的奇函数，由，令，又由，那么，即，所以函数为单调递增函数，根据复合函数的单调性可知函数在上增函数，应选A.考点：函数的单调性与奇偶性的应用.【方法点晴】此题主要考察了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中涉及到函数的奇偶性的断定、函数的单调性的断定与应用、复合函数的单调性的断定等知识点的综合考察，着重考察了学生分析问题和解答问题的才能，以及推理与运算才能，此题的解答中确定函数的定义域是解答的一个易错点，属于根底题.4.，在单位圆中角的正弦线、余弦线、正切线的长度分别，那么它们的大小关系是A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，AT>MP>OM，即c>a>b.5.，，假设与的夹角为钝角，那么的取值范围为A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】可求出，根据与的夹角为钝角即可得出，且不平行，从而得出，解出的范围即可．【详解】；的夹角为钝角；，且不平行；；解得，且；的取值范围为：．应选：B．【点睛】考察向量坐标的数量积运算，向量数量积的计算公式，向量平行时的坐标关系．，那么在上的零点的个数为〔〕A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】试题分析：由以下列图可得在上的零点的个数为，应选C.考点：函数的零点.y=sin2x的图象可能是A. B.C. D.【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：〔1〕由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；〔2〕由函数的单调性，判断图象的变化趋势；〔3〕由函数的奇偶性，判断图象的对称性；〔4〕由函数的周期性，判断图象的循环往复．8.是定义域为的奇函数,满足.假设，那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考察求值问题，常利用奇偶性及周期性进展变换，将所求函数值的自变量转化到解析式的函数定义域内求解．，，，，假设且，那么四边形的面积为A.15 B.16 C.17 D.18【答案】B【解析】【分析】可求出，，根据且即可建立关于x，y的方程组，解出x，y，从而可求出的值，进而得出四边形ABCD的面积．【详解】，，；，且；；解得；，或者；．应选：B．【点睛】考察向量坐标的加法和数量积的运算，向量平行时的坐标关系，向量垂直的充要条件．，，，那么的值等于〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由,那么,又，,解得,应选B.考点：1、同角三角函数之间的关系；2、特殊角的三角函数.的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，得到，且，那么的最大值为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律得到函数g(x)的解析式，再由正弦函数的图象的特征即函数的值域，正弦函数图像的整体性，得出结论．【详解】依题意得g(x)=sin2+2=sin+2,假设g(x1)·g(x2)=9,那么g(x1)=g(x2)=3,那么g〔x1〕=g〔x2〕=3，所以sin=sin=1.因为x1,x2∈[-2π,2π],所以2x1+,2x2+,设2x1++2kπ,2x2++2nπ,k,n∈Z,那么当2x1+=-,2x2+时,|x1-x2|获得最大值3π.应选：C．【点睛】此题主要考察函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，正弦函数的图象的特征，属于中档题．在进展函数伸缩平移时把两个函数化为同名函数是解题的关键；函数图像平移满足左加右减的原那么，这一原那么只针对x本身来说，需要将其系数提出来，再进展加减.12.如图，在中，设，的中点为的中点为的中点恰为，那么等于A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由向量的三角形法那么以及向量中点关系，结合向量的根本定理可表示出．【详解】由题意可得，，，应选：C．【点睛】此题考察平面向量根本定理，表示出是解决问题的关键，属中档题.二、填空题〔本大题一一共4小题，一共分〕的定义域为______．【答案】或者，【解析】【分析】由，切化弦得，即或者，然后解出答案．【详解】因为所以等价于或者所以或者，故答案为：或者，．【点睛】此题考察三角函数的定义域及其求法，考察象限角与轴线角的三角函数值的符号，是根底题．14.，向量，，假设，那么角的值是______．【答案】【解析】【分析】根据平面向量的数量积与三角恒等变换，即可求出C的值．【详解】向量，，那么，又，所以，即，所以；又，所以，所以，解得．故答案为：．【点睛】此题考察了平面向量的数量积与三角恒等变换的应用问题，是根底题．15.是定义在内的偶函数，且在上是增函数，设，，，那么的小关系是______．【答案】【解析】【分析】根据题意，分析可得在上为减函数，进而可得，，，据此分析可得答案．【详解】根据题意，是定义在内的偶函数，且在上是增函数，那么在上为减函数，那么，，，且有，那么有；故答案为：．【点睛】此题考察函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及对数的性质，属于根底题．16.给定一组函数解析式：；；；：；；及如下列图的一组函数图象，请按照图象顺序将7个函数解析式依次排序______．【答案】【解析】【分析】根据幂函数的定义域，奇偶性和单调性分别进展判断即可．【详解】：的定义域为，当时，对应第6个图象；是偶函数，图象关于y轴对称，当时为增函数，且当时，对应第4个图象；的定义域为，在上为减函数，对应第3个图象；的定义域为是偶函数，在上为减函数，对应第2个图象：的定义域为，在上是增函数，且当时，，对应第7个图象；的定义域为是奇函数，在是减函数，对应第1个图象；是奇函数的应用为R，那么上是增函数，对应第5个图象故7个函数解析式依次排序，故答案为：【点睛】此题主要考察幂函数图象的判断，结合函数的定义域奇偶性，单调性分别进展判断是解决此题的关键．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共分〕，集合，，假设，务实数的取值集合．【答案】或者.【解析】【分析】对集合M进展讨论，然后根据条件，即可务实数a的取值范围．【详解】当，即，时，，满足条件，当，即时，或者，假设，那么或者，即或者，此时，综上：a的取值范围是或者【点睛】此题主要考察集合关系的应用，比较根底要注意对集合M进展分类讨论．且．当时，函数恒有意义，务实数的取值范围；是否存在这样的实数，使得函数在区间上为减函数，并且最大值为1？假设存在，试求出的值；假设不存在，请说明理由．【答案】〔1〕设是减函数，又时，有意义且的取值范围是〔2〕假设存在实数,满足题设条件，在区间上单调递减函数，且是减函数，由即但这样的实数不存在【解析】试题分析：〔1〕根据对数函数的定义，可知且，时，显然符合，时，由别离参数得，右边函数在上单调递减，故，故；〔2〕假设存在符合题设条件的实数，根据复合函数单调性可知，由〔1〕知，由的最大值为，与不符，故不存在.试题解析：〔1〕当时，由函数恒有定义知恒成立，即，∴，又且，∴实数的取值范围为；〔2〕假设存在符合题设条件的实数，那么函数在区间上为减函数，且是减函数，∴，又在上恒为正，那么，故，由的最大值为，与不符，故不存在符合题设条件的实数．考点：对数函数定义域与单调性.19.如图，在中，，，为线段的垂直平分线，与交与点为上异于的任意一点.求的值；判断的值是否为一个常数，并说明理由．【答案】14；是.【解析】【分析】法一：由题意及图形，可把向量用两个向量的表示出来，再利用数量积的公式求出数量积；将向量用与表示出来，再由向量的数量积公式求数量积，根据其值的情况确定是否是一个常数；法二：由题意可以以BC所在直线为x轴，DE所在直线为y轴建立坐标系，得出各点的坐标，由向量坐标的定义式求出的坐标表示，由向量的数量积公式求数量积；设E点坐标为，表示出向量的坐标再由向量的数量积坐标表示公式求数量积即可.【详解】法1：由可得，，,的值是一个常数为线段BC的垂直平分线，L与BC交与点D，E为L上异于D的任意一点，，故：解法2：以D点为原点，BC所在直线为x轴，L所在直线为y轴建立直角坐标系，可求，此时，，设E点坐标为，，常数．【点睛】此题考察向量在几何中的应用，此题采用了二种解法，一是基向量法，一是向量的坐标表示，解题的关键是建立坐标系与设定其向量.图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象．求函数的解析式；当时，方程有唯一实数根，求的取值范围．【答案】；，．【解析】【分析】根据函数的图象变换规律，求得的解析式．由题意可得当时，函数的图象和直线只有一个交点，数形结合可得m的范围．【详解】将的图象向左平移个单位长度得到的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得的图象．，，，当时，方程有唯一实数根，函数的图象和直线只有一个交点，如下列图：故方程有唯一实数根的m的取值范围为，．【点睛】此题主要考察函数的图象变换规律，正弦函数的图象，方程根的存在性以及个数判断，属于中档题．，其图象与轴相邻的两个交点的间隔为．求函数的解析式；2假设将的图象向左平移个长度单位得到函数的图象恰好经过点，求当获得最小值时，在上的单调递增区间．【答案】〔1〕；〔2〕，【解析】【分析】利用两角差的正弦公式、二倍角及辅助角公式将化简，根据正弦函数性质，求得的值，求得的解析式；2利用三角恒等变换规律，求得m的值，求得的解析式，根据正弦函数图象及性质求得函数在上的单调区间．【详解】，，，，由函数的周期，，，，2将的图象向左平移个长度单位，，函数经过，，即，，，，，当，m取最小值，此时最小值为，，令，那么，当，即时，函数单调递增，当，即时，单调递增；在上的单调递增区间，【点睛】此题考察三角恒等变换公式，正弦函数图象及性质，三角函数图象变换规律，考察转化思想，属于中档题．=)且=.(1)求的值.(2)假设函数=有零点,务实数的取值范围.(3)当时,恒成立,务实数的取值范围.【答案】〔1〕；〔2〕；〔3〕.【解析】试题分析：〔1〕由函数的解析式以及，求得的值；〔2〕由题意可得，函数的图象和直线有交点，那么有，即可求得的取值范围；〔3〕由题意可得当恒成立，令，那么，且，利用单调性求得，从而求得实数的取值范围.试题解析：(1)对于函数=,由,∴.(2)==.假设函数===有零点,那么函数的图象和直线有交点,∴,∴.(3)∵当恒成立,即恒成立,令,那么,且==,∵=在上单调递减,∴=,∴.点睛：此题主要考察了指数函数的性质以及换元法的运用.解答中涉及到不等式的恒成立问题的求解，不等式的性质的应用，解答中把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题是解答的关键，试题综合性强，属于中档试题.。

北京高一下学期开学检测数学试题(解析版)

北京高一下学期开学检测数学试题(解析版)

一、单选题1．若集合A ={x |x <-1,或x >3}，B ={x |x -2≥0}，则A ∪B =（ ） A ．{x |x <-1,或x ≥2} B ．{x } C ．{xD ．R-12x <≤23}x ≤<【答案】A【分析】根据并集的定义，即可得出结果.【详解】因为集合A ={x |x <-1,或x >3}，B ={x |x -2≥0}，即B ={x |x ≥2} 所有A ∪B ={x |x <-1,或x ≥2}. 故选：A【点睛】本题考查集合的并集定义，属于基础题. 2．命题：对任意，的否定是 p x R ∈210x +>A ．：存在, B ．：存在, p ⌝0x R ∈0210x +≤p ⌝0x R ∈0210x +>C ．：不存在, D ．：对任意，p ⌝0x R ∈0210x +≤p ⌝x R ∈210x +≤【答案】A【详解】试题分析：所给命题是全称性命题，它的否定是一个存在性命题，即存在，0x R ∈.0210x +≤【解析】全称命题的否定 3．函数的定义域（ ） ()1ln 53y x x =++--A ． B ． ()()2,33,5 [)()2,33,5⋃C ． D ．[)[)2,33,5 [)[]2,33,5 【答案】B【分析】根据函数解析式列出不等式组，即可求得答案. 【详解】函数要有意义， ()1ln 53y x x =+--需满足，解得，且，203050x x x -≥⎧⎪-≠⎨⎪->⎩25x ≤<3x ≠故函数定义域为：， [)()2,33,5⋃故选：B4．函数的零点的个数为（ ）()223,0e 2,0x x x xf x x ⎧+-≤=⎨->⎩A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】分别求出和时，的零点个数即可得出答案.0x ≤0x >()f x 【详解】当时，令，0x ≤()2230f x x x =+-=则，解得：（舍去）或， ()()130x x -+=1x =3x =-当时，令，解得：， 0x >e 20x -=ln 2x =所以的零点个数为2. ()f x 故选：C.5．在同一个坐标系中，函数与且的图象可能是（ ）log a y x =(0xy a a =>)1a ≠A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据同底的指数函数和对数函数图象关于对称可确定结果.y x =【详解】由指数函数和对数函数性质可知：与图象关于对称， log a y x =x y a =y x =由选项中图象对称关系可知A 正确. 故选：A.6．如果那么0.31.22122log 2a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,,A ． B ． C ． D ．c b a >>c a b >>a b c >>a c b >>【答案】D【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．【详解】a=21.2＞2，＜1，23∈（1，2）． 0.31,2b⎛⎫= ⎪⎝⎭2log c =∴a ＞c ＞b ． 故选D ．【点睛】本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．设的定义域是，则函数的值域中含有整数的个数为（ ） ()212f x x x =++[]1,4()f x A ．17 B ．18C ．19D ．20【答案】B【分析】根据二次函数的对称轴和定义域求出值域即可得解.【详解】 ()212f x x x =++所以的对称轴为：，()f x 12x =-所以在单调递增，()f x []1,4， ()min 5(1)2f x f ==， ()max 41(4)2f x f ==的值域为，()f x 541,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦则函数的值域中含有整数的个数为18. ()f x 故选：B.8．脉搏血氧仪是根据郎伯比尔定律（Lambert —Beer Law ）采用光电技术进行血氧饱和浓度的测量，而朗伯比尔定律（Lambert -Beerlaw ）是分光光度法的基本定律，是描述物质对某一波长光吸收的强弱与吸光物质的浓度及其液层厚度间的关系，其数学表达式为，其中A 为吸光1lgA Kbc T==度，T 为透光度，K 为摩尔吸光系数，c 为吸光物质的浓度，单位为，b 为吸收层厚度，单位mol/L 为cm ，保持K ，b 不变，当吸光物质的浓度增加为原来的两倍时，透光度由原来的T 变为（ ） A ． B ．C ．D ．2T 2T 12T 10T 【答案】B【分析】根据对数的运算和对数函数的性质即可求解. 【详解】因为，① 1lg A Kbc T=所以，② 21lg(2)A Kb c T =由①②得，21lg21lg T T=所以，22111lg 2lg lg T T T ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以，22T T =故选：B.9．已知函数，则不等式的解集是（ ） 2()3log 2(1)f x x x =--()0f x >A ． B ． (1,4)(,1)(4,)-∞+∞ C ． D ．(0,1)(4,)∞⋃+(0,4)【答案】A【分析】将不等式问题转化为函数图象问题，结合图象求得正确答案. 【详解】依题意，， ()2()3log 210f x x x =-->()22log 13x x >-由解得或 ()2log 213y xy x =⎧⎪⎨=-⎪⎩1110x y =⎧⎨=⎩2242x y =⎧⎨=⎩画出的图象如下图所示， ()22log ,13y x y x ==-由图可知，不等式的解集是. ()0fx >(1,4)故选：A10．已知函数，则“”是“为奇函数”的（ ）()()e e 0x xf x a b ab -=+≠0a b +=()f x A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据可得，由奇偶性定义可知充分性成立；由为奇函数可知0a b +=()f x ()f x ，由此可构造方程求得，知必要性成立，由此可得结论.()()f x f x -=-0a b +=【详解】当时，，，0a b +=()e e x x f x a a -=-()()e e x xf x a a f x -∴-=-=-为奇函数，充分性成立；()f x \当为奇函数时，由得：，()f x ()()f x f x -=-e e e e x x x x a b a b --+=--，即，必要性成立；a b ∴=-0a b +=“”是“为奇函数”的充分必要条件.∴0a b +=()f x 故选：C.二、填空题11．若复数，则__________． 12z i =-z =【分析】由共轭复数概念写出，再求其模长. 12i z =+【详解】由题设，则. 12i z =+z ==12．已知，则_____ ()ln f x x =2(e )f =【答案】2【分析】由，得，由此能求出结果．()ln f x x =()22ln f e e =【详解】， ()ln f x x = ．()22ln 2f e e ∴==故答案为2．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13．已知方程组，则________．20240x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩::x y z =【答案】2:3:8--【分析】根据题目中等量关系代入即可求解 【详解】令，2x k =解得，38y kz k =-⎧⎨=-⎩所以.::x y z =2:3:8--故答案为：. 2:3:8--14．函数，给出下列四个结论 ()()1||xf x x x =∈+R ①的值域是； ()f x (1,1)-②任意且，都有；12,x x ∈R 12x x ≠()()12120f x f x x x ->-③任意且，都有；12,(0,)x x ∈+∞12x x ≠()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭④规定，其中，则．()11()(),()()n n f x f x f x f f x +==n *∈N 1011212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中，所有正确结论的序号是______________． 【答案】①②【分析】根据绝对值的性质，结合分式型函数的性质、代入法逐一判断即可； 【详解】①：当时， ， 0x ≥1()111x f x x x ==-++当时，该函数单调递增，所以有， 0x ≥()()00f x f ≥=当时， 因为， 0x ≥11()111011f x x x -=--=-<++所以，因此当时，； ()10()1f x f x -<⇒<0x ≥()01f x ≤<当时，，此时函数单调递增， 0x <1()111x f x x x==---所以有，()()()00f x f f x <⇒<，所以有， ()1()(1)011f x f x x--=>⇒>--()10f x -<<所以的值域是，故①正确； ()f x (1,1)-②：不妨设，由，12x x >()()()()()()1212121200f x f x f x f x f x f x x x ->⇒->⇒>-所以该函数是实数集上的增函数，由①可知：该函数在时，单调递增，且，0x ≥()01f x ≤<当时，单调递增，且，所以该函数是实数集上的增函数，符合题意，故②正0x <()10f x -<<确；③：当任意且时，12,(0,)x x ∈+∞12x x ≠令，，121,3x x ==()()()()1213135242228f x f x f f +++===，显然，()122223x x f f +⎛⎫== ⎪⎝⎭5283<因此不成立，故③不正确； ()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭④：当时， ， 0x ≥()1xf x x=+， 1()()1x f x f x x =+=，()211()()2111xxx f x f f x x x x +===+++，()3221()()412121xxx f x f f x x x x +===+⋅++，()4341()()814141xxx f x f f x x x x +===+⋅++于是有，因此，故④不正确， 1()21n n x f x x -=+1099111112122251412212f ⎛⎫===≠ ⎪+⎝⎭⨯+故答案为：①②【点睛】关键点睛：利用分式型函数的性质是解题的关键.三、双空题15．某同学为研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长())01f x x =≤≤为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设，则．请你CP x =AP PF f x +=（）参考这些信息，推知函数的图象的对称轴是______；函数的零点的个数是()f x 49g x f x =-（）（）______．【答案】 2 12x =【分析】从运动的观点看，当点P 从C 点向点B 运动的过程中，在运动到BC 的中点之前，的值渐渐变小，过了中点之后又渐渐变大，可得函数f （x ）的图象的对称轴；函数PA PF +的零点的个数就是的解的个数．()49g x f x =-（）()94f x =【详解】解：由题意可得函数，从运动的观点看，当点P 从C 点向点B 运动的过()f x AP PF =+程中，在运动到BC 的中点之前，的值渐渐变小，过了中点之后又渐渐变大， PA PF +∵当点P 在BC 的中点上时，即三点共线时，即P 在矩形ADFE 的对角线AF 上时，C B P 、、取得最小值；当P 在点B 或点C 时，取得最大值PA PF +PA PF +∴函数的图象的对称轴是； ()f x 12x =，即．故函数的零点的个数就是的解的个()()490g x f x =-=()94f x =()()49g x f x =-()94f x =数．而由题意可得的解有2个，()94f x =故答案为；. 12x =2【点睛】本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，考查化归与转化的数学思想，属于中档题．四、解答题16．某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段，，，，，进行分组，假设同[)40,50[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）．(1)体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”．已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一全年级中“体育良好”的学生人数；(2)为分析学生平时的体育活动情况，现从体有成绩在和的样本学生中随机抽取2[)40,50[)60,70人，求在抽取的2名学生中，恰有1人体育成绩在的概率；[)60,70(3)假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a ，b ，c ，且分别在，，三组[)70,80[)80,90[]90,100中，其中a ，b ，．当数据a ，b ，c 的方差最小时，写出a ，b ，c 的值（结论不要求证明） c ∈N 2s 【答案】(1) 750(2)23(3)79，84，90或79，85，90【分析】（1）根据折线图求出样本中体育成绩大于或等于70分的学生数，从而得到相应的比例，估计出高一全年级中“体育良好”的学生人数； （2）利用列举法求出古典概型的概率；（3）先分析出，再列出方差，由二次函数的对称轴得到当79,90a c ==226101443386s b b =-+或85时，取得最小值.84b =2s 【详解】（1）由折线图，样本中体育成绩大于或等于70分的学生有人， 4026230---=所以该校高一年级学生中“体育良好”的学生人数大约为人； 30100075040⨯=（2）成绩在有2名学生，设为；有2名学生，设为， [)40,501,2[)60,70,A B 故抽取2名学生的情况有：，共6种情况， ()()()()()()1,2,1,,1,,2,,2,,,A B A B A B 其中恰有1人体育成绩在的情况有：，共4种情况， [)60,70()()()()1,,1,,2,,2,A B A B 故在抽取的2名学生中，恰有1人体育成绩在的概率为； [)60,704263P ==（3）甲､乙､丙三人的体育成绩分别为，且分别在，三组中，其中,,a b c [)70,80[)[]80,90,90,100，,a b c ∈N ,要想数据的方差最小，则三个数据的差的绝对值越小越好，故， ,,a b c 2s ,,a b c 79,90a c ==则甲､乙､丙三人的体育成绩平均值为， 799016933b b+++=故方差2222116916916979903333b b b b s ⎡⎤+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， ()()()222168216910127b b b ⎡⎤=-+-+-⎣⎦()21610144338627b b =-+对称轴为， 101484.512b -=-=故当或85时，取得最小值， 84b =2s 的值为79，84，90或79，85，90.,,a b c 17．已知函数 ()11xf x x-=+(1)直接写出函数的零点和不等式的解集； ()f x ()0f x >(2)直接写出函数的定义域和值域；()f x (3)求证：函数的图象关于点中心对称；()f x ()1,1--(4)用单调性定义证明：函数在区间上是减函数；()f x (),1-∞-(5)设，直接写出它的反函数．()()11g x f x =-+()1g x -【答案】(1)1 {|11}x x -<<(2) {|1}x x ≠-{|1}y y ≠-(3)证明过程见解析 (4)证明过程见解析 (5) ()12(0)g x x x-=≠【分析】（1）根据函数的零点定义和除法不等式解法即可求解；（2）定义域的求法和分离常数法求值域即可求解；（3）根据函数对称性的证明即可求解；（4）根据函数单调性的证明即可求解；（5）根据反函数的求法即可求解. 【详解】（1）令， ()101xf x x-==+解得， 1x =故零点为1， ()f x 由， ()101xf x x-=>+得， (1)(1)0x x -+>所以，11x -<<所以等式的解集为：.()0f x >{|11}x x -<<（2）因为， ()11x f x x-=+所以， 10x +≠所以函数的定义域为.()f x {|1}x x ≠-， ()1112211111x x x f x x x x x --+--+====-+++++所以值域为：.{|1}y y ≠-（3）， ()1(1)1(1)2221(1)21(1)1(1)x x x x x f x f x x x x x x--+----+--++--=+=+==+-++----所以，()1(1)2f x f x -++--=所以函数的图象关于点中心对称.()f x ()1,1--（4）在区间上任意取(),1-∞-12,x x <所以， ()()()122112121212121211(1)1112()()()011(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x f x f x x x x x x x -+--+-----=-==>++++++所以函数在区间上是减函数.()f x (),1-∞-（5） ()()1(1)221111.1(1)x x g x f x x x x ---=-+=+=+=+-所以， ()12x g x -=所以. ()12(0)g x x x-=≠18．已知函数，．无理数 ()e e 2x x f x --=()e e 2x xg x -+=e 2.71828= (1)求证：为奇函数； ()e e 2x xf x --=(2)计算的值； ()()22g x f x -⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦(3)求证：R 不是的单调区间； ()e e 2x xg x -+=(4)求函数的最小值； ()e e 2x xg x -+=(5)指数函数是否可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和的形式，若可以，直接写出你的结e x y =论，若不可以，请说明理由；(6)已知求证：恒大于零．()()()ln 1e =+-∈x F x x x R ()F x 【答案】(1)证明过程见详解(2)1(3)证明过程见详解(4)1(5) e e e e e 22x x x xxy --+-==+(6)证明过程见详解【分析】（1）根据函数的奇偶性证明即可得解；（2）根据指数的运算法则代入计算即可求解；（3）证明函数的奇偶性即可求解；（4）根据基本不等式即可求解；（5）；（6）转为对数计算，并根据对数函数恒为正数，并根据对数函数的单e e e e e 22x x x xxy --+-==+调性即可求解.【详解】（1）因为， ()e e 2x xf x --=所以， ()e e e e ()22x x x xf x f x -----==-=-所以为奇函数. ()e e 2x xf x --=（2）. ()()22g x f x -⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦222222e e e e e e 2e e 24122444x x x x x x x x ----⎛⎫⎛⎫+-+++-=-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）， ()e e 2x xg x -+=所以， ()e e ()2x xg x g x -+-==所以为偶函数，()g x 所以R 不是的单调区间. ()e e 2x xg x -+=（4）, ()e e 2122x x g x -+=≥==当且仅当，即时成立，e e x x -=0x =所以的最小值为1. ()e e 2x xg x -+=（5）, e e e e e 22x x x xxy --+-==+其中为奇函数， ()e e 2x xf x --=为偶函数. ()e e 2x xg x -+=（6）， ()()()1e 1ln 1e ln 1e ln e ln ln(1)ln10e e x x x xx x F x x +=+-=+-==+>=所以恒大于零.()F x19．已知x 为实数，用表示不超过x 的最大整数．例如，，．若对于[]x []1.21=[]1.22-=-[]11=函数，存在实数且，使得，则称函数是函数．()f x m ∈R m ∉Z ()[]()f m f m =()f x Ω(1)直接写出下列式子的值：；；； []3.5-122⎡⎤⎢⎥⎣⎦()22--⎡⎤⎣⎦[]2log 7(2)分别判断函数，是否是函数；（只需写出结论） ()1f x x x =-()213g x x x =-Ω(3)已知，请写出一个a 的值，使得是函数，并给出证明；()af x x x =+()f x Ω(4)定义：对于函数，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，()y f x =都成立，那么就把叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周()()f x T f x +=()y f x =期．如果在所有的周期中存在一个最小的正数，就把它叫做的最小正周期．设函数()y f x =()f x 是定义在R 上的周期函数．其最小正周期为T ，若不是函数．求T 的最小值()f x Ω【答案】(1)-4 1 0 2(2)否 是(3)1 证明过程见解析(4)1【分析】（1）根据函数特点和具体数值范围即可求解；（2）根据函数定义即可求解；（3）[]x Ω根据对号函数和函数的特点即可求解；（4）根据周期函数的特点和函数的特点即可求解.Ω[]x 【详解】（1）不超过-3.5的最大整数是-4，故；[]3.5=4--，故， 122 1.414≈122=1⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故； ()212=4--()22=0-⎡⎤-⎣⎦，所以.2222log 4log 7log 83=<<=[]2log 72=（2）， ()1f x x x=-，[]01m m ≤-<由题意，0m ≠当且时，容易知道是单调增函数，因此不成立； 0m >m ∉Z ()1f x x x =-()[]()f m f m =当且时，容易知道是单调增函数，因此不成立； 0m <m ∉Z ()1f x x x =-()[]()f m f m =故不是函数. ()1f x x x=-Ω， ()213g x x x =-， 2111103333g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()211(0)00033g g ⎛⎫⎡⎤==-⨯= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭所以， 1133g g ⎛⎫⎛⎫⎡⎤= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭所以存在实数，使得13m =()[]()g m g m =故是函数. ()213g x x x =-Ω（3）5a =， ()5f x x x=+所以， ()592222f =+=， 555592522222f ⎛⎫=+=+= ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎝⎭所以， 55(2)22f f f ⎛⎫⎛⎫⎡⎤== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭即， 5522f f ⎛⎫⎛⎫⎡⎤= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭所以存在实数，使得， 52m =()[]()f m f m =所以符合题意. 5a =（4）恒成立， []()max T m m n ≥-所以， 1T n≥所以，T n ≥故最小值为1.T。

高一数学下学期开学考试试题(含答案)

高一数学下学期开学考试试题(含答案)

高一年级下学期开学考试数学试题本试卷共22题，共150分，120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合，，，则＝（）A． B． C． D．2．已知集合，，则（）A． B． C． D．3．函数的图象大致为( )A． B． C． D．4．下列函数中，既是奇函数又在上是增函数的是（）A． B． C． D．5．已知是上的单调递增函数，那么的取值范围是（）A． B． C． D．6．执行如图所示的程序框图，若输入的，，依次为，，，其中，则输出的为( )A． B． C． D．7．若函数y=f（x)是奇函数，且函数F(x)=af(x)+bx+2在（0，+∞，)上有最大值8，则函数y=F(x)在(－∞，，0)上有 ( )A．最小值－8 B．最大值－8C．最小值－6 D．最小值－48．已知函数的定义域为，且是偶函数．又，存在，使得，则满足条件的的个数为( )A．3 B．2 C．4 D．19．已知，点Q在直线OP上，那么当取得最小值时,点Q的坐标是（）。

A． B． C． D．10．定义在上的偶函数满足:当时有,且当时,,则函数的零点个数是( )A．6个 B．7个 C．8个 D．无数个11．下列函数中，是奇函数且存在零点的是（）A． B． C． D．12．用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如下表所示：则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a的值为_______．14．若f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=，若方程f（x）=kx恰有3个不同的根，则实数k的取值范围是______ ．15．已知，,若，，则______.16．时，恒成立，则的取值范围是_________________________三、解答题：共70分。

河北省高一(创新班)下学期入学考试数学试题(解析版)

河北省高一(创新班)下学期入学考试数学试题(解析版)

2022－2023学年度高一（下）期创新班入学考试题一、单选题（满分40分，每小题5分）1. 已知集合，集合，则（ ） {}3,2,1,0,1A =---{N23}B x x =∈-≤<∣A B = A. B.C.D.{3,2,1,0,1}---{}2,1,0,1--{}0,1{}2,1,0--【答案】C 【解析】【分析】由交集运算求解即可.【详解】因为，所以. {}{N23}0,1,2B x x =∈-≤<=∣A B = {}0,1故选：C2. 若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ） 234y x x =--[]0,m 25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦m A. B.C.D.(]0,43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】画出二次函数图象，结合对称轴和值域可判断取值范围. m 【详解】的对称轴为，当时，，时， 234y x x =--32x =32x =254y =-0x =4y =-故当时，设另一根为，解得，要使定义域为时，值域为，故4y =-2x 23x =[]0,m 25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.3,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故选：B3. 已知函数是奇函数，是偶函数，且，则（ ） ()f x ()g x ()()232f xg x x x +=+-()f x =A. B. C. D. 2464xx x --2464xx x +-2334xx x --2234xx x +-【答案】D 【解析】【分析】根据函数的奇偶性可得出关于、的等式组，由此可解得函数的解析式. ()f x ()g x ()f x 【详解】因为是奇函数，是偶函数，所以，．()f x ()g x ()()f x f x -=-()()g x g x -=所以，，即，()()()()232232f x g x x x f x g x x x ⎧+=+⎪⎪-⎨⎪-+-=-+⎪--⎩()()()()232232f x g x x x f x g x x x ⎧+=+⎪⎪-⎨⎪-+=--⎪+⎩因此，. ()2234xf x x x =+-故选：D.4. 下述正确的是（ ）A. “，”是“”的充要条件 ππ4k θ=+k ∈Z sin cos θθ=B. 若，则cos 0θ=π2θ=C. 若的终边为第三象限平分线，则 θtan 1θ=-D. 若为第四象限角，则 θsin 0θ>【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合三角函数的定义即可判断A ；根据特殊角的余弦函数值即可判断B ；根据第三象限正切值的符号即可判断C ；根据第四象限正弦值的符号即可判断D. 【详解】对于A ，若，， 4k θπ=π+k ∈Z 当为奇数时，kππππsin sin πsin cos πcos 4444k k θθ⎛⎫⎛⎫=+=-==+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当为偶数时，k， ππππsin sin πsin cos πcos 4444k k θθ⎛⎫⎛⎫=+===+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上，，sin cos θθ=若，则， sin cos θθ=sin cos 0θθ-=π04θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以，所以，， ππ4k θ-=ππ4k θ=+k ∈Z 所以“，”是“”的充要条件，故A 正确；ππ4k θ=+k ∈Z sin cos θθ=对于B ，若，则，故B 错误；cos 0θ=ππ,Z 2k k θ=+∈对于C ，若的终边为第三象限平分线，则，故C 错误； θtan 1θ=对于D ，若为第四象限角，则，故D 错误. θsin 0θ<故选：A.5. 已知函数，若，且，则的取值范围是（ ） ()lg f x x =0a b <<()()f a f b =a b +A. B.C.D.()1,+∞[)1,+∞()2,+∞[)2,+∞【答案】C 【解析】【分析】将函数化成分段函数的形式，可得且时，必有成立，利用对勾函0a b <<()()f a f b =1ab =数的单调性即可算出答案【详解】因为函数，且时， lg ,1()lg lg ,01x x f x x x x >⎧==⎨-<≤⎩0a b <<()(),f a f b =所以，， 01a b <<<lg lg 1a b ab -=⇔=所以，由对勾函数在区间单调递减可得， 1a b a a +=+1y x x =+()0,111121a a +>+=所以的取值范围是 ab +()2,+∞故选：C6. 某正四棱锥的侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的侧面与底面的面积之比为（ ）A.B.C.D.【答案】D【分析】设底面边长为，由线面角的定义可得侧棱长,然后分别求侧面的面积和底面的面积即可得解. a 【详解】如图，是正四棱锥的高，PO P ABCD-设底面边长为，则底面积为， a 21S a =因为正四棱锥的侧棱与底面所成的角为， 45︒所以，又，所以， 45PAO ∠=︒AO=PA a ==所以是正三角形，面积为， PAB22S =所以214S S ==故选：D.7. 已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（ ） ABC A B C ，，a b c ，，A. 若，则一定是等边三角形 cos cos cos a b cA B C==ABC B. 若，则一定是等腰三角形 cos cos a A b B =ABC C. 若，则一定是等腰三角形 cos cos b C B b +=ABC D. 若，则一定是锐角三角形 2220a b c +->ABC 【答案】A 【解析】【分析】由正弦定理化边为角变形判断AB ，举特例判断C ，由余弦定理及锐角三角形的定义判断D ． 【详解】由正弦定理，若，则，sin sin sin a b cA B C ==cos cos cos a b c A B C==tan tan tan A B C ==为三角形内角，所以，三角形是等边三角形，A 正确；,,A B C A B C ==若，由正弦定理得，即， cos cos a A b B =sin cos sin cos A A B B =sin 2sin 2A B =，则或，即或，三角形为等腰三角形或直角三角,(0,π)A B ∈22A B =22πA B +=A B =π2A B +=例如，，，满足，但此时不是等腰三角形，C 错；b =π3C =π6B =cos cos b C B b +=ABC 时，由余弦定理可得，即为锐角，但是否都是锐角，不2220a b c +->222cos 02a b c C ab+-=>C ,A B 能保证，因此该三角形不一定是锐角三角形，D 错． 故选：A ．【点睛】易错点睛：本题考查三角形形状的判断，解题时利用正弦定理、余弦定理进行边角转换后再进行变形判断是常用方法，解题时注意三角函数性质的正确应用，如选项B ，在由得结论sin 2sin 2A B =时不能直接得出，否则会出现漏解，在判断三角形形状时，锐角三角形需要三个内角都是锐22A B =角，直角三角形只有一个角是直角，钝角三角形只有一个角是钝角，它们判断方法有一些区别，这些是易错点．8. 已知正方体的棱长为分别是棱的中点，动点在正方形1111ABCD A B C D -1,,M N 1,BC CCP 11BCC B （包括边界）内运动，若平面，则线段的长度范围是（ ）1//PA AMN1PAA. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】先过点画出与平面平行的平面，然后得出点的轨迹，最后计算的长度取值范围1A AMN P 1PA 即可.【详解】如图，分别作的中点,连接111,B C BB ,E F 11,,EF A E A F显然,//EF MN 1//A E AM 且平面，；平面, 1,A E EF ⊂1A EF 1A E EF E ⋂=,AM MN ⊂AMN AM MN M ⋂=所以平面平面 1A EF //AMN 平面平面1A EF 11BCC B EF =所以动点在正方形的轨迹为线段P 11BCC B EF在三角形中，，1A EF 112EF BC ==11A E A F ===所以点到点的最大距离为，最小距离为等腰三角形在边上的高为P 1A 11A E A F ==1A EF EF=故选：B二、多选题（满分20分，每小题5分，选对但不全得2分，有错得0分，全对得5分） 9. 已知平面向量，，，则（ ）．(),1a m = ()2,b n = ()1,2c =-A. 若，则B. 若，则a c ∥12m =-bc ⊥1n =C. 若与的夹角为锐角，则D. 的最小值为4b c1n <2a c -【答案】ABD 【解析】【分析】根据向量的平行和垂直的坐标表示，列式计算，可判断A,B;根据向量的夹角公式求出与的bc夹角为锐角时的n 的范围，要考虑向量同向情况，判断C;根据向量的模的坐标计算可判断D.【详解】由题意平面向量，，，(),1a m = ()2,b n = ()1,2c =-若，则 ，A 正确； a c∥1210,2m m --=∴=-若，则，B 正确； b c ⊥220,1n n -=∴=若与的夹角为锐角，则 ，即 ，bc220b c n ⋅=->1n <但时，与同向，满足，但夹角为 ，不是锐角，故C 错误；n =-4bc220b c n ⋅=->，2a c -===当，故的最小值为4，D 正确， 12m =4=2a c - 故选：ABD.10. 已知复数，则下列说法正确的是（ ）()21(1)i()z m m m m =-+++∈R A. 若，则的共轭复数 B. 若复数，则 0m =z 1z =--2z=m =C.若复数为纯虚数，则 D. 若，则z 1m =±0m =2420z z ++=【答案】ABD 【解析】【分析】根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误. 【详解】对于A ，时，，则，故A 正确；0m =1z =-+1z =-对于B ，若复数，则满足，解得，故B 正确；2z =(()21210m m m ⎧-=⎪⎨++=⎪⎩m =对于C ，若复数z 为纯虚数，则满足，解得，故C 错误；(()21010mm m ⎧-=⎪⎨++≠⎪⎩1m =对于D ，若，则，0m =1z =-，故D 正确.()()2211424242130z z ++=++=-++-+--=-故选：ABD.11. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确()()sin f x A x =+ωϕ0A >0ω>π2ϕ<的是（ ）A. ()π2cos 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B. 满足的的取值范围为（） ()1f x >x ππ,π3k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭k ∈Z C. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象的一条对称轴()f x π12π3x =D. 函数与的图象关于直线对称 ()f x ()2cos 2g x x =-π3x =【答案】ABD 【解析】【分析】根据图象求出的解析式，然后运用三角函数的知识逐一判断即可.()f x 【详解】由图可得，， ()max 1152,2πππ1212f x T ⎛⎫==⨯-=⎪⎝⎭所以，因为，所以， 2,2A ω==ππ2sin 201212f ϕ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π2π,Z 6k k ϕ-+=∈所以，因为，所以 π2π+,Z 6k k ϕ=∈π2ϕ<π,6ϕ=，故A 正确；()=π2c 2π2sin o 26s 3f x x x ⎛⎫- ⎪⎪⎝⎛⎫=+ ⎝⎭⎭由可得， ()π2sin 216f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π1sin 262x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭所以，解得，，故B 正确；ππ5π2π22π,Z 666k x k k +<+<+∈ππ,π3x k k ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭k ∈Z 将函数的图象向右平移个单位长度，得到的是函数的图()f x π12ππ2sin 22sin 2126y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦象，直线不是其对称轴，故C 错误； π3x =因为，()2π3π2sin 22cos 232f x x x g x ⎛⎫⎛⎫-=-+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数与的图象关于直线对称，故D 正确； ()f x ()2cos 2g x x =-π3x =故选：ABD12. 如图，棱长为2的正方体中，P 为线段上动点（包括端点）.则下列结论正确1111ABCD A B C D -11B D 的是（ ）A. 当点P 在线段上运动时，三棱锥的体积为定值11B D 1P A BD -B. 记过点P 平行于平面的平面为，截正方体截得多边形的周长为 1A BD αα1111ABCD A B C D -C. 当点P 为中点时，异面直线与所成角为11B D 1A P BD π2D. 当点P 为中点时，三棱锥的外接球表面积为 11B D 1P A BD -11π【答案】ACD 【解析】【分析】对A ，显然平面，所以在任何位置时到平面的距离相等，即可得解； 11B D ∥1A BD P 1A BD 对B ，由在上且，故截面为，算出周长即可；P 11B D 11B D BD ∥11B CD 对C ，当点P 为中点时，由于为正方形，所以，即可得到垂直；11B D 1111D C B A 111A P B D ⊥对D ，是线面垂直型的外接球问题，当点P 为中点时，，设外接圆直径，所11B D 111A P B D ⊥BPD △2r以三棱锥的外接球的直径，即可得解.1P A BD -2R =【详解】对A ，由于，显然平面， 11B D BD ∥11B D ∥1A BD 又，所以在任何位置时到平面的距离相等， 11P B D ∈P 1A BD 所以三棱锥的体积为定值，故A 正确； 1P A BD -对B ，由在上且，故截面为，P 11B D 11B D BD ∥11B CD所以截面周长为B 错误；对C ，当点P 为中点时，由于为正方形，11B D 1111D C B A 所以，又，所以，故C 正确； 111A P B D ⊥11BD B D ∥1A P BD ⊥对D ，当点P 为中点时，， 11B D 111A P B D ⊥所以在正方体中平面，1A P⊥BDP 由，，BD =BP DP ==所以，22241cos 2123BP DP BD BPD BP DP +-∠===⋅⋅sin BPD ∠=所以外接圆直径， BPD△23r ==所以三棱锥的外接球的直径，1P A BD -2R ===所以三棱锥的外接球表面积为，故D 正确； 1P A BD -2411ππ=故选：ACD三、填空题（满分20分，每小题5分）13. 已知向量，，，若A ，B ，D 三点共线，则_________．()2,1AB = ()7,BC m = ()3,1CD =-m =【答案】6 【解析】【分析】根据给定条件，求出，再利用共线向量的坐标表示计算作答.BD【详解】因，，则，()7,BC m = ()3,1CD =-(10,1)BD BC CD m =+=- 又，且A ，B ，D 三点共线，即，因此，解得，()2,1AB = //AB BD2(1)1100m --⨯=6m =所以. 6m =故答案为：614. 设，且，则________． 25a b m ==211a b+=m =【答案】20 【解析】【分析】显然用对数式表示出后代入，运用对数的运算法则化简可得答案. 0,m >,a b 211a b+=【详解】依题意有0,m > 2525,log ,log ,a b m a m b m ==∴==. 25212112log 2log 5log 20,20log log m m m m a b m m=+=+=+=∴=故答案为：2015. 如图，在三棱锥木块中，VA ，VB ，VC 两两垂直，，点P 为的重V ABC -1VA VB VC ===VAC 心，沿过点P 的平面将木块锯开，且使截面平行于直线VC 和AB ，则该截面的面积为______．【解析】【分析】如图作出平面，根据线面平行的判定定理，可证平面，平面EFMH AB ∕∕EFMH VC ∕∕，则平面即为所求，根据线面平行的判定定理、性质定理，可证四边形为平行EFMH EFMH EFMH 四边形，根据线面垂直的判定定理、性质定理，可证四边形为矩形，根据三角形相似，可求得EFMH 的值，即可得答案.,HE EF 【详解】由VA ，VB ，VC 两两垂直，，1VA VB VC ===则可将三棱锥补形到正方体中，连接AP 并延长，交VC 于D ，过P 作VC 的平行线，交AV 于E ，交AC 与F ，过E 作，交VB 于H ，过H 作，交BC 于M ，连接MF ，如图所示EH AB ∕∕HM VC ∕∕因为，所以E 、F 、M 、H 四点共面， MH VC EF ∕∕∕∕因为，平面，平面， EF VC ∕∕VC ⊄EFMH EF ⊂EFMH 所以平面，VC ∕∕EFMH 因为，平面，平面， EH AB ∕∕AB ⊄EFMH HE ⊂EFMH 所以平面， AB ∕∕EFMH 则平面即为所求，EFMH 因为，平面，平面， EH AB ∕∕EH ⊄ABC AB ⊂ABC 所以平面，EH ∕∕ABC 又平面，平面平面， EH ⊂EFMH EFMH ⋂ABC MF =所以，EH MF ∕∕所以四边形为平行四边形，EFMH 又，平面VAB ， ,VC VB VC VA ⊥⊥,VA VB ⊂所以平面VAB ， VC ⊥所以平面VAB ， EF ⊥因为平面VAB ，EH ⊂所以，即四边形为矩形， EF EH ⊥EFMH 因为， EF VC ∕∕所以， AEF AVC ∽因为P 为的重心， VAC 所以，则， 23EF AE AP VC AV AD ===23AE EF ==同理可证，VEH VAB ∽所以，则， 13VE HE VA AB ==HE =所以矩形EFMH 23=16. 已知函数，，以，，的值为边长()()222221x k x f x x x +++=++()0x >∀,,0a b c >()f a ()f b ()f c 可构成一个三角形，则实数的取值范围为______． k 【答案】 []3,6-【解析】 【分析】根据题意可知, 恒成立,再分情况讨论函数的最值即可. ∀,,0a b c >()()()f a f b f c +>()f x 【详解】根据题意可知, 恒成立,∀,,0a b c >()()()f a f b f c +>又. ()()222222222222211111x k x x x kx kx k f x x x x x x x x x++++++===+=+++++++++()0x >1.当时, 显然成立. 0k =()2f x =2.当时,因为函数在上单调递减,在上单调递增, 0k >11y x x=++()0,1[)1,+∞故.所以.[)113,y x x=++∈+∞22,2131k k y x x⎛⎤=+∈+ ⎥⎝⎦++又恒成立,所以.此时 ∀,,0a b c >()()()f a f b f c +>22263kk +≥+⇒≤06k <≤3. 当时,同2有,所以 0k <[]113,y x x=++∈+∞222131k k y x x⎡⎫=+∈+⎪⎢⎣⎭++，此时.此时 22233k k ⎛⎫⨯+≥⇒≥- ⎪⎝⎭30k -≤<综上所述, 的取值范围为k []3,6-【点睛】本题主要考查了函数的值域综合问题,需要根据题意求函数的最值并列出函数最值满足的关系式,同时也需要对函数的分离常数化简等有所掌握.属于难题.四、解答题（满分70分）17. 若不等式的解集是． 2(1)460a x x --+>{31}x x -<<（1）解不等式；22(2)0x a x a +-->（2）b 为何值时，的解集为R ． 230ax bx ++≥【答案】（1）或{1x x <-}32x >（2） []6,6-【解析】【分析】（1）由题意可得和1是方程的两个根，则有，求出的3-2(1)460a x x --+=43116311a a ⎧-+=⎪⎪-⎨⎪-⨯=⎪-⎩a 值，然后解不等式即可，22(2)0x a x a +-->（2）由（1）可知的解集为R ，从而可得，进而可求出的取值范围 2330x bx ++≥0∆≤b 【小问1详解】由题意得和1是方程的两个根，则有，解得，3-2(1)460a x x --+=43116311a a ⎧-+=⎪⎪-⎨⎪-⨯=⎪-⎩3a =所以不等式化为，， 22(2)0x a x a +-->2230x x -->(1)(23)0x x +->解得或， 1x <-32x >所以不等式的解集为或{1x x <-}32x >【小问2详解】由（1）可知的解集为R ， 2330x bx ++≥所以，解得， 24330b ∆=-⨯⨯≤66b -≤≤所以的取值范围为b []6,6-18. 函数.()22cos cos 2f x x x x =-+（1）求的单调递增区间； ()f x （2）求在上的值域.()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】（1），2πππ,π36k k ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦Z k ∈（2） []1,4【解析】【分析】（2）由已知，根据题意，对原函数化简，得到函数，()22cos cos 2f x x x x =-+，然后根据余弦函数单调区间，解不等式，即可完π()2cos 233f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ππ2π22π3k x k -+≤+≤成求解；（2）由已知，可令，根据x 的范围，求解出t 的范围，先求解出，然后再求解函数3π2t x =+cos t 的值域.()f x 【小问1详解】cos 223x x =+π2cos 233x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，， ππ2π22π3k x k -+≤+≤Z k ∈，； 2ππππ36k x k -+≤≤-+Z k ∈∴的单调增区间为，；()f x 2πππ,π36k k ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦Z k ∈【小问2详解】因为，令，所以，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦3π2t x =+π4π,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴，所以，1cos 1,2t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦[]π()2cos 231,43f x x ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭∴. ()[]1,4f x ∈19. 已知是定义域为R 的奇函数． ()221xf x a =-+（1）求a 的值；（2）判断的单调性并证明你的结论；()f x （3）若恒成立，求实数k 的取值范围． ()()22220f x x f x k -++--<【答案】（1）；1a =（2）单调递增，证明见解析；（3）. 116k >【解析】【分析】（1）利用奇函数定义，列式计算作答.（2）判断单调性，再利用函数单调性定义按步骤推理作答.（3）利用函数的奇偶性、单调性脱去法则“f ”，再分离参数求出最值作答. 【小问1详解】 因为函数是定义域为R 的奇函数，则有，解得， ()221xf x a =-+02(0)1021f a a =-=-=+1a =此时，，函数是奇函数， ()22112121x x x f x -=-=++()211221()211221x x x x xx f x f x ------===-=-+++()f x 所以. 1a =【小问2详解】函数在R 上单调递增，()f x 任意，1212,R,x x x x ∈<121221*********(22)()()(1)(121212121(21)(21)x x xx x x x x f x f x --=---=-=++++++，因为函数在R 上单调递增，，则有，即有，即2x y =12x x <12022x x <<12())0(f x f x -<，12()()f x f x <所以函数在R 上单调递增. ()f x 【小问3详解】由（2）知，函数在R 上单调递增，又是R 上的奇函数，()f x ()f x不等式恒成立，等价于， ()()22220f x x f x k -++--<()()()222222f x x f x k f x k -+<---=+即恒成立，而，当且仅当时222224x x x k k x x -+<+⇔>-+2211144(81616x x x -+=--+≤18x =取等号，则， 116k >所以实数k 的取值范围是. 116k >20. 在①，②，③，5cos cos cos 4a C c A b B +=π5sin()5sin()12B B ++-=π(0,2B ∈13cos 2cos 25B B =-．这三个条件中任进一个，补充在下面问题中并作答．已知中，内角所对的边分别为，且________． ABC ,,A B C ,,a b c （1）求的值; tan2B （2）若，求的周长与面积． 1211tan ,54A c =-=ABC 【答案】（1）247（2）周长为11，面积为 338【解析】【分析】（1）若选①，利用正弦定理边化角及诱导公式求出，再求出，由正切的二倍角4cos 5B =tan B 公式即可求出的值；若选②，由诱导公式化简，再结合三角函数的平方和，可求出，tan2B sin B tan B ，再由正切的二倍角公式可求出的值；若选③，由余弦的二倍角公式代入化简求出，再tan2B 4cos 5B =求出，由正切的二倍角公式可求出的值； tan B tan2B （2）由，求出，由正弦定理求出，最后根据三角形的面积公式和周长即可12tan 5A =-cos ,sin A A ,a b 得出答案. 【小问1详解】若选①:由正弦定理得，5sin cos sin cos sin cos 4A C C A B B +=故，5sin()sin cos 4A CB B +=而在中，， ABC sin()sin(π)sin A C B B +=-=故，又，5sin sin cos 4B B B =(0,π)B ∈所以，则， sin 0B ≠4cos 5B =则， 3sin 3sin ,tan 5cos 4B B B B ====故．22tan 24tan 21tan 7B B B ==-若选②:由，化简得，代入中，整理得π5sin()5sin()12B B ++-=1cos sin 5B B -=22cos sin 1B B +=，225sin 5sin 120B B +-=即，(5sin 3)(5sin 4)0B B -+=因为，所以，所以， (0,π)B ∈sin 0B >3sin 5B =则， 4sin 3cos ,tan 5cos 4B B B B ===故．22tan 24tan 21tan 7B B B ==-若选③:因为， 13cos 2cos 25B B =-所以，即，则． 2132cos 1cos 25B B -=-2122cos cos 025B B --=34(2cos )055B B +-=因为，所以， π(0,)2B ∈4cos 5B =则， 3sin 3sin ,tan 5cos 4B B B B ====故．22tan 24tan 21tan 7B B B ==-【小问2详解】 因为，且， sin 12tan cos 5A A A ==-22sin cos 1,(0,π)A A A +=∈所以． 512cos ,sin 1313A A =-=由（1）得，则 43cos ,sin 55==B B ， 1245333sin sin()sin cos cos sin 13513565C A B A B A B =+=+=⨯-⨯=由正弦定理得，则． 65sin sin sin 12a b c A B C ===135,4a b ==故的周长为，ABC 11a b c ++=的面积为． ABC 11133333sin 5224658ABC S ab C ==⨯⨯⨯=V 21. 如图所示，四棱锥中，底面为矩形，平面，，P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD 2PA AB ==，点是的中点．AD =E PB（1）证明：； AE PC ⊥（2）求点到的距离； D CE （3）求二面角的大小． C AE D --【答案】（1）证明见解析；（2；（3）. π4【解析】【分析】（1）由已知位置关系推出，即可证明异面直线；AE PBC ⊥平面AE PC ⊥（2）由（1）中，，得，，求解各边长AE PBC ⊥平面BC PAB ⊥平面AE EC ⊥AD AE ⊥ECD 度，得为等边三角形，利用等边三角形的性质即得点到的距离； ECD D CE （3）利用二面角定义求解即可. 【小问1详解】证明：平面，底面为矩形PA ⊥ ABCD ABCD ，又 ,PA BC BC AB ∴⊥⊥,,PA AB A PA AB PAB =⊂ 平面，又BC PAB ∴⊥平面AE PAB ⊂ 平面，，点是的中点．BC AE ∴⊥PA AB = E PB ，又AE PB ∴⊥,,PB BC B PB BC PBC =⊂ 平面AE PBC ∴⊥平面AE PC ∴⊥【小问2详解】解：由（1）得：AE PBC ⊥平面AE EC ⊥又，，，即 BC PAB ⊥平面BC AD ∥AD PAB ∴⊥平面AD AE ⊥因为，2PA AB ==AD =所以，，，故AE =2DE =AC =2EC =即，三角形是边长为2的正三角形， 2EC DE CD ===ECD 点到的距离为,则，所以D CE d 1π122sin 2232ECD S d =⨯⨯⨯==⨯⨯d =所以点到. D CE 【小问3详解】解：由（2）知，，故取中点M ，连接EM ，DM .AD AE ⊥AE EC ⊥PC因为分别为中点，所以，即，故 ,E M ,PB PC EM BC ∥EMAD EM AE ⊥则为二面角的平面角 MEC ∠C AE D --又在中，EMC△1112,222ECEM BC MC PC ======所以，又 2222cos MEC +-∠==(0,π)MEC ∠∈所以.π4MEC ∠=即二面角的大小为.C AED --π422. 如图，在三棱柱中，点在平面上的射影为的中点，，111ABC A B C -A 1A BC BC D 2BAC π∠=，.BC =11A B A C =12A A a =（1）求证：平面；1A D ⊥ABC （2）若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.12a ≤≤1AC 11BCC B【答案】（1）证明见解析；（2）． 12⎤⎥⎦【解析】【分析】（1）先由面面垂直的判定定理证出平面平面，再由面面垂直的性质定理证出结论ABC ⊥1A BC 成立；（2）取中点，可证出四边形是平行四边形，由已知结合（1）的证明，可得平面11B C 1D 11A D DA BC ⊥，进而得出平面平面，作于，利用线面角的定义找出线面角的11AA D D 11BB C C ⊥11AA D D 11A E D D ⊥E 平面角，求出各棱的长度，由二次函数的性质得出正弦值的取值范围．【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以平面平面.AD ⊥1A BC AD ⊂ABC ABC ⊥1A BC 因为，，所以. 11=AC A B BD CD =1A D BC ⊥又因为平面平面，平面平面，平面， ABC ⊥1A BC ABC 1A BC BC =1A D ⊂1A BC 所以平面1A D ⊥ABC （2）解：取中点，连接，，则，所以四边形是平行四边形. 11B C 1D 11A D 1DD 111DD BB AA 11A D DA 因为，，，，平面，BC AD ⊥1BC A D ⊥1AD A D D ⋂=AD 1A D ⊂11AA D D所以平面，又平面 BC ⊥11AA D D BC ⊂11BB C C 所以平面平面. 11BB C C ⊥11AA D D 作于，则平面， 11A E D D ⊥E 1A E ⊥11BB C C 连接，则为直线与平面所成的角. CE 1A CE ∠1AC 11BCC B 由，，2BAC π∠=BD CD =BC =AD BD CD ===又由（1）知平面，1A D ⊥ABC 所以，，1A D =1111A D A D E DD ⨯===. 12AC a ==则. 111sin A E A CE A C ∠====由于，所以. 12a ≤≤21114a ≤≤11sin 2A CE ≤∠≤故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为. 1AC 11BCCB 12⎤⎥⎦。

四川省成都市学高一数学下入学考试试题(含答案)

四川省成都市学高一数学下入学考试试题(含答案)

高一下学期入学考试数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.以下各组函数是同一函数的是〔 〕①3()2f x x =-与()2g x x x =-；②()f x x =与2()g x x =；③0()f x x =与01()g x x=；④2()21f x x x =--与2()21g t t t =-- A ．①② B ．①③ C ．③④ D ．①④2.以下函数中，既是偶函数又存在零点的是〔 〕A ．ln y x =B ．21y x =+ C ．sin y x = D ．cos y x = 3.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深〔单位：m 〕的最大值为〔 〕A ．5B ．6C ．8D ．104.函数f(x)= 2211+log (2),1,(2)(log 12)2,1x x x f f x --<⎧-+=⎨≥⎩( )A ．3B ．6C ．9D ．125.假设2{|228}xA x Z -=∈≤<，2{||log |1}B x R x =∈>，那么()R AC B 的元素个数为〔 〕A ．0B ．1C ．2D ．36.函数()f x 的图象与1()()2xg x =的图象关于直线y x =对称，那么2(4)f x -的单调增区间是〔 〕A ．(,0]-∞B ．[0,)+∞C ．(2,0]-D ．[0,2)7.将函数()sin 2f x x =的图象向右平移ϕ(0)2πϕ<<个单位后得到函数()g x 的图象，假设对满足12|()()|2f x g x -=的12,x x ，有12min ||3x x π-=，那么ϕ=〔 〕A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π 8.如图，长方形ABCD 的边2,1,AB BC O ==是AB 的中点，点P 沿着边,BC CD 与DA运动，记BOP x ∠=，将动点P 到,A B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，那么()y f x =的图象大致为〔 〕9.设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+，那么使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是〔 〕A ．1(,1)3B ．1(,)(1,)3-∞+∞ C ．11(,)33- D ．11(,)(,)33-∞-+∞10.如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，那么不等式2()log (1)f x x ≥+的解集是〔 〕 A ．{|10}x x -<≤ B ．{|11}x x -≤≤ C ．{|11}x x -<≤ D ．{|12}x x -<≤11.定义在R 上的函数||()21x m f x -=-〔m 为实数〕为偶函数，记0.5(log 3)a f =，2(log 5)b f =，(2)c f m =，那么,,a b c 的大小关系为〔 〕A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<12.函数22||,2()(2),2x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩，函数()(2)g x b f x =--，其中b R ∈，假设函数()()y f x g x =-恰有4个零点，那么b 的取值范围是〔 〕A ．7(,)4+∞B ．7(,)4-∞C ．7(0,)4D ．7(,2)4第二卷〔共90分〕二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13.假设函数2()ln()f x x x a x =++为偶函数，那么a = . 14.假设函数||()2()x a f x a R -=∈满足(1)(1)f x f x +=-，且()f x 在[,)m +∞单调递增，那么实数m 的最小值等于 .15.假设函数6,2()3log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩〔0a >且1a ≠〕的值域是[4,)+∞，那么实数a 的取值范围是 .16.设函数2,1()4()(2),1x a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--≥⎩，①假设1a =，那么()f x 的最小值为 ；②假设()f x 恰有2个零点，那么实数a 的取值范围是 .三、解答题 〔本大题共6小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17.〔此题10分〕tan 2α=. 〔1〕求tan()4πα+的值；〔2〕求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值. 18. 〔此题12分〕函数22()sin sin (),6f x x x x R π=--∈.〔1〕求()f x 最小正周期；〔2〕求()f x 在区间[,]34ππ-上的最大值和最小值.19. 〔此题12分〕全集U R =，{||1|1}A x x =-≥，B 为函数3()21x f x x +=-+的定义域，C 为()lg[(1)(2)](1)g x x a a x a =---<的定义域.〔1〕AB ，()UC A B ；〔2〕假设C B ⊆，求实数a 的取值范围.20. 〔此题12分〕函数()f x 的图象是由函数()cos g x x =的图象经如下变换得到：先将()g x 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍〔横坐标不变〕，再将所得的图象向右平移2π个单位长度.〔1〕求函数()f x 的解析式，并求其图象的对称轴方程；〔2〕关于x 的方程()()f x g x m +=在[0,2)π内有两个不同的解,αβ.①求实数m 的取值范围； ②请用m 的式子表示cos()αβ-.21. 〔此题12分〕设()f x 是定义在R 上的函数，对任意实数,m n ，都有()()()f m f n f m n =+，且当0x <时，()1f x >.〔1〕证明：①(0)1f =；②当0x >时，0()1f x <<；③()f x 是R 上的减函数；〔2〕设a R ∈，试解关于x 的不等式2(31)(361)1f x ax f x a -+-++≥.22. 〔此题12分〕()y f x =〔,x D D ∈为此函数的定义域〕同时满足以下两个条件：①函数()f x 在D 内单调递增或单调递减；②如果存在区间[,]a b D ⊆，使函数()f x 在区间[,]a b 上的值域为[,]a b ，那么称()y f x =，x D ∈为闭函数.请解答一下问题：〔1〕求闭函数3y x =-符合条件②的区间[,]a b ； 〔2〕判断函数31()((0,))4f x x x x=+∈+∞是否为闭函数？并说明理由； 〔3〕假设(0)y k x k =<是闭函数，求实数k 的取值范围.高一数学答案1-5 CDCCC 6-10 DDBAC 11-12CD13. 114.115. (1，2]16.17.(1)-3 (2)118. (I)(II)19.〔I〕(II)20.21.22.。

高一数学下学期入学考试试题含解析 试题

高一数学下学期入学考试试题含解析 试题

外国语2021-2021学年高一下学期入学考试数学试题一、选择题〔本大题一一共12小题，一共60.0分〕，，那么( )A. B. C. D.【答案】A【解析】∵集合，集合，∴集合，应选．的定义域为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据根号下的式子非负，分母不等于0，列出不等关系，解得函数的定义域即可．【详解】由题意得：，解得：1＜x≤3，应选：D．【点睛】此题考察了求函数的定义域问题，考察二次根式及分式的性质，是一道根底题．3.，那么〔〕A. B. 7 C. D. -7【答案】A【解析】【分析】由条件利用两角和的正切公式运算可得结果.【详解】利用两角和的正切公式可得此题正确选项：【点睛】此题考察两角和的正切公式的应用，属于根底题．，那么〔〕A. B. C. D. 1【答案】A【解析】【分析】根据分段函数的解析式，先求的值，从而可得的值.【详解】由得=＝，那么＝-1=，应选：A．【点睛】此题考察求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值．的图象大致形状是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函数的奇偶性排除选项，通过特殊点的位置即可得到结果．【详解】函数f〔x〕是奇函数，判断出B，D不符合题意；当x＝1时，f〔1〕，选项C不成立，应选：A．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：〔1〕从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；〔2〕从函数的单调性，判断图象的变化趋势；〔3〕从函数的奇偶性，判断图象的对称性；〔4〕从函数的特征点，排除不合要求的图象.6.，且，那么等于〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式将转化为的形式，然后利用同角三角函数关系式求得的值.【详解】依题意，由于，属于，故.所以选D.【点睛】本小题主要考察三角函数的诱导公式，考察同角三角函数的根本关系式中的平方关系.对于三角函数的化简，遵循这样的原理“奇变偶不变，符号看象限〞.其中“奇偶〞说的是是奇数还是偶数.在运用三角函数的根本关系式是，要注意角的终边所在的象限引起的三角函数值正负的变化.的图象，只要把函数图象上所有的点〔〕A. 向左平行挪动个单位长度B. 向右平行挪动个单位C. 向左平行挪动个单位长度D. 向右平行挪动个单位【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式统一函数名，再根据函数的图象变换规律，得出结论．【详解】由诱导公式可知：又那么，即只需把图象向右平移个单位此题正确选项：【点睛】此题主要考察函数的图象变换规律，关键在于可以根据诱导公式将异名函数统一为同名函数，再根据左右平移的规律得到结果.，，假设，那么〔〕A. -1B.C.D. 1【答案】A【解析】【分析】由可求得，然后利用同角三角函数根本关系式化弦为切求解．【详解】，，且，即那么此题正确选项：【点睛】此题考察数量积的坐标运算，三角函数的恒等变换及化简求值，同角三角函数根本关系式的应用；在解决关于、的齐次式问题时，通常采用构造的方式进展简化运算.，，，那么、、的大小关系为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把化为的形式，再根据幂函数的单调性，得到的大小关系．【详解】由题意得：，，在上是增函数且此题正确选项：【点睛】此题主要考察利用幂函数的单调性比拟大小问题.比拟大小类问题常用的解决方法有构造函数统一的函数模型，利用函数单调性来进展比拟.，那么使得成立的的取值范围是〔〕A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由函数的解析式可求得，得为偶函数；根据单调性的性质可得在为增函数，据此可将不等式变为，解不等式得到结果．【详解】由可得：那么函数为偶函数当时，此时单调递增；单调递减根据单调性的性质可得在为增函数那么解得：，即不等式的解集为此题正确选项：【点睛】此题考察函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是可以通过奇偶性和单调性将关于函数值的不等式转化为关于自变量的不等式．，，满足，，向量，和向量的夹角为，那么的最大值等于〔〕A. B. 1 C. 4 D. 2【答案】D【解析】【分析】利用向量的数量积求得的夹角，在利用向量的运算法那么作出图，结合图象，判断出四点一共圆，利用正弦定理求出外接圆的直径，即可求解.【详解】如下图，设因为，，，所以四点一共圆,因为，，所以，由正弦定理知，即过四点的圆的直径为2，所以||的最大值等于直径2【点睛】此题主要考察了平面向量的数量积的运算，向量的运算法那么，以及三角形中正弦定理的应用，其中解答中合理利用向量的数量积和向量的运算法那么，断定出四点一共圆，再利用正弦定理求解是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于中档试题.，关于的方程，，恰有6个不同实数解，那么的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通过分类讨论，将函数表示成分段函数的形式，从而作出函数的图象，利用换元法设，将方程转化为一元二次方程，利用数形结合将问题转化为有两个不同的根，且，；由将方程变为，根据判别式、两根之和、两根之积的范围，求得的范围．【详解】当时，；当时，；当时，；当时，即，那么作出函数的图象如以下图：设，，那么方程等价为有图像可知：方程，，恰有个不同实数解等价于方程有两个不同的根且满足，当时，，即此时方程等价为那么判别式：又，那么，即同时，得，得综上所述：，即的取值范围是此题正确选项：【点睛】此题主要考察函数与方程的应用，主要考察方程根的分布的问题；求出函数的解析式，作出函数的图象，利用换元法转化为一元二次方程根与系数之间的关系是解决此题的关键．二、填空题〔本大题一一共4小题，一共20.0分〕，且，那么函数的图象必过点______．【答案】〔-3，-3〕【解析】【分析】利用指数函数过定点的性质进展判断．【详解】方法1：平移法∵y=a x过定点〔0，1〕，∴将函数y=a x向左平移3个单位得到y=a x+3，此时函数过定点〔-3，1〕，将函数y=a x+3向下平移4个单位得到y=a x+3-4，此时函数过定点〔-3，-3〕．方法2：解方程法由x+3=0，解得x=-3，此时y=1-4=-3，即函数y=a x+3-4的图象一定过点〔-3，-3〕．故答案为：〔-3，-3〕．【点睛】此题主要考察指数函数过定点的性质，假如x的系数为1，那么可以使用平移法，但x的系数不为1，那么用解方程的方法比拟简单，属于中档题.，，，假设向量与一共线，那么向量在向量方向上的投影为______．【答案】.【解析】试题分析：根据向量一共线求出λ，计算，代入投影公式即可．详解：向量=〔1，λ〕，=〔3，1〕，向量2﹣=〔﹣1，2λ﹣1〕，∵向量2﹣与=〔1，2〕一共线，∴2λ﹣1=﹣2，即λ=．∴向量=〔1，〕，∴向量在向量方向上的投影为||•cos＜，＞=故答案为：0．点睛：这个题目考察的是向量根本定理的应用；向量的点积运算。

高一数学下学期开学考试试题含解析 3

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历城第二中学2021-2021学年高一数学下学期开学考试试题〔含解析〕一、单项选择题：此题一共8小题，每一小题5分，一共40分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．1.设211z i =++〔i 是虚数单位〕，那么z =〔 〕A. 2 D. 【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法那么将复数表示成一般形式，然后利用复数的模长公式可求得结果.【详解】()()()212112111i z i i i i -=+=+=-++-，因此，z ==应选：C.【点睛】此题考察复数模长的计算，涉及复数的四那么运算法那么的应用，考察计算才能，属于根底题.2.“幸福感指数〞是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0,10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位民，他们的幸福感指数为3，4，5，5，6，7，7，8，9，10.那么这组数据的75%分位数是〔 〕A. 7B. 7.5C. 8D. 8.5 【答案】C【解析】【分析】先计算75%分位数的位置，再求出这个数即可.【详解】由题意，这10个人的幸福指数已经从小到大排列，因为75%107.5⨯=，所以这10个人的75%分位数是从小到大排列后第8个人的幸福指数，即8.应选：C【点睛】此题主要考察分位数的概念和计算，属于根底题.3.向量()1,2a =，()2,2b =-，(),1c λ=-，假设()//2c a b +，那么λ=〔 〕A. 2-B. 1-C. 12-D. 12【答案】A【解析】【分析】 根据向量坐标运算求得2a b +，由平行关系构造方程可求得结果.【详解】()1,2a =，()2,2b =- ()24,2a b ∴+=()//2c a b + 24λ∴=-，解得：2λ=-应选：A【点睛】此题考察根据向量平行关系求解参数值的问题，涉及到平面向量的坐标运算；关键是明确假设两向量平行，那么12210x y x y -=.4.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么以下对立的两个事件是〔 〕A. “至少1名男生〞与“至少有1名是女生〞B. 恰好有1名男生〞与“恰好2名女生〞C. “至少1名男生〞与“全是男生〞D. “至少1名男生〞与“全是女生〞【答案】D【解析】从3名男生和2名女生中任选2名学生参加演讲比赛，“至少1名男生〞与“至少有1名是女生〞不互斥；“恰好有1名男生〞与“恰好2名女生〞是互斥不对立事件；“至少1名男生〞与“全是男生〞不互斥；“至少1名男生〞与“全是女生〞是对立事件；应选D5.圆锥的母线长为5cm ，底面半径为53cm ，一只蚂蚁欲从圆锥的底面圆周上的点A 出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A .那么蚂蚁爬行的最短路程长为〔 〕A. 8cmB.C. 10cmD. 5πcm【答案】B【解析】【分析】采用数形结合，根据圆锥的展开图，结合弧长公式，可得结果.【详解】由题可知：蚂蚁沿圆锥侧面爬行一周回到点A ，爬行的最短路程长为1AA如图作1OC AA ⊥，由圆锥的母线长为5cm ，底面半径为53cm ， 所以1510233l AA ππ=== cm 由l OA α=，所以23πα= 即123AOA πα∠==，所以3AOC π∠= 故53sin AC OA AOC =∠=cm 所以1253A A C A ==应选：B【点睛】此题考察圆锥的展开图，还考察了弧长公式，考验空间想象才能以及思维才能，属中档题.6.如图，电路中4个开关闭合的概率都是12，且是互相HY 的，灯亮的概率为〔 〕A.316B.34C.1316D.14【答案】C【解析】【分析】灯泡不亮包括四个开关都开，或者下边的2个都开，上边的2个中有一个开，这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件是互相HY的，根据概率公式得到结果．【详解】由题意知，此题是一个互相HY事件同时发生的概率，灯泡不亮包括四个开关都开，或者下边的2个都开，上边的2个中有一个开，这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件是互相HY的，∴灯泡不亮的概率是111111111322222222216 111222⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=⨯，灯亮和灯不亮是两个对立事件，∴灯亮的概率是31311616 -=，应选：C．【点睛】此题结合物理的电路考察了有关概率的知识，考察对立事件的概率和项和对立事件的概率，此题解题的关键是看出事件之间的关系，灯亮的情况比拟多，需要从反面来考虑，属于中档题．7.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且2AE EO=，那么ED=〔〕A. 1233AD AB -B.2133AD AB + C. 2133AD AB - D. 1233AD AB + 【答案】C【解析】【分析】 画出图形，以,?AB AD 为基底将向量ED 进展分解后可得结果．【详解】画出图形，如以下图．选取,?AB AD 为基底，那么()211333AE AO AC AB AD ===+， ∴()121 333ED AD AE AD AB AD AD AB =-=-+=-． 应选C ．【点睛】应用平面向量根本定理应注意的问题〔1〕只要两个向量不一共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决详细问题时，合理选择基底会给解题带来方便．〔2〕利用向量表示未知向量，本质就是利用平行四边形法那么或者三角形法那么进展向量的加减运算或者数乘运算．8.ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，M 在边AB 上，且13AM AB =，2b =，CM =，2sin sin sin 2A B c B b -=，那么ABC S ∆=〔 〕A. 4 C. D. 3【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理与三角恒等变换以及特殊角的三角函数求出C 的值，根据平面向量的线性表示求出CM ，再利用模长和三角形的面积公式，计算求值.【详解】解：ABC ∆中，2sin sin sin 2A B c B b -=， ∴2sin sin sin sin 2sin A B C B B-=， ∴2sin cos 2sin sin C B A B =-，∴()2sin cos 2sin cos cos sin sin C B B C B C B =+-， ∴1cos 2C =， 又()0,C π∈，∴60C =︒； 又13AM AB =， ∴()1133CM CA AM CA AB CA CB CA =+=+=+-2133CA CB =+， ∴32CM CA CB =+， ∴222944CM CA CB CA CB =++⋅；∴228164a a =++，解得2a =或者6a =-〔不合题意，舍去〕，∴ABC ∆的面积为122sin 602ABC S ∆=⨯⨯︒=应选：B.【点睛】此题考察理解三角形中的正弦、余弦定理和面积公式、平面向量根本定理应用问题，属于根底题.二、多项选择题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分．在每一小题给出的四个选项里面，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，局部选对的得3分，有选错的得0分．9.如图是我国2021年1月至12月石油进口量统计图〔其中同比是今年第n个月与去年第n个月之比〕，那么以下说法错误的选项是〔〕A. 2021年下半年我国原油进口总量高于2021年上半年B. 2021年12个月中我国原油月最高进口量比月最低进口量高1152万吨C. 2021年我国原油进口总量高于2021年我国原油进口总量D. 2021年1月—5月各月与2021年同期相比拟，我国原油进口量有增有减【答案】D【解析】【分析】结合统计图表，对答案选项逐一判断即可.【详解】由图易知A ，B 正确；由数量同比折线图可知，除6月及10月同比减少外，其他月份同比都递增，且1月，4月，11月，12月同比增长较多，故2021年我国原油进口总量高于2021年我国原油进口总量，C 正确；2021年1月至5月的同比数据均为正数，故2021年1月—5月各月与2021年同期相比拟，我国原油进口量只增不减，D 错误.应选：D【点睛】此题主要考察统计图表的识别和判断，考察学生抽象概括才能和推理论证才能，属于根底题.10.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .根据以下条件解三角形，其中有两解的是〔 〕A. 10,45,70b A C ==︒=︒B. 45,48,60b c B ===︒C. 14,16,45a b A ===︒D. 7,5,80a b A ===︒ 【答案】BC【解析】【分析】根据题设条件和三角形解的个数的断定方法，逐项断定，即可求解，得到答案.【详解】对于选项A 中：由45,70A C =︒=︒，所以18065B A C =--=︒，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；对于选项B 中：因为csin sin 115B C b ==<，且c b >，所以角C 有两解；对于选项C 中：因为sin sin 17b A B a ==<，且b a >，所以角B 有两解； 对于选项D 中：因为sin sin 1b A B a =<，且b a <，所以角B 仅有一解. 应选：BC .【点睛】此题主要考察了三角形解得个数的断定，其中解答中熟记三角形解得个数的断定方法是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于根底题.11.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点,,E F G 分别棱楼111,,AB AA C D 的中点，以下结论中正确的选项是〔 〕A. 四面体11ACB D 的体积等于312a B. 1BD ⊥平面1ACB C. 11//B D 平面EFGD. 异面直线EF 与1BD 所成角的正切值为22【答案】BD【解析】【分析】根据直线与平面的位置关系可知C 不正确；根据线面垂直的断定定理可知B 正确；根据空间向量夹角的坐标公式可知D 正确；用正方体体积减去四个正三棱锥的体积可知A 不正确．【详解】解：延长EF 分别与11B A ，1B B 的延长线交于N ，Q ，连接GN 交11A D 于H ，设HG 与11B C 的延长线交于P ，连接PQ 交1CC 于I ，交BC 于M ，连FH ，HG ，GI ，IM ，ME ， 11B D 与HG 相交，故11B D 与平面EFG 相交，所以C 不正确；1⊥BD AC ，11BD B C ⊥，且AC 与1B C 相交，所以1BD ⊥平面1ACB ，故B 正确； 以D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角可得异面直线EF 与1BD 的夹角的正切值为22，故D 正确； 四面体11ACB D 的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积，即为3331114323a a a -⨯⨯=，故A 不正确．应选：BD【点睛】此题考察了命题的真假判断与应用，空间中点、线、面之间的位置关系，属于难题．12.点O 在ABC ∆所在的平面内,那么以下说法正确的有( )A. 假设0OA OB OC ++=,那么点O 为ABC ∆的重心B. 假设0AC AB BC BA OA OB AC AB BC BA ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⋅-=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,那么点O 为ABC ∆的垂心 C. 假设()()0OA OB AB OB OC BC +⋅=+⋅=,那么点O 为ABC ∆的外心D. 假设OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅,那么点O 为ABC ∆的内心【答案】AC【解析】【分析】逐项进展分析即可.【详解】解：选项A ，设D 为BC 的中点，由于()2OA OB OC OD =-+=-，所以O 为BC 边上中线的三等分点(靠近点D )，所以O 为ABC ∆的重心；选项B ，向量,||||AC AB AC AB 分别表示在边AC 和AB 上的单位向量，设为AC '和AB '，那么它们的差是向量B C ''，那么当0||||AC AB OA AC AB ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭，即OA B C ''⊥时，点O 在BAC ∠的平分线上，同理由0||||BC BA OB BC BA ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭，知点O 在ABC ∠的平分线上，故O 为ABC ∆的内心；选项C ，OA OB +是以,OA OB 为邻边的平行四边形的一条对角线，而AB ｜｜是该平行四边形的另一条对角线，()0AB OA OB ⋅+=表示这个平行四边形是菱形，即||||OA OB =，同理有||||OB OC =，于是O 为ABC ∆的外心；选项D ，由OA OB OB OC ⋅=⋅得0OA OB OB OC ⋅-⋅=，∴()0OB OA OC ⋅-=，即0OB CA ⋅=，∴OB CA ⊥．同理可证,OA CB OC AB ⊥⊥，∴OB CA ⊥，OA CB ⊥，OC AB ⊥，即点O 是ABC ∆的垂心；应选：AC ．【点睛】此题主要考察平面向量在三角形中的应用，考察向量的数量积，考察三角形的“五心〞，属于中档题．三、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分．13.某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进展问卷调查，假如从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为 ．【答案】9【解析】130⨯=10，故答案为10. 考点：本试题主要是考察了分层抽样的方法的运用．点评：对于抽样方法，常考察的是分层抽样，在整个抽样过程中，每一个个体被抽到的概率为n:N,即为样本容量与总体的比值，这一点是解题的核心，属于根底题．14.假设复数z 满足23i,z z +=-其中i 为虚数单位，z 为z 的一共轭复数，那么z 在复平面内对应的点位于第_____象限.【答案】四【解析】【分析】利用待定系数法求出复数z ，再进展断定.【详解】设z a bi =+，那么z a bi =-，代入可得3i =3i a b +-，由复数相等的定义可得 1,1a b ==-，即1z i =-，故z 在复平面内对应的在第四象限.【点睛】此题主要考察一共轭复数的概念及复数简单运算，属于简单题目.15.圆台的上、下底面都是球O 的截面，假设圆台的高为6，上、下底面的半径分别为2，4，那么球O 的外表积为__________．【答案】80π【解析】【分析】本道题结合半径这一条件，利用勾股定理，建立等式，计算半径，即可．【详解】设球半径为R ，球心O 到上外表间隔 为x ，那么球心到下外表间隔 为6-x,结合勾股定理，建立等式()222224+6x x +=-，解得4x =，所以半径222220R x =+= 因此外表积2480S R ππ==【点睛】本道题考察了球外表积计算方法，难度中等．16.O 是ABC ∆外接圆的圆心，假设4560OA OB OC ++=，那么cosC =__________．【解析】设ABC ∆的外接圆的半径为R ，因为4560OA OB OC ++=，所以456OA OB OC +=-，那么2222162540cos 36R R R AOB R ++∠=，即8cos 1AOB ∠=-，即28(2cos 1)1C -=-，解得cos C =四、解答题：此题一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．17.复数()()2z m 5m 6m 2i =-++-〔m R ∈〕． 〔1〕假设复数z 为纯虚数，务实数m 的值；〔2〕假设复数z 在复平面内对应的点在第二象限，务实数m 的取值范围．【答案】〔1〕3m =〔2〕〔2，3〕【解析】【分析】〔1〕由纯虚数的概念列方程组求解即可；〔2〕由复数的几何意义得2560{ 20m m m -+<->，解不等式即可得解. 【详解】〔1〕因为复数z 为纯虚数，所以2560{ 20m m m -+=-≠， 解之得，3m =．〔2〕因为复数z 在复平面内对应的点在第二象限，所以2560{ 20m m m -+<->， 解之得23{ 2m m <<>，得23m <<． 所以实数m 的取值范围为〔2，3〕．【点睛】此题主要考察了复数的概念及复数的几何意义，属于根底题.18.如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥.求证：〔1〕直线DE 平面A 1C 1F ；〔2〕平面B 1DE⊥平面A 1C 1F.【答案】〔1〕详见解析〔2〕详见解析【解析】试题分析：〔1〕利用线面平行断定定理证明线面平行，而线线平行的寻找往往结合平面几何的知识，如中位线的性质等；〔2〕利用面面垂直断定定理证明，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，往往需要屡次利用线面垂直性质定理与断定定理.试题解析：证明：〔1〕在直三棱柱111ABC A B C -中，11A C AC ，在三角形ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE AC ，于是11DE AC ，又因为DE ⊄平面1111,AC F AC ⊂平面11AC F ，所以直线DE//平面11AC F .〔2〕在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AA A B C ⊥平面因为11A C ⊂平面111A B C ，所以111AA AC ⊥，又因为111111*********,,AC A B AA ABB A A B ABB A A B AA A ⊥⊂⊂⋂=，平面平面， 所以11A C ⊥平面11ABB A .因为1B D ⊂平面11ABB A ，所以111AC B D ⊥.又因为1111111111111,,B D A F AC AC F A F AC F AC A F A ⊥⊂⊂⋂=，平面平面，所以111B D AC F ⊥平面.因为直线11B D B DE ⊂平面，所以1B DE 平面11.A C F ⊥平面【考点】直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：〔1〕证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；〔2〕证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；〔3〕证明线线垂直，需转化为证明线面垂直；〔4〕证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.19.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，cos cos )cos 0(C A A B +=． 〔1〕求角B 的大小；〔2〕假设1a c +=，求b 的取值范围．【答案】〔1〕3B π=；〔2〕1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】〔1〕根据三角形角的关系，代入化简三角函数式，即可求得tan B ，进而得角B 的大小；〔2〕根据余弦定理，由根本不等式即可求得12b ≥，再结合三角形边关系求得b 的取值范围. 【详解】〔1〕∵cos cos )cos 0(C A A B +=，∴cos()cos cos cos 0A B A B A B -++=，即cos cos sin sin cos cos cos 0A B A B A B A B -++=，∵sin 0A ≠，∴tan B = ∴3B π=．〔2〕由余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-， 代入可得22222()3132a c b a c ac a c ac +⎛⎫=+-=+-≥-⨯ ⎪⎝⎭2111324⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭， 当且仅当12a c ==时取等号， ∴12b ≥，又1b ac <+=， ∴b 的取值范围是1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【点睛】此题考察了三角恒等变形的应用，由余弦定理及根本不等式求边的范围，属于中档题.20. 对某校高三年级学生参加社区效劳次数进展统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区效劳的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图.[20,25) m p[25,30] 2合计M 1(1)求出表中M，p及图中a的值；(2)假设该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区效劳的次数在区间[10,15)内的人数；(3)估计这次学生参加社区效劳人数的众数、中位数以及平均数．【答案】见解析【解析】(1)由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25，知＝0.25，所以M＝40.因为频数之和为40，所以10＋24＋m＋2＝40，解得m＝4，p＝＝0.10.因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以a＝＝0.12.(2)因为该校高三学生有240人，在[10,15)内的频率是0.25，所以估计该校高三学生参加社区效劳的次数在此区间内的人数为60.(3)估计这次学生参加社区效劳人数的众数是＝17.5.因为n ＝＝0.6，所以样本中位数是15＋≈17.1，估计这次学生参加社区效劳人数的中位数是17.1.样本平均人数是12.5×0.25＋17.5×0.6＋22.5×0.1＋27.5×0.05＝17.25，估计这次学生参加社区效劳人数的平均数是17.25.考点：中位数、众数、平均数.21.某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天海鲜的需求量x ，〔1020x ≤≤，单位：公斤〕，其频率分布直方图如下图，该海鲜每天进货1次，商店每销售1公斤可获利50元；假设供大于求，剩余的削价处理，每处理1公斤亏损10元；假设供不应求，可从其它商店调拨，销售1公斤可获利30元.假设商店每天该海鲜的进货量为14公斤，商店的日利润为y 元.〔1〕求商店日利润y 关于需求量x 的函数表达式；〔2〕假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替.①求这50天商店销售该海鲜日利润的平均数；②估计日利润在区间[]580760，内的概率. 【答案】(1) 30280,142060140,1014x x y x x +≤≤⎧=⎨-≤<⎩【解析】【分析】〔1〕根据不同的需求量，整理出函数解析式；〔2〕①利用频率分布直方图估计平均数的方法，结合利润函数得到平均利润；②根据利润区间，换算出需求量所在区间，从而找到对应的概率.【详解】〔1〕商店的日利润y 关于需求量x 的函数表达式为：()()50143014,1420501014,1014x x y x x x ⎧⨯+⨯-≤≤⎪=⎨-⨯-≤<⎪⎩化简得：30280,142060140,1014x x y x x +≤≤⎧=⎨-≤<⎩〔2〕①由频率分布直方图得：海鲜需求量在区间[)10,12的频率是20.080.16⨯=；海鲜需求量在区间[)12,14的频率是20.120.24⨯=；海鲜需求量在区间[)14,16的频率是20.150.30⨯=；海鲜需求量在区间[)16,18的频率是20.100.20⨯=；海鲜需求量在区间[]18,20的频率是20.050.10⨯=；这5050天商店销售该海鲜日利润y 的平均数为：()()()(116014100.16136014100.24153020140.301730⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+)()20140.20193020140.1083.2153.621915885698.8⨯⨯+⨯+⨯⨯=++++=〔元〕 ②由于14x =时，30142806014140700⨯+=⨯-=显然30280,142060140,1014x x y x x +≤≤⎧=⎨-≤<⎩在区间[]10,20上单调递增， 58060140y x ==-，得12x =；76030280y x ==+，得16x =；日利润y 在区间[]580,760内的概率即求海鲜需求量x 在区间[]12,16的频率： 0.240.300.54+=【点睛】此题考察利用频率分布直方图估计平均数的问题，关键在于可以纯熟掌握统计中用样本估计总体的方法，平均数的估计方法为每组区间的中点值与每组区间对应的频率的乘积的总和.22.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1AB AC ==，D ，E 分别为1AA ，1B C 的中点．〔1〕证明：DE ⊥平面11BCC B ；〔2〕1B C 与平面BCD 所成的角为30°，求二面角1D BC B --的余弦值．【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕22． 【解析】【分析】 〔1〕取BC 中点F ，连接AF 、EF ，根据题目条件，利用线面垂直的断定定理，得出AF ⊥平面11BCC B ，由于E 为1B C 中点，1EF BB ，112EF BB =，可证出四边形ADEF 为平行四边形，得出AF DE ∥，从而可证出DE ⊥平面11BCC B ；〔2〕设1AB AC ==，12AA a =，根据〔1〕可知，DE ⊥平面1BCB ，那么D 到平面1BCB 间隔 22DE =，设1B 到面BCD 间隔 为d ，根据三棱锥等体积法有11B BDCD BCB V V --=，得11133BCB BDC S DE S d ⋅=⋅△△，得221d a =+因为1B C 与平面BCD 所成的角为30°，可求出2a =BC ⊥平面DEFA ，进而得出EFD ∠为二面角1D BC B --的平面角，只需求出EFD ∠，即可求出二面角1D BC B --的余弦值．【详解】解：〔1〕取BC 中点F ，连接AF 、EF ，∵AB AC =∴AF BC ⊥，∵1BB ⊥平面ABC ，AF ⊂平面ABC ，∴1BB AF ⊥，而BC ⊂平面11BCC B ，1B B ⊂平面11BCC B ，1BC B B B =∩ ∴AF ⊥平面11BCC B ，∵E 为1B C 中点，∴1EF BB ，112EF BB =， ∴EF DA ，EF DA =，∴四边形ADEF 为平行四边形，∴AF DE ∥． ∴DE ⊥平面11BCC B ．〔2〕设1AB AC ==，12AA a =，那么BC =2AF =，BD DC ==，∴DF ==∴12BDC S BC DF =⋅=△，1112BCB S BB BC =⋅=，D 到平面1BCB 间隔 2DE =，设1B 到面BCD 间隔 为d ， 由11B BDC D BCB V V --=，得11133BCB BDC S DE S d ⋅=⋅△△，即11323d ⋅=，得d = 因为1B C 与平面BCD 所成的角为30°， 所以12sin 30d B C d ===︒，而在直角三角形1B BC 中，1B C ==，解得a =． 因为AF ⊥平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ，所以AF BC ⊥，又EF ⊥平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ，所以EF BC ⊥，所以BC ⊥平面DEFA ，∵DF ⊂平面DBC ，EF ⊂平面1B BC所以EFD ∠为二面角1D BC B --的平面角， 而22DA AF ==， 可得四边形DAFE 是正方形，所以45EFD ∠=︒，那么2cos cos452EFD ∠=︒=， 所以二面角1D BC B --的余弦值为22．【点睛】此题考察线面垂直的断定定理，以及利用几何法求二面角余弦值，涉及平行四边形的证明、等体积法求间隔 、棱锥的体积，线面角的应用等知识点，考察推理证明才能和计算才能.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

高一数学下学期入学测试试题新人教A版

高一数学下学期入学测试试题新人教A版

第10题图下 学 期 入 学 测 试 卷数 学班级：___________学号：_________姓名：_______________一、选择题：（本大题共12题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设{}21,A x x k k Z ==+∈,5a =，则有（ ）.A a A ∈.B a A -∉{}.C a A ∈{}.D a A ⊇2.10sin()3π-的值等于（ ）A ．21 B ．－21 C ．23 D ．－233. 函数3()31f x x x =+-在以下哪个区间内一定有零点 ( )A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3) 4．如图所示，角θ的终边与单位圆交于点(P ，则c o s ()πθ-的值为 （ ） A ． B ．C D 5、O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OA +λ·（AB +AC ），λ∈［0，+∞），则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A.外心 B.垂心 C.内心 D.重心 6.在区间33(,)22ππ-范围内，函数tan y x =与函数sin y x =的图象交点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47.下列四类函数中，有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）”的是（ ）A ．幂函数B ．对数函数C ．余弦函数D ．指数函数8、已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于 （ ）A 、4 2B 、2 5C 、8D 、8 2 9. 方程2|2|lg x x -=的实数根的个数是（ ）.A. 1 B. 2 C. 3 D.无数个 10.如图，半径为1的圆M 切直线AB 于O 点，射线OC 从OA 出发绕着O 点顺时针方向旋转到OB ，旋转过程中OC 交⊙M 于点P ，记PMO ∠为x ，弓形ONP 的面积()S f x =，那么()f x 的大致图象是（ ）11、已知a ＝(cos2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈(π2，π)，若a ·b ＝25，则tan(α＋π4)的值是（ ） A 、13 B 、27 C 、23 D 、1712. 如图所示：某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数：b x A x f ++=)sin()(ϕω，]14,6[∈x ，则这段曲线的解析式为 （ ）A ．12)438sin(12)(++=ππx x fB ．12)438sin(6)(++=ππx x f C ．12)4381sin(6)(++=πx x fD ．12)4381sin(12)(++=πx x f 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分.）13. 函数y =⎪⎩⎪⎨⎧>+≤<+≤+1)( 5-1),(030),(32x x x x x x 的最大值是_______. 14．已知0A π<<，且满足7sin cos 13A A +=，则5s i n 4c o s15s i n 7c o s A AA A+=- ． 15、已知幂函数221(55)m y m m x +=--在(0)+∞,上为减函数，则实数m = 。

高一数学下学期开学考试试题含解析 试题

高一数学下学期开学考试试题含解析 试题

智才艺州攀枝花市创界学校云天化二零二零—二零二壹高一数学下学期开学考试试题〔含解析〕第I 卷一、选择题〔本大题一一共7小题，每一小题5分，一共35分.每一小题只有一个．．．．选项符合题意.〕 1.设在ABC ∆中,角,A B C ，所对的边分别为,a b c ，,假设cos cos sin b C c B a A +=,那么ABC ∆的形状为〔〕A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理可得()2sin sin B C A +=，结合三角形内角和定理与诱导公式可得sin 1,2A A π==，从而可得结果.【详解】因为cos cos sin b C c B a A +=， 所以由正弦定理可得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，()22sin sin sin sin B C A A A +=⇒=，所以sin1,2A A π==，所以是直角三角形.【点睛】此题主要考察正弦定理的应用，属于根底题.弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：〔1〕知道两边和一边的对角，求另一边的对角〔一定要注意讨论钝角与锐角〕；〔2〕知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；〔3〕证明化简过程中边角互化；〔4〕求三角形外接圆半径. 2.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．4505S a ==，，那么A.25n a n =-B.310n a n =-C.228nS n n=-D.2122nS n n =- 【答案】A 【解析】 【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．此题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，应选A ．【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，应选A ． 【点睛】此题主要考察等差数列通项公式与前n 项和公式，浸透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断． 3.在ABC ∆中，60A =︒，45B =︒，BC =AC =〔〕A.2C.D.【答案】C 【解析】 【分析】在三角形中，利用正弦定理可得结果. 【详解】解：在ABC ∆中，可得sin sin BC ACA B=, 260sin 45AC，即22AC ，解得AC =应选C.【点睛】此题考察了利用正弦定理解三角形的问题，解题的关键是纯熟运用正弦定理公式.4.在ABC ∆中，cos25C =,BC=1,AC=5，那么AB=A. D.【答案】A 【解析】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.详解：因为223cos 2cos 121,25C C=-=⨯-=-所以22232cos 125215()325ca b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯-=∴= A.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合条件灵敏转化边和角之间的关系，从而到达解决问题的目的.5.ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，假设ABC 的面积为2224a b c +-，那么C =A.π2B.π3C.π4D.π6【答案】C 【解析】分析：利用面积公式12ABCSabsinC =和余弦定理2222a b c abcosC +-=进展计算可得． 详解：由题可知222124ABCa b c SabsinC +-==所以2222absinC a b c +-=由余弦定理2222a b c abcosC +-=所以sinC cosC = 应选C.点睛：此题主要考察解三角形，考察了三角形的面积公式和余弦定理． 6.如图，在ABC ∆中，D 是边AC 上的点，且AB AD =，2AB =，2BC BD =，那么sin C的值是〔〕B.【答案】D 【解析】 【分析】在ABD ∆中，利用余弦定理可求cos A ，根据同角的三角函数的根本关系式求出sin A 后在ABC ∆中利用正弦定理可求sin C .【详解】设ABa ，∴AD a =，BD =，2BC BD ==在ABD ∆中，2222224213cos 223a a AB AD BD A AB AD a -+-===⋅，因为A 为三角形的内角，∴sin 3==A . 在ABC ∆中，由正弦定理知sin sin 436AB C A BC =⋅==. 应选：D.【点睛】在解三角形中，我们有时需要找出不同三角形之间相关联的边或者角，由它们沟通分散在不同三角形的几何量．7.如图，一辆汽车在一条程度的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，那么此山的高度CD =()m .A. B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】设此山高h 〔m 〕，在BCD ∆中，利用仰角的正切表示出BC ，进而在ABC ∆中利用正弦定理求得h ．【详解】设此山高h 〔m 〕，那么BC =，在ABC ∆中，30BAC︒∠=，105CBA ︒∠=，45BCA ︒∠=，600AB =，根据正弦定理得6003045sin sin ︒︒=，解得h =m 〕， 应选：B .【点睛】此题考察正弦定理在实际中的应用，考察识图才能，属于常考题.第二卷二、填空题〔本大题一一共3小题，每一小题5分，一共15分〕 8.在等差数列{}n a 中，假设3456725a a a a a ++++=，那么28aa +=__________.【答案】10 【解析】 因为{}n a 是等差数列，所以37462852a a a a a a a +=+=+=，345675525a a a a a a ++++==即55a =，所以285210a a a +==，故答案为10．9.ABC ∆中，120A ︒=，4AC =，5AB =，那么ABC ∆的面积为____.【答案】【解析】【分析】根据正弦定理，易得ABC ∆的面积为1sin 2S AC AB A =⨯⨯∠，然后代入相关数据计算可得答案. 【详解】在ABC ∆中，120A ︒=，4AC =，5AB =，∴ABC ∆的面积为11sin 45222S AC AB A =⨯⨯∠=⨯⨯⨯=∴ABC ∆的面积为【点睛】此题考察正弦定理的应用，解题关键是纯熟掌握三角形面积公式，属于常考题.10.在ABC 中，60,B AC ==，那么AB BC +的最大值为___________．【答案】【解析】由余弦定理：222cos 2a c b B ac+-=，即：221322a c ac+-=，整理可得：()2233332a c a c ac +⎛⎫+=+≤+⨯ ⎪⎝⎭，解得：a c +≤当且仅当a c ==那么AB BC +，即a+c 的最大值为三、解答题〔本大题4小题，第11--12小题每一小题12分；第13-14小题，每一小题13分，一共50分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．〕 11.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，17a =-，315S =-．〔1〕求{}n a 的通项公式； 〔2〕求n S ，并求n S 的最小值．【答案】〔1〕a n =2n –9，〔2〕S n =n 2–8n ，最小值为–16． 【解析】分析：〔1〕根据等差数列前n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，〔2〕根据等差数列前n 项和公式得n S 的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值. 详解：〔1〕设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15． 由a 1=–7得d =2．所以{a n }的通项公式为a n =2n –9． 〔2〕由〔1〕得S n =n 2–8n =〔n –4〕2–16． 所以当n =4时，S n 获得最小值，最小值为–16．点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.12.在ABC ∆中，60A ∠=，3.7ca =()1求sin C 的值；()2假设7a =，求ABC ∆的面积．【答案】〔1〔2〕 【解析】【分析】()1由37c a =，根据正弦定理可得3sin sin 7C A =，从而可求出答案；()2根据同角的三角函数的关系求出cos C ，再根据诱导公式以及两角和正弦公式求出sin B ，利用三角形面积公式计算即可． 【详解】〔1〕60A ∠=，37ca =，由正弦定理可得33sin sin 77C A ===〔2〕假设7a =，那么3c =，C A ∴<，22sin cos 1C C +=，又由()1可得13cos 14C =，()131sin sin sin cos cos sin 142B A C A C A C ∴=+=+=+=11sin 7322ABC S ac B ∆∴==⨯⨯= 【点睛】此题考察了正弦定理、两角和的正弦公式以及三角形的面积公式，属于根底题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：〔1〕知道两边和一边的对角，求另一边的对角〔一定要注意讨论钝角与锐角〕；〔2〕知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；〔3〕证明化简过程中边角互化；〔4〕求三角形外接圆半径.13.a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos sin 0a C C b c --=．〔1〕求A ．〔2〕假设2a =，ABC ，求b ，c ．【答案】(1)60A =︒；(2)2b c ==.【解析】 试题分析：〔1〕由题意利用正弦定理边化角可得()sinAcosC sinB sinC sin A C sinC =+=++，化简可得()1302sin A -︒=，那么60A =︒．〔2〕由题意结合三角形面积公式可得12Sbc sinA =⋅=4bc =，结合余弦定理计算可得4b c +=，那么2b c ==．试题解析：〔1〕∵在ABC 中，0acosC b c --=，利用正弦定理可得()sinAcosC sinB sinC sin A C sinC =+=++，化简可得31sinA cosA -=，即()1302sin A -︒=， ∴3030A -︒=︒， ∴60A =︒．〔2〕假设2a=，ABC 的面积为3，那么13324S bc sinA bc =⋅==， ∴4bc =， 又由余弦定理可得()2222234a b c bccosA b c bc =+-=+-=，∴4b c +=， 故2b c ==．14.ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍．(1)求sin sin B C； (2)假设AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．【答案】〔1〕12；〔2〕1 【解析】试题分析：〔1〕借助题设条件运用三角形的面积公式求解；〔2〕借助题设余弦定理立方程组求解. 试题解析： 〔1〕，1sin 2ACDS AC AD CAD ∆=⋅⋅∠， ∵2ABDACD S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，∴2AB AC =．由正弦定理可知sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠.〔2〕∵::2:1ABD ACD BD DCS S ∆∆==，DC =，∴BD =．设AC x =，那么2AB x =，在△ABD 与△ACD 中，由余弦定理可知，2222cos 2AD BD AB ADB AD BD +-∠==⋅22223cos 2xAD CD AC ADC AD CD -+-∠==⋅∵ADB ADC π∠+∠=，∴cos cos ADB ADC ∠=-∠，223x-=1x =，即1AC =．考点：三角形的面积公式正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用．。

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2021-2021届 高一下学期入学考试科目：数 学(答案解析)一、单项选择题〔每一小题5分，一共计60分〕答案解析：1．A 1111311131333222222224(())(())()()a a a a a a a a a =⋅⋅=⋅=⋅==.2．C 【解析】当0x >时，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，是单调减函数，又()01f =. 3．A 【解析】由α为第二象限角，那么22,2k k k Z ππαππ+<<+∈那么,422k k k Z παπππ+<<+∈当2,k n n =∈Z 时，22,422k k k Z παπππ+<<+∈，此时2α在第一象限. 当21,k n n Z =+∈时,5722,422k k k Z παπππ+<<+∈，此时2α在第三象限. 4．D 【解析】在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B=可得sin sin sin 13b B A a π===，又因为0B π<<，所以B =2π.5．C 【解析】根据条件，222||2a b a a b b +=+⋅+293||||13b b =-+=；∴解得，或者1-〔舍去〕．6.A【解析】由sin 5θ=，cos 5θ=，所以4sin 22sin cos 25θθθ=== ，223cos 22cos 12155θθ⎛⎫=-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，那么4sin 245tan 23cos 235θθθ=== . 7．D 【解析】正切函数在每个区间(,)()22k k k Z ππππ-++∈ 上是增函数;正切函数不会在某一区间内是减函数; 函数tan 23y x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭的周期22ππ= ;tan1384237tan143tan tan ︒=-<-=︒.8．B 【解析】找中间值：0.530.531,00.51,log 30a b c =><=<=<，可知c b a <<.9．D 【解析】由图象可知，1A =，函数()f x 周期为74=123πππ⎛⎫-⨯⎪⎝⎭，所以2ω=； 将7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭代入点()sin(2)f x x ϕ=+，得7sin 16πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭所以73262k k Z ππϕπ+=+∈，，又0ϕπ<< 所以3πϕ=，所以()sin 2=sin 236f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以要得到()sin 2g x x =只需将()f x 向右平移6π个长度单位.10．B 【解析】解：因为偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增， 所以()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，故x 越靠近y 轴，函数值越小，因为()121(3f x f -<），所以1213x -<，解得：1233x <<.11．B 【解析】设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-，1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=.12．C 【解析】由题意()()()sin ,sin cos cos ,sin cos x x xF x f x g x x x x ≤⎧=⊗=⎨>⎩， 由于sin y x =与cos y x =都是周期函数，且最小正周期都是2π，故只须在一个周期[0,2]π上考虑函数的值域即可，分别画出sin y x =与cos y x =的图象，如下图，观察图象可得：()F x 的值域为2[1,2-. 二、填空题〔每一小题5分，一共计20分〕13．2-【解析】∵()f x 是幂函数，∴251m m --=，∴260m m --=，解得2m =-或者3，当2m =-时，11+=-m ，1()f x x -=是奇函数，符合题意；当3m =时，14m +=，4()f x x =是偶函数，不符合题意，∴2m =-.14．4【解析】由余弦定理得：2222212cos 23223164c a b ab C ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，那么4c =.15．3【解析】分别作出x y 2=与2x y =的图像，在y 轴左边一个交点，y 轴右边两个交点.113cos(),cos()255sin sin 1cos cos ,sin sin ,tan tan .55cos 221cos αβαβαβαβαβαβαβ+=-=====16.【解析】将分别展开，再将两式进行加和减，可得到则三、解答题(请写出必要的解题过程，本大题一一共计6个小题，总分70分) 17．〔本小题一共10分〕〔1〕(){}26U A C B x x ⋂=≤<;〔2〕3m ≥或者6m ≤-. 【解析】〔1〕当1m =时，{}06A x x =<<，{}|12=-<<B x x{1U C B x x ∴=≤-或者}2x ≥(){}26U A C B x x ∴⋂=≤< ------5分〔2〕{}15A x m x m =-<<+，{}|12=-<<B x xA B =∅12m ∴-≥或者51m +≤-3m ∴≥或者6m ≤-．------10分18．〔本小题一共12分〕〔1〕2,4c或者()2,4c =--；〔2〕π.【解析】〔1〕设向量(),c x y =，因为()1,2a =，25c =，c a ∥，所以2252x y x y ⎧⎪+=⎨=⎪⎩24x y =⎧⎨=⎩，或者24x y =-⎧⎨=-⎩所以2,4c或者()2,4c =--； ------6分〔2〕因为2a b +与2a b -垂直，所以()()220a b a b +⋅-=，所以222420a a b a b b -⋅+⋅-=,而52b =，212a =+= 所以5253204a b ⨯+⋅-⨯=，得52a b ⋅=-，a 与b 的夹角为θ，所以52cos 15a b a bθ-⋅===-⋅⨯，因为[]0,θπ∈，所以θπ=. ------12分19．〔本小题一共12分〕〔1〕()222,00,02,0x x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪==⎨⎪⎪+>⎩；〔2〕证明见解析.【解析】〔1〕令0x >,那么0x -<,所以()()2222f x x x x x-=--+=---, 又由奇函数的性质可知()()f x f x -=-,∴0x >时,()22f x x x =+,故()222,00,02,0x x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪==⎨⎪⎪+>⎩. ------6分〔2〕()f x 在()0,1x ∈上单调递减.证明:任取1201x x ,那么()()2212121222f x f x x x x x -=-+- ()1212122x x x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭,∵1201x x ,故120x x -<,1202x x <+<,1222x x >, 那么121220x x x x +-<,故()()()1212121220f x f x x x x x x x ⎛⎫-=-+-> ⎪⎝⎭, 即()()12f x f x >,∴()f x 在()0,1x ∈上单调递减. ------12分20．〔本小题一共12分〕〔1〕证明见解析 〔2〕证明见解析【解析】解：〔1〕将a 角的顶点置于平面直角坐标系的原点，始边与x 轴的正半轴重合，设a 角终边一点P 〔非原点〕，其坐标为(),P x y.r OP ==∵()2a k k Z ππ≠+∈，∴0x ≠，222222222sin cos 1y x x y a a r r r ++=+==. ------6分 〔2〕由于cos sin 2a a π⎛⎫-=⎪⎝⎭，将a 换成2a π-后，就有cos sin 222a a πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦即sin cos 2a a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，sin cos 12tan 2sin tan cos 2a a a a a a πππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-=== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭. ------12分 21．〔本小题一共12分〕〔Ⅰ〕20.51212,016(){21210,16x x x f x x x -+-≤≤=-> ;〔Ⅱ〕12 .【解析】〔1〕由题意得()1210P x x =+∴()()()20.51212,016{21210,16x x x f x Q x P x x x -+-≤≤=-=-> . ------6分〔2〕当16x >时， 函数()f x 递减，∴()()1652f x f <=万元当016x ≤≤时，函数()()20.51260f x x =--+当12x =时，()f x 有最大值60万元所以，当工厂消费12百台时，可使利润最大为60万元 . ------12分22．〔本小题一共12分〕〔1〕对称轴23k x ππ=+，k Z ∈，单调减区间5,36k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭k Z ∈〔2〕3345- 【解析】 〔1〕由题意2()23cos 2cos 132cos 22sin 26f x x x x x x x π⎛⎫=-+=-=-⎪⎝⎭， 令()262x k k Z πππ-=+∈，解得()32k x k Z ππ=+∈， ∴函数()f x 的对称轴为()32k x k Z ππ=+∈. 令()322,2622x k k k Z πππππ⎛⎫-∈++∈ ⎪⎝⎭，解得()5,36ππk πk πZ x k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭+∈+， ∴函数()f x 的单调递减区间为()5,36ππk πk Z k π⎛⎫ ⎪⎝⎭+∈+. ------6分〔2〕由6()5f α=可得3sin 265πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又7312ππα<<，∴226ππαπ<-<，∴24cos 21sin 2665ππαα⎛⎫⎛⎫-=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴2sin 22sin 21266f πππααα⎛⎫⎛⎫+==-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2cos 2sin 6634122cos 2266552ππαπαπ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝=+=⨯⨯⨯=⎭. ------12分。

高一数学下学期开学考试试题含解析试题1

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智才艺州攀枝花市创界学校官渡区第一二零二零—二零二壹高一数学下学期开学考试试题〔含解析〕一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的． 1.假设集合{}2|60M x x x =--<，{}2|log 2N x x =<，那么M N ⋃=〔〕A.(]2,4- B.()0,3C.()2,4-D.[)2,4-【答案】C 【解析】 【分析】解不等式确定集合,M N ，再由并集定义计算． 【详解】由{}2|60{|23}M x x x x x =--<=-<<，{}2|log 2{|04}N x x x x =<=<<，∴{|24}MN x x =-<<．应选：C ．【点睛】此题考察集合的并集运算，解题关键是掌握解一元二次不等式，掌握对数函数的性质． 2.假设a ，b 是任意实数，且a >b ，那么以下不等式成立的是() A.a 2>b 2B.1b a< C.lg(a －b )>0D.11()()33a b < 【答案】D 【解析】【详解】试题分析：A 中1,2ab ==-不成立，B 中1,12a b =-=-不成立，C 中0,1a b ==-不成立，D 中由指数函数单调性可知是成立的 3.()()()1,2,2,3,3,4a b c ===.假设ka b +与c 一共线，那么实数k 的值是〔〕A.12-B.1710-C.1811-D.1-【答案】A 【解析】 【分析】 先由()()1,2,2,3,ab ==求出ka b +的坐标表示,再由ka b +与c 一共线,即可求出结果.【详解】因为()()1,2,2,3,a b ==所以()=2,23ka b k k +++,又()3,4c =,ka b +与c 一共线,所以()()242330k k +⨯-+⨯=,解得12k =-. 应选:A .【点睛】此题主要考察向量的坐标运算,熟记一共线向量定理即可,属于根底题型,难度较易. 4.假设11tan ,tan()32ααβ=+=,那么tan =β〔〕 A.17B.16C.57D.56【答案】A 【解析】试题分析：11tan()tan 123tan tan[()]111tan()tan 7123αβαβαβααβα-+-=+-===+++⨯，应选A. 考点：两角和与差的正切公式．5.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.〞其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了〔〕A.96里B.48里C.192里D.24里【答案】A 【解析】 【分析】根据题意,此人每天走的路程构成了公比12q=的等比数列,再根据求和公式列式求解即可. 【详解】由题意可知,此人每天走的路程构成了公比12q =的等比数列,设该数列为{}n a ,其前n 项和为n S那么有6161(1())2378112a S -==-,解得1192a =, 故2196a a q ==,应选:A.【点睛】此题考察了等比数列的相关知识,能读懂题识别该模型为等比数列是解题关键.6.cos 410πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，那么sin 2α=〔〕A.45B.25C.45±D.25±【答案】A 【解析】 【分析】由cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭可求得cos 22πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值,由于cos 2=sin 22παα⎛⎫+- ⎪⎝⎭即可解得所求.【详解】cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,24cos 2=2cos 1245ππαα⎛⎫⎛⎫∴++-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即4sin 25α-=-,所以4sin 25α=. 应选:A .【点睛】此题考察了二倍角的余弦公式,三角函数的诱导公式,考察了学生的计算才能,难度较易. 7.一海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处．在C 处有一座，海轮在A 处观察，其方向是南偏东70°，在B 处观察，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的间隔是()海里海里【答案】B 【解析】根据条件可知△ABC 中，AB ＝20，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝105°，所以∠C ＝45°，由正弦定理，有203045BC sin sin =︒︒，所以120BC ⨯=应选B. 8.函数2()(2)2(2)4f x a x a x =-+--的函数值恒小于零，那么实数a 的取值范围是〔〕A.(,2]-∞B.(,2)-∞-C.(2,2]-D.(2,2)-【答案】C 【解析】 当20a -=即2a =时，()40f x =-<恒成立，所以2a =符合题意；当20a -≠即2a≠时，因为函数值恒小于零，所以二次函数的图像开口向下，且和x 轴没交点，所以2204(2)16(2)0a a a -<⎧⎨∆=-+-<⎩，解得22a -<<．综上所述，22a -<≤．所以选C ． 【点睛】二次项系数含字母，而题中没说是二次函数，故对二次项系数是否为零讨论．是二次函数时，应结合二次函数的图像抛物线与x 轴的位置关系解决此题．二次不等式恒成立问题，注意三个二次的运用．9.函数()3()sin 42f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，下面结论错误的选项是〔〕A.函数()f x 的最小正周期为2π B.函数()f x 在区间0,16π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 C.函数()f x 的图象关于直线4x π=对称D.函数()f x 是偶函数 【答案】B 【解析】 【分析】函数3()sin 4cos 42f x x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭分别求出的周期、奇偶性、对称轴，可得A 、C 、D 都正确．【详解】对于函数3()sin 4cos 42f x x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，它的周期等于242ππ=，故A 正确．令4x π=，那么()cos 14f ππ==-，那么4x π=是()f x 的对称轴，故C 正确．由于()cos(4)cos 4()f x x x f x -=-==，故函数()f x 是偶函数，故D 正确．利用排除法可得B 错误； 应选：B ．【点睛】此题主要考察函数的图象变换规律，复合三角函数的周期性、单调性的应用，属于中档题． 10.假设函数()|3sin 4cos |f x x x m =++的最大值是8，那么m =〔〕A.3B.13C.3或者3-D.3-或者13【答案】C 【解析】利用辅助角公式化简，根据正弦的值域，分类讨论函数最大值即可. 【详解】()|3sin 4cos |f x x x m =++()|5sin()|f x x m ϕ∴=++， 55sin()5x ϕ-≤+≤,∴当0m >时，max ()|5|8f x m =+=,解得3m =， 当0m <时，max ()|5|8f x m =-+=，解得3m =-， 应选：C【点睛】此题主要考察了三角函数的辅助角公式，正弦函数的值域，分类讨论，属于中档题.11.函数()a f x x 的图象过点()4,2，令*1,(1)()n a n f n f n =∈++N .记数列{}n a 的前n 项和为n S ，那么2021S =〔〕11【答案】D 【解析】 【分析】由条件推导出n a =*n N ∈．由此利用裂项求和法能求出2021S ．【详解】解：由()42f =，可得42a=，解得12a =，那么12()f x x =.∴1(1)()na f n f n ===-++，【点睛】此题考察了函数的性质、数列的“裂项求和〞，考察了推理才能与计算才能，属于中档题． 12.定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，且在(0,)+∞上是增函数，不等式()()21f ax f +≤-对于[]1,2x ∈恒成立，那么a 的取值范围是A.3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B.11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C.1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.[]0,1【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在(),0-∞上是减函数，由此可将不等式化为121ax -≤+≤；利用别离变量法可得31a xx -≤≤-，求得3x -的最大值和1x-的最小值即可得到结果. 【详解】()()f x f x =-()f x ∴为定义在R 上的偶函数，图象关于y 轴对称又()f x 在()0,∞+上是增函数()f x ∴在(),0-∞上是减函数()()21f ax f +≤-21ax ∴+≤，即121ax -≤+≤121ax -≤+≤对于[]1,2x ∈恒成立31a xx∴-≤≤-在[]1,2上恒成立 312a ∴-≤≤-，即a 的取值范围为：3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦此题正确选项：A【点睛】此题考察利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是可以利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用别离变量法来处理恒成立问题.二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分．13.向量(0,2a =-，()1,3b =，那么向量a 在b 方向上的投影为_______．【答案】-3 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算求得向量的模和向量的数量积，由投影计算公式可得答案.【详解】因为(0,2a =-，()1,3b =，所以23a =，(212b =+=，(1+06a b ⋅=⨯-=-，所以向量a 在b 方向上的投影为632a b b⋅-==-， 故答案为：-3.【点睛】此题考察向量的坐标运算，向量的数量积的几何意义，属于根底题. 14.等差数列的前n 项和为n S ，且12130,0S S ><，那么使n S 获得最大值的n 为_______.【答案】6 【解析】 【分析】 由12130,0S S ><，根据等差数列的前n 项和公式，看出第七项小于0，第六项和第七项的和大于0，得到第六项大于0，这样前6项的和最大． 【详解】因为等差数列中，12130,0S S ><，所以()126713760,130S a a S a =+>=<，6770,0a a a ∴+><， 670,0a a ∴><，∴S n 到达最大值时对应的项数n 的值是6． 故答案为：6【点睛】此题主要考察了等差数列的性质，等差数列的前n 项和，属于容易题．15.0,0,lg 2lg8lg 2,x y xy >>+=那么113x y+的最小值是. 【答案】4 【解析】lg2x＋lg8y＝x lg2＋3y lg2＝lg2，∴x ＋3y ＝1，∴113x y ⎛⎫+⎪⎝⎭＝113x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭·(x ＋3y )＝2＋33y x x y +≥4，当且仅当x ＝12，y ＝16时取等号． 16.设4()42xxf x =+，那么1231920202020f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭________.【答案】192【解析】 【分析】 根据()(1)f x f x +-为定值，即采用分组求和方式求解.【详解】1144()(1)4242x xx xf x f x --+-=+++ 444214242442x x x x x +=+==++⋅+， 1231919202020202f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：192【点睛】此题主要考察了函数求值，分组求和，属于容易题.三、解答题：一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．其中第17题10分，第18-22题12分． 17.{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b=，39b =，11a b =，144a b =．〔1〕求{}n a 的通项公式；〔2〕设nn n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．【答案】〔1〕21n a n =-；〔2〕2312n n -+【解析】 【分析】 〔1〕设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，运用通项公式，可得3,2q d ==，进而得到所求通项公式； 〔2〕由〔1〕求得1(21)3n n n n c a b n -=+=-+，运用等差数列和等比数列的求和公式，即可得到数列{}n c 和．【详解】〔1〕设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，因为233,9b b ==，可得323b q b ==，所以2212333n n n n b b q ---==⋅=， 又由111441,27a b a b ====，所以1412141a a d -==-，所以数列{}n a 的通项公式为1(1)12(1)21n a a n d n n =+-⨯=+-=-．〔2〕由题意知1(21)3n n n n c a b n -=+=-+，那么数列{}n c 的前n 项和为12(121)1331[13(21)](1393)2132n n n n n n n -+---+++-+++++=+=+-． 【点睛】此题主要考察了等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题． 18.设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<.()06f π=.〔Ⅰ〕求ω；〔Ⅱ〕将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍〔纵坐标不变〕，再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值. 【答案】(Ⅰ)2ω=. (Ⅱ)32-. 【解析】试题分析：〔Ⅰ〕利用两角和与差的三角函数化简得到()y f x =)3x πω=- 由题设知()06f π=及03ω<<可得.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得())3f x x π=-从而()))4312g x x x πππ=+-=-. 根据3[,]44x ππ∈-得到2[,]1233x πππ-∈-，进一步求最小值. 试题解析：〔Ⅰ〕因为()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，所以1()sin cos cos 22f x x x x ωωω=-- 由题设知()06f π=， 所以63k ωπππ-=，k Z ∈. 故62k ω=+，k Z ∈，又03ω<<，所以2ω=.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得())3f x x π=-所以()))4312g x x x πππ=+-=- 因为3[,]44x ππ∈-， 所以2[,]1233x πππ-∈-， 当123x ππ-=-，即4πx =-时，()g x 获得最小值32-. 【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答此题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，此题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是无视设定角的范围.难度不大，能较好的考察考生的根本运算求解才能及复杂式子的变形才能等.19.向量a ，b 不一共线，且满足2a =，1b =，32c a b =-，2d a kb =+. 〔1〕假设c d ，务实数k 的值； 〔2〕假设2a b -=. ①求向量a 和b 夹角的余弦值；②当c d ⊥时，务实数k 的值．【答案】〔1〕43k=-；〔2〕①14，②44 【解析】【分析】 〔1〕两向量平行即一共线，利用一共线向量定理可求.〔2〕①利用向量夹角公式可得，②利用向量垂直定理可得.【详解】〔1〕c d ∥，且0c ≠. 令d c λ=，即2(32)a kba b λ+=-， 又a ，b 不一共线，所以232k λλ=⎧⎨=-⎩， 所以43k =-. 〔2〕①设a 与b 夹角为θ， 又，1b = ②c d ⊥，0c d ∴⋅=，又，1b =，12a b ∴⋅=. 44k ∴=.【点睛】考察向量的一共线，垂直和夹角公式.一共线向量定理：对空间任意两个向量,(0)a b b ≠，a ∥b ，存在实数λ使λa b ．夹角公式：cos =||||a b a b θ. 向量垂直：0ab a b ⊥⇔=. 20.在ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 所对的边，且1cos 2a cb C =+． 〔1〕求角B 的大小；〔2〕假设ABC S =b =，求a c +的值．【答案】〔1〕3π；〔2〕5． 【解析】【分析】 〔1〕由结合正弦定理可得，1sin sin sin cos 2A CBC =+，而()A B C π=-+，代入后利用两角和的正弦公式展开可求cos B ，进而可求B〔2〕由结合三角形的面积公式可求ac ，然后由余弦定理及完全平方公式计算可得.【详解】解：〔1〕由正弦定理，得1sinsin sin cos 2A C B C =+， 又因为()A B C π=-+，所以()sin sin A B C =+，可得1sin cos cos sin sin sin cos 2B C B CC B C +=+， 即1cos 2B=， 又()0,B π∈，所以3B π=．〔2〕因为ABC S =所以1sin 23ac π= 所以4ac =，由余弦定理可知222b a c ac =+-， 所以22()3131225a c b ac +=+=+=，即5a c +=．【点睛】此题主要考察了正弦定理、余弦定理及和差角公式及三角形的面积公式等在求解三角形中的应用，解题的关键是纯熟掌握根本公式，属于根底题.21.数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n S n n =+,*n N ∈,数列{}n b 满足24log 3n n a b =+，*n N ∈.(1)求n a 和n b 的通项公式；(2)求数列{n n a b ⋅}的前n 项和n T .【答案】〔1〕21nb n =-；〔2〕(45)25n n T n =-+ 【解析】试题分析：〔1〕求数列{}n a 的通项公式主要利用()()111{2n n n S n a S S n -==-≥求解，分情况求解后要验证1n =是否满足2n ≥的通项公式，将求得的{}n a 代入24log 3,n n a b =+整理即可得到n b 的通项公式；〔2〕整理数列{}n n a b ⋅的通项公式得()141?2n n n a b n -=-，根据特点采用错位相减法求和试题解析：〔1〕∵2*2,nS n n n N =+∈，∴当1n =时，113a S ==. 当2n ≥时，2212[2(1)(1)]41nn n a S S n n n n n -=-=+--+-=-. ∵1n =时，13a =满足上式，∴*41,n a n n N =-∈. 又∵*24log 3,n n a b n N =+∈，∴2414log 3n n b -=+，解得：12n n b -=.故41,n a n =-，12n n b -=，*n N ∈.〔2〕∵41,n a n =-，12n n b -=，*n N ∈∴1122n n n T a b a b a b =+++01213272(45)2(41)2n n n n --=⨯+⨯++-⨯+-⨯① 12123272(45)2(41)2n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯② 由①-②得：1213424242(41)2n n nT n --=+⨯+⨯++⨯--⨯ ∴(45)25n n T n =-⨯+，*n N ∈.【方法点睛】求数列{}n a 的通项公式主要利用11a S =，()12n n n a S S n -=-≥分情况求解后，验证1a 的值是否满足()12n n n a S S n -=-≥关系式，解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：其一，转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或者等比数列，这一思想方法往往通过通项分解〔即分组求和〕或者错位相减来完成，其二，不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和，此题中()141?2n n n a b n -=-，根据特点采用错位相减法求和22.函数2()(2)f x x m x m =+--，()()f x g x x=，且函数()2y f x =-是偶函数. 〔1〕求()g x 的解析式；〔2〕假设函数()()()22222log 49log 4y g x k x =++⋅-+恰好有三个零点，求k 的值及该函数的零点.【答案】〔1〕()64gx x x =-+；〔2〕6k =，零点为2,0,2-. 【解析】【分析】〔1〕由函数()2y f x =-是偶函数,得出()y f x =关于直线2x =-对称，求出m ，即可求出()g x 的解析式；〔2〕()()()22222log 49log 4y g x k x =++⋅-+为偶函数，恰好有三个零点，可得0x =为其零点，代入求出k 的值，令()22log 4,2tx t =+≥进而求出该函数的零点. 【详解】〔1〕函数()2y f x =-是偶函数，所以()(2)2f x f x --=-()y f x ∴=关于关于直线2x =-对称，222,6()462m m f x x x -∴-=-∴=∴=+-， ()64g x x x ∴=-+； 〔2〕设()()()22222()log 49log 4y h x g x k x ==++⋅-+ ()(),()h x h x h x -=∴为偶函数，()()()22222()log 49log 4h x g x k x =++⋅-+恰好有三个零点， 故必有一个零点为0，(0)(2)960h g k k ∴=+-=-=，6k =，令()22log 4,2t x t =+≥126()950y g t t t t=+-=+-=整理得， 2560t t -+=，解得2t =或者3t =，2t =得，0x =；3t =，即()222log 43,48,2x x x +=+=∴=±，∴所求函数的零点为2,0,2-.【点睛】此题考察函数的对称性、函数解析式，以及利用函数的性质求零点问题，考察计算才能，是一道较为综合的题.。

高一数学下学期入学考试试题统招班 试题

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卜人入州八九几市潮王学校横峰二零二零—二零二壹高一数学下学期入学考试试题〔统招班〕〔时间是：120分钟总分值是：150分〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，每一小题只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕1．在0到π2范围内，与角34π－终边一样的角是〔 〕 A ．6π B ．3πC ．32π D ．34π 2．假设,那么以下正确的选项是〔〕A. B.C.D.3．{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，假设844S S =，那么10a =〔〕〔A 〕172〔B 〕192〔C 〕10〔D 〕12 4．以下表达正确的选项是()A.三角形的内角是第一象限角或者第二象限角B.钝角一定是第二象限角C.第二象限角比第一象限角大D.不相等的角终边一定不同 5．等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,那么2a =〔〕6．设扇形的弧长为2，面积为2，那么扇形中心角的弧度数是〔〕 A.1B.4C.1或者4D.π 7．设n S是等差数列{}n a 的前n 项和,假设1353a a a ++=,那么5S =〔〕A ．5B ．7C ．9D ．118．设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩那么z=x+y 的最大值为〔〕A ．0B ．1C ．2D ．39．在数列{}n a 中，nn n a a a +=+221，对所有正整数n 都成立，且21=a ，那么=n a 〔〕A ．2nB ．232+nC ．n 2 D ．32+n 10．设点)2,(m P 是角α终边上一点，且22cos =α，那么m 的值是〔〕A.3± B.2± C.2D.11．设x 、1a 、2a 、y 成等差数列，x 、1b 、2b 、y 成等比数列，那么21221)(b b a a +的取值范围为〔〕A.)[∞+，4 B.][40，C.]()[∞+⋃∞，－，－44 D.]()[∞+⋃∞，，－4012．设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，那么a =〔〕 A ．5－B ．3C ．5－或者3D ．5或者3－二、填空题〔本大题有4个小题，每一小题5分，一共20分〕 13．0750sin =________．14．假设，，那么角在第象限．15．数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，假设126n S =，那么n =．16．正数x 、y 满足，且关于x 、y 不等式m m y x 3232->+有解，那么实数的取值范围.三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分；解答写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕 17．〔此题总分值是10分〕〔1〕计算：ππππ45cos 611sin )4cos(65sin+- 〔2〕化简：)cos()23cos()sin()2sin()2cos()2sin(πααπαπαπαπαπ--++-++- 18．〔本小题总分值是12分〕3kg,乙材料1kg,并且需要花费1天时间是；消费一件产品B 需要甲材料1kg,乙材料3kg,也需要1天时间是,消费一件产品A 的利润为1000元,消费一件产品B 的利润为20、乙材料各300kg,那么在不超过120天的条件下，求消费产品A 、产品B 的利润之和的最大值. 19．〔本小题总分值是12分〕记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，S 2=2，S 3=-6．〔1〕求{}n a 的通项公式；〔2〕求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列.20．(本小题总分值是12分)数列{}n a 的前n 项和32n n S n +=.〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕令11+=n n na ab ，求数列{}n b 的前n 项和n T .21．〔本小题总分值是12分〕假设,0,0>>b a 且ab ba =+11 〔I 〕求33b a+的最小值；〔II 〕是否存在b a ,，使得632=+b a ？并说明理由. 22．〔本小题总分值是12分〕正项等比数列{}n a 满足21=a ，3422a a a -=，数列{}n b 满足n n a b 2log 21+-=〔1〕求数列{}n n b a 的前n 项和n S ；〔2〕假设0<λ，且对所有的正整数n 都有nna b k >+-222λλ成立，务实数k 的取值范围.答案CDBBCAADCCDB12二6131<<m －17、解答：〔1〕22；——————————5分〔2〕1————————————————10分18、解：设消费A 款 x 台，B 款 y 台，利润总和为z ，那么，目的函数z=1000x+2000y ，________5分做出可行域如下列图：——————————8分将z=1000x+2000变形，得y=﹣x+，由图象可知，当直线经过点M 时，z 获得最大值． 解方程组，得M 的坐标为〔30，90〕．———10分所以当x=30，y=90时，z m a x =1000×30+2000×90=210000．故消费产品A 、产品B 的利润之和的最大值为210000元．--------12分〔1〕设{}n a 的公比为q ．由题设可得121(1)2(1)6a q a q q +=⎧⎨++=-⎩，解得2q=-，12a =-．——————————4分故{}n a 的通项公式为(2)n n a =-．————————————6分〔2〕由〔1〕可得11(1)22()1331n n n n a q S q +-==--+-．————————8分 由于3212142222()2[()]2313313n n n n n n n n S S S +++++-+=--++=-=-，————11分 故1n S +，n S ，2n S+成等差数列．———————————————12分20.解：〔1〕因为32n n S n +=，所以，当2≥n 时，有321nn S n -=-，———2分所以3233221n n n n n S S a n n n=--+=-=-〔2≥n 〕——————————4分把1=n 代入上式得1132S a ==———————————————5分 故对任意的正整数n 都有32na n =————————————6分〔注：少了2≥n 扣1分，没有检验1=n 也扣1分〕〔2〕由〔1〕可得)111(49)1(49+-=+=n n n n b n————————8分)1(49+=n nT n 〔裂项相消法〕————————————12分21、——————————————6分 〔注：等号成立时的条件，没写扣2分〕〔2〕由〔1〕知，23a b +≥≥.——————8分由于6>，————————————10分从而不存在a ，b ，使得236a b +=.————————12分 22.解：〔1〕由题意可得n na 2=，————————1分12-=n b n ，————————2分62)32(1+⋅-=+n n n S ，*N n ∈————————5分〔2〕先判断nn a b 的单调性，先增后减〔3≥n 时单减〕————7分求nn a b 最大值为43，当2=n 时获得——————————8分 所以0<λ时有43222>+-λλk 恒成立 10->k ————————————12分设x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥-0840201y x y x y ，且目的函数y ax z +=仅在点)(1,4处获得最大值，那么原点到直线017=+-y ax 的间隔d 的取值范围是．。

广西桂林高一下学期入学检测数学试题(解析版)

广西桂林高一下学期入学检测数学试题(解析版)

广西桂林示范性高中十二校联盟高一下学期入学检测数学试题一、单选题1．已知集合，，则集合中元素的个数是（ ）(){},|M x y y x =={}2|,R N y y x x ==∈M N ⋂A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A 【分析】分析两个集合中的元素，得两个集合的交集.【详解】集合表示直线上的点组成的集合，(){},M x y y x ==y x =集合表示大于或等于0的实数组成的集合， {}2,R N y y x x ==∈所以，中元素个数为0个.M N ⋂=∅M N ⋂故选：A.2．下列说法正确的是（ ）A ．“”是“”的充要条件；0ab =220a b +=B ．“”是“”的充分但不必要条件；N a ∈Z a ∈C ．“两个三角形全等”是“两个三角形相似”的必要但不充分条件；D ．“方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分但不必要条件是“()(1)0x a x a ---=”．10a -<<【答案】B【分析】由小范围能推出大范围，大范围不能推出小范围逐个分析每个选项.【详解】对于A 项，∵，，000或=⇒==ab a b 22000且+=⇒==a b a b ∴“”是“”的必要不充分条件，故A 项错误；0ab =220a b +=对于B 项，∵N 是Z 的真子集， ∴“”是“”的充分不必要条件，故B 项正确；N a ∈Z a ∈对于C 项，∵两个三角形全等一定相似，但相似不一定全等，∴“两个三角形全等”是“两个三角形相似”的充分不必要条件，故C 项错误；对于D 项，∵方程的根为或，()(1)0x a x a ---=x a =1x a =+又∵方程有一正一负根，∴，解得：，(1)0+<a a 10a -<<∴“方程有一个正实数根和一个负实数根”的充要条件是“”，故D 项错()(1)0x a x a ---=10a -<<误；故选：B.3．弧度换算为角度制是（ ）πA ．B ．C ．D ． 45︒90︒180︒360︒【答案】C【分析】根据弧度制、角度制的知识求得正确答案.【详解】弧度换算为角度制是.π180︒故选：C4．下列命题是真命题的是（ ）A ．若 ，则 ；B ．若 ，则 ； a b >22ac bc >,a b c d >>ac bd >C ．若 ，则 ；D ．若 ，则 ．a b >11a b<22ac bc >a b >【答案】D【分析】举反例排除A ，B ，C ，利用不等式的基本性质判断D.【详解】对于选项A ，当时，满足，但，故A 错误；1,2,0a b c =-=-=a b >22ac bc =对于选项B ， 当时，满足，但，故B 错误； 1,2,1,2a b c d =-=-=-=-,a b c d >>ac bd <对于选项C ， 当时，满足，但，故C 错误； 1,2a b ==-a b >11a b >对于选项D ，因为，所以，所以，则，故D 正22ac bc >()2220ac bc a b c -=->20,0a b c ->>a b >确.故选：D. 5．设，，，则（ ） 12log 3a =0.21()3b =132c =A ．B ．C ．D ．a b c <<c b a <<c<a<b b a c <<【答案】A 【分析】由指数函数、对数函数的单调性，并与0，1比较可得答案．【详解】由指数、对数函数的性质可知：，， 1122log 3log 10a =<=0.210()13b <=<1321c =>所以有.a b c <<故选：A ．【点睛】本题考查的是利用对数函数和指数函数单调性比较大小的知识，属于基础题.6．若，则函数的图象不经过（ ）1b a >>log ()a y x b =+A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】先判断函数的单调性，再根据函数平移性质，结合对数函数图像即可求解.【详解】，函数在上单调递增，图像过一、四象限，1b a >>∴log a y x =(0,)+∞又因为函数的图像是由函数的图像向左平移个单位长度得到， log ()a y x b =+log a y x =b 而，所以函数的图像不经过第四象限，1b >log ()a y x b =+故选：D7．函数是（ ） 12log ()y x =-A ．在上为增函数B ．在上为减函数C ．在上为增函数(0,)+∞(0,)+∞(,0)-∞D ．在上是减函数(,0)-∞【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，再结合合函数的单调性即可求解.【详解】由，即函数定义域为，故排除A 、B 选项； 0x ->0x <12log ()y x =-(),0∞-令，则， u x =-12log y u =因为在上单调递减，在上单调递减， u x =-(),0x ∞∈-12log y u =()0,u ∞∈+由复合函数的单调性可知，函数在上单调递增. 12log ()y x =-(),0x ∞∈-故选：C.8．从整数中任取两数，其中是对立事件的是（ ）①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数.A ．①B ．②④C ．③D ．①③【答案】C【分析】根据对立事件的定义判断即可.【详解】①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数是同一个事件，故不是对立事件；②至少有一个是奇数包含了两个都是奇数，故不是对立事件；③至少有一个是奇数包含了恰有一个是奇数和两个都是奇数，故与两个都是偶数是对立事件；④至少有一个奇数和至少有一个偶数中，都包含了一个奇数和一个偶数的结果，故不是对立事件.故选：C.9．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数表１，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19. 现用分层抽样的方法在全校抽取６４名学生，则应在初三年级抽取的学生人数为初一年级 初二年级 初三年级 女生373 x y 男生377 370 zA ．24B ．18C ．16D ．12【答案】C【详解】试题分析：由题意可知，因此三年级的总人数为，所以应0.19,3802000x x =∴=500y z +=在三年级抽取的学生人数为人，故选C. 50064162000⨯=【解析】分层抽样.10．函数的图象大致为（ ） 241x y x =+A ． B ．C ．D ．【答案】A 【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标()()241x f x f x x --==-+()f x 原点对称，选项CD 错误；当时，，选项B 错误. 1x =42011y ==>+故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 11．命题“对任意的，有”的否定是（ ） R x ∈101x <-A ．不存在，使 B ．存在， 使 R x ∈101x <-R x ∈101x≥-C ．存在，使D ．对任意的， R x ∈1x ≤R x ∈101x ≥-【答案】C【分析】解不等式，改命题的量词再否定结论可得命题的否定. 101x<-【详解】“对任意的，有”， x ∈R 101x <-即“对任意的，有”，x ∈R 1x >其否定为“存在，使”，x ∈R 1x ≤故选：C.12．设f(x)是连续的偶函数，且当x >0时f(x)是单调函数，则满足的所有x 之和为 3()4x f x f x +⎛⎫= ⎪+⎝⎭A ．B ．C ．D ．3-38-8【答案】C 【详解】试题分析：根据已知函数是连续的偶函数,且当时是单调函数，且有()f x 0x >()f x ，则说明而来，那么解方程可知满足方程的解求解得3()(4x f x f x +=+34x x x +=+33,44x x x x x x ++==-++到方程的根满足，那么结合韦达定理可知四个根的和为-8，故选C.22330,530x x x x +-=++=【解析】本试题考查了函数与方程的问题．点评：对于方程根的求解，要结合函数的偶函数性质的对称性质，以及函数的单调性来分析得到结论，属于基础题．二、多选题 13．角的终边上一点的坐标为P （3，4），则下列结论正确的有（ ）αA ． B ． C ． D ． sin α=35sin α=45cos α=354cos 5α=【答案】BC【分析】求点P 到坐标原点的距离，根据三角函数定义进而求得的三角函数值.α【详解】点P 到坐标原点的距离，5r ==所以，. 4sin 5α=3cos 5α=故选：BC.14．函数的零点所在区间是（ ） ()2532x f x x =-A ． B ． C ． D ．()01，(1,2)(1,0)-(2,3)【答案】BCD【分析】对于A ，结合图形可得时，； ()0,1x ∈2532x x >对于BCD ，由零点存在性定理可判断选项.【详解】对于A ，在同一坐标系下作出函数与函数的图像，结合图形可知3x y =252y x =()0,1x ∈时，，即在上无零点，故A 错误； 2532x x >()f x ()01，由题，可得函数图像为连续不断的曲线.()f x 对于B ，因，由零点存在性定理知函数在上有零点，故B 正确； ()()1102102f f =>=-<，(1,2)对于C ，因，由零点存在性定理知函数在上有零点，故()()13100106，f f -=-<=>(1,0)-C 正确； 对于D ，因，由零点存在性定理知函数在上有零点，故D 正()()9210302，f f =-<=>(2,3)确；故选：BCD 15．某校从参加高二年级学业水平测试的600名学生中抽出80名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示．由频率分布直方图估计这次测试数学成绩的众数、中位数、平均分和80%分位数求法正确的是（ ）A ．众数计算方法为：＝75． 70802+B ．中位数计算方法为：设中位数为x ，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3，0.3＋0.4＞0.5，因此中位数位于第四个矩形内，0.1＝0.03(－70)，从中解出就是中位数． x x C ．平均分计算方法为：×0.005×10＋×0.015×10＋×0.02×10＋×0.03×1040502+50260+60702+10802+＋×0.025×10＋×0.005×10 80902+901002+D ．80%分位数计算方法为： 0.80-0.4+0.380+100.25⨯（）【答案】ABCD【分析】频率分布直方图中众数估计值为最高的小矩形的中间值，中位数为分图形左右两边都为0.5的数，平均数为每个小矩形中间值与该矩形面积的乘积的和，80%分位数为分左右两侧面积分别为0.8，0.2的数，依次判断选项正误.【详解】根据频率分布直方图，众数为最高的小矩形的中间值，即，A 正确； 7080752+=中位数为分图形左右两边都为0.5的数，设中位数为x ，前三个矩形的面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3，因此中位数在第四个矩形内，列方程，解出x 为中位数，B 正0.50.40.03(70)x -=-确；平均数为每个小矩形中间值与该矩形面积的乘积的和，C 正确；前四个矩形的面积和为0.7，所以80%分位数位于第五个矩形内，80%分位数为()0.80.40.3800.025-++，D 正确；故选：ABCD.三、填空题16．函数的定义域是____________. ()1ln 1f x x x =+-【答案】. ()()0,11+，⋃∞【解析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.【详解】由题意得， 100x x -≠⎧⎨>⎩故答案为：.()()0,11,+∞ 【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.17．已知，求_______． ()21,02,0x x f x x x ⎧-≥=⎨+<⎩((1))f f -=【答案】0【分析】先求出，再求.()1f -()()1f f -【详解】，()1121f -=-+= .()()()110f f f ∴-==故答案为：0.18．计算_________．165log 25log 8= 【答案】 32【分析】分别化简两个对数式，在相乘.【详解】原式. 423525223log 5log 23log 5log 242=⨯=⨯⨯⨯=故答案为：. 3219．计算____________．22sin ()cos ()πθθ-+-=【答案】1【分析】诱导公式及同角三角函数的平方和关系化简.【详解】2222sin ()cos ()sin cos 1πθθθθ-+-=+=故答案为：1.20．已知x ，y 是正实数，且满足，则x +y 的最小值是__． 1431x y +=+【答案】2【分析】根据条件，由，结合基本不等式求解即可．11411(1)(131x y x y x y x y +=++-=+++-+【详解】解：因为，是正实数，且满足， x y 1431x y +=+则11411(1)()131x y x y x y x y +=++-=+++-+，1141(5)(512313y x x y +=+++-=+…当且仅当且，即，时取等号， 141y x x y +=+1431x y +=+1x =1y =所以的最小值为2．x y +故答案为：2．四、解答题21．设全集．{}{}23,|20,|log 7log 7x U R A x x x B x ==-->=<(1)求集合，；A B (2)求()U A B ð【答案】(1)或；；{1A x x =<-}2x >{}13B x x =<<(2)或(){U 1A B x x ⋂=<-ð}3x ≥【分析】（1）分别解两个集合中的不等式，得集合，；A B （2）由第（1）问结果运算即可.【详解】（1）由题，或，{1A x x =<-}2x >，所以， {}3|log 7log 7x B x =<7711log 3log x<又，且，7log 30>0x >1x ≠所以，即，.770log log 3x <<13x <<{}|13B x x =<<（2）由第（1）问，或U {|1B x x =≤ð3}x ≥所以或.{U ()1A B x x ⋂=<-ð}3x ≥22．已知函数．3()=+2,R f x x x x ∈(1)判断函数的奇偶性；()f x (2)用定义证明函数的单调性．()f x 【答案】(1)奇函数，证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）先分析函数的定义域，再分析与的关系，即可得答案；()f x ()f x -（2）利用函数单调性定义即可证得．【详解】（1）为奇函数，()f x 证明：函数，定义域关于原点对称，3()=+2,R f x x x x ∈又，所以函数为奇函数；3()(2)()f x x x f x -=-+=-()f x （2）任取，且，12,R x x ∈12x x <33312112212123()()(2)(2)()2()f x f x x x x x x x x x -=+-+=-+- 22221211221212213()(2)()224x x x x x x x x x x x ⎛⎫=-+++=-+++ ⎪⎝⎭⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦由，知，即12x x <12())0(f x f x <-12()()f x f x <则在R 上为增函数．()f x 23．今有甲、乙两支篮球队进行比赛，规定两队中有一队胜4场，则整个比赛宣告结束，假设甲、乙两队在每场比赛中获胜的概率都是，各场比赛没有平局且相互独立．12(1)求恰好打满4场整个比赛就结束的概率；(2)求甲队连胜4场整个比赛就结束的概率． 【答案】(1) 18(2)15128【分析】(1) 表示事件：甲队在第场比赛中获胜,由题意可知：，设i A (1,2,3,4,5,6,7)i i =1()2i P A =表示事件：恰好打满4场整个比赛就结束 A 则，代入对应的数据即可求解.()12341234()P A P A A A A A A A A =+；(2) 设表示事件：甲队连胜4场整个比赛就结束，则B ，然后代入数据即可求解. ()1234123451234561234567()P B P A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A =+++【详解】（1）设表示事件：甲队在第场比赛中获胜．则， i A (1,2,3,4,5,6,7)i i =1()2i P A =设表示事件：恰好打满4场整个比赛就结束 A 则 ()12341234()P A P A A A A A A A A =+= . 44111228⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）设表示事件：甲队连胜4场整个比赛就结束B 则 ()1234123451234561234567()P B P A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A =+++= 45671111152222128⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭24．已知函数．()()21，f x x g x x ==-(1)若，使，求实数b 的范围；R x ∃∈()()f x b g x <⋅(2)设，且在上单调递增，求实数m 的范围．()()()21F x f x mg x m m =-+--()F x []0,1【答案】(1) ()()04,∪,-∞+∞(2) )102,∪,⎡⎤⎡-+∞⎣⎦⎣【分析】对于（1），，， R x ∃∈()()20R ，f x b g x x x bx b <⋅⇔∃∈-+<即函数在x 轴下方有图像，据此可得答案；2y x bx b =-+对于（2），，分两种情况讨论得答案.()221F x x mx m =-+-00，∆≤∆>【详解】（1）由，，得. R x ∃∈()()f x b g x <⋅20R ，x x bx b ∃∈-+<则函数在x 轴下方有图像， 2y x bx b =-+故，解得或， ()240b b ∆=-->0b <4b >故实数b 的范围是；()()04,∪,-∞+∞（2）由题设得，()222251124m F x x mx m x m ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭得对称轴方程为，， 2m x =()2224154m m m ∆=--=-由于在上单调递增，则有：()F x []0,1①当即≤m时，在上单调递增，0∆≤x ∈R ()F x ,2m ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭则， 012,,m ⎡⎫⎡⎤⊆+∞⇒⎪⎢⎣⎦⎣⎭02m m ⎧≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩0m ≤≤②当Δ＞0即的解为：m <m >()0F x =，则.12x x ==0>12x x <当时，可知在上单调递增. x ∈R ()Fx )122,，,m x x ⎡⎤⎡+∞⎢⎥⎣⎣⎦i 若，则， m >02m >>[]1120,1,02mmx m ⎧≥⎪⎡⎤⊆⇒⎢⎥⎣⎦⎪>⎪⎩解得； 2m ≥ii 若，m <0m <-<则，解得. [][)200,1,x m ∞≤⊆+⇒⎪<⎪⎩1m -≤<综上所述，实数m 的范围是.)102,∪,⎡⎤⎡-+∞⎣⎦⎣25．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示，其市场售价与时间的函数关系式为；而西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．300,0200()2300,200300t t f t t t -≤≤⎧=⎨-<≤⎩(1)求出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q =；()g t (2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？ （注：市场售价和种植成本的单位：元/kg ，时间单位：天） 210【答案】(1)， ()()21150100200g t t =-+0300t ≤≤(2)从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大【分析】（1）由图设函数的解析式，代入已知点，解出解析式；（2）设收益，分别计算分段函数在每个区间的最大值，进行比较，得整个函数()()()h t f t g t =-的最大值.【详解】（1）由图二可设种植成本与时间的函数关系为，()()2150100g t a t =-+0300t ≤≤由图知点（50，150）在函数图像上，所以有 ，解得， ()2150********a =-+1200a =，. ()()21150100200g t t =-+0300t ≤≤（2）设时刻的纯收益为，则由题意得t ()h t ，()()()h t f t g t =-即()2211175,020020022171025,20030020022t t t h t t t t ⎧-++≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩当时，配方整理得0200t ≤≤， ()()2150100200h t t =--+所以，当=50时，取得区间上的最大值100； t ()h t []0,200当 时，配方整理得200300t <≤， ()()21350100200h t t =--+所以，当时，取得区间上的最大值87.5； 300t =()h t (]200,300综上，由100>87.5可知，在区间上可以取最大值100， ()h t []0,300此时，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．50t =26．某公司为了解用户对其产品的满意度，从，两地区分别随机调查了20个用户，得到用户A B对产品的满意度评分如下：A地区：6273819295857464537678869566977888827689B地区：7383625191465373648293486581745654756579(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的频率分布表．A地区用户满意度评分的频率分布表：宽度分组频数频率[)40,50[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100B地区用户满意度评分的频率分布表：宽度分组频数频率[)40,50[)50,60[)60,70[)70,80[]90,100(2)求40名用户对产品的满意度评分的中位数． m (3)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为二个等级： 满意度评分 不超过分 m 超过分 m 满意度等级 不满意满意已知A 地区用户满意度评分为不满意等级，B 地区用户满意度评分为满意等级．现从A 地区1A 1B 满意度评分为不满意等级和B 地区满意度评分为满意等级的用户中随机各抽取一个用户进行问卷调查，求用户和恰有一个被抽中的概率． 1A 1B 【答案】(1)填表见解析 (2)75.5 (3) 518【分析】（1）根据题意完成表格即可； （2）根据中位数的定义求解即可；（3）用列举法列出所有的基本事件，再利用古典概型的公式求解即可. 【详解】（1）A 地区用户满意度评分的频率分布表： 宽度分组频数 频率 [)40,500[)50,60 1 0.05[)60,70 3 0.15[)80,90 6 0.3[]90,100 4 0.2B 地区用户满意度评分的频率分布表： 宽度分组频数 频率 [)40,50 20.1[)50,60 4 0.2[)60,70 4 0.2[)70,80 5 0.25[)80,90 3 0.15[]90,100 2 0.1（2）40名用户对产品的满意度评分的中位数. 757675.52m +==（3）A 地区满意度评分为不满意等级的用户共有6户，记为，，，，，； 1A 2A 3A 4A 5A 6A B 地区满意度评分为满意等级的用户共有6户，记为，，，，，. 1B 2B 3B 4B 5B 6B 记A 表示事件：用户和恰有一个被抽中.则所有样本点是：1A 1B()11,A B ()12,A B ()13,A B ()14,A B ()15,A B ()16,A B ()21,A B ()22,A B ()23,A B ()24,A B ()25,A B ()26,A B()31,A B ()32,A B ()33,A B ()34,A B ()35,A B ()36,A B()41,A B ()42,A B ()43,A B ()44,A B ()45,A B ()46,A B()51,A B ()52,A B ()53,A B ()54,A B ()55,A B ()56,A B()61,A B ()62,A B ()63,A B ()64,A B ()65,A B ()66,A B 所以样本点总数有，36n =其中A 事件包含的样本点数为， 10m =所以. ()1053618m P A n ===27．已知函数．()()=e e R x xf x a x -+∈(1)当函数有两个零点时，求实数的取值范围；()3y f x =-a (2)若是偶函数，求使 恒成立的实数的取值范围．()f x ()()23+1m f x f x ⎡+⎤≥⎣⎦m 【答案】(1)90,4⎛⎫ ⎪⎝⎭(2) 3,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）令，将条件转化为在有两个零点，列出不e xt =()2239324g t t t a t a ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭()0,∞+等式组，求a 的取值范围；（2）由是偶函数得，令，将条件转化为在上恒成立，再令()f x 1a =e e x x t -=+21t 1t m +≥+[)2,t ∈+∞，将问题转化为求的最大值. 1s t =+122y s s=+-【详解】（1）令，则，e x t =0t >，()23030f x t t a -=⇔-+=所以题设等价于方程在有两个不等实数根，230-+=t t a ()0,∞+令，()2239324g t t t a t a ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭则， ()200300904g a a ⎧=-⨯+>⎪⎨-<⎪⎩解得的取值范围是.a 90,4⎛⎫⎪⎝⎭（2）因为是偶函数，()f x 所以，即，，()()f x f x -=e e e e x x x x a a --+=+()()1e e 0x xa ---=所以，1a =令，则，当且仅当时取等号， e e x x t -=+e e 2x x t -=+≥=0x =所以，，[)2,t ∈+∞()()22222=e e e e 22x x x x f x t --+=+-=-则，即， ()()()223+111m f x f x m t t ⎡+⎤≥⇔+≥+⎣⎦21t 1t m +≥+令，则1s t =+3s ≥()222112t 122112t s s y s s s s s+====+-+-++-因为函数在是增函数，22y s s=+-[)3,+∞所以函数在取得最大值，2112t 12t y s s+==++-3s =35所以的取值范围是.m 3,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题多次使用换元法简化问题，注意每次换元后新未知数的取值范围.。

河北省高一下学期开学考试数学试题(解析版)

河北省高一下学期开学考试数学试题(解析版)

一、单选题1．已知集合，，则（ ） {}1A x x =≥-{}3,2,1,0,1,2B =---()R A B = ðA ． B ． {3,2}--{3,2,1}---C ． D ．{0,1,2}{1,0,1,2}-【答案】A【分析】根据集合的运算法则计算．【详解】由题意，所以． {|1}R A x x =<-ð(){3,2}R A B =-- ð故选：A ．2．已知命题：关于的不等式的解集为，则命题的充要条件是（ ） p x 220x ax a -->R p A ． B ． 10a -<≤10a -<<C ． D ． 10a -≤≤1a >【答案】B【分析】根据一元二次不等式恒成立得即可.Δ0<【详解】关于的不等式的解集为，， x 220x ax a -->R 244010a a a ∆=+<⇒-<<故命题的充要条件是， p 10a -<<故选：B3．已知角 的终边经过点 ，则 的值为（ ）α()2,1P -3cos 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭A B C ．D ． 【答案】A【分析】根据三角函数的定义，求得，再结合诱导公式，得到，即可sin α3cos sin 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭求解.【详解】由题意，角的终边经过点，可得，α(2,1)P -=根据三角函数的定义，可得 sin α==又由3cos sin 2παα⎛⎫+==⎪⎝⎭故选：A.4．已知，则（ ）20.30.3,2,2a b c ===A ． B ．b c a <<b a c <<C ．D ．c a b <<a b c <<【答案】D【分析】先利用对数运算化简c ，在利用指数函数的单调性比较即可.【详解】解：因为，，，22c ==2000.30.31a <=<=00.3112222b =<=<=所以. a b c <<故选：D.5．若，则（ ） π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭5π2πsin cos 63αα⎛⎫⎛⎫--+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A ．0B ．C D 23【答案】B【分析】利用整体代换法与诱导公式化简求值即可. 【详解】依题意，令，则，，π6t α+=1sin 3t =5ππππ66t αα⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭2ππππ3262t αα+=++=+，所以. ()5π2ππ2sin cos sin πcos sin sin 2sin 6323t t t t t αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=--+=+== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：B.6．函数的零点所在的区间为（ ） 2()log 21f x x x =+-A ．B ．C ．D ．1(0,)2(1,2)11(,421(,1)2【答案】D【分析】先判断函数的单调性，然后再根据零点存在性定理，通过赋值，即可找到零点所在()f x 的区间，从而完成求解.【详解】函数可看成两个函数和组成，()2log 21f x x x =+-2log (0)y x x =＞21y x =-两函数在上，都是增函数， ()0+∞，故函数在上也是单调递增的， ()2log 21f x x x =+-()0+∞，所以，2111log 2111110222f ⎛⎫=+⨯-=-+-=- ⎪⎝⎭＜而，()21log 121102110f =+⨯-=+-=＞由零点存在性定理可得，函数零点所在区间为.()2log 21f x x x =+-1,12⎛⎫⎪⎝⎭故选：D.7．函数的图象大致是（ ） ()222x xx f x -=+A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性先排除，再利用特殊值排除选项，进而求解.B,D C 【详解】函数的定义域为，且，()222x x x f x -=+R 22()()()2222x x x x x x f x f x ----===++则函数为偶函数，故排除选项； ()f x B,D 又因为当时，，故排除选项， 0x >()0f x >C 故选：.A 8．已知函数，若为偶函数，在区间内单调，则()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()f x π7π,312⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值为（ ）ωA ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B【分析】根据为偶函数，可得直线为函数图像的一条对称轴，进而可得π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭π3x =()f x ，根据在区间内单调，可得，进而可求解. 13k ω=+()f x π7π,312⎛⎫⎪⎝⎭7πππ21234T ≥-=【详解】由于函数为偶函数，故直线为函数图像的一条对称轴，π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭π3x =()f x 所以，，则，， ππππ362k ω+=+Z k ∈13k ω=+Z k ∈又，即，解得， 7πππ21234T ≥-=ππ4ω≥04ω<≤又，，所以的最大值为4， 13k ω=+Z k ∈ω当时，在单调递增，满足要求， =4ωπ()sin 46f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭π7π,312⎛⎫⎪⎝⎭故的最大值为4. ω故选：B二、多选题9．已知函数下列说法正确的是（ ）()2sin(23f x x π=+A ．函数的图象关于点对称()y f x =(,0)3π-B ．函数的图象关于直线对称 ()y f x =512x π=-C ．函数在上单调递减 ()y f x =2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．图象右移个单位可得的图象()f x 6π2sin 2y x =【答案】BD【分析】根据正弦函数的对称性，可判定A 错误，B 正确；根据正弦函数的单调性，可判定C 错误；根据三角函数的图象变换，可判定D 正确.【详解】对于A 中，令，可得，3x π=-()2sin[2()2sin()03333f ππππ-=-+=-=≠所以不是函数的对称中心，所以A 错误；(,0)3π-()f x 对于B 中，令，可得， 512x π=-55()2sin[2()]2sin(2121232f ππππ-=-+=-=-所以函数关于对称，所以B 正确； ()f x 512x π=-对于C 中，当，则， 2,36x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦2[,0]3ππ+∈-x 根据正弦函数的单调性可知函数在已知区间上不单调，所以C 错误； 对于D 中，当向右平移个单位后可得，()f x 6π2sin[2(]2sin 263y x x ππ=-+=所以D 正确. 故选：BD.10．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．a +c >b +cB ．ac 2≥bc 2C ．D ．(a +b )(a -b )>020c a b >-【答案】AB【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，逐一判断作答. 【详解】对于A ，因a ，b ，c ∈R ，a >b ，则a +c >b +c ，A 正确； 对于B ，因c 2≥0，a >b ，则ac 2≥bc 2，B 正确；对于C ，当c =0时，，C 不正确；20c a b=-对于D ，当a =1，b =-1，满足a >b ，但(a +b )(a -b )=0，D 不正确． 故选：AB11．已知，，则下列结论正确的是（ ） ()0,πθ∈1sin cos 5θθ+=A ．B ．C ．D ． π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3cos 5θ=-3tan 4θ=-7sin cos 5θθ-=【答案】ABD【分析】由题意得，可得，根据的范围，可()21sin cos 12sin cos 25θθθθ+=+=242sin cos 25θθ=-θ得，的正负，即可判断A 的正误；求得的值，即可判断D 的正误，联立可求sin θcos θsin cos θθ-得，的值，即可判断B 的正误；根据同角三角函数的关系，可判断C 的正误，即可得答sin θcos θ案.【详解】因为， 1sin cos 5θθ+=所以，则， ()21sin cos 12sin cos 25θθθθ+=+=242sin cos 25θθ=-因为，所以，，()0,πθ∈sin 0θ>cos 0θ<所以，故A 正确；π,2θπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以， ()249sin cos 12sin cos 25θθθθ-=-=所以，故D 正确； 7sin cos 5θθ-=联立，可得，，故B 正确；1sin cos 57sin cos 5θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩4sin 5θ=3cos 5θ=-所以，故C 错误. sin 4tan cos 3θθθ==-故选：ABD.12．已知函数，若方程有四个不同的零点，它们从小到大依()21,04|ln 1,0x x x f x x x ⎧++<⎪=⎨⎪-⎩()(R)f x k k =∈次记为，则（ ） 1234,,,x x x x A ．B ．C ．D ．104k <<23e e x <<121x x +=-21234e 04x x x x <<【答案】ACD【分析】作出函数的图象，将零点问题转化为函数图像的交点问题，结合图像即可判断A ；结()f x合对数函数性质可判断B ；结合二次函数图象的性质可判断C ；结合对数函数性质以及基本不等式可判断D.【详解】画出函数的图像如下：()21,04|ln 1,0x x x f x x x ⎧++<⎪=⎨⎪-⎩要使方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为， ()(R)f x k k =∈1234,,,x x x x 转化为函数的图象与有四个不同的交点， ()f x y k =由图象，得，故A 正确； 104k <<当时，，则，故C 正确； 0x <21()4f x x x =++1212()12x x +=⨯-=-当时，令，即，解得，0e x <<1()4f x =11ln 4x -=34e x =，故B 错误； 343e e x ∴<<∵，，34ln 1ln 1x x -=-34e x x <<∴，即，则，341ln ln 1x x -=-4334ln ln 2ln x x x x ==+234e x x =又，， 120x x <<22121212121()()(()224x x x x x x x x --+=-⋅-<=-=∵，∴，故D 正确，120x x >21234e 04x x x x <<故选：ACD ．【点睛】方法点睛：将方程有四个不同的零点问题转化为函数的图象与有()(R)f x k k =∈()f x y k =四个不同的交点问题，数形结合，结合合基本不等式，即可解决问题.三、填空题 13．函数的定义域是__________. 1()lg(1)2f x x x=+--【答案】{|且} x 1x >2x ≠【分析】根据函数，由求解.1()lg(1)2f x x x =+--2010x x -≠⎧⎨->⎩【详解】因为函数， 1()lg(1)2f x x x=+--所以，2010x x -≠⎧⎨->⎩解得，21x x ≠⎧⎨>⎩所以函数的定义域是{|且}， 1()lg(1)2f x x x=+--x 1x >2x ≠故答案为：{|且}x 1x >2x ≠14．已知扇形的圆心角为，扇形的周长为，则扇形的面积为_______. 2rad 10cm 2cm 【答案】254【解析】首先设扇形弧长为，半径为，列方程求解，再利用扇形面积求解.l r 12S lr =【详解】设扇形弧长为，半径为， l r ，解得：， 2210l rl r ⎧=⎪⎨⎪+=⎩5, 2.5l r ==则扇形的面积. 12524S lr ==故答案为：254【点睛】本题考查扇形面积的求法，意在考查基本公式，属于简单题型. 15．若函数是R 上的奇函数，且周期为3，当时，，则()f x 302x <<()3xf x =()520232f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭______. 【答案】3【分析】根据奇偶性和周期性，得到，，从而求出答案. 5252f f⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()202313f f ==【详解】函数是R 上的奇函数，则， ()f x ()()f x f x -=-则， 2525f f⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又因为的周期为3，所以，()f x ()()3f x f x =+故，1255133222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，5252f f ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()20236743113f f f =⨯+==故.()5232023f f ⎛⎫+= ⎪⎭⎝故答案为：316．已知函数，函数在区间上有两个不同解，则a 的取值范围2()sin cos f x x x a =-+()f x ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭是___________． 【答案】()1,1-【分析】根据题意化简，利用换元法令，将函数转化为二次函数问题，求解即可.()f x cos t x =【详解】，，22()sin cos cos cos 1f x x x a x x a =-+=--++ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭令，则有,(]cos ,0,1t x t =∈()21f t t t a =--++根据对称性，函数在区间上有两个不同的解，()f x ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭等价于在区间有一个解，()21f t t t a =--++()0,1由于，对称轴为，()()21,0,1f t t t a t =--++∈12t =-故只需：，解得：.()()010110f a f a ⎧=+>⎪⎨=-<⎪⎩()1,1a ∈-故答案为：()1,1-四、解答题17．（1）化简：； ()()()()sin πcos πtan 2023π2023πsin tan 2ααααα+-+⎛⎫-- ⎪⎝⎭（2）求值：.41log 234(0.125)-++【答案】（1）；（2）5sin α【分析】（1）利用诱导公式计算可得；（2）根据对数的性质及指数幂的运算法则计算可得.【详解】解：（1）； ()()()()()()()()sin πcos πtan 2023πsin cos tan sin 2023πcos tan sin tan 2ααααααααααα+-+-⋅-⋅==-⋅-⎛⎫-- ⎪⎝⎭（2）41log 234(0.125)-++41143log 2148⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 114522=++=18．已知函数定义域为，集合. ()3lg 1x f x x -=-A {}22290B xx mx m =-+-≤∣(1)求集合；,A B (2)若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. x B ∈x A ∈m 【答案】(1)， ()(),13,A =-∞+∞ []3,3B m m =-+(2) ()(),26,-∞-⋃+∞【分析】（1）根据对数型函数的性质即可求解根据一元二次不等式即可求解, ,A B （2）将充分不必要条件转化成集合的真子集的关系即可求解. 【详解】（1）由题意知：，解得或. ()()303101x x x x ->⇔-->-3x >1x <集合.∴()(),13,A =-∞+∞ 对于集合B 满足：.()()2229330x mx m x m x m -+-=-+--≤又.[]333,3m m B m m -<+∴=-+（2）若是的充分不必要条件，则集合是的真子集， x B ∈x A ∈B A 由（1）知，只需满足或即可，解得或. 31m +<33m ->2m <-6m >综述，满足题意的的取值范围是.m ()(),26,-∞-⋃+∞19．函数的部分图象如图所示：π()sin()(0,0,||2f x A x A ωϕωϕ=+>><(1)求函数的解析式与单调递减区间； ()f x (2)求函数在上的值域．()f x [0,2π【答案】(1)，单调递减区间()2sin(2)4f x x π=+5,(Z)88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2) [2]【分析】（1）根据图像即可写出，再由图像过即可求出其周期，则可求出2A =30088ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，、，，在将点带入，则可求出.由在区间上2ω=08π⎛⎫- ⎪⎝⎭，()f x 4πϕ=sin y x =32,2,Z 22k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦单调递减，则可求出的单调递减区间.()f x（2）由. 52,sin 2()[[0,2]24444x x f x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫+∈⇒+∈⇒∈⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦∈⇒【详解】（1）观察图象得：，令函数的周期为T ，则， 2A =()f x 322,288T T ππππω⎛⎫=⨯+=== ⎪⎝⎭由得：，而，于是得，08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭22,Z 8k k πϕπ⎛⎫⨯-+=∈ ⎪⎝⎭||2ϕπ<0,4πϕ==k 所以函数的解析式是．()f x ()2sin(2)4f x x π=+由解得：， 3222,Z 242k x k k πππππ+≤+≤+∈5,Z 88k x k k ππππ+≤≤+∈所以的单调递减区间是．()f x 5,(Z)88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）由（1）知，当时，，则当，即时，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦52444x πππ≤+≤242x ππ+=8x π=max ()2f x =当，即时，5244x ππ+=2x π=min ()f x =所以函数在上的值域是．()f x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦[2]20．已知函数，且为奇函数．1()41x f x a =++()f x (1)判断函数的单调性并证明； ()f x (2)解不等式：． (21)(2)0f x f x -+->【答案】(1)函数单调递减，证明见解析 (2) (,1)-∞【分析】（1）根据奇函数的定义可求得参数a 的值，判断函数单调性，利用单调性定义可证明函数的单调性；（2）利用函数的奇偶性和单调性即可求解不等式. 【详解】（1）因为函数，定义域为R ，且为奇函数， 1()41xf x a =++()f x则，得， 01(0)041f a =+=+12a =-当时， 12a =-11(),412x f x =-+对于任意实数x ，， 1141()412412x x x f x --=-=-++∴，即当时，为奇函数； ()()()()0,f x f x f x f x -∴-=-+=12a =-()f x 为单调递减函数， 1142(1)x f x =-+证明：设，则 1212,,R x x x x <∈121211()()4141x x f x f x -=-++ ， 211244(41)(41)x x x x -=++，即，，121244,x x x x ∴<< 21440x x ->12410,410x x +>+>∴，()()12f x f x >即函数在定义域上单调递减；()f x （2）因为在定义域上单调递减且为奇函数，()f x ()f x 由不等式可得，(21)(2)0f x f x -+->()()()2122f x f x f x ->--=-+∴，212x x -<-+∴，即的解集为.1x <(21)(2)0f x f x -+->(,1)-∞21．如图所示，ABCD 是一块边长为4米的正方形铁皮，其中AMN 是一个半径为3米的扇形，已经被腐蚀不能使用，其余部分可以利用．工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一个长方形铁皮PQCR（其中P 在上，Q 、R 分别在边BC 和CD 上）．设，长方形PQCR 的面积为S 平方A MNMAP θ∠=米．(1)求S 关于的函数解析式，并求出S 的最大值；θ(2)若S 取最大值时，求的值．0θθ=0sin θ【答案】(1)，S 的最大值是4.()9sin cos 12sin cos 16S θθθθ=-++(2)0或1【分析】（1）利用，表达出矩形两边长，列出S 关于的函数解析式，换元后，利用二MAP θ∠=θ次函数求出最大值；（2）在第一问基础上，求出此时或，从而求出. 00θ=π20sin θ【详解】（1）延长RP 交AB 于点H ，则， 3sin ,3cos PH AH θθ==π0,2θ⎡⎤∈⎢⎣⎦所以，43sin ,43cos RP PQ BH θθ=-==-所以()()43sin 43cos S RP PQ θθ=⋅=--，()9sin cos 12sin cos 16θθθθ=-++令，则， sin cos t θθ+=21sin cos 2t θθ-⋅=其中， πsin cos 4t θθθ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭所以， 22299923947121612222232t t S t t t -⎛⎫=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭对称轴为，故当时，取得最大值，最大值为4 43t =1t =S（2）由（1）可知，此时或， 00θθ==π2当时，；00θ=0sin 0θ=当时，， 0π2θ=0sin 1θ=所以的值为0或10sin θ22．定义：若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增x ()()f x a f x +>a ()f x a 函数.(1)若，试判断是否为“1距”增函数，并说明理由；()2,R x f x x =∈()f x (2)若是“距”增函数，求的取值范围；()34,R f x x x x =-+∈a a (3)若，其中，且为“2距”增函数，求的最小值.()()22,1,x k x f x x ∞+=∈-+R k ∈()f x 【答案】(1)是“1距”增函数，理由见解析()f x (2)2a >(3)当时，，当时，.0k ≥()min ()1f x =20k -<<()24min()2k f x -=【分析】(1)根据定义检验即可；(2)由定义列不等式求的取值范围；a (3)由条件结合定义列不等式求的范围，再求函数的最值.k 【详解】（1）对任意的， ()()1R,12220x x x x f x f x +∈+-=-=>故是“1距”增函数；()f x （2），()()()()()3322()44331f x a f x x a x a x x a x ax a +-=+-++--+=++-又为“距”增函数，()f x a 所以恒成立，()223310a x ax a ++->因为，0a >所以恒成立，223310x ax a ++->所以，所以，故；()2291210a a ∆=--<24a >2a >（3）因为，()()22,1,x k x f x x ∞+=∈-+其中，且为“2距”增函数，R k ∈所以当时，恒成立，1x >-()()2f x f x +>增函数，2x y =()22(2)2x k x x k x ∴+++>+当时，，0x ≥()22(2)2x k x x kx +++>+即恒成立，4420x k ++>，解得，420k ∴+>2k >-当时，，10x -<<()22(2)2x k x x kx +++>-即恒成立，44220x kx k +++>所以，解得，()()120x k ++>2k >-所以.2k >-()22,1,2x k x f x x k +=>->-令，则. 0t x =≥()22tkt f x +=①当时，即时， 02k -≤0k ≥当时，0=t ()min 1f x ⎡⎤=⎣⎦②当时，即时， 02k ->20k -<<当时， 2k t =-()24min 2k f x -⎡⎤=⎣⎦综上，当时，0k ≥()min ()1f x =当时，20k -<<()24min ()2k f x -=【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.。

河北省高一下学期开学考试数学试题(解析版)

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一、单选题1．已知集合，则（ ） {}{}22,1,A x x B y y x x A =-≤≤==+∈∣∣A B = A ． B ．C ．D ．[]2,3-[]1,2-[]3,1-[]3,2-【答案】B【分析】根据给定条件，求出集合B ，再利用交集的定义求解作答.【详解】因为，， {}22A x x =-≤≤∣{}{}1,13B y y x x A y y ==+∈=-≤≤∣∣所以． []1,2A B ⋂=-故选：B.2．命题“所有的质数都是奇数”的否定是（ ） A ．所有的质数都不是奇数 B ．所有的质数都是偶数 C ．存在一个质数不是奇数 D ．存在一个奇数不是质数【答案】C【分析】根据给定条件，利用全称量词命题的否定直接求解作答.【详解】命题“所有的质数都是奇数”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以命题“所有的质数都是奇数”的否定是“存在一个质数不是奇数”. 故选：C.3．已知，则的值可能为（ ）()11sin ,cos 88ααβ=+=-βA ． B ．C ．D ．ππ2π2-3π2【答案】B【分析】利用角的变换，结合两角差的正弦公式求得，检验各选项即可.()βαβα=+-sin β【详解】由，得， ()11sin ,cos 88ααβ=+=-()cos in ααβ=+=而， ()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα⎡⎤=+-=+-+⎣⎦从而或， sin 1β=31sin 32β=-当时，只有B 符合；当时，四个选项均不符合. sin 1β=31sin 32β=-故答案为：B ．4．若，则（ ）0.11.922.1,sin2.1,log 2.1a b c =⨯==A ． B ．b<c<a c<a<bC ．D ．b ac <<a b c <<【答案】A【分析】根据对数函数和指数函数的单调性确定，根据三角函数有界性得到，得2,12a c ><<1b <到大小关系.【详解】因为，0.1021.9 1.9 1.922.12 2.12log 1.9log 2.1log 1.91sin2.1a c b =⨯>⨯==>=>=>=所以． b<c<a 故选：A5．“”是“”的（ ）πtan 104θ⎛⎫--= ⎪⎝⎭π2θ=A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】首先根据得到，即可得到答案.πtan 104θ⎛⎫--= ⎪⎝⎭ππ,2k k θ=+∈Z 【详解】由，可得，即．πtan 104θ⎛⎫--= ⎪⎝⎭πππ,44k k θ-=+∈Z ππ,2k k θ=+∈Z 故“”是“的必要不充分条件．πtan 104θ⎛⎫--= ⎪⎝⎭π2θ=故选：A6．已知幂函数的图象经过点，则的大致图象是（ ）()f x ()8,4()f x A ． B ．C ．D ．【答案】C【分析】先求出函数的解析式，再求出函数的定义域和奇偶性判断即可.【详解】设，因为的图象经过点，()f x x α=()f x ()8,4所以，即，解得，则 84α=3222α=23α=()23f x x ==因为，所以为偶函数，排除B 、D ， ()()f x f x -===()f x 因为的定义域为，排除A ．()f x R 因为在内单调递增，结合偶函数可得在内单调递减，故C 满足， ()23f x x =[)0,∞+()f x (],0-∞故选：C.7．已知函数在上的值域为，则（ ）()22sin3f x x =[],a b ⎡⎣b a -=A ．B ．C ．D ．π6π18π9π3【答案】C【分析】根据函数函数在上的值域为，可以分析出. ()22sin3f x x =[],a b ⎡⎣π333b a -=【详解】因为，所以．又因为的值域为，所以，则[],x a b ∈[]33,3x a b ∈()f x ⎡⎣π333b a -=． π9b a -=故选：C.8．已知奇函数的定义域为，若对任意的，当时，()f x []3,3-[]12,0,3x x ∈12x x <恒成立，则满足不等式的的取值范围为()()22112212x f x x f x x x ->-()()()3369af a a f a a +--<-a （ ）A ．B ．C ．D ．30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭33,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭3,32⎛⎤ ⎥⎝⎦3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】构造函数，由为奇函数得偶为函数，根据题意可得在()()2g x xf x x =-()f x ()g x ()g x 上单调递减，在上单调递增，又可化为，[]0,3[]3,0-()()()3369af a a f a a +--<-()()3g a g a <-从而列出不等式组求解即可.【详解】令函数．()()2g x xf x x =-因为为奇函数，则，()f x ()()f x f x -=-，所以为偶函数．()()()()()22g x xf x x xf x x g x -=----=-=()g x 因为对任意的，且恒成立，[]12,0,3x x ∈()()2212112212,x x x f x x f x x x ->-<即恒成立，所以在上单调递减，所以在上单调递()()22111222x f x x x f x x ->-()g x []0,3()g x []3,0-增．又因为，所以，即()()()3369af a a f a a +--<-()()()2233(3)af a a a f a a -<----，()()3g a g a <-所以，即，解得．333333a a a a ⎧-≤≤⎪-≤-≤⎨⎪>-⎩223303(3)a a a a -≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪>-⎩332a <≤故选：C ．二、多选题9．下列结论正确的是（ ） A ．与的终边相同 497- 2023 B ．若为第三象限角，则 2αtan 0α>C ．若，则为第一象限角 cos20α>αD ．若为第一象限角，则不可能为第二象限角 π4α+α【答案】AD【分析】由终边相同角的表示可判断A ；根据正切函数值在各象限的符号可判断B ；由cos20α>求得的范围可判断C ；由为第一象限角求得的范围可判断D.α4πα+α【详解】因为，所以与的终边相同，故A 正确； 20234973607=-+⨯ 497- 2023 若为第三象限角，则，得，所以2α3ππ2π22π,2k k k α+<<+∈Z ππ3ππ,24k k k α+<<+∈Z tan 0α<，故B 错误； 若，则，得，所以不一定是第cos20α>π2π22π,π22k k k α-+<<+∈Z ,ππππ44k k k α-+<<+∈Z α一象限角，故C 错误； 若为第一象限角，则，得，所以不π4α+π2π2π,42πk k k α<+<+∈Z 2π2π,ππ44k k k α-+<<+∈Z α可能为第二象限角，故D 正确． 故选：AD.10．若函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭（ ）A ．()43π3sin f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()π3sin 212f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象()f x π63sin 43πy x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．将的图象上所有点的横坐标都伸长到原来的2倍，得到函数的图象()f x 3sin 83πy x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】AC【分析】由图可知，由得，将点的坐标代入，结合求得3A =33π48T =4ω=5π,324⎛⎫⎪⎝⎭()f x π2ϕ<，从而得，即可判断A 、B ；根据三角函数图象的变换规律求得变换后π3ϕ=-()43π3sin f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的函数解析式可判断C 、D.【详解】由图可知，，解得．3A =332π5ππ3π442468T ω⎛⎫=⋅=--= ⎪⎝⎭4ω=将点的坐标代入中，可得，5π,324⎛⎫ ⎪⎝⎭()()sin f x A x ωϕ=+5π33sin 424ϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭则，因为，所以，得，故A 正确，B 错5π2π,62πk k ϕ+=+∈Z π2ϕ<π3ϕ=-()43π3sin f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭误；将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，故C 正()f x π63sin 43sin π6π3π43y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦确；将的图象上所有点的横坐标都伸长到原来的2倍，得到函数的图象，故D 错()f x π3sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭误． 故选：AC.11．设均为正数，且，则（ ） ,,a b c 22241a b c ++=A ．B ．当可能成立 221ab bc ca ++≤a >a b c ==C ． D ．12ab <22211194a b c++≥【答案】ACD【分析】利用基本不等式相关公式逐项分析即可求解.【详解】对于A ：因为，2222222,44,44a b ab b c bc c a ca +≥+≥+≥所以，()()22224222a b c ab bc ca ++≥++当且仅当 2a b c ===又，所以， 22241a b c ++=221ab bc ca ++≤所以A 选项正确；对于B ：若，则， a b c ==261a =因为为正数，所以 a a =所以B 选项错误；对于C ：由，且为正数， 22241a b c ++=c 得，则，即， 221a b +<21ab <12ab <所以C 选项正确； 对于D ：()222222222111111444a b c a b c a bc ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭，2222222222224433222944b a c a c b a b a c b c=++++++≥+++=当且仅当，2a b c ===22211194a b c ++≥所以D 选项正确． 故选：ACD. 12．已知函数，则（ ） ()31(21)42xf x x =+-+A ． ()()114f x f x --=B ．()()()()1009998991f f f f ++-+-=C ．的图象关于点对称()f x 11,24⎛⎫⎪⎝⎭D ．的图象与的图象关于直线对称 ()f x ()1f x -12x =【答案】BCD【分析】由特值法可判断A ；计算验证可判断C ；利用C 中结论可判断B ；由()()112f x f x +-=函数图象对称性的规律可判断D.【详解】因为，可知A 错误；()()711101066234f f --=--=-≠因为()()331111(21)(12)4242x x f x f x x x -+-=+-++-++，所以的图象关于点对称，故C 正()()111144214242422224224x x x x x x x-+=+=+==+++++()f x 11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭确；由C 中结论可知，又，则()()112f x f x +-=991100,98199-=--=-，所以，故B 正()()()()11009999982f f f f +-=+-=()()()()1100999899212f f f f ++-+-=⨯=确．的图象与的图象关于直线对称，故D 正确； ()f x ()1f x -12x =故选：BCD.三、填空题13．函数的定义域为__________．()f x =【答案】10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．2140sin 0x x ⎧-≥⎨≥⎩【详解】∵函数()f x =∴，得，解得，2140sin 0x x ⎧-≥⎨≥⎩11222ππ2πZx k x k k ⎧-≤≤⎪⎨⎪≤≤+∈⎩，102x ≤≤∴函数的定义域为．10,2⎡⎤⎢⎣⎦故答案为：．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．贝雕是海的绮丽与传统文化的结晶，具有贝壳的自然美､雕塑的技法美和国画的格调美，自古以来记载着人与海的故事，传达着人们对美好明天的向往．如图是一个贝雕工艺品，形状呈扇形，已知该扇形的半径为，面积为，则该扇形的弧长为__________．30cm 2300πcm cm【答案】20π【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式直接计算作答.【详解】设该扇形的弧长为，依题意，，解得，cm l 130300π2l ⨯⨯=20πl =所以该扇形的弧长为. 20πcm 故答案为：.20π15．写出一个满足且不是常数函数的函数：__________． ()()()f x f y f x y xy +=++()f x ()f x =【答案】（答案不唯一）()2log 1x +【分析】根据题意结合对数的按性质即可得解. 【详解】解：若，()()2log 1f x x =+则， ()()()()()()222log 1log 1log 1f x f y x y xy x y f xy x y +=+++=+++=++故符合题意的函数可以为.()()2log 1f x x =+故答案为：（答案不唯一，符合即可，其中且，其他满足条件的函()2log 1x +()log 1a x +0a >1a ≠数亦可）.四、双空题16．已知函数．若在上有三个零点()26cos 5sin ,f x a x x a =--∈R ()f x π3π,22⎛⎫ ⎪⎝⎭()123123,,x x x x x x <<，则__________，__________． =a 123sin sin sin x x x +-=【答案】6-【分析】将函数化简之后进行换元转化为，进而转化为()f x [)21,0,51t y t at ∈-=-+2510t at -+=在上有两个不同的根.[)1,0-【详解】．()()226cos 51cos 5cos cos 1f x a x x x a x =---=-+令，则．π3πcos ,22t x x ⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭[)21,0,51t y t at ∈-=-+因为在上有三个零点，()f x π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭123,,x x x 所以在上有两个不同的根，其中．2510t at -+=[)1,0-121,10t t =--<<因为，所以，方程有两解．510a ++=6a =-25610t t ++=11,5--由，得．11t =-22π,sin 0x x ==由，得．21cos 5t x ==-131cos cos 5x x ==-不妨设，13π3π,π,π,22x x ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则 13123sin sin sinx x x x x ==+-=故答案为：. 6-五、解答题17．已知． ()cos 2sin 0απα--=(1)若为第一象限角，求； αsin ,cos2αα(2)求的值．221sin cos 6sin cos αααα--【答案】(1)，；sin α=3cos25α=(2). 32【分析】（1）利用诱导公式及平方关系求出，再利用二倍角公式求解. sin α（2）由（1）求出，再利用齐次式法计算即可. tan α【详解】（1）因为， ()cos 2sin cos 2sin 0απααα--=-=所以，则.cos 2sin αα=222sin cos 5sin 1ααα+==因为为第一象限角，所以．αsin α=23cos212sin 5αα=-=（2）由（1）知，所以，cos 2sin 0αα-=1tan 2α=所以． 222222221111sin cos sin cos sin cos tan 1tan 34216sin cos 6sin cos 6tan 12614ααααααααααααα+--+-+-====---⨯-18．已知．192(0)xy x y+=>(1)证明：． 9xy …(2)求的最大值．4x y --【答案】(1)证明见解析 (2) 492-【分析】（1）由，且知，，由基本不等式即可证明；192x y +=0xy >0,0x y >>（2）由，利用乘“1”法和基本不等式进行求解．192x y +=【详解】（1）因为，且，所以，192x y+=0xy >0,0x y >>则，得． 19x y +≥2≤9xy ≥当且仅当，即时，等号成立． 19x y=1,9x y ==故得证．9xy ≥（2）由题意得， ()1191494413622y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫--=-++=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为， 4912y x x y +≥=所以， ()14914941363712222y x x y x y ⎛⎫--=-+++≤-+=- ⎪⎝⎭当且仅当，即时，等号成立， 49y x x y =721,24x y ==故的最大值为． 4x y --492-19．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称． ()f x 3x y =y x =(1)求在上的值域；()4f x -[]5,7(2)判断函数的奇偶性，并说明理由． ()()()38log 8g x f x x =--+【答案】(1)[]0,1(2)为奇函数，理由见解析 ()g x【分析】（1）根据函数的图象与函数的图象关于直线对称，求出解析式，利()f x 3x y =y x =()f x 用单调性求出其在上的值域；[]5,7（2）根据函数奇偶性定义判断其奇偶性.【详解】（1）由，可得，则， 3x y =3log x y =()3log f x x =因为在定义域内单调递增， ()()34log 4f x x -=-所以， ()min 3(4)54log 10f x f -=-==，()max 3(4)74log 31f x f -=-==故在上的值域为． ()4f x -[]5,7[]0,1（2）为奇函数． ()g x 理由如下：由（1）可得，， ()()()3338log 8log 8log 8xg x x x x -=--+=+因为的定义域为，关于原点对称， ()g x ()8,8-且，所以为奇函数． ()()3388log log 88x xg x g x x x +--==-=--++()g x 20．已知函数满足，且在上单调递减．()4cos (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭()()22f x f x +=-()f x 17,33⎛⎫⎪⎝⎭(1)求的单调递增区间；()f x(2)已知负数恒成立，求的最大值．a ()2cos 32cos 3a a a πωω⎛⎫-++ ⎪⎝⎭…a 【答案】(1)514,4,33k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z (2)83-【分析】（1）由题意可得，4为的一个周期，根据在上单调递减，可确定的()f x ()f x 17,33⎛⎫⎪⎝⎭()f x 最小正周期，从而可求，再利用余弦函数的单调性确定的单调递增区间；ω()f x（2恒成立，通过三角恒等变换转化为恒()π2cos 32cos 3a a a ωω⎛⎫-+≥+ ⎪⎝⎭ππ1cos 232a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭成立，再根据余弦函数的图象确定的取值范围，进而可求的最大值．ππ23a -a 【详解】（1）由题意可得，4为的一个周期，()f x 因为在上单调递减，所以的最小正周期，()f x 17,33⎛⎫⎪⎝⎭()f x 712433T ⎛⎫≥⨯-= ⎪⎝⎭所以的最小正周期为4，由，解得， ()f x 2π4T ω==π2=ω令，得， πππ2π2π,26k x k k -+≤-≤∈Z 5144,33k x k k -+≤≤+∈Z 所以的单调递增区间为；()f x 514,4,33k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z（2）由（1）知恒成立，π2=ω()π2cos 32cos 3a a a ωω⎛⎫-+≥+ ⎪⎝⎭所以πππππππ2cos 2cos 3cos 2623222a a a a a ⎛⎫⎛⎫--+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，即恒成立．ππππ6cos 6cos 32323a a ⎛⎫⎛⎫=-=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ1cos 232a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭所以，解得．ππππ2π2π,3233k a k k -+≤-≤+∈Z 444,3k a k k ≤≤+∈Z 令，得，则的最大值为．1k =-843a -≤≤-a 83-21．某商场计划在一个两面靠墙的角落规划一个三角形促销活动区域（即区域），地面形状ABC A 如图所示．已知已有两面墙的夹角为锐角，假设墙的可利用长度（单4π,ACB CBA ∠∠=,CA CB 位：米）足够长．(1)在中，若边上的高等于，求；ABC A BC 14BC sin CAB ∠(2)当的长度为6米时，求该活动区域面积的最大值． AB【答案】(2) 9+【分析】（1）过点作交于．设，则，， A AD BC ⊥BC D AD x =CD x =334BD BC x ==在中，求得，由计算即可得解；ABD △sin ,cos CBA CBA ∠∠()sin sin CAB CBA ACB ∠∠∠=+（2）设，则，，从而得出π02CBA ∠θθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭6cos BD θ=6sin CD AD θ==，利用三角恒等变换、辅助角公式及三角函数的性质即可得到答()16sin 6cos 6sin 2ABC S θθθ=⨯⨯+A 案．【详解】（1）过点作交于．A AD BC ⊥BC D设米，，则米，米． AD x =0x >CD x =334344BD BC x x ==⨯=在中，． ABD △sin CBA CBA ∠∠====故 ())sin sin sin cos CAB CBA ACB CBA CBA ∠∠∠∠∠=+=+==（2）设，则米，米，π02CBA ∠θθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭6cos BD θ=6sin CD AD θ==()()216sin 6cos 6sin 92sin cos 2sin 2ABC S θθθθθθ=⨯⨯+=+A ()9sin21cos29π24θθθ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭因为，所以，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3π2,44ππ4θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以，当时，该活动区域的面积取得最大值，最大值为 3π2,42π8πθθ-==9+22．已知函数．()221ln 234f x x ax a =-+-(1)设．4a =①判断在上的单调性，并用定义证明； ()f x ()0,∞+②判断在上是否存在零点． ()f x ()()1,0,0,1-(2)当时，讨论零点的个数．0a >()f x 【答案】(1)①在上单调递增，证明见解析；②在上不存在零点，在()f x ()0,∞+()f x ()1,0-()0,1上存在零点 (2)答案见解析【分析】（1）设得到，设，计算ln m x =()22e 4e 1x xf x =-+120x x <<，得到函数单调递增；再计算()()()()1212122e e e e 20x x x x f x f x -=-+-<，得到是否存在零点.()()()()100,010f f f f -><（2）令，则，题目转化为求的零点，考虑，和e x t =()0,t ∈+∞()221234g t t at a =-+-0∆>Δ0=三种情况，分别计算零点得到答案.Δ0<【详解】（1）若，则．令，则，得，4a =()2ln 241f x x x =-+ln m x =e m x =()22e 4e 1m mf m =-+所以．()22e 4e 1x xf x =-+①在上单调递增． ()f x ()0,∞+证明如下：设，120x x <<则．()()()()()1122121222122e 4e 12e 4e 12e e ee 2x x x x x xx x f x f x -=-+--+=-+-因为，所以，则， 121e e x x <<1212e e 0,e e 20x x x x <-+->()()120f x f x -<即，所以在上单调递增． ()()12f x f x <()f x ()0,∞+②根据①同理可得在上单调递减．()f x (),0∞-因为，()()22212221e e e24e e 12e 4e 10e e f ---++-+-=-+=<<()()002102e 4e 110,12e 4e 10f f =-+=-<=-+>故，则在上不存在零点，在上存在零点． ()()()()100,010f f f f -><()f x ()1,0-()0,1（2）令，则，e x t =()0,t ∈+∞故的零点个数即函数在上的零点个数．()f x ()221234g t t at a =-+-()0,∞+当时，0a >当，即在上没有零点．221Δ8304a a ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭a >()g t ()0,∞+当，即在上有1个零点．221Δ8304a a ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭a =()g t ()0,∞+当，即时，由，221Δ8304a a ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭0a <<()0g t =得 12t t ==，即，则在上有1个零点；0≤1200,0a t t ≤<≤>()g t ()0,∞+，即，则在上有2个零点．0>120,0a t t <<>>()g t ()0,∞+综上所述：当或有1个零点；0a <≤a =()f xf x当有2个零点；a<<()f x当没有零点．a>()【点睛】关键点睛：本题考查了函数的单调性和零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，根据的正负分和方程解的正负进行讨论是解题的关键，讨论的方法是常考∆内容，需要熟练掌握.。

陕西省西安市高一下学期开学考试数学试题(解析版)

陕西省西安市高一下学期开学考试数学试题(解析版)

高一数学试题一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 设集合或，，则集合（ ）{1M x x =≤}3x ≥{}2log 1N x x =≤M N ⋂=A. B.C.D.(],1-∞(]0,1[]1,2(],0-∞【答案】B 【解析】【分析】利用对数函数性质化简集合，再结合交集的运算求解即可. N 【详解】由题知，， {}{}2log 102N x x x x =≤=<≤又或，{1M x x =≤}3x ≥则，即. {}01M N x x ⋂=<≤(]0,1x ∈故选：B2. 把化为弧度为（ ） 50 A. B.C.D.50518π185π9000π【答案】B 【解析】【分析】根据角度与弧度的转化公式求解. 【详解】， 5505018018ππ=⨯=故选：B3. 若，且，则是 sin 0α<tan 0α>αA. 第一象限角 B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角【答案】C 【解析】【详解】，则的终边在三、四象限； 则的终边在三、一象限，sin 0α<αtan 0α>α，，同时满足，则的终边在三象限．sin 0α<tan 0α>α4. 已知幂函数的图象经过点，则（）()f x x α=()2,4()3f -=A.B. 3C.D. 93-9-【答案】D 【解析】【分析】根据已知点求出的解析式，将代入即可 ()f x 3-【详解】将代入解析式得：，所以，，所以()2,424α=2α=()2f x x =()39f -=故选：D5. “”是“为锐角”的（ ）cos 0A >A A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C .充分必要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】解：因为为锐角，所以，所以，所以“”是“为锐角”的必要条A 0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 0A >cos 0A >A 件；反之，当时，，但是不是锐角，所以“”是“为锐角”的非充分条件. 3,22A ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭cos 0A >A cos 0A >A 故“”是“为锐角”必要不充分条件. cos 0A >A 故选：B.【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，与角的余弦在各象限的正负，属于基础题. 6. 下列函数中，在定义域内既是单调函数，又是奇函数的是（ ） A .B. 13y x =5x y =C. D.2log y x =1y x -=【答案】A 【解析】【分析】根据解析式可直接判断出单调性和奇偶性.【详解】对于A ：为奇函数且在上单调递增，满足题意； 13y x =R 对于B ：为非奇非偶函数，不合题意； 5x y =对于C ：为非奇非偶函数，不合题意；2log y x =对于D ：在整个定义域内不具有单调性，不合题意. 1y x -=故选：A.7. 为了得到函数的图像,可以将函数的图像2sin(2)3y x π=-2sin 2y x =A. 向右平移个单位长度 6πB. 向右平移个单位长度 3πC. 向左平移个单位长度 6πD. 向左平移个单位长度3π【答案】A 【解析】【详解】试题分析：根据题意，令，解得，由图像平移知，需要将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像；故答案为A.考点：函数图像平移法则的应用.8. 设，，，则（ ） 0.1log 0.2a = 1.1log b =0.21.2c =A. B.C.D.b ac >>c b a >>c a b >>a c b >>【答案】C 【解析】【分析】根据对数函数和指数函数的单调性结合中间量法即可得解. 【详解】因为，0.10.10.10log 1log 0.2log 0.11a =<=<=，1.1 1.1log 0.2log 10b ==<，0.201.2 1.21c =>=所以. c a b >>故选：C.9. 已知点P (sin(－30°)，cos(－30°))在角θ的终边上，且θ∈[－2π，0)，则角θ的大小为（ ）A. B.3π-23πC. D. 23π-43π-【答案】D 【解析】【分析】结合特殊角的三角函数值，求出点P 的坐标，进而根据三角函数的定义即可求出结果. 【详解】因为P (sin(－30°)，cos(－30°))，所以P ，所以θ是第二象限角，且1(2-，又θ∈[－2π，0)，所以. tan θ==43πθ=-故选：D.10. 若，则等于（ ）2cos sin 0αα-=tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭A.B.C. D.13-133-3【答案】B 【解析】【分析】求出的值，利用两角差的正切公式可求得结果. tan α【详解】因为，则，故，2cos sin 0αα-=sin 2cos αα=tan 2α=因此，. tan tan2114tan 41231tan tan 4παπαπα--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+故选：B.11. 已知函数，则下列判断错误的是（ ） ()2cos 41f x x =+A. 为偶函数 B. 的图象关于直线对称()f x ()f x 4x π=C. 的值域为D. 的图象关于点对称()f x []1,3-()f x ,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】分别研究三角函数的奇偶性、对称性、值域即可.【详解】对于A 项，因为定义域为R ，，所以为偶()f x ()2cos(4)12cos 41()f x x x f x -=-+=+=()f x 函数，故A 项正确；对于B 项，令，，解得：，，当时，，所以图象关于直线4πx k =Z k ∈π4k x =Z k ∈1k =π4x =()f x 对称，故B 项正确； π4x =对于C 项，因为，所以，即：值域为，故C 项正确； 1cos 41x -≤≤12cos 413x -≤+≤()f x [1,3]-对于D 项，令，，解得：，，当时，，所以π4π2x k =-+Z k ∈ππ84k x =-+Z k ∈0k =π8x =-，所以图象关于点对称，故D 项错误.π()18f -=()f x π(,1)8-故选：D.12. 已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图像是()()()f x x a x b =--a b >()2xg x a b =+-（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】由二次函数图象可得，然后利用排除法结合指数函数的性质分析判断即可 01,12b a <<<<【详解】由函数（其中）的图象可得，()()()f x x a x b =--a b >01,12b a <<<<所以，所以排除BC ，()00210g a b b =+-=-<因为，所以为增函数，所以排除A ，12a <<()2xg x a b =+-故选：D二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 函数的定义域为___________________ tan 2y x =【答案】. 2,4k x x k Z ππ⎧⎫+≠∈⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】由正切函数的定义域得出，解出不等式可得出所求函数的定义域．tan y x =()22x k k Z ππ≠+∈【详解】由于正切函数为， tan y x =,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭解不等式，得， ()22x k k Z ππ≠+∈()24k x k Z ππ+≠∈因此，函数的定义域为， tan 2y x =2,4k x x k Z ππ⎧⎫+≠∈⎨⎬⎩⎭故答案为． 2,4k x x k Z ππ⎧⎫+≠∈⎨⎬⎩【点睛】本题考查正切型函数定义域的求解，解题时需结合正切函数的定义域列不等式进行计算，考查计算能力，属于中等题．14. 已知函数f (x )＝a x －3＋2的图像恒过定点A ，则A 的坐标为___________． 【答案】(3，3) 【解析】【分析】利用指数函数的性质a 0＝1，令 x －3＝0，即得解 【详解】由a 0＝1知，当x －3＝0，即x ＝3时，f （3）＝3， 即图像必过定点(3，3)． 故答案为：(3，3) 15. 已知一个扇形的面积为，半径为，则其圆心角为___________.3π2【答案】6π【解析】【分析】结合扇形的面积公式即可求出圆心角的大小.【详解】解：设圆心角为，半径为，则，由题意知，，解得， αr 2r =2114322r παα==⋅6πα=故答案为:6π16. 函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝________． 【答案】2或 12【解析】【分析】分a ＞1, 0＜a ＜1两种情况讨论,利用对数函数的单调性求解即可. 【详解】①当a ＞1时，y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)在[2，4]上为增函数， 所以有log a 4－log a 2＝1，解得a ＝2；②当0＜a ＜1时，y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)在[2，4]上为减函数， 所以有log a 2－log a 4＝1，解得a ＝, 12所以a ＝2或. 12故答案为：2或12【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性，分类讨论的思想，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 计算下列各式（式中分母均是正数）：（1）； 211511336622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）.()352log 24⨯【答案】（1）；4a （2）. 13【解析】【分析】（1）直接利用指数幂的运算法则计算化简得解； （2）直接利用对数的运算法则计算化简得解. 【小问1详解】原式.()()2111153262362634aba +-=⨯-÷-=⎡⎤⎣⎦【小问2详解】原式. 3522222log 2log 435log 435log 235213=+=+=+=+⨯=18. 求解下列问题：（1）已知，且，求的值；4cos 5α=-tan 0α>()()()π2sin πsin 2cos 2πcos αααα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭-+-（2）求值：. sin10sin 50sin 70︒︒︒【答案】（1） 54（2）18【解析】【分析】（1）根据诱导公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可； （2）根据诱导公式，给合正弦的二倍角公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为，且，则为第三象限角， 4cos 5α=-tan 0α>α故， 3sin 5α===-因此，. sin 3tan cos 4ααα==原式； 2sin cos 2sin cos 1315tan cos cos 2cos 2424αααααααα++===+=+=+【小问2详解】1sin 80sin10cos10cos 20cos 4018sin10sin 50sin 70sin10cos 40cos 20.cos10cos108︒︒︒︒︒︒︒︒=︒︒︒===︒︒19. 已知，是第四象限角，求，，的值.3sin 5α=-αsin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭tan 74πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】由平方关系以及商数关系求出，，再由两角差的正弦公式，两角和的余弦公式，两角差的正cos αtan α切公式求解即可.【详解】由，是第四象限角，得，3sin 5α=-α4cos 5α===所以. 3sin 35tan 4cos45ααα-===-于是有43sin sin cos cos sin 44455πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43cos cos cos sin sin 44455πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 3tan tan1tan 144tan 7341tan 1tan tan 144παπααπαα----⎛⎫-====- ⎪+⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了两角差的正弦公式，两角和的余弦公式，两角差的正切公式，属于中档题. 20. 已知函数. ()()111sin 222f x x x x =∈R （1）求的最小正周期； ()f x （2）求的单调递增区间； ()f x （3）若，求的值域. []0,x π∈()f x 【答案】（1）4π（2），54,433k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z （3） 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简函数可得，进而利用正弦型函数周期的计()1sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭算公式求解即可；（2）由（1）知，利用正弦函数的单调性即可求解；()1sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（3）由，可得，从而整体思想可知当时，函数取得最[]0,x π∈15,2336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦1232x ππ+=()f x 大值，最大值为；当时，函数取得最小值，最小值为，从而可得13f π⎛⎫=⎪⎝⎭15236x ππ+=()f x ()12f π=的值域.()f x 【小问1详解】由题意，函数， ()111111sin cos sin sin cos sin 222323223f x x x x x x ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭πππ根据正弦型函数周期的计算公式，可得函数的最小正周期为.()f x 24T ππω==【小问2详解】 由函数，()1sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭令，，解得，， 1222232k x k πππππ-+≤+≤+k ∈Z 54433k x k ππππ-+≤≤+k ∈Z 所以函数的单调递增区间为，.()f x 54,433k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z 【小问3详解】 由函数，()1sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭当，可得， []0,x π∈15,2336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦结合正弦型函数的性质得： 当时，即时，函数取得最大值，最大值为； 1232x ππ+=3x π=()f x 13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭当时，即时，函数取得最小值，最小值为.15236x ππ+=x π=()f x ()12f π=所以函数的值域为.()f x 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦21. 已知函数（且），且函数的图象过点． ()log a f x x =0a >1a ≠(2,1)（1）求函数的解析式；()f x（2）若成立，求实数m 的取值范围．()21f m m -<【答案】（1）；（2）.()2log f x x =(1,0)(1,2)- 【解析】【分析】(1)将点代入函数解析式，求出，可得的解析式；()3,1a ()f x (2)解对数不等式，结合函数的定义域，可求出实数的取值范围．x 【详解】(1)，解得，故函数的解析式()21,log 21a f =∴= 2a =()f x ()2log f x x =(2) 即，解得或 ()21f m m -<()2222log 1log 202m m m m -<=⇔<-<10m -<<12m <<故实数m 的取值范围是(1,0)(1,2)- 22. 已知函数的部分图象如图所示： ()()()sin 0,0,πf x A x A ωϕωϕ=+>><（1）求的解析式；()f x （2）将函数的图象作怎样的变换可得到函数的图象？sin y x =()f x 【答案】（1）； ()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）答案见解析【解析】【分析】(1)由图象可得，，从而可得，所以，再代入，2A =π22T =2ω=()()2sin 2f x x ϕ=+π,212⎛⎫- ⎪⎝⎭结合，可得，即可得函数的解析式； π<ϕ23ϕπ=(2) 方法一：先作平移变化，再作伸缩变化；方法二：先作伸缩变化，再作平移变化.【小问1详解】 解：由图可知，，， 2A =π5πππ212122T ω⎛⎫==--= ⎪⎝⎭解得，2ω=此时，因为函数图象过点， ()()2sin 2f x x ϕ=+π,212⎛⎫- ⎪⎝⎭所以， ππ2sin 2126f ϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，‘ ππ2π,Z 62k k ϕ-+=+∈所以， 2π2π,Z 3k k ϕ=+∈因为，解得， π<ϕ23ϕπ=所以； ()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭【小问2详解】解：方法一：先把的图象向左平移个单位，然后把图象上所有点的横坐标缩小为原来的倍sin y x =2π312（纵坐标不变），再把所得图象上所有点的纵坐标扩大为原来的2倍（横坐标不变），得到的图象； ()f x 方法二：先把的图象上所有点的横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变），然后把图象上所有点sin y x =12向左平移个单位，再把图象上所有点的纵坐标扩大为原来的2倍（横坐标不变），得到的图象. π3()f x。

高一数学下学期开学考试试题含解析

高一数学下学期开学考试试题含解析
8.在等差数列 中，若 ，则 =__________.
【答案】10
【解析】
因为 是等差数列，所以 ， 即 ，所以 ，故答案为 ．
9。 中， ， ， ，则 的面积为____.
【答案】
【解析】
【分析】
根据正弦定理,易得 的面积为 ，然后代入相关数据计算可得答案。
【详解】 在 中， ， ， ，
的面积为 ,
详解:(1)设｛an｝的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．
由a1=–7得d=2．
所以｛an｝的通项公式为an=2n–9．
（2）由（1)得Sn=n2–8n=(n–4）2–16．
所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．
点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件。
【分析】
利用正弦定理可得 ，结合三角形内角和定理与诱导公式可得 ，从而可得结果。
【详解】因为 ，
所以由正弦定理可得 ，
，
所以 ，所以是直角三角形。
【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题。 弦定理是解三角形的有力工具,其常见用法有以下几种:（1)知道两边和一边的对角，求另一边的对角(一定要注意讨论钝角与锐角);（2）知道两角与一个角的对边,求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
,
．
【点睛】本题考查了正弦定理、两角和的正弦公式以及三角形的面积公式，属于基础题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角(一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边,求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
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高一第二学期入学测试题
一、选择题：（将唯一正确的答案代号填写在表格里，每小题7分） 1．在用样本频率估计总体分布的过程中，下列说法正确的是 Ａ．总体容量越大，估计越精确 Ｂ．总体容量越小，估计越精确 Ｃ．样本容量越大，估计越精确 Ｄ．样本容量越小，估计越精确 2. 函数)3
2sin(π
-
=x y 的单调递增区间是（ ）
A ．⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡+
-
125,12
πππ
πk k Z k ∈ B ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
-
1252,12
2πππ
πk k Z k ∈ C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡
+-65,6ππππk k Z k ∈ D ．⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+-652,62ππππk k Z k ∈
3．阅读右面的流程图，若输入的a 、b 、c 分别是21、32、75，则输出的a 、b 、c 分别是（ ）
A ．75、21、32
B ．21、32、75
C ．32、21、75
D ．75、32、21 4．条件语句的一般形式如右所示，其中B 表示的是（ ）
A ．条件
B ．条件语句
C ．满足条件时执行的内容
D ．不满
足条件时执行的内容 5．从一批产品中取出三件，设A =“三件产品全不是次品”，B =
“三件产品全是次品”，C =“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是
A ．A 与C 互斥
B ．B 与
C 互斥C ．任两个均互斥
D ．任两个均不互斥
（2） （3
） （4） A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（2）（4） D ．（2）（3） 7．一个袋中装有
2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率是
A ．21
B ．31
C ．41
D ．5
2
二、填空题：（每小题7分）
if A
then B
else C
8. 已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半，则这个扇形的圆心角是________________. 9．已知},......,,{321n x x x x 的平均数为a ，则23 ..., ,23 ,2321+++n x x x 的平均数是_____。

10.已知角α的终边经过点P(-5,12),则sin α+2cos α的值为___ 三、解答题（30分）： 11（15分）.已知sin α
是方程06752
=--x x 的根，求2
33sin sin tan (2)22cos cos cot()22αππαπαππααπα⎛⎫⎛⎫--⋅-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫
-⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的值.
12（15分）．已知1000321++++= S ，设计算法流程图，输出S 。

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