【数学】4.1.1 圆的标准方程课件(人教A版必修2)1

2 2 ( x 2 ) ( y 3 ) 25 把 M1 (5,7)的坐标代入方程 得 9 16 25，即左右两边相等，点M 1 的坐标适合圆的方程，所以
点M 1 在这个圆上；
把点 M 2 ( 5 ,1)的坐标代入此方程得 13 4 5 21.9 25 ， 左右两边不相等，点M 2的坐标不适合圆的方程，所以点 M 2不在这 个圆上． 把点 M 3 (6,1) 的坐标代入此方程得16 16 32 25，左右两边 不相等，点M 3的坐标不适合圆的方程，所以点 M 3不在这个圆上．
2
2
.
x a 2 y b2 .

( x a ) 2 ( y b) 2 r
( x a) 2 ( y b) 2 r 2
圆的标准方程
( x a) ( y b) r
2 2 2
是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的 坐标的点都在圆上？
2
2
r2
点与圆的位置关系
那么例1.中的M 2 , M 3 与圆的的位置关系是？ 把点 M 2 5,1 所以点 M 2 在圆内．


的坐标代入方程得 13 4 5 21.9 25
把点 M 3 (6,1) 的坐标代入此方程得16 16 32 25，所以点 M 3 在圆外． y
( x a) ( y b) r
2 2
2
得： 整理得：
( x 0) ( y 0) r
2 2
2
x y r
2 2
2
典型例题
例1. 写出圆心为 A(2,3) ，半径长等于5的圆的方程，并 M 3 (6,1) 是否在这个圆上． M 2 ( 5,1) ， 判断点 M1 (5,7) ， 解：圆心是 A(2,3) ，半径长等于5的圆的标准方程是： x 22 y 32 25
(5 a) 2 (1 b) 2 r 2 2 2 2 (7 a) (3 b) r (2 a) 2 (8 b) 2 r 2
由 - 得
a 2 b 2 10a 2b 26 r 2 2 2 即有a b 14a 6b 58 r 2 a 2 b 2 4a 16b 68 r 2 a 2b 8 0 ④ ； 由-得 a b 1 0 ⑤
解：因此线段AB的垂直平分线 l 的方程是
'
1 1 3 y (x ) 2 3 2
即 x 3y 3 0 圆心C的坐标是方程组
x 3 y 3 0 x y 1 0
的解．
典型例题
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，且圆心C 在直线上l：x － y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程．
1 x 6 2
△ABC的外接圆的圆心O的坐
-10
因为B(7,-3)和C(2,-8) ，所以线段 BC的中点的坐标为(4.5,-5.5)，直 线BC的斜率 k BC 3 8 1
72
x 2 y 8 0 标是方程组 的解 x y 1 0
-12 -14
x 2
y 3 25
2
由例2可以总结得出：
求圆的标准方程的方法有两种：
（1）待定系数法 2 2 2 ( x a ) ( y b ) r 设：根据题意直接设所求圆的方程为 列：根据已知条件，列出关于 a, b, r 的方程组 解：解方程组，求出 a, b, r （2）几何法 从形的角度，根据题意直接求出圆心坐标和半径的长，再 写出圆的标准方程
x a y b
2
2
r2
即d
即d
x a 2 y b 2
x a 2 y b 2
r
r
点M x, y 在圆外——点到圆心的距离大于半径 r，
x a y b
2
2
r
2
x a y b
a 2, b 3 代入的 r 2 25
2 2
由⑤-④得 b 3 ，将其代入⑤得 a 2 ； 再将
a 2, 所以b 3, r 2 25.
所以， ABC的外接圆的方程 ( x 2) ( y 3) 25 ．
思考：还有其他的解法吗？（三角形的外接圆是三角形三边垂直平分线的交点）
x 3, 解： 解此方程组，得 y 2.
所以圆心C的坐标是 (3,2) 圆心为C的圆的半径长
r | AC | (1 3) 2 (1 2) 2 5
所以，圆心为C的圆的标准方程是
( x 3) 2 ( y 2) 2 25
解：因为A(1, 1)和B(2, －2)，所以线段AB的中点D的坐标
3 1 ( , ), 直线AB的斜率: 2 2
k AB
2 1 3 2 1
典型例题
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，且圆心C 在直线上l：x － y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程．
知识小结
圆的基本要素 圆的标准方程
圆心在原点的 圆的标准方程 判断点与圆 的位置关系 求圆的标准 方程
典型例题
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，且圆心C 在直线上l：x － y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程．
分析：已知道确定一个圆只需要确定圆心的位置与半径大 小．圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，由于圆心C与A, B 两点的距离相等，所以圆心C在线段AB的垂直平分线 l ' 上．又 ' 圆心C在直线l 上，因此圆心C是直线l与直线 l 的交点，半径 长等于|CA|或|CB|．
点与圆的位置关系 ：点在圆上，圆内，圆外 y
从上题知道，点的坐标使圆的方 程成立，则在这个圆上，反之如果不 成立则不在这个圆上． 点M x, y 在圆上——点到圆心的距离等于半径 r ， 即 d
o Aa, b
x
x a y b
2
2
r
点 M x, y 在圆内——点到圆心的距离小于半径 r，
符合条件的点的集合表示为： p M || MA | r
y r M (x, y)
A (a,b) O x
圆的方程
圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b)之间的距离能 用什么公式表示？
根据两点间距离公式：P 1P 2 则点M、A间的距离为：MA
即：
P M MA r
x2 x1 y2 y1
解得：
圆O的半径长：
r OA
-16 2 x y 3
即 O(2,-3)
2
因此线段BC的垂直平分线 l2 的方 程是：
即：
2 5
2
3 1 5
2
x y 1 0
y 5.5 1 x 4.5
所以，圆心为C的圆的标准方程是：
点M(x, y)是圆上任意一点，由前面讨论可知，圆上的点 都适合方程；反之，若点M(x, y)的坐标适合方程，这就说 明点 M在这个圆上．
把这个方程称为圆心为A(a, b)，半径长为r 的圆 的方程，把它叫做圆的标准方程（standard equation of circle）.
特殊位置的圆方程
圆心在坐标原点，半径长为r 的圆的方程是什么？ 因为圆心是原点O(0, 0)，将a＝0，b＝0和半径 r 带入圆的标准方程：
复习引入
我们，在平面直角坐标系中，两点确定一条 直线，一点和倾斜角也能确定一条直线． 在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？
确定一个圆最基本要素是圆心和半径．
什么是圆？
平面内到定点的距离等于定长的点的集合
y
O
x
引入新课
如图，在直角坐标系中，圆心（点）A的位置 用坐标 (a,b) 表示，半径r的大小等于圆上任意点 M(x, y)与圆心A (a,b) 的距离．
4
解法二：
因为A(5,1)和B(7,-3)，所以线段AB 的中点的坐标为(6,-1)，直线
-15 -10 -5
C
D B
AB的斜率 k AB
1 3 2 57
l1
-4
因此线段AB的垂直平分线 l1 的方 程是：
y 1
-6
-8
l2
即：
x 2y 8 0
M3
M2
o
A M1
x
典型例题
例2 ABC 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,－3)，
C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
解：设所求圆的方程是 ( x a) ( y b) r （1）
2 2 2
因为A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8) 都在圆上，所以它们的坐标都满足方 程（1）．于是