_抽象函数周期性证明_的11种类型

f
(x+
a)
=
1 f ( x)
(f
( x)
≠0 )
, 求证 :函数
y
= f ( x ) 是周期函数.
类型 4 若对于任意一个实数 x , 都有
f ( x + a) =
-
f
1 ( x)
(
f
(
x)
≠0) , 求证 :函数
y = f ( x ) 是周期函数.
类型 5 若对于任意一个实数 x 都有 :
①f ( x + a) = f ( - x + b) ; ②函数 y = f ( x )
(收稿日期 :2004 - 04 - 04)
注 类型 1～类型 4 ,函数满足特定的函 数方程时 ,函数是周期函数 ;类型 5～类型 8 , 函数同时具有奇偶性和对称性 , 函数具有周 期性 ;类型 9～类型 11 , 函数 f ( x ) 具有对称 性 (两个对称关系) , 函数具有周期性 , 另外 , 对于这一类型还可推广到三个及三个以上对 称关系时 ,函数仍具有周期性 ,有兴趣的同学 可举例验证.
+ b 是它的一个周期.
类型 8 :对于任意的实数 x 都有 f ( x +
a) = - f ( - x + b) , 将上式中的 x 以 x + b
代换可得 f [ x + ( a + b) ] = - f ( - x) =
- f ( x ) ,由本文类型 2 , 可得到 f [ x + 2 ( a +
b) ] = f ( x ) , 这表明 f ( x ) 是 R 上的周期函
数 ,且 2 ( a + b) 是它的一个周期.
类型 6 :对于任意的实数 x 都有 f ( x +
a) = f ( - x + b) , 将上式中的 x 以 x + b 代
换 ,可得 f [ x + ( a + b) ] = f ( - x ) = f ( x ) ,
理可得 , f (2 b + x ) = - f ( - x ) , 所以 f ( 2 a
+ x) = f (2 b + x) ,将此式中的 x 以 x - 2 b 代换 ,可得 f ( x + 2 a - 2 b) = f ( x ) , 这表明 f ( x ) 是 R 上的周期函数 ,且 2 ( a - b) 是它的 一个周期.
类型 11 :依题可知 , 将 ①式中的 x 以 x + a 代换 ,可得 f (2 a + x ) = f ( - x ) ,同理可 得 , f (2 b + x) = - f ( - x) ,所以 f (2 a + x) = - f (2 b + x) ,将此式中的 x 以 x - 2 b 代 换 ,可 得 f ( x + 2 a - 2 b) = - f ( x) , 所 以 f [ x + 4 ( a - b) ] = - f [ x + 2 ( a - b) ] = f ( x) ,这表明 f ( x) 是 R 上的周期函数 , 且 4 ( a - b) 是它的一个周期.
是奇函数 ,求证 :函数 y = f ( x ) 是周期函数.
类型 6 若对于任意一个实数 x 都有 :
①f ( x + a) = f ( - x + b) ; ②函数 y = f ( x )
是偶函数 ,求证 :函数 y = f ( x ) 是周期函数.
类型 7 若对于任意一个实数 x 都有 :
R 上的
周期函数 ,且 2 a 是它的一个周期.
类型 5 :对于任意的实数 x 都有 f ( x +
a) = f ( - x + b) , 将上式中的 x 以 x & + b) ] = f ( - x ) =
- f ( x ) ,由本文类型 2 , 可得到 f [ x + 2 ( a +
f
(
1 x+
a)
=
f
( x)
, 这表明 f
(
x) 是
R 上的周
期函数 ,且 2 a 是它的一个周期.
类型 4 : 依 题 意 可 知 , f ( x + 2 a) =
26
数 学 通 讯 2004 年第 18 期
-
1 f ( x + a)
=
f ( x) ,这表明 f ( x) 是
f (2 b + x ) ,将此式中的 x 以 x - 2 b 代换 , 可
得 f ( x + 2 a - 2 b) = f ( x ) ,这表明 f ( x ) 是 R
上的周期函数 ,且 2 ( a - b) 是它的一个周期.
类型 10 :依题意可知 , 将 ①式中的 x 以
x + a 代换 ,可得 f (2 a + x ) = - f ( - x ) , 同
类型 9 若对于任意一个实数 x 都有 : ①f ( x + a) = f ( - x + a) ; ②函数 y = f ( x + b) = f ( - x + b) , 求证 :函数 y = f ( x ) 是 周期函数.
类型 10 若对于任意一个实数 x 都有 : ①f ( x + a) = - f ( - x + a) ; ②函数 y = f ( x + b) = - f ( - x + b) 求 证 : 函 数 y = f ( x ) 是周期函数.
b) ] = f ( x ) , 这表明 f ( x ) 是 R 上的周期函
数 ,且2 ( a + b) 是它的一个周期.
类型 9 :依题意可知 , 将 ①式中的 x 以 x
+ a 代换 ,可得 f (2 a + x ) = f ( - x ) ,同理可
得 , f (2 b + x) = f ( - x) ,所以 f (2 a + x) =
①f ( x + a) = - f ( - x + b) ; ②函数 y =
f ( x ) 是奇函数 , 求证 :函数 y = f ( x ) 是周期
函数.
类型 8 若对于任意一个实数 x 都有 :
①f ( x + a) = - f ( - x + b) ; ②函数 y = f ( x ) 是偶函数 , 求证 :函数 y = f ( x ) 是周期 函数.
> 0. 类型 1 若对于任意一个实数 x , 都有
f ( x + a) = f ( x + b) , 求证 :函数 y = f ( x) 是周期函数.
类型 2 若对于任意一个实数 x , 都有 f ( x + a) = - f ( x ) ,求证 :函数 y = f ( x) 是 周期函数.
类型 3 若对于任意一个实数 x , 都有
这表明 f ( x ) 是 R 上的周期函数 , 且 a + b 是
它的一个周期.
类型 7 :对于任意的实数 x 都有 f ( x +
a) = - f ( - x + b) , 将上式中的 x 以 x + b
代换 , 可得 f [ x + ( a + b) ] = - f ( - x ) =
f ( x ) ,这表明 f ( x ) 是 R 上的周期函数 , 且 a
例 ( 2001 年全国高考 22 题) 设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数 , 其图象关于 x = 1 对称 ,证明 f ( x ) 是周期函数.
证明 ∵f ( x ) 关于直线 x = 1 对称 , ∴有 f ( x ) = f (1 + 1 - x ) ,即
f ( x ) = f (2 - x ) , x ∈R. 又因为函数 f ( x ) 在 R 上是偶函数 , 即 f ( - x ) = f ( x ) , x ∈R, ∴f ( - x ) = f ( - x + 2) , x ∈R. 将上式中的 - x 以 x 代换 , 得 f ( x ) = f ( x + 2) , x ∈R, 因此 , f ( x ) 是 R 上的周期 函数 ,且 2 是它的一个周期.
2004 年第 18 期 数 学 通 讯
25
“抽象函数周期性证明”的 11 种类型
刘 冰
(哈尔滨市师范大学附属中学 ,黑龙江 150080)
抽象函数的周期性的证明 , 是学习中的 重点和难点. 本文旨在扩大同学们知识面 ,攻 破其难点. 共 11 种类型.
记 f ( x) 是定义在 R 上的函数 , 且 a > b
类型 11 若对于任意一个实数 x 都有 : ①f ( x + a) = f ( - x + a) ; ②函数 y = f ( x + b) = - f ( - x + b) 求证 :函数 y = f ( x ) 是 周期函数.
下面是以上 11 个类型的证明过程. 证明 类型 1 :函数 f ( x ) 对于任意的实 数 x 都有 f ( x + a) = f ( x + b) , 将上式中的 x 以 x - b 代换 , 可得 f [ x + ( a - b) ] = f ( x ) ,这表明 f ( x ) 是 R 上的周的期函数 , 且 a - b 是它的一个周期. 类型 2 : 依 题 意 可 知 , f ( x + 2 a) = - f ( x + a) = f ( x) , 这表明 f ( x) 是 R 上的 周期函数 ,且 2 a 是它的一个周期. 类型 3 : 依 题 意 得 可 知 , f ( x + 2 a ) =