江苏省苏州市新区一中2016-2017学年高二上学期期中调研测试数学试题(解析版).doc
2016-2017学年江苏省苏州市高三(上)期中数学试卷-教师用卷
2016-2017学年江苏省苏州市高三（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={x|0≤x≤2}，B={x|−1<x≤1}，则A∩B=______ ．【答案】{x|0≤x≤1}【解析】解：∵集合A={x|0≤x≤2}，B={x|−1<x≤1}，∴A∩B={x|0≤x≤1}．故答案为：{x|0≤x≤1}．利用交集定义和不等式性质求解．本题考查交集的求法，是基础题，解时要认真审题，注意交集性质的合理运用．2.若命题p：∃x∈R，使x2+ax+1<0，则￢p：______ ．【答案】∀x∈R，使x2+ax+1≥0【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：∃x∈R，使x2+ax+1<0，则￢p：∀x∈R，使x2+ax+1≥0．故答案为：∀x∈R，使x2+ax+1≥0．求出函数的导数，由导数的几何意义代入x=π，计算即可得到所求切线的斜率．2本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，考查运算能力，属于基础题．5. 已知tan α=−43，则tan(α−π4)=______ ． 【答案】7【解析】解：∵tan α=−43，则tan(α−π4)=tan α−11+tan α=−43−11+(−43)=7，故答案为：7．利用两角差的正切公式求得要求式子的值．本题主要考查两角差的正切公式的应用，属于基础题．6. 已知等比数列{a n }的各项均为正数，且满足：a 1a 9=4，则数列{log 2a n }的前9项之和为______ ． 【答案】9【解析】解：∵a n >0，且a 1a 9=4， ∴a 52=a 1a 9=4，a 5=2．∴log 2a 1+log 2a 2+⋯+log 2a 9=log 2(a 1a 2…a 9)=log 2a 59=9log 2a 5=9log 22=9． 故答案为：9．本题考查对数的运算性质，考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题． f (x )=8x ，则f (−193)=______ ． 时，f (x )=8x ，，sin C =3sin B ，则A =______ ． a ，利用余弦定理表示出cos A ，将表示出的a ，c 及b 代入求出cos A 的值，即可确定出A 的度数．此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．9. 已知函数f (x )= x 2+x ,x ≤02x−1,x >0，若函数g (x )=f (x )−m 有三个零点，则实数m 的取值范围是______ ．【答案】(−14,0]【解析】解：由g (x )=f (x )−m =0得f (x )=m ， 若函数g (x )=f (x )−m 有三个零点，等价为函数f (x )与y =m 有三个不同的交点， 作出函数f (x )的图象如图：当x ≤0时，f (x )=x 2+x =(x +12)2−14≥−14， 若函数f (x )与y =m 有三个不同的交点， 则−14<m ≤0，即实数m 的取值范围是(−14,0]， 故答案为：(−14,0]．根据函数与零点的关系将函数转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与零点的应用，根据函数与方程的关系转化为两个函数的图象的交点问题，利用数形结．的图象向右平移23π个单位长度后，所得图象与原【答案】3【解析】解：∵函数y =sin(ωx +π3)的图象向右平移23π个单位后与原图象重合， ∴23π=n ×2πω，n ∈Z ，∴ω=3n，n∈Z，又∵ω>0，故其最小值是3．故答案为：3．函数y=sin(ωx+π3)的图象向右平移23π个单位后与原图象重合可判断出23π是周期的整数倍，由此求出ω的表达式，判断出它的最小值．本题考查由y=A sin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，本题判断出是周期的整数倍，是解题的关键，属于基础题．12.数列{a n}满足a n+1=a n(1−a n+1)，a1=1，数列{b n}满足：b n=a n a n+1，则数列{b n}的前10项和S10=______．【答案】1011【解析】解：由a n+1=a n(1−a n+1)得：1an+1−1a n=1，所以得到数列{1a n}是以1为首项，1为公差的等差数列，1 2−13+⋯+110−111=1−111=1011b n=a n a n+1，通项时要会对1n(n+1)进行变形．依次成等差数列且a2+c2=kb2，A−π6)+43，∵0<A<2π3，∴−π6<2A−π6<7π6，∴−12<sin(2A−π6)≤1，∴1<23sin(2A−π6)+43≤2，∴实数k的取值范围是(1,2]．故答案为：(1,2]．利用角A、B、C成等差数列B=π3，利用a2+c2=kb2，可得k=23sin(2A−π6)+43，即可利用正弦函数的性质求得实数k的取值范围．本题考查等差数列的性质，考查正弦定理，考查辅助角公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14.已知函数f(x)=x−a(x+a)，若对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f(x2)<f(x1)，则满足条件的实数a 的取值范围是______ ．【答案】a≥0【解析】解：对于定义域内的任意x1总存在x2使得f(x2)<f(x1)，即为f(x)在定义域内无最小值；①a=0时，f(x)=1无最小值显然成立；的导数为上递减，在(−a,3a)上递增，在(3a,+∞)递f(x1)；上递减，即有f(x)在x=3a处取得处无最小值；讨论a=0，a>0，二、解答题（本大题共12小题，共154.0分）15.已知函数f(x)=3x+λ⋅3−x(λ∈R)．(1)若f(x)为奇函数，求λ的值和此时不等式f(x)>1的解集；(2)若不等式f(x)≤6对x∈[0,2]恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】解：(1)∵f(x)=3x+λ⋅3−x为奇函数，∴f(−x)+f(x)=3−x+λ⋅3x+3x+λ⋅3−x=(3x+3−x)+λ(3x+3−x)=(λ+1)(3x+3−x)=0，∵3x+3−x>0，∴λ+1=0，即λ=−1．此时f(x)=3x−3−x，由f(x)>1，得3x−3−x>1，即(3x)2−3x−1>0，解得：3x<1−52(舍)，或3x>1+52，即x>log31+52．∴不等式f(x)>1的解集为(log31+52,+∞)；(2)由f(x)≤6得3x+λ3−x≤6，即3x+λ3≤6，令t=3x∈[1,9]，原不等式等价于t+λt≤6在t∈[1,9]上恒成立，亦即λ≤6t−t2在t∈[1,9]上恒成立，令g(t)=6t−t2，t∈[1,9]，f(x)>1求得3x的范围，进一步求t2在t∈[1,9]上恒成立，令的等差中项，62成立的正整数n的最小值．n12nn×2n)①则2S n=−(1×22+2×23+⋯+n×2n+1)②②−①，得S n=(2+22+⋯+2n)−n⋅2n+1=2n+1−2−n⋅2n+1即数列{b n}的前项和S n=2n+1−2−n⋅2n+1…(10分)则S n+n⋅2n+1=2n+1−2>62，所以n>5，即n的最小值为6.…(12分)【解析】(I)由题意，得a1q+a1q2+a1q3=28a1q+a1q3=2(a1q2+2)，由此能求出数列{a n}的通项公式．(Ⅱ)b n=a n log12a n=2n⋅log122n=−n⋅2n，Sn=b1+b2+⋯+b n=−(1×2+2×22+⋯+n×2n)，所以数列{b n}的前项和S n=2n+1−2−n⋅2n+1，使S n+n⋅2n+1>62成立的正整数n的最小值．本题考查数列的性质的应用，解题时要认真审题，注意数列与不等式的综合运用，合理地进行等价转化．17.已知函数f(x)=2sin(x+π3)⋅cos x．(1)若0≤x≤π2，求函数f(x)的值域；(2)设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A为锐角且f(求cos(A−B)的值．【答案】解：(1)f(x)=2sin(x+π3)⋅cos x3cos解得a=7；…(10分)由正弦定理asin A =bsin B，得sin B=b sin Aa=217，…(12分)∵b<a，∴B<A，∴cos B=277，∴cos(A−B)=cos A cos B+sin A sin B=12×277+32×217=5714.…(15分)【解析】(1)利用三角恒等变换化简f(x)，根据x的取值范围即可求出函数f(x)的值域；(2)由f(A)的值求出角A的大小，再利用余弦定理和正弦定理，即可求出cos(A−B)的值．本题考查了三角恒等变换以及正弦、余弦定理的应用问题，是综合性题目．18.如图，有一块平行四边形绿地ABCD，经测量BC=2百米，CD=1百米，∠BCD=120∘，拟过线段BC上一点E设计一条直路EF(点F在四边形ABCD的边上，不计路的宽度)，将绿地分为面积之比为1：3的左右两部分，分别种植不同的花卉，设EC=x百米，EF=y百米．(1)当点F与点D重合时，试确定点E的位置；(2)试求x的值，使路EF的长度y最短．=1−2x，∠EGF=60∘，GF=2x−1，∠EGF=120∘，【解析】(1)当点F与点D重合时，S△CDE=14S平行四边形ABCD=34，即S△CDE=12CE⋅CD⋅sin120∘=34x=34⇒x=1，从而确定点E的位置；(2)分类讨论，确定y关于x的函数关系式，利用配方法求最值．本题考查了函数在实际问题中的应用及二次函数的性质应用，属于中档题．19. 已知数列{a n }的前n 项和为A n ，对任意n ∈N ∗满足An +1n +1−A n n=12，且a 1=1，数列{b n }满足b n +2−2b n +1+b n =0(n ∈N ∗)，b 3=5，其前9项和为63．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)令c n =b n a n+anb n，数列{c n }的前n 项和为T n ，若对任意正整数n ，都有T n ≥2n +a ，求实数a 的取值范围；(3)将数列{a n }，{b n }的项按照“当n 为奇数时，a n 放在前面；当n 为偶数时，b n 放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列：a 1，b 1，b 2，a 2，a 3，b 3，b 4，a 4，a 5，b 5，b 6，…，求这个新数列的前n 项和S n ． 【答案】解：(1)∵A n +1n +1−A n n =12，∴数列{A n n }是首项为1，公差为12的等差数列， ∴A n n=A 1+(n −1)×12=12n +12，即A n =n (n +1)2(n ∈N ∗)，+12−1n +1−1n +2)=2n +3− (3)数列{a n }的前n 项和A n =n (n +1)2，数列{b n }的前n 项和B n =n (n +5)2．①当n =2k (k ∈N ∗)时，S n =A k +B k =k (k +1)2+k (k +5)2=k 2+3k ；②当n =4k +1(k ∈N ∗)时，S n =A 2k +1+B 2k =(2k +1)(2k +2)2+2k (2k +5)2=4k 2+8k +1，特别地，当n=1时，S1=1也符合上式；③当n=4k−1(k∈N∗)时，S n=A2k−1+B2k=(2k−1)2k2+2k(2k+5)2=4k2+4k．综上：S n=14n2+32n,n=2kn2+6n−34,n=4k−32，k∈N∗…(16分)，即不等式2a≤1x3+3x在x∈[1,2]上有解，…(4分)设y=1x3+3x=3x2+1x3(x∈[1,2])，∵y′=−3x2−3x4<0对x∈[1,2]恒成立，∴y=1x3+3x在x∈[1,2]上单调递减，∴当x=1时，y=1x3+3x的最大值为4，∴2a≤4，即a≤2…(7分)(3)由(1)知，f(x)在(0,+∞)上的最小值为f(2a )=1−4a2，①当1−4a>0，即a>2时，f(x)>0在(0,+∞)上恒成立，∴ℎ(x)=max{f(x),g(x)}在(0,+∞)上无零点…(8分)②当1−4a2=0，即a=2时，f(x)min=f(1)=0，又g(1)=0，∴ℎ(x)=max{f(x),g(x)}在(0,+∞)上有一个零点…(9分)③当1−4a2<0，即0<a<2时，设φ(x)=f(x)−g(x)=ax3−3x2+1−ln x(0<x<1)，∵φ′(x)=3ax2−6x−1x <6x(x−1)−1x<0，∴φ(x)在(0,1)上单调递减，又φ(1)=a−2<0,φ(1e )=ae3+2e2−3e2>0，∴存在唯一的x0∈(1e,1)，使得φ(x0)=0．Ⅰ.当0<x≤x0时，∵φ(x)=f(x)−g(x)≥φ(x0)=0，∴ℎ(x)=f(x)且ℎ(x)为减函数，又ℎ(x0)=f(x0)=g(x0)=ln x0<ln1=0，f(0)=1>0，∴ℎ(x)在(0,x0)上有一个零点；Ⅱ.当x>x0时，∵φ(x)=f(x)−g(x)<φ(x0)=0，∴ℎ(x)=g(x)且ℎ(x)为增函数，∵g(1)=0，∴ℎ(x)在(x0,+∞)上有一个零点；从而ℎ(x)=max{f(x),g(x)}在(0,+∞)上有两个零点…(15分)综上所述，当0<a<2时，ℎ(x)有两个零点；当a=2时，ℎ(x)有一个零点；当a>2时，ℎ(x)有无零点 (16))【解析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；(2)问题转化为不等式2a≤1x3+3x在x∈[1,2]上有解，根据函数的单调性求出a的范围即可；(3)通过讨论a的范围结合函数的单调性判断函数的零点个数即可．本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．21.如图，AB是圆O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，过E作BA的延长线的垂线，垂足为F.求证：AB2=BE⋅BD−AE⋅AC．【答案】证明：连接AD，因为AB为圆的直径所以∠ADB=90∘，又EF⊥AB，∠AFE=90∘，则A，D，E，F四点共圆，∴BD ⋅BE =BA ⋅BF ， 又△ABC∽△AEF ， ∴AB AE=AC AF，即AB ⋅AF =AE ⋅AC∴BE ⋅BD −AE ⋅AC =BA ⋅BF −AB ⋅AF =AB ⋅(BF −AF )=AB 2．【解析】连接AD ，利用AB 为圆的直径结合EF 与AB 的垂直关系，通过证明A ，D ，E ，F 四点共圆知，BD ⋅BE =BA ⋅BF ，再利用△ABC∽△AEF 得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB 2=BE ⋅BD −AE ⋅AC ．本小题主要考查与圆有关的比例线段、四点共圆的证明方法、三角形相似等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想.属于中档题．22. 已知二阶矩阵M 有特征值λ=8及对应的一个特征向量e 1 = 11，并且矩阵M 将点(−1,3)变换为(0,8)．(1)求矩阵M ；(2)求曲线x +3y −2=0在M 的作用下的新曲线方程．【答案】解：(1)设M =a b c d ，由 a b c d 11 =8 11 及 a b c d −13= 08 ， 得 a +b =8c +d =8−a +3b =0−c +3d =8，解得 a =6b =2c =4d =4，∴M =6244． (2)设原曲线上任一点P (x ,y )在M 作用下对应点， 则 x ′y ′ = 6244 x y ，即 x ′=6x +2y y ′=4x +4y ，解之得 x =2x ′−y ′8y =−2x ′+3y ′8， 代入x +3y −2=0得，即曲线x +3y −2=0在M 的作用下的新曲线方程为x −2y +4=0． 【解析】(1)利用特征值、特征向量的定义，建立方程，即可得出结论； (2)求出变换前后坐标之间的关系，即可得出结论．本题考查特征值、特征向量的定义，考查矩阵变换，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23. 已知平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为 y =r sin θ+2x =r cos θ+2(θ为参数，r >0).以直角坐标系原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 ρsin(θ+π4)+1=0． (1)求圆C 的圆心的极坐标；(2)当圆C 与直线l 有公共点时，求r 的取值范围．【答案】解：(1)由C ： y =r sin θ+2x =r cos θ+2得(x −2)2+(y −2)2=r 2， ∴曲线C 是以(2,2)为圆心，r 为半径的圆， ∴圆心的极坐标为(2 2,π4)…(5分)(2)由l ： 2ρsin(θ+π4)+1=0得l ：x +y +1=0，从而圆心(2,2)到直线l的距离为d=2=522，∵圆C与直线l有公共点，∴d≤r，即r≥522…(10分)【解析】(1)消去参数，得圆C的普通方程，即可求圆C的圆心的极坐标；d=2=52≤r XX 的数学期望为E (X )=0×12(1−a )2+1×12(1−a 2)+2×12(2a −a 2)+3×a 22=4a +12．(2)P (X =1)−P (X =0)=12[(1−a 2)−(1−a )2]=a (1−a )，P (X =1)−P (X =2)=12[(1−a 2)−(2a −a 2)]=1−2a 2，P (X =1)−P (X =3)=12[(1−a 2)−a 2]=1−2a 22．由 a (1−a )≥01−2a2≥01−2a 22≥0和0<a <1，得0<a ≤12， 即a 的取值范围是(0, 12]．【解析】(1)随机变量X 的可能取值为0，1，2，3.分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望．(2)由已知条件结合概率的性质列出方程组，能求出a 的取值范围．本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查实数值的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意概率知识的合理运用．26. 在如图所示的四棱锥S −ABCD 中，SA ⊥底面ABCD ，∠DAB =∠ABC =90∘，SA =AB =BC =a ，AD =3a (a >0)，E 为线段BS 上的一个动点． (1)证明：DE 和SC 不可能垂直；(2)当点E 为线段BS的三等分点(靠近B )时，求二面角S −CD −E 的余弦值．【答案】解：(1)∵SA ⊥底面ABCD ，∠DAB =90∘， ∴AB 、AD 、AS 两两垂直.故以A 为原点，建立空间直角坐标系，如图 …(1分)则S (0,0，a )，C (a ,a ，0)，D (0,3a ，0)(a >0)， ∵SA =AB =a 且SA ⊥AB ，∴设E (x ,0，a −x )其中0≤x ≤a ，…(2分)∴DE =(x ,−3a ,a −x )，SC=(a ,a ,−a )， 假设DE 和SC 垂直，则DE ⋅SC=0，…(4分) 即ax −3a 2−a 2+ax =2ax −4a 2=0，解得x =2a ，…(5分)这与0≤x ≤a 矛盾，假设不成立，所以DE 和SC 不可能垂直 …(6分)(2)∵E为线段BS的三等分点(靠近B)，∴E(23a,0,13a)．设平面SCD的一个法向量是n1=(x1,y1,z1)，∵CD=(−a,2a,0)，SD=(0,3a,−a)，∴n1⋅CD=0n1⋅SD=0，即3ay1−az1=0−ax1+2ay1=0，即z1=3y1x1=2y1，取n1=(2,1,3)，…(8分)设平面CDE的一个法向量是n2=(x2,y2,z2)，∵CD=(−a,2a,0)，DE=(23a,−3a,13a)，∴n2⋅CD=0n2⋅DE=0，即−ax2+2ay2=023ax2−3ay2+13az2=0，即z2=5y2x2=2y2，取n2=(2,1,5)，…(10分)设二面角S−CD−E的平面角大小为θ，由图可知θ为锐角，∴cosθ=|cos<n1,n2>|=n1 ⋅n2|n1|⋅|n2|=14⋅30=210521，即二面角S−CD−E的余弦值为210521…(12分)【解析】由题可知，可以直接建立空间直角坐标线证明位置关系和计算角．(1)只要向量DE⋅SC≠0恒成立，即可说明DE和SC不可能垂直；也可用反证法：假设DE与SC垂直，即DE⋅SC=0，找出矛盾．(2)求出平面SCD和平面CDE的法向量，用向量角的余弦值来反应二面角的大小．考查了用空间向量法分析空间位置关系.考查了用空间向量法求法向量、二面角的大小.考查了化归思想，空间想象能力，运算能力.本题能想到用向量法是解题的关键，在处理第一问的两直线不垂直问题有一定的技巧，且各棱没有明确的数值，用字母来表示长度，运算上有一定的难度，属于中档题．。
江苏省苏州市2017届高三上学期期中调研考试数学试题(WORD版)
2016—2017学年第一学期高三期中调研试卷 数学 2016．11注意事项：1．本试卷共4页．满分160分，考试时间120分钟．2．请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卷上，在本试卷上答题无效． 3．答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号写在答题纸的密封线内．一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸．．．相应的位置) 1．已知集合{02}A x x =≤≤，{11}B x x =-<≤，则A B =I ▲ ． 2．若命题2:,10p x x ax ∃∈++<R 使，则p ⌝： ▲ ．3．函数12xy x -=+的定义域为 ▲ ． 4．曲线cos y x x =-在点(,)22ππ处的切线的斜率为 ▲ ．5．已知4tan 3α=-，则tan()4πα-= ▲ ．6．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且满足：194a a =，则数列2{log }n a 的前9项之和为 ▲ ．7．已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，()8x f x =，则19()3f -= ▲ ．8．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222a b bc -=，sin 3sin C B =，则A = ▲ ．9．已知函数221,0(),0x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩≤，若函数()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是▲ ．10．若函数cos21tan (0)sin 22y θπθθθ+=+<<，则函数y 的最小值为 ▲ ．11．已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>，将函数()y f x =的图象向右平移23π个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值等于 ▲ ．12．已知数列{}n a 满足：111(1),1n n n a a a a ++=-=，数列{}n b 满足：1n n n b a a +=⋅，则数列{}n b 的前10项的和10S = ▲ ．13．设ABC ∆的三个内角A ,B ,C 所对应的边为a ,b ,c ，若A ,B ,C 依次成等差数列且222a c kb +=，则实数k 的取值范围是 ▲ ． 14．已知函数2()()x af x x a -=+，若对于定义域内的任意1x ，总存在2x 使得21()()f x f x <，则满足条件的实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题(本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本题满分14分)已知函数()33()x xf x λλ-=+⋅∈R（1）若()f x 为奇函数，求λ的值和此时不等式()1f x >的解集； （2）若不等式()6f x ≤对[0,2]x ∈恒成立，求实数λ的取值范围．16．(本题满分14分)已知等比数列{}n a 的公比1q >，且满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12log n n n b a a =，12n n S b b b =+++ ，求使1262n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值．17．(本题满分15分) 已知函数()2sin()cos 3f x x x π=+⋅．（1）若02x π≤≤，求函数()f x 的值域；（2）设ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若A 为锐角且3()2f A =，2b =，3c =，求cos()A B -的值．18．(本题满分15分)如图，有一块平行四边形绿地ABCD ，经测量2BC =百米，1CD =百米，120BCD ∠= ，拟过线段BC 上一点E 设计一条直路EF （点F 在四边形ABCD 的边上，不计路的宽度），EF 将绿地分成两部分，且右边面积是左边面积的3倍，设EC x =百米，EF y =百米． （1）当点F 与点D 重合时，试确定点E 的位置； （2）试求x 的值，使路EF 的长度y 最短．CBDAE19． (本题满分16分)已知数列{}n a 的前n 项和为n A ，对任意*n ∈N 满足1112n n A A n n +-=+，且11a =，数列{}n b 满足2120(*)n n n b b b n ++-+=∈N ，35b =，其前9项和为63．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令n nn n nb ac a b =+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对任意正整数n ，都有2n T n a +≥，求实数a 的取值范围；（3）将数列{},{}n n a b 的项按照“当n 为奇数时，n a 放在前面；当n 为偶数时，n b 放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列：11223344556,,,,,,,,,,,a b b a a b b a a b b ⋅⋅⋅，求这个新数列的前n 项和n S ．20． (本题满分16分)已知32()31(0)f x ax x a =-+>，定义{}(),()()()max (),()(),()()f x f x g x h x f x g x g x f x g x ⎧==⎨<⎩≥．（1）求函数()f x 的极值；（2）若()()g x xf x '=，且存在[1,2]x ∈使()()h x f x =，求实数a 的取值范围； （3）若()ln g x x =，试讨论函数()h x (0)x >的零点个数．2016—2017学年第一学期高三期中调研试卷数 学 (附加) 2016．11注意事项：1．本试卷共2页．满分40分，考试时间30分钟．2．请在答题卡上的指定位置作答，在本试卷上作答无效．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试证号填写在答题卡的规定位置．21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．(几何证明选讲)（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，弦BD ,CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ． 求证：2AB BE BD AE AC =⋅-⋅B ．(矩阵与变换)（本小题满分10分）已知二阶矩阵M 有特征值8λ=及对应的一个特征向量111e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，并且矩阵M 将点(1,3)-变换为(0,8)．（1）求矩阵M ；（2）求曲线320x y +-=在M 的作用下的新曲线方程．C ．(极坐标与参数方程) （本小题满分10分）已知平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为cos 2(,0)sin 2x r r y r θθθ=+⎧>⎨=+⎩为参数．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为π2sin()104ρθ++=．（1）求圆C 的圆心的极坐标；（2）当圆C 与直线l 有公共点时，求r 的取值范围．D ．(不等式选讲)（本小题满分10分）已知,,,a b c d 都是正实数，且1a b c d +++=，求证:2222111115a b c d a b c d +++++++≥．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)某公司对新招聘的员工张某进行综合能力测试，共设置了A 、B 、C 三个测试项目．假定张某通过项目A 的概率为12，通过项目B 、C 的概率均为a (01)a <<，且这三个测试项目能否通过相互独立．（1）用随机变量X 表示张某在测试中通过的项目个数，求X 的概率分布和数学期望()E X （用a 表示）；（2）若张某通过一个项目的概率最大，求实数a 的取值范围．23．(本小题满分10分)在如图所示的四棱锥S ABCD -中，SA ⊥底面A B C D ，90DAB ABC ︒∠=∠=，SA AB BC a ===，3AD a =(0)a >，E 为线段BS 上的一个动点．（1）证明：DE 和SC 不可能垂直；（2）当点E 为线段BS 的三等分点（靠近B ）时，求二面角S CD E --的余弦值．ADBCSE2016—2017学年第一学期高三期中调研试卷数 学 参 考 答 案一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．{|0}x x ≤≤1 2．2,10x x ax ∀∈++R 使≥ 3．(2,1]- 4．2 5．7 6．9 7．2- 8．3π9．1(,0]4-10．2 11．3 12．101113．(1,2] 14．0a ≥ 二、解答题(本大题共6个小题，共90分) 15．(本题满分14分)解：（1）函数()33x x f x λ-=+⋅的定义域为R ．∵()f x 为奇函数，∴()()0f x f x -+=对x ∀∈R 恒成立，即3333(1)(33)0xxxxxxλλλ---+⋅++⋅=++=对x ∀∈R 恒成立，∴1λ=-． ．．．．．．．．．．3分 此时()331x x f x -=->即2(3)310x x -->，解得1+51533()22x x -><或舍去， ．．．．．．．．．．6分 ∴解集为31+5{|log }2x x >． ．．．．．．．．．．7分 （2）由()6f x ≤得336x x λ-+⋅≤，即363x xλ+≤，令3[1,9]x t =∈，原问题等价于6t tλ+≤对[1,9]t ∈恒成立，亦即26t t λ-+≤对[1,9]t ∈恒成立， ．．．．．．．．．．．10分 令2()6,[1,9]g t t t t =-+∈，∵()g t 在[1,3]上单调递增，在[3,9]上单调递减，∴当9t =时，()g t 有最小值(9)27g =-，∴27λ-≤． ．．．．．．．．．14分 16．(本题满分14分)解：（1）∵32a +是24,a a 的等差中项，∴3242(2)a a a +=+， ．．．．．．．．．．1分 代入23428a a a ++=，可得38a =，∴2420a a +=，∴21311820a q a q a q ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解之得122a q =⎧⎨=⎩或13212a q =⎧⎪⎨=⎪⎩， ．．．．．．．．4分 ∵1q >，∴122a q =⎧⎨=⎩，∴数列{}n a 的通项公式为2n n a =． ．．．．．．．．．．6分（2）∵1122log 2log 22n n n n n n b a a n ===-⋅， ．．．．．．．．．．7分∴2(12222)n n S n =-⨯+⨯++⋅ ， ……①)22)1(2221(S 2132+⋅+⋅-++⨯+⨯-=n n n n n ， ……②②-①得23122222n n n S n +=++++-⋅1112(12)222212n n n n n n +++-=-⋅=--⋅-． ．．．．．．．．．．12分∵1262n n S n ++⋅>，∴12262n +->，∴16n +>，5n >， ．．．．．．．．．．13分∴使1262n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值为6． ．．．．．．．．．．14分 17．(本题满分15分)解：（1）()(sin 3cos )cos f x x x x =+x x x 2cos 3cos sin +=133sin 2cos 2222x x =++3sin(2)32x π=++． ．．．．．．．．．2分 由02x π≤≤得，42333x πππ+≤≤，3sin(2)123x π-+≤≤， ．．．．．．．．．4分 ∴330sin(2)1322x π+++≤≤，即函数)(x f 的值域为3[0,1]2+． ．．．．．6分 （2）由33()sin(2)322f A A π=++=得sin(2)03A π+=，又由02A π<<，∴42333A πππ<+<，∴23A ππ+=，3A π=． ．．．．．．．．8分在ABC ∆中，由余弦定理2222cos =7a b c bc A =+-，得7=a ． ．．．．．．．10分由正弦定理sin sin a bA B=，得sin 21sin 7b A B a ==， ．．．．．．12分 ∵b a <，∴B A <，∴27cos 7B =，∴cos()cos cos sin sin A B A B A B -=+12732157272714=⨯+⨯=． ．．．．15分18．(本题满分15分)解：（1）平行四边形ABCD 的面积为1212sin12032ABCD S =⨯⨯⨯= ，当点F 与点D 重合时，13sin12024CFE S CE CD x ∆=⋅⋅= ，∵14CFE ABCD S S ∆= ，∴33=44x ，1x =（百米），∴E 是BC 的中点． ．．．．3分 （2）①当点F 在CD 上时，∵0113sin120244CFE ABCD S CE CF S ∆=⋅⋅== ，∴1CF x=， ．．．．．．．．4分在三角形CDE 中，22202cos120EF CE CF CE CF =+-⋅⋅，∴22113y x x =++≥，当且仅当1x =时取等号， 此时E 在BC 中点处且F 与D 重合，符合题意； ．．．．．．．．．．．．．．．8分②当点F 在DA 上时，∵()3132244ABCD CEFD x FD S S +=⋅== 梯形，∴1DF x =-， ．．．．．．．．．．9分 Ⅰ．当CE DF <时，过E 作EG ∥CD 交DA 于G ，在EGF ∆中，1,12,60EG GF x EGF ==-∠= ，由余弦定理得2421y x x =-+； Ⅱ．当CE DF ≥，过E 作EG ∥CD 交DA 于G ，在EGF ∆中，1,21,120EG GF x EGF ==-∠= ，由余弦定理得2421y x x =-+；由Ⅰ、Ⅱ可得22134214()44y x x x =-+=-+， ．．．．．．．．．．．．．．．13分∴当14x =时，min 32y =，此时E 在BC 的八等分点（靠近C ）处且34DF =（百米），符合题意； ．．．．14分 ∴由①②可知，当14x =（百米）时，路EF 最短为32（百米）． ．．．．15分19．(本题满分16分) 解：（1）∵1112n n A A n n +-=+，∴数列n A n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列， ∴1111(1)222n A A n n n =+-⨯=+，即*(1)()2n n n A n +=∈N ，∴*11(1)(2)(1)1()22n n n n n n n a A A n n +++++=-=-=+∈N ，又11a =，∴*()n a n n =∈N ． ．．．．．．．．．．．．．3分∵2120n n n b b b ++-+=，∴ 数列{}n b 是等差数列，设{}n b 的前n 项和为n B ，∵3799()632b b B +==且35b =， ∴79b =，∴{}n b 的公差为7395=17373b b --=--，*2()n b n n =+∈N ． ．．．．．．5分（2）由（1）知21122()22n n n n n b a n n c a b n n n n +=+=+=+-++， ∴12n n T c c c =+++ 1111122(1)3242n n n =+-+-++-+11122(1)212n n n =++--++11232()12n n n =+-+++， ∴11232()12n T n n n -=-+++． ．．．．．．．．．．．．．．．7分设1132()12n R n n =-+++，则11142()013(1)(3)n n R R n n n n +-=-=>++++， ∴数列{}n R 为递增数列， ．．．．．．．．．．．．．9分∴min 14()3n R R ==，∵对任意正整数n ，都有2n T n a -≥恒成立，∴43a ≤． ．．．．．．．．．．．．．10分（3）数列{}n a 的前n 项和(1)2n n n A +=，数列{}n b 的前n 项和(5)2n n n B +=． ①当*2()N n k k =∈时，2(1)(5)322n k k k k k k S A B k k ++=+=+=+；②当*41()N n k k =+∈时，2+12(21)(22)2(25)22n k k k k k k S A B +++=+=+2481k k =++，特别地，当1n =时，11S =也符合上式；③当*41()N n k k =-∈时，2212(21)22(25)4422n k k k k k k S A B k k --+=+=+=+．综上：22213, 2 4263, 43465, 414n n n n k n n S n k n n n k ⎧+=⎪⎪+-⎪==-⎨⎪⎪++=-⎪⎩，*k ∈N ． ．．．．．．．．．．．16分 20．(本题满分16分)解：（1）∵函数32()31f x ax x =-+，∴2'()363(2)f x ax x x ax =-=-． ．．．．．．．．．．1分 令'()0f x =,得10x =或22x a=，∵0a >，∴12x x <，列表如下： x(,0)-∞ 0 2(0,)a 2a 2(,)a+∞'()f x +- 0 + ()f x↗极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴()f x 的极大值为(0)1f =，极小值为22228124()11f a a a a =-+=-．．．．．．．．3分（2）2363)()(x ax x f x x g -='=，∵存在[1,2]x ∈使()()h x f x =，∴()()f x g x ≥在[1,2]x ∈上有解，即32323136ax x ax x -+-≥在[1,2]x ∈上有解， 即不等式3132a x x+≤在[1,2]x ∈上有解， ．．．．．．．．．．．．．4分设233[1,32]131()x y x x x x +∈=+=，∵2433'0x y x --=<对[1,2]x ∈恒成立，∴313y x x =+在[1,2]x ∈上单调递减，∴当1x =时，313y x x=+的最大值为4， ∴24a ≤，即2a ≤． ．．．．．．．．．7分 （3）由（1）知，()f x 在(0,)+∞上的最小值为224()1f aa=-， ①当2410a->，即2a >时，()0f x >在(0,)+∞上恒成立， ∴()max{(),()}h x f x g x =在(0,)+∞上无零点． ．．．．．．．．．8分②当2410a-=，即2a =时，min ()(1)0f x f ==，又(1)0g =，∴()max{(),()}h x f x g x =在(0,)+∞上有一个零点． ．．．．．．．．．9分③当2410a-<，即02a <<时，设32()()()31ln x f x g x ax x x ϕ=-=-+-(01)x <<，∵211'()366(1)0x ax x x x x xϕ=--<--<，∴()x ϕ在(0,1)上单调递减，又232123(1)20,()0a e a e e e ϕϕ-=-<=+>，∴存在唯一的01(,1)x e∈，使得0()0x ϕ=． Ⅰ．当00x x <≤时，∵0()()()()0x f x g x x ϕϕ=-=≥，∴()()h x f x =且()h x 为减函数，又0000()()()ln ln10,(0)10h x f x g x x f ===<==>，∴()h x 在0(0,)x 上有一个零点； Ⅱ．当0x x >时，∵0()()()()0x f x g x x ϕϕ=-<=，∴()()h x g x =且()h x 为增函数， ∵(1)0g =，∴()h x 在0(,)x +∞上有一个零点；从而()max{(),()}h x f x g x =在(0,)+∞上有两个零点． ．．．．．．．．．15分 综上所述，当02a <<时，()h x 有两个零点；当2a =时，()h x 有一个零点；当2a >时，()h x 有无零点． ．．．．．．．．．．16分21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．(几何证明选讲，本小题满分10分)证明：连接AD ，∵AB 为圆的直径，∴AD BD ⊥，又EF AB ⊥，则,,,A D E F 四点共圆，∴BD BE BA BF ⋅=⋅． ．．．．．．．．．．．．．5分 又ABC ∆∽AEF ∆， ∴AB ACAE AF=，即AB AF AE AC ⋅=⋅， ∴2()BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ⋅-⋅=⋅-⋅=⋅-=． ．．．．．10分 B ．(矩阵与变换，本小题满分10分)解:（1）设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由11811a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦及1038a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 得883038a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=⎪⎪-+=⎩，解得6244a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，∴6244M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． ．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）设原曲线上任一点(,)P x y 在M 作用下对应点'(',')P x y ，则'6244'x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即'62'44x x y y x y =+⎧⎨=+⎩，解之得2''82'3'8x y x x y y -⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩， 代入320x y +-=得'2'40x y -+=，即曲线320x y +-=在M 的作用下的新曲线方程为240x y -+=． ．．．．．．10分C ．(极坐标与参数方程，本小题满分10分)解：（1）由cos 2:sin 2x r C y r θθ=+⎧⎨=+⎩得222(2)(2)x y r -+-=， ∴曲线C 是以(2,2)为圆心，r 为半径的圆， ∴圆心的极坐标为(22,)4π． ．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由π:2sin()104l ρθ++=得:10l x y ++=， 从而圆心(2,2)到直线l 的距离为|221|5222d ++==， ∵圆C 与直线l 有公共点，∴d r ≤，即522r ≥． ．．．．．．．．．．10分 D ．(不等式选讲，本小题满分10分) 证明：∵2222[(1)(1)(1)(1)]()1111a b c d a b c d a b c d ++++++++++++++ 2(1111)1111a b c d a b c d a b c d+⋅++⋅++⋅++⋅++++≥ 2()1a b c d =+++=， ．．．．．．．．．．．．5分又(1)(1)(1)(1)5a b c d +++++++=， ∴2222111115a b c d a b c d +++++++≥． ．．．．．．．．．．．．10分 22．(本题满分10分)解：（1）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3．022211(0)(1)C (1)(1)22P X a a ==--=-； 021222111(1)C (1)(1)C (1)(1)222P X a a a a ==-+--=-； 122222111(2)C (1)(1)C (2)222P X a a a a a ==-+-=-； 222211(3)C 22P X a a ===． 从而X 的分布列为X 0 1 23 P 21(1)2a - 21(1)2a -21(2)2a a - 22a X 的数学期望为222211141()0(1)1(1)2(2)322222a a E X a a a a +=⨯-+⨯-+⨯-+⨯=． ．．．．．．5分 （2）221(1)(0)[(1)(1)](1)2P X P X a a a a =-==---=-， 22112(1)(2)[(1)(2)]22a P X P X a a a -=-==---=， 222112(1)(3)[(1)]22a P X P X a a -=-==--=． 由2(1)012021202a a a a ⎧⎪-⎪-⎪⎨⎪⎪-⎪⎩≥≥≥和01a <<，得102a <≤,即a 的取值范围是1(0,]2． ．．．．10分 23．(本题满分10分)解：（1）∵SA ⊥底面ABCD ，90DAB ︒∠=，∴AB 、AD 、AS 两两垂直．以A 为原点，AB 、AD 、AS 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系（如图）， ．．．．．．．．．．．．．．．1分则(0,0,)S a ，(,,0)C a a ，(0,3,0)D a (0)a >，∵SA AB a ==且SA AB ⊥，∴设(,0,)E x a x -其中0x a ≤≤，∴(,3,)DE x a a x =-- ，(,,)SC a a a =- ， ．．．．．．．．．．．．．．．．2分 假设DE 和SC 垂直，则0DE SC ⋅= ，即2223240ax a a ax ax a --+=-=，解得2x a =，这与0x a ≤≤矛盾，假设不成立，所以DE 和SC 不可能垂直． ．．．．．．．．4分（2）∵E 为线段BS 的三等分点（靠近B ），∴21(,0,)33E a a ．设平面SCD 的一个法向量是1111(,,)n x y z = ，平面CDE 的一个法向量是2222(,,)n x y z = ， ∵(,2,0)CD a a =- ，(0,3,)SD a a =- ，∴1100n CD n SD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ， 即11112030ax ay ay az -+=⎧⎨-=⎩，即111123x y z y =⎧⎨=⎩，取1(2,1,3)n = ， ．．．．．．．．．．．．6分∵(,2,0)CD a a =- ，21(,3,)33DE a a a =- ，∴2200n CD n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即2222220213033ax ay ax ay az -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，即222225x y z y =⎧⎨=⎩，取2(2,1,5)n = ， ．．．．．．．．．．．．8分 设二面角S CD E --的平面角大小为θ，由图可知θ为锐角， ∴12121241152105cos |cos ,|21||||1430n n n n n n θ⋅++=<>===⋅⋅ ， 即二面角S -CD -E 的余弦值为210521． ．．．．．．．．．．．．10分。
江苏省苏州中学2017-2018学年高二上学期期中数学试题(带答案解析)
江苏省苏州中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学试题第II 卷（非选择题)一、填空题1．两个相交平面能把空间分成 个部分.2．直线x －y ＋2＝0的倾斜角是________3．若点()1,t 在过点()0,1和()3,4的直线上，则实数t 的值为________4．过点()4,3P 且在两坐标轴上的截距相等的直线共________条.5．对任意实数m ，直线30mx y m --+=恒过定点，则该定点的坐标为_________ 6．在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，则其四个面中直角三角形的个数为____7．底面直径和高均为2的圆柱的体积为________8．已知二面角设l αβ--的大小为60o ，m α⊂，m l ⊥，n β⊂，//n l ，则下列说法中正确的个数为________________①//m n ②m n ⊥ ③//m β ④m β⊥ ⑤//n α ⑥n α⊥9．若各棱长均为1的正六棱柱的12个顶点都在球O 上，则球O 的表面积为____ 10．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1BB 的中点，直线1D M 与平面ABCD 交于点N ，则线段AN 的长度为________11．在正四面体ABCD 中，直线AB 与平面ACD 所成角的余弦值为_________ 12．在各棱长均为1的正四棱锥P ABCD -中，M 为线段PB 上的一动点，则当AM MC +最小时，cos AMC ∠=_________13．在平面直角坐标系xoy 中，ABC ∆的坐标分别为()1,1A --，()2,0B ，()1,5C ，则BAC ∠的平分线所在直线的方程为_______14．小明在解题中发现函数()32x f x x -=-，[]0,1x ∈的几何意义是：点(),x x []()0,1x ∈与点()2,3连线的斜率，因此其值域为3,2⎡⎤⎢⎥，类似地，他研究了函数()3g x =，[]0,1x ∈，则函数()g x 的值域为_____二、解答题15．已知过点()3,4P 的直线1l 与直线:3450l x y +-=平行.（1）求直线1l 的方程；（2）求直线1l 与直线l 之间的距离；（3）若过点 ()3,4P 的直线2l 与直线l 相交于点Q ，且4PQ =，求直线2l 的方程. 16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中.（1）求证：//AC 平面1111D C B A（2）求证： 1,AC BC 为异面直线（3）求直线AC 与1BC 所成角的大小.17．已知点()4,1P 关于直线:230l x y -+=的对称点为Q .（1）求点Q 的坐标；（2）若点N 在直线l 上，点O 为坐标原点，在下列条件下求点N 的坐标；①||||ON NP +最小②||||ON NP -最小18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=o ，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠=o ，AB AC =，E 、F 分别为BC ，AD 的中点，点M 在线段PD 上.（1）若M 为PD 的中点，求证：平面//MEF 平面PAB ;（2）求证：EF ⊥平面PAC ;（3）若1AP AB ==，求点D 到平面PBC 的距离.19．小明设计了一款正四棱锥形状的包装盒，如图所示，ABCD 是边长为40cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱锥形状的包装盒，设正四棱锥底面正方形的边长为x cm .（1）试用x 表示该四棱锥的高度h ，并指出x 的取值范围；（2）若要求侧面积不小于2600cm ，求该四棱锥的高度的最大值，并指出此时该包装盒的容积.20．已知1α，2α为实数，过原点O 分别作直线111:cos sin 10l x y αα+-=，222:cos sin 10l x y αα+-=的垂线，垂足分别为1H ，2H .（1）若10,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且直线1l 与x 轴、y 轴交于A ,B 两点，当OAB ∆面积最小时，求实数1α的值；（2）若直线12H H 过点1,02P ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线1l 与2l 的交点为Q ，求证：点Q 在一条直线上.参考答案1．4【解析】试题分析：画出示意图即可得：两个相交平面能把空间分成2个部分考点：本题考查了平面的基本性质及推论点评：解答本题，关键是了解两个平面的位置关系，根据模型分析即可2．45°.【解析】分析：先将一般式方程化成斜截式，写出直线的斜率和倾斜角．详解：将20x y ++=化为2y x =--，则该直线的斜率为1-，其倾斜角为3π4． 点睛：本题考查直线的方程、直线的斜率和倾斜角等知识，意在考查学生的基本运算能力． 3．2【解析】【分析】求出过点()0,1和()3,4的直线方程，将1x =代入方程，即可求解.【详解】过点()0,1和()3,4的直线方程为1y x =+，当1x =时，2,2y t =∴=.故答案为:2.【点睛】本题考查点共线以及直线方程，属于基础题.4．2【解析】【分析】直线过原点截距均为0，直线不过原点设为截距式，即可求出结论.【详解】若直线过原点，方程为34y x =， 当直线不过原点，依题意设直线方程为1x y a a+=， (4,3)P 代入直线方程得71,7a a==， 所求的直线方程为70x y +-=，所以过()4,3P 且在两坐标轴上的截距相等的直线共2条.故答案为:2.【点睛】本题考查直线的几何特征，注意过原点的直线在x 轴的截距是在y 轴截距的任意倍，属于基础题.5．(1,3)【解析】【分析】将直线方程化为点斜式，即可求解.【详解】30mx y m --+=化为3(1)y m x -=-，方程表示过点(1,3)斜率为m 的直线方程，所以直线过定点(1,3).故答案为:(1,3).【点睛】本题考查直线方程一般式与其它形式之间互化，属于基础题.6．4【解析】【分析】根据已知可得,,AB BC AB BD BC CD ⊥⊥⊥，可证CD ⊥平面ABC ，即可得出结论.【详解】如图所示四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，,,AB BC AB BD AB CD ⊥⊥⊥，,ABC ABD V V 为直角三角形，,,,BC CD BC AB B BC AB ⊥=⊂I 平面ABC ，CD \^平面,ABC CD AC ∴⊥，,ACD BCD ∴V V 为直角三角形，四面体ABCD 中，四个面中都是直角三角形.故答案为:4.【点睛】本题考查线线垂直的判定，线面垂直是解题的关键，要注意空间中的垂直关系相互转化，属于基础题.7．2π【解析】【分析】根据圆柱的体积公式，即可求解.【详解】底面直径和高均为2的圆柱的体积为2122ππ⨯⨯=.故答案为:2π.【点睛】本题考查柱体的体积，熟记公式是解题的关键，属于基础题.8．2【解析】【分析】根据线线，线面关系逐项判断，即可得出结论.【详解】①若//m n ，而//n l ，则//m l ，与已知m l ⊥矛盾，所以//m n 不正确，即①不正确；②m l ⊥，//n l ，则m n ⊥，②正确；③m α⊂，m l ⊥，,m l 相交，所以m 与β相交，③不正确；④若m β⊥，m α⊂则a β⊥，与已知二面角l αβ--的大小为60o 矛盾，所以④不正确；⑤//,,,//n l l n n ααα⊂⊄∴Q ，所以⑤正确，⑥不正确.正确个数为2个.故答案为:2【点睛】本题考查空间线面、面面的位置关系判断，熟记性质定理是解题的关键，属于基础题. 9．5π【解析】【分析】设正六棱柱ABCDEF A B C D E F ''''''-的上下底面中心为,M M '，根据正六棱柱的对称性，1MM 中点O 为球心，求出底面ABCDEF 的外接圆圆心，即可求解.【详解】设正六棱柱ABCDEF A B C D E F ''''''-的底面中心为,M M '，MM '中点为O ，则O 到正六棱柱的各顶点距离都相等，所以O 为正六棱柱外接球的球心，连,OB MB ，OB 为正六棱柱外接球的半径，1111,222MB AB OM MM AA ''=====，OB ===， 球O 的表面积为254()454OB πππ=⨯=. 故答案为:5π.【点睛】本题考查多面体与球的“接”“切”问题，确定外接球的球心是解题的关键，属于中档题.10【解析】【分析】在平面11BB D D 中，1D M 与BD 的交点即为N ，求出BN 长，即可求解.【详解】连BD ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11111,//,BB DD BB DD DD BD =⊥，所以四边形11BB D D 为矩形，1,BD D M 相交，其交点为1D M 平面ABCD 的交点N ，Q M 是1BB 的中点，111,//2BM DD BM DD ∴=， BM 为1DD N V 的中位线，B 为DN 中点，正方体各棱长为1，BN BD ∴==,1,135ABN AB BN ABN ==∠=o V ，2222cos AN AB BN AB BN ABN =+-⋅⋅∠32152=+⨯=，AN ∴=故答案为【点睛】本题考查空间线面位置关系，确定直线与平面交点是解题的关键，意在考查直观想象能力，属于中档题.11．3【解析】【分析】设O 为ACD V 的中心，连,OA OB ，根据正四面体的垂直关系，可得BAO ∠为所求的角，解Rt ABO V ，即可得出结论.【详解】设O 为ACD V 的中心，连,OB OA 交CD 于E ，则E 为CD 中点，在正四面体ABCD 中，OB ⊥平面,ACD OA 为AB 在平面ACD 射影，BAO ∴∠为直线AB 与平面ACD 所成角，设正四面体的边长为1，则2233OA AE ===在Rt ABO V中，cos OA BAO AB ∠==. 故答案为:3.【点睛】本题考查直线与平面所成的角，要注意求空间角的步骤“做”“证”“算”缺一不可，属于基础题.12．13-【解析】【分析】将侧面PAB 和侧面PBC 平展在一个平面上，连AC ，即可求出满足AM MC +最小时，点M 的位置，以及,AM CM 长，解AMC V ，即可求出结论.【详解】将侧面PAB 和侧面PBC 平展在一个平面上，连AC 与PB 交点即为满足AM MC +最小，正四棱锥P ABCD -各棱长均为1，在平展的平面中四边形PABC 为菱形，且60PAB ∠=o ，AM MC ==P ABCD -中，AC = 在ACM V 中，222332144cos 32324AM CM AC AMC AM CM +-+-∠===-⋅⋅. 故答案为:13-.【点睛】本题考查线线角，要注意多面体表面的长度关系转化为共面的长度关系，考查直观想象能力，属于中档题.13．0x y -=【解析】【分析】设BAC ∠的平分线与BC 交于D ，根据角平分线与面积关系求出||||CD DB ，利用共线向量坐标关系，求出D 点坐标，即可求解.【详解】设BAC ∠的角平分线与BC 交于(,)D a b ，1||||sin ||||221||||||||sin 2ACD ABD AC AD CAD S AC CD S AB DB AB AD BAD ⋅⋅∠∴=====⋅⋅∠V V ， 2,(1,5)2(2,)CD DB a b a b ∴=--=--u u u r u u u r ，解得55,33a b ==， 55(,)33D ∴，所以BAC ∠的平分线AD 方程为0x y -=. 故答案为:0x y -=.【点睛】本题考查角平分线方程、向量共线坐标，应用角平分线性质是解题的关键，属于中档题.14．2] 【解析】【分析】根据斜率的几何意义，()32g x x =-表示函数y =(2,3)连线的斜率，数形结合，即可求解.【详解】 ()32g x x =-为点(x 与点(2,3)连线的斜率，点([0,1]x x ∈在函数[0,1]y x =∈图像上， (1,1)B 在抛物线图象上，()g x 的最大值为31221AB k -==-， 最小值为过A点与[0,1]y x =∈图象相切的切线斜率，设为k ，切线方程为(2)3y k x =-+，代入[0,1]y x =∈得，320,0,14(32)0kx k k k k --=≠∆=--=，即281210k k -+=，解得k =或k =当k =3[0,1]4==，当34k -=3[0,1]== 不合题意，舍去，()g x值域为3[,2]4. 故答案为:3[,2]4.【点睛】本题考查函数的值域、斜率的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.15．（1）34250x y +-=；（2）4；（3）430x y -=.【解析】【分析】（1）根据直线平行关系，设出直线1l 的方程，点P 坐标代入求出参数，即可求解；（2）根据平行线距离关系，转化为求点P 到直线l 的距离；（3）由（2）得4PQ =为P 到直线l 的距离，所以2l 垂直l ，根据两直线的垂直关系，即可求出直线2l 方程.【详解】（1）直线1l 与直线:3450l x y +-=平行，设1l 方程为340,5x y m m ++=≠-，点()3,4P 代入1l 方程得25m =-，直线1l 方程为34250x y +-=；（2）1l Q 平行2l ，直线1l 与直线l 之间的距离等于点P 到直线l 的距离，4=，所以直线1l 与直线l 之间的距离4；（3）||4PQ =且点Q 在直线l 上，由（2）得||PQ 为到P 到直线l 的距离，所以2l l ⊥，设其方程为430,(3,4)x y n P -+=代入得0n =，所以直线2l 方程为430x y -=.【点睛】本题考查直线与直线的位置关系以及点到直线的距离，注意平行和垂直关系合理设直线方程，属于基础题.16．（1）证明详见解答；（2）证明详见解答；（3）3π. 【解析】【分析】（1）根据正方体的平行关系，可证11//AC A C ，即可证明结论；（2）用反证法证明，假设1,AC BC 共面，得出A 在平面11BB C C 内，即可证明结论； （3）利用正方体可证11//AD BC ，做出异面直线AC 与1BC 所成的角，通过1ACD △，即可求解.【详解】（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，连11A C 1111//,AA CC AA CC =，四边形11AAC C 为平行四边形，1111//,AC AC AC ∴⊂平面1111D C B A ，AC ⊄平面1111D C B A ，//AC ∴平面1111D C B A ；（2）假设1,AC BC 为共面直线，则1,,,A B C C 在同一个平面内，1,,B C C Q 三点不共面，1,,B C C ∴确定平面11BB C C ，1,,,A B C C ∴共面于平面11BB C C ，这与已知点A 不在平面11BB C C 内矛盾，所以假设不成立，即1,AC BC 是异面直线；（3）连11,AD CD ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1111//,AB C D AB C D =，四边形11ABC D 为平行四边形，11//D A BC ∴，1CAD ∠（或补角）为异面直线AC 与1BC 所成角，在1ACD △中，111,3AC CD AD CAD π==∴∠=， 所以直线AC 与1BC 所成角为3π.【点睛】本题考查线面平行证明、异面直线证明、异面直线所成的角，要注意几何法求空间角体现角的“做”和“证”，属于基础题.17．（1）Q (2,5)；（2；②.【解析】【分析】（1）设点Q 的坐标为(,)a b ，利用PQ 中点在直线l 上，PQ 与直线l 垂直，建立,a b 方程关系，即可求解；（2）①由（1）得||||NP NQ =，数形结合可得||||||ON NQ OQ +≥，即可求出结论； ②由||||||||ON NP NP -≤，根据图形去绝对值，即可求出结论.【详解】（1）设点Q 的坐标为(,)a b ，依题意得1244123022b a a b -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪-⋅+=⎪⎩，解得25a b =⎧⎨=⎩，即(2,5)Q ， 所以点Q 坐标为(2,5)；（2）①,P Q Q 关于直线l 对称，点N 在直线l 上，||||,||||||||||NP QN ON NP ON QN OQ ∴=∴+=+≥=，当且仅当,,O N Q 三点共线时，等号成立，所以||||ON NP +；②||||||||,||||||ON NP OP ON NP OP -≤-≥-=当且仅当,,O N P 三点共线时，等号成立，所以||||ON NP -的最小值为【点睛】本题考查点关于直线对称、动点到两定点距离和以及差的最小值，应用几何法求最值是解题的关键，意在考查直观想象能力，属于中档题.18．（1）证明详见解答；（2）证明详见解答；（3）3. 【解析】【分析】 （1）由已知可得//,//EF AB MF PA ，进而有//EF 平面PAB ，//MF 平面PAB ，即可证明结论；（2）根据已知可得PA ⊥平面ABCD ，所以有PA EF ⊥，在底面ABCD 中，可得AB AC ⊥，//AB EF ，进而有EF AC ⊥，即可证明结论；（3）求出,PBC BCD V V 的面积，利用等体积法，即可求解.【详解】（1）底面ABCD 是平行四边形，E 、F 分别为,BC AD 的中点，//EF AB ∴，M Q 为PD 的中点，//MF PA ∴，AB Ì平面PAB ，EF ⊄平面PAB ，//EF ∴平面PAB ，同理//MF 平面PAB ，,,EF MF F EF MF =⊂I 平面MEF ，∴平面//MEF 平面PAB ；（2）侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠=o ，即PA AB ⊥，侧面PAB ⋂底面,ABCD AB PA =⊂平面PAB ，PA ∴⊥平面,ABCD EF ⊂平面,ABCD PA EF ⊥Q ，底面ABCD 是平行四边形，135,45BCD ABC ∠=∴∠=o o， ,90,,//,AB AC BAC AB AC EF AB EF AC =∴∠=⊥∴⊥o Q ，,,PA AC A PA AC =⊂Q I 平面PAC ，∴EF ⊥平面PAC ；（3）PA ⊥Q 平面,,ABCD PA AB PA AC ∴⊥⊥，1,,PA AB AC PB PC AB AC BC =====⊥∴=PBC ∴△是等边三角形，2PBC S ∴==V ， 211//,22BCD ABC BC AD S S AB ∴===V V Q ， 设点D 到平面PBC 的距离为h ，11,33P BCD D PBC BCD PBC V V PA S h S --=∴⋅=⋅V V Q ，1h == 所以点D 到平面PBC的距离为3. 【点睛】本题考查面面平行、线面垂直的证明以及点到面的距离，注意空间垂直之间的相互转化，应用等体积法求点面距要熟练掌握，属于中档题.19．（1）h x =∈；（2）max 20h =，40003. 【解析】【分析】（1）设正四棱锥侧面等腰三角形高为h '，由正方形ABCD ，可得2x h '+=,,2x h h '组成直角三角形，即可得到,x h 关系，进而求出x 的范围； （2）利用（1）中,x h '关系，求出侧面积关于x 的函数，进一步求出满足条件的x 范围，可求出h 的最大值，即可求出结论.【详解】（1）设正四棱锥侧面等腰三角形高为h '，在正方形ABCD 中，22x x h h ''+=∴=，在四棱锥中，222222(),)224x x x h h h '=+∴=+，2800,h h =-∴=Q 28000,0h x =->∴<<，h x ∴=∈；（2）四棱锥的侧面积2142)60022x S xh x x '=⨯==-+≥，26000x -+≤，解得0x x ≤≤<<Qx ∴≤<x =时，max 20h ==，此时包装盒的容积为2211400020333V x h ==⨯⨯=， 所以满足条件的四棱锥的高度的最大值为20， 此时该包装盒的容积为40003. 【点睛】本题考查函数的应用问题、正方形和正四棱锥的性质、一元二次不等式、一次函数最值，意在考查直观想象、数学建模、数学计算能力，属于中档题,20．（1）4π；（2）证明详见解答. 【解析】【分析】 （1）求出,A B 两点坐标，将OAB ∆面积表示为1α的函数，求出最小值，即可求出结论； （2）求出原点到直线12,l l 的距离为1，可得12,l l 为单位圆的切线，切点为12,H H ，将12,l l 方程用12,H H 坐标表示，设Q 的坐标，代入12,l l 方程，进而求出直线12H H 方程，即可求解.【详解】（1）1110,,sin 0,cos 02πααα⎛⎫∈≠≠ ⎪⎝⎭直线111:cos sin 10l x y αα+-=， 令11110,,(0,)sin sin x y B αα==， 令11110,,(,0)cos cos y x B αα==， 11111112sin cos sin 2AOB S ααα=⋅⋅=V ， 110,022πααπ<<∴<<Q ， 当11sin 21,4παα==时，min ()1AOB S =V ，OAB ∆面积最小时，实数1α的值为4π； （2）原点O 的直线1l1=， 同理原点O 的直线2l 距离为1，所以12,l l 为圆221x y +=的切线，答案第17页，总17页 12,H H 为切点，直线12H H 过点1,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且直线1l 与2l 相交于Q ， 12,H H ∴不在x 轴上，设11112212(,),(,),0,0H x y H x y y y ≠≠，所以直线1l 化为1111()x y y x x y -=--，整理得111x x y y +=， 同理2l 方程为221x x y y +=，设1l 与2l 的交点为00(,)Q x y ，所以有101020201,1x x y y x x y y +=+=，所以直线12H H 方程为001x x y y +=，且过点1(,0)2P ， 0011,22x x ∴==，即点Q 在直线2x =上. 【点睛】本题考查直线方程、直线与圆位置关系，解题的关键要把直线转化为圆的切线，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.。
苏州新区一中2016-2017第二学期高二期中考试物理试卷
苏州高新区第一中学2016-2017学年度第二学期期中考试高二物理一、单项选择题(本题共8小题；每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确，有选错或不答的得0分．)1. 下列关于分子力和分子势能的说法中，正确的是( )A．当分子力表现为引力时，分子力和分子势能总是随分子间距离的增大而增大B．当分子力表现为引力时，分子力和分子势能总是随分子间距离的增大而减小C．当分子力表现为斥力时，分子力和分子势能总是随分子间距离的减小而增大D．当分子力表现为斥力时，分子力和分子势能总是随分子间距离的减小而减小2. 关于冲量，下列说法中正确的是（）A .只要物体受到力的作用，物体所受外力的合冲量就一定不为零B.只要物体受到的合外力不为零，物体在任一Δt时间内所受外力的合冲量就一定不为零C.如果力是恒力，则冲量的方向就是该力的方向D.做曲线运动的物体，在任何Δt时间内所受外力的合冲量一定不为零3. 篮球运动员接传来的篮球时，通常要先伸出两臂迎接，手接触到球后，两臂随球迅速引至胸前，这样做可以（）A.减小球对手作用力的冲量B.减小球的动量变化率C.减小球的动量变化量D.减小球的动能变化量4.如图所示，一演示用的“永动机”转轮由5根轻杆和转轴构成，轻杆的末端装有用形状记忆合金制成的叶片，轻推转轮后，进入热水的叶片因伸展而“划水”，推动转轮转动。
离开热水后，叶片形状迅速恢复，转轮因此能较长时间转动。
下列说法正确的是( )A. 转动的叶片不断搅动热水，水温升高B.转轮转动所需能量来自形状记忆合金自身C.转轮依靠自身惯性转动，不需要消耗外界能量D.叶片在热水中吸收的热量一定大于在空气中释放的热量5.下列说法中正确的是（）A.当分子间的距离增大时，分子间的引力变大而斥力变小B.布朗运动反映了悬浮在液体中固体颗粒分子的无规则运动C.气体对器壁的压强是由大量气体分子对器壁频繁碰撞而产生的D.随着低温技术的发展，我们可以使温度逐渐降低，并最终达到绝对零度6.下列说法中正确的是（）A.晶体的各种物理性质，在各个方向上都是不同的B.用手捏面包，面包体积会缩小，说明分子之间有间隙C.分子间的距离r存在某一值r0，当r大于r0时，分子间斥力大于引力；当r小于r0时分子间斥力小于引力D.由于液体表面分子间距离大于液体内部分子间的距离，液面分子间表现为引力，所以液体表面具有收缩的趋势7. 质量为1kg的物体从离地面5m高处自由下落。
江苏省苏州市2017届高三期中试卷
2016—2017学年第一学期高三期中调研试卷 数 学 2016．11注意事项：1．本试卷共4页．满分160分，考试时间120分钟．2．请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卷上，在本试卷上答题无效． 3．答题前，务必将自己的、学校、号写在答题纸的密封线．一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸．．．相应的位置) 1．已知集合{02}A x x =≤≤，{11}B x x =-<≤，则AB = ▲ ．2．若命题2:,10p x x ax ∃∈++<R 使，则p ⌝： ▲ ．3．函数y =的定义域为 ▲ ． 4．曲线cos y x x =-在点(,)22ππ处的切线的斜率为 ▲ ．5．已知4tan 3α=-，则tan()4πα-= ▲ ．6．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且满足：194a a =，则数列2{log }n a 的前9项之和为 ▲ ． 7．已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，()8x f x =，则19()3f -= ▲ ．8．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222a b bc -=，sin 3sin C B =，则A = ▲ ．9．已知函数221,0(),0x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩≤，若函数()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值围是▲ ．10．若函数cos21tan (0)sin 22y θπθθθ+=+<<，则函数y 的最小值为 ▲ ．11．已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>，将函数()y f x =的图象向右平移23π个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值等于 ▲ ．12．已知数列{}n a 满足：111(1),1n n n a a a a ++=-=，数列{}n b 满足：1n n n b a a +=⋅，则数列{}n b 的前10项的和10S = ▲ ．13．设ABC ∆的三个角A ,B ,C 所对应的边为a ,b ,c ，若A ,B ,C 依次成等差数列且222a c kb +=，则实数k 的取值围是 ▲ ． 14．已知函数2()()x af x x a -=+，若对于定义域的任意1x ，总存在2x 使得21()()f x f x <，则满足条件的实数a 的取值围是 ▲ ．二、解答题(本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本题满分14分)已知函数()33()x xf x λλ-=+⋅∈R（1）若()f x 为奇函数，求λ的值和此时不等式()1f x >的解集； （2）若不等式()6f x ≤对[0,2]x ∈恒成立，数λ的取值围．16．(本题满分14分)已知等比数列{}n a 的公比1q >，且满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若12log n n n b a a =，12n n S b b b =+++，求使1262n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值．17．(本题满分15分) 已知函数()2sin()cos 3f x x x π=+⋅．（1）若02x π≤≤，求函数()f x 的值域；（2）设ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若A 为锐角且()f A =2b =，3c =，求cos()A B -的值．18．(本题满分15分)如图，有一块平行四边形绿地ABCD ，经测量2BC =百米，1CD =百米，120BCD ∠=，拟过线段BC 上一点E 设计一条直路EF （点F 在四边形ABCD 的边上，不计路的宽度），EF 将绿地分成两部分，且右边面积是左边面积的3倍，设EC x =百米，EF y =百米． （1）当点F 与点D 重合时，试确定点E 的位置； （2）试求x 的值，使路EF 的长度y 最短．BD19． (本题满分16分)已知数列{}n a 的前n 项和为n A ，对任意*n ∈N 满足1112n n A A n n +-=+，且11a =，数列{}n b 满足2120(*)n n n b b b n ++-+=∈N ，35b =，其前9项和为63．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令n nn n nb ac a b =+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对任意正整数n ，都有2n T n a +≥，数a 的取值围；（3）将数列{},{}n n a b 的项按照“当n 为奇数时，n a 放在前面；当n 为偶数时，n b 放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列：11223344556,,,,,,,,,,,a b b a a b b a a b b ⋅⋅⋅，求这个新数列的前n 项和n S ．20． (本题满分16分)已知32()31(0)f x ax x a =-+>，定义{}(),()()()max (),()(),()()f x f x g x h x f x g x g x f x g x ⎧==⎨<⎩≥．（1）求函数()f x 的极值；（2）若()()g x xf x '=，且存在[1,2]x ∈使()()h x f x =，数a 的取值围； （3）若()ln g x x =，试讨论函数()h x (0)x >的零点个数．2016—2017学年第一学期高三期中调研试卷数 学 (附加) 2016．11B ．(矩阵与变换)（本小题满分10分）已知二阶矩阵M 有特征值8λ=及对应的一个特征向量111e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，并且矩阵M 将点(1,3)-变换为(0,8)．（1）求矩阵M ；（2）求曲线320x y +-=在M 的作用下的新曲线方程．C ．(极坐标与参数方程)（本小题满分10分）已知平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为cos 2(,0)sin 2x r r y r θθθ=+⎧>⎨=+⎩为参数．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l πsin()104θ++=．（1）求圆C 的圆心的极坐标；（2）当圆C 与直线l 有公共点时，求r 的取值围．22．(本小题满分10分)某公司对新招聘的员工某进行综合能力测试，共设置了A 、B 、C 三个测试项目．假定某通过项目A 的概率为12，通过项目B 、C 的概率均为a (01)a <<，且这三个测试项目能否通过相互独立． （1）用随机变量X 表示某在测试过的项目个数，求X 的概率分布和数学期望()E X （用a 表示）； （2）若某通过一个项目的概率最大，数a 的取值围．23．(本小题满分10分)在如图所示的四棱锥S ABCD -中，底面ABCD ，90DAB ABC ︒∠=∠=，SA AB BC a ===，3AD a =(0)a >，E 为线段BS 上的一个动点．（1）证明：DE 和SC 不可能垂直；（2）当点E 为线段BS 的三等分点（靠近B ）时，求二面角S CD E --的余弦值．DBC2016—2017学年第一学期高三期中调研试卷数 学 参 考 答 案一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．{|0}x x ≤≤1 2．2,10x x ax ∀∈++R 使≥ 3．(2,1]- 4．2 5．7 6．9 7．2- 8．3π9．1(,0]4-10．2 11．3 12．101113．(1,2] 14．0a ≥ 二、解答题(本大题共6个小题，共90分) 15．(本题满分14分)解：（1）函数()33x x f x λ-=+⋅的定义域为R ．∵()f x 为奇函数，∴()()0f x f x -+=对x ∀∈R 恒成立，即3333(1)(33)0xxxxxxλλλ---+⋅++⋅=++=对x ∀∈R 恒成立，∴1λ=-． ．．．．．．．．．．3分 此时()331x x f x -=->即2(3)310x x -->，解得33)x x ><舍去， ．．．．．．．．．．6分 ∴解集为3{|log }2x x >． ．．．．．．．．．．7分（2）由()6f x ≤得336x x λ-+⋅≤，即363x xλ+≤，令3[1,9]x t =∈，原问题等价于6t tλ+≤对[1,9]t ∈恒成立，亦即26t t λ-+≤对[1,9]t ∈恒成立， ．．．．．．．．．．．10分令2()6,[1,9]g t t t t =-+∈，∵()g t 在[1,3]上单调递增，在[3,9]上单调递减，∴当9t =时，()g t 有最小值(9)27g =-，∴27λ-≤． ．．．．．．．．．14分 16．(本题满分14分)解：（1）∵32a +是24,a a 的等差中项，∴3242(2)a a a +=+， ．．．．．．．．1分 代入23428a a a ++=，可得38a =，∴2420a a +=，∴21311820a q a q a q ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解之得122a q =⎧⎨=⎩或13212a q =⎧⎪⎨=⎪⎩， ．．．．．．．4分 ∵1q >，∴122a q =⎧⎨=⎩，∴数列{}n a 的通项公式为2n n a =． ．．．．．．．．．．6分（2）∵1122log 2log 22n n n n n n b a a n ===-⋅， ．．．．．．．．．．7分∴2(12222)n n S n =-⨯+⨯++⋅， ……①)22)1(2221(S 2132+⋅+⋅-++⨯+⨯-=n n n n n ， ……②②-①得23122222n n n S n +=++++-⋅1112(12)222212n n n n n n +++-=-⋅=--⋅-． ．．．．．．．．．．12分∵1262n n S n ++⋅>，∴12262n +->，∴16n +>，5n >， ．．．．．．．．．13分∴使1262n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值为6． ．．．．．．．．．．14分17．(本题满分15分)解：（1）()(sin )cos f x x x x =+x x x 2cos 3cos sin +=1sin 2222x x =++sin(2)32x π=++． ．．．．．．．．2分由02x π≤≤得，423x πππ+≤≤，sin(2)13x π+≤，．．．．．．．4分∴0sin(2)1322x π+++≤≤，即函数)(x f 的值域为[0,12+． ．．．6分（2）由()sin(2)3f A A π=+=得sin(2)03A π+=， 又由02A π<<，∴42333A πππ<+<，∴23A ππ+=，3A π=． ．．．．．8分在ABC ∆中，由余弦定理2222cos =7a b c bc A =+-，得7=a ．．．．．．．10分由正弦定理sin a bA B=，得sin sin b A B a ==， ．．．．．．12分∵b a <，∴B A <，∴cos 7B =∴cos()cos cos sin sin A B A B A B -=+12==．．．．．15分 18．(本题满分15分)解：（1）平行四边形ABCD 的面积为1212sin12032ABCDS=⨯⨯⨯=，当点F 与点D 重合时，13sin120CFE S CE CD ∆=⋅⋅=，∵14CFE ABCD S S ∆=1x =（百米），∴E 是BC 的中点． ．．．．3分 （2）①当点F 在CD 上时，∵011sin12024CFE ABCD S CE CF S ∆=⋅⋅==，∴1CF x=， ．．．．．．．．4分在三角形CDE 中，22202cos120EF CE CF CE CF =+-⋅⋅，∴y =，当且仅当1x =时取等号，此时E 在BC 中点处且F 与D 重合，符合题意； ．．．．．．．．．．．．．．8分 ②当点F 在DA 上时，∵()124ABCD CEFD x FD S S +===梯形1DF x =-， ．．．．．．．．．．9分 Ⅰ．当CE DF <时，过E 作EG ∥CD 交DA 于G ，在EGF ∆中，1,12,60EG GF x EGF ==-∠=，由余弦定理得y ； Ⅱ．当CE DF ≥，过E 作EG ∥CD 交DA 于G ，在EGF ∆中，1,21,120EG GF x EGF ==-∠=，由余弦定理得y =；由Ⅰ、Ⅱ可得y ．．．．．．．．．．．．13分∴当14x =时，min y =，此时E 在BC 的八等分点（靠近C ）处且34DF =（百米），符合题意； ．．．．14分 ∴由①②可知，当14x =（百米）时，路EF（百米） ． ．．．．15分19．(本题满分16分)解：（1）∵1112n n A A n n +-=+，∴数列n A n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列，∴1111(1)222n A A n n n =+-⨯=+，即*(1)()2n n n A n +=∈N ，∴*11(1)(2)(1)1()22n n n n n n n a A A n n +++++=-=-=+∈N ，又11a =，∴*()n a n n =∈N ． ．．．．．．．．．．．．．3分 ∵2120n n n b b b ++-+=，∴ 数列{}n b 是等差数列，设{}n b 的前n 项和为n B ，∵3799()632b b B +==且35b =，∴79b =，∴{}n b 的公差为7395=17373b b --=--，*2()n b n n =+∈N ． ．．．．．．5分（2）由（1）知21122()22n n n n n b a n n c a b n n n n +=+=+=+-++， ∴12n n T c c c =+++1111122(1)3242n n n =+-+-++-+11122(1)212n n n =++--++11232()12n n n =+-+++，∴11232()12n T n n n -=-+++． ．．．．．．．．．．．．7分设1132()12n R n n =-+++，则11142()013(1)(3)n n R R n n n n +-=-=>++++， ∴数列{}n R 为递增数列， ．．．．．．．．．．．．．9分∴min 14()3n R R ==，∵对任意正整数n ，都有2n T n a -≥恒成立，∴43a ≤． ．．．．．．．．．．10分（3）数列{}n a 的前n 项和(1)2n n n A +=，数列{}n b 的前n 项和(5)2n n n B +=．①当*2()N n k k =∈时，2(1)(5)322n k k k k k k S A B k k ++=+=+=+；②当*41()N n k k =+∈时，2+12(21)(22)2(25)22n k k k k k k S A B +++=+=+2481k k =++，特别地，当1n =时，11S =也符合上式；③当*41()N n k k =-∈时，2212(21)22(25)4422n k k k k k k S A B k k --+=+=+=+．综上：22213, 2 4263, 43465, 414n n n n k n n S n k n n n k ⎧+=⎪⎪+-⎪==-⎨⎪⎪++=-⎪⎩，*k ∈N ． ．．．．．．．．．．．16分 20．(本题满分16分)解：（1）∵函数32()31f x ax x =-+，∴2'()363(2)f x ax x x ax =-=-． ．．．．．．．．．．1分令'()0f x =,得10x =或22x=，∵0a >，∴12x x <，列表如下： ∴()f x 的极大值为(0)1f =，极小值为222()11f a a a a =-+=-．．．．．．．．3分（2）2363)()(x ax x f x x g -='=，∵存在[1,2]x ∈使()()h x f x =，∴()()f x g x ≥在[1,2]x ∈上有解，即32323136ax x ax x -+-≥在[1,2]x ∈上有解，即不等式3132a x x +≤在[1,2]x ∈上有解， ．．．．．．．．．．．．．4分 设233[1,32]131()x y x x x x +∈=+=，∵2433'0x y x --=<对[1,2]x ∈恒成立，∴313y x x =+在[1,2]x ∈上单调递减，∴当1x =时，313y x x=+的最大值为4，∴24a ≤，即2a ≤． ．．．．．．．．．7分（3）由（1）知，()f x 在(0,)+∞上的最小值为224()1f a a=-，①当2410a->，即2a >时，()0f x >在(0,)+∞上恒成立，∴()max{(),()}h x f x g x =在(0,)+∞上无零点． ．．．．．．．．．8分②当2410a-=，即2a =时，min ()(1)0f x f ==，又(1)0g =，∴()max{(),()}h x f x g x =在(0,)+∞上有一个零点． ．．．．．．．．．9分③当2410a-<，即02a <<时，设32()()()31ln x f x g x ax x x ϕ=-=-+-(01)x <<，∵211'()366(1)0x ax x x x x x ϕ=--<--<，∴()x ϕ在(0,1)上单调递减，又232123(1)20,()0a e a e e e ϕϕ-=-<=+>，∴存在唯一的01(,1)x e∈，使得0()0x ϕ=． Ⅰ．当00x x <≤时，∵0()()()()0x f x g x x ϕϕ=-=≥，∴()()h x f x =且()h x 为减函数，又0000()()()ln ln10,(0)10h x f x g x x f ===<==>，∴()h x 在0(0,)x 上有一个零点； Ⅱ．当0x x >时，∵0()()()()0x f x g x x ϕϕ=-<=，∴()()h x g x =且()h x 为增函数， ∵(1)0g =，∴()h x 在0(,)x +∞上有一个零点；从而()max{(),()}h x f x g x =在(0,)+∞上有两个零点． ．．．．．．．．．15分 综上所述，当02a <<时，()h x 有两个零点；当2a =时，()h x 有一个零点；当2a >时，()h x 有无零点． ．．．．．．．．．．16分21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．(几何证明选讲，本小题满分10分)证明：连接AD ，∵AB 为圆的直径，∴AD BD ⊥，又EF AB ⊥，则,,,A D E F 四点共圆，∴BD BE BA BF ⋅=⋅． ．．．．．．．．．．．．．5分 又ABC ∆∽AEF ∆， ∴AB AC AE AF=，即AB AF AE AC ⋅=⋅， ∴2()BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ⋅-⋅=⋅-⋅=⋅-=． ．．．．．10分B ．(矩阵与变换，本小题满分10分)解:（1）设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由11811a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦及1038a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得883038a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=⎪⎪-+=⎩，解得6244a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，∴6244M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． ．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）设原曲线上任一点(,)P x y 在M 作用下对应点'(',')P x y ，则'6244'x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即'62'44x x y y x y =+⎧⎨=+⎩，解之得2''82'3'8x y x x y y -⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩， 代入320x y +-=得'2'40x y -+=，即曲线320x y +-=在M 的作用下的新曲线方程为240x y -+=． ．．．．．．10分C ．(极坐标与参数方程，本小题满分10分)解：（1）由cos 2:sin 2x r C y r θθ=+⎧⎨=+⎩得222(2)(2)x y r -+-=， ∴曲线C 是以(2,2)为圆心，r 为半径的圆，∴圆心的极坐标为)4π． ．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由πsin()104l θ++=得:10l x y ++=， 从而圆心(2,2)到直线l的距离为d == ∵圆C 与直线l 有公共点，∴d r ≤，即r ．．．．．．．．．．10分 D ．(不等式选讲，本小题满分10分) 证明：∵2222[(1)(1)(1)(1)]()1111a b c d a b c d a b c d++++++++++++++2+≥2()1a b c d=+++=，．．．．．．．．．．．．5分又(1)(1)(1)(1)5a b c d+++++++=，∴2222111115a b c da b c d+++++++≥．．．．．．．．．．．．．10分22．(本题满分10分)解：（1）随机变量X的可能取值为0，1，2，3．022211(0)(1)C(1)(1)22P X a a==--=-；021222111(1)C(1)(1)C(1)(1)222P X a a a a==-+--=-；122222111(2)C(1)(1)C(2)222P X a a a a a==-+-=-；222211(3)C22P X a a===．从而X222211141()0(1)1(1)2(2)322222a aE X a a a a+=⨯-+⨯-+⨯-+⨯=．．．．．．．5分（2）221(1)(0)[(1)(1)](1)2P X P X a a a a=-==---=-，22112(1)(2)[(1)(2)]22aP X P X a a a-=-==---=，222112(1)(3)[(1)]22aP X P X a a-=-==--=．由2(1)0122122a aaa⎧⎪-⎪-⎪⎨⎪⎪-⎪⎩≥≥≥和01a<<，得12a<≤,即a的取值围是1(0,]2．．．．．10分23．(本题满分10分)解：（1）∵底面ABCD，90DAB︒∠=，∴AB、AD、AS两两垂直．以A为原点，AB、AD、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），．．．．．．．．．．．．．．．1分则(0,0,)S a ，(,,0)C a a ，(0,3,0)D a (0)a >，∵SA AB a ==且SA AB ⊥，∴设(,0,)E x a x -其中0x a ≤≤，∴(,3,)DE x a a x =--，(,,)SC a a a =-， ．．．．．．．．．．．．．．．．2分 假设DE 和SC 垂直，则0DE SC ⋅=，即2223240ax a a ax ax a --+=-=，解得2x a =，这与0x a ≤≤矛盾，假设不成立，所以DE 和SC 不可能垂直． ．．．．．．．．4分（2）∵E 为线段BS 的三等分点（靠近B ），∴21(,0,)33E a a ．设平面SCD 的一个法向量是1111(,,)n x y z =，平面CDE 的一个法向量是2222(,,)n x y z =， ∵(,2,0)CD a a =-，(0,3,)SD a a =-，∴1100n CD n SD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11112030ax ay ay az -+=⎧⎨-=⎩，即111123x y z y =⎧⎨=⎩，取1(2,1,3)n =， ．．．．．．．．．．．．6分 ∵(,2,0)CD a a =-，21(,3,)33DE a a a =-，∴2200n CD n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩， 即2222220213033ax ay ax ay az -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，即222225x y z y =⎧⎨=⎩，取2(2,1,5)n =， ．．．．．．．．．．．．8分 设二面角S CD E --的平面角大小为θ，由图可知θ为锐角，∴1212122105cos |cos ,|||||1430n n n n n n θ⋅=<>===⋅⋅ 即二面角S -CD -E 2105． ．．．．．．．．．．．．10分。
2016-2017年江苏省苏州市高一上学期数学期中试卷和解析
2016-2017学年江苏省苏州市高一（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={0，1，3，5}，则A∩B等于（）A．{1，3}B．{2，4}C．{0，5}D．{0，1，2，3，4，5}2．（5分）若函数f（x）=x+log x，则f（27）等于（）A．2 B．1 C．﹣1 D．03．（5分）下列函数中，在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y= B．y=1﹣x2C．y=（）x D．y=lgx4．（5分）函数f（x）=x2﹣的零点位于区间（）A．（1，）B．（，）C．（，）D．（，2）5．（5分）列车从A地出发直达500km外的B地，途中要经过离A地300km的C地，假设列车匀速前进，5h后从A地到达B地，则列车与C地距离y（单位：km）与行驶时间t（单位：h）的函数图象为（）A．B． C．D．6．（5分）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=lnx，则e f （﹣2）的值为（）A．B．C．D．7．（5分）已知函数f（x）=4x2+kx﹣1在区间[1，2]上是单调函数，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣16]∪[﹣8，+∞）B．[﹣16，﹣8]C．（﹣∞，﹣8）∪[﹣4，+∞）D．[﹣8，﹣4]8．（5分）已知集合A={x|x≥1}，B={x|x＞2a+1}，若A∩（∁R B）=∅，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，0）9．（5分）已知a=2，b=log 3，c=log4，则（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a10．（5分）若函数y=a x在区间[0，2]上的最大值和最小值的和为5，则函数y=log a x 在区间[，2]上的最大值和最小值之差是（）A．1 B．3 C．4 D．511．（5分）已知alog23=1，4b=3，则ab等于（）A．0 B．C．D．112．（5分）已知函数f（x）=x2+bx+c满足f（2﹣x）=f（2+x），f（0）＞0，且f （m）=f（n）=0（m≠n），则log 4m﹣log n的值是（）A．小于1 B．等于1C．大于1 D．由b的符号确定二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1}，则集合A∪B的子集的个数为．14．（5分）函数f（x）=，则f（f（﹣3））=．15．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），若f（m）=2，则m=．16．（5分）已知函数f（x）=满足f（0）=1，且f（0）+2f（﹣1）=0，那么函数g（x）=f（x）+x有个零点．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（1）计算：﹣（）0+0.25×（）﹣4；（2）已知x+x=3，求的值．18．（12分）已知集合A={x|﹣4＜x＜1}，B={x|（）x≥2}．（1）求A∩B，A∪B；（2）设函数f（x）=的定义域为C，求（∁R A）∩C．19．（12分）已知函数y=f（x）满足f（x﹣1）=2x+3a，且f（a）=7．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若g（x）=x•f（x）+λf（x）+x在[0，2]上最大值为2，求实数λ的值．20．（12分）已知函数f（x）=x2+．（1）求证：f（x）是偶函数；（2）判断函数f（x）在（0，）和（，+∞）上的单调性并用定义法证明．21．（12分）设a＞1，函数f（x）=log2（x2+2x+a），x∈[﹣3，3]．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）的最大值为5，求f（x）的最小值．22．（12分）已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的零点；（2）若实数t满足f（log2t）+f（log2）＜2f（2），求f（t）的取值范围．2016-2017学年江苏省苏州市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={0，1，3，5}，则A∩B等于（）A．{1，3}B．{2，4}C．{0，5}D．{0，1，2，3，4，5}【解答】解：∵A={1，2，3，4}，B={0，1，3，5}，∴A∩B={1，3}，故选：A．2．（5分）若函数f（x）=x+log x，则f（27）等于（）A．2 B．1 C．﹣1 D．0【解答】解：函数f（x）=x+log x，则f（27）=27+log27=3﹣3=0，故选：D．3．（5分）下列函数中，在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y= B．y=1﹣x2C．y=（）x D．y=lgx【解答】解：由题意可知，选项A，B，C三个函数都是在（0，+∞）上单调递减，只有y=lgx在（0，+∞）上单调递增．故选：D．4．（5分）函数f（x）=x2﹣的零点位于区间（）A．（1，）B．（，）C．（，）D．（，2）【解答】解：函数f（x）=x2﹣，可得f（1）=﹣1＜0，f（）=﹣＞0，f（）==﹣＜0．f（）•f（）＜0．函数f（x）=x2﹣的零点位于区间：（，）．故选：B．5．（5分）列车从A地出发直达500km外的B地，途中要经过离A地300km的C地，假设列车匀速前进，5h后从A地到达B地，则列车与C地距离y（单位：km）与行驶时间t（单位：h）的函数图象为（）A．B． C．D．【解答】解：列车的运行速度为km/h，∴列车到达C地的时间为h，故当t=3时，y=0．故选：C．6．（5分）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=lnx，则e f （﹣2）的值为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得e f（﹣2）=e﹣f（2）=e﹣ln2==，故选：B．7．（5分）已知函数f（x）=4x2+kx﹣1在区间[1，2]上是单调函数，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣16]∪[﹣8，+∞）B．[﹣16，﹣8]C．（﹣∞，﹣8）∪[﹣4，+∞）D．[﹣8，﹣4]【解答】解：函数f（x）=4x2+kx﹣1的对称轴为x=﹣，若f（x）在区间[1，2]上是单调增函数，可得﹣≤1，解得k≥﹣8；若f（x）在区间[1，2]上是单调减函数，可得﹣≥2，解得k≤﹣16．综上可得k的范围是[﹣8，+∞）∪[﹣∞，﹣16]．故选：A．8．（5分）已知集合A={x|x≥1}，B={x|x＞2a+1}，若A∩（∁R B）=∅，则实数a 的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，0）【解答】解：由题意得，B={x|x＞2a+1}，则∁R B={x|x≤2a+1}，∵A={x|x≥1}，A∩（∁R B）=∅，∴2a+1＜1，得a＜0，∴实数a的取值范围是（﹣∞，0），故选：D．9．（5分）已知a=2，b=log 3，c=log4，则（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a【解答】解：a=2＞1，b=log 3∈（0，1）．，c=log4＜0，∴a＞b＞c．故选：C．10．（5分）若函数y=a x在区间[0，2]上的最大值和最小值的和为5，则函数y=log a x 在区间[，2]上的最大值和最小值之差是（）A．1 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵函数y=a x在区间[0，2]上的最大值和最小值的和为5，∴1+a2=5，解得a=2，a=﹣2（舍去），∴y=log2x在区间[，2]上为增函数，∴y max=log22=1，y min=log2=﹣2，∴1﹣（﹣2）=3，故选：B．11．（5分）已知alog23=1，4b=3，则ab等于（）A．0 B．C．D．1【解答】解：alog23=1，4b=3，可得a=log32，b=log23，ab═log32•（log23）=．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=x2+bx+c满足f（2﹣x）=f（2+x），f（0）＞0，且f （m）=f（n）=0（m≠n），则log 4m﹣log n的值是（）A．小于1 B．等于1C．大于1 D．由b的符号确定【解答】解：函数f（x）=x2+bx+c满足f（2﹣x）=f（2+x），∴函数的对称轴为x=2，∵f（m）=f（n）=0（m≠n），∴m+n=4，∴mn＜（）2=4∴log 4m﹣log n=log4m+log4n=log4mn＜log44=1，故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1}，则集合A∪B的子集的个数为8．【解答】解：由集合A中的方程得：x=0或2，即A={0，2}，∵B={0，1}，∴A∪B={0，1，2}，则A∪B的子集的个数为23=8个，故答案为：814．（5分）函数f（x）=，则f（f（﹣3））=．【解答】解：函数f（x）=，则f（f（﹣3））=f（9）==．故答案为：．15．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），若f（m）=2，则m=．【解答】解：设幂函数y=f（x）=x a，∵幂函数y=f（x）的图象过点（2，），∴，则a=，若f（m）==2，则m=，故答案为：16．（5分）已知函数f（x）=满足f（0）=1，且f（0）+2f（﹣1）=0，那么函数g（x）=f（x）+x有2个零点．【解答】解：函数f（x）=满足f（0）=1，可得c=1，f（0）+2f （﹣1）=0，可得﹣1﹣b+1=﹣，b=，∴当x＞0时，g（x）=f（x）+x=2x﹣2=0，解得x=1，当x≤0时，g（x）=f（x）+x=﹣x2+x+1，令g（x）=0，解得x=2舍去，或x=﹣．综上函数的零点有2个．故答案为：2．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（1）计算：﹣（）0+0.25×（）﹣4；（2）已知x+x=3，求的值．【解答】解：（1）﹣（）0+0.25×（）﹣4；原式=﹣4﹣1+×=﹣5+=﹣5+2=﹣3（2）已知：x+x=3，则（x+x）2=9⇒x+x﹣1+2=9⇒x+x﹣1=7∴（x+x﹣1）2=49⇒x2+x﹣2+2=49⇒x2+x﹣2=47所以：=．18．（12分）已知集合A={x|﹣4＜x＜1}，B={x|（）x≥2}．（1）求A∩B，A∪B；（2）设函数f（x）=的定义域为C，求（∁R A）∩C．【解答】解：（1）由（）x≥2得（）x≥=（）﹣1，则x≤﹣1，即B={x|x≤﹣1}，∵A={x|﹣4＜x＜1}，∴A∩B={x|﹣4＜x≤﹣1}，A∪B={x|x＜1}；（2）由题意得，，即，解得x≥2，∴函数f（x）的定义域C={x|x≥2}，由A={x|﹣4＜x＜1}得，∁R A={x|x≤﹣4或x≥1}，∴（∁R A）∩C={x|x≥2}．19．（12分）已知函数y=f（x）满足f（x﹣1）=2x+3a，且f（a）=7．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若g（x）=x•f（x）+λf（x）+x在[0，2]上最大值为2，求实数λ的值．【解答】解：（1）f（x﹣1）=2x+3a=2（x﹣1）+3a+2，则f（x）=2x+3a+2，∵f（a）=7，∴2a+3a+2=7，解得a=1，∴f（x）=2x+5，（2）g（x）=x•f（x）+λf（x）+x=x（2x+5）+2λx+5λ=2x2+（6+2λ）x+5λ，则其对称轴为x=﹣，当﹣≤0时，即λ≥﹣3时，函数g（x）在[0，2]上单调递增，故g（x）max=g （2）=9λ+20，当﹣≥2时，即λ≤﹣7时，函数g（x）在[0，2]上单调递减，故g（x）max=g （0）=5λ，当0＜﹣≤1时，即﹣5≤λ＜﹣3时，g（x）max=g（2）=9λ+20，当1＜﹣＜2时，即﹣7＜λ＜﹣5时，g（x）max=g（0）=5λ，故，当λ≥﹣5时，g（x）max=g（2）=9λ+20=2，解得λ=﹣2，当λ＜﹣5时，g（x）max=g（0）=5λ=2，解的λ=，舍去综上所述λ的值为﹣220．（12分）已知函数f（x）=x2+．（1）求证：f（x）是偶函数；（2）判断函数f（x）在（0，）和（，+∞）上的单调性并用定义法证明．【解答】解：（1）f（x）=x2+，则其定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f（﹣x）=（﹣x）2+=x2+=f（x），故函数f（x）为偶函数，（2）根据题意，函数f（x）在（0，）为减函数，在（，+∞）上为增函数；证明如下：设0＜x1＜x2＜，则f（x1）﹣f（x2）=（x1）2+（）﹣（x2）2+（）=[（x1）2﹣（x2）2][]=[（x1﹣x2）（x1+x2）][]，又由0＜x1＜x2＜，则f（x1）﹣f（x2）＞0，则f（x）在（0，）为减函数，同理设＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（x1）2+（）﹣（x2）2+（）=[（x1）2﹣（x2）2][]=[（x1﹣x2）（x1+x2）][]，又由＜x1＜x2，分析可得f（x1）﹣f（x2）＜0，则f（x）在（0，）为增函数．21．（12分）设a＞1，函数f（x）=log2（x2+2x+a），x∈[﹣3，3]．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）的最大值为5，求f（x）的最小值．【解答】解：（1）当a＞1时，知x2+2x+1＞0对任意的x∈[﹣3，3]，令t（x）=x2+2x+a，x∈[﹣3，3]，则y=log2t，且t（x）=（x+1）2+a﹣1，x∈[﹣3，3]，∴t（x）在[﹣3，﹣1]上为减函数，在（﹣1，3]为增函数，∵y=log2t为增函数，∴f（x）=log2（x2+2x+a）的两个单调区间为[﹣3，﹣1]，（﹣1，3]，且f（x）在[﹣3，﹣1]为减函数，在（﹣1，3]为增函数；（2）由（1）的单调性知，f（x）在x=﹣1处取得最小值，在x=3取得最大值，∴f（x）max=f（3）=log2（a+15）=5，解得a=17，∴f（x）min=f（﹣1）=log216=4．22．（12分）已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的零点；（2）若实数t满足f（log2t）+f（log2）＜2f（2），求f（t）的取值范围．【解答】解：（1）当x＜0时，解得：x=ln=﹣ln3，当x≥0时，解得：x=ln3，故函数f（x）的零点为±ln3；（2）当x＞0时，﹣x＜0，此时f（﹣x）﹣f（x）===0，故函数f（x）为偶函数，又∵x≥0时，f（x）=为增函数，∴f（log2t）+f（log 2）＜2f（2）时，2f（log2t）＜2f（2），即|log2t|＜2，﹣2＜log2t＜2，∴t ∈（，4）故f（t ）∈（，）赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321A1FB正方形ABCD中，∠EAF=45°∠1=12∠BAD推导说明：1.1在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠FAE＝45°，求证：EF＝BE+DFE-a1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°E-aa B E挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa+b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．E2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求△AMN的周长．ND CABM3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F。
江苏省苏州市2016-2017学年高二(上)期末数学试卷(含答案解析)
2016-2017学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）命题“∃x∈R，x2＞9”的否定是．2．（5分）抛物线y2=2x的焦点坐标为．3．（5分）过点P（0，1），且与直线2x+3y﹣4=0垂直的直线方程为．4．（5分）直线3x﹣4y﹣12=0与两条坐标轴分别交于点A，B，O为坐标原点，则△ABO的面积等于．5．（5分）函数y=x3﹣2x2+x的单调递减区间为．6．（5分）“m=﹣1”是“直线l1：mx﹣2y﹣1=0和直线l2：x﹣（m﹣1）y+2=0相互平行”的条件．（用“充分不必要”，“必要不充分条件”，“充要”，“既不充分也不必要”填空）7．（5分）函数y=x2﹣x﹣lnx在区间[1，3]上的最小值等于．8．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，则下列结论：①AD∥平面PBC；②平面PAC⊥平面PBD；③平面PAB⊥平面PAC；④平面PAD⊥平面PDC．其中正确的结论序号是．9．（5分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0上存在两个不同的点关于直线x+ay﹣1=0对称，过点A（﹣4，a）作圆C的切线，切点为B，则|AB|=．10．（5分）已知圆柱甲的底面半径R等于圆锥乙的底面直径，若圆柱甲的高为R，圆锥乙的侧面积为，则圆柱甲和圆锥乙的体积之比为．11．（5分）已知函数在区间（m，m+2）上单调递减，则实数m的取值范围为．12．（5分）在平面直角坐标系xoy中，已知直线l：ax+y+2=0和点A（﹣3，0），若直线l上存在点M满足MA=2MO，则实数a的取值范围为．13．（5分）在平面直角坐标系xoy中，直线y=2x+b是曲线y=2alnx的切线，则当a＞0时，实数b的最小值是．14．（5分）已知F是椭圆的左焦点，A，B为椭圆C的左、右顶点，点P在椭圆C上，且PF⊥x轴，过点A的直线与线段PF交与点M，与y轴交与点E，直线BM 与y轴交于点N，若NE=2ON，则椭圆C的离心率为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15．（14分）已知圆M的圆心在直线y=﹣x上，且经过点A（﹣3，0），B（1，2）．（1）求圆M的方程；（2）直线l与圆M相切，且l在y轴上的截距是在x轴上截距的两倍，求直线l的方程．16．（14分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为矩形，平面CDD1C1⊥平面ABCD，E，F分别是CD，AB的中点，求证：（1）AD⊥CD；（2）EF∥平面ADD1A1．17．（14分）从旅游景点A到B有一条100km的水路，某轮船公司开设一个游轮观光项目．已知游轮每小时使用燃料费用与速度的立方成正比例，其他费用为每小时3240元，游轮最大时速为50km/h，当游轮的速度为10km/h时，燃料费用为每小时60元，设游轮的航速为vkm/h，游轮从A到B一个单程航行的总费用为S元．（1）将游轮从A到B一个单程航行的总费用S表示为游轮的航速v的函数S=f（v）；（2）该游轮从A到B一个单程航行的总费用最少时，游轮的航速为多少，并求出最小总费用．18．（16分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）上的左、右顶点分别为A，B，F1为左焦点，且|AF1|=2，又椭圆C过点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点P和Q分别在椭圆C和圆x2+y2=16上（点A，B除外），设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2，若k1=，证明：A，P，Q三点共线．19．（16分）已知函数f（x）=a（x﹣1）﹣lnx（a为实数），g（x）=x﹣1，h（x）=．（1）当a=1时，求函数f（x）=a（x﹣1）﹣lnx在点（1，f（1））处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）若h（x）=f（x），求实数a的值．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=1，P为直线l：x=t（1＜t＜2）上一点．（1）已知t=．①若点P在第一象限，且OP=，求过点P的圆O的切线方程；②若存在过点P的直线交圆O于点A，B，且B恰为线段AP的中点，求点P纵坐标的取值范围；（2）设直线l与x轴交于点M，线段OM的中点为Q，R为圆O上一点，且RM=1，直线RM 与圆O交于另一点N，求线段NQ长的最小值．第二卷（附加题.每题10分。
苏州市2016-2017学年高三第一学期期中调研试卷
2016~2017学年第一学期高三期中调研试卷2016.11第一卷（选择题，共80分）第一部分：听力（共两节，满分15分）做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题纸上。
第一节（共5小题；每小题1分，满分5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1.What’s wrong with the man?A. He can’t see the sign clearly.B. He’s parked in the wrong place.C. He has no patience to wait for his wife.2.What are the speakers mainly talking about?A. The popularity of Paris street art.B. The man’s paintings.C. Art students.3.Which of the following will cost the most?A. The watermelon.B. All the bananas.C. All the apples.4.When does the conversation take place?A. At 8:45 a.m.B. At 9:00 a.m.C. At 9:30 a.m.5.What did the store look like before?A. Clean and organized.B. Old-fashioned.C. Very messy.第二节（共10小题；每小题1分，满分10分）听下面4段对话。
每段对话后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
2016-2017学年江苏省苏州市高二(上)期末数学试卷
2016-2017学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.命题“∃x∈R，x2＞9”的否定是______ ．【答案】∀x∈R，x2≤9【解析】解：命题“∃x∈R，x2＞9”的否定是命题“∀x∈R，x2≤9”，故答案为：∀x∈R，x2≤9．由已知中的原命题，结合特称命题否定的定义，可得答案．本题考查的知识点是特称命题的否定，难度不大，属于基础题．2.抛物线y2=2x的焦点坐标为______ ．【答案】，【解析】解：抛物线y2=2x的焦点在x轴的正半轴上，且p=1，∴=，故焦点坐标为（，0），故答案为：（，0）．焦点在x轴的正半轴上，且p=1，利用焦点为（，0），写出焦点坐标．本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，求的值是解题的关键．3.过点P（0，1），且与直线2x+3y-4=0垂直的直线方程为______ ．【答案】3x-2y+2=0【解析】解：∵直线2x+3y-4=0的斜率k=-，∴与直线2x+3y-4=0垂直的直线的斜率为．则点P（0，1），且与直线2x+3y-4=0垂直的直线方程为y-1=×（x-0），整理得：3x-2y+2=0．故答案为：3x-2y+2=0．求出已知直线的斜率，利用相互垂直的两直线的斜率关系求得待求直线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案．本题考查直线的一般式方程与直线垂直的关系，训练了直线的点斜式方程，是基础题．4.直线3x-4y-12=0与两条坐标轴分别交于点A，B，O为坐标原点，则△ABO的面积等于______ ．【答案】6【解析】解：直线3x-4y-12=0与两条坐标轴分别交于点A（4，0），B（0，-3），∴S△ABO==6．故答案为：6．直线3x-4y-12=0与两条坐标轴分别交于点A（4，0），B（0，-3），即可得出．本题考查了直线方程、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.函数y=x3-2x2+x的单调递减区间为______ ．【答案】（，1）【解析】解：y′=3x2-4x+1=（3x-1）（x-1），令y′＜0，解得：＜x＜1，故函数在（，1）递减，故答案为：（，1）．求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递减区间即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．6.“m=-1”是“直线l1：mx-2y-1=0和直线l2：x-（m-1）y+2=0相互平行”的______ 条件．（用“充分不必要”，“必要不充分条件”，“充要”，“既不充分也不必要”填空）【答案】充分不必要【解析】解：若直线l1：mx-2y-1=0和直线l2：x-（m-1）y+2=0相互平行，则m（m-1）=2，解得：m=2或m=-1，故m=-1是直线平行的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．求出直线平行的充分必要条件，根据集合的包含关系判断即可．本题考查了充分必要条件，考查直线的平行关系，是一道基础题．7.函数y=x2-x-lnx在区间[1，3]上的最小值等于______ ．【答案】【解析】解：y′=2x-1-=，由x∈[1，3]，故y′≥0在[1，3]恒成立，故函数在[1，3]递增，x=1时，函数取最小值，函数的最小值是0，故答案为：0．求出函数的导数，根据x的范围，求出函数的单调性，从而求出函数的最小值即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．8.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，则下列结论：①AD∥平面PBC；②平面PAC⊥平面PBD；③平面PAB⊥平面PAC；④平面PAD⊥平面PDC．其中正确的结论序号是______ ．【答案】①②④【解析】解：①由底面为正方形，可得AD∥BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，可得AD∥平面PBC；②在正方形ABCD中，AC⊥BD，PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD，PA∩AC=A，可得BD⊥平面PAC，BD⊂平面PBD，即有平面PAC⊥平面PBD；③PA⊥底面ABCD，可得PA⊥AB，PA⊥AC，可得∠BAC为二面角B-PA-C的平面角，显然∠BAC=45°，故平面PAB⊥平面PAC不成立；④在正方形ABCD中，可得CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，可得PA⊥CD，PA∩AD=A，可得CD⊥平面PAD，CD⊂平面PCD，即有平面PAD⊥平面PDC．综上可得，①②④正确．故答案为：①②④．①运用正方形的性质和线面平行的判定定理，即可判断；②运用线面垂直的判定和性质，以及面面垂直的判定定理即可判断；③运用线面垂直的性质，可得二面角的平面角，判断即可得到；④运用线面垂直的性质和判断，结合面面垂直的判定定理，即可得到结论．本题考查线面位置关系的判断，考查线面平行、线面垂直和面面垂直的判定定理的运用，考查空间想象和推理能力，属于中档题．9.已知圆C：x2+y2-4x-2y+1=0上存在两个不同的点关于直线x+ay-1=0对称，过点A （-4，a）作圆C的切线，切点为B，则|AB|= ______ ．【答案】6【解析】解：∵圆C：x2+y2-4x-2y+1=0，即（x-2）2+（y-1）2=4，表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线l：x+ay-1=0经过圆C的圆心（2，1），故有2+a-1=0，∴a=-1，点A（-4，-1）．∵AC==2，CB=R=2，∴切线的长|AB|==6．故答案为6．求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+ay-1=0经过圆C的圆心（2，1），求得a的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值．本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题．10.已知圆柱甲的底面半径R等于圆锥乙的底面直径，若圆柱甲的高为R，圆锥乙的侧面积为，则圆柱甲和圆锥乙的体积之比为______ ．【答案】24【解析】解：∵圆柱甲的底面半径R等于圆锥乙的底面直径，圆柱甲的高为R，圆锥乙的侧面积为，∴，解得l=，∴圆锥乙的高h==，∴圆柱甲和圆锥乙的体积之比为：甲==24．乙故答案为：24．由圆锥乙的侧面积求出圆锥乙的高为，由此利用圆柱的体积公式和圆锥的体积公式能求出圆柱甲和圆锥乙的体积之比．本题考查的知识点是圆柱和圆锥的体积之比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆柱的体积公式和圆锥的体积公式的合理运用．11.已知函数在区间（m，m+2）上单调递减，则实数m的取值范围为______ ．【答案】[-1，1]【解析】解：f′（x）=，令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜3，故f（x）在（-1，3）递减，故（m，m+2）⊆（-1，3），故，解得：-1≤m≤1，故答案为：[-1，1]．求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而得到（m，m+2）⊆（-2，3），求出m的范围即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及集合的包含关系，是一道基础题．12.在平面直角坐标系xoy中，已知直线l：ax+y+2=0和点A（-3，0），若直线l上存在点M满足MA=2MO，则实数a的取值范围为______ ．【答案】a≤0，或a≥【解析】解：取M（x，-2-ax），∵直线l上存在点M满足MA=2MO，∴=2，化为：（a2+1）x2+（4a-2）x+1=0，此方程有实数根，∴△=（4a-2）2-4（a2+1）≥0，化为3a2-4a≥0，解得a≤0，或a≥．故答案为：a≤0，或a≥．取M（x，-2-ax），直线l上存在点M满足MA=2MO，可得=2，化为：（a2+1）x2+（4a-2）x+1=0，此方程有实数根，可得△≥0，解出即可得出．本题考查了两点之间的距离公式、一元二次方程的实数解与判别式的关系、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.在平面直角坐标系xoy中，直线y=2x+b是曲线y=2alnx的切线，则当a＞0时，实数b的最小值是______ ．【答案】-2【解析】解：y=2alnx的导数为y′=，由于直线y=2x+b是曲线y=2alnx的切线，则设切点为（m，n），则2=，n=2m+b，n=2alnm，即有b=2alna-2a（a＞0），b′=2（lna+1）-2=2lna，当a＞1时，b′＞0，函数b递增，当0＜a＜1时，b′＜0，函数b递减，即有a=1为极小值点，也为最小值点，且最小值为：2ln1-2=-2．故答案为：-2．求出函数y的导数，设切点为（m，n），由条件得到2=，n=2m+b，n=2alnm，即有b=2alna-2a（a＞0），再对b求导，求出单调区间，极值也为最值，即可得到所求．本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于中档题．14.已知F是椭圆：＞＞的左焦点，A，B为椭圆C的左、右顶点，点P在椭圆C上，且PF⊥x轴，过点A的直线与线段PF交与点M，与y轴交与点E，直线BM与y轴交于点N，若NE=2ON，则椭圆C的离心率为______ ．【答案】【解析】解：由题意可设F（-c，0），A（-a，0），B（a，0），令x=-c，代入椭圆方程可得y=±b=±，可得P（-c，±），设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=-c，可得M（-c，k（a-c）），令x=0，可得E（0，ka），∵直线BM与y轴交于点N，NE=2ON，∴N（0，），由B，N，M三点共线，可得k BN=k BM，即为=，化简可得=，即为a=2c，可得e==．故答案为：．由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=-c，x=0，可得M，E的坐标，再由直线BM与y轴交于点N，NE=2ON，可得N的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、解答题(本大题共10小题，共138.0分)15.已知圆M的圆心在直线y=-x上，且经过点A（-3，0），B（1，2）．（1）求圆M的方程；（2）直线l与圆M相切，且l在y轴上的截距是在x轴上截距的两倍，求直线l的方程．【答案】解：（1）设圆心坐标为（a，-a），则（a+3）2+a=（a-1）2+（a-2）2，解得a=-1，r=，∴圆M的方程为（x+1）2+（y-1）2=5，（2）由题意，直线l不过原点，设方程为=1，即2x+y-2a=0，∵直线l与圆M相切，∴=，∴a=2或-3，∴直线l的方程为2x+y-4=0或2x+y+6=0．【解析】（1）设圆心坐标为（a，-a），则（a+3）2+a=（a-1）2+（a-2）2，解得a=-1，r=，即可求圆M的方程；（2）由题意，直线l不过原点，设方程为=1，即2x+y-2a=0，利用直线l与圆M相切，建立方程，求出a，可得直线l的方程．本题考查圆的方程，考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．16.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为矩形，平面CDD1C1⊥平面ABCD，E，F分别是CD，AB的中点，求证：（1）AD⊥CD；（2）EF∥平面ADD1A1．【答案】证明：（1）由底面ABCD为矩形可得AD⊥CD又∵平面C1D1DC⊥平面ABCD，平面C1D1DC∩平面ABCD平面=CD，∴AD⊥平面C1D1DC．又∵CD1⊂面C1D1DC，∴AD⊥CD1．（2）设DD1中点为G，连结EG，AG．∵E，G分别为CD1，DD1的中点，∴EG∥CD，EG=CD．在矩形ABCD中，∵F是AB的中点，∴AF=CD且AF∥CD，∴EG∥AF，且EG=AF．∴四边形AFEG是平行四边形，∴EF∥AG．又∵AG⊂平面ADD1A1，EF⊄平面ADD1A1，∴EF∥平面ADD1A1．【解析】（1）利用平面与平面垂直的性质定理即可证明．（2）利用已知条件证明四边形AFEG是平行四边形，从而根据EF∥AG即可证明EF∥平面ADD1A1．本题考查直线与平面平行的判定定理，以及平面与平面垂直的性质定理的应用．属于中档题．17.从旅游景点A到B有一条100km的水路，某轮船公司开设一个游轮观光项目．已知游轮每小时使用燃料费用与速度的立方成正比例，其他费用为每小时3240元，游轮最大时速为50km/h，当游轮的速度为10km/h时，燃料费用为每小时60元，设游轮的航速为vkm/h，游轮从A到B一个单程航行的总费用为S元．（1）将游轮从A到B一个单程航行的总费用S表示为游轮的航速v的函数S=f（v）；（2）该游轮从A到B一个单程航行的总费用最少时，游轮的航速为多少，并求出最小总费用．【答案】解：（1）设游轮以每小时vkm/h的速度航行，游轮单程航行的总费用为f（v）元，∵游轮的燃料费用每小时k•v3元，依题意k•103=60，则k=0.06，∴S=f（v）=+3240×=6v2+（0＜v≤50）；（2）f′（v）=，f′（v）=0得，v=30，当0＜v＜30时，f′（v）＜0，此时f（v）单调递减；当30＜v＜50时，f′（v）＞0，此时f（v）单调递增；故当v=30时，f（v）有极小值，也是最小值，f（30）=16200，所以，轮船公司要获得最大利润，游轮的航速应为30km/h．【解析】（1）利用游轮每小时使用燃料费用与速度的立方成正比例，其他费用为每小时3240元，可将游轮从A到B一个单程航行的总费用S表示为游轮的航速v的函数S=f（v）；（2）利用函数的单调性，即可求出函数的最小值．本题是一道实际应用题，考查了正比例函数，建模思想，求函数的导数，利用导数求函数的最值，解决实际问题的能力．18.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）上的左、右顶点分别为A，B，F1为左焦点，且|AF1|=2，又椭圆C过点，．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点P和Q分别在椭圆C和圆x2+y2=16上（点A，B除外），设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2，若k1=，证明：A，P，Q三点共线．【答案】解：（Ⅰ）由已知可得a-c=2，，又b2=a2-c2=12，解得a=4．故所求椭圆C的方程为=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（-4，0），B（4，0）．设P（x1，y1），Q（x2，y2），∴．∵P（x1，y1）在椭圆C上，∴，即．∴．又∵，∴k PA k2=-1．①由已知点Q（x2，y2）在圆x2+y2=16上，AB为圆的直径，∴QA⊥QB．∴k QA•k2=-1．②由①②可得k PA=k QA．∵直线PA，QA有共同点A，∴A，P，Q三点共线．【解析】（Ⅰ）由已知可得a-c=2，，又b2=a2-c2，解出即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（-4，0），B（4，0）．设P（x1，y1），Q（x2，y2），利用斜率计算公式、P（x1，y1）在椭圆C上，可得k PA•k1，又，可得k PA k2．由已知点Q（x2，y2）在圆x2+y2=16上，AB为圆的直径，可得k QA•k2=-1．只要证明k PA=k QA即可．本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、三点共线，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19.已知函数f（x）=a（x-1）-lnx（a为实数），g（x）=x-1，h（x）=，＜，．（1）当a=1时，求函数f（x）=a（x-1）-lnx在点（1，f（1））处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）若h（x）=f（x），求实数a的值．【答案】解：（1）当a=1时，f（x）=x-1-lnx，f（1）=0，f′（x）=1-，∴f′（1）=0，∴函数f（x）=a（x-1）-lnx在点（1，f（1））处的切线方程为y=0；（2）f′（x）=a-（x＞0），a≤0，f′（x）＜0，函数在（0，+∞）上单调递减；a＞0，由f′（x）＞0，解得x＞，函数的单调递增区间是（，+∞），f′（x）＜0，0＜x＜，函数的单调递减区间是（0，）；（3）令G（x）=f（x）-g（x）=（a-1）（x-1）-lnx，定义域（0，+∞），G（1）=0．∵h（x）=f（x），∴x＞0，G（x）≥0成立；a≤1，G′（x）=a-1-＜0，G（x）在（0，+∞）单调递减，∴G（2）＜G（1）=0，此时题设不成立；a＞1时，G（x）在（0，）上单调递减，（，∞）上单调递增，∴G（x）min=2-a+ln（a-1），∴2-a+ln（a-1）≥0恒成立，令t=a-1，t＞0，则1-t+lnt≥0恒成立，令H（t）=1-t+lnt（t＞0），则H（1）=0，H′（t）=，∴H（t）在（0，1）上单调递增，（1，+∞）上单调递减，∴H（t）max=H（1）=0，∴H（t）≤0（t=1时取等号），t＞0时，1-t+lnt=0的解为t=1，即a=2．【解析】（1）求导数，确定切线的斜率，切点的坐标，即可求出切线方程；（2）求导数，利用导数的正负，讨论函数f（x）的单调性；（3）G（x）=f（x）-g（x）=（a-1）（x-1）-lnx，若h（x）=f（x），x＞0，G（x）≥0成立x＞0，G（x）≥0成立，即可求实数a的值．本题考查导数知识的运用，考查求切线方程和函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查函数的最值，正确求导，合理分类是关键．20.在平面直角坐标系x O y中，圆O：x2+y2=1，P为直线l：x=t（1＜t＜2）上一点．（1）已知t=．①若点P在第一象限，且OP=，求过点P的圆O的切线方程；②若存在过点P的直线交圆O于点A，B，且B恰为线段AP的中点，求点P纵坐标的取值范围；（2）设直线l与x轴交于点M，线段OM的中点为Q，R为圆O上一点，且RM=1，直线RM与圆O交于另一点N，求线段NQ长的最小值．【答案】解：（1）①设点P的坐标为（，y0），因为OP=，所以（）2+y02=（）2，解得y0=±1．又点P在第一象限，所以y0=1，即点P的坐标为（，1），易知过点P的圆O的切线的斜率必存在，可设切线的斜率为k，则切线为y-1=k（x-），即kx-y+1-k=0，于是有=1，解得k=0或k=．因此过点P的圆O的切线方程为：y=1或24x-7y-25=0．②设A（x，y），则B（，），因为点A、B均在圆O上，所以有，即．该方程组有解，即圆x2+y2=1与圆（x+）2+（y+y0）2=4有公共点．于是1≤≤3，解得-≤y0≤，即点P纵坐标的取值范围是[-，]．（2）设R（x2，y2），则，解得x2=，=1-．直线RM的方程为：-（x-t）．由可得N点横坐标为，所以NQ==，所以当t2=，即t=时，NQ最小为．【解析】（1）①设点P的坐标为（，y0）（y0＞0），利用OP=，及（）2+y02=（）2，可解得y0=1．易知过点P的圆O的切线的斜率必存在，可设切线的斜率为k，切线为y-1=k（x-），利用点到直线间的距离公式可得=1，解得k=0或k=，从而可得过点P的圆O 的切线方程．②设A（x，y），则B（，），利用点A、B均在圆O上，可得，即，该方程组有解，即圆x2+y2=1与圆（x+）2+（y+y0）2=4有公共点，继而可得点P纵坐标的取值范围；（2）设R（x2，y2），则，解得x2=，=1-，于是可得直线RM的方程为：-（x-t），与圆的方程x2+y2=1联立，可求得N点横坐标为，继而可得NQ的表达式，可求得线段NQ长的最小值．本题考查直线与圆的方程的综合应用，考查点到直线间的距离公式、直线的点斜式方程，突出考查方程思想与综合运算能力，属于难题．21.求曲线f（x）=在x=2处的切线与x轴交点A的坐标．【答案】解：f（x）=的导数为f′（x）==，可得曲线f（x）=在x=2处的切线斜率为f′（2）=，切点为（2，），则曲线f（x）=在x=2处的切线方程为y-=（x-2），可令y=0，则x=．即有切线与x轴交点A的坐标为（，0）．【解析】求出函数的导数，可得曲线在x=2处切线的斜率，求得切点，运用点斜式方程，再由y=0，可得交点A．本题考查导数的运用：求切线方程，注意运用导数的运算法则和直线的点斜式方程，考查运算能力，属于基础题．22.已知点P是圆x2+y2=1上的一个动点，定点M（-1，2），Q是线段PM延长线上的一点，且，求点Q的轨迹方程．【答案】解：设P的坐标为（x，y），Q（a，b），则∵，定点M（-1，2），∴∴x=-2a-3，y=-2b+6∵Q是圆x2+y2=1上的动点∴x2+y2=1∴（-2a-3）2+（-2b+6）2=1即动点Q的轨迹方程是（x+）2+（y-3）2=．【解析】设出动点P、Q的坐标，利用，确定坐标之间的关系，利用P是圆x2+y2=1上的动点，即可求得方程，从而可得动点Q的轨迹方程．本题考查轨迹方程，考查代入法的运用，解题的关键是确定动点坐标之间的关系，属于中档题．23.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F-AB-P的余弦值．【答案】证明：（I）∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．∴B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1）∴=（0，1，1），=（2，0，0）∵•=0，∴BE⊥DC；（Ⅱ）∵=（-1，2，0），=（1，0，-2），设平面PBD的法向量=（x，y，z），由，得，令y=1，则=（2，1，1），则直线BE与平面PBD所成角θ满足：sinθ===，故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为．（Ⅲ）∵=（1，2，0），=（-2，-2，2），=（2，2，0），由F点在棱PC上，设=λ=（-2λ，-2λ，2λ）（0≤λ≤1），故=+=（1-2λ，2-2λ，2λ）（0≤λ≤1），由BF⊥AC，得•=2（1-2λ）+2（2-2λ）=0，解得λ=，即=（-，，），设平面FBA的法向量为=（a，b，c），由，得令c=1，则=（0，-3，1），取平面ABP的法向量=（0，1，0），则二面角F-AB-P的平面角α满足：cosα===，故二面角F-AB-P的余弦值为：【解析】（I）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE，DC的方向向量，根据•=0，可得BE⊥DC；（II）求出平面PBD的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）根据BF⊥AC，求出向量的坐标，进而求出平面FAB和平面ABP的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F-AB-P的余弦值．本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．24.如图，已知抛物线y2=4x，过点P（2，0）作斜率分别为k1，k2的两条直线，与抛物线相交于点A、B和C、D，且M、N分别是AB、CD的中点（1）若k1+k2=0，，求线段MN的长；（2）若k1•k2=-1，求△PMN面积的最小值．【答案】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设y1＞0，则设直线AB的方程为y=k1（x-2），代入y2=4x，可得y2-y-8=0∴y1+y2=，y1y2=-8，∵，∴y1=-2y2，∴y1=4，y2=-2，∴y M=1，∵k1+k2=0，∴线段AB和CD关于x轴对称，∴线段MN的长为2；（2）∵k1•k2=-1，∴两直线互相垂直，设AB：x=my+2，则CD：x=-y+2，x=my+2代入y2=4x，得y2-4my-8=0，则y1+y2=4m，y1y2=-8，∴M（2m2+2，2m）．同理N（+2，-），∴|PM|=2|m|•，|PN|=•，|∴S△PMN=|PM||PN|=（m2+1）=2（|m|+）≥4，当且仅当m=±1时取等号，∴△PMN面积的最小值为4．【解析】（1）若k1+k2=0，线段AB和CD关于x轴对称，利用，确定坐标之间的关系，即可求线段MN的长；（2）若k1•k2=-1，两直线互相垂直，求出M，N的坐标，可得|PM|，|PN|，即可求△PMN 面积的最小值．本题考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．。
16~17学年度苏州市高二教学情况调研答案解析版
2016~2017学年度苏州市高二教学情况调研答案解析版2016~2017学年度苏州市高二教学情况调研英语2017年6月注意：本试卷分第一卷和第二卷两部分。
答案全部做在答题卡上。
总分为120分。
考试时间120分钟。
第一卷第一部分：听力做题时，先将答案标在试卷上。
听力录音部分结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. What is the weather like now? A. Windy.B. Cloudy.C. Rainy. C. See the doctor. C. Next Tuesday. C.Broadway. 2. What does the man want to do tomorrow? A. Make an appointment. A. This Sunday. B. Welcome the woman. B. Next November.B. The Blue Line. 3. When are the speakers going to watch the movie? 4. Where does the woman want to go?A. Times Square. 5. Why is the woman worried about the exam? A. There were too many bonus questions.B. She didn’t finish the last question.C. Many people could finish the exam except her. 第二节听下面4段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
2016-2017学年高二上学期期中考试数学试题Word版含答案
北仑中学2016学年第一学期高二年级期中考试数学试卷（除高二4班以外的其它所有班级） 命题：贺幼龙 审题：莫芬利一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的.答案请填在答题卷的表格中.1．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是 （ ▲ ）第1题图2．若将圆锥的高扩大到原来的2倍，底面半径缩短到原来的12，则圆锥的体积 （ ▲ ）A ．扩大到原来的2倍B ．缩小到原来的一半C ．不变D ．缩小到原来的163．若,m n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则以下命题正确的是 （ ▲ ） A ．若α//m ，α⊂n ，则n m // B ．若m =βα ，n m ⊥，则α⊥nC ．若α//m ，α//n ，则n m //D ．若α//m ，β⊂m ，n =βα ，则n m //第4题图 第5题图4．如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是 （ ▲ ）A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BDC ．AC 1⊥平面CB 1D 1 D ．异面直线AD 与CB 1所成的角为60°A BC D5．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ▲ ） A ．82π- B ．8π- C ．82π- D ．84π-6．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是 （ ▲ ）A ．2＋2 B.1＋22 C.2＋22D ．1＋ 27．下列四个命题中正确的命题有 （ ▲ ） ①过空间任何一点P 可以作无数条直线与已知的异面直线b a ,都相交； ②三个平面两两相交，有三条交线，则此三条交线或交于一点，或互相平行；③直线a α⊥平面，直线b β⊥平面，则直线b a ,所成角与平面βα,所成角相等或互补； ④αβ⊥平面平面，,,m n m n αβ⊂⊂⊥，则β⊥m 或α⊥n .A.1个B.2个C.3个D.4个8．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,点A 在平面α内，点E 是底面ABCD 的中心.若1C E ⊥平面α，则1C AB ∆在平面α内的射影的面积为 （ ▲ ）ABCD第8题图 第11题图 第12题图二、填空题:本大题共7小题，前4题每空3分，后3题每空4分，共36分.将正确答案填在答题卷的横线上.9．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,则其表面积为 ▲ ，其内切球的体积为 ▲ . 10．将一个边长分别是2 cm 和3 cm ，两邻边夹角为60°的平行四边形绕其3 cm 边上的高所在直线旋转一周形成的简单几何体是 ▲ ，其体积为 ▲ cm 3.11．如图，P 是正方形ABCD 外一点，且PA ABCD ⊥平面，则此几何体的5个面中互相垂直的面有 ▲ 对;若PA AB =，则直线PC 与平面PAB 所成角的正切值为 ▲ .1C 1A 1D 1B CDABαE12．一个几何体的三视图及部分数据如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该几何体体积为 ▲ ，表面积为 ▲ .第13题图 第15题图13．如图，已知正三棱锥A —BCD 侧面的顶角为45°，侧棱长为a ，动点E 在侧棱AC 上运动，则线段BE 、ED 长度和的最小值为 ▲ .14,a b ,则a,b 所满足的等量关系式是 ▲ .15．如图，已知平面⊥α平面β，、A B 是平面α与β的交线上的两个定点，β⊂DA ，β⊂CB ，且6,8,4,,===⊥⊥AB BC AD CB DA αα，在平面α上有一个动点P ，使得BPC APD ∠=∠，则PAB ∆的面积的最大值为 ▲ ．三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16．（本题满分14的正四棱锥P －ABCD 中，侧棱与底面所成角的大小为60°． (1)求侧棱的长度；(2)求正四棱锥P －ABCD 的外接球的表面积.第16题图 第17题图17.（本题满分15分）如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝AA 1=1,∠ABC＝PDCBABCDAE90°. 点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点. (1)求三棱锥B -AFC 的体积； (2)求异面直线EF 和BC 1所成的角.18．（本题满分15分）如图1，平面四边形 ABCD 关于直线AC 对称，2=CD ,60,90,A C ︒︒∠=∠=把ABD ∆沿BD 折 起(如图2)使二面角C BD A --的余弦值 为33.对于图2 (1)求AC 的长;(2)证明：⊥AC 平面BCD ;(3)求直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值.第18题图19．（本题满分15分）如图，两矩形ABCD ，ABEF 所在平面互相垂直，DE 与平面ABCD 及平面ABEF 所成角分别为0030,45，N M ,分别为DB DE 、的中点，且1=MN . (1)求证：⊥MN 平面ABCD ； (2)求二面角B DE A --的正弦值.第19题图 第20题图20．（本题满分15分）如图，矩形ABCD 所在的半平面和直角梯形CDEF 所在的半平面 成60的二面角，.45,6,23,2,,// =∠===⊥CFE CF EF AD DE CD CF DE (1)求证：BF ∥平面ADE ；A CDB图1CABD图2FACB ED(2)试问在线段CF 上是否存在一点G ，使锐二面角D EG B --的余弦值为41.若存在，请求出CG 的值；若不存在，请说明理由.北仑中学2016学年第一学期高二年级期中考试数学参考答案（除高二4班以外的其它所有班级）一.选择题二.填空题9._____6______ ___6π____ 10.__圆台_____ ___3319π__ 11.______5_____ ____22___ 12.___ 31____ ____32+__13. 14. 822=+b a15. 12三.解答题16.(本题满分14分) （1）2 （2）316π17. (本题满分15分)PDCBA（1）1/12（2）318.(本题满分15分)解：（Ⅰ）取的中点，连接，由，得：就是二面角的平面角，在中，（Ⅱ）由，，又平面（Ⅲ）方法一：由（Ⅰ）知平面平面∴平面平面平面平面，作交于，则平面，就是与平面所成的角方法二：设点到平面的距离为，∵于是与平面所成角的正弦为．19. (本题满分15分)（1）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，且平面ABCD∩平面ABEF=AB，EB ⊥AB，∴EB⊥平面ABCD，又MN∥EB，∴MN⊥面ABCD．（2）解：过B作BO⊥AE于O点，过O作OH⊥DE于H，连BH，∵AD⊥平面ABEF，BO面ABEF，∴BO⊥平面ADE，∴OH为BH在平面ADE内的射影，∴BH⊥DE，即∠BHO为所求二面角的平面角，在Rt△ABE中，BO=，在Rt△DBE中，由BH·DE=DB·OE得BH=，∴sin∠BHO= .MOGFACBEDHOH20. (本题满分15分)证明：（1）∵在矩形ABCD 中BC ∥AD ， AD ⊂平面ADE BC ⊄平面ADE ， ∴BC ∥平面ADE ， 同理CF ∥平面ADE ， 又∵BC∩CF=C ， ∴平面BCF ∥平面ADE ， 而BF ⊂平面BCF ， ∴BF ∥平面ADE ． （2）∵CD ⊥AD ，CD ⊥DE∴∠ADE 即为二面角A-CD-F 的平面角， ∴∠ADE=60° 又∵AD∩DE=D ， ∴CD ⊥平面ADE ， 又∵CD ⊂平面CDEF ∴平面CDEF ⊥平面ADE ，作AO ⊥DE 于O ，则AO ⊥平面CDEF ．过O 作EH OH ⊥于H,连接BH,易得BHO ∠是锐二面角D EG B --的平面角 因为3=BO ，易求得55=OH 取CF 中点M,易知OHG ∆与EMG ∆相似，设x OG =（x>0），则EGEMOG OH =，即2)2(9355x x -+=，解得21=x 或2213-=x （舍）因此存在符合题意的点G,使得CG=23.。
苏州新区一中数学高二上期中经典题(提高培优)
一、选择题1．(0分)[ID ：13010]已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则 A ．270,75x s =<B ．270,75x s =>C ．270,75x s ><D ．270,75x s <>2．(0分)[ID ：12998]用电脑每次可以从区间()0,1内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于13的概率为（ ） A ．127B ．23C ．827D ．493．(0分)[ID ：12997]在本次数学考试中，第二大题为多项选择题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，小明因某原因网课没有学习，导致题目均不会做，那么小明做一道多选题得5分的概率为（ ） A ．115B ．112C ．111D ．144．(0分)[ID ：12994]设样本数据1210,,,x x x 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，1,2,,10)i =，则1210,,,y y y 的均值和方差分别为（ ）A ．1,4a +B ．1,4a a ++C ．1,4D ．1,4a +5．(0分)[ID ：12989]抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A 为“向上的点数是偶数”，事件B 为“向上的点数不超过3”，则概率()P A B =（ ）A ．12B ．13C ．23D ．566．(0分)[ID ：12975]有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A ．45B ．35C ．25D ．157．(0分)[ID ：12967]将20名学生任意分成甲、乙两组，每组10人，其中2名学生干部恰好被分在不同组内的概率为( )A ．192181020C C C B ．1921810202C C C C ．1921910202C C C D ．192191020C C C 8．(0分)[ID ：12965]微信中有个“微信运动”，记录一天行走的步数，小王的“微信步数排行榜”里有120个人，今天，他发现步数最少的有0.85万步，最多的有1.79万步．于是，他做了个统计，作出下表，请问这天大家平均走了多少万步？（ ）A．1.19B．1.23C．1.26D．1.319．(0分)[ID：12963]某校高一1班、2班分别有10人和8人骑自行车上学，他们每天骑行路程（单位：千米）的茎叶图如图所示：则1班10人每天骑行路程的极差和2班8人每天骑行路程的中位数分别是A．14，9.5B．9，9C．9，10D．14，910．(0分)[ID：12954]执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．5B．7C．9D．1111．(0分)[ID：12951]若框图所给的程序运行结果为S=20，那么判断框中应填入的关于k的条件是()A．k>8？B．k≤8？C．k<8？D．k=9？12．(0分)[ID ：12949]已知不等式501x x -<+的解集为P ，若0x P ∈，则“01x <”的概率为（ ）． A ．14B ．13C ．12D ．2313．(0分)[ID ：12944]如图所示是为了求出满足122222018n +++>的最小整数n ，和两个空白框中，可以分别填入（ ）A ．2018S >？，输出1n -B ．2018S >？，输出nC ．2018S ≤？，输出1n -D ．2018S ≤？，输出n14．(0分)[ID ：12934]某程序框图如图所示，若输出的结果是126，则判断框中可以是( )A ．6?i >B ．7?i >C ．6?i ≥D ．5?i ≥15．(0分)[ID ：13018]采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，...，960，分组后某组抽到的号码为41．抽到的32人中，编号落入区间[]401,755 的人数为（ ） A ．10B ．11C ．12D ．13二、填空题16．(0分)[ID ：13127]在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）.17．(0分)[ID ：13118]古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为_________18．(0分)[ID ：13103]在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得11x +≥成立的概率为______．19．(0分)[ID ：13101]变量X 与Y 相对应的5组数据和变量U 与V 相对应的5组数据统计如表： X 10 11.3 11.8 12.5 13 U 10 11.3 11.8 12.5 13 Y12345V54321用b 1表示变量Y 与X 之间的回归系数，b 2表示变量V 与U 之间的回归系数，则b 1与b 2的大小关系是___．20．(0分)[ID ：13090]如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为98、63，则输出的a =_______．21．(0分)[ID ：13069]已知变量,x y 取值如表：x0 1 4 5 6 8y 1.3 1.85.66.17.4 9.3若y 与x 之间是线性相关关系，且ˆ0.95yx a =+，则实数a =__________．22．(0分)[ID ：13068]已知多项式32256f x x x x =--+（），用秦九韶算法，当10x =时多项式的值为__________．23．(0分)[ID ：13064]根据下图所示的流程图，回答下面问题：若a ＝50.6，b ＝0.65，c ＝log0.65，则输出的数是________．24．(0分)[ID ：13040]已知函数log 2,3()(5)3,3a x x f x a x x ->⎧=⎨--≤⎩（）满足对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围为______________；25．(0分)[ID ：13029]从一副扑克牌中取出1张A ，2张K ，2张Q 放入一盒子中，然后从这5张牌中随机取出两张，则这两张牌大小不同的概率为__________．三、解答题26．(0分)[ID ：13222]某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数， 得到如下资料： 日期1月10日 2月10日 3月10日 4月10日 5月10日 6月10日 昼夜温差()x c 10 11 13 12 8 6 就诊人数y (个） 222529261612该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取 2 组，用剩下的 4 组数据求 线性回归方程，再用被选取的 2 组数据进行检验； （Ⅰ）求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率；（Ⅱ）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出 y 关于x 的线性回归方程 ；（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人， 则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？附：对于一组数据11(,)u v ，2,2)u v （ ，…，（,)n n u v ，其回归直线V u αβ=+ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为i 1i i i 12i n()(?)u )ˆ(n u u v u β==∑-=∑-，ˆ-ˆu ανβ= . 27．(0分)[ID ：13208]国家公安机关为给居民带来全方位的安全感，大力开展智慧警务社区建设.智慧警务建设让警务更智慧，让民生更便利，让社区更安全.下表是某公安分局在建设智慧警务社区活动中所记录的七个月内的该管辖社区的违法事件统计数据： 月份 1 2 3 4 5 6 7 违法案件数196101663421116根据以上数据，绘制了如图所示的散点图.（1）根据散点图判断，用y a bx =+与(0,01)xy c d b d =⋅<<<哪一个更适宜作为违法案件数y 关于月份x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）中的判断结果及表中所给数据，求y 关于x 的回归方程（保留两位有效数字），并预测第8个月该社区出现的违法案件数（取整数）. 参考数据：yv71i ii x y =∑71i i i x v =∑721ii x=∑ 2.541062.141.54945 36.186 140346.74其中i i v lgy =，7117i i v v ==∑.参考公式：对一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ni i i nii u v nuvunuβ==-=-∑∑，v u αβ=-.28．(0分)[ID ：13164]某药厂为了了解某新药的销售情况，将今年2至6月份的销售额整理得到如下图表：（1）根据2至6月份的数据，求出每月的销售额y 关于月份x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+；（2）根据所求线性回归方程预测该药厂今年第三季度（7,8,9月份）这种新药的销售总额.（参考公式：^1221()ni ii nii x y nx yb xn x ==-=-∑∑，^^y x a b=-） 29．(0分)[ID ：13138]某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x （单位：千万元）对年销售量y （单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用i x 与年销售量()1,2,,10i y i =的数据，得到散点图如图所示：（Ⅰ）利用散点图判断，y a bx =+和dy c x =⋅（其中c ，d 为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用x 和年销售量y 的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）；（Ⅱ）对数据作出如下处理：令ln i u x =，ln i y υ=，得到相关统计量的值如下表：根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，求y 关于x 的回归方程； （Ⅲ）已知企业年利润z （单位：千万元）与x ，y 的关系为27z y x e=-（其中2.71828e =），根据（Ⅱ）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u u u υυυ，其回归直线u υαβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()1122211ˆnniii ii i nni i i i u u u nu u uu nuυυυυβ====---==--∑∑∑∑，ˆˆˆu αυβ=- 30．(0分)[ID ：13137]某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中上学所需时间的范围是[]0100，，样本数据分组为)020⎡⎣，，)2040⎡⎣，，)4060⎡⎣，，)6080⎡⎣，，)80100⎡⎣，．(1)求直方图中x 的值；(2)如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若该学校有600名新生，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；(3)由频率分布直方图估计该校新生上学所需时间的平均值．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．A 2．C 3．C 4．A 5．D6．C7．A8．C9．A10．C11．A12．B13．A14．A15．C二、填空题16．【解析】【分析】【详解】已知六个点任取三个不同取法总数为：；可构成三角形的个数为：所以所求概率为：17．【解析】五种抽出两种的抽法有种相克的种数有5种故不相克的种数有5种故五种不同属性的物质中随机抽取两种则抽取的两种物质不相克的概率是故答案为18．【解析】【分析】求出不等式的解集计算长度运用几何概型即可求出概率【详解】或则在区间上随机取一个数x使得成立的概率为故答案为【点睛】本题考查了几何概型中的长度型概率只需将题目中的含有绝对值不等式进行求19．【解析】分析：根据回归系数几何意义得详解：因为Y与X之间正增长所以因为V与U之间负增长所以因此点睛：函数关系是一种确定的关系相关关系是一种非确定的关系事实上函数关系是两个非随机变量的关系而相关关系是20．7【解析】【分析】模拟执行程序框图只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算直到达到输出条件即可得到输出的值【详解】由程序框图可知：则因此输出的为故答案为7【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图属21．【解析】分析：首先求得样本中心点然后结合回归方程过样本中心点即可求得实数a 的值详解：由题意可得：回归方程过样本中心点则：解得：故答案为：145点睛：本题主要考查回归方程的性质及其应用等知识意在考查学22．【解析】分析：由题意首先整理所给的多项式然后利用秦九韶算法求解多项式的值即可详解：由题意可得：当时故答案为点睛：本题主要考查秦九韶算法及其应用意在考查学生的转化能力和计算求解能力23．6【解析】因为所以输出24．【解析】为单独递增函数所以点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性除注意各段的单调性外还要注意25．【解析】试题分析：从这5张牌中随机取出两张的情况有：其中不同的有８种故概率是三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】,x s的值，即可得到答案．分别根据数据的平均数和方差的计算公式，求得2【详解】由题意，根据平均数的计算公式，可得7050806070907050x ⨯+-+-==，设收集的48个准确数据分别记为1248,,,x x x ，则()()()()()2222212481757070706070907050x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦()()()2221248170707050050x x x ⎡⎤=-+-++-+⎣⎦，()()()()()222222124817070708070707050s x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦()()()222124817070701007550x x x ⎡⎤=-+-++-+<⎣⎦，故275s <．选A ． 【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，数基础题．2．C解析：C 【解析】 由题意可得： 每个实数都大于13的概率为12133p =-=， 则3个实数都大于13的概率为328327⎛⎫= ⎪⎝⎭. 本题选择C 选项.3．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意结合组合的知识可知，总的答案的个数为11个，而正确的答案只有1个，根据古典概型的计算公式，即可求得结果. 【详解】总的可选答案有：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ， ABC ，ABD ，ACD ，BCD ，ABCD ，共11个， 而正确的答案只有1个， 即得5分的概率为111p =. 故选：C. 【点睛】本题考查了古典概型的基本知识，关键是弄清一共有多少个备选答案，属于中档题.4．A解析：A 【解析】试题分析：因为样本数据1210,,,x x x 的平均数是1,所以1210,,...y y y 的平均数是121012101210.........1101010y y y x a x a x a x x x a a ++++++++++++==+=+；根据i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,,10i =），以及数据1210,,,x x x 的方差为4可知数据1210,,,y y y 的方差为2144⨯=，综上故选A.考点：样本数据的方差和平均数．5．D解析：D 【解析】 【分析】满足向上的点数是偶数或向上的点数不超过3的点数有：1,2,3,4,6五种情况，得到答案. 【详解】满足向上的点数是偶数或向上的点数不超过3的点数有：1,2,3,4,6五种情况， 故5()6P AB =. 故选：D . 【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.6．C解析：C 【解析】选取两支彩笔的方法有25C 种，含有红色彩笔的选法为14C 种，由古典概型公式，满足题意的概率值为142542105C p C ===. 本题选择C 选项. 考点：古典概型名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.7．A解析：A 【解析】 【分析】由题意知本题是一个古典概型，先求出事件发生的总个数，再求出满足要求的事件个数，再根据古典概型的概率公式即可得出结果. 【详解】由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件是20名学生平均分成两组共有1020C 种结果， 而满足条件的事件是2名学生干部恰好被分在不同组内共有19218C C 中结果，根据古典概型的概率公式得192181020=C C P C . 故选：A. 【点睛】本题主要考查古典概型和组合问题，属于基础题.8．C解析：C 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中平均数的计算方法求解即可. 【详解】由题,区间[)[)[)[)0.8,1.0,1.0,1.2,1.2,1.4,1.6,1.8所占频率分别为：0.20.50.1,0.2 1.250.25,0.2 2.250.45,0.20.250.05,⨯=⨯=⨯=⨯=故区间[)1.4,1.6所占频率为10.10.250.450.050.15----=. 故0.90.1 1.10.25 1.30.45 1.50.15 1.70.05 1.26x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 故选：C 【点睛】本题主要考查了补全频率分布直方图的方法以及根据频率分布直方图计算平均数的问题.属于中档题.9．A解析：A 【解析】2班共有8个数据，中间两个是9和10，因此中位数为9.5，只有A 符合，故选A ．（1班10个数据最大为22，最小为8，极差为14）．10．C解析：C 【解析】循环依次为123,123;S K =+==+=369,325;S K =+==+=91019,527;S K =+==+=191433,729;S K =+==+=结束循环,输出9;K =选C.11．A解析：A 【解析】 【分析】根据所给的程序运行结果为S =20，执行循环语句，当计算结果S 为20时，不满足判断框的条件，退出循环，从而到结论． 【详解】由题意可知输出结果为S =20， 第1次循环，S =11，K =9， 第2次循环，S =20，K =8，此时S 满足输出结果，退出循环，所以判断框中的条件为k >8． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，同时考查了推理能力，属于基础题．12．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】分析：解分式不等式得集合P ，再根据几何概型概率公式（测度为长度）求结果. 详解：(5)(1)050101x x x x x -+<⎧-<⇒⎨+≠+⎩， ∴{}|15P x x =-<<，||111x x <⇒-<<，∴1(1)15(1)3P --==--．选B ．点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．13．A解析：A 【解析】 【分析】 通过要求122222018n +++>时输出且框图中在“是”时输出确定“”内应填内容；再通过循环体确定输出框的内容．【详解】因为要求122222018n +++>时输出，且框图中在“是”时输出，所以“”内输入“2018S >？”，又要求n 为最小整数， 所以“”中可以填入输出1n -，故选：A ． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题．14．A解析：A 【解析】试题分析：根据程序框图可知，该程序执行的是2362222++++，所以判断框中应该填i>6?.考点：本小题主要考查程序框图的识别和应用，考查学生读图、识图的能力.点评：要分清是当型循环还是直到型循环，要特别注意退出循环的条件的应用，避免多执行或少执行一步.15．C解析：C 【解析】 【分析】由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n ＝30n ﹣19，由401≤30n ﹣21≤755，求得正整数n 的个数，即可得出结论． 【详解】∵960÷32＝30，∴每组30人，∴由题意可得抽到的号码构成以30为公差的等差数列， 又某组抽到的号码为41，可知第一组抽到的号码为11，∴由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列， ∴等差数列的通项公式为a n ＝11+（n ﹣1）30＝30n ﹣19， 由401≤30n ﹣19≤755，n 为正整数可得14≤n ≤25， ∴做问卷C 的人数为25﹣14+1＝12， 故选C ． 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，根据系统抽样的定义转化为等差数列是解决本题的关键，比较基础．二、填空题16．【解析】【分析】【详解】已知六个点任取三个不同取法总数为：；可构成三角形的个数为：所以所求概率为：解析：34【分析】 【详解】已知A C E F B C D 、、、共线；、、共线；六个点任取三个不同取法总数为：36C ；可构成三角形的个数为：33364315C C C --=，所以所求概率为：3336433634C C C C --=. 17．【解析】五种抽出两种的抽法有种相克的种数有5种故不相克的种数有5种故五种不同属性的物质中随机抽取两种则抽取的两种物质不相克的概率是故答案为 解析：12【解析】五种抽出两种的抽法有2510C =种，相克的种数有5种，故不相克的种数有5种，故五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率是12，故答案为12. 18．【解析】【分析】求出不等式的解集计算长度运用几何概型即可求出概率【详解】或则在区间上随机取一个数x 使得成立的概率为故答案为【点睛】本题考查了几何概型中的长度型概率只需将题目中的含有绝对值不等式进行求 解析：23【解析】 【分析】求出不等式的解集，计算长度，运用几何概型即可求出概率 【详解】11x +≥0x ∴≥或2x ≤-则在区间[]33-，上随机取一个数x ，使得11x +≥成立的概率为4263= 故答案为23【点睛】本题考查了几何概型中的长度型概率，只需将题目中的含有绝对值不等式进行求解，然后计算出长度，即可得到结果19．【解析】分析：根据回归系数几何意义得详解：因为Y 与X 之间正增长所以因为V 与U 之间负增长所以因此点睛：函数关系是一种确定的关系相关关系是一种非确定的关系事实上函数关系是两个非随机变量的关系而相关关系是解析：12b b >.分析：根据回归系数几何意义得120b b >> 详解：因为Y 与X 之间正增长，所以10b > 因为V 与U 之间负增长，所以20b < 因此120b b >>，点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求,a b ，写出回归方程，回归直线方程恒过点(,)x y .b 的正负，决定正相关与负相关.20．7【解析】【分析】模拟执行程序框图只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算直到达到输出条件即可得到输出的值【详解】由程序框图可知：则因此输出的为故答案为7【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图属解析： 7 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出a 的值. 【详解】由程序框图可知：9863a b =>=，359863,286335a b ∴←=-←=-， 73528,21287a b ∴←=-←=-， 14217,72114a b ←=-←=-，7147a ←=-，则7a b ==，因此输出的a 为7，故答案为7. 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.21．【解析】分析：首先求得样本中心点然后结合回归方程过样本中心点即可求得实数a 的值详解：由题意可得：回归方程过样本中心点则：解得：故答案为：145点睛：本题主要考查回归方程的性质及其应用等知识意在考查学 解析：1.45【解析】分析：首先求得样本中心点，然后结合回归方程过样本中心点即可求得实数a 的值.详解：由题意可得：01456846x +++++==，1.3 1.8 5.6 6.17.49.35.256y +++++==，回归方程过样本中心点，则：5.250.954a =⨯+，解得： 1.45a =. 故答案为： 1.45．点睛：本题主要考查回归方程的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22．【解析】分析：由题意首先整理所给的多项式然后利用秦九韶算法求解多项式的值即可详解：由题意可得：当时故答案为点睛：本题主要考查秦九韶算法及其应用意在考查学生的转化能力和计算求解能力 解析：756【解析】分析：由题意首先整理所给的多项式，然后利用秦九韶算法求解多项式的值即可. 详解：由题意可得：()()322256256f x x x x x x x =--+=--+()256x x x ⎡⎤=--+⎣⎦，当10x =时，()()10102105106756f =-⨯-⨯+=⎡⎤⎣⎦. 故答案为 756．点睛：本题主要考查秦九韶算法及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23．6【解析】因为所以输出解析：6 【解析】因为a b c >>，所以输出50.6.a =24．【解析】为单独递增函数所以点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性除注意各段的单调性外还要注意 解析：45a ≤<【解析】()()12120f x f x x x ->-⇒ log 2,3()(5)3,3a x x f x a x x ->⎧=⎨--≤⎩（）为单独递增函数，所以15045log (32)3(5)3aa a a a >⎧⎪->⇒≤<⎨⎪-≥--⎩ 点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[,]a b 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围25．【解析】试题分析：从这5张牌中随机取出两张的情况有：其中不同的有８种故概率是 解析：45【解析】试题分析：从这5张牌中随机取出两张的情况有：,,,,,,,,,AK AK AQ AQ KK KQ KQ KQ KQ QQ ，其中不同的有８种，故概率是84105P == 。
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2016-2017学年江苏省苏州市新区一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题有14小题，每小题5分共70分）1．设AA1是正方体的一条棱，则这个正方体中与AA1异面的棱共有4条．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】画出正方体ABCD﹣A1B1C1D1，根据异面直线的概念即可找出与棱AA1异面的棱．【解答】解：如图，与棱AA1异面的棱为：CD，C1D1，BC，B1C1，共4条．故答案为：4．【点评】考查异面直线的概念，能判断空间两直线是否异面，能画出正方体的直观图．2．（2016秋•高新区校级期中）已知平面外一条直线上有两个不同的点到这个平面的距离相等，则这条直线与该平面的位置关系是平行或相交．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】综合题；分类讨论；演绎法；空间位置关系与距离．【分析】根据题意可得①当两点A、B在平面α的同侧时，直线AB与平面α平行；②当线段AB的中点C在平面α内时，A、B到α的距离相等，此时直线AB与平面α相交．由此可得正确答案．【解答】解：分两种情况①当A、B两点在平面α的同侧时，由于A、B到α的距离相等，所以直线AB与平面α平行；②当A、B两点在平面α的两侧时，并且AB的中点C在平面α内时，A、B到α的距离相等，此时直线AB与平面α相交．综上所述，可得：直线与平面平行或直线与平面相交故答案为：平行或相交．【点评】本题给出直线上存在两点到平面距离相等，判断直线与平面的位置关系，考查了空间直线与平面之间的位置关系，属于基础题．3．（2016秋•高新区校级期中）用一张长12cm，宽8cm的矩形围成圆柱形的侧面，求这个圆柱的体积是或．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】计算题．【分析】求出分别以12cm，8cm为圆柱的底面圆周的底面圆的半径，然后求出圆柱的体积即可．【解答】解：∵侧面展开图是长12cm，宽8cm的矩形，若圆柱的底面周长为12cm，则底面半径R=cm，h=8cm，此时圆柱的体积V=π•R2•h=cm3若圆柱的底面周长为8cm，则底面半径R=cm，h=12cm，此时圆柱的体积V=π•R2•h=cm3．故答案为：或．【点评】本题考查的知识点是圆柱的体积，其中根据已知条件分别确定圆柱的底面周长和高是解答本题的关键．4．（2010秋•江西校级期中）P点在直线3x+y﹣5=0上，且P到直线x﹣y﹣1=0的距离等于，则P点的坐标为（1，2）或（2，﹣1）．【考点】点到直线的距离公式．【专题】直线与圆．【分析】设出点P的坐标为（a，5﹣3a），利用点到直线的距离公式表示出P到已知直线的距离d，让d等于列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，写出点P的坐标即可．【解答】解：设P点坐标为（a，5﹣3a），由题意知：=．解之得a=1或a=2，∴P点坐标为（1，2）或（2，﹣1）．故答案为：（1，2）或（2，﹣1）．【点评】此题考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道基础题．此题的点P 有两解，解题时不要漏解．5．（2016秋•高新区校级期中）直线y=3x+3关于直线l；x﹣y﹣2=0的对称直线方程为x ﹣3y﹣11=0．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】计算题；方程思想；演绎法；直线与圆．【分析】利用当对称轴斜率为±1时，由对称轴方程分别解出x，y，代入已知直线的方程，得此直线关于对称轴对称的直线方程．【解答】解：因为直线x﹣y﹣2=0的斜率为1，故有，将其代入直线3x﹣y+3=0即得：3（y+2）﹣（x﹣2）+3=0，整理即得x﹣3y﹣11=0．故答案为：x﹣3y﹣11=0．【点评】本题考查求一直线关于某直线的对称直线方程的求法．当对称轴斜率为±1时，由对称轴方程分别解出x，y，代入已知直线的方程，即得此直线关于对称轴对称的直线方程．6．（2016秋•高新区校级期中）设直线l的方程为2x+（k﹣3）y﹣2k+6=0（k≠3），若直线l在x轴、y轴上截距之和为0，则k的值为1．【考点】直线的截距式方程．【专题】计算题；方程思想；演绎法；直线与圆．【分析】求出与两坐标轴的交点坐标，得到直线l在x轴与y轴上截距，最后利用条件求出实数k的值．【解答】解：直线与两坐标轴的交点分别为（k﹣3，0），（0，2），由题意可得k﹣3+2=0，∴k=1．故答案为1．【点评】本题主要考查直线方程的一般式．解决第二问的关键在于求出直线与两坐标轴的交点．7．（2016秋•高新区校级期中）已知点P（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2=4的内部，则实数a的取值范围为（﹣1，1）．【考点】点与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】直接由点P（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2=4的内部，得到（1﹣a）2+（1+a）2＜4，求解关于a的一元二次不等式得答案．【解答】解：∵点P（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2=4的内部，∴（1﹣a）2+（1+a）2＜4．即a2＜1．解得：﹣1＜a＜1．∴实数a的取值范围为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．【点评】本题考查了点与圆的位置关系，考查了数学转化思想方法，是基础的计算题．8．（2016秋•高新区校级期中）若正六棱锥的底面边长为2cm，体积为2cm3，则它的侧面积为12cm2．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】作图题；立体几何．【分析】由题意可知该几何体是底面为正六边形的棱锥体，根据体积为2cm3，求出棱锥的高，底面为正六边形可分成6个全等的等边三角形．即可求棱长，侧面积是6个全等的等腰三角形，从而可求侧面积．【解答】解：由题意可知该几何体是底面为正六边形的棱锥体，底面为正六边形可分成6个全等的等边三角形．其边长为2，底面的面积S=6．∵该几何体体积V=2cm3，∴棱锥的高h==1所以：棱长=侧面积是6个全等的等腰三角形，其高是2，一个等腰三角形面积为2，故得该几何体侧面积S侧=2×6=12．故答案为12．【点评】本题考查了正棱锥体的性质和体积的计算，侧面积的计算．属于基础题．9．（2008•南通模拟）设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列四个命题：①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；③若l上有两点到α的距离相等，则l∥α；④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β．其中正确命题的序号是②④．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】综合题．【分析】根据直线与平面平行的判断定理及其推论对①、②、③、④四个命题进行一一判断；【解答】解：①错误，l可能在平面α内；②正确，l∥β，l⊂γ，β∩γ=n⇒l∥n⇒n⊥α，则α⊥β；③错误，直线可能与平面相交；④∵α⊥β，α∥γ，⇒γ⊥β，故④正确．故答案为②④；【点评】此题考查直线与平面平行的判断定理：公理二：如果两个平面有一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上公理三：三个不共线的点确定一个平面推论一：直线及直线外一点确定一个平面推论二：两相交直线确定一个平面，这些知识要熟练掌握．10．（2014•江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】立体几何．【分析】设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比．【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；∵=，∴，它们的侧面积相等，∴，∴===．故答案为：．【点评】本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用，是基础题目．11．（2016秋•高新区校级期中）已知一个圆经过直线l：2x+y+4=0与圆C：x2+y2+2x﹣4y=0的两个交点，并且有最小面积，则此圆的方程为x2+y2+x﹣y+=0．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；方程思想；演绎法；直线与圆．【分析】设出所求圆的方程为x2+y2+2x﹣4y+λ（2x+y+4=0）=0，找出此时圆心坐标，当圆心在直线2x+y+4=0上时，圆的半径最小，可得此时面积最小，把表示出的圆心坐标代入2x+y+4=0中，得到关于λ的方程，求出方程的解得到λ的值，进而确定出所求圆的方程．【解答】解：可设圆的方程为x2+y2+2x﹣4y+λ（2x+y+4）=0，即x2+y2+2（1+λ）x+（λ﹣4）y+4λ=0，此时圆心坐标为（﹣1﹣λ，），显然当圆心在直线2x+y+4=0上时，圆的半径最小，从而面积最小，∴2（﹣1﹣λ）++4=0，解得：λ=，则所求圆的方程为：x2+y2+x﹣y+=0．故答案为：x2+y2+x﹣y+=0．【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，根据题意设出所求圆的方程，找出圆心坐标，得出圆心在直线2x+y+4=0上时面积最小是解本题的关键．12．（2012秋•苏州期末）已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则三棱锥P﹣ABC的体积为．【考点】球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题．【分析】由题意三棱锥是正方体的一个角，它的外接球就是三棱锥扩展为正方体的外接球，正方体的体对角线就是外接球的直径，通过直径求出PA的距离，然后求解三棱锥的体积．【解答】解：三棱锥是正方体的一个角，它的外接球就是三棱锥扩展为正方体的外接球，正方体的体对角线就是外接球的直径，所以正方体的体对角线长为：，球的半径为：；所以正方体的棱长为：a=2．三棱锥P﹣ABC的体积为：=．故答案为：．【点评】本题是基础题，考查三棱锥的外接球，几何体的扩展，确定三棱锥与扩展的正方体的外接球是同一个，以及正方体的体对角线就是球的直径是解好本题的前提．13．（2016秋•高新区校级期中）已知过定点P（2，0）的直线l与曲线y=相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大时，直线的倾斜角可以是：①30°；②45°；③60°；④120°⑤150°．其中正确答案的序号是⑤．（写出所有正确答案的序号）【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；转化思想；演绎法；直线与圆．【分析】当△AOB面积取最大值时，OA⊥OB，圆心O（0，0）到直线直线l的距离为1，由此能求出直线l的斜率．【解答】解：当△AOB面积取最大值时，OA⊥OB，∵过定点P（2，0）的直线l与曲线y=相交于A、B两点，∴圆心O（0，0），半径r=，∴OA=OB=，AB=2，∴圆心O（0，0）到直线直线l的距离为1，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，不合题意；当直线l的斜率存在时，直线l的方程为y=k（x﹣2），圆心（0，0）到直线l的距离d==1，解得k=，由题意可知当△AOB的面积取最大时，直线的倾斜角是150°．故答案为⑤．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系及其三角形面积的计算，属于中档试题，着重考查了数形结合思想及转化与化归思想的应用，在与圆有关的问题解答中，特别注意借助图形转化为与圆心的关系，是解答的一种常见方法，本题的解答当△AOB面积取最大值时，OA⊥OB，此时圆心O到直线的距离为1是解答本题的关键．14．（2015•扬州三模）在平面直角坐标系xOy中，过点P（﹣5，a）作圆x2+y2﹣2ax+2y﹣1=0的两条切线，切点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），且+=0，则实数a的值为3或﹣2．【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】两者的和实质上是一个斜率与另一个斜率的倒数和，进而可得两斜率乘积为﹣1，可得P，Q，R，T共线，即可求出实数a的值．【解答】解：设MN中点为Q（x0，y0），T（1，0），圆心R（a，﹣1），根据对称性，MN⊥PR，===，∵k MN=，+=0∴k MN•k TQ=﹣1，∴MN⊥TQ，∴P，Q，R，T共线，∴k PT=k RT，即，∴a2﹣a﹣6=0，∴a=3或﹣2．故答案为：3或﹣2．【点评】本题考查实数a的值，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、解答题（本大题有6小题，共90分）15．（14分）（2016春•启东市期末）已知直线l1：（m﹣2）x+3y+2m=0，l2：x+my+6=0 （1）若直线l1与l2垂直，求实数m的值；（2）若直线l1与l2平行，求实数m的值．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）由已知条件利用直线与直线垂直的条件直接求解．（2）由已知条件利用直线与直线平行的条件直接求解．【解答】解：（1）∵直线l1：（m﹣2）x+3y+2m=0，l2：x+my+6=0，直线l1与l2垂直，∴（m﹣2）×1+3m=0，解得m=．（2∵直线l1：（m﹣2）x+3y+2m=0，l2：x+my+6=0，直线l1与l2平行，∴，解得m=﹣1．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与直线垂直和直线与直线平行的性质的合理运用．16．（14分）（2016春•启东市期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD（1）求证：BD⊥PC；（2）若平面PBC与平面PAD的交线为l，求证：BC∥l．【考点】棱锥的结构特征．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）根据线面垂直的性质证明BD⊥平面PAC即可．（2）根据线面平行的性质定理证明BC∥平面PAD即可．【解答】证明：（1）连结AC、BD，∵在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，∴BD⊥AC，BD⊥PA，∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，∵PC⊂平面PAC，∴BD⊥PC．（2）∵BC∥AD，BC⊄面PAD，AD⊂面PAD，∴BC∥面PAD．∵平面PBC与平面PAD的交线为l，∴BC∥l．【点评】本题主要考查空间直线和平面垂直的性质以及线面平行的性质的应用，要求熟练掌握相应的平面的基本性质及其推论的灵活运用．17．（14分）（2016春•启东市期末）在直角坐标系中，已知射线OA：x﹣y=0（x≥0），OB：2x+y=0（x≥0）．过点P（1，0）作直线分别交射线OA，OB于点A，B．（1）当AB的中点在直线x﹣2y=0上时，求直线AB的方程；（2）当△AOB的面积取最小值时，求直线AB的方程．（3）当PA•PB取最小值时，求直线AB的方程．【考点】待定系数法求直线方程．【专题】分类讨论；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）设A（a，a），B（b，﹣2b），则线段AB的中点为C．可得﹣2×=0，=，联立解出a，b，即可得出．（2）设A（a，a），B（b，﹣2b），（a，b＞0）．a=b=1时，A（1，1），B（1，﹣2），S△OAB=×|OP|×|AB|．a，b≠1时，S△OAB=×|OP|×（a+2b）=（a+2b），又，化为a+2b=3ab，利用基本不等式的性质可得a+2b的取值范围．（3）设直线AB的方程为：my=x﹣1.．联立，解得A，可得|PA|=．同理可得|PB|=．可得|PA||PB．进而得出最小值．|【解答】解：（1）设A（a，a），B（b，﹣2b），则线段AB的中点为C．∴﹣2×=0，=，分别化为：a=5b，a+2b﹣3ab=0．解得：，∴直线AB的方程为：y﹣0=（x﹣1），化为：7x﹣4y﹣7=0．（2）设A（a，a），B（b，﹣2b），（a，b＞0）．a=b=1时，A（1，1），B（1，﹣2），S△OAB=×|OP|×|AB|==．a，b≠1时，S△OAB=×|OP|×（a+2b）=（a+2b），又，化为a+2b=3ab，∴a+2b=3ab=≤，解得：a+2b≥．∴S△OAB≥×=，当且仅当a=2b=时取等号．综上可得：当△AOB的面积取最小值时，直线AB的方程为：y=（x﹣1），化为：4x﹣y﹣4=0．（3）设直线AB的方程为：my=x﹣1.．联立，解得A，可得|PA|==．联立，解得B，可得|PB|==．∴|PA|•|PB|====f（m），m=﹣3时，f（﹣3）=1；令m+3=k≠0，f（m）=g（k）==，k＜0时，g（k）=≥=．k＞0时，g（k）=≥=，而＞，∴g（k）的最小值为：．当且仅当k=时取等号．∴m=﹣3．∴直线AB的方程为：（﹣3）y=x﹣1．【点评】本题考查了中点坐标公式、三角形面积计算公式、基本不等式的性质、直线的方程，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．18．（16分）（2016秋•高新区校级期中）如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，E为BC点，F棱AC上，且AF=3FC．（1）求三棱锥D﹣ABC的体积；（2）求证：AC⊥平面DEF；（3）若M为DB中点，N在棱AC上，且CN=CA，求证：MN∥平面DEF．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；构成空间几何体的基本元素；直线与平面平行的判定．【专题】综合题；转化思想；综合法；立体几何．【分析】（1）直接利用体积公式，求三棱锥D﹣ABC的体积；（2）要证AC⊥平面DEF，先证AC⊥DE，再证AC⊥EF，即可．（3）M为BD的中点，连CM，设CM∩DE=O，连OF，只要MN∥OF即可．【解答】（1）解：∵△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，∴三棱锥D﹣ABC的体积V==．（2）证明：取AC的中点H，∵AB=BC，∴BH⊥AC．∵AF=3FC，∴F为CH的中点．∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．∵DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF．（3）解：连CM，设CM∩DE=O，连OF．由条件知，O为△BCD的重心，CO=CM．当CN=CA时，CF=CN，∴MN∥OF．∵MN⊄平面DEF，OF⊂平面DEF，∴MN∥平面DEF．【点评】本题考查棱锥的结构特征，证明线面垂直，线面平行，考查体积的计算，考查逻辑思维能力，是中档题．19．（16分）（2016秋•高新区校级期中）如图，地面上有一竖直放置的圆形标志物，圆心为C，与地面的接触点为G．与圆形标志物在同一平面内的地面上点P处有一个观测点，且PG=50m．在观测点正前方10m处（即PD=10m）有一个高为10m（即ED=10m）的广告牌遮住了视线，因此在观测点所能看到的圆形标志的最大部分即为图中从A到F的圆弧．（1）若圆形标志物半径为25m，以PG所在直线为x轴，G为坐标原点，建立直角坐标系，求圆C和直线PF的方程；（2）若在点P处观测该圆形标志的最大视角（即∠APF）的正切值为，求该圆形标志物的半径．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）利用圆心与半径，可得圆的方程，利用PF与圆C相切，可得直线PF的方程；（2）先求出直线PF方程，再利用直线PF与圆C相切，求出该圆形标志物的半径．【解答】解：（1）圆C：x2+（y﹣25）2=252．直线PB方程：x﹣y+50=0．设直线PF方程：y=k（x+50）（k＞0），因为直线PF与圆C相切，所以，解得…（6分）所以直线PF方程：，即4x﹣3y+200=0…（8分）（2）设直线PF方程：y=k（x+50）（k＞0），圆C：x2+（y﹣r）2=r2．因为tan∠APF=tan（∠GPF﹣∠GPA）==，所以…（10分）所以直线PF方程：，即40x﹣9y+2000=0．因为直线PF与圆C相切，所以，…（13分）化简得2r2+45r﹣5000=0，即（2r+125）（r﹣40）=0．故r=40…（16分）【点评】本题考查直线与圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（16分）（2016•南京三模）已知圆O：x2+y2=r2（r＞0），点P为圆O上任意一点（不在坐标轴上），过点P作倾斜角互补的两条直线分别交圆O于另一点A，B．（1）当直线PA的斜率为2时，①若点A的坐标为（﹣，﹣），求点P的坐标；②若点P的横坐标为2，且PA=2PB，求r的值；（2）当点P在圆O上移动时，求证：直线OP与AB的斜率之积为定值．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）①求出r2=2，直线PA的方程，代入x2+y2=2，可得5x2﹣4x﹣1=0，即可求点P的坐标；②若点P的横坐标为2，且PA=2PB，设点P的坐标为（2，t），由垂径定理得：4（r2﹣d12）=16（r2﹣d22），因为点P（2，t）在圆O上，所以22+t2=r2，即可求r的值；（2）当点P在圆O上移动时，求出A，B的坐标，即可证明直线OP与AB的斜率之积为定值．【解答】解：（1）①点A的坐标为（﹣，﹣），代入可得r2=2直线PA的方程为y+=2（x+），即y=2x﹣1，代入x2+y2=2，可得5x2﹣4x﹣1=0，∴点P的坐标为（1，1）；②因为直线PA与直线PB的倾斜角互补且直线PA的斜率为2，所以直线PB的斜率为﹣2．设点P的坐标为（2，t），则直线PA的方程为：2x﹣y﹣4+t=0，直线PB的方程为：2x+y﹣t﹣4=0．圆心（0，0）到直线PA，PB的距离分别为d1=，d2=因为PA=2PB，所以由垂径定理得：4（r2﹣d12）=16（r2﹣d22）所以4（）2﹣（）2=3r2，又因为点P（2，t）在圆O上，所以22+t2=r2（2），联立（1）（2）解得r=或；（2）由题意知：直线PA，PB的斜率均存在．设点P的坐标为（x0，y0），直线OP的斜率为k OP=直线PA的斜率为k，则直线PA的方程为：y﹣y0=k（x﹣x0），联立直线PA与圆O方程x2+y2=r2，消去y得：（1+k2）x2+2k（y0﹣kx0）x+（y0﹣kx0）2﹣r2=0，因为点P在圆O上，即x02+y02=r2，所以（y0﹣kx0）2﹣r2=（k2﹣1）x02﹣2kx0y0，由韦达定理得：x A=，故点A坐标为（，），用“﹣k“代替“k“得：点B的坐标为（，）∴k AB==∴k AB k OP=1．综上，当点P在圆O上移动时，直线OP与AB的斜率之积为定值1【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查斜率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。