初3-上学期期中因式分解+分式方程+数据分析
初中因式分解详解及提高篇
初中因式分解详解及提高篇因式分解作为初中代数中一门重要的内容，在因式分解之前的整式运算是因式分解的反方向，而一元二次方程则是以因式分解作为基础，因式分解起到了承上启下的作用，而且因式分解学习的好坏不仅影响到对方程的了解，同时对今后高中学习内容也会有或多或少的影响，学好因式分解十分重要。
对于目前初中教材上老师所讲的因式分解内容只能处理一些基本的问题，对于有更深层次内容的东西则是比较难以处理，为了弥补这些缺陷，让大家更好地打牢初中的学习内容，在此我将所有的因式分解方法全部列举出来并进行详细叙述，从而让各位同学能够真正地了解因式分解。
由于有些方法对于初中有一定的难度，对于不同的学生，我会对每一个方法进行说明。
1.提公因式法（所有学生必须掌握）典型形式：()ma mb mc m a b c ++=++注意上面的m 是一个数也可以是一个整式，再比如()()()()()x y a x y b x y c x y a b c -+-+-=-++2.平方差（所有学生必须掌握）典型形式：22()()a b a b a b -=-+同样上面的a b 、既可以是数也可以是一个整式3.配方法（所有学生必须掌握）对于因式分解的配方法主要是搭配平方差进行应用，比如下面的两个例子 22268(+69)1(3)1(2)(4)x x x x x x x ++=+-=+-=++祖冲之杯奥赛题：4271x x -+（这个问题在下面的试根法中叙述会更好，所以在这里不给出具体做法）4.十字相乘法（所有学生必须掌握）十字相乘法是初中数学中因式分解的难点和重点，在此首先说明2x 前系数为1的处理方法，我们先观察整式运算2()()()x a x b x a b x ab ++=+++通过上面的式子可以看出x 的一次项是a b +，纯数的那一项是ab ，所以可以进行猜测试a b 、的值，一般是根据ab 项进行推测，要是用a b +推测会很麻烦。
初中数学分式方程的中考知识点总结
初中数学分式方程的中考知识点总结初中数学分式方程的中考知识点总结分式方程的知识是中考常见的要领。
接下来的内容是初中数学分式方程知识点。
分式方程分式方程的意义分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
分式方程的解法①去分母{方程两边同时乘以最简公分母(最简公分母：①系数取最小公倍数②出现的字母取最高次幂③出现的因式取最高次幂)，将分式方程化为整式方程;若遇到互为相反数时。
不要忘了改变符号};②按解整式方程的步骤(移项，若有括号应去括号，注意变号，合并同类项，系数化为1)求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根).一般地验根，只需把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根，否则这个根就是原分式方程的根。
若解出的根是增根，则原方程无解。
如果分式本身约分了，也要代进去检验温馨提示：上面的内容是初中数学的分式方程知识点，聪明的大家都已经掌握了吧。
初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。
平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。
相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。
初中数学知识点：平面直角坐标系的构成对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。
平面直角坐标系的构成在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。
初中数学知识归纳分式方程的解法与应用
初中数学知识归纳分式方程的解法与应用分式方程是初中数学的重要内容之一，解决分式方程的问题需要归纳总结各种解法和应用方法。
本文将系统地介绍分式方程的解法与应用。
一、基本概念分式方程是含有分式的方程，形如：$\frac{a}{x} + \frac{b}{y} = c$其中，a、b、c为已知实数，x、y为未知数。
求解分式方程即是要找到使等式成立的x、y的取值。
二、分式方程的基本解法1. 通分法对于分式方程中的两个分式，如果其分母之间没有公约数，可以采用通分法求解。
具体步骤如下：Step 1：确定两个分式的最小公倍数为分母的通分分母。
Step 2：对原方程的两个分式进行通分，得到分母相同的两个分式。
Step 3：将通分后的两个分式的分子相加，得到新的分式。
Step 4：将新的分式等于给定的实数c，得到新的分式方程。
Step 5：解新的分式方程，得到x、y的值。
2. 消元法对于分式方程中只有一个未知数的情况，可以采用消元法求解。
具体步骤如下：Step 1：选择未知数的系数较小的一方作为基准，将另一方的分子乘以基准方的分母，将两个分式的分母统一。
Step 2：将新的方程化简，得到未知数的一次方程。
Step 3：解未知数的一次方程，得到未知数的值。
Step 4：将求得的未知数代入原分式方程中，得到另一个未知数的值。
三、分式方程的应用1. 比例问题分式方程在解决比例问题时非常有用。
比例问题可以通过建立分式方程来解决，而求解分式方程就是求解比例问题的具体步骤。
例如，已知某比例中，一个分数和另一个分数的和等于1，可以建立分式方程求解两个分数的值。
2. 速度问题分式方程在解决速度问题时也具有广泛的应用。
速度问题涉及到物体的速度、时间和距离等概念，通过建立分式方程，可以求解物体的速度、时间和距离等具体数值。
例如，已知两个物体以不同的速度出发，相隔一定距离后相遇，根据已知条件可以建立分式方程求解两个物体的速度和相遇时间。
初中数学_用因式分解法求解一元二次方程教学设计学情分析教材分析课后反思
《用因式分解法求解一元二次方程》教学设计学情分析学生的知识技能基础：在七八年级学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程等，初步感受了方程的模型作用，并积累了解一元一次方程的方法，熟练掌握了解一元一次方程的步骤；并学习了因式分解，掌握了提公因式法及运用公式法（平方差、完全平方）熟练的分解因式；在本章前几节课中又学习了配方法及公式法解一元二次方程，掌握了这两种方法的解题思路及步骤。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了用配方法和公式法求一元二次方程的解的过程，并在现实情景中加以应用，切实提高了应用意识和能力，也感受到了解一元二次方程的必要性和作用；同时在以前的数学学习中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
效果分析本节课密切联系学生的实际水平，精心选取练习题，并从易到难逐渐加深对学生的练习。
在学生掌握配方法和公式法的基础上，学会用因式分解法求解一元二次方程，对比哪种方法更简单，并掌握针对不同的的一元二次方程选取不同的方法，逐渐达到本节课的教学目标。
能力提升这一题的设置，在基础知识的基础有一点拔高，部分学生容易理解并掌握，再以小组形式讨论交流，以会的学生为主题讲解，既锻炼自己的语言讲解能力，同时后进生也能理解，由此培养学生自主、合作，讨论、交流、分析探究的能力。
学生在作评测练习题时，教师巡视，能及时给学生讲解个别错误，最后汇总共性的错误，教师着重讲解，其次，小组讨论教师没讲到的题目，又一次体现了小组合作意识，和优生帮教的良好效果。
教材分析本节课是北师大版九年级上册第二章的第四节，学生在学习了用配方法和公式法解一元二次方程的基础上展开的。
任何一个一二次方程都可以用这两种方法中的一种来解，为什么还要学习因式分解法解一元二次方程呢？因为对于某些特殊的一元二次方程，用因式分解法解起来更简便。
通过“降次”把一元二次方程转化成两个一元一次方程，突出运用转化的数学思想。
2022-2023学年度第一学期其中质量检测初三数学试题答案
初三数学期中测试答案一、单选题DCAB DABB CCAD二、填空题13.﹣2 ； 14.； 15. 乙； 16. k ＜4且k ≠3； 17. 71 ； 18.16； 三、解答题19．（12分）因式分解：（1）3xy(1-2y) (2)b(a+5)(a -5) (3)212a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x (4)5a(x -y)(a -2) (5)223x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+………………………………………前3小题每个2分，后两个小题每个3分 20．（8分）（1）8 （2）2．21.（8分）(1)当a ＝1时，原式＝－4.(当a ＝0时，原式＝－6.)(2)当x ＝2时，原式＝5．22．（7分）（1）86，100，100；（2）根据以上数据，我认为初三对防疫知识的掌握更好．理由：两个年级的平均成绩一样，而初三的中位数、最高分、众数均高于初二，说明初三掌握的较好．（3）3000×＝1200（人），答：估计此次测试成绩达到90分及以上的学生约有1200人．23．（7分）解：设小红每消耗1千卡能量需要行走x 步，则小明每消耗1千卡能量需要行走（x +10）步，根据题意，得＝， 解得x ＝30，经检验：x ＝30是原方程的解，答：小红每消耗1千卡能量需要行走30步，小明每消耗1千卡能量需要行走40步．24.（12分）解：（1）一元一次方程3﹣2（1﹣x ）＝4x 与分式方程不是“相似方程”，理由如下：解一元一次方程3﹣2（1﹣x ）＝4x ，解得：，解分式方程，解得：，检验：当时，（2x+1）（2x﹣1）＝0，∴原分式方程无解，∴一元一次方程3﹣2（1﹣x）＝4x与分式方程不是“相似方程”；（2）由题意，两个方程有相同的整数解，∴mx+6＝x+4m，∴（m﹣1）x＝4m﹣6，①当m﹣1＝0时，方程无解，②当m﹣1≠0，即m≠1时，，即，∵x，y均为整数，∴m﹣1＝1，2，﹣1，﹣2，∴m＝2，3，0，﹣1，又∵m取正整数，∴m＝2或3．25．（12分）解：（1）PD＝PE，理由如下：如图②，连接PC，∵△ABC是等腰直角三角形，P为斜边AB的中点，∴PC＝AB＝PB，CP⊥AB，∠DCP＝∠ACB＝45°，∴∠DCP＝∠B，又∵∠DPC+∠CPE＝90°，∠CPE+∠EPB＝90°，∴∠DPC＝∠EPB，在△DPC和△EPB中，，∴△DPC≌△EPB（ASA），∴PD＝PE；（2）CD+BC＝CE，理由如下：连接CP，如图③所示：同（1）得：△DPC≌△EPB（ASA），∴CD＝BE，∵BE+BC＝CE，∴CD+BC＝CE；（3）△PBE能成为等腰三角形，理由如下：①当BE＝BP，点E在CB的延长线上时，如图③所示：则∠E＝∠BPE，又∵∠E+∠BPE＝∠ABC＝45°，∴∠PEB＝22.5°．②当BE＝BP，点E在CB上时，如图④所示：则∠PEB＝∠BPE＝（180°﹣45°）＝67.5°．③当EP＝EB时，如图⑤所示：则∠B＝∠BPE＝45°，∴∠PEB＝180°﹣∠B﹣∠BPE＝90°；④当EP＝PB，点E在BC上时，如图⑥所示：则点E和C重合，∴∠PEB＝∠B＝45°；综上所述，△PBE能成为等腰三角形，∠PEB的度数为22.5°或67.5°或90°或45°．。
初三分式方程
初三分式方程篇一：初三分式方程是指含有分式的方程，其中未知数在分式中出现。
解决这类方程需要运用分式的性质和求解方程的技巧。
解决分式方程的关键是消去分母，使方程转化为一个多项式方程。
为了实现这一目标，我们可以采用以下步骤：1. 将方程中的分式化简。
可以通过提取公因式、分解分子、分解分母等方法来化简。
2. 求解化简后的多项式方程。
将化简后的方程转化为一个等式，然后使用求解多项式方程的方法来求解。
考虑一个简单的例子：求解方程 2/x + 3/(x+1) = 1首先，我们可以通过求最小公倍数来消去分母。
x 和 (x+1) 的最小公倍数是x(x+1)。
乘以最小公倍数得到：2(x+1) + 3x = x(x+1)化简得到：2x + 2 + 3x = x^2 + x合并同类项得到：5x + 2 = x^2 + x将方程转化为一个多项式方程：x^2 + x - 5x - 2 = 0合并同类项得到：x^2 - 4x - 2 = 0现在我们可以使用因式分解法、配方法、求根公式或图像法来求解这个多项式方程。
综上所述，初三分式方程是一类涉及分式的方程，解决这类方程需要将分式化简，然后转化为一个等式，最后使用多项式方程的求解方法来求解。
这是初中阶段数学学习中的重要内容，掌握了解决分式方程的方法，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
篇二：初三分式方程是初中数学中的一个重要内容，它是一种包含有分式的方程。
在解决这类方程时，常需要运用分式的性质和运算法则，以及等式两边的化简和变形，最终求得方程的解。
在初三分式方程的学习中，我们首先需要了解分式的基本概念和运算规则。
分式是指形如$frac{a}{b}$的表达式，其中$a$和$b$都是整数，$b$不等于0。
我们知道，分式可以看作是除法的一种表达方式，分子$a$表示被除数，分母$b$表示除数。
在运算上，我们可以进行分式的加、减、乘、除等运算，遵循相应的规则和性质。
解决初三分式方程的方法主要包括化简、通分和变形。
中考重点分式方程的解法
中考重点分式方程的解法中考重点：分式方程的解法一、引言分式方程是中考数学中的重要内容之一。
在解决实际问题和推导过程中，经常会遇到分式方程。
本文将介绍两种常见的分式方程解法，帮助中考学生更好地掌握和应用分式方程的解法。
二、通分法解分式方程通分法是解决分式方程的常见方法之一。
具体步骤如下：1. 对方程中的分式按照最小公倍数进行通分。
将所有分式的分母化为相同的分母。
2. 化简方程，消去分母。
将通分后的分式方程化简为一个无分式的方程。
3. 解方程得出结果。
4. 验证解是否满足原方程。
接下来，通过一个具体的例子来演示通分法解分式方程的步骤。
【例题】解方程：$\frac{x}{3} - \frac{2x}{5} = \frac{7}{10}$1. 对方程进行通分，最小公倍数为15，将分式的分母都化为15。
$\frac{5x}{15} - \frac{6x}{15} = \frac{7}{10}$2. 化简方程，消去分母。
将通分后的分式方程化简为一个无分式的方程。
$5x - 6x = \frac{7}{10} \times 15$$-x = \frac{21}{2}$3. 解方程得出结果。
$x = -\frac{21}{2}$4. 验证解是否满足原方程。
将$x = -\frac{21}{2}$代入原方程，验证两边是否相等。
经计算得到：$\frac{(-\frac{21}{2})}{3} - \frac{2 \times (-\frac{21}{2})}{5} =\frac{7}{10}$$\frac{-21}{2 \times 3} - \frac{2 \times 21}{5} = \frac{7}{10}$$-\frac{7}{2} - \frac{2 \times 21}{5} = \frac{7}{10}$$-\frac{7}{2} - \frac{42}{5} = \frac{7}{10}$$\frac{-35}{10} - \frac{84}{10} = \frac{7}{10}$$-\frac{119}{10} = \frac{7}{10}$由此可见，验证结果相等，所以$x = -\frac{21}{2}$是原方程的解。
分式方程的解法知识点总结
分式方程的解法知识点总结分式方程是指含有分式（也称为有理式）的方程，其中包含未知数。
解决分式方程的步骤主要包括消去分母、重整方程以及求解方程等。
一、消去分母对于分式方程，首先要进行的操作是消去分母。
通过乘以分母的倒数，可以将方程转化为整式方程，从而更容易求解。
消去分母的主要步骤如下：1. 找到方程中所有的分母，包括分式中的分母以及分式之间的分母。
2. 将每个分母的倒数乘到方程的每一项上，确保每一项都没有分母。
3. 简化方程，合并同类项。
二、重整方程在完成消去分母的操作后，接下来的步骤是重整方程。
通过将所有项移到方程的一侧，使方程等式两边都为零，方便解方程。
重整方程的步骤如下：1. 将方程中所有项移到方程的一边，使方程等式右边为零。
2. 合并同类项，简化方程。
三、求解方程重整方程之后，就可以通过各种方法求解方程了。
常见的求解分式方程的方法包括：1. 因式分解法：将方程进行因式分解，使方程的每个因式等于零，从而求得方程的解。
2. 通分法：对于方程中含有多个分式的情况，可以通过通分的方式将方程化简为整式方程，然后进行求解。
3. 变量代换法：将分式方程中的未知数进行变量代换，引入新的变量，并通过求解新的整式方程来得到原方程的解。
总结起来，解决分式方程的一般步骤为：1. 消去分母，将方程转化为整式方程。
2. 重整方程，归零方程等式右边。
3. 求解方程，采用因式分解、通分或变量代换等方法求得方程的解。
需要注意的是，在解决分式方程时，要注意方程的定义域，排除使分母为零的值，以确保解的可行性。
综上所述，分式方程的解法主要包括消去分母、重整方程以及求解方程等步骤。
通过掌握这些解法，可以有效地求解各种类型的分式方程。
因式分解、分式易错点解析
因式分解、分式易错点解析
1、因式分解
因式分解是指将一个多项式拆分成有限项的乘积，其中每一项都是质
因数的乘积。
例如，把ax2+bx+c分解成a(x2+x)+b(x+c)，质因数中只
包括a、b、x、c，他们全部是一种质数。
要进行因式分解，可以通过求出多项式所有质因数，然后根据因数的
加减乘除法把同类的项拆分成有限的几种被乘数的乘积，其中最常见
的乘法有两种：指数型（a、x和x^2）和常数型（b和c）。
2、分式易错点解析
1、当分子和分母都是多项式的时候，要注记出每一项的质因数，如果
质因数有重复，则移除重复的质因数，这样可以避免出错。
2、当分数中包含平方根时，要先判断平方根是否能被expression平方，也就是把平方根部分拆出来。
3、要正确处理分数中包含的次方项，特别要注意只有相同质因数的两
项的次方相加之后的情况，这样才能正确地将分数重新分解成有限个
分母或分子的乘积形式。
4、如果分子分母中都有常数项，只要注意不是一样的常数项，就可以
进行一项乘以另一项的形式进行相乘，以此分解式子。
5、在计算分子分母中的乘积之后，要仔细检查分子分母中是否还有重
复的项，如果有，则需要移除重复的项，这样可以有效避免约分出错。
初中数学_《分式》习题课教学设计学情分析教材分析课后反思
《分式》习题课复习教学案复习目标：1、能够正确进行分式的加减乘除，以及解分式方程。
2、能够解决关于增跟的问题3、能够正确解决关于代入求值的变型题 复习重难点：关于增跟的题目以及变式题 复习过程：一、基础练习：1、当x=（ ）时，分式 x x +-392 的值为0.2.解方程：31112=-+-x x x3.若方程 有增根，则m=_____4. 412222-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-++a a a a先化简，再取一个你喜欢的值代入备注：本章学习了分式的概念，基本性质，约分，通分，这些基础知识在后面的分式的加法，减法，乘法，除法，以及分式方程中都能得到应用和练习，因此，不单独复习单纯的概念，性质，约分，通分等基础知识，所以设计了四个基础练习题，来检测学生对本章基础知识的掌握情况。
()()2111+-=--x x mx x二、例题讲解例1讲解（基础练习第三题）：若方程 有增根，则m=_____让学生总结增根两个作用：1、可以使最简公分母为0 2、能够使分式方程转化出来的整式方程成立 总结此类型解题步骤：1、求增根2、化简为整式方程3、将增根带入整式方程求m例1变式：关于x 的方程 无解，求a ？备注：此题是例一的变式，目的在于让学生能够正确区分无解与增跟的区别，以及根据增跟来解题！并且让学生自己总结做此类型题目的方法。
学生分析无解与增根的联系与区别，能够条理清楚的书写过程 例2：（基础练习第四题） 412222-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-++a a a a先化简，再取一个你喜欢的值代入变式一：化简并求值， 22211y x yx y x y x --÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++- 其中，x ，y 满足)32(22=--+-y x x234222+=-+-x x ax x ()()2111+-=--x x mx x变式二：先化简后求值， 1112421222-÷+--⨯+-a a a a a a 其中a 满足a 2-a=0备注：此二题是例二的变式，主要考察学生代入求值时，要保证分母不为0三、自我检测： 1．当1a =-时，分式211a a +-【 】．Ａ．等于0 Ｂ．等于1 Ｃ．等于1- Ｄ．没有意义2.化简221ab ba a --+的结果是【 】． A ．1a a + B ．1a a - C ．1b a + D ．1b a - 3.解分式方程3422xx x+=--时，去分母后得【 】． A ．34(2)x x -=- B ．34(2)x x +=- C ．3(2)(2)4x x x -+-= D ．34x -= 4.当1<x<2时，化简分式xx x x -----1122= 。
中考复习分式方程的解法总结与应用
中考复习分式方程的解法总结与应用中考复习：分式方程的解法总结与应用分式方程是中学数学的重要内容之一，掌握分式方程的解法对于中考复习至关重要。
本文将总结分式方程的解法，并且探讨其在实际问题中的应用。
一、分式方程解法的基本步骤解决分式方程的关键是将分母中的未知数消去，使方程变成一般的代数方程。
下面是分式方程解法的基本步骤：1. 化简分式：将分式进行约分，化简为最简形式。
2. 消去分母：由于分母不能为零，将分母中的未知数消去，得到一般的代数方程。
3. 解一般方程：根据具体的方程类型，采用合适的代数解法，解得未知数的值。
4. 检验解的有效性：将求得的解代入原方程，验证其是否满足。
二、常见分式方程类型及解法1. 一次分式方程：形如 ax + b / c = d，其中 a、b、c、d 分别为已知数或未知数。
解法：先将方程中等式两边乘以 c，消去分母，得到一般方程 ax + b = dc。
然后根据方程类型，使用合适的代数解法，解得未知数的值。
2. 二次分式方程：形如 (ax + b) / c + dx = e，其中 a、b、c、d、e 分别为已知数或未知数。
解法：首先移项，将方程转化为 (ax + b) / c = e - dx。
然后将分式的分子项移项，得到一般方程 ax + b = c(e - dx)。
最后根据方程类型，采用合适的代数解法，解得未知数的值。
三、分式方程的应用举例分式方程在实际问题中的应用非常广泛，下面以两个例子进行说明：1. 水池的填充问题：假设一个水池有两个进水口，一个自来水管每小时向水池注入 2 升水，另一个污水管每小时向水池注入 1.5 升水。
现在需要计算水池在多长时间内能够被注满。
解法：设注满水池所需时间为 t（小时）。
根据每个进水口的注水速率，可以建立如下的分式方程：2t / 1 + 1.5t / 1 = 1通过解方程可以求得 t 的值，即为水池被注满的时间。
2. 分工问题：甲、乙两人共同完成一项工作，甲单独完成工作需要10 天，乙单独完成工作需要 15 天。
中考总复习一元二次方程分式方程的解法及应用--知识讲解
中考总复习一元二次方程分式方程的解法及应用--知识讲解一、一元二次方程的解法一元二次方程是指一个未知数的平方最高次数为2的方程。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c为已知常数，且a≠0。
解一元二次方程的方法有以下几种：1.因式分解法：对方程进行因式分解，然后令每个因式等于0，求解得到方程的解。
2. 公式法：利用求根公式(-b±√(b^2-4ac))/2a，计算出方程的根。
3.完全平方式：对一元二次方程进行配方处理，将其化为完全平方的形式，然后求解。
4.图像法：将方程的解与图像相结合，通过观察图像的交点来确定方程的解。
二、一元二次方程的应用1.抛物线问题：一元二次方程常用来描述抛物线的形状与运动轨迹。
在物理学、工程学等领域中，抛物线的特性与运动轨迹有很多应用。
2.几何问题：一元二次方程可以用来解决与几何问题相关的计算和推理。
如求解一个平面图形的面积、找到一个图形的对称轴等。
3.速度问题：一元二次方程可以用来描述具有变速度的运动过程。
在物理学和运动学中，可以通过一元二次方程来计算运动物体的速度、加速度等相关参数。
4.财务问题：一元二次方程可以用来解决与财务相关的问题，如计算利润、成本和销售量之间的关系等。
5.人口增长问题：一元二次方程可以用来描述人口增长的模型。
通过一元二次方程的解，可以预测人口增长的趋势和规律。
总结：一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，掌握解一元二次方程的方法对于提高数学学习的能力和解决实际问题具有重要意义。
在解题过程中，要根据具体情况选择合适的方法，并灵活运用数学知识解决问题。
初三上-分式方程-知识梳理-经典例题及答案
环球雅思教育学科教师讲义讲义编号： ______________ 副校长/组长签字：签字日期：【考纲说明】1、会用化整法，换元法解分式方程，了解分式方程产生增根的原因并会验根。
2、能分析题目中的等量关系，掌握列分式方程解应用题的方法和步骤，提高学生分析问题和解决问题的能力。
3、通过列分式方程解应用题，渗透方程的思想方法。
【趣味链接】阅读下面对话：小红妈：“售货员，请帮我买些梨。
”售货员：“小红妈，您上次买的那种梨都卖完了，我们还没来得及进货，我建议这次您买些新进的苹果，价格比梨贵一点，不过苹果的营养价值更高。
”小红妈：“好，你们很讲信用，这次我照上次一样，也花30元钱。
”对照前后两次的电脑小票，小红妈发现：每千克苹果的价是梨的1.5倍，苹果的重量比梨轻2.5千克。
试根据上面对话和小红妈的发现，分别求出梨和苹果的单价。
【知识梳理】1.分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
如{ EMBED Equation.DSMT4 |231x x=-是分式方程，而共就不是分式方程。
从分式方程的定义可以看出分式方程有两个重要特征：一是含有分母，二是分母中含有未知数．因此分式方程和整式方程的最大区别就在于分母中是否含有未知数2 ．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思想——“转化”的数学思想，即把分式方程的分母去掉，使分式方程化成整式方程，就可以利用整式方程的解法求解了。
（2）解分式方程的步骤：① 转化：在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程； ② 解这个整式方程；③ 检验：把整式方程的根代人最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去 3．用分式方程解决实际问题列分式方程解应用题与列整式方程解应用题一样，注意找出题中数量间的相等关系，再设未知数列出方程，不同之处在于它侧重于用分式表示数量关系列代数式和寻找等量关系列方程，此外在最后进行检验时，既要检验其是否为所列分式方程的根，又要检验其是否使实际问题有意义． 方法和步骤可归纳如下：○1| 审清题意，分清已知量和未知量； ② 设末知数；④ 根据题意寻找已知的或隐含的等量关系，列分式方程； ⑤ 解方程，并验根； ⑥ 写出答案【经典例题】1、（2012成都）分式方程3121x x =- 的解为（ ） A ．1x = B ． 2x = C ． 3x = D ． 4x = 2、(2012丽水)把分式方程转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以( )A ．xB ．2xC ．x ＋4D ．x (x ＋4)3、(2012连云港)今年6月1日起，国家实施了中央财政补贴条例支持高效节能电器的推广使用，某款定速空调在条例实施后，每购买一台，客户可获财政补贴200元，若同样用11万元所购买的此款空调数台，条例实施后比实施前多10%，则条例实施前此款空调的售价为元．4、（2012无锡）方程的解为．5、（2012山西）化简的结果是．6、(2012扬州)为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种480棵树，由于青年志愿者的支援，每日比原计划多种，结果提前4天完成任务，原计划每天种多少棵树？7、（2012梅州）解方程：．8、（2012广州）已知（a≠b），求的值．9、（2012安顺）张家界市为了治理城市污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道，铺设120米后，为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增加20%，结果共用了27天完成了这一任务，求原计划每天铺设管道多少米？10、（2012珠海）某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．（1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？（2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价至少是多少元？【课堂练习】1、13．若分式 的值为0，则x 的值等于2、观察下列方程：其中是关于x 的分式方程的有（ ）A ．（1）B ．（2）C ．（2）（3）D ．（2）（4）3、解下列分式方程: （1）22142361;(2)11111x x x x x x +-=+=--+--.4、解方程：．5、（2012上海）解方程：．6、（2011辽宁沈阳）甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的45|，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？ 【课后作业】1、若分式方程无解，那么的值应为2、某项工程限期完成，甲单独做提前1天完成，乙单独做延期2天完工，现两人合作1天后，余下的工程由乙队单独做，恰好按期完工，求该工程限期 天.3、解方程4、先化简代数式，然后选取一个使你喜欢的的值代入求值.5、若方程的解是正数，求a 的取值范围。
初三数学下册分式方程的解法
初三数学下册分式方程的解法分式方程是指方程中含有分式的方程。
在初三数学下册中，我们将学习如何解决各种类型的分式方程。
本文将详细介绍几种常见的分式方程解法。
一、通分法解分式方程当分式方程的分母不同或难以直接消去时，我们可以利用通分的方法来解决。
示例问题1：求方程 (2/x) + (3/y) = 1 的解。
解：首先，我们需要通过通分将分母相同化，我们可以将方程两边的分子相乘，得到 2y + 3x = xy。
接下来，我们将方程整理成一般的二次方程形式，即 xy - 2y - 3x = 0。
然后，我们尝试将该方程转化为一元一次方程。
可以将方程两边同时除以 x，得到 y - 2/y - 3 = 0。
再进一步，我们将 y - 2/y 看做一个整体，得到 y(y - 2) - 3 = 0。
现在，我们可以将该方程因式分解为 (y - 3)(y - 1) = 0。
因此，我们得到两个可能的解：y = 3 或 y = 1。
将得到的解带入原方程可验证，所以方程的解为 y = 3 或 y = 1。
示例问题2：求方程 (1/x) - (1/y) = 1/4 的解。
解：首先，我们需要通过通分将分母相同化，得到 (y - x)/(xy) = 1/4。
下一步，我们将方程两边同时乘以 4xy，得到 4(y - x) = xy。
现在，我们将方程整理成一般的二次方程形式，即 xy - 4y + 4x = 0。
然后，我们尝试将该方程转化为一元一次方程。
可以将方程两边同时除以 y，得到 x - 4 + 4/y = 0。
进一步，我们将 4 + 4/y 看做一个整体，得到 x(4 + 4/y) - 4 = 0。
现在，我们可以将该方程因式分解为 4(x/y + 1) - 4 = 0。
因此，我们得到一个可能的解：x/y + 1 = 1，即 x/y = 0。
将得到的解带入原方程可验证，所以方程的解为 x/y = 0。
二、代换法解分式方程当分式方程中存在较为复杂的分母时，我们可以利用代换的方法来解决。
精选初二上册数学期中考试知识点总结：因式分解
精选初二上册数学期中考试知识点总结：因式分解学习是一个循序渐进的过程，也是一个不断积累不断创新的过程。
下面小编为大家整理了精选初二上册数学期中考试知识点总结：因式分解，欢迎大家参考阅读!1. 因式分把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解;注意：因式分解与乘法是相反的两个转化.2.因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”.3.公因式的确定：系数的最大公约数?相同因式的最低次幂. 注意公式：a+b=b+a; a-b=-(b-a); (a-b)2=(b-a)2; (a-b)3=-(b-a)3.4.因式分解的公式：(1)平方差公式：a2-b2=(a+ b)(a- b);(2)完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2, a2-2ab+b2=(a-b)2. 5.因式分解的注意事项：(1)选择因式分解方法的一般次序是：一提取、二公式、三分组、四十字;(2)使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性;(3)因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止;(4)因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正;(5)因式分解的最后结果要求加以整理;(6)因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式.6.因式分解的解题技巧：(1)换位整理,加括号或去括号整理;(2)提负号;(3)全变号;(4)换元;(5)配方;(6)把相同的式子看作整体;(7)灵活分组;(8)提取分数系数;(9)展开部分括号或全部括号;(10)拆项或补项.7.完全平方式：能化为(m+n)2的多项式叫完全平方式;对于二次三项式x2+px+q, 有“ x2+px+q是完全平方式? ”.这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。
要求学生抽空抄录并且阅读成诵。
其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。
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5. 分式方程 的解是_________
6. 若关于 的分式方程 无解，则 ．
15若关于 的方程 无解，求 的值．
16.方程 的解是．
17.当 取时，方程 会产生增根．
18..已知关于 的方程 的解是正数，则m的取值范围为．
19.在课外活动跳绳时，相同时间内小林跳了90下，小群跳了120下．已知小群每分钟比小林多跳20下，设小林每分钟跳 下，则可列关于 的方程为．
课 题
初三其中复习（考点精选）
授课日期
201 年 月 日
教学重、难点及处理方法
重点及方法： 因式分解、分式方程、数据分析
难点及方法： 分式及分式方程的解法
学情分析
相关知识掌握情况 新课学习情况 新课做题情况
解题技巧掌握情况 解题技巧应用情况
学习态度评价
教学过程
代数式求值
1、已知 ， ，求 的值。
2、若x、y互为相反数，且 ，求x、பைடு நூலகம்的值
5）若x2＋mx＋n=(x－3)(x＋4)，求(m＋n)2的值．
6）当a为何值时，多项式x2＋7xy＋ay2－5x＋43y－24可以分解为两个一次因式的乘积．
7）若x，y为任意有理数，比较6xy与x2＋9y2的大小．
8）两个连续偶数的平方差是4的倍数．
在证明题中的应用
例：求证：多项式 的值一定是非负数
20．甲、乙制作某种零配件，甲每天比乙多做5个，甲制作75个零件所用的天数与乙制作50个零件的天数相等，则甲、乙每天制作的零件数分别为________________.
21．轮船顺水航行46千米和逆水航行34千米所用的时间恰好相等，水的流速是每小时3千米，则轮船在静水中的速度是_________千米/时．
3、已知 ，求 的值
证明
1）已知a＋b=0，求a3－2b3＋a2b－2ab2的值．
2）求证：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数．
3）证明：(ac－bd)2＋(bc＋ad)2=(a2＋b2)(c2＋d2)．
4）已知a=k＋3，b=2k＋2，c=3k－1，求a2＋b2＋c2＋2ab－2bc－2ac的值．
分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。
证明：
分式方程的解法
解方程 ．
分式的性质及分式方程
1．当 ______时， 的值等于 ．
2．当 ______时， 的值与 的值相等．
3．若 与 互为相反数，则可得方程___________,解得 _________.