(完整版)高等代数(北大版)第9章习题参考答案

第九章 欧氏空间

1.设()

ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而

),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β,

在n R 中定义内积βαβα'A =),(,

1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量

)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，

的度量矩阵；

3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。

解 1)易见

βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，

(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑=

'A =j

i j i ij

y x a

,),(αααα，

由于A 是正定矩阵，因此

∑j

i j i ij y x a

,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有

0),(=αα。

2)设单位向量

)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，

的度量矩阵为

)(ij b B =，则

)0,1,,0(),()( i j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a

2

1

22222

11211

)(010j ⎪

⎪

⎪⎪

⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛ =ij a ，

),,2,1,(n j i =，

因此有B A =。

4) 由定义，知

∑=j

i j

i ij y x a ,),(βα

，

α==

β==

故柯西—布湿柯夫斯基不等式为

2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。 解 1)由定义,得

012)1(32112),(=⨯+-+⨯+⨯=βα，

所以

2,π

βα>=

<。

2)因为

1813521231),(=⨯+⨯+⨯+⨯=βα， 1833222211),(=⨯+⨯+⨯+⨯=βα， 3633221133),(=⨯+⨯+⨯+⨯=βα，

2236

1818,cos =

>=

<βα，

所以

4,π

βα>=<。 3)同理可得

3),(=βα, 17),(=αα, 3),(=ββ, 773,cos >=

<βα，

所以

773cos ,1

->=<βα。

,,ij i j

ij

i j

i j

i j

a x y

a

y y ≤

∑

3. β

αβα-=

),(d 通常为βα,的距离，证明；

),(),(),(γββαβαd d d +≤。 证 由距离的定义及三角不等式可得

)()(),(γββαγαβα-+-=-=d

γββα-+-≤

),(),(γββαd d +=。

4在R 4中求一单位向量与()()()3,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,1---正交。 解 设()4321,,,x x x x =α与三个已知向量分别正交，得方程组

⎪⎩⎪

⎨⎧=+++=+--=+-+0

32004321

43214321x x x x x x x x x x x x ， 因为方程组的系数矩阵A 的秩为3，所以可令 x 3,0,414213-===⇒=x x x ，即()3,1,0,4-=α。

再将其单位化，则 ()3,1,0,426

1

1-=

=αηa ， 即为所求。 5．设n α

αα ,,21是欧氏空间

V 的一组基，证明：

1） 如果V ∈γ使()(),,,2,10,n i i ==αγ，那么0=γ。

2） 如果V ∈21,γγ使对任一V ∈α有()()αγαγ,,21=，那么21γγ=。 证 1)因为n α

αα ,,21为欧氏空间

V 的一组基，且对V ∈γ，有

()()n i ,,2,10, =αγ ，

所以可设n n k k k αααγ ++=2211， 且有

()()

()()()

n n n n k k k k k k αγαγαγαααγγγ,,,,,22112211+++=+++=

即证0=γ。

2)由题设，对任一V ∈α总有()

()

αγαγ,211=，特别对基i α也有

()()i i αγαγ

,211

=，或者()()n i i ,,2,10,21 ==-αγγ，

再由1)可得021=-γγ，即证21γγ=。

6设3,2,1εεε是三维欧氏空间中一组标准正交基，证明：

()()()

321332123211223

1

2231

2231

εεεαεεεαεεεα--=+-=-+=

也是一组标准正交基。 证 因为

()()3213212122,2291,εεεεεεαα+--+=

()()()[]3322112,,22,291

εεεεεε-+-+=

[]0)2()2(49

1

=-+-+=，

同理可得

()()0,,3231==αααα， 另一方面 ()()3213211122,2291

,εεεεεεαα-+-+=

()()()[]332211,,4,491

εεεεεε--++= 1)144(9

1

=++=， 同理可得

()()1,,3322==αααα，

即证321,,ααα也是三维欧氏空间中的一组标准正交基。

7.设54321,,,,εεεεε也是五维欧氏V 空间中的一组标准正交基, ()3221,,αααL V =，其中 511εεα+= ,

4212εεεα+-= , 32132εεεα++=，

求1V 的一组标准正交基。