2011年中考数学一轮复习几何资料：直角三角形、勾股定理、面积
中考一轮复习直角三角形和勾股定理复习课件
题型一 直角三角形的性
质与判定
题型分类·深度剖析
(2)证明：∵△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，
∴AB＝AD，CB＝CE，∠CBE＝∠CEB＝45°，
∵AD∥NE，∴∠DAE＋∠NEA＝180°，
∵∠DAE＝90°，∴∠NEA＝90°，
∴∠NEC＝90°＋45°＝135°.
∵A、B、E三点在同一直线上，
那么 a2+b2=c2
若D为斜边AB的中点呢？
C
B 直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半.
若∠A=30°呢？
直角三角形中，30°角所对的 直角边等于斜边的一半.
基础过关
1．已知菱形的对角线长分别为6cm和8cm，
则菱形的边长为 A．10cm
( C) B．8cm
C. 5cm
D. 14cm
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝
6cm，点D为AB的中点，则CD5 ＝______cm,高4C.8E=
cm.
E
面积转化 的思想
基础过关
3. 将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm的纸带 边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与 纸带的一边成30°角，如图，则三角板的最大边的长为 (D )
A．3 cm C．3 2 cm
在△MAN 和△EAN 中， A∠MM＝ANAE＝，∠EAN， AN＝AN，
∴△MAN≌△EAN(SAS)，∴MN＝EN.
在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2＝EC2＋NC2，
∴MN2＝BM2＋NC2，∵BM＝1，CN＝3，∴MN＝ 12＋32＝ 10. 2＋NC2，∵BM＝1，CN＝3，∴MN＝ 12＋32＝ 10.
2011年中考数学第一轮复习教案——三角形
87654321AE DO C BG F E D CBA 第四章 三角形第25课时 相交线和平行线一、知识要点 1．直线公理：经过两点__________一条直线，直线可以用_________________表示。
2．线段公理：两点之间，__________最短，线段可以用_________________表示。
线段的中点：若点C 是AB 的中点，则_____。
____________________叫两点之间的距离。
3．射线：射线可以用_______________表示。
4．角定义：___________________________叫角。
角平分线：若射线OA 是∠AOB 的平分线，则______ 角平分线的性质：_____________________ 角平分线的判定：______________________ 角的度量：1周角=__平角=__直角=_____ 1°=_____′=______″ 5．余角和补角如果两个角的和是_________,那么称这两个角互为余角，其中一个角叫另一个角余角；如果两个角的和是_________,那么称这两个角互为补角，其中一个角叫另一个角补角；性质：同角或等角的余角_______;同角或等角的补角_______;6．对顶角的性质是____________________ 7．垂线定义：_______________________________ 性质：__________________________________________________________叫点到直线的距离。
8．三线八角如图，对顶角有_____________ 邻补角有___________________ 同位角有___________________内错角有___________________同旁内角有_________________9．平行线定义：________________________________ 平行公理：____________________________ 性质：________________________________ 判定：_______________________________10．命题__________________________叫定义 __________________________叫命题 命题由_________________组成。
2011中考数学真题解析72 三角形内角和,直角三角形两锐角互余(含答案)
(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编三角形内角和，直角三角形两锐角互余一、选择题1.（2011江苏苏州，2，3分）△ABC的内角和为（）A、180°B、360°C、540°D、720°考点：三角形内角和定理．分析：根据三角形的内角和定理直接得出答案．解答：解：三角形的内角和定理直接得出：△ABC的内角和为180°．故选A．点评：此题主要考查了三角形的内角和定理，此题比较简单注意正确记忆三角形内角和定理．2.（2011•台湾7，4分）若△ABC中，2（∠A+∠C）=3∠B，则∠B的外角度数为何（）A、36B、72C、108D、144考点：三角形内角和定理；解二元一次方程组；对顶角、邻补角。
专题：计算题。
分析：由∠A+∠B+∠C=180°，得到2（∠A+∠C）+2∠B=360°，求出∠B=72°，根据∠B 的外角度数=180°﹣∠B即可求出答案．解答：解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2（∠A+∠B+∠C）=360°，∵2（∠A+∠C）=3∠B，∴∠B=72°，∴∠B的外角度数是180°﹣∠B=108°，故选C．点评：本题主要考查对二元一次方程组，三角形的内角和定理，邻补角等知识点的理解和掌握，能根据三角形的内角和定理求出∠B的度数是解此题的关键．3.（2011台湾，8，4分）如图中有四条互相不平行的直线L1．L2．L3．L4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何者正确（）A．∠2＝∠4＋∠7 B．∠3＝∠1＋∠6 C．∠1＋∠4＋∠6＝180°D．∠2＋∠3＋∠5＝360°考点：三角形内角和定理；对顶角．邻补角；三角形的外角性质。
分析：根据对顶角的性质得出∠1＝∠AOB，再用三角形内角和定理得出得出∠AOB＋∠4＋∠6＝180°，即可得出答案．解答：解：∵四条互相不平行的直线L1．L2．L3．L4所截出的七个角，∵∠1＝∠AOB，∵∠AOB＋∠4＋∠6＝180°，∴∠1＋∠4＋∠6＝180°．故选C．点评：此题主要考查了对顶角的性质以及三角形的内角和定理，正确的应用三角形内角和定理是解决问题的关键．4.（2011新疆建设兵团，3，5分）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝40°，∠AOB＝75°．则∠C等于（）A、40°B、65°C、75°D、115°考点：平行线的性质．分析：由∠A ＝40°，∠AOB ＝75°，根据三角形内角和定理，即可求得∠B 的度数，又由AB ∥CD ，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠C 的值． 解答：解：∵∠A ＝40°，∠AOB ＝75°．∴∠B ＝180°﹣∠A ﹣∠AOB ＝180°﹣40°﹣75°＝65°， ∵AB ∥CD ， ∴∠C ＝∠B ＝65°． 故选B ．点评：此题考查了平行线的性质与三角形内角和定理．解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等的定理的应用．5. （2010重庆，4，4分）如图，AB ∥CD ，∠C ＝80°，∠CAD ＝60°，则∠BAD 的度数等于( )A ．60°B ．50°C ． 45°D ． 40° 考点：平行线的性质分析：根据三角形的内角和为180°，即可求出∠D 的度数，再根据两直线平行，内错角相等即可知道∠BAD 的度数．解答：解：∵∠C =80°，∠CAD =60°，∴∠D =180°﹣80°﹣60°=40°，∵AB ∥CD ，∴∠BAD =∠D =40°．故选D ．点评：本题考查了三角形的内角和为180°，以及两直线平行，内错角相等的性质，难度适中．6.（2011•河池）如图，AB ∥CD ，AC 与BD 相交于点O ，∠A=30°，∠COD=105°．则∠D 的大小是（ ）ABD C4题图A、30°B、45°C、65°D、75°考点：平行线的性质；三角形内角和定理。
中考数学：《勾股定理》知识要点及十三个考点典型例题分析
中考数学：《勾股定理》知识要点及十三个考点典型例题分析一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。
公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。
2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。
注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。
常见勾股数有：（3，4，5）(5，12，13) (6，8，10)(7，24，25)(8，15，17)(9，12，15)4、最短距离问题：主要5、运用的依据是两点之间线段最短。
二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．2. 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（ ）A. S 1- S 2= S 3B. S 1+ S 2= S 3C. S 2+S 3< S 1D. S 2- S 3=S 1S 3S 2S 14、四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。
5、(难）在直线上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。
中考一轮复习第19讲《直角三角形》讲学案
中考数学一轮复习第19讲《直角三角形》【考点解析】知识点一：直角三角形的性质【例题】（·青海西宁·2分）如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=4，则PD= 2 ．【考点】角平分线的性质；含30度角的直角三角形．【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质可得PE=PD，根据平行线的性质可得∠ACP=∠AOB=30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．【解答】解：作PE⊥OA于E，∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），∵∠BOP=∠AOP=15°，∴∠AOB=30°，∵PC∥OB，∴∠ACP=∠AOB=30°，∴在Rt△PCE中，PE=PC=×4=2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），∴PD=PE=2，故答案是：2．【变式】（·泰安，23，3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F＝30°，DE＝1，则BE的长是．【解析】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．根据同角的余角相等、等腰△ABE 的性质推知∠DBE＝30°，则在直角△DBE中由“30度角所对的直角边是斜边的一半”即可求得线段BE的长度．【解答】解：∵∠ACB＝90°，FD⊥AB，∴∠∠ACB＝∠FDB＝90°，∵∠F＝30°，∴∠A＝∠F＝30°（同角的余角相等）．又AB的垂直平分线DE交AC于E，∴∠EBA＝∠A＝30°，∴直角△DBE中，BE＝2DE＝2．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形．解题的难点是推知∠EBA＝30°．知识点二：直角三角形的判定【例题】（·潍坊，9，3分）一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B 的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近．同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行．20分钟后，救援船在海岛C 处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（）A．海里/小时 B． 30海里/小时C．海里/小时 D．海里/小时答案：D考点：方向角，直角三角形的判定和勾股定理．点评;理解方向角的含义，证明出三角形ABC是直角三角形是解决本题的关键．【变式】（3分）（•桂林）（第8题）下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A． 30，40，50 B． 7，12，13 C． 5，9，12 D． 3，4，6考点：勾股定理的逆定理．分析：根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．解答：解：A、∵302+402=502，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；B、∵72+122≠132，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；C、∵52+92≠122，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；D、∵32+42≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；故选A．点评：本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．知识点三勾股定理及其逆定理的应用【例题】（·山东省东营市·3分）在△ABC中，AB＝10，AC＝210，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于( )A．10 B．8 C．6或10 D．8或10【解析】勾股定理、分类讨论思想，在图①中，由勾股定理，得BD＝AB2－AD2＝102－62＝8;CD＝AC2－AD2＝(210)2－62＝2;∴BC＝BD＋CD＝8＋2＝10.在图②中，由勾股定理，得BD＝AB2－AD2＝102－62＝8;CD＝AC2－AD2＝(210)2－62＝2;∴BC＝BD―CD＝8―2＝6.故选择C.【点拨】本题考查分类思想和勾股定理，要分两种情况考虑，分别在两个图形中利用勾股定理求出BD和CD，从而可求出BC的长.【变式】（·陕西·3分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理．【分析】根据三角形中位线定理求出DE，得到DF∥BM，再证明EC=EF=AC，由此即可解决问题．【解答】解：在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，∴AC===10，∵DE是△ABC的中位线，∴DF∥BM，DE=BC=3，∴∠EFC=∠FCM，∵∠FCE=∠FCM，∴∠EFC=∠ECF，∴EC=EF=AC=5，∴DF=DE+EF=3+5=8．故选B．知识点四：直角三角形的综合应用【例题】（·四川眉山·3分）把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是（）A． B．6 C． D．【分析】由边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，利用勾股定理的知识求出BC′的长，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求BO，OD′，从而可求四边形ABOD′的周长．【解答】解：连接BC′，∵旋转角∠BAB′=45°，∠BAD′=45°，∴B在对角线AC′上，∵B′C′=AB′=3，在Rt△AB′C′中，AC′==3，∴B′C=3﹣3，在等腰Rt△OBC′中，OB=BC′=3﹣3，在直角三角形OBC′中，OC=（3﹣3）=6﹣3，∴OD′=3﹣OC′=3﹣3，∴四边形ABOD′的周长是：2AD′+OB+OD′=6+3﹣3+3﹣3=6．故选：A．【点评】本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及等腰直角三角形的性质．此题难度适中，注意连接BC′构造等腰Rt△OBC′是解题的关键，注意旋转中的对应关系．【变式】（四川巴中，29，10分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．【解析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF∽△DEC；（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度．【解答】（1）证明：∵▱ABCD，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C．在△ADF与△DEC中，∴△ADF∽△DEC．（2）解：∵▱ABCD ，∴CD=AB=8． 由（1）知△ADF ∽△DEC ， ∴，∴DE===12．在Rt △ADE 中，由勾股定理得：AE===6．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质和勾股定理三个知识点．题目难度不大，注意仔细分析题意，认真计算，避免出错． 【典例解析】【例题1】（·四川内江）已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为( ) A ．32 B ．332C ．32D ．不能确定[答案]B[考点]勾股定理，三角形面积公式，应用数学知识解决问题的能力。
中考数学复习方案第四单元三角形第21课时直角三角形及勾股定理
故答案是:4 5或 10.
第二十五页，共四十页。
基
础
知
识
巩
固
高
频
考
向
探
究
考向二 勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)及其逆定理的应用
例2 [教材(jiàocái)题]一架2.5米长的梯子靠在一座建筑物上,梯子的底部离建筑物0.7米,如果
梯子的顶部滑下0.4米,梯子的底部向外滑出多远?
基
础
知
识
巩
固
高
频
考
向
探
究
题组二
易错题
【失分点】
直角的不确定引起的分类讨论;求最短距离时,将立体(lìtǐ)图形展开成平面图形求解.
6.[2018·东营]如图 21-2 所示的圆柱的高 AB=3,底面直径 BC=3,现在有一只蚂蚁
想从 A 处沿圆柱表面爬到对角 C 处捕食,则它爬行的最短距离是 (
A.3 1 + π
的中点,连接BM,MN,BN, ∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,则BN的长为
.
高
频
考
向
探
究
图21-6
第二十二页，共四十页。
基
础
知
识
巩
固
[答案] 2
1
[解析]在△ CAD 中,∵M,N 分别是 AC,CD 的中点,∴MN∥AD,MN= AD,
2
1
在 Rt△ ABC 中,∵M 是 AC 的中点,∴BM= AC=1.
∵∠ACB=45°,∴AF=CF=1,
∴DF= 2 - 2 = 3,
∴CD=DF-CF= 3-1.
中考数学复习之直角三角形的性质、勾股定理,考点过关与基础练习题
23. 直角三角形和勾股定理➢ 知识过关1.直角三角形性质梳理： 1. 从边与角的角度来考虑①直角三角形两锐角_______，且任一直角边长小于_______．②勾股定理：直角三角形两直角边的______等于斜边的____； 勾股定理逆定理：如果三角形两边的______等于__________，那么这个三角形是_______三角形．2. 添加一些特殊的元素（中线或30°角）①直角三角形斜边上的中线等于______________；如果一个三角形____________________________，那么这个三角形是直角三角形．②30°角所对的直角边是_____________________；在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这 条直角边所对的锐角等于_____________．3. 特殊的直角三角形➢ 考点分类考点1直角三角形的性质例117．如图，在△ACD 中，BC ⊥AD 于B ，AC ＝AD ＝3，AB ＝2，则CD ＝（ ）A ．6B ．√6C ．√5D ．4ACB 45°1130°234211BCABCA BCAa 2+b 2=c2CBAC B A A BC ABC C BA2mm AB C 30°考点2勾股定理及其逆定理例2如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝9，AD ⊥BC 于D ，M 为AD 上任一点，则MC 2﹣MB 2等于（ ）A ．29B ．32C ．36D ．45例3等面积法例3若直角三角形两条直角边的长分别为7和24，在这个三角形内有一点P 到各边的距离都相等，则这个距离是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1➢ 真题演练1．如图，在边长为1的正方形网格中，A 、B 、C 均在正方形格点上，则C 点到AB 的距离为（ ）A ．3√1010B ．2√105C ．5√104D ．4√1052．如图，AB ＝AC ＝13，BP ⊥CP ，BP ＝8，CP ＝6，则四边形ABPC 的面积为（ ）A ．48B ．60C ．36D ．723．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝6，若以AC 边和BC 边向外作等腰直角三角形AFC 和等腰直角三角形BEC ．若△BEC 的面积为S 1，△AFC 的面积为S 2，则S 1+S 2＝（ ）A ．36B ．18C ．9D ．44．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 在边AB 上，AD ＝AC ，AE ⊥CD ，垂足为F ，与BC 交于点E ，则BE 的长是（ ）A ．3B ．5C ．163D ．65．如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 在边长为1的正方形网格的格点上，则BC 边长的高为（ ）A ．√302B ．85√5 C ．45√5 D ．√1326．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE ＝5，AB ＝13，则EF 的值是（ ）A ．7B ．2√3C ．√13D ．7√27．如图，∠ABC ＝∠ADB ＝90°，DA ＝DB ，AB 与CD 交于点E ，若BC ＝2，AB ＝4，则点D 到AC 的距离是（ ）A.5√56B ．6√55C ．4√55D ．5√548．如图，将一副直角三角尺重叠摆放，使得60°角的顶点与等腰直角三角形的直角顶点重合，且DE⊥AB于点D，与BC交于点F，则∠FCE的度数为（）A．60°B．65°C．75°D．85°9．如图，AC＝AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝8，则△BCD的面积为（）A．8B．12C．14D．1610．如图，四边形ABCD中，连接BD，O为BD中点，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDA＝30°，∠BDC＝45°，则∠CAO＝（）A．15°B．18°C．22.5°D．30°➢课后练习1.如图，等边△ABD和等边△BCE中，A、B、C三点共线，AE和CD相交于点F，下列结论中正确的个数是（）①△ABE≌△DBC②BF平分∠AFC③AF＝DF+BF④∠AFD＝60°A．1B．2C．3D．42．如图，△ABC中，∠ACB＝60°，AG平分∠BAC交BC于点G，BD平分∠ABC交AC 于点D，AG、BD相交于点F，BE⊥AG交AG的延长线于点E，连接CE，下列结论中正确的有（）①若∠BAD＝70°，则∠EBC＝5°；②BF＝2EF；③BE＝CE；④AB＝BG+AD；⑤S△BFGS△AFD =BFAF．A．5个B．4个C．3个D．2个3．在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于E、F，给出以下四个结论：当∠EPF在△ABC内绕P旋转时（点E不与A、B重合），①AE＝CF；②EF＝AP；③△EPF是等腰直角三角形；④S四边形AEPF= 12S△ABC；⑤EF的最小值为√2；⑥BE2+CF2＝EF2．则正确结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个4．如图，O是正△ABC内一点，OA＝6，OB＝8，OC＝10，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为8；③∠AOB＝150°；④四边形AOBO′的面积是24+16√3；⑤S△AOC+S△AOB＝24+9√3 4．其中正确结论有（）个．A．5B．4C．3D．25．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF ⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②AD＝PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDE=74S△ABP；⑤S△APH＝S△ADE，其中正确的结论是（）A．①②③B．②③④C．①②④⑤D．①②⑤6．如图，O为△ABC内的一点，D为AB边上的一点，OD＝OB，OA＝OC，∠AOC＝∠BOD ＝90°，连接CD．下列结论：①AB＝CD；②AB⊥CD；③∠AOD+∠OCD＝45°；④S △BOC＝S△AOD．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．①②③D．①②③④➢冲击A+如图1，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，连接CB，过C作CD⊥AB于点D，过点C 作∠BCE，使∠BCE＝∠BCD，其中CE交AB的延长线于点E．（1）求证：CE是圆O的切线；（2）如图2，点F在圆O上，且满足∠FCE＝2∠ABC，连接AF并延长交EC的延长线于点G．①求证：CF＝2CD；②若CD＝4，BD＝2，求线段FG的长．。
中考数学复习方案(21)直角三角形与勾股定理(19页)
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第21课时┃回归教材
中考预测
如图21－4，已知等腰Rt△ABC的直角 边长为1，以Rt△ABC的斜边AC为直 角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以 Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三 个等腰Rt△ADE，……依此类推直到 第五个等腰Rt△AFG，则由这五个等 腰直角三角形所构成的图形的面积为 31/2 ________．
命题角度： 勾股定理逆定理．
例 3、[2012· 广西] 已知三组数据：①2、3、4；②3、4、5； ③1、 3、2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长， 能构成直角三角形的有( D ) A．② B．①② C．①③ D．②③
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第21课时┃归类探究
解 析 根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三 边的平方即可构成直角三角形．只要判断两个较小的数的平方和 是否等于最大数的平方即可． ①∵22＋32＝13≠42， ∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故不符合题意； ②∵32＋42＝52 ，
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图21－1
第21课时┃归类探究
解 析 过点B作BM⊥AC交AC的延长线于点M，所以四边形 BDCM是矩形，CM＝BD＝2，BM＝CD＝4，AM＝3，从而求得 AB＝5.
方法点析
勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的两边
求第三边；(2)已知直角三角形的一边求另两边的关系；(3)
(1)判断某三角形是否为直角三角形；(2)证明两条 线段垂直；(3)解决生活实际问题
用途
勾股数
能构成直角三角形的三条边长的三个正整数，称为勾股数
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中考数学第一轮复习 三角形
类型之二 三角形的重要线段的应用 命题角度： 1．三角形的中线、角平分线、高 2．三角形的中位线
[2011·成都] 如图 19－1，在△ABC 中，D、E 分别是边 AC、 BC 的中点，若 DE＝4，则 AB＝___8_____.
1．三条边对应相等的两个三角形全等(简记为________)S．SS 2．两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简记为________)． ASA3．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简记为
________)．
4．两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简记为________)．
命题角度： 1．等腰三角形的性质 2．等腰三角形“三线合一”的性质 3．等腰三角形两腰上的高(中线)、两底角的平分线的性质
[2011·株洲] 如图 21－1，△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°， AC 的垂直平分线交 AB 于 E，D 为垂足，连接 EC.
__5_0_°____.
图 19－2
全等三角形
考点1 全等图形及全等三角形
1．能够完全_____重__合_的两个图形称为全等形，全等图形的形状和 ______大__小都相同．
2．能够完全______重_合_的两个三角形叫全等三角形． [注意] 完全重合有两层含义：(1)图形的形状相同；(2)图形的大小相等
大于
[总结] 任意三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角，最多有一个钝
角，最多有一个直角．
互余
类型之一 三角形三边的关系
命题角度： 1．利用三角形三边的关系判断三条线段能否组成三角形 2．利用三角形三边的关系求字母的取值范围 3．三角形的稳定性
中考数学冲刺复习课件：第21课时直角三角形和勾股定理
第21课时 直角三角形和勾股定理课时作业
一、选择题
1.(2014•黄石)如图21-1，一个矩形纸片，剪去部分后得到
一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是( C )
A．30°
B．60° C．90°
D．120°
2.如图21-2，△ABC与△ABD是直角三角形，点F是AB的中点
，若CF=8，则DF的长为( C )
第21课时 直角三角形和勾股定理
4.(2014•西宁)如图21-8，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30° ，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说 法错误的是( D )
A．∠CAD=30° B．AD=BD C．BD=2CD D．CD=ED
提示：∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， ∴∠CAB=60°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD=30°， ∴∠CAD=∠BAD=∠B， ∴AD=BD，AD=2CD， ∴BD=2CD， 根据已知不能推出CD=DE， 即只有D错误，选项A、B、C的答案都正确．
A．49
B．25
C．13
D．1
提示：由于大正方形的面积25，小正方形的面积是1，
则四个直角三角形的面积和是25－1=24，即4× ab=24，
即2ab=24，a2+b2=25，
则(a+b)2=25+24=49．
5.(2013•济南)如图21-5，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端
，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆
8.在△ABC中，若BC边上的中线AD= BC， 则该三角形的形状为( B )
A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
9.在下列选项中，已知三角形三边长，能
2011中考数学真题解析43 一次函数的几何应用(含答案)
(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编一次函数的几何应用一、选择题1.（2011江苏苏州，10，3分）如图，巳知A点坐标为（5，0），直线y=x+b（b＞0）与y 轴交于点B，连接AB，∠α=75°，则b的值为（）A．3 B．C．4 D．考点：一次函数综合题．专题：综合题．分析：根据三角函数求出点B的坐标，代入直线y=x+b（b＞0），即可求得b的值．解答：解：由直线y=x+b（b＞0），可知∠1=45°，∵∠α=75°，∴∠ABO=180°-45°-75°=60°，∴OB=OA÷tan∠ABO= ．∴点B的坐标为（0），=0+b，b= ．故选B．点评：本题灵活考查了一次函数点的坐标的求法和三角函数的知识，注意直线y=x+b（b＞0）与x轴的夹角为45°．2.（2011湖北随州，14，3）如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC ＝5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x－6上时，线段BC扫过的面积为（）A、4B、8C、16D、28考点：一次函数综合题；一次函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质；平移的性质。
专题：计算题。
分析：根据题目提供的点的坐标求得点C的坐标，当向右平移时，点C的坐标不变，代入直线求得点平C的横坐标，进而求得其平移的距离，计算平行四边形的面积即可．解答：解：∵点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），∴AB＝3，BC＝5，∵∠CAB＝90°，∴AC＝4，∴点C的坐标为（1，4），当点C落在直线y＝2x－6上时，∴令y＝4，得到4＝2x－6，解得x＝5，∴平移的距离为5－1＝4，∴线段BC扫过的面积为4×4＝16，故选C．点评：本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．3. （2011杭州，7，3分）一个矩形被直线分成面积为x，y的两部分，则y与x之间的函数关系只可能是（）A．B．C．D．考点：一次函数的应用；一次函数的图象．分析：因为个矩形被直线分成面积为x，y的两部分，矩形的面积一定，y随着x的增大而减小，但是x+y=k（矩形的面积是一定值），由此可以判定答案．解答：解：因为x+y=k（矩形的面积是一定值），整理得y=-x+k，由此可知y是x的一次函数，，图象经过二、四象限，x、y都不能为0，且x＞0，y＞0，图象位于第一象限，所以只有A符合要求．故选A．点评：此题主要考查实际问题的一次函数的图象与性质，解答时要熟练运用．4.（2011江苏南京，6，2分）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为a的值是（）A、B、2C、D、2考点：一次函数综合题。
2011年中考数学试题分类汇总--直角三角形与勾股定理
第24章直角三角形与勾股定理一、选择题1.（2011山东滨州，9，3分）在△ABC中,∠C=90°, ∠C=72°,AB=10,则边AC的长约为(精确到0.1)（）A.9.1B.9.5C.3.1D.3.5【答案】C2. （2011山东烟台，7,4分）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（）A2m B.3m（第7题图）【答案】C3. （2011台湾全区，29）已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160公尺，再向东直走80公尺后，可到神仙百货，则阿虎向西直走多少公尺后，他与神仙百货的距离为340公尺？A．100 B．180 C．220 D．260【答案】Ｃ4. （2011湖北黄石，7，3分）将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图(3)，则三角板的最大边的长为A. 3cmB. 6cmC. 32cmD. 62cm【答案】D5. （2011贵州贵阳，7，3分）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（第7题图）（A ）3.5 （B ）4.2 （C ）5.8 （D ）7【答案】D6. （2011河北，9，3分）如图3，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6,D,E 分别在AB,AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A ′处，若A ′为CE 的中点，则折痕DE 的长为（ ）A ．21B ．2C ．3D ．4图3A '【答案】B二、填空题1. （2011山东德州13,4分）下列命题中，其逆．命题成立的是______________．（只填写序号）①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形．【答案】① ④2. （2011浙江温州，16，5分）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1,S 2，S 3．若S 1，S 2，S 3＝10，则S 2的值是．【答案】1033. (2011重庆綦江，16，4分) 一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A ＝30°,∠B ＝90°,BC ＝6米. 当正方形DEFH 运动到什么位置,即当AE ＝ 米时,有DC 2＝AE 2＋BC 2.【答案】：3144. （2011四川凉山州，15，4分）把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么222a b c +=”的逆命题改写成“如果……，那么……”的形式：。
中考数学一轮综合复习同步讲义(第11课勾股定理)
第11课 勾股定理⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧勾股定理逆定理：，，，，，勾股组数：勾股定理：勾股定理 中考真题练习 1.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A 、B 都是格点,则线段AB 长度为（ ）A.5B.6C.7D.25第1题图 第2题图 第3题图2.如图,在Rt ΔABC 中,∠ACB=900,BC=3,AC=4,AB 的垂直平分线DE 交BC 延长线于E,则CE 长为（ ）A.32B.76C.256D.23.如图,在正三角形ABC 中,D,E,F 分别是BC,AC,AB 上的点,DE ⊥AC,EF ⊥AB,FD ⊥BC,则ΔDEF 的面积与ΔABC 的面积之比等于（ ）A.1:3B.2:3C.3:2D.3:34.下列各三角形中，面积为无理数的是（ ）5.如图,△ABC 的顶点A 、B 、C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD ⊥AC 于点D.则BD 的长为（ ）A.532B.543C.554D.553 第5题图 第6题图 第7题图6.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=900，D 是AB 中点,且CD=25,若Rt △ABC 面积为1,则它的周长为（ ） A.215+ B.15+ C.25+ D.35+ 7.如图,O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P,且P 是半径OB 的中点,CD=6cm,则直径AB 的长是（ ）A.3cmB.32cmC.42cmD.43cmADB E C8.如图,已知△ABC 中,AB=17,AC=10,BC 边上的高AD=8,则边BC 的长为（ ）A.21B.15C.6D.以上答案都不对 第8题图 第9题图 第10题图9.如图,点A 的坐标是(2,2),若点P 在x 轴上,且△APO 是等腰三角形,则点P 的坐标不可能．．．是（ ） A.(4，0) B.(1,0） C.)0,22(- D.(2,0）10.如图,已知△ABC 中,∠ABC=900,AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上,且l 1，l 2之间的距离为2,l 2，l 3之间的距离为3,则AC 的长是（ ）A.172B.52C.24D.711.在△ABC 中,若AB=AC=15,BC=24,若P 是△ABC 所在平面内的点,且PB=PC=20，则AP 长为（ ）A.7B.5C.7或25D.5或14 12.我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边分别是a 和b,那么2)(b a +的值为（ ）A.49B.25C.13D.1第12题图 第13题图 第14题图13.将一个有450角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm 的纸带边沿上.另一个顶点在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成300角,如图,则三角板的最大边的长为（ ）A.3cmB.6cmC.23cmD.26cm14.一渔船在海岛A 南偏东200方向的B 处遇险,测得海岛A 与B 的距离为20海里,渔船将险情报告给位于A 处的救援船后，沿北偏西800方向向海岛C 靠近.同时,从A 处出发的救援船沿南偏西100方向匀速航行.20分钟后,救援船在海岛C 处恰好追上渔船,那么救援船航行的速度为（ ）A.310海里/小时B.30海里/小时C.320海里/小时D.330海里/小时15.如图,Rt △ABC 中,∠ACB=900，∠ABC=600，BC=2cm,D 为BC 的中点,若动点E 以1cm/s 的速度从A 点出发,沿着A →B →A 的方向运动,设E 点的运动时间为t 秒（0≤t ＜6），连接DE ，当△BDE 是直角三角形时，t 的值为（ ）A.2B.2.5或3.5C.3.5或4.5D.2或3.5或4.5第15题图 第16题图16.如图,在等腰直角△ABC 中,∠ACB=900,O 是斜边AB 的中点,点D 、E 分别在直角边AC 、BC 上,且∠DOE=900，DE 交OC 于点P.则下列结论：（1）图形中全等的三角形只有两对；（2）△ABC 的面积等于四边形CDOE 面积的2倍；（3）2CD CE OA +=；（4）222AD BE OP OC +=⋅．其中正确的结论有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个17.已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为18.若直角三角形两直角边长为a 、b,且满足04962=-++-b a a ,则该直角三角形斜边长为 ．19.如图,△ABC 中,CD ⊥AB 于D,E 是AC 的中点.若AD=6,DE=5,则CD 的长等于 ．第19题图 第20题图 第21题图20.如图,D 是△ABC 内一点,BD ⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3,E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点,则四边形EFGH 的周长是 ．21.如图,在边长为1的等边△ABC 中,中线AD 与中线BE 相交于点O ，则OA 长度为 ．22.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300，腰长为4cm,则其腰上的高为 cm ．23.等腰△ABC 中,AB=AC=10cm,BC=12cm,则BC 边上的高是 cm ．24.在△ABC 中，AB=AC=12cm ，BC=6cm,D 为BC 的中点，动点P 从B 点出发，以每秒1cm 的速度沿B A C →→的方向运动.设运动时间为t ，那么当t= 秒时，过D 、P 两点的直线将△ABC 的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．25.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=900，连接AC，∠DAC=∠BAC．若BC=4cm，AD=5cm，则AB= cm．第25题图第26题图第27题图26.如图,△ABC是等边三角形,点D是BC边上任意一点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点 F.若BC=2,则DE+DF=_____________．27.如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若最大正方形M的边长是3，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和是．28.勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的,∠BAC=900，AB=3,AC=4,点D,E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的边上,则矩形KLMJ的面积为29.种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6cm，问吸管要做 cm.第29题图第30题图第31题图第32题图30.在一棵树的10米高处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处.另一只爬到树顶D 后直接跃到A处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树高_________米.31.如图,在△ABC中,CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,且EF∥BC交AC于M,若EF=5,则CE2+CF2=＿＿＿32.如图,AB=5,AC=3,BC边上的中线AD=2,则△ABC的面积为______33.在平面直角坐标系中，已知点)0,5( A ，)0,5(A ，点C 在坐标轴上,且AC+BC=6,写出满足条件的所有点C 的坐标 ．34.如图,水池中离岸边D 点1.5米的C 处,直立长着一根芦苇,出水部分BC 的长是0.5米,把芦苇拉到岸边,它的顶端B 恰好落到D 点,并求水池的深度AC.35.如图,△ABC 中,AB=AC=20,BC=32,D 是BC 上一点,且AD ⊥AC,求BD 的长．36.如图,△ABC 的三边分别为AC=5,BC=12,AB=13,将△ABC 沿AD 折叠，使AC 落在AB 上，求折痕AD 的长．37.如图,已知四边形ABCD 中,AB ⊥BC,AB=1,BC=2,CD=2,AD=3.求四边形ABCD 的面积．38.如图,△ABC 中,∠B=450,∠C=300,AB=2.求AC 的长．39.在450的Rt △ABC 中,∠A=900，DE ⊥BC,BD 是∠ABC 的平分线,且BD=13,AB=12.求△DEC 的周长.40.如图,Rt △ABC 中,∠ACB=900．在AB 的同侧分别以AB 、BC 、AC 为直径作三个半圆.图中阴影部分的面积分别记作为S 1和S 2．（1）求证：S 1+S 2=S △ABC ；（2）若Rt △ABC 的周长是62 ，斜边长为2,求图中阴影部分面积的和．41.已知a,b,c 为△ABC 三边,且满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC 的形状．42.在某段限速公路BC 上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千米/时 (即350米/秒)，并在离该公路100米处设置了一个监测点 A.在如图所示的直角坐标系中,点A 位于y 轴上,测速路段BC 在x 轴上,点B 在A 的北偏西600方向上,点C 在A 的北偏东450方向上,另外一条高等级公路在y 轴上,AO 为其中的一段． (1)求点B 和点C 的坐标；(2)一辆汽车从点B 匀速行驶到点C 所用的时间是15秒,通过计算,判断该汽车在这段限速路上是否超速?(3)若一辆大货车在限速路上由C 处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由A 处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少?第11课勾股定理测试题日期：月日满分：100分时间：20分钟姓名：得分：1.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B． 1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，2，32.一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（）A.165°B.120°C.150°D.135°第2题图第3题图第4题图3.如图,有两棵树,一棵高10米,另一棵高4米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,问小鸟至少飞行（）A.8米B.10米C.12米D.14米4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=900，BD平分∠ABC.若CD=3,BC+AB=16,则△ABC的面积为（）A.16B.18C.24D.325.如图,AC=AD,BC=BD,则有（）A.AB垂直平分CDB.CD垂直平分ABC.AB与CD互相垂直平分D.CD平分∠ACB第5题图第6题图第7题图第8题图6.如图,⊙O的弦AB=6,M是AB上任意一点,且OM最小值为4,则⊙O的半径为（）A.5B.4C.3D.27.“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形.如图,是一“赵爽弦图”飞镖板,其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4.小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上）,则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率是( )A.12B.14C.15D.1108.如图,△ABC中,AB=AC=6,BC=8,AE平分么BAC交BC于点E,点D为AB的中点,连结DE,则△BDE的周长是( )A.7+5B.10C.4+25D.129.如图,等腰△ABC 中,AB=AC,AD 是底边上的高,若AB=5,BC=6,则AD= cm ．第9题图 第10题图 第11题图 第12题图10.如图,在平面直角坐标系中,点A,B 的坐标分别为（-6,0）、（0,8）.以点A 为圆心,以AB 长为半径画弧,交x 正半轴于点C,则点C 的坐标为 .11.长为4m 的梯子搭在墙上与地面成450角,作业时调整为600角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 m ．12.如图,直线l 上有三个正方形a,b,c,若a,c 的面积分别为5和11,则b 的面积为 ．13.如图,OP=1,过P 作PP 1⊥OP,得OP 1=2;再过P 1作P 1P 2⊥OP 1且P 1P 2=1,得OP 2=3;又过P 2作P 2P 3⊥OP 2且P 2P 3=1,得OP 3=2；…依此法继续作下去,得OP 2015= ．14.如图，Rt △ABC 中,∠C=900，AD 平分∠CAB,DE ⊥AB 于E,若AC=6,BC=8,CD=3．（1）求DE 的长；（2）求△ADB 的面积．15.如图,AB 为一棵大树,在树上距地面10m 的D 处有两只猴子,它们同时发现地面上的C 处有一筐水果,一只猴子从D 处上爬到树顶A 处,利用拉在A 处的滑绳AC,滑到C 处,另一只猴子从D 处滑到地面B,再由B 跑到C,已知两猴子所经路程都是15m,求树高AB.16.如图,△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=900,D 为AB 边上一点.求证：（1）ACE BCD △≌△；（2）222AD DB DE +=．。
[推荐学习]2011中考数学一轮复习(几何篇)4.直角三角形、勾股定理、面积
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4.直角三角形、勾股定理、面积知识考点：了解直角三角形的判定与性质，理解直角三角形的边角关系，掌握用勾股定理解某些简单的实际问题。
它的有关性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系及与面积有关的问题等方面。
精典例题：【例1】如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝600，∠B ＝∠D ＝900，BC ＝2，CD ＝3，则AB ＝？ 分析：通过作辅助线，将四边形问题转化为三角形问题来解决，其关键是对内分割还是向外补形。
答案：338例1图32ED CBA例2图QPCBA【例2】如图，P 为△ABC 边BC 上一点，PC ＝2PB ，已知∠ABC ＝450，∠APC ＝600，求∠ACB 的度数。
分析：本题不能简单地由角的关系推出∠ACB 的度数，而应综合运用条件PC ＝2PB 及∠APC ＝600来构造出含300角的直角三角形。
这是解本题的关键。
答案：∠ACB ＝750（提示：过C 作CQ ⊥AP 于Q ，连结BQ ，则AQ ＝BQ ＝CQ ） 探索与创新：【问题一】如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且∠QPN ＝300，点A 处有一所中学，AP ＝160米，假设汽车行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么汽车在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声的影响？如果受影响，已知汽车的速度为18千米／小时，那么学校受影响的时间为多少秒？分析：从学校（A 点）距离公路（MN ）的最近距离（AD ＝80米）入手，在距A 点方圆100米的范围内，利用图形，根据勾股定理和垂径定理解决它。
略解：作AD ⊥MN 于D ，在Rt △ADP 中，易知AD ＝80。
所以这所学校会受到噪声的影响。
以A 为圆心，100米为半径作圆交MN 于E 、F ，连结AE 、AF ，则AE ＝AF ＝100，根据勾股定理和垂径定理知：ED ＝FD ＝60，EF ＝120，从而学校受噪声影响的时间为：150118000120==t （小时）＝24（秒）评注：本题是一道存在性探索题，通过给定的条件，判断所研究的对象是否存在。
中考数学解题技巧专题勾股定理与面积问题
解题技巧专题：勾股定理与面积问题——全方位求面积，一网搜罗◆类型一 直角三角形中，利用面积求斜边上的高1．(郴州桂阳县期末)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝9，BC ＝12，则C 点到AB 的距离为【方法1】( ) A.536 B.365 C.334 D.12252．如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A ，B ，C 都在网格点上，则AB 边上的高为( ) A.355 B.255 C.3510 D.322第2题图 第6题图◆类型二 结合乘法公式巧求面积或周长3．直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为( )A．96 B．49 C．24 D．484．若一个直角三角形的面积为6cm2，斜边长为5cm，则该直角三角形的周长是( ) A．7cm B．10cmC．(5＋37)cm D．12cm◆类型三巧妙分割求面积5．如图，已知AB＝5，BC＝12，CD＝13，DA＝10，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．◆类型四“勾股树”及其拓展类型中有关面积的计算6．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm，B的边长为5cm，C的边长为5cm，则正方形D的边长为( )A.14cm B．4cm C.15cm D．3cm7．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为( )A．4 B．36 C．16 D．55第7题图第8题图8．(青海中考)如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2……按照此规律继续下去，则S 9的值为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫126B.⎝ ⎛⎭⎪⎫127C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫226D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫227 ◆类型五 “赵爽弦图”中有关面积的计算9．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则大正方形与小正方形的面积差是( )A ．9B ．36C ．27D ．34第9题图 第10题图10．(永州零陵区校级模拟)如图是4个全等的直角三角形与1个正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x ，y 表示直角三角形的两直角边(x ＞y )，下列四个说法：①x 2＋y 2＝49；②x －y ＝2；③2xy ＋4＝49；④x ＋y ＝9.其中说法正确的是( )A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④参考答案与解析1．B2．A 解析：过点C 作CD ⊥AB 于点D .∵S △ABC ＝22－12×1×2－12×1×1－12×1×2＝32，又∵S △ABC ＝12AB ·CD ，∴12AB ·CD ＝32.∵AB ＝12＋22＝5，∴CD ＝355.故选A. 3．C 解析：设该直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，则有a ＋b ＝14①，a 2＋b 2＝102②.①两边同时平方，得a 2＋b 2＋2ab ＝142，所以2ab ＝96，所以ab ＝48，12ab ＝24.故选C.4．D5．解：连接AC ，过点C 作CE ⊥AD 交AD 于点E .∵AB ⊥BC ，∴∠CBA ＝90°.在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝AB 2＋BC 2＝52＋122＝13.∵CD ＝13，∴AC ＝CD ，即△ACD 是等腰三角形．∵CE ⊥AD ，∴AE ＝12AD ＝12×10＝5.在Rt △ACE 中，由勾股定理得CE ＝AC 2－AE 2＝132－52＝12.∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △CAD ＝12AB ·BC ＋12AD ·CE＝12(12×5＋10×12)＝90. 6．A 7.C8．A 解析：在图中标上字母E ，如图所示．∵正方形ABCD 的边长为2，△CDE 为等腰直角三角形，∴DE 2＋CE 2＝CD 2，DE ＝CE ，∴S 2＋S 2＝S 1.观察，发现规律：S 1＝22＝4，S 2＝12S 1＝2，S 3＝12S 2＝1，S 4＝12S 3＝12，…，∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3.当n ＝9时，S 9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫129－3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫126.故选A.9．B 解析：大正方形的面积为32＋62＝45，小正方形的面积为(6－3)2＝9，则面积差为45－9＝36.故选B.10．B 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝49①，（x －y ）2＝4②，①－②得2xy ＝45③，∴2xy ＋4＝49，①＋③得x 2＋2xy ＋y 2＝94，∴x ＋y ＝94，∴①②③正确，④错误．故选B.解题技巧专题：圆中辅助线的作法——形成精准思维模式，快速解题◆类型一 遇弦过圆心作弦的垂线或连半径1．如图，以点O 为圆心的两个圆中，大圆的弦AB 切小圆于点C ，OA 交小圆于点D ，若OD ＝2，tan ∠OAB ＝12，则AB 的长是( ) A ．4 B .23 C ．8 D .43第1题图第2题图2．如图，已知⊙O的半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB＝16cm，CD＝6cm，⊙O的半径为________．◆类型二遇直径添加直径所对的圆周角3．如图，AB是⊙O的直径，C，D，E都是⊙O上的点，则∠ACE＋∠BDE等于( )A．60°B．75°C．90°D．120°第3题图第4题图4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是直径，∠B＝40°，则∠ACD的度数是________．5．如图，△ABC的顶点均在⊙O上，AD为⊙O的直径，AE⊥BC于E.求证：∠BAD＝∠EAC.类型三遇切线连接圆心和切点6．已知⊙O的半径为1，圆心O到直线l的距离为2，过l上任一点A作⊙O的切线，切点为B，则线段AB长度的最小值为( )A．1 B. 2 C. 3 D．27．如图，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC.若∠A＝26°，则∠ACB的度数为________．8．★如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于N.(1)求证：∠ADC＝∠ABD；(2)求证：AD2＝AM·AB；(3)若AM ＝185，sin ∠ABD ＝35，求线段BN 的长．。
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4.直角三角形、勾股定理、面积知识考点：了解直角三角形的判定与性质，理解直角三角形的边角关系，掌握用勾股定理解某些简单的实际问题。
它的有关性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系及与面积有关的问题等方面。
精典例题：【例1】如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝600，∠B ＝∠D ＝900，BC ＝2，CD ＝3，则AB ＝？分析：通过作辅助线，将四边形问题转化为三角形问题来解决，其关键是对内分割还是向外补形。
答案：338 例1图 32E DC B A例2图 Q P C B A【例2】如图，P 为△ABC 边BC 上一点，PC ＝2PB ，已知∠ABC ＝450，∠APC ＝600，求∠ACB 的度数。
分析：本题不能简单地由角的关系推出∠ACB 的度数，而应综合运用条件PC ＝2PB 及∠APC ＝600来构造出含300角的直角三角形。
这是解本题的关键。
答案：∠ACB ＝750（提示：过C 作CQ ⊥AP 于Q ，连结BQ ，则AQ ＝BQ ＝CQ ）探索与创新：【问题一】如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且∠QPN ＝300，点A 处有一所中学，AP ＝160米，假设汽车行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么汽车在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声的影响？如果受影响，已知汽车的速度为18千米／小时，那么学校受影响的时间为多少秒？分析：从学校（A 点）距离公路（MN ）的最近距离（AD ＝80米）入手，在距A 点方圆100米的范围内，利用图形，根据勾股定理和垂径定理解决它。
略解：作AD ⊥MN 于D ，在Rt △ADP 中，易知AD ＝80。
所以这所学校会受到噪声的影响。
以A 为圆心，100米为半径作圆交MN 于E 、F ，连结AE 、AF ，则AE ＝AF ＝100，根据勾股定理和垂径定理知：ED ＝FD ＝60，EF ＝120，从而学校受噪声影响的时间为： 150118000120==t （小时）＝24（秒） 评注：本题是一道存在性探索题，通过给定的条件，判断所研究的对象是否存在。
问题一图 FEDAQ PN M 12 C BA问题二图【问题二】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如图12，据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220千米的B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米／时的速度沿北偏东300方向往C 移动，且台风中心风力不变。
若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。
（1）该城市是否会受到这次台风的影响? 请说明理由。
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级?解：（1）如图1，由点A 作AD ⊥BC ，垂足为D 。
∵AB ＝220，∠B ＝30°∴AD ＝110（千米）。
由题意知，当A 点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响。
故该城市会受到这次台风的影响。
（2）由题意知，当A 点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响。
则AE ＝AF ＝160。
当台风中心从E 处移到F 处时，该城市都会受到这次台风的影响。
由勾股定理得：1530502701101602222=⨯=-=-=AD AE DE 。
∴EF ＝6015（千米）。
∵该台风中心以15千米／时的速度移动。
∴这次台风影响该城市的持续时间为154151560=（小时）。
（3）当台风中心位于D 处时，A 市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12－20110＝6.5（级）。
评注：本题是一道几何应用题，解题时要善于把实际问题抽象成几何图形，并领会图形中的几何元素代表的意义，由题意可分析出，当A 点距台风中心不超过160千米时，会受台风影响，若过A 作AD ⊥BC 于D ，设E ，F 分别表示A 市受台风影响的最初，最后时台风中心的位置，则AE ＝AF ＝160；当台风中心位于D 处时，A 市受台风影响的风力最大。
跟踪训练：一、填空题：1、如果直角三角形的边长分别是6、8、x ，则x 的取值范围是 。
2、如图，D 为△ABC 的边BC 上的一点，已知AB ＝13，AD ＝12，，BD ＝5，AC ＝BC ，则BC ＝ 。
第2题图 13125D C B A 第3题图 DC B A 第5题图D CB A3、如图，四边形ABCD 中，已知AB ∶BC ∶CD ∶DA ＝2∶2∶3∶1，且∠B ＝900，则∠DAB ＝ 。
4、等腰△ABC 中，一腰上的高为3cm ，这条高与底边的夹角为300，则ABC S ∆＝ 。
5、如图，△ABC 中，∠BAC ＝900，∠B ＝2∠C ，D 点在BC 上，AD 平分∠BAC ，若AB ＝1，则BD 的长为 。
6、已知Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB 边上的中线长为2，且AC ＋BC ＝6，则ABC S ∆＝ 。
7、如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，腰长为8cm ，AC 、BD 相交于O 点，且∠AOD ＝600，设E 、F 分别为CO 、AB 的中点，则EF ＝ 。
第7题图 FEOD C B A第8题图 E Q PD C B A 第9题图 D C B A8、如图，点D 、E 是等边△ABC 的BC 、AC 上的点，且CD ＝AE ，AD 、BE 相交于P 点，BQ ⊥AD 。
已知PE ＝1，PQ ＝3，则AD ＝ 。
9、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A 、B 、C 、D 的面积的和是 。
二、选择题：1、如图，已知△ABC 中，AQ ＝PQ ，PR ＝PS ，PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S ，则三个结论：①AS ＝AR ；②QP ∥AR ；③△BRP ≌△QSP 中（ ）A 、全部正确B 、仅①和②正确C 、仅①正确D 、仅①和③正确2、如果一个三角形的一条边的长是另一条边的长的2倍，并且有一个角是300，那么这个三角形的形状是（ ）A 、直角三角形B 、钝角三角形C 、锐角三角形D 、不能确定3、在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AB ＝13，BC ＝12，CD ＝4，AD ＝3，则∠ACB 的度数是（ ）A 、大于900B 、小于900C 、等于900D 、不能确定第1题图 S RQ P C B A 第4题图 O CB A4、如图，已知△ABC 中，∠B ＝900，AB ＝3，BC ＝3，OA ＝OC ＝6，则∠OAB 的度数为（ ）A 、100B 、150C 、200D 、250三、解答题：1、阅读下面的解题过程：已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足42222a c b c a =- 4b -，试判断△ABC 的形状。
解：∵42222a c b c a =-4b -……①∴))(()(2222222b a b a b a c -+=-……②∴222c b a =+……③∴△ABC 是直角三角形。
问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号 ；（2）错误的原因是 ；（3）本题的正确结论是 。
2、已知△ABC 中，∠BAC ＝750，∠C ＝600，BC ＝33+，求AB 、AC 的长。
3、如图，△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC ＝BE ，DG ⊥CE 于G 。
（1）求证：G 是CE 的中点；（2）∠B ＝2∠BCE 。
第3题图 GED C B A第4题图 C BA4、如图，某校把一块形状近似于直角三角形的废地开辟为生物园，∠ACB ＝900，BC ＝60米，∠A ＝360。
（1）若入口E 在边AB 上，且与A 、B 等距离，请你在图中画出入口E 到C 点的最短路线，并求最短路线CE 的长（保留整数）；（2）若线段CD 是一条水渠，并且D 点在边AB 上，已知水渠造价为50元／米，水渠路线应如何设计才能使造价最低？请你画出水渠路线，并求出最低造价。
参考数据：sin360＝0.5878，sin540＝0.80905、已知△ABC 的两边AB 、AC 的长是方程023)32(22=++++-k k x k x 的两个实数根，第三边BC ＝5。
（1）k 为何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形；（2）k 为何值时，△ABC 是等腰三角形，求出此时其中一个三角形的面积。
参考答案一、填空题：1、10或72；2、16.9；3、1350；4、33cm 2；5、13-；6、5；7、48、7；9、49二、选择题：BDCB三、解答题：1、（1）③；（2）略；（3）直角三角形或等腰三角形2、提示：过A 作AD ⊥BC 于D ，则AB ＝23，AC ＝323、提示：连结ED4、（1）51米；（2）若要水渠造价最低，则水渠应与AB 垂直，造价2427元。
5、（1）2；（2）k ＝4或3，当k ＝4时，面积为12。