空间几何体.板块二.截面与距离问题.学生版
空间几何体.板块二.截面与距离问题 普通高中数学复习讲义Word版
棱锥、棱台的中截面与轴截面【例1】 正四棱锥的侧棱长是底面边长的k 倍，求k 的取值范围． 【难度】4【解析】如图所示，设正四棱锥V ABCD -底面中心为O ，令BC a =，则VB ka =，而OB a =，在Rt VOB ∆中， VODCBA2cos VBO ka ∠==，∵π02VBO ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，，∴01<<，1<<+∞，∴k ∴k的取值范围是⎫+∞⎪⎪⎝⎭． 【备注】棱锥的轴截面【例2】 正四棱锥的斜高为2，求棱锥的高与中截面（即过高线的中点且平行于底面的截面）的面积？【难度】4【解析】四棱锥的简图如右所示，由题意知2,SH SB ==，典例分析板块二.截面与距离问题HOBAS故1122BH AB AB ==⇒=，112OH AB ==，高SO === 底面面积24S AB ==底面，2212141S S S ==⇒=中截面底面中截面∶∶∶．【备注】棱锥的中截面【例3】 正四棱台的高为17，两底面的边长分别是4和16，求这个棱台的侧棱长和斜高． 【难度】4【解析】如图，过B 点作BF O B ''⊥，垂足为F ，由题意知：2AB OB ==，8A B OB''''==，17OO '=，在直角三角形BBF'中，BB '=即斜高长为；又OA =O A ''=，在直角三角形AAE'中，19AA '=，即此棱台的侧棱长为19．【备注】棱台的轴截面【例4】 已知正六棱台的上，下底面的边长和侧棱长分别为a ，b ，c ，则它的高和斜高分别为【难度】4【备注】棱台的轴截面【例5】 已知正三棱锥S ABC -的高SO h =，斜高SM l =，求经过SO 的中点且平行于底面的截面111A B C ∆的面积．【难度】4【解析】在Rt SOM∆中，SO h =，SM l =，所以OM又O 为正三角形的中心，故13MO AB =，故棱长AB=∴)222ABC S AB l h ∆==-， 111A B C ∆与ABC ∆相似，且边长比为12∶，故截面111A B C ∆)22l h -． 【备注】三棱锥 中截面 轴截面【例6】 如图所示的正四棱锥V ABCD -，它的高VO⑴ 求侧面上的斜高与底面面积．⑵ 'O 是高VO 的中点，求过'O 点且与底面平行的截面（即中截面）的面积．HO'ODCBAV【难度】4【解析】⑴由题意知VOVC=故2CO BC==⇒=斜高VH 底面面积28S BC ==；⑵ 由棱柱的截面性质知：214S VO S VO '⎛⎫== ⎪⎝⎭中截面底面1824S ⇒=⋅=中截面．【备注】四棱锥 中截面 轴截面【例7】 如图，已知棱锥V ABC -的底面积是264cm ，平行于底面的截面面积是24cm ，棱锥顶点V 在截面和底面上的射影分别是1O 、O ，过1O O 的三等分点作平行于底面的截面，求各截面的面积．CA【难度】6【解析】设棱锥的高为h ，其顶点到已知截面之距11VO h =，1OO 的三等分点为2O 、3O ，由已知得212464h h =，∴114h h =，∴114h h =∴111344O O VO VO h h h =-=-=，而12233O O O O O O ==，则12233131344O O O O O O h h ===⋅=．∴211442h VO h h =+=，311134444VO h h h h =++=．设过2O 、3O 的截面面积分别为2S 、3S ，底面面积为S 则 22212S S h h ⎛⎫= ⎪⎝⎭∶∶，∴21164S S ==（2cm ）．22334S S h h ⎛⎫= ⎪⎝⎭∶∶，∴39643616S =⨯=（2cm ）．∴两截面的面积分别为216cm 和236cm ．【备注】三棱锥 平行截面圆锥、圆台的中截面与轴截面【例8】 把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是14∶，母线长10，求圆锥的母线长． 【难度】4【解析】设圆锥的母线长为l ，圆台上、下底半径为r R ，．由相似三角形的性质有：10l r l R -=，即1014043l l l -=⇒=故圆锥的母线长为403． 【备注】圆锥的轴截面【例9】 一圆锥轴截面顶角为120︒，母线长为1，求轴截面的面积． 【难度】4【解析】圆锥的轴截面为顶角为120︒的等腰三角形，腰长为１，故高为12011cos22︒⨯=，底边长为2sin60⋅︒1122=【备注】圆锥的轴截面【例10】 圆台的母线长为2a ，母线和轴的夹角为30︒，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，求圆台的高与上下两底面面积之和．【难度】4【解析】圆台的轴锥面如图，设它的上底面半径为r ，2a则下底面半径为2r ， 有2sin302a r r r a ︒=-⇒=圆台2cos30h a ︒=，上下两底面之和222ππ(2)5πS a a a =+=．【备注】圆台的轴截面【例11】 圆台两底半径分别是2和5，母线长是，求它的轴截面的面积； 【难度】4【解析】9=，故轴截面面积()122259632S =⋅⋅+⋅⋅=；【备注】圆台的轴截面【例12】 圆台侧面的母线长为2a ，母线与轴的夹角为30︒，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，则两底面半径为 ．CB AOO【难度】4【解析】如图，圆台轴截面为梯形11ABB A ，130BB C ∠=︒，12BB a =，∴BC a =且112OB O B =，∴1111BC OB O B O B =-=，∴11O B a =，2OB a =【备注】圆台的轴截面【例13】 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于2392cm ，母线与底面的夹角是45︒，求这个圆台的母线长． 【难度】4【解析】设圆台的上，下底面半径分别为r ，R ，则3R r =，根据母线与底面的夹角是45︒，有高为r ，∴圆台轴截面的面积为()133922S r r r =+⋅=，解得：14r =，∴母线长为【备注】圆台的轴截面【例14】 用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是14∶，截去的圆锥的母线长是3，求圆台的母线长．【难度】4【解析】设圆台的母线为l ，截得的圆锥底面与原圆锥底面半径分别是r ，4r ，4 rlrSAOSOA根据相似三角形的性质得334rl r=+，解得9l =． 所以，圆台的母线长为9． 【备注】圆锥的轴截面【例15】 圆台母线长为2a ，母线与轴的夹角为30，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍，求两底面半径以及两底面面积之和．【难度】4【解析】设圆台上底面半径为r ，则下底面半径为2r ，如图为圆台轴截面的一部分，2rrO 'OAA 'S则30ASO ∠=，在''Rt SA O ∆中，sin30'rSA =，∴'2SA r = 在Rt SAO ∆中，2sin30rSA=，∴4SA r =． ∴''SA SA AA -=，∴422r r a -=，r a = ∴222212ππ(2)5π5πS S S r r r a =+=+== ∴圆台的上地面半径为a ，下底面半径为2a ， 两底面面积之和为25πa【备注】圆台的轴截面【例16】 圆锥轴截面顶角为120︒，母线长为1．⑴求轴截面的面积；⑵过顶点的圆锥的截面中，最大截面的面积．【难度】6【解析】⑴圆锥的轴截面为顶角为120︒的等腰三角形，腰长为1，故高为12011cos 22︒⋅=，底边长为2sin 60︒=1122=；⑵过顶点的圆锥的截面都是等腰三角形，且腰长为１，设顶角为θ，三角形的面积为1sin 11sin 22θθ⋅⋅⋅=， 由轴截面的顶角为120︒知，0120θ︒<≤，故当θ为直角时，过顶点的截面有最大面积12．【备注】圆锥的轴截面球的截面【例17】 在球心同侧有相距9的两个平行截面，它们的面积分别为49π和400π．求球的半径． 【难度】4【解析】 分析：画出球的轴截面，利用球的截面性质，求球的半径，解：设球的半径为R ，截面圆心分别记为12,O O ，如图，A∵22π49πO B ⋅=，∴27O B = 同理21π400πO A ⋅=，∴120O A = 设1OO x =，则29OO x =+． 在1Rt OO A ∆中，22220R x =+；在2Rt OO B ∆中， 222(9)7R x =++，∴222207(9)x x +=++，解得15x =， ∴22222025R x =+=，∴25R =．【备选】球的截面【例18】 已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别为12π和16π，求这两个截面间的距离．【难度】6【解析】 设两个截面半径分别为12,r r ，则12π12πr =，22π16πr =，解得16r =，28r=．从而球心到两个截面的距离分别为：18d=，26d ．（2）（1）O OFFEE D DC CB B AA若两个截面在球心的同一侧，则它们之间的距离为122d d -=，如图⑴； 若两个截面在球心的两侧，则它们之间的距离为1214d d +=，如图⑵．【备注】球平行截面【例19】（2008四川卷８）设,M N是球心O的半径OP上的两点，且NP MN OM==，分别过,,N M O作垂直于OP的平面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为（）A．3:5:6B．3:6:8C．5:7:9D．5:8:9【难度】6【解析】答案：D点评：本题涉及到线面垂直的概念，学生对于线面垂直的概念只是感性认识，包括后面学习的空间几何体的体积公式中，椎体的高，也需要的是线面垂直的感性认识．【备注】球的截面【例20】球面上有三点A、B、C组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中18AB=，24BC=、30AC=，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的半径．【难度】6【解析】分析：本题的条件涉及球的截面，ABC∆是截面的内接三角形，由此可利用三角形求截面圆的半径，球心到截面的距离为球半径的一半，从而可由关系式222r R d=-求出球半径R．∵18AB=，24BC=，30AC=，∴222AB BC AC+=，ABC∆是以AC为斜边的直角三角形．∴ABC∆的外接圆的半径为15，即截面圆的半径15r=，又球心到截面的距离为12d R =，∴2221152R R⎛⎫-=⎪⎝⎭，得R=【备选】球的截面【例21】（2008全国Ⅱ）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A．1B C D．2【难度】8【解析】C；如图，球心记为O ，两个圆面的圆心记为12O O ，，公共弦为AB ，M 为AB 的中点， 记圆1O 所在的平面为α，圆2O 所在的平面为β，则平面α^平面β，1OO ^平面α，2OO ^平面β，又12AB O M AB O M ^^，，而AB 为两个平面的交线，故2O M ^平面α，1O M ^平面β，从而12OO O M ∥，且四边形12OO MO 为平行矩形．由AB ^平面12OO MO 知，AB OM ^，又2OB =，2AB =，故12OM O O =，即为所求．【备注】球的截面组合体的截面分析【例22】 一个轴截面是正三角形的圆锥内有一个轴截面是正方形的内接圆柱，求它们的高的比值和母线长的比值．【难度】6【解析】如图作轴截面的图形，设圆柱的半径为r ，圆锥的半径为R ，D 1C 1O 1O DC BAS则圆柱的高为12OO r =，圆锥的高为SO ， ∵11//C D AB ，∴111C O SO AO SO =，即r R =，解得：3rR =2(2=．圆柱的母线长为2r ，圆锥的母线长为2R，故它们的母线长之比为232rR=-． 【备注】圆锥内接圆柱【例23】 （2007湖南理8）棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ） AB ．1 C．1 D【难度】6【解析】 答案： D ．已知正方体1111ABCD A B C D -，如图，设EF 所在的大圆圆面截正方体EFGH ，圆心为OFEDCBAOA 1D 1B 1C 1由题意知面EFGH ∥面ABCD∴四边形EFGH 为正方形，∴球半径为R =又直线EF 被球O 截得线段长即为大圆O 截直线EF 的长．如图：∴MN =【备注】正方体外接球【例24】 （2008年江西卷10）连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB 、CD 可能相交于点M ②弦AB 、CD 可能相交于点N ③MN 的最大值为5 ④MN 的最小值为1 其中真命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【难度】6【解析】 答案：C⑴先算出两个弦心距分别为3与2⑵利用三角形的三边的大小关系可知OM ON MN OM ON -<<+ 当且仅当AB 与CD 在同一个大圆面内且相互平行时取等号 ∴①③④是正确的点评：用好三角形的三边关系是本题的关键，另外，由AB 与CD 两条相交直线直线总可以确定一个圆面，如果要经过一条弦的中点，又∵CD AB >，∴只有CD 为直径，AB 为弦，∴只能是经过AB 的中点．多面体与简单旋转体的表面最短距离问题【例25】 如图正方体1111ABCD A B C D -，其棱长为1，,P Q 分别为线段1AA ，11C D 上的两点，且11A P C Q λ==．求在正方体侧面上从P 到Q 的最短距离．【难度】6【解析】将正方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图．丙AA 1P DC 1D 1QC乙NPQD 1A 1B 1C 1DA甲QPAB C 1B 1A 1D 1ABCDB 1C 1D 1A 1由于两点间线段最短，由侧面展开图可知：三个图形甲、乙、丙中PQ 的长即为两点间的最短距离，分别为：（前上）PQ（左上）PQ ==（左后）PQ =由于01λ≤≤，∴①式PQ =②式PQ ∴最短距离PQ =【备注】正方体的表面距离问题【例26】 已知如图，正三棱柱ABC DEF -的底面边长为1，高为8，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达D 点的最短路线的长为____．FED CBA【难度】6【解析】将正三棱柱111ABC A B C -沿侧棱CC 1展开，其侧面展开图如图所示，由图中路线不难知道最短路线长为10．ODAFEDCBA【备注】棱柱的表面距离问题【例27】 如图所示，正三棱锥S ABC -的侧棱长为1，45ASB ∠=，M 和N 分别为棱SB 和SC 上的点，求AMN ∆的周长的最小值．【难度】6【解析】分析：将侧面展开→化归为平面几何问题．将正三棱锥侧面棱SA 剪开，然后将其侧面展开在一个平面上，如图所示，连接'AA ，设'AA 与SB 交于M ，交SB 于N 点，显然AMN ∆的周长''l AM MN NA AA =++≥，也就是说当AM ，MN ，(')NA NA 在一条直线上时，对应得截面三角形周长最短，则'AA 的长就是截面AMN ∆的周长最小值．SMN ACBA '(A)SMN AB∵'1SA SA ==，'45ASB BSC CSA ∠=∠=∠= ∴'135ASA ∠=∴'2AA ==∴AMN ∆【备注】棱锥的表面距离问题【例28】 如图，长方体1111A B C D A B C D -中，a AB =，b BC =，c BB =1，并且0>>>c b a ．求沿着长方体的表面自A 到1C 的最短线路的长．c b aD 1C 1B 1A 1D CB A【难度】6【解析】分析：解本题可将长方体表面展开，利用在平面内两点间的线段长是两点间的最短距离来解答．将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图．（丙）（乙）（甲）abc a bc a b c c baAB B 1C 1ABCDA 1B 1C 1D 1AB CA 1B 1C 1D 1C 1B 1A 1D CB A三个图形甲、乙、丙中1AC 的长分别为：ab c b a c b a 2)(22222+++=++，bc c b a c b a 2)(22222+++=++ ac c b a b c a 2)(22222+++=++∵0>>>c b a ， ∴0>>>bc ac ab ．故最短线路的长为bc c b a 2222+++．【备注】长方体的表面距离问题【例29】 如图所示，设正三棱锥V ABC -的底面边长为a ，侧棱长为2a ，AVB θ∠=．过A作与侧棱,VB VC 相交的截面AEF ，求截面周长的最小值．F ECBAV【难度】6【解析】分析：将侧面展开→化归为平面几何问题．2aθCFEBA'AV将正三棱锥沿侧棱VA 剪开，然后将其侧面展开在一个平面上，如图所示，连接'AA ，设'AA 与VB 交于E ，交VC 于F 点，显然AEF ∆的周长''l AE EF FA AA =++≥，也就是说当AE ，EF ，(')FA FA 在一条直线上时，对应的截面三角形周长最短，则'AA 的长就是截面AEF ∆的周长最小值．由于已知AVB θ∠=，因此在'VAA ∆中可利用余弦定理求出'AA 的长．如图所示为正三棱锥沿侧棱VA 剪开的侧面展开图， ∵AVB θ∠=，则在AVB ∆中，由余弦定理得222(2)(2)7cos 2228a a a a a θ+-==⋅⋅∴sin θ=，217cos22cos 132θθ=-=，sin 2θ．从而7cos3cos cos2sin 2sin 128θθθθθ=-=于是在'AVA ∆中，由余弦定理得2222121'(2)(2)222cos316AA a a a a a θ=+-⋅⋅=所以11'4AA a =为所求最小值．【备注】棱锥的表面距离问题【例30】 如图，圆台上底半径为1，下底半径为4，母线18AB =，从AB 中点M 拉一绳子绕圆台侧面转到A 点（A 在下底面）．⑴求绳子的最短长度；⑵求绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．A【难度】6【解析】⑴如图为圆台的侧面展开图，由题意知，M r'rF EPA'BO'OB'A绳子的最短距离即为AM 的长度．设PB x =，则18PA x =+，有2π2π418x x ⋅=+（圆心角相等）， 解得6x =，故侧面展开图中的2ππ'63APA ∠==，24,6915AP PM ==+=，由余弦定理得：222π241522415cos 4413AM =+-⋅⋅⋅=，故21AM =，即绳子的最短长度为21．⑵取绳上任意点'E ，连结'PE ，交圆台上底于点'F ，由于'6PF =，因此当'PE 取最小值时，''F E 取最小值，而点到线的垂直距离最短，过点P 作PE ⊥AM ，且与'BB 交于点F ， 其中6PF =，则FE 为上底圆周上的点到绳子的最短距离．在PAM ∆中，由面积公式有2415sin321PE π⋅⋅==故6FE =为所求的最短距离．【备注】圆台的表面距离问题【例31】 已知以A 为顶点的正四面体A BCD -，其棱长为1，,P Q 分别为,AB CD 上的两点，且AP CQ λ==．求在正四面体侧面上从P 到Q 的最短距离．B【难度】8【解析】由于两点间线段最短，因此侧面展开图中的PQ 长即为两点间最短距离：由正四面体的对称性知，经过棱AD 与过棱BC 时侧面展开图中PQ 距离相等，如图1与2，同理过棱BD 与AC 时PQ 长度相等，AA 'BDCQP 图1图2C APQDBC'MD 'ABDCQP图3因此只需考虑以下两种情况①过棱AD 时，如图2所示，沿AC 展开，此时 1.PQ =②过棱AC 时，如图3所示，沿AD 展开，由于 60BAC ACD ∠=∠=，AMP CMQ ∠=∠，AP CQ =AMP ∆≌CMQ ∆()AAS ，12AM CM ==，此时cos604PQ ==将①②两种情况进行比较有： 当12λ<1当12λ≥1故1,211,2mm PQ λλ<=⎨⎪⎪⎩≥【备注】棱锥的表面距离问题【例32】 （2005江西，理15）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ==12BB =，90ABC ∠=︒，E 、F 分别为1AA 、11C B 的中点，沿棱柱的表面从E 到F 两点的最短路径的长度为 ．1A【难度】8∵AB BC==90ABC∠=︒，∴2AC=．∴侧面展开后如图1所示．图1FECBA A'A1B1C1A1'11112A E AA==，1111A F AB B F=+=，∴EF=．把111A B C∆与侧面11A B BA展平如图2所示．图2FEBAC1B1MA1连结EF，过E作1EM B B⊥，则EM AB=1FM=EF若把111A B C∆与侧面11A ACC展平如图3．图3A1AE MB1C1FDC连结EF，作1EM CC⊥于M，作FD EM⊥于D点，则32ED=，32FD=，∴EF=．比较以上三条路径，以第三条最小，∴EF【备注】棱柱的表面距离问题【例33】 如图所示，正三棱锥S ABC -的侧棱长为1，40ASB ∠=，M 和N 分别为棱SB 和SC 上的点，求AMN ∆的周长的最小值．【解析】过SA 作正三棱锥侧面展开图，如图所示，SMN ACBA '(A)SMN AB∵'1SA SA ==，'40ASB BSC CSA ∠=∠=∠=∴'120ASA ∠=∴'3AA ==∴AMN ∆球面距离【例34】 （2008辽宁）在体积为的球的表面上有AB C ，，三点，1AB =，BC =，A ，C ，则球心到平面ABC 的距离为 ．【难度】4【解析】 32；34π3R R =⇒=记球心为O ，知π3A O C∠=，于是AC R ==ABC ∆为直角三角形，外接圆半径为，于是球心到平面ABC 的距离为32． 【备注】球面距离【例35】 （06四川卷理10）已知球O 的半径是1，A 、B 、C 三点都在球面上，A 、B 两点和A 、C 两点的球面距离都是π4，B 、C 两点的球面距离是π3，则二面角B OA C --的大小是（ ） A ．π4 B ．π3 C ．π2 D ．2π3【难度】4【解析】 球O 的半径是R=1，,,A B C 三点都在球面上，,A B 两点和,A C 两点的球面距离都是4π，则∠AOB ，∠AOC 都等于π4，AB AC =，,B C 两点的球面距离是π3，π3BOC ∠=，1BC =，过B 做BD AO ⊥，垂足为D ，连接CD ，则CD AD ⊥，则BDC ∠二面角B OA C --的平面角，BD CD ==，∴π2BDC ∠=，二面角B OA C --的大小是π2，选C ． 【备注】球面距离【例36】 A 、B 是半径为R 的球O 的球面上两点，它们的球面距离为π2R ，求过A 、B 的平面中，与球心的最大距离是多少？【难度】4【解析】 分析：A 、B 是球面上两点，球面距离为π2R ，转化为球心角π2AOB ∠=，从而AB =，由关系式222r R d =-，r 越小，d 越大，r 是过A 、B 的球的截面圆的半径．由于过AB 的大圆到球心距离为0，因此要球最大距离则过A 、B 的平面必为小圆，AB 为小圆的弦，为使r 小，则AB 为小圆的直径时，r 最小．∵球面上A 、B 两点的球面的距离为π2R ．∴π2AOB ∠=，∴AB ． 当AB 成为圆的直径时，r 取最小值，此时12r AB ==，d 取最大值，d ==，即球心与过A 、B ． 【备注】球面距离【例37】 已知,,A B C 三点在球心为O ，半径为R 的球面上，且AB AC BC R ===，那么,A B两点的球面距离为_________，球心到平面ABC 的距离为_________．【难度】6【解析】 如右图，∵AB R =，所以OAB ∆是等边三角形，O 1OC BAπ3AOB ∠=，故,A B 两点的球面距离为π3R ， ABC ∆为等边三角形，它的外接圆半径23r ==， 在1Rt OO B ∆中，1OO ==， 所以球心到平面ABC的距离1OO ． 或者也可由正四面体O ABC -的棱长为R． 【备注】球面距离【例38】 A 、B 是半径为R 的球O 的球面上两点，它们的球面距离为π2R ，求过A 、B 的平面中，与球心的最大距离是多少？【难度】6【解析】 分析：A 、B 是球面上两点，球面距离为π2R ，转化为球心角π2AOB ∠=，从而AB =，由关系式222r R d =-，r 越小，d 越大，r 是过A 、B 的球的截面圆的半径，所以AB 为圆的直径时，r 最小．解：∵球面上A 、B 两点的球面的距离为π2R ．∴π2AOB ∠=，∴AB ． 当AB 成为圆的直径时，r取最小值，此时12r AB ==，d 取最大值，d =， 即球心与过A 、B的截面圆距离的最大值为2R ． 【备注】球面距离【例39】 （2009陕西）如图球O 的半径为2，圆1O 是一小圆，1O O =，A 、B 是圆1O 上两点，若，A B 两点间的球面距离为2π3，则1AO B ∠= ．【难度】6【解析】 2ππ33AOB R AOB ∠⋅=⇒∠=，于是2AB R ==．又11O A O B = ∴22211AB O A O B =+，1π2AO B ∠=． 【备注】球面距离【例40】 （2009四川卷）如图，在半径为3的球面上有A 、B 、C 三点，90ABC ∠=，BA BC =，球心O 到平面ABC ，则B 、C 两点的球面距离是（ ） A ．π3 B ．π C ．4π3D ．2π【解析】 答案：B【难度】6【解析】 ∵AC 是小圆的直径．所以过球心O 作小圆的垂线，垂足O '是AC 的中点．O C '=，AC =∴3BC =，即BC OB OC ==， ∴π3BOC ∠=，B 、C 两点的球面距离是π3π3⨯=本题涉及到点到平面的距离，可根据学生情况酌情处理是否讲解．【备注】球面距离【例41】 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的16，经过3个点的小圆的周长为4π，求这个球的半径．【难度】6【解析】 利用球的概念性质和球面距离的知识求解．设球的半径为R ，小圆的半径为r ，则2π4πr =，∴2r =．如图所示，设三点为A 、B 、C ，O 为球心，O 'BOAC2ππ63AOB BOC COA ∠=∠=∠==． 又∵OA OB =，∴AOB ∆是等边三角形， 同样，BOC ∆、COA ∆都是等边三角形， 得ABC ∆为等边三角形，边长等于球半径R ． r 为ABC ∆的外接圆半径，r AB =，R == 【备注】球面距离【例42】 （06浙江）如图，O 是半径为1的球心，点,,A B C 在球面上，,,OA OB OC 两两垂直，,E F 分别是大圆弧AB 与AC 的中点，则点,E F 在该球面上的球面距离是（ ） A ．π4 B ．π3 C ．π2DEFGOC BA【难度】6【解析】 答案：B由于,E F 分别是大圆弧AB 与AC 的中点，有45EOG BOE ∠=∠=∴ππ1sin,42EG FG EGF =⨯==∠=∴1EF OE OF ===∴π3EOF ∠=， ∴点,E F 的球面距离为ππ133⨯=【备注】球面距离【例43】 （2008安徽）已知A B C D ，，，在同一个球面上，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，若6AB =，AC =8AD =，则,B C 两点间的球面距离是 ．【难度】6【解析】4π3；如图，取AD 中点O ，BD 的中点E ，连结OE ，则OE AB ∥，从而OE ⊥平面BCD ，又E 为Rt BCD ∆的外接圆圆心，故OB OC OD OA ===，从而O 为球心，球的半径为4，又4BC =，故π3BOC ∠=，B C ，两点间的球面距离为π44π33⨯=．E2136ODBA【备注】球面距离【例44】 ⑴（2009辽宁卷文）如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬60︒纬线长和赤道长的比值为（ ）A ．0.8B ．0.75C ．0.5D ．0.25⑵ 在半径为R 的球面上有A ，B 两点，球心为O ，半径OA ，OB 的夹角是π3，则A ，B 两点的球面距离为________．【难度】4【解析】 ⑴ 答案：C设地球半径为R ，则北纬60︒纬线圆的半径为cos60R ︒12R =而圆周长之比等于半径之比，故北纬60︒纬线长和赤道长的比值为0．5． ⑵ 因为Ｏ为球心，故半径OA ，OB 所在的圆即为大圆，由球面距离的定义知：π3圆心角所对的弧长即为所求的球面距离，等于π3R ．【备注】经纬度 球面距离【例45】 在北纬60︒纬线上有A ，B 两地，它们分别在东经60与西经120的经线上，设地球半径为R ，求A ，B 两地的球面距离．【难度】4【解析】 如图所示，设60纬线圈圆心为1O ，则11O A O B =为纬线圆半径，11cos602O A R R =⋅=． 如图，地球中心为O ，则112060180AO B ∠=+=∴AB 为纬线圈的直径，即AB R =∴AOB ∆中，圆心角60AOB ∠=∴A ，B 两地的球面距离为π3R【备注】经纬度 球面距离【例46】 已知地球的半径为R ，球面上,A B 两点都在北纬45︒圈上，它们的球面距离为π3R ，A 点在东经30︒上，求B 点的位置及A ，B 两点所在的纬线圈上对应的劣弧的长度．【难度】6【解析】 求点B 的位置，如图就是求1AO B ∠的大小，只需求出弦AB 的 长度．对于AB 应把它放在OAB ∆中求解，根据球面距离概念计算即可． 如图，设球心为O ，北纬45︒圈的中心为1O ，OE O 1BA由A ，B 两点的球面距离为π3R ，所以π3AOB ∠=，∴OAB ∆为等边三角形．于是AB R =．由11cos45O A O B R ==⋅︒=， ∴22211O A O B AB +=．即1π2AO B ∠=． 又A 点在东经30︒上，故B 的位置在东经120︒，北纬45︒或者西经60︒，北纬45︒． ∴A ，B两点在其纬线圈上所对应的劣弧的长度为1π2O A R ⋅． 【备注】球面距离 经纬度【例47】 从北京A （靠近北纬45、东经120，以下经纬度均取近似值）飞往南非首都约翰内斯堡B （南纬30、东经30），有两条航空线可供选择：甲航空线：从北京A 沿纬线向西飞到土耳其首都安卡拉C （北纬45、东经30），然后向南飞到目的地B ．乙航空线：从北京A 沿经线向南飞到澳大利亚的珀斯D （南纬30、东经120），然后向沿纬线向西飞到目的地B ．请问：哪一条航空线较短？如果这条航线的两段都分别选择最短路线，那么这条航线的总长为多少？（地球视为半径R 的球）【难度】6【解析】 把北京、约翰内斯堡、安卡拉、珀斯分别看作球面上的A 、B 、C 、D 四点（如图），则甲航程为A 、C 两地间的纬线长AC 与C 、B 两地间的球面距离BC 之和，乙航程是A 、D 两地间的球面距离AD 加上D 、B 两地间的纬度线长BD ．OO 2O 1DB CA设球心为O ，1O 、2O 分别是北纬45圆与南纬30圆的圆心，则121203090AO C DO B ∠=∠=-=，从而：1ππ2cos4522AC O C R R =⋅==， 2ππ3cos3022BD O B R R =⋅==， ()π54530π18012CB R COB R R =⋅∠=+⋅=，()π54530π18012AD R AOD R R =⋅∠=+⋅=． 故甲航程为1s =AC CB+5π12R R =+， 乙航程为2s =BD AD+5π12R R =+． 由12s s <，所以甲航空线较短．对甲航线，航线的两段要分别选择最短路线，则航线为A 、C 两地间的球面距离与C 、B 两地间的球面距离之和．C 、B 两地间的球面距离即为经线长BC ，下面求A 、C 两地间的球面距离：圆1O的半径为cos 45R ︒=，11203090AO C ︒︒︒∠=-=，从而1AC A R ==，∴AC AO CO R ===，60AOC ︒∠=，从而A 、C 两地间的球面距离为π3R ．∴此时航线总长为π53ππ3124R R R +=． 【备注】球面距离 经纬度【例48】 （2008陕西）长方体1111ABCD A B C D -的各顶点都在球O 的球面上，其中1::AB AD AA =．A B ，两点的球面距离记为m ，1A D ，两点的球面距离记为n ，则mn的值为 ． 【难度】6【解析】 12；显然O 为长方体的中心，设1AB =，则11AD AA ==，，体对角线长2=，1AD =故球的半径为1，π3AOB?，12π3AOD ?（也由余弦定理得到，也可根据等腰三角形与特殊角得到），从而π132π23m n==．【备注】长方体的外接球 球面距离【例49】 （08湖南）长方体1111ABCD A B C D -的8个顶点在同一个球面上，且121AB AD AA ===，，则顶点A B ，间的球面距离是（ ）ABCD ．【难度】6【解析】 长方体的对角线交点O为球心，不难算得OA OB =，于是90AOB ∠=，因此A B ，间的球面距离是大圆周长的14，即1(24⋅=πB ． 【备注】长方体的外接球【例50】 在半径为R 的球内，有一个内接正三棱锥，它的底面上的三个顶点恰好在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三顶点后返回，则经过的最短路程是_______．【难度】6【解析】 根据题意知，球O 与正三棱锥P ABC -的关系如右图：由OP OA OB OC R ====知：2π3AOB BOC AOC ∠=∠=∠=，π2AOP BOP COP ∠=∠=∠=，要经过四点，，，P A B C ，要经过两次底边所在的大圆，两次侧棱所在的大圆，故经过的最短路程为22ππ7πππ33223R R ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭．【备注】三棱锥的外接球。
强基专题--立体几何中的截面问题
强基专题3 立体几何中的截面问题
[跟进训练]
1．(2021·重庆模拟)在三棱锥 P-ABC 中，PA，PB，PC 两两垂直，
PA＝3，PB＝4，PC＝5，点 E 为线段 PC 的中点，过点 E 作该三棱
锥外接球的截面，则所得截面圆的面积不可能为( )
A．6π
B．8π
C．10π
D．12π
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(2)当π2＜θ＜π时，0＜α＜θ＜π，此时sin θ＜1，sin α可以取到最 大值1，
此时过圆锥母线的截面面积最大，最大值为S＝12l2.
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强基专题3 立体几何中的截面问题
综上所述，过圆锥母线的截面面积的最大值与轴截面顶角θ的范 围有关，
当0＜θ≤π2时，轴截面面积最大，最大值为S＝12l2sin θ. 当π2＜θ＜π时，过圆锥母线的截面面积最大，最大值为S＝12l2.
同理 FG∥EH，所以四边形 EFGH 为平行四边形，又 AD⊥BC， 所以四边形 EFGH 为矩形．
1234 5
强基专题3 立体几何中的截面问题
由相似三角形的性质得BECF＝AACF，FACC＝AFDG， 所以BECF＋FAGD＝AACF＋FACC，BC＝AD＝2， 所以 EF＋FG＝2，所以四边形 EFGH 的周长为定值 4，S 四边形 EFGH ＝EF×FG≤EF＋2 FG2＝1， 所以四边形 EFGH 的面积有最大值 1.故选 B．]
1 2
l2sin θ.截面VCD的面积S′＝12l2sin α.在△V强基专题3 立体几何中的截面问题
(1)当0＜θ≤π2时，0＜α＜θ≤π2，sin α＜sin θ⇒S′＜S，此时过圆 锥母线的截面面积最大为轴截面面积S＝12l2sin θ.
截面形状及相应面积的求法 (1)结合线、面平行的判定定理与性质定理求截面问题； (2)结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题； (3)猜想法求最值问题：“要灵活运用一些特殊图形与几何体的 特征，“动中找静”，如正三角形、正六边形、正三棱锥等； (4)建立函数模型求最值问题：①设元；②建立二次函数模型； ③求最值．
2024年高考数学二轮复习专题三立体几何培优拓展(五) 立体几何中的截面、交线问题
设 PB=x(0<x<2),则三棱台 PBQ-A1B1C1 的体积为
1
1 2
×2×(2+
x
+
3
2
2×
1 2
7
)=
×8,解得
2
32
2
所以 PQ= 为 ×2+2
2
1
x=2(负值舍去),
9
5
4 + 4 = 2.又 A1C1=2
2
5 2
2 + =5+ .
2
2
2,
增分技巧若截面与几何体的两个平行平面相交,或者截面上有一条直线与
2024
高考总复习
GAO KAO ZONG FU XI
培优拓展(五) 立体几何中的截面、交线问题
空间几何体的截面问题是高考命题的热点,它是空间问题转化为平面问题
的纽带,也是考查空间想象能力的最佳切入点.确定空间几何体的截面关键
是寻找这个平面与几何体表面的交线.
平面截几何体有三种基本方式:横截、纵截和斜截.考查较多的是旋转体的
2
2
2
4
2
4
2
13
2
13
2
2
则 A1P= ,AP= ,故 D1P= 2 +
=
,EP= 1 +
=
,
3
3
3
3
3
3
2 13
13
同理可得 D1Q= 3 ,FQ= 3 ,而 EF= 2,
2 13
13
则五边形 D1QFEP 的周长为 2×( 3 + 3 )+ 2=2 13 + 2.
增分技巧若截面上的点中至少有两个在一个几何体的一个表面上,可以借
立体几何中的空间距离问题
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3. 在 求 距 离 时 ， 要 注 意 各 种 距 离 的 转化；在选择求距离的方法时，也要灵 活.一般来说，空间关系在不太复杂的情 况下使用传统方法，而在距离不好作、 空间关系较复杂的条件下可用等积法.
5.异面直线间的距离:两条异面直线的公 垂线夹在这两条异面直线间的⑤ 线段 的长 度.
6.直线与平面间的距离:如果一条直线和 一个平面平行,从这条直线上任意一点向平 面引垂线,⑥ 这点到垂足间线段 的长度.
7.两平行平面间的距离：夹在两平行平 面之间的⑦ 公垂线段 的长度.
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二、求距离的一般方法 1.两点间距离、点到直线的距离和两 平行线间的距离其实是平面几何中的问题， 可用平面几何方法求解. 2.直线与平面间的距离、平行平面间 的距离可归结为求⑧ 点面间 的距离.
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分析（1）通过论证平面 PAC⊥平面
PCF，找到点A在平面PCF上的射影H位 于PC上，然后解三角形求AH的长. （2）由于AD∥平面PBC，可考虑依据问 题情境在AD上选择具备特殊位置的点A， 然后推理过A点的平面PAD⊥平面PBC， 找到过点A的垂线.
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(1)连接AC.因为PA⊥平面ABCD，所 以PA⊥CF. 又CF⊥PC，PA∩PC=P， 所以CF⊥平面PAC， 所以平面PFC⊥平面PAC. 过点A作AH⊥PC于H，所以PH⊥平面PCF， 即AH为点A到平面PCF的距离. 由已知AB=BC=1，所以AC= 2 ,PC= 3 . 在Rt△PAC中，得AH= 6.
立体几何(学生版)--2025新高考数学新题型
立体几何题型01 空间几何体的有关计算题型02 点线面位置关系、空间角及距离题型03 内切球、外接球问题题型04 空间向量题型01 空间几何体的有关计算1(2024·山西晋城·统考一模)若一个正n棱台的棱数大于15，且各棱的长度构成的集合为{2,3}，则n 的最小值为，该棱台各棱的长度之和的最小值为．2(2024·浙江·校联考一模)已知圆台的上下底面半径分别是1，4，且侧面积为10π，则该圆台的母线长为．3(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模)球O的半径与圆锥M的底面半径相等，且它们的表面积也相等，则圆锥M的侧面展开图的圆心角大小为，球O的体积与圆锥M的体积的比值为．4(2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)已知圆锥的母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为时，圆锥的体积最大，最大值为．5(2024·广东深圳·校考一模)已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆.若用平行于圆锥的底面，且与底面的距离为3的平面截圆锥，将此圆锥截成一个小圆锥和一个圆台，则小圆锥和圆台的体积之比为.6(2024·辽宁沈阳·统考一模)正方体的8个顶点分别在4个互相平行的平面内，每个平面内至少有一个顶点，且相邻两个平面间的距离为1，则该正方体的棱长为()A.2B.3C.2D.57(2024·云南曲靖·统考一模)为努力推进“绿美校园”建设，营造更加优美的校园环境，某校准备开展校园绿化活动．已知栽种某绿色植物的花盆可近似看成圆台，圆台两底面直径分别为18厘米，9厘米，母线长约为7.5厘米．现有2000个该种花盆，假定每一个花盆装满营养土，请问共需要营养土约为( )(参考数据：π≈3.14)A.1.702立方米B.1.780立方米C.1.730立方米D.1.822立方米8(2024·新疆乌鲁木齐·统考一模)某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为40cm的正方体截去八个一样的四面体得到的，则()A.该几何体的顶点数为12B.该几何体的棱数为24C.该几何体的表面积为(4800+8003)cm 2D.该几何体外接球的表面积是原正方体内切球、外接球表面积的等差中项9(2024·山西晋城·统考一模)如图，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =2，AA 1=4，C 1 E =3EC，平面ABE 将该正四棱柱分为上、下两部分，记上部分对应的几何体为Ω上，下部分对应的几何体为Ω下，则()A.Ω下的体积为2B.Ω上的体积为12C.Ω下的外接球的表面积为9πD.平面ABE 截该正四棱柱所得截面的面积为25题型02 点线面位置关系、空间角及距离10(2024·河北·校联考一模)已知直线l 、m 、n 与平面α、β，下列命题正确的是()A.若α⎳β，l ⊂α，n ⊂β，则l ⎳nB.若α⊥β，l ⊂α，则l ⊥βC.若l ⊥n ，m ⊥n ，则l ⎳mD.若l ⊥α，l ⎳β，则α⊥β11(2024·浙江·校联考一模)已知直线a ,b 和平面α,a ⊄α,b ∥α，则“a ∥b ”是“a ∥α”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12(2024·广东深圳·校考一模)已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，则下列说法正确的是()A.若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α⊥βB.若m ⎳n ，m ⎳α，n ⎳β，则α⎳βC.若m ⊥n ，m ⎳α，α⊥β，则n ⊥βD.若m ⎳n ，m ⊥α，α⊥β，则n ⎳β13(2024·吉林白山·统考一模)正八面体可由连接正方体每个面的中心构成，如图所示，在棱长为2的正八面体中，则有()A.直线AE与CF是异面直线B.平面ABF⊥平面ABEC.该几何体的体积为432 D.平面ABE与平面DCF间的距离为26314(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,∠BAD=120°,AC⊥BD，△BCD是等边三角形.(1)证明：平面PAD⊥平面PCD.(2)求二面角B-PC-D的正弦值.15(2024·辽宁沈阳·统考一模)如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD，且BC=BD= BA，∠CBA=∠CBD=120°，点P在线段AC上，点Q在线段CD上.(1)求证：AD⊥BC；(2)若AC⊥平面BPQ，求BPBQ的值；(3)在(2)的条件下，求平面ABD与平面PBQ所成角的余弦值.16(2024·重庆·统考一模)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB= AP，AB⊥AD,AB+AD=6,CD=2,∠CDA=45°．(1)若E为PB的中点，求证：平面PBC⊥平面ADE；(2)若平面PAB与平面PCD所成的角的余弦值为66．(ⅰ)求线段AB的长；(ⅱ)设G为△PAD内(含边界)的一点，且GB=2GA，求满足条件的所有点G组成的轨迹的长度．17(2024·云南曲靖·统考一模)在图1的直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°,AB=BC=2,DC=3，点E是DC边上靠近于点D的三等分点，以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达C1的位置，且AC1= 6，如图2．(1)求证：平面BC1E⊥平面ABED；(2)在棱DC1上是否存在点P，使得二面角P-EB-C1的大小为45°？若存在，求出线段DP的长度，若不存在说明理由．18(2024·云南曲靖·统考一模)如图所示，正方体ABCD -A B C D 的棱长为1，E ,F 分别是棱AA ,CC 的中点，过直线EF 的平面分别与棱BB ,DD 交于点M ,N ，以下四个命题中正确的是()A.四边形EMFN 一定为菱形B.四棱锥A -MENF 体积为13C.平面EMFN ⊥平面DBB DD.四边形EMFN 的周长最小值为419(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PB 与底面ABCD 所成的角为π4，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC =∠BAD =π2,AD =2,PA =BC =1，点E 为棱PD 上一点，满足PE =λPD0≤λ≤1 ，下列结论正确的是()A.平面PAC ⊥平面PCD ；B.在棱PD 上不存在点E ，使得CE ⎳平面PABC.当λ=12时，异面直线CE 与AB 所成角的余弦值为255；D.点P 到直线CD 的距离3；20(2024·新疆乌鲁木齐·统考一模)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AB ，点E ，F 分别是棱PB ，BC 的中点．(1)求直线AF 与平面PBC 所成角的正弦值；(2)在截面AEF 内是否存在点G ，使DG ⊥平面AEF ，并说明理由．21(2024·山西晋城·统考一模)如图，P 是边长为2的正六边形ABCDEF 所在平面外一点，BF 的中点O 为P 在平面ABCDEF 内的射影，PM =2MF．(1)证明：ME ⎳平面PBD ．(2)若PA =2，二面角A -PB -D 的大小为θ，求cos2θ．22(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 是AD 1的中点，点Q 是直线CD 1上的动点，则下列说法正确的是()A.△PBD 是直角三角形B.异面直线PD 与CD 1所成的角为π3C.当AB 的长度为定值时，三棱锥D -PBQ 的体积为定值D.平面PBD ⊥平面ACD123(2024·浙江·校联考一模)在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形BCC1B1是菱形，△ABC是等边三角形，点M是线段AB的中点，∠ABB1=60°．(1)证明：B1C⊥平面ABC1；(2)若平面ABB1A1⊥平面ABC，求直线B1C与平面A1MC1所成角的正弦值．24(2024·广东深圳·校考一模)如图，在圆锥SO中，AB是圆O的直径，且△SAB是边长为4的等边三角形，C,D为圆弧AB的两个三等分点，E是SB的中点.(1)证明：DE⎳平面SAC；(2)求平面SAC与平面SBD所成锐二面角的余弦值.25(2024·广西南宁·南宁三中校联考一模)在如图所示的五面体ABCDEF中，ABEF共面，△ADF是正三角形，四边形ABCD为菱形，∠ABC=2π3,EF⎳平面ABCD,AB=2EF=2，点M为BC中点．(1)证明：EM∥平面BDF；(2)已知EM=2，求平面BDF与平面BEC所成二面角的正弦值．26(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB =5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=54，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△DEF 位置，OD =10．(1)证明：D H⊥平面ABCD；(2)求平面BAD 与平面ACD 的夹角的余弦值．27(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模)设b、c表示两条直线，α、β表示两个平面，则下列命题正确的是()A.若b⎳α，c⊂α，则b⎳cB.若b⊂α，b⎳c，则c⊂αC.若c⎳α，α⊥β，则c⊥βD.若c⎳α，c⊥β，则α⊥β28(2024·吉林延边·统考一模)已知三棱柱ABC-A1B1C1，侧面AA1C1C是边长为2的菱形，∠CAA1 =πA1是矩形，且平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，点D是棱A1B1的中点．3，侧面四边形ABB1(1)在棱AC上是否存在一点E，使得AD∥平面B1C1E，并说明理由；(2)当三棱锥B-A1DC1的体积为3时，求平面A1C1D与平面CC1D夹角的余弦值．29(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)如图1，在平面四边形PABC中，PA⊥AB,CD⎳AB，CD=2AB=2PD=2AD=4.点E是线段PC上靠近P端的三等分点，将△PDC沿CD折成四棱锥P-ABCD，且AP=22，连接PA,PB,BD，如图2.(1)在图2中，证明：PA⎳平面BDE；(2)求图2中，直线AP与平面PBC所成角的正弦值.30(2024·重庆·统考一模)如图，在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，M是线段A1E上的一点，则下列说法正确的是()A.当M点与A1点重合时，直线AC1⊂平面ACMB.当点M移动时，点D到平面ACM的距离为定值C.当M点与E点重合时，平面ACM与平面CC1D1D夹角的正弦值为53D.当M点为线段A1E中点时，平面ACM截正方体ABCD-A1B1C1D1所得截面面积为73332 31(2024·福建厦门·统考一模)如图，在四棱锥E-ABCD中，AD⎳BC，2AD=BC=2，AB=2，AB⊥AD，EA⊥平面ABCD，过点B作平面α⊥BD．(1)证明：平面α⎳平面EAC；(2)已知点F为棱EC的中点，若EA=2，求直线AD与平面FBD所成角的正弦值．32(2024·吉林延边·统考一模)如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，DE =BF =1,DE ∥BF ,DE ⊥平面ABCD ，动点P 在线段EF 上，则下列说法正确的是()A.AC ⊥DPB.存在点P ，使得DP ∥平面ACFC.三棱锥A -CDE 的外接球被平面ACF 所截取的截面面积是9π2D.当动点P 与点F 重合时，直线DP 与平面ACF 所成角的余弦值为3101033(2024·福建厦门·统考一模)如图所示，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，△ABF 和△DCE 均是等边三角形，且AB =23，EF =x (x >0)，则()A.EF ⎳平面ABCDB.二面角A -EF -B 随着x 的减小而减小C.当BC =2时，五面体ABCDEF 的体积V (x )最大值为272D.当BC =32时，存在x 使得半径为32的球能内含于五面体ABCDEF 题型03 内切球、外接球问题34(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)已知四面体ABCD 的各个面均为全等的等腰三角形，且CA =CB =2AB =4.设E 为空间内任一点，且A ,B ,C ,D ,E 五点在同一个球面上，则()A.AB ⊥CDB.四面体ABCD 的体积为214C.当AE =23时，点E 的轨迹长度为4πD.当三棱锥E -ABC 的体积为146时，点E 的轨迹长度为32π35(2024·吉林白山·统考一模)在四面体A -BCD 中，BC =22，BD =23，且满足BC ⊥BD ，AC ⊥BC ，AD ⊥BD ．若该三棱锥的体积为863，则该锥体的外接球的体积为．36(2024·吉林延边·统考一模)已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为25π5，半径为5的扇形.若该圆锥的顶点及底面圆周都在球O 的表面上，则球O 的体积为.37(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，以A1为球心、3为半径的球面与底面ABC的交线长为3π6，则三棱柱ABC-A1B1C1的表面在球内部分的总面积为．38(2024·江西吉安·吉安一中校考一模)已知球O的直径PQ=4，A，B，C是球O球面上的三点，△ABC是等边三角形，且∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°，则三棱锥P-ABC的体积为( ).A.334B.934C.332D.273439(2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)如图所示，有一个棱长为4的正四面体P-ABC容器，D是PB的中点，E是CD上的动点，则下列说法正确的是()A.直线AE与PB所成的角为π2B.△ABE的周长最小值为4+34C.如果在这个容器中放入1个小球(全部进入)，则小球半径的最大值为63D.如果在这个容器中放入4个完全相同的小球(全部进入)，则小球半径的最大值为26-25 40(2024·江西吉安·吉安一中校考一模)如图，在正三棱锥P-ABC中，有一半径为1的半球，其底面圆O与正三棱锥的底面贴合，正三棱锥的三个侧面都和半球相切．设点D为BC的中点，∠ADP=α．(1)用α分别表示线段BC和PD长度；(2)当α∈0,π2时，求三棱锥的侧面积S的最小值．41(2024·江西吉安·吉安一中校考一模)地球仪是地理教学中的常用教具.如图1所示，地球仪的赤道面(与转轴垂直)与黄道面(与水平面平行)存在一个夹角，即黄赤交角，大小约为23.5°.为锻炼动手能力，某同学制作了一个半径为4cm 的地球仪(不含支架)，并将其放入竖直放置的正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中(姿态保持不变)，使地球仪与该三棱柱的三个侧面相切，如图2所示.此时平面AB 1C 恰与地球仪的赤道面平行，则三棱柱ABC -A 1B 1C 1的外接球体积为.(参考数据：tan23.5°≈0.43)题型04 空间向量42(2024·福建厦门·统考一模)已知平面α的一个法向量为n=(1,0,1)，且点A (1,2,3)在α内，则点B (1,1,1)到α的距离为．43(2024·广西南宁·南宁三中校联考一模)在边长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，动点M 满足AM =xAB +yAD +zAA 1 ，(x ,y ,z ∈R 且x ≥0,y ≥0,z ≥0)，下列说法正确的是()A.当x =14,z =0,y ∈0,1 时，B 1M +MD 的最小值为13B.当x =y =1,z =12时，异面直线BM 与CD 1所成角的余弦值为105C.当x +y +z =1，且AM =253时，则M 的轨迹长度为42π3D.当x +y =1,z =0时，AM 与平面AB 1D 1所成角的正弦值的最大值为6344(2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =AA 1=1，∠DAB =90°，cos <AA 1 ，AB >=22，cos <AA 1 ，AD >=12，点M 为BD 中点.(1)证明：B 1M ⎳平面A 1C 1D ；(2)求二面角B -AA 1-D 的正弦值.。
空间几何体.板块二.截面与距离问题.教师版 普通高中数学复习讲义Word版
棱锥、棱台的中截面与轴截面【例1】 正四棱锥的侧棱长是底面边长的k 倍，求k 的取值范围． 【考点】截面与距离问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无【解析】如图所示，设正四棱锥V ABCD -底面中心为O ，令BC a =，则VB ka =，而OB a =，在Rt VOB ∆中， VODCBA2cos 2VBO ka k ∠==，∵π02VBO ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，，∴01<，1<<+∞，∴k >∴k的取值范围是⎫+∞⎪⎪⎝⎭．【答案】2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【例2】 正四棱锥的斜高为2，求棱锥的高与中截面（即过高线的中点且平行于底面的截面）的面积？【考点】截面与距离问题 【难度】2星 【题型】解答典例分析板块二.截面与距离问题【关键词】无【解析】四棱锥的简图如右所示，由题意知2,SH SB ==HOBAS故1122BH AB AB ==⇒=，112OH AB ==，高SO === 底面面积24S AB ==底面，2212141S S S ==⇒=中截面底面中截面∶∶∶．1【例3】 正四棱台的高为17，两底面的边长分别是4和16，求这个棱台的侧棱长和斜高．【考点】截面与距离问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无【解析】如图，过B 点作BF O B ''⊥，垂足为F ，由题意知：2AB OB ==，8A B OB''''==，17OO '=，在直角三角形BBF'中，BB '=即斜高长为；又OA =O A ''=，在直角三角形AAE'中，19AA '=，即此棱台的侧棱长为19．【答案】【例4】 已知正六棱台的上，下底面的边长和侧棱长分别为a ，b ，c ，则它的高和斜高分别为【考点】截面与距离问题 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】无【例5】 已知正三棱锥S ABC -的高SO h =，斜高SM l =，求经过SO 的中点且平行于底面的截面111A B C ∆的面积．【考点】截面与距离问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无【解析】在Rt SOM∆中，SO h =，SM l =，所以OM=，又O 为正三角形的中心，故13MO AB =，故棱长AB=∴)222ABC S AB l h ∆==-， 111A B C ∆与ABC ∆相似，且边长比为12∶，故截面111A B C ∆)22l h -． )22l h -【例6】 如图所示的正四棱锥V ABCD -，它的高VO⑴ 求侧面上的斜高与底面面积．⑵ 'O 是高VO 的中点，求过'O 点且与底面平行的截面（即中截面）的面积．HO'ODCBAV【考点】截面与距离问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无【解析】⑴由题意知VOVC =故2CO BC ==⇒=斜高VH 底面面积28S BC ==； ⑵ 由棱柱的截面性质知：214S VO S VO '⎛⎫== ⎪⎝⎭中截面底面1824S ⇒=⋅=中截面．【答案】，8；⑵2．【例7】 如图，已知棱锥V ABC -的底面积是264cm ，平行于底面的截面面积是24cm ，棱锥顶点V 在截面和底面上的射影分别是1O 、O ，过1O O 的三等分点作平行于底面的截面，求各截面的面积．CA【考点】截面与距离问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】无【解析】设棱锥的高为h ，其顶点到已知截面之距11VO h =，1OO 的三等分点为2O 、3O ，由已知得212464h h =，∴114h h =，∴114h h =∴111344O O VO VO h h h =-=-=，而12233O O O O O O ==，则12233131344O O O O O O h h ===⋅=．∴211442h VO h h =+=，311134444VO h h h h =++=．设过2O 、3O 的截面面积分别为2S 、3S ，底面面积为S 则 22212S S h h ⎛⎫= ⎪⎝⎭∶∶，∴21164S S ==（2cm ）．22334S S h h ⎛⎫= ⎪⎝⎭∶∶，∴39643616S =⨯=（2cm ）．∴两截面的面积分别为216cm 和236cm ．【答案】216cm 和236cm ．圆锥、圆台的中截面与轴截面【例8】 把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是14∶，母线长10，求圆锥的母线长．【考点】截面与距离问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无【解析】设圆锥的母线长为l ，圆台上、下底半径为r R ，．由相似三角形的性质有：10l r l R -=，即1014043l l l -=⇒=故圆锥的母线长为403． 【答案】403【例9】 一圆锥轴截面顶角为120︒，母线长为1，求轴截面的面积．【考点】截面与距离问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无【解析】圆锥的轴截面为顶角为120︒的等腰三角形，腰长为１，故高为12011cos22︒⨯=，底边长为2sin60⋅︒1122=；【例10】 圆台的母线长为2a ，母线和轴的夹角为30︒，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，求圆台的高与上下两底面面积之和．【考点】截面与距离问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无【解析】圆台的轴锥面如图，设它的上底面半径为r ，2a则下底面半径为2r ， 有2sin302a r r r a ︒=-⇒=圆台2cos30h a ︒=，上下两底面之和222ππ(2)5πS a a a =+=．，25πa【例11】 圆台两底半径分别是2和5，母线长是，求它的轴截面的面积；【考点】截面与距离问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无【解析】9=，故轴截面面积()122259632S =⋅⋅+⋅⋅=；，25πa【例12】 圆台侧面的母线长为2a ，母线与轴的夹角为30︒，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，则两底面半径为 ．【考点】截面与距离问题 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】无【解析】如图，圆台轴截面为梯形11ABB A ，130BB C ∠=︒，12BB a =，∴BC a =且112OB O B =，∴1111BC OB O B O B =-=，∴11O B a =，2OB a =CB AOO【答案】a 、2a ．【例13】 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于2392cm ，母线与底面的夹角是45︒，求这个圆台的母线长．【考点】截面与距离问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无【解析】设圆台的上，下底面半径分别为r ，R ，则3R r =，根据母线与底面的夹角是45︒，有高为r ，∴圆台轴截面的面积为()133922S r r r =+⋅=，解得：14r =，∴母线长为【答案】【例14】 用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是14∶，截去的圆锥的母线长是3，求圆台的母线长．【考点】截面与距离问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无【解析】设圆台的母线为l ，截得的圆锥底面与原圆锥底面半径分别是r ，4r ，4 rlrSAOSOA根据相似三角形的性质得334rl r=+，解得9l =． 所以，圆台的母线长为9．【答案】9．【例15】 圆台母线长为2a ，母线与轴的夹角为30，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍，求两底面半径以及两底面面积之和．【考点】截面与距离问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无【解析】设圆台上底面半径为r ，则下底面半径为2r ，如图为圆台轴截面的一部分，2rrO 'OAA 'S则30ASO ∠=，在''Rt SA O ∆中，sin30'rSA =，∴'2SA r = 在Rt SAO ∆中，2sin30rSA=，∴4SA r =． ∴''SA SA AA -=，∴422r r a -=，r a = ∴222212ππ(2)5π5πS S S r r r a =+=+== ∴圆台的上底面半径为a ，下底面半径为2a ， 两底面面积之和为25πa【答案】a 、2a 、25πa【例16】 圆锥轴截面顶角为120︒，母线长为1．⑴求轴截面的面积；⑵过顶点的圆锥的截面中，最大截面的面积．【考点】截面与距离问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】无【解析】⑴圆锥的轴截面为顶角为120︒的等腰三角形，腰长为1，故高为12011cos 22︒⋅=，底边长为2sin 60︒=1122=；⑵过顶点的圆锥的截面都是等腰三角形，且腰长为１，设顶角为θ，三角形的面积为1sin 11sin 22θθ⋅⋅⋅=， 由轴截面的顶角为120︒知，0120θ︒<≤， 故当θ为直角时，过顶点的截面有最大面积12． 【答案】；⑵12．球的截面【例17】 在球心同侧有相距9的两个平行截面，它们的面积分别为49π和400π．求球的半径．【考点】截面与距离问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无【解析】分析：画出球的轴截面，利用球的截面性质，求球的半径，解：设球的半径为R ，截面圆心分别记为12,O O ，如图，A∵22π49πO B ⋅=，∴27O B = 同理21π400πO A ⋅=，∴120O A = 设1OO x =，则29OO x =+．在1Rt OO A ∆中，22220R x =+；在2Rt OO B ∆中， 222(9)7R x =++，∴222207(9)x x +=++，解得15x =， ∴22222025R x =+=，∴25R =．【答案】25．【例18】 已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别为12π和16π，求这两个截面间的距离．【考点】截面与距离问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】无【解析】设两个截面半径分别为12,r r ，则12π12πr =，22π16πr =，解得16r =，28r =．从而球心到两个截面的距离分别为：18d =，26d ．（2）（1）O OFFEE D DC CB B AA若两个截面在球心的同一侧，则它们之间的距离为122d d -=，如图⑴； 若两个截面在球心的两侧，则它们之间的距离为1214d d +=，如图⑵．【答案】2或14．【例19】 （2008四川卷８）设,M N 是球心O 的半径OP 上的两点，且NP MN OM ==，分别过,,N M O 作垂直于OP 的平面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为（ ）A ．3:5:6B ．3:6:8C ．5:7:9D ．5:8:9【考点】截面与距离问题 【难度】3星【题型】选择【关键词】2008年，四川高考【解析】D点评：本题涉及到线面垂直的概念，学生对于线面垂直的概念只是感性认识，包括后面学习的空间几何体的体积公式中，椎体的高，也需要的是线面垂直的感性认识．【答案】D【例20】球面上有三点A、B、C组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中18AB=，24BC=、30AC=，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的半径．【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】分析：本题的条件涉及球的截面，ABC∆是截面的内接三角形，由此可利用三角形求截面圆的半径，球心到截面的距离为球半径的一半，从而可由关系式222r R d=-求出球半径R．∵18AB=，24BC=，30AC=，∴222AB BC AC+=，ABC∆是以AC为斜边的直角三角形．∴ABC∆的外接圆的半径为15，即截面圆的半径15r=，又球心到截面的距离为12d R =，∴2221152R R⎛⎫-=⎪⎝⎭，得R=【答案】R=【例21】已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A．1B C D．2【考点】截面与距离问题【难度】2星星【题型】选择【关键词】2008年，全国高考【解析】C；如图，球心记为O ，两个圆面的圆心记为12O O ，，公共弦为AB ，M 为AB 的中点， 记圆1O 所在的平面为α，圆2O 所在的平面为β，则平面α^平面β，1OO ^平面α，2OO ^平面β，又12AB O M AB O M ^^，，而AB 为两个平面的交线，故2O M ^平面α，1O M ^平面β，从而12OO O M ∥，且四边形12OO MO 为平行矩形．由AB ^平面12OO MO 知，AB OM ^，又2OB =，2AB =，故12OM O O =，即为所求．组合体的截面分析【例22】 一个轴截面是正三角形的圆锥内有一个轴截面是正方形的内接圆柱，求它们的高的比值和母线长的比值．【考点】截面与距离问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】无【解析】如图作轴截面的图形，设圆柱的半径为r ，圆锥的半径为R ，D 1C 1O 1O DC BAS则圆柱的高为12OO r =，圆锥的高为SO ， ∵11//C D AB ，∴111C O SO AO SO =，即r R =，解得：3rR =2(2=．圆柱的母线长为2r ，圆锥的母线长为2R，故它们的母线长之比为232rR=-．【答案】(22，3．【例23】 棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ）AB ．1 C．1 D【考点】截面与距离问题 【难度】3星 【题型】选择【关键词】2007年，湖南高考 【解析】答案： D ．已知正方体1111ABCD A B C D -，如图，设EF 所在的大圆圆面截正方体EFGH ，圆心为OFEDCBAOA 1D 1B 1C 1由题意知面EFGH ∥面ABCD ∴四边形EFGH 为正方形，∴球半径为R =又直线EF 被球O 截得线段长即为大圆O 截直线EF 的长．如图：∴MN =【答案】D【例24】 连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB 、CD 可能相交于点M ②弦AB 、CD 可能相交于点N ③MN 的最大值为5 ④MN 的最小值为1 其中真命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【考点】截面与距离问题 【难度】3星 【题型】选择【关键词】2008年，江西高考【解析】⑴先算出两个弦心距分别为3与2⑵利用三角形的三边的大小关系可知OM ON MN OM ON -<<+ 当且仅当AB 与CD 在同一个大圆面内且相互平行时取等号 ∴①③④是正确的点评：用好三角形的三边关系是本题的关键，另外，由AB 与CD 两条相交直线直线总可以确定一个圆面，如果要经过一条弦的中点，又∵CD AB >，∴只有CD 为直径，AB 为弦，∴只能是经过AB 的中点．【答案】C多面体与简单旋转体的表面最短距离问题【例25】 如图正方体1111ABCD A B C D -，其棱长为1，,P Q 分别为线段1AA ，11C D 上的两点，且11A P C Q λ==．求在正方体侧面上从P 到Q 的最短距离．【考点】截面与距离问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】无【解析】将正方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图．丙AA 1P DC 1D 1QC乙NPQD 1A 1B 1C 1DA甲QPAB C 1B 1A 1D 1ABCDB 1C 1D 1A 1由于两点间线段最短，由侧面展开图可知：三个图形甲、乙、丙中PQ 的长即为两点间的最短距离，分别为：（前上）PQ（左上）PQ ==（左后）PQ =由于01λ≤≤，∴①式PQ =②式PQ ∴最短距离PQ =【例26】 已知如图，正三棱柱ABC DEF -的底面边长为1，高为8，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达D 点的最短路线的长为____．FED CBA【备注】棱柱的表面距离问题【考点】截面与距离问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】无【解析】将正三棱柱111ABC A B C -沿侧棱CC 1展开，其侧面展开图如图所示，由图中路线不难知道最短路线长为10．ODAFEDC B A【答案】10．【例27】 如图所示，正三棱锥S ABC -的侧棱长为1，45ASB ∠=，M 和N 分别为棱SB 和SC 上的点，求AMN ∆的周长的最小值．【考点】截面与距离问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】无【解析】分析：将侧面展开→化归为平面几何问题．将正三棱锥侧面棱SA 剪开，然后将其侧面展开在一个平面上，如图所示，连接'AA ，设'AA 与SB 交于M ，交SB 于N 点，显然AMN ∆的周长''l AM MN NA AA =++≥，也就是说当AM ，MN ，(')NA NA 在一条直线上时，对应得截面三角形周长最短，则'AA 的长就是截面AMN ∆的周长最小值．SMN ACBA '(A)SMN AB∵'1SA SA ==，'45ASB BSC CSA ∠=∠=∠= ∴'135ASA ∠=∴'2AA ==∴AMN ∆【例28】 如图，长方体1111A B C D A B C D -中，a AB =，b BC =，c BB =1，并且0>>>c b a ．求沿着长方体的表面自A 到1C 的最短线路的长．c baD 1C 1B 1A 1D CB A【考点】截面与距离问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】无【解析】分析：解本题可将长方体表面展开，利用在平面内两点间的线段长是两点间的最短距离来解答．将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图．（丙）（乙）（甲）abc a bc a b c c baAB B 1C 1ABCDA 1B 1C 1D 1AB CA 1B 1C 1D 1C 1B 1A 1D CB A三个图形甲、乙、丙中1AC 的长分别为：ab c b a c b a 2)(22222+++=++，bc c b a c b a 2)(22222+++=++ ac c b a b c a 2)(22222+++=++∵0>>>c b a ， ∴0>>>bc ac ab ．故最短线路的长为bc c b a 2222+++．【答案】bc c b a 2222+++【例29】 如图所示，设正三棱锥V ABC -的底面边长为a ，侧棱长为2a ，AVB θ∠=．过A作与侧棱,VB VC 相交的截面AEF ，求截面周长的最小值．F ECBAV【考点】截面与距离问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】无【解析】分析：将侧面展开→化归为平面几何问题．2aθCFEBA'AV将正三棱锥沿侧棱VA 剪开，然后将其侧面展开在一个平面上，如图所示，连接'AA ，设'AA 与VB 交于E ，交VC 于F 点，显然AEF ∆的周长''l AE EF FA AA =++≥，也就是说当AE ，EF ，(')FA FA 在一条直线上时，对应的截面三角形周长最短，则'AA 的长就是截面AEF ∆的周长最小值．由于已知AVB θ∠=，因此在'VAA ∆中可利用余弦定理求出'AA 的长．如图所示为正三棱锥沿侧棱VA 剪开的侧面展开图， ∵AVB θ∠=，则在AVB ∆中，由余弦定理得222(2)(2)7cos 2228a a a a a θ+-==⋅⋅∴sin θ=，217cos22cos 132θθ=-=，sin 2θ．从而7cos3cos cos2sin 2sin 128θθθθθ=-=于是在'AVA ∆中，由余弦定理得2222121'(2)(2)222cos316AA a a a a a θ=+-⋅⋅=所以11'4AA a =为所求最小值．【答案】114a ．【例30】 如图，圆台上底半径为1，下底半径为4，母线18AB =，从AB 中点M 拉一绳子绕圆台侧面转到A 点（A 在下底面）．⑴求绳子的最短长度；⑵求绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．A【考点】截面与距离问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】无【解析】⑴如图为圆台的侧面展开图，由题意知，M r'rF EPA'BO'OB'A绳子的最短距离即为AM 的长度．设PB x =，则18PA x =+，有2π2π418x x ⋅=+（圆心角相等）， 解得6x =，故侧面展开图中的2ππ'63APA ∠==，24,6915AP PM ==+=，由余弦定理得：222π241522415cos 4413AM =+-⋅⋅⋅=，故21AM =，即绳子的最短长度为21．⑵取绳上任意点'E ，连结'PE ，交圆台上底于点'F ，由于'6PF =，因此当'PE 取最小值时，''F E 取最小值，而点到线的垂直距离最短，过点P 作PE ⊥AM ，且与'BB 交于点F ， 其中6PF =，则FE 为上底圆周上的点到绳子的最短距离．在PAM ∆中，由面积公式有2415sin321PE π⋅⋅==故6FE =为所求的最短距离．【答案】6FE -【例31】 已知以A 为顶点的正四面体A BCD -，其棱长为1，,P Q 分别为,AB CD 上的两点，且AP CQ λ==．求在正四面体侧面上从P 到Q 的最短距离．B【考点】截面与距离问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无【解析】由于两点间线段最短，因此侧面展开图中的PQ 长即为两点间最短距离：由正四面体的对称性知，经过棱AD 与过棱BC 时侧面展开图中PQ 距离相等，如图1与2，同理过棱BD 与AC 时PQ 长度相等，AA 'BDCQP 图1图2C APQDBC'MD 'ABDCQP图3因此只需考虑以下两种情况①过棱AD 时，如图2所示，沿AC 展开，此时 1.PQ =②过棱AC 时，如图3所示，沿AD 展开，由于 60BAC ACD ∠=∠=，AMP CMQ ∠=∠，AP CQ =AMP ∆≌CMQ ∆()AAS ，12AM CM ==，此时cos604PQ ==将①②两种情况进行比较有：当12λ<1当12λ≥1故1,211,2mm PQ λλ<=⎨⎪⎪⎩≥【答案】1,211,2mm PQ λλ<=⎨⎪⎪⎩≥【例32】 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC =12BB =，90ABC ∠=︒，E 、F 分别为1AA 、11C B 的中点，沿棱柱的表面从E 到F 两点的最短路径的长度为 ．1A 【考点】截面与距离问题【难度】2星 【题型】填空【关键词】2005年，江西高考【解析】∵AB BC ==90ABC ∠=︒，∴2AC =． ∴侧面展开后如图1所示．图1F E C BAA'A 1B 1C 1A 1'11112A E AA ==，1111AF A B B F =+=，∴EF =． 把111A B C ∆与侧面11A B BA 展平如图2所示．图2FE BAC 1B 1M A 1连结EF ，过E 作1EM B B ⊥，则EM AB =1FM =EF 若把111A B C ∆与侧面11A ACC 展平如图3．图3A 1AE M B 1C 1F D C连结EF ，作1EM CC ⊥于M ，作FD EM ⊥于D 点，则32ED =，32FD =，∴EF =．比较以上三条路径，以第三条最小， ∴EF【例33】 如图所示，正三棱锥S ABC -的侧棱长为1，40ASB ∠=，M 和N 分别为棱SB 和SC 上的点，求AMN ∆的周长的最小值．【考点】截面与距离问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】无【解析】过SA 作正三棱锥侧面展开图，如图所示，SMN ACBA '(A)SMN AB∵'1SA SA ==，'40ASB BSC CSA ∠=∠=∠=∴'120ASA ∠=∴'3AA ==∴AMN ∆球面距离【例34】 在体积为的球的表面上有A B C ，，三点，1AB =，BC =，A ，C 两点的，则球心到平面ABC 的距离为 ． 【考点】截面与距离问题 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2008年，辽宁高考【解析】32；34π3R R =⇒=记球心为O ，知π3A O C ∠=，于是AC R ==ABC ∆，于是球心到平面ABC 32=． 【答案】32【例35】 已知球O 的半径是1，A 、B 、C 三点都在球面上，A 、B 两点和A 、C 两点的球面距离都是π4，B 、C 两点的球面距离是π3，则二面角B OA C --的大小是（ ）A ．π4B ．π3C ．π2D ．2π3【考点】截面与距离问题 【难度】2星 【题型】选择【关键词】2006年，四川高考【解析】球O 的半径是R=1，,,A B C 三点都在球面上，,A B 两点和,A C 两点的球面距离都是4π，则∠AOB ，∠AOC 都等于π4，AB AC =，,B C 两点的球面距离是π3，π3BOC ∠=，1BC =，过B 做BD AO ⊥，垂足为D ，连接CD ，则C D A D ⊥，则B D C ∠二面角B OA C--的平面角，BD CD ==，∴π2BDC ∠=，二面角B OA C --的大小是π2，选C ．【答案】C【例36】 A 、B 是半径为R 的球O 的球面上两点，它们的球面距离为π2R ，求过A 、B 的平面中，与球心的最大距离是多少？【考点】截面与距离问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无【解析】分析：A 、B 是球面上两点，球面距离为π2R ，转化为球心角π2AOB ∠=，从而AB =，由关系式222r R d =-，r 越小，d 越大，r 是过A 、B 的球的截面圆的半径．由于过AB 的大圆到球心距离为0，因此要球最大距离则过A 、B 的平面必为小圆，AB 为小圆的弦，为使r 小，则AB 为小圆的直径时，r 最小．∵球面上A 、B 两点的球面的距离为π2R ．∴π2AOB ∠=，∴AB ． 当AB 成为圆的直径时，r 取最小值，此时12r AB ==，d 取最大值，2d ==，即球心与过A 、B ．【例37】 已知,,A B C 三点在球心为O ，半径为R 的球面上，且AB AC BC R ===，那么,A B两点的球面距离为_________，球心到平面ABC 的距离为_________．【考点】截面与距离问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】无【解析】如右图，∵AB R =，所以OAB ∆是等边三角形，O 1OC BAπ3AOB ∠=，故,A B 两点的球面距离为π3R ， ABC ∆为等边三角形，它的外接圆半径23r ==， 在1Rt OO B ∆中，1OO ==， 所以球心到平面ABC的距离1OO ． 或者也可由正四面体O ABC -的棱长为R． 【答案】π3R【例38】 A 、B 是半径为R 的球O 的球面上两点，它们的球面距离为π2R ，求过A 、B 的平面中，与球心的最大距离是多少？【考点】截面与距离问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】无【解析】分析：A 、B 是球面上两点，球面距离为π2R ，转化为球心角π2AOB ∠=，从而AB ，由关系式222r R d =-，r 越小，d 越大，r 是过A 、B 的球的截面圆的半径，所以AB 为圆的直径时，r 最小．解：∵球面上A 、B 两点的球面的距离为π2R ．∴π2AOB ∠=，∴AB ． 当AB 成为圆的直径时，r取最小值，此时12r AB ==，d 取最大值，d =，即球心与过A 、B ．【例39】 如图球O 的半径为2，圆1O 是一小圆，1O O =，A 、B 是圆1O 上两点，若，A B两点间的球面距离为2π3，则1AO B ∠= ．【考点】截面与距离问题 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2009年，陕西高考【解析】2ππ33AOB R AOB ∠⋅=⇒∠=，于是2AB R ==．又11O A O B ==∴22211AB O A O B =+，1π2AO B ∠=． 【答案】π2．【例40】 如图，在半径为3的球面上有A 、B 、C 三点，90ABC ∠=，BA BC =，球心O 到平面ABC B 、C 两点的球面距离是（ ） A ．π3 B ．π C ．4π3D ．2π【考点】截面与距离问题 【难度】2星 【题型】选择【关键词】2009年，四川高考【解析】∵AC 是小圆的直径．所以过球心O 作小圆的垂线，垂足O '是AC 的中点．2O C '=，AC =∴3BC =，即BC OB OC ==， ∴π3BOC ∠=，B 、C 两点的球面距离是π3π3⨯=本题涉及到点到平面的距离，可根据学生情况酌情处理是否讲解．【答案】C.【例41】 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的16，经过3个点的小圆的周长为4π，求这个球的半径．【考点】截面与距离问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】无【解析】利用球的概念性质和球面距离的知识求解．设球的半径为R ，小圆的半径为r ，则2π4πr =，∴2r =． 如图所示，设三点为A 、B 、C ，O 为球心，O 'BOAC2ππ63AOB BOC COA ∠=∠=∠==． 又∵OA OB =，∴AOB ∆是等边三角形， 同样，BOC ∆、COA ∆都是等边三角形， 得ABC ∆为等边三角形，边长等于球半径R ． r 为ABC ∆的外接圆半径，r AB =，R ==【答案】【例42】 如图，O 是半径为1的球心，点,,A B C 在球面上，,,OA OB OC 两两垂直，,E F 分别是大圆弧AB 与AC 的中点，则点,E F 在该球面上的球面距离是（ ） A ．π4 B ．π3 C ．π2DEFGOC BA【考点】截面与距离问题 【难度】3星 【题型】选择【关键词】2006年，浙江高考【解析】由于,E F 分别是大圆弧AB 与AC 的中点，有45EOG BOE ∠=∠=∴ππ1sin,42EG FG EGF =⨯==∠=∴1EF OE OF === ∴π3EOF ∠=， ∴点,E F 的球面距离为ππ133⨯=【答案】π3。
【数学】立体几何中的截面问题(六大题型) 2023-2024学年高一数学人教A版2019必修第二册
【答案】 3
【解析】设正方体 − 1 1 1 1 的棱长为 2 ，体积为 ，
则 = 2 × 2 × 2 = 8 3 ，
因为 E 是棱 1 1 的中点，所以 1 = ，
（ 2 ） 过 M ， N ， P 三 点作 正方 体的 截面 为 ， 如图 所示 ：
则 截 面 的 周 长 为： + + + + = + + ，
因 为 正 方 体 棱 长为 1 ， 则
= =
=
故选：ACD．
3
2
3
2
(2 − )2，ℎ2 =
( 2)2 − [
2 = − 3 2 + 2 3 + 2 3
2 ( 2 − ) − 2 2 2
]
2
=
3 2 ，
2
题型二：截面周长
【例 2 】（ 2024·高三 ·四川成都 ·开学考试）如图，正方体 − 1 1 1 1 的棱长为 4 ， E 是侧棱 1 的中
A．1∶ 2
B．1∶4
C．1∶（ 2+1）
D．1∶（ 2﹣1）
【答案】 D
【解析】设截后棱锥的高为 h ，原棱锥的高为 H ，
由于截面与底面相似，一个正棱锥被平行于底面的平面所截，
若截得的截面面积与底面面积的比为 1 ∶ 2 ， ℎ =
则此正棱锥的高被分成的两段之比：
故选：D
ℎ
−ℎ
=
1
.
2−1
设 1 = ， 则 0 ≤ ≤ 1，
立体几何中的截面问题
立体几何中的截面问题一．基本原理：过正方体（长方体）上三点做截面.1.三点中有两点共面例1.如图，在正方体ABCD－A 1B 1C 1D 1中，E，F，G 分别在AB，BC，DD 1上，求作过E，F，G 三点的截面．思路：当三点中有两点共面时，做截面的思路就是先找共面两点所在直线与该平面所有的棱交点，而这些交点由同时在另外一个平面中，即该截面和正方体某个侧面的交点，这样利用公理1，逐次相连找到所有的交点，即可得到截面.解析：作法：①.由于F E ,共面，在底面AC 内，过F E ,作直线EF ，与DA 于L ，显然，此时L 即在侧面D A 1内，又在欲求截面内，而该截面与侧面D A 1又交于点G ，根据公理1，截面与侧面D A 1交于L .同理，过F E ,作直线EF 与DC 的延长线交于M ，此时M 即在侧面1DC 内，又在欲求截面内，根据公理1，截面与侧面1DC 交于M .②在侧面D A 1内，连接LG 交1AA 于K .③在侧面1DC 内，连接GM 交1CC 于H .④连接FH KE ,.则五边形EFHGK EFHGK 即为所求的截面．练习1.（三点两两共面）P，Q，R 三点分别在直四棱柱AC 1的棱BB 1，CC 1和DD 1上，试画出过P，Q，R 三点的截面作法．解析：作法：（1）连接QP，QR 并延长，分别交CB，CD 的延长线于E，F.（2）连接EF 交AB 于T，交AD 于S.（3）连接RS，TP.则五边形PQRST 即为所求截面．例2.（三点所在的棱两两异面）如图，长方体1111D C B A ABCD -中，R Q P ,,分别为111,,CC AB D A 上三点，求过这三点的截面.分析：此题的难点在于R Q P ,,三点均不在同一个侧面（底面）中，这样我们就暂时无法通过侧面（底面）中连线与棱的交点来找到截面的边界点，于是需要先做出一个平面来，让上面三点RQ P ,,中有两点共面，这就转化成例1的情形，从而解决问题.解：如图，作1//BB QE 交11B A 与E ，则1,RC QE 确定一个平面，转化为例1的情形.连接QR EC ,1,交于点F ；连接PF 交1111,B A D C 延长线于H G ,；连接HQ 交11,BB AA 延长线于J I ,；连接JR 交BC 于K .则KRGPIQK 为所作截面.例3.利用平行关系确定截面在三棱锥A BCD -中，AB CD a ==，截面MNPQ 与AB ，CD 都平行，则截面MNPQ 的周长等于（）A．2a B．4a C．a D．无法确定解析：设AM k CM=，因为//AB 平面MNPQ ，平面ABC 平面MNPQ MN =，AB Ì平面ABC ，所以//MN AB ，同理可得//PQ AB ，//MQ CD ，//NP CD ，故四边形MNPQ 为平行四边形，所以11MN PQ AB AB k ==+，1MQ NP k CD CD k ==+.因为AB CD a ==，所以1a MN PQ k==+，1ak MQ NP k ==+，所以四边形MNPQ 的周长为2211a ak MN PQ MQ NP a k k ⎛⎫+++=+= ⎪++⎝⎭.故选：A.二．截面的的画法小结1.确定截面的主要依据有（1）平面的四个公理及推论．（2）直线和平面平行的判定和性质．（3）两个平面平行的性质．2.作截面的几种方法（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。
高中数学必修2空间几何典型例题及讲解学生版
数学必修2第一章S表示面积，c′、c分别表示上、下底面的周长，h表示高度，h′表示斜高，l表示侧棱长。
表中l、h分别表示母线长、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底面半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面的半径，R表示半径。
知识点一柱、锥、台、球的结构特征例1. 下列叙述正确的是（）①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。
②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台。
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台。
④直角三角形绕其一条边旋转得到的旋转体是圆锥。
⑤直角梯形以它的一条垂直于两底边的腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面围成的旋转体叫圆台。
⑥用一个平面去截圆锥，底面和截面之间的部分是圆台。
⑦通过圆锥侧面上一点，有无数条母线。
⑧以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成球体。
A. ①②③④⑤⑥⑧B. ①③④⑦⑧C. ①②⑤⑧D. ⑤知识点二组合体例2. 如图，下列组合体是由哪几种简单几何体组成的？知识点三 柱、锥的侧面展开图例3. 小明在一个正方体盒子的每个面都写有一个字母，分别是：A 、B 、C 、D 、E 、F ，其平面展开图如图所示，那么在该正方体盒子中，和“A ”相对的面所写的字母是哪一个？例4. 如图所示，为一个封闭的立方体，在它的六个面上标出A ，B ，C ，D ，E ，F 这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已标明，则字母A ，B ，C 对面的字母分别是（ ）A. D ，E ，FB. F ，D ，EC. E ，F ，DD. E ，D ，F例5. 用长和宽分别是π3和π的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，求圆柱的底面半径？知识点四 旋转体中的有关计算例6. 一个圆台的母线长cm 12，两底面面积分别为24cm π和225cm π，求：（1）圆台的高；（2）截得此圆台的圆锥的母线长。
例7. 已知球的两个平行截面的面积分别为π5和π8，且距离为3，求这个球的半径。
微专题4：立体几何中的截面问题(学生版)
立体几何中的截面问题新题引入（南京联合体）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则( )A．直线DD1与直线AF垂直B．直线A1G与平面AEF平行C．点C与点G到平面AEF的距离相等D．平面AEF截正方体所得的截面面积为 98课本回归：推论：1.经过两条相交直线，有且只有一个平面2. 经过两条平行直线，有且只有一个平面总结：1.延长交线得交点2.做平行补面截面的做法1.如图正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G分别在AB,BC,DD1上，求作过E,F,G三点的截面。
2.P,Q,R三点分别在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱CD,DD1和AA1上的点，且QR与AD不平行，求作过这三点的截面。
3.P,Q,R三点分别在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱CC1,A1D和AB上，试画出过P,Q,R这三点的截面截面相关的周长及面积问题例题1：棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是AB,C1C的中点，则过D1,E,F三点的截面图形的周长等于1.（高考真题）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A ． 3 34 B ． 2 33 C ． 3 24 D ． 32变式1：已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于α,则sin α=变式2：在长方体：ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =4,AA 1=2,过点A 1作平面α与AB ,AD 分别交M,N 两点，若AA 1与平面α所成角为45度，则截面面积最小值为：变式 3：已知正四面体 ABCD 的棱长为 2 6 ，四个顶点都在球心为 O 的球面上，P 为棱 BC的中点，过点 P 作求 O 的截面，则截面面积的最小值为变式4.如图所示，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，过BD 1的截面的面积为S ，则S 的最小值为____．。
高中数学立体几何专：空间距离的各种计算(含答案)doc(K12教育文档)
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高中数学立体几何空间距离1.两条异面直线间的距离和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度,叫做两条异面直线的距离.2.点到平面的距离从平面外一点引一个平面的垂线,这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面的距离如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离。
4.两平行平面间的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线,它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离.题型一：两条异面直线间的距离【例1】 如图,在空间四边形ABCD 中,AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点。
（1）求证:EF 是AB 和CD 的公垂线; （2）求AB 和CD 间的距离；【规范解答】 (1）证明：连结AF ,BF ，由已知可得AF =BF 。
又因为AE =BE ,所以FE ⊥AB 交AB 于E 。
同理EF ⊥DC 交DC 于点F .所以EF 是AB 和CD 的公垂线.(2）在Rt △BEF 中，BF =a 23,BE =a 21，所以EF 2=BF 2—BE 2=a 212，即EF =a 22.由（1)知EF 是AB 、CD 的公垂线段，所以AB 和CD 间的距离为a 22. 【例2】 如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求异面直线AB 、CD 之间的距离. 设AB 中点为E ，连CE 、ED .∵AC =BC ，AE =EB 。
第6章立体几何(学生版)--培优辅导讲义
第6章立体几何第一节多面体与球的组合体问题纵观近几年高考对于组合体的考查，重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.一、球与柱体的组合体规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.1、球与正方体如图1所示，正方体1111ABCD A B C D -，设正方体的棱长为a ，,,,E F H G 为棱的中点，O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFGH 和其内切圆，则2a OJ r ==；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH 和其外接圆，则22GO R a ==；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形11ACA C 和其外接圆，则132A O R '==.通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.例1棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（）A．2B．1C．12+【强化训练】将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（）A．π2B．π4C．π6D．π162、球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为,,,a b c 其体对角线为l .当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径222.22l a b c R ++==例2在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为()A.10π3 B.4π C.8π3 D.7π3【强化训练】已知正四棱柱的底边和侧棱长均为32，则该正四棱锥的外接球的表面积为.3、球与正棱柱球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多.下面以正三棱柱为例，介绍本类题目的解法构造直角三角形法.设正三棱柱111ABC A B C -的高为,h 底面边长为a ，如图2所示，D 和1D 分别为上下底面的中心.根据几何体的特点，球心必落在高1DD 的中点O ，3,,,23h OD AO R AD a ===借助直角三角形AOD 的勾股定理，可求223()()23h R a =+.例3正四棱柱1111ABCD A B C D -的各顶点都在半径为R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最________值，为_______.【强化训练】直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在球O 的球面上，若1AB BC ==，0120ABC ∠=，123AA =，则球O 的表面积为（）A．4πB．8πC．16πD．24π二、球与锥体的组合体规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.2.1球与正四面体正四面体作为一个规则的几何体，它既存在外接球，也存在内切球，并且两心合一，利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长的关系.如图4，设正四面体S ABC -的棱长为a ，内切球半径为r ，外接球的半径为R ,取AB 的中点为D ，E 为S 在底面的射影，连接,,CD SD SE 为正四面体的高.在截面三角形SDC ,作一个与边SD 和DC 相切，圆心在高SE 上的圆,即为内切球的截面.因为正四面体本身的对称性可知，外接球和内切球的球心同为O .此时，,CO OS R OE r ===,23,,33SE a CE a ==则有2222233a R r a R r CE +=-=，=解得：66,.412R a r ==这个解法是通过利用两心合一的思路，建立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现，球心O 为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系，可为解题带来极大的方便.例4将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为() A.3263+ B.2+263 C.4+263 D.43263+2.2球与三条侧棱互相垂直的三棱锥球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题，主要是体现在球为三棱锥的外接球.解决的基本方法是补形法，即把三棱锥补形成正方体或者长方体.常见两种形式：一是三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.如图5，三棱锥111A AB D -的外接球的球心和正方体1111ABCD A B C D -的外接球的球心重合.设1AA a =，则32R a =.二是如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且不相等，则可以补形为一个长方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.2222244a b c l R ++==(l 为长方体的体对角线长).例5在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且AM MN ⊥,若侧棱3SA =,则正三棱锥S ABC -外接球的表面积是________.【强化训练】一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为()A．12πB．43πC．3πD．123π2.3球与正棱锥球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径R ．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.例6在三棱锥P－ABC 中，PA＝PB=PC=3,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为（）A．π B.3πC.π4D.34π【强化训练】已知正三棱锥ABC P -,点P,A,B,C 都在半径为3的球面上,若PA,PB,PC 两两互相垂直,则球心到截面ABC 的距离为____________.2.4球与特殊的棱锥球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利,OA OS OB OC ===用截面法、补形法等进行求解.例如，四个面都是直角三角形的三棱锥，可利用直角三角形斜边中点几何特征，巧定球心位置.如图8，三棱锥S ABC -,满足,,SA ABC AB BC ⊥⊥面取SC 的中点为O ,由直角三角形的性质可得：所以O 点为三棱锥S ABC -的外接球的球心,则2SC R =.例7矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积是()A.π12125 B.π9125 C.π6125 D.π3125例8三棱锥A BCD -中，2,AB CD ====5AC AD BD BC ==则三棱锥A BCD -的外接球的半径是_______.三、球与球的组合体对个多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体问题，要求有丰富的空间想象能力，解决本类问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小球的球心的位置关系，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.例9在半径为R 的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r 的最大值为（）A.(2－1)R B .(6－2)R C.14R D.13R 四、球与几何体的各条棱相切球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：24r a '=.例10把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（）3B．10cm 2cm D．30cm 五、与三视图相结合的组合体问题本类问题一般首先给出三视图，然后考查其直观图的相关的组合体问题.解答的一般思路是根据三视图还原几何体，根据几何体的特征选择以上介绍的方法进行求解.例11某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为（）A.5πB.12πC.20πD.8π【强化训练】若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A.163π B.193π C.1912π D.43π第二节立体几何中折叠问题立体几何中的折叠问题主要包含两大问题：平面图形的折叠与几何体的表面展开。
空间几何体截面与距离问题
距离与截面问题棱锥、棱台的中截面与轴截面【例1】 正四棱锥的侧棱长是底面边长的k 倍，求k 的取值范围．【解析】如图所示，设正四棱锥V ABCD -底面中心为O ，令BC a =，则VB ka =，而OB =，在Rt VOB ∆中， VODCBA2cos VBO ka ∠==，∵π02VBO ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，，∴01<，1<<+∞，∴k >∴k的取值范围是⎫+∞⎪⎪⎝⎭．【答案】⎫+∞⎪⎪⎝⎭【例2】 正四棱锥的斜高为2，求棱锥的高与中截面（即过高线的中点且平行于底面的截面）的面积？【解析】四棱锥的简图如右所示，由题意知2,SH SB ==，HOBAS故1122BH AB AB ===⇒=，112OH AB ==，高SO ， 底面面积24S AB ==底面，2212141S S S ==⇒=中截面底面中截面∶∶∶．1【例3】 正四棱台的高为17，两底面的边长分别是4和16，求这个棱台的侧棱长和斜高．【解析】如图，过B 点作BF O B ''⊥，垂足为F ，由题意知：2AB OB ==，8A B OB''''==，17OO '=，在直角三角形BBF'中，BB '即斜高长为；又OA =O A ''=，在直角三角形AAE'中，19AA '=，即此棱台的侧棱长为19．【例4】 已知正六棱台的上，下底面的边长和侧棱长分别为a ，b ，c ，则它的高和斜高分别为【例5】 已知正三棱锥S ABC -的高SO h =，斜高SM l =，求经过SO 的中点且平行于底面的截面111A B C ∆的面积．【解析】在Rt SOM ∆中，SO h =，SM l =，所以OM=又O为正三角形的中心，故13MO AB =，故棱长AB=∴)222ABC S l h ∆=-，111A B C ∆与ABC ∆相似，且边长比为12∶，故截面111A B C ∆)22l h -．【例6】 如图所示的正四棱锥V ABCD -，它的高VO⑴ 求侧面上的斜高与底面面积．⑵ 'O 是高VO 的中点，求过'O 点且与底面平行的截面（即中截面）的面积．HO'ODCBAV【解析】⑴由题意知VOVC =故2COBC ==⇒=斜高VH 28S BC ==；⑵ 由棱柱的截面性质知：214S VO S VO '⎛⎫== ⎪⎝⎭中截面底面1824S ⇒=⋅=中截面．【例7】 如图，已知棱锥V ABC -的底面积是264cm ，平行于底面的截面面积是24cm ，棱锥顶点V 在截面和底面上的射影分别是1O 、O ，过1O O 的三等分点作平行于底面的截面，求各截面的面积．CA【解析】设棱锥的高为h ，其顶点到已知截面之距11VO h =，1OO 的三等分点为2O 、3O ，由已知得212464h h =，∴114h h =，∴114h h =∴111344O O VO VO h h h =-=-=，而12233O O O O O O ==，则12233131344O O O O O O h h ===⋅=．∴211442h VO h h =+=，311134444VO h h h h =++=．设过2O 、3O 的截面面积分别为2S 、3S ，底面面积为S 则22212S S h h ⎛⎫= ⎪⎝⎭∶∶，∴21164S S ==（2cm ）．22334S S h h ⎛⎫= ⎪⎝⎭∶∶，∴39643616S =⨯=（2cm ）．∴两截面的面积分别为216cm 和236cm ．【答案】216cm 和236cm ．圆锥、圆台的中截面与轴截面【例8】 把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是14∶，母线长10，求圆锥的母线长．【解析】设圆锥的母线长为l ，圆台上、下底半径为r R ，．由相似三角形的性质有：10l r l R -=，即1014043l l l -=⇒=故圆锥的母线长为403．【答案】403【例9】 一圆锥轴截面顶角为120︒，母线长为1，求轴截面的面积．【解析】圆锥的轴截面为顶角为120︒的等腰三角形，腰长为１，故高为12011cos22︒⨯=，底边长为2sin60⋅︒1122=【例10】 圆台的母线长为2a ，母线和轴的夹角为30︒，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，求圆台的高与上下两底面面积之和．【解析】圆台的轴锥面如图，设它的上底面半径为r ，2a则下底面半径为2r ，有2sin302a r r r a ︒=-⇒=圆台2cos30h a ︒=， 上下两底面之和222ππ(2)5πS a a a =+=．，25πa【例11】 圆台两底半径分别是2和5，母线长是，求它的轴截面的面积；【解析】9=，故轴截面面积()122259632S =⋅⋅+⋅⋅=；，25πa【例12】 圆台侧面的母线长为2a ，母线与轴的夹角为30︒，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，则两底面半径为 ．【解析】如图，圆台轴截面为梯形11ABB A ，130BB C ∠=︒，12BB a =，∴BC a =且112OB O B =，∴1111BC OB O B O B =-=，∴11O B a =，2OB a =AO【答案】a 、2a ．【例13】 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于2392cm ，母线与底面的夹角是45︒，求这个圆台的母线长． 【解析】设圆台的上，下底面半径分别为r ，R ，则3R r =，根据母线与底面的夹角是45︒，有高为r ，∴圆台轴截面的面积为()133922S r r r =+⋅=，解得：14r =，∴母线长为【答案】【例14】 用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是14∶，截去的圆锥的母线长是3，求圆台的母线长．【解析】设圆台的母线为l ，截得的圆锥底面与原圆锥底面半径分别是r ，4r ，4 rlrSAOSOA根据相似三角形的性质得334rl r=+，解得9l =． 所以，圆台的母线长为9．【答案】9．【例15】 圆台母线长为2a ，母线与轴的夹角为30o ，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍，求两底面半径以及两底面面积之和．【考点】截面与距离问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无【解析】设圆台上底面半径为r ，则下底面半径为2r ，如图为圆台轴截面的一部分，2rrO 'OAA 'S则30ASO ∠=o ，在''Rt SA O ∆中，sin30'rSA =o ，∴'2SA r = 在Rt SAO ∆中，2sin30rSA=o ，∴4SA r =． ∴''SA SA AA -=，∴422r r a -=，r a = ∴222212ππ(2)5π5πS S S r r r a =+=+==∴圆台的上底面半径为a ，下底面半径为2a ， 两底面面积之和为25πa【答案】a 、2a 、25πa【例16】 圆锥轴截面顶角为120︒，母线长为1．⑴求轴截面的面积；⑵过顶点的圆锥的截面中，最大截面的面积．【考点】截面与距离问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】无【解析】⑴圆锥的轴截面为顶角为120︒的等腰三角形，腰长为1，故高为12011cos 22︒⋅=，底边长为2sin 60︒=1122=；⑵过顶点的圆锥的截面都是等腰三角形，且腰长为１，设顶角为θ，三角形的面积为1sin 11sin 22θθ⋅⋅⋅=， 由轴截面的顶角为120︒知，0120θ︒<≤， 故当θ为直角时，过顶点的截面有最大面积12． 【答案】；⑵12．球的截面【例17】 在球心同侧有相距9的两个平行截面，它们的面积分别为49π和400π．求球的半径．【考点】截面与距离问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无【解析】分析：画出球的轴截面，利用球的截面性质，求球的半径，解：设球的半径为R ，截面圆心分别记为12,O O ，如图，A∵22π49πO B ⋅=，∴27O B = 同理21π400πO A ⋅=，∴120O A = 设1OO x =，则29OO x =+． 在1Rt OO A ∆中，22220R x =+； 在2Rt OO B ∆中， 222(9)7R x =++， ∴222207(9)x x +=++，解得15x =， ∴22222025R x =+=，∴25R =．【答案】25．【例18】 已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别为12π和16π，求这两个截面间的距离．【考点】截面与距离问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】无【解析】设两个截面半径分别为12,r r ，则12π12πr =，22π16πr =，解得16r =，28r=．从而球心到两个截面的距离分别为：18d==，26d ．（2）（1）O OFFEE D DC C B B A A若两个截面在球心的同一侧，则它们之间的距离为122d d -=，如图⑴； 若两个截面在球心的两侧，则它们之间的距离为1214d d +=，如图⑵．【答案】2或14．【例19】 （2008四川卷８）设,M N 是球心O 的半径OP 上的两点，且NP MN OM ==，分别过,,N M O 作垂直于OP 的平面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为（ ）A ．3:5:6B ．3:6:8C ．5:7:9D ．5:8:9【考点】截面与距离问题【难度】3星 【题型】选择【关键词】2008年，四川高考 【解析】D点评：本题涉及到线面垂直的概念，学生对于线面垂直的概念只是感性认识，包括后面学习的空间几何体的体积公式中，椎体的高，也需要的是线面垂直的感性认识．【答案】D【例20】 球面上有三点A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中18AB =，24BC =、30AC =，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的半径．【考点】截面与距离问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】无【解析】分析：本题的条件涉及球的截面，ABC ∆是截面的内接三角形，由此可利用三角形求截面圆的半径，球心到截面的距离为球半径的一半，从而可由关系式222r R d =-求出球半径R ．∵18AB =，24BC =，30AC =，∴222AB BC AC +=，ABC ∆是以AC 为斜边的直角三角形． ∴ABC ∆的外接圆的半径为15，即截面圆的半径15r =， 又球心到截面的距离为12d R =，∴2221152R R ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得R =【答案】R =【例21】 已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ）A ．1BCD ．2【考点】截面与距离问题 【难度】2星星 【题型】选择【关键词】2008年，全国高考 【解析】C ；如图，球心记为O ，两个圆面的圆心记为12O O ，，公共弦为AB ，M 为AB 的中点， 记圆1O 所在的平面为α，圆2O 所在的平面为β，则平面α^平面β，1OO ^平面α，2OO ^平面β，又12AB O M AB O M ^^，，而AB 为两个平面的交线，故2O M ^平面α，1O M ^平面β，从而12OO O M ∥，且四边形12OO MO 为平行矩形．由AB ^平面12OO MO 知，AB OM ^，又2OB =，2AB =，故12OM O O =，即为所求．组合体的截面分析【例22】 一个轴截面是正三角形的圆锥内有一个轴截面是正方形的内接圆柱，求它们的高的比值和母线长的比值．【考点】截面与距离问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】无【解析】如图作轴截面的图形，设圆柱的半径为r ，圆锥的半径为R ，D 1C 1O 1O DC BAS则圆柱的高为12OO r =，圆锥的高为SO ， ∵11//C D AB ，∴111C O SO AO SO =，即r R =，解得：3rR =2(2=．圆柱的母线长为2r ，圆锥的母线长为2R，故它们的母线长之比为232rR=-．【答案】(22，3．【例23】 棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ）A．2B ．1 C．12+D【考点】截面与距离问题 【难度】3星 【题型】选择【关键词】2007年，湖南高考 【解析】答案： D ．已知正方体1111ABCD A B C D -，如图，设EF 所在的大圆圆面截正方体EFGH ，圆心为OFEDCAOA 1D 1B 1C 1由题意知面EFGH ∥面ABCD ∴四边形EFGH 为正方形，∴球半径为R =又直线EF 被球O 截得线段长即为大圆O 截直线EF 的长．如图：∴MN ==【答案】D【例24】 连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB 、CD 可能相交于点M ②弦AB 、CD 可能相交于点N ③MN 的最大值为5 ④MN 的最小值为1 其中真命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【考点】截面与距离问题 【难度】3星 【题型】选择【关键词】2008年，江西高考【解析】⑴先算出两个弦心距分别为3与2⑵利用三角形的三边的大小关系可知OM ON MN OM ON -<<+ 当且仅当AB 与CD 在同一个大圆面内且相互平行时取等号 ∴①③④是正确的点评：用好三角形的三边关系是本题的关键，另外，由AB 与CD 两条相交直线直线总可以确定一个圆面，如果要经过一条弦的中点，又∵CD AB >，∴只有CD 为直径，AB 为弦，∴只能是经过AB 的中点．【答案】C多面体与简单旋转体的表面最短距离问题【例25】 如图正方体1111ABCD A B C D -，其棱长为1，,P Q 分别为线段1AA ，11C D 上的两点，且11A P C Q λ==．求在正方体侧面上从P 到Q 的最短距离．【考点】截面与距离问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】无【解析】将正方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图．丙AA 1P DC 1D 1QC乙NPQD 1A 1B 1C 1DA甲QPAB C 1B 1A 1D 1ABCDB 1C 1D 1A 1由于两点间线段最短，由侧面展开图可知：三个图形甲、乙、丙中PQ 的长即为两点间的最短距离，分别为：（前上）PQ（左上）PQ ==（左后）PQ =由于01λ≤≤，∴①式PQ =②式PQ ∴最短距离PQ =【例26】 已知如图，正三棱柱ABC DEF -的底面边长为1，高为8，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达D 点的最短路线的长为____．FED CBA【备注】棱柱的表面距离问题【考点】截面与距离问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】无【解析】将正三棱柱111ABC A B C -沿侧棱CC 1展开，其侧面展开图如图所示，由图中路线不难知道最短路线长为10．ODAFEDCBA【答案】10．【例27】 如图所示，正三棱锥S ABC -的侧棱长为1，45ASB ∠=o ，M 和N 分别为棱SB 和SC 上的点，求AMN ∆的周长的最小值．【考点】截面与距离问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】无【解析】分析：将侧面展开→化归为平面几何问题．将正三棱锥侧面棱SA 剪开，然后将其侧面展开在一个平面上，如图所示，连接'AA ，设'AA 与SB 交于M ，交SB 于N 点，显然AMN ∆的周长''l AM MN NA AA =++≥，也就是说当AM ，MN ，(')NA NA 在一条直线上时，对应得截面三角形周长最短，则'AA 的长就是截面AMN ∆的周长最小值．SMN ACBA '(A)SMN AB∵'1SA SA ==，'45ASB BSC CSA ∠=∠=∠=o ∴'135ASA ∠=o∴'AA ==∴AMN ∆【例28】 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，a AB =，b BC =，c BB =1，并且0>>>c b a ．求沿着长方体的表面自A 到1C 的最短线路的长．c b aD 1C 1B 1A 1D CB A【考点】截面与距离问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】无【解析】分析：解本题可将长方体表面展开，利用在平面内两点间的线段长是两点间的最短距离来解答．将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图．（丙）（乙）（甲）abc a bc a b c c baAB B 1C 1ABCDA 1B 1C 1D 1AB CA 1B 1C 1D 1C 1B 1A 1D CB A三个图形甲、乙、丙中1AC 的长分别为：ab c b a c b a 2)(22222+++=++，bc c b a c b a 2)(22222+++=++ ac c b a b c a 2)(22222+++=++ ∵0>>>c b a ， ∴0>>>bc ac ab ．故最短线路的长为bc c b a 2222+++．【答案】bc c b a 2222+++【例29】 如图所示，设正三棱锥V ABC -的底面边长为a ，侧棱长为2a ，AVB θ∠=．过A作与侧棱,VB VC 相交的截面AEF ，求截面周长的最小值．F ECBAV【考点】截面与距离问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】无【解析】分析：将侧面展开→化归为平面几何问题．2aθCFEBA'AV将正三棱锥沿侧棱VA 剪开，然后将其侧面展开在一个平面上，如图所示，连接'AA ，设'AA 与VB 交于E ，交VC 于F 点，显然AEF ∆的周长''l AE EF FA AA =++≥，也就是说当AE ，EF ，(')FA FA 在一条直线上时，对应的截面三角形周长最短，则'AA 的长就是截面AEF ∆的周长最小值．由于已知AVB θ∠=，因此在'VAA ∆中可利用余弦定理求出'AA 的长．如图所示为正三棱锥沿侧棱VA 剪开的侧面展开图， ∵AVB θ∠=，则在AVB ∆中，由余弦定理得222(2)(2)7cos 2228a a a a a θ+-==⋅⋅∴sin θ=，217cos22cos 132θθ=-=，sin 2θ．从而7cos3cos cos2sin 2sin 128θθθθθ=-=于是在'AVA ∆中，由余弦定理得2222121'(2)(2)222cos316AA a a a a a θ=+-⋅⋅=所以11'4AA a =为所求最小值．【答案】114a ．【例30】 如图，圆台上底半径为1，下底半径为4，母线18AB =，从AB 中点M 拉一绳子绕圆台侧面转到A 点（A 在下底面）．⑴求绳子的最短长度；⑵求绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．A【考点】截面与距离问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】无【解析】⑴如图为圆台的侧面展开图，由题意知，M r'rF EPA'BO'OB'A绳子的最短距离即为AM 的长度．设PB x =，则18PA x =+，有2π2π418x x ⋅=+（圆心角相等），解得6x =，故侧面展开图中的2ππ'63APA ∠==， 24,6915AP PM ==+=，由余弦定理得：222π241522415cos4413AM =+-⋅⋅⋅=， 故21AM =，即绳子的最短长度为21．⑵取绳上任意点'E ，连结'PE ，交圆台上底于点'F ，由于'6PF =，因此当'PE 取最小值时，''F E 取最小值，而点到线的垂直距离最短，过点P 作PE ⊥AM ，且与¼'BB交于点F ， 其中6PF =，则FE 为上底圆周上的点到绳子的最短距离． 在PAM ∆中，由面积公式有2415sin321PE π⋅⋅==故6FE =为所求的最短距离．【答案】6FE【例31】 已知以A 为顶点的正四面体A BCD -，其棱长为1，,P Q 分别为,AB CD 上的两点，且AP CQ λ==．求在正四面体侧面上从P 到Q 的最短距离．B【考点】截面与距离问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无【解析】由于两点间线段最短，因此侧面展开图中的PQ 长即为两点间最短距离：由正四面体的对称性知，经过棱AD 与过棱BC 时侧面展开图中PQ 距离相等，如图1与2，同理过棱BD 与AC 时PQ 长度相等，AA 'BDCQP 图1图2C APQDBC'MD 'ABDCQ P图3因此只需考虑以下两种情况①过棱AD 时，如图2所示，沿AC 展开，此时 1.PQ =②过棱AC 时，如图3所示，沿AD 展开，由于 60BAC ACD ∠=∠=o ，AMP CMQ ∠=∠，AP CQ =AMP∆≌CMQ ∆()AAS ，12AM CM ==，此时PQ =将①②两种情况进行比较有：当12λ<1当12λ≥1故1,211,2mm PQ λλ<=⎨⎪⎪⎩&≥【答案】1,211,2mm PQ λλ<=⎨⎪⎪⎩&≥【例32】 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC =12BB =，90ABC ∠=︒，E 、F 分别为1AA 、11C B 的中点，沿棱柱的表面从E 到F 两点的最短路径的长度为 ．1A 【考点】截面与距离问题 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2005年，江西高考【解析】∵AB BC ==90ABC ∠=︒，∴2AC =． ∴侧面展开后如图1所示．图1F E C BAA'A 1B 1C 1A 1'11112A E AA ==，1111A F A B B F =+=∴EF =． 把111A B C ∆与侧面11A B BA 展平如图2所示．图2FE BAC 1B 1M A 1连结EF ，过E 作1EM B B ⊥，则EM AB =1FM =EF 若把111A B C ∆与侧面11A ACC 展平如图3．图3A 1AE M B 1C 1F D C连结EF ，作1EM CC ⊥于M ，作FD EM ⊥于D 点，则32ED =，32FD =，∴EF =．比较以上三条路径，以第三条最小，∴EF【例33】 如图所示，正三棱锥S ABC -的侧棱长为1，40ASB ∠=o ，M 和N 分别为棱SB 和SC 上的点，求AMN ∆的周长的最小值．【考点】截面与距离问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】无【解析】过SA 作正三棱锥侧面展开图，如图所示，SMN ACBA '(A)SMN ACB∵'1SA SA ==，'40ASB BSC CSA ∠=∠=∠=o ∴'120ASA ∠=o∴'AA ∴AMN ∆球面距离【例34】 在体积为的球的表面上有A B C ，，三点，1AB =，BC =，A ，C 两点的，则球心到平面ABC 的距离为 ． 【考点】截面与距离问题 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2008年，辽宁高考【解析】32；34π3R R =⇒=记球心为O ，知π3AOC ∠=，于是AC R ==ABC∆，于是球心到平面ABC32=． 【答案】32【例35】 已知球O 的半径是1，A 、B 、C 三点都在球面上，A 、B 两点和A 、C 两点的球面距离都是π4，B 、C 两点的球面距离是π3，则二面角B OA C --的大小是（ ）A ．π4B ．π3C ．π2D ．2π3【考点】截面与距离问题【难度】2星 【题型】选择【关键词】2006年，四川高考【解析】球O 的半径是R=1，,,A B C 三点都在球面上，,A B 两点和,A C 两点的球面距离都是4π，则∠AOB ，∠AOC 都等于π4，AB AC =，,B C 两点的球面距离是π3，π3BOC ∠=，1BC =，过B 做BD AO ⊥，垂足为D ，连接CD ，则CD AD ⊥，则BDC ∠二面角B OA C--的平面角，BD CD ==，∴π2BDC ∠=，二面角B OA C --的大小是π2，选C ． 【答案】C【例36】 A 、B 是半径为R 的球O 的球面上两点，它们的球面距离为π2R ，求过A 、B 的平面中，与球心的最大距离是多少？【考点】截面与距离问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无【解析】分析：A 、B 是球面上两点，球面距离为π2R ，转化为球心角π2AOB ∠=，从而AB =，由关系式222r R d =-，r 越小，d 越大，r 是过A 、B 的球的截面圆的半径．由于过AB 的大圆到球心距离为0，因此要球最大距离则过A 、B 的平面必为小圆，AB 为小圆的弦，为使r 小，则AB 为小圆的直径时，r 最小．∵球面上A 、B 两点的球面的距离为π2R ．∴π2AOB ∠=，∴AB ． 当AB 成为圆的直径时，r 取最小值，此时12r AB ==，d 取最大值，d ==，即球心与过A 、B ．【例37】 已知,,A B C 三点在球心为O ，半径为R 的球面上，且AB AC BC R ===，那么,A B两点的球面距离为_________，球心到平面ABC 的距离为_________．【考点】截面与距离问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】无【解析】如右图，∵AB R =，所以OAB ∆是等边三角形，O 1OC BAπ3AOB ∠=，故,A B 两点的球面距离为π3R ， ABC ∆为等边三角形，它的外接圆半径23r ==， 在1Rt OO B ∆中，1OO ==， 所以球心到平面ABC的距离1OO ． 或者也可由正四面体O ABC -的棱长为R． 【答案】π3R【例38】 A 、B 是半径为R 的球O 的球面上两点，它们的球面距离为π2R ，求过A 、B 的平面中，与球心的最大距离是多少？【考点】截面与距离问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】无【解析】分析：A 、B 是球面上两点，球面距离为π2R ，转化为球心角π2AOB ∠=，从而AB ，由关系式222r R d =-，r 越小，d 越大，r 是过A 、B 的球的截面圆的半径，所以AB 为圆的直径时，r 最小．解：∵球面上A 、B 两点的球面的距离为π2R ．∴π2AOB ∠=，∴AB ． 当AB 成为圆的直径时，r取最小值，此时12r AB ==，d 取最大值，d =， 即球心与过A 、B．【例39】 如图球O 的半径为2，圆1O 是一小圆，1O O =，A 、B 是圆1O 上两点，若，A B两点间的球面距离为2π3，则1AO B ∠= ．【考点】截面与距离问题 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2009年，陕西高考【解析】2ππ33AOB R AOB ∠⋅=⇒∠=，于是2AB R ==．又11O A O B =∴22211AB O A O B =+，1π2AO B ∠=． 【答案】π2．【例40】 如图，在半径为3的球面上有A 、B 、C 三点，90ABC ∠=o ，BA BC =，球心O 到平面ABC B 、C 两点的球面距离是（ ） A ．π3 B ．π C ．4π3D ．2π【考点】截面与距离问题 【难度】2星 【题型】选择【关键词】2009年，四川高考【解析】∵AC 是小圆的直径．所以过球心O 作小圆的垂线，垂足O '是AC 的中点．O C '=，AC =∴3BC =，即BC OB OC ==， ∴π3BOC ∠=，B 、C 两点的球面距离是π3π3⨯=本题涉及到点到平面的距离，可根据学生情况酌情处理是否讲解．【答案】C.【例41】 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的16，经过3个点的小圆的周长为4π，求这个球的半径．【考点】截面与距离问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】无【解析】利用球的概念性质和球面距离的知识求解．设球的半径为R ，小圆的半径为r ，则2π4πr =，∴2r =． 如图所示，设三点为A 、B 、C ，O 为球心，O 'BOAC2ππ63AOB BOC COA ∠=∠=∠==． 又∵OA OB =，∴AOB ∆是等边三角形， 同样，BOC ∆、COA ∆都是等边三角形， 得ABC ∆为等边三角形，边长等于球半径R ． r 为ABC ∆的外接圆半径，r AB =，R ==【答案】【例42】 如图，O 是半径为1的球心，点,,A B C 在球面上，,,OA OB OC 两两垂直，,E F 分别是大圆弧AB 与AC 的中点，则点,E F 在该球面上的球面距离是（ ） A ．π4 B ．π3 C ．π2DEFGOC BA【难度】3星 【题型】选择【关键词】2006年，浙江高考【解析】由于,E F 分别是大圆弧AB 与AC 的中点，有45EOG BOE ∠=∠=o∴ππ1sin,42EG FG EGF =⨯==∠=∴1EF OE OF === ∴π3EOF ∠=， ∴点,E F 的球面距离为ππ133⨯=【答案】π3。
空间几何体的截面及交线问题课件-2025届高三数学一轮复习
B1C1，C1D1 的中点，故 BD＝2 2，MN＝ 2，且 BM＝
DN＝ 5，所以等腰梯形 MNDB 的高为 h＝
(
5)2－
222＝32 2，所
以Hale Waihona Puke 梯形 MNDB 的面积为12×( 2＋2 2)×322＝92.
对点练2.(1)过正方体ABCD -A1B1C1D1的体对角线BD1的截面面积为S，Smax
√D. 3π 2
由题意得△ACD，△ABC 为等腰直角三角形． 设球 C 与 Rt△ACD 的边 CD，AD 分别交于点 M，N，如图①所示，设球 C 与 Rt△ABC 的边 AB，CB 分别交于点 H，G，如图②所示．易得 cos∠ACN＝ 23，则∠ACN＝π6，AN＝AC·tanπ6＝1，所以∠NCM＝∠ACD －∠ACN＝π4－π6＝1π2，所以M︵N的长＝2×1π2＝π6，同理，G︵H的长＝π6.
二、多面体中的截面问题
知识链接
1．正方体中的基本斜截面
2． 多面体中找截面的几种方法 (1) 直接法：有两点在多面体的同一个面上，连接这两点即为多面体与截 面的交线，找截面实际就是找交线的过程． (2) 延长线法：若直线相交，但在多面体中未体现，可以通过作延长线的 方法找到交点，然后借助交点找到交线． (3) 平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在 的平面平行，可以通过过点作直线的平行线找到多面体与截面的交线．
2＝2 6
3 3.故选
C.
2
(2)[多选题]正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为2，已知平面α⊥AC1，则关于α 截此正方体所得截面的判断正确的是
√A．截面形状可能为正三角形
B．截面形状可能为正方形
√C．截面形状可能为正六边形 √D．截面面积最大值为3 3
高中数学空间截面问题教案
高中数学空间截面问题教案
教学目标：
1. 了解空间截面问题的定义和基本概念；
2. 掌握空间截面问题的解题思路和方法；
3. 能够独立解决空间截面问题相关的数学题目。
教学重点：
1. 空间截面问题的概念及相关性质；
2. 空间截面问题的解题方法。
教学难点：
1. 空间截面问题的应用；
2. 解题过程中的逻辑推理和问题分析。
教学准备：
1. 教师准备教学投影仪、教学PPT等教学辅助工具；
2. 学生准备笔记本、铅笔等学习用具。
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师介绍空间截面问题的背景和重要性，引导学生思考如何解决空间中的截面问题。
二、讲解（15分钟）
1. 解释空间截面问题的定义和相关性质；
2. 通过示例分析解题方法，引导学生理解空间截面问题的解题思路；
3. 结合实际案例演示如何应用空间截面问题解决实际问题。
三、练习（20分钟）
1. 学生在教师指导下，完成一些基础的空间截面问题练习；
2. 学生自主思考和解答一些复杂的空间截面问题，与同学讨论解题方法和思路。
四、总结（5分钟）
教师对本节课的内容进行总结和归纳，强调空间截面问题的重要性和解题技巧。
五、作业（5分钟）
布置空间截面问题相关的作业，要求学生在家完成并及时交给教师检查。
教学反思：
通过本节课的教学，学生能够对空间截面问题有更深入的了解和掌握，提高他们解题能力和思维逻辑能力。
同时，教师应根据学生的实际情况调整教学内容和方法，使学生更好地理解和掌握空间截面问题的相关知识。
最新-高中数学 空间几何体 板块四 综合问题完整讲义(
学而思高中完整讲义：空间几何体.板块二.截面与距离问题.学生版组合体【例1】 （2018京春）一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r ，则Rr= ．【例2】 已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，设四面体EFGH 的表面积为T ，则TS等于（ ） A ．19B ．49C ．14D ．13【例3】 有一个轴截面是边长为4的正方形的圆柱，将它的内部挖去一个与它同底等高的圆锥，求余下来的几何体的表面积与体积．【例4】 棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -被以A 为球心，AB 为半径的球相截，则被截形体的表面积为（ ）A ．5π4B ．7π8C ．πD ．7π4【例5】 已知正三棱锥S ABC -，一个正三棱柱的上底面三顶点在棱锥的三条侧棱上，下底面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为15，底面边长为12，内接正三棱柱的侧面积为120．⑴求正三棱柱的高； ⑵求正三棱柱的体积；⑶求棱柱上底面所截棱锥与原棱锥的侧面积之比．【例6】 （2018福建15）的表面积是 ．ABCD典例分析【例7】 正方体全面积为24，求它的外接球和内切球的表面积．【例8】半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为______．【例9】 棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______．【例10】 （2018年天津理12）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3则此球的表面积__________．【例11】 （2018浙江卷14）如图，已知球O 的球面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，DA AB BC ==O 点体积等于__________DCBA【例12】 （2018全国文15）正四棱锥S ABCD -点S 、A 、B 、C 、D 都在同一球面上，则该球的体积为_______．O'OH DCBAS【例13】 求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．（等边圆锥是指轴截面是等边三角形的圆锥）【例14】 设圆锥的底面半径为2，高为3，求：⑴内接正方体的棱长； ⑵内切球的表面积．【例15】 圆台的内切球半径为R ，且圆台的全面积和球面积之比为218，求圆台的上，下底面半径12,r r （12r r <）．【例16】 一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为r 的铁球，这时水面恰好和球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？【例17】 （2018全国卷I ）直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===，120°BAC ∠=，则此球的表面积等于 ．【例18】 （18四川卷文9）如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果163P ABCD V -=，则球O 的表面积是（ ） A ．4π B ．8π C ．12π D ．16π OD CBAP【例19】 正四面体棱长为a ，求其外接球和内切球的表面积．【例20】 如图所示，正四面体ABCD的外接球的体积为，求四面体的体积．【例21】 （2018新课标海南宁夏文理）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，那么这个球的体积为_________．【例22】 如图，在等腰梯形ABCD 中，22,60AB DC DAB ︒==∠=，E 为AB 的中点，将AD E ∆ 与BEC ∆分别沿,ED EC 向上折起，使,A B 重合于点P ，则三棱锥P DCE -的外接球的体积（ ）DECBAA B C D【例23】 （2018重庆理9）如图，体积为V 的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点．1V 为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，2V 为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（ ）A ．12VV >B ．22V V <C ．12V V>D ．12V V <【例24】 (2018全国Ⅱ，理12)将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为( ) AB ．2C ．4 D综合问题与三视图、直观图综合【例1】 若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为（ ）A．B． C．24+D．24+左视图俯视图主视图232【例25】 若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积为_______．左视图俯视图主视图232【例26】 （2018宁夏海南卷理）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：2cm ）为（ ）66A ．48+．48+C．36+D ．36+【例27】 （2018年丰台一模）若一个正三棱柱的三视图及其尺寸如下图所示（单位：cm ），侧视图俯视图主视图则该几何体的体积是 3cm ．【例28】 （2018石景山一模）一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：2cm ）为（ ） A ．80 B ．60 C ．40 D ．20【例29】 （2018年东城一模）下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为 ．侧（左）视图正（主）视图【例30】 （2018年东城一模）已知某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积是（ ）A．6+．6+．5+．5俯视图侧视图主视图【例31】 （2018年宣武一模）若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 3cm ．10题图俯视图左视图正视图【例32】右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是________．左视图主视图俯视图【例33】（2018年崇文一模）有一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位：cm），该几何体的表面积和体积为（）A．2324πcm,12πcm B．2315πcm,12πcmC．2324πcm,36πcm D．以上都不正确俯视图侧（左）视图正（主）视图【例34】（朝阳·文·题12）如下图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为．俯视图侧视图正视图【例35】 （2018天津高考）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为俯视图侧视图正视图【例36】 （2018浙江高考）若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 3cm ．(第12题)俯视图侧视图正视图【例37】 （2018年崇文二模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ）侧（左）视图正（主）视图俯视图A ．12B C ．563D ．4【例38】 （2018年朝阳二模）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是 （ ）A ．112B ．80C ．72D ．64俯视图侧视图正视图【例39】 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．⑴求该几何体的体积V ； ⑵求该几何体的侧面积S ．【例40】 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸，201010202020主视图左视图俯视图可得这个几何体的体积是_______．【例41】 （2018扬州中学高三期末）一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为 ． 243【例42】 （2018山东文理6）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）俯视图侧(左)视图正(主)视图A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π【例43】 已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形，俯视图是直径为2的圆，如图，则此几何体的外接球的表面积为 ．俯视图左视图主视图【例44】 （2018新课标海南宁夏）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）．⑴在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； ⑵按照给出的尺寸，求该多面体的体积；⑶在所给直观图中连结BC '，证明：BC '∥面EFG ．侧视图正视图D'C'B'GFE DC BA【例45】 一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中M 、N 分别是AF 、BC 的中点）．直观图三视图22222222NMFED CBA⑴求证：MN ∥平面CDEF ； ⑵求多面体A —CDEF 的体积．其他问题【例46】 已知一个全面积为24的正方体，有一个与每条棱都相切的球，此球的体积为 ．【例47】 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（包括上下底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【例48】 （2001年全国高考）一间民房的屋顶有如下图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为1P 、2P 、3P ．若屋顶斜面与水平面所成的角都是a ，则（ ）A ．321P P P =>B ．321P P P >=C ．321P P P >>D ．321P P P ==杂题【例49】 （2018江西）如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P ．如果将容器倒置，水面也恰好过点P （图2）．有下列四个命题：A ．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B ．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC ．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点PD ．若往容器内再注入a 升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是： （写出所有真命题的代号）．【例50】 （2018年全国文最后一题）⑴给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图2），要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明；⑵试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小； ⑶如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的面积相等．请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明．图3图2图1【例51】 （2018江苏）两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个平面平行，且各顶点．．．均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（ ）图12图A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷多个【例52】 （18江西卷）如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ，DC 分别截于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A BEFD -与三棱锥A EFC -的表面积分别是1S ，2S ，则必有（ ）BA ．12S S <B ．12S S >C ．12S S =D ．1S ，2S 的大小关系不能确定【例53】 （2018福建，16）如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器（如图）． 当这个正六棱柱容器的底面边长为 时，其容积最大．【例54】 （2018全国Ⅱ，理12）将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（ ） AB ．2C ．4 D【例55】 养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12m ，高4m ．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4m （高不变）；二是高度增加4m （底面直径不变）．⑴分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；⑵分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；⑶哪个方案更经济些？。
13 立体几何中的位置关系及截面问题(学生版)
专题13 立体几何中的位置关系及截面问题【高考真题】1．(2022·全国乙理) 在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为, AB BC 的中点，则( ) A ．平面1B EF ⊥平面1BDD B ．平面1B EF ⊥平面1A BDC ．平面1//B EF 平面1A ACD ．平面1//B EF 平面11A C D【知识总结】1．直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α．(2)线面平行的性质定理：a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b ⇒a ∥b ．(3)面面平行的判定定理：a ⊂β，b ⊂β，a ∩b ＝P ，a ∥α，b ∥α⇒α∥β．(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b ．平行问题的转化利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而应用性质定理时，其顺序正好相反．在实际的解题过程中，判定定理和性质定理一般要相互结合，灵活运用．平行关系的基础是线线平行，证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换：三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线段的比例关系证明线线平行；五是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．2．直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m ⊂α，n ⊂α，m ∩n ＝P ，l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α．(2)线面垂直的性质定理：a ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b ．(3)面面垂直的判定定理：a ⊂β，a ⊥α⇒α⊥β．(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β．垂直问题的转化在空间垂直关系中，线面垂直是核心，已知线面垂直，既可为证明线线垂直提供依据，又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫．应用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而可转化为线线垂直问题．垂直关系的基础是线线垂直，证明线线垂直常用的方法：一是利用等腰三角形底边中线即高线的性质；二是利用勾股定理；三是利用线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l⊥α，a⊂α⇒l⊥a．3．确定截面的主要依据用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键．(1)平面的四个公理及推论．(2)直线和平面平行的判定和性质．(3)两个平面平行的性质．(4)球的截面的性质．【题型突破】题型一简单位置关系的判断1．(2020·浙江)已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．(2019·全国Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是()A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面3．已知α，β表示两个不同平面，a，b表示两条不同直线，对于下列两个命题：①若b⊂α，a⊄α，则“a∥b”是“a∥α”的充分不必要条件；②若a⊂α，b⊂α，则“α∥β”是“a∥β且b∥β”的充要条件．判断正确的是()A．①②都是真命题B．①是真命题，②是假命题C．①是假命题，②是真命题D．①②都是假命题4．已知α，β是空间两个不同的平面，m，n是空间两条不同的直线，则给出的下列说法正确的是()①m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β；②m∥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β；③m⊥α，n⊥β，且m∥n，则α∥β；④m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β．A．①②③B．①③④C．②④D．③④5．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题：①若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则α⊥β；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β．其中正确的命题是()A．①②B．②③C．①④D．③④6．(2020·全国Ⅱ)设有下列四个命题：①两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内；②过空间中任意三点有且仅有一个平面；③若空间两条直线不相交，则这两条直线平行；④若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l．则上述命题中所有真命题的序号是________．(填写所有正确命题的序号)7．(2019·北京)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________．8．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ．可以填入的条件有________．9．(多选)已知m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则()A．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n B．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βD．若m∥n，n⊥α，α⊥β，则m∥β10．将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”．给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行．其中是“可换命题”的是______．(填序号)题型二较难位置关系的判断(1)11．(2019·全国Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M 是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线12．(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列直线或平面与平面ACD1平行的是() A．直线A1B B．直线BB1C．平面A1DC1D．平面A1BC1 13．(2017·全国Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()14．已知点E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E与C1F 上的点，则满足与平面ABCD平行的直线MN有()A．0条B．1条C．2条D．无数条15．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是()A．与AC，MN均垂直B．与AC垂直，与MN不垂直C．与AC不垂直，与MN垂直D．与AC，MN均不垂直16．如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC 上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC．其中正确结论的序号是________．17．如图，AB是圆锥SO的底面圆O的直径，D是圆O上异于A，B的任意一点，以AO为直径的圆与AD的另一个交点为C，P为SD的中点．现给出以下结论：①△SAC为直角三角形；②平面SAD⊥平面SBD；③平面P AB必与圆锥SO的某条母线平行．其中正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)．18．如图所示，直线P A垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面P AC的距离等于线段BC的长．其中正确的是()A．①②B．①②③C．①D．②③19．(多选)已知四棱台ABCD－A1B1C1D1的上、下底面均为正方形，其中AB＝22，A1B1＝2，AA1＝BB1＝CC1＝2，则下列叙述中正确的是()A．该四棱台的高为3B．AA1⊥CC1C．该四棱台的表面积为26D．该四棱台外接球的表面积为16π20．(多选)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是()题型三较难位置关系的判断(2)21．将正方体的纸盒展开如图，直线AB，CD在原正方体的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交成60°角D．异面且成60°角22．如图是一个正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM与ED是异面直线；②CN与BE平行；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．23．如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中：①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．24．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为P A，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面P AD．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个25．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFH C．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF26．(多选)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，翻折△ABD和△ACD，使得平面ABD⊥平面ACD．下列结论正确的是()A．BD⊥AC B．△BAC是等边三角形C．三棱锥D－ABC是正三棱锥D．平面ADC⊥平面ABC27．如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，且E为CD的中点，M，N分别是AD，BE的中点，将△ADE沿AE折起，则下列说法正确的是________．(写出所有正确说法的序号)①不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥平面DEC；②不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN⊥AE；③不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥AB；④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD．28．如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF＝∠BCE＝90°，A，D分别是BF，CE上的点，AD∥BC，且AB＝DE＝2BC＝2AF(如图1)．将四边形ADEF沿AD折起，连接AC，CF，BE，BF，CE(如图2)，在折起的过程中，下列说法错误的是()A．AC∥平面BEF B．B，C，E，F四点不可能共面C．若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD D．平面BCE与平面BEF可能垂直29．如图，已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别是线段AB，AD，AA1的中点，又P，Q分别在线段A1B1，A1D1上，且A1P＝A1Q＝x(0<x<1)．设平面MEF∩平面MPQ＝l，现有下列结论：①l∥平面ABCD；②l⊥AC；③直线l与平面BCC1B1不垂直；④当x变化时，l不是定直线．其中成立的结论是________．(写出所有成立结论的序号)30．(多选)如图，点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个结论正确的是()A．三棱锥A－D1PC的体积不变B．A1P∥平面ACD1C．DP⊥BC1D．平面PDB1⊥平面ACD1题型四截面问题31．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别在AB，BC，DD1上，则作过E，F，G三点的截面图形为( )A ．四边形B ．三角形C ．五边形D ．六边形32．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱B 1B ，B 1C 1的中点，点G 是棱C 1C 的中点，则过线段AG 且平行于平面A 1EF 的截面图形为( )A ．矩形B ．三角形C ．正方形D ．等腰梯形33．(2018·全国Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A ．334B ．233C ．324D ．3234．如图，在三棱锥O －ABC 中，三条棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA >OB >OC ，分别经过三条棱OA ，OB ，OC 作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3的大小关系为________．35．(2016·全国Ⅰ)平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( ) A ．32 B ．22 C ．33 D ．1336．如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是A 1D 1，A 1B 1的中点，过直线BD 的平面α∥平面AMN ，则平面α截该正方体所得截面的面积为( )A ．2B ．98C ．3D ．6237．在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝15，平面DEFH 分别与AB ，BC ， SC ，SA 交于点D ，E ，F ，H ．D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为________．38．在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列结论中，错误的是( )A ．AC ⊥BDB ．AC ∥截面PQMNC ．AC ＝BD D ．异面直线PM 与BD 所成的角为45°39．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P ，Q 分别是AA 1，A 1D 1，CC 1，BC 的中点，给出以下 四个结论：①A 1C ⊥MN ；②A 1C ∥平面MNPQ ；③A 1C 与PM 相交；④NC 与PM 异面．其中不正确的结论是( )A ．①B ．②C ．③D ．④40．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点P 是棱AD 上一点，且AP ＝a 3，过B 1、D 1，P 的 平面交底面ABCD 于PQ ，Q 在直线CD 上，则PQ ＝________．。
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棱锥、棱台的中截面与轴截面【例1】 正四棱锥的侧棱长是底面边长的k 倍，求k 的取值范围．【例2】 正四棱锥的斜高为2，侧棱长为5，求棱锥的高与中截面（即过高线的中点且平行于底面的截面）的面积？【例3】 正四棱台的高为17，两底面的边长分别是4和16，求这个棱台的侧棱长和斜高．【例4】 已知正六棱台的上，下底面的边长和侧棱长分别为a ，b ，c ，则它的高和斜高分别为【例5】 已知正三棱锥S ABC -的高SO h =，斜高SM l =，求经过SO 的中点且平行于底面的截面111A B C ∆的面积．MOC 1B 1A 1CAS【例6】 如图所示的正四棱锥V ABCD -，它的高3VO =，侧棱长为7，⑴ 求侧面上的斜高与底面面积．⑵ 'O 是高VO 的中点，求过'O 点且与底面平行的截面（即中截面）的面积．典例分析板块二.截面与距离问题HO'ODCBAV【例7】 如图，已知棱锥V ABC -的底面积是264cm ，平行于底面的截面面积是24cm ，棱锥顶点V 在截面和底面上的射影分别是1O 、O ，过1O O 的三等分点作平行于底面的截面，求各截面的面积．CA圆锥、圆台的中截面与轴截面【例8】 把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是14∶，母线长10，求圆锥的母线长．【例9】 一圆锥轴截面顶角为120︒，母线长为1，求轴截面的面积．【例10】 圆台的母线长为2a ，母线和轴的夹角为30︒，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，求圆台的高与上下两底面面积之和．【例11】 圆台两底半径分别是2和5，母线长是，求它的轴截面的面积；【例12】 圆台侧面的母线长为2a ，母线与轴的夹角为30︒，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，则两底面半径为 ．CB AO O【例13】 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于2392cm ，母线与底面的夹角是45︒，求这个圆台的母线长．【例14】 用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是14∶，截去的圆锥的母线长是3，求圆台的母线长．【例15】 圆台母线长为2a ，母线与轴的夹角为30o ，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍，求两底面半径以及两底面面积之和．【例16】 圆锥轴截面顶角为120︒，母线长为1．⑴求轴截面的面积；⑵过顶点的圆锥的截面中，最大截面的面积．球的截面【例17】 在球心同侧有相距9的两个平行截面，它们的面积分别为49π和400π．求球的半径．【例18】 已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别为12π和16π，求这两个截面间的距离．【例19】 （2008四川卷８）设,M N 是球心O 的半径OP 上的两点，且NP MN OM ==，分别过,,N M O 作垂直于OP 的平面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为（ ）A ．3:5:6B ．3:6:8C ．5:7:9D ．5:8:9【例20】 球面上有三点A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中18AB =，24BC =、30AC =，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的半径．【例21】 （2008全国Ⅱ）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ）A ．1BCD ．2组合体的截面分析【例22】 一个轴截面是正三角形的圆锥内有一个轴截面是正方形的内接圆柱，求它们的高的比值和母线长的比值．【例23】 （2007湖南理8）棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ）AB ．1 C．1 D【例24】 （2008年江西卷10）连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB 、CD 可能相交于点M ②弦AB 、CD 可能相交于点N ③MN 的最大值为5 ④MN 的最小值为1 其中真命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个多面体与简单旋转体的表面最短距离问题【例25】 如图正方体1111ABCD A B C D -，其棱长为1，,P Q 分别为线段1AA ，11C D 上的两点，且11A P C Q λ==．求在正方体侧面上从P 到Q 的最短距离．【例26】 已知如图，正三棱柱ABC DEF -的底面边长为1，高为8，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达D 点的最短路线的长为____．FED CBA【例27】 如图所示，正三棱锥S ABC -的侧棱长为1，45ASB ∠=o ，M 和N 分别为棱SB 和SC 上的点，求AMN ∆的周长的最小值．【例28】 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，a AB =，b BC =，c BB =1，并且0>>>c b a ．求沿着长方体的表面自A 到1C 的最短线路的长．c b aD 1C 1B 1A 1D CB A【例29】 如图所示，设正三棱锥V ABC -的底面边长为a ，侧棱长为2a ，AVB θ∠=．过A 作与侧棱,VB VC相交的截面AEF ，求截面周长的最小值．F ECBAV【例30】 如图，圆台上底半径为1，下底半径为4，母线18AB =，从AB 中点M 拉一绳子绕圆台侧面转到A 点（A 在下底面）． ⑴求绳子的最短长度；⑵求绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．A【例31】 已知以A 为顶点的正四面体A BCD -，其棱长为1，,P Q 分别为,AB CD 上的两点，且AP CQ λ==．求在正四面体侧面上从P 到Q 的最短距离．B【例32】 （2005江西，理15）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC =12BB =，90ABC ∠=︒，E 、F 分别为1AA 、11C B 的中点，沿棱柱的表面从E 到F 两点的最短路径的长度为 ．1A【例33】 如图所示，正三棱锥S ABC -的侧棱长为1，40ASB ∠=o ，M 和N 分别为棱SB 和SC 上的点，求AMN ∆的周长的最小值．球面距离【例34】 （2008辽宁）在体积为的球的表面上有A B C ，，三点，1AB =，BC ，A ，C 两点的，则球心到平面ABC 的距离为 ．【例35】 （06四川卷理10）已知球O 的半径是1，A 、B 、C 三点都在球面上，A 、B 两点和A 、C 两点的球面距离都是π4，B 、C 两点的球面距离是π3，则二面角B OA C --的大小是（ ） A ．π4 B ．π3 C ．π2 D ．2π3【例36】 A 、B 是半径为R 的球O 的球面上两点，它们的球面距离为π2R ，求过A 、B 的平面中，与球心的最大距离是多少？【例37】 已知,,A B C 三点在球心为O ，半径为R 的球面上，且AB AC BC R ===，那么,A B 两点的球面距离为_________，球心到平面ABC 的距离为_________．【例38】 A 、B 是半径为R 的球O 的球面上两点，它们的球面距离为π2R ，求过A 、B 的平面中，与球心的最大距离是多少？【例39】 （2009陕西）如图球O 的半径为2，圆1O 是一小圆，1O O =A 、B 是圆1O 上两点，若，A B两点间的球面距离为2π3，则1AO B ∠= ．【例40】 （2009四川卷）如图，在半径为3的球面上有A 、B 、C 三点，90ABC ∠=o ，BA BC =，球心O到平面ABCB 、C 两点的球面距离是（ ） A ．π3 B ．π C ．4π3D ．2π【例41】 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的16，经过3个点的小圆的周长为4π，求这个球的半径．【例42】 （06浙江）如图，O 是半径为1的球心，点,,A B C 在球面上，,,OA OB OC 两两垂直，,E F 分别是大圆弧AB 与AC 的中点，则点,E F 在该球面上的球面距离是（ ） A ．π4 B ．π3 C ．π2DEFGOC BA【例43】 （2008安徽）已知A B C D ，，，在同一个球面上，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，若6AB =，AC =8AD =，则,B C 两点间的球面距离是 ．【例44】 ⑴（2009辽宁卷文）如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬60︒纬线长和赤道长的比值为（ ）A ．0.8B ．0.75C ．0.5D ．0.25⑵ 在半径为R 的球面上有A ，B 两点，球心为O ，半径OA ，OB 的夹角是π3，则A ，B 两点的球面距离为________．【例45】 在北纬60︒纬线上有A ，B 两地，它们分别在东经60o 与西经120o 的经线上，设地球半径为R ，求A ，B 两地的球面距离．【例46】 已知地球的半径为R ，球面上,A B 两点都在北纬45︒圈上，它们的球面距离为π3R ，A 点在东经30︒上，求B 点的位置及A ，B 两点所在的纬线圈上对应的劣弧的长度．【例47】 从北京A （靠近北纬45o 、东经120o ，以下经纬度均取近似值）飞往南非首都约翰内斯堡B （南纬30o 、东经30o ），有两条航空线可供选择：甲航空线：从北京A 沿纬线向西飞到土耳其首都安卡拉C （北纬45o 、东经30o ），然后向南飞到目的地B ．乙航空线：从北京A 沿经线向南飞到澳大利亚的珀斯D （南纬30o 、东经120o ），然后向沿纬线向西飞到目的地B ．请问：哪一条航空线较短？如果这条航线的两段都分别选择最短路线，那么这条航线的总长为多少？（地球视为半径R 的球）【例48】 （2008陕西）长方体1111ABCD A B C D -的各顶点都在球O 的球面上，其中1::AB AD AA =．A B ，两点的球面距离记为m ，1A D ，两点的球面距离记为n ，则mn的值为 ．【例49】 （08湖南）长方体1111ABCD A B C D -的8个顶点在同一个球面上，且121AB AD AA ===，，则顶点A B ，间的球面距离是（ ）A B C D ．【例50】 在半径为R 的球内，有一个内接正三棱锥，它的底面上的三个顶点恰好在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三顶点后返回，则经过的最短路程是_______．。