北师大版数学八年级上探索勾股定理(第2课时)课件
合集下载
八年级数学上册第1章习题课件：探索勾股定理(2)(北师大版)
2．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图1的图形，这个图形被称为弦 图．观察图形，可以验证公式( C )
A．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 C．c2＝a2＋b2 D．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
图1
【解析】 ∵大正方形的面积可表示为c2， 又可以表示为12ab×4＋(b－a)2， ∴c2＝12ab×4＋(b－a)2，即c2＝2ab＋b2－2ab＋a2， ∴c2＝a2＋b2.
2．[2017·邵东县三模]如图2-6，校园内有两棵树，相距8 m，一棵树高13 m，另一棵树高7 m，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少 要飞( C )
A．8 m C．10 m
图2-6 B．9 m D．11 m
【变式跟进2】 [2017春·岳池县期末]“中华人民共和国道路交通管理条例” 规定：小汽车在城市街道上行驶速度不得超过70 km/h，如图2-4，一辆小汽车在 一条城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30 m的 C处，过了2 s后，小汽车行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离为50 m.
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理(第2课时)
知识管理 归类探究 随堂练习 分层作业
知识管理
验证勾股定理 面积法：用面积验证勾股定理要通过变形寻找原图形与转化后图形的面积的 等量关系． 注 意：(1)图形变了，面积不变； (2)图形的整体面积表示为部分面积之和； (3)把不规则的图形分割成特殊图形．
归类探究
类型之一 拼图验证勾股定理 如图2-1是一种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗？请
写出你的证明过程．(提示：已知图中三个三角形均是直角三角形)
图2-1
北师版数学八年级上册第2课时 勾股定理(2)课件
课后作业
布置作业：教材P6-7 1、3。 完成练习册中本课时的习题。
►If I had not been born Napoleon, I would have liked to have been born Alexander. 如果今天我不是拿破仑的话，我想成为亚历山大。
►Never underestimate your power to change yourself! 永远不要低估你改变自我的能力！
►Living without an aim is like sailing without a compass. 生活没有目标，犹如航海没有罗盘。
►A man is not old as long as he is seeking something. A man is not old until regrets take the place of dreams. 只要一个人还有追求，他就没有老。直到后悔取代了梦想，一个人才算老。
►A man is not old as long as he is seeking something. A man is not old until regrets take the place of dreams. 只要一个人还有追求，他就没有老。直到后悔取代了梦想，一个人才 算老。 ►Bad times make a good man. 艰难困苦出能人。 ►Life is a path winding in the mountain, bumpy and zigzagging. 生活是蜿蜒在山中的小径，坎坷不平。
A
解：由勾股定理，可以得到AB2=BC2+AC2，
也就是5002=BC2+4002，所以BC=300.
北师大版八年级数学上册《探索勾股定理》课件(24张PPT)
勾是6， 62=36, 勾是5，
股是8， 82=64, 股是12，
弦一定是10；
102=100
62+82=102
弦一定是13，
52=25, 122=144, 132=169 52+122=132 等等. 是不是所有的直角三角形都有这个性质呢？世界上许
多数学家，先后用不同方法证明了这个结论. 我国把它称 为勾股定理.
正方形C的面积是__1_8__ 个单位面积.
（图中每个小方格代表1个单位面积）
C A
B
S正方形C 4 1 33 2
=18个单位面积
把正方形C分割成若干 个直角边为整数的三角 形来求
（图中每个小方格代表1个单位面积）
C A
B
S正方形C
1 2
62
=18个单位面积
把正方形C看成边长为 6的正方形面积的一半
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理
1.经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，了解勾股 定理的探究方法及其内在联系. 2.掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题.
这是1955年希腊为纪念一个数学学派发行的邮票.
P
C
A
Q
R B
如图，小方格的边长为1.
正方形P 正方形Q 正方形R 的面积 的面积 的面积
2
通过本课时的学习，需要我们掌握： 勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即
a2 b2 c2
没有智慧的头脑，就像没有蜡烛的灯笼.
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
北师大版八年级数学上册《勾股定理》课件(共18张PPT)
知识要点
1．勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为 a，b，斜边为c，那么__________ . 2．勾股定理各种表达式： 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对 边也分别为a，b，c，则c=_________， b=_________，a=_________.
知识要点
3．勾股定理的逆定理： 在△ABC中，若a、b、c三边满足___________， 则△ABC为___________. 4．勾股数： 满足________的三个________，称为勾股数. 5．几何体上的最短路程是将立体图形的 ________展开，转化为_________上的路程问 题，再利用___________两点之间， ___________,解决最短线路问题.
2．已知△ABC的三边为a，b，c，有下列各
组条件，判定△ABC的形状．
（1）a 4 1 ， b 4 0 ， c 9 （2）a m 2 n 2 ， b m 2 n 2 ， c 2 m （ n m n 0 ）
合作探究
探究四：勾股定理及逆定理的综合应用
B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北 偏东60o方向以每小时8 n mile的速度前进， 乙船沿南偏东某个角度以每小时15 n mile的速度前进，2 h后，甲船到M岛，乙 船到P岛，两岛相距34 n mile，你知道乙 船是沿哪个方向航行的吗？
第一章 勾股定理
回顾与思考
情境引入
勾股定理，我们把它称为世界第一定理． 首先，勾股定理是数形结合的最典型的代 表； 其次，正是由于勾股定理得发现，导致无 理数的发现，引发了数学的第一次危机，这一 点，我们将在《实数》一章里讲到； 第三，勾股定理中的公式是第一个不定方 程，有许许多多的数满足这个方程，也是有完 整的解答的最早的不定方程，最为著名的就是 费马大定理，直到1995年，数学家怀尔斯才将 它证明．
八年级数学上册 1.1 探索勾股定理课件2 (新版)北师大版
6米
10米
已知两边求第三边
复习旧知 “勾股定理”的应用： 已知直角三角形两边，求第三边。
复习旧知
我们是怎样发现“勾股定理”的？
用“数格子法”发现： “两直角边的平方和等于 斜边的平方”。
数格子法
探究新知
一、用“内嵌法”拼图：
将直角三角形按图拼在大正方形内部
c2 (ba)21ab4 2
b22a Байду номын сангаасa22ab
运用正方形面积表达式进行验证。
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
20 3x
4x
巩固练习
2、如图是某沿江地区交通图，为了加快经济发 展，该地区拟修建一条连接M，O，Q三城市的 沿江高速，已知沿江高速的建设成本是100万元 /千米，该沿江高速的造价预计是多少？
合作交流
观察下图，用数格子的方法判断图中三角形 的三边长是否满足a2+b2=c2 。
非直角三角形， 不满足a2+b2=c2 。
巩固练习 3、如图，受台风“圆规”影响，一棵高18米的 大 树断裂，树的顶部落在离树根底部6米处，这棵 树折断后有多高？
18-x x
6米
问题解决
例2、如图，某隧道的截面是一个半径为3.6米的
半 圆形，一辆高2.4米、宽3米的卡车能通过隧
道吗？
A
解：过点A作AB⊥OC于点B，
∵∠ABO=90°
∴AB2+OB2=OA2 且OA=3.6，OB=1.5
1.1 探索勾股定理(2)
诊断练习
1、如图，Rt△ABC的边AC=5cm，BC=6cm， 求以AB为边的正方形面积。
A
2022秋八年级数学上册 第一章 勾股定理1 探索勾股定理第2课时勾股定理的验证与应用课件北师大版
【答案】B
*8.(中考·绍兴)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠 在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7 m，顶端距离地 面2.4 m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙 时，顶端距离地面2 m，则小巷的宽度为( )
A．0.7 m B．1.5 m C．2.2 m D．2.4 m
【点拨】如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝0.7 m，AC＝2.4 m， 所以AB2＝0.72＋2.42＝6.25. 在Rt△A′BD中，∠A′DB＝90°，A′D＝2 m， 所以BD2＋22＝6.25，即BD2＝2.25. 所以BD＝1.5 m. 所以CD＝BC＋BD＝0.7＋1.5＝2.2(m)． 【答案】C
3．(2019·咸宁)勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之 一”，我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周 髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为 “赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学家大会选它作 为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是( B )
4．在Rt△ABC中，a，b是两直角边，c为斜边，如果已知a， b，那么c2＝__a_2＋__b_2____；如果已知a，c，那么b2＝ __c_2_－__a_2___；如果已知b，c，那么a2＝__c_2_－__b_2 ___．当 不能直接运用勾股定理求线段长度时，则设所求线段的 长度为x，并选择一个合适的直角三角形，根据勾股定理， 列出含___x_____的方程．
6．(中考·荆州)《九章算术》中的“折竹抵地”问题(如图)：
今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？
意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将
竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，
问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度
*8.(中考·绍兴)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠 在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7 m，顶端距离地 面2.4 m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙 时，顶端距离地面2 m，则小巷的宽度为( )
A．0.7 m B．1.5 m C．2.2 m D．2.4 m
【点拨】如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝0.7 m，AC＝2.4 m， 所以AB2＝0.72＋2.42＝6.25. 在Rt△A′BD中，∠A′DB＝90°，A′D＝2 m， 所以BD2＋22＝6.25，即BD2＝2.25. 所以BD＝1.5 m. 所以CD＝BC＋BD＝0.7＋1.5＝2.2(m)． 【答案】C
3．(2019·咸宁)勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之 一”，我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周 髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为 “赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学家大会选它作 为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是( B )
4．在Rt△ABC中，a，b是两直角边，c为斜边，如果已知a， b，那么c2＝__a_2＋__b_2____；如果已知a，c，那么b2＝ __c_2_－__a_2___；如果已知b，c，那么a2＝__c_2_－__b_2 ___．当 不能直接运用勾股定理求线段长度时，则设所求线段的 长度为x，并选择一个合适的直角三角形，根据勾股定理， 列出含___x_____的方程．
6．(中考·荆州)《九章算术》中的“折竹抵地”问题(如图)：
今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？
意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将
竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，
问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度
1、1探索勾股定理(第二课时) 21-22学年八年级数学北师大版上册
E
E的点面，积那是么_6_△_m_A_D2_E_. A
D
C
折叠四边形问题
长方形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F
处，已知AB=8，BC=10，求折痕DE的长。
A
10
D
8
10
? x
x E8 8-x
B
6
F 10
4C
应用2:勾股定理与测量：如图，滑竿在 机械槽内运动，为直角，已知滑竿长2.5 m 顶端在上运动，量得滑竿下端点距
边；
②已知直角三角形的三边关系，求出各 边长；
③实际生活中的应用。
作业：1.我方侦查员小王在距离东西向500米处公路 侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶。他赶紧拿 出红外测距仪，测得汽车与他相距500米，30秒后， 汽车与他相距1300米，请你帮小王计算敌方汽车的 速度吗？
作业：2.如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一 条长10米的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电 线杆底部有多远？
作业：3.如图，已知直角△ABC的两直角边分别为 6，8，分别以其三边为直径作半圆，求图中阴影部 分的面积．
作业：4.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞机 飞到一个男孩头顶正上方4000多米处，过20秒， 飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每时飞行多 少千米？
谢谢
墙的距离为1.5 m，当 端点向右移动0.5 m时，A● 求滑竿顶端下滑多少米？E ●
C
●●
BD
应用3:勾股定理与实际生活：
例题： 我校的九（6）班教室A位于工地B 处的正西方向，且AB=160米，一辆大型货 车从B处出发，以10米/秒的速度沿北偏西 60度的方向行驶，如果大型货车的噪声污 染半径为100米，试问 （1）教室A是否在 大型货车的噪声污染范围内？若不在，试 说明理由。 （2）若在，请求出教室A受污 染的时间是多少？
北师大版八年级数学上册第一章全部课件
总结
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－练
1 用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如
（来自《典中点》）
知2－导
知识点 2 勾股定理的应用
例2 我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一 辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得 汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m,你能 帮小王计算敌方汽车的速度吗？
分析：根据题意，可以画出右图， 其中点A表示小王所在位置， 点C、点B表示两个时刻敌方 汽车的位置.
弦 勾
股 图1
北师大版八年级数学上册
C A
B C
图2-1
A
B
图2-2
(图中每个小方格代表一个单位面积)
知1－导
(1)观察图2-1 正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积 是 9 个单位面积. 正方形B的面积是 9 个单位面积.
正方形C的面积是 18 个单位面积.
北师大版八年级数学上册
C A
B C
（来自《点拨》）
知1－讲
总结
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－讲
1 课堂讲解 2 课时流程
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－练
1 用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如
（来自《典中点》）
知2－导
知识点 2 勾股定理的应用
例2 我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一 辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得 汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m,你能 帮小王计算敌方汽车的速度吗？
分析：根据题意，可以画出右图， 其中点A表示小王所在位置， 点C、点B表示两个时刻敌方 汽车的位置.
弦 勾
股 图1
北师大版八年级数学上册
C A
B C
图2-1
A
B
图2-2
(图中每个小方格代表一个单位面积)
知1－导
(1)观察图2-1 正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积 是 9 个单位面积. 正方形B的面积是 9 个单位面积.
正方形C的面积是 18 个单位面积.
北师大版八年级数学上册
C A
B C
（来自《点拨》）
知1－讲
总结
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－讲
1 课堂讲解 2 课时流程
北师大版初中八年级数学上册 1.1.1 认识勾股定理 课件(共20张PPT)
( 55 ) 25
30
( 34)
95 61
( 42 ) 18
60
200 ( 350)
150
总结归纳
C A
B
SA+SB=SC
ac b
ac b
a2+b2=c2
a2+b2=c2
总结归纳
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方．如果a，b和c分别表示直角三角形的 两直角边和斜边，那么a2+b2=c2．
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
第1课时 认识勾股定理
导入新课
情境引入
如图，这是一幅美丽的图案，仔细观察，你能发 现这幅图中的奥秘吗？带着疑问我们来一起探索吧.
数学家毕达哥拉斯的故事
相传2005年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现 朋友家的用砖铺成的地面…
毕达哥拉斯就从地面上这十分常见的图形中，发现了令世人震惊的定理：
方法一：割
方法二：补
方法三：拼
分割为四个直角三 角形和一个小正方 形.
补成大正方形，用大正 方形的面积减去四个直 角三角形的面积.
将几个小块拼成若干个小 正方形，图中两块红色 （或绿色）可拼成一个小 正方形.
填一填：观察右边两 幅图：完成下表（每 个小
A的面积 B的面积 C的面积
左图 4
9
13
右图 16
9
25
怎样计 算正方 形C的面 积呢？
分析表中数据，你发现了什么？
A的面积 B的面积 C的面积
左图 4
9
13
右图 16
9
25
C A
B
SA+SB=SC
结论：以直角三角形两 直角边为边长的小正方 形的面积的和，等于以 斜边为边长的正方形的 面积.
北师大版八年级数学上册课件1.1 探索勾股定理(第2课时) 勾股定理的验证及应用课件(26张PPT)
= 25 km .现要在铁路旁建一个农副产品收购站 ,使 站到 ，
两村的距离相等.你知道应该把 站建在距点 多远的地方吗？
【点拨】设 = km ,由垂直关系可以想到用勾股定理,根据 = 建立方程,
即可使问题得解.
【解】因为 = ,
所以 2 + 2 = 2 + 2 .
当它听到巢中幼鸟的叫声时，立即赶过去.如果它飞行的速度
为 5 m/s ，那么它至少需要多少时间才能赶回巢中？
解：如图，
由题意知 = 3 ， = 14 − 1 = 13 ， = 24 .
过点 作 ⊥ 于点 ，则 = 13 − 3 = 10 ， = 24 .
答：教学楼走廊的宽度是 2.2 m .
作业布置
完成学生书对应课时练习
算，从理论上验证了勾股定理．
做一做
在纸上画一个直角三角形，分别以这个直角三角形的三边为边长向
外作正方形。
c
b
a
图1－4
为了方便计算图中大正方形的面积，
C
D
对其进行适当割补：
b
S正方形ABCD= c2+2ab=（a+b）2
c
A
B
a
c2=a2+b2
图1－5
D
b
c
a
图1－6
A
C
B
S正方形ABCD= c2-2ab=（b-a）2
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
第2课时 勾股定理的验证及应用
1.探索勾股定理
2.掌握勾股定理的内容，会用面积法验证勾股定理.
3.能运用勾股定理解决一些简单的实际问题.
探究新知
两村的距离相等.你知道应该把 站建在距点 多远的地方吗？
【点拨】设 = km ,由垂直关系可以想到用勾股定理,根据 = 建立方程,
即可使问题得解.
【解】因为 = ,
所以 2 + 2 = 2 + 2 .
当它听到巢中幼鸟的叫声时，立即赶过去.如果它飞行的速度
为 5 m/s ，那么它至少需要多少时间才能赶回巢中？
解：如图，
由题意知 = 3 ， = 14 − 1 = 13 ， = 24 .
过点 作 ⊥ 于点 ，则 = 13 − 3 = 10 ， = 24 .
答：教学楼走廊的宽度是 2.2 m .
作业布置
完成学生书对应课时练习
算，从理论上验证了勾股定理．
做一做
在纸上画一个直角三角形，分别以这个直角三角形的三边为边长向
外作正方形。
c
b
a
图1－4
为了方便计算图中大正方形的面积，
C
D
对其进行适当割补：
b
S正方形ABCD= c2+2ab=（a+b）2
c
A
B
a
c2=a2+b2
图1－5
D
b
c
a
图1－6
A
C
B
S正方形ABCD= c2-2ab=（b-a）2
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
第2课时 勾股定理的验证及应用
1.探索勾股定理
2.掌握勾股定理的内容，会用面积法验证勾股定理.
3.能运用勾股定理解决一些简单的实际问题.
探究新知
2024-2025学年北师版中学数学八年级上册1.1探索勾股定理(第2课时)教学课件
400 m
500 m
解：由勾股定理，
得BC 2 =AB2 - AC 2 =5002 - 4002 =90 000，
即BC=300 m.汽车10 s行驶300 m，那么它1 h行驶的距离为：
300 × 3 600=10 80（0 m）=10（8 km /h）. 10 答：敌方汽车速度为108 km /h.
15
10
152 x2 102 （25 x)2
C
解得：x 10
D
答：E站应建在距A站10千米处.
你是如何做的？ 与同伴交流.
活动1：小明的证明思路如下图，想一想：小明是怎样对 大正方形进行割补的？
D
A C
B
补
你能将所有三角形和正方形的面积用含a,b,c的关系式表 示出来吗？
毕达哥拉斯证法
a+b
大正方形ABCD的面积可以表示为：
____4_×__12_a_b_+_c2__或者__(_a__+__b_)2__
可得等式_4_×__12_a_b_+_c2_=_(_a+_b_)_2 ____
你能用右图验证勾股定理吗？
证明：∵S正方形ABCD =4
1 ×
2
ab+c 2，
又∵S正方形ABCD =（a+b）2，
∴4 × 1 ab+c2 =（a+b）2. 2
∴2ab+c2 =a2 +2ab+b2.
∴a2 +b2 =c2.
当堂检测
1.如图，高速公路的同侧有A，B两个村庄，它们到高速公路所在直线 MN的距离分别为AA1＝2km，BB1＝4km，A1B1＝8km.现要在高速公路上A1、 B1之间设一个出口P，使A，B两个村庄到P的距离之和最短，求这个最 短距离和．
北师大版八年级数学上册课件1.1探索勾股定理(第2课时)(19张PPT)
于是推得 AB2 AC 2 BC 2
课堂小结
勾股定理的验证
探索勾股 定理
勾股定理的简单运用
1. 勾股定理：直角三角形两直角边的 平方和 等于斜边的 平方 .如果用a，b 和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2+b2=c2 .
2. 我国历史上将弦上的正方形称为弦图（如图）.
1. 已知一个等边三角形的边长为6 cm，则以它的高为边长的正方形的面 积为( B )
2
22
a 化简,得
b
B
a2 b2 c2.
欧几里得证明勾股定理
如图，过 A 点画一直线 AL 使其垂直于 DE， 并交 DE 于 L，交 BC 于 M.通过证 明△BCF≌△BDA，利用三 角形面积与长方形面积的关 系，得到正方形ABFG与矩形 BDLM等积，同理正方形 ACKH与 矩形MLEC也等积，
A. 36 cm2 B. 27 cm2 C. 18 cm2 D. 12 cm2
2. 一个直角三角形的两条边的长分别是9和40，则第三条边的长的平方是
（C）
A. 1 681
B. 1 781 C. 1 519或1 681 D. 1 519
3. 一个直角三角形三条边的长为三个连续的自然数，则这三条边的长分
【基础训练】
1. 如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，
CF平分△ABC的外角∠ACD，且EF∥BC交AC于M，
若CM=4，则CE2+CF2的值为( D )
A.8 B.16 C.32 D.64
2. 已知Rt△ABC的两直角边分别是6 cm，8 cm，则Rt△ABC斜边上
的高是（ A ）
A. 4.8cm
B.2.4cm
C.48cm
课堂小结
勾股定理的验证
探索勾股 定理
勾股定理的简单运用
1. 勾股定理：直角三角形两直角边的 平方和 等于斜边的 平方 .如果用a，b 和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2+b2=c2 .
2. 我国历史上将弦上的正方形称为弦图（如图）.
1. 已知一个等边三角形的边长为6 cm，则以它的高为边长的正方形的面 积为( B )
2
22
a 化简,得
b
B
a2 b2 c2.
欧几里得证明勾股定理
如图，过 A 点画一直线 AL 使其垂直于 DE， 并交 DE 于 L，交 BC 于 M.通过证 明△BCF≌△BDA，利用三 角形面积与长方形面积的关 系，得到正方形ABFG与矩形 BDLM等积，同理正方形 ACKH与 矩形MLEC也等积，
A. 36 cm2 B. 27 cm2 C. 18 cm2 D. 12 cm2
2. 一个直角三角形的两条边的长分别是9和40，则第三条边的长的平方是
（C）
A. 1 681
B. 1 781 C. 1 519或1 681 D. 1 519
3. 一个直角三角形三条边的长为三个连续的自然数，则这三条边的长分
【基础训练】
1. 如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，
CF平分△ABC的外角∠ACD，且EF∥BC交AC于M，
若CM=4，则CE2+CF2的值为( D )
A.8 B.16 C.32 D.64
2. 已知Rt△ABC的两直角边分别是6 cm，8 cm，则Rt△ABC斜边上
的高是（ A ）
A. 4.8cm
B.2.4cm
C.48cm
探索勾股定理(第2课时)教学课件北师大版八年级数学上册
第一章 勾股定理
探索勾股定理 第2课时
学习目标
1 掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法. 2 在实际问题的情景中，能熟练运用勾股定理解决问题.
复习回顾
1．直角三角形的性质： （1）直角三角形两锐角 互余 ； （2）直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半 ；
（3）直角三角形中 30°的角所对的直角边等
典型例题
分析：根据题意，可以画出图形，其中点A表示小王所在的位置， 点C、点B表示两个时刻敌方汽车的位置．由于小王距离公路400 m， 因此∠C是直角，这样就可以由勾股定理来解决这个问题了．
典型例题
C
B 公路
400 m
500 m
A
解：由勾股定理，可以得到 AB2 BC2 AC2，也就是 5002 BC2 4002 ，所以BC=300．
M
30 km N 40 km O
50 km
P
120 km
Q
随堂练习
解：MO MN 2 NO2 302 402 50， OQ OP2 PQ2 502 1202 130， MO OQ 50 130 180． 因为沿江高速公路的建设成本是5 000万元 / km， 所以5 000 180 900 000(万元)．
再见
2
探究新知
图2中,如何表示大正方形的面积
方法一：大正方形的面积
c2
方法二：小正方形的面积+四个直角三角形的面积
4 1 ab (b a)2 2
图2
你能由此得到勾股定理吗？为什么？
由 c2 4 1 ab (b a)2 得 a2 b2 c2
2
探究新知
验证勾股定理
分别以直角三角形的三条边的长度为边长向外作正方形,利用下图验 证勾股定理.
探索勾股定理 第2课时
学习目标
1 掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法. 2 在实际问题的情景中，能熟练运用勾股定理解决问题.
复习回顾
1．直角三角形的性质： （1）直角三角形两锐角 互余 ； （2）直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半 ；
（3）直角三角形中 30°的角所对的直角边等
典型例题
分析：根据题意，可以画出图形，其中点A表示小王所在的位置， 点C、点B表示两个时刻敌方汽车的位置．由于小王距离公路400 m， 因此∠C是直角，这样就可以由勾股定理来解决这个问题了．
典型例题
C
B 公路
400 m
500 m
A
解：由勾股定理，可以得到 AB2 BC2 AC2，也就是 5002 BC2 4002 ，所以BC=300．
M
30 km N 40 km O
50 km
P
120 km
Q
随堂练习
解：MO MN 2 NO2 302 402 50， OQ OP2 PQ2 502 1202 130， MO OQ 50 130 180． 因为沿江高速公路的建设成本是5 000万元 / km， 所以5 000 180 900 000(万元)．
再见
2
探究新知
图2中,如何表示大正方形的面积
方法一：大正方形的面积
c2
方法二：小正方形的面积+四个直角三角形的面积
4 1 ab (b a)2 2
图2
你能由此得到勾股定理吗？为什么？
由 c2 4 1 ab (b a)2 得 a2 b2 c2
2
探究新知
验证勾股定理
分别以直角三角形的三条边的长度为边长向外作正方形,利用下图验 证勾股定理.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章 勾股定理
1. 探索勾股定理（第2课时）
问题情境
1．上节课我们已经通过探索得到了 勾股定理，请问勾股定理的内容是什么？
2．如何验证勾股定理呢 ？
据不完全统计，验证的方法有 400多种，你想得到自己的方 法吗？
合作探究
小组活动：请你利用自己准备 的四个全等的直角三角形拼出以 斜边为边长的正方形．
追溯历史
国内调查组报告
用图2验证勾股定理的 方法，据载最早是 三国时
期数学家赵爽在为《周髀 算经》作注时给出的，我 国历史上将图2弦上的正方 形称为弦图．
2002年的数学家大会（ICM2002）在北京召开，这届大会 会标 的中央图案正是经过艺术
处理的弦图，这既标志着中国 古代的数学成就 ，又像一只转
有不同的拼法吗？
拼图展示
图1
图2
自主探究
b
1. 如图，你能表示大正方形 a 的面积吗？能用两种方法表
c
示吗？
a
cb
（1） (a b)2
c
c
（2）
c2
4
1 2
ab
b
a
a
b
图1
2. (a b)2 与 c2 4 1 ab 有什么关系？为什么？
2
你能验证勾股定理了吗？
验证方法一
b
ac
a
cb
c2 1 ab 4 (a b)2
动的风车，欢迎来自世界各地 的数学家们！
勾股定理与第一次数学危机
约公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟
子希帕索斯(Hippasus)发现了一个惊人的
事实，一个正方形的边长和对角线的长度
是不可公约的.按照毕达哥拉斯定理(勾股
1
？ 定理)，若正方形边长是1，则对角线的长
不是一个有理数，它不能表示成两个整数
于是这位中年人不再散步，立即回家， 潜心探讨小男孩给他留下的难题．他经过 反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的 道理，并给出了简洁的证明方法．
1876年4月1日，他在《新英格兰教育 日志》上发表了他对勾股定理的这一证 法．
1881年，这位中年人—伽菲尔德就任 美国第二十任总统．后来，人们为了纪念 他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的 证明，就把这一证法称为“总统”证法．
c
b
a
2
c
b
a
a2 b2 c2
图1
方法小结：我们利用拼图的方法，将
形的问题与数的问题结合起来，再进行整
式运算，从理论上验证了勾股定理．
你还能用图2进行验证吗？
验证方法二
c
1 ab 4 (b a)2 c2 2
a2 b2 c2
图2
延伸拓展
1.议一议:观察下图,判断图中三角形的三
边长是否满足 a2 b2 c2
之比，这一事实不但与毕氏学派的哲学信
1
念大相径庭，而且建立在任何线段都可公
度基础上的几何学面临被推翻的威胁，第
一次数学危机由此爆发．
•
趣闻调查组报告
勾股定理的
在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛 顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的 美景……他走着走着，突然发现附近的一个小石 凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么， 时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使 他循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底 在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在 地上画着一个直角三角形……
Байду номын сангаас 美国总统证法
D
bc
Aa
C
c a
bB
生 例题： 飞机在空中水平飞行，某一时刻
活 中 勾 股
刚好飞到一个男孩子头顶上方4000 m处， 过了20 s，飞机距离这个男孩子头顶5000m， 飞机每小时飞行多少千米？
定
理 的
C
B
应 用
4km
A
拓展练习
1．如图是某沿江地区交通平面图，为
了加快经济发展，该地区拟修建一条连接 M，O，Q三城市的沿江高速，已知沿江 高速的建设成本是5000万元/ km，该沿江 高速的造价预计是多少？
M
30km
O N 40km
50km
P
120km
Q
2．如图，一个25 m长的梯子AB，斜 靠 在 一 竖 直 的 墙 AO 上 ， 这 时 的 AO 距 离 为24 m，如果梯子的顶端A沿墙下滑4m， 那么梯子底端B也外移4 m吗？
A C
O BD
课堂小结
通过本节课的学习你有何收获呢？
1. 探索勾股定理（第2课时）
问题情境
1．上节课我们已经通过探索得到了 勾股定理，请问勾股定理的内容是什么？
2．如何验证勾股定理呢 ？
据不完全统计，验证的方法有 400多种，你想得到自己的方 法吗？
合作探究
小组活动：请你利用自己准备 的四个全等的直角三角形拼出以 斜边为边长的正方形．
追溯历史
国内调查组报告
用图2验证勾股定理的 方法，据载最早是 三国时
期数学家赵爽在为《周髀 算经》作注时给出的，我 国历史上将图2弦上的正方 形称为弦图．
2002年的数学家大会（ICM2002）在北京召开，这届大会 会标 的中央图案正是经过艺术
处理的弦图，这既标志着中国 古代的数学成就 ，又像一只转
有不同的拼法吗？
拼图展示
图1
图2
自主探究
b
1. 如图，你能表示大正方形 a 的面积吗？能用两种方法表
c
示吗？
a
cb
（1） (a b)2
c
c
（2）
c2
4
1 2
ab
b
a
a
b
图1
2. (a b)2 与 c2 4 1 ab 有什么关系？为什么？
2
你能验证勾股定理了吗？
验证方法一
b
ac
a
cb
c2 1 ab 4 (a b)2
动的风车，欢迎来自世界各地 的数学家们！
勾股定理与第一次数学危机
约公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟
子希帕索斯(Hippasus)发现了一个惊人的
事实，一个正方形的边长和对角线的长度
是不可公约的.按照毕达哥拉斯定理(勾股
1
？ 定理)，若正方形边长是1，则对角线的长
不是一个有理数，它不能表示成两个整数
于是这位中年人不再散步，立即回家， 潜心探讨小男孩给他留下的难题．他经过 反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的 道理，并给出了简洁的证明方法．
1876年4月1日，他在《新英格兰教育 日志》上发表了他对勾股定理的这一证 法．
1881年，这位中年人—伽菲尔德就任 美国第二十任总统．后来，人们为了纪念 他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的 证明，就把这一证法称为“总统”证法．
c
b
a
2
c
b
a
a2 b2 c2
图1
方法小结：我们利用拼图的方法，将
形的问题与数的问题结合起来，再进行整
式运算，从理论上验证了勾股定理．
你还能用图2进行验证吗？
验证方法二
c
1 ab 4 (b a)2 c2 2
a2 b2 c2
图2
延伸拓展
1.议一议:观察下图,判断图中三角形的三
边长是否满足 a2 b2 c2
之比，这一事实不但与毕氏学派的哲学信
1
念大相径庭，而且建立在任何线段都可公
度基础上的几何学面临被推翻的威胁，第
一次数学危机由此爆发．
•
趣闻调查组报告
勾股定理的
在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛 顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的 美景……他走着走着，突然发现附近的一个小石 凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么， 时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使 他循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底 在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在 地上画着一个直角三角形……
Байду номын сангаас 美国总统证法
D
bc
Aa
C
c a
bB
生 例题： 飞机在空中水平飞行，某一时刻
活 中 勾 股
刚好飞到一个男孩子头顶上方4000 m处， 过了20 s，飞机距离这个男孩子头顶5000m， 飞机每小时飞行多少千米？
定
理 的
C
B
应 用
4km
A
拓展练习
1．如图是某沿江地区交通平面图，为
了加快经济发展，该地区拟修建一条连接 M，O，Q三城市的沿江高速，已知沿江 高速的建设成本是5000万元/ km，该沿江 高速的造价预计是多少？
M
30km
O N 40km
50km
P
120km
Q
2．如图，一个25 m长的梯子AB，斜 靠 在 一 竖 直 的 墙 AO 上 ， 这 时 的 AO 距 离 为24 m，如果梯子的顶端A沿墙下滑4m， 那么梯子底端B也外移4 m吗？
A C
O BD
课堂小结
通过本节课的学习你有何收获呢？