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2018天津高考文科数学解析
2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）-文科数学2018年天津高考文科数学试卷真题答案&解析天津新东方优能一对一部高中数学组第一部分：试卷整体点评2018年文科数学的出题顺序相比较2017年发生了一些变化。
但是整体难度与去年持平。
首先是选择题部分，8道题目前7题中2017年的概率变为线性规划，其他知识点考察基本一致。
选择压轴题从去年的函数与方程变为向量的数量积问题。
再来看填空部分，与2017年相同的考查知识点有4题，分别是是复数、导数的几何意义、圆的方程、均值不等式。
发生变化的题目是立体几何17年在14~16连续三年三视图的基础上考察外接球体积，有13年题目的非常相似。
18年则是给出立体图形求体积难度有所下降。
填空压轴题方面，17，18两年发生了互换，近年函数与方程作为填空题的最后一题。
值得一提的是回顾14年-18年天津在考察函数与方程的题目方面偏爱一个分段函数结合不等式恒成立问题，此类问题仍然是我们2019年备考的侧重点。
大题方面的顺序发生了变化，不同于16和17两年把三角函数放在15题的位置，18年重新把概率计算放在首位。
三角函数考查内容与去年相一致。
第三题仍然是立体几何，考察线线垂直，异面直线成角，线面角。
第18题数列题考察等差等比数列的基础公式，没有涉及到人们求和方法错位相减、裂项方法，考察难度有弱化趋势。
19，20题的考察内容相比2017年发生互换，尤其注意一点近年的椭圆题目越来越重视运算求解能力，结合一定的平面几何证明。
最后一题的导数前两问考察侧重基础，对于大部分同学是完全有能力拿下的，最后一问的模型也是平时练习中有所涉及，对于学生计算的要求依然很大。
总体来看数列、立体几何小题考察今年有弱化趋势，计算量大仍然是天津卷的特点，请同学们在2019年的备考过程中注意计算的准确性，祝2018年的考生金榜题名。
第二部分：试卷题目解析一、 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1) 设集合{}{}{}1,2,3,4,1,02,3=|12)，,C 则(==-∈-≤<=A B x R x A B C（A ）{}1,1- （B ）{}0,1 （C ）{}1,0,1- （D ）{}2,3,4 答案：C解析：依题意可知：{}=1,0,1,2,3,4-A B ，)={-1,0,1}(A B C .(2) 设变量,x y 满足约束条件5,24,1,0.+≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩x y x y x y y 则目标函数35=+z x y 的最大值为（A ）6 （B ）19 （C ）21 （D ）45 答案：C解析： 设5+≤x y 与1-+≤x y 的交点为A=5=1+⎧⎨-+⎩x y x y ，解得=2=3⎧⎨⎩x y ，∴（2,3）A 又35=+z x y 是一族斜率为35-的平行线，∴=max 当直线过（2,3）时，z 取得最大值为z 21A . (3) 设∈x R ，则“38>x ”是||2>x 的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 答案：A 解析：38>x 的解集为2>x ，||2>x 的解集为22或><x x ，38||2是∴>>x x的充分不必要条件.(4) 阅读右边的程序框图，运行相应的程序， 若输入N 的值为20，则输出的T 的值为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 答案：B是 输出TT=T +1 是整数？i=2,T=0输入N开始 i=i +1 是 否否解析：=20N ，2,0,10===Ni T i； 203,1,3===N i T i ；4,=i 20=54=N i ； 5,2，输出==i T T .=2∴T(5) 已知13313711log ,(),log 245===a b c ，则,,a b c 的大小关系为（A ）>>a b c （B ）>>b a c （C ）>>c b a （D ）>>c a b 答案：D 解析：37log 2=a ， 1331log =log 55=c ， 又3log x 在+（0，）∞单调递增，3371log log 522∴<<<，即12∴<<<a c ，131()4=b ，函数1()4=x y 的底数小于1，1()4是定义域内单调递减的函数∴=x y ，10311b ()()144∴=<=b 12∴<<<<ac ，即b <<a c(6) 将函数sin(2)5π=+y x 的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数（A ）在区间[,]44ππ-上单调递增 （B ）在区间[,0]4π-上单调递减（C ）在区间[,]42ππ上单调递增 （D ）在区间[,]2ππ上单调递减答案：A解析：sin(2)5π=+y x 向右移动10π个单位长度得到sin[2-]105（）ππ=+y x ，即sin 2=y x ，单增区间为：+222()22ππππ-≤≤+∈k x k k Z+()44ππππ-≤≤+∈k x k k Z当0=k 时，函数sin(2)5π=+y x 在区间[,]44ππ-上单调递增.(7) 已知双曲线22221(0,0)-=>>x y a b a b的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为12和d d 且12+=6d d ，则双曲线方程为（A ）22139-=x y （B ）22193-=x y （C ）221412-=x y （D ）221124-=x y答案：A解析：2==ce a，2=c a ， 在梯形ABCD 中，+2=AC BD FE ,FE 为渐焦距=b ，1226∴+==d d b 3∴=b222+=a b c 2229,12=3,∴==a b c∴22139-=x y (8) 在如图的平面图形中，已知1,2,120,OM ON MON ==∠=，2,BM MA =2CN NA =，则的值为BC OM（A ）-15 （B ）-9 （C ）-6 （D ）0 答案：C解析：如图所示建系，(0,0),(1,0)1,3)-O M N 设(,),(,),(,)A A B B C C A x y B x y C x y2=B M M A(1,)2(1,∴--=-B B A A x y x y1=22=2--⎧∴⎨-⎩B A B Ax x y y ，即=32=2-⎧⎨-⎩B A B A x x y y2=CNNA(1)2(1,∴--=+C CA A x yx y1222--=+⎧⎪∴=-CA C A x x y y 322=--⎧⎪∴⎨=⎪⎩C A C Ax x y y 633=10（-,），（，）∴=BC OM =6∴∙-BC OM二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.(9)i 是虚数单位，复数6712ii+=+ .答案：4i - 解析：67(67)(12)412(12)(12)i i i i i i i ++-==-++- (10)()ln ,()()(1)x f x e x f x f x f ''=已知函数为的导函数，则的值为 . 答案：e解析：'1()(ln )x f x e x x=+ ()'1f e =(11)如图，已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点,,,,E F G H M （如图），则四棱锥M EFGH -的体积为 .答案：13解析：连11AC交11B D于点O ，111111111(1333A BB D D B BDD V AO S -=鬃=? (12) 在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为 答案：2220x x y -+=解析：因为圆过（0,0）（2,0）所以圆心在x=1上，设其坐标为（1，b ） 又因为（1,1）在圆上所以10,1r b br =-==22(1)1,x y -+=即2220x x y -+=(13) 1,,360,28a b a b R a b ∈-+=+已知且则的最小值为答案：14解析：31122284a ab b-+=+? (14) [)2122,0,,()3,,22,0,x x a x a R f x x x x a x ⎧++-≤∈=∈-+∞⎨-+->⎩已知函数若对任意()a f x x ≤恒成立，则的取值范围是答案：1[,2]8解析：当2[3,0],22x x x a x ?++-?恒成立2m i n (32)2a x x ?-+= 当2(0,),22x x x a x ??+-?恒成立2max1()28x xa -+?综上，1[,2]8a Î二、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(15)(本小题满分13分)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.(I)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(II)设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ii)设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率.答案：(I)解：由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比分别为3:2:2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的志愿者中分别抽取3人，2人，2人.(II) (i)解：从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{},A B ，{},A C ，{},A D ，{},A E ，{},A F ，{},A G ，{},B C ，{},B D ，{},B E ，{},B F ，{},B G ，{},C D ，{},C E ，{},C F ，{},C G ，{},D E ，{},D F ，{},D G ，{},E F ，{},E G ，{},F G ，共21种.(ii)解：由(I)，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{},A B ，{},A C ，{},B C ，{},D E ，{},F G ，共5种.所以，事件M 发生的概率5()21P M =. (16)（本小题满分13分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，已知bsin cos 6π⎛⎫=- ⎪⎝⎭A a B .(I)求角B 的大小；(II)设2, 3.sin(2)求和的值==-a c b A B . 答案：(I)解：在ABC ∆中，由正弦定理,sin sin sin sin 可得==a bb A a B A B，又由bsin cos 6π⎛⎫=- ⎪⎝⎭A a B ，得a sin cos 6π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B a B ，即sin cos 6π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B B ，可得tan =B ()0，π∈B ，可得=3πB .(II)解：在ABC ∆中，由余弦定理及2,3=3，π==a c B ，有222+2cos 7，故=-==b a c ac B b由bsin cos6π⎛⎫=- ⎪⎝⎭A a B ，可得sin cos ，故=<=A a c A .因此21sin 22sin cos cos 22cos 177===-=AA A A A ，所以， ()11sin 2-sin 2cos cos 2sin 727214=-=-⨯=A B A B A B . (17)(本小题满分13分)如图，在四面体ABCD 中，ABC ∆是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M 为棱AB 的中点，=2=90，∠AB AD BAD .(I)求证：AD ⊥BC(II)求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； (III)求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值.答案：(I)证明：由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC 平面=ABD AB ，AD ⊥AB ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC .(II)解：取棱AC 的中点N ，连接,MN ND .又 因为M 为棱的中点AB ，故MN ∥BC .所以∠DMN （或其补角）为异面直线BC 与MD 所成的角.在t ∆R DAM 中，1=AM ，故22=13+DM AD AM 因为AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥AC .在t ∆RDAN 中，1=AN ，故=DN .在等腰三角形DMN 中，=1MN ，可得12cos 26∠==MNDMN DM. 所以，异面直线BC 与MD (III)解：连接CM .因为ABC ∆为等边三角形，M为边AB 的中点，故CM ⊥AB ， CM 又因为平面ABC ⊥平面ABD ，而⊂CM 平面ABC ，故CM ⊥平面ABD .所以，∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角.在t ∆R CAD 中，4=.在t ∆R CMD中，sin CDM=∠=CM CD所以，直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为4.(18)(本小题满分13分)设{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S (n N *∈)；{}n b 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为Tn (n N *∈).已知132435546122.b a a b a a ==+=+=+，b ，b ，b (I) 求n S 和n T ；(II)若12(...)4n n n n S T T T a b ++++=+,求正整数n 的值。
2018年天津市高考数学试卷(文科)
2018年天津市高考(ɡāo kǎo)数学试卷（文科）一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有(zhǐyǒu)一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合(jíhé)A={1，2，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，C={x∈R|﹣1≤x＜2}，则（A∪B）∩C=（）A．{﹣1，1} B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{2，3，4}2．（5分）设变量(biànliàng)x，y满足约束条件，则目标(mùbiāo)函数z=3x+5y的最大值为（）A．6 B．19 C．21 D．453．（5分）设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）已知a=log3，b=（），c=log，则a，b，c的大小(dàxiǎo)关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b6．（5分）将函数(hánshù)y=sin（2x+）的图象(tú xiànɡ)向右平移个单位(dānwèi)长度，所得图象对应的函数（）A．在区间(qū jiān)[]上单调递增B．在区间[﹣，0]上单调递减C．在区间[]上单调递增D．在区间[，π]上单调递减7．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 8．（5分）在如图的平面(píngmiàn)图形中，已知OM=1，ON=2，∠MON=120°，=2，=2，则的值为（）A．﹣15 B．﹣9 C．﹣6 D．0二.填空题：本大题共6小题(xiǎo tí)，每小题5分，共30分.9．（5分）i是虚数单位(dānwèi)，复数=．10．（5分）已知函数(hánshù)f（x）=e x lnx，f′（x）为f（x）的导函数(hánshù)，则f′（1）的值为．11．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1﹣BB1D1D的体积为．12．（5分）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为．13．（5分）已知a，b∈R，且a﹣3b+6=0，则2a+的最小值为．14．（5分）己知a∈R，函数f（x）=．若对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，则a的取值范围是．三.解答题：本大题共6小题(xiǎo tí)，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用(cǎiyòng)分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生(xué sheng)志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机(suí jī)抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i）试用所给字母列举(lièjǔ)出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．17．（13分）如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=2，∠BAD=90°．（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．18．（13分）设{a n}是等差数列，其前n项和为S n（n∈N*）；{b n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为T n（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．（Ⅰ）求S n和T n；（Ⅱ）若S n+（T1+T2+……+T n）=a n+4b n，求正整数n的值．19．（14分）设椭圆(tuǒyuán)+=1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆(tuǒyuán)的离心率为，|AB|=．（Ⅰ）求椭圆(tuǒyuán)的方程；（Ⅱ）设直线(zhíxiàn)l：y=kx（k＜0）与椭圆(tuǒyuán)交于P，Q两点，1与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．20．（14分）设函数f（x）=（x﹣t1）（x﹣t2）（x﹣t3），其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列．（Ⅰ）若t2=0，d=1，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若d=3，求f（x）的极值；（Ⅲ）若曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6有三个互异的公共点，求d 的取值范围．2018年天津市高考(ɡāo kǎo)数学试卷（文科）参考答案与试题(shìtí)解析一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目(tímù)要求的. 1．（5分）设集合(jíhé)A={1，2，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，C={x∈R|﹣1≤x＜2}，则（A∪B）∩C=（）A．{﹣1，1} B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{2，3，4}【分析(fēnxī)】直接利用交集、并集运算得答案．【解答】解：∵A={1，2，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，∴（A∪B）={1，2，3，4}∪{﹣1，0，2，3}={﹣1，0，1，2，3，4}，又C={x∈R|﹣1≤x＜2}，∴（A∪B）∩C={﹣1，0，1}．故选：C．【点评】本题考查交集、并集及其运算，是基础的计算题．2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+5y的最大值为（）A．6 B．19 C．21 D．45【分析】先画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，分析后易得目标函数z=3x+5y的最大值．【解答】解：由变量x，y满足约束条件，得如图所示的可行域，由解得A（2，3）．当目标函数z=3x+5y经过A时，直线的截距最大，z取得(qǔdé)最大值．将其代入得z的值为21，故选：C．【点评(diǎn pínɡ)】在解决线性规划的小题时，常用(chánɡ yònɡ)“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行(kěxíng)域⇒②求出可行(kěxíng)域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．也可以利用目标函数的几何意义求解最优解，求解最值．3．（5分）设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】由x3＞8得到|x|＞2，由|x|＞2不一定得到x3＞8，然后结合查充分条件、必要条件的判定方法得答案．【解答】解：由x3＞8，得x＞2，则|x|＞2，反之，由|x|＞2，得x＜﹣2或x＞2，则x3＜﹣8或x3＞8．即“x3＞8”是“|x|＞2”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、必要条件及其判定方法，是基础题．4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析(fēnxī)】根据(gēnjù)程序框图进行模拟计算即可．【解答(jiědá)】解：若输入(shūrù)N=20，则i=2，T=0，==10是整数(zhěngshù)，满足条件．T=0+1=1，i=2+1=3，i ≥5不成立，循环，=不是整数，不满足条件．，i=3+1=4，i≥5不成立，循环，==5是整数，满足条件，T=1+1=2，i=4+1=5，i≥5成立，输出T=2，故选：B．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．5．（5分）已知a=log3，b=（），c=log，则a，b，c的大小(dàxiǎo)关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b【分析(fēnxī)】把a，c化为同底数，然后利用(lìyòng)对数函数的单调性及1的关系进行比较．【解答(jiědá)】解：∵a=log3，c=log=log35，且5，∴，则b=（）＜，∴c＞a＞b．故选：D．【点评(diǎn pínɡ)】本题考查对数值的大小比较，考查了指数函数与对数式的单调性，是基础题．6．（5分）将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[]上单调递增B．在区间[﹣，0]上单调递减C．在区间[]上单调递增D．在区间[，π]上单调递减【分析】由函数的图象平移求得平移后函数的解析式，结合y=Asin（ωx+φ）型函数的单调性得答案．【解答】解：将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣）+]=sin2x．当x∈[]时，2x∈[，]，函数单调递增；当x∈[，]时，2x∈[，π]，函数单调递减；当x∈[﹣，0]时，2x∈[﹣，0]，函数单调(dāndiào)递增；当x∈[，π]时，2x∈[π，2π]，函数(hánshù)先减后增．故选：A．【点评(diǎn pínɡ)】本题(běntí)考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象变换(biànhuàn)及其性质，是中档题．7．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 【分析】画出图形，利用已知条件，列出方程组转化求解即可．【解答】解：由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线y=，即bx﹣ay=0，F（c，0），AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB是梯形，F是AB的中点，EF==3，EF==b，所以b=3，双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得，可得：，解得a=．则双曲线的方程为：﹣=1．故选：A．【点评(diǎn pínɡ)】本题(běntí)考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．8．（5分）在如图的平面(píngmiàn)图形中，已知OM=1，ON=2，∠MON=120°，=2，=2，则的值为（）A．﹣15 B．﹣9 C．﹣6 D．0【分析(fēnxī)】用特殊(tèshū)值法，不妨设四边形OMAN是平行四边形，由题意求得的值．【解答】解：不妨设四边形OMAN是平行四边形，由OM=1，ON=2，∠MON=120°，=2，=2，知=﹣=3﹣3=﹣3+3，∴=（﹣3+3）•=﹣3+3•=﹣3×12+3×2×1×cos120°=﹣6．故选：C．【点评(diǎn pínɡ)】本题考查(kǎochá)了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．二.填空题：本大题共6小题(xiǎo tí)，每小题5分，共30分.9．（5分）i是虚数单位(dānwèi)，复数=4﹣i．【分析(fēnxī)】根据复数的运算法则计算即可．【解答】解：====4﹣i，故答案为：4﹣i【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．10．（5分）已知函数f（x）=e x lnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为e．【分析】根据导数的运算法则求出函数f（x）的导函数，再计算f′（1）的值．【解答】解：函数f（x）=e x lnx，则f′（x）=e x lnx+•e x；∴f′（1）=e•ln1+1•e=e．故答案为：e．【点评】本题考查了导数的运算公式与应用问题，是基础题．11．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1﹣BB1D1D的体积为．【分析】求出四棱锥的底面面积与高，然后求解四棱锥的体积．【解答】解：由题意可知四棱锥A1﹣BB1D1D的底面是矩形，边长：1和，四棱锥的高：A1C1=．则四棱锥(léngzhuī)A1﹣BB1D1D的体积(tǐjī)为：=．故答案(dá àn)为：．【点评(diǎn pínɡ)】本题(běntí)考查几何体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键．12．（5分）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为（x﹣1）2+y2=1（或x2+y2﹣2x=0）．【分析】【方法一】根据题意画出图形，结合图形求得圆心与半径，写出圆的方程．【方法二】设圆的一般方程，把点的坐标代入求得圆的方程．【解答】解：【方法一】根据题意画出图形如图所示，结合图形知经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆，其圆心为（1，0），半径为1，则该圆的方程为（x﹣1）2+y2=1．【方法二】设该圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，解得D=﹣2，E=F=0；∴所求圆的方程为x2+y2﹣2x=0．故答案为：（x﹣1）2+y2=1（或x2+y2﹣2x=0）．【点评(diǎn pínɡ)】本题考查了圆的方程与应用(yìngyòng)问题，是基础题．13．（5分）已知a，b∈R，且a﹣3b+6=0，则2a+的最小值为．【分析(fēnxī)】化简所求表达式，利用基本(jīběn)不等式转化求解即可．【解答(jiědá)】解：a，b∈R，且a﹣3b+6=0，可得：3b=a+6，则2a+==≥2=，当且仅当2a=．即a=﹣3时取等号．函数的最小值为：．故答案为：．【点评】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，也可以利用换元法，求解函数的最值．考查计算能力．14．（5分）己知a∈R，函数f（x）=．若对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，则a的取值范围是[]．【分析】根据分段函数的表达式，结合不等式恒成立分别进行求解即可．【解答】解：当x≤0时，函数f（x）=x2+2x+a﹣2的对称轴为x=﹣1，抛物线开口向上，要使x≤0时，对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，则只需要f（﹣3）≤|﹣3|=3，即9﹣6+a﹣2≤3，得a≤2，当x＞0时，要使f（x）≤|x|恒成立，即f（x）=﹣x2+2x﹣2a，则直线y=x的下方或在y=x上，由﹣x2+2x﹣2a=x，即x2﹣x+2a=0，由判别式△=1﹣8a≤0，得a≥，综上≤a≤2，故答案(dá àn)为：[，2]．【点评(diǎn pínɡ)】本题主要考查不等式恒成立(chénglì)问题，利用分段函数的不等式分别进行转化求解即可．注意数形结合．三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算(yǎn suàn)步骤.15．（13分）己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取(chōu qǔ)7名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．【分析】（Ⅰ）利用分层抽样的性质能求出应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿意者中分别抽取得3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）从抽取的7名同学中抽取2名同学，利用列举法能求出所有可能结果．（ii）设抽取(chōu qǔ)的7名学生中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，利用列举法能求出事件M发生的概率．【解答(jiědá)】解：（Ⅰ）由已知得甲、乙、丙三个年级(niánjí)的学生志愿者人数之比为3：2：2，由于采用分层抽样的方法从中抽取(chōu qǔ)7名同学，∴应从甲、乙、丙三个年级(niánjí)的学生志愿意者中分别抽取得3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）从抽取的7名同学中抽取2名同学的所有可能结果为：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21个．（i）设抽取的7名学生中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，则事件M包含的基本事件有：{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5个基本事件，∴事件M发生的概率P（M）=．【点评】本题考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．【分析(fēnxī)】（Ⅰ）由正弦(zhèngxián)定理得bsinA=asinB，与bsinA=acos （B﹣）．由此能求出B．（Ⅱ）由余弦定理(yú xián dìnɡ lǐ)得b=，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，cosA=，由此能求出sin（2A﹣B）．【解答(jiědá)】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦(zhèngxián)定理得，得bsinA=asinB，又bsinA=acos（B﹣）．∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，∴tanB=，又B∈（0，π），∴B=．（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，∵a＜c，∴cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=，∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．【点评】本题考查角的求法，考查两角差的余弦值的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．17．（13分）如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=2，∠BAD=90°．（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线(zhíxiàn)CD与平面ABD所成角的正弦值．【分析(fēnxī)】（Ⅰ）由平面(píngmiàn)ABC⊥平面ABD，结合面面垂直(chuízhí)的性质可得AD⊥平面(píngmiàn)ABC，则AD⊥BC；（Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND，又M为棱AB的中点，可得∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成角，求解三角形可得异面直线BC与MD所成角的余弦；（Ⅲ）连接CM，由△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，可得CM⊥AB，且CM=，再由面面垂直的性质可得CM⊥平面ABD，则∠CDM为直线CD与平面ABD所成角，求解三角形可得直线CD与平面ABD所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC；（Ⅱ）解：取棱AC的中点N，连接MN，ND，∵M为棱AB的中点，故MN∥BC，∴∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成角，在Rt△DAM中，AM=1，故DM=，∵AD⊥平面ABC，故AD⊥AC，在Rt△DAN中，AN=1，故DN=，在等腰三角形DMN中，MN=1，可得cos∠DMN=．∴异面直线BC与MD所成角的余弦值为；（Ⅲ）解：连接CM，∵△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM=，又∵平面ABC⊥平面ABD，而CM⊂平面ABC，故CM⊥平面ABD，则∠CDM为直线CD与平面ABD所成角．在Rt△CAD中，CD=，在Rt△CMD中，sin∠CDM=．∴直线(zhíxiàn)CD与平面ABD所成角的正弦值为．【点评(diǎn pínɡ)】本题考查异面直线所成角、直线与平面所成角、平面与平面垂直等基本知识，考查空间(kōngjiān)想象能力、运算求解能力与推理论证能力，属中档题．18．（13分）设{a n}是等差数列(děnɡ chā shù liè)，其前n项和为S n（n∈N*）；{b n}是等比数列(děnɡ bǐ shù liè)，公比大于0，其前n项和为T n（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．（Ⅰ）求S n和T n；（Ⅱ）若S n+（T1+T2+……+T n）=a n+4b n，求正整数n的值．【分析】（Ⅰ）设等比数列{b n}的公比为q，由已知列式求得q，则数列{b n}的通项公式与前n项和可求；等差数列{a n}的公差为d，再由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，代入等差数列的通项公式与前n项和公式可得S n；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出T1+T2+……+T n，代入S n+（T1+T2+……+T n）=a n+4b n，化为关于n的一元二次方程求解正整数n的值．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{b n}的公比为q，由b1=1，b3=b2+2，可得q2﹣q﹣2=0．∵q＞0，可得q=2．故，；设等差数列{a n}的公差为d，由b4=a3+a5，得a1+3d=4，由b5=a4+2a6，得3a1+13d=16，∴a1=d=1．故a n=n，；（Ⅱ）由（Ⅰ），可得T1+T2+……+T n==2n+1﹣n﹣2．由S n+（T1+T2+……+T n）=a n+4b n，可得，整理(zhěnglǐ)得：n2﹣3n﹣4=0，解得n=﹣1（舍）或n=4．∴n的值为4．【点评(diǎn pínɡ)】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和等基础知识，考查数列求和(qiú hé)的基本方法及运算能力，是中档题．19．（14分）设椭圆(tuǒyuán)+=1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆(tuǒyuán)的离心率为，|AB|=．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＜0）与椭圆交于P，Q两点，1与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k 的值．【分析】（1）设椭圆的焦距为2c，由已知可得，又a2=b2+c2，解得a=3，b=2，即可．（Ⅱ）设点P（x1，y1），M（x2，y2），（x2＞x1＞0）．则Q（﹣x1，﹣y1）．由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，可得x2﹣x1=2[x1﹣（﹣x1）]，x2=5x1，联立方程求出由＞0.，可得k．【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2c，由已知可得，又a2=b2+c2，解得a=3，b=2，∴椭圆(tuǒyuán)的方程为：，（Ⅱ）设点P（x1，y1），M（x2，y2），（x2＞x1＞0）．则Q（﹣x1，﹣y1）．∵△BPM的面积(miàn jī)是△BPQ面积(miàn jī)的2倍，∴|PM|=2|PQ|，从而(cóng ér)x2﹣x1=2[x1﹣（﹣x1）]，∴x2=5x1，易知直线(zhíxiàn)AB的方程为：2x+3y=6．由，可得＞0．由，可得，⇒，⇒18k2+25k+8=0，解得k=﹣或k=﹣．由＞0．可得k，故k=﹣，【点评】本题考查了椭圆的方程、几何性质，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题．20．（14分）设函数f（x）=（x﹣t1）（x﹣t2）（x﹣t3），其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列．（Ⅰ）若t2=0，d=1，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若d=3，求f（x）的极值；（Ⅲ）若曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6有三个互异的公共点，求d 的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出t2=0，d=1时f（x）的导数，利用导数求斜率，再写出切线方程；（Ⅱ）计算d=3时f（x）的导数，利用导数判断f（x）的单调性，求出f （x）的极值；（Ⅲ）曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6有三个互异的公共点，等价于关于x的方程f（x）+（x﹣t2）﹣6=0有三个互异的实数根，利用换元法研究函数的单调性与极值，求出满足条件的d的取值范围．【解答(jiědá)】解：（Ⅰ）函数(hánshù)f（x）=（x﹣t1）（x﹣t2）（x﹣t3），t2=0，d=1时，f（x）=x（x+1）（x﹣1）=x3﹣x，∴f′（x）=3x2﹣1，f（0）=0，f′（0）=﹣1，∴y=f（x）在点（0，f（0））处的切线(qiēxiàn)方程为y﹣0=﹣1×（x﹣0），即x+y=0；（Ⅱ）d=3时，f（x）=（x﹣t2+3）（x﹣t2）（x﹣t2﹣3）=﹣9（x﹣t2）=x3﹣3t2x2+（3﹣9）x ﹣+9t2；∴f′（x）=3x2﹣6t2x+3﹣9，令f′（x）=0，解得x=t2﹣或x=t2+；当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况(qíngkuàng)如下表；x （﹣∞，t2﹣）t2﹣（t2﹣，t2+）t2+（t2+，+∞）f′（x）+0 ﹣0 +f（x）单调增极大值单调减极小值单调增∴f（x）的极大值为f（t2﹣）=﹣9×（﹣）=6，极小值为f（t2+）=﹣9×=﹣6；（Ⅲ）曲线(qūxiàn)y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6有三个互异的公共点，等价于关于x的方程（x﹣t2+d）（x﹣t2）（x﹣t2﹣d）+（x﹣t2）﹣6=0有三个互异的实数根，令u=x﹣t2，可得u3+（1﹣d2）u+6=0；设函数g（x）=x3+（1﹣d2）x+6，则曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6有3个互异的公共点，等价于函数y=g（x）有三个不同的零点；又g′（x）=3x2+（1﹣d2），当d2≤1时，g′（x）≥0恒成立，此时g（x）在R上单调递增，不合(bùhé)题意；当d2＞1时，令g′（x）=0，解得x1=﹣，x2=；∴g（x）在（﹣∞，x1）上单调(dāndiào)递增，在（x1，x2）上单调(dāndiào)递减，在（x2，+∞）上也单调(dāndiào)递增；∴g（x）的极大值为g（x1）=g（﹣）=+6＞0；极小值为g（x2）=g（）=﹣+6；若g（x2）≥0，由g（x）的单调(dāndiào)性可知，函数g（x）至多有两个零点，不合题意；若g（x2）＜0，即＞27，解得|d|＞，此时|d|＞x2，g（|d|）=|d|+6＞0，且﹣2|d|＜x1；g（﹣2|d|）=﹣6|d|3﹣2|d|+6＜0，从而由g（x）的单调性可知，函数y=g（x）在区间（﹣2|d|，x1），（x1，x2），（x2，|d|）内各有一个零点，符合题意；∴d的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．【点评】本题主要考查了导数的运算以及导数的几何意义，运用导数研究函数的单调性与极值的应用问题，是综合题．内容总结（1）（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值。
【高三数学试题精选】【真题】2018年天津市高考数学(文科)试题(含答案和解释)
【真题】2018年天津市高考数学（文科）试题(含答案和解
释)
5 c
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（史类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考式
如果事 A，B 互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)．
棱柱的体积式V=Sh 其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高．
棱锥的体积式，其中表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高
一．选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1 设集合，，，则
A B
c D
【答案】c。
2018年高考文科数学天津卷及答案解析
数学试卷 第1页（共14页） 数学试卷 第2页（共14页）绝密★启用前天津市2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学第I 卷本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟. 参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+．·棱柱的体积公式V Sh =.其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高．·棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{1,2,3,4}A =，{1,0,2,3}B =-，{|12}C x x =∈-<R ≤，则()A B C =（ ）A .{1,1}-B .{0,1}C .{1,0,1}-D .{2,3,4}2.设变量x ，y 满足约束条件5,24,1,0,x y x y x y y +⎧⎪-⎪⎨-+⎪⎪⎩≤≤≤≥则目标函数35z x y =+的最大值为 （ ）A .6B .19C .21D .45 3.设x ∈R ，则“38x >”是“||2x >”的（ ）A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为（ ）A .1B .2C .3D .4 5.已知37log 2a =，131()4b =，131log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A .a b c >>B .b a c >>C .c b a >>D .c a b >>6.将函数sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A .在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增B .在区间,04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C .在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D .在区间,2π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上单调递减毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共14页） 数学试卷 第4页（共14页）7.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点.设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为（ ）A .22139x y -=B .22193x y -= C .221412x y -=D .221124x y -= 8.在如图的平面图形中，已知1OM =，2ON =，120MON ∠=︒，2BM MA =，2CN NA =则BC OM 的值为（ ）A .-15B .-9C .-6D .0第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.i 是虚数单位，复数67i12i+=+ ． 10.已知函数()e x f x lnx =，()f x '为()f x 的导函数，则(1)f '的值为 ． 11.如图，已知正方体1111–ABCD A B C D 的棱长为1，则四棱柱111–A BB D D 的体积为 ．12.在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为 ．13.已知a ，b ∈R ，且–360a b +=，则218a b+的最小值为 ． 14.已知a ∈R ，函数2222,0,()22,0x x a x f x x x a x ⎧++-⎪=⎨-+->⎪⎩≤．若对任意)[3,x ∈-+∞，()||f x x ≤恒成立，则a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动. （Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作。
2018年数学真题及解析_2018年天津市高考数学试卷(文科)
2018年天津市高考数学试卷（文科）一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5.00分）设集合A={1，2，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，C={x∈R|﹣1≤x＜2}，则（A∪B）∩C=（）A．{﹣1，1}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{2，3，4}2．（5.00分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+5y的最大值为（）A．6 B．19 C．21 D．453．（5.00分）设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5.00分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5.00分）已知a=log 3，b=（），c=log，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b6．（5.00分）将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[]上单调递增B．在区间[﹣，0]上单调递减C．在区间[]上单调递增D．在区间[，π]上单调递减7．（5.00分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=18．（5.00分）在如图的平面图形中，已知OM=1，ON=2，∠MON=120°，=2，=2，则的值为（）A．﹣15 B．﹣9 C．﹣6 D．0二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5.00分）i是虚数单位，复数=．10．（5.00分）已知函数f（x）=e x lnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为．11．（5.00分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1﹣BB1D1D 的体积为．12．（5.00分）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为．13．（5.00分）已知a，b∈R，且a﹣3b+6=0，则2a+的最小值为．14．（5.00分）已知a∈R，函数f（x）=．若对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，则a的取值范围是．三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13.00分）己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．16．（13.00分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos （B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．17．（13.00分）如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=2，∠BAD=90°．（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．18．（13.00分）设{a n}是等差数列，其前n项和为S n（n∈N*）；{b n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为T n（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．（Ⅰ）求S n和T n；（Ⅱ）若S n+（T1+T2+……+T n）=a n+4b n，求正整数n的值．19．（14.00分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，|AB|=．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＜0）与椭圆交于P，Q两点，1与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．20．（14.00分）设函数f（x）=（x﹣t1）（x﹣t2）（x﹣t3），其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列．（Ⅰ）若t2=0，d=1，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若d=3，求f（x）的极值；（Ⅲ）若曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6有三个互异的公共点，求d 的取值范围．2018年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5.00分）设集合A={1，2，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，C={x∈R|﹣1≤x＜2}，则（A∪B）∩C=（）A．{﹣1，1}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{2，3，4}【分析】直接利用交集、并集运算得答案．【解答】解：∵A={1，2，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，∴（A∪B）={1，2，3，4}∪{﹣1，0，2，3}={﹣1，0，1，2，3，4}，又C={x∈R|﹣1≤x＜2}，∴（A∪B）∩C={﹣1，0，1}．故选：C．【点评】本题考查交集、并集及其运算，是基础的计算题．2．（5.00分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+5y的最大值为（）A．6 B．19 C．21 D．45【分析】先画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，分析后易得目标函数z=3x+5y的最大值．【解答】解：由变量x，y满足约束条件，得如图所示的可行域，由解得A（2，3）．当目标函数z=3x+5y经过A时，直线的截距最大，z取得最大值．将其代入得z的值为21，故选：C．【点评】在解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．也可以利用目标函数的几何意义求解最优解，求解最值．3．（5.00分）设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由x3＞8得到|x|＞2，由|x|＞2不一定得到x3＞8，然后结合查充分条件、必要条件的判定方法得答案．【解答】解：由x3＞8，得x＞2，则|x|＞2，反之，由|x|＞2，得x＜﹣2或x＞2，则x3＜﹣8或x3＞8．即“x3＞8”是“|x|＞2”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、必要条件及其判定方法，是基础题．4．（5.00分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据程序框图进行模拟计算即可．【解答】解：若输入N=20，则i=2，T=0，==10是整数，满足条件．T=0+1=1，i=2+1=3，i≥5不成立，循环，=不是整数，不满足条件．，i=3+1=4，i≥5不成立，循环，==5是整数，满足条件，T=1+1=2，i=4+1=5，i≥5成立，输出T=2，故选：B．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．5．（5.00分）已知a=log 3，b=（），c=log，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b【分析】把a，c化为同底数，然后利用对数函数的单调性及1的关系进行比较．【解答】解：∵a=log 3，c=log=log35，且5，∴，则b=（）＜，∴c＞a＞b．故选：D．【点评】本题考查对数值的大小比较，考查了指数函数与对数式的单调性，是基础题．6．（5.00分）将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[]上单调递增B．在区间[﹣，0]上单调递减C．在区间[]上单调递增D．在区间[，π]上单调递减【分析】由函数的图象平移求得平移后函数的解析式，结合y=Asin（ωx+φ）型函数的单调性得答案．【解答】解：将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣）+]=sin2x．当x∈[]时，2x∈[，]，函数单调递增；当x∈[，]时，2x∈[，π]，函数单调递减；当x∈[﹣，0]时，2x∈[﹣，0]，函数单调递增；当x∈[，π]时，2x∈[π，2π]，函数先减后增．故选：A．【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象变换及其性质，是中档题．7．（5.00分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【分析】画出图形，利用已知条件，列出方程组转化求解即可．【解答】解：由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线y=，即bx﹣ay=0，F（c，0），AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB是梯形，F是AB的中点，EF==3，EF==b，所以b=3，双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得，可得：，解得a=．则双曲线的方程为：﹣=1．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．8．（5.00分）在如图的平面图形中，已知OM=1，ON=2，∠MON=120°，=2，=2，则的值为（）A．﹣15 B．﹣9 C．﹣6 D．0【分析】解法Ⅰ，由题意判断BC∥MN，且BC=3MN，再利用余弦定理求出MN和∠OMN的余弦值，计算•即可．解法Ⅱ：用特殊值法，不妨设四边形OMAN是平行四边形，由题意求得的值．【解答】解：解法Ⅰ，由题意，=2，=2，∴==2，∴BC∥MN，且BC=3MN，又MN2=OM2+ON2﹣2OM•ON•cos120°=1+4﹣2×1×2×（﹣）=7，∴MN=；∴BC=3，∴cos∠OMN===，∴•=||×||cos（π﹣∠OMN）=3×1×（﹣）=﹣6．解题Ⅱ：不妨设四边形OMAN是平行四边形，由OM=1，ON=2，∠MON=120°，=2，=2，知=﹣=3﹣3=﹣3+3，∴=（﹣3+3）•=﹣3+3•=﹣3×12+3×2×1×cos120°=﹣6．故选：C．【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5.00分）i是虚数单位，复数=4﹣i．【分析】根据复数的运算法则计算即可．【解答】解：====4﹣i，故答案为：4﹣i【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．10．（5.00分）已知函数f（x）=e x lnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为e．【分析】根据导数的运算法则求出函数f（x）的导函数，再计算f′（1）的值．【解答】解：函数f（x）=e x lnx，则f′（x）=e x lnx+•e x；∴f′（1）=e•ln1+1•e=e．故答案为：e．【点评】本题考查了导数的运算公式与应用问题，是基础题．11．（5.00分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1﹣BB1D1D的体积为．【分析】求出四棱锥的底面面积与高，然后求解四棱锥的体积．【解答】解：由题意可知四棱锥A1﹣BB1D1D的底面是矩形，边长：1和，四棱锥的高：A1C1=．则四棱锥A1﹣BB1D1D的体积为：=．故答案为：．【点评】本题考查几何体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键．12．（5.00分）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为（x﹣1）2+y2=1（或x2+y2﹣2x=0）．【分析】【方法一】根据题意画出图形，结合图形求得圆心与半径，写出圆的方程．【方法二】设圆的一般方程，把点的坐标代入求得圆的方程．【解答】解：【方法一】根据题意画出图形如图所示，结合图形知经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆，其圆心为（1，0），半径为1，则该圆的方程为（x﹣1）2+y2=1．【方法二】设该圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，解得D=﹣2，E=F=0；∴所求圆的方程为x2+y2﹣2x=0．故答案为：（x﹣1）2+y2=1（或x2+y2﹣2x=0）．【点评】本题考查了圆的方程与应用问题，是基础题．13．（5.00分）已知a，b∈R，且a﹣3b+6=0，则2a+的最小值为．【分析】化简所求表达式，利用基本不等式转化求解即可．【解答】解：a，b∈R，且a﹣3b+6=0，可得：3b=a+6，则2a+==≥2=，当且仅当2a=．即a=﹣3时取等号．函数的最小值为：．故答案为：．【点评】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，也可以利用换元法，求解函数的最值．考查计算能力．14．（5.00分）已知a∈R，函数f（x）=．若对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，则a的取值范围是[] ．【分析】根据分段函数的表达式，结合不等式恒成立分别进行求解即可．【解答】解：当x≤0时，函数f（x）=x2+2x+a﹣2的对称轴为x=﹣1，抛物线开口向上，要使x≤0时，对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，则只需要f（﹣3）≤|﹣3|=3，即9﹣6+a﹣2≤3，得a≤2，当x＞0时，要使f（x）≤|x|恒成立，即f（x）=﹣x2+2x﹣2a，则直线y=x的下方或在y=x上，由﹣x2+2x﹣2a=x，即x2﹣x+2a=0，由判别式△=1﹣8a≤0，得a≥，综上≤a≤2，故答案为：[，2]．【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，利用分段函数的不等式分别进行转化求解即可．注意数形结合．三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13.00分）己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．【分析】（Ⅰ）利用分层抽样的性质能求出应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿意者中分别抽取得3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）从抽取的7名同学中抽取2名同学，利用列举法能求出所有可能结果．（ii）设抽取的7名学生中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，利用列举法能求出事件M发生的概率．【解答】解：（Ⅰ）由已知得甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3：2：2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，∴应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿意者中分别抽取得3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）从抽取的7名同学中抽取2名同学的所有可能结果为：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21个．（i）设抽取的7名学生中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，则事件M包含的基本事件有：{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5个基本事件，∴事件M发生的概率P（M）=．【点评】本题考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．16．（13.00分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos （B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．【分析】（Ⅰ）由正弦定理得bsinA=asinB，与bsinA=acos（B﹣）．由此能求出B．（Ⅱ）由余弦定理得b=，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，cosA=，由此能求出sin（2A﹣B）．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，又bsinA=acos（B﹣）．∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，∴tanB=，又B∈（0，π），∴B=．（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，∵a＜c，∴cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=，∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．【点评】本题考查角的求法，考查两角差的余弦值的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．17．（13.00分）如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=2，∠BAD=90°．（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）由平面ABC⊥平面ABD，结合面面垂直的性质可得AD⊥平面ABC，则AD⊥BC；（Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND，又M为棱AB的中点，可得∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成角，求解三角形可得异面直线BC与MD所成角的余弦；（Ⅲ）连接CM，由△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，可得CM⊥AB，且CM=，再由面面垂直的性质可得CM⊥平面ABD，则∠CDM为直线CD与平面ABD所成角，求解三角形可得直线CD与平面ABD所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC；（Ⅱ）解：取棱AC的中点N，连接MN，ND，∵M为棱AB的中点，故MN∥BC，∴∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成角，在Rt△DAM中，AM=1，故DM=，∵AD⊥平面ABC，故AD⊥AC，在Rt△DAN中，AN=1，故DN=，在等腰三角形DMN中，MN=1，可得cos∠DMN=．∴异面直线BC与MD所成角的余弦值为；（Ⅲ）解：连接CM，∵△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM=，又∵平面ABC⊥平面ABD，而CM⊂平面ABC，故CM⊥平面ABD，则∠CDM为直线CD与平面ABD所成角．在Rt△CAD中，CD=，在Rt△CMD中，sin∠CDM=．∴直线CD与平面ABD所成角的正弦值为．【点评】本题考查异面直线所成角、直线与平面所成角、平面与平面垂直等基本知识，考查空间想象能力、运算求解能力与推理论证能力，属中档题．18．（13.00分）设{a n}是等差数列，其前n项和为S n（n∈N*）；{b n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为T n（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．（Ⅰ）求S n和T n；（Ⅱ）若S n+（T1+T2+……+T n）=a n+4b n，求正整数n的值．【分析】（Ⅰ）设等比数列{b n}的公比为q，由已知列式求得q，则数列{b n}的通项公式与前n项和可求；等差数列{a n}的公差为d，再由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，代入等差数列的通项公式与前n项和公式可得S n；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出T1+T2+……+T n，代入S n+（T1+T2+……+T n）=a n+4b n，化为关于n的一元二次方程求解正整数n的值．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{b n}的公比为q，由b1=1，b3=b2+2，可得q2﹣q ﹣2=0．∵q＞0，可得q=2．故，；设等差数列{a n}的公差为d，由b4=a3+a5，得a1+3d=4，由b5=a4+2a6，得3a1+13d=16，∴a1=d=1．故a n=n，；（Ⅱ）由（Ⅰ），可得T1+T2+……+T n==2n+1﹣n ﹣2．由S n+（T1+T2+……+T n）=a n+4b n，可得，整理得：n2﹣3n﹣4=0，解得n=﹣1（舍）或n=4．∴n的值为4．【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和等基础知识，考查数列求和的基本方法及运算能力，是中档题．19．（14.00分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，|AB|=．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＜0）与椭圆交于P，Q两点，1与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．【分析】（1）设椭圆的焦距为2c，由已知可得，又a2=b2+c2，解得a=3，b=2，即可．（Ⅱ）设点P（x1，y1），M（x2，y2），（x2＞x1＞0）．则Q（﹣x1，﹣y1）．由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，可得x2﹣x1=2[x1﹣（﹣x1）]，x2=5x1，联立方程求出由＞0.，可得k．【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2c，由已知可得，又a2=b2+c2，解得a=3，b=2，∴椭圆的方程为：，（Ⅱ）设点P（x1，y1），M（x2，y2），（x2＞x1＞0）．则Q（﹣x1，﹣y1）．∵△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，∴|PM|=2|PQ|，从而x2﹣x1=2[x1﹣（﹣x1）]，易知直线AB的方程为：2x+3y=6．由，可得＞0．由，可得，⇒，⇒18k2+25k+8=0，解得k=﹣或k=﹣．由＞0．可得k，故k=﹣，【点评】本题考查了椭圆的方程、几何性质，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题．20．（14.00分）设函数f（x）=（x﹣t1）（x﹣t2）（x﹣t3），其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列．（Ⅰ）若t2=0，d=1，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若d=3，求f（x）的极值；（Ⅲ）若曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6有三个互异的公共点，求d 的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出t2=0，d=1时f（x）的导数，利用导数求斜率，再写出切线方程；（Ⅱ）计算d=3时f（x）的导数，利用导数判断f（x）的单调性，求出f（x）的极值；（Ⅲ）曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6有三个互异的公共点，等价于关于x的方程f（x）+（x﹣t2）﹣6=0有三个互异的实数根，利用换元法研究函数的单调性与极值，求出满足条件的d的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=（x﹣t1）（x﹣t2）（x﹣t3），t2=0，d=1时，f（x）=x（x+1）（x﹣1）=x3﹣x，∴f′（x）=3x2﹣1，f（0）=0，f′（0）=﹣1，∴y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣0=﹣1×（x﹣0），（Ⅱ）d=3时，f（x）=（x﹣t2+3）（x﹣t2）（x﹣t2﹣3）=﹣9（x﹣t2）=x3﹣3t2x2+（3﹣9）x ﹣+9t2；∴f′（x）=3x2﹣6t2x+3﹣9，令f′（x）=0，解得x=t2﹣或x=t2+；当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表；+）∴f（x）的极大值为f（t2﹣）=﹣9×（﹣）=6，极小值为f（t2+）=﹣9×=﹣6；（Ⅲ）曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6有三个互异的公共点，等价于关于x的方程（x﹣t2+d ）（x﹣t2）（x﹣t2﹣d）+（x﹣t2）﹣6=0有三个互异的实数根，令u=x﹣t2，可得u3+（1﹣d2）u+6=0；设函数g（x）=x3+（1﹣d2）x+6，则曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6有3个互异的公共点，等价于函数y=g（x）有三个不同的零点；又g′（x）=3x2+（1﹣d2），当d2≤1时，g′（x）≥0恒成立，此时g（x）在R上单调递增，不合题意；当d2＞1时，令g′（x）=0，解得x1=﹣，x2=；∴g（x）在（﹣∞，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上也单调递增；∴g（x）的极大值为g（x1）=g（﹣）=+6＞0；极小值为g（x2）=g（）=﹣+6；若g（x2）≥0，由g（x）的单调性可知，函数g（x）至多有两个零点，不合题意；若g（x2）＜0，即＞27，解得|d|＞，此时|d|＞x2，g（|d|）=|d|+6＞0，且﹣2|d|＜x1；g（﹣2|d|）=﹣6|d|3﹣2|d|+6＜0，从而由g（x）的单调性可知，函数y=g（x）在区间（﹣2|d|，x1），（x1，x2），（x2，|d|）内各有一个零点，符合题意；∴d的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．【点评】本题主要考查了导数的运算以及导数的几何意义，运用导数研究函数的单调性与极值的应用问题，是综合题．。
2018年高考文科数学天津卷-答案
天津市2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学答案解析一、选择题 1.【答案】C【解析】由于1,0,1,2,},4{3A B =-U ，所以{()1,0,1}A B C -=U I . 【考点】集合的运算 2.【答案】C【解析】做出不等式组5,24,1,0x y x y x y y +⎧⎪-⎪⎨-+⎪⎪⎩≤≤≤≥，所表示的可行域，其是由(00)O ，，(2,0)A ，(3,2)B ，(2,3)C ，(0,1)D 围成的五边形区域（包括边界），对于目标函数35x x y =+；结合图象可知过点C 时取得最大值，最大值为325321⨯+⨯=. 【考点】简单的线性规划 3.【答案】A【解析】由38>解得2x >；由||2x >解得2x <-或2x >，所以“8x >”是“||2x >”的充分而不必要条件。
【考点】不等式的求解、充分必要条件的判定 4.【答案】B【解析】输人2020N i T ===，，，此时10Ni=是整数，则有011213T i =+==+=，，此时不满足条件5i ≥；接下来有203N i =不是整数，则有314i =+=，此时.不满足条件5i ≥；接下来有5N i =是整数，则有112415T i =+==+=，，此时满足条件5i ≥，结束循环，输出2T =. 【考点】算法的程序框图.模拟程序框图的运行 5.【答案】D【解析】根据函数的图象与性质可知13133331711log log 5log log 315244⎛⎫⎛⎫=>>==> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则c a b >>. 【考点】代数值的大小比较、函数的图象与性质 6.【答案】A【解析】将函数πsin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π10个单位长度得到ππsin 2sin 2105y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦由ππ2π22π+,22k x k k -+∈Z ≤≤，解得ππππ+,44k x k k -+∈Z ≤≤，当0k =时，则知函数在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增.【考点】三角函数图象的平移变换、三角函数的图象与性质 7.【答案】A【解析】由双曲线的离心率2c e a==，可得2c a =，则知b ，将2x a =代人双曲线222213x y a a -=，可得3y a =±，设点(2,3)(2,3)A d a B a a -，0y +=，可得12d d ====，，所以126d d +=+==，解得a =，故双曲线的方程为22139x y -=. 【考点】双曲线的方程与几何性质、点到直线的距离公式 8.【答案】C【解析】根据题目可得:22((33)3()33()33321cos120=31=6BC OM AC AB OM AN AM OM AN AM OMMN OM ON OM OM ON OM OM =-=-=-==-=-=⨯⨯⨯︒⨯-u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u rg g g g u u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u rg g g ） 【考点】平面向量的线性运算与数量积 二、填空题 9.【答案】4i -【解析】由题可得67i (67i)(12i)205i 4i 12i(12i)(12i)5++--===-++-.【考点】复数的四则运算 10.【答案】e【解析】由于()e ln x f x x =则有1()e ln e x x f x x x '=+g ，所以111(1)e ln1e e 1f '=+=g g .【考点】导数及其应用、函数值的求解11.13【答案】 【解析】由题可知四棱锥111A BB D D -，1，则四棱锥111A BB D D -的体为11133V =⨯=. 【考点】空间几何体的性质、空间几何体的体积 12.【答案】2220x y x +-=【解析】由于圆经过三点(0,0)(1,1)(2,0)O A B ，，，可知OAAB ⊥，则知OB 为圆的直径，则圆心(1,0)C ，半径1r =，可得圆的方程为22(1)1x y -+=，即2220x y x +-=. 【考点】圆的方程13.【答案】14【解析】由于360a b -+=；可得366a -=-，结合基本不等式可得33112222284a a b b --+=+==g ≥，当且仅当322a b -=，即33a b =-=-.【考点】基本不等式14.【答案】1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】当[]3,0-时，由()||f x x ≤恒成立可得22x x a x ++-≤-即232x x a ++-≤0，结合图象可知99200020a a -+-⎧⎨++-⎩≤≤，解得2a ≤；当·(0,)x ∈+∞时，由()||f x x ≤恒成立可得222x x a x -+-≤，即²20x x a -+≥，结合图象可知2412(1)041a ⨯⨯--⨯≥，解得a 18a ≥；综上分析可得128a ≤≤.【考点】分段函数、函数的图象与性质、不等式恒成立 三、解答题15.【答案】（Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3:2:2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人． （Ⅱ）（ⅰ）解：从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{A ，G }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{B ，G }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{C ，G }，{D ，E }，{D ，F }，{D ，G }，{E ，F }，{E ，G }，{F ，G }，共21种．（ⅱ）解：由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{B ，C }，{D ，E }，{F ，G }，共5种． 所以，事件M 发生的概率为5(2)1P M =．【考点】随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识16.【答案】（Ⅰ）解：在ABC △中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =，又由πsin cos 6b A a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得πsin cos 6a B a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即πsin cos 6B B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得tan B(0π)B ∈，，可得π3B =． （Ⅱ）解：在ABC △中，由余弦定理及23π3a c B ===，，，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b =．由πsin cos 6b A a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得sin A =．因为a c <，故cos A =sin 22sin cos A A A =，21cos22cos 17A A =-=．所以，11sin(2)sin 2cos cos 2sin 27A B A B A B -=-=-= 【考点】考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识17.【答案】（Ⅰ）由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD =AB ，AD ⊥AB ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC ．（Ⅱ）解：取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．又因为M 为棱AB 的中点，故MN ∥BC ．所以∠DMN （或其补角）为异面直线BC 与MD 所成的角．在Rt △DAM 中，1AM =，故DM =AD ⊥平面ABC ，故AD AC ⊥． 在Rt △DAN 中，1AN =，故DN =在等腰三角形DMN 中，1MN =，可得12cos MNDMN DM ∠==． 所以，异面直线BC 与MD（Ⅲ）解：连接CM ．因为△ABC 为等边三角形，M 为边AB 的中点，故CM ⊥AB，CM =面ABC ⊥平面ABD ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面AB D ．所以，∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角．在Rt △CAD 中，4CD =．在Rt △CMD中，sin CM CDM CD ∠=． 所以，直线CD 与平面ABD． 【考点】异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识 18.【答案】（I ）解：设等比数列{}n b 的公比为q ，由13212b b b ==+，，可得220q q --=.因为0q >，可得2q =，故12n nb -=.所以122112nn n T -==--.设等差数列{}n a 的公差为d .由435b a a =+，可得134a d +=.由5462b a a =+，可得131316,a d += 从而11,1a d ==，故n a n =，所以(1)2n n n S +=. （II ）解：由（I ），知13112(222)2 2.n n n T T T n n ++++=+++-=--L L由12()4n n n n S T T T a b ++++=+L 可得11(1)2222n n n n n n ++++--=+， 整理得2340,n n --= 解得1n =-（舍），或4n =.所以n 的值为4. 【考点】等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识19.【答案】（I ）解：设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a=，又由222a b c =+，可得23.a b =由||AB ,从而3,2a b ==.所以，椭圆的方程为22194x y +=. （II ）解：设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>， 点Q 的坐标为11(,).x y -- 由BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，可得||=2||PM PQ ， 从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =. 易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ，可得2632x k =+.由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y，可得1x =.由215x x =5(32)k =+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-. 当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意. 所以，k 的值为12-.【考点】标准方程和几何性质、直线方程等基础知识，用代数方法研究圆锥曲线的性质，运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力20.【答案】（Ⅰ）解：由已知，可得3()(11))(x f x x x x x +=-=-，故()31f x x '=-，因此(0)0f =，(0)1f '=-，又因为曲线()y f x =在点(0， f (0))处的切线方程为()(0)0(0)f y f x -'-=，故所求切线方程为0x y +=.（Ⅱ）解：由已知可得33222222222222()3 39 3399()()()()().)(f x x t x t x t x t x t x t x t x t t =-+---=---=-+--+故3222363()9x t x t f x =+'--.令()0f x '=，解得2x t =2x t =当x所以函数f (x )的极大值为23((9(f t =-⨯=23(9f t =-⨯=（III ）解：曲线()y f x =与直线2()y x t =---有三个互异的公共点等价于关于x 的方程2222 ()()()()0x t d xt x t d x t -+---+-+有三个互异的实数解，令2u x t =-，可得32()01u d u ++=-.设函数()321()g x x d x =+-+()y f x =与直线2()y x t =---函数()y g x =有三个零点.32()()31g d 'x x =+-.当21d ≤时，()0g'x ≥，这时()g'x 在R 上单调递增，不合题意.当21d >时，()0g'x =，解得1x =，2x =. 易得，g (x )在(−∞，x 1)上单调递增，在[x 1， x 2]上单调递减，在(x 2， +∞)上单调递增，g (x )的极大值1)0(g x g ⎛=> ⎝=.g (x )的极小值32221)9()g g d x -=+=若2()0g x ≥，由g (x )的单调性可知函数()y f x =至多有两个零点，不合题意.若2()0,g x <即322(1)27d->，也就是||d >2||d x >，(||)||0,g d d =+ 且312||,(2||)6||2||0d x g d d d -<-=--+-<，从而由()g x 的单调性，可知函数()y g x =在区间1122(2||,),(,),(,||)d x x x x d -内各有一个零点，符合题意所以d 的取值范围是(,).-∞+∞U【考点】导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，函数思想和分类讨论思想，综合分析问题和解决问题的能力。
2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(天津卷)(精品解析)
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件A，B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)．·棱柱的体积公式V=Sh. 其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高．·棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高.一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，，则A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果.详解：由并集的定义可得：，结合交集的定义可知：.本题选择C选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.2.设变量满足约束条件则目标函数的最大值为A. 6B. 19C. 21D. 45【答案】C【解析】分析：由题意首先画出可行域，然后结合目标函数的解析式整理计算即可求得最终结果.详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.本题选择C选项.点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z 值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.3.（2018年天津卷）设，则“”是“” 的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：求解三次不等式和绝对值不等式，据此即可确定两条件的充分性和必要性是否成立即可.详解：求解不等式可得，求解绝对值不等式可得或，据此可知：“”是“” 的充分而不必要条件.本题选择A选项.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为20，则输出的值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值.详解：结合流程图运行程序如下：首先初始化数据：，，结果为整数，执行，，此时不满足；，结果不为整数，执行，此时不满足；，结果为整数，执行，，此时满足；跳出循环，输出.本题选择B选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．5.已知，则的大小关系为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系. 详解：由题意可知：，即，，即，，即，综上可得：.本题选择D选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．6.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A. 在区间上单调递增B. 在区间上单调递减C. 在区间上单调递增D. 在区间上单调递减【答案】A【解析】分析：首先确定平移之后的对应函数的解析式，然后逐一考查所给的选项是否符合题意即可.详解：由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：.则函数的单调递增区间满足：，即，令可得函数的一个单调递增区间为，选项A正确，B错误；函数的单调递减区间满足：，即，令可得函数的一个单调递减区间为，选项C，D错误；本题选择A选项.点睛：本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且则双曲线的方程为A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：由题意首先求得A,B的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b的值，之后求解a的值即可确定双曲线方程.详解：设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则，由可得：，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为，据此可得：，，则，则，双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为.本题选择A选项.点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.8.在如图的平面图形中，已知,则的值为A. B.C. D. 0【答案】C【解析】分析：连结MN，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：如图所示，连结MN，由可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则，由题意可知：，，结合数量积的运算法则可得：.本题选择C选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2018年天津市高考数学试卷及解析(文科)
2018年天津市高考数学试卷（文科）一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、（5分）设集合A={1，2，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，C={x∈R|﹣1≤x＜2}，则（A∪B）∩C=（）A、{﹣1，1}B、{0，1}C、{﹣1，0，1}D、{2，3，4}2、（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+5y的最大值为（）A、6B、19C、21D、453、（5分）设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的（）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件4、（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（）A、1B、2C、3D、45、（5分）已知a=log3，b=（），c=log，则a，b，c的大小关系为（）A、a＞b＞cB、b＞a＞cC、c＞b＞aD、c＞a＞b6、（5分）将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A、在区间[]上单调递增B、在区间[﹣，0]上单调递减C、在区间[]上单调递增D、在区间[，π]上单调递减7、（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点、设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（）A、﹣=1B、﹣=1C、﹣=1D、﹣=18、（5分）在如图的平面图形中，已知OM=1，ON=2，∠MON=120°，=2，=2，则的值为（）A、﹣15B、﹣9C、﹣6D、0二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9、（5分）i是虚数单位，复数=、10、（5分）已知函数f（x）=e x lnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为、11、（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1﹣BB1D1D 的体积为、12、（5分）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为、13、（5分）已知a，b∈R，且a﹣3b+6=0，则2a+的最小值为、14、（5分）已知a∈R，函数f（x）=、若对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，则a的取值范围是、三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15、（13.00分）己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160、现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动、（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作、（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率、16、（13.00分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c、已知bsinA=acos （B﹣）、（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值、17、（13.00分）如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=2，∠BAD=90°、（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值、18、（13.00分）设{a n}是等差数列，其前n项和为S n（n∈N*）；{b n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为T n（n∈N*）、已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6、（Ⅰ）求S n和T n；（Ⅱ）若S n+（T1+T2+……+T n）=a n+4b n，求正整数n的值、19、（14.00分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B、已知椭圆的离心率为，|AB|=、（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＜0）与椭圆交于P，Q两点，1与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限、若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值、20、（14.00分）设函数f（x）=（x﹣t1）（x﹣t2）（x﹣t3），其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列、（Ⅰ）若t2=0，d=1，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若d=3，求f（x）的极值；（Ⅲ）若曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6有三个互异的公共点，求d 的取值范围、参考答案与试题解析一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、（5分）设集合A={1，2，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，C={x∈R|﹣1≤x＜2}，则（A∪B）∩C=（）A、{﹣1，1}B、{0，1}C、{﹣1，0，1}D、{2，3，4}题目分析：直接利用交集、并集运算得答案、试题解答：解：∵A={1，2，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，∴（A∪B）={1，2，3，4}∪{﹣1，0，2，3}={﹣1，0，1，2，3，4}，又C={x∈R|﹣1≤x＜2}，∴（A∪B）∩C={﹣1，0，1}、故选：C、点评：本题考查交集、并集及其运算，是基础的计算题、2、（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+5y的最大值为（）A、6B、19C、21D、45题目分析：先画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，分析后易得目标函数z=3x+5y的最大值、试题解答：解：由变量x，y满足约束条件，得如图所示的可行域，由解得A（2，3）、当目标函数z=3x+5y经过A时，直线的截距最大，z取得最大值、将其代入得z的值为21，故选：C、点评：在解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解、也可以利用目标函数的几何意义求解最优解，求解最值、3、（5分）设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的（）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件题目分析：由x3＞8得到|x|＞2，由|x|＞2不一定得到x3＞8，然后结合查充分条件、必要条件的判定方法得答案、试题解答：解：由x3＞8，得x＞2，则|x|＞2，反之，由|x|＞2，得x＜﹣2或x＞2，则x3＜﹣8或x3＞8、即“x3＞8”是“|x|＞2”的充分不必要条件、故选：A、点评：本题考查充分条件、必要条件及其判定方法，是基础题、4、（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（）A、1B、2C、3D、4题目分析：根据程序框图进行模拟计算即可、试题解答：解：若输入N=20，则i=2，T=0，==10是整数，满足条件、T=0+1=1，i=2+1=3，i≥5不成立，循环，=不是整数，不满足条件、，i=3+1=4，i≥5不成立，循环，==5是整数，满足条件，T=1+1=2，i=4+1=5，i≥5成立，输出T=2，故选：B、点评：本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键、5、（5分）已知a=log3，b=（），c=log，则a，b，c的大小关系为（）A、a＞b＞cB、b＞a＞cC、c＞b＞aD、c＞a＞b题目分析：把a，c化为同底数，然后利用对数函数的单调性及1的关系进行比较、试题解答：解：∵a=log 3，c=log=log35，且5，∴，则b=（）＜，∴c＞a＞b、故选：D、点评：本题考查对数值的大小比较，考查了指数函数与对数式的单调性，是基础题、6、（5分）将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A、在区间[]上单调递增B、在区间[﹣，0]上单调递减C、在区间[]上单调递增D、在区间[，π]上单调递减题目分析：由函数的图象平移求得平移后函数的解析式，结合y=Asin（ωx+φ）型函数的单调性得答案、试题解答：解：将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣）+]=sin2x、当x∈[]时，2x∈[，]，函数单调递增；当x∈[，]时，2x∈[，π]，函数单调递减；当x∈[﹣，0]时，2x∈[﹣，0]，函数单调递增；当x∈[，π]时，2x∈[π，2π]，函数先减后增、故选：A、点评：本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象变换及其性质，是中档题、7、（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点、设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（）A、﹣=1B、﹣=1C、﹣=1D、﹣=1题目分析：画出图形，利用已知条件，列出方程组转化求解即可、试题解答：解：由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线y=，即bx﹣ay=0，F（c，0），AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB是梯形，F是AB的中点，EF==3，EF==b，所以b=3，双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得，可得：，解得a=、则双曲线的方程为：﹣=1、故选：A、点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力、8、（5分）在如图的平面图形中，已知OM=1，ON=2，∠MON=120°，=2，=2，则的值为（）A、﹣15B、﹣9C、﹣6D、0题目分析：解法Ⅰ，由题意判断BC∥MN，且BC=3MN，再利用余弦定理求出MN和∠OMN的余弦值，计算•即可、解法Ⅱ：用特殊值法，不妨设四边形OMAN是平行四边形，由题意求得的值、试题解答：解：解法Ⅰ，由题意，=2，=2，∴==2，∴BC∥MN，且BC=3MN，又MN2=OM2+ON2﹣2OM•ON•cos120°=1+4﹣2×1×2×（﹣）=7，∴MN=；∴BC=3，∴cos∠OMN===，∴•=||×||cos（π﹣∠OMN）=3×1×（﹣）=﹣6、解题Ⅱ：不妨设四边形OMAN是平行四边形，由OM=1，ON=2，∠MON=120°，=2，=2，知=﹣=3﹣3=﹣3+3，∴=（﹣3+3）•=﹣3+3•=﹣3×12+3×2×1×cos120°=﹣6、故选：C、点评：本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题、二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9、（5分）i是虚数单位，复数=4﹣i、题目分析：根据复数的运算法则计算即可、试题解答：解：====4﹣i，故答案为：4﹣i点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题、10、（5分）已知函数f（x）=e x lnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为e、题目分析：根据导数的运算法则求出函数f（x）的导函数，再计算f′（1）的值、试题解答：解：函数f（x）=e x lnx，则f′（x）=e x lnx+•e x；∴f′（1）=e•ln1+1•e=e、故答案为：e、点评：本题考查了导数的运算公式与应用问题，是基础题、11、（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1﹣BB1D1D 的体积为、题目分析：求出四棱锥的底面面积与高，然后求解四棱锥的体积、试题解答：解：由题意可知四棱锥A1﹣BB1D1D的底面是矩形，边长：1和，四棱锥的高：A1C1=、则四棱锥A1﹣BB1D1D的体积为：=、故答案为：、点评：本题考查几何体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键、12、（5分）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为（x﹣1）2+y2=1（或x2+y2﹣2x=0）、题目分析：【方法一】根据题意画出图形，结合图形求得圆心与半径，写出圆的方程、【方法二】设圆的一般方程，把点的坐标代入求得圆的方程、试题解答：解：【方法一】根据题意画出图形如图所示，结合图形知经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆，其圆心为（1，0），半径为1，则该圆的方程为（x﹣1）2+y2=1、【方法二】设该圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，解得D=﹣2，E=F=0；∴所求圆的方程为x2+y2﹣2x=0、故答案为：（x﹣1）2+y2=1（或x2+y2﹣2x=0）、点评：本题考查了圆的方程与应用问题，是基础题、13、（5分）已知a，b∈R，且a﹣3b+6=0，则2a+的最小值为、题目分析：化简所求表达式，利用基本不等式转化求解即可、试题解答：解：a，b∈R，且a﹣3b+6=0，可得：3b=a+6，则2a+==≥2=，当且仅当2a=、即a=﹣3时取等号、函数的最小值为：、故答案为：、点评：本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，也可以利用换元法，求解函数的最值、考查计算能力、14、（5分）已知a∈R，函数f（x）=、若对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，则a的取值范围是[] 、题目分析：根据分段函数的表达式，结合不等式恒成立分别进行求解即可、试题解答：解：当x≤0时，函数f（x）=x2+2x+a﹣2的对称轴为x=﹣1，抛物线开口向上，要使x≤0时，对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，则只需要f（﹣3）≤|﹣3|=3，即9﹣6+a﹣2≤3，得a≤2，当x＞0时，要使f（x）≤|x|恒成立，即f（x）=﹣x2+2x﹣2a，则直线y=x的下方或在y=x上，由﹣x2+2x﹣2a=x，即x2﹣x+2a=0，由判别式△=1﹣8a≤0，得a≥，综上≤a≤2，故答案为：[，2]、点评：本题主要考查不等式恒成立问题，利用分段函数的不等式分别进行转化求解即可、注意数形结合、三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15、（13.00分）己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160、现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动、（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作、（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率、题目分析：（Ⅰ）利用分层抽样的性质能求出应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿意者中分别抽取得3人，2人，2人、（Ⅱ）（i）从抽取的7名同学中抽取2名同学，利用列举法能求出所有可能结果、（ii）设抽取的7名学生中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，利用列举法能求出事件M发生的概率、试题解答：解：（Ⅰ）由已知得甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3：2：2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，∴应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿意者中分别抽取得3人，2人，2人、（Ⅱ）（i）从抽取的7名同学中抽取2名同学的所有可能结果为：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21个、（i）设抽取的7名学生中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，则事件M包含的基本事件有：{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5个基本事件，∴事件M发生的概率P（M）=、点评：本题考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力、16、（13.00分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c、已知bsinA=acos （B﹣）、（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值、题目分析：（Ⅰ）由正弦定理得bsinA=asinB，与bsinA=acos（B﹣）、由此能求出B、（Ⅱ）由余弦定理得b=，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，cosA=，由此能求出sin（2A﹣B）、试题解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，又bsinA=acos（B﹣）、∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，∴tanB=，又B∈（0，π），∴B=、（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，∵a＜c，∴cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=，∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==、点评：本题考查角的求法，考查两角差的余弦值的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题、17、（13.00分）如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=2，∠BAD=90°、（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值、题目分析：（Ⅰ）由平面ABC⊥平面ABD，结合面面垂直的性质可得AD⊥平面ABC，则AD⊥BC；（Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND，又M为棱AB的中点，可得∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成角，求解三角形可得异面直线BC与MD所成角的余弦；（Ⅲ）连接CM，由△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，可得CM⊥AB，且CM=，再由面面垂直的性质可得CM⊥平面ABD，则∠CDM为直线CD与平面ABD所成角，求解三角形可得直线CD与平面ABD所成角的正弦值、试题解答：（Ⅰ）证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD ⊥AB，得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC；（Ⅱ）解：取棱AC的中点N，连接MN，ND，∵M为棱AB的中点，故MN∥BC，∴∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成角，在Rt△DAM中，AM=1，故DM=，∵AD⊥平面ABC，故AD⊥AC，在Rt△DAN中，AN=1，故DN=，在等腰三角形DMN中，MN=1，可得cos∠DMN=、∴异面直线BC与MD所成角的余弦值为；（Ⅲ）解：连接CM，∵△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM=，又∵平面ABC⊥平面ABD，而CM⊂平面ABC，故CM⊥平面ABD，则∠CDM为直线CD与平面ABD所成角、在Rt△CAD中，CD=，在Rt△CMD中，sin∠CDM=、∴直线CD与平面ABD所成角的正弦值为、点评：本题考查异面直线所成角、直线与平面所成角、平面与平面垂直等基本知识，考查空间想象能力、运算求解能力与推理论证能力，属中档题、18、（13.00分）设{a n}是等差数列，其前n项和为S n（n∈N*）；{b n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为T n（n∈N*）、已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6、（Ⅰ）求S n和T n；（Ⅱ）若S n+（T1+T2+……+T n）=a n+4b n，求正整数n的值、题目分析：（Ⅰ）设等比数列{b n}的公比为q，由已知列式求得q，则数列{b n}的通项公式与前n项和可求；等差数列{a n}的公差为d，再由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，代入等差数列的通项公式与前n项和公式可得S n；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出T1+T2+……+T n，代入S n+（T1+T2+……+T n）=a n+4b n，化为关于n的一元二次方程求解正整数n的值、试题解答：解：（Ⅰ）设等比数列{b n}的公比为q，由b1=1，b3=b2+2，可得q2﹣q﹣2=0、∵q＞0，可得q=2、故，；设等差数列{a n}的公差为d，由b4=a3+a5，得a1+3d=4，由b5=a4+2a6，得3a1+13d=16，∴a1=d=1、故a n=n，；（Ⅱ）由（Ⅰ），可得T1+T2+……+T n==2n+1﹣n﹣2、由S n+（T1+T2+……+T n）=a n+4b n，可得，整理得：n2﹣3n﹣4=0，解得n=﹣1（舍）或n=4、∴n的值为4、点评：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和等基础知识，考查数列求和的基本方法及运算能力，是中档题、19、（14.00分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B、已知椭圆的离心率为，|AB|=、（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＜0）与椭圆交于P，Q两点，1与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限、若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值、题目分析：（1）设椭圆的焦距为2c，由已知可得，又a2=b2+c2，解得a=3，b=2，即可、（Ⅱ）设点P（x1，y1），M（x2，y2），（x2＞x1＞0）、则Q（﹣x1，﹣y1）、由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，可得x2﹣x1=2[x1﹣（﹣x1）]，x2=5x1，联立方程求出由＞0.，可得k、试题解答：解：（1）设椭圆的焦距为2c，由已知可得，又a2=b2+c2，解得a=3，b=2，∴椭圆的方程为：，（Ⅱ）设点P（x1，y1），M（x2，y2），（x2＞x1＞0）、则Q（﹣x1，﹣y1）、∵△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，∴|PM|=2|PQ|，从而x2﹣x1=2[x1﹣（﹣x1）]，∴x2=5x1，易知直线AB的方程为：2x+3y=6、由，可得＞0、由，可得，⇒，⇒18k2+25k+8=0，解得k=﹣或k=﹣、由＞0、可得k，故k=﹣，点评：本题考查了椭圆的方程、几何性质，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题、20、（14.00分）设函数f（x）=（x﹣t1）（x﹣t2）（x﹣t3），其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列、（Ⅰ）若t2=0，d=1，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若d=3，求f（x）的极值；（Ⅲ）若曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6有三个互异的公共点，求d 的取值范围、题目分析：（Ⅰ）求出t2=0，d=1时f（x）的导数，利用导数求斜率，再写出切线方程；（Ⅱ）计算d=3时f（x）的导数，利用导数判断f（x）的单调性，求出f（x）的极值；（Ⅲ）曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6有三个互异的公共点，等价于关于x的方程f（x）+（x﹣t2）﹣6=0有三个互异的实数根，利用换元法研究函数的单调性与极值，求出满足条件的d的取值范围、试题解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=（x﹣t1）（x﹣t2）（x﹣t3），t2=0，d=1时，f（x）=x（x+1）（x﹣1）=x3﹣x，∴f′（x）=3x2﹣1，f（0）=0，f′（0）=﹣1，∴y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣0=﹣1×（x﹣0），即x+y=0；（Ⅱ）d=3时，f（x）=（x﹣t2+3）（x﹣t2）（x﹣t2﹣3）=﹣9（x﹣t2）=x3﹣3t2x2+（3﹣9）x ﹣+9t2；∴f′（x）=3x2﹣6t2x+3﹣9，令f′（x）=0，解得x=t2﹣或x=t2+；当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表；x（﹣∞，t2﹣）t2﹣（t2﹣，t2+）t2+（t2+，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）单调增极大值单调减极小值单调增∴f（x）的极大值为f（t2﹣）=﹣9×（﹣）=6，极小值为f（t2+）=﹣9×=﹣6；（Ⅲ）曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6有三个互异的公共点，等价于关于x的方程（x﹣t2+d）（x﹣t2）（x﹣t2﹣d）+（x﹣t2）﹣6=0有三个互异的实数根，令u=x﹣t2，可得u3+（1﹣d2）u+6=0；设函数g（x）=x3+（1﹣d2）x+6，则曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6有3个互异的公共点，等价于函数y=g（x）有三个不同的零点；又g′（x）=3x2+（1﹣d2），当d2≤1时，g′（x）≥0恒成立，此时g（x）在R上单调递增，不合题意；当d2＞1时，令g′（x）=0，解得x1=﹣，x2=；∴g（x）在（﹣∞，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上也单调递增；∴g（x）的极大值为g（x1）=g（﹣）=+6＞0；极小值为g（x2）=g（）=﹣+6；若g（x2）≥0，由g（x）的单调性可知，函数g（x）至多有两个零点，不合题意；若g（x2）＜0，即＞27，解得|d|＞，此时|d|＞x2，g（|d|）=|d|+6＞0，且﹣2|d|＜x1；g（﹣2|d|）=﹣6|d|3﹣2|d|+6＜0，从而由g（x）的单调性可知，函数y=g（x）在区间（﹣2|d|，x1），（x1，x2），（x2，|d|）内各有一个零点，符合题意；∴d的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）、点评：本题主要考查了导数的运算以及导数的几何意义，运用导数研究函数的单调性与极值的应用问题，是综合题、。
2018天津高考文科数学真题答案解析(可编辑)
CN 2 NA ，则 BC OM的值为
（A）-15 答案：C 解析：如图所示建系，
O( 0 , 0 M ), ( 1 ,N 0 ) , ( 1, 3)
（B）-9
（C）-6
（D）0
设 A( xA , yA ), B( xB , yB ), C ( xC , yC )
B M 2 M A
( 1 xB , yB ) 2x( yA , A 1
1 8
1 综上， a Î [ , 2] 8 二、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤. (15)(本小题满分 13 分) 已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为 240，160,160.现采用分 层抽样的方法从中抽取 7 名同学去某敬老院参加献爱心活动. (I)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ (II)设抽出的 7 名同学分别用 A，B，C，D，E，F，G 表示，现从中随机抽 取 2 名同学承担敬老院的卫生工作. (i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； (ii)设 M 为事件“抽取的 2 名同学来自同一年级” ，求事件 M 发生的概
(ii)解：由(I)，不妨设抽出的 7 名同学中，来自甲年级的是 A，B，C，来自乙年 级的是 D，E，来自丙年级的是 F，G，则从抽出的 7 名同学中随机抽取的 2 名 同学来自同一年级的所有可能结果为 A,B ，A,C ，B ,C ，D ,E ，F ,G ， 共 5 种. 所以，事件 M 发生的概率 P(M ) (16)（本小题满分 13 分）
.
答案：
1 3
解析：连 A1C1 交 B1 D1 于点 O， VA1- BB1D1D =
1 1 2 鬃 A1O S B1BDD1 = 创 (1? 2) 3 3 2
2018年天津市南开中学高三模拟考试数学(文)(精编含解析)
2018年天津市南开中学高三模拟考试数学（文）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简分式，分子、分母分别平方，再按照复数的除法运算法则化简可得结果.【详解】，故选：C【点睛】本题主要考查了复数代数形式的运算，是基础题．2. 命题：“”的否定形式是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】含有全称量词的命题就称为全称命题，含有存在量词的命题称为特称命题．一般形式为：全称命题：，；特称命题，．【详解】命题“”的否定形式是特称命题；“”，故选C.【点睛】通常像“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，通常用符号“”表示“对任意”；“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，通常用符号“”表示“存在”．3. 执行如图所示的程序框图，若输入的值为1，则输出的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】试题分析：程序执行的数据变化如下：成立，输出考点：程序框图4. 已知，则下列关系正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用对数的运算法则，化简，推导出的范围，然后推出与的范围并比较大小，从而可得答案．【详解】∵，，，因为，即，∴，故选A.【点睛】本题考查对数函数的单调性的应用，对数值大小的比较，着重考查对数函数的单调性，属于基础题.5. 在长为的线段上任取一点.现作一矩形，邻边长分别等于线段的长，则该矩形面积大于的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：设AC=x，则BC=12-x（0＜x＜12）矩形的面积S=x（12-x）＞20∴x2-12x+20＜0∴2＜x＜10由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率考点：几何概型视频6. 已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：双曲线的一条渐近线是，则①，抛物线的准线是，因此，即②，由①②联立解得，所以双曲线方程为．故选D．考点：双曲线的标准方程．视频7. 设，若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】试题分析：当时,,设直线与的切点为,因,故,则代入可得,所以，解之得,结合图象可知,当,即,所以当,即当时,函数与直线有三个交点,故应选D.考点：函数的图象和零点．【易错点晴】本题考查的是函数的图象与零点的综合运用问题.解答时可依据题设条件将问题进行合理有效的转化与化归,画出函数的图象,结合图象不难看出, 函数在区间上有三个零点等价于函数与直线有三个交点.然后以导数为工具,求出切点的坐标,,数形结合求出参数的取值范围是.8. 已知函数，将图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若对任意，都有成立，则的值为（ ）A.B. 1C.D. 2【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式化简的解析式，再利用正弦型函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得的值．【详解】，（其中，），将图象向右平移个单位长度得到函数的图象，得到，∴，，解得，故选D.【点睛】本题主要考查辅助角公式，的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9. 已知集合，则__________．【答案】.【解析】【分析】由，，根据集合确定出，根据定义求出与的交集即可．【详解】∵集合中，，，∴，3，9，即，∴，故答案为.【点睛】本题主要考查了交集及其运算，熟练掌握集合的定义及交集的定义是解本题的关键.10. 若变量满足约束条件，则的取值范围是__________．【答案】.【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，通过平移求出的取值范围.【详解】作出不等式组对应的平面区域如图所示阴影部分；由得，即直线的截距最大，也最大；平移直线，可得直线经过点时，截距最大，此时最大，即；经过点A时，截距最小，由，得，即，此时最小，为；即的取值范围是，故答案为．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.11. 某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧，则该几何体的体积为__________．【答案】.【解析】【分析】由三视图知该几何体是左边为横放的直三棱柱，右边是横放的半圆柱，结合图中数据求出它的体积．【详解】由三视图知，该几何体是由左右两部分组成的，左边的是横放的直三棱柱，高为3，底面是边长为2的等腰直角三角形，右边是一个半圆柱，高为3，底面半径为1；∴该几何体的体积为（）．故答案为.【点睛】本题考查了利用三视图求几何体的体积问题，由三视图正确恢复原几何体是解题的关键，是基础题．12. 设函数是定义在上的以5为周期的奇函数，若，则的取值范围是__________．【答案】.【解析】【分析】根据函数是以5为周期的奇函数，得，结合函数为奇函数，得由此结合建立关于的不等式，解之可得的取值范围．【详解】∵函数以5为周期，∴，又∵，函数是奇函数，∴，因此，解之得或，故答案为．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和周期性，以及不等式的解法等知识，熟练运用函数的性质是关键，属于基础题．13. 如图，已知正六边形的边长为，点为的中点，则__________．【答案】.【解析】【分析】根据题意，建立直角坐标系，进而可得、、、、、的坐标，由中点坐标公式可得的坐标，由向量的坐标公式可得向量，的坐标，进而由数量积的坐标计算公式计算可得答案【详解】根据题意，如图建立直角坐标系，则，则，，，，，，又由点为的中点，则，则有，，则，故答案为.【点睛】本题考查向量数量积的坐标计算，关键是建立直角坐标系，求出点的坐标，属于基础题. 14. 若二次函数的值域为，则的最小值为__________．【答案】.【解析】【分析】由题意可知，，，从而求出，将所求式子中的4代换成，利用裂项法进行整理，进而利用均值不等式求出最小值．【详解】∵二次函数（）的值域为，∴，，∴，，，∴，当且仅当时取等号，故答案为．【点睛】本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 在中，角的对边分别为.已知的面积为，周长为，且.（1）求及的值；（2）求的值.【答案】（1）；.（2）.【解析】【分析】（1）由已知及三角形面积公式可求，进而可求，利用余弦定理即可得解的值；（2）利用同角三角函数基本关系式可求，利用二倍角公式可求，的值，进而利用两角差的余弦函数公式即可得解．【详解】（1）∴∴∴..（2）由（1）得，，∴∴，【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角差的余弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.16. 某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：后得到如图的频率分布直方图.（1）求图中实数的值.（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校髙一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.【答案】（1）.（2）544人.（3）.【解析】试题分析：（1）根据图中所有小矩形的面积之和等于1建立关于a的等式，解之即可求出所求；（2）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率×总数可求出所求；（3）成绩在[40，50）分数段内的人数，以及成绩在[90，100]分数段内的人数，列出所有的基本事件，以及两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的基本事件，最后利用古典概型的概率公式解之即可．试题解析：(1)由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1.解得a=0.03(2)根据频率分布直方图,成绩不低于60分的频率为1−10×(0.005+0.01)=0.85由于该校高一年级共有学生640人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85=544人(3)成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05=2人,分别记为A,B，成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1=4人,分别记为C,D,E,F.若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生,则所有的基本事件有：(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)共15种.…(9分)如果两名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40,50)分数段内,另一个成绩在[90,100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M,则事件M包含的基本事件有：(A,B),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)共7种.所以所求概率为P(M)=.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，，点分别为和中点.（1）求证：直线平面；（2）求证：面；（3）求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析.（2）见解析.（3）.【解析】【分析】（1）利用中点和平行四边形性质得出，利用直线平面的平行问题求解证明即可；（2）根据几何图形得出，直线平面的垂直得出，再运用判定定理求解证明即可；（3）运用直线平面所成角的定义得出夹角，转化为直角三角形中求解即可．【详解】（1）证明：作交于．∵点为中点，∴，∵，∴，∴为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴直线平面．（2）∵底面是菱形，∴，∵平面，平面，∴∵，∴平面；（3）连接，，∵点，分别为和中点，∴，∵平面，∴平面，根据直线与平面所成角的定义可得：为与平面所成角或补角，中，，，，，∴，∴与平面所成角的正弦值为．【点睛】本题考查了空间直线平面的平行，垂直，空间夹角问题，关键是熟练掌握定理，定义，把空间问题转化为平面问题求解，直线，直线，平面之间的转化问题．18. 设数列的首项，前项和满足关系式.（1）求证：数列是等比数列；（2）设数列的公比为，作数列，使，求数列的通项公式；（3）数列满足条件（2），求和：.【答案】（1）见解析.（2）.（3）.【解析】【分析】（1）利用，求得数列的递推式，整理得，进而可推断出时，数列成等比数列，然后分别求得和，验证亦符合，进而可推断出是一个首项为1，公比为的等比数列；（2）把的解析式代入，进而可知，判断出是一个首项为1，公差为1的等差数列．进而根据等差数列的通项公式求得答案；（3）由是等差数列．进而可推断出和也是首项分别为1和2，公差均为2的等差数列，进而用分组法可求得结果．【详解】（1）因为①②，得，所以.又由，得.又因为，所以.所以是一个首项为1，公比为的等比数列.（2）由，得.所以是一个首项为1，公差为1的等差数列.于是.（3）由，可知和是首项分别为1和2，公差均为2的等差数列，于是，所以.【点睛】本题主要考查了等比关系的确定，考查了学生综合分析问题的能力，考查了利用分组求和法求数列的和.19. 已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数存在极小值点，且，求实数的取值范围.【答案】（1）当时，函数的单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）求出，分两种情况分别令得增区间，得减区间；（Ⅱ）函数存在极小值点，所以在上存在两个零点，，设为函数的极小值点，由，得，所以可得结果.试题解析：（Ⅰ）因为函数，所以其定义域为.所以.当时，，函数在区间上单调递减.当时，.当时，，函数在区间上单调递减.当时，，函数在区间上单调递增.综上可知，当时，函数的单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（Ⅱ）因为，所以（）.因为函数存在极小值点，所以在上存在两个零点，，且.即方程的两个根为，，且，所以，解得.则.当或时，，当时，，所以函数的单调递减区间为与，单调递增区间为.所以为函数的极小值点.由，得.由于等价于.由，得，所以.因为，所以有，即.因为，所以.解得.所以实数的取值范围为.20. 已知椭圆的两个焦点分别为和，过点的直线与椭圆相交与两点，且.（1）求椭圆的离心率；（2）求直线的斜率；（3）设点与点关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，且，求椭圆方程.【答案】（1）.（2）.（3）.【解析】【分析】（1）由，，得，得到的关系式，由此能求出离心率；（2）将椭圆的方程为写为，设直线的方程为，设，，联立方程组，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出直线的斜率；（3）求出，，取，得，推导出外接圆的方程，与直线的方程联立解出，得，再由，解得，由此能求出椭圆方程．【详解】（1）由且，得，从而整理，得，故离心率.（2）由（1）得，所以椭圆的方程可写为设直线的方程为，即.由已知设，则它们的坐标满足方程组消去整理，得.依题意，，得.而①②由题设知，点为线段的中点，所以③联立①③解得将代入②中，解得.（3）由（2）可知.不妨取，得，由已知得.线段的垂直平分线的方程为，直线与轴的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为.直线的方程为，于是点的坐标满足方程组，由，解得由解得故椭圆方程为.【点睛】本题考查椭圆的离心率、直线的斜率、椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、圆、根的判别式、韦达定理、两点间距离公式等基础知识，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，是中档题.。
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天津市2018年高三质量调查数学试卷（文史类）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
第I卷第1页至第2页，第II卷第3页至第10页，共10页。
满分150分。
考试时间120分钟。
第I卷（选择题共60分）一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知函数，它的反函数是，则（）A. B.C. D.（2）对某中学的高中学生做专项调查，该校高一年级有320人，高二年级有280人，高三年级有360人，若采取分层抽样的方法，抽取一个容量为120的样本，则高一、高二、高三年级抽取的人数依次为（）A. 40、35、45B. 35、40、45C. 45、25、50D. 25、45、50（3）下列命题中，正确的是（）A. 若直线a平行于平面α内的一条直线b，则a∥αB. 若直线a垂直于平面α的斜线b在平面α内的射影，则a⊥bC. 若直线a垂直于平面α，直线b是平面α的斜线，则a与b是异面直线D. 若一个棱锥的所有侧棱与底面所成的角都相等，且所有侧面与底面所成的角也相等，则它一定是正棱锥（4）函数的图象的一个对称中心是（）A. B.C. D.（5）已知双曲线的两个焦点分别为，点P为双曲线上一点，且，则的面积等于（）A. B. 1 C. 3 D. 6（6）设函数（其中），k是的小数点后第n位数字，，则的值等于（）A. 1B. 2C. 4D. 6（7）函数在［0，3］上的最大值和最小值依次是（）A. B.C. D.（8）在圆内，过点有条弦，它们的长构成等差数列，若为过该点最短弦的长，为过该点最长弦的长，公差，那么n的值是（）A. 2B. 3C. 4D. 5（9）某学生从家去学校，开始跑步，跑累了再走余下的路程，下图中纵轴表示他与学校的距离，横轴表示所用的时间，则符合上述情况的图形可能是（）（10）设，则的最大值为（）A. B. C. D.（11）已知向量，则与夹角的范围是（）A. B.C. D.（12）设函数是定义在R上的奇函数，若的最小正周期为3，且，，则a的取值范围是（）A. B. 且C. D. 或第II卷（非选择题共90分）二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2018年天津市南开区高考数学二模试卷(文科)
2018年天津市南开区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．(★)i为虚数单位，则复数=（）A．3+i B．-1+3i C．3-i D．2+4i2．(★★)如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为（）A．7.68B．16.32C．17.32D．8.683．(★)已知定义域为R的函数f（x）不是奇函数，则下列命题一定为真命题的是（）A．∀x∈R，f（-x）≠-f（x）B．∀x∈R，f（-x）≠f（x）C．∃x0∈R，f（-x0）≠-f（x0）D．∃x0∈R，f（-x0）=f（x0）4．(★)函数f（x）=log 0.5（4-x 2）的单调递增区间是（）A．（2，+∞）B．（-∞，-2）C．（0，2）D．（-2，0）5．(★★)设F 1，F 2是离心率为5的双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF 1|=4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于（）A．4B．8C．24D．486．(★★★)已知S n是数列{a n}的前n项和，a 1=2，a 2=4，数列{a n+a n+1}是公差为2的等差数列，则S 25=（）A．254B．362C．466D．6507．(★★★)若函数f（x）=asin2x-bcos2x在x= 处有最小值-2，则常数a，b的值是（）A．a=-1，b=B．a=1，b=-C．a=，b=-1D．a=-，b=18．(★★★)设△ABC是边长为1的正三角形，M是△ABC所在平面上的一点，且+2λ+ = ，则当•取最小值时，λ的值为（）A．B．C．2D．3二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请将答案填在题中横线上.9．(★★)一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为．10．(★★)执行如图的程序框图，若输入的N是4，则输出p的值是．11．(★★)函数y=xcosx在x= 处的导数值是．12．(★★)一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是，则a= ．13．(★★★)直线与y轴交于点E，与圆x 2+y 2-2x-2y=0交于A，B两点，则|EA|•|EB|= ．14．(★★★)已知函数f（x）= 有三个不同的零点，则实数a的取值范围是．三、解答题：（本大题共6个小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．(★★★)锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sin2C+ cos（A+B）=0，a=4，c= ．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）求cos（2A+C）的值．16．(★★★)某加工厂准备生产甲、乙两种产品，已知生产一件甲产品需用原料A和原料B的量分别为4kg和3kg，生产一件乙产品需用原料A和原料B的量分别为5kg 和10kg．若生产一件甲产品可获利700元，生产一件乙产品可获利1200元．该厂月初一次性购进原料A、B的量分别为200kg和300kg．问该厂生产甲、乙两种产品各多少件才能使该厂月利润最大，最大利润为多少？17．(★★★★)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PC⊥AD，PA=AB=BC，点E在棱PB上，且PE=2EB，AB∥DC，AB⊥BC．（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PCB；（Ⅱ）求证：PD∥平面EAC；（Ⅲ）求二面角A-CD-P的正切值．18．(★★★)已知数列{a n}的前n项和为S n，a 1= ，且当n≥2时，= +2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n= ，证明：+ + +…+ ＜．19．(★★★)设函数f（x）=ax 2+e x（a∈R）有且仅有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2）．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数a满足f（x 1）= x 1？如存在，求f（x）的极大值；如不存在，请说明理由．20．(★★★★★)已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x 2=4 的焦点，离心率等于．椭圆E的左焦点为F，过点M（-3，0）任作一条斜率不为零的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，点A关于x轴的对称点为C．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求证：= （λ∈R）；（Ⅲ）求△MBC面积的最大值．。
2018年天津市高考数学试卷(文科)
2018年天津市高考数学试卷（文科）一.选择题：在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={1.2.3.4}.B={﹣1.0.2.3}.C={x∈R|﹣1≤x＜2}.则（A∪B）∩C=（）A．{﹣1.1} B．{0.1} C．{﹣1.0.1} D．{2.3.4}2．（5分）设变量x.y满足约束条件.则目标函数z=3x+5y的最大值为（）A．6 B．19 C．21 D．453．（5分）设x∈R.则“x3＞8”是“|x|＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）阅读如图的程序框图.运行相应的程序.若输入N的值为20.则输出T 的值为（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）已知a=log3.b=（）.c=log.则a.b.c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b6．（5分）将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度.所得图象对应的函数（）A．在区间[]上单调递增B．在区间[﹣.0]上单调递减C．在区间[]上单调递增D．在区间[.π]上单调递减7．（5分）已知双曲线=1（a＞0.b＞0）的离心率为2.过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A.B两点．设A.B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2.且d1+d2=6.则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=18．（5分）在如图的平面图形中.已知OM=1.ON=2.∠MON=120°.=2.=2.则的值为（）A．﹣15 B．﹣9 C．﹣6 D．0二.填空题：本大题共6小题.每小题5分.共30分.9．（5分）i是虚数单位.复数= ．10．（5分）已知函数f（x）=e x lnx.f′（x）为f（x）的导函数.则f′（1）的值为．11．（5分）如图.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1.则四棱锥A1﹣BB1D1D的体积为．12．（5分）在平面直角坐标系中.经过三点（0.0）.（1.1）.（2.0）的圆的方程为．13．（5分）已知a.b∈R.且a﹣3b+6=0.则2a+的最小值为．14．（5分）己知a∈R.函数f（x）=．若对任意x∈[﹣3.+∞）.f（x）≤|x|恒成立.则a的取值范围是．三.解答题：本大题共6小题.共80分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.15．（13分）己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240.160.160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A.B.C.D.E.F.G表示.现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”.求事件M发生的概率．16．（13分）在△ABC中.内角A.B.C所对的边分别为a.b.c．已知bsinA=acos （B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2.c=3.求b和sin（2A﹣B）的值．17．（13分）如图.在四面体ABCD中.△ABC是等边三角形.平面ABC⊥平面ABD.点M为棱AB的中点.AB=2.AD=2.∠BAD=90°．（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．18．（13分）设{an }是等差数列.其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列.公比大于0.其前n项和为Tn （n∈N*）．已知b1=1.b3=b2+2.b4=a3+a5.b5=a4+2a6．（Ⅰ）求Sn 和Tn；（Ⅱ）若Sn +（T1+T2+……+Tn）=an+4bn.求正整数n的值．19．（14分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的右顶点为A.上顶点为B．已知椭圆的离心率为.|AB|=．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＜0）与椭圆交于P.Q两点.1与直线AB交于点M.且点P.M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍.求k的值．20．（14分）设函数f（x）=（x﹣t1）（x﹣t2）（x﹣t3）.其中t1.t2.t3∈R.且t1.t2.t3是公差为d的等差数列．（Ⅰ）若t2=0.d=1.求曲线y=f（x）在点（0.f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若d=3.求f（x）的极值；（Ⅲ）若曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6有三个互异的公共点.求d 的取值范围．2018年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={1.2.3.4}.B={﹣1.0.2.3}.C={x∈R|﹣1≤x＜2}.则（A∪B）∩C=（）A．{﹣1.1} B．{0.1} C．{﹣1.0.1} D．{2.3.4}【解答】解：∵A={1.2.3.4}.B={﹣1.0.2.3}.∴（A∪B）={1.2.3.4}∪{﹣1.0.2.3}={﹣1.0.1.2.3.4}.又C={x∈R|﹣1≤x＜2}.∴（A∪B）∩C={﹣1.0.1}．故选：C．2．（5分）设变量x.y满足约束条件.则目标函数z=3x+5y的最大值为（）A．6 B．19 C．21 D．45【解答】解：由变量x.y满足约束条件.得如图所示的可行域.由解得A（2.3）．当目标函数z=3x+5y经过A时.直线的截距最大.z取得最大值．将其代入得z的值为21.故选：C．3．（5分）设x∈R.则“x3＞8”是“|x|＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由x3＞8.得x＞2.则|x|＞2.反之.由|x|＞2.得x＜﹣2或x＞2.则x3＜﹣8或x3＞8．即“x3＞8”是“|x|＞2”的充分不必要条件．故选：A．4．（5分）阅读如图的程序框图.运行相应的程序.若输入N的值为20.则输出T 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：若输入N=20. 则i=2.T=0.==10是整数.满足条件．T=0+1=1.i=2+1=3.i ≥5不成立.循环.=不是整数.不满足条件．.i=3+1=4.i ≥5不成立. 循环.==5是整数.满足条件.T=1+1=2.i=4+1=5.i ≥5成立.输出T=2. 故选：B ．5．（5分）已知a=log 3.b=（）.c=log.则a.b.c 的大小关系为（ ）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b【解答】解：∵a=log 3.c=log=log 35.且5.∴.则b=（）＜.∴c＞a＞b．故选：D．6．（5分）将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度.所得图象对应的函数（）A．在区间[]上单调递增B．在区间[﹣.0]上单调递减C．在区间[]上单调递增D．在区间[.π]上单调递减【解答】解：将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度.所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣）+]=sin2x．当x∈[]时.2x∈[.].函数单调递增；当x∈[.]时.2x∈[.π].函数单调递减；当x∈[﹣.0]时.2x∈[﹣.0].函数单调递增；当x∈[.π]时.2x∈[π.2π].函数先减后增．故选：A．7．（5分）已知双曲线=1（a＞0.b＞0）的离心率为2.过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A.B两点．设A.B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2.且d1+d2=6.则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：由题意可得图象如图.CD是双曲线的一条渐近线y=.即bx﹣ay=0.F（c.0）.AC⊥CD.BD⊥CD.FE⊥CD.ACDB是梯形.F是AB的中点.EF==3.EF==b.所以b=3.双曲线=1（a＞0.b＞0）的离心率为2.可得.可得：.解得a=．则双曲线的方程为：﹣=1．故选：A．8．（5分）在如图的平面图形中.已知OM=1.ON=2.∠MON=120°.=2.=2.则的值为（）A．﹣15 B．﹣9 C．﹣6 D．0【解答】解：不妨设四边形OMAN是平行四边形.由OM=1.ON=2.∠MON=120°.=2.=2.知=﹣=3﹣3=﹣3+3.∴=（﹣3+3）•=﹣3+3•=﹣3×12+3×2×1×cos120°=﹣6．故选：C．二.填空题：本大题共6小题.每小题5分.共30分.9．（5分）i是虚数单位.复数= 4﹣i ．【解答】解：====4﹣i.故答案为：4﹣i10．（5分）已知函数f（x）=e x lnx.f′（x）为f（x）的导函数.则f′（1）的值为 e ．【解答】解：函数f（x）=e x lnx.则f′（x）=e x lnx+•e x；∴f′（1）=e•ln1+1•e=e．故答案为：e．11．（5分）如图.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1.则四棱锥A1﹣BB1D1D的体积为．【解答】解：由题意可知四棱锥A1﹣BB1D1D的底面是矩形.边长：1和.四棱锥的高：A1C1=．则四棱锥A1﹣BB1D1D的体积为：=．故答案为：．12．（5分）在平面直角坐标系中.经过三点（0.0）.（1.1）.（2.0）的圆的方程为（x﹣1）2+y2=1（或x2+y2﹣2x=0）．【解答】解：【方法一】根据题意画出图形如图所示.结合图形知经过三点（0.0）.（1.1）.（2.0）的圆.其圆心为（1.0）.半径为1.则该圆的方程为（x﹣1）2+y2=1．【方法二】设该圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.则.解得D=﹣2.E=F=0；∴所求圆的方程为x2+y2﹣2x=0．故答案为：（x﹣1）2+y2=1（或x2+y2﹣2x=0）．13．（5分）已知a.b∈R.且a﹣3b+6=0.则2a+的最小值为．【解答】解：a.b∈R.且a﹣3b+6=0.可得：3b=a+6.则2a+==≥2=.当且仅当2a=．即a=﹣3时取等号．函数的最小值为：．故答案为：．14．（5分）己知a∈R.函数f（x）=．若对任意x∈[﹣3.+∞）.f（x）≤|x|恒成立.则a的取值范围是[] ．【解答】解：当x≤0时.函数f（x）=x2+2x+a﹣2的对称轴为x=﹣1.抛物线开口向上.要使x≤0时.对任意x∈[﹣3.+∞）.f（x）≤|x|恒成立.则只需要f（﹣3）≤|﹣3|=3.即9﹣6+a﹣2≤3.得a≤2.当x＞0时.要使f（x）≤|x|恒成立.即f（x）=﹣x2+2x﹣2a.则直线y=x的下方或在y=x上.由﹣x2+2x﹣2a=x.即x2﹣x+2a=0.由判别式△=1﹣8a≤0.得a≥.综上≤a≤2.故答案为：[.2]．三.解答题：本大题共6小题.共80分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.15．（13分）己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240.160.160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A.B.C.D.E.F.G表示.现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”.求事件M发生的概率．【解答】解：（Ⅰ）由已知得甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3：2：2.由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学.∴应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿意者中分别抽取得人.2人.2人．（Ⅱ）（i）从抽取的7名同学中抽取2名同学的所有可能结果为：{A.B}.{A.C}.{A.D}.{A.E}.{A.F}.{A.G}.{B.C}.{B.D}.{B.E}.{B.F}.{B.G}.{C.D}.{C.E}.{C.F}.{C.G}.{D.E}.{D.F}.{D.G}.{E.F}.{E.G}.{F.G}.共21个．（i）设抽取的7名学生中.来自甲年级的是A.B.C.来自乙年级的是D.E.来自丙年级的是F.G.M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”.则事件M包含的基本事件有：{A.B}.{A.C}.{B.C}.{D.E}.{F.G}.共5个基本事件.∴事件M发生的概率P（M）=．16．（13分）在△ABC中.内角A.B.C所对的边分别为a.b.c．已知bsinA=acos （B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2.c=3.求b和sin（2A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中.由正弦定理得.得bsinA=asinB.又bsinA=acos（B﹣）．∴asinB=acos（B﹣）.即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+.∴tanB=.又B∈（0.π）.∴B=．（Ⅱ）在△ABC中.a=2.c=3.B=.由余弦定理得b==.由bsinA=acos（B﹣）.得sinA=.∵a＜c.∴cosA=.∴sin2A=2sinAcosA=.cos2A=2cos2A﹣1=.∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．17．（13分）如图.在四面体ABCD中.△ABC是等边三角形.平面ABC⊥平面ABD.点M为棱AB的中点.AB=2.AD=2.∠BAD=90°．（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：由平面ABC⊥平面ABD.平面ABC∩平面ABD=AB.AD⊥AB.得AD⊥平面ABC.故AD⊥BC；（Ⅱ）解：取棱AC的中点N.连接MN.ND.∵M为棱AB的中点.故MN∥BC.∴∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成角.在Rt△DAM中.AM=1.故DM=.∵AD⊥平面ABC.故AD⊥AC.在Rt△DAN中.AN=1.故DN=.在等腰三角形DMN中.MN=1.可得cos∠DMN=．∴异面直线BC与MD所成角的余弦值为；（Ⅲ）解：连接CM.∵△ABC为等边三角形.M为边AB的中点.故CM⊥AB.CM=.又∵平面ABC⊥平面ABD.而CM⊂平面ABC.故CM⊥平面ABD.则∠CDM为直线CD与平面ABD所成角．在Rt△CAD中.CD=.在Rt△CMD中.sin∠CDM=．∴直线CD与平面ABD所成角的正弦值为．18．（13分）设{an }是等差数列.其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列.公比大于0.其前n项和为Tn （n∈N*）．已知b1=1.b3=b2+2.b4=a3+a5.b5=a4+2a6．（Ⅰ）求Sn 和Tn；（Ⅱ）若Sn +（T1+T2+……+Tn）=an+4bn.求正整数n的值．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{bn }的公比为q.由b1=1.b3=b2+2.可得q2﹣q﹣2=0．∵q＞0.可得q=2．故.；设等差数列{an }的公差为d.由b4=a3+a5.得a1+3d=4.由b5=a4+2a6.得3a1+13d=16.∴a1=d=1．故an=n.；（Ⅱ）由（Ⅰ）.可得T1+T2+……+Tn==2n+1﹣n﹣2．由Sn +（T1+T2+……+Tn）=an+4bn.可得.整理得：n2﹣3n﹣4=0.解得n=﹣1（舍）或n=4．∴n的值为4．19．（14分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的右顶点为A.上顶点为B．已知椭圆的离心率为.|AB|=．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＜0）与椭圆交于P.Q两点.1与直线AB交于点M.且点P.M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍.求k的值．【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2c.由已知可得.又a2=b2+c2.解得a=3.b=2.∴椭圆的方程为：.（Ⅱ）设点P（x1.y1）.M（x2.y2）.（x2＞x1＞0）．则Q（﹣x1.﹣y1）．∵△BPM的面积是△BPQ面积的2倍.∴|PM|=2|PQ|.从而x2﹣x1=2[x1﹣（﹣x1）].∴x2=5x1.易知直线AB的方程为：2x+3y=6．由.可得＞0．由.可得.⇒.⇒18k2+25k+8=0.解得k=﹣或k=﹣．由＞0．可得k.故k=﹣.20．（14分）设函数f（x）=（x﹣t1）（x﹣t2）（x﹣t3）.其中t1.t2.t3∈R.且t1.t2.t3是公差为d的等差数列．（Ⅰ）若t2=0.d=1.求曲线y=f（x）在点（0.f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若d=3.求f（x）的极值；（Ⅲ）若曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6有三个互异的公共点.求d 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=（x﹣t1）（x﹣t2）（x﹣t3）.t2=0.d=1时.f（x）=x（x+1）（x﹣1）=x3﹣x.∴f′（x）=3x2﹣1.f（0）=0.f′（0）=﹣1.∴y=f（x）在点（0.f（0））处的切线方程为y﹣0=﹣1×（x﹣0）.即x+y=0；（Ⅱ）d=3时.f（x）=（x﹣t2+3）（x﹣t2）（x﹣t2﹣3）=﹣9（x﹣t2）=x3﹣3t2x2+（3﹣9）x﹣+9t2；∴f′（x）=3x2﹣6t2x+3﹣9.令f′（x ）=0.解得x=t 2﹣或x=t 2+；当x 变化时.f′（x ）.f （x ）的变化情况如下表；+∴f （x ）的极大值为f （t 2﹣）=﹣9×（﹣）=6.极小值为f （t 2+）=﹣9×=﹣6；（Ⅲ）曲线y=f （x ）与直线y=﹣（x ﹣t 2）﹣6有三个互异的公共点.等价于关于x 的方程（x ﹣t 2+d ）（x ﹣t 2）（x ﹣t 2﹣d ）+（x ﹣t 2）﹣6=0有三个互异的实数根.令u=x ﹣t 2.可得u 3+（1﹣d 2）u+6=0； 设函数g （x ）=x 3+（1﹣d 2）x+6.则曲线y=f （x ）与直线y=﹣（x ﹣t 2）﹣6有3个互异的公共点.等价于函数y=g （x ）有三个不同的零点； 又g′（x ）=3x 2+（1﹣d 2）.当d 2≤1时.g′（x ）≥0恒成立.此时g （x ）在R 上单调递增.不合题意； 当d 2＞1时.令g′（x ）=0.解得x 1=﹣.x 2=；∴g （x ）在（﹣∞.x 1）上单调递增.在（x 1.x 2）上单调递减. 在（x 2.+∞）上也单调递增； ∴g （x ）的极大值为g （x 1）=g （﹣）=+6＞0；极小值为g （x 2）=g （）=﹣+6；若g （x 2）≥0.由g （x ）的单调性可知. 函数g （x ）至多有两个零点.不合题意；若g（x2）＜0.即＞27.解得|d|＞.此时|d|＞x2.g（|d|）=|d|+6＞0.且﹣2|d|＜x1；g（﹣2|d|）=﹣6|d|3﹣2|d|+6＜0.从而由g（x）的单调性可知.函数y=g（x）在区间（﹣2|d|.x1）.（x1.x2）.（x2.|d|）内各有一个零点.符合题意；∴d的取值范围是（﹣∞.﹣）∪（.+∞）．。
天津南开中学2018年高三数学文测试题含解析
天津南开中学2018年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知是定义在上且以3为周期的奇函数，当时，，则函数在区间上的零点个数是 ( )A．3 B．5 C．7D．9参考答案：D略2. 设满足约束条件，则的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：D3. 若抛物线上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为（）A． B． C．1 D．2参考答案：D略4. 下列说法正确的是( )(A) 命题“使得”的否定是：“”(B) “”是“”的必要不充分条件(C) 命题p：“ ”，则p是真命题(D) “”是“在上为增函数”的充要条件参考答案：D略5. 已知函数的图像向左平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍得函数的图像，则下列区间为的单调递增区间的是A．B．C．D．参考答案：A6. 椭圆两个焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，0] C．[0，1] D．[﹣1，2]参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；向量法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设P（x，y），，，则=x2+y2﹣i=即可．【解答】解：由椭圆方程得F1（﹣1，0）F2（1，0），设P（x，y），∴，，则=x2+y2﹣1=∈[0，1]故选：C【点评】本题考查了椭圆与向量，转化思想是关键，属于中档题．7.从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字中，选出一个偶数和三个奇数，组成一个没有重复数字的四位数，这样的四位数共有（）.A.1440个B.1480个C.1140个D.1200个参考答案：答案：C8. （5分）如图在等腰直角△ABC中，点O是斜边BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若，则mn的最大值为（）A． B． 1 C． 2 D． 3参考答案：B【考点】：向量在几何中的应用；基本不等式在最值问题中的应用．【专题】：计算题．【分析】：利用三角形的直角建立坐标系，求出各个点的坐标，有条件求出M和N坐标，则由截距式直线方程求出MN的直线方程，根据点O（1，1）在直线上，求出m和n的关系式，利用基本不等式求出mn的最大值，注意成立时条件是否成立．解：以AC、AB为x、y轴建立直角坐标系，设等腰直角△ABC的腰长为2，则O点坐标为（1，1），B（0，2）、C（2，0），∵，∴，∴、，∴直线MN的方程为，∵直线MN过点O（1，1），∴=1，即m+n=2∵（m＞0，n＞0），∴，∴当且仅当m=n=1时取等号，且mn的最大值为1．故选B．【点评】：本题的考查了利用向量的坐标运算求最值问题，需要根据图形的特征建立坐标系，转化为几何问题，根据条件求出两数的和，再由基本不等式求出它们的积的最大值，注意验证三个条件：一正二定三相等，考查了转化思想．9. 已知函数满足，且是偶函数，当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是(A) (B) (C) (D)参考答案：C由得，，所以函数为周期为2的周期函数，又因为函数为偶函数，有，所以有，所以函数关于对称，令，得函数，令函数，做出函数和函数的图象，如图：当直线必须过点时有4个交点，此时直线的斜率为，要使函数有四个零点，则直线的斜率，选C.10. 平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（）A．B．C．12 D．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】原式利用二次根式性质化简，再利用完全平方公式展开，利用平面向量的数量积运算法则计算即可得到结果．【解答】解：∵平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，∴|+2|=====2，故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 高三毕业时，甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲，乙相邻，则甲丙相邻的概率为参考答案：12. 执行如图所示的程序框图,若输入m=5则输出k的值为参考答案：本题考查程序框图.13. 已知p：﹣2≤x≤1，q：（x﹣a）（x﹣a﹣4）＞0，若p是q成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．参考答案：（﹣∞，﹣6）∪（1，+∞）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出q下的不等式，得到q：x＜a，或x＞a+4，而若p是q成立的充分不必要条件，即由p能得到q，而由q得不到p，所以a＞1，或a+4＜﹣2，这样便得到了a的取值范围．【解答】解：q：x＜a，或x＞a+4；∴若p是q成立的充分不必要条件，则：a＞1，或a+4＜﹣2；∴a＞1，或a＜﹣6；∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪（1，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣6）∪（1，+∞）．14. 已知函数y=a x+b（b＞0）的图象经过点P（1，3），如图所示，则+的最小值为．参考答案：【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】函数y=a x+b（b＞0）的图象经过点P（1，3），可得3=a+b，a＞1，b＞0．即（a ﹣1）+b=2．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵函数y=a x+b（b＞0）的图象经过点P（1，3），∴3=a+b，a＞1，b＞0．∴（a﹣1）+b=2．∴+===，当且仅当a﹣1=2b=时取等号．故答案为：．【点评】本题考查了函数的图象与性质、“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．15. 如果函数在区间上有且仅有一条平行于轴的对称轴，则的取值范围是．参考答案：略16. 函数f（x）=的定义域为．参考答案：{x|x}【考点】函数的定义域及其求法．【分析】利用被开方数非负，得到不等式，求解即可得到函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则：1﹣2x≥0，解得：x．函数的定义域为：{x|x}．故答案为：：{x|x}．17. （坐标系与参数方程选做题）如图，为圆O的直径，为圆O上一点，和过的切线互相垂直，垂足为，过的切线交过的切线于，交圆O于，若，，则= .参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
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天津市南开区2018年高中质量调查文科试卷（一）高三数学（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第I 卷（选择题 共50分）一. 选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合},{b a A =，},,{c b a B =，},,{d c b c =，则=⋃⋂C B A )(（ ） A. },,{c b a B. },,{d b a C. },,{d c b D. },,,{d c b a2. 函数)0(1)1(log 2>++=x x y 的反函数是（ ） A. )1(121>-=-x y x B. )1(121>+=-x y x C. )0(121>-=+x y xD. )0(121>+=+x y x3. 若c a b )21()21()21(>>，且c b a ,,为正数，则（ ）A. c a b 222log log log <<B. c a b 222log log log >>C. b c a 222log log log >>D. c b a 222log log log <<4. 若c b a ,,是常数，则“0>a 且042<-ac b ”是 “对任意R x ∈，总有02>++c bx ax 成立”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要5. 设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确的一个是（ ）A. 若γα⊥，γβ⊥，则βα//B. 若αα//,//n m ，则n m //C. 若ββα⊥⊥m ,，则α//mD. 若αα//,n m ⊥，则n m ⊥6. 直线l ：0=+-b y ax ，圆M ：02222=+-+by ax y x ，则l 与M 在同一坐标系中的图形只可能是（ ）7. 在4名男生和2名女生中任选3人参加课外小组，则所选3人中恰有1名女生的概率是（ ） A.51 B. 52 C. 53 D. 54 8. 已知曲线3x y =在点P 处切线的斜率为3，则P 点坐标为（ ） A.（8,2--），（1，1） B.（2，8），（1,1--） C.（1,1--），（1，1） D.（1，1）9. 在R 上定义域运算⊗：)1(y x y x -=⊗。
若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则（ ）A. 11<<-aB. 20<<aC. 2321<<-a D. 2123<<-a10. )(x f 是R 上的偶函数，且0)2(=f ，)(x g 是R 上的奇函数，且对R x ∈，都有)1()(-=x f x g ，则)2002(f 的值是（ ）A. 4B. 2C. 1D. 0第II 卷（非选择题 共100分）二. 填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分。
请把答案填在题中横线上。
11. 已知9922109)31(x a x a x a a x ++++=- ，则93210a a a a a +++++ 的值是 。
12. 等差数列}{n a 中，4,31521=+=a a a ，33=n a ，则=n 。
13. 在)324sin(25π+-=x y 的图象与x 轴的交点中，离原点距离最近的一个点的坐标是 。
14. 如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点，A 、B 、M 是顶点，那么点M 到截面ABCD 的距离是 。
15. 若双曲线122=-y x 的右支上一点P （n m ,）到直线x y =的距离为2，则n m +的值是 。
16. 已知三条抛物线42,22++=+-=mx x y m x x y ，)1(2-++=m mx mx y 中至少有一条与x 轴有公共点，则实数m 的取值范围是 。
三. 解答题：本大题共6个小题，共76分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）某同学为提高自己下象棋的棋艺水平，分别找棋艺比自己高的甲、乙两人下棋，已知这位同学与甲下棋获胜概率是0.2，和棋的概率是0.1，与乙下棋获胜的概率是0.1，和棋概率是0.2，若这位同学与甲乙两人各下一局时（1）求胜一局输一局的概率； （2）求至多输一局的概率。
18.（本小题满分12分）ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为c b a ,,，ABC ∆的面积233=S ，且7=C ，32)45tan(--=︒+C 。
（1）求角C 的大小；（2）求b a +的值。
19.（本小题满分12分）已知数列}{n a 的首项11=a ，212=a ，对任意2≥n ，总有021=++n n a a 成立，n S为数列}{n a 的前n 项和。
（1）求}{n a 的通项公式；（2）记数列}{n S 的前n 项和为n T ，求n T 。
20.（本小题满分12分）如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，11==AA AD ，AB=2，点E 在棱AB 上移动。
（1）证明：D A E D 11⊥；（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离； （3）AE 等于何值时，二面角D EC D --1的大小为4π。
21.（本小题满分14分）已知椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的左、右焦点分别是)0,(1c F -、F 2（0,c ），Q 是椭a 2=，点P 是线段Q F 1与该椭圆的交点，点T 在线段Q F 2上，并且满足02=⋅TF 0≠。
（1）求点T 的轨迹C 的方程；（2）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使21MF F ∆的面积2b S =。
若存在，求21MF F ∠的正切值；若不存在，请说明理由。
22.（本小题满分14分）已知R a ∈，函数a x x x f -=2)(。
（1）当2=a 时，求使x x f =)(成立的x 的集合； （2）求函数)(x f y =在区间[1，2]上的最小值。
南开区2018年高中质量调查文科试卷（一）高三数学参考答案（文科）二. 填空题：11. 94 12. 50 13. )0,12(π 14. 32 15. 21 16. 0,34≠≤m m 或2≥m三. 解答题：17.（1）26.08.01.09.02.0=⨯+⨯=P （2）51.07.07.01=⨯- 18.（1）3)32(1132]45)45tan[(tan =--+---=︒-︒+=C C在ABC ∆中，︒=60C（2）∵ 233sin 21==∆C ab S ABC ∴ 6=ab 又 C ab b a c cos 2222-+=，1322=+b a∴ 5)(2=+=+b a b a19.（1）由题意2≥n 时，021=++n n a a ，211-=+n n a a ∴ n a a a a 432成等比数列，公比21-=q ，又212=a∴ 当2≥n 时，1222)21()21(21----=-=⋅=n n n n qa a ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧≥--==-2)21(111n n a n n （2）1=n 时，1111===a S T 2≥n 时，1)21(3134---=n n Sn n S S S T +++= 21])21()21()21[(31)1(34112--++-+---+=n n92)21(91341---=-n n20.（1）证明：∵ AE ⊥平面1111,AD D A D D AA ⊥，E D 1在平面D D AA 11之射影是1AD ∴ E D D A 11⊥（2）设点E 到面ACD 的距离为h ，在ACD ∆中，51==CD AC ，21=AD∴ 232152211=-⋅=∆C AD S 又2121=⋅=∆BC AE S ACE∴ 311=-AECD V h S DD S C AD ACE ⋅=⋅∆∆1311即h ⋅=⨯23121 ∴ 31=h （3）过D 作DH ⊥CE 于H ，连D 1H 、DE ，则CE H D ⊥1 ∴ 1DHD ∠为二面角D EC D --1的平面角 设x AE =，则x BE -=2 在DH D Rt 1∆中，∵ 41π=∠DHD ∴ DH=1∵ 在ADE Rt ∆中，21x DE += ∴ 在DHE Rt ∆中，x EH = 在DHC Rt ∆中，3=CH ，在CBE Rt ∆中，542+-=x x CE∴ 5432+-=+x x x ，解得32-=x当32-=AE 时二面角D EC D --1的大小为4π。
21.（1）设点T 坐标为（y x ,）0=时，点（0,a ）（0,a -）在轨迹上0≠0≠时，由02=⋅TF 知2TF ⊥a 2=a 2=+ ∴=∴ T 为线段Q F 2的中点，在21F QF ∆a ==∴ 222a y x =+ 综上所述，T 点轨迹为222a y x =+（2）C 上存在点M （00,y x ）使2b S =的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅⋅=+)2(221)1(2022020b y c a y x由（1）a y ≤0，由（2）cb y 20=∴ 当c b a 2≥时，存在点M ，使2b S =；当c b a 20<<时，不存在满足条件的点M当cb a 2≥时，),(001y x c MF ---=，),(002y x c MF --=由2222022021b c a y c x MF MF =-=+-=⋅212121cos MF F MF MF MF MF ∠⋅⋅=⋅221sin b MF F S =∠⋅=得2tan 21=∠MF F 22.（1）由题意2)(2-=x x x f当2<x 时，x x x x f =-=)2()(2，解得0=x 或1=x 当2≥x 时，x x x x f =-=)2()(2，解得21+=x ，（0,21=-=x x 舍去）∴ 所求解集为{}21,1,0+（2）① 当1≤a ，23)(ax x x f -= ]2,1[∈x0)32(323)(2>-=-='a x x ax x x f则)(x f 是]2,1[上的增函数，此时a f x f -==1)1()(min② 当21≤<a 时，0)(2≥-=a x x x f ，由0)(=a f ∴ 0)(min =x f③ 当2>a 时，32)(x ax x f -= ]2,1[∈x)32(332)(2x a x x ax x f -=-='若3≥a ，在区间（1，2）内，0)(>'x f 从而)(x f 为区间[1，2]上的增函数 ∴ 1)1()(min -==a f x f若32<<a ，则2321<<a当a x 321<<时，0)(>'x f ，)(x f 为区间[a 32,1]的增函数当232<<x a 时，0)(<'x f ，)(x f 为区间]2,32[a 上的减函数 因此32<<a 时，)(x f 的最小值为1-a 或)2(4-a若1)2(4-≤-a a ，即372≤<a ，)2(4)(min -=a x f若1)2(4->-a a ，即337<<a ，1)(min -=a x f综上所述⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤<-≤<≤-=37)1(372)2(421011)(min a a a a a a ax f。