2019-2020学年高中数学 2.3.2平面与平面垂直的判定学案 新人教A版必修2.doc
高中数学新人教版必修2教案2.3.2平面与平面垂直的判定(教案).doc
备课人
授课时间
课题
§2.3.2平面与平面垂直的判定
教
学
目
标
知识与技能
使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。
过程与方法
启发引导，充分发挥学生的主体作用
情感态度价值观
激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力
重点
平面与平面垂直的判定
2、课后思考问题：在表示二面角的平面角时，为何要求“OA⊥L、OB⊥L”？为什么∠AOB的大小与点O在L上的位置无关？
教
学
小
结
（1）二面角以及平面角的有关概念
（2）两个平面垂直的判定定理的内容，它与直线与平面垂直的判定定理有何关系？
课后
反思
3
教师特别指出：
图2.3-3
（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L”，OB⊥L；
（2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关；
（3）当二面角的平面角是直角时，这两个平
面的位置关系怎样？
承上
2
教
学
设
计
教学内容
教学环节与活动设计
承上启下，引导学生观察，类比、自主探究，得两个平面互相垂直的判定定理：
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
难点
如何度量二面角的大小
教
学
设
计
教学内容
教学环节与活动设计
（一）创设情景，揭示课题
问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？
问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？
以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？如修水坝、发射人造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？下面我们共同来观察,研探。
高中数学 第二章2.3.2平面与平面垂直的判定导学案 新人教A版必修2
2.3.2 平面与平面垂直的判定问题导学一、面面垂直的判定活动与探究1在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面△ABC为等边三角形，E∈BB1，且BE＝EB1．求证：平面A1EC⊥平面ACC1A1(注：侧棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱)．迁移与应用1．如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则图中互相垂直的平面共有__________对．2．在四棱锥P－ABCD中，若PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD是菱形，求证：平面PAC⊥平面PBD．证明面面垂直有两种基本方法：①定义法：先作(或找)出二面角的平面角，再证明该角是90°；②判定定理法：在一个平面内找(或作)出一条直线，再证明该直线与另一个平面垂直．二、求二面角的大小活动与探究2四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB．(1)求二面角A－PD－C平面角的度数；(2)求二面角B－PA－D平面角的度数；(3)求二面角B－PA－C平面角的度数．迁移与应用1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是BD的中点，二面角C1－AB－C的平面角是__________；二面角C1－BD－C的平面角是__________，其正切值为__________．2．在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，BC⊥AC，则二面角S－BC－A的平面角是__________．求二面角的大小的方法为：一作，即先作出二面角的平面角；二证，即说明所作角是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，再求出角的大小．三、线面垂直与面面垂直的综合应用活动与探究3如图，P是矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，又二面角P－CD－B为45°．(1)求证：AF∥平面PEC；(2)求证：平面PEC⊥平面PCD．迁移与应用1．过一条直线和一个平面垂直的平面有( )A．一个B．无数个C．一个或无数个D．0个2．如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点．求证：平面EBD⊥平面ABCD．证“面面垂直”转化为“线面垂直”，证“线面垂直”转化为“线线垂直”，即线线垂直→线面垂直→面面垂直．当堂检测1．下列命题中①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是( )A．①③ B．②④ C．③④ D．①②2．对于直线a，b，c和平面α，β，已知a⊂α，b⊂β，c⊂β，a⊥b，a⊥c，则α与β的位置关系是( )A．α⊥β B．α∥βC．α∩β＝l D．不确定3．以等腰直角三角形斜边上的高为棱，把它折成直二面角，则折后两条直角边的夹角为( )A．30° B．45° C．60° D．90°4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AA1C1C与平面C1BD的位置关系是________．5．在四面体A－BCD中，BD＝2a，其余棱长均为a，则二面角A－BD－C的大小为__________．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．答案：课前预习导学【预习导引】1．两个半平面二面角的棱二面角的面α－AB－βP－AB－Qα－l－βP－l －Q2．垂直于l射线OA和OB直二面角预习交流1(1)提示：0°≤θ＜180°(2)提示：二面角α－l－β的平面角∠AOB满足的条件是：①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l．(3)提示：根据等角定理，二面角的平面角的大小与在棱上选取的点的位置无关．3．直二面角预习交流2提示：90°4．垂线a⊥α，a⊂β，则α⊥β预习交流3 提示：要证明两个平面垂直，只需在一个平面内找(或作)一条直线与另一个平面垂直，并证明即可．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：要证明平面A1EC⊥平面ACC1A1，只需在平面A1EC内找一条线与平面ACC1A1垂直．证明：取A1C的中点F，AC的中点G，连接EF，FG，BG，则GF 12AA1．又BE 12AA1，∴GF BE．∴EF∥GB．∵△ABC是等边三角形，∴BG⊥AC．∴EF⊥AC．又AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BG．∴EF⊥AA1．∵AC∩AA1＝A，∴EF⊥平面ACC1A1．∵EF⊂平面A1EC，∴平面A1EC⊥平面ACC1A1．迁移与应用1．32．证明：∵PA⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，∴PA ⊥BD ．∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ．∵PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC ．∵BD ⊂平面PBD ，∴平面PAC ⊥平面PBD ．活动与探究2 思路分析：(1)证明面PAD ⊥面PCD ；(2)，(3)先找出二面角的平面角，再证明该角满足平面角的定义，最后在三角形中求角的大小．解：(1)∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ．又四边形ABCD 为正方形，∴CD ⊥AD ．PA ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面PAD ． 又CD ⊂平面PCD ，∴平面PAD ⊥平面PCD ．∴二面角A －PD －C 平面角的度数为90°． (2)∵PA ⊥平面ABCD ， ∴AB ⊥PA ，AD ⊥PA ．∴∠BAD 为二面角B －PA －D 的平面角．又由题意∠BAD ＝90°， ∴二面角B －PA －D 平面角的度数为90°． (3)∵PA ⊥平面ABCD ， ∴AB ⊥PA ，AC ⊥PA ．∴∠BAC 为二面角B －PA －C 的平面角．又四边形ABCD 为正方形，∴∠BAC ＝45°，即二面角B －PA －C 平面角的度数为45°．迁移与应用 1．∠C 1BC ∠C 1OC 2 2．∠SCA活动与探究3 思路分析：(1)取PC 中点G ，可证AF ∥EG ；(2)证明AF ⊥平面PCD ，则EG ⊥平面PCD ，可得平面PEC ⊥平面PCD ．证明：(1)取PC 的中点G ；连接EG ，FG ．∵F 是PD 的中点，∴FG12CD ．又AE 12CD ， ∴AE FG ．∴四边形AEGF 是平行四边形．∴AF ∥EG ． 又AF ⊄平面PEC ，EG ⊂平面PEC ，∴AF ∥平面PEC ． (2)∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ．又∵CD ⊥AD ，且PA ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面PAD ． ∴CD ⊥AF ，CD ⊥PD ．∴∠PDA 是二面角P －CD －B 的平面角，即∠PDA ＝45°． 又∵PA ⊥AD ，F 是PD 中点，∴AF⊥PD．∵PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD．∵AF∥EG，∴EG⊥平面PCD．∵EG⊂平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD．迁移与应用1．C2．证明：如图所示，连接AC，与BD交于点F，连接EF．因为F为ABCD对角线AC 与BD的交点，所以F为AC的中点．又E为SA的中点，所以EF为△SAC的中位线，所以EF∥SC．又SC⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD．又EF⊂平面EBD，所以平面EBD⊥平面ABCD．【当堂检测】1．B 2．D 3．C 4．垂直5．90°。
2.3.2平面与平面垂直的判定学案【人教版】高中数学必修
学习目标：（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；合作探究：知识点1.二面角的定义及相关概念半平面：二面角：二面角的表示：二面角的画法：（1）卧式法（2）立式法二面角的平面角的定义：二面角的平面角的范围：题型一、定义法求二面角例1、如图四面体ABCD 的棱BD 长为2，其余各棱长均为2，求二面角A-BD-C 的大小。
题型二、无棱二面角的求法例2如图，过正方形ABCD 的顶点A 作PA 平面ABCD ，设PA=AB=a,求平面PAB 和平面PCD 所成的二面角的大小。
A CDB QP知识点2、两个平面垂直的定义，画法两个平面互相垂直：两个互相垂直的平面画法：平面α与β垂直，记作：知识点3、两个平面垂直的判定平面与平面垂直的判定定理：题型三、面面垂直的判定定理例3、如图，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于A ，B 的任意一点，求证：平面PA C ⊥平面PBC 。
跟踪练习：如图，在三棱锥P-ABC 中，已知PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，D 、E 分别是点A 在PB ，PC 上的射影，求证：（1）平面PBC ⊥平面PAB 。
（2）AD ⊥平面PBC 。
（3）平面ADE ⊥平面PAC 。
综合应用：若二面角βα--l 的一个半平面α上有一个点A ，点A 到棱l 的距离是它到另一个平面β的距离的2倍，则这个二面角的大小为___________。
高中数学人教A版必修2《2.3.2平面与平面垂直的判定》教案2
必修二平面与平面垂直的判定【教学目标】1.探究平面与平面垂直的判定定理，二面角的定义及应用，培养学生的归纳能力.2.掌握平面与平面垂直的判定定理的应用，培养学生的空间想象能力.3.引导学生总结求二面角的方法,培养学生归纳问题的能力.【重点难点】教学重点:平面与平面垂直判定.教学难点:平面与平面垂直判定和求二面角.【课时安排】1课时【教学过程】复习两平面的位置关系：（1）如果两个平面没有公共点，则两平面平行⇔若α∩β=∅,则α∥β.（2）如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交⇔若α∩β=AB,则α与β相交. 两平面平行与相交的图形表示如图1.图1导入新课前边举过门和墙所在平面的关系，随着门的开启，其所在平面与墙所在平面的相交程度在变，怎样描述这种变化呢？今天我们一起来探究两个平面所成角问题.推进新课新知探究提出问题①二面角的有关概念、画法及表示方法.②二面角的平面角的概念.③两个平面垂直的定义.④用三种语言描述平面与平面垂直的判定定理，并给出证明.⑤应用面面垂直的判定定理难点在哪里？讨论结果：①二面角的有关概念.二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.二面角常用直立式和平卧式两种画法：如图2（教师和学生共同动手）.直立式：平卧式：(1) (2)图2二面角的表示方法：如图3中，棱为AB，面为α、β的二面角，记作二面角α-AB-β.有时为了方便也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角P-AB-Q.图3如果棱为l，则这个二面角记作αlβ或PlQ.②二面角的平面角的概念.如图4,在二面角αlβ的棱上任取点O，以O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB组成∠AOB.图4再取棱上另一点O′，在α和β内分别作l的垂线O′A′和O′B′，则它们组成角∠A′O′B′.因为OA ∥O′A′,OB ∥O′B′，所以∠AOB 及∠A′O′B′的两边分别平行且方向相同,即∠AOB=∠A′O′B′.从上述结论说明了：按照上述方法作出的角的大小，与角的顶点在棱上的位置无关.由此结果引出二面角的平面角概念：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 图中的∠AOB,∠A′O′B′都是二面角αlβ的平面角.③直二面角的定义.二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.教室的墙面与地面，一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的.两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念相类似，也是用它们所成的角为直角来定义，二面角既可以为锐角，也可以为钝角，特殊情形又可以为直角.两个平面互相垂直的定义可表述为：如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直. 直二面角的画法：如图5.图5④两个平面垂直的判定定理.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 两个平面垂直的判定定理符号表述为：⎭⎬⎫⊂⊥αβAB AB ⇒α⊥β. 两个平面垂直的判定定理图形表述为：如图6.图6证明如下：已知AB⊥β，AB∩β=B，AB⊂α.求证：α⊥β.分析：要证α⊥β,需证α和β构成的二面角是直二面角，而要证明一个二面角是直二面角，需找到其中一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角.证明：设α∩β=CD，则由AB⊂α,知AB、CD共面.∵AB⊥β，CD⊂β,∴AB⊥CD，垂足为点B.在平面β内过点B作直线BE⊥CD,则∠ABE是二面角αCDβ的平面角.又AB⊥BE，即二面角αCDβ是直二面角,∴α⊥β.⑤应用面面垂直的判定定理难点在于：在一个平面内找到另一个平面的垂线,即要证面面垂直转化为证线线垂直.应用示例例1 如图7,⊙O在平面α内，AB是⊙O的直径，PA⊥α，C为圆周上不同于A、B的任意一点.图7求证：平面PAC⊥平面PBC.证明：设⊙O所在平面为α,由已知条件，PA⊥α,BC⊂α,∴PA⊥BC.∵C为圆周上不同于A、B的任意一点,AB是⊙O的直径,∴BC⊥AC.又∵PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线，∴BC⊥平面PAC.∵BC⊂平面PBC,∴平面PAC⊥平面PBC.变式训练如图8，把等腰Rt △ABC 沿斜边AB 旋转至△ABD 的位置，使CD=AC ，图8（1）求证：平面ABD ⊥平面ABC ；（2）求二面角CBDA 的余弦值.（1）证明：由题设,知AD=CD=BD,作DO ⊥平面ABC ，O 为垂足，则OA=OB=OC.∴O 是△ABC 的外心，即AB 的中点.∴O ∈AB ，即O ∈平面ABD.∴OD ⊂平面ABD.∴平面ABD ⊥平面ABC.（2）解:取BD 的中点E ，连接CE 、OE 、OC,∵△BCD 为正三角形，∴CE ⊥BD.又△BOD 为等腰直角三角形,∴OE ⊥BD.∴∠OEC 为二面角CBDA 的平面角.同（1）可证OC ⊥平面ABD.∴OC ⊥OE.∴△COE 为直角三角形.设BC=a ，则CE=a 23，OE=a 21，∴cos ∠OEC=33=CE OE . 点评：欲证面面垂直关键在于在一个平面内找到另一个平面的垂线.例2 如图9所示，河堤斜面与水平面所成二面角为60°，堤面上有一条直道CD ，它与堤角的水平线AB 的夹角为30°，沿这条直道从堤脚向上行走到10 m 时人升高了多少？（精确到0.1 m ）图9解：取CD 上一点E ，设CE=10 m ，过点E 作直线AB 所在的水平面的垂线EG ，垂足为G ，则线段EG 的长就是所求的高度.在河堤斜面内，作EF ⊥AB ，垂足为F ，并连接FG ,则FG ⊥AB,即∠EFG 就是河堤斜面与水平面ABG 所成二面角的平面角,∠EFG=60°,由此,得EG=EFsin60°=CEsin30°sin60°=10×2352321=⨯≈4.3（m ）. 答：沿直道行走到10 m 时人升高约4.3 m.变式训练已知二面角αABβ等于45°，CD ⊂α，D ∈AB ，∠CDB=45°.求CD 与平面β所成的角.解：如图10，作CO ⊥β交β于点O ，连接DO ，则∠CDO 为DC 与β所成的角.图10过点O 作OE ⊥AB 于E ，连接CE ，则CE ⊥AB.∴∠CEO 为二面角αABβ的平面角，即∠CEO=45°.设CD=a,则CE=a 22,∵CO ⊥OE ，OC=OE ， ∴CO=a 21.∵CO ⊥DO,∴sin ∠CDO=21=CD CO . ∴∠CDO=30°,即DC 与β成30°角.点评：二面角是本节的另一个重点，作二面角的平面角最常用的方法是：在一个半平面α内找一点C ，作另一个半平面β的垂线，垂足为O,然后通过垂足O 作棱AB 的垂线，垂足为E,连接AE,则∠CEO 为二面角α-AB-β的平面角.这一过程要求学生熟记.拓展提升如图11，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD=60°，N 是PB 中点，过A 、D 、N 三点的平面交PC 于M ，E 为AD 的中点.图11（1）求证：EN ∥平面PCD ；（2）求证：平面PBC ⊥平面ADMN ；（3）求平面PAB 与平面ABCD 所成二面角的正切值.(1)证明：∵AD ∥BC,BC ⊂面PBC,AD ⊄面PBC,∴AD ∥面PBC.又面ADN∩面PBC=MN,∴AD ∥MN.∴MN ∥BC.∴点M 为PC 的中点.∴MN 21BC. 又E 为AD 的中点，∴四边形DENM 为平行四边形.∴EN ∥DM.∴EN ∥面PDC.（2）证明：连接PE 、BE,∵四边形ABCD 为边长为2的菱形，且∠BAD=60°, ∴BE ⊥AD.又∵PE ⊥AD,∴AD ⊥面PBE.∴AD ⊥PB.又∵PA=AB 且N 为PB 的中点,∴AN ⊥PB.∴PB ⊥面ADMN.∴平面PBC ⊥平面ADMN. （3）解：作EF ⊥AB ，连接PF ，∵PE ⊥平面ABCD,∴AB ⊥PF.∴∠PFE 就是平面PAB 与平面ABCD 所成二面角的平面角. 又在Rt △AEB 中，BE=3，AE=1，AB=2,∴EF=23. 又∵PE=3,∴tan ∠PFE=233=EF PE =2,即平面PAB 与平面ABCD 所成的二面角的正切值为2.课堂小结知识总结：利用面面垂直的判定定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题.作业课本习题2.3 A组1、2、3.。
高中数学(232平面与平面垂直的判定)学案 新人教A版必修2 学案
BDC AE FG2.3.2 平面与平面垂直的判定学案一．学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中面面垂直的判定，掌握二面角和两个平面垂直的定义，理解平面与平面垂直的判定定理并会用判定定理证明平面与平面垂直的关系，会用所学知识求两平面所成的二面角的平面角的大小.二．重点、难点： 重点： 难点： 三．知识要点：1. 定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle ）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角AB αβ－－. （简记P AB Q －－）2. 二面角的平面角：在二面角l αβ－－的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面,αβ内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角. 范围：0180θ︒<<︒.3. 定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 记作αβ⊥.4. 判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. （线面垂直→面面垂直） 四．自主探究： （一）例题精讲：【例1】已知正方形ABCD 的边长为1，分别取边BC 、CD 的中点E 、F ，连结AE 、EF 、AF ，以AE 、EF 、FA 为折痕，折叠使点B 、C 、D 重合于一点P .（1）求证：AP ⊥EF ；（2）求证：平面APE ⊥平面APF . 证明：（1）如右图，∵∠APE =∠APF =90°，PE ∩PF =P ， ∴ PA ⊥平面PEF . ∵EF ⊂平面PEF ，∴PA ⊥EF . （2）∵∠APE =∠EPF =90°，AP ∩PF =P ，∴PE ⊥平面APF . 又PE ⊂平面PAE ，∴平面APE ⊥平面APF .【例2】如图, 在空间四边形ABCD 中，,,AB BC CD DA == ,,E F G 分别是,,CD DA AC 的中点，求证：平面BEF ⊥平面BGD .证明：,AB BC G =为AC 中点，所以AC BG ⊥. 同理可证,AC DG ⊥ ∴ AC ⊥面BGD . 又易知EF //AC ，则EF ⊥面BGD .又因为EF ⊂面BEF ，所以平面BEF ⊥平面BGD .【例3】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1CC 的中点，求证：1A BD BED ⊥平面平面． 证明：连接AC ，交BD 于F ，连接1A F ，EF ，1A E ，11A C .由正方体1111ABCD A B C D -，易得11A D A B =，ED EB =，F 是BD 的中点， 所以1,A F BD EF BD ⊥⊥，得到1A FE ∠是二面角1A BD E --的平面角.设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则22222112(2)6A F A A AF =+=+=，222221(2)3EF CE CF =+=+=， 22222111(22)19A E A C CE =+=+=.∴ 22211A F EF A E +=，即1A F EF ⊥，所以1A BD BED ⊥平面平面.点评：要证两平面垂直，证其二面角的平面角为直角，这也是证两平面垂直的常用方法. 此题由几何图形的特征，作出待证的两个垂直平面所成二面角的平面角是解决问题的关键.【例4】正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1=2AB ，D 、E 分别是侧棱BB 1、CC 1上的点，且EC =BC =2BD ，过A 、D 、E 作一截面，求：（1）截面与底面所成的角；（2）截面将三棱柱分成两部分的体积之比.解：（1）延长ED 交CB 延长线于F ，1//,,.1202DB EC BD EC FB BC AB ABF =∴==∠=︒又，∴ 30BAF BFA ∠=∠=︒，90FAC ∠=︒.∵,AA AF AC AF '⊥⊥， ∴ ,AF AE EAC ⊥∠为截面与底面所成二面角的平面角.在Rt △AEC 中，EC =AC ，故得∠EAC =45°.（2）设AB =a ，则31132,,,238A BCED BCED AA a BD a EC a V h S a -'===∴=⋅=，23333332,428A B C ABC ABC ADE A B C V S AA a a a V a '''''''-∆-'=⋅=⋅==. ∴ 3ADE A B C A BCDE V S '''--=.点评：截面问题的研究，需注意结合截面的性质. 如何作出截面，是解决问题的关键，然后把截面的看成一个平面图形. 求二面角时，抓住二面角的平面角定义（两线垂棱），找出其平面角，解直角三角形.第17练 §2.3.2 平面与平面垂直的判定五．目标检测： （一）基础达标1．对于直线m 、n 和平面α、β，αβ⊥的一个条件是（ ）.EDC 1B 1A 1C BAA ．m n ⊥，//m α，//n β B. ,,m n m n αβα⊥=⊥C ．//,,//m n n m αβ⊥ D. //m n ， m α⊥， n β⊥2．过正方形ABCD 的顶点A 作线段AP ⊥平面ABCD ，且AP =AB ，则平面ABP 与平面CDP 所成的二面角的度数是（ ）.A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°3．在三棱锥A —BCD 中，如果AD ⊥BC ，BD ⊥AD ，△BCD 是锐角三角形，那么（ ）. A. 平面ABD ⊥平面ADC B. 平面ABD ⊥平面ABC C. 平面BCD ⊥平面ADC D. 平面ABC ⊥平面BCD4．在直二面角AB αβ--棱AB 上取一点P ，过P 分别在,αβ平面内作与棱成45°角的斜线PC 、PD ，则∠CPD 的大小是（ ）.A ．45°B ．60°C ．120°D ．60°或120°5．下面四个说法：① 如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直； ②过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直；③垂直同一平面的两条直线互相平行；④经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直.其中正确的说法个数是（ ）.A.1B. 2C. 3D. 46．E 是正方形ABCD 的AB 边中点，将△ADE 与△BCE 沿DE 、CE 向上折起，使得A 、B 重合为点P ，那么二面角D —PE —C 的大小为 .7．空间四边形ABCD 中，AB =BC ，CD =DA ，E 是AC 的中点，则平面BDE 与平面ABC 的位置关系是 . （二）能力提高8．如图，正三角形ABC 的边长为3，过其中心G 作BC 边的平行线，分别交AB 、AC 于1B 、1C . 将11AB C ∆沿11B C 折起到111A B C ∆的位置，使点1A 在平面11BB C C 上的射影恰是线段BC 的中点M . 试求二面角111A B C M --的大小.9．如图，棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱AB 和BC 的中点，M 为棱1B B 的中点. 求证：（1）EF ⊥平面11BB D D ；（2）平面1EFB ⊥平面11D C M .（三）探究创新10．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA 垂直于底面，E 、F 分别是AB 、PC 的中点.（1）求证：CD ⊥PD ； （2）求证：EF ∥平面PAD ；（3）当平面PCD 与平面ABCD 成多大角时，直线EF ⊥平面PCD ？BDA B 1D 11FM。
2019-2020年人教A版高中数学必修二2.3.2《平面与平面垂直的判定》word教案
2019-2020年人教A版高中数学必修二2.3.2《平面与平面垂直的判定》word教案一、教材分析在空间平面与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面垂直的定义是通过二面角给出的，二面角是高考中的重点和难点.使学生掌握两个平面互相垂直的判定，提高学生空间想象能力，提高等价转化思想渗透的意识，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力；使学生学会多角度分析、思考问题，培养学生的创新精神.二、教学目标1．知识与技能（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在教学问题解决上的作用.2．过程与方法（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理.3．情态、态度与价值观通过揭示概念的形成、发展和应有和过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力.三、教学重点与难点教学重点:平面与平面垂直判定.教学难点:平面与平面垂直判定和求二面角.四、课时安排1课时五、教学设计（一）复习两平面的位置关系：（1）如果两个平面没有公共点，则两平面平行⇔若α∩β=∅,则α∥β.（2）如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交⇔若α∩β=AB,则α与β相交.两平面平行与相交的图形表示如图1.图1（二）导入新课思路1.(情境导入)为了解决实际问题，人们需要研究两个平面所成的角.修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用必须使水坝面与水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度.为此，我们引入二面角的概念，研究两个平面所成的角.思路2.(直接导入)前边举过门和墙所在平面的关系，随着门的开启，其所在平面与墙所在平面的相交程度在变，怎样描述这种变化呢？今天我们一起来探究两个平面所成角问题.（三）推进新课、新知探究、提出问题①二面角的有关概念、画法及表示方法.②二面角的平面角的概念.③两个平面垂直的定义.④用三种语言描述平面与平面垂直的判定定理，并给出证明.⑤应用面面垂直的判定定理难点在哪里？讨论结果：①二面角的有关概念.二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.二面角常用直立式和平卧式两种画法：如图2（教师和学生共同动手）.直立式：平卧式：(1) (2)图2二面角的表示方法：如图3中，棱为AB，面为α、β的二面角，记作二面角α-AB-β.有时为了方便也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角P-AB-Q.图3如果棱为l，则这个二面角记作αlβ或PlQ.②二面角的平面角的概念.如图4,在二面角αlβ的棱上任取点O，以O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB组成∠AOB.图4再取棱上另一点O′，在α和β内分别作l的垂线O′A′和O′B′，则它们组成角∠A′O′B′.因为OA∥O′A′,OB∥O′B′，所以∠AOB及∠A′O′B′的两边分别平行且方向相同,即∠AOB=∠A′O′B′.从上述结论说明了：按照上述方法作出的角的大小，与角的顶点在棱上的位置无关.由此结果引出二面角的平面角概念：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.图中的∠AOB,∠A′O′B′都是二面角αlβ的平面角.③直二面角的定义.二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角. 教室的墙面与地面，一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的. 两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念相类似，也是用它们所成的角为直角来定义，二面角既可以为锐角，也可以为钝角，特殊情形又可以为直角. 两个平面互相垂直的定义可表述为：如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直. 直二面角的画法：如图5.图5④两个平面垂直的判定定理.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 两个平面垂直的判定定理符号表述为：⎭⎬⎫⊂⊥αβAB AB ⇒α⊥β.两个平面垂直的判定定理图形表述为：如图6.图6证明如下：已知AB ⊥β，AB∩β=B ，AB ⊂α. 求证：α⊥β.分析：要证α⊥β,需证α和β构成的二面角是直二面角，而要证明一个二面角是直二面角，需找到其中一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角.证明：设α∩β=CD ，则由AB ⊂α,知AB 、CD 共面. ∵AB ⊥β，CD ⊂β,∴AB ⊥CD ，垂足为点B. 在平面β内过点B 作直线BE ⊥CD, 则∠ABE 是二面角αCDβ的平面角.又AB ⊥BE ，即二面角αCDβ是直二面角, ∴α⊥β.⑤应用面面垂直的判定定理难点在于：在一个平面内找到另一个平面的垂线,即要证面面垂直转化为证线线垂直.（四）应用示例思路1例1 如图7,⊙O 在平面α内，AB 是⊙O 的直径，PA ⊥α，C 为圆周上不同于A 、B 的任意一点.图7求证：平面PAC ⊥平面PBC.证明：设⊙O 所在平面为α,由已知条件，PA ⊥α,BC ⊂α,∴PA ⊥BC. ∵C 为圆周上不同于A 、B 的任意一点,AB 是⊙O 的直径, ∴BC ⊥AC.又∵PA 与AC 是△PAC 所在平面内的两条相交直线， ∴BC ⊥平面PAC.∵BC ⊂平面PBC,∴平面PAC ⊥平面PBC. 变式训练如图8，把等腰Rt △ABC 沿斜边AB 旋转至△ABD 的位置，使CD=AC ，图8（1）求证：平面ABD ⊥平面ABC ； （2）求二面角CBDA 的余弦值. （1）证明：由题设,知AD=CD=BD,作DO ⊥平面ABC ，O 为垂足，则OA=OB=OC. ∴O 是△ABC 的外心，即AB 的中点. ∴O ∈AB ，即O ∈平面ABD. ∴OD ⊂平面ABD.∴平面ABD ⊥平面ABC.（2）解:取BD 的中点E ，连接CE 、OE 、OC, ∵△BCD 为正三角形，∴CE ⊥BD.又△BOD 为等腰直角三角形,∴OE ⊥BD. ∴∠OEC 为二面角CBDA 的平面角. 同（1）可证OC ⊥平面ABD.∴OC ⊥OE.∴△COE 为直角三角形. 设BC=a ，则CE=a 23，OE=a 21，∴cos ∠OEC=33=CE OE . 点评：欲证面面垂直关键在于在一个平面内找到另一个平面的垂线.例2 如图9所示，河堤斜面与水平面所成二面角为60°，堤面上有一条直道CD ，它与堤角的水平线AB 的夹角为30°，沿这条直道从堤脚向上行走到10 m 时人升高了多少？（精确到0.1 m ）图9解：取CD 上一点E ，设CE=10 m ，过点E 作直线AB 所在的水平面的垂线EG ，垂足为G ，则线段EG 的长就是所求的高度.在河堤斜面内，作EF ⊥AB ，垂足为F ，并连接FG ,则FG ⊥AB,即∠EFG 就是河堤斜面与水平面ABG 所成二面角的平面角, ∠EFG=60°,由此,得EG=EFsin60°=CEsin30°sin60°=10×2352321=⨯≈4.3（m ）. 答：沿直道行走到10 m 时人升高约4.3 m.变式训练已知二面角αABβ等于45°，CD ⊂α，D ∈AB ，∠CDB=45°.求CD 与平面β所成的角.解：如图10，作CO ⊥β交β于点O ，连接DO ，则∠CDO 为DC 与β所成的角.图10过点O 作OE ⊥AB 于E ，连接CE ，则CE ⊥AB. ∴∠CEO 为二面角αABβ的平面角， 即∠CEO=45°. 设CD=a,则CE=a 22,∵CO ⊥OE ，OC=OE ， ∴CO=a 21.∵CO ⊥DO,∴sin ∠CDO=21=CD CO . ∴∠CDO=30°,即DC 与β成30°角.点评：二面角是本节的另一个重点，作二面角的平面角最常用的方法是：在一个半平面α内找一点C ，作另一个半平面β的垂线，垂足为O,然后通过垂足O 作棱AB 的垂线，垂足为E,连接AE,则∠CEO 为二面角α-AB-β的平面角.这一过程要求学生熟记.思路2例1 如图11，ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD=2，∠BAD=60°.图11（1）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；（2）求点A 到平面PBD 的距离； （3）求二面角APBD 的余弦值.（1）证明：设AC 与BD 交于点O ，连接PO, ∵底面ABCD 是菱形,∴BD ⊥AC.∵PA ⊥底面ABCD,BD ⊂平面ABCD,∴的PA ⊥BD. 又PA∩AC=A,∴BD ⊥平面PAC.又∵BD ⊂平面PBD,∴平面PBD ⊥平面PAC.(2)解：作AE ⊥PO 于点E,∵平面PBD ⊥平面PAC,∴AE ⊥平面PBD. ∴AE 为点A 到平面PBD 的距离.在△PAO 中,PA=2,AO=2·cos30°=3,∠PAO=90°, ∵PO=722=+AO PA ,∴AE=7212732==∙PO AO PA .∴点A 到平面PBD 的距离为7212. 3）解：作AF ⊥PB 于点F,连接EF, ∵AE ⊥平面PBD,∴AE ⊥PB. ∴PB ⊥平面AEF,PB ⊥EF.∴∠AFE 为二面角APBD 的平面角. 在Rt △AEF 中,AE=7212,AF=2, ∴sin ∠AFE=742=AF AE ,cos ∠AFE=77)742(12=-. ∴二面角APBD 的余弦值为77. 变式训练如图12，PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点.（1）求证：MN ∥平面PAD ； （2）求证：MN ⊥CD ； （3）若二面角PDCA=45°，求证：MN ⊥平面PDC.图12 图13证明：如图13所示,（1）取PD 的中点Q ，连接AQ 、NQ,则QN 21DC,AM 21DC, ∴QN AM.∴四边形AMNQ 是平行四边形.∴MN ∥AQ.又∵MN⊄平面PAD,AQ⊂平面PAD,∴MN∥平面PAD.（2）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.又∵CD⊥AD,PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD.又∵AQ⊂平面PAD,∴CD⊥AQ.又∵AQ∥MN,∴MN⊥CD.（3）由（2）知，CD⊥平面PAD,∴CD⊥AD,CD⊥PD.∴∠PDA是二面角PDCA的平面角.∴∠PDA=45°.又∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD.∴AQ⊥PD.又∵MN∥AQ,∴MN⊥CD.又∵MN⊥PD,∴MN⊥平面PDC.例2 如图14,已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB=60°,AD=AA1，F 为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点.图14（1）求证：直线MF∥平面ABCD；（2）求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1；（3）求平面AFC1与平面ABCD所成二面角的大小.（1）证明：延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN.∵F是BB1的中点，∴F为C1N的中点，B为CN的中点.又M是线段AC1的中点，故MF∥AN.又∵MF⊄平面ABCD,AN⊂平面ABCD,∴MF∥平面ABCD.（2）证明：连接BD，由直四棱柱ABCD—A1B1C1D1,可知AA1⊥平面ABCD,又∵BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.又∵AC∩A1A=A,AC、A1A⊂平面ACC1A1,∴BD⊥平面ACC1A1.在四边形DANB中，DA∥BN且DA=BN，∴四边形DANB为平行四边形.故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1.又∵NA⊂平面AFC1,∴平面AFC1⊥平面ACC1A1.（3）解：由（2）,知BD⊥平面ACC1A1，又AC1⊂平面ACC1A1，∴BD⊥AC1.∵BD∥NA，∴AC1⊥NA.又由BD⊥AC,可知NA⊥AC，∴∠C1AC就是平面AFC1与平面ABCD所成二面角的平面角或补角.在Rt △C 1AC 中，tan ∠C 1AC=311=CA C C ，故∠C 1AC=30°. ∴平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的大小为30°或150°.变式训练如图15所示，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧面SDC ⊥底面ABCD ，且AB=2，SC=SD=2.图15（1）求证：平面SAD ⊥平面SBC ；（2）设BC=x ，BD 与平面SBC 所成的角为α，求sinα的取值范围. （1）证明：在△SDC 中，∵SC=SD=2，CD=AB=2,∴∠DSC=90°,即DS ⊥SC.∵底面ABCD 是矩形,∴BC ⊥CD.又∵平面SDC ⊥平面ABCD,∴BC ⊥面SDC. ∴DS ⊥BC.∴DS ⊥平面SBC.∵DS ⊂平面SAD,∴平面SAD ⊥平面SBC.（2）解：由（1）,知DS ⊥平面SBC,∴SB 是DB 在平面SBC 上的射影. ∴∠DBS 就是BD 与平面SBC 所成的角，即∠DBS=α. 那么sinα=DBDS. ∵BC=x,CD=2⇒DB=24x +,∴sinα=242x+.由0＜x ＜+∞,得0＜si nα＜22.（五）知能训练 课本本节练习.（六）拓展提升如图16，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD=60°，N 是PB 中点，过A 、D 、N 三点的平面交PC 于M ，E 为AD 的中点.图16（1）求证：EN ∥平面PCD ；（2）求证：平面PBC ⊥平面ADMN ；（3）求平面PAB 与平面ABCD 所成二面角的正切值. (1)证明：∵AD ∥BC,BC ⊂面PBC,AD ⊄面PBC, ∴AD ∥面PBC.又面ADN∩面PBC=MN, ∴AD ∥MN.∴MN ∥BC. ∴点M 为PC 的中点.∴MN21BC. 又E 为AD 的中点，∴四边形DENM 为平行四边形. ∴EN ∥DM.∴EN ∥面PDC.（2）证明：连接PE 、BE,∵四边形ABCD 为边长为2的菱形，且∠BAD=60°, ∴BE ⊥AD.又∵PE ⊥AD,∴AD ⊥面PBE.∴AD ⊥PB. 又∵PA=AB 且N 为PB 的中点, ∴AN ⊥PB.∴PB ⊥面ADMN. ∴平面PBC ⊥平面ADMN.（3）解：作EF ⊥AB ，连接PF ，∵PE ⊥平面ABCD,∴AB ⊥PF. ∴∠PFE 就是平面PAB 与平面ABCD 所成二面角的平面角. 又在Rt △AEB 中，BE=3，AE=1，AB=2,∴EF=23. 又∵PE=3,∴tan ∠PFE=233=EFPE=2,即平面PAB 与平面ABCD 所成的二面角的正切值为2.（七）课堂小结知识总结：利用面面垂直的判定定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题.（八）作业课本习题2.3 A 组1、2、3.。
2019-2020学年高中数学《2.3.1 直线与平面垂直的判定》学案 新人教A版必修2.doc
2019-2020学年高中数学《2.3.1 直线与平面垂直的判定》学案新人教A版必修2学习目标1. 理解直线与平面垂直的定义；2. 掌握直线与平面垂直的判定定理及其应用；3. 理解直线与平面所成的角的概念，会求直线与平面所成的角.学习过程一、课前准备6467复习1：当两条直线的夹角为______，这两条直线互相垂直；它们的位置关系是_______或________.复习2：如图10-1，直线aα⊂，请你任意作出至少3条和a垂直的直线，并感觉作出的直线中有和平面α垂直的直线吗？二、新课导学※探索新知探究1：直线和平面垂直的概念问题：如图10-2，将三角板直立起来，并且让它的一条直角边BC落在桌面上，观察AB边与桌面的位置关系呈什么状态？绕着AB边转动三角板，边AB与BC始终垂直吗？在转动的过程中，把BC看作桌面上不同的直线，你能得出什么结论吗？新知1：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记做lα⊥.l叫做垂线，α叫垂面，它们的交点P叫垂足.如图10-3所示.反思：⑴如果直线与平面内无数条直线都垂直，那么它和这个平面垂直吗？⑵用定义证明直线和平面垂直好证吗？你感觉难在哪里？探究2：直线与平面垂直的判定定理问题：如图10-4，将一块三角形纸片ABC 沿折痕AD 折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(,BD DC 与桌面接触).观察折痕AD 与桌面的位置关系.如何翻折才能使折痕AD 与桌面垂直呢？图10-4结论：当且仅当折痕AD 是BC 边上的高时，AD 所在的直线与桌面所在的平面α垂直.如下图所示.图10-5反思：⑴折痕AD 与桌面上的一条直线垂直时，能判断AD 垂直于桌面吗?⑵如图10-5，当折痕AD BC ⊥时，翻折后AD α⊥,即,AD CD AD BD ⊥⊥.由此你能得出什么结论?新知2：直线和平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.探究3：直线与平面所成的角新知3：如图10-6，直线PA 和平面α相交但不垂直，PA 叫做平面的斜线，PA 和平面的交点A 叫斜足；PO α⊥，AO 叫做斜线PA 在平面α上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条直线和平面所成的角.直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°角.※ 典型例题例1 如图10-7，已知a ∥b ，a α⊥，求证：b a ⊥.图10-7例2 如图10-8，在正方体中，求直线A B '和平面A B CD ''所成的角.图10-8※ 动手试试练1. 如图10-9，在三棱锥中，,VA VC AB BC ==，求证：VB AC ⊥.图10-9练2. 如图10-10，在Rt BMC ∆中，斜边5BM =，其射影4AB =，60MBC ∠=°,求MC 与平面CAB所成角的正弦值.三、总结提升※ 学习小结1. 直线与平面垂直的定义、判定；线线垂直与线面垂直的转化；2. 直线与平面所成的角的定义及求法.※ 知识拓展 求直线与平面所成的角关键是作出斜线上一点到平面的垂线，找到这点的射影—垂足的位置.确定点的射影位置的方法有①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面内的射影上②一个点到一个角的两边距离相等，则这个点的射影在这个角的角平分线上③若两个面垂直，则一个面上的点在另一面上的射影必在两个平面的交线上.）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 直线l 和平面α内两条直线都垂直，则l 与平面α的位置关系是（ ）.A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.都有可能2. 已知直线,a b 和平面α，下列错误的是（ ）.A.a a b b αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭B.//a b b a αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭C.a b b α⊥⎫⇒⎬⊥⎭a ∥α或a α⊂D.//a b αα⎫⇒⎬⊂⎭a ∥b 3. ,a b 是异面直线,那么经过b 的所有平面（ ）.A.只有一个平面与α平行B.有无数个平面与α平行C.只有一个平面与α垂直D.有无数个平面与α垂直4. 两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线的位置关系是________________.5. 若平面α∥平面β,直线a ⊥α,则a 与β_____.1. 过ABC ∆所在平面α外一点，作PO α⊥，垂足为O ，连接PA 、PB 、PC ，若P A P B ⊥，PB PC ⊥，PC PA ⊥，则点O 在ABC ∆的什么位置？2. 如图10-11，在正方体中，O 是底面的中心，B H D O ''⊥，H 为垂足，求证：B H '⊥面AD C '.。
2019-2020年高中数学平面与平面垂直的判定教案新课标人教版必修2(A)
2019-2020年高中数学平面与平面垂直的判定教案新课标人教版必修2(A)一、教学目标1、知识与技能（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。
2、过程与方法（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。
3、情态与价值通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。
二、教学重点、难点。
重点：平面与平面垂直的判定；难点：如何度量二面角的大小。
三、学法与教学用具。
1、学法：实物观察，类比归纳，语言表达。
2、教学用具：二面角模型（两块硬纸板）四、教学设计（一）创设情景，揭示课题问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？如修水坝、发射人造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？下面我们共同来观察,研探。
（二）研探新知1、二面角的有关概念老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）2、二面角的度量二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。
高中数学人教A版必修2《2.3.2平面与平面垂直的判定》教案5
必修二2.3.2 平面与平面垂直的判定【教学内容分析】本节课是高中数学人教A版必修二第二章“点、直线、平面之间的位置关系”第三节“线、平面垂直的判定及其性质”第3课时。
前两节分别学习了“线面垂直的判定”和“直线和平面所成角”。
面面垂直是垂直关系中的重点，是“转化”思想的又一重要体现。
平面与平面垂直需要“二面角”的概念，二面角定量地反映了两个平面相交的位置关系，但是如何来度量二面角的大小是一个难点。
根据“异面直线所成角”和“直线与平面所成角”的学习经验，自然想到用“平面化”的思想，进而给出二面角的平面角的概念。
面面垂直是面面相交的特殊情况，生活中面面垂直的例子大量存在，引导学生观察、结合大量实例，再类比归纳平面与平面平行的判定定理的过程，自然地就获得了面面垂直的判定定理。
【学情分析】听课学生是我校高二年级340班，共有60名学生。
这是一个高二理科班，班内不乏年级前十名的学生，基础相对扎实。
在本节课之前，学生已经学习了人教A版必修1、3、4、5的全部课程。
在必修2中从前面线面平行、面面平行、线面垂直等知识的学习过程中，已经把握了学习研究立体几何的一般方法——平面化，对线线、线面、面面间关系的转化也已经比较熟练，因此学习本节知识不会有太大困难。
【教学目标】1、知识与技能（1）理解二面角的有关概念；（2）理解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系；（3）熟悉线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化．2、过程与方法：在观察物体模型直观感知、操作确认的基础上，通过对几个递进式问题的思考和探究获得对二面角的平面角及面面垂直的认识；3、情感、态度与价值观：通过“直观感知、操作确认、推理证明”,培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力.【教学重点】平面与平面垂直的判定定理及其应用。
【教学难点】二面角的平面角概念。
【教学策略分析】本节课采用问题导学的方法，整节课提出6个简短而直击要害的问题，激发学习兴趣，调动学生思维。
高中数学 2.3.2平面与平面垂直的判定学案 新人教A版必修2(2)
青海师范大学附属第二中学高中数学 2.3.2平面与平面垂直的判定学案新人教A版必修2[学习要求]1．理解二面角及其平面角的概念，能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角；2．掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角；3．掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直．[学法指导]通过实例直观感知“两个平面互相垂直”、“二面角”概念的形成过程；类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理，提高分析、解决问题的能力.1．二面角：从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做 . 叫做二面角的面．2. 二面角的平面角如图：在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的叫做二面角的平面角．3．平面与平面的垂直(1)定义：如果两个平面相交且它们所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直．(2)面面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的，则这两个平面垂直．即a⊥β，a⊂α⇒ .[问题情境]在学习了异面直线所成的角、直线和平面所成的角后我们自然而然就提出：两个平面所成的角该怎么定义？如何衡量它的大小？为此，我们需要引入二面角的概念，研究两个平面所成的角．探究点一二面角的概念问题1 平面几何中“角”是怎样定义的？问题2 在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？问题3 在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？问题4如何用字母来记作二面角？问题5 二面角的大小反映了两个平面相交的位置关系，二面角的平面角是如何定义的？那我们应如何度量二面角的大小呢？探究点二两个平面垂直的概念问题1 教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？分别指出是哪些二面角？这些二面角各是多少度？问题2 如何定义两个平面互相垂直？问题3 如何画两个相互垂直的平面？平面α与平面β垂直，记作什么？探究点三两个平面垂直的判定问题1 判定两个平面互相垂直，除了定义外，还有其它的判定定理吗？问题2 如何用符号语言表达面面垂直的判定定理？例1 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.例2 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点．(1)求点C到平面A1ABB1的距离；(2)若AB1⊥A1C，求二面角A1－CD－C1的平面角的余弦值．[达标检测]1．直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是( )A．平行 B．可能重合 C．相交且垂直D．相交不垂直2．下列命题：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是 ( ) A．①③ B．②④ C．③④ D．①②3．下列命题中正确的是( ) A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥βC．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥βD．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β4．如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？[小结]1．证明两个平面垂直的主要途径(1)利用面面垂直的定义；(2)利用面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．2．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的的．2.3.2 平面与平面垂直的判定一、基础过关1．过两点与一个已知平面垂直的平面( ) A．有且只有一个B．有无数个 C．一个或无数个D．可能不存在2．不能肯定两个平面一定垂直的情况是( ) A．两个平面相交，所成二面角是直二面角 B．一个平面经过另一个平面的一条垂线C．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线 D．平面α内的直线a与平面β内的直线b垂直3．设有直线m、n和平面α、β，则下列结论中正确的是( )①若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β；②若m⊥n，α∩β＝m，n⊂α，则α⊥β；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.A．①② B．①③ C．②③ D．①②③4．设l是直线，α，β是两个不同的平面，下列结论中正确的是( ) A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β5．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________．6．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．第6题图第7题图7．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.求证：平面EFG⊥平面PDC.8. 如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝ 3.(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A—BE—P的大小．二、能力提升9．在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，把菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝32，则二面角B－AC－D的余弦值为( )A.13B.12C.223D.3210．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的( ) A．BC∥面PDF B．DF⊥面PAE C．面PDF⊥面ABC D．面PAE⊥面ABC11．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.12．如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E 分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面PAC.(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．三、探究与拓展13．如图所示，三棱锥P—ABC中，D是AC的中点，PA＝PB＝PC＝5，AC＝22，AB＝2，BC＝ 6.(1)求证：PD⊥平面ABC；(2)求二面角P—AB—C的正切值．跟踪训练1如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)EF∥面ACD；(2)面EFC⊥面BCD.跟踪训练2如图，平面角为锐角的二面角α—EF—β，A∈EF，AG⊂α，∠GAE＝45°，若AG 与β所成角为30°，求二面角α—EF—β的平面角．。
2019-2020学年高中数学人教A版必修2学案：2.3.2 平面与平面垂直的判定 Word版含解析.pdf
平面与平面垂直是平面与平面相交的特殊情况，对这种特殊关系的认识，既可以从平面与平面的夹角为直角的角度讨论，又可以从已有的线面垂直关系出发进行推理论证．面面垂直源自线线垂直，这种转化为“低维在解题时非常重要，一方面从条件入手，分析已有的垂直关系，另一方面从结论入手，分析所要证明的垂直关系，从而找到解决问题的途α－l－β或二面角角P－l－Q0°≤θ≤180°构成的∠AOB叫作二面角的平面角α，OB⊂β，OA为二面角α－l－β的平面角作二面角的平面角的方法定义法)：在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．AOB为二面角α－a －β的平面角．垂面法)：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直，如图：一个平面过另一个平面的垂线，则定理的关键词是“过另一面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若l ⊥α，则过l 有无数个平面与α垂直．( )(2)两垂直的平面的二面角的平面角大小为90°.( )答案：(1)√ (2)√2.如图所示，已知PA ⊥矩形ABCD 所在的平面，则图中互相垂直的平面有( )A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对解析：由PA ⊥矩形ABCD 知，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAB ⊥平面ABCD ；由AB ⊥平面PAD 知，平面PAB ⊥平面PAD ；由BC ⊥平面PAB 知，平面PBC ⊥平面PAB ；由DC ⊥平面PAD 知，平面PDC ⊥平面PAD .故题图中互相垂直的平面有5对．选D.答案：D3．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有( )A．平面ABC⊥平面ADC B．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBC D．平面ADC⊥平面DBC解析：因为AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，所以AD⊥平面DBC.又因为AD⊂平面ADC，所以平面ADC⊥平面DBC.故选D.答案：D4．对于直线m、n和平面α、β，能得出α⊥β的一个条件是( ) A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β解析：取正方体ABCD－A1B1C1D1，连接AC，A1C1，把AD所在直线看作直线m，BB1所在直线看作直线n，把平面BB1C1C作为平面α，平面AA1C1C作为平面β.对于A虽满足m⊥n，m∥α，n∥β，但α不垂直于β，从而否定A.类似地可否定B和D.答案：C类型一 求二面角例1 如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中：(1)求二面角D′－AB－D的大小；(2)求二面角A′－AB－D的大小．【解析】 (1)在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD为二面角D′－AB－D 的平面角．在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′－AB－D 的大小为45°.(2)因为AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′，∠A′AD为二面角A′－AB－D的平面角．又∠A′AD＝90°，所以二面角A′－AB－D的大小为90°.找出二面角的平面角→证明所找的角即所求→计算该角的大小方法归纳求二面角平面角的常用方法(1)定义法：在二面角的棱上找一特殊点，过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．(2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．(3)垂线法：过二面角的一个平面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角，此种方法通用于求二面角的所有题目，具体步骤为：一找，二证，三求．跟踪训练1 如图所示，α∩β＝CD，P为二面角内部一点．PA⊥α.PB⊥β，垂足分别为A，B.(1)证明：AB⊥CD；(2)若△PAB为等边三角形，求二面角α－CD－β的大小．解析：(1)证明：∵Error!∴CD⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，∴CD⊥AB.(2)∵△PAB为等边三角形，∴∠APB＝60°.故二面角α－CD－β的平面角为120°.(1)由α∩β＝CD，PA⊥α，PB⊥β推出CD⊥平面PAB，从而得出CD⊥AB；(2)可转化为求∠APB，再求出二面角的大小．类型二 平面与平面垂直的判定＝90°，∠BSA＝∠SBC. 证法一：利用定义证明．SA＝SB＝SC，SBC为共底边BC，连接AD，SD，BC－S的平面角．2．证明平面与平面垂直的方法ABC－A1B1C是棱AA1的中点．BDC.BC⊥AC，CC[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．在空间四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC 的中点，下列判断正确的是( )A．平面ABD⊥平面BDC B．平面ABC⊥平面ABDC．平面ABC⊥平面ADC D．平面ABC⊥平面BED解析：由已知条件得AC⊥DE，AC⊥BE，于是有AC⊥平面BED，又AC⊂平面ABC，所以有平面ABC⊥平面BED成立．答案：D2．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，已知m∥α，n⊥β，下列说法正确的是( )A．若m⊥n，则α⊥βB．若m∥n，则α⊥βC．若m⊥n，则α∥βD．若m∥n，则α∥β解析：若m⊥n，则α与β可以平行或相交，故A，C错误；若m∥n，则α⊥β，D错，选B.答案：B3．如图，已知PA垂直于△ABC所在平面，且∠ABC＝90°，连接PB，PC，则图形中互相垂直的平面有( )A．一对 B．两对C．三对D．四对解析：由PA⊥平面ABC得平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，且PA⊥BC，又∠ABC＝90°，所以BC⊥平面PAB，从而平面PBC⊥平面PAB.故选C.答案：C4.如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，ABCD外一点，且PAD的位置关系是PBC、平面PAD都垂直为所求二面角的平面角，________(填序号)．ABCD－A1B1C1D为γ，显然①正确．分，共20分)是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，PBC.是圆的直径，得AC⊥BC.平面ABC，得PAC.在四棱锥P－ABCD中，底面，AB＝1，BC＝2，AC2，AC＝，∴BC3ACD＝90°，即AC⊥是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，，则二面角P－，分别为直角三角形ABC折起到△A′EF的位置，FB；A的余弦值．OB，OO′，为直角梯形．过点F作，所以FM⊥平面ABC＝3.。
高中数学 2.3.2两平面垂直的判定教学案 新人教A版必修2
河北省唐山市迁西县新集中学高中数学必修二教学案：2.3.2两平面垂直的判定
学习目标：掌握两个平面互相垂直的概念，并能用判定定理证明两平面垂直
一、基础知识梳理
1、概念
①二面角的定义：
②二面角的平面角：
③两平面垂直的定义及画法：
2、判定定理：
符号语言：
二、方法技巧探究
问题1.
（1）二面角是指（）
A 两个相交平面构成的图形
B 从一条直线出发的两个半平面构成的图形
C 从一个平面的一条直线出发的一个平面与这个平面构成的图形
D 过棱上一点，在两个面内分别作棱的垂线，这两条射线所成的角
（2）有下列4个说法：
①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；
③垂直于同一直线的两条直线平行；④垂直于同一直线的两个平面平行.
.
其中，正确的有
问题3.如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？
A
B C
D
问题4.在四面体ABCD 中，已知AC ⊥BD ，BAC=∠CAD=45°，∠BAD=60°，AB=AD 求证：平面A BC ⊥平面ACD.
三、课堂达标检测：
四、 方法归纳总结
五、 课后作业：金太阳固学案 A B
C D。
2019-2020学年新人教A版必修二 直线、平面垂直的判定及性质 教案
2019-2020学年新人教A版必修一直线、平面垂直的判定及性质教案第五节直线、平面垂直的判定及性质垂直的判定与性质(1)掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理．(2)掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理．知识点一直线与平面垂直1．直线与平面垂直的判定定理(1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(2)图形语言：如图1所示．(3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.2．直线与平面垂直的性质定理自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．图形语言：如图2所示．符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.易误提醒斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线，而不是线段．必记结论(1)直线与平面垂直的定义常常逆用，即a⊥α，b⊂α⇒a⊥b.(2)若平行直线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．[自测练习]1．设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“l⊥a，且l⊥b”是“l⊥α”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：由线面垂直的判定定理知，充分性不成立，由线面垂直的性质定理知，必要性成立，故选C.答案：C2．已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系为()A．b⊂αB．b∥αC．b⊂α或b∥αD．b与α相交解析：由a⊥b，a⊥α知b⊂α或b∥α，但直线b不与α相交．答案：C知识点二平面与平面垂直1．平面与平面垂直的判定(1)两个平面垂直的定义如果两个相交平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直．平面α与β垂直，记作α⊥β.(2)两个平面垂直的判定定理自然语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．图形语言：如图1所示．符号语言：AB⊥β，AB⊂α⇒α⊥β.图12．平面与平面垂直的性质自然语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．图形语言：如图2所示．图2符号语言：α⊥β，α∩β＝CD，AB⊂α，AB⊥CD⇒AB⊥β.易误提醒平面和平面垂直的判定定理的两个条件：l⊂α，l⊥β，缺一不可．必记结论(1)两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况，正方体中任意相邻的两个面都是互相垂直的；(2)由定理可知，要证明平面与平面垂线，可转化为从现有直线中寻找平面的垂线，即证明线面垂直；(3)面面垂直的判定定理提供了找出垂直于一个平面的另一个平面的依据．[自测练习]3．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是() A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥βC．若m⊥β，m∥α，则α⊥βD．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ解析：利用相关定理逐个判断．A中m与α的位置关系不确定，故错误；B中α，β可能平行或相交，故错误；由面面垂直的判定定理可知C正确；D中β，γ平行或相交，故错误，选C.答案：C4．四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥底面ABCD，则这个四棱锥的五个面中两两垂直的共有________对．解析：因为AD⊥AB，AD⊥P A且P A∩AB＝A，可得AD⊥平面P AB.同理可得BC⊥平面P AB、AB⊥平面P AD、CD⊥平面P AD，由面面垂直的判定定理可得，平面P AD⊥平面P AB，平面PBC ⊥平面P AB，平面PCD⊥平面P AD，平面P AB⊥平面ABCD，平面P AD⊥平面ABCD，共有5对．答案：5考点一直线与平面垂直的判定与性质|1．在空间中，l，m，n，a，b表示直线，α表示平面，则下列命题正确的是()A．若l∥α，m⊥l，则m⊥αB．若l⊥m，m⊥n，则m∥nC．若a⊥α，a⊥b，则b∥αD ．若l ⊥α，l ∥a ，则a ⊥α解析：易知选项A 不正确；选项B ，从m ⊥n 就可以看出结论是错误的；选项C 中，若b ⊂α，则C 不正确；选项D 是正确的．答案：D2．(2016·丽水一模)在四面体ABCD 中，下列条件不能得出AB ⊥CD 的是( ) A ．AB ⊥BC 且AB ⊥BD B ．AD ⊥BC 且AC ⊥BD C ．AC ＝AD 且BC ＝BD D ．AC ⊥BC 且AD ⊥BD解析：A.∵AB ⊥BD ，AB ⊥BC ，BD ∩BC ＝B ，∴AB ⊥平面BCD ，∵CD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥CD .B.设A 在平面BCD 内的射影为O ，则AO ⊥平面BCD ，∵AD ⊥BC ，AC ⊥BD ，∴O 为△BCD 的垂心，连接BO ，则BO ⊥CD ，又AO ⊥CD ，AO ∩BO ＝O ，∴CD ⊥平面ABO ，∵AB ⊂平面ABO ，∴AB ⊥CD .C.取CD 中点G ，连接BG ，AG .∵AC ＝AD 且BC ＝BD ，∴CD ⊥BG ，CD ⊥AG ， ∵BG ∩AG ＝G ，∴CD ⊥平面ABG ，∵AB ⊂平面ABG ，∴AB ⊥CD ，故选D. 答案：D3．(2015·高考重庆卷)如图，三棱锥P -ABC 中，平面P AC ⊥平面ABC ，∠ABC ＝π2，点D ，E 在线段AC 上，且AD ＝DE ＝EC ＝2，PD ＝PC ＝4，点F 在线段AB 上，且EF ∥BC .(1)证明：AB ⊥平面PFE ；(2)若四棱锥P -DFBC 的体积为7，求线段BC 的长．解：(1)证明：由DE ＝EC ，PD ＝PC 知，E 为等腰△PDC 中DC 边的中点，故PE ⊥AC . 又平面P AC ⊥平面ABC ，平面P AC ∩平面ABC ＝AC ，PE ⊂平面P AC ，所以PE ⊥平面ABC ，从而PE ⊥AB .因∠ABC ＝π2，EF ∥BC ，故AB ⊥EF .从而AB 与平面PFE 内两条相交直线PE ，EF 都垂直，所以AB ⊥平面PFE . (2)设BC ＝x ，则在Rt △ABC 中， AB ＝AC 2－BC 2＝36－x 2，从而S △ABC ＝12AB ·BC ＝12x36－x 2.由EF ∥BC 知，AF AB ＝AE AC ＝23，得△AFE ∽△ABC ，故S △AFES △ABC ＝⎝⎛⎭⎫232＝49，即S △AFE ＝49S △ABC . 由AD ＝12AE ，得S △AFD ＝12S △AFE ＝12·49S △ABC ＝29S △ABC ＝19x36－x 2，从而四边形DFBC 的面积为S DFBC ＝S △ABC －S △AFD ＝12x36－x 2－19x36－x 2＝718x36－x 2.由(1)知，PE ⊥平面ABC ，所以PE 为四棱锥P -DFBC 的高． 在Rt △PEC 中，PE ＝PC 2－EC 2＝42－22＝2 3.V P -DFBC ＝13·S DFBC ·PE ＝13·718x 36－x 2·23＝7，故得x 4－36x 2＋243＝0，解得x 2＝9或x 2＝27，由于x >0，可得x ＝3或x ＝3 3. 所以，BC ＝3或BC ＝3 3.证明直线和平面垂直的常用方法(1)利用判定定理．(2)利用平行线垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)． (3)利用面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)． (4)利用面面垂直的性质．考点二 平面与平面垂直的判定与性质|(2015·高考全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.(1)证明：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E-ACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积．[解](1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD. 因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED.又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.(2)设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝32x，GB＝GD＝x2.因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝3 2x.由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝2 2x.由已知得，三棱锥E-ACD的体积V E-ACD＝13×12AC×GD×BE＝624x3＝63.故x＝2.从而可得AE＝EC＝ED＝ 6.所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为 5.故三棱锥E-ACD的侧面积为3＋2 5.证明面面垂直的主要方法①利用判定定理．在审题时要注意直观判断哪条直线可能是垂线，充分利用等腰三角形底边上的中线垂直于底边，勾股定理的逆定理等．②用定义证明．只需判定两平面所成二面角为直二面角．③客观题中，也可应用：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面．(2015·佛山一中期中考试)如图，在三棱锥P-ABC中，P A⊥底面ABC，∠BCA＝90°，AP ＝AC，点D，E分别在棱PB，PC上，且BC∥平面ADE.(1)求证：DE ⊥平面P AC ；(2)当二面角A -DE -P 为直二面角时，求A -BCED 与P -AED 的体积比．解：(1)证明：∵BC ∥平面ADE ，BC ⊂平面PBC ，平面PBC ∩平面ADE ＝DE ，∴BC ∥ED ， ∵P A ⊥底面ABC ，BC ⊂底面ABC ，∴P A ⊥BC ， 又∠BCA ＝90°，∴AC ⊥BC ，∵P A 与AC 是平面P AC 内的两条相交直线， ∴BC ⊥平面P AC ，又BC ∥ED ， ∴DE ⊥平面P AC .(2)由(1)知，DE ⊥平面P AC ， ∵AE ⊂平面P AC ，PE ⊂平面P AC ， ∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE ，∴∠AEP 为二面角A -DE -P 的平面角， ∴∠AEP ＝90°，即AE ⊥PC ， ∵AP ＝AC ，∴E 是PC 的中点， ∴ED 是△PBC 的中位线，DE ⊥AC ， 又PC ∩DE ＝E ，∴AE ⊥平面PCD ， ∴V A -BCEDV A -PDE ＝13S 四边形BCED ·AE 13S △PED ·AE ＝S 四边形BCED S △PED ＝3.考点三 平行与垂直的综合问题|空间线、面的平行与垂直的综合考查一直是高考必考热点，归纳起来常见的命题探究角度有：1．以多面体为载体考查平行与垂直的证明．2．探索性问题中的平行与垂直问题．3．折叠问题中的平行垂直问题．探究一平行与垂直关系的证明1．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点．求证：(1)直线BC1∥平面EFPQ；(2)直线AC1⊥平面PQMN.证明：(1)连接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1，因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.(2)连接AC，BD，则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可得CC1⊥BD.又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1.而AC1⊂平面ACC1，所以BD⊥AC1.因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，则易知MN∥BD，从而MN⊥AC1.同理可证PN⊥AC1.又PN∩MN＝N，所以直线AC 1⊥平面PQMN .探究二 探索性问题中的平行与垂直问题2.如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝CC 1＝2，M ，N 分别为AC ，B 1C 1的中点．(1)求线段MN 的长； (2)求证：MN ∥平面ABB 1A 1；(3)线段CC 1上是否存在点Q ，使A 1B ⊥平面MNQ ？说明理由． 解：(1)连接CN .因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱， 所以CC 1⊥平面ABC ， 所以AC ⊥CC 1. 因为AC ⊥BC ， 所以AC ⊥平面BCC 1B 1.因为MC ＝1，CN ＝CC 21＋C 1N 2＝5，所以MN ＝ 6.(2)证明：取AB 中点D ，连接DM ，DB 1.在△ABC 中，因为M 为AC 中点，所以DM ∥BC ，DM ＝12BC .在矩形B 1BCC 1中，因为N 为B 1C 1中点，所以B 1N ∥BC ，B 1N ＝12BC .所以DM ∥B 1N ，DM ＝B 1N .所以四边形MDB 1N 为平行四边形，所以MN ∥DB 1. 因为MN ⊄平面ABB 1A 1，DB 1⊂平面ABB 1A 1， 所以MN ∥平面ABB 1A 1.(3)线段CC 1上存在点Q ，且Q 为CC 1中点时，有A 1B ⊥平面MNQ . 证明如下：连接BC 1.在正方形BB 1C 1C 中易证QN ⊥BC 1.又A 1C 1⊥平面BB 1C 1C ，所以A 1C 1⊥QN ，从而NQ ⊥平面A 1BC 1. 所以A 1B ⊥QN .同理可得A 1B ⊥MQ ，所以A 1B ⊥平面MNQ .故线段CC1上存在点Q，使得A1B⊥平面MNQ.探究三折叠问题中的平行与垂直关系3．(2015·高考四川卷)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；(3)证明：直线DF⊥平面BEG.解：(1)点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG∥平面ACH，证明如下：因为ABCD-EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明：连接FH.因为ABCD-EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH.因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG.又EG⊥FH，DH∩FH＝H，所以EG⊥平面BFHD.又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG.同理DF⊥BG.又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG.平行与垂直的综合应用问题的处理策略(1)探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点．(2)折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的数量关系，尤其是隐含量的垂直关系．7.平行与垂直综合问题的答题模板【典例】(12分)(2015·高考山东卷)如图，三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.[思维点拨](1)法一：证明四边形DFCG为平行四边形，结合H为BC的中点可得HM ∥BD，进而得BD∥平面FGH；法二：利用四边形HBEF为平行四边形，证明平面ABED ∥平面FGH，进而得BD∥平面FGH.(2)先证明CB⊥平面ECH，进而得平面BCD⊥平面EGH.[规范解答](1)证明：法一：连接DG，CD，设CD∩GF＝M，连接MH.在三棱台DEF-ABC 中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形，(3分)则M为CD的中点，又H为BC的中点，所以HM∥BD.又HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，(4分)所以BD∥平面FGH.(5分)法二：在三棱台DEF-ABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四边形HBEF为平行四边形，可得BE∥HF.(2分)在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点．所以GH∥AB.(3分)又GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED.(4分) 因为BD⊂平面ABED，所以BD∥平面FGH.(5分)(2)连接HE，GE.因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB，由AB⊥BC，得GH⊥BC.(7分)又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四边形EFCH是平行四边形(9分)所以CF∥HE.又CF⊥BC，所以HE⊥BC.又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H，所以BC⊥平面EGH.(11分)又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.(12分)[模板形成]由图形特征分析平行条件↓创设线面平行的条件↓利用判定定理或面面平行证明线面平行↓分析条件中平行与垂直的关系↓选定并证明线面垂直↓利用面面垂直的判定证明面面垂直A组考点能力演练1．已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β，其中正确的命题的个数是()A．1B．2C．3 D．4解析：①中，α∥β，且m⊥α，则m⊥β，因为l⊂β，所以m⊥l，所以①正确；②中，α⊥β，且m⊥α，则m∥β或m⊂β，又l⊂β，则m与l可能平行，可能异面，可能相交，所以②不正确；③中，m⊥l，且m⊥α，l⊂β，则α与β可能平行，可能相交，所以③不正确；④中，m∥l，且m⊥α，则l⊥α，因为l⊂β，所以α⊥β，所以④正确，故选B.答案：B2．设α，β，γ为不同的平面，m、n、l为不同的直线，则m⊥β的一个充分条件为() A．α⊥β，α∩β＝l，m⊥lB．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．n⊥α，n⊥β，m⊥α解析：对于A，α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，根据面面垂直的性质定理可知，缺少条件m⊂α，故不正确；对于B，α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；对于C，α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；对于D，n⊥α，n⊥β，则α∥β，又m⊥α，则m⊥β，故正确，故选D.答案：D3.如图，在三棱锥D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE解析：因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于DE∩BE ＝E，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故选C.答案：C4.如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H，则以下命题中，错误的是()A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直于平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°解析：A中，△A1BD为等边三角形，∴其四心合一，∵AB＝AA1＝AD，∴H到△A1BD各顶点的距离相等，∴A正确；∵CD1∥BA1，CB1∥DA1，CD1∩CB1＝C，BA1∩DA1＝A1，∴平面CB1D1∥平面A1BD，∴AH ⊥平面CB1D1，∴B正确；连接AC1，则AC1⊥B1D1，∵B1D1∥BD，∴AC1⊥BD，同理，AC1⊥BA1，∴AC1⊥平面A1BD，∴A、H、C1三点共线，∴C正确，故选D.答案：D5.如图所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC 上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：∵∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，又AC⊥BC1，BC1∩AB＝B，∴AC⊥平面ABC1，又AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1.∵平面ABC1∩平面ABC＝AB，∴点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上，故选A.答案：A6．四棱锥P-ABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A，其三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是腰长为a的等腰三角形，则在四棱锥P-ABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有________对．解析：由题意可得P A⊥BC，P A⊥CD，AB⊥PD，BD⊥P A，BD⊥PC，AD⊥PB，即互相垂直的异面直线共有6对．答案：67．如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：连接AC ，BD ，则AC ⊥BD ，∵P A ⊥底面ABCD ，∴P A ⊥BD . 又P A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面P AC ， ∴BD ⊥PC .∴当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，即有PC ⊥平面MBD . 而PC ⊂平面PCD ， ∴平面MBD ⊥平面PCD . 答案：DM ⊥PC (或BM ⊥PC 等)8．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝5，BC ＝4，AC ＝3，M 是AB 边上的点，P 是平面ABC 外一点．给出下列四个命题：①若P A ⊥平面ABC ，则三棱锥P -ABC 的四个面都是直角三角形； ②若PM ⊥平面ABC ，且M 是AB 边的中点，则有P A ＝PB ＝PC ； ③若PC ＝5，PC ⊥平面ABC ，则△PCM 面积的最小值为152；④若PC ＝5，P 在平面ABC 上的射影是△ABC 内切圆的圆心，则点P 到平面ABC 的距离为23.其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)解：由题意知AC ⊥BC ，对于①，若P A ⊥平面ABC ，则P A ⊥BC ，又P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥PC ，因此该三棱锥P -ABC 的四个面均为直角三角形，①正确；对于②，由已知得M 为△ABC 的外心，所以MA ＝MB ＝MC .∵PM ⊥平面ABC ，则PM ⊥MA ，PM ⊥MB ，PM ⊥MC ，由三角形全等可知P A ＝PB ＝PC ，故②正确；对于③，要使△PCM 的面积最小，只需CM 最短，在Rt △ABC 中，(CM )min ＝125，∴(S △PCM )min ＝12×125×5＝6，故③错误；对于④，设P 点在平面ABC 内的射影为O ，且O 为△ABC 的内心，由平面几何知识得△ABC 的内切圆半径r ＝1，且OC ＝2，在Rt △POC 中，PO ＝PC 2－OC 2＝23，∴点P 到平面ABC 的距离为23，故④正确．答案：①②④9．(2016·扬州中学模拟)如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F 分别是边CD，CB的中点，AC∩EF＝O.沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接P A，PB，PD，得到如图2的五棱锥P-ABFED，且PB＝10.(1)求证：BD⊥平面POA；(2)求四棱锥P-BFED的体积．解：(1)证明：∵点E，F分别是边CD，CB的中点，∴BD∥EF.∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∴EF⊥AC，∴翻折后EF⊥AO，EF⊥PO，∵AO⊂平面POA，PO⊂平面POA，AO∩PO＝O，∴EF⊥平面POA，∴BD⊥平面POA.(2)设AO∩BD＝H，连接BO，∵ABCD是菱形，∴AB＝AD，∵∠DAB＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD＝4，BH＝2，HA＝23，HO＝PO＝3，在Rt△BHO中，BO＝BH2＋HO2＝7，在△PBO中，BO2＋PO2＝10＝PB2，∴PO⊥BO，∵PO⊥EF，EF∩BO＝O，EF⊂平面BFED，BO⊂平面BFED，∴PO⊥平面BFED，又梯形BFED的面积为S＝12(EF＋BD)·HO＝33，∴四棱锥P-BFED的体积V＝13S·PO＝13×33×3＝3.10.如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC＝45°，DC＝1，AB＝2，P A⊥平面ABCD，P A＝1.(1)求证：AB∥平面PCD；(2)求证：BC⊥平面P AC；(3)若M是PC的中点，求三棱锥M-ACD的体积．解：(1)证明：∵AB∥CD，CD⊂平面PDC，AB⊄平面PDC，∴AB∥平面PDC.(2)证明：在直角梯形ABCD中，过点C作CE⊥AB于点E，则四边形ADCE为矩形，∴AE＝DC＝1，又AB＝2，∴BE＝1，在Rt△BEC中，∠EBC＝45°，∴CE＝BE＝1，CB＝2，在Rt△ACE中，AC＝AE2＋CE2＝2，∴AC2＋BC2＝AB2，∴BC⊥AC.又P A⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥P A，而P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.(3)∵M是PC的中点，∴M到平面ADC的距离是P到平面ADC的距离的一半．∴V M-ACD＝13S△ACD×⎝⎛⎭⎫12P A＝13×⎝⎛⎭⎫12×1×1×12＝112.B组高考题型专练1．(2015·高考安徽卷)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行．．．，则在α内不存在．．．与β平行的直线D ．若m ，n 不平行．．．，则m 与n 不可能．．．垂直于同一个平面 解析：A 中，垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故A 错误；B 中，平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故B 错误；C 中，若两个平面相交，则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故C 错误；D 中，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可能垂直于同一个平面，故D 正确．答案：D2．(2014·高考广东卷)如图(1)，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AB ＝1，BC ＝PC ＝2.按图(2)折叠：折痕EF ∥DC ，其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF.(1)证明：CF ⊥平面MDF ； (2)求三棱锥M -CDE 的体积．解：(1)证明：PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PCD ，∴平面PCD ⊥平面ABCD ， 平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ，MD ⊂平面ABCD ，MD ⊥CD ， ∴MD ⊥平面PCD ，CF ⊂平面PCD ，∴CF ⊥MD ，又CF ⊥MF ，MD ，MF ⊂平面MDF ，MD ∩MF ＝M ，∴CF ⊥平面MDF .(2)∵CF ⊥平面MDF ，∴CF ⊥DF ，又易知∠PCD ＝60°，∴∠CDF ＝30°，从而CF ＝12CD＝12， ∵EF ∥DC ，∴DE DP ＝CF CP ，即DE 3＝122，∴DE ＝34，∴PE ＝334，S △CDE ＝12CD ·DE ＝38，MD ＝ME 2－DE 2＝PE 2－DE 2＝⎝⎛⎭⎫3342－⎝⎛⎭⎫342＝62，∴V M -CDE ＝13S △CDE ·MD ＝13·38·62＝216. 3．(2015·高考陕西卷)如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到图2中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1-BCDE .(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1-BCDE 的体积为362，求a 的值． 解：(1)证明：在图1中，因为AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC .即在图2中，BE ⊥A 1O ，BE ⊥OC ，从而BE ⊥平面A 1OC ，又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC . (2)由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ， 且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ，又由(1)可得A 1O ⊥BE ，所以A 1O ⊥平面BCDE ， 即A 1O 是四棱锥A 1-BCDE 的高． 由图1知，A 1O ＝22AB ＝22a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC ·AB ＝a 2. 从而四棱锥A 1-BCDE 的体积为V ＝13×S ×A 1O ＝13×a 2×22a ＝26a 3，由26a 3＝362，得a ＝6.4.(2015·高考广东卷)如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD ＝PC ＝4，AB ＝6，BC ＝3.(1)证明：BC ∥平面PDA ； (2)证明：BC ⊥PD ；(3)求点C 到平面PDA 的距离．解：(1)证明：∵长方形ABCD 中，BC ∥AD ，又BC ⊄平面PDA ，AD ⊂平面PDA ，∴BC ∥平面PDA .(2)证明：取CD 的中点H ，连接PH ，∵PD ＝PC ，∴PH ⊥CD .又∵平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，∴PH ⊥平面ABCD . 又∵BC ⊂平面ABCD ，∴PH ⊥BC .又∵长方形ABCD 中，BC ⊥CD ，PH ∩CD ＝H ，∴BC ⊥平面PDC .又∵PD ⊂平面PDC ，∴BC ⊥PD .(3)连接AC .由(2)知PH 为三棱锥P -ADC 的高．∵PH ＝PD 2－⎝⎛⎭⎫12CD 2＝42－32＝7，S △ADC ＝12·AD ·CD ＝12×3×6＝9， ∴V P -ADC ＝13·S △ADC ·PH ＝13×9×7＝37. 由(2)知BC ⊥PD ，又∵AD ∥BC ，∴AD ⊥PD ，∴S △PDA ＝12·PD ·AD ＝12×4×3＝6. 设点C 到平面PDA 的距离为h .∵V C -PDA ＝V P -ADC ，∴13·S △PDA·h ＝37，∴h＝371 3·S△PDA ＝3713×6＝372.。
2019-2020学年高二数学《两平面垂直的判定》学案.doc
2019-2020学年高二数学《两平面垂直的判定》学案教学目标1． 理解二面角及二面角的平面角的概念；2． 理解平面与平面垂直的概念；3． 掌握两个平面垂直的判定定理并能灵活应用；4． 培养学生的空间想象能力和辨证思维。
教学重点与难点重点：两个平面垂直的判定定理。
难点：两个平面垂直的判定定理的灵活应用。
教学过程课前检测：1、如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面互相 ；2、如果两个平面有一个公共点，由公理2可知，他们交于 的一条直线。
3、如果一个平面内 平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行。
4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么 。
一、复习回顾● 在平面几何中“角”是怎样定义的？（从平面内一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。
）● 平面中的等角定理如何叙述？（如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。
）二、问题情境、学生活动● 发射人造卫星时，卫星的轨道平面和地球赤道平面形成一定的角度，笔记本电脑使用时，也需要展开一定的角度等等，那么我们如何来刻画这种两个平面所成的“角”呢？三、数学理论、数学运用1． 二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
这条直线叫做二面角的棱。
这两个半平面叫做二面角的面。
二面角的表示：l αβ-- 2．二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
二面角的平面角的三个特征:1.点在棱上；2.线在面内；3.与棱垂直二面角的平面角的范围：0180θ︒︒≤≤ （平面角是直角的二面角叫作直二面角）二面角的平面角的作法：1.定义法；2.作垂面3．平面与平面垂直一般地，如果两个平面所成地二面角是直二面角，我们就说这两个平面垂直.记作：αβ⊥例1如图所示:在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中：α β lA 1B 1 D 1C 1（1）求二面角D 1-AB -D 的大小；（2）求二面角A 1-AB -D 的大小。
高中数学 2.3.2平面与平面垂直的判定精品教案 新人教A版必修2
第二课时平面与平面垂直的判定〔一〕教学目标1．知识与技能〔1〕使学生正确理解和掌握“二面角〞、“二面角的平面角〞及“直二面角〞、“两个平面互相垂直〞的概念；〔2〕使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；〔3〕使学生理会“类比归纳〞思想在教学问题解决上的作用.2．过程与方法〔1〕通过实例让学生直观感知“二面角〞概念的形成过程；〔2〕类比已学知识，归纳“二面角〞的度量方法及两个平面垂直的判定定理.3．情态、态度与价值观通过揭示概念的形成、发展和应有和过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力.〔二〕教学重点、难点重点：平面与平面垂直的判定；难点：如何度量二面角的大小.〔三〕教学方法实物观察、类比归纳、语言表达，讲练结合.教学过程教学内容师生互动设计意图新课导入问题1：平面几何中“角〞是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角〞、“直线和平面所成的角〞又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？学生自由发言，教师小结，并投影两个平面所成角的实际例子：公路上的表面与水平面，打开的门与门椎所在平面等，怎样定义两个平面所成的角呢？复习巩固，以旧导新探索新知一、二面角1．二面角〔1〕半平面平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.〔2〕二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角〔dihedral angle〕.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.〔3〕二面角的求法与画法棱为AB、面分别为 、教师结合二面角模型，类比以上几个问题，归纳出二面角的概念及记法表示〔可将角与二面角从图形、定义、构成、表示进行列表对比〕.师生共同实验(折纸)思考二面角的大小与哪一个角的大小相同？这个角的边与二面角的棱有什么关系？生：过二面角棱上一点O在二面角的面上分别作射线与二面角的棱垂直，得到的角与二面角大小相等.师：改变O的位置，这个角的大小变不变.生：由等角定理知不变.通过模型教学，培养学生几何直观能力，通过类比教学，加深学生对知识的理解.通过实验，培养学生学习兴趣和探索意识，加深对知识的理解与掌握.β的二面角记作二面角AB αβ--. 有时为了方便，也可在,αβ内(棱以外的半平面部分)分别取点P 、Q ，将这个二面角记作二面角P –AB –Q .如果棱记作l ，那么这个二面角记作二面角l αβ--或P –l –Q .2．二面角的平面角 如图〔1〕在二面角c αβ--的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，那么射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角.〔2〕二面角的平面角的大小与O 点位置无关.〔3〕二面角的平面角的X 围是[0，180°]〔4〕平面角为直角的二面角叫做直二面角.探索新知二、平面与平面垂直1．平面与平面垂直的定义，记法与画法.一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.α与β垂直，记作α⊥β. 2．两个平面互相垂直的判定定理，一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.学生自学，教师点拔一下须知.师：以教室的门为例，由于门框木柱与地面垂直，那么经过木柱的门无论转到什么位置都有门面垂直于地面，即αβ⊥，请同学给出面面垂直的判定定理.培养学生自学能力,通过实验，培养学生观察能力，归纳能力，语言表达能力.典例分析例3 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.证明：设⊙O所在平面为α，由条件，PA⊥α，BC在α内，所以PA⊥BC.因为点C是圆周上不同于A、B的任意一点，AB是⊙O的直径，所以，∠BCA是直角，即BC⊥AC.又因为PA与AC是△PAC所在平面内的两条直线.所以BC⊥平面PAC.又因为BC在平面PBC内，所以，平面PAC⊥平面PBC.师：平面与平面垂直的判定方法有面面垂直的定义和面面垂直的判定定理，而此题二面角A –PC–B的平面角不好找，故应选择判定定理，而应用判定定理正面面垂直的关键是在其中一个平面内找(作)一条直线与另一平面垂直，在已有图形中BC符合解题要求，为什么？学生分析，教师板书巩固所学知识，培养学生观察能力，空间想象能力，书写表达能力.随堂练习1．如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，那么在四面体S –EFG中必有〔 A 〕A．SG⊥EFG所在平面B．SD⊥EFG所在平面C．GF⊥SEF所在平面D．GD⊥SEF所在平面2．如图，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？学生独立完成巩固知识提升能力答：面ABC⊥面BCD 面ABD⊥面BCD面ACD⊥面ABC.归纳总结1．二面角的定义画法与记法.2．二面角的平面角定义与X围.3．面面垂直的判定方法.4．转化思想.学生总结、教师补充完善回顾、反思、归纳知训提高自我整合知识的能力课后作业2.3 第二课时习案学生独立完成固化知识提升能力备选例题例 1 如图，平面角为锐角的二面角EFαβ--，A∈EF，AGα⊂，∠GAE = 45°假设AG与β所成角为30°，求二面角EFαβ--的平面角.[分析]首先在图形中作出有关的量，AG与β所成的角(过G到β的垂线段GH，连AH，∠GAH = 30°)，二面角EFαβ--的平面角，注意在作平面角是要试图与GAH建立联系，抓住GH⊥β这一特殊条件，作HB⊥EF，连接GB，利用相关关系即可解决问题.[解析]作GH⊥β于H，作HB⊥EF于B，连结GB，那么CB⊥EF，∠GBH是二面角的平面角.又∠GAH是AG与β所成的角，设AG = a，那么21,22GB a GH a==，2sin2GHGBHGB∠==.所以∠GBH = 45°反思研究：此题的成功之处在于作图时注意建立各量之间的有效联系.例2 如下图，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是S A的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD．[分析]要证面面垂直，需证线面垂直．这里需要寻找条件“SC⊥平面ABCD〞与需证结论“平面EDB⊥平面ABCD〞之间的桥梁．[证明]连结AC、BD，交点为F，连结EF，∴EF是△SAC的中位线，∴EF∥SC．∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD．又EF⊂平面BDE，BSC∴平面BDE ⊥平面ABCD ．[评析]将面面垂直转化为线面垂直是证明此类题的关键． 例3 如图，四棱锥P – ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PB ⊥面ABCD ．证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于90°．[分析]由△PAD ≌△PCD ，可利用定义法构造二面角的平面角，证明所成角的余弦值恒小于零即可．[解析]不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD 与PCD 恒为全等三角形．作AE ⊥DP ,垂足为E ，连接EC ，那么△ADE ≌△CDE ．∴AE = CE ，∠CED = 90°．故∠CEA 是面PAD 与面PCD 所成的二面角的平面角．设AC 与BD 相交于点O ．连接EO ，那么EO ⊥AC ．∴22a OA AE AD a =<<=， 在△AEC 中，222(2)cos 2AE EC OA AEC AE EC+-∠=⋅ =2(2)(2)0AE OA AE OA AE +-<，∴∠AEC ＞ 90°．所以面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于90°． [评析]求二面角的大小应注意作〔找〕、证、求、答．。
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2019-2020学年高中数学 2.3.2平面与平面垂直的判定学案新人教
A版必修2
学习目标：
1使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；
2 使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；
3 使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。
学习重点、难点
重点：平面与平面垂直的判定；
难点：如何度量二面角的大小。
学习过程
一、展示目标
二、自主学习
问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？
问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？
以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？如修水坝、发射人造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？下面我们共同来观察,研讨。
三、交流互动
1、二面角的有关概念
老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示。
2、二面角的度量
二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先
准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图
2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。
3、典例讲解
例1：设AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在平面，C 是圆周上的任意点，求证：面PAC ⊥面PBC.
例2、已知直线PA 垂直正方形ABCD 所在的平面，A 为垂足。
求证：平面PAC ⊥平面PBD 。
说明：这两题都涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定，其中证明BC ⊥平面PAC 和BD ⊥平面PAC 是关键．从解题方法上说，由于“线线垂直”、“线面垂直”与“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个解题过程始终沿着“线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直”转化途径进行．
四、达标检测
1．若平面α⊥平面β，直线n ⊂α，m ⊂β,m n ⊥，则 （ ）
()A n ⊥β ()B n ⊥β且m ⊥α
()C m ⊥α ()D n ⊥β与m ⊥α中至少有一个成立
2．对于直线,m n 和平面,αβ，α⊥β的一个充分条件是 （ ）
()A m n ⊥，//,//m n αβ
()B ,,m n m n αβα⊥=⊂
()C //,,m n n m βα⊥⊄
()D ,,m n m n αβ⊥⊥⊥
3．设,,l m n 表示三条直线，,,αβγ表示三个平面，给出下列四个命题：
①若,l m αα⊥⊥，则//l m ；
②若,m n β⊂是l 在β内的射影，m l ⊥，则m n ⊥； ③若,//m m n α⊂，则//n α；
④若,αγβγ⊥⊥，则//αβ．其中真命题是 （ ）
()A ①② ()B ②③
()C ①③ ()D ③④
五、归纳总结
1 二面角以及平面角的有关概念；
2 两个平面垂直的判定定理的内容，它与直线与平面垂直的判定定理有何关系？
六、作业布置
1、课后作业：自二面角内一点分别向两个面引垂线，求证：它们所成的角与二两角的平面角互补。
2、课后思考问题：在表示二面角的平面角时，为何要求“L OB L OA ⊥⊥,”？为什么AOB ∠的大小与点O 在L 上的位置无关？
七、课后反思。