文科数学测试34
高考数学一轮复习(北师大版文科)课时作业34
课时作业(三十四) 一元二次不等式A 级1．不等式x －1x ＋2＜0的解集为( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)2．不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( ) A ．{x |x ＞1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1或x ＝－2}D ．{x |x ≥－2且x ≠－1} 3．(2012·济宁模拟)设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则不等式f (－x )＜6的解集是( )A ．{x |－2＜x ＜3}B ．{x |－3＜x ＜2}C ．{x |x ＞3或x ＜－2}D ．{x |x ＞2或x ＜－3}4．(2012·长春模拟)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞a2x －4＜2a 有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)5．(2012·长沙模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )＞1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(0,1)6．(2012·长春模拟)已知不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．7．不等式|x －2|－|x －1|＞0的解集为________．8．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2＜0的解集为(1，m )，则实数m ＝________. 9．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是________．10．解下列不等式： (1)0＜x 2－x －2≤4； (2)axx －2＞1(a ＜1)．11．行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s (m)与汽车的车速v (km/h)满足下列关系：s ＝n v 100＋v 2400(n 为常数，且n ∈N )，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中⎩⎪⎨⎪⎧6＜s 1＜814＜s 2＜17，(1)求n 的值；(2)要使刹车距离不超过12.6 m ，则行驶的最大速度是多少？B 级1．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是( )A ．－1＜b ＜0B ．b ＞2C ．b ＜－1或b ＞2D ．不能确定2．若关于x 的不等式x 2＋12x －⎝⎛⎭⎫12n ≥0对任意n ∈N ＋在x ∈(－∞，λ]上恒成立，则实常数λ的取值范围是________．3．已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于x ∈R ，f (x )＜0恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )＜5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．答案课时作业(三十四)A 级1．C 原不等式化为(x －1)(x ＋2)＜0，解得－2＜x ＜1，∴原不等式的解集为(－2,1)．2．C 由(x －1)x ＋2≥0，可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＞0，x －1≥0或x ＋2＝0，解得x ≥1或x ＝－2.3．A ∵f ′(x )＝2x ＋1，∴f (x )＝x 2＋x . 又∵f (－x )＜6，∴(－x )2－x ＜6， 即x 2－x －6＜0，解得－2＜x ＜3.4．A ∵⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＞a 2x －4＜2a ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞a 2＋1x ＜2a ＋4，由题意得a 2＋1＜2a ＋4， 即a 2－2a －3＜0，解得－1＜a ＜3.5．C ∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4＞0， ∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点， 又f (x )在(－2，－1)上有一个零点，则f (－2)f (－1)＜0， ∴(6a ＋5)(2a ＋3)＜0，∴－32＜a ＜－56，又a ∈Z ，∴a ＝－1，不等式f (x )＞1即为－x 2－x ＞0，解得－1＜x ＜0. 6．解析： 由题意可得Δ＝a 2－16＞0，即a ＞4或a ＜－4. 答案： {a |a ＞4或a ＜－4}7．解析： 原不等式等价于|x －2|＞|x －1|，则(x －2)2＞(x －1)2，解得x ＜32.答案： ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜32 8．解析： 由已知得1，m 是ax 2－6x ＋a 2＝0的两根，且a ＞0， ∴a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3(舍)． 又1＋m ＝6a ，∴m ＝2.答案： 29．解析： 由题意得，3 860＋500＋[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]×2≥7 000， 化简得(x %)2＋3·x %－0.64≥0， 解得x %≥0.2，或x %≤－3.2(舍去)． ∴x ≥20，即x 的最小值为20.答案： 2010．解析： 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，或x ＜－1，－2≤x ≤3.如图所示，原不等式的解集为{x |－2≤x ＜－1，或2＜x ≤3}． (2)原不等式可化为(a －1)x ＋2x －2＞0，因为a ＜1，所以a －1＜0.故原不等式化为x ＋2a －1x －2＜0，等价于⎝⎛⎭⎫x ＋2a －1(x －2)＜0.当0＜a ＜1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪2＜x ＜21－a ；当a ＝0时，原不等式的解集为∅；当a ＜0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪21－a ＜x ＜2. 11．解析： (1)依题意得⎩⎨⎧6＜40n 100＋1 600400＜814＜70n 100＋4 900400＜17，解得⎩⎪⎨⎪⎧5＜n ＜1052＜n ＜9514，又n ∈N ，所以n ＝6.(2)s ＝3v 50＋v 2400≤12.6⇒v 2＋24v －5 040≤0⇒－84≤v ≤60，因为v ≥0，所以0≤v ≤60，即行驶的最大速度为60 km/h.B 级1．C 由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )图像关于直线x ＝1对称，即a2＝1得a ＝2.又f (x )开口向下，所以当x ∈[－1,1]时，f (x )为增函数，∴f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立，解得b ＜－1或b ＞2.2．解析： 由题意得x 2＋12x ≥⎝⎛⎭⎫12n max＝12， ∴x ≥12或x ≤－1.又x ∈(－∞，λ]，∴λ∈(－∞，－1]．答案： (－∞，－1]3．解析： (1)由题意可得m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0⇔m ＝0 或－4＜m ＜0⇔－4＜m ≤0.故m 的取值范围为(－4,0]． (2)∵f (x )＜－m ＋5⇔m (x 2－x ＋1)＜6，∵x 2－x ＋1＞0，∴m ＜6x 2－x ＋1对于x ∈[1,3]恒成立，记g (x )＝6x 2－x ＋1，x ∈[1,3]，记h (x )＝x 2－x ＋1，h (x )在x ∈[1,3]上为增函数．则g (x )在[1,3]上为减函数， ∴[g (x )]min ＝g (3)＝67，∴m ＜67.所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，67.。
高三文科数学模拟试题含答案
高三文科数学模拟试题含答案高三文科数学模拟试题本试卷共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1.复数3+ i的虚部是（）。
A。
2.B。
-1.C。
2i。
D。
-i2.已知集合A={-3,-2,0,1,2}，集合B={x|x+2<0}，则A∩(CRB) =（）。
A。
{-3,-2,0}。
B。
{0,1,2}。
C。
{-2,0,1,2}。
D。
{-3,-2,0,1,2}3.已知向量a=(2,1)，b=(1,x)，若2a-b与a+3b共线，则x=（）。
A。
2.B。
11/22.C。
-1.D。
-24.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为（）。
A。
4π/3.B。
π。
C。
3π/2.D。
2π5.将函数f(x)=sin2x的图像向右平移π/6个单位，得到函数g(x)的图像，则它的一个对称中心是（）。
A。
(π/6,0)。
B。
(π/3,0)。
C。
(π/2,0)。
D。
(π,0)6.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）。
开始是否输出结束A。
-10.B。
-3.C。
4.D。
57.已知圆C:x^2+2x+y^2=1的一条斜率为1的切线l1，若与l1垂直的直线l2平分该圆，则直线l2的方程为（）。
A。
x-y+1=0.B。
x-y-1=0.C。
x+y-1=0.D。
x+y+1=08.在等差数列{an}中，an>0，且a1+a2+⋯+a10=30，则a5⋅a6的最大值是（）。
A。
4.B。
6.C。
9.D。
369.已知变量x,y满足约束条件2x-y≤2，x-y+1≥0，设z=x^2+y^2，则z的最小值是（）。
A。
1.B。
2.C。
11.D。
3210.定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)=2，当x<0时，f(x)=1-|x-3|，则函数F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为（）。
【高考文科数学】专题考点突破《(三十四) 第34讲 一元二次不等式及其解法 》(解析版)
课时作业(三十四)第34讲一元二次不等式及其解法时间/30分钟分值/80分基础热身1.不等式-x2-3x+4≥0的解集为()A. {x|x≤-4或x≥1}B. {x|-4<x<1}C. {x|-4≤x≤1}D. ⌀2.若关于x的不等式-12x2+2x>mx的解集是{x|0<x<2},则实数m的值是()A.0B.1C.2D.43.[2018·四川德阳二诊]已知集合A={x∈N|x2-4x<0},集合B={x|x2+2x+a=0},若A∪B={1,2,3,-3},则A∩B=()A.{1}B.{2}C.{3}D.⌀4.[2018·黑龙江大庆实验中学月考]若对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围是()A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.(-2,2)D.(-2,2]5.若对任意x∈[0,4],x2+2ax+1≥0恒成立,则实数a的取值范围是.能力提升6.已知R是实数集,集合A={x|x2-x-2≤0},B={x|2x-1x-6≥0},则A∩(∁R B)=()A. (1,6)B. [-1,2]C. (12,6) D. (12,2]7.若不等式x2-2ax+a>0对一切实数x恒成立,则关于t的不等式a t2+2t-3<1的解集为()A. (-3,1)B. (-∞,-3)∪(1,+∞)C. ⌀D. (0,1)8.若存在x∈[-2,3],使不等式2x-x2≥a成立,则实数a的取值范围是()A.(-∞,1]B.(-∞,-8]C.[1,+∞)D.[-8,+∞)9.[2018·黑龙江哈尔滨六中月考]已知关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数,则所有符合条件的整数a的值之和是()A .13B .18C .21D .2610.已知函数f (x )={x +2,x ≤0,-x +2,x >0,则不等式f (x )≥x 2的解集为( )A. [-1,1]B. [-2,2]C. [-2,1]D. [-1,2]11.在如图K34-1所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(如图中阴影部分所示),则其边长x (单位:m )的取值范围是( )图K34-1A. [15,20]B. [12,25]C. [10,30]D. [20,30]12.若关于x 的不等式ax>b 的解集为(-∞,15),则关于x 的不等式ax 2+bx-45a>0的解集为 . 13.不等式-x 2+|x|+2<0的解集是 .14.有一桶浓度为100%的液体农药,倒出8升后用水补满,然后又倒出4升后再用水补满,此时桶中农药的浓度不超过28%,则桶的容积(单位:升)的取值范围是 .难点突破15.(5分)若至少存在一个实数x (x ≥0),使关于x 的不等式x 2≤4-|2x-m|成立,则实数m 的取值范围为( )A. [-4,5]B. [-5,5]C. [4,5]D. [-5,4]16.(5分)若不等式x 2+ax-2>0在区间[1,5]上有解,则实数a 的取值范围是 .课时作业(三十四)1.C [解析] 由-x 2-3x+4≥0,得x 2+3x-4≤0,即(x+4)(x-1)≤0,所以-4≤x ≤1,所以原不等式的解集为{x|-4≤x ≤1}.2.B [解析] 由题意知,2为方程-12x 2+2x=mx 的一个根,所以-12×22+2×2=2m ,解得m=1,故选B . 3.A [解析] ∵A={x ∈N |x 2-4x<0}={x ∈N |0<x<4}={1,2,3},A ∪B={1,2,3,-3},∴-3∈{x|x 2+2x+a=0},可得9-6+a=0,∴a=-3,B={x|x 2+2x-3=0}={1,-3},∴A ∩B={1}.故选A .4.D [解析] 当a-2=0,即a=2时,有-4<0恒成立;当a-2≠0,即a ≠2时,则需{a -2<0,4(a -2)2+16(a -2)<0,解得-2<a<2.综上可知,实数a 的取值范围是(-2,2]. 5.[-1,+∞) [解析] 令f (x )=x 2+2ax+1,x ∈[0,4],则{-a >0,Δ=4a 2-4≤0或-a ≤0,解得-1≤a<0或a ≥0.则实数a的取值范围是[-1,+∞).6.D [解析] A={x|x 2-x-2≤0}={x|-1≤x ≤2},B={x|2x -1x -6≥0}={x|x >6或x ≤12},则∁R B={x|12<x ≤6},则A ∩(∁RB )={x|12<x ≤2},故选D .7.B [解析] 不等式x 2-2ax+a>0对一切实数x 恒成立,则Δ=(-2a )2-4a<0,解得0<a<1,所以不等式a t2+2t -3<1可转化为t 2+2t-3>0,解得t<-3或t>1,故选B .8.A [解析] 设f (x )=2x-x 2=-(x-1)2+1,因为存在x ∈[-2,3],使不等式2x-x 2≥a 成立,所以a ≤f (x )max ,又f (x )max =1,所以a ≤1,故选A .9.C [解析] 设f (x )=x 2-6x+a ,则其图像开口向上,对称轴是x=3.若关于x 的一元二次不等式x 2-6x+a ≤0的解集中有且仅有3个整数,则{f(2)≤0,f(1)>0,即{22-6×2+a ≤0,12-6×1+a >0,解得5<a ≤8,又a ∈Z ,∴a=6,7,8,则所有符合条件的a 的值之和是6+7+8=21,故选C .10.A [解析] 方法一:当x ≤0时,x+2≥x 2,解得-1≤x ≤0;当x>0时,-x+2≥x 2,解得0<x ≤1.故原不等式的解集为{x|-1≤x ≤1}.方法二:作出函数y=f (x )和函数y=x 2的图像,如图,由图知f (x )≥x 2的解集为[-1,1].11.C [解析] 设矩形的另一边长为y m ,则由三角形相似的性质知x 40=40−y40,∴y=40-x.∵xy ≥300,∴x (40-x )≥300,即x 2-40x+300≤0,解得10≤x ≤30.12.(-1,45) [解析] 由ax>b 的解集为(-∞,15),可知a<0,且b a =15,将不等式ax 2+bx-45a>0两边同时除以a ,得x 2+b a x-45<0,即x 2+15x-45<0,解得-1<x<45,故不等式ax 2+bx-45a>0的解集为(-1,45).13.{x|x<-2或x>2} [解析] 当x ≥0时,不等式-x 2+|x|+2<0⇔-x 2+x+2<0⇔x 2-x-2>0,此时不等式的解集为{x|x>2};当x<0时,不等式-x 2+|x|+2<0⇔-x 2-x+2<0⇔x 2+x-2>0,此时不等式的解集为{x|x<-2}.综上所述,原不等式的解集为{x|x<-2或x>2}. 14.(8,403] [解析] 设桶的容积为x 升,那么第一次倒出8升后,桶内还有(x-8)(x>8)升农药,用水补满后,桶内农药的浓度为x -8x.第二次又倒出4升,则倒出的农药为4(x -8)x升,此时桶内还有农药x-8-4(x -8)x升.依题意,得x-8-4(x -8)x ≤28%·x ,化简为9x 2-150x+400≤0,即(3x-10)(3x-40)≤0,解得103≤x ≤403,又x>8,所以8<x ≤403.15.A [解析] 由x 2≤4-|2x-m|,得x 2-4≤2x-m ≤4-x 2,所以m ≥x 2+2x-4且m ≤-x 2+2x+4=-(x-1)2+5.令f (x )=x 2+2x-4,g (x )=-(x-1)2+5,因为至少存在一个实数x (x ≥0),使关于x 的不等式x 2≤4-|2x-m|成立,所以m≥f (x )min =f (0)=-4,且m ≤g (x )max =g (1)=5,所以实数m 的取值范围是[-4,5].16.-235,+∞ [解析] 设f (x )=x 2+ax-2,则f (0)=-2,由题知Δ=a 2+8>0,所以方程x 2+ax-2=0恒有一个正根和一个负根,于是不等式x 2+ax-2>0在区间[1,5]上有解等价于f (5)>0,即a ∈-235,+∞.。
2019年高考文科数学题型秘籍【34】一元二次不等式及其解法(解析版)
高考数学精品复习资料2019.5专题三十四 一元二次不等式及其解法【高频考点解读】1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图． 【热点题型】题型一 一元二次不等式的解集 例1、不等式x 2－3x ＋2<0的解集为( ) A ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B ．(－2.－1) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(1,2)【提分秘籍】1．含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论(1)若二次项系数为常数，首先需将二次项系数化为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，以确定不等式是一次不等式还是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．2．由二次函数图象与一元二次不等式的关系，可以得到两个常用的结论(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0c >0或⎩⎨⎧ a >0Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c <0或⎩⎨⎧a <0Δ<0.【举一反三】已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( ) A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫13，12D.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞【热点题型】题型二 一元二次不等式的解法 例2、 (1)不等式x －12x ＋1≥0的解集为( )A.⎝⎛⎦⎤－12，1 B.⎣⎡⎦⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞) (2)(高考安徽卷)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－1或x >12}，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2}【提分秘籍】 解一元二次不等式的一般步骤(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2＋bx＋c>0(a>0)，ax2＋bx＋c<0(a>0)；(2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．【热点题型】题型三含参数的一元二次不等式的解法例3、解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．【提分秘籍】解含参数的一元二次不等式的步骤(1)二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．提示：二次项系数中含有参数时，参数的符号影响着不等号的方向．【举一反三】解关于x的不等式x2－2ax＋2≤0.【热点题型】题型四一元二次不等式的应用例4、某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？【提分秘籍】解不等式应用题，一般可按如下四步进行(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系； (2)引进数学符号，用不等式表示不等关系； (3)解不等式； (4)回答实际问题． 【举一反三】行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s (m)与汽车的车速(km/h)满足下列关系，s ＝nv 100＋v 2400(n 为常数，且n ∈N *)，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中⎩⎪⎨⎪⎧6<s 1<8，14<s 2<17.(1)求n 的值；(2)要使刹车距离不超过12.6 m ，则行驶的最大速度是多少？【高考风向标】1．（20xx·全国卷） 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x （x ＋2）＞0，|x |＜1的解集为( )A ．{x |－2＜x ＜－1}B ．{x |－1＜x ＜0}C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |x ＞1}2．（20xx·安徽卷） 设函数f(x)＝ax －(1＋a 2)x 2，其中a>0，区间I ＝{x|f(x)>0}． (1)求I 的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给定常数k ∈(0，1)，当1－k≤a≤1＋k 时，求I 长度的最小值．3．（20xx·安徽卷） 函数y ＝ln1＋1x＋1－x 2的定义域为________．4．（20xx·重庆卷） 设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________．5．（20xx·重庆卷） 关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a>0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( )A.52B.72C.154D.152【随堂巩固】1．不等式x －2x 2－1＜0的解集为( )A ．{x |1＜x ＜2}B ．{x |x ＜2且x ≠1}C ．{x |－1＜x ＜2且x ≠1}D ．{x |x ＜－1或1＜x ＜2}2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)3．不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个必要不充分条件是( ) A ．x ≥0 B ．x <0或x >2 C ．x <－12D ．x ≤－12或x ≥34．已知(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集是R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <－35或a >1 B ．－35<a <1C ．－35<a ≤1或a ＝－1D ．－35<a ≤15．已知命题p ：存在x ∈R ，使得mx 2＋1≤0；q ：对任意x ∈R ，均有x 2＋mx ＋1>0，若p 或q 为假命题，则实数m 的取值范围为( )A ．m ≤－2B ．m ≥2C ．m ≥2或m ≤－2D ．－2≤m ≤26．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x－b)>0的解集是[2,3]，则a＋b ＝()A．1 B．2C．4 D．87．已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．8．已知函数f(x)＝x2＋bx＋1是R上的偶函数，则不等式f(x－1)<|x|的解集为________．9．已知不等式xy≤ax2＋2y2，若对任意x∈[1,2]，且y∈[2,3]，该不等式恒成立，则实数a 的取值范围是________．10．若关于x的不等式x2＋12x－⎝⎛⎭⎫12n≥0对任意n∈N*在x∈(－∞，λ]恒成立，求实常数λ的取值范围．11．一个服装厂生产风衣，日销售量x(件)与售价p(元/件)之间的关系为p＝160－2x，生产x件的成本R＝500＋30x元．(1)该厂日产量多大时，日利润不少于1 300元？(2)当日产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？12．已知函数f(x)＝(x＋2)|x－2|.(1)若不等式f(x)≤a在[－3,1]上恒成立，求实数a的取值范围；(2)解不等式f(x)>3x.。
高三文科数学试卷(含答案)经典题
高三文科数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}24M x x =<，{}2230N x x x =--<，且M N =IA ．{}2x x <-B ．{}3x x >C ．{}12x x -<<D ．{}23x x << 2．若函数2()log f x x =，则下面必在()f x 反函数图像上的点是A ．(2)a a ，B ．1(2)2-， C ．(2a a ， D ．1(2)2-，3．右图为某几何体三视图，按图中所给数据，该几何体的体积为 A ．64+163 B ． 16+334 C ．163 D ． 164．在各项都为正数的等比数列}{n a 中，首项为3，前3项和为 21，则=++543a a a （ ）A ．33B ．72C ．84D ．189 5. 将函数)32sin(π+=x y 的图像向右平移12π=x 个单位后所得的图像的一个对称轴是：A. 6π=x B. 4π=x C. 3π=x D. 2π=x6． 若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆1022=+y x 内（含边界）的概率为A ．61 B ．41 C ．92 D ．3677．下列有关命题的说法正确的是A ．“21x =”是“1-=x ”的充分不必要条件B ．“2=x ”是“0652=+-x x ”的必要不充分条件．C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈， 均有210x x ++<”． D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．P TMAOA B C D8．在约束条件⎧⎪⎪≤⎨⎪≤⎪⎩x>0y 12x-2y+10下，目标函数y x z +=2的值 A ．有最大值2，无最小值 B ．有最小值2，无最大值 C ．有最小值21，最大值2 D ．既无最小值，也无最大值 9．已知复数12z i =+，21z i =-，则12z z z =在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．将n 个连续自然数按规律排成右表，根据规律，从2008到2010，箭头方向依次是第二卷 非选择题(共110分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．11．若Ａ（－２，３），Ｂ（３，－２），Ｃ（21，ｍ）三点共线，则ｍ的值为 ．12．程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是 ．13. 已知|a |=|b |=|b a -|=1,则|a +b 2|的值为 ．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线3=ρ截直线1)4cos(=+πθρ所得的弦长为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图PT 为圆O 的切线，T 为切点，3ATM π∠=，圆O 的面积为2π，则PA = ．开始a =1 a =3a +1 a >100?结束是 否a =a +1输出a三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知31cos 32cos sin 2)(2--+=x x x x f ，]2,0[π∈x⑴ 求)(x f 的最大值及此时x 的值； ⑵ 求)(x f 在定义域上的单调递增区间。
2024年成人高考成考(高起专)数学(文科)试题及答案指导
2024年成人高考成考数学(文科)(高起专)模拟试题(答案在后面)一、单选题（本大题有12小题，每小题7分，共84分）1、已知函数f(x)=2x2−3x+1，则该函数的导数f′(x)为：A.4x−3B.2x−3C.4x+1D.2x+12、在下列各数中，绝对值最小的是（）A、-3/2B、-1/2C、3/2D、1/23、若一个正方形的边长增加其原长的25%，则新正方形的面积比原来增加了多少百分比？A、50%B、56.25%C、75%D、100%4、在下列各数中，不是有理数的是：A、-5.25B、√16C、πD、0.35、已知直线(l)的方程为(2x−3y+6=0)，则直线(l)的斜率是多少？)A、(23)B、(32)C、(−23)D、(−326、下列函数中，定义域为全体实数的是（）A、f(x) = √(x+1)B、f(x) = √(x^2 - 4)C、f(x) = 1 / (x-2)D、f(x) = 1 / (x^2 + 1)7、设函数f(x)=2x2−3x+1，则该函数的最小值为（）。
A.−18B.18C.−1D.1)，则下列说法正确的是：8、若函数(f(x)=3x2−2x+1)的图像的对称轴为(x=13A.(f (0)=f (1))B.(f (0)=f (−13))C.(f (13)=f (−13))D.(f (0)+f (1)=2f (13))9、若直线(l )的方向向量为((3,−4))，则直线(l )的斜率为：A.(34)B.(−34)C.(43)D.(−43)10、在下列各数中，有理数是（ ）A.√2B.πC.13D.ln211、一个等差数列的前三项分别是2、5、8，那么该数列的公差是多少？A 、3B 、4C 、5D 、612、已知函数f (x )=2x−1x 2−2x+1，下列说法正确的是：A. 函数的定义域为(−∞,1)∪(1,+∞)B. 函数的值域为(−∞,0)∪(0,+∞)C. 函数的增减性在x=1处发生改变D. 函数的图像关于直线x=1对称二、填空题（本大题有3小题，每小题7分，共21分）1、若函数f(x)=12x2−3x+4在x=1处取得极值，则该极值为_______ 。
2024年全国高考甲卷文科数学试题及答案
绝密★启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷文科数学使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．5．考试结束后，只将答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B = （）A.{}1,2,3,4 B.{}1,2,3 C.{}3,4 D.{}1,2,92.设z =，则z z ⋅=（）A.-iB.1C.-1D.23.若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（）A.5B.12C.2- D.72-4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（）A.2- B.73 C.1 D.295.甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）A.14B.13C.12D.236.已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A.4B.3C.2D.7.曲线()631f x x x =+-在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为（）A.16B.2C.12D.328.函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为（）A.B.C. D.9.已知cos cos sin ααα=-πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.1+B.1- C.2D.1原10题略10.设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ= .下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n⊥其中所有真命题的编号是（）A .①③B.②④C.①②③D.①③④11.在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A.32B.C.72D.2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．原13题略12.函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是______．13.已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ______．14.曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．15.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n S 的通项公式.16.如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD的中点.（1）证明：//BM 平面CDE ；（2）求点M 到ABF 的距离.17.已知函数()()1ln 1f x a x x =--+．（1）求()f x 的单调区间；（2）若2a ≤时，证明：当1x >时，()1ex f x -<恒成立．18.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．19.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.（1）写出C 的直角坐标方程；（2）设直线l ：x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.20.实数,a b 满足3a b +≥．（1）证明：2222a b a b +>+；（2）证明：22226a b b a -+-≥．绝密★启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷文科数学使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．5．考试结束后，只将答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B = （）A.{}1,2,3,4 B.{}1,2,3 C.{}3,4 D.{}1,2,9【答案】A 【解析】【分析】根据集合B 的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.【详解】依题意得，对于集合B 中的元素x ，满足11,2,3,4,5,9x +=，则x 可能的取值为0,1,2,3,4,8，即{0,1,2,3,4,8}B =，于是{1,2,3,4}A B ⋂=.故选：A 2.设z =，则z z ⋅=（）A.-iB.1C.-1D.2【答案】D 【解析】【分析】先根据共轭复数的定义写出z ，然后根据复数的乘法计算.【详解】依题意得，z=，故22i2zz=-=.故选：D3.若实数,x y满足约束条件43302202690x yx yx y--≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y=-的最小值为（）A.5B.12C.2-D.7 2-【答案】D【解析】【分析】画出可行域后，利用z的几何意义计算即可得.【详解】实数,x y满足43302202690x yx yx y--≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图：由5z x y=-可得1155y x z=-，即z的几何意义为1155y x z=-的截距的15-，则该直线截距取最大值时，z有最小值，此时直线1155y x z=-过点A，联立43302690x yx y--=⎧⎨+-=⎩，解得321xy⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A⎛⎫⎪⎝⎭，则min375122z=-⨯=-.故选：D.4.等差数列{}n a的前n项和为n S，若91S=，37a a+=（）A.2-B.73 C.1 D.29【答案】D【解析】【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成1a 和d 来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.【详解】方法一：利用等差数列的基本量由91S =，根据等差数列的求和公式，911989193612S a d a d ⨯=+=⇔+=，又371111222628(936)99a a a d a d a d a d +=+++=+=+=.故选：D方法二：利用等差数列的性质根据等差数列的性质，1937a a a a +=+，由91S =，根据等差数列的求和公式，193799()9()122a a a a S ++===，故3729a a +=.故选：D方法三：特殊值法不妨取等差数列公差0d =，则9111199S a a ==⇒=，则371229a a a +==.故选：D5.甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）A.14B.13C.12D.23【答案】B 【解析】【分析】分类讨论甲乙的位置，得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.【详解】当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种；当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意；基本事件总数显然是44A 24=，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为81243=.故选：B6.已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A.4B.3C.2D.【答案】C【解析】【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率.【详解】设()10,4F -、()20,4F 、()6,4-P ，则1228F F c ==，110PF ==，26PF ==，则1221064a PF PF =-=-=，则28224c e a ===.故选：C.7.曲线()631f x x x =+-在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为（）A.16B.32C.12D.【答案】A 【解析】【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积.【详解】()563f x x ='+，所以()03f '=，故切线方程为3(0)131y x x =--=-，故切线的横截距为13，纵截距为1-，故切线与坐标轴围成的面积为1111236⨯⨯=故选：A.8.函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为（）A.B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D.【详解】()()()()()22ee sin e e sin xx x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=，又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可排除D.故选：B.9.已知cos cos sin ααα=-πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.1+B.1- C.32D.1【答案】B 【解析】【分析】先将cos cos sin αα-α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos cos sin ααα=-，所以11tan =-α，tan 13⇒α=-，所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==α+ ⎪-α⎝⎭，故选：B .原10题略10.设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ= .下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n⊥其中所有真命题的编号是（）A.①③B.②④C.①②③D.①③④【答案】A 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.【详解】对①，当n ⊂α，因为//m n ，m β⊂，则//n β，当n β⊂，因为//m n ，m α⊂，则//n α，当n 既不在α也不在β内，因为//m n ，,m m αβ⊂⊂，则//n α且//n β，故①正确；对②，若m n ⊥，则n 与,αβ不一定垂直，故②错误；对③，过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ，因为//n α，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ，同理可得//n t ，则//s t ，因为s ⊄平面β，t ⊂平面β，则//s 平面β，因为s ⊂平面α，m αβ= ，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，故③正确；对④，若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等，如果//,//αβn n ，则//m n ，故④错误；综上只有①③正确，故选：A.11.在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A.32B.C.72D.2【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac +=，再利用正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin 2A C +=.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．原13题略12.函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是______．【答案】2【解析】【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，当[]0,πx ∈时，ππ2π,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当ππ32x -=时，即5π6x =时，()max 2f x =.故答案为：213.已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ______．【答案】64【解析】【分析】将8log ,log 4a a 利用换底公式转化成2log a 来表示即可求解.【详解】由题28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-，整理得()2225log 60log a a --=，2log 1a ⇒=-或2log 6a =，又1a >，所以622log 6log 2a ==，故6264a ==故答案为：64.14.曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为______．【答案】()2,1-【解析】【分析】将函数转化为方程，令()2331x x x a -=--+，分离参数a ，构造新函数()3251,g x x x x =+-+结合导数求得()g x 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【详解】令()2331x x x a -=--+，即3251a x x x =+-+，令()()32510,g x x x x x =+-+>则()()()2325351g x x x x x =+-=+-'，令()()00g x x '=>得1x =，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()1,x ∞∈+时，()0g x '>，()g x 单调递增，()()01,12g g ==-，因为曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，所以等价于y a =与()g x 有两个交点，所以()2,1a ∈-.故答案为：()2,1-三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．15.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n S 的通项公式.【答案】（1）153n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）353232n ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；（2）利用等比数列的求和公式可求n S .【小问1详解】因为1233n n S a +=-,故1233n n S a -=-，所以()12332n n n a a a n +=-≥即153n n a a +=故等比数列的公比为53q =，故1211523333533a a a a =-=⨯-=-，故11a =，故153n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.【小问2详解】由等比数列求和公式得5113353523213n n n S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭-.16.如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD的中点.（1）证明：//BM 平面CDE ；（2）求点M 到ABF 的距离.【答案】（1）证明见详解；（2）31313【解析】【分析】（1）结合已知易证四边形BCDM 为平行四边形，可证//BM CD ，进而得证；（2）作FO AD ⊥，连接OB ，易证,,OB OD OF 三垂直，结合等体积法M ABF F ABM V V --=即可求解.【小问1详解】因为//,2,4,BC AD BC AD M ==为AD 的中点，所以//,BC MD BC MD =，四边形BCDM 为平行四边形，所以//BM CD ，又因为BM ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//BM 平面CDE ；【小问2详解】如图所示，作BO AD ⊥交AD 于O ，连接OF ，因为四边形ABCD 为等腰梯形，//,4,BC AD AD =2AB BC ==，所以2CD =，结合（1）BCDM 为平行四边形，可得2BM CD ==，又2AM =，所以ABM 为等边三角形，O 为AM 中点，所以OB =，又因为四边形ADEF 为等腰梯形，M 为AD 中点，所以,//EF MD EF MD =，四边形EFMD 为平行四边形，FM ED AF ==，所以AFM △为等腰三角形，ABM与AFM △底边上中点O 重合，OF AM ⊥，3OF ==，因为222OB OF BF +=，所以OB OF ⊥，所以,,OB OD OF 互相垂直，由等体积法可得M ABF F ABM V V --=，211113323323242F ABM ABM V S FO -=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=△，2222222cos2FA AB FB FAB FAB FA AB +-+-∠==∠=⋅1139sin 2222FAB S FA AB FAB =⋅⋅∠=⋅⋅△，设点M 到FAB 的距离为d ，则113933322M FAB F ABM FAB V V S d d --==⋅⋅=⋅⋅=△，解得31313d =，即点M 到ABF 的距离为31313.17.已知函数()()1ln 1f x a x x =--+．（1）求()f x 的单调区间；（2）若2a ≤时，证明：当1x >时，()1e x f x -<恒成立．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当1x >时，1e 21ln 0x x x --++>即可.【小问1详解】()f x 定义域为(0,)+∞，11()ax f x a x x '-=-=当0a ≤时，1()0ax f x x -'=<，故()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，1,x a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减.综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；0a >时，()f x 在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.【小问2详解】2a ≤，且1x >时，111e ()e (1)ln 1e 21ln x x x f x a x x x x ----=--+-≥-++，令1()e 21ln (1)x g x x x x -=-++>，下证()0g x >即可.11()e 2x g x x -'=-+，再令()()h x g x '=，则121()e x h x x-'=-，显然()h x '在(1,)+∞上递增，则0()(1)e 10h x h ''>=-=，即()()g x h x ='在(1,)+∞上递增，故0()(1)e 210g x g ''>=-+=，即()g x 在(1,)+∞上单调递增，故0()(1)e 21ln10g x g >=-++=，问题得证18.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设(),0F c ，根据M 的坐标及MF ⊥x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.（2）设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y -，结合韦达定理化简前者可得10Q y y -=，故可证AQ y ⊥轴.【小问1详解】设(),0F c ，由题设有1c =且232b a =，故2132a a -=，故2a =，故b =，故椭圆方程为22143x y +=.【小问2详解】直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y，由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩可得()2222343264120k x k x k +-+-=，故()()422Δ102443464120k k k =-+->，故1122k -<<，又22121222326412,3434k k x x x x k k -+==++，而5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故直线225:522y BN y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，故22223325252Q y y y x x --==--，所以()1222112225332525Q y x y y y y y x x ⨯-+-=+=--()()()12224253425k x x k x x -⨯-+-=-()222212122264123225825834342525k k x x x x k k k k x x -⨯-⨯+-++++==--2222212824160243234025k k k k k x --+++==-，故1Q y y =，即AQ y ⊥轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．19.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.（1）写出C 的直角坐标方程；（2）设直线l ：x t y t a=⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.【答案】（1）221y x =+（2）34a =【解析】【分析】（1）根据ρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩可得C 的直角方程.（2）将直线的新的参数方程代入C 的直角方程，法1：结合参数s 的几何意义可得关于a 的方程，从而可求参数a 的值；法2：将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求a 的值.【小问1详解】由cos 1ρρθ=+，将ρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩cos 1ρρθ=+，1x =+，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为221y x =+.【小问2详解】对于直线l 的参数方程消去参数t ，得直线的普通方程为y x a =+.法1：直线l 的斜率为1，故倾斜角为π4，故直线的参数方程可设为2222x s y a s ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，s ∈R .将其代入221y x =+中得()221)210s a s a +-+-=设,A B 两点对应的参数分别为12,s s，则)()212121,21s s a s s a +=--=-，且()()22Δ818116160a a a =---=->，故1a <，12AB s s ∴=-=2==，解得34a =.法2：联立221y x a y x =+⎧⎨=+⎩，得22(22)10x a x a +-+-=，()22Δ(22)41880a a a =---=-+>，解得1a <，设()()1122,,,A x y B x y ,2121222,1x x a x x a ∴+=-=-，则AB ==2=，解得34a =20.实数,ab 满足3a b +≥．（1）证明：2222a b a b +>+；（2）证明：22226a b b a -+-≥．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接利用22222()a b a b +≥+即可证明.（2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明.【小问1详解】因为()()2222222022a b a ab b a b b a -+=--++=≥，当a b =时等号成立，则22222()a b a b +≥+，因为3a b +≥，所以22222()a b a b a b +≥+>+;【小问2详解】222222222222()a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+22222()()()()(1)326a b a b a b a b a b a b =+-+≥+-+=++-≥⨯=。
2024文科数学乙卷
1、设等比数列{a_n} 的首项为a_1 = 2，公比为q = 3，则第4项a_4 为：A. 18B. 24C. 54D. 162（答案）C2、已知向量AB 与向量AC 的夹角为60°，且|AB| = 3，|AC| = 4，则向量AB 与向量AC 的数量积为：A. 6B. 12C. 24D. 48（注：数量积公式为|AB| ×|AC| ×cos(夹角)，此处夹角为60°，cos(60°)=1/2）（答案）A3、在三角形ABC 中，若sin A = 1/2，且角A 为锐角，则角A 的度数为：A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°（答案）B4、已知圆O 的方程为x2 + y2 = 16，点P(3, 4) 在圆上，过点P 的切线方程为：A. 3x + 4y - 24 = 0B. 3x - 4y + 7 = 0C. 4x - 3y - 7 = 0D. 4x + 3y - 24 = 0（注：切线方程可通过圆心到切点的连线与切线垂直的性质求得）（答案）A5、设集合A = {x | x 是小于10 的正整数且x 是3 的倍数}，则集合A 的元素个数为：A. 2B. 3C. 4D. 5（答案）B6、已知复数z = 1 + i（其中i 为虚数单位），则复数z 的模为：A. 1B. √2C. 2D. 2√2（注：复数模的计算公式为|z| = √(a2 + b2)，其中z = a + bi）（答案）B7、在三角形ABC 中，若a = 5，b = 7，c = 9，则三角形ABC 的形状为：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形（注：可通过余弦定理判断三角形的形状，余弦定理为cos C = (a2 + b2 - c2) / (2ab)）（答案）C8、设函数f(x) = x2 - 2x + 1，则函数f(x) 的最小值为：A. -1B. 0C. 1D. 2（注：二次函数的最小值可通过公式-(b2 - 4ac) / 4a 求得，其中a = 1, b = -2, c = 1）但更简单的方法是完成平方：f(x) = (x - 1)2，从而直接看出最小值为0当x=1时。
2024年高考文科数学全国甲卷+答案详解
2024年高考文科数学全国甲卷+答案详解（试题部分）一、单选题1．集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B =（ ） A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,3C ．{}3,4D ．{}1,2,92．设z =，则z z ⋅=（ ） A ．-iB ．1C ．-1D ．23．若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y −−≥⎧⎪−−≤⎨⎪+−≤⎩，则5z x y =−的最小值为（ ）A ．5B ．12C ．2−D ．72−4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（ ） A ．2−B ．73C ．1D ．295．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ） A ．14 B ．13C ．12D ．236．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b−=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F −，点()6,4P −在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A ．4B ．3C ．2D7．曲线()631f x x x =+−在()0,1−处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）A ．16BC ．12D． 8．函数()()2e e sin x xf x x x −=−+−在区间[ 2.8,2.8]−的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知cos cos sin ααα=−πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A．1 B．1 CD．110．设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ=.下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥ 其中所有真命题的编号是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①③④11．在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ） A ．32BCD二、填空题12．函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是 ． 13．已知1a >，8115log log 42a a −=−，则=a ． 14．曲线33y x x =−与()21y x a =−−+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为 ． 三、解答题15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=−. (1)求{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n S 的通项公式.16．如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB =M 为AD 的中点.(1)证明：//BM 平面CDE ； (2)求点M 到ABF 的距离.17．已知函数()()1ln 1f x a x x =−−+． (1)求()f x 的单调区间；(2)若2a ≤时，证明：当1x >时，()1e xf x −<恒成立．18．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴． 19．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)设直线l ：x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于AB 、两点，若2AB =，求a 的值. 20．实数,a b 满足3a b +≥． (1)证明：2222a b a b +>+；(2)证明：22226a b b a −+−≥．2024年高考文科数学全国甲卷+答案详解（答案详解）一、单选题1．集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B =（ ） A ．{}1,2,3,4 B ．{}1,2,3C ．{}3,4D ．{}1,2,9【答案】A【解析】根据题意得，对于集合B 中的元素x ，满足11,2,3,4,5,9x +=， 则x 可能的取值为0,1,2,3,4,8，即{0,1,2,3,4,8}B =，于是{1,2,3,4}A B ⋂=. 故选A2．设z =，则z z ⋅=（ ） A ．-i B ．1C ．-1D ．2【答案】D【解析】根据题意得，z =，故22i 2zz =−=. 故选D3．若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y −−≥⎧⎪−−≤⎨⎪+−≤⎩，则5z x y =−的最小值为（ ）A ．5B ．12C ．2−D ．72−【答案】D【解析】实数,x y 满足43302202690x y x y x y −−≥⎧⎪−−≤⎨⎪+−≤⎩，作出可行域如图：由5z x y =−可得1155y x z =−，即z 的几何意义为1155y x z =−的截距的15−， 则该直线截距取最大值时，z 有最小值，此时直线1155y x z =−过点A ， 联立43302690x y x y −−=⎧⎨+−=⎩，解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A ⎛⎫⎪⎝⎭，则min 375122z =−⨯=−. 故选D.4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（ ） A ．2− B ．73C ．1D ．29【答案】D【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成1a 和d 来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.【解析】方法1：利用等差数列的基本量 由91S =，根据等差数列的求和公式，911989193612S a d a d ⨯=+=⇔+=， 又371111222628(936)99a a a d a d a d a d +=+++=+=+=.故选D方法2：利用等差数列的性质根据等差数列的性质，1937a a a a +=+，由91S =，根据等差数列的求和公式， 193799()9()122a a a a S ++===，故3729a a +=. 故选D方法3：特殊值法不妨取等差数列公差0d =，则9111199S a a ==⇒=，则371229a a a +==. 故选D5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ） A ．14 B ．13C ．12D ．23【答案】B【分析】分类讨论甲乙的位置，得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解. 【解析】当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种； 当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意；基本事件总数显然是44A 24=，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为81243=. 故选B6．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b−=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F −，点()6,4P −在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A．4 B ．3 C ．2 D 【答案】C【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率. 【解析】根据题意，()10,4F −、()20,4F 、()6,4P −，则1228F F c ==，110PF =，26PF ，则1221064a PF PF =−=−=，则28224c e a ===. 故选C.7．曲线()631f x x x =+−在()0,1−处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）A ．16B C ．12D ． 【答案】A【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积.【解析】()563f x x ='+，所以()03f '=，故切线方程为3(0)131y x x =−−=−，故切线的横截距为13，纵截距为1−，故切线与坐标轴围成的面积为1111236⨯⨯=故选A.8．函数()()2e e sin x xf x x x −=−+−在区间[ 2.8,2.8]−的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D.【解析】()()()()()22e e sin e e sin x x x xf x x x x x f x −−−=−+−−=−+−=，又函数定义域为[]2.8,2.8−，故该函数为偶函数，AC 错误， 又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=−+−>−+−=−−>−> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， D 错误.故选B.9．已知cos cos sin ααα=−πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．1CD ．1【答案】B 【分析】先将cos cos sin αα−α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【解析】因为cos cos sin ααα=−11tan =−α，tan 1⇒α=，所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==α+ ⎪−α⎝⎭， 故选B.10．设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ=.下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥ 其中所有真命题的编号是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①③④【答案】A【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③. 【解析】①，当n ⊂α，因为//m n ，m β⊂，则//n β，当n β⊂，因为//m n ，m α⊂，则//n α， 当n 既不在α也不在β内，因为//m n ，,m m αβ⊂⊂，则//n α且//n β，①正确； ②，若m n ⊥，则n 与,αβ不一定垂直，②错误；③，过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ，因为//n α，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ，同理可得//n t ，则//s t ，因为s ⊄平面β，t ⊂平面β，则//s 平面β，因为s ⊂平面α，m αβ=，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，③正确；④，若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等，如果//,//αβn n ，则//m n ，④错误； ①③正确， 故选A.11．在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ）A ．32BC．2D【答案】C【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac +=，再利用正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可. 【解析】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==. 根据余弦定理可得:22294b a c ac ac =+−=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=， 因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin A C +. 故选C. 二、填空题12．函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是 ． 【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【解析】()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫==− ⎪⎝⎭，当[]0,πx ∈时，ππ2π,333x ⎡⎤−∈−⎢⎥⎣⎦，当ππ32x −=时，即5π6x =时，()max 2f x =.答案为：2 13．已知1a >，8115log log 42a a −=−，则=a ． 【答案】64【分析】将8log ,log 4a a 利用换底公式转化成2log a 来表示即可求解. 【解析】由题28211315log log log 4log 22a a a a −=−=−，整理得()2225log 60log a a −−=， 2log 1a ⇒=−或2log 6a =，又1a >，所以622log 6log 2a ==，故6264a ==答案为：64.14．曲线33y x x =−与()21y x a =−−+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为 ．【答案】()2,1−【分析】将函数转化为方程，令()2331x x x a −=−−+，分离参数a ，构造新函数()3251,g x x x x =+−+结合导数求得()g x 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【解析】令()2331x x x a −=−−+，即3251a x x x =+−+，令()()32510,g x x x x x =+−+>则()()()2325351g x x x x x =+−=+−'，令()()00g x x '=>得1x =，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()1,x ∞∈+时，()0g x '>，()g x 单调递增，()()01,12g g ==−，因为曲线33y x x =−与()21y x a =−−+在()0,∞+上有两个不同的交点，所以等价于y a =与()g x 有两个交点，所以()2,1a ∈−.答案为：()2,1− 三、解答题15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=−. (1)求{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n S 的通项公式.【答案】(1)153n n a −⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)353232n⎛⎫− ⎪⎝⎭ 【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项； （2）利用等比数列的求和公式可求n S .【解析】（1）因为1233n n S a +=−,故1233n n S a −=−，所以()12332n n n a a a n +=−≥即153n n a a +=故等比数列的公比为53q =，故1211523333533a a a a =−=⨯−=−，故11a =，故153n n a −⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）根据等比数列求和公式得5113353523213n nnS ⎡⎤⎛⎫⨯−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==− ⎪⎝⎭−. 16．如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB =M 为AD 的中点.(1)证明：//BM 平面CDE ； (2)求点M 到ABF 的距离. 【答案】(1)见详解；【分析】（1）结合已知易证四边形BCDM 为平行四边形，可证//BM CD ，进而得证；（2）作FO AD ⊥，连接OB ，易证,,OB OD OF 三垂直，结合等体积法M ABF F ABM V V −−=即可求解. 【解析】（1）因为//,2,4,BC AD BC AD M ==为AD 的中点，所以//,BC MD BC MD =，四边形BCDM 为平行四边形，所以//BM CD ，又因为BM ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//BM 平面CDE ； （2）如图所示，作BO AD ⊥交AD 于O ，连接OF ，因为四边形ABCD 为等腰梯形，//,4,BC AD AD =2AB BC ==，所以2CD =，结合（1）BCDM 为平行四边形，可得2BM CD ==，又2AM =，所以ABM 为等边三角形，O 为AM 中点，所以OB =ADEF 为等腰梯形，M 为AD 中点，所以,//EF MD EF MD =，四边形EFMD 为平行四边形，FM ED AF ==，所以AFM △为等腰三角形，ABM 与AFM △底边上中点O 重合，OF AM ⊥，3OF ==，因为222OB OF BF +=，所以OB OF ⊥，所以,,OB OD OF 互相垂直，等体积法可得M ABF F ABM V V −−=，2112333F ABM ABM V S FO −=⋅=⋅=△，2222222cos2FA AB FBFAB FAB FA AB+−+−∠===∠=⋅11sin 222FAB S FA AB FAB =⋅⋅∠==△，设点M 到FAB 的距离为d ，则1133M FAB F ABM FAB V V S d d −−==⋅⋅==△解得d =M 到ABF17．已知函数()()1ln 1f x a x x =−−+．(1)求()f x 的单调区间；(2)若2a ≤时，证明：当1x >时，()1e x f x −<恒成立．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性； （2）先根据题设条件将问题可转化成证明当1x >时，1e 21ln 0x x x −−++>即可.【解析】（1）()f x 定义域为(0,)+∞，11()ax f x a x x'−=−= 当0a ≤时，1()0ax f x x −'=<，故()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，1,x a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减. 综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；0a >时，()f x 在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）2a ≤，且1x >时，111e ()e (1)ln 1e 21ln x x x f x a x x x x −−−−=−−+−≥−++，令1()e 21ln (1)x g x x x x −=−++>，下证()0g x >即可.11()e 2x g x x −'=−+，再令()()h x g x '=，则121()e x h x x−'=−，显然()h x '在(1,)+∞上递增，则0()(1)e 10h x h ''>=−=，即()()g x h x ='在(1,)+∞上递增，故0()(1)e 210g x g ''>=−+=，即()g x 在(1,)+∞上单调递增， 故0()(1)e 21ln10g x g >=−++=，问题得证18．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴． (1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．【答案】(1)22143x y += (2)见解析【分析】（1）设(),0F c ，根据M 的坐标及MF ⊥x 轴可求基本量，故可求椭圆方程. （2）设:(4)AB y k x =−，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y −，结合韦达定理化简前者可得10Q y y −=，故可证AQ y ⊥轴.【解析】（1）设(),0F c ，由题设有1c =且232b a =，故2132a a −=，故2a =，故b = 所以椭圆方程为22143x y +=. （2）直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x =−，()11,A x y ，()22,B x y ，由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=−⎩可得()2222343264120k x k x k +−+−=， 故()()422Δ102443464120k k k =−+−>，故1122k −<<，又22121222326412,3434k k x x x x k k −+==++， 而5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故直线225:522y BN y x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭−，故22223325252Q y y y x x −−==−−， 所以()1222112225332525Q y x y y y y y x x ⨯−+−=+=−− ()()()12224253425k x x k x x −⨯−+−=−()222212122264123225825834342525k k x x x x k k k k x x −⨯−⨯+−++++==−− 2222212824160243234025k k k k k x −−+++==−，故1Q y y =，即AQ y ⊥轴.19．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)设直线l ：x t y t a=⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值. 【答案】(1)221y x =+ (2)34a =【分析】（1）根据cos xρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩C 的直角方程. （2）将直线的新的参数方程代入C 的直角方程，法1：结合参数s 的几何意义可得关于a 的方程，从而可求参数a 的值； 法2：将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求a 的值.【解析】（1）由cos 1ρρθ=+，将cos x ρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩cos 1ρρθ=+，1x =+，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为221y x =+. （2）对于直线l 的参数方程消去参数t ，得直线的普通方程为y x a =+. 法1：直线l 的斜率为1，故倾斜角为π4，故直线的参数方程可设为x y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，s ∈R . 将其代入221y x =+中得()221)210s a s a +−+−=设,A B 两点对应的参数分别为12,s s，则)()212121,21s s a s s a +=−−=−，且()()22Δ818116160a a a =−−−=−>，故1a <，12AB s s ∴=−2=，解得34a =. 法2：联立221y x a y x =+⎧⎨=+⎩，得22(22)10x a x a +−+−=，()22Δ(22)41880a a a =−−−=−+>，解得1a <，设()()1122,,,A x y B x y ,2121222,1x x a x x a ∴+=−=−，则AB =2=， 解得34a = 20．实数,a b 满足3a b +≥．(1)证明：2222a b a b +>+；(2)证明：22226a b b a −+−≥．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）直接利用22222()a b a b +≥+即可证明.（2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明.【解析】（1）因为()()2222222022a b a ab b a b b a −+=−−++=≥， 当a b =时等号成立，则22222()a b a b +≥+，因为3a b +≥，所以22222()a b a b a b +≥+>+;（2）222222222222()a b b a a b b a a b a b −+−≥−+−=+−+ 22222()()()()(1)326a b a b a b a b a b a b =+−+≥+−+=++−≥⨯=。
高三文科数学试卷带答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列各数中，无理数是（）A. √4B. 3/5C. √9/16D. √2答案：D解析：无理数是不能表示为两个整数比的实数，只有√2是无理数。
2. 函数y=2x+1在定义域内是（）A. 增函数B. 减函数C. 奇函数D. 偶函数答案：A解析：函数的斜率为正，所以是增函数。
3. 已知向量a=(2, -3)，向量b=(4, 6)，则向量a与向量b的夹角是（）A. 0°B. 90°C. 180°D. 120°答案：D解析：向量a与向量b的点积为24 + (-3)6 = -12，向量a的模长为√(2^2 + (-3)^2) = √13，向量b的模长为√(4^2 + 6^2) = √52。
点积公式为a·b =|a||b|cosθ，所以cosθ = -12/(√13√52) ≈ -0.5，夹角θ ≈ 120°。
4. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，其对称轴是（）A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 4答案：B解析：二次函数的对称轴为x = -b/2a，所以对称轴为x = -(-4)/21 = 2。
5. 已知等差数列{an}的第一项为2，公差为3，则第10项是（）A. 25B. 28C. 31D. 34答案：D解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，所以第10项为2 + (10-1)3 = 2 + 27 = 29。
6. 若复数z满足|z-1| = |z+1|，则z在复平面上的位置是（）A. 实轴B. 虚轴C. 第一象限D. 第二象限答案：A解析：|z-1| = |z+1|表示z到点1和点-1的距离相等，因此z在实轴上。
7. 已知圆C的方程为x^2 + y^2 = 25，点P(3, 4)到圆C的最短距离是（）A. 4B. 5C. 6D. 7答案：B解析：圆心到点P的距离为√(3^2 + 4^2) = 5，圆的半径为5，所以最短距离为5 - 5 = 0。
全国乙卷2023文科数学试题及参考答案（含解析）
全国乙卷2023文科数学试题及参考答案(含解析)全国乙卷2023文科数学试题及参考答案(含解析)全国甲卷和乙卷均由教育部考试院命制，为确保高考命题平稳，考试院一般在3月至4月期间开展面向使用全国卷的省份的学情调研。
以下是小编收集的关于全国乙卷2023文科数学试题及参考答案的相关内容，供大家参考!2023年高考全国乙卷数学(文)试题2023年高考全国乙卷数学(文)试题参考答案2023高考数学必考题型有哪些1、函数与导数高考数学主要考查数学集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。
2、平面向量与三角函数、三角变换及其应用这一部分是高考数学的重点但不是难点，主要出一些数学基础题或中档题。
3、数列及其应用这部分是高考数学的重点而且是难点，主要出一些综合题。
4、不等式高考数学主要考查数学不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。
是高考的重点和难点。
5、概率和统计这部分和考生的生活联系比较大，属高考数学应用题。
6、空间位置关系的定性与定量分析主要是证明平行或垂直，求角和距离。
高考数学主要考察对定理的熟悉程度、运用程度。
7、解析几何高考数学的难点，运算量大，一般含参数。
2023高考数学答题技巧1、高考数学选择题部分答题技巧高考数学的选择题部分题型考试的方向基本都是固定的，当你在一轮二轮复习过程中总结出题目的出题策略时，答题就变得很简单了。
比如立体几何三视图，概率计算，圆锥曲线离心率等等试题中都有一些特征，只要掌握思考的切入方法和要点，再适当训练基本就可以全面突破。
但是如果不掌握核心方法，单纯做题训练就算做很多题目，突破也非常困难，学习就会进入一个死循环，对照答案可以理解，但自己遇到新的题目任然无从下手。
2、高考数学关于大题方面答题技巧高考数学基本上三角函数或解三角形、数列、立体几何和概率统计应该是考生努力把分数拿满的题目。
对于较难的原则曲线和导数两道题目基本要拿一半的分数。
内蒙古呼和浩特市2024届高三第一次质量监测文科数学试题(含解析)
内蒙古呼和浩特市2024届高三第一次质量监测文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．π4B ．3π44．在ABC 中，内角A ，B ，C π5C =，则B ∠=（ ）A ．π5B ．π155．已知()()()(313f x x x a =+-A ．2-B ．1-二、填空题三、解答题17．某教育集团为了办好人民满意的教育，每年底都随机邀请8名学生家长代表对集团内甲、乙两所学校进行人民满意度的民主测评（满意度最高120分，最低0分，分数越高说明人民满意度越高，分数越低说明人民满意度越低）．去年测评的结果（单位：分）(1)求证：平面BCQ ⊥平面ACQ (2)若Q 为靠近P 的一个三等分点，20．设函数()e xf x ax =-，(1)当1a =时，求函数()f x 在参考答案：故选：D 7．D【分析】根据几何概型的概率公式，由面积之比即可求解【详解】(){}22,4x y x y +≤表示圆心为原点，半径为(){}22,14x y xy ≤+≤表示圆心为原点，半径为所以概率为4ππ34π4-=，故选：D8．A【分析】应用零点存在定理结合函数单调性列不等式求解即可f x=【详解】若函数()2x()2f x a2x=--单调递增目标函数2z x y =-，即2y x z =-表示斜率为画直线0:2l y x =，平移直线0l 到直线1l ，当直线min 2142z =⨯-=-，所以2z x y =-的最小值为2-.故答案为：2-14．2-/0.4-17．(1)甲、乙的平均数都为(2)乙的人民满意度比较好【分析】（1）利用平均数和方差的运算公式进行求解即可；（2）根据方差的性质进行求解即可(1212OA OB x x y y ⋅=+=u u r u u u r由图可知，当1C 与2C 只有一个公共点，直线C 设直线1C 的方程为()2y k x =+，且0k >，即2k k +2由图可得函数()f x 的最小值为（2）令()4f x =，可得x ⎧⎨-⎩。
2020广东高考文科数学试卷及答案
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2=--<=-，则A B=（）A x x x B{|340},{4,1,3,5}- B. {1,5}A. {4,1}C. {3,5}D. {1,3}2.若3z（）z=++，则||=12i iA. 0B. 1C. 2D. 23.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A.51- B.51- C.51+ D.51+ 4.设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为（ ） A. 15B.25 C.12D. 455.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（ ） A. y a bx =+B. 2y a bx =+ C. e xy a b =+D. ln y a b x =+6.已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 47.设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A.10π9 B.7π6 C. 4π3D. 3π28.设3log 42a =，则4a -=（ ） A.116B.19C.18D.169.执行下面的程序框图，则输出的n =（ ）A. 17B. 19C. 21D. 2310.设{}n a 等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（ ）A. 12B. 24C. 30D. 3211.设12,F F 是双曲线22:13y C x -=两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为（ ） A.72B. 3C.52D. 212.已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ）A. 64πB. 48πC. 36πD. 32π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则z =x +7y 的最大值为______________.14.设向量(1,1),(1,24)a b m m =-=+-，若a b ⊥，则m =______________. 15.曲线ln 1y x x =++一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.16.数列{}n a 满足2(1)31nn n a a n ++-=-，前16项和为540，则1a = ______________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A ，B ，C ，D 四个等级.加工业务约定：对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表乙分厂产品等级的频数分布表等级 A B C D 频数 28173421（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率；（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?18.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°. （1）若a =3c ，b =27，求ABC 的面积；（2）若sin A +3sin C =2，求C . 19.如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，∠APC =90°．（1）证明：平面P AB ⊥平面P AC ；（2）设DO 23π，求三棱锥P −ABC 的体积. 20.已知函数()(2)xf x e a x =-+.（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.21.已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.（二）选考题：共10分。
高考文科数学全国卷三真题试卷及答案(新课标)
绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试〔新课标Ⅲ〕文科数学考前须知：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．答复选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答复非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1．集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，那么A⋂B中元素的个数为A．1 B．2 C．3 D．42．复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游效劳质量，收集并整理了2021年1月至2021年12月期间月接待游客量〔单位：万人〕的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，以下结论错误的选项是A．月接待游客逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量顶峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比拟平稳4．4sin cos3αα-=，那么sin2α=A ．79-B ．29-C ．29D ．795．设x ，y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，那么z =x -y 的取值范围是 A ．[–3,0]B ．[–3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]6．函数f (x )=15sin(x +3π)+cos(x −6π)的最大值为A ．65B ．1C ．35D ．157．函数y =1+x +2sin xx的局部图像大致为A ．B ．C ．D ．8．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，那么输入的正整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．29．圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，那么该圆柱的体积为 A ．πB ．3π4C ．π2D ．π410．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，那么A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥11．椭圆C ：22221x y a b+=，〔a >b >0〕的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，那么C 的离心率为AB C D ．1312．函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，那么a =A ．12-B ．13C ．12D ．1二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。
2024年成人高考成考(高起本)数学(文科)试题与参考答案
2024年成人高考成考数学(文科)(高起本)自测试题(答案在后面)一、单选题（本大题有12小题，每小题7分，共84分）1、下列函数中，哪个是一次函数？A、y = x^2 + 3B、y = 2x + 1C、y = sin(x)D、y = e^x2、若函数(y=x 2−4x+2)的定义域为(D)，则(D)等于：A.(R,)即所有实数B.((−2,+∞))C.((−∞,−2]∪[−2,+∞))D.((−∞,−2)∪(−2,+∞))3、已知函数f(x)=x2−4x+4，则该函数的对称轴为：A.x=1B.x=2C.y=1D.y=44、下列数中，不是有理数的是（）B、-1/2C、πD、0.1010010001…5、函数(y=log2(4−x))的定义域是（）。
A、((−∞,4])B、((4,+∞))C、((−∞,4))D、([4,+∞))6、函数f(x)=x2−4x+3的图像与x轴的交点坐标为：A. (1, 0) 和 (3, 0)B. (0, 3) 和 (4, 0)C. (1, 3) 和 (3, 1)D. (2, 0) 和 (2, 0)7、设函数(f(x)=x2−4x+3)，则该函数的最小值为：A. -1B. 0C. 1D. 28、已知函数f(x)=x3−3x2+2，下列哪个选项是该函数的极值点？A.x=0B.x=1D.x=39、如果等差数列{a_n}的首项a_1=3，公差d=2，则a_5等于（）。
A、11B、13C、15D、1710、已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，若函数f(x)的图像开口向上，且顶点坐标为（a，b），则下列说法正确的是：A、a=2，b=-4B、a=4，b=2C、a=2，b=0D、a=1，b=211、若函数f(x)=2x3−3x2+4的图像在区间[1,2]上是连续的，则f(x)在该区间上的极值点个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 012、设函数(f(x)=x2−4x+3)，则该函数图像与(x)轴的交点个数为：A. 无交点B. 1个交点C. 2个交点D. 无法确定二、填空题（本大题有3小题，每小题7分，共21分）1、已知函数f(x)=x2−4x+4，若f(x)的对称轴为y=1，则a=______ 。
2023年全国统一高考数学试卷(文科)(甲卷)
2023年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）A．{2，3，5}B．{1，3，4}C．{1，2，4，5}D．{2，3，4，5}A．-1B．1C．1-iD．1+iA．B．（2023•甲卷）设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={2，5}，则N∪∁U M=（ ）答案：A解析：由已知结合集合补集及并集运算即可求解．解答：解：因为U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={2，5}，所以∁U M={2，3，5}，则N∪∁U M={2，3，5}．故选：A．（2023•甲卷）=（ ）5（1+）i 3（2+i ）（2-i ）答案：C解析：直接利用复数的运算法则化简求解即可．解答：解：==1-i.故选：C．5（1+）i 3（2+i ）（2-i ）5（1-i ）5（2023•甲卷）已知向量a =（3，1），b =（2，2），则cos 〈a +b ，a -b 〉=（ ）→→→→→→117√171755答案：B解析：根据题意，求出a +b 和a -b 的坐标，进而求出|a +b |、|a -b |和（a +b ）•（a -b ）的值，进而由数量积的计算公式计算可得答案．→→→→→→→→→→→→A．B．C．D．A．25B．22C．20D．15解答：解：根据题意，向量a =（3，1），b =（2，2），则a +b =（5，3），a -b =（1，-1），则有|a +b |==，|a -b |==，（a +b ）•（a -b ）=2，故cos 〈a +b ，a -b 〉==故选：B．→→→→→→→→√25+9√34→→√1+1√2→→→→→→→→（a +b ）•（a -b ）→→→→|a +b ||a -b |→→→→（2023•甲卷）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）16131223答案：D解析：从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，基本事件总数n==6，这2名学生来自不同年级包含的基本事件个数m==4，由此能求出这2名学生来自不同年级的概率．C 42C 21C 21解答：解：某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，基本事件总数n==6，这2名学生来自不同年级包含的基本事件个数m==4，则这2名学生来自不同年级的概率为P===．故选：D．C 42C 21C 21m n 4623（2023•甲卷）记S n 为等差数列{a n }的前n项和．若a 2+a 6=10，a 4a 8=45，则S 5=（ ）答案：C解析：由已知结合等差数列的性质及通项公式先求出a 1，d,然后结合等差数列的求和公式可求．A．21B．34C．55D．89解答：解：等差数列{a n }中，a 2+a 6=2a 4=10，所以a 4=5，a 4a 8=5a 8=45，故a 8=9，则d==1，a 1=a 4-3d=5-3=2，则S 5=5a 1+d =10+10=20．故选：C．-a 8a 48-45×42（2023•甲卷）执行下边的程序框图，则输出的B=（ ）答案：B解析：模拟执行程序框图，即可得出程序运行后输出B的值．解答：解：模拟执行程序框图，如下：n=3，A=1，B=2，k=1，k≤3，A=1+2=3，B=3+2=5，k=2，k≤3，A=3+5=8，B=8+5=13，k=3，k≤3，A=8+13=21，B=21+13=34，k=4，k＞3，输出B=34．故选：B．A．1B．2C．4D．5A．y=xB．y=xD．y=x+（2023•甲卷）设F 1，F 2为椭圆C：+y 2=1的两个焦点，点P在C上，若P •P =0，则|PF 1|•|PF 2|=（ ）x 25→F 1→F 2答案：B解析：根据题意，分析可得∠F 1PF 2=，由椭圆的标准方程和定义可得|PF 1|+|PF 2|=2a,|PF 1|2+|PF 2|2=（2c）2，将两式联立可得|PF 1|•|PF 2|的值即可．π2解答：解：根据题意，点P在椭圆上，满足P •P =0，可得∠F 1PF 2=，又由椭圆C：+y 2=1，其中c 2=5-1=4，则有|PF 1|+|PF 2|=2a=2，|PF 1|2+|PF 2|2=（2c）2=16，可得|PF 1|•|PF 2|=2，故选：B．→F 1→F 2π2x 25√5（2023•甲卷）曲线y=在点（1，）处的切线方程为（ ）e xx +1e 2e 4e 2e 23e4答案：C解析：先对函数求导，然后结合导数的几何意义求出切线斜率，进而可求切线方程．解答：解：因为y=，y′==，故函数在点（1，）处的切线斜率k=，切线方程为y-=（x-1），即y=x +．故选：C．e xx +1（x +1）-（x +1）′e x e x（x +1）2xe x（x +1）2e 2e 4e 2e 4e 4e 4D．A．1B．C．2D．3（2023•甲卷）已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的离心率为，C的一条渐近线与圆（x-2）2+（y-3）2=1交于A，B两点，则|AB|=（ ）x 2a 2y 2b 2√55554√55答案：D解析：利用双曲线的离心率，求解渐近线方程，然后求解圆的圆心到直线的距离，转化求解|AB|即可．解答：解：双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的离心率为，可得c=a,所以b=2a,所以双曲线的渐近线方程为：y=±2x,一条渐近线与圆（x-2）2+（y-3）2=1交于A，B两点，圆的圆心（2，3），半径为1，所以|AB|=2故选：D．x 2a 2y 2b 2√5√55（2023•甲卷）在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA=PB=2，PC=，则该棱锥的体积为（ ）√6√3答案：A解析：取AB的中点D，连接PD、CD，可得AB⊥平面PCD，再求出△PCD面积，然后利用棱锥体积公式求解．A．b＞c＞aB．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b解答：解：如图，PA=PB=2，AB=BC=2，取AB的中点D，连接PD，CD，可得AB⊥PD，AB⊥CD，又PD∩CD=D，PD、CD ⊂平面PCD，∴AB⊥平面PCD，在△PAB与△ABC中，求得PD=CD==，在△PCD中，由PD=CD=，PC=，得PD 2+CD 2=PC 2，则PD⊥CD，∴=×PD ×CD =××=，∴=×AB=××2=1．故选：A．√-2212√3√3√6S △PCD 1212√3√332V P -ABC 13S △PCD 1332（2023•甲卷）已知函数f（x）=．记a=f（），b=f（），c=f（），则（ ）e -（x -1）2√22√32√62答案：A解析：令g（x）=-（x-1）2，先利用作差比较法及一元二次函数的性质，可得g g g ，再根据y=e x 的单调性，即可求解．222解答：解：令g（x）=-（x-1）2，则g（x）的开口向下，对称轴为x=1，∵-1-（1-）=-，而（+-=9+6-16=6-7＞0，1-（1=＞0，1＞1√62√32+√6√3242√6√3）242√2√2+-4√6√322222A．1B．2C．3D．41-（1=，而（+-=4-8＜0，1＜1gg，综合可得g （）＜g （）＜g （），又y=e x 为增函数，∴a＜c＜b,即b＞c＞a.故选：A．22+-4√6√22√6√2）242√32222√22√62√32（2023•甲卷）函数y=f（x）的图象由y=cos（2x+）的图象向左平移个单位长度得到，则y=f（x）的图象与直线y=x-的交点个数为（ ）π6π61212答案：C解析：利用三角函数的图象变换，求解函数的解析式，然后判断两个函数的图象交点个数即可．解答：解：y=cos （2x+）的图象向左平移个单位长度得到f （x）=cos（2x+）=-sin2x,在同一个坐标系中画出两个函数的图象，如图：y=f（x）的图象与直线y=x-的交点个数为：3．故选：C．π6π6π21212（2023•甲卷）记S n 为等比数列{a n }的前n项和．若8S 6=7S 3，则{a n 答案：见试题解答内容解析：由已知结合等比数列的求和公式即可直接求解．解答：解：等比数列{a n }中，8S 6=7S 3，则q≠1，所以8×=7×，解得q=-．故答案为：-．（1-）a 1q 61-q（1-）a 1q 31-q1212（2023•甲卷）若f（x）=（x-1）2+ax+sin（x+）为偶函数，则a=2．π2答案：2．解析：根据题意，先化简函数的解析式，结合偶函数的定义可得关于a的方程，解可得答案．解答：解：根据题意，设f（x）=（x-1）2+ax+sin（x+）=x 2-2x+ax+1+cosx,若f（x）为偶函数，则f（-x）=x 2+2x-ax+1+cosx=x 2-2x+ax+1+cosx=f（x），变形可得（a-2）x=0在R上恒成立，必有a=2．故答案为：2．π2（2023•甲卷）若x,y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为 15．{3x -2y ≤3，-2x +3y ≤3x +y ≥1，答案：15．解析：作出不等式组对应的平面区域，结合z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示：由z=3x+2y得y=-x+，{3x -2y ≤3，-2x +3y ≤3x +y ≥1，32z 2则表示直线在y轴截距，截距越大，z越大，结合图形可知，当直线y=-x+经过点A时，z最大，联立可得A（3，3），此时z取得最大值15．z 232z 2{3x -2y =3-2x +3y =3（2023•甲卷）在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=4，O为AC 1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是 [2，2]．√2√3答案：[2，2]．√2√3解析：当球是正方体的外接球时半径最大，当边长为4的正方形是球的大圆的内接正方形时半径达到最小．解答：解：设球的半径为R，当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，正方体的外接球直径2R′为体对角线长AC 1==4，即2R′=4，R′=2，故R max =2，分别取侧枝AA1，BB 1，CC 1，DD 1的中点M，H，G，N，则四边形MNGH是边长为4的正方形，且O为正方形MNGH的对角线交点，连接MG，则MG=4，当球的一个大圆恰好是四边形MNGH的外接圆，球的半径最小，即R的最小值为2，综上，球O的半径的取值范围是[2，2]．故答案为：[2，2]．√++424242√3√3√3√3√2√2√2√3√2√3（2023•甲卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知=2．（1）求bc；（2）若-=1，求△ABC面积．+-b 2c 2a 2cosAacosB -bcosA acosB +bcosAb c 答案：见试题解答内容解析：（1）由已知结合余弦定理进行化简即可求解bc；（2）先利用正弦定理及和差角公式进行化简可求cosA，进而可求A，然后结合三角形面积公式可求．解答：解：（1）因为==2bc=2，所以bc=1；（2）-=-=1，所以-==1，所以sin（A-B）-sinB=sinC=sin（A+B），所以sinAcosB-sinBcosA-sinB=sinAcosB+sinBcosA，即cosA=-，由A为三角形内角得A=，△ABC面积S=bcsinA=×1+-b 2c 2a 2cosA2bccosA cosA acosB -bcosA acosB +bcosAb c sinAcosB -sinBcosA sinAcosB +sinBcosA sinB sinC sin （A -B ）sin （A +B ）sinB sinCsin （A -B ）-sinB sinC 122π3121224（2023•甲卷）如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，A 1C⊥平面ABC，∠ACB=90°．（1）证明：平面ACC 1A 1⊥平面BB 1C 1C；（2）设AB=A 1B，AA 1=2，求四棱锥A 1-BB 1C 1C的高．答案：（1）证明见解答；（2）四棱锥A 1-BB 1C 1C的高为1．解析：（1）根据线面垂直，面面垂直的判定与性质定理可得平面ACC 1A 1⊥平面BB 1C 1C；（2）利用已知可得A1C=AC，进而可得A1C=AC=，过A1作A1O⊥C1C于O，可得A 1O为四棱锥A1-BB1C1C的高，求解即可．√2解答：解：（1）∵A1C⊥底面ABC，BC⊂面ABC，∴A1C⊥BC，又BC⊥AC，A1C，AC⊂平面ACC1A1，A1C∩AC=C，∴BC⊥平面ACC1，又BC⊂平面BCC1B1，∴平面ACC1A1⊥平面 BCC1B1；（2）∵BC⊥平面ACC1，AC，A1C⊂平面ACC1，∴BC⊥AC，BC⊥A1C，∵AB=A1B，BC=BC，∴Rt△ABC≌Rt△A1BC，∴A1C=AC，∵A1C⊥底面ABC，AC⊂面ABC，∴A1C⊥AC，∴A1C2+AC2=A1A2，∵AA1=2，∴A1C=AC=，∴A1C1=，过A1作A1O⊥C1C于O，∵A1C=A1C1，∴O为CC1的中点，∴A1O=C1C=A1A=1，由（1）可知A1O⊥平面 BCC1B1，∴四棱锥A1-BB1C1C的高为1．√2√21 21 2（2023•甲卷）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（1）计算试验组的样本平均数；（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表；＜m≥m对照组试验组（ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？附：K 2=，P（K 2≥k）0.1000.0500.010k 2.706 3.841 6.635n （ad -bc ）2（a +b ）（c +d ）（a +c ）（b +d ）答案：（1）19.8．（2）（i）中位数是23.4；列联表是＜m ≥m 合计对照组61420试验组14620合计202040（ii）有95%的把握认为有差异．解析：（1）根据平均数的定义计算即可．（2）（i）把两组数据合在一起，按从小到大排列后求中位数m,填写列联表即可；（ii）根据列联表中数据计算K 2，对照临界值得出结论．解答：解：（1）根据题意，计算试验组样本平均数为x =×（7.8+9.2+11.4+12.4+13.2+15.5+16.5+18.0+18.8+19.2+19.8+20.2+21.6+22.8+23.6+23.9+25.1=19.8．（2）（i）由题意知，这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排列后第20位与第21位数据的平均数，因为原数据的第11位数据是18.8，后续依次为19.2，19.8，20.2，20.2，21.3，21.6，22.5，22.8，23.2，23.6，…，所以第20位为23.2，第21位数据为23.6，所以这组数据的中位数是m=×（23.2+23.6）=23.4；填写列联表如下：＜m ≥m 合计对照组61420试验组1462012012合计202040（ii）根据列联表中数据，计算K 2==6.4＞3.841，所以有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异．40×（6×6-14×14）220×20×20×20（2023•甲卷）已知函数f（x）=ax-，x∈（0，）．（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）+sinx＜0，求a的取值范围．sinx co xs 2π2答案：（1）f（x）在（0，）上单调递减；（2）（-∞，0]．π2解析：（1）先求导函数，再判断导函数的符号，即可求解；（2）设g（x）=f（x）+sinx=ax -+sinx ，x∈（0，），利用其二阶导函数的符号可得一阶导函数在（0，）上单调递减，再根据g（x）=f（x）+sinx＜0及g （0），可得g′（0）=a-1+1≤0，再分类讨论验证，即可求解．sinx co xs 2π2π2解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x -，x ∈（0，），∴f′（x）=1-=1-=，令t=cosx,∵x ∈（0，），∴t∈（0，1），∴cos 3x+cos 2x-2=t 3+t 2-2=（t-1）（t 2+2t+2）=（t-1）[（t+1）2+1]＜0，又cos 3x=t 3＞0，∴f′（x）==＜0，∴f（x）在（0，）上单调递减；（2）设g（x）=f（x）+sinx=ax -+sinx ，x∈（0，），则g ′（x ）=a -+cosx ，x∈（0，），g ″（x ）=--sinx ＜0，∴g′（x）在（0，）上单调递减，若g（x）=f（x）+sinx＜0，又g（0）=0，则g′（0）=a-1+1≤0，∴a≤0，sinx co xs 2π2cosxco x -2cosx （-sinx ）sinxs 2co xs 4co x +2si x s 2n 2co x s 3co x +co x -2s 3s 2co xs 3π2co x +co x -2s 3s 2co xs 3（t -1）（+2t +2）t 2t 3π2sinx co xs 2π21+si x n 2co xs 3π22sinxco x +3（1+si x ）co xsinx s 4n 2s 2co xs 6π2当a=0时，∵sinx -=sinx （1-），又x∈（0，），∴0＜sinx＜1，0＜cosx＜1，∴＞1，∴f （x ）+sinx =sinx -＜0，满足题意；当a＜0时，∵x∈（0，），∴ax＜0，∴f（x）+sinx=ax -+sinx ＜sinx -＜0，满足题意；综合可得：若f（x）+sinx＜0，则a≤0，所以a的取值范围为（-∞，0]．sinx co x s 21co xs 2π21co xs 2sinx co xs 2π2sinx co x s 2sinx co x s 2（2023•甲卷）已知直线x-2y+1=0与抛物线C：y 2=2px（p＞0）交于A，B两点，|AB|=4．（1）求p；（2）设F为C的焦点，M，N为C上两点，且FM •FN =0，求△MFN面积的最小值．√15→→答案：（1）p=2；（2）12-8．√2解析：（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出P；（2）设直线 MN：x=my+n,M（x 1，y 1），N（x 2，y 2），利用MF •NF =0，找到m,n 的关系，以及△MNF的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．→→解答：解：设A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），联立，消去x得：y 2-4py+2p=0，∴y 1+y 2=4p,y 1y 2=2p,Δ=16p 2-8p＞0，∴p（2p-1）＞0，∴p＞，|AB|=|y 1-y 2|==4，∴16p 2-8p=48，∴2p 2-p-6=0，∴（2p+3）（p-2）=0，∴p=2，（2）由（1）知y 2=4x,所以F（1，0），显然直线MN的斜率不可能为零，设直线MN：x=my+n,M（x 1，y 1），N（x 2，y 2）由，可得y 2-4my-4n=0，所以y 1+y 2=4m,y 1y 2=-4n,Δ=16m 2+16n＞0→m 2+n＞0，因为MF •NF =0，所以（x 1-1）（x 2-1）+y 1y 2=0，即（my 1+n-1）（my 2+n-1）+y 1y 2=0，即 {x -2y +1=0=2px （p ＞0）y 212√1+4√5√（+-4y 1y 2）2y 1y 2√15{=4x x =my +ny 2→→（+1）+m （n -1）（+）+（n -1=0，将y 1+y 2=4m,y 1y 2=-4n,代入得4m 2=n 2-6n+1，∴4（m 2+n）=（n-1）2＞0，所以n≠1，且n 2-6n+1≥0，解得n≥3+2或n≤3-2．|MN|=|y 1-y 2|====2|n-1|，所以△MNF的面积S=|MN|×d=×|n-1|，又n ≥3+2或n ≤3-2，所以当n=3-2时，△MNF的面积S min =（2-2）2=12-8．m 2y 1y 2y 1y 2）2√2√2√1+m 2√1+m 2√（+-4y 1y 2）2y 1y 2√1+m 2√16+16n m 2√1+m 2√4（-6n +1）+16n n 2√1+m 21212√1+m 2√2√2√2√2√2（2023•甲卷）已知点P（2，1），直线l：（t为参数），α为l的倾斜角，l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A，B，且|PA|•|PB|=4．（1）求α；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程．{x =2+tcosα，y =1+tsinα答案：（1）α=；（2）ρ=．3π43sinθ+cosθ解析：（1）先把参数方程化为普通方程，然后求出A，B的坐标，进而可求|PA||PB|，结合已知可求tanα，进而可求α；（2）结合（1）先求出直线l的直角坐标方程，然后结合直角坐标与极坐标的相互转化公式即可求解．解答：解：（1）直线l：（t为参数）化为普通方程为y=tanα（x-2）+1，令x=0，得y=1-2tanα，令y=0，得x=2-，所以|PA|=，所以|PA||PB|=整理得tan 2α=1，因为l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A，B，所以tanα＜0，{x =2+tcosα，y =1+tsinα1tanα√4+4ta αn 2所以tanα=-1，故α=；（2）由（1）得y=-（x-2）+1，即x+y-3=0，因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ-3=0，即ρ=．3π43sinθ+cosθ（2023•甲卷）设a＞0，函数f（x）=2|x-a|-a.（1）求不等式f（x）＜x的解集；（2）若曲线y=f（x）与x轴所围成的图形的面积为2，求a.答案：（1）（，3a）．（2）a=2．a 3解析：（1）根据绝对值的意义表示成分段函数，解不等式即可．（2）作出f（x）的图象，求出交点坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可．解答：解：（1）∵a＞0，∴当x≥a时，f（x）=2（x-a）-a=2x-3a,当x＜a时，f（x）=-2（x-a）-a=-2x+a,则当x≥a时，由f（x）＜x得2x-3a＜x,x＜3a,此时a≤x＜3a,当x＜a时，由f（x）＜x得-2x+a＜x,x＞，此时＜x ＜a,综上＜x＜3a,即不等式的解集为（，3a）．（2）作出f（x）的图象如图：则A（，0），B（，0），C（a,-a），则|AB|=-=a,则△ABC的高h=a,则S △ABC =•a•a=2，得a 2=4，即a=2．a 3a 3a 3a 3a 23a 23a 2a 212。
2022年高考文科数学模拟测试试题、参考答案及评分细则
2022年高考文科数学模拟测试试题注意事项：1．本试卷分为选择题和非选择题两部分，共7页。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、座号、准考证号分别填写在答题卡及答题纸上。
3．选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试卷上。
4．考试结束后，将答题卡和答题纸一并交回。
第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={}0,1,2，N={}2,x x a a M =∈，则集合M N =（ ）A 、{}0B 、{}0,1C 、{}1,2D 、{}0,22．函数44y sin x cos x =+的最小正周期是（ ） A ．2π B.4π C. 2π D. 4π3．若A 、B 、C 是锐角三角形ABC 的三个内角，向量p =(sinA ，cosA)，q =(sinB ，−cosB)，则p 与q 的夹角为（ ）A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．以上都不对4．已知抛物线2x y =，则它的准线方程为（ ）A ．14x =B ．14x =-C ．14y =D ．14y =-5． 在等差数列{}n a 中，公差d=1,417a a 8+=,则24620a a a a ++++的值为（ ）A ．40B ．45C ．50D ．556．若P 为双曲线221916x y -=右支上一点，P 到右准线的距离为65，则点P 到双曲线左焦点的距离为（ ）A ．1B ．2C ．6D ．87．记函数xy 12-=+的反函数为y=g(x),则g(5)等于（ ）A ．2B ．-2C ．-4D ．48．某校高一、高二年级各有300人，高三年级有400人，现采用分层抽样抽取容量为50人的样本，那么高三年级应出人数为（ ）A ．16B ．40C ．20D ．259．a 2b 0=≠，且关于x 的方程2x a x a b 0++⋅=有实根，则a 与b 夹角的取值范围是（ ）A 、0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B 、,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C 、2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D 、,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．若实数x,y 满足x 2y 2x y 2≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则x+2y 的最小值和最大值分别为（ ）A ．2，6B ．2，5C ．3，6D ．3，511．在正三棱柱111ABC A B C -中,若2AB =,11AA =,则点A 到平面1A BC 的距离为（ ）12、非零向量b OB a OA ==,，若点B 关于OA 所在直线的对称点为1B ，则向量1OB OB +为（ ）A、)(2a b a ⋅ B、)(a b a ⋅ C、a b a )(2⋅ D、a b a )(⋅第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二．填空题(4×4′=16分)：13．1212sin cos ππ-= ；14．已知n 为等差数列−4，−2，0，…，中的第8项，则二项式2(nx 展开式中的常数项是 ；15．若一个圆的圆心在抛物线24y x =的焦点上，且此圆与直线10x y ++=相切，则这个圆的方程是 ；16．已知m 、n 为直线，α，β为平面，给出下列命题：①//m n m n αα⊥⎧⇒⎨⊥⎩ ②//m m n n ββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩ ③//m m ααββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩ ④////m n m n αβαβ⊂⎧⎪⊂⇒⎨⎪⎩其中的正确命题序号是：三．解答题（满分74分）：17（本题12分）．已知(53cos ,cos )a x x =，(sin ,2cos )b x x =，记函数2()f x a b b =•+(1)求函数()f x 的最小正周期及最值； (2)当64x ππ≤≤时，求函数()f x 的值域.18（本题12分）．甲、乙两人同时参加一次面试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道，乙能答对其中的8道，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算通过。
2023年全国乙卷数学(文科)高考试卷及答案(详解)
2023年全国乙卷数学(文科)高考试卷及答案(详解)2023年全国乙卷数学(文科)高考试卷及答案全国卷的高考备考建议建议中学语文教学，要认真领会和贯彻新修订的课程标准精神，落实语文核心素养的培养。
在必备知识和关键能力基础上更强调融汇贯通。
阅读教学需要加强各类文体特征的认识以及文体阅读间的联系，进一步强调对阅读中思想内涵和艺术技巧的理解。
作文教学，还是要具体落实到表达与交流的相关要求，在这个基础上，学生要学会突出自己写作上的特点与亮点。
教学要高度重视独立思考、逻辑推理、数学应用、数学阅读和表达等关键能力的培养，特别重视使用数学方法解决实际问题的教学。
不要盲目追求题量，而是注重引导学生经历数学知识的发生过程，以及问题的发现、提出、分析和解决的全过程，充分挖掘典型问题的内在价值与迁移功能，培养学生思维的灵活性与创新性。
建议考生在学习和复习应考时多从学科素养角度理解政治科的学科特点，主动关注社会时政热点问题，建立学科知识点的结构图，提升综合分析和判断问题的能力，同时学会用学科术语逻辑地表达观点，立论有据。
中学历史教学今后应注重历史核心素养的教学，更加关注时代关切，并与中学历史教学有机结合，更加注重主干知识和重点知识的把握。
地理学科要加强夯实学生的基础知识，注重解决问题的能力和逻辑思维能力的培养，规范专业术语表达。
在教学内容方面，要突出地理学科的综合性和区域性特征，重视学生对地理格局的把握和对地理过程的深入分析与综合，关心国家大政方针，形成正确的人地协调观。
2023全国乙卷全国共八种试卷类型，因此语文，数学，外语共各自有8种试卷，普通高中学业水平考试科目各个省份独立命题，故共计14种试卷，文科综合理科综合共有2种试卷，尽管高考部分省份使用试卷类型相同，但因为不同地区高考政策，参考人数相差较大，因此分数线划分可能相差也会较大，但本省历年的招生比例，数据不会相差太大。
全国乙卷是全国Ⅰ卷，全国Ⅱ卷合并后，全国乙卷的语文，数学，外语，文科综合，理科综合均由教育部考试中心统一命题，新高考Ⅰ卷语文，数学，外语三门考试由教育部考试中心统一命题。
辽宁省大连市第七十九中学2022年高三数学文测试题含解析
辽宁省大连市第七十九中学2022年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知定义在R上的可导函数f (x)的导函数为，满足，f (0) = 1，则不等式的解集为（）A．(0,+∞)B．(1,+∞)C．(－2,+∞)D．(4,+∞)参考答案：A令，则，故为上的减函数，有等价于，即，故不等式的解．2. 下列函数中周期为π且图象关于直线x=对称的函数是( )A．y=2sin（+）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（2x+） D．y=2sin（﹣）参考答案：B考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：先求出函数的周期，再根据当x=时，函数是否取得最值，从而判断函数是否满足条件，从而得出结论．解答：解：A．函数y=2sin（+）的周期为=4π，不为π，故A不选；B．函数y=2sin（2x﹣）的周期为=π，且当x=时，函数y取得最大值2，故图象关于直线x=对称，满足条件，故B选；C．函数y=2sin（2x+）的周期为=π，且当x=时，函数y=1，没有取得最值，故函数的图象不关于直线x=对称，故C不选；D．函数y=2sin（﹣）的周期为=4π，不为π，故D不选，故选：B．点评：本题主要考查三角函数的周期性以及求法，三角函数的图象的对称性，属于中档题．3. 设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当取得最大值时，的最大值为（A）0 （B）1 （C）（D）3参考答案：B由，得。
所以，当且仅当，即时取等号此时，.，故选B.4. 已知集合，，则A∪B=（）A. [0,+∞)B. [1,+∞)C.D.参考答案：B【分析】一元不等式化简集合B，然后直接利用并集运算得答案．【详解】=，则故选：B【点睛】本题考查并集其运算，考查了不等式的解法，是基础题．5. 将直线沿轴向左平移1个单位，所得直线与圆相切，则实数的值为( )A．－3或7 B．-2或8 C．0或10 D．1或11参考答案：6. 设定义在R上的偶函数满足，是的导函数，当时，；当且时，．则方程根的个数为A．12 B．1 6 C．18 D．20参考答案：C7. 下列命题中，真命题是A.B.C.a+b=0的充要条件是=-1D.a>1,b>1是a b>1的充分条件参考答案：D. 此类题目多选用筛选法，因为对任意恒成立，所以A选项错误；因为当时且8<9,所以选项B错误；因为当时而无意义，所以选项C错误；故选D.8. 函数的图象如图所示，为了得到函数的图象，只需将的图象（）Ks5uA．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位参考答案：D略9. 已知点P在直线x+3y﹣2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M（x0，y0），且y0＜x0+2，则的取值范围是（）A．[﹣，0）B．（﹣，0）C．（﹣，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）参考答案：D【考点】直线的斜率．【专题】作图题；对应思想；数形结合法；直线与圆．【分析】由题意可得，线段PQ的中点为M（x0，y0）到两直线的距离相等，利用，可得x0+3y0+2=0．又y0＜x0+2，设=k OM，分类讨论：当点位于线段AB（不包括端点）时，当点位于射线BM（不包括端点B）时，即可得出．【解答】解：∵点P在直线x+3y﹣2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M（x0，y0），∴，化为x0+3y0+2=0．又y0＜x0+2，设=k OM，当点位于线段AB（不包括端点）时，则k OM＞0，当点位于射线BM（不包括端点B）时，k OM＜﹣．∴的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质、点到直线的距离公式、线性规划的知识、斜率的意义及其应用，考查了数形结合的思想方法、计算能力，属于中档题．10. 命题“”的否定是A.B.C.D.参考答案：B根据全称命题的否定是特称命题，只有B正确. 故选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 从某社区150户高收入家庭，360户中等收入家庭，90户低收入家庭中，用分层抽样法选出100户调查社会购买力的某项指标，则三种家庭应分别抽取的户数依次为。
高三统一考试数学试题含评分标准
高三统一考试数学试题含评分标准数学试卷（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题，共40分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 334R V π=次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()( 其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．不等式|3x －2|>4的解集是 （ ） A ．{x|x>2}B ．{x|x<－32}C ．{x|x<－32或x>2} D ．{x|－32<x<2} 2．在下列给定的区间中，使函数y=sin(x+4π)单调递增的区间是 （ ）A ．[0，4π] B ．[4π，2π] C ．[2π，π] D ．[－π，0]3．已知直线a 、b 和平面M ，则a//b 的一个必要不充分条件是（ ）A ．a//M, b//MB ．a ⊥M ，b ⊥MC ．a//M, b ⊂MD ．a 、b 与平面M 成等角4．数列{a n }的前n 项和S n =n 2+2n －1，则这个数列一定是（ ）A ．等差数列B ．非等差数列C ．常数数列D ．等差数列或常数数列 5．二项式(x －1)5的展开式中x 3的系数为 （ ）A ．－5B ．5C ．10D ．－106．设c 、e 分别是双曲线的半焦距和离心率，则双曲线12222=-by a x (a>0, b>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离是（ ）A ．caB ．cb C ．ea D ．eb 7．定义运算bc ad d c b a -=，则符合条件0121211=-+--x y y x 的点P （x , y ）的轨迹方程 为 （ ）A ．(x －1)2+4y 2=1B ．(x －1)2－4y 2=1C ．(x －1)2+y 2=1D ．(x －1)2－y 2=1 8．有一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为a ，现用一张正方形包装纸将其完全包住（不 能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小边长应为 （ ） A ．a )62(+B ．a 2)62(+ C ．a )31(+ D ．a 2)31(+第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.将答案填在题中横线上. 9．函数y=sinx+cosx 的最小正周期是 .10．将棱长为1的正方体木块加工成一个体积最大的球，则这个球的体积为 ， 球的表面积为 （不计损耗）. 11．圆C ：θθθ(,sin ,cos 1⎩⎨⎧=+=y x 为参数）的普通方程为 .12．设P （x, y ）是右图中四边形内的点或四边形边界上的点（即x 、y 满足的约束条件），则z=2x+y 的最 大值是 .13．某年级一班有学生54人，二班有42人，现要用分层抽样的方法从两个班抽出一部分人参加4×4方阵进行军训表演，则一班和二班被抽取的人数分别是. 14．已知函数f(x)是R上的减函数，A（0，－3），B（－2，3）是其图象上的两点，那么不等式|f(x－2)|≥3的解集是.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分）已知函数f(x)=－x3+3x.（I）证明：函数f(x)是奇函数；（Ⅱ）证明：函数f(x)在区间（－1，1）内是增函数.16．（本小题满分14分）已知a=(cosα，sinα), b=（cosβ,sinβ），0<α<β<π.（I）求|a|的值；（Ⅱ）求证：a+b与a－b互相垂直；（Ⅲ）设|a+b|=|a－b|,求β－α的值.17．（本小题满分14分）某篮球职业联赛总决赛在甲、乙两支球队之间进行，比赛采用五局三胜制，即哪个队先胜三场即可获得总冠军.已知在每一场比赛中，甲队获胜的概率均为32，乙队获胜的概率均为31.求： （I ）甲队以3：0获胜的概率； （Ⅱ）甲队获得总冠军的概率. 18．（本小题满分14分）直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，E 是A 1C 的中点，ED ⊥A 1C 且交AC 于D ， A 1A=AB=22BC. （I ）证明：B 1C 1//平面A 1BC ； （Ⅱ）证明：A 1C ⊥平面EDB ；（Ⅲ）求二面角B —A 1C —A 的余弦值. 19．（本小题满分12分）自点A （0，－1）向抛物线C ：y=x 2作切线AB ，切点为B ，且点B 在第一象限，再过线段AB 的中点M 作直线l 与抛物线C 交于不同的两点E 、F ，直线AF 、AE 分别交抛物线C 于P 、Q 两点.（I ）求切线AB 的方程及切点B 的坐标；（II ）证明)(R AB PQ ∈=λλ 20．（本小题满分12分）把正奇数数列{2n－1}中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：13 57 9 11—————————设a ij(i,j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数.（I）若a mn=2005，求m，n的值；（Ⅱ）已知函数f(x)的反函数为f－1(x)=8n x3(x>0)，若记三角形数表中从上往下数第n行各数的和为b n，求数列{f(b n)}的前n项和S n.数学（文）参考答案及评分标准一、选择题1．C 2．A 3．D 4．B 5．C 6．D 7．A 8．B 二、填空题 9．π2 10．ππ,611．1)1(22=+-y x 12．2 13．9，7人 14．),2[]0,(+∞-∞ 三、解答题15．解：（I ）证明：显然)(x f 的定义域是R. 设任意∈x R ，)()3()(3)()(33x f x x x x x f -=+--=-+--=- ，………………4分 ∴函数)(x f 是奇函数.………………6分 （II ）解：)1)(1(3332x x x y +-=+-=' ， ………………9分又,0.11>'∴<<-y x ………………………………………………………12分所以函数x x x f 3)(3+-=在区间（－1，1）内是增函数. ……………………14分 16．解：（I ）解：1sin cos ||22=+=αα.………………3分（II ）证明：)()(-⋅+)sin )(sin sin (sin )cos )(cos cos (cos βαβαβαβα-++-+=………6分0sin sin cos cos2222=-+-=βαβα，).()(-⊥+∴………………8分（III ）解：),sin sin ,cos (cos ),sin sin ,cos (cos βαβαβαβα--=-++=+b a b a …10分)cos(211)sin (sin )cos (cos ||22αββαβα-++=+++=+∴b a………12分同理.)cos(22)sin (sin )cos (cos ||22αββαβα--=-+-=-k)cos(2)cos(2|,|||αβαβ--=-∴-=+ ..0)cos(=-∴αβ 2.0,0παβπβπβα=-∴<-<<<<a . ………………14分17．解：（I ）设“甲队以3 : 0获胜”为事件A ，则278)32()(3==A P ……………3分 （II ）设“甲队获得总冠军”为事件B ，则事件B 包括以下结果：3:0；3:1；3:2三种情况.若以3:0胜，则;278)32(31==P ………………6分 若以3:1胜，则;2783231)32(2232=⋅⋅=C P ………………9分 若以3:2胜，则811632)31()32(22243=⋅⋅=C P .………………12分所以，甲队获得总冠军的概率为.8164)(321=++=P P P B P………………14分18．（I ）证：∵三棱柱ABC —A 1B 1C 1中B 1C 1//BC ， ………………2分 又BC ⊂平面A 1BC ，且B 1C 1⊄平面A 1BC ，∴B 1C 1//平面A 1BC. …………4分 （II ）证：∵在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，A 1A ⊥AB ，∴Rt △A 1AB 中，AB=22A 1B. ∴BC=A 1B.∴△A 1BC 是等腰三角形.………7分 ∵E 是等腰△A 1BC 底边A 1C 的中点，∴A 1C ⊥BE. ①又依条件知A 1C ⊥ED ， ② 且ED ∩BE=E ， ③由①，②，③得A 1C ⊥平面EDB.………………9分 （III ）解：∵由（II ）结论可知A 1C ⊥平面EDB ，∴A 1C ⊥EB ，A 1C ⊥ED.∴∠DEB 是二面角B —A 1C —A 的平面角.……10分 由条件及平面几何知识容易证明BD ⊥AC （过程略）.………………………………12分∵平面ABC ⊥平面ACC 1A 1，∴BD ⊥平面ACC 1A 1. ∴BD ⊥ED.设AA 1=a,则易求得ED=33a, EB=a,∴在Rt △EDB 中，cos ∠DEB=33=EB ED . 即所求二面角的余弦值是33.……………………………………………………14分 19．解（I ）由题意可设切线AB 的方程为：1-=kx y ，代入.04.01222=-=∆∴=+-=k kx x x y 得∵点B 在第一象限，∴k=2. ∴切线AB 的方程为：12-=x y .………………2分 .1.1,2.2,22==∴=∴='='∴=x y x y x y x y ∴切点B 的坐标为（1，1） ………………4分 （II ）由（I ）线段AB 的中点M )0,21(，设直线l 的方程为),21(-=x m y),(211x x E 点、),(222x x F 、),(233x x P 、),(244x x Q ， 021)21(22=+-⎪⎩⎪⎨⎧=-=m mx x x y x m y 得由. ………………6分 ∵直线l 与抛物线C 交于不同的两点E 、F ，∴02.022<>>-=∆m m m m 或解得),,1)((),(),2,1(.21,34342324342121x x x x x x x x m x x m x x +-=--====+∴ ∵A 、P 、F 共线，∴K AP =K AF . ………………8分0)1)((.,11322332232232222323=--∴+=+∴+=+x x x x x x x x x x x x x x .1,3232=∴≠x x x x ………………10分 同理由A 、E 、Q 共线得.141=x x.2211121212134==+=+=+∴m m x x x x x x x x)()2,1)((34R x x ∈=-=∴λλ. ………………12分20．解：（I 北京佳尚财税http://101.1.28.35/）∵三角形数表中前m 行共有1+2+3+…+m=2)1(+m m 个数， ∴第m 行最后一个数应当是所给奇数列中的2)1(+m m 项. 故第m 行最后一个数是2..112)1(2-+=-+m m m m ………………2分 因此，使得2005=mn a 的m 是不等式12-+m m ≥2005的最小正整数解..45.4428912792112802411.020*********=∴=+-=+->++-≥∴≥-+≥-+m m m m m m 得由 于是成都安维财税http://101.1.28.49/，第45行第一个数是442+44－1+2=1981. 131219812005=+-=∴n ………………4分 （II ）)0()21()(.)21(),0(8)(3331>==∴>==-x x x f y x x y x x f n n n 故 …………6分 ∵第n 行最后一个数是12-+n n ，且有n 个数，若将12-+n n 看成第n 行第一个数，则第n 行各数成公差为－2的等差数列，故32)2(2)1()1(n n n n n n b n =--+-+=. .)21()21()(33n n n n n b f ==∴ ………………8分 ,)21()21)(1()21(3)21(2)21(21.)21()21)(1()21(3)21(2211432132+-+-++++=+-++++=n n n n n n n n S n n S 故 两式相减得：.)21()21()21()21(2121132+-++++=n n n n S ………………10分.)21)(2(2.)21()21(1)21(211])21(1[2111n n n n n n n S n n +-=∴--=---=++……12分 注：1．如有不同解法，请阅卷老师酌情给分；2．两个空的填空题，做对一个给3分。
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2014届高三数学综合测试题（三十四）
文科数学
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.
1、已知全集R I =，若函数23)(2+-=x x x f ，集合{}0)(|≤=x f x M ，
{}0)('|<=x f x N ，则=⋂N M
A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,1
B 、 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,1
C 、 ⎥⎦⎤ ⎝⎛23,1
D 、⎪⎭
⎫ ⎝⎛23,1
2、
i
i
-13的共轭复数是 A ．－
i 2323+ B ．i 2323-- C ．i 2323+ D ．i 2
323- 3、若0a b >>，则
A ．22()a c b c c R >∈
B ．
1b
a > C ．lg()0a
b ->
D ．11()()22
a b <
4、已知0)cos(,0)sin(>-<-πθθ，则下列判断正确的是 A. sin 0θ<，cos 0θ>
B. θ是第三象限角
C. 0tan <θ
D. 0cos ,0sin >>θθ
5、已知函数x e
x
x f cos )(=
，则函数)(x f 在点))0(,0(f 处切线的倾斜角为 A ．0 B ．4
π
C ．43π
D ．4π-
6．已知角A 为ABC ∆的内角，且4
3
2sin -=A ，则=-A A cos sin
A ．
2
7 B ．2
7-
C ．2
1-
D ．
2
1 7、若函数ln y x =与2
y x
=
的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是 A ．（1，2） B ．（2， 3） C ．)3,(e D ． (),e +∞ 8、设双曲线122=-y x 的两条渐近线与直线2
2
=
x 围成的三角形区域（包含边
界）为D ， P （y x ,）为D 内的一个动点，则目标函数y x z 2-=的最小值为 （A ）2- （B ）22-
（C ）0 （D ）2
23 9．已知函数))(()(b x a x x f --=(其中b a >)的图象如下图所示，则函数
b a x g x +=)(的图象是
10．关于函数x
x
x f +-=11lg
)(，有下列三个命题：①对于任意)1,1(-∈x ，都有0)()(=-+x f x f ； ②)(x f 在)1,1(-上是减函数；③对于任意)1,1(,21-∈x x ，都
有)1()()(212
1
21x x x x f x f x f ++=+；其中,正确命题的个数是
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
第II 卷
二.填空题:共4小题;每小题5分,共20分
11、已知角α的终边过点)4,3(x x ()0≠x ,则α2cos = ． 12、如图所示的程序框图，若输入5n =，则输出的n 值为
13、若函数)2)(()(a bx a x x f ++= (常数b a ,)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式)(x f ＝________________. （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14、如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ， 已知23AD =，6AC =，圆O 的半径为3，则圆心
O 到AC 的距离为 ________．
15、极坐标系下，直线2)4
cos(=-
π
θρ 与圆2=ρ的公共点个数是________．
B
O
D
A
C
三.解答题(共6个小题,共80分；解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16．(本题12分)已知5
5
2sin -=α，且0tan <α (1)求αtan ； (2)求
)
2
3sin()2cos()
2cos()sin(2απ
πααπαπ+---++
17、(本题13分)已知函数⎪⎩
⎪
⎨⎧<+=>+-=)0()0()0(2)(22x bx x x a
x x x x f 为奇函数。
(1)求b a ,并写出函数的单调区间； (2)解不等式)2()(->f x f
18．(本题13分)已知10
2
7)4
sin(=
-π
α，2572cos =α，求sin α及)45tan(πα-
19、(本题14分) 某村计划建造一个室内面积为8002
m 的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是多少？
20、(本题14分)已知函数()().,ln 222
a x x x h x x x f +-=-=
（Ⅰ）求函数()x f 的极值；
（Ⅱ）设函数()()(),x h x f x k -=若函数()x k 在[]31,上恰有两个不同零点，求实数 a 的取值范围.
21、(本题14分)若椭圆1C ：)20( 14222<<=+b b y x 的离心率等于2
3，抛物线2C ：)0( 22>=p py x 的焦点在椭圆的顶点上。
（Ⅰ）求抛物线2C 的方程；
（Ⅱ）过)0,1(-M 的直线l 与抛物线2C 交P 、Q 两点，又过P 、Q 作抛物线2C 的切线1l 、
2l ，当21l l ⊥时，求直线l 的方程
18、解：由10
2
74
sin
cos 4
cos
sin )4
sin(=
-=-
π
απ
απ
α 57cos sin =-∴αα …3分
257)sin )(cos sin (cos 2cos =+-=ααααα 5
1
sin cos -=+∴αα …6分 所以54
cos ,53sin -==
αα ……………………8分 由4
3
cos sin tan -==
ααα ………………………10分 所以71
4
31143
45tan tan 145tan tan )4
5tan(-=⨯---=+-=-παπαπα ……………………13分
19、解：设矩形温室的左侧边长为am ，后侧边长为bm ，则800ab =……………2分
蔬菜的种植面积).2(2808824)2)(4(b a a b ab b a S +-=+--=--=……………7分 所以 ).(648248082m ab S =-≤ ……………………10分
当).(648,)(20),(40,22m S m b m a b a ====最大值时即 ………………13分
答：当矩形温室的左侧边长为40m ，后侧边长为20m 时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面
积为648m 2
. ……………………14分
21、解：(1)由椭圆方程得2=a ，2
3
=
=
a c e ，所以3=c ，122=-=c a
b …2分 由题意得：抛物线的焦点应为椭圆的上顶点，即)1,0( …………………3分 所以2=p 抛物线方程为y x 42
= …………………5分 (2) 可判断直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为)1(+=x k y
设P 、Q 坐标为),,(),,(2211y x y x …………………6分 联立⎩⎨
⎧=+=y
x x k y 4)
1(2
整理得 0442
=--k kx x ………………8分
所以k x x k x x 4,42121-==+ ………………10分
由y x 42
= 得 2/
x
y =
所以2
,22121x k x k l l == ………………12分 由12
22
121-=-=⋅=
⋅k x x k k l l 所以直线l 的方程为1+=x y ……………14分。