人教A版高考数学理一轮汇总训练4数系的扩充与复数的引入
2015届高考数学(人教,理科)大一轮复习配套讲义：第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算平行四边形法则3．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .1．作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点； 2．在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个；3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系． [试一试]1．若向量a 与b 不相等，则a 与b 一定( ) A ．有不相等的模 B ．不共线C ．不可能都是零向量D ．不可能都是单位向量答案：C2．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB －CB＋CD |＝________.解析：|AB －CB ＋CD |＝|AB ＋BC ＋CD |＝|AD|＝2. 答案：21．向量的中线公式若P 为线段AB 的中点，O 为平面内一点，则OP OP ＝12(OA ＋OB)． 2．三点共线等价关系A ，P ，B 三点共线⇔AP ＝λAB(λ≠0)⇔OP ＝(1－t )·OA ＋t OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )⇔OP ＝x OA ＋y OB(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．[练一练]1．D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD等于( ) A ．－BC ＋12BAB ．－BC －12BAC ．BC －12BAD ．BC ＋12BA答案：A2．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________.解析：由题意知a ＋λb ＝k [－(b －3a )]， 所以⎩⎨⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝13，λ＝－13.答案：－131.给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ＝DC是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是( )A ．②③B ．①②C ．③④D ．④⑤解析：选A ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵AB ＝DC ，∴|AB |＝|DC |且AB ∥DC， 又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB ∥DC 且|AB |＝|DC |，因此，AB ＝DC. ③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．⑤不正确．考虑b ＝0这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是②③.故选A.2．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.[类题通法]平面向量中常用的几个结论(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时不要把它与函数图像的平移混为一谈．(3)a |a |是与a 同向的单位向量，a －|a |是与a 反向的单位向量．[典例] (1)如图，在正六边形ABCDEF 中，BA ＋CD ＋EF＝( )A ．0B ． BEC ．ADD ． CF(2)(2013·江苏高考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE ＝λ1AB ＋λ2AC (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．[解析] (1)如图，∵在正六边形ABCDEF 中，CD ＝AF，BF ＝CE，∴BA ＋CD ＋EF ＝BA ＋AF ＋EF ＝BF ＋EF ＝CE＋EF ＝CF.(2)由题意DE ＝CE ＋BE ＝12AB ＋23BC ＝12AB ＋23(BA ＋AC )＝－16AB＋23AC，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12. [答案] (1)D (2)12解析：∵CD ＝CA ＋AD ，CD ＝CB ＋BD ，∴2CD ＝CA ＋CB ＋AD ＋BD .又∵AD＝2CE ， ∴2CD ＝CA ＋CB ＋13AB ＝CA ＋CB ＋13(CB －CA )＝23CA＋43CB .∴CD ＝13CA ＋23CB ，即λ＝23. 答案：23 [类题通法]在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．[针对训练]若A ，B ，C ，D 是平面内任意四点，给出下列式子：①AB ＋CD ＝BC ＋DA ；②AC ＋BD ＝BC＋AD ； ③AC －BD ＝DC ＋AB.其中正确的有( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选C ①式的等价式是AB －BC ＝DA －CD ，左边＝AB ＋CB，右边＝DA ＋DC ，不一定相等；②式的等价式是AC －BC ＝AD －BD ，AC＋CB＝AD ＋CE ＝AB 成立；③式的等价式是AC －DC ＝AB ＋BD ，AD ＝AD成立．[典例] 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )， 求证：A ，B ，D 三点共线．(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．[解] (1)证明：∵AB＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，∴BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB. ∴AB ，BD共线， 又∵它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b . ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0， ∴k 2－1＝0.∴k ＝±1. [类题通法]1．共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值． (2)若a ，b 不共线，则λa ＋μb ＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．2．证明三点共线的方法若AB＝λAC ，则A 、B 、C 三点共线． [针对训练]已知a ，b 不共线，OA ＝a ，OB ＝b ， OC ＝c ， OD ＝d ， OE＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD ＝d －c ＝2b －3a ，CE＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE ＝k CD，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎨⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．第二节平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模： 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB|3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.1．若a 、b 为非零向量，当a ∥b 时，a ，b 的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；2．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.[试一试]1．若向量BA＝(2,3)，CA ＝(4,7)，则BC ＝( ) A ．(－2，－4) B ．(2,4) C ．(6,10)D ．(－6，－10)答案：A2．(2013·石家庄模拟)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值是________．解析：∵u ＝(1＋2x,4)，v ＝(2－x,3)，u ∥v ，∴8－4x ＝3＋6x ，∴x ＝12. 答案：12用基向量表示所求向量时，注意方程思想的运用． [练一练]设e 1、e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b . 因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )·e 2. 由平面向量基本定理，得⎩⎨⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝－13.答案：23 －131.(2014·昆明一中摸底)已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN＝－3a ，则点N 的坐标为( )A ．(2,0)B ．(－3,6)C ．(6,2)D ．(－2,0)解析：选A MN ＝－3a ＝－3(1，－2)＝(－3,6)，设N (x ，y )，则MN＝(x －5，y －(－6))＝(－3,6)，所以⎩⎨⎧ x －5＝－3，y ＋6＝6，即⎩⎨⎧x ＝2，y ＝0，选A.2．(2013·北京高考)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.解析：设i ，j 分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量，则a ＝－i ＋j ，b ＝6i ＋2j ，c ＝－i －3j ，所以－i －3j ＝λ(－i ＋j )＋μ(6i ＋2j )，根据平面向量基本定理得λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4.答案：43．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB＝a ，BC ＝b ，CA ＝c . (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n .解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24) ＝(6，－42)．(2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )， ∴⎩⎨⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎨⎧m ＝－1，n ＝－1.[类题通法]1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算．2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用．[典例] 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA＝a ，BC ＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ， DF ，CD.[解] EF ＝EA ＋AB ＋BF ＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF ＝DE ＋EF ＝－16b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13b －a ＝16b －a ，CD ＝CF ＋FD ＝－12b －⎝ ⎛⎭⎪⎫16b －a ＝a －23b .[类题通法]用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．[针对训练](2014·济南调研)如图，在△ABC 中，AN ＝13NC，P 是BN上的一点，若AP ＝m AB ＋211AC ，则实数m 的值为________．解析：因为AP ＝AB ＋BP ＝AB ＋k BN ＝AB＋k (AN －AB )＝AB ＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫14 AC－AB＝(1－k )AB ＋k 4AC，且AP ＝m AB ＋211AC， 所以1－k ＝m ，k 4＝211， 解得k ＝811，m ＝311. 答案：311[典例] 平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ； [解] (1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，所以⎩⎨⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， 由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0. ∴k ＝－1613.解：设由题意得⎩⎨⎧4(x －4)－2(y －1)＝0，(x －4)2＋(y －1)2＝5， 得⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝－1或⎩⎨⎧x ＝5，y ＝3. ∴d ＝(3，－1)或(5,3)． [类题通法]1．向量共线的两种表示形式设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，①a ∥b ⇒a ＝λb (b ≠0)；②a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.2．两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．[针对训练]已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC ＝2AB，求点C 的坐标．解：(1)由已知得AB＝(2，－2)，AC ＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ∥AC. ∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC ＝2AB ，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)． ∴⎩⎨⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝－3. ∴点C 的坐标为(5，－3)．第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例1．平面向量的数量积 平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做a 和b 的数量积(或内积)，记作a·b .即a·b ＝|a||b|cos θ，规定0·a ＝0.2．向量数量积的运算律 (1)a·b ＝b·a .(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a·(λb ). (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .3．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)1．若a ，b ，c 是实数，则ab ＝ac ⇒b ＝c (a ≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a ，b ，c ，若满足a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则不一定有b ＝c ，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．2．数量积运算不适合结合律，即(a ·b )·c ≠a ·(b ·c )，这是由于(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量，a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，因此(a ·b )·c 与a ·(b ·c )不一定相等．[试一试]1．(2013·广州调研)已知向量a ，b 都是单位向量，且a ·b ＝12，则|2a －b |的值为________．解析：|2a －b |＝(2a －b )2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4－2＋1＝ 3. 答案： 32．(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知OA ＝(－1，t )，OB ＝(2,2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．解析：AB ＝OB －OA ＝(3,2－t )，由题意知OB ·AB＝0，所以2×3＋2(2－t )＝0，t ＝5.答案：51．明确两个结论：(1)两个向量a 与b 的夹角为锐角，则有a ·b >0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；(2)两个向量a 与b 的夹角为钝角，则有a ·b <0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．2．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．[练一练]1．已知向量a ，b 均为非零向量，(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为( )A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析：选B (a －2b )·a ＝|a |2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝|b |2－2a ·b ＝0，所以|a |2＝|b |2，即|a |＝|b |，故|a |2－2a ·b ＝|a |2－2|a |2cos a ，b ＝0，可得cos a ，b ＝12，又因为0≤ a ，b ≤π，所以 a ，b ＝π3.2．(2013·福建高考)在四边形ABCD 中，AC ＝(1,2)，BD＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )A. 5B ．2 5C ．5D ．10解析：选C 依题意得，AC ·BD＝1×(－4)＋2×2＝0， ∴AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 的面积为12|AC|·|BD |＝12×5×20＝5.1.(2014·11＝(x 2，y 2)，若|＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6.则x 1＋y 1x 2＋y 2的值为( ) A.23 B ．－23 C.56D ．－56解析：选B 由已知得，向量a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)反向，3a ＋2b ＝0，即3(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(0,0)，得x 1＝－23x 2，y 1＝－23y 2，故x 1＋y 1x 2＋y 2＝－23.2．(2014·温州适应性测试)在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ·AC＝－1，则|BC |的最小值是( )A. 2B ．2C. 6D ．6 解析：选C ∵AB ·AC ＝－1，∴|AB |·|AC |cos 120°＝－1，即|AB |·|AC|＝2，∴|BC |2＝|AC －AB |2＝AC 2－2AB ·AC ＋AB 2≥2|AB |·|AC |－2AB ·AC ＝6，∴|BC|min ＝ 6.3．(2013·南昌模拟)已知向量e 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4，sin π6，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin π4，4cos π3，则e 1·e 2＝________.解析：由向量数量积公式得e 1·e 2＝cos π4×2sin π4＋sin π6×4cos π3＝22×2＋12×2＝2.答案：24．(2013·全国卷Ⅱ)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE ·BD＝________.解析：因为AE ＝AD ＋12AB ，BD ＝AD －AB ，所以AE ·BD ＝(AD ＋12AB )·(AD －AB )＝AD 2－12AD ·AB －12AB 2＝2. 答案：2 [类题通法]向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos a ，b ．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解．(1)平面向量的模； (2)平面向量的夹角； (3)平面向量的垂直．角度一 平面向量的模1．(2013·天津高考)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60° , E 为CD的中点．若AC ·BE＝1 , 则AB 的长为________． 解析：由已知得AC ＝AD ＋AB ，BE ＝AD －12AB，∴AC ·BE ＝AD 2－12AB ·AD ＋AB ·AD －12AB 2＝1＋12AB·AD －12|AB |2＝1＋12|AB |·|AD |cos 60°－12|AB|2＝1，∴|AB |＝12.答案：12角度二 平面向量的夹角2．(1)已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则向量a 与a ＋b 的夹角为( )A.π2 B.π3 C.π6D ．π解析：选B ∵|2a ＋b |2＝4|a |2＋4a ·b ＋|b |2＝7，|a |＝1，|b |＝3，∴4＋4a ·b ＋3＝7，∴a ·b ＝0，∴a ⊥b .如图所示，a 与a ＋b 的夹角为∠COA .∵tan ∠COA ＝|CA ||OA |＝|b ||a |＝3，∴∠COA ＝π3，即a 与a ＋b 的夹角为π3. (2)(2014·云南第一次检测)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值等于( )A.126B ．－126C.112D ．－112解析：选B 记向量2a －b 与a ＋2b 的夹角为θ，又(2a －b )2＝4×22＋32－4×2×3×cos π3＝13，(a ＋2b )2＝22＋4×32＋4×2×3×cos π3＝52，(2a －b )·(a ＋2b )＝2a 2－2b 2＋3a ·b ＝8－18＋9＝－1，故cos θ＝(2a －b )·(a ＋2b )|2a －b |·|a ＋2b |＝－126，即向量2a－b 与a ＋2b 的夹角的余弦值是－126，因此选B.角度三 平面向量的垂直3．(1)(2013·荆州高中毕业班质量检查Ⅰ)已知向量a 与b 的夹角是2π3，且|a |＝1，|b |＝4，若(2a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝________.解析：若a ⊥(2a ＋λb )，则a ·(2a ＋λb )＝0，即2|a |2＋λ·|a ||b |·cos 2π3＝0，∴2＋λ×1×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0.∴λ＝1.答案：1(2)在直角三角形ABC 中，已知AB＝(2,3)，AC ＝(1，k )，则k 的值为________． 解析：①当A ＝90°时，∵AB ⊥AC ，∴AB ·AC＝0. ∴2×1＋3k ＝0，解得k ＝－23.②当B ＝90°时，∵AB ⊥BC， 又BC ＝AC －AB＝(1，k )－(2,3)＝(－1，k －3)，∴AB ·BC＝2×(－1)＋3×(k －3)＝0， 解得k ＝113.③当C ＝90°时， ∵AC ⊥BC，∴1×(－1)＋k (k －3)＝0， 即k 2－3k －1＝0.∴k ＝3±132.答案：－23或113或3±132. [类题通法]1．求两非零向量的夹角时要注意： (1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角．2．利用数量积求解长度问题的处理方法 (1)a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . (2)|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2. (3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.[典例sin α)，b ＝(cos ，sin β)，0<β<α<π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． [解] (1)证明：由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1， 所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)， 所以⎩⎨⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1.由此得，cos α＝cos (π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π. 又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1， 得sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6. [类题通法]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．[针对训练]已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值； (2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．解：(1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ， 于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |，知sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5， 所以1－2sin 2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即sin 2θ＋cos 2θ＝－1， 于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝－22.又由0<θ<π，知π4<2θ＋π4<9π4， 所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4. 因此θ＝π2或θ＝3π4.第四节数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复数的模：向量OZ ―→的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． (2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．2．利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件． 3．z 2<0在复数范围内有可能成立，例如：当z ＝3i 时z 2＝－9<0. [试一试]1．(2014·惠州调研)i 是虚数单位，若z (i ＋1)＝i ，则|z |等于( ) A ．1 B.32 C.22D.12解析：选C 由题意知z ＝i i ＋1＝i (1－i )(i ＋1)(1－i )＝1＋i 2，|z |＝22，故选C. 2．(2013·天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)·(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.解析：因为(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，a ，b ∈R ，所以⎩⎨⎧a －1＝0，a ＋1＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2，所以a ＋b i ＝1＋2i. 答案：1＋2i1．把握复数的运算技巧(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法．(2)在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化．2．掌握复数代数运算中常用的几个结论在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度． (1)(1±i)2＝±2i ；1＋i 1－i ＝i ；1－i 1＋i＝－i ；(2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；(3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0，n ∈N *. [练一练](2013·安徽联考)已知i 是虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 2 2 013在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选C ∵⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 22＝2i2＝i ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 2 2 013＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 2 2 0121＋i 2＝i 1 006·1＋i 2＝i 2·1＋i 2＝－22－22i.∴其对应点位于第三象限，故选C.1.(2014·湖北八校联考)设x ∈R ，则“x ＝1”是“复数z ＝(x 2－1)＋(x ＋1)i 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由纯虚数的定义知：⎩⎨⎧x 2－1＝0，x ＋1≠0，⇒x ＝1，选C.2．(2014·安徽“江南十校”联考)若a ＋b i ＝51＋2i(i 是虚数单位，a ，b ∈R )，则ab ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选A a ＋b i ＝51＋2i＝1－2i ，所以a ＝1，b ＝－2，ab ＝－2. 3．(2013·安徽高考)设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：选D 复数a －103－i ＝a －10(3＋i )(3－i )(3＋i )＝(a －3)－i 为纯虚数，则a －3＝0，即a ＝3.4．(2013·洛阳统考)设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则|(1－z )·z －|＝( )A.10 B ．2 C. 2D ．1解析：选A 依题意得(1－z )·z －＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i ，|(1－z )·z －|＝|－3＋i|＝(－3)2＋12＝10.选A.[类题通法]解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋bi (a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．[典例] (1)(2013·四川高考)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D(2)(2014·郑州质量预测)复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1z 2的共轭复数在复平面内的对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，且a <0，b >0，则z 的共轭复数为a －b i ，其中a <0，－b <0，故应为B 点．(2)依题意得，z ＝3＋i 1－i ＝(3＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2＋4i 2＝1＋2i ，因此复数z ＝z 1z 2的共轭复数1－2i 在复平面内的对应点的坐标是(1，－2)，该点位于第四象限，选D.[答案] (1)B (2)D[类题通法]对复数几何意义的理解及应用(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔ OZ(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．[针对训练]1．(2013·湖北八校联考)已知i 是虚数单位，z ＝1＋i ，z －为z 的共轭复数，则复数z 2z－在复平面上对应的点的坐标为________．解析：z ＝1＋i ，则z 2z －＝(1＋i )21－i ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，则复数z 2z－在复平面上对应的点的坐标为(－1,1)．答案：(－1,1)2．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，若OC ＝λOA ＋μOB，(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是________．解析：由条件得OC ＝(3，－4)，OA＝(－1,2)， OB＝(1，－1)，根据OC ＝λOA ＋μOB 得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)， ∴⎩⎨⎧ －λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎨⎧λ＝－1，μ＝2. ∴λ＋μ＝1. 答案：1[典例] (1)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5iB ．3－5iC ．－3＋5iD ．－3－5i(2)(2013·长春调研)已知复数z ＝1＋a i(a ∈R ，i 是虚数单位)，z －z ＝－35＋45i ，则a ＝( )A ．2B ．－2C ．±2D ．－12[解析] (1)z ＝11＋7i 2－i ＝(11＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝15＋25i5＝3＋5i.(2)由题意可知：1－a i 1＋a i ＝(1－a i )2(1＋a i )(1－a i )＝1－2a i －a 21＋a 2＝1－a 21＋a 2－2a 1＋a 2i ＝－35＋45i ，因此1－a 21＋a 2＝－35，化简得5a 2－5＝3a 2＋3，a 2＝4，则a ＝±2，由－2a 1＋a 2＝45可知a <0，仅有a ＝－2满足，故选B.[答案] (1)A (2)B解：∵z ＝3＋5i ，∴z －＝3－5i∴(1＋z )·z －＝(4＋5i)(3－5i)＝12－20i ＋15i ＋25＝37－5i. [类题通法]复数四则运算的解答策略复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．[针对训练]1．(2013·山东高考)复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( )A ．2＋iB ．2－iC ．5＋iD ．5－i解析：选D 由(z －3)(2－i)＝5，得z ＝3＋52－i ＝3＋5(2＋i )(2－i )(2＋i )＝3＋2＋i ＝5＋i，所以z＝5－i.2．设复数z的共轭复数为z，若z＝1－i(i为虚数单位)，则zz＋z2的值为()A．－3i B．－2i C．i D．－i解析：选D依题意得zz＋z2＝1＋i1－i＋(1－i)2＝－i2＋i1－i－2i＝i－2i＝－i.。
2018年高考数学(人教A版)一轮复习课件：4.4数系的扩充与复数的引入
内容
意义 a+bi=c+di⇔ a=c且b=d _________ (a,b,c,d∈R)
备注
复数 相等
共轭 复数
a+bi与c+di共轭 a=c且b=-d ⇔__________ (a,b,c,d∈R)
复数a(a为实数)的共 轭复数是a
内容
意义 建立平面直角坐标系 来表示复数的平面, 叫做复平面,x轴叫做 实轴 轴叫做_____ 虚轴 _____,y
)
【解析】选D.由题意可得2+ai=(1+i)(3+i)=2+4i⇒a=4.
5.(2016·山东高考)若复数z满足2z+ 虚数单位,则z= A.1+2i ( ) C.-1+2i
z =3-2i,其中i为
B.1-2i
D.-1-2i
【解题提示】利用共轭复数的性质解题. 【解析】选B.设z=a+bi(a,b∈R),则2z+ z =3a+bi=32i,所以a=1,b=-2,所以z=1-2i.
向量 OZ 的模叫做复数
备注 实轴上的点都表 示实数;除了原点 外,虚轴上的点都 表示纯虚数
复平面
复数 的模
z=a+bi的模,记作|z|
|z|=|a+bi| = a 2 b2
2.复数的几何意义 复数z=a+bi(a,b∈R)
向量 OZ .
复平面内的点Z(a,b)
3.复数代数形式的四则运算
A.m>1 C.m< 2 或m>1
D. 2 <m<1
【解析】选D.m(3+i)-(2+i)=(3m-2)+(m-1)i
高考数学(文)一轮复习 4-4数系的扩充与复数的引入
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板块一
板块二
板块三
板块四
板块五
高考一轮总复习 ·数学（文） (2)i 是虚数单位，1－2i2016＋11＋ －ii6＝___0_____.
解析 原式＝1－2i21008＋11＋ －ii6＝－22i1008＋i6＝i1008＋i6＝i4×252＋i4＋2＝i0＋i2＝1－1＝0.
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高考一轮总复习 ·数学（文）
－
【变式训练 1】 (1)[2015·山东高考]若复数 z 满足1－z i＝i，其中 i 为虚数单位，则 z＝(
)
A．1－i
B．1＋i
C．－1－i
D．－1＋i
－ 解析 ∵1－z i＝i，∴－z ＝i(1－i)＝i－i2＝1＋i.∴z＝1－i.
1．加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ (a＋c)＋(b＋d)i ； 2．减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ (a－c)＋(b－d)i ； 3．乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i ；
4．除法：zz12＝ac＋＋dbii＝ac＋＋dbiicc－－ddii＝acc2＋＋db2d＋bcc2＋－da2di(c＋di≠0)．
B．1－2i
C．－1＋2i D．－1－2i
解析 直接进行复数的乘法运算．i(2－i)＝2i－i2＝1＋2i.
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高考一轮总复习 ·数学（文）
2．[2015·福建高考]若集合 A＝{i，i2，i3，i4}(i 是虚数单位)，B＝{1，－1}，则 A∩B 等于( )
A．{－1}
－ 4．已知复数 z 的共轭复数 z ＝1＋2i，则 z 在复平面内对应的点位于第三象限．( × ) 5．复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × )
高中数学人教A版选修1-2练习：第3章 数系的扩充与复数的引入
第三章 3.1 3.1.1A 级 基础巩固一、选择题1．全集I ＝{复数}，集合M ＝{有理数}，N ＝{虚数}，则(∁I M )∩(∁I N )＝( D ) A ．{复数} B ．{实数} C ．{有理数}D ．{无理数}[解析] ∁I M ＝{无理数、虚数}，∁I N ＝{实数}，∴(∁I M )∩(∁I N )＝{无理数}． 2．若复数2－b i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( D ) A ．－2 B ．23C ．－23D ．2[解析] 由题意得2＋(－b )＝0，∴b ＝2.3．以2i －5的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( A ) A ．2－2i B ．2＋i C ．－5＋5iD ．5＋5i [解析] 复数2i －5的虚部为2，复数5i ＋2i 2＝－2＋5i ，∴其实部为－2，故选A ． 4．复数z ＝(m 2＋m )＋m i(m ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为( D ) A ．0或－1 B ．0 C ．1D ．－1[解析] ∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＝0m ≠0，∴m ＝－1，故选D ．5．适合x －3i ＝(8x －y )i 的实数x 、y 的值为( A ) A ．x ＝0且y ＝3 B ．x ＝0且y ＝－3 C ．x ＝5且y ＝3D ．x ＝3且y ＝0[解析] 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0－3＝8x －y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝3，故选A ．6．复数z ＝a 2＋b 2＋(a ＋|a |)i(a 、b ∈R )为实数的充要条件是( D ) A ．|a |＝|b | B ．a <0且a ＝－b C ．a >0且a ≠bD ．a ≤0[解析] 复数z 为实数的充要条件是a ＋|a |＝0， 故a ≤0. 二、填空题7．如果x －1＋y i 与i －3x 为相等复数，x 、y 为实数，则x ＝ 14 ，y ＝__1__.[解析] 由复数相等可知⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－3xy ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14y ＝1.8．给出下列复数：2＋3，0.618，i 2,5i ＋4，2i ，其中为实数的是 2＋3，0.618，i 2 . [解析] 2＋3，0.618，i 2为实数，5i ＋4，2i 为虚数． 三、解答题9．已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )．试求实数a 分别为什么值时，z 分别为：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[分析] 按复数a ＋b i(a 、b ∈R )是实数，纯虚数和虚数的充要条件求解． [解析] (1)当z 为实数时，则有a 2－5a －6＝0① 且a 2－7a ＋6a 2－1有意义②解①得a ＝－1且a ＝6， 解②得a ≠±1，∴a ＝6，即a ＝6时，z 为实数． (2)当z 为虚数时，则有a 2－5a －6≠0③ 且a 2－7a ＋6a 2－1有意义④解③得a ≠－1且a ≠6， 解④得a ≠±1， ∴a ≠±1且a ≠6，∴当a ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数． (3)当z 为纯虚数时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0a 2－7a ＋6a 2－1＝0，此方程组无解，∴不存在实数a 使z 为纯虚数．B 级 素养提升一、选择题1．(1＋3)i 的实部与虚部分别是( C ) A ．1， 3 B ．1＋3，0 C ．0,1＋ 3D ．0，(1＋3)i[解析] (1＋3)i 可看作0＋(1＋3)i ＝a ＋b i ， 所以实部a ＝0，虚部b ＝1＋ 3.2．若(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是纯虚数，则实数m 的值为( B ) A ．－1 B ．4 C ．－1或4D ．不存在[解析] 由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －4＝0m 2－5m －6≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1或4m ≠－1或m ≠6，∴m ＝4. 3．若a 、b ∈R, 且a >b ，那么( D ) A ．a i>b i B ．a ＋i>b ＋i C ．a i 2>b i 2D ．b i 2>a i 2[解析] ∵i 2＝－1，a >b ，∴a i 2<b i 2，故选D ． 4．若4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为( C ) A ．1 B ．1或－4 C ．－4D ．0或－4[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2－a 2＝4a ，解得a ＝－4.二、填空题5．若复数z ＝(m ＋1)＋(m 2－9)i<0，则实数m 的值等于__－3__.[解析] ∵z <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－9＝0m ＋1<0，∴m ＝－3.6．已知复数z ＝m ＋(m 2－1)i(m ∈R )满足z <0，则m ＝__－1__.[解析] ∵z <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0，m <0，∴m ＝－1.三、解答题7．若不等式m 2－(m 2－3m )i<(m 2－4m ＋3)i ＋10成立，求实数m 的值. [解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0m 2－4m ＋3＝0m 2<10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0或m ＝3m ＝3或m ＝1|m |<10，∴当m ＝3时，原不等式成立．C 级 能力提高1．(2016·天津)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则a b的值为__2__.[解析] (1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝a ，1－b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2.所以ab ＝2.2．设z ＝log 12(m －1)＋ilog 2(5－m )(m ∈R ).(1)若z 是虚数，求m 的取值范围； (2)若z 是纯虚数，求m 的值．[解析] 分清复数的实部与虚部，直接根据复数为虚数、纯虚数的条件列式求解． (1)若z 是虚数，则其虚部log 2(5－m )≠0，m 应满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m －1>05－m >05－m ≠1，解得1<m <5，且m ≠4.(2)若z 是纯虚数，则其实部log 12(m －1)＝0，虚部log 2(5－m )≠0，m 应满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝15－m >05－m ≠1，解得m ＝2.第三章 3.1 3.1.2A 级 基础巩固一、选择题1．复数z ＝－2＋i ，则复数z 在复平面内对应的点位于( B ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] 复数z 在复平面内对应的点为(－2,1)，位于第二象限． 2．若OZ →＝(0，－3)，则OZ →对应的复数为( C )A ．0B ．－3C ．－3iD ．3[解析] 复数的实部为0，虚部为－3，所以对应的复数为－3i. 3．复数z ＝1＋(2－sin θ)i 在复平面内对应的点所在的象限为( A ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] ∵1>0,2－sin θ>0， ∴复数对应的点在第一象限．4．复数z 与它的模相等的充要条件是( D ) A ．z 为纯虚数 B ．z 是实数 C ．z 是正实数D ．z 是非负实数 [解析] ∵z ＝|z |，∴z 为实数且z ≥0.5．已知复数z ＝(m －3)＋(m －1)i 的模等于2，则实数m 的值为( A ) A ．1或3 B ．1 C ．3D ．2 [解析] 依题意可得(m －3)2＋(m －1)2＝2，解得m ＝1或3，故选A ． 6．复数z ＝1＋cos α＋isin α(π<α<2π)的模为( B ) A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2D ．－2sin α2[解析] |z |＝(1＋cos α)2＋sin 2 α＝2＋2cos α＝4cos 2 α2＝2|cos α2|.∵π<α<2π，∴π2<α2<π，∴cos α2<0，∴2|cos α2|＝－2cos α2，故选B ．二、填空题7．(2016·广西南宁高二检测)设复数z ＝1＋2i ，则|z |[解析] |z |＝12＋22＝ 5.8．已知复数x 2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内的对应点在第三象限，则实数x 的取值范围是__(1,2)__.[解析] 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋5<0x －2<0，解得1<x <2. 三、解答题9．如果复数z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R )对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围.[解析] ∵z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＞04m 2－8m ＋3＞0，解得m ＜－1－52或m ＞32，即实数m 的取值范围是m ＜－1－52或m ＞32.B 级 素养提升一、选择题1．已知复数z ＝(x －1)＋(2x －1)i 的模小于10，则实数x 的取值范围是( A ) A ．－45<x <2B ．x <2C ．x >－45D ．x <－45或x >2[解析] 由条件知，(x －1)2＋(2x －1)2<10， ∴5x 2－6x －8<0，∴－45<x <2.2．设复数z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下结论中正确的是( C ) A ．复数z 对应的点在第一象限 B ．复数z 一定不是纯虚数 C ．复数z 对应的点在实轴上方 D ．复数z 一定是实数[解析] ∵2t 2＋5t －3＝0的Δ＝25＋24＝49>0，∴方程有两根，2t 2＋5t －3的值可正可负，∴A 、B 不正确． 又t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1>0， ∴D 不正确，∴C 正确．3．已知复数z 的模为2，则|z －i|的最大值为( D ) A ．1 B ．2 C ． 5D ．3[解析] |z |＝2，复数z 对应的点在以原点为圆心，半径为2的圆上，|z －i|表示圆上的点到(0,1)的距离，最大为2＋1＝3.4．在复平面内，复数z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于( D ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] ∵π2<2<π，∴sin 2>0，cos 2<0.∴复数z 对应的点(sin 2，cos 2)位于第四象限．二、填空题5．已知复数z 1＝－1＋2i 、z 2＝1－i 、z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A 、B 、C ，若O C →＝x O A →＋y O B →(x 、y ∈R )，则x ＋y 的值是__5__.[解析] 由复数的几何意义可知，O C →＝xOA →＋yOB →，即3－2i ＝x (－1＋2i)＋y (1－i)， ∴3－2i ＝(y －x )＋(2x －y )i. 由复数相等可得⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ＝32x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝4.∴x ＋y ＝5. 6．设(1＋i)sin θ－(1＋icos θ)对应的点在直线x ＋y ＋1＝0上，则tan θ的值为 12 .[解析] 由题意，得sin θ－1＋sin θ－cos θ＋1＝0， ∴tan θ＝12.7．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝__12__.[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3≠0m 2－9＝0，∴m ＝3，∴z ＝12i ，∴|z |＝12. 三、解答题8．已知a ∈R ，则复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在复平面的第几象限内？复数z 的对应点的轨迹是什么曲线？[解析] a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3， －(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1.由实部大于0，虚部小于0可知，复数z 的对应点在复平面的第四象限内． 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2)． 消去a 2－2a ，得y ＝－x ＋2(x ≥3)．所以复数z 的对应点的轨迹是以(3，－1)为端点，－1为斜率，在第四象限的一条射线．C 级 能力提高1．设z ∈C ，则满足条件|z |＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应的点Z 的集合是什么图形？ [解析] 解法一：|z |＝|3＋4i|得|z |＝5.这表明向量OZ →的长度等于5，即点Z 到原点的距离等于5.因此，满足条件的点Z 的集合是以原点O 为原点，以5为半径的圆． 解法二：设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，则|z |2＝x 2＋y 2. ∵|3＋4i|＝5，∴由|z |＝|3＋4i|得x 2＋y 2＝25， ∴点Z 的集合是以原点为圆心，以5为半径的圆．2．已知复数z ＝(m 2＋m －6)＋(m 2＋m －2)i ，证明对一切实数m ，该复数z 所对应的点不可能位于第四象限.[解析] 设z ＝(m 2＋m －6)＋(m 2＋m －2)i 对应的点Z (m 2＋m －6，m 2＋m －2)位于第四象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －6>0，m 2＋m －2<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m >2或m <－3，－2<m <1.显然此不等式组无解，因此对一切实数m ， 该复数所对应的点不可能位于第四象限．第三章 3.2 3.2.1A 级 基础巩固一、选择题1．计算(3＋2i)－(1－i)的结果是( C ) A ．2＋i B ．4＋3i C ．2＋3iD ．3＋2i[解析] (3＋2i)－(1－i)＝3＋2i －1＋i ＝2＋3i.2．若复数z 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( B ) A ．－2 B ．4 C ．3D ．－4[解析] z ＝1－(3－4i)＝－2＋4i ， 所以z 的虚部是4.3．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( D ) A ．1＋i B ．2＋i C ．3D ．－2－i [解析] ∵z 1＋z 2＝(2＋b i)＋(a ＋i) ＝(2＋a )＋(b ＋1)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋a ＝0b ＋1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－1， ∴a ＋b i ＝－2－i.4．已知z ＝11－20i ，则1－2i －z 等于( C ) A ．18＋10i B ．18－10i C ．－10＋18iD ．10－18i[解析] ∵z ＝11－20i ， ∴1－2i －z ＝1－2i －11＋20i ＝－10＋18i.5．设f (z )＝|z |，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)＝( D ) A ．10 B ．5 5 C ． 2D ．5 2 [解析] ∵z 1－z 2＝5＋5i ， ∴f (z 1－z 2)＝f (5＋5i)＝|5＋5i|＝5 2.6．设复数z 满足关系式z ＋|z |＝2＋i ，那么z ＝( D ) A ．－34＋iB ．34－iC ．－34－iD ．34＋i[解析] 设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )， 则x ＋y i ＋x 2＋y 2＝2＋i ，因此有⎩⎨⎧x ＋x 2＋y 2＝2y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34y ＝1，故z ＝34＋i ，故选D ．二、填空题7．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝__－1__.[解析] z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R )为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1. 8．在复平面内，O 是原点，OA →、OC →、AB →对应的复数分别为－2＋i 、3＋2i 、1＋5i ，那么BC →对应的复数为__4－4i__.[解析] B C →＝OC →－OB →＝OC →－(OA →＋AB →) ＝3＋2i －(－2＋i ＋1＋5i) ＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i ＝4－4i. 三、解答题9．已知平行四边形ABCD 中，AB →与AC →对应的复数分别是3＋2i 与1＋4i ，两对角线AC 与BD 相交于P 点.(1)求AD →对应的复数； (2)求DB →对应的复数．[分析] 由复数加、减法运算的几何意义可直接求得AD →，DB →对应的复数，先求出向量P A →、PB →对应的复数，通过平面向量的数量积求△APB 的面积．[解析] (1)由于ABCD 是平行四边形，所以AC →＝AB →＋AD →，于是AD →＝AC →－AB →，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i ，即AD →对应的复数是－2＋2i.(2)由于DB →＝AB →－AD →，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5， 即DB →对应的复数是5.B 级 素养提升一、选择题1．复数(3m ＋m i)－(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是( A ) A ．m <23B ．m <1C ．23<m <1D ．m >1[解析] (3m ＋m i)－(2＋i)＝(3m －2)＋(m －1)i ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3m －2<0m －1<0，∴m <23.2．复数z 1＝a ＋4i ，z 2＝－3＋b i ，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a ，b 的值为( A )A ．a ＝－3，b ＝－4B ．a ＝－3，b ＝4C ．a ＝3，b ＝－4D ．a ＝3，b ＝4[解析] 由题意可知z 1＋z 2＝(a －3)＋(b ＋4)i 是实数，z 1－z 2＝(a ＋3)＋(4－b )i 是纯虚数，故⎩⎪⎨⎪⎧b ＋4＝0a ＋3＝04－b ≠0，解得a ＝－3，b ＝－4.3．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若向量OA →、OB →对应的复数分别是3＋i 、－1＋3i ，则CD →对应的复数是( D )A ．2＋4iB ．－2＋4iC ．－4＋2iD ．4－2i[解析] 依题意有CD →＝BA →＝OA →－OB →， 而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i ， 即CD →对应的复数为4－2i. 故选D ．4．如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是( C ) A ．115B ．3iC ．115＋3iD ．115＋23i[解析] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， 则x ＋y i ＋x 2＋y 2＝5＋3i ， ∴⎩⎨⎧x ＋x 2＋y 2＝5y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝115y ＝3. ∴z ＝115＋3i ，故选C ．二、填空题5．(2016·济南高二检测)设x ，y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i ，则x ＋y ＝__4__.[解析] x 1－i ＋y 1－2i＝x (1＋i )2＋y (1＋2i )5＝(x 2＋y 5)＋(x 2＋2y5)i ，而51－3i＝5(1＋3i )10＝12＋32i ，所以x 2＋y 5＝12且x 2＋2y 5＝32，解得x ＝－1，y ＝5，所以x ＋y ＝4.6．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝__－1＋10i__. [解析] ∵z 1＋z 2＝(x ＋2i)＋(3－y i)＝(x ＋3)＋(2－y )i ，又z 1＋z 2＝5－6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝52－y ＝－6.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝8.∴z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i. 7．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i(a 、b ∈R )，若z 1－z 2＝43，则a ＋b ＝__3__.[解析] z 1－z 2＝[32a ＋(a ＋1)i]－[－33b ＋(b ＋2)i]＝(32a ＋33b )＋(a ＋1－b －2)i ＝43，∴⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋33b ＝43a －b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1，∴a ＋b ＝3.三、解答题8．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x 、y ∈R )，设z ＝z 1－z 2，且z ＝13－2i ，求z 1、z 2.[解析] z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i]＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ，又因为z ＝13－2i ，且x ，y ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1. 所以z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ， z 2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.C 级 能力提高1．(2016·青岛高二检测)已知复数z ＝(1－i )2＋3(1＋i )2－i .(1)求复数z .(2)若z 2＋az ＋b ＝1－i ，求实数a ，b 的值．[解析] (1)z ＝－2i ＋3＋3i 2－i ＝3＋i 2－i ＝(3＋i )(2＋i )5＝1＋i.(2)把z ＝1＋i 代入z 2＋az ＋b ＝1－i ，得(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝1－i ，整理得a ＋b ＋(2＋a )i ＝1－i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，2＋a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.2．已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，求：(1)点C 、D 对应的复数； (2)平行四边形ABCD 的面积．[解析] (1)∵向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ， ∴向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又OC →＝OA →＋AC →，∴点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. ∵AD →＝BC →，∴向量AD →对应的复数为3－i ，即AD →＝(3，－1)． 设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝0. ∴点D 对应的复数为5. (2)∵BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ，∴cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝210.∴sin B ＝7210.∴S ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×7210＝7，∴平行四边形ABCD 的面积为7.第三章 3.2 3.2.2A 级 基础巩固一、选择题1．(2016·重庆八中高二检测)复数z 满足z i －1＝i 则z 的共轭复数为( A ) A ．1－i B ．1＋i C ．－1＋iD ．－1－i[解析] z ＝1＋i i ＝i (1＋i )i 2＝i －1－1＝1－i.2．(2016·山东滕州市高二检测)已知i 为虚数单位，则(1＋i 1－i )2＝( B )A ．1B ．－1C ．iD ．－i [解析] (1＋i 1－i )2＝2i－2i＝－1.3．(2016·湖南衡阳三中检测)已知i 为虚数单位．若复数－3i(a ＋i)(a ∈R )的实部与虚部相等，则a ＝( A )A ．－1B ．－2C ．1D ．2[解析] －3i(a ＋i)＝－3a i ＋3， ∴－3a ＝3，∴a ＝－1.4．(2015·全国卷Ⅱ文)若a 为实数，且2＋a i1＋i ＝3＋i ，则a ＝( D )A ．－4B ．－3C ．3D ．4 [解析] ∵2＋a i1＋i ＝3＋i ，∴2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ， ∴a ＝4，选D ．5．(2017·北京文，2)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( B )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞) [解析] ∵(1－i)(a ＋i)＝a ＋i －a i －i 2＝a ＋1＋(1－a )i ， 又∵复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，1－a >0，解得a <－1. 故选B ．6．若z ＋z －＝6，z ·z －＝10，则z ＝( B ) A ．1±3i B ．3±i C ．3＋iD ．3－i[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝6a 2＋b 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝±1，即z ＝3±i. 二、填空题7．(2016·广西南宁高二检测)计算：(1＋i)(1－i)＋(1＋2i)2＝__－1＋4i__. [解析] (1＋i)(1－i)＋(1＋2i)2 ＝1－i 2＋1＋4i ＋4i 2 ＝1＋1＋1＋4i －4 ＝－1＋4i.8．复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，那么z ＝__2＋i__. [解析] (1＋2i)·z ＝4＋3i ，z ＝4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i )(1－2i )5＝2－i ，∴z ＝2＋i.三、解答题 9．计算：(1)(－12＋32i)(2－i)(3＋i)；(2)(2＋2i )2(4＋5i )(5－4i )(1－i ).[解析] (1)(－12＋32i)(2－i)(3＋i)＝(－12＋32i)(7－i)＝3－72＋73＋12i.(2)(2＋2i )2(4＋5i )(5－4i )(1－i )＝4i (4＋5i )5－4－9i＝－20＋16i 1－9i＝－4(5－4i )(1＋9i )82＝－4(41＋41i )82＝－2－2i.B 级 素养提升一、选择题1．设复数z 满足1－z1＋z ＝i ，则|1＋z |＝( C )A ．0B ．1C ． 2D ．2[解析] ∵1－z1＋z＝i ，∴z ＝1－i 1＋i ，∴z ＋1＝1－i 1＋i ＋1＝21＋i ＝1－i ，∴|z ＋1|＝ 2.2．若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x 、y ∈R ，则复数x ＋y i 的模是( D ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5 [解析] 由x i ＋y i 2＝3＋4i ，知x ＝4，y ＝－3，则x ＋y i 的模为x 2＋y 2＝5. 3．若复数(m 2＋i)(1＋m i)是实数，则实数m 的值是( B )A ．1B ．－1C ． 2D ．－ 2[解析] (m 2＋i)(1＋m i)＝m 2＋i ＋m 3i ＋m i 2＝(m 2－m )＋(m 3＋1)i. ∵(m 2＋1)(1＋m i)为实数， ∴m 3＋1＝0， ∴m ＝－1.故选B ．4．(2016·全国卷Ⅱ文2)设复数z 满足z ＋i ＝3－i ，则z ＝( C ) A ．－1＋2i B ．1－2i C ．3＋2iD ．3－2i[解析] 易知z ＝3－2i ，所以z ＝3＋2i. 二、填空题5．(2015·江苏)设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z [解析] 方法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，从而⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝32ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1故|z |＝a 2＋b 2＝ 5.方法二：因为z 2＝3＋4i ，所以|z 2|＝|z |2＝|3＋4i|＝9＋16＝5，所以|z |＝ 5. 6．(2015·重庆理)设复数a ＋b i(a 、b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝__3__. [解析] 由题易得a 2＋b 2＝3，故a 2＋b 2＝3. (a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3.7．(2017·浙江，12)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝__5__，ab ＝__2__.[解析] (a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i.由(a ＋b i)2＝3＋4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，ab ＝2.解得a 2＝4，b 2＝1.所以a 2＋b 2＝5，ab ＝2. 三、解答题 8.m1＋i＝1－n i ，(m 、n ∈R ，i 是虚数单位)，求m 、n 的值. [解析] ∵m1＋i ＝1－n i ，∴m (1－i )2＝1－n i ， ∴m －m i ＝2－2n i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2－m ＝－2n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝1. C 级 能力提高1．已知复数z 0＝3＋2i ，复数z 满足z ·z 0＝3z ＋z 0，则复数z ＝ 1－32i .[解析] ∵z 0＝3＋2i ， ∴z ·z 0＝3z ＋2i z ＝3z ＋z 0， ∴2i·z ＝z 0.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， ∴2i(a ＋b i)＝3＋2i ，即－2b ＋2a i ＝3＋2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧－2b ＝3，2a ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－32，∴z ＝1－32i.2．已知z ∈C ，z －为z 的共轭复数，若z ·z －－3i z －＝1＋3i ，求z . [解析] 设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，则z －＝a －b i(a ，b ∈R )， 由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝3，所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.。
高考数学(理科)一轮复习：单元五 5.4 数系的扩充与复数的引入
若复数 z1, z2 对应的向量������������1 , ������������2 不共线, 则复数 z1+z2 是以 ������������1 , ������������2为两邻边的平行四边形的对角线������������ 所对应的复数;复数 z1 -z2 是������������1 − ������������2 = ������2 ������1所对应的复数.
当 b=0 时, a+bi 为实数;当 a=0, 且 b≠0 时, a+bi 为纯虚数;当 b≠0 时, a+bi 为虚数 实数能比较大小, 虚数不能比 较大小 实数 a 的共轭复数是 a 本身
第五章
知识梳理 考点自测
5.4
数系的扩充与复数的引入
关键能力 学科素养
必备知识
-3-
内容 复平 面
意
义
备
C
解析 答案
第五章
知识梳理 考点自测
第五章
知识梳理 考点自测
5.4
数系的扩充与复数的引入
关键能力 学科素养
必备知识
-7-
1.(1±i)2=±2i; 1-������ =i;1+������ =-i.
2.-b+ai=i(a+bi)(a,b∈R). 3.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N+). 4.i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N+).
解析 答案
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5.4
数系的扩充与复数的引入
关键能力 学科素养
必备知识
新高考一轮复习人教版 数系的扩充与复数的引入 作业
专题十二 数系的扩充与复数的引入基础篇 固本夯基考点一 复数的概念与几何意义1.(2022届T8联考,2)已知z=2i1−i-1+2i,则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 B2.(2022届辽宁六校期初联考,2)复数z 满足z(1+i)=2021-i(i 为虚数单位),则复数z 的虚部为( ) A.1011 B.1011i C.-1011 D.-1011i 答案 C3.(2022届湖北部分重点中学开学联考,2)已知i 是虚数单位,则复数z=2(1−i)2的共轭复数为( )A.2iB.-2iC.iD.-i 答案 D4.(2022届湘豫名校8月联考,3)已知复数z 在复平面内对应的点在直线y=-x 上,且|z|=√2,则z(1+i)=( ) A.2 B.-2 C.±2 D.2i 答案 C5.(2022届山东日照开学校际联考,4)若复数z 满足|z-2-3i|=5,则复数z 的共轭复数不可能为 ( ) A.5+2i B.-2-6iC.5-7i D.2-8i 答案 A6.(2022届湖南岳阳一中入学考,2)已知复数z 1=21+i,z 2=a+i(a ∈R),若z 1,z 2在复平面内对应的向量分别为OZ ⃗⃗⃗⃗ 1,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点),且|OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,则a=( )A.1B.-3C.1或-3D.-1或3 答案 C7.(2022届湖北九师联盟10月质检,2)已知复数z=2−i1+i,则下列说法正确的是( ) A.z 的模为√102B.z 的虚部为-32i C.z 的共轭复数为-12-32iD.z 的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限 答案 A8.(2022届江苏如皋中学月考,5)已知复数z 满足|z-1|=|z-i|,则在复平面上z 对应的点的轨迹为( ) A.直线 B.线段 C.圆 D.等腰三角形 答案 A9.(多选)(2022届湖北九师联盟10月质检,10)设z 1,z 2是复数,则( ) A.z 1−z 2=z 1-z 2 B.若z 1z 2∈R,则z 1=z 2 C.若|z 1-z 2|=0,则z 1=z 2D.若z 12+z 22=0,则z 1=z 2=0答案 AC10.(2020课标Ⅲ理,2,5分)复数11−3i的虚部是( ) A.-310 B.-110C.110 D.31011.(2021北京朝阳一模,2)如果复数2+bii(b∈R)的实部与虚部相等,那么b=() A.-2 B.1C.2D.4答案A12.(2021石家庄二模,1)已知i为虚数单位,复数z=1−i 2 0211−i2 018,则z的虚部为()A.1 2B.-12i C.-12D.12i答案C13.(2019课标Ⅱ理,2,5分)设z=-3+2i,则在复平面内z对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案C14.(2020浙江,2,4分)已知a∈R,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a=()A.1B.-1C.2D.-2答案C15.(2021河北唐山三模,2)已知i是虚数单位,a∈R,若复数a−i1−2i为纯虚数,则a=()A.-2B.2C.-12D. 1 2答案A16.(2021广东珠海一模,2)设i是虚数单位,复数z1=i2021,复数z2=|4−3i|4+3i,则z1+z2在复平面上对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限17.(2020北京,2,4分)在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,2),则i·z=()A.1+2iB.-2+iC.1-2iD.-2-i答案B18.(2021新高考Ⅱ,1,5分)在复平面内,复数2−i对应的点位于()1−3iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案A-(iz)2在复平面内对应的点在() 19.(2021湖北九师联盟质检,2)设复数z=1+i(i是虚数单位),则复数zA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案A20.(2019课标Ⅰ理,2,5分)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.(x+1)2+y2=1B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=1答案C21.(2020课标Ⅰ文,2,5分)若z=1+2i+i3,则|z|=()A.0B.1C.√2D.2答案C22.(2021河北唐山二模,5)设复数z满足|z-2i|=1,在复平面内z对应的点到原点距离的最大值是()A.1B.√3C.√5D.323.(2017课标Ⅰ理,3,5分)设有下面四个命题:p1:若复数z满足1z∈R,则z∈R;p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=z2;p4:若复数z∈R,则z∈R.其中的真命题为()A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4答案B24.(2021辽宁丹东二模,3)在复平面内,O为坐标原点,复数z,z+1对应的点都在单位圆O上,则z的实部为()A.-√32B.-12C.12D.√32答案B25.(2021湖北黄冈中学三模,3)已知复数z满足z2+4i=0,则|z|=()A.4B.2C.√2D.1答案B26.(多选)(2021广东湛江一模,9)若复数z=√3-i,则()A.|z|=2B.|z|=4C.z的共轭复数z=√3+iD.z2=4-2√3i答案AC27.(多选)(2021山东德州二模,9)已知复数z1=2−1+i(i为虚数单位),下列说法正确的是()A.z1对应的点在第三象限B.z1的虚部为-1C.z 14=4D.满足|z|=|z 1|的复数z 对应的点在以原点为圆心,2为半径的圆上 答案 AB28.(多选)(2021江苏无锡二模,9)设复数z=a+bi,a ∈R,b ∈R(i 为虚数单位),则下列说法正确的是( ) A.若a=0,b=1,则∑k=12 021z k =iB.若a=-12,b=-√32,则z 2=zC.“z ∈R ”的充要条件是“z=|z|”D.若a=cos θ,b=sin θ(0<θ<π),则复数z 在复平面上对应的点在第一或第二象限 答案 AB29.(2021江苏常州一模,14)已知复数z 对应的点在复平面第一象限内,甲、乙、丙、丁四人对复数z 的陈述如下(i 为虚数单位):甲:z+z =2;乙:z-z =2√3i;丙:z ·z =4;:z =z 22.在甲、乙、丙、丁四人的陈述中,有且只有两个人的陈述正确,则复数z= . 答案 1+i30.(2021辽宁抚顺二模,14)已知|z+√5i|+|z-√5i|=6,则复数z 在复平面内所对应的点P(x,y)的轨迹方程为 .答案 y 29+x 24=1考点二 复数的运算1.(2022届长沙长郡中学第一次月考,2)设复数z 满足z=2i−1+i,则|z|=( ) A.1 B.√2 C.12D.√22答案 B2.(2021新高考Ⅰ,2,5分)已知z=2-i,则z(z +i)=( )A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i答案C3.(2020新高考Ⅰ,2,5分)2−i=()1+2iA.1B.-1C.iD.-i答案D4.(2021全国乙理,1,5分)设2(z+z)+3(z-z)=4+6i,则z=()A.1-2iB.1+2iC.1+iD.1-i答案C5.(2021全国乙文,2,5分)设iz=4+3i,则z=()A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i答案C6.(2020课标Ⅱ文,2,5分)(1-i)4=()A.-4B.4C.-4iD.4i答案A7.(2020课标Ⅲ文,2,5分)若z(1+i)=1-i,则z=()A.1-iB.1+iC.-iD.i答案D,则|z|=()8.(2019课标Ⅰ文,1,5分)设z=3−i1+2iA.2B.√3C.√2D.1答案C9.(2019北京,文2,理1,5分)已知复数z=2+i,则z·z=()A.√3B.√5C.3D.5 答案 D10.(2021上海,1,4分)已知z 1=1+i,z 2=2+3i,则z 1+z 2= . 答案 3+4i11.(2018天津文(理),9,5分)i 是虚数单位,复数6+7i1+2i= . 答案 4-i12.(2021福建厦门三模)若复数z=a+bi(a,b ∈R,i 为虚数单位)满足|z-2i|=|z|,写出一个满足条件的复数:z= . 答案 1+i(答案不唯一)综合篇 知能转换考法 复数代数形式的四则运算的解题方法1.(2022届重庆巴蜀中学月考(一),3)已知i 是虚数单位,z 为复数,2+1i=z(3+i),则在复平面内z 对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 答案 D2.(2022届福建泉州科技中学月考,4)若z=1+i,则(z )2 020+(z z)2 021的虚部为( )A.iB.-iC.1D.-1 答案 D3.(2022届广东深圳光明第一次调研,2)已知z=2−i2+i,则z =( ) A.45+35i B.45-35i C.35+45i D.35-45i4.(2022届广东深圳龙岗一中期中,3)已知复数z 满足z(2+i)=|3+4i|(其中i 为虚数单位),则复数z =( ) A.2-i B.-2+i C.2+i D.-2-i 答案 C5.(多选)(2022届山东烟台莱州一中开学考,12)1487年,瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系,并写下公式:e i θ=cos θ+isin θ,这个公式在复变函数中有非常重要的地位,即著名的“欧拉公式”,被誉为“数学中的天桥”,据欧拉公式,则( ) A.e πi 2=i B.|e πi4|=1C.(1−√3i 2)3=1 D.cos π4=e πi 4+e −πi42答案 ABD6.(2021浙江,2,4分)已知a ∈R,(1+ai)i=3+i(i 为虚数单位),则a=( ) A.-1 B.1 C.-3 D.3 答案 C7.(2020课标Ⅰ理,1,5分)若z=1+i,则|z 2-2z|= ( ) A.0 B.1 C.√2 D.2 答案 D8.(2021广东肇庆二模,2)在复平面内,复数z =5i3−4i(i 为虚数单位),则z 对应的点的坐标为 ( ) A.(3,4) B.(-4,3) C.(45,−35) D.(−45,−35) 答案 D9.(2017天津文(理),9,5分)已知a ∈R,i 为虚数单位,若a−i2+i为实数,则a 的值为 .10.(2020课标Ⅱ理,15,5分)设复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 2|=2,z 1+z 2=√3+i,则|z 1-z 2|= . 答案 2√311.(2021天津一中5月模拟,13)若复数z=(1+i)23+4i,则z= .答案 8+6i25。
人教A版选修2-2数学：第三章《数系的扩充与复数的引入》综合测试2(新人教A版选修2—2).docx
高中新课标数学选修（2-2）第三章测试题一、选择题1．0a =是复数()z a bi a b =+∈R ，为纯虚数的（ ）Ａ．充分条件但不是必要条件 Ｂ．必要条件但不是充分条件 Ｃ．充要条件Ｄ．既不是充分也不必要条件 答案：Ｂ2．若12z i =+，23()z ai a =+∈R ，12z z +的和所对应的点在实轴上，则a 为（ ） Ａ．3 Ｂ．2Ｃ．1Ｄ．1-答案：Ｄ3．复数22(2)(2)z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上，则（ ） Ａ．2a ≠或1a ≠ Ｂ．2a ≠且1a ≠ Ｃ．0a = Ｄ．2a =或0a =答案：Ｄ4．设1z ，2z 为复数，则下列四个结论中正确的是（ ）Ａ．若22120z z +>，则2212z z >-Ｂ．12z z -Ｃ．22121200z z z z +=⇔== Ｄ．11z z -是纯虚数或零 答案：Ｄ5．设22(253)(22)z t t t t i =+-++-+，t ∈R ，则下列命题中正确的是（ ） Ａ．z 的对应点Z 在第一象限Ｂ．z 的对应点Z 在第四象限 Ｃ．z 不是纯虚数 Ｄ．z 是虚数 答案：Ｄ6．若1i +是实系数方程20x bx c ++=的一个根，则方程的另一个根为（ ） Ａ．1i - Ｂ．1i -+ Ｃ．1i -- Ｄ．i 答案：Ａ7．已知复数1cos z i θ=-，2sin z i θ=+，则12z z ·的最大值为（ ）Ａ．32 Ｄ．3答案：Ａ 8．已知m ∈R ，若6()64m mi i +=-，则m 等于（ ）Ａ．2-Ｂ．Ｃ．Ｄ．4答案：Ｂ9．在复平面内，复数12ω=-+对应的向量为OA u u u r ，复数2ω对应的向量为OB u u u r ．那么向量AB u u u r对应的复数是（ ）Ａ．1 Ｂ．1- Ｄ．答案：Ｄ10．在下列命题中，正确命题的个数为（ ） ①两个复数不能比较大小；②123z z z ∈C ，，，若221221()()0z z z z -+-=，则13z z =； ③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±； ④z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ；⑤若a b ，是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数； ⑥z ∈R 的一个充要条件是z z =．Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 答案：Ｂ11．复数()a bi a b +∈R ，等于它共轭复数的倒数的充要条件是（ ） Ａ．2()1a b += Ｂ．221a b += Ｃ．221a b -= Ｄ．2()1a b -=答案：Ｂ12．复数z 满足条件：21z z i +=-，那么z 对应的点的轨迹是（ ） Ａ．圆 Ｂ．椭圆 Ｃ．双曲线 Ｄ．抛物线 答案：Ａ 二、填空题13．若复数cos sin z i θθ=-·所对应的点在第四象限，则θ为第 象限角． 答案：一14．复数z i =与它的共轭复数z 对应的两个向量的夹角为 ． 答案：60°15．已知2z i =-，则32452z z z -++= ． 答案：2 16．定义运算a b ad bc c c =-，则符合条件2132i z zi-=+的复数z = ． 答案：7455i -三、解答题17．已知复数(2)()x yi x y -+∈R ，的模为3，求yx的最大值． 解：23x yi -+=∵，22(2)3x y -+=∴，故()x y ，在以(20)C ，为圆心，3为半径的圆上，yx表示圆上的点()x y ，与原点连线的斜率． 如图，由平面几何知识，易知yx的最大值为3． 18．已知1z i a b =+，，为实数． （1）若234z z ω=+-，求ω；（2）若2211z az bi z z ++=--+，求a ，b 的值．解：（1）2(1)3(1)41i i i ω=++--=--， 2ω=∴；（2）由条件，得()(2)1a b a ii i+++=-，()(2)1a b a i i +++=+∴，121a b a +=⎧⎨+=⎩，，∴解得12a b =-⎧⎨=⎩，．19．已知2211z x x i =++，22()z x a i =+，对于任意x ∈R ，均有12z z >成立，试求实数a 的取值范围． 解：12z z >∵， 42221()x x x a ++>+∴，22(12)(1)0a x a -+->∴对x ∈R 恒成立．当120a -=，即12a =时，不等式成立； 当120a -≠时，21201124(12)(1)0a a a a ->⎧⇒-<<⎨---<⎩， 综上，112a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，． 20．已知()z i z ω=+∈C ，22z z -+是纯虚数，又221116ωω++-=，求ω． 解：设()z a bi a b =+∈R ，2(2)2(2)z a bi z a bi--+=+++∴2222(4)4(2)a b bia b +-+=++． 22z z -+∵为纯虚数， 22400a b b ⎧+-=⎨≠⎩，．∴222211(1)(1)(1)(1)a b i a b i ωω++-=++++-++∴2222(1)(1)(1)(1)a b a b =++++-++ 222()44a b b =+++844b =++ 124b =+．12416b +=∴．1b =∴．把1b =代入224a b +=，解得a =．z i =∴．2i ω=∴．21．复数3(1)()1i a bi z i++=-且4z =，z 对应的点在第一象限内，若复数0z z ，，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解：2(1)(1)()2()221i i z a bi i i a bi a bi i++=+=+=---···，由4z =，得224a b +=． ①∵复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，z z z =-∴，把22z a bi =--代入化简，得1b =． ② 又Z ∵点在第一象限内，0a <∴，0b <．由①②，得1a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩．故所求a =1b =-．22．设z 是虚数1z z ω=+是实数，且12ω-<<．（1）求z 的值及z 的实部的取值范围．（2）设11zzμ-=+，求证：μ为纯虚数； （3）求2ωμ-的最小值．（1）解：设0z a bi a b b =+∈≠R ，，，， 则1a bi a bi ω=+++2222a b a b i a b a b ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭．因为ω是实数，0b ≠，所以221a b +=，即1z =．于是2a ω=，即122a -<<，112a -<<．所以z 的实部的取值范围是112⎛⎫- ⎪⎝⎭，；（2）证明：2222111211(1)1z a bi a b bi bi z a bi a b a μ------====-++++++．因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，0b ≠，所以μ为纯虚数；（3）解：22222122(1)(1)b a a a a a ωμ--=+=+++1222111a a a a a -=-=-+++12(1)31a a ⎡⎤=++-⎢⎥+⎣⎦因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以10a +>，故223ωμ-·≥431-=． 当111a a +=+，即0a =时，2ωμ-取得最小值1． 高中新课标数学选修（2-2）第三章测试题一、选择题1．实数x ，y 满足(1)(1)2i x i y ++-=，则xy 的值是（ ） Ａ．1 Ｂ．2Ｃ．2-Ｄ．1-答案：Ａ2．复数cos z i θ=，[)02πθ∈，的几何表示是（ ） Ａ．虚轴Ｂ．虚轴除去原点Ｃ．线段PQ ，点P ，Q 的坐标分别为(01)(01)-，，， Ｄ．（Ｃ）中线段PQ ，但应除去原点 答案：Ｃ3．z ∈C ，若{}22(1)1M z z z =-=-|，则（ ）Ａ．{}M =实数Ｂ．{}M =虚数Ｃ．{}{}M实数复数苘Ｄ．{}M ϕ=答案：Ａ4．已知复数1z a bi =+，21()z ai a b =-+∈R ，，若12z z <，则（ ） Ａ．1b <-或1b > Ｂ．11b -<< Ｃ．1b > Ｄ．0b >答案：Ｂ5．已知复数z 满足2230z z --=的复数z 的对应点的轨迹是（ ） Ａ．1个圆 Ｂ．线段Ｃ．2个点Ｄ．2个圆答案：Ａ6．设复数()z z ∈C 在映射f 下的象是zi ·，则12i -+的原象为（ ） Ａ．2i - Ｂ．2i + Ｃ．2i -+ Ｄ．13i +－答案：Ａ7．设A ，B 为锐角三角形的两个内角，则复数(cot tan )(tan cot )z B A B A i =-+-对应的点位于复平面的（ ）Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限答案：Ｂ8．已知()22f z i z z i +=++，则(32)f i +=（ ） Ａ．9i Ｂ．93i +Ｃ．9i -Ｄ．93i -－答案：Ｂ 9．复数2()12miA Bi m AB i-=+∈+R ，，，且0A B +=，则m =（ ）Ｂ．23 Ｃ．23-Ｄ．2答案：Ｃ10．(32)(1)i i +-+表示（ ） Ａ．点(32)，与点(11)，之间的距离 Ｂ．点(32)，与点(11)--，之间的距离 Ｃ．点(32)，与原点的距离 Ｄ．点(31)，与点(21)，之间的距离 答案：Ａ11．已知z ∈C ，21z -=，则25z i ++的最大值和最小值分别是（ ）11 Ｂ．3和1Ｃ．和3答案：Ａ12．已知1z ，2z ∈C ，12z z +=1z =2z =12z z -=（ ）Ａ．1 Ｂ．12Ｃ．2答案：Ｄ 二、填空题13．若()1()f z z z =-∈C ，已知123z i =+，25z i =-，则12z f z ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．答案：19172626i - 14．“复数z ∈R ”是“11z z=”的 ． 答案：必要条件，但不是充分条件 15．A ，B 分别是复数1z ，2z 在复平面上对应的两点，O 为原点，若1212z z z z +=-，则AOB △为 ． 答案：直角16．若n 是整数，则6(1)(1)nn i i -+-=· ． 答案：8±或8i ±三、解答题17．已知复数3z z -对应的点落在射线(0)y x x =-≤上，1z +=z ． 解：设()z a bi a b =+∈R ，，则33324z z a bi a bi a bi -=+-+=+， 由题意得4120ba b ⎧=-⎪⎨⎪>⎩，，①又由1z +=22(1)2a b ++=， ② 由①，②解得21a b =-⎧⎨=⎩，，2z i =-+∴．18．实数m 为何值时，复数216(815)55m z m i m i m m -⎛⎫=++++ ⎪++⎝⎭．（1）为实数； （2）为虚数； （3）为纯虚数；（4）对应点在第二象限．解：226(815)5m m z m m i m +-=++++．（1）z 为实数28150m m ⇔++=且50m +≠，解得3m =-； （2）z 为虚数2815050m m m ⎧++≠⇔⎨+≠⎩，，解得3m ≠-且5m ≠-；（3）z 为纯虚数226058150m m m m m ⎧+-=⎪⇔+⎨⎪++≠⎩，，解得2m =；（4）z 对应的点在第二象限226058150m m m m m ⎧+-<⎪⇔+⎨⎪++>⎩，，解得5m <-或32m -<<．19．设O 为坐标原点，已知向量1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r分别对应复数12z z ，，且213(10)5z a i a =+-+，22(25)1z a i a=+--，a ∈R ．若12z z +可以与任意实数比较大小，求1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r 的值．解：213(10)5z a i a =--+，则31232[(10)(25)]51z z a a i a a+=++-+-+-的虚部为0， 22150a a +-=∴．解得5a =-或3a =． 又50a +≠∵，3a =∴．则138z i =+，21z i =-+，1318OZ ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r ，，2(11)OZ =-u u u u r ，． 1258OZ OZ =u u u u r u u u u r ∴·．20．已知z 是复数，2z i +与2zi-均为实数，且复数2()z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设()z x yi x y =+∈R ，，2(2)z i x y i +=++为实数，2y =-∴．211(22)(4)2255z x i x x i i i -==++---为实数， 4x =∴，则42z i =-．22()(124)8(2)z ai a a a i +=+-+-∵在第一象限， 212408(2)0a a a ⎧+->⎨->⎩，，∴解得26a <<． 21．已知关于x 的方程2(6)90()x i x ai a -+++=∈R 有实数根b ． （1）求实数a ，b 的值；（2）若复数z 满足2z a bi z --=，求z 为何值时，z 有最小值并求出最小值． 解：（1）将b 代入题设方程，整理得2(69)()0b b a b i -++-=， 则2690b b -+=且0a b -=，解得3a b ==；（2）设()z x yi x y =+∈R ，，则2222(3)(3)4()x y x y -++=+， 即22(1)(1)8x y ++-=．∴点Z 在以(11)-，为圆心，22为半径的圆上， 画图可知，1z i =-时，min 2z =．。
2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透：第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第2节
[课堂练通考点]1．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB ＝a ，AD＝b ，则BE＝( )A ．b －12a B ．b ＋12a C ．a ＋12bD ．a －12b解析：选A BE ＝BA ＋AD ＋DE ＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a .2．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若(m a ＋n b )∥(a －2b )，则mn 等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－12D.12解析：选C 由题意得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n ) a －2b ＝(4，－1)， 由于(m a ＋n b )∥(a －2b )， 可得－(2m －n )－4(3m ＋2n )＝0， 可得m n ＝－12，故选C.3．(2013·大连沙河口模拟)非零不共线向量OA 、OB ，且2OP ＝x OA ＋y OB，若PA ＝λAB(λ∈R )，则点Q (x ，y )的轨迹方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0解析：选A PA ＝λAB，得OA －OP ＝λ(OB －OA )，即OP ＝(1＋λ)OA －λOB .又2OP ＝x OA ＋y OB ，∴⎩⎨⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ，消去λ得x ＋y ＝2，故选A.4．已知点A (2,1)，B (0,2)，C (－2,1)，O (0,0)，给出下面的结论：①直线OC 与直线BA 平行；②AB ＋BC＝CA ；③OA ＋OC ＝OB ；④AC ＝OB －2OA .其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C ∵由题意得k OC ＝1－2＝－12，k BA ＝2－10－2＝－12，∴OC ∥BA ，①正确；∵AB ＋BC＝AC ，∴②错误；∵OA ＋OC ＝(0,2)＝OB，∴③正确； ∵OB －2OA ＝(－4,0)，AC＝(－4,0)，∴④正确．5．(2013·保定调研)已知两点A (1,0)，B (1,1)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝135°，设OC ＝－OA ＋λOB(λ∈R )，则λ的值为________．解析：由∠AOC ＝135°知，点C 在射线y ＝－x (x <0)上，设点C 的坐标为(a ，－a )，a <0，则有(a ，－a )＝(－1＋λ，λ)，得a ＝－1＋λ，－a ＝λ，消掉a 得λ＝12.答案：126．(2014·朝阳一模)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN＝λAB＋μAC ，则λ＋μ的值为( )A.12 B.13 C.14D ．1解析：选A ∵M 为边BC 上任意一点，∴可设AM ＝x AB＋y AC (x ＋y ＝1)． ∵N 为AM 中点，∴AN ＝12AM ＝12x AB ＋12y AC ＝λAB＋μAC . ∴λ＋μ＝12(x ＋y )＝12.[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．(2013·辽宁高考)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB同方向的单位向量为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 解析：选A AB ＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e ＝AB|AB|＝15(3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45. 2．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD ＝2CE ，CD ＝r AB＋s AC ，则r ＋s 的值是( )A.23B.43 C ．－3D ．0解析：选D ∵CD ＝2CE，∴CD ＝23CB ＝23(AB －AC)，∴CD ＝23AB －23AC ，又CD ＝r AB ＋s AC ，∴r ＝23，s ＝－23， ∴r ＋s ＝0.故选D.3．(2014·江苏五市联考)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12x ，b ＝(x,1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x 的值为( )A ．4B ．8C ．0D ．2解析：选A a －2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，12x －2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)， 由已知(a －2b )∥(2a ＋b )，显然2a ＋b ≠0， 故有⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，12x －2＝λ(16＋x ，x ＋1)，λ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧8－2x ＝λ(16＋x )，12x －2＝λ(x ＋1)⇒x ＝4(x >0)．4.(创新题)若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( )A ．(2,0)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(0,2)解析：选D ∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)， 即a ＝－2p ＋2q ＝(2,4)，令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )， ∴⎩⎨⎧ －x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2. ∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)．5.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，则下列说法错误的是( ) A ．AC ＝AB ＋ADB ．BD ＝AD －ABC ．AO ＝12AB ＋12ADD ．AE ＝53AB ＋AD解析：选D 由向量减法的三角形法则知，BD ＝AD －AB，排除B ；由向量加法的平行四边形法则知，AC ＝AB ＋AD ， AO ＝12AC ＝12AB ＋12AD，排除A 、C.6．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若PA＝(4,3)，PQ＝(1,5)，则BC ＝________.解析： AO ＝PQ －PA＝(－3,2)，∴AC ＝2AO＝(－6,4)． PC ＝PA ＋AC＝(－2,7)， ∴BC ＝3PC＝(－6,21)． 答案：(－6,21)7．(2014·九江模拟)P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于________．解析：P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )． 则⎩⎨⎧ －1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎨⎧m ＝－12，n ＝－7.此时a ＝b ＝(－13，－23)．答案：{}(－13，－23)8．已知向量OA ＝(1，－3)，OB ＝(2，－1)，OC＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．解析：若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB ，AC不共线．∵AB ＝OB－OA ＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC ＝OC －OA＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)， ∴1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1. 答案：k ≠19．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．求： (1)|a ＋3b |；(2)当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？ 解：(1)因为a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，所以a ＋3b ＝(7,3)， 故|a ＋3b |＝72＋32＝58.(2)k a －b ＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7,3)， 因为k a －b 与a ＋3b 平行， 所以3(k －2)＋7＝0，即k ＝－13. 此时k a －b ＝(k －2，－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－1，a ＋3b ＝(7,3)，则a ＋3b ＝－3(k a －b )， 即此时向量a ＋3b 与k a －b 方向相反．10．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM ＝t 1OA ＋t 2AB. (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点都共线．解：(1)OM ＝t 1OA ＋t 2AB＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)． 当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎨⎧4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明：当t 1＝1时，由(1)知OM＝(4t 2,4t 2＋2)．∵AB ＝OB－OA ＝(4,4)，AM ＝OM －OA ＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB， ∴A ，B ，M 三点共线． 第Ⅱ组：重点选做题1．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC ＝3CD，点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合)，若AO ＝x AB＋(1－x )AC ，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 解析：选D 依题意，设BO ＝λBC ，其中1<λ<43，则有AO ＝AB ＋BO ＝AB ＋λBC ＝AB ＋λ(AC －AB )＝(1－λ)AB＋λAC .又AO ＝x AB ＋(1－x )AC ，且AB ，AC 不共线，于是有x ＝1－λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0，即x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0.2．(2014·湖南五市联合检测)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a ⊗b ＝(a 1b 1，a 2b 2)，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，点P (x ，y )在y ＝sin x的图像上运动．Q 是函数y ＝f (x )图像上的点，且满足OQ＝m ⊗OP ＋n (其中O 为坐标原点)，则函数y ＝f (x )的值域是________．解析：令Q (c ，d )，由新的运算可得OQ ＝m ⊗OP ＋n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ，12sin x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，12sin x ， ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2x ＋π3，d ＝12sin x ，消去x 得d ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －π6，所以y ＝f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，易知y ＝f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12。
高考一轮 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入第二节 课下作业 我来演练
一、选择题1．设平面向量a ＝(－1,0)，b ＝(0,2)，则2a －3b ＝ ( ) A ．(6,3) B ．(－2，－6) C ．(2,1)D ．(7,2)解析：2a －3b ＝(－2,0)－(0,6)＝(－2，－6)． 答案：B2．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析：∵a ＋b ＝(3,1＋x )，4b －2a ＝(6,4x －2)， 又a ＋b 与4b －2a 平行， ∴3(4x －2)＝6(1＋x )，解得x ＝2. 答案：D3．(2012·宁德模拟)已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于 ( ) A ．－12a ＋32bB.12a －32b C ．－32a －12bD ．－32a ＋12b解析：设c ＝λa ＋μb ，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λ＋μ，2＝λ－μ.解得⎩⎨⎧λ＝12，μ＝－32.∴c ＝12a －32b .答案：B4．(2012·嘉兴模拟)已知a ，b 是不共线的向量，AD ＝λa ＋b ，AC ＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1解析：∵a ，b 不共线，∴AC≠0，则A 、B 、C 三点共线的充要条件是存在实数t ，满足AB＝t AC ，即λa ＋b ＝ta ＋μtb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝μt ，得λμ＝1. 答案：D5．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC ＝a ，BD ＝b ，则AF＝( )A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14bD.13a ＋23b 解析：由已知得DE ＝13EB ，又△DEF ∽△BEA ， ∴DF ＝13AB .即DF ＝13DC .∴CF ＝23CD ，∴CF ＝23CD ＝23(OD －OC)＝23⎝⎛⎭⎫12b －12a ＝13b －13a ， ∴AF ＝AC ＋CF ＝a ＋13b －13a ＝23a ＋13b .答案：B 二、填空题6．(2011·湖南高考)设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．解析：设a ＝(x ，y )，x ＜0，y ＜0，则x －2y ＝0且x 2＋y 2＝20，解得x ＝4，y ＝2(舍去)，或者x ＝－4，y ＝－2，即a ＝(－4，－2)．答案：(－4，－2)7．设e 1、e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a 、b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：设e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，∴m ＝23，n ＝－13.答案：23 －13三、解答题8．已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC ＝13AB ，DA ＝－13BA，求点C ，D 的坐标和CD 的坐标．解：设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由题意得AC ＝(x 1＋1，y 1－2)，AB＝(3,6)， DA ＝(－1－x 2,2－y 2)，BA＝(－3，－6)．因为AC ＝13AB ，DA ＝－13DA ，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝12－y 2＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0. 所以点C ，D 的坐标分别是(0,4)，(－2,0)，从而CD＝(－2，－4)．9．已知A (1,1)、B (3，－1)、C (a ，b )． (1)若A 、B 、C 三点共线，求a 、b 的关系式；(2)若AC ＝2AB，求点C 的坐标．解：(1)由已知得AB＝(2，－2)，AC ＝(a －1，b －1)，∵A 、B 、C 三点共线，∴AB ∥AC.∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC ＝2AB ，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)．10．已知P 为△ABC 内一点，且3AP ＋4BP ＋5CP ＝0.延长AP 交BC 于点D ，若AB ＝a ，AC ＝b ，用a 、b 表示向量AP 、AD .解：∵BP ＝AP －AB ＝AP －a ，CP ＝AP －AC ＝AP－b ，又3AP ＋4BP＋5CP ＝0，∴3AP ＋4(AP －a )＋5(AP－b )＝0，化简，得AP ＝13a ＋512b .设AD ＝t AP(t ∈R)，则AD ＝13ta ＋512tb .①又设BD ＝k BC (k ∈R)，由BC ＝AC －AB＝b －a ，得 BD ＝k (b －a )．而AD ＝AB ＋BD ＝a ＋BD ， ∴AD＝a ＋k (b －a )＝(1－k )a ＋kb .②由①②，得⎩⎨⎧13t ＝1－k ，512t ＝k ，解得t ＝43.代入①，有AD ＝49a ＋59b .。
高考一轮第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 课下作业第三节 我来演练
一、选择题1．(2011·广东高考)若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( )A ．4B ．3C ．2D ．0解析：由a ∥b 及a ⊥c ，得b ⊥c ， 则c ·(a ＋2b )＝c ·a ＋2c ·b ＝0. 答案：D2．已知m ＝(－5,3)，n ＝(－1,2)，当(λm ＋n )⊥(2n ＋m )时，实数λ的值为 ( )A.58B ．－316C ．－38D.38解析：由已知得|m |＝34，|n |＝5，m·n ＝11，∵(λm ＋n )⊥(2n ＋m )，∴(λm ＋n )·(2n ＋m )＝λm 2＋(2λ＋1)m·n ＋2n 2＝0，即34λ＋(2λ＋1)×11＋2×5＝0，解得λ＝－38.答案：C3．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大、小值分别是( )A ．42，0B ．4,2 2C ．16,0D ．4,0解析：由于|2a －b |2＝4|a |2＋|b |2－4a ·b ＝8－4(3cos θ－sin θ)＝8－8cos(θ＋π6)，易知0≤8－8cos(θ＋π6)≤16，故|2a －b |的最大值和最小值分别为4和0.答案：D4．(2012·珠海模拟)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2在一个周期内的图像如图所示，M ，N 分别是这段图像的最高点和最低点，且OM ·ON＝0(O 为坐标原点)，则A ＝( ) A.π6B.712πC.76πD.73π 解析：由题图知OM ＝⎝⎛⎭⎫π12，A ，ON ＝⎝⎛⎭⎫7π12，－A ，∵OM ·ON ＝7π2144－A 2＝0，A >0，∴A ＝712π.答案：B5．(2012·杭州质检)已知非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝233|a |，则a ＋b 与a －b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：将|a ＋b |＝|a －b |两边同时平方得：a·b ＝0； 将|a －b |＝233|a |两边同时平方得：b 2＝13a 2.所以cos 〈a ＋b ，a －b 〉＝(a ＋b )·(a －b )|a ＋b |·|a －b |＝a 2－b 243a 2＝12.所以〈a ＋b ，a －b 〉＝60°. 答案：B 二、填空题6．(2011·江苏高考)已知e 1、e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝ke 1＋e 2.若a·b ＝0，则实数k 的值为________．解析：由题意知：a·b ＝(e 1－2e 2)·(ke 1＋e 2)＝0，即ke 12＋e 1e 2－2ke 1e 2－2e 22＝0，即k ＋cos 2π3－2k cos 2π3－2＝0，化简可求得k ＝54.答案：547．(2012·烟台调研)在等腰直角三角形ABC 中，D 是斜边BC 的中点，如果AB 的长为2，则(AB ＋AC )·AD的值为________．解析：|BC |2＝|AB |2＋|AC |2＝8，|AD |＝12|BC |，AB ＋AC ＝2AD ，(AB＋AC )·AD ＝2AD ·AD ＝12|BC |2＝4.答案：4 三、解答题8．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)． (1)设c ＝4a ＋b ，求(b ·c )a ； (2)若a ＋λb 与a 垂直，求λ的值； (3)求向量a 在b 方向上的射影． 解：(1)∵a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，∴c ＝4a ＋b ＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)． ∴b ·c ＝2×6－2×6＝0.∴(b ·c )a ＝0a ＝0. (2)a ＋λb ＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)， 由于a ＋λb 与a 垂直， ∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0.∴λ＝52.(3)设向量a 与b 的夹角为θ， 向量a 在b 方向上的射影为|a |cos θ. ∴|a |cos θ＝a ·b |b |＝1×2＋2×(－2)22＋(－2)2＝－222＝－22. 9．设在平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α)(0°≤α<360°)，b ＝⎝⎛⎭⎫－12，32. (1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小．解：(1)证明：因为(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－⎝⎛⎭⎫14＋34＝0， 故a ＋b 与a －b 垂直．(2)由|3a ＋b |＝|a －3b |，两边平方得 3|a |2＋23a·b ＋|b |2＝|a |2－23a·b ＋3|b |2， 所以2(|a |2－|b |2)＋43a·b ＝0. 而|a |＝|b |，所以a·b ＝0.则⎝⎛⎭⎫－12×cos α＋32×sin α＝0，即cos(α＋60°)＝0， ∴α＋60°＝k ·180°＋90°， 即α＝k ·180°＋30°，k ∈Z ，又0°≤α＜360°，则α＝30°或α＝210°.10．已知A (2,0)，B (0,2)，C (cos θ，sin θ)，O 为坐标原点(1) AC ·BC ＝－13，求sin 2θ的值． (2)若|OA ＋OC |＝7，且θ∈(－π，0)，求OB 与OC的夹角．解：(1) AC＝(cos θ，sin θ)－(2,0)＝(cos θ－2，sin θ)BC＝(cos θ，sin θ)－(0,2)＝(cos θ，sin θ－2)． OC ·BC ＝cos θ(cos θ－2)＋sin θ(sin θ－2)＝cos 2θ－2cos θ＋sin 2θ－2sin θ＝1－2(sin θ＋cos θ)＝－13.∴sin θ＋cos θ＝23.∴1＋2sin θcos θ＝49.∴sin 2θ＝49－1＝－59.(2)∵OA ＝(2,0)，OC＝(cos θ，sin θ)． ∴OA ＋OC＝(2＋cos θ，sin θ)， ∴|OA ＋OC|＝(2＋cos θ)2＋sin 2θ＝7.即4＋4cos θ＋cos 2θ＋sin 2θ＝7. ∴4cos θ＝2，即cos θ＝12.∵－π<θ<0，∴θ＝－π3.又∵OB ＝(0,2)，OC ＝⎝⎛⎭⎫12，－32，∴cos OB ，OC 〉＝OB ·OC|OB |·|OC |＝0－32＝－32.∴〈OB ，OC 〉＝5π6.。
2019年人教版A版高三数学(理)高考一轮复习4.4 数系的扩充与复数的引入教学设计及答案
第四节系的扩充与复的引入1．复的概念(1)解复的基本概念．(2)解复相等的充要条件．2．复的运算(1)了解复的代表示法及其几何意义．(2)能进行复代形式的四则运算，了解两个具体复相加、相减的几何意义．知识点一复的概念及几何意义1．复的概念形如a＋b i(a，b∈R)的叫复，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋b i为实；若b≠0，则a＋b i为虚；若a＝0，b≠0，则a＋b i为纯虚．2．复相等a＋b i＝c＋d i⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．3．共轭复a＋b i与c＋d i共轭⇔a＝c，b＋d＝0(a，b，c，d∈R)．4．复的模向量O Z→的长度叫作复z＝a＋b i的模，记作|z|或|a＋b i|，即|z|＝|a＋b i|＝a2＋b2.5．几何意义易误提醒1．判定复是实，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．2．利用复相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件．3．z 2<0在复范围内有可能成立，例如：当z ＝3i 时z 2＝－9<0.[自测练习]1．设i 是虚单位，z 表示复z 的共轭复．若z ＝1＋i ，则zi ＋i·z＝( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i解析：因为z ＝1＋i ，所以zi ＋i·z ＝－i ＋1＋i ＋1＝2.答案：C2．已知复a ＋3i1－2i 是纯虚，则实a ＝( )A ．－2B ．4C ．－6D ．6解析：a ＋3i 1－2i ＝a －6＋a ＋5，∴a ＝6时，复a ＋3i1－2i为纯虚．答案：D3．在复平面内，复i(2－i)对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：∵z ＝i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i ，∴复z 在复平面内的对应点为(1,2)，在第一象限． 答案：A知识点二 复的代运算1．复的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则(1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i. (2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i. (3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.(4)除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝a ＋bc －dc ＋dc －d＝ac ＋bd ＋bc －adc 2＋d 2(c ＋d i≠0)．2．复加法的运算定律复的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．必记结论 掌握复代运算中常用的几个结论： 在进行复的代运算时，记住以下结论，可提高计算速度． (1)(1±i)2＝±2i；1＋i 1－i ＝i ；1－i1＋i＝－i.(2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)．(3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0，n ∈N ＋.[自测练习]4．已知i 是虚单位，则2＋i3－i ＝( )A.12－12iB.72－12iC.12＋12iD.72＋12i 解析：2＋i 3－i ＝＋＋－＋＝5＋5i 10＝12＋12i.答案：C5．设复z ＝1＋i(i 是虚单位)，则2z＋z 2＝( )A ．－1－iB ．－1＋iC ．1－iD ．1＋i解析：2z ＋z 2＝21＋i ＋(1＋i)2＝－＋－＋1＋2i ＋i 2＝1－i ＋2i ＝1＋i.答案：D考点一 复的有关概念|1．若a＋b i＝51＋2i(i是虚单位，a，b∈R)，则ab＝( ) A．－2 B．－1C．1 D．2解析：a＋b i＝51＋2i＝1－2i，所以a＝1，b＝－2，ab＝－2.答案：A2．(2015·高考湖北卷)i为虚单位，i607的共轭复为( )A．i B．－iC．1 D．－1解析：i607＝i4×151·i3＝－i，又－i的共轭复为i，选A.答案：A3．(2015·高考天津卷)i是虚单位，若复(1－2i)(a＋i)是纯虚，则实a的值为________．解析：由题意知，复(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i是纯虚，则实部a＋2＝0，虚部1－2a≠0，解得a＝－2.答案：－2解决复概念问题的方法及注意事项(1)复的分类及对应点的位置问题都可以转为复的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复为代形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复是否为a＋b i(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．考点二 复的几何意义|1．(2015·山西四校联考)复z ＝i－2－2(i 为虚单位)，z 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为z ＝i－2－2＝i 4＋4i －1＝i3＋4i ＝－25＝425＋325i ，所以z 在复平面内所对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫425，325在第一象限，故选A.答案：A2．已知复z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，若OC →＝λOA →＋μOB →，(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是________．解析：由条件得OC →＝(3，－4)，OA →＝(－1,2)，OB →＝(1，－1)， 根据OC→＝λOA →＋μOB →得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2.∴λ＋μ＝1.答案：1判断复在平面内的点的位置的方法首先将复成a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，其次根据实部a 和虚部b 的符号确定点所在的象限．考点三 复的代运算|1．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知复z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i解析：因为(z －1)i ＝1＋i ，所以z ＝1＋ii ＋1＝2－i ，选C.答案：C2．(2015·高考湖南卷)已知－2z＝1＋i(i 为虚单位)，则复z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i 解析：由题意得z ＝－21＋i＝－2i 1＋i＝－i(1－i)＝－1－i ，故选D.答案：D3．设复z 1和z 2在复平面内的对应点关于坐标原点对称，且z 1＝3－2i ，则z 1·z 2＝( )A ．－5＋12iB ．－5－12iC ．－13＋12iD ．－13－12i 解析：∵z 1＝3－2i ，∴z 2＝－3＋2i ，z 1·z 2＝(3－2i)(－3＋2i)＝－5＋12i ，故选A.答案：A复代形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复的乘法．复的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．(3)利用复相等求参．a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c ，b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．15.方程思想在复问题中的应用【典例】 已知x ，y 为共轭复，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y .[思路点拨] (1)x ，y 为共轭复，可用复的基本形式表示出．(2)利用复相等，将复问题转为实问题．[解] 设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则y ＝a －b i ，x ＋y ＝2a ，xy ＝a 2＋b 2， 代入原式，得(2a )2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i ，根据复相等得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝4，－a 2＋b 2＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1.故所求复为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋i ，y ＝1－i或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－i ，y ＝1＋i或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋i ，y ＝－1－i或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－i ，y ＝－1＋i.[方法点评] (1)复问题要把握一点，即复问题实，这是解决复问题最基本的思想方法．(2)本题求解的关键是先把x ，y 用复的形式表示出，再用待定系法求解．这是常用的学方法．(3)本题易错原因为想不到利用待定系法，或不能将复问题转为实方程求解．[跟踪练习] (2015·高考福建卷)若(1＋i)＋(2－3i)＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚单位)，则a ，b 的值分别等于( )A ．3，－2B ．3,2C ．3，－3D ．－1,4解析：因为(1＋i)＋(2－3i)＝a ＋b i ，所以3－2i ＝a ＋b i ，所以a ＝3，b ＝－2，故选A.答案：AA 组 考点能力演练1．(2016·洛阳模拟)设i 是虚单位，若复(2＋a i)i 的实部与虚部互为相反，则实a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：因为(2＋a i)i ＝－a ＋2i ，又其实部与虚部互为相反，所以－a ＋2＝0，即a ＝2，故选B.答案：B 2．复1＋2ii的共轭复是a ＋b i(a ，b ∈R )，i 是虚单位，则点(a ，b )为( )A ．(1,2)B ．(2，－1)C ．(2,1)D ．(1，－2)解析：1＋2i i＝2－i ，其共轭复为2＋i ，即a ＋b i ＝2＋i ，所以a ＝2，b ＝1.故选C.答案：C3．设x ∈R ，i 是虚单位，则“x ＝－3”是“复z ＝(x 2＋2x －3)＋(x －1)i 为纯虚”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：复z ＝(x 2＋2x －3)＋(x －1)i 为纯虚，则x 2＋2x －3＝0且x －1≠0，解得x ＝－3，故x ＝－3⇔复z 为纯虚，选C.答案：C4．在复平面内，复－2＋3i3－4i (i 是虚单位)所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：∵－2＋3i 3－4i ＝－2＋＋－＋＝－18＋i 25＝－1825＋125i ，∴－1825＋125i 对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1825，125，在第二象限，故选B.答案：B5．复z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sinθ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( )A ．[－1,1]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤916，7 解析：由复相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，简得4－4cos 2 θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ，因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin 2θ－3sin θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7.答案：C6．(2015·高考江苏卷)设复z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚单位)，则z 的模为________．解析：设复z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，a ，b ∈R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，2ab ＝4，a ，b ∈R ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－1，则z ＝±(2＋i)，故|z |＝ 5.答案： 57．(2015·高考重庆卷)设复a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________.解：设z ＝a ＋b i ，则(a ＋b i)(a －b i)＝z z ＝|z |2＝3. 答案：38．已知m ∈R ，复m ＋i 1＋i －12的实部和虚部相等，则m ＝________.解析：m ＋i 1＋i－12＝m ＋－＋－－12＝m ＋＋－m2－12＝m ＋－m 2，由已知得m ＝1－m ，则m ＝12.答案：129．计算：(1)－1＋＋i 3；(2)＋2＋－2＋i； (3)1－i ＋2＋1＋i －2；(4)1－3i3＋2. 解：(1)－1＋＋i 3＝－3＋i－i＝－1－3i. (2)＋2＋－2＋i＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i 2＋i＝－5＝15＋25i. (3)1－i ＋2＋1＋i －2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i2＝－1. (4)1－3i3＋2＝3＋－3＋2＝－i3＋i ＝－3－4＝－14－34i.10．复z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a ＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实，求实a 的值．解：z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a＋(2a －5)i＝⎝⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13a ＋a －＋(a 2＋2a －15)i.∵z 1＋z 2是实，∴a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3. ∵a ＋5≠0，∴a ≠－5，故a ＝3.B 组 高考题型专练1．(2014·高考天津卷)i 是虚单位，复7＋i 3＋4i ＝( )A ．1－iB ．－1＋i C.1725＋3125i D ．－177＋257i解析：7＋i3＋4i ＝＋－＋－＝25－25i 25＝1－i.选A.答案：A2．(2014·高考江西卷)z 是z 的共轭复．若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚单位)，则z ＝( )A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，又z ＋z ＝2，即(a ＋b i)＋(a －b i)＝2，所以2a ＝2，解得a ＝1.又(z －z )i ＝2，即[(a ＋b i)－(a －b i)]·i＝2，所以b i 2＝1，解得b ＝－1.所以z ＝1－i.答案：D3．(2015·高考山东卷)若复z 满足z1－i＝i ，其中i 为虚单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i解析：由已知z ＝i(1－i)＝i －i 2＝i ＋1，所以z ＝1－i.故选A.答案：A4．(2015·高考全国卷Ⅱ)若a 为实，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：由于(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4，解得a ＝0.故选B.答案：B5．(2015·高考安徽卷)设i 是虚单位，则复2i1－i 在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：2i1－i＝＋－＋＝－1＋i ，其在复平面内所对应的点位于第二象限．答案：B6．(2015·高考全国卷Ⅰ)设复z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：由题意知1＋z ＝i －z i ，所以z ＝i －1i ＋1＝－2＋－＝i ，所以|z |＝1.答案：A7．(2015·高考四川卷)设i 是虚单位，则复i 3－2i＝( )A ．－iB ．－3iC ．iD ．3i解析：i 3－2i ＝－i －2ii 2＝－i ＋2i ＝i ，选C.答案：C8．(2015·高考重庆卷)复(1＋2i)i 的实部为________． 解析：因为(1＋2i)i ＝－2＋i ，所以实部为－2. 答案：－2。
2022高考数学文人教A版一轮复习学案：5.4 数系的扩充与复数的引入 【含解析】
5.4数系的扩充与复数的引入必备知识预案自诊知识梳理1.复数的有关概念内容意义备注复数的概念形如(a∈R,b∈R)的数叫做复数,其中实部为,虚部为当b=0时,a+b i为实数;当a=0,且b≠0时,a+b i为纯虚数;当b≠0时,a+b i为虚数复数相等a+b i=c+d i(a,b,c,d∈R)⇔实数能比较大小,虚数不能比较大小共轭复数a+b i与c+d i共轭(a,b,c,d∈R)⇔实数a的共轭复数是a本身复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面,叫做实轴,y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数;除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,各象限内的点都表示虚数复数的模设OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为z=a+b i(a,b∈R),则向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度叫做复数z=a+b i(a,b∈R)的模,记作|z|或|a+b i||z|=|a+b i|=√a2+b2(a,b∈R)2.复数的几何意义3.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+b i,z2=c+d i(a,b,c,d∈R),则①加法:z1+z2=(a+b i)+(c+d i)=;②减法:z1-z2=(a+b i)-(c+d i)=;③乘法:z1·z2=(a+b i)·(c+d i)=;④除法:z 1z 2=a+bi c+di =(a+bi )(c -di )(c+di )(c -di )=ac+bd c 2+d 2+bc -ad c 2+d 2i(c+d i ≠0). (2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z 1,z 2,z 3∈C ,有z 1+z 2= ,(z 1+z 2)+z 3= .(3)复数加、减法的几何意义若复数z 1,z 2对应的向量OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线,则复数z 1+z 2是以OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为两邻边的平行四边形的对角线OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 所对应的复数;复数z 1-z 2是OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所对应的复数.1.(1±i)2=±2i;1+i1-i =i;1-i 1+i =-i .2.-b+a i =i(a+b i)(a ,b ∈R ).3.i 4n =1,i 4n+1=i,i 4n+2=-1,i 4n+3=-i(n ∈N *).4.i 4n +i 4n+1+i 4n+2+i 4n+3=0(n ∈N *).5.复数z 的方程在复平面上表示的图形(1)a ≤|z|≤b 表示以原点O 为圆心,以a 和b 为半径的两圆所夹的圆环;(2)|z-(a+b i)|=r (r>0)表示以(a ,b )为圆心,r 为半径的圆.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若a ∈C ,则a 2≥0.( )(2)已知z=a+b i(a ,b ∈R ),当a=0时,复数z 为纯虚数.( )(3)复数z=a+b i(a ,b ∈R )的虚部为b i .( )(4)方程x 2+x+1=0没有解.( )(5)由于复数包含实数,在实数范围内两个数能比较大小,因此在复数范围内两个数也能比较大小.( )2.(2020浙江,2)已知a ∈R ,若a-1+(a-2)i(i 为虚数单位)是实数,则a=( )A.1B.-1C.2D.-23.(2020北京,2)在复平面内,复数z 对应的点的坐标是(1,2),则i z=( )A.1+2iB.-2+iC.1-2iD.-2-i4.(2020全国2,文2)(1-i)4=( )A.-4B.4C.-4iD.4i5.(2020江苏,2)已知i 是虚数单位,则复数z=(1+i)·(2-i)的实部是 .关键能力学案突破考复数的有点关概念【例1】(1)(2020全国1,文2)若z=1+2i+i3,则|z|=()A.0B.1C.√2D.2(2)(2020陕西宝鸡三模,文2)已知复数z在复平面内对应的点为(1,m),若i z为纯虚数,则实数m的值为()A.-1B.0C.1D.1或-1(3)(2019江苏,2)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值?解题心得求解复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数以及求复数的实部、虚部时都与复数的实部与虚部有关,通常需先把所给复数化为代数形式,即a+b i(a,b∈R)的形式,再根据题意求解.对点训练1(1)(2020全国3,理2)复数11-3i的虚部是()A.-310B.-110C.110D.310(2)(2020福建福州三模,理1)已知纯虚数z满足(1-i)z=2+a i,则实数a=()A.2B.1C.-1D.-2考点复数的几何意义【例2】(1)(2019全国1,理2)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.(x+1)2+y2=1B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=1全国2,理15)设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=√3+i,则|z1-z2|=.?几何意义的作用是什么?解题心得1.复数z=a+b i(a,b∈R)Z(a,b)OZ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b).2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观.对点训练2(1)设复数z满足|z-i|+|z+i|=4,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.x24−y23=1 B.x24+y23=1C.y24−x23=1 D.y24+x23=1(2)(2020山东历城二中模拟四,2)已知复数z满足|z+1-i|=|z|,z在复平面内对应的点为P(x,y),则()A.y=x+1B.y=xC.y=x+2D.y=-x考点复数的代数运算【例3】(1)(2020新高考全国1,2)2-i1+2i=()A.1B.-1C.iD.-i(2)(2020江苏南京六校5月联考,2)已知复数z=(a+2i)·(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,a 为实数,则。
高考数学(人教A版理)一轮复习教师用书第4章第4节数系的扩充与复数的引入Word版含解析
第四节数系的扩大与复数的引入[考纲传真 ] 1.理解复数的观点，理解复数相等的充要条件.2.认识复数的代数表示法及其几何意义 .3.能进行复数代数形式的四则运算，认识两个详细复数相加、减的几何意义．1．复数的有关观点(1)复数的观点：形如 a＋bi(a， b∈R)的数叫复数，此中 a， b 分别是它的实部和虚部．若 b＝0，则 a＋bi 为实数，若 b≠0，则 a＋bi 为虚数，若 a＝ 0 且 b≠0，则 a＋bi 为纯虚数．(2)复数相等： a＋bi＝c＋di? a＝ c，b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数： a＋bi 与 c＋ di 共轭 ? a＝c，b＝－ d(a，b，c，d∈R)．→22(4)复数的模：向量 OZ的模 r 叫做复数 z＝ a＋ bi 的模，即 |z|＝|a＋bi|＝ a ＋b .3．复数代数形式的四则运算(1)运算法例：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di， a， b， c，d∈R.z1±z2＝(a＋bi) ±(c＋ di) ＝(a±c)＋ (b±d)i.z1·z2＝ (a＋bi)(c＋ di) ＝ (ac－bd)＋ (bc＋ad)i.z1a＋bi ac＋bd bc－adz2＝c＋di＝c2＋d2 ＋c2＋d2 i(c＋di≠0)．(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法例进行．如图 4-4-1 所示给出的平行四边形OZ1ZZ2能够直观地反应出复数加减法的→→→→→→几何意义，即 OZ＝OZ1＋ OZ2，Z1Z2＝ OZ2－OZ1.图 4-4-11．(思虑辨析 )判断以下结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)复数 z＝a＋bi(a， b∈R)中，虚部为 bi.()(2)复数中有相等复数的观点，所以复数能够比较大小．()(3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数．()(4)复数的模本质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模 . ()[答案 ](1)×(2)×(3)×(4)√2.(教材改编)如图4-4-2，在复平面内，点 A 表示复数z，则图中表示z 的共轭复数的点是()图 4-4-2A．A B.BC．C D.DB[共轭复数对应的点对于实轴对称．]3．(2016 ·川高考四)设 i 为虚数单位，则复数 (1＋ i)2＝()A．0 B.2C.2iD.2＋ 2iC[(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.]．(2016北·京高考)复数1＋ 2i＝()42－iA．i B.1＋ i C．－ i D.1－ i1＋2i1＋2i2＋i5iA[法一：2－i＝2－i2＋i＝5＝i.法二：1＋2i i 1＋2i i 1＋2i＝i.]＝＝2i＋ 12－i i 2－i5．复数 i(1＋ i)的实部为 ________．－1[i(1 ＋i) ＝－ 1＋ i，所以实部为－ 1.]复数的有关观点(1)(2016全·国卷Ⅲ＝＋2i，则4i＝ ())若 z 1z z － 1A．1 B.－1C.iD.－i(2)i 是虚数单位，若复数 (1－2i)(a＋i) 是纯虚数，则实数 a 的值为 ________.【导学号： 01772156】(1)C(2)－2[(1) 因为 z＝ 1＋2i，则 z ＝1－2i，所以 z z ＝(1＋ 2i)(1－ 2i)＝5，则4i4i＝i. 应选 C.＝4z z －1(2)由 (1－2i)(a＋i) ＝(a＋ 2)＋(1－2a)i 是纯虚数可得 a＋2＝0,1－2a≠0，解得a＝－ 2.][规律方法 ] 1.复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的观点都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数有关观点有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a， b∈R)的形式，再依据题意列出实部、虚部知足的方程(组)即可．2．求复数模的惯例思路是利用复数的有关运算先求出复数z，而后利用复数模的定义求解．i [变式训练 1](1)(2017 合·肥二次质检 )已知 i 为虚数单位，复数 z＝2＋i的虚部为()12A．－5 B.－512C.5D.51＋ i，则 |z|＝()(2)设 z＝1＋i12A.2B. 23C. 2D.2i i 2－ i1＋2i122(1)D(2)B[(1) 复数 z＝2＋i＝2＋i 2－ i＝5＝5＋5i ，则其虚部为5，故选 D.11－ i 1 1 1 2 1 22(2)z＝1＋i ＋i＝2＋i ＝2＋2i，|z|＝2＋2＝2.]复数代数形式的四则运算(1)(2015 全·国卷Ⅰ )已知复数 z 知足 (z－ 1)i＝1＋i ，则 z＝ ()A．－ 2－i B.－2＋iC.2－iD.2＋ ia(2)(2016 天·津高考 )已知 a，b∈R，i 是虚数单位，若 (1＋ i)(1 －bi) ＝ a，则b的值为 ________．i＋1(1)C(2)2[(1) ∵(z－1)i＝ i＋1，∴z－1＝i＝1－i ，∴z＝ 2－ i，应选 C.(2)∵(1＋ i)(1－ bi) ＝ 1＋ b＋ (1－b)i＝ a，又 a，b∈R，∴1＋ b＝ a 且 1－ b＝ 0，a得 a＝2，b＝1，∴ ＝2.]b[规律方法 ] 1.复数的加法、减法、乘法运算能够类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式．2．记着以下结论，可提升运算速度21＋i1－i＝－ i ；(4)－ b＋ ai ＝i(a＋ bi) ； (5)i4n(1)(1 i)±＝±2i；(2)＝i； (3)＝ 1；1－i1＋ii 4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i(n∈N)．1－i 2[变式训练 2](1)已知＝1＋i(i为虚数单位 )，则复数 z＝()zA．1＋i B.1－ iC．－ 1＋i D.－1－i(2)已知 i 是虚数单位，1＋i 82 2 0181－i＋－＝ ________.1i(1)D (2)1＋i1－ i 21－i 2－ 2i－ 2i 1－i＝－ 1 [(1) 由z＝1＋i，得 z＝＝＝1＋i1＋i1＋i 1－ i－ i，应选 D.(2)原式＝1＋i822 1009 1－i＋1－i2＝i8＋－2i 1 009＝i8＋i1 009＝1＋i 4× 252＋1＝ 1＋ i.]复数的几何意义(1)(2016 全·国卷Ⅱ )已知 z＝(m＋3)＋ (m－1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是 ()A．(－3,1) B.(－1,3)C．(1，＋∞ ) D.(－∞，－ 3)(2)设复数z1，z2在复平面内的对应点对于虚轴对称，z1＝2＋i ，则z1z2＝()【导学号：01772157】A．－5 B.5C．－ 4＋i D.－4－im＋3＞0，(1)A(2)A[(1) 由题意知即－3＜m＜1.故实数m的取值范围为m－1＜0，(－3,1)．(2)∵z1＝2＋i 在复平面内的对应点的坐标为(2,1)，又 z1与 z2在复平面内的对应点对于虚轴对称，则z2的对应点的坐标为 (－2,1)即 z2＝－ 2＋i ，∴z1z2＝(2＋i)( －2＋ i) ＝i2－4＝－ 5.][规律方法 ]→1.复数 z、复平面上的点 Z 及向量 OZ互相联系，即 z＝a＋bi(a，→b∈R)? Z(a，b)? OZ.2．因为复数、点、向量之间成立了一一对应的关系，所以可把复数、向量与分析几何联系在一同，解题时可运用数形联合的方法，使问题的解决更为直观．a，b[变式训练3](2017 ·郑州二次质检 )定义运算＝ad－bc，则切合条件c，dz， 1＋ i＝0 的复数 z 对应的点在()－i，2iA．第一象限 B.第二象限C．第三象限 D.第四象限1＋i － i 1 1B[由题意得z×2i－(1＋i)(－i)＝0，所以z＝2i＝－2－2i，则 z ＝－11112＋2i 在复平面内对应的点为－2，2，位于第二象限，应选 B.][思想与方法 ]1．复数分类的重点是抓住z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部：当 b＝ 0 时，z 为实数；当 b≠0 时， z 为虚数；当 a＝0，且 b≠ 0 时， z 为纯虚数．2．复数除法的本质是分母实数化，其操作方法是分子、分母同乘以分母的共轭复数．3．化“虚”为“ 实”是解决复数问题的基本方法，此中，复数的代数形式是化“虚”为“ 实”的前提，复数相等的充要条件是化“虚” 为“实”的桥梁．[易错与防备 ]1．判断复数是实数，仅着重虚部等于0 是不够的，还需考虑它的实部能否存心义．2．两个虚数不可以比较大小．3．利用复数相等a＋bi＝ c＋di 列方程时，应注意a，b， c， d∈R的前提条件．4．注意不可以把实数集中的全部运算法例和运算性质照搬到复数集中来．例222在复数范围内有可能成如，若 z ，z ∈C，z ＋ z＝0，就不可以推出 z ＝ z ＝0；z <0121212立．。
2021年高考数学一轮总复习 4-4 数系的扩充与复数的引入练习 新人教A版
2021年高考数学一轮总复习 4-4 数系的扩充与复数的引入练习 新人教A版时间：45分钟 分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(xx·泉州质检)若复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是( )A.z ＝－1－iB.z ＝－1＋iC ．|z |＝2D ．|z |＝2解析 z ＝1－i ，|z |＝1＋1＝ 2.选D. 答案 D 2．若复数a ＋3i1＋2i(a ∈R ，i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．－2 B ．4 C ．－6 D ．6 解析a ＋3i 1＋2i＝a ＋3i 1－2i 1＋2i 1－2i＝a ＋65＋3－2a 5i ，∵a ＋3i 1＋2i 是纯虚数，∴a ＋65＝0且3－2a 5≠0， ∴a ＝－6. 答案 C3．已知复数z 1＝1－3i ，z 2＝23－2i ，则z 1·z 2等于( )A．8 B．－8C．8i D．－8i解析∵z1＝1＋3i，z2＝23＋2i，∴z1·z2＝(1＋3i)(23＋2i)＝23＋23i2＋6i＋2i＝8i.答案C4．(xx·新课标全国卷Ⅱ)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝( ) A．－1＋i B．－1－iC．1＋i D．1－i解析由题意得z＝2i1－i＝2i1＋i1－i1＋i＝－1＋i，故选A.答案A5．(xx·山东卷)复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数z为( )A．2＋i B．2－iC．5＋i D．5－i解析由(z－3)(2－i)＝5得z＝52－i＋3＝52＋i2－i2＋i＋3＝5＋i，z＝5－i，故选D.答案D6．(xx·陕西卷)设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )A．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2B．若z1＝z2，则z1＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2D．若|z1|＝|z2|，则z21＝z22解析|z1－z2|＝0得z1＝z2，必有z1＝z2，故A正确．z1＝z2，令z1＝a＋b i，则z2＝a＋b i，则z2＝a－b i，而z1＝a－b i，故有z2＝z1，故B正确．由|z1|＝|z2|，令z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i得a21＋b21＝a22＋b22，此时z1＝a1－b1i，z2＝a2－b2i，则z1z1＝a21＋b21，z2z2＝a22＋b22，所以有z1z1＝z2z2，故C正确，故选D.答案D二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．(xx·深圳模拟)若复数(a＋i)2在复平面内对应的点在y轴负半轴上，则实数a的值是________．解析(a＋i)2＝a2－1＋2a i，由题意知a2－1＝0且2a<0，即a＝－1.答案－18．已知i是虚数单位，则i＋i2＋i3＋…＋i2 013＝________.解析∵i n＋i n＋1＋i n＋2＋i n＋3＝0，∴i＋i2＋i3＋…＋i2 013＝i.答案 i9．(xx·重庆卷)已知复数z ＝5i1＋2i(i 是虚数单位)，则|z |＝________. 解析 ∵z ＝5i1＋2i＝5i 1－2i 1＋2i 1－2i＝10＋5i5＝2＋i ，∴|z |＝ 5.答案5三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，若 z 1＋z 2是实数，求实数a 的值．解 z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a ＋(2a －5)i＝⎝⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13a ＋5a －1＋(a 2＋2a －15)i.∵z 1＋z 2是实数，∴a 2＋2a －15＝0.解得a ＝－5或a ＝3. ∵分母a ＋5≠0，∴a ≠－5，故a ＝3.11．复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．解 如图，z 1，z 2，z 3分别对应点A ，B ，C . ∴AB →＝OB →－OA →.∴AB →所对应的复数为z 2－z 1＝(－2＋i)－(1＋2i)＝－3－i.在正方形ABCD 中，DC →＝AB →， ∴DC →所对应的复数为－3－i. 又DC →＝OC →－OD →，∴OD →＝OC →－DC →所对应的复数为z 3－(－3－i)＝(－1－2i)－(－3－i)＝2－i ， ∴第四个顶点对应的复数为2－i. 12．设复数z ＝－3cos θ＋2isin θ. (1)当θ＝43π时，求|z |的值；(2)若复数z 所对应的点在直线x ＋3y ＝0上，求2cos 2θ2－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值． 解 (1)∵θ＝43π，∴z ＝－3cos 43π＋2isin 43π＝32－3i.∴|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋－32＝212.(2)由条件得－3cos θ＋3×2sin θ＝0，∴tan θ＝12.原式＝cos θsin θ＋cos θ＝1tan θ＋1＝23./32477 7EDD 绝4@24609 6021 怡_20144 4EB0 亰25780 64B4 撴p28459 6F2B 漫25502 639E 掞37751 9377 鍷19975 4E07 万27204 6A44 橄。
2021年高考数学大一轮总复习 5.4 数系的扩充与复数的引入高效作业 理 新人教A版
业理新人教A版时间：45分钟满分：100分班级：________ 姓名：________ 学号：________ 得分：________一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(xx·陕西)设z1，z2是复数，则下列命题中的假．命题是( )A．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2B．若z1＝z2，则z1＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2D．若|z1|＝|z2|，则z21＝z22解析：依据复数概念和运算，逐一进行推理判断．对于A，|z1－z2|＝0⇒z1＝z2⇒z1＝z2，是真命题；对于B，C易判断是真命题；对于D，若z1＝2，z2＝1＋3i，则|z1|＝|z2|，但z21＝4，z22＝－2＋23i，是假命题．答案：D2．(xx·江西)已知集合M＝{1,2，z i}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝( )A．－2i B．2i解析：由M∩N＝{4}，知4∈M，故z i＝4，故z＝4i＝4ii2＝－4i.答案：C3．(xx·衡水调研)若复数z＝(1＋i1－i)2 014，则ln |z|＝( )A．－2 B．0 C．1 D．不存在解析：z＝(1＋i1－i)2 014＝i2 014＝i503×4＋2＝i2＝－1，|z|＝1，所以ln |z|＝0.答案：B4．(xx·广东)若复数z满足i z＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是( )A．(2,4) B．(2，－4)C．(4，－2) D．(4,2)解析：由i z＝2＋4i⇒z＝2＋4ii＝4－2i，于是对应的点为(4，－2)．答案：C5．(xx·辽宁)复数z＝1i－1的模为( )A.12B.22解析：z＝i＋1i－1i＋1＝－12－i2，|z|＝122＋122＝22.答案：B6．(理)(xx·于都一模)设复数z＝1＋i1－i＋(1－i)2，则(1＋z)7的展开式(按z的升幂排列)的第5项是( )A．35 B．－35i C．－21 D．21i解析：据题意得：z＝1＋i1－i＋(1－i)2＝i－2i＝－i，则(1＋z)7展开式中第5项为C47z4＝C47(－i)4＝C47＝35.答案：A(文)(xx·乌鲁木齐一中月考)若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数Z1＋i的点是( )A．E B．F C．G D．H解析：由图中z＝3＋i，z1＋i＝3＋i1－i1＋i1－i＝2－i表示的点为H点．答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7．(xx·丰台一模)在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|＝________.解析：由题意知A (1,1)，B (－1,3)， 故|AB →|＝－1－12＋3－12＝2 2.答案：228．(xx·天津)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.解析：因为(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，a ，b ∈R ，所以⎩⎨⎧a －1＝0，a ＋1＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2，所以a ＋b i ＝1＋2i.答案：1＋2i9．(xx·重庆模拟)若(1＋i)(2＋i)＝a ＋b i ，其中a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则a ＋b ＝________.解析：∵(1＋i)(2＋i)＝1＋3i ＝a ＋b i ，∴a ＝1，b ＝3，故a ＋b ＝4. 答案：410．(xx·白山联考)已知a ∈R ，则复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第________象限，复数z 对应点的轨迹是________．解析：由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3，－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1，得z 的实部为正数，z 的虚部为负数． ∴复数z 的对应点在第四象限． 设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )， 则⎩⎨⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－a 2－2a ＋2.消去a 2－2a 得y ＝－x ＋2(x ≥3)，∴复数z 对应点的轨迹是一条射线，其方程为y ＝－x ＋2(x ≥3)． 答案：四 一条射线三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11．(xx·北京房山区一模)已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i,8}，集合N ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}同时满足M ∩NM ，M ∩N ≠∅，求整数a 、b .解：依题意得(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i ① 或8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i ②或a ＋3＋(b 2－1)i ＝a 2－1＋(b ＋2)i ③ 由①得a ＝－3，b ＝±2.经检验，a ＝－3，b ＝－2不合题意，舍去． ∴a ＝－3，b ＝2. 由②得a ＝±3，b ＝－2. 又a ＝－3，b ＝－2不合题意． ∴a ＝3，b ＝－2. 由③得⎩⎨⎧a ＋3＝a 2－1b 2－1＝b ＋2即⎩⎨⎧a 2－a －4＝0b 2－b －3＝0，此方程组无整数解．综上得a ＝－3，b ＝2或a ＝3，b ＝－2.12．(xx·诸城一中月考)当实数m 为何值时，z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i(1)为纯虚数； (2)为实数；(3)对应的点在复平面内的第二象限内． 解：(1)若z 为纯虚数， 则有⎩⎨⎧lg m 2－2m －2＝0m 2＋3m ＋2≠0即⎩⎨⎧ m 2－2m －2＝1m ＋1m ＋2≠0⇒⎩⎨⎧m －3m ＋1＝0m ＋1m ＋2≠0∴m ＝3；(2)若z 为实数，则有⎩⎨⎧m 2－2m －2>0m 2＋3m ＋2＝0⇒⎩⎨⎧m <1－3或m >1＋3m ＋1m ＋2＝0⇒m ＝－1或m ＝－2；(3)若z 对应的点在复平面内的第二象限， 则有⎩⎨⎧lg m 2－2m －2<0m 2＋3m ＋2>0⇒⎩⎨⎧m 2－2m －2>0m 2－2m －2<1m ＋1m ＋2>0⇒⎩⎨⎧m <1－3或m >1＋3－1<m <3m <－2或m >－1⇒－1<m <1－3或1＋3<m <3.13．设z 是虚数，ω＝z ＋1z，且－1＜ω＜2.(1)求|z |的值及z 的实部的取值范围； (2)设u ＝1－z1＋z ，求证：u 为纯虚数．解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b ≠0)，ω＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝(a ＋a a 2＋b 2)＋(b －b a 2＋b 2)i ， ∵ω是实数，∴b －b a 2＋b 2＝0.又b ≠0，∴a 2＋b 2＝1，ω＝2a .∵－1＜ω＜2，∴－12＜a ＜1，即z 的实部的取值范围是(－12，1)，|z |＝1.(2)u ＝1－z 1＋z ＝1－a －b i 1＋a ＋b i ＝1－a 2－b 2－2b i 1＋a 2＋b 2＝－ba ＋1i.∵－12＜a ＜1，b ≠0，∴u 为纯虚数． 26673 6831 栱23185 5A91 媑29352 72A8 犨p38644 96F4 雴PT629714 7412 琒33901 846D葭p 31584 7B60 筠。
高考数学(文)一轮复习课后训练4-4b数系的扩充与复数的引入
可得
z＋1 a的虚部为－
2 5.
－ 6．[2016 ·金版创新 ]设复数 z 满足 z＋| z |＝2＋i，则 z＝( )
3 A．－ 4＋i
3 C．－ 4－i
点击观看解答视频 3
B. 4＋ i 3
D.4－ i
答案 B 解析 设 z＝ a＋bi( a，b∈R)，由已知得 a＋bi＋ a2＋b2＝2＋i，
所以 z1－＋2i ＝b1i＋－i2＝
bi － 2 1＋ i
1－ i 1－i
＝
b－2
＋ 2
b＋ 2
i ＝
b－2 2＋
b＋ 2
2 i.
又因为 z1－＋2i 是实数，所以 b＋2 2＝0，所以 b＝－ 2，即 z＝－ 2i. (2)因为 z＝－ 2i，m∈ R，所以 (m＋z)2＝(m－2i)2＝m2－4mi ＋4i2 ＝ (m2－4)－4mi ，又因为复数 (m＋z)2 所表示的点在第一象限，所以 m2－ 4>0，
a＝－ 1， a＝－ 1，
解之得
或
∴z＝－ 1 或 z＝－ 1＋3i.
b＝ 0
b＝ 3.
11．若复数
z1＝
3 a＋5＋
(10－
a2)i
，
z2＝
2 1－
a＋
(2a－
5)i，若
z 1＋ z2
是实数，求实数 a 的值．
解
z
1＋
z2＝
3 a＋
5＋
(a2－10)i
＋1－2
a＋
(2a－
5)i
＝
3
2
a＋5＋ 1－ a
5 4．若虚数 z 同时满足下列两个条件： ①z＋z是实数； ②z＋3 的实
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第四节数系的扩充与复数的引入[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．复数的有关概念为纯虚数的充要条件是提示：不是，a＝0是a＋b i(a，b∈R)为纯虚数的必要条件，只有当a＝0，且b≠0时，a ＋b i 才为纯虚数．2．复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )与平面向量OZ(a ，b ∈R )是一一对应的关系．3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝ a ＋b i c －d i c ＋d i c －d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i≠0)．(2)复数的加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1、z 2、z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．(3)复数的乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1·z 2＝z 2·z 1，(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)，z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3.[探究] 2.z 1、z 2是复数，z 1－z 2>0，那么z 1>z 2，这个命题是真命题吗？提示：假命题．例如：z 1＝1＋i ，z 2＝－2＋i ，z 1－z 2＝3>0，但z 1>z 2无意义，因为虚数无大小概念．3．若z 1，z 2∈R ，z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0，此命题对z 1，z 2∈C 还成立吗？ 提示：不一定成立．比如z 1＝1，z 2＝i 满足z 21＋z 22＝0.但z 1≠0，z 2≠0.[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)复数z ＝(2－i)i 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选A z ＝(2－i)i ＝2i －i 2＝1＋2i故复数z ＝(2－i)i 在复平面内对应的点为(1,2)，位于第一象限． 2．(教材习题改编)复数2＋i 1－2i 的共轭复数是( )A ．iB ．－i C.35i D ．－35i解析：选B ∵2＋i 1－2i ＝ 2＋i 1＋2i 1－2i 1＋2i ＝5i5＝i ，∴其共轭复数为－i.3．(2012·安徽高考)复数z 满足(z －i)i ＝2＋i ，则z ＝( ) A ．－1－i B ．1－i C ．－1＋3iD ．1－2i解析：选B 设z ＝a ＋b i ，则(z －i)i ＝－b ＋1＋a i ＝2＋i ，由复数相等的概念可知，－b ＋1＝2，a ＝1，所以a ＝1，b ＝－1.4．已知a ＋2ii＝b ＋i(a ，b ∈R )其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝________.解析：根据已知可得a ＋2ii＝b ＋i ⇒2－a i ＝b ＋i ⇔⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，－a ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，a ＝－1.从而a ＋b ＝1. 答案：15．设a 是实数，且a 1＋i ＋1＋i2是实数，则a ＝________.解析：a 1＋i ＋1＋i 2＝a －a i 2＋1＋i 2＝ a ＋1 ＋ 1－a i2为实数，故1－a ＝0，即a ＝1. 答案：1[例1] (1)设i 是虚数单位，复数1＋a i 2－i 为纯虚数，则实数a 为( )A ．2B ．－2C ．－12D.12(2)(2012·江西高考)若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共扼复数，则z 2＋z 2的虚部为( )A ．0B ．－1C ．1D ．－2[自主解答] (1)若1＋a i 2－i ＝ 1＋a i 2＋i 2－i 2＋i ＝ 2－a ＋ 2a ＋1 i 5＝2－a5＋2a ＋15i 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＝0，2a ＋1≠0，故a ＝2.(2)∵z 2＋z 2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝0，∴z 2＋z 2的虚部为0. [答案] (1)A (2)A若本例(1)中1＋a i 2－i为实数，则a 为何值？解：若1＋a i 2－i ＝ 1＋a i 2＋i 2－i 2＋i ＝2－a 5＋2a ＋15i 为实数，则2a ＋15＝0，即a ＝－12.——————————————————— 解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋bi (a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．1．(1)已知0＜a ＜2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是( ) A ．(1,5) B ．(1,3) C ．(1, 5)D ．(1, 3)(2)设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的共轭复数为z －＝a －b i ，则z －z －为( ) A ．实数 B ．纯虚数 C ．0D ．零或纯虚数解析：(1)选C 由题意，z ＝a ＋i ，故|z |＝a 2＋1， ∵0＜a ＜2，∴1＜a 2＋1＜5，从而1＜a 2＋1＜5， 即1＜|z |＜ 5.(2)选D ∵z －z －＝(a ＋b i)－(a －b i)＝2b i ， 当b ＝0时，z －z －为0；当b ≠0时，z －z －为纯虚数．[例2] (1)(2012·北京高考)在复平面内，复数10i3＋i 对应的点的坐标为( )A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－1,3)D ．(3，－1)(2)(2012·东营模拟)若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H[自主解答] (1)由10i 3＋i ＝10i 3－i 3＋i 3－i ＝10 1＋3i 10＝1＋3i 得，该复数对应的点为(1,3)．(2)依题意得z ＝3＋i ，z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝ 3＋i 1－i 1＋i 1－i ＝4－2i2＝2－i ，该复数对应的点的坐标是(2，－1)．[答案] (1)A (2)D ———————————————————复数所对应点的坐标的特点(1)实数、纯虚数的对应点分别在实轴和虚轴上； (2)若实部为正且虚部为正，则复数对应点在第一象限； (3)若实部为负且虚部为正，则复数对应点在第二象限； (4)若实部为负且虚部为负，则复数对应点在第三象限； (5)若实部为正且虚部为负，则复数对应点在第四象限；(6)此外，若复数的对应点在某些曲线上，还可写出代数形式的一般表达式．如：若复数z 的对应点在直线x ＝1上，则z ＝1＋b i(b ∈R )；若复数z 的对应点在直线y ＝x 上，则z ＝a ＋a i(a ∈R )，这在利用复数的代数形式解题中能起到简化作用．2．复数z 1＝3＋4i ，z 2＝0，z 3＝c ＋(2c －6)i 在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，若∠BAC 是钝角，求实数c 的取值范围．解：在复平面内三点坐标分别为A (3,4)，B (0,0)，C (c,2c －6)，由∠BAC 是钝角得AB ·AC<0，且A ，B ，C 不共线，由(－3，－4)·(c －3,2c －10)<0，解得c >4911.其中当c ＝9时，AC ＝(6,8)＝－2AB，此时A ，B ，C 三点共线，故c ≠9.所以c 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪c >4911，且c ≠9.[例3] (1)(2012·山东高考)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( )A ．3＋5iB ．3－5iC ．－3＋5iD ．－3－5i(2)(2012·江苏高考)设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i1－2i(i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________．[自主解答] (1)由题意知z ＝11＋7i 2－i ＝ 11＋7i 2＋i 2－i 2＋i ＝15＋25i5＝3＋5i.(2)∵11－7i 1－2i ＝ 11－7i 1＋2i 1－2i 1＋2i ＝25＋15i5＝5＋3i ＝a ＋b i ，∴a ＋b ＝8.[答案] (1)A (2)8在本例(1)中，试求(1＋z )·z 的值． 解：∵z ＝3＋5i ，∴z ＝3－5i∴(1＋z )·z ＝(4＋5i)(3－5i)＝12－20i ＋15i ＋25＝37－5i.———————————————————复数的代数运算技巧复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i 的看作一类，不含i 的看作另一类，分别合并即可，但要注意把i 的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟悉i 的特点及熟练应用运算技巧．3．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i(x ，y ∈R )，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )．设z＝z 1－z 2，且z ＝13－2i ，求z 1，z 2.解：z ＝z 1－z 2＝[(3x ＋y )＋(y －4x )i]－[(4y －2x )－(5x ＋3y )i]＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ，又z ＝13－2i ，故⎩⎪⎨⎪⎧5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.于是，z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i ，z 2＝(－4－2×2)－(5×2－3×1)i＝－8－7i.1个分类——复数的分类 对复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当b ＝0时，z 为实数；当b ≠0时，z 为虚数；当a ＝0，b ≠0时，z 为纯虚数． 2个技巧——复数的运算技巧(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法．(2)在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化．3个结论——复数代数运算中常用的几个结论在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度． (1)(1±i)2＝±2i；1＋i 1－i ＝i ；1－i 1＋i ＝－i ；(2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)； (3)i 4n＝1，i 4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＝0，n ∈N *.创新交汇——复数命题新动向1．复数多以客观题的形式考查复数的概念及运算，也经常将复数的基本概念与基本运算相结合，复数幂的运算与复数除法相结合，复数的基本运算与复数的几何意义相结合，复数与方程相结合，复数与集合相结合等形成交汇命题．2．解决此类问题的关键是把握复数的有关概念，根据复数的运算法则准确进行化简运算．[典例] (2011·陕西高考)设集合M ＝{y |y ＝|cos 2x －sin 2x |，x ∈R }，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx －1i ＜2，i 为虚数单位，x ∈R ，则M ∩N 为( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．[0,1)D ．[0,1][解析] 对于集合M ，函数y ＝|cos2x |，其值域为[0,1]，所以M ＝[0,1]．根据复数模的计算方法得不等式 x 2＋1＜2，即x 2＜1，所以N ＝(－1,1)，则M ∩N ＝[0,1)．正确选项为C.[答案] C [名师点评]1．本题具有以下创新点不同于以往的复数高考题，不是单独考查复数的基本知识，而是和三角函数、不等式、集合相交汇出题，综合性较大，是高考题的一个新动向．2．解决本题的关键有以下几点(1)弄清集合的元素．集合M 为函数的值域，集合N 为不等式的解集，把M 、N 具体化．(2)正确识别⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1i 为复数的模，而非实数的绝对值．[变式训练]1．(2012·上海高考)若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则( )A ．b ＝2，c ＝3B ．b ＝－2，c ＝3C ．b ＝－2，c ＝－1D ．b ＝2，c ＝－1解析：选B 由于1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根，则(1＋2i)2＋b (1＋2i)＋c ＝0，整理得(b ＋c －1)＋(22＋2b )i ＝0，则⎩⎨⎧22＋2b ＝0，b ＋c －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝3.2．已知定义在复数集C 上的函数满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 3x ∈R ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1＋i x ∉R ， 则f (f (1－i))等于________．解析：由已知得f (1－i)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－i 1＋i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2i 2＝|－i|＝1，故f (1)＝1＋13＝2， 即f (f (1－i))＝2.答案：2一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2012·陕西高考)设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 复数a ＋bi ＝a －b i 为纯虚数，则a ＝0，b ≠0；而ab ＝0表示a ＝0或者b＝0，故“ab ＝0”是“复数a ＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．2．(2012·新课标全国卷)下面是关于复数z ＝2－1＋i的四个命题：p 1：|z |＝2, p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为1＋i, p 4：z 的虚部为－1.其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 2，p 4D ．p 3，p 4解析：选C ∵复数z ＝2－1＋i＝－1－i ，∴|z |＝2，z 2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i ，z 的共轭复数为－1＋i ，z 的虚部为－1，综上可知p 2，p 4是真命题．3．已知f (x )＝x 2，i 是虚数单位，则在复平面中复数f 1＋i3＋i对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A f (1＋i)＝(1＋i)2＝2i ，则f 1＋i3＋i＝2i 3＋i ＝2＋6i 10＝15＋35i ，故对应点在第一象限．4．(2013·临汾模拟)复数z ＝i(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－iD ．1＋i解析：选A ∵z ＝i(i ＋1)＝－1＋i ，∴z 的共轭复数是－1－i.5．若(x －i)i ＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i ＝( ) A ．－2＋i B ．2＋i C ．1－2iD ．1＋2i解析：选B 由(x －i)i ＝y ＋2i 得x i ＋1＝y ＋2i. ∵x ，y ∈R ，∴x ＝2，y ＝1，故x ＋y i ＝2＋i. 6．若复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则1z ＋a的虚部为( ) A ．－25B ．－25iC.25D.25i 解析：选A 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，所以a ＝1，所以1z ＋a ＝11＋2i＝1－2i 1＋2i 1－2i ＝15－25i ，根据虚部的概念，可得1z ＋a 的虚部为－25.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．(2012·湖北高考)若3＋b i1－i ＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________.解析：由3＋b i 1－i ＝ 3＋b i 1＋i 1－i 1＋i ＝3－b ＋ 3＋b i 2＝a ＋b i ，得a ＝3－b 2，b ＝3＋b2，解得b ＝3，a ＝0，所以a ＋b ＝3.答案：38．i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7＝________.解析：1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7＝－i ＋i －i ＋i ＝0.答案：09．已知复数x 2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内对应的点在第三象限，则实数x 的取值范围是________．解析：∵x 为实数，∴x 2－6x ＋5和x －2都是实数．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋5＜0，x －2＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧1＜x ＜5，x ＜2，即1＜x ＜2.故x 的取值范围是(1,2)． 答案：(1,2)三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．计算：(1) －1＋i 2＋ii 3； (2) 1＋2i 2＋3 1－i 2＋i ；(3)1－i 1＋i 2＋1＋i 1－i 2； (4)1－3i 3＋i2. 解：(1) －1＋i 2＋i i 3＝－3＋i－i＝－1－3i. (2) 1＋2i 2＋3 1－i 2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i 2＋i ＝i 2－i 5＝15＋25i.(3)1－i 1＋i 2＋1＋i 1－i 2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i2＝－1. (4)1－3i 3＋i 2＝ 3＋i －i 3＋i 2＝－i3＋i＝ －i 3－i4＝－14－34i.11．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i (1)与复数2－12i 相等；(2)与复数12＋16i 互为共轭复数； (3)对应的点在x 轴上方． 解：(1)根据复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋5m ＋6＝2，m 2－2m －15＝－12.解之得m ＝－1.(2)根据共轭复数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝12，m 2－2m －15＝－16. 解之得m ＝1.(3)根据复数z 对应点在x 轴上方可得m 2－2m －15＞0， 解之得m ＜－3或m ＞5. 12．复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，若z －1＋z 2是实数，求实数a 的值．解：z －1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a＋(2a －5)i＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i＝a －13 a ＋5 a －1＋(a 2＋2a －15)i.∵z －1＋z 2是实数，∴a 2＋2a －15＝0.解得a ＝－5或a ＝3. ∵分母a ＋5≠0，∴a ≠－5，故a ＝3.1．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．－1或1解析：选A 由复数的概念，若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则x 2－1＝0，且x －1≠0，解得x ＝－1.2．复数z ＝32－a i ，a ∈R ，且z 2＝12－32i ，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C.12 D.14解析：选C z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－a i 2＝34－a 2－3a i ， 又z 2＝12－32i ，⎩⎪⎨⎪⎧34－a 2＝12，－32＝－3a ，得a ＝12.3．把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位．若z ＝1＋i ，则(1＋z )·z 等于( )A ．3－iB ．3＋iC ．1＋3iD ．3解析：选A (1＋z )·z ＝(1＋1＋i)(1－i)＝3－i.4．设平行四边形ABCD 在复平面内，A 为原点，B 、D 两点对应的复数分别是3＋2i 和2－4i ，则点C 对应的复数是________．解析：设AC 与BD 的交点为E ，则E 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－1，设点C 坐标为(x ，y )，则x ＝5，y ＝－2，故点C 对应复数为5－2i.答案：5－2i平面向量中的三角形“四心”问题在三角形中，“四心”是一组特殊的点，它们的向量表达形式具有许多重要的性质，在近年高考试题中，总会出现一些新颖别致的问题，不仅考查了向量等知识点，而且培养了考生分析问题、解决问题的能力．现就“四心”作如下介绍：1．“四心”的概念与性质(1)重心：三角形三条中线的交点叫重心．它到三角形顶点距离与该点到对边中点距离之比为2∶1.在向量表达形式中，设点G 是△ABC 所在平面内的一点，则当点G 是△ABC 的重心时，有GA ＋GB ＋GC ＝0或PG ＝13(PA ＋PB ＋PC)(其中P 为平面内任意一点)．反之，若GA ＋GB ＋GC＝0，则点G 是△ABC 的重心．在向量的坐标表示中，若G ，A ，B ，C 分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为G (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则有x ＝x 1＋x 2＋x 33，y ＝y 1＋y 2＋y 33.(2)垂心：三角形三条高线的交点叫垂心．它与顶点的连线垂直于对边．在向量表达形式中，若H 是△ABC 的垂心，则HA ·HB ＝HB ·HC ＝HC ·HA 或HA 2＋BC 2＝HB 2＋CA 2＝HC 2＋AB 2.反之，若HA ·HB ＝HB ·HC ＝HC ·HA，则H 是△ABC 的垂心．(3)内心：三角形三条内角平分线的交点叫内心．内心就是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等．在向量表达形式中，若点I 是△ABC 的内心，则有|BC |·IA＋|CA |·IB ＋|AB |·IC ＝0.反之，若|BC |·IA ＋|CA |·IB ＋|AB|·IC ＝0，则点I 是△ABC 的内心．(4)外心：三角形三条边的中垂线的交点叫外心．外心就是三角形外接圆的圆心，它到三角形的三个顶点的距离相等．在向量表达形式中，若点O 是△ABC 的外心，则(OA＋OB )·BA＝(OB ＋OC )·CB ＝(OC ＋OA )·AC ＝0或|OA |＝|OB |＝|OC |.反之，若|OA |＝|OB |＝|OC|，则点O 是△ABC 的外心．2．关于“四心”的典型例题[例1] 已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP ＝OA ＋λ(AB ＋AC)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________心．[解析] 由原等式，得OP －OA ＝λ(AB ＋AC )，即AP ＝λ(AB ＋AC)，根据平行四边形法则，知AB ＋AC是△ABC 的中线所对应向量的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．[答案] 重[点评] 探求动点轨迹经过某点，只要确定其轨迹与三角形中的哪些特殊线段所在直线重合，这可从已知等式出发，利用向量的线性运算法则进行运算得之．[例2] 已知△ABC 内一点O 满足关系OA ＋2OB ＋3OC＝0，试求S △BOC ∶S △COA ∶S △AOB之值．[解] 延长OB 至B1，使BB 1＝OB ，延长OC 至C 1，使CC 1＝2OC ，连接AB 1，AC 1，B 1C 1，如图所示，则1OB ＝2OB ，1OC ＝3OC ，由条件，得OA ＋1OB ＋1OC ＝0，所以点O 是△AB 1C 1的重心．从而S △B 1OC 1＝S △C 1OA ＝S △AOB 1＝13S ，其中S 表示△AB 1C 1的面积，所以S △COA ＝19S ，S △AOB ＝16S ，S △BOC ＝12S △B 1OC ＝12×13S △B 1OC 1＝118S .于是S △BO C ∶S △COA ∶S △AOB ＝118∶19∶16＝1∶2∶3.[点评] 本题条件OA ＋2OB ＋3OC ＝0与三角形的重心性质GA ＋GB ＋GC＝0十分类似，因此我们通过添加辅助线，构造一个三角形，使点O 成为辅助三角形的重心，而三角形的重心与顶点的连线将三角形的面积三等分，从而可求三部分的面积比．[引申推广] 已知△ABC 内一点O 满足关系λ1OA ＋λ2OB ＋λ3OC＝0，则S △BOC ∶S△COA∶S △AOB ＝λ1∶λ2∶λ3.[例3] 求证：△ABC 的垂心H 、重心G 、外心O 三点共线，且|HG |＝2|GO |.[证明] 对于△ABC 的重心G ，易知OG ＝OA ＋OB ＋OC2，对于△ABC 的垂心H ，设OH ＝m (OA ＋OB ＋OC)，则AH ＝AO＋m (OA ＋OB ＋OC )＝(m －1) OA ＋m OB ＋m OC .由AH ·BC＝0，得[(m －1) OA ＋m OB ＋m OC ](OC －OB )＝0，(m －1) OA ·(OC －OB )＋m (OC 2－OB 2)＝0，因为|OC |＝|OB |，所以(m －1) OA ·(OC －OB )＝0.但OA 与BC不一定垂直，所以只有当m ＝1时，上式恒成立．所以OH ＝OA ＋OB ＋OC ，从而OG ＝13OH，得垂心H 、重心G 、外心O三点共线，且|HG |＝2|GO|.[引申推广]重心G 与垂心H 的关系：HG ＝13(HA ＋HB ＋HC)．[点评] 这是著名的欧拉线，提示了三角形的“四心”之间的关系．我们选择恰当的基底向量来表示它们，当然最佳的向量是含顶点A 、B 、C 的向量．[例4] 设A 1，A 2，A 3，A 4，A 5 是平面内给定的5个不同点，则使1MA ＋2MA ＋3MA ＋4MA ＋5MA＝0成立的点M 的个数为( )A ．0B ．1C ．5D ．10[解析] 根据三角形中的“四心”知识，可知在△ABC 中满足MA ＋MB ＋MC＝0的点只有重心一点，利用类比的数学思想，可知满足本题条件的点也只有1个．[答案] B[点评] 本题以向量为载体，考查了类比与化归，归纳与猜想等数学思想．本题的详细解答过程如下：对于空间两点A ，B 来说，满足MA ＋MB＝0的点M 是线段AB 的中点；对于空间三点A ，B ，C 来说，满足MA ＋MB ＋MC＝0，可认为是先取AB 的中点G ，再连接CG ，在CG 上取点M ，使MC ＝2MG ，则M 满足条件，且唯一；对于空间四点A ，B ，C ，D 来说，满足MA ＋MB ＋MC ＋MD＝0，可先取△ABC 的重心G ，再连接GD ，在GD 上取点M ，使DM ＝3MG ，则M 满足条件，且唯一，不妨也称为重心G ；与此类似，对于空间五点A ，B ，C ，D ，E 来说，满足MA ＋MB ＋MC ＋MD ＋ME＝0，可先取空间四边形ABCD 的重心G ，再连接GE ，在GE 上取点M ，使EM ＝4MG ，则M 满足条件，且唯一．。