山西省17学年高一数学下学期期中试卷(含解析)

2016-2017学年山西高一（下）期中数学试卷一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求） 1．下列说法正确的是（ ） A ．第二象限的角比第一象限的角大B ．若sin α=，则α=C ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角D ．不论用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形所对应的半径的大小无关2．已知点P 为角β的终边上的一点，且sin β=，则y 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．±23．下列函数中，周期为π，且在[]上为减函数的是（ ）A ．y=sin （x+）B ．y=cos （x+） C ．y=cos （2x+） D ．y=sin （2x+）4．已知sin α+cos α=2，则tan α=（ ）A ．B ．C ．D ．5．tan12°+tan18°+tan12°•tan18°的值是（ ）A ．B ．C ．0D ．16．已知为平面内两个不共线向量，，若M 、N 、P 三点共线， 则λ=（ ）A ．﹣9B ．﹣4C ．4D ．97．函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，其 中A ，B 两点之间的距离为5，则f （x ）的递增区间是（ ）A．（k∈z） B．（k∈z） C．（k∈z） D．（k∈z）8．设=（4，3），在上的投影为4，在x轴上的投影为2，则为（）A．（2，14）B．C．（2，4） D．9．在（0，2π）内使sin x＞|cos x|的x的取值范围是（）A．（，）B．（，]∪（，]C．（，） D．（，）10．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到g （x）的图象．若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈，则2x1﹣x2的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．设，，且，则锐角α为．12．已知，则cos（30°﹣2α）的值为．13．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则|+3|的最小值为．14．给出下列命题：①函数是偶函数；②函数在闭区间上是增函数；③直线是函数图象的一条对称轴；④将函数的图象向左平移单位，得到函数y=cos2x的图象；其中正确的命题的序号是：．三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（8分）已知||=，||=2，向量与的夹角为150°．（1）求：|﹣2|；（2）若（+3λ）⊥（+λ），求实数λ的值．16．（8分）已知，则的值为．17．（8分）已知向量=（sinx，1），=（1，cosx），x∈R，设f（x）=（1）求函数f（x）的对称轴方程；（2）若f（θ+）=，θ∈（0，），求f（θ﹣）的值．18．（10分）已知，（Ⅰ）求tanx的值；（Ⅱ）求的值．19．（10分）已知函数f（x）=2sin2x．将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．（1）求g（x）的单调增区间；（2）已知区间（m，n∈R且m＜n）满足：y=g（x）在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求n﹣m的最小值．2016-2017学年山西大学附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求）1．下列说法正确的是（）A．第二象限的角比第一象限的角大B．若sinα=，则α=C．三角形的内角是第一象限角或第二象限角D．不论用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形所对应的半径的大小无关【考点】G3：象限角、轴线角．【分析】通过给变量取特殊值，举反例，可以排除4个选项中的3个选项，只剩下一个选项，即为所选．【解答】解：排除法可解．第一象限角370°不小于第二象限角100°，故A错误；当sinα=时，也可能α=π，所以B错误；当三角形内角为时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故C错误．故选D．【点评】通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．2．已知点P为角β的终边上的一点，且sinβ=，则y的值为（）A．B．C．D．±2【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】求出|OP|利用任意角的三角函数的定义，求出sinβ，进而结合已知条件求出y的值．【解答】解：由题意可得：，所以，所以y=±，又因为，所以y＞0，所以所以y=．故选B．【点评】本题是基础题，考查任意角的三角函数的定义，常考题型．3．下列函数中，周期为π，且在[]上为减函数的是（）A．y=sin（x+）B．y=cos（x+）C．y=cos（2x+）D．y=sin（2x+）【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】利用函数的周期公式，求出A、B、C、D的周期，排除选项后，利用函数的单调性判断出满足题意的选项．【解答】解：对于A，y=cosx，周期为2π，不符合；对于B，y=﹣sinx，周期为2π，不符合；对于C，y=﹣sin2x，周期为π，在[]上为增函数；对于D，y=cos2x，周期为π，在[]上为减函数，故选D．【点评】本题是基础题，考查三角函数的诱导公式的应用，函数的周期性单调性，考查计算能力．4．已知sinα+cosα=2，则tanα=（）A．B．C．D．【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得α=2kπ+，k∈Z，从而求得tanα的值．【解答】解：∵sinα+cosα=2，∴2sin（α+）=2，∴sin（α+）=1，∴cos（α+）=0，∴α+=2kπ+，k∈Z，即α=2kπ+，则tanα=，故选：D．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，求得α=2kπ+，是解题的关键，属于基础题．5．tan12°+tan18°+tan12°•tan18°的值是（）A．B．C．0 D．1【考点】GR：两角和与差的正切函数．【分析】观察发现：12°+18°=30°，故利用两角和的正切函数公式表示出tan（12°+18°），利用特殊角的三角函数值化简，变形后即可得到所求式子的值．【解答】解：由tan30°=tan（12°+18°）==，得到tan12°+tan18°=1﹣tan12°•tan18°则tan12°+tan18°+tan12°•tan18°=1．故选：D．【点评】此题考查了两角和与差得正切函数公式，以及特殊角的三角函数值．观察所求式子中的角度的和为45°，联想到利用45°角的正切函数公式是解本题的关键．6．已知为平面内两个不共线向量，，若M、N、P三点共线，则λ=（）A．﹣9 B．﹣4 C．4 D．9【考点】96：平行向量与共线向量；I6：三点共线．【分析】利用向量共线定理、共面向量基本定理即可得出．【解答】解：∵M、N、P三点共线，∴存在实数k使得=k，∴=k，又为平面内两个不共线向量，可得2=kλ，﹣3=6k，解得λ=﹣4．故选：B．【点评】本题考查了向量共线定理、共面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f（x）的递增区间是（）A．（k∈z） B．（k∈z） C．（k∈z） D．（k∈z）【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；HM：复合三角函数的单调性．【分析】由图象可求函数f（x）的周期，从而可求得ω，继而可求得φ，利用正弦函数的单调性即可求得f（x）的递增区间．【解答】解：|AB|=5，|y A﹣y B|=4，所以|x A﹣x B|=3，即=3，所以T==6，ω=；∵f（x）=2sin（x+φ）过点（2，﹣2），即2sin（+φ）=﹣2，∴sin（+φ）=﹣1，∵0≤φ≤π，∴+φ=，解得φ=，函数为f（x）=2sin（x+），由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，得6k﹣4≤x≤6k﹣1，故函数单调递增区间为（k∈Z）．故选B【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查复合三角函数的单调性，属于中档题．8．设=（4，3），在上的投影为4，在x轴上的投影为2，则为（）A．（2，14）B．C．（2，4） D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】设=（x，y），代入投影公式列方程组解出．【解答】解：||=5，∴在上的投影为||•==4，∴=20，设x轴的方向向量为=（1，0），则在x轴上的投影||•==2，设=（x，y），则，解得．故选C．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．9．在（0，2π）内使sin x＞|cos x|的x的取值范围是（）A．（，）B．（，]∪（，]C．（，）D．（，）【考点】GA：三角函数线．【分析】由题意可得sinx＞0，讨论当x=时，当0＜x＜时，当＜x＜π时，运用同角的商数关系，结合正切韩寒说的图象，即可得到所求范围．【解答】解：由sin x＞|cos x|≥0，可得sinx＞0，再由x∈（0，2π），可得x∈（0，π），当x=时，sinx=1，cosx=0，显然成立；当0＜x＜时，由sinx＞cosx，即tanx＞1，可得＜x＜；当＜x＜π时，sinx＞﹣cosx，即有＞1，则tanx＜﹣1，解得＜x＜，综上可得x∈（，）．故选：A．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，主要考查正切函数的图象，以及分类讨论思想方法，属于中档题．10．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到g（x）的图象．若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈，则2x1﹣x2的最大值为（）A．B．C．D．【考点】3H：函数的最值及其几何意义；3O：函数的图象．【分析】由已知可得g（x）=+1，若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈，则g（x1）=g（x2）=3，则，结合x1，x2∈，可得答案．【解答】解：函数的图象向左平移个单位，可得y=的图象，再向上平移1个单位，得到g（x）=+1的图象．若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈，则g（x1）=g（x2）=3，则，即，由x1，x2∈，得：x1，x2∈{﹣，﹣，， }，当x1=，x2=﹣时，2x1﹣x2取最大值，故选：A【点评】本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，函数图象的变换，三角函数的图象和性质，难度中档．二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．设，，且，则锐角α为45°．【考点】96：平行向量与共线向量．【分析】直接利用向量共线的充要条件求解即可．【解答】解：设，，且，所以：sinαcosα=，sin2α=1．则锐角α为45°．故答案为：45°．【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，基本知识的考查．12．已知，则cos（30°﹣2α）的值为．【考点】GT：二倍角的余弦；GP：两角和与差的余弦函数．【分析】利用诱导公式求得sin（15°﹣α）=，再利用二倍角的余弦公式可得cos（30°﹣2α）=1﹣2sin2（15°﹣α），运算求得结果．【解答】解：∵已知，∴sin（15°﹣α）=，则cos（30°﹣2α）=1﹣2sin2（15°﹣α）=，故答案为．【点评】本题主要考查诱导公式，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．13．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则|+3|的最小值为 5 ．【考点】93：向量的模．【分析】根据题意，利用解析法求解，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0），设P（0，b）（0≤b≤a），求出，根据向量模的计算公式，即可求得，利用完全平方式非负，即可求得其最小值．【解答】解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）设P（0，b）（0≤b≤a）则=（2，﹣b），=（1，a﹣b），∴=（5，3a﹣4b）∴=≥5．故答案为5．【点评】此题是个基础题．考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．14．给出下列命题：①函数是偶函数；②函数在闭区间上是增函数；③直线是函数图象的一条对称轴；④将函数的图象向左平移单位，得到函数y=cos2x的图象；其中正确的命题的序号是： ①③ ．【考点】HJ ：函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换；H3：正弦函数的奇偶性；H5：正弦函数的单调性；H6：正弦函数的对称性．【分析】利用诱导公式化简①，然后判断奇偶性；求出函数的增区间，判断②的正误；直线代入函数是否取得最值，判断③的正误；利用平移求出解析式判断④的正误即可．【解答】解：①函数=cos2x ，它是偶函数，正确；②函数的单调增区间是，k ∈Z ，在闭区间上是增函数，不正确；③直线代入函数=﹣1，所以图象的一条对称轴，正确；④将函数的图象向左平移单位，得到函数y=cos（2x+）的图象，所以④不正确．故答案为：①③【点评】本题是基础题，考查函数的性质的综合应用，奇偶性、单调性、对称轴、图象的平移，掌握基本函数的基本性质，才能有效的解决问题．三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知||=，||=2，向量与的夹角为150°．（1）求：|﹣2|；（2）若（+3λ）⊥（+λ），求实数λ的值．【考点】9R ：平面向量数量积的运算．【分析】（1）根据平面向量数量积的定义和模长公式，计算即可；（2）根据两向量垂直，数量积为0，列出方程求出λ的值．【解答】解：（1）||=，||=2，向量与的夹角为150°，∴•=||×||×cos150°=×2×（﹣）=﹣3，∴=﹣4•+4=3﹣4×（﹣3）+4×4=31；∴|﹣2|=；（2）∵（+3λ）⊥（+λ），∴（+3）•（+λ）=0，即+4λ•+3λ2=0，即3﹣12λ+12λ2=0，解得λ=．【点评】本题考查了平面向量的数量积与应用问题，是基础题目．16．已知，则的值为．【考点】GR：两角和与差的正切函数．【分析】由=（α+β）﹣（），两边分别利用两角和与差的正切函数公式化简，把已知的tan（α+β）及tan（）的值代入，可求出tan的值，即为tan（）=的值，最后把所求式子的分子分母同时除以cosα，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将整体代入即可求出值．【解答】解：∵，∴tan（）=tan而tan（）═，tan= =，即=，则==．故答案为：【点评】此题考查了两角和与差的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式，灵活变换角度是解本题的关键．17．已知向量=（sinx，1），=（1，cosx），x∈R，设f（x）=（1）求函数f（x）的对称轴方程；（2）若f（θ+）=，θ∈（0，），求f（θ﹣）的值．【考点】9R：平面向量数量积的运算；H6：正弦函数的对称性．【分析】（1）运用向量的数量积的坐标表示，结合正弦函数的对称轴方程，即可得到所求；（2）运用诱导公式和同角三角函数的平方关系，计算即可得到所求值．【解答】解：（1）向量=（sinx，1），=（1，cosx），x∈R，设f（x）==sinx+cosx=sin（x+），由x+=kπ+，k∈Z，可得x=kπ+，k∈Z，即有函数f（x）的对称轴方程为x=kπ+，k∈Z；（2）f（θ+）=，θ∈（0，），可得sin（θ++）=，即有cosθ=，sinθ==，f（θ﹣）=sin（θ﹣+）=sinθ=．【点评】本题考查向量的数量积的坐标表示和三角形函数的恒等变换，以及正弦函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题．18．（10分）（2015•惠州模拟）已知，（Ⅰ）求tanx的值；（Ⅱ）求的值．【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用；GU：二倍角的正切．【分析】（1）由可直接求出tan，再由二倍角公式可得tanx的值．（2）先对所求式子进行化简，再同时除以cosx得到关于tanx的关系式得到答案．【解答】解：（1）由，，∴．（2）原式==，由（1）知cosx﹣sinx≠0，所以上式==cotx+1==．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系．这里二倍角公式是考查的重要对象．19．（10分）（2017春•小店区校级期中）已知函数f（x）=2sin2x．将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．（1）求g（x）的单调增区间；（2）已知区间（m，n∈R且m＜n）满足：y=g（x）在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求n﹣m的最小值．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得g（x）的单调增区间．（2）利用正弦函数的零点和周期性，求得n﹣m的最小值．【解答】解：（1）把函数f（x）=2sin2x 的图象向左平移个单位，可得y=2sin（2x+）的图象；再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）=2sin（2x+）+1的图象．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得g （x）的单调增区间为，k∈Z．（2）令g（x）=2sin（2x+）+1=0，求得sin（2x+）=﹣，∴2x+=2kπ﹣，或2x+=2kπ﹣，即x=kπ﹣，或 x=kπ﹣，k∈Z．故函数g（x）在一个周期上有两个零点．根据y=g（x）在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，当n﹣m的最小值时，可取m=﹣，n=14π﹣，此时，n﹣m=14π+=．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性、零点和周期性，属于中档题．。