2018年浙江中考数学复习第4单元《三角形》知识点考点小结课件
中考数学总复习第四单元三角形第18课时三角形的基础知识课件
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
[答案] B [解析] 设三个内角分别为 x,2x,3x,由三 角形内角和为 180°,得 180°=x+2x+3x,
解得 x=30°,则 3x=9c0°,所以这个三角形
是直角三角形.
高频考向探究
2.如图 18-2,在△ABC 中,AB=AC,∠A=30°,E 为 BC 延长线上一点,∠ABC 与∠ACE 的平分线相交于点 D,则∠D 等于 ( A )
B.用计算器可求出3 17tan38°15'≈
2.5713×0.7883≈2.03.
高频考向探究
探究三 与三角形三线有关的性质的应用
例 3 如图 18-4,在△ABC 中,∠B=50°,∠C=70°,则∠BAC 的平分线 AD 和 BC 边上的高 AE 的夹角等于 10° .
图 18-4
高频考向探究
∴2∠BOC+2∠OBC=∠ABC+∠A,∴2∠ BOC=∠A,即∠BOC=1∠A.当∠A=50°时,
2
∠BOC=25°.
高频考向探究
例 2 在△ABC 中,∠A=50°.
图 18-1
(3)如图 18-1③,当 BO 和 CO 分别是外角∠CBE 和外角∠BCF 的平分线
时,∠BOC=
.
通过上面的解答,写出三种情况下,∠BOC 和∠A 的一般关系式:
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。 • 三、课后“静思2分钟”大有学问 • 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的 课后复习30分钟。
中考数学 第四单元 三角形 第19课时 直角三角形课件浙教级数学课件
【方法模型】
勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)的作用:(1)已知直角三角形的两边长求第三边长;(2)已知直角三角形的一边长求另两边的
关系;(3)用于证明平方关系的问题.
第十七页，共二十九页。
高频考向探究
[2018·枣庄] 如图 19-6,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为 D,AF 平分∠CAB,交 CD 于点 E,交 CB
内容(nèiróng)总结
单元思维导图。第 19 课时 直角三角形。c。1. [2018·舟山] 用反证法证明时,假设结论“点在圆
外”不成立,那么点与圆的位置关系只能是 (
)。2. [2018·无锡] 命题(mìng tí)“四边相等的四边形是
菱形”的逆命题(mìng tí)是
.。真命题(mìng tí)需证明,证明步骤:一画(按题意画出图
单元思维导图
第一页，共二十九页。
UNIT FOUR
第四单元(dānyuán)
第 19 课时(kèshí)
直角三角形
第二页，共二十九页。
三角形
课前双基巩固
考点(kǎo diǎn)一
直角三角形
1.在一个直角三角形中,有一个锐角等于 60°,则另一个锐角的度数是
A.120°
B.90°
C.60°
D.30°
例3 [2018·怀化(huái huà)] 下列命题是真命题的是
A
(
)
A.两直线平行,同位角相等
B.相似三角形的面积比等于相似比
C.菱形的对角线相等
D.相等的两个角是对顶角
第二十页，共二十九页。
高频考向探究
针对训练
1. [2017·无锡] 对于命题“若a2>b2,则a>b”,下面四组关于a,b的值中,能说明(shuōmíng)这个命题是假命题的是(
浙江省2018年中考数学总复习 第四章 基本图形(一)第19讲 特殊三角形 第2课时 直角三角形讲解篇
第2课时直角三角形直角三角形考试内容考试要求概念有一个角是的三角形叫做直角三角形． a性质如图，在△ABC中，∠C＝90°.1．边与边的关系(勾股定理)：a2＋b2＝；2．角与角的关系：∠A＋∠B＝；3．边与角的关系：①若∠A＝30°，则a＝12c，b＝32c；②若a＝12c，则∠A＝30°；③若∠A＝45°，则a＝b＝22c；④若a＝22c，则∠A＝45°；4．斜边上的中线m＝12c＝R(其中R为三角形外接圆的半径)．c 判定1.有一个角是或两个锐角的三角形是直角三角形．2．如果三角形一边上的中线等于这条边的，那么这个三角形为直角三角形．3．勾股定理的逆定理：如果三角形的两边的等于第三边的，那么这个三角形是直角三角形．拓展 1.S Rt△ABC＝12ch＝12ab，其中a、b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高；2．Rt△ABC内切圆半径r＝a＋b－c2；外接圆半径R＝c2，即等于斜边的一半．考试内容考试要求基本方法面积法：用面积法证题是常用的方法之一，使用这种方法时一般是利用某个图形的多种面积求法或面积之间的和差关系列出等式，从而得到要证明的结论．如ch＝ab，其中a、b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高；c1．(2017·绍兴)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为( )A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米2．(2017·温州)四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH.已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM＝22EF，则正方形ABCD的面积为( )A．12S B．10S C．9S D．8S第2题图3．(2016·柳州模拟)如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行( )第3题图A．8米B．10米C．12米D．14米4．(2016·大连模拟)如图，△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连结DE，则△CDE的周长为( )A．10 B．11 C．12 D．135．(2016·安顺模拟)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝7，则sin B ＝.【问题】如图，点D是Rt△ABC斜边的中点．(1)你能从图中得到哪些信息？(2)若∠A＝40°，则∠DBC＝°；(3)若BD＝5，AB＝8，则BC＝.【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理直角三角形有关知识．类型一直角三角形的性质与判定例1(1)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，①若∠A＝46°，则∠B的度数为________；②若∠A＝3∠B，则∠B＝________；③若∠B＝30°，D为线段AB的中点，CD＝6，则∠ACD＝________；AB＝________；BC ＝________．(2)如图，已知∠AOD＝30°，点C是射线OD上的一个动点．在点C的运动过程中，△AOC恰好是直角三角形，则此时∠A所有可能的度数为________．【解后感悟】根据直角三角形的性质、以及斜边上中线性质、含30°角的直角三角形性质是解此题的关键，解题时注意分类讨论的运用．1．(1)(2016·黑龙江模拟)已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，3，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有( )A．②B．①②C．①③D．②③(2)(2016·牡丹江模拟)如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B 点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于( )A．25°B．30°C．45°D．60°2．(1)(2017·丽水模拟)如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E为垂足，连结CD，若BD＝1，则AC的长是____________________．第(1)题图第(2)题图第(3)题图(2)(2017·衢州模拟)如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于.(3)(2015·福州)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，将△ABC绕点C 逆时针旋转60°，得到△MNC，连结BM，则BM的长是.类型二直角三角形的分类讨论例2(2016·大连模拟)如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为.【解后感悟】本题主要考查了勾股定理，含30°直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，分类讨论，数形结合是解答此题的关键．3．(2016·山西模拟)如图，在直角坐标系中，抛物线y＝x2－x－2过A、B、C三点，在对称轴上存在点P，以P、A、C为顶点的三角形为直角三角形．则点P的坐标是.4．(2016·安定模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝12厘米，点P从点A 出发，沿AB边以1厘米/秒的速度向点B匀速移动；点Q从点B出发，沿BC边以2厘米/秒的速度向点C匀速移动．如果P、Q同时出发，当Q点到达C点时，P点随之停止运动．用t(秒)表示移动的时间(0≤t≤6)．(1)当PQ∥AC时，求t的值；(2)当t为何值时，P、B、Q三点构成直角三角形．类型三勾股定理的应用例3(2016·孝感)如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周脾算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的13倍，那么tan∠ADE的值为________．【解后感悟】此题中没有具体的数，故先设未知数，根据正方形以及直角三角形的面积公式求得直角三角形的三边，进一步运用锐角三角函数的定义求解．5．(1)下列长度的三条线段不能组成直角三角形的是( )A．7，24，25 B．4，5，6 C．5，12，13 D．2，1.5，2.5(2)(2016·株洲)如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1＋S2＝S3图形个数有( ) A．1 B．2 C．3 D．4(3)如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为( )A．600m B．500m C．400m D．300m(4)如图，四个全等的直角三角形纸片既可以拼成(内角不是直角)的菱形ABCD，也可以拼成正方形EFGH，则菱形ABCD面积和正方形EFGH面积之比为____________________．类型四直角三角形的探究问题例4(2016·桂林模拟)如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D在AC 上，点E在BC上，且CD＝CE，连结DE.(1)线段BE与AD的数量关系是________，位置关系是________．(2)如图2，当△CDE绕点C顺时针旋转一定角度α后，(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．(3)绕点C继续顺时针旋转△CDE，当90°<α<180°时，延长DC交AB于点F，请在图3中补全图形，并求出当AF＝1＋33时，旋转角α的度数．【解后感悟】本题主要考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，通过添加适当的辅助线，从而能用(1)(2)中积累的经验去解决第(3)题．它是中考的热点题型．6．(1)(2016·锦州模拟)如图，两块完全相同的含30°角的直角三角板ABC和A′B′C′重合在一起，将三角板A′B′C′绕其顶点C′按逆时针方向旋转角α(0°<α≤90°)，有以下四个结论：①当α＝30°时，A ′C 与AB 的交点恰好为AB 的中点；②当α＝60°时，A ′B ′恰好经过点B ；③在旋转过程中，存在某一时刻，使得AA′＝BB′；④在旋转过程中，始终存在AA′⊥BB′. 其中结论正确的序号是 .(2) (2015·宿迁)如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(0，4)，直线y ＝34x －3与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，点M 是直线AB 上的一个动点，则PM 长的最小值为 .类型五 直角三角形的综合运用例5 (2016·吉林)如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90°，AC ＝82cm ，AD ⊥BC 于点D ，点P 从点A 出发，沿A→C 方向以2cm /s 的速度运动到点C 停止，在运动过程中，过点P 作PQ∥AB 交BC 于点Q ，以线段PQ 为边作等腰直角三角形PQM ，且∠PQM＝90°(点M ，C 位于PQ 异侧)．设点P 的运动时间为x(s )，△PQM 与△ADC 重叠部分的面积为y(cm 2)．(1)当点M 落在AB 上时，x ＝________；(2)当点M 落在AD 上时，x ＝________；(3)求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．【解后感悟】本题考查等腰直角三角形的性质、分段函数、三角形面积等知识，解题的关键是正确画出图象，学会分类讨论．7．(1)(2016·陕西)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6.若DE是△ABC 的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为( )A．7 B．8 C．9 D．10(2)(2016·淄博)如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，连结GH，则线段GH的长为( )A.835B．2 2 C.145D．10－5 2(3)(2016·邵阳模拟)如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1＝90°，OA＝1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…则OA2016的长度为.【课本改变题】教材母题－－浙教版八上第87页，目标与评定第28题．小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题进行了认真的探索．【思考题】如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？(1)请你将小明对“思考题”的解答补充完整：解：设点B将向外移动x米，即BB1＝x，则B1C＝x＋0.7，A1C＝AC－AA1＝ 2.52－0.72－0.4＝2.而A1B1＝2.5，在Rt△A1B1C中，由B1C2＋A1C2＝A1B21得方程，解方程得x1＝，x2＝，∴点B将向外移动米．(2)解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：【问题一】在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等吗？为什么？请你解答小聪提出的这两个问题．【方法与对策】这题是探究性问题，通过课本中作业完成后，进行引申，用方程的思想继续分析、探究，解决提出的猜想．导向性：一方面要求同学们作业之后要反思，另一方面要求老师进行变式教学，这是中考热点题型．【忽视直角三角形中直角边不明确】(2016·包头模拟)已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为________．参考答案第2课时直角三角形【考点概要】直角c290°直角互余一半平方和平方【考题体验】1．C 2.C 3.B 4.B 5.7 13【知识引擎】【解析】(1)如：AB2＋BC2＝AC2，BD＝12AC，∠A＝∠ABD等；(2)50；(3)6.【例题精析】例1(1)①44°②22.5°③60°12 6 3 (2)60°或90°例2当∠ABP＝90°时(如图1)，∵∠AOC＝∠BOP＝60°，∴∠BPO＝30°，∴BP＝OBtan30°＝233＝23，在直角三角形ABP中，AP＝（23）2＋42＝27.当∠APB＝90°时，分两种情况讨论：情况一，如图2，∵AO＝BO，∴PO＝BO，∵∠AOC＝60°，∴∠BOP＝60°，∴△BOP为等边三角形，∵AB＝BC＝4，∴AP＝AB·sin60°＝4×32＝23；情况二：如图3，∵AO＝BO，∠APB＝90°，∴PO＝AO，∵∠AOC＝60°，∴△AOP为等边三角形，∴AP＝AO＝2，故答案为：23或27或2.例3设小正方形EFGH面积是a2，则大正方形ABCD的面积是13a2，∴小正方形EFGH 边长是a，则大正方形ABCD的面积是13a，∵图中的四个直角三角形是全等的，∴AE＝DH，设AE＝DH＝x，在Rt△AED中，AD2＝AE2＋DE2，即13a2＝x2＋(x＋a)2，解得：x1＝2a，x2＝－3a(舍去)，∴AE＝2a，DE＝3a，∴tan∠ADE＝AEDE＝2a3a＝23，故答案为：23.例4(1)∵AC＝BC＝2，CD＝CE，∴BE＝AD，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∴BE⊥AD.(2)仍然成立．如图2，延长BE交AD于点M.在△BCE和△ACD中，BC＝AC，∠BCE＝∠ACD ＝α，CE＝CD，∴△BCE≌△ACD.∴BE＝AD.∵∠1＝∠2，∠CAD＝∠CBE，∴∠AMB＝∠ACB ＝90°.即BE⊥AD. (3)如图3，过点C作CN⊥AB于点N，∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴CN＝AN＝12AB＝1，∠BCN＝45°.∵AF＝1＋33，∴FN＝AF－AN＝33.在Rt△CNF中，tan ∠FCN＝FNCN＝33，∴∠FCN＝30°.∴∠BCF＝∠BCN－∠FCN＝15°.∵∠FCE＝90°，∴∠BCE ＝∠BCF＋∠FCE＝105°.∴当AF＝1＋33时，旋转角α为105°.图2 图3例5(1)当点M落在AB上时，四边形AMQP是正方形，此时点D与点Q重合，AP＝CP ＝42，所以x＝422＝4.故答案为4. (2)如图1中，当点M落在AD上时，作PE⊥QC 于E.∵△MQP，△PQE，△PEC都是等腰直角三角形，MQ＝PQ＝PC，∴DQ＝QE＝EC，∵PE∥AD，∴PAAC＝DEDC＝23，∵AC＝82，∴PA＝1623，∴x＝1623÷2＝163.故答案为163. (3)①当0<x≤4时，如图2中，设PM、PQ分别交AD于点E、F，则重叠部分为△PEF，∵AP＝2x，∴EF＝PE＝x，∴y＝S△PEF＝12·PE·EF＝12x2.②当4<x≤163时，如图3中，设PM、MQ分别交AD于E、G，则重叠部分为四边形PEGQ.∵PQ＝PC＝82－2x，∴PM＝16－2x，∴ME＝PM －PE＝16－3x，∴y＝S△PMQ－S△MEG＝12(82－2x)2－12(16－3x)2＝－72x2＋32x－64.③当163 <x<8时，如图4中，则重合部分为△PMQ，∴y＝S△PMQ＝12PQ2＝12(82－2x)2＝x2－16x＋64.综上所述，y＝⎩⎪⎨⎪⎧12x2，（0<x≤4）－72x2＋32x－64，⎝⎛⎭⎪⎫4<x≤163x2－16x＋64.⎝⎛⎭⎪⎫163<x<8图1 图2 图3 图4【变式拓展】1．(1)D (2)B 2.(1)2 3 (2)8 (3)3＋1 3.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34或⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－74或⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12或⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－324.(1) ∵PQ∥AC，∴△PBQ ∽△ABC ，∴BP BA ＝BQ BC ，即10－t 10＝2t 12，解得t ＝154(秒)； (2)过点A 作AD⊥BC 于D ，如图．∵AB＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝DC ＝12BC ＝6.∵∠B≠90°，∴P 、B 、Q 三点构成直角三角形情况有两种：①∠PQB＝90°，即PQ∥AD.∴BP BA ＝BQ BD ，即10－t 10＝2t6，解得t ＝3013(秒)；②∠QPB＝90°，而∠ADB＝90°，∠B ＝∠B，∴△BPQ ∽△BDA ，∴BP BD ＝BQBA ，即10－t 6＝2t 10，解得t ＝5011(秒)．∴由①、②知，当t 为3013秒或5011秒时，P 、B 、Q 三点构成直角三角形．5.(1)B (2)D (3)B (4)326．(1)①②④ (2)285 7.(1)B (2)B (3)21008【热点题型】【分析与解】(1)(x ＋0.7)2＋22＝2.52，0.8，－2.2(舍去)，0.8. (2)①不会是0.9米，若AA 1＝BB 1＝0.9，则A 1C ＝2.4－0.9＝1.5，B 1C ＝0.7＋0.9＝1.6，1.52＋1.62＝4.81，2.52＝6.25.∵B 1C 2＋A 1C 2≠A 1B 21，∴该题的答案不会是0.9米．②有可能．设梯子顶端从A 处下滑x 米，点B 向外也移动x 米，则有(x ＋0.7)2＋(2.4－x)2＝2.52，解得：x ＝1.7或x ＝0(舍)∴当梯子顶端从A 处下滑1.7米时，点B 向外也移动1.7米，即梯子顶端从A 处沿墙AC 下滑的距离与点B 向外移动的距离有可能相等．【错误警示】①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时，第三边的长为：42－32＝7；②长为3、4的边都是直角边时，第三边的长为：42＋32＝5；综上，第三边的长为：5或7.故答案为：5或7.。
中考数学第四单元“三角形”复习课件
第18讲 │ 考点随堂练
6．∠A 与∠B 互为补角，且∠A>∠B，那么∠B 的余角等于
(A )
A.12(∠A－∠B)
B.12(∠A＋∠B)
C.12∠A
D.12∠B
[解析] ∠A 与∠B 互为补角，则∠A＋∠B＝180°，所以 ∠B＝180°－∠A，则∠B 的余角为＝90°－(180°－∠A)＝ ∠A－90°＝∠A－12(∠A＋∠B)＝12(∠A－∠B)．
[解析] 经过一个点可以画无数条直线，经过三点可能可以 画 3 条直线，也可能画一条直线，直线可以向两方无限延 伸，所以直线不能比较长短．所以只有 C 是正确的，用直 线上的两个点表示直线，表示时位置可以交换．
第18讲 │ 考点随堂练
4．如图 18－3，已知点 A、B、C、D、E 在同一直线上，且 AC ＝BD，E 是线段 BC 的中点．
第18讲 │ 考点随堂练
第18讲 │ 归类示例
归类示例
类型之一 线与角的概念和基本性质
► 类型之一 线与角的概念和基本性质 命题角度： 1．线段、射线和直线的性质及计算 2．角的有关性质及计算
如图 18－2，将一副三角板叠放在 一起，使直角顶点重合于 O 点， 则∠AOC＋∠DOB＝___1_8_0_°__.
A．5 cm
B．6cm
C．10 cm
D．不能确定
图19－1
第18讲 │ 考点随堂练
7．如图 18－5，甲从 A 点出发向北偏东 70°方向走 50 m 至点 B， 乙从 A 出发向南偏西 15°方向走 80 m 至点 C，则∠BAC 的度数 是____1_2_5_°_______．
图 18－5 [解析] 90°－70°＝20°，所以∠BAC＝20°＋90°＋15°＝125°.
浙江省中考数学总复习第四章基本图形(一)第18讲三角形与全等三角形讲解篇(2021学年)
浙江省2０１8年中考数学总复习第四章基本图形(一）第１８讲三角形与全等三角形讲解篇编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（浙江省2018年中考数学总复习第四章基本图形（一)第18讲三角形与全等三角形讲解篇）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉,前进的动力。
本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步，以下为浙江省2018年中考数学总复习第四章基本图形（一）第1８讲三角形与全等三角形讲解篇的全部内容。
第18讲三角形与全等三角形１．三角形的概念及其分类错误!2．与三角形有关的线段考试内容考试要求高____＿____＿__________三角形的三条高相交于三角形的内部；直角三角形的三条高相交于＿＿__＿______＿____＿___;钝角三角形的三条高相交于三角形的外部.b中线三角形的三条中线相交于＿____________＿___＿_＿,每一条中线都将三角形分成面积____＿______＿___＿_＿＿_的两部分.角平分线三角形的三条角平分线相交于＿_＿＿_＿＿_____＿___＿__＿，这个点是三角形的__＿＿____＿_＿_＿_＿_＿＿__，这个点到三边的距离__________________＿_．三边关系三角形的两边之和＿＿_____________＿_＿__第三边,三角形的两边之差________＿_＿_______＿_第三边．ｃ稳定性三角形具有稳定性，四边形没有稳定性.a 三角形的中位定义连结三角形两边____＿_______＿＿____＿＿的线段叫做三角形的中c３．与三角形有关的角４.全等三角形的性质与判定写成“角边角"或“ＡSＡ”）;判定4：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”);判定５：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL＂)．考试内容考试要求基本方法1.分析问题思考方法：(1)顺推分析:从已知条件出发，运用相应的定理，联合几个已知条件加以发展，一步一步地去靠近欲证目标;（2)逆推分析:从欲证结论入手,分析达到欲证的可能途径,逐步沟通它与已知条件的联系，从而找到证明方法;(3）顺推分析与逆推分析相结合；(4)联想分析：对于一道与证明过的题目有类似之处的新题目,分析它们之间的相同点与不同点,尝试把对前一道题的思考转用于现在的题目中,从而找到它的解法.c2.“截长法”和“补短法”是证明和差关系的重要方法，无论用哪一种方法都是要将线段的和差关系转化为证明线段相等的问题，因此添加辅助线构造全等三角形是通向结论的桥梁．1.（201７·舟山)长度分别为2，７,x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（）Ａ．4 B.5 C．6 D．９2．(2017·衢州）如图,直线AB∥ＣD,∠Ａ＝70°，∠C=40°,则∠E等于( ）A.3０°B.40°C．6０°D．70°3．(20１6·丽水）如图,在△ABC中，∠A＝63°,直线MN∥BC,且分别与AB,AC相交于点D，E，若∠AEN=１３３°，则∠B的度数为＿________________＿__．4．（20１７·温州）如图，在五边形ABCＤE中，∠BCD=∠EDC=９0°,BC=EＤ，AＣ=ＡD。
浙江省2018年中考数学复习考点研究第四单元三角形第17课时三角形的基础知识
第一部分考点研究第四单元三角形第17课时三角形的基础知识浙江近9年中考真题精选命题点 1 三角形的三边关系（杭州2考，温州2013.4，绍兴2016.22）1. （2013温州4题4分）下列各组数可能是一个三角形的边长的是（）A 1 ，2，4 B. 4，5，9 C. 4，6，8 D. 5，5，112. （2017嘉兴2题3分）长度分别为2、7、x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（）A 4B 5 C. 6 D 93. （2012 杭州20题10分）有一组互不全等的三角形，它们的三边长均为整数，每个三角形有两条边的长分别为5和7.（1）请写出其中一个三角形的第三条边的长；⑵设组中最多有n个三角形，求n的值；（3）当这组三角形个数最多时，从中任取一个，求该三角形周长为偶数的概率.4. （2016绍兴22题12分）如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形.（1）若固定三根木条AB BC AD不动，AB= AD= 2 cm BC= 5 cm如图，量得第四根木条CD= 5 cm判断此时/ B与/ D是否相等，并说明理由；⑵若固定二根木条AB BC不动，AB= 2 cm, BC= 5 cm,量得木条CD= 5 cm / B= 90 °,写出木条AD的长度可能取到的一个值（直接写出一个即可）；（3）若固定一根木条AB不动，AB= 2 cm 量得木条CD= 5 cm如果木条AD BC的长度不变，当点D移到BA的延长线上时，点C也在BA的延长线上；当点C移到AB的延长线上时，点A, C, D能构成周长为30 cm的三角形•求出木条AD BC的长度.命题点 2三角形内角和及内外角关系（台州2013.13）5. （2012嘉兴8题4分）已知△ ABC 中，/ B 是/A 的2倍，/ C 比/A 大20°,则/A 等于 （ ）A 40 ° B. 60 ° C 80 ° D 90 °6. （2013 台州 13 题 5 分）如图，点 B , C , E , F 在一直线上，AB// DC DE/ GF / B =Z F = 72°, 贝 U ZD =度.7.（2016丽水12题4分）如图，在△ ABC 中，Z A = 63°，直线 M / BC 且分别与 AB AC 相交于点 D, E 若Z AEN= 133°,则ZB 的度数为.4咗一 “------------- C第7题图命题点 3 三角形中的重要线段（杭州2015.22，台州3考，温州2013.18涉及） 8. (2017 台州5题4分）如图，点 P 是Z AOE 平分线 OC 上一点，PDL OB 垂足为 D.若PD=2,贝U 点P 到边OA 的距离是（ ）A. 1 B 2 C. 3 D. 4第6题图9. （2012台州6题5分）如图，点D, E, F 分别为△ ABC 三边的中点，若厶DEF 的周长为10, 则厶ABC 的周长为（）A 5 B. 10 C 20 D 4010. （2014 台州3题4分）如图，跷跷板 AB 的支柱OD 经过它的中点 O,且垂直于地面 BC 垂足为D, OD= 50 cm 当它的一端 B 着地时，另一端 A 离地面的高度 AC 为（）A 25 cm B. 50 cm C 75 cm D 100 cmH11. （2017 湖州 6 题 3 分）如图，已知在 Rt △ ABC 中，/ C = 90°, AC= BC AB= 6,点 P 是Rt △ ABC 的重心，则点P 到AB 所在直线的距离等于（ ）A 1B 返 C. * D 212. （2013 义乌15题4分）如图，ADLBC 于点D D 为BC 的中点，连接 AB / ABC 的平分 线交AD 于点Q 连接OC 若/ AOC= 125°,则/ ABC= ___________ .0 I ） H 第8题图第9题图第10题图第11题图第12题图13. （2015 杭州22 题12 分）如图，在△ ABC中（BOAC，/ ACB= 90° ，点D在AB边上, DE I AC于点E卄AD 1 亠…(1)若DB= 3，2, 求EC的长;⑵设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F, C, G为顶点的三角形与△ EDC有一个锐角相等，FG交CD 于点P•问：线段CP可能是△ CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由.第13题图答案1 . C【解析】本题考查三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边. A •/ 1+ 2v 4, •••本组数不能构成三角形. 故本选项错误；B •/4+ 5= 9, •••本组数不能构成三角形. 故本选项错误；C •/4+ 6 >8,二本组数可以构成三角形.故本选项正确； D •/ 5+ 5v 11,.・.本组数不能构成三角形•故本选项错误.2. C【解析】根据三角形的三边关系：三角形的一边大于另外两边之差的绝对值，小于另外两边之和，可得：7-2<x<7 + 2,即卩5<x<9.3 •解：（1）第三边长为6（2<边长<12中，任取整数边长即可）；（3分）⑵设第三边长为L,由三角形的性质可得：7-5<L<7+ 5,即2<L<12，而组中最多有n个三角形且三边长均为整数，••• L = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,则n = 9; （6 分）（3）在这组三角形个数最多时，即n = 9,要使三角形周长为偶数因两条定边的和为以第三边也必须为偶数，则L= 4, 6, 8, 10,4 八• P（A）= 9.（10 分）4 •解：（1）相等.12,所如解图，连接AC, •/ AB= DA= 2, BC= CD= 5, AC= AC,• △ ABC^A ADCSSS,B=Z D; （2 分）⑵答案不唯一，只要满足29 —5< ADC 29+ 5即可，女口AD= 5 cm （5分）【解法提示】I AB= 2 cm BC= 5 cm,且/ B= 90°,•AC= AB2+ B C=29 ,形三边关系可知，.29 —5< ADC 29+ 5.⑶设AD= x cm BC= y cm,根据题意得，根据三角x + 2 = y+ 5x +（y+ 2） + 5= 30x = 13，解得V = 10，（7分）当点C在点D的左侧时,第4题解图此时 AC = 17 cm CD= 5 cm AD= 8 cm ••• 5+ 8V 不合题意.••• AD = 13 cm BC = 10 cm （10 分） 5. A 6. 36【解析】T AB// DC DE// GF, / B=Z F = 72°,A Z DCE=Z B = 72°,/ DEC=Z F=72°，在△ CDE 中,/ D= 180°—/ DCE-/ DEC= 180°— 72°- 72°= 36°. 7.70°【解析】•/ M / BC, •••/ B =/ ADE ：/ A = 63°, / AEN = 133°, •/ ADE=/ AEN—/A = 133°— 63°= 70°, •/ B = 70°.& B 【解析】如解图，过点 P 作PGL OA 于点G 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，PG= PD= 2.b a第8题解图9. C 【解析】由点 D E 、F 分别为△ ABCE 边的中点可知 DF EF DE 分别为BC AB AC1 1 1的中位线，所以 DF = ^BC EF = 2AB DE= 2AC,又 DF + EF + DE= 10,所以 BC + AB+ AC = 20.故答案为C10. D 【解析】TO 是AB 的中点，ACL BC ODLBC •- OD >^ ABC 的中位线，• AC= 2OD =100 cm11. A 【解析】如解图连接线段 CP 交AB 于点D,则CD 是 AB 边上的中线，CD = AD= 3, 又•••△ ABC 是等腰直角三角形，• CD 是 AB 边上的高，•/ CP= 2DP • DP 为1,即点P 到AB 所在直线的距离等于 1.12.70° 【解析】•/ AD L BC , / AO （= 125°，•/C =/ AO - / ADC= 125°— 90°= 35° , •/ D 为 BC 的中点，AD L B C , • OB= OC •/ OB =/ C = 35°, •/ OB 平分/ ABC •/ABCy= x +5+2/+ （y + 2） + 5=，解得x = 8y = 15 ,（9 分）=2/ OBC= 2X 35°= 70°.13 .解：（1）•••/ ACB= 90° , DEL AC浙江省2018年中考复习R••• DE// BC AD AE• DB = EC （3 分）AD 1 DB T 3,AE = 2,2 1 EC = 3,解得EC= 6; （5分） （2）分三种情况：①当/ ECD=Z CFG 寸，即/ 1 = 7 4,如解图①,• CP =FP,•••/ FCG 90°,•••7 1 + 7 2= 90°,7 3+7 4= 90°,又•••/ 1 = 7 4,•7 2=7 3, （7 分） • CP = PG • CP = FP = PG•。
浙江省中考数学复习第四章几何初步与三角形第二节三角形的基础课件
【自主解答】∵D是AC的中点，E是BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝ 1 AB.
2
∵DE＝24 m，∴AB＝2DE＝48 m．故选B.
三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半；等底 等高的三角形的面积相等；平行线间的距离处处相等．熟记 定理是解题的关键．
5. (2018·江苏南京中考)如图，在△ABC中，用直尺和圆规 作AB，AC的垂直平分线，分别交AB，AC于点D，E，连结DE.
【分析】根据三角形的重心是三条中线的交点解答． 【自主解答】三角形的重心是三条中线的交点．故选A.
7．已知△ABC是等边三角形，边长为3，G是三角形的重心， 那么GA的长度为____3__．
8．已知△ABC中，D，E分别是AC，AB边上的中点，BD⊥CE
于点F，CE＝2，BD＝4，则△ABC的面积为( A )
考点三 三角形的中位线 例3(2017·湖北宜昌中考)如图，要测定被池塘隔开的A，B 两点的距离，可以在AB外选一点C，连结AC，BC，并分别找
出它们的中点D，E，连结DE.现测得AC＝30 m，BC＝40 m， DE＝24 m，则AB＝( )
A．50 m
B．48 m
C．45 m
D．35 m
【分析】根据中位线定理可得AB＝2DE＝48 m.
∵点I为△ABC的内心，∴AI平分∠CAB， ∴∠CAI＝∠BAI. 由平移得AC∥DI， ∴∠CAI＝∠AID，∴∠BAI＝∠AID，∴AD＝DI. 同理可得BE＝EI， ∴△DIE的周长＝DE＋DI＋EI＝DE＋AD＋BE＝AB＝4， 即图中阴影部分的周长为4.故选B.
9．(2018·四川凉山州中考)如图，△ABC外接圆的圆心坐 标是 _(_4_，__6_)_．
第四章《 三角形 》复习总结 ppt课件
本章总结提升
[点析]本题以构成三角形三边关系为载体，主要考查了整式 计算与三角形的有关边知识的理解与运用，在探究等腰三角形的 形状时要注意分类讨论，构建方程分析与解决实际问题．
本章总结提升
► 类型二 等腰三角形
例3 一个三角形的两条边相等，周长为18 cm，三角形一边 长为4 cm，求其他两边长．
本章总结提升
例10 如图4－T－8，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，F是CD的
中点，则AF⊥CD吗？试说明理由．
图4－T－8
本章总结提升
解：连接AC，AD，由AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝DE，根据 “SAS”可知△ABC≌△AED，
根据全等三角形的对应边相等可知AC＝AD. 由AC＝AD，CF＝DF，AF＝AF(公共边)， 根据“SSS”可知△ACF≌△ADF. 根据全等三角形的对应角相等可知∠AFC＝∠AFD. 又由于F在直线CD上，可得∠AFC＝90°， 即AF⊥CD.
[解析] 本题分两种情况：①腰长为4 cm，②底边长为4 cm. 解答时要注意求出的边长要符合“三角形两边之和大于第三边” ．
本章总结提升
解：①当腰长为 4 cm 时，则底边长为 18－4×2＝10(cm)，此 时，三角形三边长为 4 cm，4 cm，10 cm，因为 4＋4＜10，不符合 三角形三边关系，所以当三角形的腰长为 4 cm 时不合题意，舍去； ②当底边长为 4 cm 时，则腰长为182－4＝7(cm)，此时三角形的三 边长为 4 cm，7 cm，7 cm，4＋7＞7，符合三角形三边关系，所以， 该三角形其他两边长为 7 cm，7 cm.
图4－T－4
本章总结提升
解：如图4－T－5所示．①先画射线BC；
图4－T－5
浙江省2018年中考数学总复习 第四章 基本图形(一)第19讲 特殊三角形 第1课时 等腰三角形讲解
第19讲特殊三角形第1课时等腰三角形1．等腰三角形2.等边三角形1．(2017·台州)如图，已知等腰三角形ABC ，AB ＝AC ，若以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰AC 于点E ，则下列结论一定正确的是( )A ．AE ＝ECB ．AE ＝BEC ．∠EBC ＝∠BACD ．∠EBC ＝∠ABE2．(2017·丽水)等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是____________________．3．(2015·义乌)由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA ＝OB ＝18cm ，若衣架收拢时，∠AOB ＝60°，如图2，则此时A ，B 两点之间的距离是____________________cm .【问题】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AE＝BE，D为EC中点．(1)你能从图中得到哪些信息？(2)求∠CAE的度数；(3)求证：△ADE是等边三角形．【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理等腰三角形、等边三角形的有关知识．类型一等腰三角形的性质与判定例1如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC上．(1)若顶角40°，则一个底角的度数为________；(2)若一个内角50°，则顶角的度数为________；(3)若一个外角为100°，则顶角的度数为________；(4)若AD⊥BC，AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是________．(5)若BD＝DC，∠B＝50°，则∠DAC＝________．(6)若△ABC的两条边长为7cm和14cm，则它的底边为________cm.【解后感悟】解答此类问题时要注意角的指代明确性：顶角还是底角、内角还是外角；对于(4)(5)没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答．1．(1)(2016·泰安)如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为( )A．44°B．66°C．88°D．92°(2)(2017·绍兴模拟)如图，长方形ABCD中，M为CD中点，今以B、M为圆心，分别以BC长、MC长为半径画弧，两弧相交于P点．若∠PBC＝70°，则∠MPC的度数为( )A．20°B．35°C．40°D．55°(3)(2016·滨州)如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为( )A．50°B．51°C．51.5°D．52.5°(4)(2017·温州模拟)如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是线段BC 延长线上一点，连结AE，点C在AE的垂直平分线上，若DE＝10cm，则AB＋BD＝cm.类型二等边三角形的性质与判定例2(1)等边△ABC中，AB＝4，则它的高为________，△ABC的面积为________；(2) 如图1，等边△ABC中，CD是∠ACB的平分线，过D作DE∥BC交AC于E，△ABC 的边长为a，则△ADE的周长是________；(3) 如图2，等边△ABC中，D是AC边上的中点，延长BC到点E，使CE＝CD，则∠E 的度数为________；(4) 如图3，等边△ABC中，点D为BC边上的点，DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，则∠EDF的度数为__________．【解后感悟】解题的关键是利用现有图形或画出图形，利用等边三角形的性质及勾股定理，揭示图形之间的数量关系来解决问题．2．(1)(2016·本溪模拟)如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是.(2)(2017·上海模拟)如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB＝AC，∠BAC＝120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是.(请写出正确结论的序号)．3．(2017·河北模拟)如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F.(1)求证：AD＝CE；(2)求∠DFC的度数．类型三等腰三角形构造的分类讨论例3(2016·黄冈模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知点P(2，2)，点Q在坐标轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有______个．【解后感悟】此题主要考查等腰三角形的性质和坐标与图形的性质，解答此题的关键是如何确定点Q(即分类讨论)，以及利用勾股定理求出OP的长．4．(1)(2017·西宁模拟)如图，等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部，∠BDC＝90°，连结AD，过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是____________________度．(2)(2016·丹东模拟)如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP＝4，∠PBC＝60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有个．类型四等腰三角形的探究问题例4(1)问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连结BE.填空：①∠AEB的度数为________；②线段AD、BE之间的数量关系是________．(2)拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连结BE.请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．(3)解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD＝ 2.若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．【解后感悟】本题主要考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，而通过添加适当的辅助线从而能用(2)中的结论解决问题是解决第(3)题的关键．它是中考的热点题型．5．(2016·江西模拟)有一三角形纸片ABC，∠A＝80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是.类型五等腰三角形的综合运用例5(2016·石家庄模拟)如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连结OD.(1)求证：△COD是等边三角形；(2)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？【解后感悟】本题以“空间与图形”中的核心知识(如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等)为载体，内容由浅入深，层层递进，试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法(如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等)．6．(2016·河南)(1)发现如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b.填空：当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为.(用含a，b的式子表示)(2)应用点A为线段BC外一动点，且BC＝3，AB＝1.如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连结CD，BE.①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值．图1 图2(3)拓展如图3，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(2，0)，点B 的坐标为(5，0)，点P 为线段AB 外一动点，且PA ＝2，PM ＝PB ，∠BPM ＝90°.请直接写出线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标．【探索研究题】(2016·菏泽)如图，△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连结BE.(1)如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°. ①求证：AD ＝BE ； ②求∠AEB 的度数．(2)如图2，若∠ACB＝∠DCE＝120°，CM 为△DCE 中DE 边上的高，BN 为△ABE 中AE 边上的高，试证明：AE ＝23CM ＋233BN.【方法与对策】(1)①通过角的计算找出∠ACD＝∠BCE，再结合△ACB和△DCE均为等腰三角形可得出“AC＝BC，DC＝EC”，利用全等三角形的判定(SAS)即可证出△ACD≌△BCE，由此即可得出结论AD＝BE；②结合①中的△ACD≌△BCE可得出∠ADC＝∠BEC，再通过角的计算即可算出∠AEB的度数；(2)根据等腰三角形的性质结合顶角的度数，即可得出底角的度数，利用(1)的结论，通过解直角三角形即可求出线段AD、DE的长度，二者相加即可证出结论．这类探究性问题，往往从特殊到一般，积累经验，利用前小题的结论或方法解决问题．这类问题是中考的热点题型．【忽视等腰三角形腰的高线不明确】(2015·西宁)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是.参考答案第19讲特殊三角形第1课时等腰三角形【考点概要】1．相等一相等等角中线高等边 2.三60°三相等60°【考题体验】1．C 2.100° 3.18【知识引擎】【解析】(1)从角、边、对称性、图形的形状角度去考虑，并注意之间的相关性． (2)根据等腰三角形两底角相等求出∠B＝30°，∠BAE ＝∠B＝30°，∴∠CAE ＝120°－30°＝90°； (3)根据直角三角形斜边上的中线性质得出AD ＝12EC ＝ED ＝DC ，得出∠DAC＝∠C＝30°，∴∠EAD ＝60°，∴△ADE 是等边三角形．【例题精析】例1 (1)70° (2)80°或50° (3)80°或20° (4)20 (5)40° (6)7例2 (1)23；43；(2)32a ；(3)30°；(4)60° 例3∵P(2，2)，∴OP ＝22＋22＝22，∴当点Q 在y 轴上时，Q 点的坐标分别为(0，22)，(0，－22)，(0，4)，(0，2)；当点Q 在x 轴上时，Q 点的坐标分别为(22，0)，(－22，0)，(4，0)，(2，0)．所以共有8个．故答案为：8.例4(1) ①60° ②AD＝BE ； (2)∠AEB＝90°；AE ＝2CM ＋BE.理由：∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE＝90°，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB －∠DCB＝∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，∴△ACD ≌△BCE ，∴AD ＝BE ，∠BEC ＝∠ADC＝135°.∴∠AEB ＝∠BEC－∠CED＝135°－45°＝90°.在等腰Rt △DCE 中，CM 为斜边DE 上的高，∴CM ＝DM ＝ME ，∴DE ＝2CM.∴AE＝DE ＋AD ＝2CM ＋BE. (3)3－12或3＋12.∵PD ＝1，∠BPD ＝90°，∴BP 是以点D 为圆心、以1为半径的⊙D 的切线，点P 为切点．第一种情况：如图1，过点A 作AP 的垂线，交BP 于点P′，可证△APD≌△AP′B，PD ＝P′B＝1，CD ＝2，∴BD ＝2，BP ＝3，∴AM ＝12PP ′＝12(PB －BP′)＝3－12.第二种情况如图2，可得AM ＝12PP ′＝12(PB ＋BP′)＝3＋12.例5(1)∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴CO＝CD，∠OCD＝60°，∴△COD是等边三角形．(2)当α＝150°时，△AOD是直角三角形．理由是：∵将△BOC 绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△BOC≌△ADC，∴∠ADC＝∠BOC＝150°，又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC＝60°，∴∠ADO＝∠ADC－∠ODC＝90°，∵∠α＝150°，∠AOB＝110°，∠COD＝60°，∴∠AOD＝360°－∠α－∠AOB－∠COD＝360°－150°－110°－60°＝40°，∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形．(3)①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，∵∠AOD＝360°－110°－60°－α＝190°－α，∠ADO＝α－60°，∴190°－α＝α－60°，∴α＝125°；②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO.∵∠OAD ＝180°－(∠AOD＋∠ADO)＝180°－(190°－α＋α－60°)＝50°，∴α－60°＝50°，∴α＝110°；③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD.∵∠AOD＝360°－110°－60°－α＝190°－α，∠OAD＝180°－（α－60°）2＝120°－α2，∴190°－α＝120°－α2，解得α＝140°.综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．【变式拓展】1．(1)D(2)B(3)D(4)10 2.(1)45°(2)①② 3.(1)略．(2)60°.4.(1)120和150 (2)55.25°或40°或10°6.(1)CB的延长线上a＋b (2)①DC＝BE，理由如下：∵△ABD和△ACE为等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，∴△CAD≌△EAB.∴DC＝BE.②BE的最大值是4. (3)AM长的最大值是3＋22，点P的坐标为(2－2，2)．【热点题型】【分析与解】(1)①∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，∴∠ACB＝∠DCE＝180°－2×50°＝80°.∵∠ACB＝∠ACD＋∠DCB，∠DCE＝∠DCB＋∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE.∵△ACB 和△DCE均为等腰三角形，∴AC＝BC，DC＝EC.在△ACD和△BCE中，∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，DC＝EC，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE. ②∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC.∵点A，D，E在同一直线上，且∠CDE＝50°，∴∠ADC＝180°－∠CDE＝130°，∴∠BEC＝130°.∵∠BEC ＝∠CED＋∠AEB，且∠CED＝50°，∴∠AEB ＝∠BEC－∠CED＝130°－50°＝80°.(2)∵△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝120°，∴∠CDM ＝∠CEM＝12×(180°－120°)＝30°.∵CM ⊥DE ，∴∠CMD ＝90°，DM ＝EM.在Rt △CMD 中，∠CMD ＝90°，∠CDM ＝30°，∴DE ＝2DM ＝2×CM tan ∠CDM＝23CM.∵∠BEC ＝∠ADC＝180°－30°＝150°，∠BEC ＝∠CEM＋∠AEB，∴∠AEB ＝∠BEC－∠CEM ＝150°－30°＝120°，∴∠BEN ＝180°－120°＝60°.在Rt △BNE 中，∠BNE ＝90°，∠BEN ＝60°，∴BE ＝BN sin ∠BEN ＝233BN.∵AD ＝BE ，AE ＝AD ＋DE ，∴AE ＝BE ＋DE ＝23CM ＋233BN. 【错误警示】当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．即可求得顶角是90°＋20°＝110°；当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°－20°＝70°.故答案为：110°或70°.本文档仅供文库使用。
浙教版初中数学中考复习：三角形 (共37张PPT)
• (2)三角形的分类
• ①按角分：
②按边分：
3
考点一：三角形的分类及其三边关系 • 三角形三边的关系：
• (1)三角形任何两边的和 大于 第三边； • (2)三角形任何两边的差 小于 第三边．
4
考点一：三角形的分类及其三边关系
• 【例】已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为( )
•
A．45°
B．54°
C．40°
D．50°
17
解析：
• 【例】如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°， AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB， 交AC于点E，则∠ADE的大小是( )
•
A．45°
B．54°
C．40°
D．50°
• 【解析】∵∠B＝46°，∠C＝54°，∴∠BAC＝180°－46°－54°＝80°.
C．①③④ D．④⑤
36
解析：
• 【解析】∵点A，B为定点，点M，N分别为PA，PB的中点，∴MN是△PAB的中位线，
•
∴MN＝12AB，即线段MN的长度不变，故①不符合；
•
PA，PB的长度随点P的移动而变化，∴△PAB的周长会随点P的移动而变化，故②符合；
•
∵MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半，
•
A．15°
B．17.5°
C．20°
D．22.5°
20
解析：
• 【例】(枣庄)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与 ∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于( )
•
A．15°
B．17.5°
C．20°
中考数学 第四单元 三角形 第 相似三角形及其性质课件浙教级数学课件
意;D.=不能判定△ADB∽△ABC,
故此选项符合题意.故选 D.
高频考向探究
探究二 相似三角形的性质
例 2 [2017·杭州] 如图 20-10,在锐角三角形 ABC 中,点 D,E 分别在边 AC,AB 上,AG⊥BC 于点 G,AF⊥DE 于
相似
似
两
三角
有
形的
两边对应成比例,且 夹角相等 的两个三角形相似
判定
相
三边
个角对应相等的两个三角形相似
对应成比例的两个三角形相似,特别地,直角三角形斜边上的高分得的
两个直角三角形相似,且都与原直角三角形相似
课前双基巩固
考点三 相似三角形的性质
1.[2018·广东] 在△ABC 中,点 D,E 分别为边 AB,AC 的中点,则△ADE 与△ABC 的面积之比为 ( C )
图 20-16
通过构造相似三角形得出线段间的数量关系,进而求得线段的长度、图形的面积等是相似的重要应用.
高频考向探究
针 对 训 练
[2017·宿迁] 如图 20-17,在△ABC 中,AB=AC,点 E 在边 BC 上移动(点 E 不与点 B,C 重合),满足∠DEF=∠B,
且点 D,F 分别在边 AB,AC 上.
∠EFD=∠DEF=45°.
∵∠CDF+∠ADF=∠ADE+∠ADF=90°,
∴∠CDF=∠ADE,在△DAE 与△DCF 中,
= ,
∠ = ∠,∴△DAE≌△DCF.
= ,
图 20-8
高频考向探究
例 1 [2017·株洲] 如图 20-8,正方形 ABCD 的顶点 A 在等腰直角三角形 DEF 的斜边 EF 上,EF 与 BC 交于点
中考数学 第四单元 三角形 第18课时 等腰三角形课件浙教级数学课件
第十四页，共三十七页。
高频考向探究
例 1 [2017·连云港] 如图 18-7,已知等腰三角形 ABC 中,AB=AC,点 D,E 分别在边 AB,AC 上,且 AD=AE,连结 BE,CD 交于点 F. (1)判断∠ABE 与∠ACD 的数量关系,并说明理由;
∠ABE=∠ACD. 理由(lǐyóu)如下: 因为AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD, 所以△ABE≌△ACD,所以∠ABE=∠ACD.
单元思维导图
第一页，共三十七页。
UNIT FOUR
第四单元(dānyuán) 三角形
第 18 课时(kèshí) 等腰三角形
第二页，共三十七页。
课前双基巩固
考点(kǎo diǎn)一 等腰三角形
1.已知一个等腰三角形的两边长分别为 2 和 4,则该等腰三角形的周长为 ( C )
A.8 或 10
B.8
∠ABC=50°,∠BAC=∠ACB=65°三种情
c
况讨论.
第二十四页，共三十七页。
高频考向探究
【方法模型(móxíng)】 因为等腰三角形的边有腰与底之分,角有底角和顶角之分,等腰三角形的高要考虑在形内和形外两种情况,故题中给出
的条件不明确时,要进行分类讨论,才能避免漏解情况的发生.
第二十五页，共三十七页。
∴DF=DC+CF=DC+CE=2CD. ∵CD=2,∴DF=4.
第二十三页，共三十七页。
高频考向探究
探究(tànjiū)二 等腰三角形中的多解问题
例 2 如图 18-10,a∥b,∠ABC=50°,若△ABC 是等腰三角形,则
∠α=
.
图 18-10
[答案] 100°或 115°或 130°
中考数学 第四单元 三角形 第19课时 直角三角形课件浙教级数学课件
c
当堂效果检测
3. [2018·岳阳] 下列命题是真命题的是
(
)
C
A.平行四边形的对角线相等
(sān tiáo)边的垂直平分线的交点
B.三角形的重心是三条
C.五边形的内角和是540°
D.圆内接四边形的对角相等
第二十五页，共二十九页。
当堂效果检测
4.如果将长为 6 cm,宽为 5 cm 的长方形纸片折叠一次,那么这条
c
最长线段的平方,只有 A 选项中
302+402=502,故选 A.
第五页，共二十九页。
课前双基巩固
2.[2018·滨州] 在直角三角形中,若勾为 3,股为 4,则弦为
A.5
B.6
C.7
D.8
( A )
3.在△ABC 中,∠C=90°,AB=c,BC=a,AC=b,若 a∶c= 2∶ 3,c=6 3,则 b=
(1)求证:DE=DF,DE⊥DF;
(2)连结 EF,若 AC=10,求 EF 的长.
图 19-2
第十页，共二十九页。
高频考向探究
例 1 [2017·齐齐哈尔] 如图 19-2,在△ABC 中,AD⊥BC 于 D,BD=AD,DG=DC,E,F 分别是 BG,AC 的中点.
(1)求证:DE=DF,DE⊥DF;
是
65°
.
6.[浙教版教材八上 P87 第 28 题改编] 如图 19-10,一架 2.5 米长的梯子 AB 斜靠在竖直的墙 AC 上,这时 B
到墙底端 C 的距离为 0.7 米,若梯子的顶端从 A 处沿墙 AC 下滑的距离与点 B 向外移动的距离相等,则下滑
的距离是
1.7
米.
图 19-9
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为(
A. 6 C. 8 B. 7 D. 9
)
浙江近9年中考真题精选（2009-2017）
考点精讲
【解析】已知四条木条围成的木框的四个边长分别为2、3、4、 6，①选2＋3、4、6作为三角形，则三边长为5、4、6，5－4＜ 6＜5＋4，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为6；②
度、分、秒的换算：1周角＝360°，1平角＝180°，
1°＝60′，1′＝60″，角的度、分、秒换算是60进制的
余 角
90° 定义：若两个角的和等于⑥_____ ，则这两个角
互余
余 角 、 补 角
性质：同角（或等角）的余角相等
定义：若两个角的和等于⑦______ 180°，则这两个 角互补 性质：同角（或等角）的补角相等
可简单的概括为“已知中点找中位线”；在平行四边形
或菱形中，边上有中点时，常连
接中点与对角线的交点构造中位线
浙江近9年中考真题精选（2009-2017）
考点精讲
重难点突破
一、三角形三边关系 例1 如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木 框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2、3、4、 6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不
图1
浙江近9年中考真题精选（2009-2017）
考点精讲
定义：连接一个顶点与它对边中点的线段
图形及性质：如图2,在△ABC中,AD为BC边上的中线,则 DC ＝ 1 BC 有BD=⑨________
中 线 重心:三角形的三条中线交于一点,该点称为三角形的重
2
心，该点到三角形顶点的距离等于
它到对边中点距离的2倍
补 角
对顶角：对顶角相等
180° 邻补角：邻补角之和等于⑧______ 相等 性质：角平分线上的点到角两边的距离⑨______
角平 逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分 分线 线上 性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离__
逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的 11
是假命题
逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第
二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题 的题设，且把其中一个命题叫做原命题，那么另一个 命题就叫做它的逆命题
浙江近9年中考真题精选（2009-2017）
考点精讲
第一部分 考点研究
第四单元
第17课时
三角形
三角形的基础知识
浙江近9年中考真题精选（2009-2017）
温馨提示：中线等分三角形面积 图2
浙江近9年中考真题精选（2009-2017）
考点精讲
定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线, 顶点和垂足之间的线段 高 线 图形及性质：如图3,在△ABC中,AD为BC边上的高线,
BC 即 则有AD⊥ 10 _______, ∠ADB=∠ADC=90°
垂心：三角形的三条高线的交点 图3 图4
以根据两条较短线段的长度之和是否大于第三条线
段的长度来判断
浙江近9年中考真题精选（2009-2017）
考点精讲
内 外 角 的 关 系
180° 内角和等于③______ 等于 与它不相邻的两个内角之和 任意一个外角④______
任意一个外角⑤______ 大于 任何一个与它不相邻的内角 边角关系：同一个三角形中，等边对等角， 等边 ，大边对⑦ _____. 大角 等角对⑥______
垂直平分线 上 ____________
1.在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线 垂直
垂 线
2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 12 垂线段 最短 _______ 3.点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的 13 垂线段 的长度 _______
平行 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 公理 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线 及推 平行 14 _________ 论 温馨提示：1.垂直于同一条直线的两直线平行； 2.两条平行线之间的距离处处相等
考点精讲
考点精讲
考点特训营 三角形的边角关系
三角形的 基础知识 三角形中的重要线段
浙江近9年中考真题精选（2009-2017）
考点精讲
三边关系：任意两边之和①_______ 大于 第三边，任意两边
之差②_________ 小于 第三边，如a+b>c,|a-b|<c 温馨提示：在判断三条线段能否组成一个三角形时，可
平行线 的性质 与判定
相等 判定 两直线平行 1.同位角15 _______ 性质 判定 平行 2.内错角相等 性质 两直线 16________ 互补 判定 两直线平行 3.同旁内角17 ________
性质
命题：判断某一件事情的语句 真命题：正确的命题
假命题：不正确的命题，可以利用反例判断一个命题
浙江近9年中考真题精选（2009-2017）
考点精讲
角 平 分 线
定义：一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点 和交点之间的线段图形及性质：如图1,在△ABC中,AD为角平 1 ∠2 ＝ ∠A 分线,则有∠1=⑧_______ 2 内心（三角形内切圆的圆心）：三角形的三条角平分线交于 一点,该点称为三角形 的内心，该点到三角形三边的距离相等 知识链接—外心：三角形三条边中垂线的 交点，外心到三角形三个顶点的距离相等 温馨提示：常过角平分线上的点作两条邻边的 垂线，构造全等三角形解题
浙江近9年中考真题精选（2009-2017）
考点精讲
定义：连接三角形两边中点的线段
图形及性质：如图4,在△ABC中,D、E分别为AB、AC的 1 BC 中点,则DE为△ABC的中位线,DE∥11_______且DE= BC
2
中 位 线
温馨提示：当在三角形中遇到中点时，常构造三角形中 位线，进一步利用线段平行或倍分问题，
第一部分 考点研究
第四单元
第16课时
三角形
线段、角、相交线与平行线
考点精讲
考点特训营 直线与线段
线段、 角、相 交线与 平行线
角 相交线 平行线
命题
直线的基本事实：两点确定一条直线 线段的基本事实：两点之间①______ 线段 最短 线段的中点： 图1 如图1，点B把线段AC分成相等的两条线段 1 AB与BC,则点B 叫做线段AC的中点，即有AB=BC＝②_______ 2 AC 线段的和与差：如图2，在线段AC上取一点B，则有： BC AB+③______= AC; AC BC;AC-AB=⑤_______ BC AB=④_______图2