【配套K12】[学习]浙江省2019年中考数学 第五单元 四边形 课时训练25 特殊平行四边形(二)
浙江省中考数学第五单元四边形课时训练24特殊平行四边形(一)练习(新版)浙教版
课时训练(二十四) 特别平行四边形(一)|夯实基础|1.[2018·台州] 以下命题正确的选项是( )A.对角线相等的四边形是平行四边形B.对角线相等的四边形是矩形C.对角线相互垂直的平行四边形是菱形D.对角线相互垂直且相等的四边形是正方形2.如图K24-1,在菱形ABCD中,AB=6,∠ABD=30°,则菱形ABCD的面积是( )图K24-1A.18B.18C.36D.363.[2018·嘉兴]用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD,以下作法中错误的选项是()图K24-24.[2018·仙桃]如图K24-3,正方形ABCD中,AB=6,G是BC的中点.将△ABG沿AG对折至△AFG,延伸GF交DC于点E,则DE的长是()图K24-31A.1B.1.5C.2D.2.55.[2017·齐齐哈尔]矩形ABCD的对角线AC,BD订交于点O,请你增添一个适合的条件,使其成为正方形(只填此中一个即可).6.[2017·衢州]如图K24-4,从边长为(a+3)的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形,节余部分沿虚线又剪拼成一个如下图的长方形(不重叠、无空隙),则拼成的长方形的另一边长是.图K24-47.[2018·攀枝花]如图K24-5,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,矩形内部有一动点P知足S△PAB=S矩形ABCD,则点P到,两点的距离之和的最小值为AB PA+PB.图K24-58.在边长为1的小正方形构成的方格纸中,若多边形的各极点都在方格纸的格点(横、竖格子线的交点)上,这样的多边形称为格点多边形.记格点多边形内的格点数为a,界限上的格点数为b,则格点多边形的面积可表示为S=ma+nb1,-此中m,n为常数.(1)在如图K24-6的方格纸中各画出一个面积为6的格点多边形,挨次为三角形、平行四边形(非菱形)、菱形;(2)利用(1)中的格点多边形确立m,n的值.图K24-629.[2018·沈阳]如图K24-7,在菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,过点C作BD的平行线,过点D作AC的平行线,两直线订交于点 E.求证:四边形OCED是矩形;(2)若CE=1,DE=2,则菱形ABCD的面积是.图K24-73精选文档10.[2017·襄阳]如图K24-8,AE∥BF,AC均分∠BAE,且交BF于点C,BD均分∠ABF,且交AE于点D,连接CD.求证:四边形ABCD是菱形;若∠ADB=30°,BD=6,求AD的长.图K24-811.(1)如图K24-9①,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,∠EAF=45°,延伸CD到点G,使DG=BE,连接EF,AG,4求证:EF=FG;(2)如图K24-9②,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点M,N在边BC上,且∠MAN=45°,若BM=1,CN=3,求MN的长.图K24-95|拓展提高|12.如图K24-10,四边形ABCD为菱形,CD=5,tan D=,点P是BC边上的动点,当以CP为半径的☉C与边AD有两个交点时,半径CP的取值范围是()图K24-10A.4<CP<2B.4<CP≤5C.4<CP≤2D.4≤CP≤213.[2018·台州]如图K2411,在正方形中,3,点,分别在,上,,,订交于点G.若图中阴-ABCD AB=EF CDAD CE=DFBECF影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2∶3,则△BCG的周长为.图K24-116参照答案1.C2.B3.C4.C [分析]连接AE.∵△ABG沿AG对折至△AFG,AB=AF,GB=GF=3.∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD=AF.Rt△AFE≌Rt△ADE(HL).DE=EF.设DE=x,则EF=DE=x,GE=x+3,CE=6-x.222在Rt△CGE中,由勾股定理得CG+CE=GE.32+(6-x)2=(x+3)2.解得x=2.应选C.5.答案不独一,如AC⊥BD,AB=BC等[分析]依据对角线相互垂直的矩形是正方形或一组邻边相等的矩形是正方形来增添条件.6.a+6 [分析]联合图形,长方形的另一边的长为3+a+3=a+6.7.4[分析]设△PAB中AB边上的高是h,S△PAB=S矩形ABCD,AB·h=AB·AD,h=AD=2,∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线L上.7如图,作点A对于直线L的对称点A',连接DA',BA',则BA'即为所求的最短距离.在Rt△ABA'中,AB=4,AA'=2+2=4,∴BA'===4,即PA+PB的最小值为4.8.解:(1)如下图(答案不独一).三角形:a=4,b=6,S=6.平行四边形:a=3,b=8,S=6.菱形:a=5,b=4,S=6.任选两组数据代入S=ma+nb1,-解得m=1,n=.9.解:(1)证明:∵四边形ABCD为菱形,AC⊥BD,∴∠COD=90°.CE∥OD,DE∥OC,∴四边形OCED是平行四边形.∵∠COD=90°,8∴平行四边形OCED是矩形.由菱形的性质和矩形的性质,可知菱形ABCD的面积=4S△OCD=4×S矩形OCED=2S矩形OCED=2×1×2=4.故填4.10.解:(1)证明:∵AE∥BF,∴∠ADB=∠CBD.又∵BD均分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD.同理可证AB=BC,∴AD=BC.又∵AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形.又∵AB=AD,∴四边形ABCD是菱形.∵四边形ABCD是菱形,BD=6,AC⊥BD,OD=BD=3,∴cos∠cos30°=,=ADB=AD=3×=2.11.解:(1)证明:∵∠B=∠ADG=90°,AB=AD,BE=DG,∴△ABE≌△ADG(SAS),∴∠BAE=∠DAG,AE=AG.∵∠EAF=45°,∠BAD=90°,∴∠GAF=∠EAF=45°.∵AF=AF,∴△AEF≌△AGF(SAS),∴EF=FG.9如图,过点A作AK⊥AM,取AK=AM,连接NK,CK.∵∠MAK=90°,∠BAC=90°,∠MAN=45°,∴∠1=∠2,∴∠2+∠3=∠1+∠3=90°-∠MAN=45°,∴∠MAN=∠NAK.又∵AB=AC,AN=AN,∴△ABM≌△ACK,△AMN≌△AKN,∴∠5=∠B=45°,CK=BM=1,NK=MN.∴∠4+∠5=90°,∴NK===,MN=.12.C13.3+[分析]∵在正方形ABCD中,AB=3,S正方形ABCD=32=9,∵暗影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2∶3,∴空白部分的面积与正方形ABCD的面积之比为1∶3,S空白=3.∵四边形ABCD是正方形,BC=CD,∠BCE=∠CDF=90°.CE=DF,∴△BCE≌CDF(SAS),∴∠CBE=∠DCF.10精选文档11∵∠DCF+∠BCG=90°,∴∠CBE+∠BCG=90°,即∠BGC=90°,△BCG 是直角三角形.易知S △BCG =S 四边形FGED =,∴S △BCG =BG ·CG=,∴BG ·CG=3.2 2 2 2 2依据勾股定理:BG+CG=BC ,即BG+CG=9,2 2 2 ∴BG+CG=, ∴(BG+CG )=BG+2BG ·CG+CG=9+2×3=15,∴△BCG 的周长=BG+CG+BC=3 .11。
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2019年中考数学专题复习第五单元四边形课时训练二十六正方形及中点四边形练习课时训练( ( 二十六) ) 正方形及中点四边形 (限时:30 分钟) | 夯实基础 | 1 . [2017广安] 下列说法: ①四边相等的四边形一定是菱形; ②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形; ③对角线相等的四边形一定是矩形; ④经过平行四边形对角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相等的两部分 . 其中说法正确的个数为 ( ) A . 4 B . 3 C . 2 D . 1 2 . 小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形,她对折了 ( ) A . 1 次 B . 2次 C . 3 次 D . 4 次 3 . 若顺次连接四边形 ABCD 四边的中点,得到的图形是一个矩形,则四边形 ABCD 一定是 ( )A . 矩形B . 菱形C . 对角线相等的四边形D . 对角线互相垂直的四边形 4 .[2017河北] 如图 K26 - 1 是边长为 10 cm 的正方形铁片,过两个顶点剪掉一个三角形,以下四种剪法中,裁剪线长度所标的数据(单位:cm)不正确的是 ( )图 K26 - 1 图 K26 - 2 5 . [2017黔东南州] 如图 K26 - 3,正方形 ABCD 中,E 为 AB 中点, FE AB , AF= 2 AE , FC 交 BD 于点 O ,则 DOC 的度数为 ( )图 K26 - 3 A . 60 B . 67 . 5 C . 75 D . 54 6 . 小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题,从下列四个条件: ①AB=BC ; ② ABC= 90; ③AC=BD ; ④AC BD 中选两个作为补充条件,使▱ ABCD成为正方形(如图 K26 - 4),现有下列四种选法,你认为错误的是 ( ) 图 K26- 4 A .①② B .②③ C .①③D .②④ 7 . [2017黄冈] 已知:如图 K26 - 5,在正方形 ABCD 的外侧,作等边三角形 ADE ,则 BED= 度 . 图 K26 - 5 8 . [2017大庆] 如图 K26 - 6,点 M , N 在半圆的直径 AB 上,点 P , Q 在上,四边形 MNPQ 为正方形 . 若半圆的半径为 ,则正方形的边长为 . 图 K26 - 6 9 . [2018深圳] 如图 K26 - 7,四边形 ACDF 是正方形, CEA 和 ABF 都是直角且 E , A , B 三点共线, AB= 4,则阴影部分的面积是 . 图 K26 - 7 10 . [2018武汉] 以正方形 ABCD 的边 AD为边作等边三角形 ADE ,则 BEC 的度数是 . 11 . [2017义乌] 如图 K26- 8 为某城市部分街道示意图,四边形 ABCD 为正方形,点 G 在对角线 BD 上,GE CD , GF BC , AD= 1500 m,小敏行走的路线为 B A G E ,小聪行走的路线为 B A D E F ,若小敏行走的路程为 3100 m,则小聪行走的路程为m . 图 K26 - 8 12 . [2018舟山] 如图 K26 - 9,等边三角形 AEF 的顶点 E ,F 在矩形 ABCD 的边 BC , CD 上,且 CEF= 45 . 求证:矩形 ABCD 是正方形 .图 K26 - 913 . 如图 K26 - 10,四边形 ABCD 是正方形,点 E 是 BC 边的中点,AEF= 90,且 EF 交正方形外角的平分线 CF 于点 F. 求证: AE=EF. 图 K26 - 10 | 拓展提升 | 14 . [2018烟台] 【问题解决】一节数学课上,老师提出了这样一个问题:如图 K26 - 11 ① ,点 P 是正方形 ABCD 内一点, PA= 1, PB= 2, PC= 3,你能求出 APB的度数吗? 小明通过观察、分析、思考,形成了如下思路:思路一:将△ PBC 绕点 B 逆时针旋转 90,得到△ BP'A ,连接 PP' ,求出 APB 的度数; 思路二:将△ APB 绕点 B 顺时针旋转 90,得到△ CP'B ,连接 PP' ,求出 APB 的度数 . 请参考小明的思路,任选一种写出完整的解答过程 . 【类比探究】如图② ,若点 P 是正方形 ABCD 外一点, PA= 3, PB= 1, PC= ,求 APB 的度数 . 图 K26 - 11参考答案 1 . C [解析] ①正确;由于矩形的对角线相等,根据三角形的中位线定理,可得顺次连接矩形各边中点所得四边形的四边都相等,由此可判定所得四边形是菱形,故②错误;对角线相等的平行四边形是矩形,对角线相等的四边形不一定是矩形,故③错误; ④正确 . 综上所述,正确的说法有 2 个 .故选 C . 2 . B 3 . D [解析] 如图,四边形 EFGH 是矩形,且 E , F , G , H 分别是 AB , BC , CD , AD 的中点, 根据三角形中位线定理得: EH ∥ FG ∥ BD , EF ∥ AC ∥ HG. ∵四边形 EFGH 是矩形,即 EF FG , AC BD. 4 . A [解析] 选项 A 不正确 . 理由:正方形的边长为 10,所以对角线 = 10 14,因为 15 14,所以这个图形不可能存在 .故选 A . 5 . A [解析] 连接 BF , ∵E 为 AB 中点, FE AB , EF 垂直平分 AB , AF=BF.∵AF= 2 AE , AF=AB , AF=BF=AB , △ABF 为等边三角形, FBA= 60, BF=BC , FCB= BFC= 15, ∵四边形 ABCD 为正方形, DBC= 45,根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和得 DOC= 15 + 45 = 60 . 6 . B [解析] 此题考查正方形的判定,即在平行四边形的基础上,需要再同时具备矩形和菱形的特征 .①是菱形的特征;②是矩形的特征;③是矩形的特征, ④是菱形的特征 . 而 B 中都是矩形的特征 . 故选 B .7 . 45 [解析] 由题意得, AB=AE , BAD= 90, DAE= AED= 60,所以 BAE= 150, AEB= 15 . 所以 BED= AED- AEB= 60 - 15 = 45 .8 . 2 [解析] 连接 OP ,设正方形的边长为 a ( a 0),则 ON= , PN=a ,在 Rt △ OPN 中, ON2 +PN 2 =OP 2 ,即 2 +a 2 = ()2 ,解得a= 2 . 9 . 8 [解析] ∵四边形 ACDF 是正方形, AC=AF , CAF= 90, CAE+ BAF= 90,又 CAE+ ECA= 90, ECA= BAF ,则在△ ACE 和△ FAB 中, ∵△ ACE ≌△ FAB (AAS),AB=CE= 4, 阴影部分的面积 = AB CE= 4 4 = 8 . 10 . 30或 150 [解析] 如图① , ∵△ ADE 是等边三角形, DE=DA , DEA= 1 = 60 . ∵四边形 ABCD 是正方形, DC=DA ,2 = 90 . CDE= 150, DE=DC , 3 = (180 - 150) = 15 . 同理可求得4 = 15 . BEC= 30 . 如图② , ∵△ ADE 是等边三角形, DE=DA ,1 = 2 = 60, ∵四边形 ABCD 是正方形, DC=DA , CDA= 90 . DE=DC ,3 = 30, 4 = (180 - 30) = 75 . 同理可求得5 = 75 . BEC= 360―2―4―5 = 150 . 故答案为 30或 150 .11 . 4600 [解析] 连接 GC ,由四边形 ABCD 为正方形可得△ ADG ≌△ CDG ,所以 GC=AG ,由四边形 GECF 为矩形可得 GC=EF ,所以 EF=AG ,因为小敏行走的路线为 B A G E ,所以 BA+AG+GE= 3100 m . 因为小聪行走的路线为 B A D E F ,所以BA+AD+DE+EF=BA+ 1500 +GE+AG= 3100 + 1500 = 4600(m) . 12 . 证明: ∵四边形 ABCD 是矩形, B= D= C= 90, ∵△ AEF 是等边三角形,AE=AF , AEF= AFE= 60, ∵ CEF= 45, CFE= CEF= 45, AFD= AEB= 180 - 45 - 60 = 75, △ ABE ≌△ ADF , AB=AD , 矩形 ABCD 是正方形 . 13 . 证明:取 AB 的中点 H ,连接 EH. ∵ AEF= 90, 2 + AEB= 90, ∵四边形ABCD 是正方形, 1 + AEB= 90, 1 = 2, ∵E 是 BC 的中点, H 是 AB 的中点,BH=BE , AH=CE , BHE= 45, ∵CF 是 DCG 的平分线, FCG= 45, AHE= ECF= 135, 在△ AHE 和△ ECF 中, △ AHE ≌△ ECF (ASA), AE=EF. 14 . [解析] 将△ PBC 绕点 B 逆时针旋转 90得到△ P'BA ,连接 PP' ,得到等腰直角三角形 BP'P ,从而得到 PP'= 2 ,BPP'= 45,又 AP'=CP= 3, AP= 1, AP2 +P'P 2 = 1 + 8 = 9 =P'A 2 , 根据勾股定理的逆定理得 APP'= 90,从而求出APB= 45 + 90 = 135 . 将△ PBC 绕点 B 逆时针旋转 90,得到△ P'BA ,连接 PP' ,方法和上述类似,求出 APB= 45 . 解:【问题解决】如图① ,将△ PBC 绕点 B 逆时针旋转 90,得到△ P'BA ,连接 PP'. ①∵P'B=PB= 2, P'BP= 90, PP'= 2 , BPP'= 45 . 又 AP'=CP= 3, AP= 1, AP2 +P'P 2 = 1 + 8 = 9 =P'A 2 , APP'= 90, APB= 45 + 90 = 135 .②【类比探究】如图② ,将△ PBC 绕点 B 逆时针旋转 90,得到△ P'BA ,连接 PP'. ∵P'B=PB= 1, P'BP= 90, PP'= , BPP'= 45 . 又 AP'=CP= , AP= 3, AP2 +P'P 2 = 9 + 2 = 11 =P'A 2 , APP'= 90, APB= 90 - 45 = 45 .。
2019年中考数学第五单元四边形课时训练23多边形及平行四边形练习新版浙教版
课时训练(二十三) 多边形及平行四边形|夯实基础|1.[2018·福建B卷] 一个n边形的内角和是360°,则n等于()A.3B.4C.5D.62.[2018·宜宾] 在▱ABCD中,若∠BAD与∠CDA的角平分线交于点E,则△AED的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定3.[2017·眉山] 如图K23-1,EF过▱ABCD对角线的交点O,交AD于E,交BC于F.若▱ABCD的周长为18,OE=1.5,则四边形EFCD的周长为 ()图K23-1A.14B.13C.12D.104.[2018·呼和浩特] 顺次连结平面上A,B,C,D四点得到一个四边形,从①AB∥CD,②BC=AD,③∠A=∠C,④∠B=∠D四个条件中任取其中两个,可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有()A.5种B.4种C.3种D.1种5.[2017·威海] 如图K23-2,在平行四边形ABCD中,∠DAB的平分线交CD于点E,交BC的延长线于点G,∠ABC的平分线交CD于点F,交AD的延长线于点H,AG与BH交于点O,连结BE.下列结论错误的是()图K23-2A.BO=OHB.DF=CEC.DH=CGD.AB=AE6.[2017·镇江] 如图K23-3,点E,F分别在平行四边形ABCD的边BC,AD上,BE=DF,点P在边AB 上,AP∶PB=1∶n(n>1),过点P且平行于AD的直线l将△ABE分成面积为S1,S2的两部分,将△CDF分成面积为S3,S4的两部分,有下列四个等式:①S1∶S2=1∶n,②S1∶S4=1∶(2n+1),③(S1+S4)∶(S2+S3)=1∶n,④(S3-S1)∶(S2-S4)=1∶(n+1).其中成立的有()图K23-3A.①②④B.②③C.②③④D.③④7.[2018·十堰] 如图K23-4,已知▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,且AC=8,BD=10,AB=5,则△OCD的周长为.图K23-48.[2018·山西] 图K23-5是我国古代建筑中的一种窗格,其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶,形状无一定规则,代表一种自然和谐美,图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 度.图K23-59.如图K23-6,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点E,∠CBD=90°,BC=4,BE=ED=3,AC=10,则四边形ABCD的面积为.图K23-610.[2018·长春] 如图K23-7,在▱ABCD中,AD=7,AB=2,∠B=60°.E是边BC上任意一点,沿AE剪开,将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置,得到四边形AEFD,则四边形AEFD周长的最小值为.图K23-711.[2018·朝阳区模拟] 如图K23-8,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,延长CD到E,使DE=CD,连结AE.(1)求证:四边形ABDE是平行四边形;(2)连结OE,若∠ABC=60°,且AD=DE=4,求OE的长.图K23-812.如图K23-9,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD及等边△ABE,已知∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足为F,连结DF.(1)证明:AC=EF;(2)求证:四边形ADFE是平行四边形.图K23-9|拓展提升|13.[2018·无锡] 如图K23-10,已知∠XOY=60°,点A在边OX上,OA=2.过点A作AC⊥OY于点C,以AC为一边在∠XOY内作等边△ABC.点P是△ABC围成的区域(包括各边)内的一点,过点P作PD∥OY交OX 于点D,作PE∥OX交OY于点E.设OD=a,OE=b,则a+2b的取值范围是.图K23-1014.[2018·重庆B卷] 如图K23-11,在▱ABCD中,∠ACB=45°,点E在对角线AC上,BE=BA,BF⊥AC于点F,BF的延长线交AD于点G.点H在BC的延长线上,且CH=AG,连结EH.(1)若BC=12,AB=13,求AF的长;(2)求证:EB=EH.图K23-11参考答案1.B2.B[解析] 如图,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠BAD+∠ADC=180°.∵AE和DE是角平分线,∴∠EAD=∠BAD,∠ADE=∠ADC,∴∠EAD+∠ADE=(∠BAD+∠ADC)=90°,∴∠E=90°,∴△ADE是直角三角形,故选B.3.C[解析] 因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC,OA=OC,所以∠OAE=∠OCF,又因为∠AOE=∠COF,所以△AOE≌△COF,所以AE=CF,OE=OF,而AB=CD,AD=BC,所以四边形EFCD的周长为AD+CD+EF=×18+2×1.5=12.4.C5.D[解析] ∵AH∥CG,∴∠H=∠HBG.∵∠HBG=∠HBA,∴∠H=∠HBA,∴AH=AB.同理AB=BG,AD=DE,BC=CF.∵AD=BC,∴DF=CE,故B正确.∵AD=BC,∴DH=CG,故C正确.∵AH=AB,AO平分∠HAB,∴BO=HO,故A正确.故选D.6.B[解析] 由题意可得△ABE≌△CDF,设△ABE的面积为S,根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”,则有S1=·S,S2=·S,S3=·S,S4=·S.所以S1∶S2=1∶(n2+2n),S1∶S4=1∶(2n+1),(S1+S4)∶(S2+S3)=(1+2n+1)∶(n2+2n+n2)=1∶n,(S3-S1)∶(S2-S4)=(n2-1)∶(n2+2n-2n-1)=1∶1.故选B.7.148.3609.24[解析] ∵∠CBD=90°,∴△BEC是直角三角形,∴CE==5.又∵AC=10,∴E为AC的中点.∵BE=ED=3,∴四边形ABCD是平行四边形.∵△DBC是直角三角形,∴S△DBC=·DB·BC=×6×4=12.又S△DBC=S△ABD=12,∴S▱ABCD=S△DBC+S△ABD=12+12=24.10.20[解析] 如图,作AE⊥BC.此时四边形AEFD周长最小.在Rt△AEB中,∠AEB=90°,AB=2,∠B=60°,∴AE=AB·sin 60°=2×=3.由平移性质可知,四边形AEFD是矩形,∴四边形AEFD周长为2(AD+AE)=2×(7+3)=20.11.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD.∵DE=CD,∴AB=DE.∴四边形ABDE是平行四边形.(2)∵AD=DE=4,∴AD=AB=4.∴四边形ABCD是菱形.∴AB=BC,AC⊥BD,BO=BD,∠ABO=∠ABC.又∵∠ABC=60°,∴∠ABO=30°.在Rt△ABO中,AO=AB·sin∠ABO=2,BO=AB·cos∠ABO=2, ∴BD=4.∵四边形ABDE是平行四边形,∴AE∥BD,AE=BD=4.又∵AC⊥BD,∴AC⊥AE.在Rt△AOE中,OE==2.12.证明:(1)∵△ABE是等边三角形,EF⊥AB,∴∠AEF=∠AEB=30°,∴∠BAC=∠AEF.又∵∠ACB=90°,∠EFA=90°,∴∠EFA=∠ACB.又AE=AB,∴△AEF≌△BAC,∴AC=EF.(2)∵△ACD是等边三角形,∴AC=AD,∠DAC=60°.由(1)的结论得AC=EF,∴AD=EF.∵∠BAC=30°,∴∠FAD=∠BAC+∠DAC=90°.又∵∠EFA=90°,∴EF∥AD,∴四边形ADFE是平行四边形.13.2≤a+2b≤5[解析] 过P作PH⊥OY交OY于点H,∵PD∥OY,PE∥OX,∴四边形EODP是平行四边形,∠HEP=∠XOY=60°,∴EP=OD=a,Rt△HEP中,∠EPH=30°,∴EH=EP=a,∴a+2b=2(a+b)=2(EH+EO)=2OH,当P在AC边上时,H与C重合,此时OH的最小值=OC=OA=1, 即a+2b的最小值是2;当P在点B时,OH的最大值是1+=,即(a+2b)的最大值是5,∴2≤a+2b≤5.14.解:(1)∵BF⊥AC,∴∠BFC=∠AFB=90°.在Rt△FBC中,sin∠FCB=,而∠ACB=45°,BC=12,∴sin 45°=.∴BF=12×sin 45°=12×=12.在Rt△ABF中,由勾股定理,得AF===5.(2)证明:如图,以点A为圆心,AG为半径作弧,交BG于点M,连结ME,GE,AM.∵∠BFC=90°,∠ACB=45°,∴△FBC是等腰直角三角形.∴FB=FC.∵在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠GAC=∠ACB=45°.∴∠AGB=45°.∵AM=AG,AF⊥MG,∴∠AMG=∠AGM=45°,MF=GF.∴∠AMB=∠ECH=135°.∵BA=BE,BF⊥AE,∴AF=EF.∴四边形AMEG是正方形.∴FM=FE.∴BM=CE.又∵CH=AG,∴CH=AM.∴△AMB≌△HCE.∴EH=AB.∴EH=EB.。
浙江省2019年中考数学复习 第五章 四边形 第二节 平行四边形课件
考点二 平行四边形的判定
例2 顺次连结平面上A，B，C，D四点得到一个四边形，从①
AB∥CD；②BC＝AD；③∠A＝∠C；④∠B＝∠D四个条件中任
取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结
论的情况共有( )A．5种Fra bibliotekB．4种
C．3种
D．1种
【分析】根据平行四边形的判定定理可得出答案． 【自主解答】当①③时，四边形ABCD为平行四边形； 当①④时，四边形ABCD为平行四边形； 当③④时，四边形ABCD为平行四边形． 故选C.
考点三 平行四边形中有关量的计算 例3(2018·贵州贵阳中考)如图，在平行四边形ABCD中，AE 是BC边上的高，点F是DE的中点，AB与AG关于AE对称，AE与 AF关于AG对称． (1)求证：△AEF是等边三角形； (2)若AB＝2，求△AFD的面积．
【分析】(1)先根据轴对称性质及BC∥AD证△ADE为直角三角 形，由F是DE的中点知AF＝EF，再结合AE与AF关于AG对称知 AE＝AF，即可得证； (2)由△AEF是等边三角形且AB与AG关于AE对称、AE与AF关于 AG对称知∠GAE＝30°，据此由AB＝2知DF＝AF＝AE＝ 3 ， AH＝ 3 ，从而得出答案．
第二节 平行四边形
考点一 平行四边形的性质
例1(2018·内蒙古通辽中考)如图，▱ABCD的对角线AC，BD交 于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，∠BCD＝60°，AD＝ 1 AB，
2
连结OE.下列结论：①S▱ABCD＝AD·BD；②DB平分∠CDE；③ AO＝DE；④S△ADE＝5S△OFE.其中正确的个数有( )
∴OE是△ABD的中位线，∴OE∥AD，OE＝ 1 AD，
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浙江省2019年中考数学 第五单元 四边形 课时训练25 特殊平行四边形(二)练习 (新版)浙教版
课时训练(二十五) 特殊平行四边形(二)|夯实基础|1.[2018·贵阳] 如图K25-1,在菱形ABCD中,E是AC的中点,EF∥CB,交AB于点F,如果EF=3,那么菱形ABCD的周长为()图K25-1A.24B.18C.12D.92.[2018·宁夏] 将一个矩形纸片按如图K25-2所示折叠,若∠1=40°,则∠2的度数是()图K25-2A.40°B.50°C.60°D.70°22 3.[2018·恩施州] 如图K25-3所示,在正方形ABCD 中,G 为CD 边中点,连结AG 并延长交BC 边的延长线于E 点,对角线BD 交AG 于F 点,已知FG=2,则线段AE 的长度为 ()图K25-3A .6B .8C .10D .124.[2017·兰州] 在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与DB 相交于点O.要使四边形ABCD 是正方形,还需添加一组条件.下面给出了四组条件:①AB ⊥AD ,且AB=AD ;②AB=BD ,且AB ⊥BD ;③OB=OC ,且OB ⊥OC ;④AB=AD ,且AC=BD.其中正确的序号是 .5.[2018·上海] 对于一个位置确定的图形,如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上,且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点(如图K25-4①),那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽,铅垂方向的边长称为该图形的高.如图②,菱形ABCD 的边长为1,边AB 水平放置.如果该菱形的高是宽的,那么它的宽的值是 .图K25-46.如图K25-5,AC 是矩形ABCD 的对角线,AB=2,BC=2,点E ,F 分别是线段AB ,AD 上的点,连结CE ,CF ,当∠BCE=∠ACF ,且CE=CF 时,AE+AF= .图K25-537.如图K25-6,在平行四边形ABCD 中,AB=3 cm,BC=5 cm,∠B=60°,G 是CD 的中点,E 是边AD 上的动点,EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ,连结CE ,DF.(1)求证:四边形CEDF 是平行四边形.(2)①当AE= cm 时,四边形CEDF 是矩形; ②当AE= cm 时,四边形CEDF 是菱形. (直接写出答案,不需要说明理由)图K25-68.[2018·吉林] 如图K25-7①,在△ABC 中,AB=AC ,过AB 上一点D 作DE ∥AC 交BC 于点E ,以E 为顶点,ED 为一边,作∠DEF=∠A ,另一边EF 交AC 于点F.(1)求证:四边形ADEF 为平行四边形;(2)当点D 为AB 中点时,▱ADEF 的形状为 ;(3)延长图①中的DE 到点G ,使EG=DE ,连结AE ,AG ,FG ,得到图②,若AD=AG ,判断四边形AEGF 的形状,并说明理由.44图K25-7|拓展提升|9.[2018·海南] 如图K25-8①,分别沿长方形纸片ABCD 和正方形纸片EFGH 的对角线AC ,EG 剪开,拼成如图②所示的▱KLMN ,若中间空白部分四边形OPQR 恰好是正方形,且▱KLMN 的面积为50,则正方形EFGH 的面积为 ()图K25-8A .24B .25C .26D .2710.[2018·咸宁] 如图K25-9,已知∠MON=120°,点A ,B 分别在OM ,ON 上,且OA=OB=a ,将射线OM 绕点O 逆时针旋转得到OM',旋转角为α(0°<α<120°且α≠60°),作点A 关于直线OM'的对称点C ,画直线BC 交OM'于点D ,连结AC ,AD.有下列结论:图K25-9①AD=CD;②∠ACD的大小随着α的变化而变化;③当α=30°时,四边形OADC为菱形;④△ACD 的面积的最大值为a2.其中正确的是.(把你认为正确结论的序号都填上)11.[2018·绍兴] 小敏思考解决如下问题:原题:如图K25-10①,点P,Q分别在菱形ABCD的边BC,CD上,∠PAQ=∠B,求证:AP=AQ.(1)小敏进行探索,若将点P,Q的位置特殊化:把∠PAQ绕点A旋转得到∠EAF,使AE⊥BC,点E,F分别在边BC,CD上,如图②,此时她证明了AE=AF.请你证明.(2)受以上(1)的启发,在原题中,添加辅助线:如图③,作AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F.请你继续完成原题的证明.(3)如果在原题中添加条件:AB=4,∠B=60°,如图①.请你编制一个计算题(不标注新的字母),并直接给出答案.图K25-1056 6 参考答案1.A2.D[解析] 如下图,易知2∠3=∠1+180°=220°,从而∠3=110°,又由平行线的性质,得∠2+∠3=180°,进而∠2=70°,故选D.3.D[解析] ∵正方形ABCD,G为CD边中点,∴AB∶DG=2∶1.∵AB∥CD,∴AB∶DG=AF∶FG.∵FG=2,∴AF=4.易证△ADG≌△ECG,∴EG=AG=AF+FG=4+2=6.∴AE=12.故选D.4.①③④[解析] ①有一个角是直角的平行四边形是矩形,有一组邻边相等的矩形是正方形,故①正确.②BD为平行四边形的对角线,AB为平行四边形的其中一条边,所以AB=BD时,平行四边形不可能是正方形,故②错误.③对角线相等且垂直的平行四边形是正方形,由OB=OC,得AC=BD,由OB⊥OC,得AC⊥BD,所以四边形ABCD为正方形,故③正确.④邻边相等的平行四边形是菱形,对角线相等的菱形是正方形.在平行四边形ABCD中,由AB=AD,得四边形ABCD为菱形,又∵AC=BD,∴四边形ABCD为正方形.故④正确.5.[解析] 如图,将菱形ABCD放置在一个水平矩形AFCE中,设宽AF为a,则高CF 为a,因为菱形ABCD的边长为1,所以BF为a-1,在Rt△BCF中,由勾股定理得(a-1)2+a2=12,解得a=.76. [解析] 如图,作FG ⊥AC ,易证△BCE ≌△GCF (AAS ),∴BE=GF ,BC=CG.∵在Rt △ABC 中,tan ∠ACB===,∴∠ACB=30°,∴AC=2AB=4,∠DAC=∠ACB=30°. ∵FG ⊥AC ,∴AF=2GF ,∴AE+AF=AE+2BE=AB+BE. 设BE=x ,在Rt △AFG 中,AG=GF=x ,∴AC=AG+CG=x+2=4,解得x=-2,∴AE+AF=AB+BE=2+-2=.7.解:(1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴CF ∥ED ,∴∠FCG=∠EDG. ∵G 是CD 的中点,∴CG=DG.在△FCG 和△EDG 中,∴△FCG ≌△EDG (ASA ),∴FG=EG.又∵CG=DG ,∴四边形CEDF 是平行四边形.(2)①当AE=3.5 cm时,四边形CEDF是矩形.②当AE=2 cm时,四边形CEDF是菱形.8.解:(1)证明:∵DE∥AC,∴∠DEF=∠EFC.∵∠DEF=∠A,∴∠A=∠EFC,∴EF∥AB,∴四边形ADEF为平行四边形.(2)菱形.理由如下:∵点D为AB中点,∴AD=AB.∵DE∥AC,点D为AB中点,∴E为BC中点,∴DE=AC.∵AB=AC,∴AD=DE,∴平行四边形ADEF为菱形.(3)四边形AEGF为矩形.理由:∵四边形ADEF为平行四边形,∴AF∥DE,AF=DE,AD=EF.∵EG=DE,∴AF=EG.又∵AF∥EG,∴四边形AEGF是平行四边形.∵AD=AG,∴AG=EF,889∴四边形AEGF 为矩形.9.B [解析] 设长方形纸片长,宽分别为x ,y ,正方形纸片边长为z. ∵四边形OPQR 是正方形, ∴RQ=RO ,∴x-z=z-y ,∴x=2z-y ①; ∵▱KLMN 的面积为50,∴xy+z 2+(z-y )2=50, 把①代入,得(2z-y )·y+z 2+(z-y )2=50, ∴2zy-y 2+z 2+z 2-2yz+y 2=50, 整理,得2z 2=50,∴z 2=25,∴正方形EFGH 的面积=z 2=25,故选择B . 10.①③④ [解析] 连结OC,∵点A 关于直线OM'的对称点是点C ,由对称性可得OA=OC ,CD=AD ,故①正确; ∵OA=OC ,∴∠COD=∠AOD=α,由对称性可知OM'垂直平分AC ,∴∠OCA=90°-α. ∵OA=OB ,OA=OC ,∴OB=OC. ∵∠BOC=120°-2α, ∴∠BCO=30°+α,∴∠BCA=90°-α+30°+α=120°, ∴∠ACD=180°-120°=60°,故②错误; ∵CD=AD ,∴△ACD 为等边三角形.当α=30°时,∠AOC=60°∴△ACO 为等边三角形. ∴OC=OA=AC ,又∠ACD=60°,AD=CD ,∴AD=CD=AC.∴OA=OC=CD=AD.∴四边形OADC为菱形.故③正确;要使△ACD的面积最大即AC要最大,当α=90°,A,O,C在一条直线上时,AC最大,∴△ACD 的面积的最大值为×2a×a=a2,故④正确.11.[解析] (1)可先求出∠AFC=∠AFD=90°,然后证明△AEB≌△AFD即可;(2)先求出∠EAP=∠FAQ,再证明△AEP≌△AFQ即可;(3)可以分三个不同的层次,①直接求菱形本身其他内角的度数或边的长度,也可求菱形的周长.②可求PC+CQ,BP+QD,∠APC+∠AQC的值.③可求四边形APCQ的面积、△ABP与△AQD的面积和、四边形APCQ周长的最小值等.解:(1)证明:如图①,在菱形ABCD中,∠B+∠C=180°,∠B=∠D,AB=AD,∵∠EAF=∠B,∴∠C+∠EAF=180°,∴∠AEC+∠AFC=180°.∵AE⊥BC,∴∠AEB=∠AEC=90°,∴∠AFC=90°,∠AFD=90°,∴△AEB≌△AFD,∴AE=AF.101011(2)证明:如图②,∵∠PAQ=∠EAF=∠B ,∴∠EAP=∠EAF-∠PAF=∠PAQ-∠PAF=∠FAQ. ∵AE ⊥BC ,AF ⊥CD ,∴∠AEP=∠AFQ=90°.∵AE=AF ,∴△AEP ≌△AFQ ,∴AP=AQ.(3)答案不唯一,举例如下:层次1:①求∠D 的度数.答案:∠D=60°. ②分别求∠BAD ,∠BCD 的度数.答案:∠BAD=∠BCD=120°.③求菱形ABCD 的周长.答案:16. ④分别求BC ,CD ,AD 的长.答案:4,4,4. 层次2:①求PC+CQ 的值.答案:4. ②求BP+QD 的值.答案:4.③求∠APC+∠AQC 的值.答案:180°.层次3:①求四边形APCQ 的面积.答案:4. ②求△ABP 与△AQD 的面积和.答案:4.③求四边形APCQ周长的最小值.答案:4+4.1212。
配套K12浙江省2019年中考数学复习 第五章 四边形 第二节 平行四边形课前诊断测试
第二节平行四边形课前诊断测试1．(2018·四川宜宾中考)在▱ABCD中，若∠BAD与∠CDA的角平分线交于点E，则△AED的形状是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不能确定2．(2018·四川泸州中考)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB中点，且AE＋EO＝4，则▱ABCD的周长为( )A．20 B．16 C．12 D．83．(2018·安徽中考)□ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是( )A．BE＝DF B．AE＝CFC．AF∥CE D．∠BAE＝∠DCF4．(2017·浙江丽水中考)如图，在▱ABCD中，连结AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝2，则BC的长是( )A. 2 B．2 C．2 2 D．45．(2017·辽宁辽阳中考)如图，在▱ABCD中，∠BAD＝120°，连结BD，作AE∥BD交CD延长线于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，且CF＝1，则AB的长是( )A．2 B．1 C. 3 D. 26．(2018·江苏泰州中考)如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点O，若AD＝6，AC＋BD＝16，则△BOC的周长为________．7．(2018·湖南衡阳中考)如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M.如果△CDM的周长为8，那么▱ABCD的周长是________．8．(2018·山东临沂中考)如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC，则BD＝__________．9．如图，在六边形ABCDEF中，AB綊ED，AF綊CD，BC綊FE，对角线FD⊥BD.已知FD＝24 cm，BD＝18 cm.则六边形ABCDEF的面积是__________cm2.参考答案1．B 2.B 3.B 4.C 5.B 6.14 7.16 8.413 9.432。
浙江省2019年中考数学 第五单元 四边形 课时训练23 多边形及平行四边形练习 (新版)浙教版
(二十三) 多边形及平行四边形|夯实基础|1.[2018·福建B卷] 一个n边形的内角和是360°,则n等于()A.3B.4C.5D.62.[2018·宜宾] 在▱ABCD中,若∠BAD与∠CDA的角平分线交于点E,则△AED的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定3.[2017·眉山] 如图K23-1,EF过▱ABCD对角线的交点O,交AD于E,交BC于F.若▱ABCD的周长为18,OE=1.5,则四边形EFCD的周长为()图K23-1A.14B.13C.12D.104.[2018·呼和浩特] 顺次连结平面上A,B,C,D四点得到一个四边形,从①AB∥CD,②BC=AD,③∠A=∠C,④∠B=∠D四个条件中任取其中两个,可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有()A.5种B.4种C.3种D.1种5.[2017·威海] 如图K23-2,在平行四边形ABCD中,∠DAB的平分线交CD于点E,交BC的延长线于点G,∠ABC的平分线交CD于点F,交AD的延长线于点H,AG与BH交于点O,连结BE.下列结论错误的是()图K23-2A.BO=OHB.DF=CEC.DH=CGD.AB=AE6.[2017·镇江] 如图K23-3,点E,F分别在平行四边形ABCD的边BC,AD上,BE=DF,点P在边AB上,AP∶PB=1∶n(n>1),过点P且平行于AD的直线l将△ABE分成面积为S1,S2的两部分,将△CDF分成面积为S3,S4的两部分,有下列四个等式:①S1∶S2=1∶n,②S1∶S4=1∶(2n+1),③(S1+S4)∶(S2+S3)=1∶n,④(S3-S1)∶(S2-S4)=1∶(n+1).其中成立的有()图K23-3A.①②④B.②③C.②③④D.③④7.[2018·十堰] 如图K23-4,已知▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,且AC=8,BD=10,AB=5,则△OCD的周长为.图K23-48.[2018·山西] 图K23-5是我国古代建筑中的一种窗格,其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶,形状无一定规则,代表一种自然和谐美,图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 度.图K23-59.如图K23-6,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点E,∠CBD=90°,BC=4,BE=ED=3,AC=10,则四边形ABCD的面积为.图K23-610.[2018·长春] 如图K23-7,在▱ABCD中,AD=7,AB=∠B=60°.E是边BC上任意一点,沿AE剪开,将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置,得到四边形AEFD,则四边形AEFD周长的最小值为.图K23-711.[2018·朝阳区模拟] 如图K23-8,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,延长CD到E,使DE=CD,连结AE.(1)求证:四边形ABDE是平行四边形;(2)连结OE,若∠ABC=60°,且AD=DE=4,求OE的长.图K23-812.如图K23-9,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD及等边△ABE,已知∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足为F,连结DF.(1)证明:AC=EF;(2)求证:四边形ADFE是平行四边形.图K23-9|拓展提升|13.[2018·无锡] 如图K23-10,已知∠XOY=60°,点A在边OX上,OA=2.过点A作AC⊥OY于点C,以AC为一边在∠XOY内作等边△ABC.点P是△ABC围成的区域(包括各边)内的一点,过点P作PD∥OY交OX于点D,作PE∥OX交OY于点E.设OD=a,OE=b,则a+2b的取值范围是.图K23-1014.[2018·重庆B卷] 如图K23-11,在▱ABCD中,∠ACB=45°,点E在对角线AC上,BE=BA,BF⊥AC于点F,BF的延长线交AD于点G.点H在BC的延长线上,且CH=AG,连结EH.(1)若BC=AB=13,求AF的长;(2)求证:EB=EH.图K23-11参考答案1.B2.B[解析] 如图,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠BAD+∠ADC=180°.∵AE和DE是角平分线,∴∠BAD,∠ADC,∴∠EAD+∠∠BAD+∠ADC)=90°,∴∠E=90°,∴△ADE是直角三角形,故选B.3.C[解析] 因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC,OA=OC,所以∠OAE=∠OCF,又因为∠AOE=∠COF,所以△AOE≌△COF,所以AE=CF,OE=OF,而AB=CD,AD=BC,所以四边形EFCD的周长为18+2×1.5=12.4.C5.D[解析] ∵AH∥CG,∴∠H=∠HBG.∵∠HBG=∠HBA,∴∠H=∠HBA,∴AH=AB.同理AB=BG,AD=DE,BC=CF.∵AD=BC,∴DF=CE,故B正确.∵AD=BC,∴DH=CG,故C正确.∵AH=AB,AO平分∠HAB,∴BO=HO,故A正确.故选D.6.B[解析] 由题意可得△ABE≌△CDF,设△ABE的面积为S,根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”,则有S1S,S2S,S3S,S4S.所以S1∶S2=1∶(n2+2n),S1∶S4=1∶(2n+1),(S1+S4)∶(S2+S3)=(1+2n+1)∶(n2+2n+n2)=1∶n,(S3-S1)∶(S2-S4)=(n2-1)∶(n2+2n-2n-1)=1∶1.故选B.7.148.3609.24[解析] ∵∠CBD=90°,∴△BEC是直角三角形,∴5.又∵AC=10,∴E为AC的中点.∵BE=ED=3,∴四边形ABCD是平行四边形.∵△DBC是直角三角形,∴S△DBC DB·6×4=12.又S△DBC=S△ABD=12,∴S▱ABCD=S△DBC+S△ABD=12+12=24.10.20[解析] 如图,作AE⊥BC.此时四边形AEFD周长最小.在Rt△AEB中,∠AEB=90°,AB=∠B=60°,∴AE=AB·sin 60°=3.由平移性质可知,四边形AEFD是矩形,∴四边形AEFD周长为2(AD+AE)=2×(7+3)=20.11.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD.∵DE=CD,∴AB=DE.∴四边形ABDE是平行四边形.(2)∵AD=DE=4,∴AD=AB=4.∴四边形ABCD是菱形.∴AB=BC,AC⊥BD,,∠ABC.又∵∠ABC=60°,∴∠ABO=30°.在Rt△ABO中,AO=AB·sin∠ABO=2,BO=AB·cos∠ABO=∴BD=∵四边形ABDE是平行四边形,∴AE∥BD,AE=BD=又∵AC⊥BD,∴AC⊥AE.在Rt△AOE中,12.证明:(1)∵△ABE是等边三角形,EF⊥AB,∴∠AEB=30°,∴∠BAC=∠AEF.又∵∠ACB=90°,∠EFA=90°,∴∠EFA=∠ACB.又AE=AB,∴△AEF≌△BAC,∴AC=EF.(2)∵△ACD是等边三角形,∴AC=AD,∠DAC=60°.由(1)的结论得AC=EF,∴AD=EF.∵∠BAC=30°,∴∠FAD=∠BAC+∠DAC=90°.又∵∠EFA=90°,∴EF∥AD,∴四边形ADFE是平行四边形.13.2≤a+2b≤5[解析] 过P作PH⊥OY交OY于点H,∵PD∥OY,PE∥OX,∴四边形EODP是平行四边形,∠HEP=∠XOY=60°,∴EP=OD=a,Rt△HEP中,∠EPH=30°,∴,∴a+2b=)=2(EH+EO)=2OH,当P在AC边上时,H与C重合,此时OH的最小值1, 即a+2b的最小值是2;当P在点B时,OH的最大值是1即(a+2b)的最大值是5,∴2≤a+2b≤5.14.解:(1)∵BF⊥AC,∴∠BFC=∠AFB=90°.在Rt△FBC中,sin∠而∠ACB=45°,BC=∴sin 45°∴BF=sin 45°=12.在Rt△ABF中,由勾股定理,得5.(2)证明:如图,以点A为圆心,AG为半径作弧,交BG于点M,连结ME,GE,AM.∵∠BFC=90°,∠ACB=45°,∴△FBC是等腰直角三角形.∴FB=FC.∵在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠GAC=∠ACB=45°.∴∠AGB=45°.∵AM=AG,AF⊥MG,∴∠AMG=∠AGM=45°,MF=GF.∴∠AMB=∠ECH=135°.∵BA=BE,BF⊥AE,∴AF=EF.∴四边形AMEG是正方形.∴FM=FE.∴BM=CE.又∵CH=AG,∴CH=AM.∴△AMB≌△HCE.∴EH=AB.∴EH=EB.。
浙江省2019年中考数学 第五单元 四边形 课时训练24 特殊平行四边形(一)练习 (新版)浙教版
(2)若CE=1,DE=2,则菱形ABCD的面积是.
图K24-7
10.[2017·襄阳]如图K24-8,AE∥BF,AC平分∠BAE,且交BF于点C,BD平分∠ABF,且交AE于点D,连结CD.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)若∠ADB=30°,BD=6,求AD的长.
∴S正方形ABCD=32=9,
∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2∶3,
∴空白部分的面积与正方形ABCD的面积之比为1∶3,
∴S空白=3.
∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=CD,∠BCE=∠CDF=90°.
∵CE=DF,∴△BCE≌CDF(SAS),∴∠CBE=∠DCF.
∵∠DCF+∠BCG=90°,∴∠CBE+∠BCG=90°,
图K24-4
7.[2018·攀枝花]如图K24-5,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,矩形内部有一动点P满足S△PAB= S矩形ABCD,则点P到A,B两点的距离之和PA+PB的最小值为.
图K24-5
8.在边长为1的小正方形组成的方格纸中,若多边形的各顶点都在方格纸的格点(横、竖格子线的交点)上,这样的多边形称为格点多边形.记格点多边形内的格点数为a,边界上的格点数为b,则格点多边形的面积可表示为S=ma+nb-1,其中m,n为常数.
A.1B.1.5
C.2D.2.5
5.[2017·齐齐哈尔]矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,请你添加一个适当的条件,使其成为正方形(只填其中一个即可).
6.[2017·衢州]如图K24-4,从边长为(a+3)的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形,剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形(不重叠、无缝隙),则拼成的长方形的另一边长是.
2019年中考数学总复习 第五单元 四边形 课时训练(二十一)矩形、菱形、正方形练习
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……课时训练(二十一)矩形、菱形、正方形(限时:45分钟)|夯实基础|1.如果菱形的两条对角线的长分别为1和4,那么菱形的面积等于.2.如图K21-1,在矩形ABCD中,∠ABC的平分线交AD于点E,连接CE.若BC=7,AE=4,则CE= .图K21-13.[2018·广州]如图K21-2,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(-2,0),点D在y轴上,则点C的坐标是.图K21-24.将一张矩形纸片折叠成如图K21-3所示的图形,若AB=6 cm,则AC= cm.图K21-35.[2018·天水]如图K21-4所示,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.若AC=6,BD=8,AE⊥BC,垂足为E,则AE的长为.图K21-46.[2018·武汉]以正方形ABCD的边AD为边作等边三角形ADE,则∠BEC的度数是.7.[2017·兰州]如图K21-5,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∠ADB=30°,AB=4,则OC=()图K21-5A.5B.4C.3.5D.38.[2018·内江]如图K21-6,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,点C落在点E处,BE交AD于点F,已知∠BDC=62°,则∠DFE 的度数为()图K21-6A.31°B.28°C.62°D.56°9.[2017·广安]下列说法:①四边相等的四边形一定是菱形;②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形;③对角线相等的四边形一定是矩形;④经过平行四边形对角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相等的两部分.其中正确的个数是()A.4B.3C.2D.110.[2018·白银]如图K21-7,点E是正方形ABCD的边DC上一点,把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置.若四边形AECF的面积为25,DE=2,则AE的长为()图K21-7A.5B.C.7D.11.[2015·昆明]如图K21-8,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,有下列结论:①AC⊥BD;②OA=OB;③∠ADB=∠CDB;④△ABC是等边三角形.其中一定成立的是()图K21-8A.①②B.③④C.②③D.①③12.[2018·天津]如图K21-9,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,P为对角线BD上的一个动点,则下列线段的长等于AP+EP最小值的是()图K21-9A.ABB.DEC.BDD.AF13.[2018·内江]如图K21-10,已知四边形ABCD是平行四边形,点E,F分别是AB,BC上的点,AE=CF,并且∠AED=∠CFD.求证:(1)△AED≌△CFD;(2)四边形ABCD是菱形.图K21-1014.[2017·徐州]如图K21-11,在平行四边形ABCD中,点O是边BC的中点,连接DO并延长,交AB的延长线于点E.连接BD,EC.(1)求证:四边形BECD是平行四边形;(2)若∠A=50°,则当∠BOD= °时,四边形BECD是矩形.图K21-11|拓展提升|15.[2018·温州]我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图K21-12所示的矩形由两个这样的图形拼成,若a=3,b=4,则该矩形的面积为()图K21-12A.20B.24C.D.16.已知:如图K21-13,E是正方形ABCD的对角线BD上的点,连接AE,CE.(1)求证:AE=CE;(2)若将△ABE沿AB翻折后得到△ABF,当点E在BD的何处时,四边形AFBE是正方形?请证明你的结论.图K21-13参考答案1.22.53.(-5,4)4.6[解析] 如图,延长原矩形的边,∵矩形的对边平行,∴∠1=∠ACB,由折叠的性质得,∠1=∠ABC,∴∠ABC=∠ACB,∴AC=AB,∵AB=6 cm,∴AC=6 cm.故答案为6.5.[解析] ∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,AC⊥BD,AO=OC=3,BO=OD=4.在Rt△ABO中,AB=5,∴BC=5.S△ABC=AC·BO=BC·AE,即AE=.6.30°或150°[解析] 如图①,∵△ADE是等边三角形,∴DE=DA,∠DEA=∠1=60°.∵四边形ABCD是正方形,∴DC=DA,∠2=90°.∴∠CDE=150°,DE=DC,∴∠3=(180°-150°)=15°.同理可求得∠4=15°.∴∠BEC=30°.如图②,∵△ADE是等边三角形,∴DE=DA,∠1=∠2=60°.∵四边形ABCD是正方形,∴DC=DA,∠CDA=90°.∴DE=DC,∠3=30°,∴∠4=(180°-30°)=75°.同理可求得∠5=75°.∴∠BEC=360°―∠2―∠4―∠5=150°.故答案为30°或150°.7.B8.D[解析] ∵四边形ABCD为矩形,∴∠ADC=90°,∵∠BDC=62°,∴∠ADB=90°-62°=28°.∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,根据题意可知∠EBD=∠CBD,∴∠EBD=∠ADB=28°,∴∠DFE=∠ADB+∠EBD=56°.9.C10.D[解析] ∵△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置,∴△ADE≌△ABF,∴S正方形ABCD=S四边形AECF=25,∴正方形的边长AD=CD=5.∴在Rt△ADE中,AE===.11.D[解析] 根据菱形的对角线互相垂直平分可得①正确,②错误;根据菱形的对角线平分一组对角可得③正确,④错误.12.D[解析] 取CD中点E',连接AE',PE',由正方形的轴对称的性质可知EP=E'P,AF=AE', ∴AP+EP=AP+E'P,∴AP+EP的最小值是AE',即AP+EP的最小值是AF.故选D.13.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,在△AED和△CFD中,∴△AED≌△CFD(ASA).(2)由(1)得△AED≌△CFD,∴AD=DC,∵四边形ABCD是平行四边形,∴四边形ABCD是菱形.14.解:(1)证明:∵平行四边形ABCD,∴AE∥DC, ∴∠EBO=∠DCO,∠BEO=∠CDO,∵点O是边BC的中点,∴BO=CO,∴△EBO≌△DCO(AAS),∴EO=DO,∴四边形BECD是平行四边形.(2)若四边形BECD为矩形,则BC=DE,BD⊥AE,又AD=BC,∴AD=DE.根据等腰三角形的性质,可知∠ADB=∠EDB=40°,故∠BOD=180°-∠ADE=100°.15.B[解析] 设矩形的两条边长为x,y(x>y),对角线是a+b=7,所以x2+y2=49,再利用“勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形”得x-y=1.用完全平方公式得(x-y)2=1,x2-2xy+y2=1,49-2xy=1,-2xy=-48,所以xy=24,即矩形的面积为24.所以选B.16.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CB,∠ABE=∠CBE=45°,在△ABE和△CBE中,∴△ABE≌△CBE(SAS),∴AE=CE.(2)当点E在BD的中点时,四边形AFBE是正方形,证明如下:由折叠的性质得:∠F=∠AEB,AF=AE,BF=BE,∵∠BAD=90°,E是BD的中点,∴AE=BD=BE=DE,∴AE=BE=AF=BF,∴四边形AFBE是菱形,∵E是BD中点,∴E是正方形ABCD对角线的交点,∴AE⊥BD,∴∠AEB=90°,∴四边形AFBE是正方形.尚水出品。
2019年浙江省中考数学图形(四边形)专题
2019年浙江省中考数学图形（四边形）专题一、单选题（共1题；共2分）1.正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D，在点E从点A移动到点B 的过程中，矩形ECFG的面积（）A. 先变大后变小B. 先变小后变大C. 一直变大D. 保持不变二、填空题（共3题；共3分）2.如图，在直线AP上方有一个正方形ABCD，∠PAD=30°，以点B为圆心，AB长为半径作弧点A，与AP交于点A，M，分别以点A，M为圆心，AM长为半径作弧，两弧交于点E，连结ED，则∠ADE的度数为________ 。
3.把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图四块，其中点O为正方形的中心，点E，F分别为AB，AD的中点，用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙），则四边形MNPQ的周长是________。
4.七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”. 由边长为4√2的正方形ABCD可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型（其中点Q、R分别与图2中的点E、G重合，点P在边EH上），则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是________.三、作图题（共1题；共10分）5.如图，在4×4的方格子中，△ABC的三个顶点都在格点上，（1）在图1中画出线段CD，使CD⊥CB，其中D是格点，（2）在图2中画出平行四边形ABEC，其中E是格点.四、解答题（共6题；共55分）6.如图，在矩形ABCD中,点E，F 在对角线BD．请添加一个条件，使得结论“AE=CF”成立，并加以证明．7.已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE=DF，连结AE，AF.求证：AE=AF.8.如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF.（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；（2）若∠AFB＝90°，AB＝6，求四边形BEFD的周长.9.如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1=S2.（1）求线段CE的长.（2）若点日为BC边的中点，连接HD，求证：HD=HG.10.如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F、H在菱形ABCD的对角线BD 上.（1）求证：BG=DE；（2）若E为AD中点，FH=2，求菱形ABCD的周长。
2019版中考数学复习课时训练正方形及中点四边形试题
课时训练(二十六)正方形及中点四边形(限时:30分钟)|夯实基础|1.[2017·广安]下列说法:①四边相等的四边形一定是菱形;②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形;③对角线相等的四边形一定是矩形;④经过平行四边形对角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相等的两部分.其中说法正确的个数为()A.4B.3C.2D.12.小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形,她对折了()A.1次B.2次C.3次D.4次3.若顺次连接四边形ABCD四边的中点,得到的图形是一个矩形,则四边形ABCD一定是()A.矩形B.菱形C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形4.[2017·河北]如图K26-1是边长为10 cm的正方形铁片,过两个顶点剪掉一个三角形,以下四种剪法中,裁剪线长度所标的数据(单位:cm)不正确的是()图K26-1图K26-25.[2017·黔东南州]如图K26-3,正方形ABCD中,E为AB中点,FE⊥AB,AF=2AE,FC交BD于点O,则∠DOC的度数为()A.60°B.67.5°C.75°D.54°6.小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题,从下列四个条件:①AB=BC;②∠ABC=90°;③AC=BD;④AC⊥BD中选两个作为补充条件,使▱ABCD成为正方形(如图K26-4),现有下列四种选法,你认为错误的是()图K26-4A.①②B.②③C.①③D.②④7.[2017·黄冈]已知:如图K26-5,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,则∠BED= 度.图K26-5⏜上,四边形MNPQ为正方形.若半圆的半径为√5, 8.[2017·大庆]如图K26-6,点M,N在半圆的直径AB上,点P,Q在AA则正方形的边长为.图K26-69.[2018·深圳]如图K26-7,四边形ACDF是正方形,∠CEA和∠ABF都是直角且E,A,B三点共线,AB=4,则阴影部分的面积是.图K26-710.[2018·武汉]以正方形ABCD的边AD为边作等边三角形ADE,则∠BEC的度数是.11.[2017·义乌]如图K26-8为某城市部分街道示意图,四边形ABCD为正方形,点G在对角线BD上,GE⊥CD,GF⊥BC,AD=1500 m,小敏行走的路线为B→A→G→E,小聪行走的路线为B→A→D→E→F,若小敏行走的路程为3100 m,则小聪行走的路程为m.12.[2018·舟山]如图K26-9,等边三角形AEF的顶点E,F在矩形ABCD的边BC,CD上,且∠CEF=45°.求证:矩形ABCD是正方形.图K26-913.如图K26-10,四边形ABCD是正方形,点E是BC边的中点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证:AE=EF.图K26-10|拓展提升|14.[2018·烟台]【问题解决】一节数学课上,老师提出了这样一个问题:如图K26-11①,点P是正方形ABCD内一点,PA=1,PB=2,PC=3,你能求出∠APB 的度数吗?小明通过观察、分析、思考,形成了如下思路:思路一:将△PBC绕点B逆时针旋转90°,得到△BP'A,连接PP',求出∠APB的度数;请参考小明的思路,任选一种写出完整的解答过程.【类比探究】如图②,若点P是正方形ABCD外一点,PA=3,PB=1,PC=√11,求∠APB的度数.图K26-11参考答案1.C [解析] ①正确;由于矩形的对角线相等,根据三角形的中位线定理,可得顺次连接矩形各边中点所得四边形的四边都相等,由此可判定所得四边形是菱形,故②错误;对角线相等的平行四边形是矩形,对角线相等的四边形不一定是矩形,故③错误;④正确.综上所述,正确的说法有2个.故选C .2.B3.D [解析] 如图,四边形EFGH 是矩形,且E ,F ,G ,H 分别是AB ,BC ,CD ,AD 的中点,根据三角形中位线定理得:EH ∥FG ∥BD ,EF ∥AC ∥HG.∵四边形EFGH 是矩形,即EF ⊥FG , ∴AC ⊥BD.4.A [解析] 选项A 不正确.理由:正方形的边长为10,所以对角线=10√2≈14,因为15>14,所以这个图形不可能存在.故选A .5.A [解析] 连接BF ,∵E 为AB 中点,FE ⊥AB ,∴EF 垂直平分AB ,∴AF=BF.∵AF=2AE ,∴AF=AB ,∴AF=BF=AB ,∴△ABF 为等边三角形,∴∠FBA=60°,BF=BC ,∴∠FCB=∠BFC=15°,∵四边形ABCD 为正方形,∴∠DBC=45°,根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和得∠DOC=15°+45°=60°.6.B [解析] 此题考查正方形的判定,即在平行四边形的基础上,需要再同时具备矩形和菱形的特征.①是菱形的特征;②是矩形的特征;③是矩形的特征,④是菱形的特征.而B 中都是矩形的特征.故选B .7.45 [解析] 由题意得,AB=AE ,∠BAD=90°,∠DAE=∠AED=60°,所以∠BAE=150°,∠AEB=15°.所以∠BED=∠AED-∠AEB=60°-15°=45°.8.2 [解析] 连接OP ,设正方形的边长为a (a>0),则ON=A2,PN=a ,在Rt △OPN 中,ON 2+PN 2=OP 2,即A 22+a 2=(√5)2,解得a=2.9.8 [解析] ∵四边形ACDF 是正方形,∴AC=AF ,∠CAF=90°,∴∠CAE+∠BAF=90°,又∠CAE+∠ECA=90°,∴∠ECA=∠BAF ,则在△ACE 和△FAB 中,∵{∠AAA =∠AAA =90°,∠AAA =∠AAA ,AA =AA ,∴△ACE ≌△FAB (AAS),∴AB=CE=4, ∴阴影部分的面积=12AB ·CE=12×4×4=8.10.30°或150° [解析] 如图①,∵△ADE 是等边三角形,∵四边形ABCD是正方形,∴DC=DA,∠2=90°.∴∠CDE=150°,DE=DC,∴∠3=1(180°-150°)=15°.2同理可求得∠4=15°.∴∠BEC=30°.如图②,∵△ADE是等边三角形,∴DE=DA,∠1=∠2=60°,∵四边形ABCD是正方形,∴DC=DA,∠CDA=90°.∴DE=DC,∠3=30°,∴∠4=1(180°-30°)=75°.2同理可求得∠5=75°.∴∠BEC=360°―∠2―∠4―∠5=150°.故答案为30°或150°.11.4600[解析] 连接GC,由四边形ABCD为正方形可得△ADG≌△CDG,所以GC=AG,由四边形GECF为矩形可得GC=EF,所以EF=AG,因为小敏行走的路线为B→A→G→E,所以BA+AG+GE=3100 m.因为小聪行走的路线为B→A→D→E→F,所以BA+AD+DE+EF=BA+1500+GE+AG=3100+1500=4600(m).12.证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=∠D=∠C=90°,∵△AEF是等边三角形,∴AE=AF,∠AEF=∠AFE=60°,∵∠CEF=45°,∴∠CFE=∠CEF=45°,∴∠AFD=∠AEB=180°-45°-60°=75°,∴△ABE≌△ADF,∴AB=AD,∴矩形ABCD是正方形.13.证明:取AB的中点H,连接EH.∵∠AEF=90°,∴∠2+∠AEB=90°,∵四边形ABCD是正方形,∴∠1=∠2,∵E 是BC 的中点,H 是AB 的中点, ∴BH=BE ,AH=CE , ∴∠BHE=45°, ∵CF 是∠DCG 的平分线,∴∠FCG=45°,∴∠AHE=∠ECF=135°,在△AHE 和△ECF 中,{∠1=∠2,AA =AA ,∠AAA =∠AAA ,∴△AHE ≌△ECF (ASA),∴AE=EF.14.[解析] 将△PBC 绕点B 逆时针旋转90°得到△P'BA ,连接PP',得到等腰直角三角形BP'P ,从而得到PP'=2√2,∠BPP'=45°,又AP'=CP=3,AP=1,∴AP 2+P'P 2=1+8=9=P'A 2,∴根据勾股定理的逆定理得∠APP'=90°,从而求出∠APB=45°+90°=135°.将△PBC 绕点B 逆时针旋转90°,得到△P'BA ,连接PP',方法和上述类似,求出∠APB=45°. 解:【问题解决】如图①,将△PBC 绕点B 逆时针旋转90°,得到△P'BA ,连接PP'.①∵P'B=PB=2,∠P'BP=90°, ∴PP'=2√2,∠BPP'=45°.又AP'=CP=3,AP=1,∴AP 2+P'P 2=1+8=9=P'A 2, ∴∠APP'=90°,∴∠APB=45°+90°=135°.②【类比探究】如图②,将△PBC 绕点B 逆时针旋转90°,得到△P'BA ,连接PP'.∵P'B=PB=1,∠P'BP=90°,又AP'=CP=√11,AP=3,∴AP2+P'P2=9+2=11=P'A2,∴∠APP'=90°,∴∠APB=90°-45°=45°.。
浙江专版2020中考数学复习方案第五单元四边形课时训练特殊平行四边形试题
课时训练(二十五)特殊平行四边形(二)|夯实基础|1.[2019·无锡]下列结论中,矩形具有而菱形不一定具有的性质是()A.内角和为360°B.对角线互相平分C.对角线相等D.对角线互相垂直2.[2018·宁夏]将一个矩形纸片按如图K25-1所示折叠.若∠1=40°,则∠2的度数是()图K25-1A.40°B.50°C.60°D.70°3.[2018·恩施州]如图K25-2所示,在正方形ABCD中,G为CD边中点,连结AG并延长交BC边的延长线于E点,对角线BD交AG于F点,已知FG=2,则线段AE的长度为()图K25-2A.6B.8C.10D.124.[2019·龙东地区]如图K25-3,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AB∶BC=3∶2,过点B作BE∥AC,过点C 作CE∥DB,BE,CE交于点E,连结DE,则tan∠EDC=()图K25-3A.29B.14C.√26D.3105.[2019·仙桃]矩形的周长等于40,则此矩形面积的最大值是.6.[2019·北京]把图K25-4①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形,将这四个直角三角形分别拼成如图②,图③所示的正方形,则图①中菱形的面积为.图K25-47.如图K25-5,AC是矩形ABCD的对角线,AB=2,BC=2√3,点E,F分别是线段AB,AD上的点,连结CE,CF,当∠BCE=∠ACF,且CE=CF时,AE+AF= .图K25-58.如图K25-6,在平行四边形ABCD中,AB=3 cm,BC=5 cm,∠B=60°,G是CD的中点,E是边AD上的动点,EG的延长线与BC的延长线交于点F,连结CE,DF.(1)求证:四边形CEDF是平行四边形.(2)①当AE= cm时,四边形CEDF是矩形;②当AE= cm时,四边形CEDF是菱形.(直接写出答案,不需要说明理由)图K25-69.[2019·株洲]如图K25-7所示,已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC,BD的交点,连结CE,DG.(1)求证:△DOG≌△COE;,求正方形OEFG的边长.(2)若DG⊥BD,正方形ABCD的边长为2,线段AD与线段OG相交于点M,AM=12图K25-7|拓展提升|10.[2019·东营]如图K25-8,在正方形ABCD中,点O为对角线AC,BD的交点,过点O作射线OM,ON分别交BC,CD 于点E,F,且∠EOF=90°,OC,EF交于点G.给出下列结论:;④DF2+BE2=OG·OC.其中正确①△COE≌△DOF;②△OGE∽△FGC;③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的14的是()图K25-8A.①②③④B.①②③C.①②④D.③④11.[2019·南京]如图K25-9①,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.求作菱形DEFG,使点D在边AC上,点E,F 在边AB上,点G在边BC上.小明的作法:1.如图K25-9②,在边AC上取一点D,过点D作DG∥AB交BC于点G.2.以点D为圆心,DG长为半径画弧,交AB于点E.3.在EB上截取EF=ED,连结FG,则四边形DEFG为所求作的菱形.(1)证明小明所作的四边形DEFG是菱形.(2)小明进一步探索,发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化……请你继续探索,直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围.①②图K25-9【参考答案】1.C2.D [解析]如图,易知2∠3=∠1+180°=220°,从而∠3=110°.又由平行线的性质,得∠2+∠3=180°,进而∠2=70°,故选D .3.D [解析]∵在正方形ABCD 中,G 为CD 边中点, ∴AB ∶DG=2∶1.∵AB ∥CD ,∴AB ∶DG=AF ∶FG. ∵FG=2,∴AF=4. 易证△ADG ≌△ECG , ∴EG=AG=AF+FG=4+2=6. ∴AE=12.故选D .4.A [解析]如图,作EF ⊥DC ,交DC 的延长线于点F.∵AB ∶BC=3∶2,∴设AB=6,BC=4. ∵四边形ABCD 是矩形, ∴DC=AB=6,∠BCD=90°, ∴BD=√62+42=2√13, ∴OD=OC=√13. ∵BE ∥AC ,CE ∥DB ,∴四边形OCEB 是平行四边形. ∵OC=OB ,∴四边形OCEB 是菱形, ∴CE=√13.∵CE ∥BD ,∴∠ECF=∠BDC , ∴sin ∠ECF=sin ∠BDC ,∴EE EE =EEEE , ∴√13=,∴EF=2.在Rt △CEF 中,由勾股定理得CF=3, ∴DF=DC+CF=6+3=9, ∴tan ∠EDC=EE EE =29. 故选A .5.100 [解析]设矩形的一边长为x ,则相邻的另一边长为20-x ,矩形的面积为y ,y=x (20-x )=-x 2+20x=-(x-10)2+100,即当x=10时,y 有最大值为100.6.12 [解析]设图①中小直角三角形的两直角边长分别为a ,b (b>a ),则由图②,图③可列方程组{E +E =5,E -E =1,解得{E =2,E =3,所以菱形的面积S=12×4×6=12.故答案为12.7.4√33[解析]如图,作FG ⊥AC 于点G ,易证△BCE ≌△GCF (AAS ),∴BE=GF ,BC=CG.∵在Rt △ABC 中,tan ∠ACB=EEEE ==√33,∴∠ACB=30°,∴AC=2AB=4,∠DAC=∠ACB=30°.∵FG ⊥AC ,∴AF=2GF ,∴AE+AF=AE+2BE=AB+BE. 设BE=x ,在Rt △AFG 中,AG=√3GF=√3x , ∴AC=AG+CG=√3x+2√3=4, 解得x=43 √3-2,∴AE+AF=AB+BE=2+43 √3-2=4√33.8.解:(1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴CF ∥ED ,∴∠FCG=∠EDG. ∵G 是CD 的中点,∴CG=DG.在△FCG 和△EDG 中,{∠EEE =∠EEE ,EE =EE ,∠EEE =∠EEE ,∴△FCG ≌△EDG (ASA ),∴FG=EG. 又∵CG=DG ,∴四边形CEDF 是平行四边形. (2)①当AE=3.5 cm 时,四边形CEDF 是矩形.②当AE=2 cm 时,四边形CEDF 是菱形. 9.解:(1)证明:∵四边形OEFG 为正方形, ∴GO=EO ,∠GOE=90°. ∵四边形ABCD 为正方形, ∴OD=OC ,∠DOC=90°, ∴∠GOE=∠DOC ,∴∠GOE-∠DOE=∠DOC-∠DOE , 即∠DOG=∠COE , ∴△DOG ≌△COE. (2)∵DG ⊥BD ,AC ⊥BD , ∴DG ∥AC ,∴∠GDM=∠OAM. ∵∠DMG=∠AMO , ∴△GDM ∽△OAM ,∴EE EE =EEEE. ∵AD=2,AM=12,∴DM=32,AO=√2,∴GD=EE ·EE EE =32×√212=3√2.在Rt △OGD 中,OG 2=OD 2+DG 2, ∴OG=2√5,∴正方形OEFG 的边长为2√5.10.B [解析]因为四边形ABCD 为正方形, 所以OC=OD ,∠OCE=∠ODC=45°, ∠COD=90°.因为∠EOF=90°,所以∠DOF=∠COE , 所以△COE ≌△DOF ,故①正确; 由△COE ≌△DOF ,得OE=OF , 所以∠OEF=45°,所以∠OEF=∠OCF. 因为∠OGE=∠CGF ,可得△OGE ∽△FGC , 故②正确;由△COE ≌△DOF ,得△COE 与△DOF 面积相等,所以四边形CEOF 的面积=△COE 的面积+△COF 的面积=△DOF 的面积+△COF 的面积=△COD 的面积=正方形ABCD面积的14,故③正确;因为∠OEG=∠OCE=45°,∠EOG=∠COE , 所以△OGE ∽△OEC ,所以OE ∶OC=OG ∶OE , 所以OE 2=OG ·OC. 因为OE 2+OF 2=EF 2=CE 2+CF 2, 又因为OE=OF ,DF=CE ,CF=BE , 所以2OE 2=DF 2+BE 2=2OG ·OC. 故④错误.故正确的是①②③.故选B .11.[分析] (1)根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可. (2)求出几种特殊位置的CD 的值判断即可. 解:(1)证明:∵DE=DG ,EF=DE , ∴DG=EF. 又∵DG ∥EF ,∴四边形DEFG 是平行四边形. 又∵DG=DE ,∴四边形DEFG 是菱形.(2)当0≤CD<3637或43<CD ≤3时,菱形的个数为0; 当CD=3637或98<CD ≤43时,菱形的个数为1; 当3637<CD ≤98时,菱形的个数为2.[解析]以点D 为圆心,DG 长为半径作☉D.以☉D 与线段AB 的位置关系、交点个数为依据进行分类. 如图①中,当四边形DEFG 是正方形时,设正方形的边长为x.在Rt △ABC 中,∵∠C=90°,AC=3,BC=4, ∴AB=√32+42=5,易得CD=35x ,AD=54x. ∵AD+CD=AC ,∴35x+54x=3,∴x=6037,∴CD=35x=3637.如图②中,当四边形DAEG 是菱形时,设菱形的边长为m.∵DG ∥AB ,∴EE EE =EEEE, ∴3-E 3=E 5,解得m=158,∴CD=3-158=98.如图③中,当四边形DEBG 是菱形时,设菱形的边长为n.∵DG ∥AB ,∴EE EE =EEEE , ∴4-E 4=E 5,∴n=209,∴CG=4-209=169,∴CD=√(209) 2-(169) 2=43.综上,观察图形可知:当0≤CD<3637或43<CD ≤3时,菱形的个数为0;当CD=3637或98<CD ≤43时,菱形的个数为1;当3637<CD ≤98时,菱形的个数为2.。
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课时训练(二十五) 特殊平行四边形(二)|夯实基础|1.[2018·贵阳] 如图K25-1,在菱形ABCD中,E是AC的中点,EF∥CB,交AB于点F,如果EF=3,那么菱形ABCD的周长为()图K25-1A.24B.18C.12D.92.[2018·宁夏] 将一个矩形纸片按如图K25-2所示折叠,若∠1=40°,则∠2的度数是()图K25-2A.40°B.50°C.60°D.70°3.[2018·恩施州] 如图K25-3所示,在正方形ABCD中,G为CD边中点,连结AG并延长交BC边的延长线于E点,对角线BD交AG于F点,已知FG=2,则线段AE的长度为()图K25-3A.6B.8C.10D.124.[2017·兰州] 在平行四边形ABCD中,对角线AC与DB相交于点O.要使四边形ABCD是正方形,还需添加一组条件.下面给出了四组条件:①AB⊥AD,且AB=AD;②AB=BD,且AB⊥BD;③OB=OC,且OB⊥OC;④AB=AD,且AC=BD.其中正确的序号是.5.[2018·上海] 对于一个位置确定的图形,如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上,且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点(如图K25-4①),那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽,铅垂方向的边长称为该图形的高.如图②,菱形ABCD的边长为1,边AB水平放置.如果该菱形的高是宽的,那么它的宽的值是.图K25-46.如图K25-5,AC是矩形ABCD的对角线,AB=2,BC=2,点E,F分别是线段AB,AD上的点,连结CE,CF,当∠BCE=∠ACF,且CE=CF时,AE+AF= .图K25-57.如图K25-6,在平行四边形ABCD中,AB=3 cm,BC=5 cm,∠B=60°,G是CD的中点,E是边AD上的动点,EG的延长线与BC的延长线交于点F,连结CE,DF.(1)求证:四边形CEDF是平行四边形.(2)①当AE= cm时,四边形CEDF是矩形;②当AE= cm时,四边形CEDF是菱形.(直接写出答案,不需要说明理由)图K25-68.[2018·吉林] 如图K25-7①,在△ABC中,AB=AC,过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E,以E为顶点,ED为一边,作∠DEF=∠A,另一边EF交AC于点F.(1)求证:四边形ADEF为平行四边形;(2)当点D为AB中点时,▱ADEF的形状为;(3)延长图①中的DE到点G,使EG=DE,连结AE,AG,FG,得到图②,若AD=AG,判断四边形AEGF的形状,并说明理由.图K25-7|拓展提升|9.[2018·海南] 如图K25-8①,分别沿长方形纸片ABCD和正方形纸片EFGH的对角线AC,EG剪开,拼成如图②所示的▱KLMN,若中间空白部分四边形OPQR恰好是正方形,且▱KLMN的面积为50,则正方形EFGH的面积为()图K25-8A.24B.25C.26D.2710.[2018·咸宁] 如图K25-9,已知∠MON=120°,点A,B分别在OM,ON上,且OA=OB=a,将射线OM绕点O逆时针旋转得到OM',旋转角为α(0°<α<120°且α≠60°),作点A关于直线OM'的对称点C,画直线BC交OM'于点D,连结AC,AD.有下列结论:图K25-9①AD=CD;②∠ACD的大小随着α的变化而变化;③当α=30°时,四边形OADC为菱形;④△ACD的面积的最大值为a2.其中正确的是.(把你认为正确结论的序号都填上)11.[2018·绍兴] 小敏思考解决如下问题:原题:如图K25-10①,点P,Q分别在菱形ABCD的边BC,CD上,∠PAQ=∠B,求证:AP=AQ.(1)小敏进行探索,若将点P,Q的位置特殊化:把∠PAQ绕点A旋转得到∠EAF,使AE⊥BC,点E,F分别在边BC,CD上,如图②,此时她证明了AE=AF.请你证明.(2)受以上(1)的启发,在原题中,添加辅助线:如图③,作AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F.请你继续完成原题的证明.(3)如果在原题中添加条件:AB=4,∠B=60°,如图①.请你编制一个计算题(不标注新的字母),并直接给出答案.图K25-10参考答案1.A2.D[解析] 如下图,易知2∠3=∠1+180°=220°,从而∠3=110°,又由平行线的性质,得∠2+∠3=180°,进而∠2=70°,故选D.3.D[解析] ∵正方形ABCD,G为CD边中点,∴AB∶DG=2∶1.∵AB∥CD,∴AB∶DG=AF∶FG.∵FG=2,∴AF=4.易证△ADG≌△ECG,∴EG=AG=AF+FG=4+2=6.∴AE=12.故选D.4.①③④[解析] ①有一个角是直角的平行四边形是矩形,有一组邻边相等的矩形是正方形,故①正确.②BD为平行四边形的对角线,AB为平行四边形的其中一条边,所以AB=BD时,平行四边形不可能是正方形,故②错误.③对角线相等且垂直的平行四边形是正方形,由OB=OC,得AC=BD,由OB⊥OC,得AC⊥BD,所以四边形ABCD为正方形,故③正确.④邻边相等的平行四边形是菱形,对角线相等的菱形是正方形.在平行四边形ABCD中,由AB=AD,得四边形ABCD为菱形,又∵AC=BD,∴四边形ABCD为正方形.故④正确.5.[解析] 如图,将菱形ABCD放置在一个水平矩形AFCE中,设宽AF为a,则高CF为a,因为菱形ABCD的边长为1,所以BF为a-1,在Rt△BCF中,由勾股定理得(a-1)2+a2=12,解得a=.6.[解析] 如图,作FG⊥AC,易证△BCE≌△GCF(AAS),∴BE=GF,BC=CG.∵在Rt△ABC中,tan∠ACB===,∴∠ACB=30°,∴AC=2AB=4,∠DAC=∠ACB=30°.∵FG⊥AC,∴AF=2GF,∴AE+AF=AE+2BE=AB+BE.设BE=x,在Rt△AFG中,AG=GF=x,∴AC=AG+CG=x+2=4,解得x=-2,∴AE+AF=AB+BE=2+-2=.7.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴CF∥ED,∴∠FCG=∠EDG.∵G是CD的中点,∴CG=DG.在△FCG和△EDG中,∴△FCG≌△EDG(ASA),∴FG=EG.又∵CG=DG,∴四边形CEDF是平行四边形.(2)①当AE=3.5 cm时,四边形CEDF是矩形.②当AE=2 cm时,四边形CEDF是菱形.8.解:(1)证明:∵DE∥AC,∴∠DEF=∠EFC.∵∠DEF=∠A,∴∠A=∠EFC,∴EF∥AB,∴四边形ADEF为平行四边形.(2)菱形.理由如下:∵点D为AB中点,∴AD=AB.∵DE∥AC,点D为AB中点,∴E为BC中点,∴DE=AC.∵AB=AC,∴AD=DE,∴平行四边形ADEF为菱形.(3)四边形AEGF为矩形.理由:∵四边形ADEF为平行四边形,∴AF∥DE,AF=DE,AD=EF.∵EG=DE,∴AF=EG.又∵AF∥EG,∴四边形AEGF是平行四边形.∵AD=AG,∴AG=EF,∴四边形AEGF为矩形.9.B[解析] 设长方形纸片长,宽分别为x,y,正方形纸片边长为z.∵四边形OPQR是正方形,∴RQ=RO,∴x-z=z-y,∴x=2z-y①;∵▱KLMN的面积为50,∴xy+z2+(z-y)2=50,把①代入,得(2z-y)·y+z2+(z-y)2=50,∴2zy-y2+z2+z2-2yz+y2=50,整理,得2z2=50,∴z2=25,∴正方形EFGH的面积=z2=25,故选择B.10.①③④[解析] 连结OC,∵点A关于直线OM'的对称点是点C,由对称性可得OA=OC,CD=AD,故①正确; ∵OA=OC,∴∠COD=∠AOD=α,由对称性可知OM'垂直平分AC,∴∠OCA=90°-α.∵OA=OB,OA=OC,∴OB=OC.∵∠BOC=120°-2α,∴∠BCO=30°+α,∴∠BCA=90°-α+30°+α=120°,∴∠ACD=180°-120°=60°,故②错误;∵CD=AD,∴△ACD为等边三角形.当α=30°时,∠AOC=60°∴△ACO为等边三角形.∴OC=OA=AC,又∠ACD=60°,AD=CD,∴AD=CD=AC.∴OA=OC=CD=AD.∴四边形OADC为菱形.故③正确;要使△ACD的面积最大即AC要最大,当α=90°,A,O,C在一条直线上时,AC最大,∴△ACD的面积的最大值为×2a×a=a2,故④正确.11.[解析] (1)可先求出∠AFC=∠AFD=90°,然后证明△AEB≌△AFD即可;(2)先求出∠EAP=∠FAQ,再证明△AEP≌△AFQ即可;(3)可以分三个不同的层次,①直接求菱形本身其他内角的度数或边的长度,也可求菱形的周长.②可求PC+CQ,BP+QD,∠APC+∠AQC的值.③可求四边形APCQ的面积、△ABP与△AQD的面积和、四边形APCQ周长的最小值等.解:(1)证明:如图①,在菱形ABCD中,∠B+∠C=180°,∠B=∠D,AB=AD,∵∠EAF=∠B,∴∠C+∠EAF=180°,∴∠AEC+∠AFC=180°.∵AE⊥BC,∴∠AEB=∠AEC=90°,∴∠AFC=90°,∠AFD=90°,∴△AEB≌△AFD,∴AE=AF.(2)证明:如图②,∵∠PAQ=∠EAF=∠B,∴∠EAP=∠EAF-∠PAF=∠PAQ-∠PAF=∠FAQ.精品K12教育教学资料精品K12教育教学资料 ∵AE ⊥BC ,AF ⊥CD ,∴∠AEP=∠AFQ=90°.∵AE=AF ,∴△AEP ≌△AFQ ,∴AP=AQ.(3)答案不唯一,举例如下:层次1:①求∠D 的度数.答案:∠D=60°. ②分别求∠BAD ,∠BCD 的度数. 答案:∠BAD=∠BCD=120°.③求菱形ABCD 的周长.答案:16. ④分别求BC ,CD ,AD 的长.答案:4,4,4. 层次2:①求PC+CQ 的值.答案:4. ②求BP+QD 的值.答案:4.③求∠APC+∠AQC 的值.答案:180°. 层次3:①求四边形APCQ 的面积.答案:4. ②求△ABP 与△AQD 的面积和.答案:4. ③求四边形APCQ 周长的最小值. 答案:4+4.。