2017-2018学年湘教版数学选修2-2章末检测5数系的扩充与复数 Word版含解析

章末检测
一、选择题
1．i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则
( )
A ．i ∈S
B ．i 2∈S
C ．i 3∈S D.2
i ∈S
答案 B
2．z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的
( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
答案 A
解析 因为z 1＝z 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧
m 2＋m ＋1＝3
m 2＋m －4＝－2
，解得m ＝1或m ＝－2，
所以m ＝1是z 1＝z 2的充分不必要条件．
3．(2013·天津改编)已知i 是虚数单位，m ，n ∈R ，且m ＋i ＝1＋n i ，则m ＋n i
m －n i
＝
( )
A ．－1
B ．1
C ．－i
D ．i 答案 D
解析 由m ＋i ＝1＋n i(m ，n ∈R )，∴m ＝1且n ＝1.则m ＋n i
m －n i ＝1＋i
1－i
＝(1＋i )2
2＝i.
4．已知a 是实数，
a －i
1＋i
是纯虚数，则a 等于 ( )
A ．1
B ．－1 C. 2 D ．－ 2
答案 A
解析a－i
1＋i
＝
(a－i)(1－i)
(1＋i)(1－i)
＝
(a－1)－(a＋1)i
2是纯虚数，则a－1＝0，a＋1≠0，
解得a＝1.
5．若(x－i)i＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋y i等于
() A．－2＋i B．2＋i C．1－2i D．1＋2i
答案 B
解析∵(x－i)i＝y＋2i，x i－i2＝y＋2i，
∴y＝1，x＝2，∴x＋y i＝2＋i.
6．已知2＋a i，b＋i是实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，则p，q的值为
() A．p＝－4，q＝5 B．p＝4，q＝5
C．p＝4，q＝－5 D．p＝－4，q＝－5
答案 A
解析由条件知2＋a i，b＋i是共轭复数，则a＝－1，b＝2，即实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根是2±i，所以p＝－[(2＋i)＋(2－i)]＝－4，q＝(2＋i)(2－i)＝5.
7．(2013·新课标Ⅰ)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为
()
A．－4 B．－4
5C．4 D.
4
5
答案 D
解析因为复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，所以z＝|4＋3i|
3－4i
＝
5
3－4i
＝
5(3＋4i)
25
＝3
5＋
4
5i，故z的虚部等于
4
5，故选D.
8．i 是虚数单位，若
1＋7i
2－i
＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则ab 的值是 ( )
A ．－15
B ．3
C ．－3
D ．15 答案 C
解析 1＋7i
2－i
＝(1＋7i )(2＋i )
5＝－1＋3i ，∴a ＝－1，b ＝3，ab ＝－3.
9．(2013·广东)若复数z 满足i z ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( ) A ．(2,4) B ．(2，－4) C ．(4，－2) D ．(4,2) 答案 C
解析 z ＝2＋4i
i ＝4－2i 对应的点的坐标是(4，－2)，故选C. 10．已知f (n )＝i n －i －n (n ∈N *)，则集合{f (n )}的元素个数是
( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．无数个 答案 B
解析 f (n )有三个值0,2i ，－2i. 二、填空题
11．复平面内，若z ＝m 2(1＋i)－m (4＋i)－6i 所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是________． 答案 (3,4)
解析 ∵z ＝m 2－4m ＋(m 2－m －6)i 所对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪
⎧
m 2－4m <0m 2－m －6>0，
解得3<m <4.
12．(2013·天津)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________. 答案 1＋2i
解析 由(a ＋i)(1＋i)＝b i 得a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，即a －1＝0，a ＋1＝b ，解得
a ＝1，
b ＝2，所以a ＋b i ＝1＋2i.
13．(2013·山东改编)若复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z ＝________. 答案 5－i
解析 由(z －3)(2－i)＝5，得z ＝5
2－i ＋3＝5(2＋i )
(2－i )(2＋i )
＋3＝5(2＋i )5＋3＝
2＋i ＋3＝5＋i.所以z ＝5－i.
14．下列说法中正确的序号是________．
①若(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，其中x ∈R ，y ∈∁C R ，则必有⎩⎨⎧
2x －1＝y
1＝－(3－y )；
②2＋i>1＋i ；
③虚轴上的点表示的数都是纯虚数； ④若一个数是实数，则其虚部不存在；
⑤若z ＝1
i ，则z 3＋1对应的点在复平面内的第一象限． 答案 ⑤
解析 由y ∈∁C R ，知y 是虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧
2x －1＝y
1＝－(3－y )不成立，故①错误；两个不
全为实数的复数不能比较大小，故②错误；原点也在虚轴上，表示实数0，故③错误；实数的虚部为0，故④错误；⑤中z 3＋1＝1
i 3＋1＝i ＋1，对应点在第一象限，故⑤正确． 三、解答题
15．设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，当m 为何值时， (1)z 是实数？(2)z 是纯虚数？
解 (1)要使复数z 为实数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧
m 2－2m －2>0，
m 2＋3m ＋2＝0，
解得m ＝－2或－1.
即当m ＝－2或－1时，z 是实数．
(2)要使复数z 为纯虚数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧
m 2－2m －2＝1，
m 2＋3m ＋2≠0，
解得m ＝3.即当m ＝3时，z 是纯虚数．
16．设f (n )＝⎝
⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n
(n ∈N )，求集合{x |x ＝f (n )}中元素的个数． 解 ∵1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i ，∴f (n )＝i n ＋(－i)n .设k ∈N .
当n ＝4k 时，f (n )＝2，
当n ＝4k ＋1时，f (n )＝i 4k ·i ＋(－i)4k ·(－i)＝0， 当n ＝4k ＋2时，f (n )＝i 4k ·i 2＋(－i)4k ·(－i)2＝－2， 当n ＝4k ＋3时，f (n )＝i 4k ·i 3＋(－i)4k ·(－i)3＝0， ∴{x |x ＝f (n )}中有三个元素．
17．(2013·山东德州期中)已知z ＝1＋i ，a ，b 为实数． (1)若ω＝z 2＋3z －4，求|ω|； (2)若z 2＋az ＋b z 2－z ＋1
＝1－i ，求a ，b 的值．
解 (1)因为ω＝z 2＋3z －4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i ， |ω|＝
(－1)2＋(－1)2＝ 2.
(2)由条件z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，得(1＋i )2＋a (1＋i )＋b
(1＋i )2
－(1＋i )＋1＝ 1－i.即(a ＋b )＋(a ＋2)i
i
＝1－i
∴(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝1＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－1
b ＝2
.
18．设z 1是虚数，z 2＝z 1＋1
z 1
是实数，且－1≤z 2≤1.
(1)求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围； (2)若ω＝1－z 1
1＋z 1
，求证：ω为纯虚数．
(1)解 设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，则z 2＝z 1＋1z 1＝a ＋b i ＋1
a ＋
b i ＝
⎝
⎛
⎭⎪⎫a ＋a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －b a 2＋b 2i. 因为z 2是实数，b ≠0，于是有a 2＋b 2＝1，即|z 1|＝1，还可得z 2＝2a . 由－1≤z 2≤1，得－1≤2a ≤1，解得－12≤a ≤1
2，即z 1的实部的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，12. (2)证明 ω＝1－z 11＋z 1＝1－a －b i 1＋a ＋b i ＝1－a 2－b 2－2b i (1＋a )2＋b 2
＝ －
b a ＋1
i.因为a ∈[－12，1
2]，b ≠0，所以ω为纯虚数．。