山东省德州市复习学案及解答(必修四第二章向量)
高中数学必修4第2章平面向量复习教案 人教版_必修
平面向量必修4 第2章 平面向量 §2.1向量的概念及其表示重难点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量，掌握平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系． 考纲要求：①了解向量的实际背景．②理解平面向量的概念及向量相等的含义． ③理解向量的几何表示．A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c 也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行当堂练习：1.下列各量中是向量的是 ( ) A.密度 B.体积 C.重力 D.质量2下列说法中正确的是 （ ） A. 平行向量就是向量所在的直线平行的向量 B. 长度相等的向量叫相等向量 C. 零向量的长度为零 D.共线向量是在一条直线上的向量 3．设O 是正方形ABCD 的中心，则向量、、、是 （ ） A ．平行向量 B ．有相同终点的向量 C ．相等的向量 D ．模都相同的向量4.下列结论中,正确的是 ( ) A. 零向量只有大小没有方向 B. 对任一向量,||>0总是成立的 C. |=|| D. |与线段BA 的长度不相等A. 与共线B. 与相等C. 与 是相反向量D. 与模相等6．已知O 是正方形ABCD 对角线的交点，在以O ，A ，B ，C ，D 这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，（1）与相等的向量有 ； （2）与长度相等的向量有 ； （3）与共线的向量有 ．8．如图，O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在图中所示的向量中：（1）与相等的向量有 ；AO OB CO OD ||AB CD AC BD AD AB BC OB DA AO（2）写出与共线的向有 ； （3）写出与的模相等的有 ； （4）向量与是否相等？答 ． 9．O 是正六边形ABCDE 的中心，且，，，在以A ，B ，C ，D ，E ，O 为端点的向量中：（1）与相等的向量有 ； （2）与相等的向量有 ； （3）与相等的向量有10．在如图所示的向量，，，，中（小正方形的边长为1），是否存在：（1）是共线向量的有 ； （2）是相反向量的为 ； （3）相等向量的的 ； （4）模相等的向量 ．11．如图，△ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，AB ，CA 的中点，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段中所表示的向量中，（1）与向量共线的有 ． （2）与向量的模相等的有 ． （3）与向量相等的有 ．12．如图，中国象棋的半个棋盘上有一只“马”，开始下棋时，它位于A 点，这只“马”第一步有几种可能的走法？试在图中画出来．若它位于图中的P 点，这只“马”第一步有几种可能的走法？它能否从点A 走到与它相邻的B ？它能否从一交叉点出发，走到棋盘上的其它任何一个交叉点？必修4 第2章 平面向量 §2.2向量的线性运算 重难点：灵活运用向量加法的三角形法则和平行四边形法则解决向量加法的问题，利用交换律和结合律进行向量运算；灵活运用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的差，以及求两个向量的差的问题；理解实数与向量的积的定义掌握实数与向量的积的运算律体会两向量共线的充要条件．考纲要求：①掌握向量加法，减法的运算，并理解其几何意义． ②掌握向量数乘的运算及其意义。
高中数学必修4(人教A版)第二章平面向量2.1知识点总结含同步练习及答案
描述：高中数学必修4(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念一、学习任务了解向量的实际背景，理解平面向量的基本概念和几何表示，理解向量相等的含义．二、知识清单平面向量的概念与表示三、知识讲解1.平面向量的概念与表示向量的基本概念我们把既有方向，又有大小的量叫做向量（vector）．带有方向的线段叫做有向线段．我们在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以为起点、为终点的有向线段记做，起点写在终点的前面．有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．向量可以用有向线段来表示．向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记做 ，长度为 的向量叫做零向量(zero vector)，记做 ．零向量的方向不确定．长度等于 个单位的向量，叫做单位向量(unit vector)．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 （parallel vectors），向量 、 平行，通常记做．规定零向量与任一向量平行，即对于任意向量，都有．A B AB −→−||AB −→−00 1a b ∥a b a →∥0→a →例题：相等向量与共线向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量(equal vector)．向量 与 相等，记做 ．任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量(collinear vectors)．四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）∥a b =a b 下列四个命题：① 时间、速度、加速度都是向量；② 向量的模是一个正实数；③ 相等向量一定是平行向量；④ 共线向量一定在同一直线上；⑤ 若 ， 是单位向量，则 ；⑥ 若非零向量 与 是共线向量，则四点 共线．其中真命题的个数为（ ）A． B． C． D．解：B只有③正确．a →b →=a →b →AB −→−CD −→−A ,B ,C ,D 0123下列说法正确的是（ ）A．零向量没有大小，没有方向B．零向量是唯一没有方向的向量C．零向量的长度为D．任意两个单位向量方向相同解：C零向量的长度为 ，方向是任意的，故 A，B 错误，C 正确，任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故 D 错误．00如图所示， 是正六边形 的中心．（1）与 的模相等的向量有多少个？（2）是否存在与 长度相等、方向相反的向量？（3）与 共线的向量有哪些？解：（1）因为 的模等于正六边形的边长，而在图中，模等于边长的向量有 个，所以共有 个与 的模相等的向量．（2）存在，是 ．（3）有 、、．O ABCDEF OA −→−OA −→−OA −→−OA −→−1211OA −→−F E −→−F E −→−CB −→−DO −→−高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
(完整版)高中数学必修4第二章平面向量教案完整版
第1课时§2.1 平面向量的实际背景及基本概念1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB ；④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.6、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有．．向线段的起点无关．．．．．．．．. A(起点)B（终点）aOABaaa bb b7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的．．．．．．起点无关）．．．．．. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.第2课时§2.2.1 向量的加法运算及其几何意义二、探索研究：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂ=+=，规定： a + 0-= 0 + a探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |； （3）当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||，当与反向时，若||>||，则+的方向与相同，且|+|=||-||；若||<||，则+的方向与相同，且|+b|=||-||.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到A BCa +ba +baa b b aｂｂ ａan 个向量连加３．例一、已知向量a 、b ，求作向量a +b作法：在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=. ４．加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中b +a 的结果与a +b 是否相同？ 验证结果相同 从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）２）向量加法的交换律：a +b =b +a ５．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 证：如图：使a AB =， b BC =， c CD =则(a +b ) +c =AD CD AC =+，a + (b +c ) =AD BD AB =+ ∴(a +b ) +c =a + (b +c )从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.第3课时§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义1． 用“相反向量”定义向量的减法（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a ) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0 （3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2． 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3． 求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量 ∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = aOabBa ba -b作法：在平面内取一点O ， 作= a ， = b 则BA = a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 注意：1︒AB 表示a - b .强调：差向量“箭头”指向被减数 2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b ) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.4． 探究：１）如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是b - a.２）若a ∥b ， 如何作出a - b ？2.3平面向量的基本定理及坐标表示第4课时§2.3.1 平面向量基本定理复习引入：1．实数与向量的积：实数λ与向量a ρ的积是一个向量，记作：λa ρ（1）|λa ρ|=|λ||a ρ|；（2）λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λO ABa B’b-b bBa + (-b )a b a -bA ABBB’Oa -b a a bbO AOBa -ba -b BA O-ba ρ=2．运算定律结合律：λ(μa ρ)=(λμ)a ρ ；分配律：(λ+μ)a ρ=λa ρ+μa ρ， λ(a ρ+b ρ)=λa ρ+λb ρ3. 向量共线定理 向量b ρ与非零向量a ρ共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b ρ=λa ρ.平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ρ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ρ=λ11e +λ22e . 探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ρ，1e ，2e 唯一确定的数量第5课时§2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ρ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ρ=λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ρ，1e ，2e 唯一确定的数量 二、讲解新课： 1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=…………○1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =…………○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x . 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA =，则点A 的位置由a 唯一确定.设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算（1） 若),(11y x a =，),(22y x b =，则ba +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++= 即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --= （2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB =OB -OA =( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=第6课时§2.3.4 平面向量共线的坐标表示一、复习引入： 1．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.2．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --= 二、讲解新课：a ρ∥b ρ (b ρ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0设a ρ=(x 1， y 1) ，b ρ=(x 2， y 2) 其中b ρ≠a ρ.由a ρ=λb ρ得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y 1， y 2有可能为0， ∵b ρ≠0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0（2）充要条件不能写成2211x y x y = ∵x 1， x 2有可能为0 (3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a ρ∥b ρ (b ρ≠0)01221=-=⇔y x y x ba λ§2.4平面向量的数量积第7课时一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义一、复习引入：1． 向量共线定理 向量b ρ与非零向量a ρ共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b ρ=λa ρ.2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ρ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ρ=λ11e +λ22e 3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a = 4．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=.若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=5．a ρ∥b ρ (b ρ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1， P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1， P 2的任一点，存在实数λ，使 P P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7. 定比分点坐标公式：若点P １(x 1，y 1) ，Ｐ２(x 2，y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（λλλλ++++1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比.8. 点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点.②当λ＜０(1-≠λ)时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点. 9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP ＝ｂ， 可得OP =b a b a λλλλλ+++=++1111.10．力做的功：W = |F |⋅|s |cos θ，θ是F 与s 的夹角. 二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向； （3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. ⋅探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a ⋅b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a ⋅b 是两C个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a ≠0，且a ⋅b =0，则b =0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ⋅b =0，不能推出b =0.因为其中cos θ有可能为0.（4）已知实数a 、b 、c (b ≠0)，则ab=bc ⇒ a=c .但是a ⋅b = b ⋅c a = c如右图：a ⋅b = |a ||b |cos β = |b ||OA|，b ⋅c = |b ||c |cos α = |b ||OA|⇒ a ⋅b = b ⋅c 但a ≠ c(5)在实数中，有(a ⋅b )c = a (b ⋅c )，但是(a ⋅b )c ≠ a (b ⋅c )显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |. 4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积. 5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒ cos θ =||||b a ba ⋅5︒ |a ⋅b | ≤ |a ||b |第8课时二、平面向量数量积的运算律一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角. 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影. 投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |.4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| 4︒cos θ =||||b a b a ⋅ ；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | 二、讲解新课：平面向量数量积的运算律1．交换律：a ⋅ b = b ⋅ a证：设a ，b 夹角为θ，则a ⋅ b = |a ||b |cos θ，b ⋅ a = |b ||a |cos θ∴a ⋅ b = b ⋅ a2．数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )C证：若λ> 0，(λa )⋅b =λ|a ||b |cos θ， λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ，a ⋅(λb ) =λ|a ||b |cos θ，若λ< 0，(λa )⋅b =|λa ||b |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ，λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ， a ⋅(λb ) =|a ||λb |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ.3．分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c在平面内取一点O ，作OA = a ， AB = b ，OC = c ， ∵a + b （即OB ）在c 方向上的投影等于a 、b 在c 方向上的投影和，即 |a + b | cos θ = |a | cos θ1 + |b | cos θ2∴| c | |a + b | cos θ =|c | |a | cos θ1 + |c | |b | cos θ2， ∴c ⋅(a + b ) = c ⋅a + c ⋅b 即：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２第9课时三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积. 4．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒ cos θ =||||b a b a ⋅ ；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | C5．平面向量数量积的运算律交换律：a ⋅ b = b ⋅ a数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c二、讲解新课：⒈ 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，试用a 和b 的坐标表示b a ⋅. 设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11+=，j y i x b 22+= 所以))((2211j y i x j y i x b a ++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+= 又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i ，所以b a ⋅2121y y x x += 这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x +=2. 平面内两点间的距离公式一、 设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)二、 向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x三、 两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）co s θ =||||b a b a ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=。
【人教A版】高中数学必修4第二章课后习题解答
新课程标准数学必修4第二章课后习题解答第二章 平面向量2．1平面向量的实际背景及基本概念 练习（P77）1、略.2、AB ，BA . 这两个向量的长度相等，但它们不等.3、2AB =， 2.5CD =，3EF =，22GH =4、（1）它们的终点相同； （2）它们的终点不同. 习题2.1 A 组（P77） 1、（2）. 3、与DE 相等的向量有：,AF FC ；与EF 相等的向量有：,BD DA ； 与FD 相等的向量有：,CE EB .4、与a 相等的向量有：,,CO QP SR ；与b 相等的向量有：,PM DO ； 与c 相等的向量有：,,DC RQ ST5、332AD =. 6、（1）×； （2）√； （3）√； （4）×. 习题2.1 B 组（P78）1、海拔和高度都不是向量.2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与AM 同向的共有6对，与AM 反向的也有6对；与AD 同向的共有3对，与AD 反向的也有64对；模为2的向量有2对2．2平面向量的线性运算 练习（P84）1、图略.2、图略.3、（1）DA ； （2）CB .4、（1）c ； （2）f ； （3）f ； （4）g .练习（P87）1、图略.2、DB ，CA ，AC ，AD ，BA .3、图略. 练习（P90） 1、图略.2、57AC AB =，27BC AB =-.说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是BC 与AB 反向.3、（1）2b a =； （2）74b a =-； （3）12b a =-； （4）89b a =.4、（1）共线； （2）共线.5、（1）32a b -； （2）111123a b -+； （3）2ya . 6、图略.习题2.2 A 组（P91）1、（1）向东走20 km ； （2）向东走5 km ；（3）向东北走km ；（4）向西南走；（5）向西北走km ；（6）向东南走km. 2、飞机飞行的路程为700 km ；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km. 3、解：如右图所示：AB 表示船速，AD 表示河水的流速，以AB 、AD 为邻边作□ABCD ，则AC 表示船实际航行的速度.在Rt △ABC 中，8AB =，2AD =，所以228AC AB AD =+==因为tan 4CAD ∠=，由计算器得76CAD ∠≈︒所以，实际航行的速度是km/h ，船航行的方向与河岸的夹角约为76°. 4、（1）0； （2）AB ； （3）BA ； （4）0； （5）0； （6）CB ； （7）0. 5、略6、不一定构成三角形. 说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，若三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形.7、略.8、（1）略； （2）当a b ⊥时，a b a b +=-9、（1）22a b --； （2）102210a b c -+； （3）132a b +； （4）2()x y b -.10、14a b e +=，124a b e e -=-+，1232310a b e e -=-+. 11、如图所示，OC a =-，OD b =-，DC b a =-，BC a b =--.（第11题）12、14AE b =，BC b a =-，1()4DE b a =-，34DB a =，34EC b =，1()8DN b a=-，11()48AN AM a b ==+.13、证明：在ABC ∆中，,E F 分别是,AB BC 的中点，所以EF AC //且12EF AC =，即12EF AC =；同理，12HG AC =，所以EF HG =.习题2.2 B 组（P92）1、丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400 km.2、不一定相等，可以验证在,a b 不共线时它们不相等.3、证明：因为MN ANAM =-，而13AN AC =，13AM AB =， 所以1111()3333MN AC AB AC AB BC =-=-=.4、（1）四边形ABCD 为平行四边形，证略 （2）四边形ABCD 为梯形.证明：∵13AD BC =，∴AD BC //且AD BC ≠ ∴四边形ABCD 为梯形. （3）四边形ABCD 为菱形.证明：∵AB DC =，∴AB DC //且AB DC =∴四边形ABCD 为平行四边形 又AB AD =∴四边形ABCD 为菱形.5、（1）通过作图可以发现四边形ABCD 为平行四边形. 证明：因为OA OB BA -=，OD OC CD -= 而OA OC OB OD +=+所以OA OB OD OC -=- 所以BA CD =，即AB ∥. 因此，四边形ABCD 为平行四边形.（第12题）（第1题）（第4题(2)）（第4题(3)）（第5题）2．3平面向量的基本定理及坐标表示 练习（P100）1、（1）(3,6)a b +=，(7,2)a b -=-； （2）(1,11)a b +=，(7,5)a b -=-； （3）(0,0)a b +=，(4,6)a b -=； （4）(3,4)a b +=，(3,4)a b -=-.2、24(6,8)a b -+=--，43(12,5)a b +=.3、（1）(3,4)AB =，(3,4)BA =--； （2）(9,1)AB =-，(9,1)BA =-； （3）(0,2)AB =，(0,2)BA =-； （4）(5,0)AB =，(5,0)BA =-4、AB ∥CD . 证明：(1,1)AB =-，(1,1)CD =-，所以AB CD =.所以AB ∥CD .5、（1）(3,2)； （2）(1,4)； （3）(4,5)-.6、10(,1)3或14(,1)3- 7、解：设(,)P x y ，由点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =，得32AP PB =-(,)(2,3)(2,A P x y x y =-=--，(4,3)(,)(4,3)PB x y x y =--=---∴3(2,3)(4,3)2x y x y --=---- ∴32(4)233(3)2x x y y ⎧-=--⎪⎪⎨⎪-=---⎪⎩∴815x y =⎧⎨=-⎩，所以点P 的坐标为(8,15)-.习题2.3 A 组（P101）1、（1）(2,1)-； （2）(0,8)； （3）(1,2).说明：解题时可设(,)B x y ，利用向量坐标的定义解题. 2、123(8,0)F F F ++=3、解法一：(1,2)OA =--，(53,6(1))(2,7)BC =---=而AD BC =，(1,5)OD OA AD OA BC =+=+=. 所以点D 的坐标为(1,5). 解法二：设(,)D x y ，则((1),(2))(1,2)AD x y x y =----=++，(53,6(1))(2,7)BC =---=由AD BC =可得，1227x y +=⎧⎨+=⎩，解得点D 的坐标为(1,5).4、解：(1,1)OA =，(2,4)AB =-. 1(1,2)2A C A B ==-，2(4,8)AD AB ==-，1(1,2)2AE AB =-=-. (0,3)O C O A A C =+=，所以，点C 的坐标为(0,3)； (3,9)O D O A A D =+=-，所以，点D 的坐标为(3,9)-； (2,1)O E O A A E =+=-，所以，点E 的坐标为(2,1)-. 5、由向量,a b 共线得(2,3)(,6)x λ=-，所以236x =-，解得4x =-. 6、(4,4)AB =，(8,8)CD =--，2CD AB =-，所以AB 与CD 共线. 7、2(2,4)OA OA '==，所以点A '的坐标为(2,4)；3(3,9)O B O B '==-，所以点B '的坐标为(3,9)-； 故 (3,9)(2,4)(5,5)A B ''=--=- 习题2.3 B 组（P101） 1、(1,2)OA =，(3,3)AB =.当1t =时，(4,5)OP OA AB OB =+==，所以(4,5)P ； 当12t =时，13357(1,2)(,)(,)22222OP OA AB =+=+=，所以57(,)22P ； 当2t =-时，2(1,2)(6,6)(5,4)OP OA AB =-=-=--，所以(5,4)P --； 当2t =时，2(1,2)(6,6)(7,8)OP OA AB =+=+=，所以(7,8)P .2、（1）因为(4,6)AB =--，(1,1.5)AC =，所以4AB AC =-，所以A 、B 、C 三点共线； （2）因为(1.5,2)PQ =-，(6,8)PR =-，所以4PR PQ =，所以P 、Q 、R 三点共线； （3）因为(8,4)EF =--，(1,0.5)EG =--，所以8EF EG =，所以E 、F 、G 三点共线.3、证明：假设10λ≠，则由11220e e λλ+=，得2121e e λλ=-. 所以12,e e 是共线向量，与已知12,e e 是平面内的一组基底矛盾, 因此假设错误，10λ=. 同理20λ=. 综上120λλ==.4、（1）19OP = （2）对于任意向量12OP xe ye =+，,x y 都是唯一确定的，所以向量的坐标表示的规定合理.2．4平面向量的数量积练习（P106）1、1cos ,86242p q p q p q ⋅=⋅⋅<>=⨯⨯=. 2、当0a b ⋅<时，ABC ∆为钝角三角形；当0a b ⋅=时，ABC ∆为直角三角形.3、投影分别为0，-图略 练习（P107）1、2(3)5a =-，252b =+=35427a b ⋅=-⨯+⨯=-.2、8a b ⋅=，()()7a b a b +-=-，()0a b c ⋅+=，2()49a b +=.3、1a b ⋅=，13a =，74b =，88θ≈︒. 习题2.4 A 组（P108）1、63a b ⋅=-222()225a b a a b b +=+⋅+=-25a b +=-2、BC 与CA 的夹角为120°，20BC CA ⋅=-.3、22223a b a a b b +=+⋅+=，22235a b a a b b -=-⋅+=. 4、证法一：设a 与b 的夹角为θ.（1）当0λ=时，等式显然成立；（2）当0λ>时，a λ与b ，a 与b λ的夹角都为θ，所以 ()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅== ()c o s a b a b λλθ⋅= ()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅== 所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；（3）当0λ<时，a λ与b ，a 与b λ的夹角都为180θ︒-，则 ()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=-()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==-()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=- 所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅； 综上所述，等式成立.证法二：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，那么 11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+112212121212()(,)(,)()a b x y x y x x y y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+=+11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；5、（1）直角三角形，B ∠为直角.证明：∵(1,4)(5,2)(6,6)BA =---=--，(3,4)(5,2)(2,2)BC =-=-∴6(2)(6)20BA BC ⋅=-⨯-+-⨯=∴BA BC ⊥，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（2）直角三角形，A ∠为直角证明：∵(19,4)(2,3)(21,7)AB =---=，(1,6)(2,3)(1,3)AC =-----=-∴2117(3)0AB AC ⋅=⨯+⨯-=∴AB AC ⊥，A ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（3）直角三角形，B ∠为直角证明：∵(2,5)(5,2)(3,3)BA =-=-，(10,7)(5,2)(5,5)BC =-=∴35350BA BC ⋅=-⨯+⨯=∴BA BC ⊥，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形6、135θ=︒.7、120θ=︒.22(23)(2)44361a b a b a a b b -+=-⋅-=，于是可得6a b ⋅=-，1cos 2a ba bθ⋅==-，所以120θ=︒.8、23cos 40θ=，55θ=︒. 9、证明：∵(5,2)(1,0)(4,2)AB =--=-，(8,4)(5,2)(3,6)BC =--=，(8,4)(4,6)(4,2)DC =-=-∴AB DC =，43(2)60AB BC ⋅=⨯+-⨯= ∴,,,A B C D 为顶点的四边形是矩形.10、解：设(,)a x y =，则2292x y yx ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.于是35(,55a =或35(55a =--. 11、解：设与a 垂直的单位向量(,)e x y =，则221420x y xy ⎧+=⎨+=⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.于是5(,55e =-或5(,55e =-. 习题2.4 B 组（P108）1、证法一：0()0()a b a c a b a c a b c a b c ⋅=⋅⇔⋅-⋅=⇔⋅-=⇔⊥- 证法二：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，33(,)c x y =.先证()a b a c a b c ⋅=⋅⇒⊥-1212a b x x y y ⋅=+，1313a c x x y y ⋅=+由a b a c ⋅=⋅得12121313x x y y x x y y +=+，即123123()()0x x x y y y -+-= 而2323(,)b c x x y y -=--，所以()0a b c ⋅-= 再证()a b c a b a c ⊥-⇒⋅=⋅由()0a b c ⋅-=得 123123()()0x x x y y y -+-=， 即12121313x x y y x x y y +=+，因此a b a c ⋅=⋅2、cos cos cos sin sin OA OB AOB OA OBαβαβ⋅∠==+.3、证明：构造向量(,)u a b =，(,)v c d =.c o s ,u v u v u v ⋅=<>，所以,ac bd u v +=<>∴2222222222()()()cos ,()()ac bd a b c d u v a b c d +=++<>≤++4、AB AC ⋅的值只与弦AB 的长有关，与圆的半径无关.证明：取AB 的中点M ，连接CM ，则CM AB ⊥，12AM AB =又cos AB AC AB AC BAC ⋅=∠，而AM BAC AC∠=所以212AB AC AB AM AB ⋅==5、（1）勾股定理：Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，则222CA CB AB +=证明：∵AB CB CA =-∴2222()2AB CB CA CB CA CB CA =-=-⋅+. 由90C ∠=︒，有CA CB ⊥，于是0CA CB ⋅= ∴222CA CB AB +=（2）菱形ABCD 中，求证：AC BD ⊥证明：∵AC AB AD =+，,DB AB AD =-∴22()()AC DB AB AD AB AD AB AD ⋅=+⋅-=-.∵四边形ABCD 为菱形，∴AB AD =，所以220AB AD -= ∴0AC DB ⋅=，所以AC BD ⊥（3）长方形ABCD 中，求证：AC BD =证明：∵ 四边形ABCD 为长方形，所以AB AD ⊥，所以0AB AD ⋅=∴222222AB AB AD AD AB AB AD AD +⋅+=-⋅+.∴22()()AB AD AB AD +=-，所以22AC BD =，所以AC BD =（4）正方形的对角线垂直平分. 综合以上（2）（3）的证明即可. 2．5平面向量应用举例 习题2.5 A 组（P113） 1、解：设(,)P x y ，11(,)R x y则1111(1,0)(,)(1,)RA x y x y =-=--，(,)(1,0)(1,0)AP x y x =-=-由2RA AP =得11(1,)2(1,)x y x y --=-，即11232x x y y =-+⎧⎨=-⎩（第4题）代入直线l 的方程得2y x =. 所以，点P 的轨迹方程为2、解：（1）易知，OFD ∆∽OBC ∆，12DF BC =, 所以23BO BF =. 2211()()3323AO BO BA BF a b a a a b =-=+=-+=+（2）因为1()2AE a b =+所以23AO AE =，因此,,A O E 三点共线，而且2AOOE = 同理可知：2,2BO CO OF OD ==，所以2AO BO COOE OF OD === 3、解：（1）(2,7)B A v v v =-=-； （2）v 在A v 方向上的投影为135A Av v v ⋅=. 4、解：设1F ，2F 的合力为F ，F 与1F 的夹角为θ，则31F =+，30θ=︒； 331F =+，3F 与1F 的夹角为150°.习题2.5 B 组（P113）1、解：设0v 在水平方向的速度大小为x v ，竖直方向的速度的大小为y v ，则0cos x v v θ=，0sin y v v θ=.设在时刻t 时的上升高度为h ，抛掷距离为s ，则001sin ,()2cos h v t gt g s v t θθ⎧=-⎪⎨⎪=⎩为重力加速度 所以，最大高度为220sin 2v gθ，最大投掷距离为20sin 2v gθ.2、解：设1v 与2v 的夹角为θ，合速度为v ，2v 与v 的夹角为α，行驶距离为d .则1sin 10sin sin v vvθθα==，0.5sin 20sin v d αθ==. ∴120sin d vθ=. 所以当90θ=︒，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短. 3、（1）(0,1)-解：设(,)P x y ，则(1,2)AP x y =--. (2,AB =-.（第2题）（第4题）将AB 绕点A 沿顺时针方向旋转4π到AP ，相当于沿逆时针方向旋转74π到AP ，于是7777(2)(1,3)4444AP ππππ=+-=--所以1123x y -=-⎧⎨-=-⎩，解得0,1x y ==-（2）32y x=-解：设曲线C 上任一点P 的坐标为(,)x y ，OP 绕O 逆时针旋转4π后，点P 的坐标为(,)x y '' 则cos sin 44sincos44x x y y xy ππππ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩，即)2)x x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩又因为223x y ''-=，所以2211()()322x y x y --+=，化简得32y x=-第二章 复习参考题A 组（P118）1、（1）√； （2）√； （3）×； （4）×.2、（1）D ； （2）B ； （3）D ； （4）C ； （5）D ； （6）B .3、1()2AB a b =-，1()2AD a b =+4、略解：2133DE BA MA MB a b ==-=-+2233AD a b =+，1133BC a b =+1133EF a b =--，1233FA DC a b ==-1233CD a b =-+，2133AB a b =-CE a b =-+5、（1）(8,8)AB =-，82AB =（2）(2,16)OC =-，(8,8)OD =-； （3）33OA OB ⋅=. 6、AB 与CD 共线.证明：因为(1,1)AB =-，(1,1)CD =-，所以AB CD =. 所以AB 与CD 共线. 7、(2,0)D -. 8、2n =. 9、1,0λμ=-=.10、34cos ,cos 0,cos 55A B C ===（第4题）11、证明：2(2)22cos6010n m m n m m -⋅=⋅-=︒-=，所以(2)n m m -⊥.12、1λ=-. 13、13a b +=，1a b -=. 14、519cos ,cos 820θβ==第二章 复习参考题B 组（P119）1、（1）A ； （2）D ； （3）B ； （4）C ； （5）C ； （6）C ； （7）D .2、证明：先证a b a b a b ⊥⇒+=-.222()2a b a b a b a b +=+=++⋅，222()2a b a b a b a b -=-=+-⋅. 因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，于是22a b a b a b +=+=-.再证a b a b a b +=-⇒⊥.由于222a b a a b b +=+⋅+，222a b a a b b -=-⋅+ 由a b a b +=-可得0a b ⋅=，于是a b ⊥所以a b a b a b +=-⇔⊥. 【几何意义是矩形的两条对角线相等】 3、证明：先证a b c d =⇒⊥22()()c d a b a b a b ⋅=+⋅-=- 又a b =，所以0c d ⋅=，所以c d ⊥ 再证c d a b ⊥⇒=.由c d ⊥得0c d ⋅=，即22()()0a b a b a b +⋅-=-=所以a b = 【几何意义为菱形的对角线互相垂直，如图所示】4、12AD AB BC CD a b =++=+，1142AE a b =+而34EF a =，14EM a =，所以1111(4242AM AE EM a b a =+=++=5、证明：如图所示，12OD OP OP =+，由于1230OP OP OP ++=，所以3OP OD =-，1OD = 所以11OD OP PD == 所以1230OPP ∠=︒，同理可得1330OPP ∠=︒所以31260P PP ∠=︒，同理可得12360PP P ∠=︒，23160P P P ∠=︒，所以123PP P ∆为正三角形.（第3题）P 2（第5题）（第6题）6、连接AB .由对称性可知，AB 是SMN ∆的中位线，222MN AB b a ==-. 7、（18=（千米／时）， 沿与水流方向成60°的方向前进； （2）实际前进速度大小为 沿与水流方向成90︒+的方向前进. 8、解：因为OA OB OB OC ⋅=⋅，所以()0OB OA OC ⋅-=，所以0OB CA ⋅= 同理，0OA BC ⋅=，0OC AB ⋅=，所以点O 是ABC ∆的垂心. 9、（1）2110200a x a y a y a x -+-=； （2）垂直；（3）当12210A B A B -=时，1l ∥2l ；当12120A A B B +=时，12l l ⊥，夹角θ的余弦cos θ=；（4）d =。
高中数学必修四第二章平面向量课后习题Word版(2021年整理)
(完整)高中数学必修四第二章平面向量课后习题Word版(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)高中数学必修四第二章平面向量课后习题Word版(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整)高中数学必修四第二章平面向量课后习题Word版(word版可编辑修改)的全部内容。
【必修4】 第二章平面向量2.1 练习1、画有向线段,分别表示一个竖直向上,大小为18N 的力和一个水平向左、大小为28N 的力（1cm 长表示10N ）.2、非零向量AB 的长度怎样表示？非零向量BA 的长度怎样表示？这两个向量的长度相等吗？这两个向量相等吗？3、指出图中各向量的长度.4、(1）用有向线段表示两个相等的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？（2）用有向线段表示两个方向相同但长度不同的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？2.2.1 练习1、如图，已知b a ，,用向量加法的三角形法则作出b a 。
2、如图，已知b a ，，用向量加法的平行四边形法则作出b a +.3、根据图示填空：（1）________;=+d a（2）.________=+b c4、根据图示填空:（1）________;=+b a（2）________;=+d c（3)________;=++d b a（4）.________=++e d c2.2.2 练习1、如图，已知b a ，，求作.b a -2、填空：________;=- ________;=- ________;=-BA BC ________;=-OA OD .________=-3、作图验证：b a b)(a --=+-2.2。
必修4导学案第二章平面向量
§2.1平面向量的实际背景及基本概念⑴ 学习目标1. 通过对物理中有关概念的分析，了解向量的实际背景，进而深刻理解向量的概念；2. 掌握向量的几何表示；3. 理解向量的模、零向量与单位向量的概念.学习过程一、课前准备（预习教材82P ～84P ，找出疑惑之处）复习1：位置是日常生活中我们提到较多的一个词，在几何中常用点表示位置，研究如何用一点的位置确定另外一点的位置，请同学们以学校（点A ）为参照点，用图形确定出自己家的位置.复习2：力是常见的物理量，重力、浮力、弹力等都是既有 又有 的量；而有一类量如长度、质量、面积、体积等，只有 没有 ，这类量我们称之为数量.二、新课导学※ 学习探究新知1：向量的概念数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量叫做向量（vector ）.数量和向量的异同点有哪些？试试1：下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功. 其中不是向量的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个由于实数与数轴上的点一一对应，所以数量常常用数轴上的一个点表示，那么不同的点就表示不同的数量.向量能不能用几何表示出来？如果能，该如何表示呢？新知2：向量的表示法⑴我们常用带箭头的线段来表示向量，线段按一定比例画出，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向.如下图，在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.⑵以A 为起点，B 为终点的有向线段记作AB有向线段包含三个要素：起点，方向，长度.⑶有向线段也可用字母如a，b，c，表示.反思：⑴“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？⑵为什么三要素中不包含终点？⑶数量能比较大小吗？向量呢？向量的模呢？新知3：两个特殊的向量零向量（zero vector）：长度为0的向量；单位向量(unit vector)：长度等于1的向量.a b.平行向量(parallel vectors)：方向相同或相反的非零向量. 若向量a，b平行，记作：//规定：①零向量与任一向量平行，即对任意向量a，都有0//a.②零向量的方向不确定，是任意的.试试2：下列说法中正确的有（）个⑴零向量是没有方向的向量；⑵零向量与任一向量平行；⑶零向量的方向是任意的；⑷零向量只能与零向量平行.A.0个B.1个C.2个D.3个※典型例题例1 在如图所示的坐标纸中，用直尺和圆规画出下列向量：OA=，点A在点O的正北方向；⑴3OB=B在点O南偏东60方向.⑵22例2 如下图，试根据图中的比例尺以及三地的位置，在图中分别用向量表示A地至B、C两地的位移，并求出A地至B、C两地的实际距离.（精确到1km）.※动手试试练1. 画出有向线段，分别表示一个竖直向上、大小为2N的力和一个水平向左、大小为4N的力.(1cm长表示1N)练2. 某同学向北走了2km，又向东走了1km，则该同学走过的路程是多少？位移的长度是多少？并选择适当的比例尺，用向量表示这个人的位移.三、总结提升※学习小结1. 向量的相关概念；2. 向量的两种表示法；3. 两个特殊的向量，尤其要注意零向量的方向.※知识拓展向量又称为矢量，最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量．大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 下列各量中不是向量的是（）.A．浮力B．风速C．位移D．密度2. 下列说法正确的是（）.A．向量AB与向量BA的长度不等B．两个有共同起点长度相等的向量,则终点相同C．零向量没有方向D．任一向量与零向量平行3. 某人南行100米，后向东行100米，则这时他位移的方向是（）.A．东偏南30B．南偏东30C．东偏南45D．南偏东254. 物理中的作用力与反作用力一对平行向量.（是或不是），则底边BC上的中线向量AD的模AD为.5. 已知腰为2，底边为3的等边ABC1. 某人从A点出发向西走了200m到达B点，然后改变方向向西偏北60走了400m到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，⑴作出向量AB、BC、CD（1cm表示200m）；⑵求DA的模.2. 在正方体''''ABCD A B C D -中，与AB 平行的向量有哪些？§2.1平面向量的实际背景及基本概念⑵在理解向量和平行向量的基础上掌握相等向量和共线向量的概念.一、课前准备（预习教材84P ～86P ，找出疑惑之处）复习1：向量是 的量；数量是 的量；有向线段是 的线段，它的三要素是 ， ， ；零向量是 的向量；单位向量是 的向量；平行向量是 的非零向量.复习2：下列说法中正确的有①向量可以比较大小；②零向量与任一向量平行；③向量就是有向线段； ④非零向量a 的单位向量是a a .二、新课导学※ 学习探究新知4：相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量（equal vector ）， 如下图，用有向线段表示的向量a 与b 相等，记作：a b =.思考：任意两个相等的非零向量，是否可用同一条有向线段来表示？与有向线段的起点有关吗？新知5：平行向量和共线向量同学们知道，方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. 如果a 、b 、c 是平行向量，则可记为////a b c . 因为任一组平行向量都可以移动到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量(collinear vectors).试试：下列说法中正确的是①若//a b ，则a b =； ②若a b =，则a b =； ③若a b =，则//a b ；④若a b =，则a b =.※ 典型例题 例1 如下图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与OD ，OE ，OF 相等的向量.变式：与AB 相等的向量有哪些？例2如下图所示，D 、E 、F 分别是正ABC ∆的各边中点，则在以A 、B 、C 、D 、E 、F 六个点中任意两点为起点与终点的向量中，找出与向量DE 平行的向量.注意：共线向量的端点不一定共线，注意向量的可以平行移动性. ※ 动手试试练1. 在四边形ABCD 中，AB DC ，则相等的向量是() . A.AD 与CB C.AC 与BDB.OB 与OD D.AO 与OC练2. 判断下列说法的正误：①向量的模是一个正实数；②若两个向量平行，则两个向量相等；③若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等；④温度有零上和零下温度，所以温度是向量；⑤物理中的作用力与反作用力是一对共线向量；A B CCE※ 学习小结①相等向量的概念；②平行向量也称为共线向量.※ 知识拓展本章中所提到的向量都是自由向量，所谓自由向量就是在不改变长度和方向的前提下，向量可以在.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 下列命题中，正确的是（ ）.A.a b =⇒a b =B.a b >⇒a b >C.a b =⇒//a bD.0a =⇒0a =2. 若AB AD =，且BA CD =，则四边形ABCD 的形状为（ ）.A.平行四边形B.菱形C.矩形D.等腰梯形3. 一木块放在桌面上，木块所受重力为G ，桌面所受压力为1G ，则G 与1G 之间的关系为（ ）.A.大小不等，方向相同B.大小相等，方向不同C.大小相等，方向相同D.大小不等，方向不同4. B 、C 是线段AD 的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，最多可以写出 个互不相同的向量.5. 下列命题中，说法正确的有①若a b =，b c =，则a c =；②若//a b ，//b c ，则//a c ；③若a b =，则a b =或a b =-；④若AB DC =，则A ,B ,C ,D 是一个平行四边形的四个顶点.1. 四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形.⑴与向量ED 相等的向量有哪些？⑵若3AB =，则向量EC 的模等于多少？2. 一位模型赛车手遥控一辆赛车向正东方向前进1m ，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1m ，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1m ，按此方向继续操作下去.⑴按1:100比例作图说明当45α=时，操作几次时赛车的位移为零？⑵按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？请写出其中两个.§2.2.1向量的加法运算及其几何意义A B C D1. 掌握向量加法的概念，结合物理学中的相关知识理解向量加法的意义；2. 熟练掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则；3. 理解向量加法的运算律. 学习过程（预习教材89P ～94P ，找出疑惑之处）一、课前准备复习1：下列说法正确的有①向量可以用有向线段来表示；②两个有共同起点且长度相等的向量，其终点必相同；③两个有共同终点的向量，一定是共线向量；④向量AB 与向量CD 是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上；⑤若AB DC =，则A ，B ，C ，D 是一个平行四边形的四个顶点.复习2：周三大清洁时，两个同学抬着回收箱去卖废品，请同学们做出回收箱的受力图，并思考拉力和重力满足什么条件便可将回收箱抬起.二、新课导学※ 学习探究问题：在复习2中回收箱所受的重力与两个同学拉力的合力有什么关系呢？数的加法启示我们，从运算的角度看，重力和拉力的合力是一对大小相等，方向相反的力.如图，已知非零向量a 、b ，在平面内任取一点A ，做AB a =，BC b =，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作：a b +，即a b AB BC AC +=+=.新知1：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.自学90P 的向量加法的平行四边形法则，想想两个法则有没有共通的地方？规定：零向量与向量a 的加法：00a a a +=+=※ 典型例题例1 已知向量a 、b ，求作向量a b +.小结1：在使用三角形法则特别要注意“首尾相接”，即第二个向量的起点与第一个向量的终点重合.变式：当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？小结2：当a ，b 不共线时，a b a b +<+；当a ，b 同向时，a b a b +=+； 当a ，b 反向时，a b a b +=-（或b a -）.思考：数的运算律有哪些？类似的，向量的加法是否也有运算律呢？新知2：向量加法的交换律和结合律：a b b a +=+；()()a b c a b c ++=++例2 一架飞机向北飞行400km ，然后改变方向向东飞行300km ，求飞机飞行的路程及两次位移的合成.※ 动手试试练1. 如图，已知a 、b ，用向量加法的三角形法则和平行四边形法则做出a b +.ab练2. 在静水中划船速度是每分钟20m ，水流速度是每分钟20m ，如果船从岸边出发径直沿垂直于水流方向行走，那么船实际行进速度应是多少？实际行进方向与水流方向的夹角为多少？三、总结提升※ 学习小结1. 向量求和的三角形法则和平行四边形法则；2. 向量加法满足的两个运算律：交换律和结合律.※ 知识拓展向量在引入运算之后，向量的工具作用才能得到充分发挥. 实际上，引入一个新的量后，考察它的运算及运算律是数学研究的基本问题. 另外，向量的线性运算的另一个特点是它有深刻的物理背景和几何意义，因此在引入一种运算后，总是要考察一下它的几何意义，也使得向量在解决几何问题时可以发挥很好的作用.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 平行四边形ABCD 中，AB a =，AD b =，则AC BA +等于（ ）.A.aB.bC.0D.a b +2. 下列等式不正确的是（ ）.A.0a a +=B.a b b a +=+C.()()a b c a b c ++≠++D.AC DC AB BD =++3.在ABCD 中，BC DC BA ++等于（ ）.A.BCB.DAC.ABD.AC 4. AB BC CD ++= ； O A O C B O C O +++= . 5. 已知向量a 、b 满足a b b +=且1b =，则a a b ++= .1. 已知正六边形ABCDEF ，O 是它的中心，若BA a =，BC b =，试用a 、b 表示向量OE .2. 在菱形ABCD 中，60DAB ∠=，1AB =，求BC DC +的值.§2.2.21. 通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义；2. 能运用向量减法的几何意义解决一些问题.（预习教材94P ～96P ，找出疑惑之处） 一、课前准备复习：⑴设AB a =，BC b =，则 叫做a 与b 的和，记作 .⑵a + =0+ =a⑶向量加法运算的交换律： ；结合律 .⑷求作两个向量和的方法有 法则和法则.二、新课导学※ 学习探究 问题： 我们知道，在数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？如何理解向量的减法呢？规定1：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作a -.由于方向反转两次仍然回到原来的方向，因此a 和a -互为相反向量，即()a a =--.规定1：零向量的相反向量仍是零向量.思考：任一向量a 与其相反向量a -的和是什么？如果a 、b 是互为相反的向量，那么a = ，b = ，a b += .请同学们利用相反向量的概念，思考()a b +-的作图方法.如下图，已知a 、b ，在平面内任取一点O ，做OA a =，OB b =，则BA a b =-. 即a b -可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量，这就是向量减法的几何意义.以上做法称为向量减法的三角形法则，可以归纳为“起点相接，连接两向量的终点，箭头指向被减数”.※ 典型例题例1 如下图，已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a b -，c d -.变式：作出向量a b c d +--.例2 在ABC 中，O 是重心，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 的中点，化简下列两式：⑴CB CE BA -+；⑵OE OA EA -+.变式：化简AB FE DC ++.※ 动手试试练1. 已知a 、b ，求作a b -.练2. 设AB a =，AD b =，BC c =，试用,,a b c 表示DC .三、总结提升※ 学习小结1. 相反向量的概念；2. 向量减法的三角形法则，要注意“起点相接，连接两向量的终点，箭头指向被减数”.※ 知识拓展以向量AB a =、AD b =为邻边作平行四边形ABCD ，则两条对角线的向量为AC a b =+，BD b a =-，DB a b =-，这一结论在以后应用还是非常广泛的，应该加强理解并记住.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 下列等式中正确的个数是（ ）.①a o a -=；②b a a b +=+；③()a a --=；④()0a a +-=；⑤()a b a b +-=-A.2B.3C.4D.52. 在ABC 中，,BC a CA b ==，则AB 等于（ ）. A.a b + B.()a b -+- C.a b - D.a b -+3. 化简OP QP PS SP -++的结果等于（ ）.A.QPB.OQC.SPD.SQ4. 在正六边形ABCDEF 中，AE m =，AD n =，则BA = .5. 已知a 、b 是非零向量，则a b a b -=+时，应满足条件 .1. 化简下列各式：①AB AC DB --； ②AB BC AD DB +--.2. 已知O 是ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，若AB a =，BC b =，OD c =，试证明：c a b OB +-=.§2.2.3向量数乘运算及其几何意义⑴1. 掌握向量数乘运算，并理解其几何意义；2. 理解两个向量共线的含义；3. 掌握向量的线性运算性质及其几何意义.复习： ⑴向量a 的相反向量是指与a的向量，记作 . 零向量的相反向量是 .⑵()a --= ，()a a +-= .⑶若a b =-，则a 、b 是 ，且a b += .⑷向量a 加上b 的相反向量，叫做 ，即：a b a -=+ .二、新课导学※ 学习探究问题：已知非零向量a ，作出：①a a a ++；②()()()a a a -+-+-.通过图形，同学们能否说明它们的几何意义？新知：我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘（multiplication of vector by scalar ）,记作：a λ，它的长度和方向规定如下： ⑴a a λλ=；⑵当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反.思考：当0λ=时，a λ的值是一个向量还是一个实数？根据实数与向量的积的定义，我们有以下的运算律：⑴()()a a λμλμ=； ⑵()a a a λμλμ+=+；⑶()a b a b λλλ+=+.根据以上的运算律，填空：⑴()a λ-=- =λ ； ⑵()a b λ-= - . a※ 典型例题例1 计算：⑴()76a -⨯；⑵()()438a b a b a +---；⑶()()54232a b c a b c -+--+.思考：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？新知：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=.例2 已知两个两个向量1e 和2e 不共线，12AB e e =-，1228BC e e =-，1233CD e e =+，求证：A 、B 、D 三点共线.变式：在四边形ABCD 中，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，证明：ABCD 是梯形.※ 动手试试练1. 计算： ⑴()()()64222a b c a b c b c -+--+--+； ⑵()()()()m n a b m n a b +--++.练2. 已知向量a ，b 不共线，问2c a b =-与32d a b =-是否共线？三、总结提升※ 学习小结1. 向量数乘的定义；2. 实数与向量的积满足的运算律；3. 两向量共线所满足的条件.※ 知识拓展1.实数与向量的积的特殊情况：当0λ=时，0a λ=；而0λ≠，若0a =时，也有0a λ=.2.实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，比如a λ+，a λ-无法运算.3.数乘向量还是一个向量.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 下列各式中不表示向量的是（ ） A.0a ⋅ B.3a b +C.3aD.1e x y-（,x y R ∈，且x y ≠） 2. 在ABC ∆中，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，若AB a =，AC b =，则EF 等于（ ）A.()12a b +B.()12a b - C.()12b a - D.()12a b -+3. 122a e e =+，1234b e e =-，且1e 、2e 共线，则a 与b （ ）A.共线B.不共线C.不确定D.可能共线也可能不共线4. 若3a =，b 与a 的方向相反，且5b =，则 a = b .5. 已知122a e e =-，122b e e =+，1262c e e =-，则a b +与c （填共线、不共线）.1. 已知ABC ∆的三边BC a =，CA b =，AB c =，三边中点分别为D 、E 、F ，求证：0AD BE CF ++=.2. 用向量的方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.§2.2.3向量数乘运算及其几何意义⑵1. 掌握向量数乘运算，并理解其几何意义；2. 理解两个向量共线的含义；3. 掌握向量的线性运算性质及其几何意义.一、课前准备复习：⑴实数λ与向量a 的积是一个 ，记作 .⑵R λ∈，a λ= . ⑶当0λ>时，a λ的方向与a 的方向 ； 当0λ<时，a λ的方向与a 的方向 ；当0λ=时，a λ= ；⑷,R λμ∈，()a λμ= ； ()a λμ+= ；()a b λ+= .⑸判断正误：向量b 与向量a 共线，当且仅当只有一个实数λ，使得b a λ=.二、新课导学※ 学习探究新知：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算. 对于任意向量a 、b ，以及任意实数λ、1μ、2μ，恒有()1212a b a b λμμλμλμ+=±.请同学们解释它的几何意义.※ 典型例题例3 如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，且A B a =，AD b =，你能用a 、b 表示AM 、BM 、CM 、DM 吗？变式：若O 为平行四边形的中心，14AB e =，26BC e =，则2132e e -等于多少？例4 已知任意四边形ABCD ，E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，求证：EF EF AB DC +=+.※ 动手试试练1.已知四边形ABCD 是等腰梯形，E 、F 分别是腰AD 、BC 的中点，M 、N 是线段EF 上的两个点，且EM MN NF ==，下底是上底的2倍，若AB a =，BC b =，求AM .练2. ABC 中，13AD AB =，//DE BC ，且与边AC 相交于点E ，ABC ∆的中线AM 与DE 相交于点N .设AB a =，AC b =，用a 、b 分别表示向量,,,,,AE CB DE CE DN NA .三、总结提升※ 学习小结1. 进一步理解向量数乘的定义；2. 熟练应用实数与向量的积满足的运算律计算；3. 应用两向量共线所满足的条件解决几个点共线的问题.※ 知识拓展⑴要证明向量a 、b 共线，只需证明存在实数λ，使得b a λ=即可.⑵如果0a b ==，数λ依然存在，此时λ并不唯一，是任意数值.⑶要特别注意向量共线定理中的向量a 必须是非零向量.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 下列各式计算正确的是（ ）A.()22a b c a b c ++=++B.()()330a b a b ++-=C.2AB BA AB +=D.3544a b a b a b ++-=- 2. 下列向量a 、b 共线的有（ ）①122,a e b e ==-；②1212,22a e e b e e =-=-+；③1212214,510a e eb e e =-=-； ④1212,22a e e b e e =+=-（12,e e 不共线）A.②③B.②③④C.①③④D.①②③④ 3. 若8,5AB AC ==，则BC 的取值范围是（ ）A.[]3,8B.()3,8C.[]3,13D.()3,134. ()2a a b a ⎡⎤---⎣⎦= ； 322a b c b -+-=- .5. 设12,e e 是两个不共线向量，若向量12b e e λ=+，与向量122a e e =-共线，则实数λ的值为 .1. 化简：①()()122844212a b a b ⎡⎤+--⎣⎦； ②()()11434632a b c a b c ⎡⎤⎡⎤-+---⎣⎦⎣⎦2. 在平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且13BN BD =，求证：M 、N 、C 三点共线.§2.3.1平面向量基本定理1. 掌握平面向量基本定理；2. 了解平面向量基本定理的意义；3. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.一、课前准备复习1：向量b 、()0a a ≠是共线的两个向量，则a 、b 之间的关系可以表示为 .复习2：给定平面内任意两个向量1e 、2e ，请同学们作出向量1232e e +、122e e -.二、新课导学※ 学习探究问题：在复习2中，请大家想一想，平面内的任一向量是否都可以用形如1122e e λλ+的向量表示呢？ 如下图，设1e 、2e 是同一平面内两个不共线的向量，a 是这一平面内的任一向量，通过作图，发现任一向量a 都可以表示成1122e e λλ+.新知1：平面向量基本定理 平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a λλa e e λλ=+其中，我们把不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底(base).理解此定理要注意：①1e 、2e 是同一平面内两个不共线的向量；②该平面内的任意向量a 都可以用1e 、2e 线性表示，且这种表示是唯一的；③对于基底的选取不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底.思考：如果两个向量不共线，则它们的位置关系我们怎么表示呢？新知2：两向量的夹角与垂直如图，已知两个非零向量a 和b . 作OA a =，OB b =，则()0180A O B θθ∠=≤≤叫做向量a 与b 的夹角. 特别地，⑴当0θ=时，a 与b 同向； ⑵当180θ=时，a 与b 反向；⑶当90θ=时，a 与b 垂直，记作：a b ⊥.在不共线的两个向量中，90θ=，即两向量垂直是一种重要的情形，把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.例如把图中木块所受的重力分解为向下的力1F 和对斜面的压力2F .思考：平面直角坐标系中的每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示. 对于直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？新知3：向量的坐标表示定理，有且只有一对实数x 、y 使得a xi y j =+，如图，根据平面向量基本向量a 的坐标，记作：(),a x y = ，其中x 叫做a 我们把有序数对(),x y 叫做在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标.注意：符号(),x y 在平面直角坐标系中有了双重意义，它既可以表示一个固定为了加以区别，在叙述中，常说点(),x y ，或向的点，又可以表示一个向量，量(),x y .※ 典型例题例1 已知梯形ABCD 中，//AB DC ，且2A B C D =，E 、F 分别是DC 、AB 的中点，设AD a =，AB b = 试用,a b 为基底表示DC 、BC .例2 已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，43OA =60xOA ∠=，求向量OA 的坐标.※ 动手试试练1. 在矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，若15BC e =，23DC e =，则OC 等于多少？练2. 若0a ≠，且0b ≠，且a b a b ==-，求a 与a b +的夹角.三、总结提升※ 学习小结1. 平面向量基本定理；2. 两向量的夹角与垂直；3. 平面向量的坐标表示.※ 知识拓展在解具体问题时，要适当地选取基底，但其他向量能够用基底来表示，选择了不共线的两个向量1e 、2e ，平面上的任何一个向量a 都可以用1e 、2e 唯一表示为1122a e e λλ=+，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有1e 、2e 的代数运算.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 设O 是平行四边形ABCD 两对角线AC 与BD 的交点，下列向量组，其中可作为这个平行四边形所在平面表示所有向量的基底是（ ） ①AD 与AB ②DA 与BC ③CA 与DC ④OD 与OBA.①②B.③④C.①③D.①④ 2. 已知向量1e 、2e 不共线，实数x 、y 满足()()1212342363x y e x y e e e -+-=+，则x y -的值等于（ ）A.3B.3-C.0D.23. 若O 、A 、B 为平面上三点，C 为线段AB 的中点，则（ ） A.OC OA OB =+ B.()12OC OA OB =+ C.2AB OC = D.()12OC OA OB =-4. 若a 、b 不共线，且()0,a b R λμλμ+=∈，则λ= ，μ= .5. 已知两向量1e 、2e 不共线，122a e e =+，1232b e e λ=-，若a 与b 共线，则实数λ= . 课后作业1. 已知向量1223a e e =-，1223b e e =+，其中1e 、2e 不共线，向量1229c e e =-，问是否存在这样的实数λ、μ，使d a b λμ=+与c 共线？2. 设OA 、OB 不共线，点P 在O 、A 、B 所在的平面内，且()()1OP t OA tOB t R =-+∈，求证：A 、B 、P 三点共线.§2.1平面向量的坐标运算1. 会用坐标表示平面向量的加减与数乘运算；2. 能用两端点的坐标，求所构造向量的坐标；3. 体会向量是处理几何问题的工具.一、课前准备复习：⑴向量()122,0e e e ≠是共线的两个向量，则12,e e 之间的关系可表示为 .⑵向量12,e e 是同一平面内两个不共线的向量，a 为这个平面内任一向量，则向量a 可用12,e e 表示为 ，则不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组 .二、新课导学※ 学习探究问题：已知()11,a x y =，()22,b x y =，能得出a b +，a b -，a λ的坐标吗？新知：()1212,a b x x y y +=++()1212,a b x x y y -=--()11,a x y λλλ=※ 典型例题 例1 如图，已知()11,A x y ，()22,B x y ，求AB 的坐标.小结：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 减去 的坐标.变式：你能在上图中标出坐标为()2121,x x y y --的P 点吗？标出P 点后，你能发现向量的坐标与点的坐标之间的联系吗？例2 已知()2,8a b +=-，()8,16a b -=-，求a 和b .例3 已知平行四边形ABCD 的顶点()1,2A --，()3,1B -，()5,6C ，试求顶点D 的坐标.变式：若AC 与BD 的交点为O ，试求点O 的坐标.※ 动手试试练1. 已知向量,a b 的坐标，求a b +，a b -的坐标.⑴()()3,7,2,1a b ==-⑵()()3,4,4,3a b =--=⑶()()2,5,3,8a b =-=-⑷()()0,1,1,0a b =-=-练2. 已知A 、B 两点的坐标，求AB ，BA 的坐标.⑴()()1,3,2,5A B --⑵()()0,1,3,6A B -⑶()()4,7,2,1A B -⑷()()0,0,4,5A B -三、总结提升※ 学习小结若()11,a x y ，()22,b x y ，则2. ()1212,a b x x y y -=--3. ()11,a x y λλλ=4. 已知()11,A x y ，()22,B x y ，则()2121,AB x x y y =--.※ 知识拓展通过建立直角坐标系，可以将平面内任一向量用一个有序实数对来表示；反过来，任一有序数对就表示一个向量. 这就是说，一个平面向量就是一个有序实数对. 向量的坐标表示法将向量的加法，减法，数乘运算都统一起来，使得向量运算代数化，将数与形紧密结合起来，这样许多几何问题的解决，就可.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 若向量()2,3a x =-与向量()1,2b y =+相等，则（ ）A.1,3x y ==B.3,1x y ==C.1,5x y ==-D.5,1x y ==-2. 已知(),AB x y =，点B 的坐标为()2,1-，则OA 的坐标为（ ）A.()2,1x y -+B.()2,1x y +-C.()2 1x y ---，D.()2,1x y ++ 3. 已知()3,1a =-，()1,2b =-，则32a b --等于（ ）A.()7,1B.()7,1--C.()7 1-，D.()7,1- 4. 设点()1,2A -，()2,3B ，()3,1C -且AD =2AB3BC -，则D 点的坐标为 .5. 作用于原点的两力()11,1F =，()22,3F =，为使它们平衡，则需加力3F = .1. 若点()0,0O 、()1,2A 、()1,3B -，且!2OA OA =，!3OB OB =，则点!A 的坐标为多少？点!B 的坐标为多少？向量!!A B 的坐标为多少？2. 已知向量()3,2a =-，()2,1b =-，()7,4c =-，试用,a b 来表示c .§2.3.4平面向量共线的坐标表示1. 理解用坐标表示的两个向量共线条件；2. 了解分点坐标公式的向量证法；3. 会根据向量的坐标，判断向量是否共线.一、课前准备复习： ⑴若点A 、B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y 那么向量AB 的坐标为 . ⑵若()()1122,,,a x y b x y ==，则a b += a b -= ，a λ=二、新课导学※ 学习探究问题：我们知道，假设()()1122,,,a x y b x y ==，其中0b ≠，若,a b 共线，当且仅当存在实数λ，使a b λ=，用坐标该如何表示这两个向量共线呢？新知：通过运算，我们得知当且仅当12210x y x y -=时，向量(),0a b b ≠共线.※ 典型例题例1 已知()4,2a =，()6,b y =，且//a b ，求y .例2 向量(),12OA k =，()4,5OB =，()10,OC k = ，当k 为何值时，,,A B C 三点共线.例3 设点P 是线段12P P 上的一点，12,P P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y . ⑴当点P 是线段12P P 的中点时，求点P 的坐标； ⑵当点P 是线段12P P 的一个三等分点时，求点P 的坐标.变式： 当12PP PP λ=，点P 的坐标是什么？。
第二章 平面向量 章末复习 学案(含答案)人教A版数学必修4
第二章平面向量章末复习学案（含答案）人教A版数学必修4章末复习章末复习一.网络构建二.要点归纳1向量的运算设ax1，y1，bx2，y2向量运算法则或几何意义坐标运算向量的线性运算加法abx1x2，y1y2减法abx1x2，y1y2数乘1|a||||a|；2当0时，a的方向与a的方向相同；当01用k表示数量积ab；2求ab的最小值，并求出此时a 与b的夹角的大小考点数形结合思想在向量问题中的应用题点数形结合思想在向量问题中的应用解1由|kab|3|akb|，得kab23akb2，k2a22kabb23a26kab3k2b2.k23a28kab13k2b20.|a|cos2sin21，|b|cos2sin21，k238kab13k20，ab2k228kk214kk02abk214k14k1k.由对勾函数的单调性可知，fk14k1k在0,1上单调递减，在1，上单调递增，当k1时，fkminf1141112，此时a与b的夹角的余弦值cosab|a||b|12，又0180，60.反思感悟数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题1设ax1，y1，bx2，y2，abx1y2x2y10，abx1x2y1y20.2求向量的夹角和模的问题设ax1，y1，则|a|x21y21.两向量夹角的余弦值0，a，b为非零向量cosab|a||b|x1x2y1y2x21y21x22y22.跟踪训练2已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则AFBC的值为A58B.18C.14D.118考点基底思想在解题中的应用题点基底思想在解题中的应用答案B解析BCACAB，AFADDF12AB32DE12AB34AC，BCAFACAB12AB34AC12111212343411121434123818.题型三向量坐标法在平面几何中的应用例3在RtABC中，CACB2，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN2，则CMCN的取值范围为________考点向量坐标在解题中的应用题点向量坐标在解题中的应用答案32，2解析以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则C0,0，A2,0，B0,2，所以直线AB的方程为xy20.设Mt，2t，则Nt1，1t0t1，所以CMCNtt12t1t2t22t22t12232.因为0t1，所以CMCN的取值范围为32，2.反思感悟把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题这样的解题方法具有普遍性跟踪训练3如图，半径为3的扇形AOB的圆心角为120，点C在AB上，且COB30，若OCOAOB，则等于A.3B.33C.433D23考点向量坐标在解题中的应用题点向量坐标在解题中的应用答案A解析由题意，得AOC90，故以O为坐标原点，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则O0,0，A0，3，C3，0，B3cos30，3sin30，因为OCOAOB，所以3，00，3332，312，即3332，03312，则233，33，所以3.1在菱形ABCD中，若AC2，则CAAB等于A2B2C|AB|cosAD 与菱形的边长有关答案B解析如图，设对角线AC与BD交于点O，ABAOOB.CAABCAAOOB202.2已知|a|1，ab12，|ab|21，则a与b的夹角等于A30B45C60D120考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的夹角答案C解析设a与b的夹角为，因为ab|a||b|cos12，且|a|1，所以|b|cos12.又|ab|2|a|2|b|22ab1，即1|b|211，故|b|1.由得cos12.又0180，所以60，故选C.3已知向量a1，3，b3，m若向量a，b的夹角为6，则实数m等于A23B.3C0D3答案B解析ab1，33，m33m，ab123232m2cos6，33m123232m2cos6，m3.4已知向量a1,2，b2，3若向量c满足cab，cab，则c________.考点向量坐标在解题中的应用题点向量坐标在解题中的应用答案79，73解析设cx，y，则cax1，y2又cab，2y23x10.又cab，x，y3，13xy0.联立解得x79，y73.5平面向量a3，1，b12，32，若存在不同时为0的实数k 和t，使xat23b，ykatb，且xy，试求函数关系式kft考点向量坐标在解题中的应用题点向量坐标在解题中的应用解由a3，1，b12，32，得ab0，|a|2，|b|1，由xy，得at23bkatb0，ka2tabkt23abtt23b20，4kt33t0，k14t33t，ft14t33t，所以函数关系式为kft14t33t。
高中人教版数学必修4学案：第2章 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 【含答案】
2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学习目标核心素养1.了解平面向量数量积的物理背景.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义. (重点)3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直．(难点)4. 向量的数量积与实数的乘法的区别．(易混点) 1.通过学习平面向量数量积及其物理背景的学习，培养学生的数学抽象素养. 2.通过数量积的应用，提升学生的数学运算素养.1．平面向量数量积的定义非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.特别地，零向量与任一向量的数量积等于0.思考：向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同？[提示]数量积的运算结果是实数，线性运算的运算结果是向量．2．向量的数量积的几何意义(1)投影的概念：①b在a的方向上的投影为|b|cos θ；②a在b的方向上的投影为|a|cos θ.(2)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．思考：投影一定是正数吗？[提示]投影可正、可负也可以为零．3．向量数量积的性质垂直向量a·b＝0平行向量同向a·b＝|a||b|反向a·b＝－|a||b|向量的模a·a＝|a|2或|a|＝a·a求夹角cos θ＝a·b |a||b|不等关系a·b≤|a||b|4.(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．思考：a·(b·c)＝(a·b)·c成立吗？[提示](a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线．因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．1．已知单位向量a，b，夹角为60°，则a·b＝()A.12 B.32C．1 D．－1 2A[a·b＝1×1×cos 60°＝1 2.]2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为()A.π6 B.π4C.π3 D.π2C[由条件可知，cos θ＝a·b|a||b|＝21×4＝12，又∵0≤θ≤π，∴θ＝π3.]3．已知单位向量a，b夹角为π3，则|a－b|＝________.1 [单位向量a ，b 夹角为π3，则|a －b |＝a 2－2a·b ＋b 2＝1－2×1×1×12＋1＝1.]4．己知|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，则a·b ＝________.－1 [|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，可得：a 2＋a·b ＝0，∴a·b ＝－1.]向量数量积的计算及其几何意义【例1】 (1)已知单位向量e 1，e 2的夹角为π3，a ＝2e 1－e 2，则a 在e 1上的投影是________．(2)已知向量a 与b 满足|a |＝10，|b |＝3，且向量a 与b 的夹角为120°.求： ①(a －b )·(a －b )； ②(2a ＋b )·(a －b )．思路点拨：根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答． (1)32 [设a 与e 1的夹角为θ，则a 在e 1上的投影为|a |cos θ＝a ·e 1|e 1|＝a ·e 1＝(2e 1－e 2)·e 1＝2e 21－e 1·e 2＝2－1×1×cos π3＝32.] (2)[解] ①(a －b )·(a －b ) ＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝100－9＝91.②因为|a |＝10，|b |＝3，且向量a 与b 的夹角为120°， 所以a·b ＝10×3×cos 120°＝－15， 所以(2a ＋b )·(a －b )＝2a 2－a·b －b 2 ＝200＋15－9＝206.求平面向量数量积的步骤(1)求a 与b 的夹角θ，θ∈[0，π]；(2)分别求|a |和|b |；(3)求数量积，即a·b ＝|a ||b |cos θ，要特别注意书写时a 与b 之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去.求投影的两种方法：(1)b 在a 方向上的投影为|b |cos θ(θ为a ，b 的夹角)，a 在b 方向上的投影为|a |cos θ.(2)b 在a 方向上的投影为，a 在b 方向上的投影为[跟进训练]1．(1)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角θ为60°，求： ①a ·b ；②(2a －b )·(a ＋3b )．(2)设正三角形ABC 的边长为2，AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，求a ·b ＋b ·c ＋c ·a .[解] (1)①a ·b ＝|a ||b |cos θ＝2×3×cos 60°＝3. ②(2a －b )·(a ＋3b )＝2a 2＋5a ·b －3b 2＝2|a |2＋5a ·b －3|b |2＝2×22＋5×3－3×32＝－4.(2)∵|a |＝|b |＝|c |＝2，且a 与b ，b 与c ，c 与a 的夹角均为120°，∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝2×2×cos 120°×3＝－3.与向量模有关的问题【例2】 b |＝________. (2)已知向量a 与b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a ＋b |＝10，求|b |. 思路点拨：灵活应用a 2＝|a |2求向量的模．(1)23 [|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋2·|a |·|2b |·cos 60°＋(2|b |)2＝22＋2×2×2×12＋22＝4＋4＋4＝12，所以|a ＋2b |＝12＝2 3.](2)[解] 因为|2a ＋b |＝10，所以(2a ＋b )2＝10， 所以4a 2＋4a·b ＋b 2＝10.又因为向量a与b的夹角为45°且|a|＝1，所以4×12＋4×1×|b|×22＋|b|2＝10，整理得|b|2＋22|b|－6＝0，解得|b|＝2或|b|＝－32(舍去)．求向量的模的常见思路及方(1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方.(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.(3)一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等.[跟进训练]2．已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角θ为π3，求|a＋b|，|a－b|.[解]∵|a|＝|b|＝5且夹角θ为π3，∴ |a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝52＋2×5×5×cos π3＋52＝75，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝52－2×5×5×cos π3＋52＝25，∴|a＋b|＝53，|a－b|＝5.与向量垂直、夹角有关的问题[1．设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？提示：a⊥b⇔a·b＝0.2．|a ·b |与|a ||b |的大小关系如何？为什么？对于向量a ，b ，如何求它们的夹角θ？提示：|a ·b |≤|a ||b |，设a 与b 的夹角为θ，则a ·b ＝|a ||b |cos θ. 两边取绝对值得： |a ·b |＝|a ||b ||cos θ|≤|a ||b |. 当且仅当|cos θ|＝1，即cos θ＝±1，θ＝0°或π时，取“＝”， 所以|a ·b |≤|a ||b |，cos θ＝a ·b |a ||b |.【例3】 (1)已知e 1与e 2是两个互相垂直的单位向量，若向量e 1＋k e 2与k e 1＋e 2的夹角为锐角，则k 的取值范围为________．(2)已知非零向量a ，b 满足a ＋3b 与7a －5b 互相垂直，a －4b 与7a －2b 互相垂直，求a 与b 的夹角．思路点拨：(1)两个向量夹角为锐角等价于这两个向量数量积大于0且方向不相同．(2)由互相垂直的两个向量的数量积为0列方程，推出|a |与|b |的关系，再求a 与b 的夹角．(1)(0,1)∪(1，＋∞) [∵e 1＋k e 2与k e 1＋e 2的夹角为锐角， ∴(e 1＋k e 2)·(k e 1＋e 2)＝k e 21＋k e 22＋(k 2＋1)e 1·e 2 ＝2k ＞0，∴k ＞0.当k ＝1时，e 1＋k e 2＝k e 1＋e 2，它们的夹角为0°，不符合题意，舍去． 综上，k 的取值范围为k ＞0且k ≠1.] (2)[解] 由已知条件得 ⎩⎨⎧(a ＋3b )·(7a －5b )＝0，(a －4b )·(7a －2b )＝0， 即⎩⎨⎧7a 2＋16a·b －15b 2＝0， ①7a 2－30a·b ＋8b 2＝0， ②②－①得23b 2－46a·b ＝0，∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，∴|a|＝|b|，∴cos θ＝a·b|a||b|＝12b2|b|2＝12.∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.1．将本例(1)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围．[解]∵e1＋k e2与k e1＋e2的夹角为钝角，∴(e1＋k e2)·(k e1＋e2)＝k e21＋k e22＋(k2＋1)e1·e2＝2k＜0，∴k＜0.当k＝－1时，e1＋k e2与k e1＋e2方向相反，它们的夹角为π，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围是k＜0且k≠－1.2．将本例(1)中的条件“锐角”改为“π3”，求k的值．[解]由已知得|e1＋k e2|＝e21＋2k e1·e2＋k2e22＝1＋k2，|k e1＋e2|＝k2e21＋2k e1·e2＋e22＝k2＋1，(e1＋k e2)·(k e1＋e2)＝k e21＋k e22＋(k2＋1)e1·e2＝2k，则cosπ3＝(e1＋k e2)(k e1＋e2)|e1＋k e2||k e1＋e2|＝2k1＋k2，即2k1＋k2＝12，整理得k2－4k＋1＝0，解得k＝4±122＝2±3.1．求向量夹角的方法(1)求出a·b，|a|，|b|，代入公式cos θ＝a·b|a||b|求解．(2)用同一个量表示a·b，|a|，|b|，代入公式求解．(3)借助向量运算的几何意义，数形结合求夹角．2．要注意夹角θ的范围θ∈[0，π]，当cos θ＞0时，θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2；当cos θ＜0时，θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，当cos θ＝0时，θ＝π2.1．两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0,0°≤θ＜90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°＜θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时)．2．两非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a ·b ＝0，求向量模时要灵活运用公式|a |＝a 2. 3．要注意区分向量数量积与实数运算的区别(1)在实数运算中，若ab ＝0，则a 与b 中至少有一个为0.而在向量数量积的运算中，不能从a ·b ＝0推出a ＝0或b ＝0.实际上由a ·b ＝0可推出以下四种结论：①a ＝0，b ＝0；②a ＝0，b ≠0；③a ≠0，b ＝0；④a ≠0，b ≠0，但a ⊥b . (2)在实数运算中，若a ，b ∈R ，则|ab |＝|a |·|b |，但对于向量a ，b ，却有|a ·b |≤|a ||b |，当且仅当a ∥b 时等号成立．这是因为|a ·b |＝|a ||b ||cos θ|，而|cos θ|≤1.(3)实数运算满足消去律：若bc ＝ca ，c ≠0，则有b ＝a .在向量数量积的运算中，若a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则向量c ，b 在向量a 方向上的投影相同，因此由a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能得到b ＝c .(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a ·b )·c 不一定等于a ·(b ·c )，这是由于(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量，而a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线．1．对于向量a ，b ，c 和实数λ，下列命题中真命题是( ) A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0 C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b D ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝cB [A 错，当a 与b 夹角为π2时，a ·b ＝0；C 错，a 2＝b 2即|a |＝|b |；D 错，数量积不能约分；只有B对．]2．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝() A．4B．3C．2D．0B[因为a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝2＋1＝3，所以选B.]3．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b的方向上的投影为________．125[设a与b的夹角为θ，因为a·b＝|a||b|cos θ＝12，又|b|＝5，所以|a|cos θ＝12 5，即a在b方向上的投影为12 5.]4．已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为π3，求|a＋b|，|a－b|.[解]a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×12＝252.|a＋b|＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝25＋2×252＋25＝5 3.|a－b|＝(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝25－2×252＋25＝5.。
高中数学必修四第二章平面向量复习教案课时训练练习教案课件
第二章 平面向量复习课（一）一、教学目标1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。
2. 了解平面向量基本定理.3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。
4. 了解向量形式的三角形不等式：||a |-|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|a |2+|b |2)=|a －b |2+|a +b |2.5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：6. 向量的坐标概念和坐标表示法7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）8. 数量积（点乘或内积）的概念，a ·b =|a ||b |cos θ=x 1x 2+y 1y 2注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”二、知识与方法向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直三、教学过程（一）重点知识：1. 实数与向量的积的运算律：b a b a a a a a a λλλμλμλλμμλ+=++=+=)( (3) )( (2) )()( (1)2. 平面向量数量积的运算律:)1(a b b a ⋅=⋅ )()()( )2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅ c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+ )( )3(3. 向量运算及平行与垂直的判定:).0(),,(),,(2211≠==b y x b y x a 设 则),(2121y y x x b a ++=+ ),(2121y y x x b a --=- 2121y y x x b a +=⋅.0//1221=-⇔y x y x b a .02121=+⇔⊥y y x x b a4. 两点间的距离:221221)()(||y y x x AB -+-=5. 夹角公式:222221212121cos y x y x y y x x b a +⋅++==θ6. 求模：= 22y x += 221221)()(y y x x -+-=（二）习题讲解：第二章 复习参考题（三）典型例题例1． 已知O 为△ABC 内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设OA =a ，OB =b ，OC =c ，且|a |=2，|b |=1，| c |=3，用a 与b 表示c解：如图建立平面直角坐标系xoy ，其中i , j 是单位正交基底向量, 则B （0，1），C （-3，0），设A （x ，y ），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A （1，-3），也就是a =i －3j , b =j ， c =-3i 所以-3a =33b +c |即c =3a －33b（四）基础练习：（五）、小结：掌握向量的相关知识。
人教A版高一数学必修4 教案--第二章 平面向量--含答案
aaa平面向量复习教案一、教学目标1．知识与技能：通过复习本章知识点，提高综合运用知识的能力”. 2．过程与方法：通过知识回顾，例题分析，强化训练，体现向量的工具作用. 3．情感态度与价值观：通过本节学习,让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性,活跃学生的思维,发展学生的创新意识,激发学生的学习积极性,并体会向量在几何和现实生活中的意义.教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段.三、重点难点教学重点:用向量方法解决实际问题的基本方法;向量法解决几何问题. 教学难点:如何将几何等实际问题化归为向量问题.四、教学设想一、基础知识：（一）平面向量的计算及其性质： （1）+=+；（2）（-+=-；平行四边形法则三角形法则（3）)0(,≠=a a b λ⇔和共线；（4a的模（即长度）0≥（5+≤+≤-+≤-≤-。
（6）θcos =⋅，其中θ为向量和的夹角。
==（7）()()⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+；那么()()___=+⋅- （8）⊥⇔=⋅0 （二）向量的坐标表示和运算：在平面中，若,不共线（可作为平面的一组基底），则任意向量，有且只有一组数（y x ,）使得y x +=当我们选定的一组基为直角坐标系上两互相垂直的单位向量和，则平面任意向量可以表示成y x +=，那么任意向量和坐标平面上的一个点坐标相对应，如图所示，即),(y x =， （1）设),(),,(2211y x y x ==则=+=-=a λ=⋅ba=；若//，则；⊥，则；（填坐标关系）（2）已知点),(11y x A 、),(22y x B 则向量=AB=；二、例题选讲（一）加减运算。
高中人教版数学必修4学案：第2章 2.2.2 向量减法运算及其几何意义 【含答案】
2.2.2 向量减法运算及其几何意义学 习 目 标核 心 素 养1.理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量减法的意义．(难点)2.掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地进行向量的加减运算．(重点) 3.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算．(易混点) 1.类比数的运算给出向量减法的三角形法则，培养了学生的数学抽象素养.2.通过向量的减法的应用，提升学生的数学运算素养.1．相反向量(1)定义：如果两个向量长度相等，而方向相反，那么称这两个向量是相反向量．(2)性质：①对于相反向量有：a ＋(－a )＝0. ②若a ，b 互为相反向量，则a ＝－b ，a ＋b ＝0. ③零向量的相反向量仍是零向量． 2．向量的减法(1)定义：a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． (2)作法：在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则向量a －b ＝BA →，如图所示．3．|a |、|a ±b |与|b |三者之间的关系 ||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |； ||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |.思考：在什么条件下，|a －b |＝|a |＋|b |?[提示] 当a ，b 至少有一者为0或a ，b 非零且反向时成立．1．非零向量m 与n 是相反向量，下列不正确的是( ) A ．m ＝n B ．m ＝－n C ．|m |＝|n |D ．方向相反A [由条件可知，当m ≠0且n ≠0时B ，C ，D 项都成立，故选A.] 2．在菱形ABCD 中，下列等式中不成立的是( ) A.AC→－AB →＝BC → B.AD→－BD →＝AB → C.BD→－AC →＝BC → D.BD→－CD →＝BC → C [如图，根据向量减法的三角形法则知A 、B 、D 均正确，C 中，BD →－AC →＝AD→－AB →－(AB →＋AD →)＝－2AB →≠BC →，故选C.]3．化简OP→－QP →＋PS →＋SP →的结果等于( )A.QP →B.OQ →C.SP→ D.SQ→ B [原式＝(OP→＋PQ →)＋(PS →＋SP →)＝OQ →＋0=OQ →.]4．如图，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示向量AC →，BD →，则AC →＝________，BD→＝________.a ＋b b －a [由向量加法的平行四边形法则，及向量减法的运算法则可知AC →＝a ＋b ，BD →＝b －a .]向量减法的几何意义【例1】 (1)如图所示，四边形ABCD 中，若AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →＝( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c(2)如图所示，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c .思路点拨：(1)利用向量减法和加法的几何意义，将DC →向AB →，BC →，AD →转化；(2)利用几何意义法与定义法求出a ＋b －c 的值． (1)A [DC→＝AC →－AD →＝(AB →＋BC →)－AD →＝a ＋c －b .](2)[解] 法一：(几何意义法)如图①所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB→＝a ＋b ，再作OC →＝c ，则CB →＝a ＋b －c . 法二：(定义法)如图②所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作BC→＝－c ，连接OC ，则OC →＝a ＋b －c .图① 图②求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如a －b ，可以先作－b ，然后作a ＋(－b )即可．(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．[跟进训练]1．如图，已知向量a ，b ，c ，求作向量a －b －c .[解] 法一：先作a －b ，再作a －b －c 即可．如图①所示，以A 为起点分别作向量AB→和AC →，使AB →＝a ，AC →＝b .连接CB ，得向量CB→＝a －b ，再以C 为起点作向量CD →，使CD →＝c ，连接DB ，得向量DB →.则向量DB→即为所求作的向量a －b －c .图① 图②法二：先作－b ，－c ，再作a ＋(－b )＋(－c )，如图②. (1)作AB→＝－b 和BC →＝－c ； (2)作OA →＝a ，则OC →＝a －b －c .向量减法的运算及简单应用【例2①用a ，b 表示DB→；②用b ，c 表示EC →.(2)化简下列各向量的表达式： ①AB→＋BC →－AD →； ②(AB→－CD →)－(AC →－BD →)； ③(AC→＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)． 思路点拨：按照向量加法和减法的运算法则进行化简，进行减法运算时，必须保证两个向量的起点相同．[解] (1)∵BC→＝a ，CD →＝b ，DE →＝c .①DB→＝CB →－CD →＝－BC →－CD →＝－a －b . ②EC→＝－CE →＝－(CD →＋DE →)＝－b －c . (2)①AB→＋BC →－AD →＝AC →－AD →＝DC →. ②(AB→－CD →)－(AC →－BD →)＝(AB →＋BD →)－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →＝0. ③(AC→＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →) ＝(AC →＋BA →)－(OC →－OB →)＝BC →－BC →＝0. [一题多解](2)②法一：(加法法则) 原式＝AB→－CD →－AC →＋BD →＝(AB→＋BD →)－(AC →＋CD →) ＝AD→－AD →＝0； 法二：减法法则(利用相反向量) 原式＝AB→－CD →－AC →＋BD →＝(AB→－AC →)＋(DC →－DB →) ＝CB→＋BC →＝0； 法三：减法法则(创造同一起点) 原式＝AB→－CD →－AC →＋BD →＝(OB →－OA →)－(OD →－OC →)－(OC →－OA →)＋(OD →－OB →) ＝OB→－OA →－OD →＋OC →－OC →＋OA →＋OD →－OB →＝0.1．向量减法运算的常用方法2．向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连且为和． (2)起点相同且为差．解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用． 3．与图形相关的向量运算化简首先要利用向量加减的运算法则、运算律，其次要分析图形的性质，通过图形中向量的相等、平行等关系辅助化简运算．[跟进训练]2．化简下列向量表达式： (1)OM→－ON →＋MP →－NA →； (2)(AD→－BM →)＋(BC →－MC →)． [解] (1)OM→－ON →＋MP →－NA →＝NM →＋MP →－NA →＝NP →－NA →＝AP →.(2)(AD →－BM →)＋(BC →－MC →)＝AD →＋MB →＋BC →＋CM →＝AD →＋(MB →＋BC →＋CM →)＝AD →＋0＝AD→. 向量减法几何意义的应用[1．以向量加法的平行四边形法则为基础，能否构造一个图形将a ＋b 和a －b 放在这个图形中？提示：如图所示平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，则a ＋b ＝AC →，a －b＝DB→.2．已知向量a ，b ，那么|a |－|b |与|a ±b |及|a |＋|b |三者具有什么样的大小关系？ 提示：它们之间的关系为||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. (1)当a ，b 有一个为零向量时，不等式显然成立．(2)当a ，b 不共线时，作OA→＝a ，AB →＝b ，则a ＋b ＝OB →，如图①所示，根据三角形的性质，有||a |－|b ||<|a ＋b |<|a |＋|b |.同理可证||a |－|b ||<|a －b |<|a |＋|b |.(3)当a ，b 非零且共线时，①当向量a 与b 同向时，作法同上，如图②所示，此时|a ＋b |＝|a |＋|b |.②当向量a ，b 反向时，不妨设|a |>|b |，作法同上，如图③所示，此时|a ＋b |＝|a |－|b |.综上所述，得不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.【例3】 (1)在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，若|AD →－AB →|＝|BC →－BA →|，则四边形ABCD 是( )A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．不确定(2)已知|AB→|＝6，|AD →|＝9，求|AB →－AD →|的取值范围．思路点拨：(1)先由AB →＝DC →判断四边形ABCD 是平行四边形，再由向量减法的几何意义将|AD→－AB →|＝|BC →－BA →|变形，进一步判断此四边形的形状． (2)由||AB→|－|AD →||≤|AB →－AD →|≤|AB →|＋|AD →|求范围．(1)B [∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形， 又∵|AD→－AB →|＝|BC →－BA →|，∴|BD →|＝|AC →|. ∴四边形ABCD 为矩形．](2)[解] ∵||AB→|－|AD →||≤|AB →－AD →|≤|AB →|＋|AD →|，且|AD→|＝9，|AB →|＝6，∴3≤|AB →－AD →|≤15. 当AD→与AB →同向时，|AB →－AD →|＝3； 当AD→与AB →反向时，|AB →－AD →|＝15. ∴|AB→－AD →|的取值范围为[3,15]．1．将本例(2)的条件改为“|AB→|＝8，|AD →|＝5”，求|BD →|的取值范围．[解] 因为BD→＝AD →－AB →，|AB →|＝8，|AD →|＝5，||AD→|－|AB →||≤|AD →－AB →|≤|AD →|＋|AB →|， 所以3≤|BD →|≤13，当AB→与AD →同向时，|BD →|＝3； 当AB→与AD →反向时，|BD →|＝13. 所以|BD→|的取值范围是[3,13]． 2．在本例(2)条件不变的条件下，求|AB→＋AD →|的取值范围．[解] 由||AB →|－|AD →||≤|AB →＋AD →|≤|AB →|＋|AD →|，∵|AB →|＝6，|AD →|＝9，∴3≤|AB →＋AD →|≤15.当AB→与AD →同向时，|AB →＋AD →|＝15； 当AB→与AD →反向时，|AB →＋AD →|＝3. 3．本例(2)中条件“|AD→|＝9”改为“|BD →|＝9”，求|AD →|的取值范围．[解] AD→＝BD →－BA →，又|BA →|＝|AB →|，由||BD →|－|BA →||≤|BD →－BA →|≤|BD →|＋|BA →|， ∴3≤|AD→|≤15.1．用向量法解决平面几何问题的步骤 (1)将平面几何问题中的量抽象成向量． (2)化归为向量问题，进行向量运算． (3)将向量问题还原为平面几何问题．2．用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键(1)利用向量证明线段平行且相等，从而证明四边形为平行四边形，只需证明对应有向线段所表示的向量相等即可．(2)根据图形灵活应用向量的运算法则，找到向量之间的关系是解决此类问题的关键．1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB →＝BA →就可以把减法转化为加法．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a －b ＝a ＋(－b )．2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．3．以平行四边形ABCD 的两邻边AB ，AD 分别表示向量AB→＝a ，AD →＝b ，则两条对角线表示的向量为AC →＝a ＋b ，BD →＝b －a ，DB →＝a －b ，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并掌握．1．下列等式：①0－a ＝－a ；②－(－a )＝a ；③a ＋(－a )＝0；④a ＋0＝a ；⑤a －b ＝a ＋(－b )；⑥a ＋(－a )＝0.正确的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6C [由向量减法、相反向量的定义可知①②③④⑤都正确，⑥错误．] 2．化简BA→－CA →＋DB →－DC →＝________.0 [BA→－CA →＋DB →－DC → ＝(BA →＋AC →)＋(DB →－DC →) ＝BC →＋CB → ＝0.]3．若a ，b 为相反向量，且|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＝________，|a －b |＝________. 0 2 [因为a ，b 为相反向量，∴a ＋b ＝0， 即|a ＋b |＝0，又a ＝－b ，∴|a －b|＝|2a |＝2.]4．如图，在五边形ABCDE 中，若四边形ACDE 是平行四边形，且AB →＝a ，AC →＝b ，AE→＝c ，试用a ，b ，c 表示向量BD →，BC →，BE →，CD →及CE →.[解] ∵四边形ACDE 是平行四边形， ∴CD→＝AE →＝c ， BC→＝AC →－AB →＝b －a ， BE→＝AE →－AB →＝c －a ， CE→＝AE →－AC →＝c －b ， ∴BD→＝BC →＋CD →＝b －a ＋c.。
必修4 第二章 平面向量导学案
第二章平面向量2。
1 向量的概念及表示【学习目标】1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向量;2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别；3。
通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力。
【学习重难点】重点：平行向量的概念和向量的几何表示；难点：区分平行向量、相等向量和共线向量；基础梳理1。
向量的定义：__________________________________________________________;2。
向量的表示：（1）图形表示：（2）字母表示：3。
向量的相关概念:（1）向量的长度（向量的模)：_______________________记作：______________（2）零向量：___________________，记作：_____________________（3）单位向量：________________________________(4）平行向量：________________________________（5）共线向量:________________________________（6）相等向量与相反向量：_________________________思考：(1）平面直角坐标系中，起点是原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？____ （2）平行向量与共线向量的关系：____________________________________________ （3）向量“共线”与几何中“共线”有何区别：__________________________________ 【典型例题】例1。
判断下例说法是否正确,若不正确请改正：（1）零向量是唯一没有方向的向量；（2）平面内的向量单位只有一个；（3）方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是相反向量；(4)向量a和b是共线向量，//b c，则a和c是方向相同的向量；（5）相等向量一定是共线向量;例2。
最新人教A版高中数学必修4第二章平面向量章末复习课导学案
第二章 平面向量学习目标.1.回顾梳理向量的有关概念，进一步体会向量的有关概念的特征.2.系统整理向量线性运算、数量积运算及相应的运算律和运算性质.3.体会应用向量解决问题的基本思想和基本方法.4.进一步理解向量的“工具”性作用.1.向量的运算：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2).2.两个定理(1)平面向量基本定理①定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.②基底：把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.(2)向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa . 3.向量的平行与垂直a ，b 为非零向量，设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，类型一.向量的线性运算例1.如图所示，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________.答案.311解析.设BP →＝λBN →，则BP →＝BA →＋AP →＝－AB →＋mAB →＋211AC →＝(m －1)AB →＋211AC →.BN →＝BA →＋AN →＝－AB →＋14AC →.∵BP →与BN →共线，∴14(m －1)＋211＝0，∴m ＝311.反思与感悟.向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题.跟踪训练1.在△ABC 中，E 为线段AC 的中点，试问在线段AC 上是否存在一点D ，使得BD →＝13BC→＋23BE →，若存在，说明D 点位置；若不存在，说明理由.解.假设存在D 点，使得BD →＝13BC →＋23BE →.BD →＝13BC →＋23BE →⇒BD →＝13BC →＋23(BC →＋CE →)＝BC →＋23CE →⇒BD →－BC →＝23CE →⇒CD →＝23CE →⇒CD →＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫12CA →⇒CD →＝13CA →.所以当点D 为AC 的三等分点⎝⎛⎭⎪⎫CD →＝13CA →时，BD →＝13BC →＋23BE →.类型二.向量的数量积运算例2.已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且|k a ＋b |＝3|a －k b |(k >0). (1)用k 表示数量积a ·b ；(2)求a ·b 的最小值，并求出此时a 与b 的夹角θ的大小. 解.(1)由|k a ＋b |＝3|a －k b |， 得(k a ＋b )2＝3(a －k b )2，∴k 2a 2＋2k a ·b ＋b 2＝3a 2－6k a ·b ＋3k 2b 2. ∴(k 2－3)a 2＋8k a ·b ＋(1－3k 2)b 2＝0.∵|a |＝cos 2α＋sin 2α＝1，|b |＝cos 2β＋sin 2β＝1， ∴k 2－3＋8k a ·b ＋1－3k 2＝0， ∴a ·b ＝2k 2＋28k ＝k 2＋14k.(2)a ·b ＝k 2＋14k ＝14(k ＋1k).由函数的单调性可知，f (k )＝14(k ＋1k )在(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，∴当k ＝1时，f (k )min ＝f (1)＝14×(1＋1)＝12，此时a 与b 的夹角θ的余弦值cos θ＝a ·b |a ||b |＝12，∴θ＝60°.反思与感悟.数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题： (1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0， a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)求向量的夹角和模的问题 ①设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21. ②两向量夹角的余弦(0≤θ≤π)cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 跟踪训练2.已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－(3＋m )). (1)若点A ，B ，C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件； (2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值. 解.(1)若点A ，B ，C 能构成三角形，则这三点不共线， ∵OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)， OC →＝(5－m ，－(3＋m ))，∴AB →＝(3，1)，BC →＝(－m －1，－m )， ∵AB →与BC →不平行，∴－3m ≠－m －1，解得m ≠12，∴当实数m ≠12时满足条件.(2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，则AB →⊥AC →，而AB →＝(3，1)，AC →＝(2－m ，1－m )， ∴3(2－m )＋(1－m )＝0，解得m ＝74.类型三.向量坐标法在平面几何中的应用例3.已知在等腰△ABC 中，BB ′，CC ′是两腰上的中线，且BB ′⊥CC ′，求顶角A 的余弦值的大小.解.建立如图所示的平面直角坐标系，设A (0，a )，C (c ，0)，则B (－c ，0)，OA →＝(0，a )，BA →＝(c ，a )，OC →＝(c ，0)，BC →＝(2c ，0).因为BB ′，CC ′为AC ，AB 边上的中线， 所以BB ′—→＝12(BC →＋BA →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2，a 2，同理CC ′—→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3c 2，a 2.因为BB ′—→⊥CC ′—→，所以BB ′—→·CC ′—→＝0， 即－9c 24＋a 24＝0，化简得a 2＝9c 2，又因为cos A ＝AB →·AC→|AB →||AC →|＝a 2－c 2a 2＋c 2＝9c 2－c 29c 2＋c 2＝45.即顶角A 的余弦值为45.反思与感悟.把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题.这样的解题方法具有普遍性.跟踪训练3.如图，半径为3的扇形AOB 的圆心角为120°，点C 在AB 上，且∠COB ＝30°，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ等于(..)A. 3B.33C.433D.2 3 答案.A解析.由题意，得∠AOC ＝90°，故以O 为坐标原点，OC ，OA 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则O (0，0)，A (0，3)，C (3，0)，B (3×cos 30°，－3×sin 30°)，因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以(3，0)＝λ(0，3)＋μ(3×32，－3×12)， 即⎩⎪⎨⎪⎧3＝μ×3×32，0＝3λ－3×12μ，则⎩⎪⎨⎪⎧μ＝233，λ＝33，所以λ＋μ＝ 3.1.在菱形ABCD 中，若AC ＝2，则CA →·AB →等于(..) A.2 B.－2C.|AB →|cos A D.与菱形的边长有关答案.B解析.如图，设对角线AC 与BD 交于点O ，∴AB →＝AO →＋OB →.CA →·AB →＝CA →·(AO →＋OB →) ＝－2＋0＝－2.2.设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4.若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于(..) A.20 B.15 C.9 D.6答案.C解析.▱ABCD 的图象如图所示，由题设知，AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋34AD →，NM →＝13AB →－14AD →，∴AM →·NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋34AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →－14AD →＝13|AB →|2－316|AD →|2＋14AB →·AD →－14AB →·AD →＝13×36－316×16＝9. 3.已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为(..) A.12 B.2 C.－12 D.－2 答案.D解析.m a ＋4b ＝(2m －4，3m ＋8)，a －2b ＝(4，－1). ∵m a ＋4b 与a －2b 共线，∴(2m －4)×(－1)－(3m ＋8)×4＝0，解得m ＝－2.4.若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________. 答案.2 5解析.由题意可知，△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，且腰长|OA →|＝|OB →|＝10，由勾股定理得|AB →|＝20＝2 5.5.平面向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，若存在不同时为0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x⊥y ，试求函数关系式k ＝f (t ). 解.由a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，得a·b ＝0，|a |＝2，|b |＝1，由x ⊥y ，得[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0， －k a 2＋t a·b －k (t 2－3)a·b ＋t (t 2－3)b 2＝0， 即－4k ＋t 3－3t ＝0，所以k ＝14(t 3－3t )，令f (t )＝14(t 3－3t )，所以函数关系式为k ＝f (t )＝14(t 3－3t ).1.由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题.2.向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.课时作业一、选择题1.下列命题中正确的是(..) A.OA →－OB →＝AB → B.AB →＋BA →＝0 C.0·AB →＝0 D.AB →＋BC →＋CD →＝AD → 答案.D解析.OA →－OB →＝BA →；AB →，BA 是一对相反向量，它们的和应该为零向量，即AB →＋BA →＝0；0·AB →＝0.2.在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2，1)，则AD →·AC →等于(..) A.5 B.4 C.3 D.2 答案.A解析.∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)，∴AD →·AC →＝2×3＋(－1)×1＝5.3.设向量a ＝(2，4)与向量b ＝(x ，6)共线，则实数x 等于(..) A.2 B.3 C.4 D.6 答案.B解析.∵a ∥b ，∴2×6－4x ＝0，∴x ＝3.4.若平面向量b 与向量a ＝(1，－2)的夹角是180°，且|b |＝35，则b 等于(..) A.(－3，6) B.(3，－6) C.(6，－3) D.(－6，3)答案.A解析.设b ＝k a ＝(k ，－2k )，k ＜0，而|b |＝35，则5k 2＝35，∴k ＝－3，b ＝(－3，6).5.已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于(..) A.－4 B.－3 C.－2 D.－1 答案.B6.在△ABC 中，若AB →2－AB →·AC →＝BA →·BC →－CA →·BC →，则△ABC 是(..) A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形答案.C解析.由已知，得AB →·(AB →－AC →)－BC →·(BA →－CA →)＝0， ∴AB →·CB →－BC →·BC →＝0，∴BC →·(－AB →－BC →)＝0，即－BC →·AC →＝0，BC →⊥AC →， ∴BC ⊥AC ，∴△ABC 为直角三角形.故选C.7.若a ，b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角θ的大小为(..) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6答案.B解析.∵a 2－2a ·b ＝0，b 2－2a ·b ＝0， ∴a 2＝b 2，|a |＝|b |，又∵cos θ＝a ·b |a ||b |＝12a 2|a |2＝12，θ∈[0，π]，∴θ＝π3.8.如图所示，在△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于点F .设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则(x ，y )为(..)A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，12 答案.C解析.令BF →＝λBE →.由题可知，AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋λBE →＝AB →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC →－AB →＝(1－λ)AB →＋12λAC →.令CF →＝μCD →，则AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋μCD →＝AC →＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →－AC →＝12μAB →＋(1－μ)AC →.由⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝12μ，12λ＝1－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝23，所以AF →＝13AB →＋13AC →，故选C.二、填空题9.若|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，若(3a ＋5b )⊥(m a －b )，则m 的值为________. 答案.238解析.由题意知(3a ＋5b )·(m a －b )＝3m a 2＋(5m －3)a·b －5b 2＝0，即3m ＋(5m －3)×2×cos 60°－5×4＝0，解得m ＝238.10.已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________. 答案.711.在△ABC 中，点O 在线段BC 的延长线上，且|BO →|＝3|CO →|，当AO →＝xAB →＋yAC →时，x －y ＝________. 答案.－2解析.由|BO →|＝3|CO →|，得BO →＝3CO →， 则BO →＝32BC →，所以AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋32BC →＝AB →＋32(AC →－AB →)＝－12AB →＋32AC →.所以x ＝－12，y ＝32，所以x －y ＝－12－32＝－2.12.已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 方向上的投影是________. 答案.1解析.∵|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，∴b 在a 方向上的投影是|b |cos 60°＝1.13.已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________.答案.712解析.∵AP →⊥BC →，∴AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝－λAB →2＋(λ－1)AB →·AC →＋AC →2＝－9λ＋(λ－1)×3×2×(－12)＋4＝0， ∴λ＝712. 三、解答题14.若OA →＝(sin θ，－1)，OB →＝(2sin θ，2cos θ)，其中θ∈[0，π2]，求|AB →|的最大值. 解.∵AB →＝OB →－OA →＝(sin θ，2cos θ＋1)⇒|AB →|＝sin 2θ＋4cos 2θ＋4cos θ＋1＝3cos 2θ＋4cos θ＋2＝ 3(cos θ＋23)2＋23， ∴当cos θ＝1，即θ＝0时，|AB →|取得最大值3.四、探究与拓展15.已知OA →＝(1，0)，OB →＝(0，1)，OM →＝(t ，t )(t ∈R )，O 是坐标原点.(1)若A ，B ，M 三点共线，求t 的值；(2)当t 取何值时，MA →·MB →取到最小值？并求出最小值.解.(1)AB →＝OB →－OA →＝(－1，1)，AM →＝OM →－OA →＝(t －1，t ).∵A ，B ，M 三点共线，∴AB →与AM →共线， ∴－(t －1)－t ＝0，∴t ＝12. (2)∵MA →＝(1－t ，－t )，MB →＝(－t ，1－t )，∴MA →·MB →＝2t 2－2t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－12，易知当t ＝1 2时，MA→·MB→取得最小值－12.。
人教版高中数学版必修四学案 第二章 平面向量
第二章平面向量（复习）【学习目标】1、理解和掌握平面向量有关的概念；熟练掌握平面向量的几何运算和坐标运算；2、熟悉平面向量的平行、垂直关系和夹角公式的应用；【学习过程】一、自主学习（预习教材P116—P121）1、平面向量有关的概念：（1）向量；（2）向量模；（3）相等向量；（4）相反向量；（5）零向量；（6）单位向量；（7）平行向量；（8）垂直向量；（9）向量的夹角；（10）向量的坐标。
2、向量的运算：（1）加减法；（2）实数与向量的乘积；（3）向量的数量积。
3、几个重要的结论：设11a (x ,y )=，22b (x ,y )=，λ为一实数。
（1）+a b =________；-a b =__________；λa =__________；a b ⋅=.（2）设a=(x,y),则2a =_____________或a _______________；（3）设θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝_________＝_______________；（4）a b ⊥⇔a b 0⋅=⇔； （5）∥⇔存在0λ≠，使得a b =λ⇔二、合作探究1、设1e 、2e 是两个不共线的向量，已知AB =122e ke +，123CB e e =+，122CD e e =-，若,,A B D 三点共线，求k 的值.2、已知向量()()4,3,1,2a b ==-，求⑴求a 与b 的夹角θ；⑵若向量a b λ-与2a b +垂直，求λ的值.3、向量a (1,1)=-，且a 与a 2b +方向相同，求a b ⋅的取值范围。
三、交流展示 1、已知正方形ABCD 的边长为，AB a =，BC b =，AC c =，则a b c ++为多少？2、若12,e e 是夹角为60的两个单位向量，则122a e e =+；1232b e e =-+的夹角为多少？3、已知向量()2,2a =-，()5,b k =，若a b +不超过5，则k 的取值范围是多少？四、达标检测（A 组必做，B 组选做）A 组：1. 下列各组向量中，可以作为基底的是（）A.()()120,0,1,2e e ==-B.()()121,2,5,7e e =-=C.()()123,5,6,10e e ==D. ()12132,3,,24e e ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 2. 若平面向量b 与向量()1,2a =-的夹角是180，且35b =，则=b （）A.()3,6-B.()3,6-C.()6,3-D.()6,3-3. 已知向量()1,2a =，()2,4b =--，5c =，若()52a b c +⋅=，则a 与c 的夹角为（）A.30B.60C.120D.1504.已知向量()1,1a =，()2,3b =-，若2ka b -与a 垂直，则实数k =.5. 如右图所示，在△AOB 中，若A ，B 两点坐标分别为(2,0)，(－3,4)，点C 在AB 上，且平分∠BOA ，求点C 的坐标．B 组：1.已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则b 在a 方向上的投影为________．2.已知OA→＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )．若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件为________．3.已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，求a 与b 的夹角θ.。
人教版高中数学必修4教案第二章平面向量复习课
第12课时复习课一、教学目标1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。
2. 了解平面向量基本定理.3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。
4. 了解向量形式的三角形不等式：||a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|a|2+|b|2)=|a－b|2+|a+b|2.5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：6. 向量的坐标概念和坐标表示法7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）8. 数量积（点乘或内积）的概念，·=||||cos =x1x2+y1y2注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”二、知识与方法向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直三、典型例题例1.对于任意非零向量与，求证：｜｜｜-｜｜｜≤｜±｜≤｜｜+｜｜证明：(1)两个非零向量与不共线时，+的方向与，的方向都不同，并且｜｜-｜b｜＜｜a±b｜＜｜a｜+｜b｜(3)两个非零向量a与b共线时，①a与b同向，则a+b的方向与a.b相同且｜a+b｜=｜｜＋｜｜.②与异向时，则+的方向与模较大的向量方向相同，设||＞||，则|+|=||-||.同理可证另一种情况也成立。
例2 已知O为△ABC内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设=，=，=，且||=2，||=1，| |=3，用与表示j解：如图建立平面直角坐标系xoy，其中, 是单位正交基底向量, 则B（0，1），C（-3，0），设A（x，y），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A（1，-3），也就是a=i －3, b=，c=-3所以-3a=33b+c|即c=3a－33b例3.下面5个命题：①|·|=||·||②(·)2=2·2③⊥(－)，则·=·④·=0，则|+|=|－|⑤·=0，则=或=，其中真命题是（ ） A ①②⑤ B ③④ C ①③ D ②④⑤三、巩固训练1.下面5个命题中正确的有（ ） ①=⇒·=·； ②·=·⇒=；③·（+）=·+·； ④·（·）=（·）·； ⑤b 2=⋅.A..①②⑤B.①③⑤C. ②③④D. ①③2.下列命题中，正确命题的个数为（ A ） ①若与是非零向量 ，且与共线时，则与必与或中之一方向相同；②若为单位向量，且a ∥e 则a =|a |e ③a ·a ·a =|a |3 ④若a 与b 共线，a 与c 共线，则c 与b 共线；⑤若平面内四点A.B.C.D ，必有AC +BD =BC +ADA 1B 2C 3D 43.下列5个命题中正确的是①对于实数p,q 和向量,若p =q 则p=q ②对于向量与，若||=||则=③对于两个单位向量与，若|+|=2则=④对于两个单位向量与，若k =，则=4.已知四边形ABCD 的顶点分别为A(2,1)，B(5,4)，C(2,7)，D(-1,4),求证：四边形ABCD 为正方形。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章平面向量第一节平面向量的概念、加、减、数乘运算一、考试要求：1、了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何意义。
2、掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。
3、掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。
4、了解向量的线性运算性质及其几何意义。
二、知识梳理：（3） 向量是既有大小又有________的量，向量常用_______线段来表示，向量AB 的长度记作_______,长度为零的向量叫做__________，记作______,长度等于1的向量叫做____________;方向相同或相反的向量叫______________,也叫______________,长度相等，方向相同的向量叫______________。
（4） 向量的加法是由几何作图定义得向量a b +可由__________法则或__________法则作得。
（5） 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作______，它的长度和方向规定如下：①_____a λ=；②当λ>0时，a λ与a 的方向_______，当λ<0时，a λ与a 的方向_______，当λ=0时，a λ=____（6） 向量b 与a 共线的充要条件是_________________________________(其中0a ≠)三、基础练习：19.共线与则b a ==；②长度不等且方向相反的两向量不一定是共线向量；③若,a b 满足a b >且a 与b 同向，则a b >；④由于0方向不定，故0不能与任何向量平行；⑤对于任意向量,,a b+≤≤- 其中正确命题的序号是：（ ）A 、①②③B 、⑤C 、③⑤D 、①⑤ 20. 在正六边形ABCDEF 中，O 为其中心，则()2FA AB BO ED +++=A 、FEB 、AC C 、DCD 、FC3、如图所示，D 、E 、F 分别是△ABC 的边，AB 、BC 、CA 的中点,则-＝( ) A.FDB.FCDBC.D.4．(07福建卷)对于向量a ，b ，c 和实数λ，下列命题中真命题是（ ） Ａ．若∙=0，则0=a 或0=bＢ．若0λ=a ，则0λ=或0=aＣ．若22=a b ，则=a b 或=-a b Ｄ．若c a b a ∙=∙，则=b c5．(07湖南卷) 若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ） A ．EF OF OE =+ B ．EF OF OE =-C ．EF OF OE =-+D ．EF OF OE =--6、如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 分别是DC 、BC 中点， 已知==,，用c 、d 表示＝，。
7、设12,e e 是两个不共线向量，则向量()12b e e R λλ=+∈与向量122a e e =-共线的充要条件是____________四、典型例题：1.设两个非零向量a 与b 不共线（1）、若,28,33,AB a b BC a b CD a b =+=+=-求证A 、B 、D 三点共线（2）、试确定实数k 的值，使向量b a k +与b k a+共线。
2.如图，D 、E 是△ABC 中AB 、AC 的中点，M 、N 分别是DE 、BC 的中点，已知=，试用a 、b 分别表示与、3.已知存在非零实数λ、μ，且λ+μ＝1，使μλ+=，求证：、、的ADEMNBC终点A 、B 、C 共线。
五、自我测评：1.（2006，山东） 设向量a =（1，－3），b ＝（－2，4），若表示向量4a ，3b －2a ，c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c = .2. 已知e 1、e 2是平面内一组基底，下列四组向量中，不能作为一组基底的是（ ） A.e 1+e 2，e 1－e 2 B.3e 1－2e 2，4e 1－6e 2 C.e 1+2e 2 D.e 2，e 1+e 23.下列命题：①若a 与b 为非零向量，且a //b 时，则a b +必与a 或b 中之一的方向相同； ②若e 为单位向量，且//a e ，则a a e =； ③若a 与b 共线，又b 与c 共线，则a 与c 必共线；④若平面内四点A 、B 、C 、D ，则必有.AC BD BC AD +=+正确的命题个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、0 4、MN MP NQ PQ -+-等于（ ）A 、2NPB 、2MQC 、2MPD 、05．(07年安徽卷)在四面体O-ABC 中，,,,===D 为BC 的中点，E 为AD的中点，则= （用a ，b ，c 表示）.6.一条渔船距对岸4km,以2km/h 速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速。
六、课后练习：1、已知向量,a b ，且2,56,72,A B a b B C a b C D a b =+=-+=-则一定共线的三点是（ ）（A ）、A 、B 、D （B ）、A 、B 、C （C ）、B 、C 、D （D ）、A 、C 、D 2、已知向量()()3,4,sin ,cos a b αα==且//a b ，则()tan α=A 、34 B 、34- C 、43 D 、43- 3、 已知,,AB a BC b CA c ===则0a b c ++=是A 、B 、C 三点构成三角形的（ ）A 、充分不必要条件；B 、必要不充分条件；C 、充要条件；D 、既不充分也不必要条件。
4、O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，点O 是△ABC 的（ ） A.外心 B.内心 C.重心D.垂心5、已知向量1212,,,)2,1(,0e b e e a R i e i =+===≠λ若a 与b 共线，则（ ）A 、0λ=B 、10e =C 、12//e eD 、12//e e 或0λ=6、若1212,,,OP a OP b PP PP λ===则__________OP =（用,a b 表示） 7、已知,OA a OB b ==，且4,60,a b AOB ==∠=，则其中a b +与a 方向的夹角是________，a b -与a 的夹角是________8、若非零向量,αβ满足,αβαβ+=-则α与β所成角的大小为________ 9、已知在△ABC 中，D 、E 、F 分别是BC 、CA 、AB 的中点，求证：（1）、//DE AB （2）、12D E A B = （3）、0A D B E C F ++=10、已知△OAB 中，点C 是以A 为中心的B 的对称点，D 是将分成2：1的一个内分点，DC 与OA 交于E ，设b OB a OA ==,.DO CABE（1）用a 与b 表示、； （2）若λ=，求实数λ的值。
七、数学快餐1.下列命题中，真命题的个数为( )与⇔+=+方向相同与⇔-=+方向相反与⇔-=+有相等的模 ④b a b a 与⇔-=-方向相同A.0B.1C.2D.32．(07年全国II) 在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ ）A ．23B ．13C ．13-D ．23-3.设e 1、e 2是两个不共线的向量，则向量m =-e 1+k e 2(k ∈R)与向量a=e 2-2e 1，共线的充要条件是( )A.k=0B.k=1C.k=2Dk=214.已知正方形ABCD 边长为1，===,,，则a +b +c 的根等于()A.0B.3C.22D.25.两个非零向量相等是两个向量相等的 条件。
6.如图所示，已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶 点A 、B 、C 的向量为r 1、r 2、r 3，则OD =7．（07浙江卷）若非零向量a 、b 满足｜a 一b ｜＝｜b ｜，则(A) ｜2b ｜＞｜a 一2b ｜ (B) ｜2b ｜＜｜a 一2b ｜ (C) ｜2a ｜＞｜2a 一b ｜ (D) ｜2a ｜＜｜2a 一b ｜第二节平面向量的分解与坐标运算一、考试要求：1、了解平面向量的基本定理及其意义。
2、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
3、会用坐标表示平面向量的加、减法、数乘运算。
4、理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
二、知识梳理1、平面向量基本定理：如果1e 和2e 是一平面内的两个_______的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在______的一对实数1a ，2a ，使2111e a e a += 。
不共线向量1e ，1e 叫做表示这平面内所有向量的一组_______，记为{}21,e e 。
2111e a e a +叫做向量a 关于基底{}21,e e 的分解式。
(1) 向量的正交分解：如果基底的两个基向量1e 和2e 互相______,则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫__________。
3、向量的直角坐标：),(21a a a =，1a 叫向量在x 轴上的坐标分量, 2a 叫在y 轴上的坐标分量.4、向量的直角坐标运算: （1）若),(21a a =,),(21b b =.则+=_______,-=_______,λ=________,// (≠)的充要条件是_______ .（2）已知点A ()11,y x ,B ()22,y x ,则=____________________ 5、直线l 1的向量参数方程式：__________________。
三、基础训练1、若向量),(33122-+-=x x x a与AB 相等，且A （1，3），B （2，4），则x 为（ ）A ．1 B. 1或4 C.0 D.-4 2、下列说法中正确的是（ ） ①一个平面内只有一对不共线的向量可作为基底②两个非零向量平行，则它们所在直线平行 ③零向量不能作为基底中的向量 ④两个单位向量的数量积等于零A.①③B.②④C.③D.②③ 3.把函数y=e x 的图像按向量a =(2，3)平移，得到y=f(x)的图像，则f(x)=( )A.e x-3+2B.e x+3-2C.e x-2+3D.e x+2-34.下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底是()A.)10,6(,)0,0(21==e eB.)7,5(,)2,1(21=-=e eC.)10,6(,)5,3(21==e eD.)43,21(,)3,2(21-=-=e e b5.{}21,e e 为正交基底，设)()1()1(2212R x e x x e x x ∈+--++=则向量位于( )A.第一.二象限B.第二.三象限C.第三象限D.第四象限6、若)1,(),1,2(-=--=λb a ,当+-2与2-平行时,实数λ的值_________.四、典型例题例1 ：如图所示，已知D 为△ABC 的中点，E 为AD 上的一点且AE=3ED ，若=，试用表示++例2： 已知A （1，-2），B （2，1），C （3，2），D （-2，3），求以,为一组基底来表示++。