人教a版高中数学选修1-1课时提升作业(二十三) 3.3.2 函数的极值与导数 探究导学课型 word版含答案
高中数学人教A版选修1-1习题：第三章3.3-3.3.2函数的极值与导数 Word版含答案
第三章导数及其应用3.3 导数在研究函数中的应用3.3.2 函数的极值与导数A级基础巩固一、选择题1．可导“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．答案：B2．已知可导函数f(x)，x∈R，且仅在x＝1处，f(x)存在极小值，则( )A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0解析：因为f(x)在x＝1处存在极小值，所以x＜1时，f′(x)＜0，x＞1时，f′(x)＞0.答案：C3．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有( )A．极大值5，极小值－27B．极大值5，极小值－11C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值解析：由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3，当x＜－1或x＞3时，y′＞0；当－1＜x＜3时，y′＜0.故当x＝－1时，函数有极大值5；x取不到3，故无极小值．答案：C4．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( ) A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6C．a＜－1或a＞2 D．a＜－3或a＞6解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＞0，解得a＞6或a＜－3.答案：D5．设a∈R，若函数y＝e x＋ax，x∈R有大于零的极值点，则( )A．a＜－1 B．a＞－1C．a＞－1eD．a＜－1e解析：y′＝e x＋a＝0，e x＝－a，因为x＞0，所以 e x＞1，即－a＞1，所以a＜－1.答案：A二、填空题6．函数f(x)＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________．解析：f′(x)＝x2－6令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2，所以f(x)极大值＝f(－2)＝a＋42，f(x)极小值＝f(2)＝a－4 2.答案：a＋42，a－4 2.7．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处取极大值，在x＝3处取极小值，则a＝________，b＝________．解析：y′＝3x2＋2ax＋b，根据题意知，－1和3是方程3x2＋2ax＋b＝0的两根，由根与系数的关系可求得a＝－3，b＝－9.经检验，符合题意．答案：－3 －98．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示．则下列说法中不正确的是________．①当x ＝32时，函数取得极小值；②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时，函数取得极小值； ④当x ＝1时，函数取得极大值．解析：由图象可知当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )有两个极值点1和2，且当x ＝2时，函数取得极小值，当x ＝1时，函数取得极大值．故只有①不正确．答案：① 三、解答题9．已知f (x )＝13x 3－12x 2－2x ，求f (x )的极大值与极小值．解：由已知得f (x )的定义域为R.f ′(x )＝x 2－x －2＝(x ＋1)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：↗↘↗因此，当x ＝－1时，f (x )取得极大值，且极大值为f (－1)＝3×(－1)3－2×(－1)2－2×(－1)＝76；当x ＝2时，f (x )取得极小值，且极小值为f (2)＝13×23－12×22－2×2＝－103.从而f (x )的极大值为76，极小值为－103.10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取极值10，求f (2)的值． 解：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝10，f ′（1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋b ＋1＝10，2a ＋b ＋3＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3. 当a ＝4，b ＝－11时，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝－113.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0， 所以 f (x )在x ＝1处没有极值，不合题意． 综上可知f (2)＝18.B 级 能力提升1．等差数列{a n }中的a 1，a 4 031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －1的极值点，则log 2a 2 016的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：因为f ′(x )＝x 2－8x ＋6，且a 1，a 4 031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －1的极值点，所以a 1，a 4 031是方程x 2－8x ＋6＝0的两个实数根，则a 1＋a 4 031＝8.而{a n }为等差数列，所以a 1＋a 4 031＝2a 2 016，即a 2 016＝4，从而log 2a 2 016＝log 24＝2.故选A.答案：A2．若函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )为三次函数，其导函数f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)为二次函数，要使函数f (x )既有极大值又有极小值，需f ′(x )＝0有两个不等的实数根，所以Δ＝(6a )2－4×3×3(a ＋2)>0，解得a <－1或a >2.答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)3．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 解：(1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＝27＋a ，极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1， 由此可知，x 取足够大的正数时， 有f (x )＞0，x 取足够小的负数时， 有f (x )＜0，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个定点．由(1)知f (x )最大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －1.因为曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点， 所以f (x )极大值＜0或f (x )极小值＞0， 即527＋a ＜0或a －1＞0，所以a ＜－527或a ＞1， 所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．。
高二人教版数学选修1-1练习：3.3.2函数的极值与导数 Word版含答案
►基础梳理1．极值的概念．如果函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把点a叫做y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值；如果函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把点b叫做y ＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．2．求函数y＝f(x)的极值的一般方法．解方程f′(x)＝0.当f′(x)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．,►自测自评1．下面说法正确的是(B)A．可导函数必有极值B．函数在极值点一定有定义C．函数的极小值不会超过极大值D．函数在极值点处导数一定存在2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值有(A)A．1个B．2个C．3个D．4个3．函数y＝1＋3x－x3有极小值________，极大值__________．解析：∵y＝1＋3x－x3，∴y′＝3－3x2，令y′＝0，得x＝±1，且y′在区间(－∞，－1)，(－1，1)，(1，＋∞)上的正负性依次为－，＋，－.∴当x＝－1时，y＝－1是极小值；当x＝1时，y＝3是极大值．答案：－1 31．函数y ＝2x 3－x 2的极大值为(A )A ．0B ．－9C ．0，2716 D.2716解析：y ′＝6x 2－2x ，令y ′＞0，解得x ＜0，x ＞13， 令y ′＜0，解得0＜x ＜13， ∴当x ＝0时，取得极大值0，故选A.2．若函数y ＝x 3－2mx 2＋m 2x, 当x ＝13时， 函数取得极大值， 则m 的值为(C ) A.13或1 B.13C ．1D ．都不对3．若函数y ＝13x 3＋x 2＋ax 在R 上没有极值点，则实数a 的取值范围是________． 解析：f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ，∵f (x )在R 上没有极值点，∴Δ＝4－4a ≤0，∴a ≥1.答案：a ≥14．求函数f (x )＝－x (x －2)2的极值．解析：函数f (x )的定义域为R .f (x )＝－x (x 2－4x ＋4)＝－x 3＋4x 2－4x ，∴f ′(x )＝－3x 2＋8x －4＝－(x －2)(3x －2)，令f ′(x )＝0得x ＝23或x ＝2. 列表：从表中可以看出，当x ＝23时，函数有极小值， 且f ⎝⎛⎭⎫23＝－23⎝⎛⎭⎫23－22＝－3227. 当x ＝2时，函数有极大值，且f (2)＝－2(2－2)2＝0. 5．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值．求a 、b 的值与函数f (x )的单调区间．解析：因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，则f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .依题意得，⎩⎪⎨⎪⎧f ′⎝⎛⎭⎫－23＝129－43a ＋b ＝0，f ′（1）＝3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2.即f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)．函数f ′(x )，f (x )的变化情况见下表：所以函数f (x )的递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－23与(1，＋∞)，递减区间是⎝⎛⎭⎫－23，1.1．f ′(x 0)＝0是函数y ＝f (x )在x ＝x 0处有极值点的(C )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．即不充分也不必要条件解析：y ＝f (x )在x ＝x 0处有极值点时不仅要f ′(x 0)＝0，而且还要x 0左右的增减性相异．故f (x 0)＝0是y ＝f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件．2．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )有唯一的极值，并且当x ＝1时，f (x )存在极小值，则(C )A ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0B ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0C ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0D ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0解析：考查函数极小值的概念，只不过换成了符号语言，抓住极小值的定义即可得出答案C.3．函数y ＝1＋3x －x 3(D)A ．极小值－1，极大值1B ．极小值－2，极大值3C ．极小值－2，极大值2D ．极小值－1，极大值3解析：y ′＝3－3x 2，令y ′＝0，得x ＝±1，易判断当x ＝1时，有极大值y ＝3，当x ＝－1时，有极小值y ＝－1.故选D.4．已知函数y ＝2x 3－ax 2＋36x －24在x ＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是(B )A ．(2，3)B ．(3，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，3)解析：y ′＝6x 2－2ax ＋36，∵x ＝2为极值点，∴当x ＝2时，y ′＝6×4－2a ×2＋36＝0，解得a ＝15，∴y ′＝6x 2－30x ＋36，令y '＝0，得x ＝2，x ＝3，∴y ′＞0时，x ＜2或x ＞3，故选B.5．函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在区间(0，1)内有极小值，则(A )A ．0＜b ＜1B ．b ＜1C ．b ＞0D ．b ＜12解析：问题等价于方程f ′(x )＝3x 2－3b ＝0在区间(0，1)内有解，并且其较大的解必须在区间(0，1)内．于是得到0＜b ＜1，即0＜b ＜1.故选A.6．设函数f (x )＝x 3－mx 2－nx 的图象与x 轴切于点(1，0)，则f (x )的极值为(A )A ．极大值为427，极小值为0 B ．极大值为0，极小值为427C ．极大值为0，极小值为－427D ．极大值为－427，极小值0 解析：根据导数的几何意义，得到f (1)＝0，且f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝1－m －n ＝0，f ′（1）＝3－2m －n ＝0，解得m ＝2，n ＝－1，此时f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝(3x －1)(x －1)，再依据求极值的方法，可以得到极大值为f ⎝⎛⎭⎫13＝427，极小值为f (1)＝0.故选A.7．若函数f (x )＝x 2＋a x ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________． 解析：本题考查对极值定义的理解．依题意有f ′(x )＝2x ()x ＋1－（x 2＋a ）()x ＋12， f ′(1)＝0，解得a ＝3.答案：38．已知三次函数f (x )的图象经过原点，并且当x ＝1时有极大值4，当x ＝3时有极小值0，则函数f (x )的解析式为________________________________________________________________________．解析：依题意，可设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，于是⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝3a ＋2b ＋c ＝0，f ′（3）＝27a ＋6b ＋c ＝0，f （1）＝a ＋b ＋c ＝4，f （3）＝27a ＋9b ＋3c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－6，c ＝9.∴f (x )＝x 3－6x 2＋9x .答案：f (x )＝x 3－6x 2＋9x点评：典型的待定系数法解题，本题的条件有多余，所以要注意验根．9．若函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________．解析：f (x )＝x 3－2cx 2＋c 2xf ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2，∴f ′(2)＝c 2－8c ＋12＝0，c ＝2或c ＝6.当c ＝2，f ′(x )＝3x 2－8x ＋4＝(3x －2)(x －2)，当23＜x ＜2，f ′(x )＜0，当x ＞2，f ′(x )＞0， ∴当x ＝2时有极小值．当c ＝6时，f ′(x )＝3x 2－24x ＋36＝3(x －2)(x －6)，当2＜x ＜6时，f ′(x )＜0，当x ＜2时，f ′(x )＞0，∴当x ＝2时有极大值．∴c ＝6符合题意．答案：610．(·惠州三模)已知函数f (x )＝x 3－3ax (a ∈R )．(1)当a ＝1时，求f (x )的极小值；(2)若直线x ＋y ＋m ＝0对任意的m ∈R 都不是曲线y ＝f (x )的切线，求a 的取值范围． 解析：(1)∵当a ＝1时，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x ∈(－1，1)时，f ′(x )＜0.当x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)时，f ′(x )＞0.∴f (x )在(－1，1)上单调递减，在(－∞，－1]和[1，＋∞)上单调递增．∴f (x )的极小值是f (1)＝－2.(2)f ′(x )＝3x 2－3a ，直线x ＋y ＋m ＝0，即y ＝－x －m ，依题意得，切线斜率k ＝f ′(x )＝3x 2－3a ≠－1，即3x 2－3a ＋1＝0无解．∴Δ＝0－4×3(－3a ＋1)＜0，∴a ＜13. 11．(·惠州一模)已知f (x )＝ln x ，g (x )＝13x 3＋12x 2＋mx ＋n ，直线与函数f (x )、g (x )的图象都相切于点(1，0)．(1)求直线的方程及g (x )的解析式；(2)若h (x )＝f (x )－g ′(x )[其中g ′(x )是g (x )的导函数]，求函数h (x )的极大值．解析：(1)∵直线是函数f (x )＝ln x 在点(1，0)处的切线，∴其斜率k ＝f ′(1)＝1.∴直线的方程y ＝x －1.又∵直线与g (x )的图象相切，且切于点(1，0)，∴g (x )＝13x 3＋12x 2＋mx ＋n 在点(1，0)的导函数值为1. ⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＝0，g ′（1）＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝16.∴g (x )＝13x 3＋12x 2－x ＋16. (2)∵h (x )＝f (x )－g ′(x )＝ln x －x 2－x ＋1(x >0)．∴h ′(x )＝1x －2x －1＝1－2x 2－x x ＝－（2x －1）（x ＋1）x. 令h ′(x )＝0，得x ＝12或x ＝－1(舍去)． 当0<x <12时，h ′(x )>0，h (x )单调递增； 当x >12时，h ′(x )<0，h (x )单调递减． 因此，当x ＝12时，h (x )取得极大值． ∴[h (x )]极大值＝h ⎝⎛⎭⎫12＝ln 12＋14. ►体验高考1(·新课标全国卷Ⅱ)函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．若p ∶f ′(x 0)＝0；q ∶x ＝x 0是f (x )的极值点，则(C )A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 即不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件解析：当f ′(x 0)＝0时，x ＝x 0不一定是f (x )的极值点，比如，y ＝x 3在x ＝0时，f ′(0)＝0，但在x ＝0的左右两侧f ′(x )的符号相同，因而x ＝0不是y ＝x 3的极值点．由极值的定义知，x ＝x 0是f (x )的极值点必有f ′(x 0)＝0.综上知，p 是q 的必要条件，但不是充分条件．2．(·重庆卷)已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y ＝12x . (1)求a 得值；(2)求函数f (x )的单调区间和极值．解析：(1)对f (x )求导数得f ′(x )＝14－a x 2－1x， 由f (x )在点(1，f (1))处切线垂直于直线y ＝12x ， 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54. (2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32， 则f ′(x )＝14－54x 2－1x ＝x 2－4x －54x 2， 令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0，5)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(0，5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数；由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5.3．(·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．解析：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4.故b ＝4，a ＋b ＝8.从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ，f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫e x －12. 令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )＞0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )＜0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．4．(·新课标全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝x 2e －x .(1)求f (x )的极小值和极大值；(2)当曲线y ＝f (x )的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围．解析：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)．f ′(x )＝－e －x x (x －2)．①当x ∈(－∞，0)或x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＜0；当x ∈(0，2)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递减，在(0，2)上单调递增．故当x ＝0时，f (x )取得极小值，极小值为f (0)＝0；当x ＝2时，f (x )取得极大值，极大值为f (2)＝4e －2.(2)设切点为(t ，f (t ))，则l 的方程为y ＝f ′(t )(x －t )＋f (t )．所以l 在x 轴上的截距为m (t )＝t －f （t ）f ′（t ）＝t ＋t t －2＝t －2＋2t －2＋3. 由已知和①式得t ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)．令h (x )＝x ＋2x(x ≠0)，则当x ∈(0，＋∞)时， h (x )的取值范围为[22，＋∞)；当x ∈(－∞，－2)时，h (x )的取值范围是(－∞，－3)．所以当t ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，m (t )的取值范围是(－∞，0)∪ [22＋3，＋∞)．综上，l 在x 轴的截距的取值范围是(－∞，0)∪ [22＋3，＋∞).。
人教A版高中数学选修1-1课时自测 当堂达标：3.3.2 函数的极值与导数Word版含答案
1.函数 f(x)=x3+ax2+3x-9,已知 f(x)在 x=-3 时取得极值,则 a 等于 ( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选 D.因为 f′(x)=3x2+2ax+3,所以 f′(-3)=0,
即 3×(-3)2-6a+3=0,解得 a=5.
2.函数 f(x)=x2+x+2 的极小值是 ( )
x
(0,1)
1
f′(x)
-
0
(1,+∞) +
f(x)
↘
极小值
↗
所以函数 f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞),且函数在定义域上只有极
1
小值 f(1)= ,而无极大值.
2
答案:-19
1
5.已知函数 f(x)=ax2+blnx 在 x=1 处有极值 .
2
(1)求 a,b 的值.
(2)判断函数 f(x)的单调区间,并求极值.
【解析】(1)因为 f(x)=ax2+blnx,
b
所以 f′(x)=2 x=1 处有极值 .
2
{ { f'(1) = 0, 2a + b = 0,
33
{ a = 2,
解得 b =‒ 4.
所以 a+b=-2. 答案:-2 4.若函数 y=-x3+6x2+m 的极大值等于 13,则实数 m 等于 . 【解析】y′=-3x2+12x,由 y′=0,得 x=0 或 x=4,容易得出当 x=4 时函数取得极大值,所以-
43+6×42+m=13,解得 m=-19.
课时讲练通2018版高中数学选修1-1课时提升作业(二十三) 3.3.2 函数的极值与导数
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课时提升作业(二十三)函数的极值与导数(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·天津高二检测)函数y=f(x)是定义在R上的可导函数,则下列说法不正确的是( )A.若函数在x=x0时取得极值,则f′(x0)=0B.若f′(x0)=0,则函数在x=x0处取得极值C.若在定义域内恒有f′(x)=0,则y=f(x)是常数函数D.函数f(x)在x=x0处的导数是一个常数【解析】选B.f′(x0)=0是函数在x=x0处取得极值的必要不充分条件,故B错误,A,C,D均正确.2.设函数f(x)=xe x,则( )A.x=1为f(x)的极大值点B.x=-1为f(x)的极大值点C.x=1为f(x)的极小值点D.x=-1为f(x)的极小值点【解析】选D.f′(x)=e x+xe x,令f′(x)=0得x=-1,当x<-1时,f′(x)<0;当x>-1时,f′(x)>0,故x=-1时取极小值.【补偿训练】设函数f(x)=错误！未找到引用源。
+lnx,则( )A.x=错误！未找到引用源。
为f(x)的极大值点B.x=错误！未找到引用源。
为f(x)的极小值点C.x=2为f(x)的极大值点D.x=2为f(x)的极小值点【解析】选D.f′(x)=-错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,令f′(x)=0得,x=2,当x<2时,f′(x)<0;当x>2时,f′(x)>0,故x=2时取极小值.3.已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是( )A.-1<a<2B.-3<a<6C.a<-1或a>2D.a<-3或a>6【解析】选D.f′(x)=3x2+2ax+a+6,函数f(x)有极大值和极小值,则f′(x)=3x2+2ax+a+6=0有两不相等的实数根,即有Δ=(2a)2-12(a+6)>0,解得a<-3或a>6.4.(2015·济宁高二检测)已知f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于(1,0),则f(x)的极值情况是( )A.极大值为f错误！未找到引用源。
人教A版选修1-1教案：3.2函数的极值与导数(含答案)
§1．3．2函数的极值与导数（1课时）【学情分析】：在高一就学习了函数的最大（小）值，这与本小节所要研究的对象——函数极值有着本质区别的，学生容易产生混淆，易把极大值当做最大值，极小值当做最小值。
在认识理解导数大小与函数单调性的关系后，结合函数图像直观地引入函数极值的概念，强化极值是描述函数局部特征的概念，使得学生对极值与最值的概念区分开来，也为下节“函数的最值与导数”做好铺垫。
【教学目标】：（1）理解极大值、极小值的概念.（2）能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值.（3）掌握求可导函数的极值的步骤【教学重点】：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.【教学难点】：极大、极小值概念的理解，熟悉求可导函数的极值的步骤课后练习1、函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）A 充分条件B 必要条件C 充要条件D 必要非充分条件答案 D 对于3'2'(),()3,(0)0,f x x f x x f ===不能推出()f x 在0x =取极值，反之成立2、函数()323922y x x x x =---<<有（ ） A 极大值5，极小值27- B 极大值5，极小值11-C 极大值5，无极小值D 极小值27-，无极大值答案C '23690,1,3y x x x x =--==-=得，当1x <-时，'0y >；当1x >-时，'0y < 当1x =-时，5y =极大值；x 取不到3，无极小值3、函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示， 则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）A 1个B 2个C 3个D 4个答案 A 极小值点应有先减后增的特点，即'''()0()0()0f x f x f x <→=→>4、函数32()39f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a=( ) A, 2 B. 3C. 4D. 5答案：5、若函数()()2f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________；答案6 '22'2()34,(2)8120,2,6f x x c xc f c c c =-+=-+==或，2c =时取极小值6、函数1()cos sin 22f x m x x =+在4x π=处取得极值，则m=__________答案7、已知函数23bx ax y +=，当1x =时，有极大值3； （１） 求,a b 的值；（2）求函数y 的极小值解：（1）'232,y ax bx =+当1x =时，'11|320,|3x x y a b y a b ===+==+=，即320,6,93a b a b a b +=⎧=-=⎨+=⎩（2）32'269,1818y x x y x x =-+=-+，令'0y =，得0,1x x ==或0|0x y y =∴==极小值。
人教A版高中数学选修一课后提升作业二十3.2.1.docx
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课后提升作业 二十几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式(45分钟 70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2016·丽江高二检测)函数f(x)=√x ,则f ′(3)等于 ( ) A.√36B.0C.2√xD.√32【解析】选A.因为f ′(x)=(√x )′=2√x,所以f ′(3)=2√3=√36.【规律总结】求函数在某点处导数的方法函数f(x)在点x 0处的导数等于f ′(x)在点x=x 0处的函数值.在求函数在某点处的导数时可以先利用导数公式求出导函数,再将x 0代入导函数求解,不能先代入后求导.2.若y=lnx,则其图象在x=2处的切线斜率是 ( ) A.1 B.0 C.2 D.12【解析】选D.因为y ′=1x,所以当x=2时,y ′=12,故图象在x=2处的切线斜率为12.3.已知函数f(x)=x 3的切线的斜率等于3,则切线有 ( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.不确定 【解析】选B.因为f ′(x)=3x 2=3,解得x=±1.切点有两个,即可得切线有两条.【补偿训练】若曲线y=x3+x-2在点P0处的切线平行于直线4x-y+1=0,则点P0的一个坐标是( )A.(0,-2)B.(1,1)C.(-1,-4)D.(1,4)【解析】选C.因为y′=3x2+1=4,所以x=±1,所以y=0或-4,所以P0的坐标为(1,0)或(-1,-4).4.给出下列四个导数式:①(x4)′=4x3;②(2x)′=2x ln2;③(lnx)′=-1x ;④(1x)′=1x2.其中正确的导数式共有( )A.2个B.3个C.4个D.5个【解析】选A.根据导数的基本公式求导,再判断即可.①(x4)′=4x3;②(2x)′=2x ln2;③(lnx)′=1x;④(1x )′=-1x2,故①②正确.【补偿训练】下列各式中正确的是( )A.(l nx)′=xB.(cosx)′=sinxC.(sinx)′=cosxD.(x-8)′=-18x-9【解析】选C.因为(lnx)′=1x ,(cosx)′=-sinx,(x-8)′=-8x-9=-8x,所以A,B,D均不正确,C正确.5.(2016·南宁高二检测)质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s=√t5,则质点在t=4时的速度为( )A.35B.35C.25√235 D.110√235【解析】选B.s ′=15t −45.当t=4时,s ′=15·1√445=35.6.函数y=e x 在点(2,e 2)处的切线与坐标轴围成三角形的面积为 ( ) A.94e 2B.2e 2C.e 2D.e 22【解析】选D.因为y ′|x=2=e 2, 所以切线方程为y-e 2=e 2(x-2). 当x=0时,y=-e 2, 当y=0时,x=1.故切线与坐标轴围成三角形面积为12×|-e 2|×1=e 22.7.(2016·福州高二检测)设函数f(x)=log a x,f ′(1)=-1,则a= ( ) A.3 B.2 C.1e D.e【解析】选C.因为f ′(x)=1xlna,所以f ′(1)=1lna=-1.所以lna=-1.所以a=1e.8.(2016·宝鸡高二检测)已知直线y=kx 是曲线y=e x 的切线,则实数k 的值 为 ( )A.1eB.-1eC.-eD.e【解析】选D.设切点为(x 0,e x 0).y ′=e x , 当x=x 0时,y ′=e x 0,所以过切点的切线方程为y-e x 0=e x 0(x-x 0),即y=e x0x+(1-x0)e x0, 又y=kx是切线,所以{k=e x0,(1−x0)e x0=0,所以{x0=1,k=e.【延伸探究】若将本题中的曲线“y=e x”改为“y=lnx”,则实数k= ( )A.1e B.-1eC.-eD.e【解析】选A.设切点为(x0,lnx0).y′=1x,当x=x0时,y′=1x0,所以过切点的切线方程为y-lnx0=1x0(x-x0),即y=1x0x+lnx0-1,所以{lnx0−1=0,k=1x0,所以{x0=e,k=1e.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2016·兴义高二检测)设曲线y=x n+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n,令a n=lgx n,则a1+a2+…+a99的值为.【解析】y′=(n+1)x n,曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1),令y=0,得x n=nn+1.a n=lgx n=lg nn+1=lgn-lg(n+1),则a1+a2+…+a99=lg1-lg2+lg2-lg3+…+lg99-lg100=-lg100=-2.答案:-210.(2016·广州高二检测)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=lnx在x=e(e为自然对数的底数)处的切线与直线ax-y+3=0垂直,则实数a的值为.【解析】因为y=lnx的导数为y′=1x,即曲线y=lnx 在x=e 处的切线斜率为k=1e,由于切线与直线ax-y+3=0垂直,则a ·1e=-1,解得a=-e. 答案:-e【补偿训练】函数f(x)=lnx 的图象在x=1处的切线方程是 . 【解析】f ′(x)=1x ,f ′(1)=1,所以切点为(1,0),根据点斜式写出方程:y=x-1.答案:y=x-1三、解答题(每小题10分,共20分) 11.求下列函数的导数. (1)y=x 8. (2)y=1x. (3)y=√x 3.(4)y=2x. (5)y=log 2x. (6)y=cos (π2−x).【解题指南】(1)利用幂函数公式求导.(2)转化为幂函数求导.(3)转化为幂函数求导.(4)利用指数函数求导.(5)利用对数函数求导.(6)先化简再求导. 【解析】(1)y ′=(x 8)′=8x 8-1=8x 7. (2)y ′=(1x 4)′=(x -4)′=-4x -5.(3)y ′=(√x 3)′=(x13)′=13x13−1=13x −23.(4)y ′=(2x )′=2x ln2. (5)y ′=(log 2x)′=1xln2.(6)因为y=cos (π2−x)=sinx, 所以y ′=(sinx)′=cosx. 【规律总结】1.公式记忆:对于公式(a x)′=a xlna 与(log a x)′=1xlna记忆较难,又易混淆,要注意区分公式的结构特征,既要从纵的方面(lnx)′与(log a x)′和(e x )′与(a x )′区分,又要从横的方面(log a x)′与(a x )′区分,找出差异记忆公式. 2.求导注意点:(1)应用导数公式时不需对公式说明,掌握这些公式的基本结构和变化规律直接应用即可.(2)需要根据所给函数的特征,恰当地选择公式.(3)对一些函数求导时,要弄清一些函数的内部关系,合理转化后再求导,如y=23,y=1x3,可以转化为y=x23,y=x -3后再求导.【补偿训练】求下列函数的导数. (1)y=a 2(a 为常数). (2)y=x 12. (3)y=x -5. (4)y=lgx.【解析】(1)因为a 为常数,所以a 2为常数,所以y ′=(a 2)′=0. (2)y ′=(x 12)′=12x 11. (3)y ′=(x -5)′=-5x -6=-5x6.(4)y ′=(lgx)′=1xln10.12.(2016·烟台高二检测)求过曲线y=cosx 上点P (π3,12)且与在这点的切线垂直的直线方程.【解析】因为y=cosx,所以y ′=-sinx, 曲线在点P (π3,12)处的切线斜率是y ′|x=π3=-sin π3=-√32.所以过点P 且与切线垂直的直线的斜率为√3,所以所求的直线方程为y-12=√3(x −π3),即2x-√3y-2π3+√32=0. 【误区警示】已知与曲线上某点的切线垂直这一条件具有双重含义:一是所求直线与切线垂直;二是所求直线也过此点.在确定与切线垂直的直线方程时,应注意函数在切点处的导数y ′是否为零,当y ′=0时切线平行或重合于x 轴,过切点P 垂直于切线的直线斜率不存在. 【能力挑战题】已知直线x-2y-4=0与抛物线y 2=x 相交于A,B 两点,O 是坐标原点,试在抛物线的弧AOB 上求一点P,使△ABP 的面积最大,并求最大值.【解题指南】解答本题的关键点是注意到|AB|是定值,通过图形分析使△ABP 的面积最大,只需点P 到AB 的距离最大,即点P 是抛物线的平行于AB 的切线的切点.【解析】设P(x 0,y 0),过点P 作与AB 平行的直线为l , 如图,设直线x-2y-4=0与抛物线y 2=x 相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立方程组,得{x −2y −4=0,y 2=x得x 2-12x+16=0,x 1+x 2=12,x 1x 2=16, 所以|AB|=√1+k 2|x 1-x 2| =√1+14√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√52√144−64=10,要使△ABP的面积最大,只要点P到AB的距离最大,而P点是抛物线的弧AOB上的一点,因此点P是抛物线上平行于直线AB的切线的切点,由图知点P在x轴上方,y=√x,y′=2√x,由题意知k AB=12.所以k l=2x=12,即x0=1,所以y0=1.所以P(1,1).又点P到直线AB的距离d=√1+4=√5=√5,所以S△PAB=12×|AB|·d=12×10×√5=5√5.故所求点为P(1,1),△ABP的面积最大值为5√5.关闭Word文档返回原板块。
高中数学 选修1-1 专题3.3.2 函数的极值与导数-高二数学(文)人教版
1．函数极值的概念若函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其他点的函数值都小，()0f a '=；而且在点x a =附近的左侧________，右侧________，就把点a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值．若函数()y f x =在点x b =的函数值()f b 比它在点x b =附近其他点的函数值都大，()0f b '=；而且在点x b =附近的左侧________，右侧________，就把点b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值．极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．2．可导函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件必要条件：可导函数()y f x =在0x x =处取得极值的必要条件是________．充分条件：可导函数()y f x =在0x x =处取得极值的充分条件是()f x '在0x x =两侧异号．3．函数极值的求法一般地，求函数()y f x =的极值的方法是： 解方程()0f x '=．当0()0f x '=时：（1）如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么0()f x 是________； （2）如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么0()f x 是_________．K 知识参考答案：1．()0f x '< ()0f x '> ()0f x '> ()0f x '< 2．0()0f x '= 3．极大值 极小值K —重点 利用导数求函数极值的方法 K —难点 函数极值的应用K —易错 对函数取得极值的充要条件理解不到位求函数的极值（1）求函数的极值首先要求函数的定义域，然后求()0f x '=的实数根，当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．（2）利用导数求极值时，一定要讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值情况进行讨论（可从导数值为0的几个x 值的大小入手）． 已知函数323()31f x ax x a=-+-（a ∈R 且0a ≠），求函数()f x 的极大值与极小值． 【答案】见解析．【解析】由题设知0a ≠，22()363()f x ax x ax x a'=-=-． 令()0f x '=得0x =或2x a=． 当0a >时，随x 的变化，()f x '与()f x 的变化如下：x (,0)-∞0 2(0,)a2a2(,)a+∞ ()f x ' + 0 – 0 + ()f x极大值极小值则3()(0)1f x f a ==-极大值，2243()()1f x f a a a==--+极小值． 当0a <时，随x 的变化，()f x '与()f x 的变化如下：x 2(,)a-∞2a2(,0)a0 (0,)+∞()f x ' – 0 + 0 – ()f x极小值极大值则3()(0)1f x f a ==-极大值，2243()()1f x f a a a==--+极小值．故3()1f x a =-极大值，243()1f x a a=--+极小值． 【名师点睛】函数的极大值不一定大于函数的极小值，极值刻画的是函数的局部性质，反映了函数在某一点附近的大小情况，极大值也可能比极小值小．函数极值的应用解决利用函数的极值确定函数解析式中参数的值的问题时，通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值．需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数的值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件．已知函数21()ln (,)2f x a x x bx a b =++∈R 在12x =，23x =处取得极值． （1）求a ，b 的值；（2）求()f x 在点(1,(1))P f 处的切线方程．【答案】（1）6a =，5b =-；（2）42130x y --=．（2）21()6ln 52f x x x x =+-，则19(1)522f =-=-，得9(1,)2P -． 又由256()x x f x x-+'=，得(1)1562f '=-+=．从而，得所求切线方程为92(1)2y x +=-，即42130x y --=．已知2()ln (21),f x x x ax a x a =-+-∈R ．（1）令()()f g 'x x =，求()g x 的单调区间；（2）已知()f x 在1x =处取得极大值，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）1(,)2+∞．（2）由（1）知，()01f '=． ①当0a ≤时，()f x '单调递增．所以当(0,1)x ∈时，()0f 'x <，()f x 单调递减． 当(1,)x ∈+∞时，()0f 'x >，()f x 单调递增． 所以()f x 在x =1处取得极小值，不合题意．②当102a <<时，112a >，由(Ⅰ)知()f 'x 在1(0,)2a内单调递增， 可得当(0,1)x ∈时，()0f x '<，1(1,)2x a ∈时，()0f 'x >， 所以()f x 在(0，1)内单调递减，在(11,2)a内单调递增， 所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意． ③当12a =时，112a=，()f x '在(0，1)内单调递增，在(1,)+∞内单调递减， 所以当(0,)x ∈+∞时，()0f 'x ≤，()f x 单调递减，不合题意．④当12a >时，1012a <<，当1,12x a∈（）时，()0f 'x >，()f x 单调递增，当,()1x ∈+∞时，()0f 'x <，()f x 单调递减， 所以()f x 在1x =处取得极大值，合题意． 综上可知，实数a 的取值范围为1(,)2+∞．1．函数()ln f a x x x =+在1x =处取得极值，则实数a 的值为 A ．0B ．1-C ．12-D ．122．函数2n 2)3l (f x x x x =+-的极值点的个数是 A ．0 B ．1 C ．2D ．无数个3．如图是()y f x =的导函数的图象，现有四种说法： ①()f x 在(3,1)-上是增函数； ②1x =-是()f x 的极小值点；③()f x 在(2,4)上是减函数，在(1,2)-上是增函数； ④2x =是()f x 的极小值点．以上说法正确的序号为 A ．①② B ．②③ C ．③④D ．④4．函数()2cos f x x x =+在[0,π]上的极小值点为 A ．0B ．π6C ．5π6D ．π5．设a ∈R ，若函数e ,x y ax x =+∈R 有大于零的极值点，则 A ．1a <- B ．1a >- C ．1e a >-D ．1ea <-6．设a ∈R ，若函数e 2,x y ax x =-∈R 有大于0的极值点，则A ．1e a <B ．1e a >C ．12a >D ．12a <7．函数3()3f x x x =-的极小值为________________．8．已知函数32()(6)1f x ax x a x =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是________________． 9．已知函数2()2ln f x x x =-，则函数()f x 的极大值为________________． 10．已知函数2()e (3)x f x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(0,()0)f 处的切线方程； （2）求函数()y f x =的极值．11．已知函数()e 1x f x x a =--（a 为实数），()ln x g x x =-．（1）讨论函数()f x 的单调区间； （2）求函数()g x 的极值．12．已知函数2()ln f x ax b x =+在1x =处有极值12． （1）求实数,a b 的值；（2）判断函数()y f x =的单调性并求出单调区间．13．已知函数21()ln 2f x bx x x =--+存在极小值，则实数b 的取值范围为 A ．(2,)+∞ B ．[2,)+∞ C ．(0,2)D ．(0,2]14．设函数()f x 满足2e ()2()x xf xf x x x '+=，2(2e )8f =，则当0x >时函数()f xA ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值15．已知a ∈R ，若()()e xaf x xx =+在区间(0,1)上只有一个极值点，则实数a 的取值范围为A ．(0,)+∞B ．(,1]-∞C ．(1,)+∞D ．(,0]-∞16．已知函数3221()3f x x a x ax b =+++，当1x =-时，函数()f x 的极值为712-，则(2)f =________________．17212()()2ln (0)2ax f x a x x a =-++>1(,1)2a 的取值范围是________________．18．已知函数()(1)e x f x k x =--（e 为自然对数的底数，e 2.71828≈，k ∈R ）．（1）当0x >时，求函数()f x 的单调区间和极值；（2）若对于任意[1,2]x ∈，都有()4f x x <成立，求实数k 的取值范围．19．已知函数23()ln 42f x m x x x =+-． （1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与y 轴垂直，求函数()f x 的极值；（2）设3()4g x x =-，若()()()h x f x g x =-在(1,)+∞上单调递减，求实数m 的取值范围．20．已知函数3211(),32f x ax a x =-∈R ． （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(3,()3)f 处的切线方程；（2）设函数()()()cos sin g f x a x x x x =+--，讨论()g x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．21．（2017新课标全国II ）若2x =-是函数21()(1)e x f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为A ．1-B ．32e --C ．35e -D ．1 22．（2018北京文）设函数．（1）若曲线在点处的切线斜率为0，求a ；（2）若在处取得极小值，求a 的取值范围．23．（2018新课标全国Ⅰ文）已知函数e ln 1x a x --．（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；（2）证明：当1e a ≥时，．24．（2018新课标全国Ⅰ）已知函数1()ln f x x a x x=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：1212()()2f x f x a x x -<--．25．（2018新课标全国Ⅲ）已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++-．（1）若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； （2）若0x =是()f x 的极大值点，求a ．26．（2017江苏）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：23b a >；（3）若()f x ，()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围．1．【答案】B 【解析】()1,(0,)af 'x xx =+∈+∞，函数在1x =处取得极值，则()01f '=，可得1a =-．故选B ． 2．【答案】A【解析】21621()62x x f 'x x xx -+=+-=，由()0f 'x =可得26210x x -+=，该方程无解，因此函数2n 2)3l (f x x x x =+-无极值点．故选A ．3．【答案】B4．【答案】C【解析】因为()2cos f x x x =+，所以()12sin f x x '=-，令()0f x '=，得π6x =或5π6x =，由()0f x '<可得π5π66x <<；由()0f x '>可得π06x ≤<或5ππ6x ≥>，所以函数()2cos f x x x =+在区间π5π(,)66上为减函数，在区间π[0,)6和区间5π(,π]6上均为增函数，所以函数()2cos f x x x =+的极小值点为5π6．故选C ．5．【答案】A【解析】因为e ,xy ax x =+∈R ，所以e xy a '=+，由题意知，e 0x a +=有大于0的实根，可得e x a =-，因为0x >，所以e 1x >，所以1a <-，故选A ． 6．【答案】C【解析】函数e 2,xy ax x =-∈R 的导数为e 2xy a '=-，函数e 2,xy ax x =-∈R 有大于0的极值点，即e 20x a -=有大于0的实根，所以函数e xy =与函数2y a =的图象在y 轴右侧有交点，所以1212a a >⇒>，故选C ． 7．【答案】2-【解析】2()33x f 'x =-，令()0f 'x =，得1x =±，当1x <-或1x >时，()0f 'x >，当11x -<<时，()0f 'x <，所以当1x =时，函数()f x 取极小值，且极小值是3()11213f =-⨯=-．8．【答案】(,3)(6,)-∞-+∞【解析】因为32()(6)1f x ax x a x =++++，所以2()326f 'x a x ax =+++， 又因为函数()f x 有两个极值，所以()0f 'x =有两个不等的实数根，所以0∆>， 即2443(6)0a a -⨯+>，解得3a <-或6a >．故实数a 的取值范围是(,3)(6,)-∞-+∞．9．【答案】1-10．【答案】（1）033=++y x ；（2）3()6e x f -=极大值，()2e x f =-极小值．【解析】（1）由题意可得2()e (23)e (3)(1)x xf 'x x x x x =+-=+-，故()30f '=-．又(30)f =-，故曲线()y f x =在点(0,()0)f 处的切线方程为x y 33-=+，即033=++y x ．（2）由()0f 'x =可得1=x 或3-=x ，()f 'x ，()f x 随x 的变化情况如下表所示，x(,3)-∞-3- (3,1)-1(1,)+∞()f 'x +-+()f 'x↗极大值↘极小值↗3()(3)6e x f f -=-=极大值，()(1)2e f f x ==-极小值．11．【答案】（1）()f x 在(ln ,)a +∞上单调递增，在(,ln )a -∞上单调递减；（2）极大值为1-，无极小值．【解析】（1）由题意得()e x'a x f =-，当0a ≤时，()0f x'>恒成立，函数()f x 在R 上单调递增； 当0a >时，由()0f x '>可得ln x a >，由()0f x '<可得ln x a <， 故函数()f x 在(ln ,)a +∞上单调递增，在(,ln )a -∞上单调递减．12．【答案】（1）1,12a b ==-；（2）()f x 的递减区间是(0,1)，递增区间是(1,)+∞． 【解析】（1）由题可得()2b f x ax x '=+，则22011ln12a b a b +=⎧⎪⎨⋅+=⎪⎩，所以121a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩． （2）由（1）可知21()ln 2f x x x =-，则函数()f x 的定义域为(0,)+∞，211()x f x x x x--'=+=， 令()0f x '=，即210x x-=，解得1x =或1x =-（舍去）， 当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增． 所以函数()f x 的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1,)+∞． 13．【答案】A【解析】211()x bx f 'x x b x x -+-=--+=，因为()f x 存在极小值，所以方程210x bx -+-=有两个不等的正根，设为1x ，2x ．故1212210240x x b x x b b ∆⎧+=>⎪=>⇒>⎨⎪=->⎩，所以b 的取值范围为(2,)+∞，故选A ．14．【答案】D【解析】由题意得23e 2()()x xf f xx x '-=，令2()e 2()x h x x f x =-， 则22e e (2)()e 2[()2()]e x x xxx h x f xf x x x x x-''=-+=-=，因此当(0,2)x ∈时，()0h x '<；当(2,)x ∈+∞时，()0h x '>， 故2222e ()(2)e 22(2)e 2408h h f x ==-⨯=-⨯⨯=极小值，因此当0x >时，()0f 'x ≥恒成立，所以当0x >时函数()f x 既无极大值也无极小值，故选D ． 15．【答案】A16．【答案】53【解析】3221()3f x x a x ax b =+++，22()2f 'x a x a x ∴=++，)01(f '-=，12a ∴=-或1a =，当1a =时，2()210f 'x x x =++≥，此时函数()f x 没有极值，12a ∴=-，又7(1)12f -=-，1b ∴=-，32111()1342f x x x x ∴=+--，5(32)f ∴=．17．【答案】(1,2)【解析】由212()()2ln (0)2ax f x a x x a =-++>可得2(1()2)x x f 'ax a =-++，因为函数()f x 在区间1(,1)2内有极值，且0a >，所以方程0()f 'x =在在区间1(,1)2内有解，即方程2(12)ax a x-++0=在区间1(,1)2内有解，解得1x a =或2x =(舍去)．构造函数(12)x y a a =-+和2y x=-，由0a >数形结合可得1x a =为函数()f x 的极大值点，故11(,1)2a ∈，即12a <<，则实数a 的取值范围是(1,2)．18．【答案】（1）当0k ≤时，()f x 的单调递增区间是(0,)+∞，无单调递减区间，无极值；当0k >时，()f x 的单调递减区间是(0,)k ，单调递増区间是(,)k +∞，极小值为e k-，无极大值；（2）22e 8(,)e-+∞．（2）由()4f x x <，可得(1)e 40xx k x ---<，因为e 0x >，所以41e x x x k --<，即41exxk x >--对任意[1,2]x ∈恒成立， 记()1g x x =-4e x x -，则4(1)e 4(1)()1e ex x xx x x g -+-'=-=， 因为[1,2]x ∈，所以()0g x '>，即()g x 在[1,2]上单调递增，故2228e 8()()12e e x g g -≤=-=，所以实数k 的取值范围为22e 8(,)e-+∞． 19．【答案】（1）极大值为7ln 36--，极小值为52-；（2）(,4]-∞． 【解析】（1）由23()ln 42f x m x x x =+-可得()34mf x x x'=+-，由题意知(1)340f m '=+-=，解得1m =，所以23()ln 42f x x x x =+-，21341(31)(1)()34(0)x x x x f x x x x x x -+--'=+-==>．当()0f x '>时，103x <<或1x >；当()0f x '<时，113x <<． 所以()f x 的单调递增区间为1(0,),(1,)3+∞，单调递减区间为1(,1)3，所以()f x 的极大值为113117()ln 4ln 3332936f =+⨯-⨯=--，极小值为35(1)0422f =+-=-． （2）由233()()()ln 442h x f x g x m x x x x =-=+--+可得2()343mh x x x x '=+--， 由()h x 在(1,)+∞上单调递减可得2()3430m h x x x x'=+--≤在(1,)+∞上恒成立，即32334m x x x ≤-+在(1,)+∞上恒成立，令32()334x x x x ϕ=-+，则22()964(31)30x x x x ϕ'=-+=-+>， 所以32()334x x x x ϕ=-+在(1,)+∞上单调递增． 故()3344x ϕ>-+=，所以4m ≤， 故实数m 的取值范围是(,4]-∞．20．【答案】（1）390x y --=；（2）见解析．【分析】（1）根据导数的几何意义，求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程；（2）由()()(sin )g x a x x x '=--，通过讨论确定()g x 的单调性，再由单调性确定极值．（2）因为()()()cos sin g x f x x a x x =+--，所以()()cos ()sin cos g x f x x x a x x ''=+---()()sin x x a x a x =---()(sin )x a x x =--， 令()sin h x x x =-，则()1cos 0h x x '=-≥，所以()h x 在R 上单调递增， 因为(0)0h =，所以当0x >时，()0h x >；当0x <时，()0h x <． ①当0a <时，()()(sin )g x x a x x '=--，当(,)x a ∈-∞时，0x a -<，()0g x '>，()g x 单调递增； 当(,0)x a ∈时，0x a ->，()0g x '<，()g x 单调递减； 当(0,)x ∈+∞时，0x a ->，()0g x '>，()g x 单调递增．所以当x a =时()g x 取到极大值，极大值是31()sin 6g a a a =--， 当0x =时()g x 取到极小值，极小值是(0)g a =-． ②当0a =时，()(sin )g x x x x '=-，当(,)x ∈-∞+∞时，()0g x '≥，()g x 单调递增；所以()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，()g x 无极大值也无极小值．【名师点睛】（1）求函数f (x )极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；④检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f (x )在x 0处取极大值，如果左负右正，那么f (x )在x 0处取极小值．（2）若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值． 21．【答案】A【解析】由题可得12121()(2)e(1)e [(2)1]e x x x f x x a x ax x a x a ---'=+++-=+++-，因为(2)0f '-=，所以1a =-，21()(1)e x f x x x -=--，故21()(2)e x f x x x -'=+-，令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在(,2),(1,)-∞-+∞上单调递增，在(2,1)-上单调递减，所以()f x 的极小值为11()(111)e 11f -=--=-，故选A ．【名师点睛】（1）可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同；（2）若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．22．【答案】（1）；（2）．23．【答案】（1）212ea =；f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增；（2）证明见解析． 【分析】（1）先确定函数的定义域，对函数求导，利用f′（2）=0，求得212ea =，从而确定出函数的解析式，之后观察导函数的解析式，结合极值点的位置，从而得到函数的增区间和减区间；（2）结合指数函数的值域，可以确定当a ≥时，f （x ）≥e e x ，之后构造新函数g （x ）=e ex，利用导数研究函数的单调性，从而求得g （x ）≥g （1）=0，利用不等式的传递性，证得结果． 【解析】（1）f （x ）的定义域为，f′（x ）=a e x –．由题设知，f′（2）=0，所以212ea =． 从而21e 2e ()xf x =，21()e 2e xf x '=．当0<x <2时，()f x ' <0；当x >2时，()f x '>0．所以f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）当a ≥时，f （x ）≥e e x．设g （x ）=e ex，则e 1e x x-， 当0<x <1时，g′（x ）<0；当x >1时，g′（x ）>0．所以x =1是g （x ）的最小值点．故当x >0时，g （x ）≥g （1）=0． 因此，当1ea ≥时，．24．【答案】（1）当时，在上单调递减，当时在上单调递减，在单调递增；（2）证明见解析．【分析】（1）首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；（2）根据存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定，令，得到两个极值点是方程的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果．（2）若2a >，令()0f x '=得，24a a x --=或24a a x +-=．当2244)()a a a a x --+-∈+∞时，()0f x '<；当2244a a a a x --+-∈时，()0f x '>，所以()f x 在2244(0,),()22a a a a -+-+∞单调递减，在2244(22a a a a -+-单调递增．（2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >．由于()f x 的两个极值点12,x x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >．由于12121221212121222()()ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a ax x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----， 所以1212()()2f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<．设函数1()2ln g x x x x=-+，由（1）知，()g x 在(0,)+∞单调递减， 又(1)0g =，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <，所以22212ln 0x x x -+<，即1212()()2f x f x a x x -<--． 25．【答案】（1）证明见解析；（2）．（2）若0a ≥，由（1）知，当0x >时，()(2)ln(1)20(0)f x x x x f ≥++->=， 这与0x =是()f x 的极大值点矛盾． 若0a <，设函数22()2()ln(1)22f x xh x x x ax x ax==+-++++． 由于当1||min{}||x a <时，220x ax ++>，故()h x 与()f x 符号相同． 又(0)(0)0h f ==，故0x =是()f x 的极大值点当且仅当0x =是()h x 的极大值点．2222222212(2)2(12)(461)()1(2)(1)(2)x ax x ax x a x ax a h x x x ax x ax x ++-++++'=-=++++++．如果610a +>，则当6104a x a +<<-，且||min{x <时，()0h x '>， 故0x =不是()h x 的极大值点．如果610a +<，则224610a x ax a +++=存在根10x <，故当1(,0)x x ∈，且||min{x <时，()0h x '<，所以0x =不是()h x 的极大值点． 如果610a +=，则322(24)()(1)(612)x x h x x x x -'=+--．则当(1,0)x ∈-时，()0h x '>；当(0,1)x ∈时，()0h x '<， 所以0x =是()h x 的极大值点，从而0x =是()f x 的极大值点综上，16a =-． 26．【答案】（1）2239a b a=+，3a >；（2）证明见解析；（3）(3,6]． 【思路分析】（1）先求导函数的极值：3a x =-，再代入原函数得33()1032793a a a abf -=-+-+=，化简可得2239a b a =+，根据极值存在条件可得3a >；（2）由（1+，构造函数23()=9t g t t+，利用导数研究函数单调性，可得(g g 即2>3b a ；（3）先求证()f x 的两个极值之和为零，利用根与系数关系代入化简即得，再研究导函数极值不小于72-，构造差函数213()=9h a a a -+，利用导数研究其单调性，()h a 在(3,)+∞上单调递减．而7(6)=2h -，故可得a 的取值范围．【解析】（1）由32()1f x x ax bx =+++，得222()323()33a a f x x axb x b '=++=++-．当3a x =-时，()f x '有极小值23ab -因为()f x '的极值点是()f x 的零点，所以33()1032793a a a abf -=-+-+=，又0a >，故2239a b a=+．因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而231(27)039a b a a-=-≤，即3a ≥．当3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；当3a >时，()=0f x '有两个相异的实根213=3a a b x ---，223=3a ab x -+-．列表如下：x1(,)x -∞1x12(,)x x2x2(,)x +∞()f x ' + 0 – 0 + ()f x极大值极小值故()f x 的极值点是12,x x ．从而3a >．因此2239a b a=+，定义域为(3,)+∞．（3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223x x a +=-，22212469a b x x -+=．从而323212111222()()11f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++2222121122121212(32)(32)()()23333x x x ax b x ax b a x x b x x =++++++++++ 346420.279a ab ab -=-+=记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，因为()f x '的极值为221339a b a a-=-+，所以213()=9h a a a -+，3a >． 因为223()=09h a a a '--<，于是()h a 在(3,)+∞上单调递减． 因为7(6)=2h -，于是()(6)h a h ≥，故6a ≤，因此a 的取值范围为(3,6]．。
高中数学人教A版选修1-1课时作业3.3.3 函数的极值与导数 Word版含解析
课时作业一、选择题．函数()＝－＋取极小值时，的值是( )．．，－．－．－解析：′()＝－＋＝－(－)(＋)，′()的图象如下图．∵在＝－的附近左侧′()<，右侧′()>，∴＝－时取极小值．答案：. [·陕西高考]设函数()＝＋，则( ). ＝为()的极大值点. ＝为()的极小值点. ＝为()的极大值点. ＝为()的极小值点解析：函数()的定义域为(，＋∞)，′()＝－＋＝，当＝时，′()＝；当>时，′()>，函数()为增函数；当<<时，′()<，函数()为减函数，所以＝为函数()的极小值点．答案：. 设∈，若函数＝＋，∈有大于零的极值点，则( ). >－. <－. <－. >－解析：′＝＋，由＋＝得＝－，＝(－)．可知＝(－)为函数的极值点．∴(－)>，即(－)>.∴<－.答案：. 已知函数()＝＋＋的图象如图所示，则＋等于( ). .. .解析：由图可知()＝，()＝，∴(\\(＋＋＝，＋＋＝，))解得(\\(＝－，＝.))∴()＝－＋，∴′()＝－＋.由图可知，为()的极值点，∴＋＝，＝.∴＋＝(＋)－＝－＝.答案：二、填空题．若函数＝－＋＋的极大值等于，则实数等于．解析：′＝－＋，由′＝，得＝或＝，容易得出当＝时函数取得极大值，所以－＋×＋＝，解得＝－.答案：－．已知实数，，，成等比数列，且曲线＝－的极大值点坐标为(，)，则＝.解析：∵′＝－，令′＝得＝±，且当>时，′<，当－≤≤时，′≥，当<－时，′<，故＝为＝－的极大值点，即＝.又＝－＝×－＝，∴＝.又∵，，，成等比数列，∴＝＝.答案：．已知函数＝′()的图象如下图所示(其中′()是函数()的导函数)，给出以下说法：①函数()在区间(，＋∞)上是增函数；②函数()在区间(－)上单调递增；③函数()在＝－处取得极大值；④函数()在＝处取得极小值．其中正确的说法是．解析：。
高二数学人教A版选修1-1第三章3.3.2函数的极值与导数导学案(含答案)
内 容 标 准学 科素 养 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用． 2.掌握函数极值的判定及求法． 3.掌握函数在某一点取得极值的条件.利用直观想象 提升逻辑推理 及数学运算[基础认识]知识点一 极值点与极值的概念 预习教材P 93－95，思考并完成以下问题 (1)观察函数f (x )＝13x 3－2x 的图象．f ′(－2)的值是多少？在x ＝－2左、右两侧的f ′(x )有什么变化？ f ′(2)的值是多少，在x ＝2左、右两侧的f ′(x )又有什么变化？提示：f ′(－2)＝0，在x ＝－2的左侧f ′(x )>0，在x ＝－2的右侧f ′(x )<0；f ′(2)＝0，在x ＝2的左侧f ′(x )<0，在x ＝2的右侧f ′(x )>0.(2)如图，函数f (x )在a ，b 点的函数值与它附近的函数值有什么关系？y ＝f (x )在a ，b 点的导数值是多少？在a ，b 附近，y ＝f (x )的导数的符号是什么？提示：可以发现，函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0.类似地，函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0.知识梳理 极值点与极值的概念(1)极小值点与极小值如图，函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，则把点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．(2)极大值点与极大值如(1)中图，函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，则把点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．知识点二 求函数y ＝f (x )的极值的方法 知识梳理 解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时：(1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是________． (2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是________． 提示：(1)极大值 (2)极小值[自我检测]1.函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( )A ．无极大值点，有四个极小值点B ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点 答案：C2．已知函数f (x )＝x ＋1x ，则f (x )( )A ．有极大值2，极小值－2B ．有极大值－2，极小值2C ．无极大值，但有极小值－2D ．有极大值2，无极小值 答案：B探究一极值与极值点的判断与求解[教材P98习题3.3A组4题]如图是导函数y＝f′(x)的图象，在标记的点中，在哪一点处：(1)导函数y＝f′(x)有极大值？(2)导函数y＝f′(x)有极小值？(3)函数y＝f(x)有极大值？(4)函数y＝f(x)有极小值？解析：(1)点x2处f′(x)有极大值．(2)点x1、x4处f′(x)有极小值．(3)点x3处f(x)有极大值．(4)点x5处f(x)有极小值．[例1](1)已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)()A．在(－∞，0)上为减函数B．在x＝0处取极小值C．在(4，＋∞)上为减函数D．在x＝2处取极大值[解析]由导函数的图象可知：当x∈(－∞，0)∪(2,4)时，f′(x)>0，当x∈(0,2)∪(4，＋∞)时，f′(x)<0，因此f(x)在(－∞，0)，(2,4)上为增函数，在(0,2)，(4，＋∞)上为减函数，所以在x＝0处取得极大值，在x ＝2处取得极小值，在x＝4处取得极大值，故选C.[答案] C(2)求下列函数的极值：①f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1；②f(x)＝x2－2ln x.[解析]①函数f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1的定义域为R，f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)，解方程6(x＋2)(x－1)＝0，得x1＝－2，x2＝1.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2 (－2,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋0 － 0 ＋ f (x )极大值21极小值－6所以当x 当x ＝1时，f (x )取极小值－6.②函数f (x )＝x 2－2ln x 的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x ，解方程2(x ＋1)(x －1)x ＝0，得x 1＝1，x 2＝－1(舍去)．当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) －0 ＋ f (x )极小值1因此当x ＝1时，f (方法技巧 1.通过导函数值的正负确定函数单调性，然后进一步明确导函数图象与x 轴交点的横坐标是极大值点还是极小值点．2．求可导函数f (x )的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f ′(x )． (2)求f (x )的拐点，即求方程f ′(x )＝0的根．(3)利用f ′(x )与f (x )随x 的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．特别提醒：在判断f ′(x )的符号时，借助图象也可判断f ′(x )各因式的符号，还可用特殊值法判断． 跟踪探究 1．如图为y ＝f (x )的导函数的图象，则下列判断正确的是( )①f (x )在(－3，－1)上为增函数；②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在(2,4)上为减函数，在(－1,2)上为增函数；④x ＝2是f (x )的极小值点．A ．①②③B ．②③C ．③④D ．①③④解析：由f ′(x )的图象知，－3<x <－1时，f ′(x )<0；f ′(－1)＝0； －1<x <2时，f ′(x )>0；f ′(2)＝0；2<x <4时，f ′(x )<0故f (x )在(－3，－1)和(2,4)上是减函数，在(－1,2)上是增函数，f (－1)是极小值，f (2)是极大值，所以②③正确，故选B.答案：B2．判断下列函数有无极值，如果有极值，请求出极值；如果没有极值，请说明理由． (1)y ＝13x 3＋4；(2)y ＝e xx (x >0)．解析：(1)f ′(x )＝x 2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝0.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，0)0 (0，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 ＋ f (x )单调递增无极值单调递增(2)y ′＝e x ·x －e x x 2＝e x (x －1)x 2，令y ′＝0，得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )单调递减极小值单调递增探究二 利用函数极值确定参数的值[教材P 110复习参考题A 组7题]已知函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，求c 的值．解析：∵f (x )＝x 3－2cx 2＋c 2x ， ∴f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2.∴f ′(2)＝0，即3×4－8c ＋c 2＝0，得c ＝2，或c ＝6. 但c ＝2时，f (2)是极小值，不合题意，舍去，所以c ＝6.[例2] (1)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1处有极值0，则a ＝________，b ＝________. (2)若函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －1有极值点，则a 的取值范围为________．[解析] (1)∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，且函数f (x )在x ＝－1处有极值0，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)＝0，f (－1)＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，此时函数f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－∞，－3)时，f ′(x )>0， 此时f (x )为增函数；当x ∈(－3，－1)时，f ′(x )<0， 此时f (x )为减函数；当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )>0， 此时f (x )为增函数．故f (x )在x ＝－1处取得极小值， ∴a ＝2，b ＝9.(2)∵f ′(x )＝x 2－2x ＋a ，由题意得方程x 2－2x ＋a ＝0有两个不同的实数根， ∴Δ＝4－4a >0，解得a <1. [答案] (1)2 9 (2)(－∞，1)方法技巧 已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点： (1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．跟踪探究 3.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1. (1)求常数a ，b ，c 的值；(2)判断x ＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值． 解析：(1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， ∵x ＝±1是函数f (x )的极值点，∴x ＝±1是方程f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根， 由根与系数的关系，得⎩⎨⎧－2b3a＝0， ①c3a ＝－1， ②又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1.③ 由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)由(1)知f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)，当x <－1或x >1时，f ′(x )>0， 当－1<x <1时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数， 在(－1,1)上是减函数，∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1， 当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1. 探究三 函数极值的综合应用[例3] 已知函数f (x )＝x 3－3ax －1(a ≠0)．若函数f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．[解析] 因为f (x )在x ＝－1处取得极值且f ′(x )＝3x 2－3a ， 所以f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0， 所以a ＝1，所以f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3， 由f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1. 当x <－1时，f ′(x )>0； 当－1<x <1时，f ′(x )<0； 当x >1时，f ′(x )>0.所以f (x )的单调增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；单调减区间为(－1,1)， f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1， 在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3. 作出f (x )的大致图象如图所示．因为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，结合f (x )的图象可知，m 的取值范围是(－3,1)． 方法技巧 利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x 轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．延伸探究 若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”，结果如何？改为“一个交点”呢？ 解析：由本例解析可知当m ＝－3或m ＝1时，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有两个不同的交点；当m <－3或m >1时，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象只有一个交点．跟踪探究 4.已知函数f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3，若函数y ＝f (x )的图象与y ＝13f ′(x )＋5x ＋m 的图象有三个不同的交点，求实数m 的取值范围．解析：由f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3， 可得f ′(x )＝3x 2－12x ＋9，∴13f ′(x )＋5x ＋m ＝13(3x 2－12x ＋9)＋5x ＋m ＝x 2＋x ＋3＋m ，则由题意可得x 3－6x 2＋9x ＋3＝x 2＋x ＋3＋m 有三个不相等的实根，即g (x )＝x 3－7x 2＋8x －m 的图象与x 轴有三个不同的交点．∵g ′(x )＝3x 2－14x ＋8 ＝(3x －2)(x －4)，∴令g ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝4.当x 变化时，g (x )，g ′(x )的变化情况如下表：则函数g (x )的极大值为g ⎝⎛⎭⎫23＝6827－m ，极小值为g (4)＝－16－m . ∵由y ＝f (x )的图象与y ＝13f ′(x )＋5x ＋m 的图象有三个不同交点，得⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝⎛⎭⎫23＝6827－m >0，g (4)＝－16－m <0， 解得－16<m <6827.即m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－16，6827.[课后小结](1)在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值． (2)函数的极值是函数的局部性质．可导函数f (x )在点x ＝x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x ＝x 0两侧f ′(x )符号相反．(3)利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题．[素养培优]1．误把导函数的零点当作函数的极值点求函数f (x )＝x 4－x 3的极值，并说明是极小值还是极大值．易错分析 本题易错将导数为零的点都认为是极值点，其实不然，导数为零仅是零点是极值点的必要不充分条件，错解中还有一个误区就是认为极大值一定大于极小值．事实上，极值仅描述函数在该点附近的局部特征，极大值未必一定大于极小值．考查逻辑推理及数学运算．自我纠正 f ′(x )＝4x 3－3x 2，令f ′(x )＝0, 即4x 3－3x 2＝0时，得x 1＝0，x 2＝34.当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：由上表可知函数f (x )在区间(－∞，0)上是减函数，在区间⎝⎛⎭⎫0，34上还是减函数，所以x ＝0不是函数的极值点，而函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，34上是减函数，在区间⎝⎛⎭⎫34，＋∞上是增函数，所以函数f (x )在x ＝34处取得极小值，极小值为－27256.2．误把切点当作函数的极值点已知函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 的图象经过点(0,1)，且在x ＝1处的切线方程是y ＝x －2，求f (x )的解析式． 易错分析 本题错在将切点当做极值点，得到f ′(1)＝0的错误结论．其实，虽然切点和极值点都与导数有关，但它们却是两个完全不同的概念，不能混为一谈．考查逻辑推理及数学运算的学科素养．自我纠正 f ′(1)表示函数f (x )的图象在点(1，－1)处的切线斜率，应有f ′(1)＝1，再联立f (0)＝1，f (1)＝－1便可得到正确答案：a ＝52，b ＝－92，c ＝1，因此f (x )＝52x 4－92x 2＋1.。
高中数学第三章3.3.2函数的极值与导数课时作业新人教A版选修1_1
3.3.2 函数的极值与导数课时目标 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．1．若函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧__________，右侧__________．类似地，函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧__________，右侧__________．我们把点a 叫做函数y ＝f (x )的____________，f (a )叫做函数y ＝f (x )的__________；点b 叫做函数y ＝f (x )的________________，f (b )叫做函数y ＝f (x )的__________．极小值点、极大值点统称为__________，极大值和极小值统称为________．极值反映了函数在____________________的大小情况，刻画的是函数的________性质．2．函数的极值点是______________的点，导数为零的点__________(填“一定”或“不一定”)是函数的极值点．3．一般地，求可导函数f (x )的极值的方法是： 解方程f ′(x )＝0.当f ′(x 0)＝0时：(1)如果在x 0附近的左侧__________，右侧__________，那么f (x 0)是__________； (2)如果在x 0附近的左侧__________，右侧__________，那么f (x 0)是__________； (3)如果f ′(x )在点x 0的左右两侧符号不变，则f (x 0)____________．一、选择题1. 函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图，则函数f (x )( )A ．无极大值点，有四个极小值点B ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点2．已知函数f (x )，x ∈R ，且在x ＝1处，f (x )存在极小值，则( ) A ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0 B ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0 C ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0 D ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<03．函数f (x )＝x ＋1x在x >0时有( )A ．极小值B ．极大值C ．既有极大值又有极小值D ．极值不存在4．函数f (x )的定义域为(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有且只有一个极小值，则( )A ．0<b <1B ．b <1C ．b >0D ．b <126．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A ．－1<a <2 B ．－3<a <27．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝______.8．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a 、b 的值分别为________、________.9．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是________．三、解答题10．求下列函数的极值．(1)f (x )＝x 3－12x ；(2)f (x )＝x e －x.11．设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)对于任意实数x ，f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围．能力提升12．已知函数f (x )＝(x －a )2(x －b )(a ，b ∈R ，a <b )．(1)当a ＝1，b ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)设x 1，x 2是f (x )的两个极值点，x 3是f (x )的一个零点，且x 3≠x 1，x 3≠x 2.证明：存在实数x 4，使得x 1，x 2，x 3，x 4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x 4.1．求函数的极值问题要考虑极值取到的条件，极值点两侧的导数值异号．2．极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，利用极值可以解决一些函数解析式以及求字母范围的问题．3．3.2 函数的极值与导数答案知识梳理1．f ′(x )<0 f ′(x )>0 f ′(x )>0 f ′(x )<0 极小值点 极小值 极大值点 极大值 极值点 极值 某一点附近 局部2．导数为零 不一定 3．(1)f ′(x )>0 f ′(x )<0 极大值 (2)f ′(x )<0 f ′(x )>0 极小值 (3)不是极值 作业设计 1．C2．C [∵f (x )在x ＝1处存在极小值， ∴x <1时，f ′(x )<0，x >1时，f ′(x )>0.]3．A [∵f ′(x )＝1－1x2，由f ′(x )>0，得x >1或x <－1，又∵x >0，∴x >1. 由⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x >0.得0<x <1，即在(0,1)内f ′(x )<0， 在(1，＋∞)内f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上有极小值．]4．A [f (x )的极小值点左边有f ′(x )<0，极小值点右边有f ′(x )>0，因此由f ′(x )的图象知只有1个极小值点．]5．A [f ′(x )＝3x 2－3b ，要使f (x )在(0,1)内有极小值，则⎩⎪⎨⎪⎧ff ，即⎩⎪⎨⎪⎧－3b <03－3b >0，解得0<b <1.]6．D [∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6，∴f ′(x )的图象是开口向上的抛物线，只有当Δ＝4a 2－12(a ＋6)>0时，图象与x 轴的左交点两侧f ′(x )的值分别大于零、小于零，右交点左右两侧f ′(x )的值分别小于零、大于零．所以才会有极大值和极小值．∴4a 2－12(a ＋6)>0得a >6或a <－3.] 7．3解析 f ′(x )＝2x x ＋1－x 2＋a x ＋12＝x 2＋2x －ax ＋12.∵f ′(1)＝0，∴1＋2－a4＝0，∴a ＝3.8．1 －3解析 因为f ′(x )＝3ax 2＋b ，所以f ′(1)＝3a ＋b ＝0. ① 又x ＝1时有极值－2，所以a ＋b ＝－2. ② 由①②解得a ＝1，b ＝－3.9.⎝⎛⎭⎪⎫22，＋∞ 解析 ∵f ′(x )＝3x 2－3a 2(a >0)，∴f ′(x )>0时得：x >a 或x <－a ，f ′(x )<0时，得－a <x <a .∴当x ＝a 时，f (x )有极小值，x ＝－a 时，f (x )有极大值．由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a 3－3a 3＋a <0，－a 3＋3a 3＋a >0.a >0解得a >22. 10．解 (1)函数f (x )的定义域为R . f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)． 令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝2.当2)＝16；当x ＝2时，函数f (x )有极小值，且f (2)＝23－12×2＝－16.(2)f ′(x )＝(1－x )e －x.令f ′(x )＝0，解得x ＝1. 当x函数f (x )在x ＝1处取得极大值f (1)，且f (1)＝e.11．解 (1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6. 因为x ∈(－∞，＋∞)，f ′(x )≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m )≥0恒成立，所以Δ＝81－12(6－m )≤0，解得m ≤－34，即m 的最大值为－34.(2)因为当x <1时，f ′(x )>0； 当1<x <2时，f ′(x )<0； 当x >2时，f ′(x )>0.所以当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52－a ；当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a ，故当f (2)>0或f (1)<0时，f (x )＝0仅有一个实根．解得a <2或a >52.12．(1)解 当a ＝1，b ＝2时，f (x )＝(x －1)2(x －2)， 因为f ′(x )＝(x －1)(3x －5)，故f ′(2)＝1，又f (2)＝0，所以f (x )在点(2,0)处的切线方程为y ＝x －2.(2)证明 因为f ′(x )＝3(x －a )(x －a ＋2b3)，由于a <b ，故a <a ＋2b3，所以f (x )的两个极值点为x ＝a ，x ＝a ＋2b3.不妨设x 1＝a ，x 2＝a ＋2b3，因为x 3≠x 1，x 3≠x 2，且x 3是f (x )的零点， 故x 3＝b .又因为a ＋2b 3－a ＝2(b －a ＋2b 3)，x 4＝12(a ＋a ＋2b 3)＝2a ＋b 3，此时a ，2a ＋b 3，a ＋2b3，b 依次成等差数列，所以存在实数x 4满足题意，且x 4＝2a ＋b3.。
高中数学(人教A版)选修1-1课后提升训练 二十三 3.3.2函数的极值与导数 Word版含解析
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课后提升训练二十三
函数的极值与导数
(分钟分)
一、选择题(每小题分,共分)
.函数()的极小值是( )
.不存在
【解析】选′(),令′(),解得,当∈()时函数单调递减,当∈(∞)时函数单调递增,因此是函数的极小值点,极小值为().
.(·凉山模拟)函数()在处取得极值,则的值为
( )
【解析】选.因为′(),
由题意得′(),
所以.
.函数()的极值情况是( )
.有极大值,没有极小值
.有极小值,没有极大值
.既无极大值也无极小值
.既有极大值又有极小值
【解析】选′(),令′()有或.当<时′()<;当<<时′()>;当>时′
()<.从而在时()取得极大值,在时()取得极小值.
.下列说法正确的是( )
.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大
.函数在闭区间上的极大值一定比极小值小
.函数()只有一个极小值
.函数()在区间()上一定存在极值
【解析】选.函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系,单调函数在区间()上没有极值,故错误正确,函数()只有一个极小值为.
.若>>,且函数()在处有极值,则的最小值为
( )
.
【解析】选.因为函数()在处有极值,所以′()
,即,则()≥(当且仅当且,即时取“”).。
高中人教a版数学选修1-1课时作业3-3-2函数的极值 word版含答案
课时作业(六)一、选择题．下列关于函数的极值的说法正确的是( )．导数值为的点一定是函数的极值点．函数的极小值一定小于它的极大值．函数在定义域内有一个极大值和一个极小值．若()在(，)内有极值，那么()在(，)内不是单调函数解析：由极值的概念可知只有正确．答案：．若函数＝()可导，则“′()＝有实根”是“()有极值”的( ) ．必要不充分条件．充分不必要条件．充要条件．既不充分也不必要条件解析：′()＝有实根，()不一定有极值；但若()有极值，则必有导数为的点，即方程′()＝有根．答案：．函数()的定义域为开区间(，)，导函数′()在(，)内的图象如下图所示，则函数()在开区间(，)内有极小值点( )．个．个．个．个解析：函数在极小值点附近的图象应有先减后增的特点，因此根据导函数的图象，应该在导函数的图象上找从轴下方变为轴上方的点，这样的点只有个，所以函数只有个极小值点，故选项．答案：．若函数()＝－在＝处取得极值，则实数的值为( )．解析：′()＝－，令′()＝，即－＝，解得＝.答案：．已知函数＝－(＋)，则的极值情况是( )．有极小值．有极大值．既有极大值又有极小值．无极值解析：′＝－＝，令′＝，解得＝，当－<<时，′<，函数单调递减；当>时，′>，函数单调递增．∴＝为极小值点，函数有极小值．答案：．已知函数()＝＋＋(＋)＋有极大值和极小值，则实数的取值范围是( )．－<< ．－<<．<－或> ．<－或>解析：′()＝＋＋(＋)，若函数()有极大值和极小值，则′()有两个零点．令′()＝，则由Δ＝()－×(＋)>，解得<－或>.答案：．已知函数()＝－－的图象与轴相切于()，则极小值为( )。
人教A版高中数学选修1-1课时提升作业(二十二) 3.3.1 函数的单调性与导数 探究导学课型 Word版含答案
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课时提升作业(二十二)函数的单调性与导数(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数f(x)=x+lnx在(0,6)上是( )A.单调增函数B.单调减函数C.在上是减函数,在上是增函数D.在上是增函数,在上是减函数【解析】选A.因为f′(x)=1+>0,所以函数在(0,6)上是单调增函数.2.(2014·新课标全国卷Ⅱ)若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是( )A.(-∞,-2]B.(-∞,-1]C.4.函数f(x)=-,则f(a)与f(b)(a<b<1)的大小关系为________________.【解析】f′(x)=′==.当x<1时,f′(x)<0,所以f(x)为减函数,因为a<b<1,所以f(a)>f(b).答案:f(a)>f(b)三、解答题(每小题10分,共20分)5.讨论函数f(x)=(-1<x<1,b≠0)的单调性.【解题指南】先求函数的定义域,然后判断函数的奇偶性,再判定函数在x∈(0,1)上的单调性,最后得出在-1<x<1上的单调性.【解析】f(x)的定义域为(-1,1),函数f(x)是奇函数,只需讨论函数在(0,1)上的单调性.因为f′(x)=b·=-,当0<x<1时,x2+1>0,(x2-1)2>0,所以-<0.所以当b>0时,f′(x)<0.所以函数f(x)在(0,1)上是减函数;当b<0时,f′(x)>0,所以函数f(x)在(0,1)上是增函数;又函数f(x)是奇函数,而奇函数的图象关于原点对称,从而可知:当b>0时,f(x)在(-1,1)上是减函数;当b<0时,f(x)在(-1,1)上是增函数.6.(2015·威海高二检测)若函数f(x)=x3-ax2+(a-1)x+1在区间(1,4)内单调递减,在(6,+∞)上单调递增,试求a的取值范围.【解析】f′(x)=x2-ax+a-1.因为f(x)在(1,4)内单调递减,所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立,即a(x-1)≥x2-1在(1,4)上恒成立,所以a≥x+1.因为2<x+1<5,所以当a≥5时,f′(x)≤0在(1,4)上恒成立.又因为f(x)在(6,+∞)上单调递增,所以f′(x)≥0在(6,+∞)上恒成立,所以a≤x+1.因为x+1>7,所以当a≤7时,f′(x)≥0在(6,+∞)上恒成立.综上知5≤a≤7.【一题多解】本题还可以用以下方法解决:如图所示,f′(x)=(x-1).因为在(1,4)内f′(x)≤0,在(6,+∞)内f′(x)≥0,且f′(x)=0有一根为1,所以另一根在上.所以即所以5≤a≤7.【补偿训练】已知函数f(x)=x3-ax-1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增,求实数a的取值范围.(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由已知,得f′(x)=3x2-a.因为f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数,所以f′(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立,即a≤3x2对x∈(-∞,+∞)恒成立.因为3x2≥0,所以只需a≤0.(2)假设f′(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,则a≥3x2在x∈(-1,1)时恒成立.因为-1<x<1,所以3x2<3,所以只需a≥3.故存在实数a≥3,使f(x)在(-1,1)上单调递减.关闭Word文档返回原板块第一章章末总结知识点一 四种命题间的关系命题是能够判断真假、用文字或符号表述的语句．一个命题与它的逆命题、否命题之间的关系是不确定的，与它的逆否命题的真假性相同，两个命题是等价的；原命题的逆命题和否命题也是互为逆否命题．例1 判断下列命题的真假．(1)若x ∈A ∪B ，则x ∈B 的逆命题与逆否命题；(2)若0<x <5，则|x －2|<3的否命题与逆否命题；(3)设a 、b 为非零向量，如果a ⊥b ，则a·b ＝0的逆命题和否命题．知识点二 充要条件及其应用充分条件和必要条件的判定是高中数学的重点内容，综合考察数学各部分知识，是高考的热点，判断方法有以下几种：(1)定义法(2)传递法：对于较复杂的关系，常用推出符号进行传递，根据这些符号所组成的图示就可以得出结论．互为逆否的两个命题具有等价性，运用这一原理，可将不易直接判断的命题化为其逆否命题加以判断．(3)等价命题法：对于含有逻辑联结词“非”的充分条件、必要条件的判断，往往利用原命题与其逆否命题是等价命题的结论进行转化．(4)集合法：与逻辑有关的许多数学问题可以用范围解两个命题之间的关系，这时如果能运用数形结合的思想(如数轴或Venn 图等)就能更加直观、形象地判断出它们之间的关系．例2 若p ：－2<a <0,0<b <1；q ：关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，则p 是q 的什么条件？例3 设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0.q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0.且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．知识点三 逻辑联结词的应用对于含逻辑联结词的命题，根据逻辑联结词的含义，利用真值表判定真假．利用含逻辑联结词命题的真假，判定字母的取值范围是各类考试的热点之一．例4 判断下列命题的真假．(1)对于任意x ，若x －3＝0，则x －3≤0；(2)若x ＝3或x ＝5，则(x －3)(x －6)＝0.例5 设命题p ：函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋116a 的定义域为R ；命题q ：不等式2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立．如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．知识点四 全称命题与特称命题全称命题与特称命题的判断以及含一个量词的命题的否定是高考的一个重点，多以客观题出现．全称命题要对一个范围内的所有对象成立，要否定一个全称命题，只要找到一个反例就行．特称命题只要在给定范围内找到一个满足条件的对象即可．全称命题的否定是特称命题，应含存在量词．特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．例6 写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)3＝2；(2)5>4；(3)对任意实数x ，x >0；(4)有些质数是奇数．例7 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由．(2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)>0成立，求实数m 的取值范围．章末总结重点解读例1 解 (1)若x ∈A ∪B ，则x ∈B 是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若x ∈B ，则x ∈A ∪B ，为真命题．(2)∵0<x <5，∴－2<x －2<3，∴0≤|x －2|<3.原命题为真，故其逆否命题为真．否命题：若x ≤0或x ≥5，则|x －2|≥3.例如当x ＝－12，⎪⎪⎪⎪－12－2＝52<3. 故否命题为假．(3)原命题：a ，b 为非零向量，a ⊥b ⇒a·b ＝0为真命题．逆命题：若a ，b 为非零向量，a·b ＝0⇒a ⊥b 为真命题．否命题：设a ，b 为非零向量，a 不垂直b ⇒a·b ≠0也为真．例2 解 若a ＝－1，b ＝12，则Δ＝a 2－4b <0，关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0无实根，故p ⇒q .若关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，不妨设这两个根为x 1、x 2，且0<x 1≤x 2<1，则x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b .于是0<－a <2,0<b <1，即－2<a <0,0<b <1，故q ⇒p .所以，p 是q 的必要不充分条件．例3 解 设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0}＝{x |3a <x <a ，a <0}．B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0}＝{x |x <－4或x ≥－2}．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．∴AB ，∴⎩⎨⎧ a ≤－4a <0或⎩⎨⎧ 3a ≥－2a <0， 解得－23≤a <0或a ≤－4. 故实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫－23，0. 例4 解 (1)∵x －3＝0，有x －3≤0，∴命题为真；(2)∵当x ＝5时，(x －3)(x －6)≠0，∴命题为假．例5 解 p ：由ax 2－x ＋116a >0恒成立得 ⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝1－4×a ×a 16<0，∴a >2. q ：由2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立， 令t ＝2x ＋1>1，则x ＝t 2－12， ∴t <1＋a ·t 2－12， ∴2(t －1)<a (t 2－1)对一切t >1均成立．∴2<a (t ＋1)，∴a >2t ＋1，∴a ≥1. ∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 与q 一真一假．若p 真q 假，a >2且a <1不存在．若p 假q 真，则a ≤2且a ≥1，∴1≤a ≤2.故a 的取值范围为1≤a ≤2.例6解(1)3≠2，真命题；(2)5≤4，假命题；(3)存在一个实数x，x≤0，真命题；(4)所有质数都不是奇数，假命题．例7解(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4. (2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.所以，所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．。
人教A版高中数学选修1-1课时提升作业 二十三 3.3.2 函数的极值与导数 精讲优练课型 Word版含答案
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课时提升作业二十三函数的极值与导数一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·福州高二检测)函数f(x)=x+的极值情况是( )A.当x=1时,极小值为2,但无极大值B.当x=-1时,极大值为-2,但无极小值C.当x=-1时,极小值为-2,当x=1时,极大值为2D.当x=-1时,极大值为-2;当x=1时,极小值为2【解析】选D.令f′(x)=1-=0,得x=±1,函数f(x)在区间(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增,在(-1,0)和(0,1)上单调递减,所以当x=-1时,取极大值-2,当x=1时,取极小值2.2.已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是( )A.-1<a<2B.-3<a<6C.a<-1或a>2D.a<-3或a>6【解析】选D.f′(x)=3x2+2ax+a+6,函数f(x)有极大值和极小值,则f′(x)=3x2+2ax+a+6=0有两不相等的实数根,即有Δ=(2a)2-12(a+6)>0,解得a<-3或a>6.3.(2016·临沂高二检测)已知函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是( )A.(2,3)B.(3,+∞)C.(2,+∞)D.(-∞,3)【解析】选B.f′(x)=6x2+2ax+36,因为f(x)在x=2处有极值,所以f′(2)=0,解得a=-15.令f′(x)>0得x>3或x<2.所以从选项看函数的一个递增区间是(3,+∞).【补偿训练】设a为实数,求函数f(x)=e x-2x+2a,x∈R的单调区间与极值.【解析】因为f′(x)=e x-2,令f′(x)=0,解得x=ln2,当x<ln2时,f′(x)<0,函数单调递减;当x>ln2时,f′(x)>0,函数单调递增;故函数的减区间为(-∞,ln2),增区间为(ln2,+∞),当x=ln2时函数取极小值,极小值f(ln2)=e ln2-2ln2+2a=2-2ln2+2a.4.(2016·天津高二检测)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.因为f′(x)=2x ln2+3x2>0,所以函数f(x)=2x+x3-2在(0,1)上递增,且f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=2+1-2=1>0,所以有1个零点.5.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于( )A.2B.3C.6D.9【解题指南】利用函数在x=1处有极值得到a,b的关系式,再利用基本不等式求最大值. 【解析】选D.f′(x)=12x2-2ax-2b,因为函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,所以f′(1)=12-2a-2b=0,即a+b=6,则ab≤=9(当且仅当a=b=3时,等号成立).二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·西安高二检测)已知函数f(x)=x3+ax2+ax+b,当x=-1时,函数f(x)的极值为-,则f(2)= .【解析】f′(x)=x2+2ax+a.由题意知f′(-1)=0,f(-1)=-,即解得所以f(x)=x3+x2+x-.所以f(2)=.答案:7.(2016·四川高考改编)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a= .【解题指南】求出f′,解出方程f′=0的根,再根据不等式f′>0,f′<0的解集得出函数的极值点.【解析】f′=3x2-12=3,令f′=0,得x=-2或x=2,易知f在上单调递减,在上单调递增,故f的极小值为f,所以a=2. 答案:28.(2016·重庆高二检测)已知函数f(x)=x3+ax2+x+1有两个极值点,则实数a的取值范围是.【解析】f′(x)=x2+2ax+1,因为函数f(x)有两个极值点,所以方程f′(x)=x2+2ax+1=0有两个不相等的实数根,所以Δ=4a2-4>0,解得a<-1或a>1.答案:a<-1或a>1三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016·烟台高二检测)设f(x)=,其中a为正实数.(1)当a=时,求f(x)的极值点.(2)若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围.【解析】对f(x)求导得f′(x)=e x.(1)当a=时,若f′(x)=0,则4x2-8x+3=0,解得x1=,x2=.当x变化时,f′(x)和f(x)的变化情况如表:所以x=是极小值点,x=是极大值点.(2)若f(x)为R上的单调函数,则f′(x)在R上不变号,结合f′(x)与条件a>0,知ax2-2ax+1≥0在R上恒成立,由此Δ=4a2-4a=4a(a-1)≤0,又a>0,故0<a≤1.10.a为何值时,方程x3-3x2-a=0恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根,有没有可能无实根?【解析】令f(x)=x3-3x2,y=a.f(x)的定义域为R.方程x3-3x2-a=0的根的个数即x3-3x2=a根的个数,f(x)=x3-3x2与y=a交点个数.由f′(x)=3x2-6x=0.得x=0或x=2,所以当x<0或x>2时,f′(x)>0;当0<x<2时,f′(x)<0.函数f(x)在x=0处有极大值0,在x=2处有极小值-4,如图所示,故当a>0或a<-4时,原方程有一个根;当a=0或a=-4时,原方程有两个不等实根;当-4<a<0时,原方程有三个不等实根;由图象可知,原方程不可能无实根.一、选择题(每小题5分,共10分)1.若函数y=x3-3ax+a在(1,2)内有极小值,则实数a的取值范围是( )A.1<a<2B.1<a<4C.2<a<4D.a>4或a<1【解析】选B.y′=3x2-3a,当a≤0时,f′(x)≥0,函数y=x3-3ax+a为单调函数,不合题意,舍去;当a>0时,y′=3x2-3a=0⇒x=±,不难分析当1<<2即1<a<4时,函数y=x3-3ax+a 在(1,2)内有极小值.2.(2016·宁波高二检测)已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=(e x-1)(x-1)k(k=1,2),则( )A.当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值B.当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值C.当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值D.当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值【解析】选C.当k=1时,f(x)=(e x-1)(x-1),则f′(x)=e x(x-1)+(e x-1)=e x x-1,所以f′(1)=e-1≠0,所以f(1)不是极值.当k=2时,f(x)=(e x-1)(x-1)2,则f′(x)=e x(x-1)2+2(e x-1)(x-1)=e x(x2-1)-2(x-1)=(x-1),所以f′(1)=0,且当x>1时,f′(x)>0;在x=1附近的左侧,f′(x)<0,所以f(1)是极小值.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·烟台高二检测)已知函数f(x)=x3-3x的图象与直线y=a有三个不同的交点,则a的取值范围是.【解析】令f′(x)=3x2-3=0,得x=±1,可得极大值为f(-1)=2,极小值为f(1)=-2.y=f(x)的大致图象如图所示,观察图象得当-2<a<2时恰有三个不同的交点.答案:(-2,2)【补偿训练】已知函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,则c=( )A.-2或2B.-9或3C.-1或1D.-3或1【解析】选A.若函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,则说明函数的两个极值中有一个为0,函数的导数为y′=3x2-3,令y′=3x2-3=0,解得x=±1,可知极大值为f(-1)=2+c,极小值为f(1)=c-2.由f(-1)=2+c=0,解得c=-2,由f(1)=c-2=0,解得c=2,所以c=-2或c=2.4.(2015·陕西高考)函数y=xe x在其极值点处的切线方程为.【解题指南】求出极值点,再结合导数的几何意义即可求出切线的方程.【解析】依题意得y′=e x+xe x,令y′=0,可得x=-1,所以y=-.因此函数y=xe x在其极值点处的切线方程为y=-.答案:y=-三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016·天津高二检测)设函数f(x)=-x3+x2+(m2-1)x(x∈R),其中m>0.(1)当m=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率.(2)求函数f(x)的单调区间与极值.【解析】(1)当m=1时,f(x)=-x3+x2,f′(x)=-x2+2x,故f′(1)=1.所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为1.(2)f′(x)=-x2+2x+m2-1.令f′(x)=0,解得x=1-m或x=1+m.因为m>0,所以1+m>1-m.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:所以函数f(x)在(-∞,1-m)和(1+m,+∞)上是减函数,在(1-m,1+m)上是增函数.函数f(x)在x=1-m处取得极小值f(1-m),且f(1-m)=-m3+m2-.函数f(x)在x=1+m处取得极大值f(1+m),且f(1+m)=m3+m2-.6.(2016·山东高考)设f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x,a∈R.(1)令g(x)=f′(x),求g(x)的单调区间.(2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.【解题指南】(1)通过二次求导,研究g(x)的单调性.(2)通过端点分析,找到分界点,再分情况讨论.【解析】(1)g(x)=f′(x)=lnx-2ax+2a,所以g′(x)=-2a=.当a≤0,x∈时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增.当a>0,x∈时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增,x∈时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减.综上:当a≤0,函数g(x)单调递增区间为(0,+∞).当a>0,函数g(x)单调递增区间为,函数g(x)单调递减区间为.(2)由(1)知f′(1)=0.①当a≤0,f′(x)单调递增,所以x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减,x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.②当0<a<,>1时,由(1)知f′(x)在内单调递增,所以x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减,x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.③当a=,=1时,f′(x)在内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,所以x∈时,f′(x)≤0,f(x)单调递减,不合题意.④当a>,0<<1时,x∈,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)在x=1处取得极大值,符合题意. 综上可知a>.关闭Word文档返回原板块。
人教A版高中数学选修1-1课时提升作业 3.2 导数的计算 第2课时 导数的运算法则 探究导学课型含答案
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课时提升作业(二十一)导数的运算法则(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数y=xsinx+的导数是( )A.y=sinx+xcosx+B.y=sinx-xcosx+C.y=sinx+xcosx-D.y=sinx-xcosx-【解析】选A.因为y=xsinx+,所以y′=′=′+′=x′sinx+x·(sinx)′+=sinx+xcosx+.2.(2015·泉州高二检测)下列求导运算正确的是( )A.′=1+B.′=C.′=3x·log3eD.′=-2sinx【解析】选B.因为′=x′+′=1-,所以A选项错误;又′=,所以选项B正确;又′=3x ln3,所以选项C错误;又′=(x2)′cosx+x2(cosx)′=2xcosx-x2sinx,所以选项D错误.3.(2015·太原高二检测)已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(e)+lnx,则f′(e)=( )A.e-1B.-1C.-e-1D.-e【解析】选C.因为f(x)=2xf′(e)+lnx,所以f′(x)=2f′(e)+,所以f′(e)=2f′(e)+,解得f′(e)=-=-e-1.4.已知f(x)=ax3+3x2+2,若f′(-1)= 4,则a的值是( )A. B. C. D.【解析】选D.f′(x)=3ax2+6x,因为f′(-1)=3a-6,所以3a-6=4,所以a=.5.(2015·贵阳高二检测)曲线y=xe x+1在点(0,1)处的切线方程是( )A.x-y+1=0B.2x-y+1=0C.x-y-1=0D.x-2y+2=0【解析】选A.y′=e x+xe x,且点(0,1)在曲线上,当x=0时,导数值为1,故所求的切线方程是y-1=x,即x-y+1=0.【补偿训练】曲线C:f(x)=sinx+e x+2在x=0处的切线方程为________.【解析】由f(x)=sinx+e x+2得f′(x)=cosx+e x,从而f′(0)=2,又f(0)=3,所以切线方程为y-3=2(x-0),即y=2x+3.答案:y=2x+3二、填空题(每小题5分,共15分)6.某物体做直线运动,其运动规律是s=t2+(t的单位:s,s的单位:m),则它在第4s末的瞬时速度应该为________m/s.【解析】因为s′=2t-,所以当t=4时,v=8-=(m/s).答案:7.(2015·鸡西高二检测)若函数f(x)=,则f′(π)=________.【解析】因为f′(x)==,所以f′(π)==.答案:8.设a∈R,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数是f′(x),若f′(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为______________.【解析】f′(x)=3x2+2ax+(a-3),又f′(-x)=f′(x),即3x2-2ax+(a-3)=3x2+2ax+(a-3)对任意x∈R都成立,所以a=0,f′(x)=3x2-3,f′(0)=-3,曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=-3x.答案:y=-3x三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·哈尔滨高二检测)求下列函数的导数.(1)y=.(2)y=2x cosx-3xlog2015x.(3)y=x·tanx.【解析】(1)y′===.(2)y′=(2x)′cosx+(cosx)′2x-3=2x ln2·cosx-sinx·2x-3=2x ln2·cosx-2x sinx-3log2015x-3log2015e=2x ln2·cosx-2x sinx-3log2015(ex).(3)y′=(xtanx)′=′=====.10.求过点(1,-1)与曲线y=x3-2x相切的直线方程.【解题指南】由于(1,- 1)不一定是切点,所以先设切点坐标,求出切线方程,利用切点在切线上,求出切点坐标进而求出切线方程.【解析】设P(x0,y0)为切点,y′=3x2-2,则切线斜率为k=3-2.故切线方程为y-y0=(3-2)(x-x0). ①因为(x0,y0)在曲线上,所以y0=-2x0. ②又因为(1,-1)在切线上,所以将②式和(1,-1)代入①式得-1-(-2x0)=(3-2)(1-x0).解得x0=1或x0=-.当x0=1时,k=1,当x0=-时,k=-.故所求的切线方程为y+1=x-1或y+1=-(x-1).即x-y-2=0或5x+4y-1=0.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015·西安高二检测)设a∈R,函数f(x)=e x+a·e-x的导函数是f′(x),且f′(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是,则切点的横坐标为( ) A.ln2 B.-ln2 C. D.-【解析】选A.因为f′(x)=e x-ae-x为奇函数,所以a=1,设切点横坐标为x0,则f′(x0)=-=,因为>0,所以=2,所以x0=ln2.【补偿训练】若函数f(x)=e x sinx,则此函数图象在点(4,f(4))处的切线的倾斜角为( ) A. B.0 C.钝角 D.锐角【解析】选C.y′=e x sinx+e x cosx,当x=4时,y′=e4(sin4+cos4)=e4sin<0,故倾斜角为钝角.2.(2015·聊城高二检测)设f0(x)=sinx,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,f n+1(x)=f′n(x),n∈N,则f2015(x)= ( )A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx【解析】选 D.f1(x)=(sinx)′=cosx,f2(x)=(cosx)′=-sinx,f3(x)=(-sinx)′=-cosx,f4(x)=(-cosx)′=sinx,f5(x)=(sinx)′=f1(x),f6(x)=f2(x),…,f n+4(x)=f n(x),可知周期为4.2015=4×503+3,所以f2015(x)=f3(x)= -cosx.【延伸探究】若将“f0(x)=sinx”改为“f0(x)=sinx+cosx,其他条件不变,则f2015(x)=________. 【解析】f1(x)=f0′(x)=cosx-sinx,f2(x)=(cosx-sinx)′=-sinx-cosx,f3(x)=-cosx+sinx,f4(x)=sinx+cosx,以此类推,可得出f n(x)=f n+4(x).2015=4×503+3,所以f2015(x)=f3(x)=-cosx+sinx.答案:-cosx+sinx二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015·天津高考)已知函数f=axlnx,x∈,其中a为实数,f′为f的导函数,若f′=3,则a的值为______.【解析】因为f′=a,所以f′=a=3.答案:34.(2015·衡阳高二检测)若函数f(x)=x2-ax+lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是________.【解析】垂直于y轴的切线,其切线的斜率为0,因为f(x)=x2-ax+lnx,所以f′(x)=x-a+.设切点横坐标为x0(x0>0),则有x0-a+=0,a=x0+≥2.答案:a≥2【补偿训练】(2015·沈阳高二检测)已知函数f(x)=x2·f′(2)+5x,则f′(2)=________.【解析】因为f′(x)=f′(2)·2x+5,所以f′(2)=f′(2)×2×2+5,所以3f′(2)=-5,所以f′(2)=-.答案:-三、解答题(每小题10分,共20分)5.函数f(x)=x3-x2-x+1的图象上有两点A(0,1)和B(1,0),在区间(0,1)内求实数a,使得函数f(x)的图象在x=a处的切线平行于直线AB.【解题指南】可先由A,B两点的坐标求AB的斜率,再求f(x)=x3-x2-x+1在x=a处切线的斜率,令其相等,即可求出a的值.【解析】直线AB的斜率k AB=-1,f′(x)=3x2-2x-1,令f′(a)=-1(0<a<1),即3a2-2a-1=-1,解得a=.6.(2015·天水高二检测)已知曲线C:f(x)=x3-x.(1)试求曲线C在点(1,f(1))处的切线方程.(2)试求与直线y=5x+3平行的曲线C的切线方程.【解析】(1)因为f(x)=x3-x,所以f(1)=13-1=0,即切点坐标为(1,0),又f′(x)=3x2-1.所以,切线的斜率k=f′(1)=3×12-1=2.故切线方程为y-0=2(x-1),即2x-y-2=0.(2)设切点坐标为(x0,-x0),又f′(x)=3x2-1,所以切线的斜率k=3-1.又切线与直线y=5x+3平行,所以3-1=5,解得=2,切点为或,故切线方程为:y-=5(x-)或y+=5(x+),即:5x-y-4=0或5x-y+4=0.关闭Word文档返回原板块。
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课时提升作业(二十三)函数的极值与导数(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列说法正确的是( )A.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B.函数在闭区间上的极大值一定比极小值小C.函数f(x)=|x|只有一个极小值D.函数y=f(x)在区间(a,b)上一定存在极值【解析】选C.函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系,单调函数在区间(a,b)上没有极值,故A,B,D错误,C正确,函数f(x)=|x|只有一个极小值为0.2.(2015·惠州高二检测)函数y=x3-6x的极大值为( )A.4B.3C.-3D.-4【解析】选A.y′=3x2-6,令y′>0,得x>或x<-,令y′<0,得-<x<.所以函数y=x3-6x在(-∞,-),(,+∞)上递增,在(-,)上递减,所以当x=-时,函数取得极大值4.【补偿训练】函数f(x)=2-x2-x3的极值情况是( )A.有极大值,没有极小值B.有极小值,没有极大值C.既无极大值也无极小值D.既有极大值又有极小值【解析】选D.f′ (x)=-2x-3x2,令f′(x)=0有x=0或x=-.当x<-时,f′(x)<0;当-<x<0时,f′(x)>0;当x>0时,f′(x)<0,从而在x=0时,f(x)取得极大值,在x=-时,f(x)取得极小值.3.函数f(x)的定义域为R,导函数f′(x)的图象如图所示,则函数f(x) ( )A.无极大值点、有四个极小值点B.有一个极大值点、两个极小值点C.有两个极大值点、两个极小值点D.有四个极大值点、无极小值点【解题指南】可依据极大值、极小值的定义判定.【解析】选C.设f′(x)与x轴的4个交点,从左至右依次为x1,x2,x3,x4,当x<x1时,f′(x)>0,f(x)为增函数,当x1<x<x2时,f′(x)<0,f(x)为减函数,则x=x1为极大值点,同理,x=x3为极大值点,x=x2,x=x4为极小值点.【规律方法】给出图象研究函数性质问题的解题方法(1)要分清给的是f(x)的图象还是f′(x)的图象.(2)若给的是f(x)的图象,应先找出f(x)的单调区间及极值点,若给的是f′(x)的图象,应先找出f′(x)的正负区间及由正变负还是由负变正.(3)结合题目特点分析求解,可依据极大值、极小值的定义判定.4.设f(x)=x(ax2+bx+c),其中a≠0,并且在x=1或x=-1处均有极值,则下列点中一定在x轴上的是( )A.(a,b)B.(a,c)C.(b,c)D.(a+b,c)【解析】选A.因为f(x)=ax3+bx2+cx,所以f′(x)=3ax2+2bx+c.又因为在x=1或x=-1处f(x)有极值,所以x=1或x=-1是方程3ax2+2bx+c=0的两根.所以-=0,b=0.所以点(a,b)一定在x轴上.5.(2015·沈阳高二检测)若函数f(x)=x2-2bx+3a在区间(0,1)内有极小值,则实数b的取值范围是( )A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.(0,1)D.【解析】选C.f′(x)=2x-2b=2(x-b),令f′(x)=0,解得x=b.由于函数f(x)在区间(0,1)内有极小值,则有0<b<1,当0<x<b时,f′(x)<0;当b<x<1时,f′(x)>0,符合题意.所以实数b的取值范围是(0,1).二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·哈尔滨高二检测)已知函数f(x)=ax3+bx2+c,其导数f′(x)的图象如图所示,则函数的极小值是________.【解析】由图象可知,当x<0时,f′(x)<0,当0<x<2时,f′(x)>0,故x=0时函数f(x)取极小值f(0)=c.答案:c7.如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象,对此图象,有如下结论:①在区间(-2,1)内f(x)是增函数;②在区间(1,3)内f(x)是减函数;③x=2时,f(x)取到极大值;④在x=3时,f(x)取到极小值.其中正确的是________(将你认为正确的序号填在横线上).【解题指南】给出了y=f′(x)的图象,应观察图象找出使f′(x)>0与f′(x)<0的x的取值范围,并区分f′(x)的符号由正到负和由负到正,再进行判断.【解析】由f′(x)的图象可知在和(2,4)上f′(x)<0,f(x)单调递减,在和(4,+∞)上f′(x)>0,f(x)单调递增,所以只有③正确.答案:③8.(2015·陕西高考)函数y=xe x在其极值点处的切线方程为________.【解析】依题意得y′=e x+xe x,令y′=0,可得x=-1,所以y=-.因此函数y=xe x在其极值点处的切线方程为y=-.答案:y=-三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·银川高二检测)已知函数f(x)=x3-x2-2x+c,(1)求函数f(x)的极值.(2)求函数f(x)的单调区间.【解析】f′(x)=3x2-x-2.(1)令f′(x)=3x2-x-2=0,即(3x+2)(x-1)=0,所以x=-或x=1.当x变化时,f(x)与f′(x)的变化情况如表,从表中可以看出当x=-时,f(x)有极大值,极大值为+c;当x=1时,f(x)有极小值,极小值为c-.(2)由(1)可知f(x)的递增区间为和(1,+∞),递减区间为.10.已知函数f(x)=e x(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.(1)求a,b的值.(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.【解析】(1)f′(x)=e x(ax+a+b)-2x-4.由已知得f(0)=4,f′(0)=4,故b=4,a+b=8.从而a=4,b=4.(2)由(1)知,f(x)=4e x(x+1)-x2-4x,f′(x)=4e x(x+2)-2x-4=4(x+2).令f′(x)=0,得x=-ln2或x=-2.从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln2,+∞)时,f′(x)>0;当x∈(-2,-ln2)时,f′(x)<0.故f(x)在(-∞,-2),(-ln2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln2)上单调递减.当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2).(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.函数f(x)=ax3+bx在x=1处有极值-2,则a,b的值分别为( )A.1,-3B.1,3C.-1,3D.-1,-3【解析】选A.f′(x)=3ax2+b,由题意知f′(1)=0,f(1)=-2,所以所以a=1,b=-3.2.(2015·陕西高考)对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零常数),四位同学分别给出下列结论,其中有且仅有一个结论是错误的,则错误的结论是( )A.-1是f(x)的零点B.1是f(x)的极值点C.3是f(x)的极值D.点(2,8)在曲线y=f(x)上【解析】选A.若选项A错误,则选项B,C,D正确.f′(x)=2ax+b,因为1是f(x)的极值点,3是f(x)的极值,所以,即,解得,因为点(2,8)在曲线y=f(x)上,所以4a+2b+c=8,即4a+2×(-2a)+a+3=8,解得:a=5,所以b=-10,c=8,所以f(x)=5x2-10x+8,因为f(-1)=5×1-10×(-1)+8=23≠0,所以-1不是f(x)的零点,所以选项A 错误,选项B、C、D正确.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015·南昌高二检测)函数f(x)=(a∈R)的极大值为________.【解析】f′(x)=,令f′(x)=0,得x=,当x<时,f′(x)>0;当x>时,f′(x)<0,所以函数的极大值为f()==.答案:4.若函数y=-x3+6x2+m的极大值为13,则实数m等于________.【解题指南】先依据函数解析式求出其极大值,再结合已知条件得出关于m的方程,解方程即可.【解析】y′=-3x2+12x=-3x(x-4),由y′=0,得x=0或4.且当x∈(-∞,0)∪(4,+∞)时,y′<0;x∈(0,4)时,y′>0.所以当x=4时取到极大值.故-64+96+m=13,解得m=-19.答案:-19三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2015·广州高二检测)若a≠0,试求函数f(x)=-ax3-x2+a2x2+2ax的单调区间与极值. 【解析】因为f(x)=-ax3-x2+a2x2+2ax,所以f′(x)=-2ax2-2x+2a2x+2a=-2(ax2+x-a2x-a)=-2(x-a)(ax+1).令f′(x)=0,可得x=-或x=a.若a>0,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:所以f(x)在区间(-∞,-),(a,+∞)上单调递减,在区间上单调递增.函数f(x)在x=-处取得极小值f=-1-,在x=a处取得极大值f(a)=a2+a4.若a<0,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:-所以f(x)在区间(-∞,a),上单调递增,在区间上单调递减.函数f(x)在x=a处取得极大值f(a)=a2+,在x=-处取得极小值f=-1-.6.(2015·梅州高二检测)已知函数f(x)=x3-bx2+2cx的导函数的图象关于直线x=2对称.(1)求b的值.(2)若函数f(x)无极值,求c的取值范围.【解析】(1)f′(x)=3x2-2bx+2c,因为函数f′(x)的图象关于直线x=2对称,所以-=2,即b=6.(2)由(1)知,f(x)=x3-6x2+2cx,f′(x)=3x2-12x+2c=3(x-2)2+2c-12,当2c-12≥0,即c≥6时,f′(x)≥0恒成立,此时函数f(x)无极值.【补偿训练】设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值.(1)求a,b的值.(2)若对于任意的x∈,都有f(x)<c2成立,求c的取值范围.【解析】(1)f′(x)=6x2+6ax+3b.因为函数f(x)在x=1及x=2时取得极值,则有f′(1)=0,f′(2)=0,即解得(2)由(1)可知,f(x)=2x3-9x2+12x+8c,所以f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2),当x∈(0,1)时,f′(x)>0;当x∈(1,2)时,f′(x)<0;当x∈(2,3)时,f′(x)>0.所以当x=1时,f(x)取得极大值,f(1)=5+8c.又f(0)=8c,f(3)=9+8c,则当x∈时,f(x)的最大值为f(3)=9+8c,所以对于任意的x∈,有f(x)<c2恒成立,所以9+8c<c2,解得c<-1或c>9,因此,c的取值范围为(-∞,-1)∪(9,+∞).关闭Word文档返回原板块。