第八章 电磁辐射

z
P
θ
r
y
µ A(r ) =
4 π ∫C r
e
− jk r
µ Il − jk r ez Idz ′= e z e
4πr
l x
O
φ
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在球坐标系中
Aθ (r ) = A ⋅ eθ
µ Il Ar ( r ) = A ⋅ er = Az cos θ = cos θ e − jk r 4 πr
= E
1 jωε
∇× = H
∂ 1 jωε r 2 sin θ ∂r Hr
k 3 Il cos θ e3 Il sin θ (kr ) 2 − (kr )3 e + eθ 4πωε
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8.2 电偶极子的辐射
电磁辐射系统最简单的形式是电偶极子和磁偶极子。 电偶极子为长度远小于波长的载流线元，也称元天线。 电偶极子辐射是天线工程中最基本的问题。
本节内容
8.2.1 电偶极子的电磁场 8.2.2 电偶极子的近区场和远区场
r
滞后位
r − r′
y
V
x
O
r′
dV ′
1 ′ ρ r t − r − r′ ) ( , 1 v dV ′ ϕ (r , t ) = ∫ V 4 πε r − r′ 1 ′ − J ( r , t r − r′ ) µ A(r , t ) = v dV ′ ∫ 4π V r − r′
2 2
辐射功率 Pr =
∫
S
S av ⋅ dS
π 0
=
∫ ∫
0
2π
πη Il 2 η Il sin θ 2 2 er ( ) ⋅ er r sin θ dθ dφ ( ) = 2 2λ r 3 λ0
2
= 40 π I (
2
l
辐射电阻
2 Pr 2 l 2 = = Rr 80 π ( ) — 辐射电阻可衡量天线的辐射能力 2 I λ0
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● 产生电磁波的振荡源一般为天线。随着振荡源频率的提高使电 磁波的波长与天线尺寸可相比拟时，就会产生显著的辐射。 ● 对于天线，我们关心的是它的辐射场强、方向性、辐射功率和 效率。 ● 天线的形式可分为线天线和面天线。 ● 本章由滞后位的概念出发，求解元电流的辐射场。再利用叠加 原理求解线天线和阵列天线的辐射问题。
电偶极子的方向图 在工程上，常用方向图来形象地描述远区场的方向性。将
f (θ , φ ) = sin θ 用极坐标画出来，即得到电偶极子的方向图。
图a 是 E 面（电场矢量所在并包含最大辐射方向的平面） 方向图；图b 是 E 面（电场矢量所在并包含最大辐射方向的平 面）方向图；图 c 是立体方向图。
* 1 Sav = Re[ E × H = ] 0 2
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2. 远区场（辐射场）： kr >> 1
1 1 1 >> >> 2 kr (kr) (kr) 3
1 j − jk r k = ω µε Er (kr ) 2 − (kr )3 e Ilk 2 sin θ − jk r Eθ = j e 3 k Il sin θ j 1 j − jk r εω r 4 π = + − Eθ e 2 3 4 πωε kr (kr ) (kr ) H = j Ilk sin θ e − jk r φ 2 4πr k Il sin θ j 1 − jk r + Hφ e 2 4π kr (kr ) 2π k= λ
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近区场的特点： （1）电场表达式与静电偶极子的电场表达式相同；磁场表达式 与用毕奥一萨伐定律计算的恒定电流元产生的磁场表达式 相同。因此称其为似稳场或准静态场。 （2）电场和磁场存在π／2的相位差，能量在电场和磁场以及场 与源之间交换，没有辐射，所以近区场也称感应场。
4
8.1 滞后位
在第4章引入了动态矢量位 和 动态标量位： ∂A E = − − ∇ϕ B = ∇× A 2 ∂t ∂ A 2 ∇ A − µε 2 = −µ J ∂t 在洛仑兹条件下，其方程为 2 ∂ ϕ ρ 2 ∇ ϕ − µε 2 = − z ∂t ε P 其解为：

k 3 Il cos θ 2π

Il sin θ − jk r Eθ = j ηe 2λ r Il sin θ − jk r e Hφ = j 2λ r
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远区场的特点： （1）远区场是横电磁波，电场、磁场和传播方向相互垂直； （2）远区电场和磁场的相位相同； （3）电场振幅与磁场振幅之比等于媒质的本征阻抗，即
1 j − jk r (kr ) 2 − (kr )3 e
2
j − jk r − e 3 (kr )
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8.2.2 电偶极子的近区场和远区场 电偶极子周围的空间划分为三 个区域： 近区： 远区： 过渡区
kr << 1 kr >> 1
远区
近区
过渡区
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第 8 章 电磁辐射 13 1 1 1 − jk r 1. 近区场： kr << 1 , e << << ≈1 2 3 (kr ) (kr ) kr k 3 Il cos θ 1 j − jk r Il cos θ − Er e j E = − (kr ) 2 (kr )3 2π r 2 πεω r 3 E = − j Il sin θ k 3 Il sin θ j 1 j − jk r 3 + − Eθ e θ 2 3 4 π r εω 4 πωε kr (kr ) (kr ) Il sin θ 2 Hφ = 4πr 2 k Il sin θ j 1 − jk r + Hφ e 2 4 π kr (kr ) I = jω q pe cos θ ql cos θ = = Er 2 πε r 3 2 πε r 3 pe sin θ ql sin θ = Eθ = 准静态场 4 πε r 3 4 πε r 3 Hφ = Il sin2θ 4 πr
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λ0
)2
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例8.2.1 频率为10 MHz 的功率源馈送给电偶极子的电流为 25 A ，设电偶极子的长度为50 cm ，试计算： （1）赤道平面上离原点10 km 处的电场和磁场； （2） r =10 km 处的平均功率密度 ； （3）辐射电阻。
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写成分量形式：
Hr = 0 Hθ = 0 2 1 − jk r k Il sin θ j H e = + 2 φ 4π kr (kr )

k 3 Il cos θ = Er 2π
3
k Il sin θ j 1 Eθ = + 4 πωε kr (kr ) Eφ = 0
z
= − Az sin θ = − sin θ e − jk r 4 πr
µ Il
Ar
Aφ
θ
O
Aφ (r , t ) = A ⋅ eφ = 0
x
Aθ
y
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由此得到电偶极子的电磁场：
er ∂ 1 1 H = ∇× A = µ µr 2 sin θ ∂r Ar
Ilk sin θ − jk r −6 − j2.1×103 Hφ j e j20.83 ×10 e A/m = = 4 πr
z
θ
z
E
y
a
φ
y
y
z
E
x （b）
（a）
E （ c）
x
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远区场的辐射功率 平均功率流密度为 * 1 1 * = Sav Re[ E × H = ] Re[eθ Eθ × eφ H φ ] 2 2
1 Eθ η 2 η Il sin θ * = H φ e= er = H φ er Re er Eθ= r 2 2η 2 2 2λ r
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8.2.1 电偶极子的电磁场 设电偶极子电流为I，长度为l，电流为z 方向, 则
I ′ ′ JdV = e z ⋅ Sdz = e z Idz ′ S
µ 代入 A(r ) = 4 π ∫V
子的矢量位
− jk r Je dV ′ 得电偶极 r