初一下期奥数资料-第9讲
奥数精品讲义第9讲[操作与计数技巧--深圳清华实验学校佘珊珊
操作类问题与计数类问题由于其灵活性和本身的趣味性，非常受出题和供题者青睐，如今各类数学竞赛的出题越来越趋向于新奇和趣味化，因此操作类问题和计数问题在竞赛中的比重将会加大。
鉴于操作类问题和计数问题没有一般性的算法或解题通式，本讲将以近年来各类竞赛以及小升初考试中的出现过的真题为例，引导学生发现关键并解决问题。
1. 常见操作类问题2. 计数技巧与操作【例1】 （2006年《小学生数学报》读报竞赛）把一张正方形的餐巾纸先上下对折，再左右对折（如右图），然后用剪刀将所得的小正方形沿直线剪一刀。
问能把餐巾纸： ⑴剪成2块吗？ ⑵剪成3块吗？ ⑶剪成4块吗？ ⑷剪成5块吗？如果你认为能剪成，请在下面图中各画出一种你的剪法；如果你认为不能，那么只需回答“不行”即可。
【分析】⑴剪开成两块，如下图：⑵剪开成3块，如下图：操作与计数技巧第九讲⑶剪开成4块，如下图：⑷剪开成5块，如下图：【巩固】（2008年华杯赛）将等边三角形纸片按图所示的步骤折迭3次(图中的虚线是三边中点的连线)，然后沿两边中点的连线剪去一角。
将剩下的纸片展开、铺平，得到的图形是( )．【分析】折迭3次，纸片的厚度为4，所以剪去的面积即应等于4倍小三角形的面积，所以答案是A。
【例2】A、B、C、D四个盒子中依次放有6，4，5，3个球。
第1个小朋友找到放球最少的盒子，从其他盒子中各取一个球放入这个盒子；然后第2个小朋友找到放球最少的盒子，从其他盒子中合取一个球放入这个盒子；如此进行下去，……。
求当34位小朋友放完后，B盒子中放有球多少个？【分析】盒子A B C D初始状态 6 4 5 3第1人放过后 5 3 4 6第2人放过后 4 6 3 5第3人放过后 3 5 6 4第4人放过后 6 4 5 3第5人放过后 5 3 4 6由此可知：每经过4人，四个盒子中球的情况重复出现一次，因为34482÷= ，所以第34次后的情况与第2次后的情况相同，即B盒子中有球6个。
人教版七年级数学下册第九章课件 911不等式及解集28张
不等式的解
与方程的解类似，我们把 使不等式成立的未知数的值叫做不 等式的解．
思考
不等式的解集
一般地，一个含有未知数的不等式的 所有的解，组成这个不等 式的解集．
求不等式的解集 的过程叫做解不等式．
例题
请用不等式表示： （1） a 是负数； （2） a 与5的和小于-7； （3） a 的一半大于3.
步骤：
实
①画数轴
心
②定界点
③定方向
总结: ①用数轴表示不等式的解集的步骤： 第一步:画数轴; 第二步:定界点; 第三步:定方向. ②用数轴表示不等式的解集 ,，应记住下面的规律 : 大于向右画，小于向左画 ; 有等号(≥ ，≤)画实心点，无等号 (>，<)画空心圆.
例题
不等式 x＋1≥－1的解集为： x ≥ －2
画数轴
定点
定方向
例题
设：车速为x km/h．
不等式的概念
像
这样，用符号“＜”或“＞” 表示大小
关系的式子 ，叫不等式．
像a+2≠a-2这样用“≠”表示的不等关系的式子也是不等式．
不等式的符号统称不等号，有 “＞” “＜” “≠”， 其 中“≤” “≥”也是不等号．
例题
下列式子哪些是不等式？ ① -1＜3 是
③ 3x ≠ 4y 是
注意：在数轴上表示－ 2 的点的位置上，应 画实心圆心 ，表示包括这一点 ．
练习
写出下列数轴所表示的不等式的解集：
x > -3
x≥2
x < -3
x≤a
练习
直接说出不等式的解集，并在数轴上表示出来 . （1）x＞3
（2）x＜-2
总结
这节课我们学会了什么？
新初一数学分班考奥数专题9：列方程解应用题
九 列方程解应用题(1)年级 班 姓名 得分一、填空题1.一个分数约分后将是54,如果将这个分数的分子减少124,分母减少11,所得的新分数约分后将是94.那么原分数是 . 2.八个自然数排成一行,从第三个数开始,每个数都等于它前面两个数的和.已知第一个数是3,第八个数是180,那么第二个数是 .3,□,□,□,□,□,□1803.一个长方形的长与宽之比是14:5,如果长减少13厘米,宽增加13厘米,则面积增加182平方厘米.原长方形的面积是 平方厘米.4.某商品按每个5元利润卖出11个的价钱,与按每个11元的利润卖出10个价钱一样多.这个商品的成本是 元.5.粮店中的大米占粮食总量的73,卖出600千克大米后,大米占粮食总量的31.这个粮店原来共有粮食 千克.6.从家里骑摩托车到火车站赶乘火车.如果每小时行30千米,那么早到15分钟;如果每小时行20千米,则迟到5分钟.如果打算提前5分钟到,摩托车的速度应是 .7.两个杯中分别装有浓度40%与10%的食盐水,倒在一起后混合食盐水浓度为30%.若再加入300克20%的食盐水,则浓度变为25%.那么原有40%的食盐水 克.8.某缝纫师做成一件衬衣、一条裤子、一件上衣所用的时间之比为1:2:3.他用十个工时能做成2件衬衣、3条裤子和4件上衣.那么他要做成14件衬衣、10条裤子和2件上衣,共需 工时.9.一个运输队包运1998套玻璃具.运输合同规定:每套运费以1.6元计算,每损坏一套,不仅不得运费,还要从总费中扣除赔偿费18元.结果这个运输队实际得运费3059.6元,那么,在运输过程中共损坏 套茶具.10.摄制组从A 市到B 市有一天的路程,计划上午比下午多走100千米到C 市吃午饭.由于道路堵车,中午才赶到一个小镇,只行驶了原计划的三分之一.过了小镇,汽车赶了400千米,傍晚才停下来休息.司机说,再走从C 市到这里的二分之一,就到达目的地了.那么A ,B 两市相距 千米.二、解答题11.A 、B 两地相距30千米.甲骑自行车从A 到B ,开始速度为每小时20千米,一段时间后减速为每小时15千米.甲出发1小时后,乙驾驶摩托车以每小时48千米的速度也由A 到B ,中途因加油耽误了10.5分钟.结果甲乙两人同时到达B 地.甲出发后多少分钟开始减速的?12.一批树苗,按下列原则分给各班栽种;第一班取走100棵又取走剩下树苗的101,第二班取走200棵又取走剩下树苗的101.第三班取走300棵又取走剩下树苗的101,照此类推,第i 班取走树苗100´i 棵又取走剩下树苗的101.直到取完为止.最后各班所得树苗都相等.试问这批树苗有多少棵?有几个班?每个班取走树苗多少棵?13.一辆汽车在上坡路上行驶的速度是每小时40千米,在下坡路上行驶的速度是每小时50千米,在平路上行驶的速度是每小时45千米.某日这辆汽车从甲地开往乙地,先是用了31的时间走上坡路,然后用了31的时间走下坡路,最后用了31的时间走平路.已知汽车从乙地按原路返回甲地时,比从甲地开往乙地所用的时间多15分钟,求甲、乙两地的距离.14.兄弟两人骑马进城,全程51千米.马每小时行12千米,但只能由一个人骑.哥哥每小时步行5千米,弟弟每小时步行4千米.两人轮换骑马和步行,骑马者走过一段距离就下鞍拴马(下鞍拴马的时间忽略不计),然后独自步行.而步行者到达此地,再上马前进.如果他们早晨六点动身,何时能同时到达城里?———————————————答 案——————————————————————1. 335268. 设原分数是x x 54,由题意有941151244=--x x ,解得x =67,所以原分数是335268675674=´´. 2. 12设第二个数是x ,则这八个数可写为3,x ,3+x ,3+2x ,6+3x ,9+5x ,15+8x ,24+13x .由24+13x =180,解得 x =12.3. 630设原长方形的长是14a 厘米,则宽是5a 厘米.由题意可列方程14a ´5a +182=(14a -13)´(5a +13)70a 2+182=70a 2+117a -169解得a =3,所以原长方形的面积为14a ´5a =70a 2=630(平方厘米)4. 55设成本是x 元.根据题意可列方程(x +5)´11=(x +11)´10,解得x =55(元).5. 4200设原来有粮食x 千克,根据现有大米可列方程,31)600(60073´-=-´x x 解得x =4200(千克).6. 42设离火车开车时刻还有x 分钟,根据从家到火车站的距离,可列方程)5(6020)15(6030+´=-´x x ,解得x =55(分钟),所求速度应是30´[(55-15)÷(55-5)]=24(千米/小)7. 200浓度为30%与20%的食盐水混合成25%的食盐水,则30%与20%的食盐水的质量应相同,所以40%与10%的食盐水混合成30%的食盐水有300克.设原有40%的食盐水x 克,则10%的食盐水有300-x (克).由x ´40%+(300-x )´10%=300´30%,解得x =200(克).8. 20设缝纫师做一件衬衣的时间为x ,则一条裤子的时间为2x ,做一件上衣用时为3x .由于十个工时完成2件衬衣、3条裤子、4件上衣，即2x +3´(2x )+4´(3x )=10(工时).即20x =10(工时),则完成2件上衣、10条裤子、14件衬衣共需：2´(3x )+10´(2x )+14x =40x =20(工时).9. 7设共损坏x 套茶具,依题意,得1.6´(1998-x )-18´x =3059.6,解得x =7.10. 600设BC =x 千米,则AC =(x +1)千米,依题意,得x x x x ++=+++)1(31400)100(31解得x =250,两地相距(x +1)+x =2x +1=600(千米).11. 设甲出发后x 分钟开始减速的,依题意,得20´30601)605.10604830(1560=´-++´´+x x .解得x =36(分钟). 答:甲出发后36分钟开始减速.12. 设这批树苗有x 棵,则第一班取走树苗(100+)10100-x 棵,第二班取走 树苗10)1010100(200200-+--+x x 棵.依题意,得10)10100100(20020010100100-+--+=-+x x x ,解得x =8100,于是第一班取走的棵数,也就是每个班取走的棵数为900101008100100=-+,参加栽树的班数为99008100=,所以这批树苗有8100棵,共有9个班,每个班取走的树苗都是900棵. 13. 设汽车从甲到乙所用时间为3x 小时,依题意,得60153504*********+=++x x x x ,解得x =5,故甲、乙两地的距离为40x +50x +45x =135x =675(千米).14. 设哥哥步行了x 千米,则骑马行了51-x 千米.而弟弟正好相反,步行了51-x 千米,骑马行x 千米,依题意,得1245112515x x x x +-=-+,解得x =30(千米).所以两人用的时间同为437476123051530=+=-+(小时)=7小时45分.早晨6点动身,下午1点45分到达.九 列方程解应用题(2)年级 班 姓名 得分一、填空题1.要将一批《小学数学》杂志打包后送往邮局(要求每包所装册数相同),这批杂志的53够打包还多44本.如果这批杂志刚好可以打9包,这批杂志共 本. 2.由于浮力的作用,金放在水里称,重量减轻191,银放在水里称,重量减轻101.有一块重500克的金银合金,放在水里称减轻了32克,这块合金含金 克.3.小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成一个正三角形,正好用完,后来又改围成一个正方形,也正好用完.正方形每条边比三角形每条边少用5枚硬币.小红的五分硬币共价值 元.4.某时刻钟表时针在10点到11点之间,这时刻再过6分钟后分针和这个时刻的3分钟前时针正好方向相反用在一条直线上,那么钟表在这个时刻表示的时间是 .5.甲、乙两个粮食仓库,甲仓库存粮是乙仓库存粮的70%.如果从乙仓库调50吨粮食到甲仓库,甲仓库的存粮就是乙仓库存粮的80%.甲、乙两仓库共存粮 吨.6.甲、乙两车先后以相同的速度从A 站开出,10点整甲车距A 站的距离是乙车距A 站距离的三倍,10点10分甲车距A 站的距离是乙车距A 站距离的二倍.那么甲车是 点 分从A 站开出的.7.在甲、乙、丙三缸酒精溶液中,纯酒精的含量分别占48%、62.5%和32.已知三缸酒精溶液总量是100千克,其中甲缸酒精溶液的量等于乙、丙两缸酒精溶液的总量.三缸溶液混合后,所含纯酒精的百分数将达56%.那么,丙缸中纯酒精的量是 千克.8.春风小学原计划栽种杨树、柳树和槐树共1500棵.植树开始后,当栽了杨树总数的53和30棵柳树后,又临时运来15棵槐树,这时剩下的三种树的棵数正好相等.原计划栽杨树 棵,槐树 棵,柳树 棵.9.某造纸厂在100天里共生产2000吨纸.开始阶段,每天只能生产10吨纸.中间阶段由于改进了生产规程,每天的产量提高了一倍.最后阶段由于购置了新设备,每天的产量又比中间阶段提高了一倍半.已知中间阶段生产天数的2倍比开始阶段多13天,那么最后阶段有 天.10.甲、乙两车分别从A 、B 两地出发,相向而行.出发时,甲、乙的速度比是5:4,相遇后,甲的速度减少20%,乙的速度增加20%这样,当甲到达B 地时,乙离A 地还有10千米.那么A 、B 两地相距 千米.二、解答题11.某公路干线上,分别有两个小站A和B,A、B两站相距63千米,A站有一辆汽车其最大时速为45千米/小时,B站有一辆汽车其最大时速为36千米/小时.如果两车同时同向分别以最大时速从两站开出.求经过多长时间后,两车相距108千米.12.下表显示了某次钓鱼比赛的结果,上行的值表示钓到的鱼数,下行的值表示钓到n条鱼的参赛人数.N0 1 2 3 … 13 14 15钓到n条鱼的人数9 5 7 23 … 5 2 1当天的报纸对这次比赛做了如下报道:a)获胜者钓到15条鱼;b)对钓到3条或3条以上的鱼的所有参赛者来说,每人平均钓到6条鱼;c)对钓到12条或12条以下的鱼的所有参赛者来说,每人平均钓到5条鱼.问本次比赛钓到的鱼的总数是多少?13.一船向相距240海里的某港出发,到达目的地前48海里处,速度每小时减少10海里,到达后所用的全部时间与原速度每小时减少4海里航行全程所用的时间相等,求原来的速度.14.甲杯中装有含盐20%的盐水40千克,乙杯中装有含盐4%的盐水60千克,现从甲杯中取出一些盐水放入丙杯,再从乙杯中取一些盐水放入丁杯.然后将丁杯盐水全倒入甲杯,把丙杯盐水全倒入乙杯,结果甲、乙两杯成为含盐浓度相同的两杯盐水.若已知从乙杯取出并倒入丁杯的盐水重量是从甲杯取出并倒入丙杯盐水重量的6倍,试确定从甲杯取出并倒入丙杯的盐水多少千克?———————————————答 案——————————————————————1. 990设每包x 本,则共有9x 本.根据题意有9x ´44553+=x ,解得x =110(本).所以共有9´110=990(本).2. 380设含金x 克,则含银500-x 克.根据减轻的重量可列方程321050019=-+x x ,解得x =380(克).3. 3设三角形每边有x 枚,则正方形每边有x -5枚.由题意得3(x -1)=4(x -6),解得x =21.所以小红共有五分硬币3´(21-1)=60(枚),价值3元.4. 10点15分设钟表这个时刻表示的时间是10点x 分,依题意,得300+180)6(60360)3(6030++´=-´x x .解得x =15(分钟).即表示的时间是10点15分. 5. 1530设乙仓库原存粮x 吨,则甲仓库原存粮x ´70%吨.根据题意有x ´70%+50=(x -50) ´80%,解得x =900(吨).甲、乙两仓库共存粮900´(1+70%)=1530(吨).6. 9点30分因为两车速度相同,所以甲、乙两车距A 站的距离之比等于甲、乙两车行驶时间之比.设10点时乙车行驶了x 分钟,则甲车行驶了3x 分钟.根据题意有2(x +10)=3x +10,解得x =10.所以10点时甲车已行驶了3´10=30(分钟),即甲车9点30分出发.7. 12设丙缸酒精溶液的重量为x 千克,则乙缸为50-x (千克).根据纯酒精的量可列方程50´48%+(50-x )´62.5%+x ´32=100´56%,解得x =18(千克).所以丙缸中纯酒精含量是18´32=12(千克). 8. 825,315,360设后来每种树的棵数为x ,则已经载了杨树x x 2353)531(=´-÷(棵). 根据原来的总棵树,可得方程15001530233=-++x x .解得,x =330.因此杨树82552330=÷(棵),槐树:330-15=315(棵),柳树:330+30=360(棵). 9. 17设中间阶段为x 天,则开始阶段为2x -13(天),最后阶段为113-3x (天).由题意知,开始、中间、最后阶段的日产量依次为10、20和50吨.由总产量可列方程10´(2x -13)+20x +50´(113-3x )=2000,解得x =32.所以最后阶段有113-3´32=17(天).10. 450甲、乙原来的速度比是5:4,相遇后的速度比是5´(1-20%):4´(1+20%)=4:4.8=5:6.相遇时,甲、乙分别走了全程的95和94.设全程x 千米,则6)1095(594÷-=÷x x ,解得x =450(千米). 11. 设经过x 小时后,两车相距108千米,依题意,得45x -(36x +63)=108(沿AB 方向)或(45x +63-36x =108+63)(沿BA 方向).解得x =19或x =5.答:若沿AB 方向出发,19小时后,两车相距108千米;若沿BA 方向出发,5小时后,两车相距108千米.12. 设参赛选手的总人数为x ,则x -19+5+77=x -21个选手钓到3条或更多的鱼,本次比赛钓到的鱼的总数为6(x -2)+2´7+1´5=6x -107;有x -(5+2+1)=x -8个选手钓到12条或更少的鱼,本次比赛钓到的鱼的总数为5(x -8)+13´5+14´2+15´1=5x +68.所以6x -107=5x +68.解得x =175.本次比赛钓到的鱼的总数是943条.13. 设原速度为x 海里/时,则减速前所用的时间为x48240-,减速后所用的时间为1048-x ,按原速减少4海里/时航行全程时间为4240-x .依题意有4240104848240-=-+-x x x ,所以4(x -10)(x -4)+x (x -4)=5x (x -10),解得x =16(海里/小时). 答:原来的速度为16海里/时.14. 设从甲杯取到丙杯有x 千克盐水,则从乙杯取到丁杯6x 千克盐水,则xx x x x x x x +-´+´-=+-´+´-)660(%20%4)660(6)40(%46%20)40(,解得x =8(千克). 答:从甲杯取出并倒入丙杯的盐水为8千克.。
七年级数学下册_第9章教材知识梳理_新课标人教版
（三）通过课题学习，加强综合性与探究性 本章专门安排了9.4节“课题学习 利用不等关系分析比赛”，这 样设计的目的主要在于加强问题的综合性，提倡学习的探究性． 虽然课题学习选择的体育比赛是许多学生感兴趣的内容，但是这 些问题不象一般教科书中的例题或习题，而是具有一定综合性的实际 问题，对其建立数学模型有一定难度．对问题中的一些具体背景材料 （如某些体育知识），学生可能尚不熟悉，这也会影响对问题的分 析．为此，教科书作了适当的注释．为引导学生正确讨论不等关系， 培养灵活分析问题的能力，加强实践与综合运用的意识，教科书对于 课题学习中的三个问题（射击、足球和篮球比赛），在难度上是由浅 入深地安排的，在每个问题的展开上，也设计了逐步深入的问题串， 体现了为探究式学习方式服务的设计意图．
（五）关注基础知识和基本技能
本章内容包括一元一次不等式（组）的概念、 解法和应用．一元一次不等式是最基本的代数不 等式，对它的理解和掌握对于后续学习（其他的 不等式以及函数等）具有重要的基础作用．因此， 教学和学习中应注意打好基础，对本章中的基础 知识和基本技能、能力等进行及时的归纳整理， 安排必要的、适量的练习，使得学生对基础知识 留下较深刻的印象，对基本技能达到一定的掌握 程度，发展基本能力．
全章共包括四节
9.1 不等式 4课时 9.2 实际问题与一元一次不等式 3课时 9.3 一元一次不等式组 2课时 9.4课题学习 利用不等关系分析比赛 2课时 小结 2课时
不等式性质
方程解法
不等号的方向
一元一次 不等式 （组）
数轴
不 等 式 与 不 等 式 组
应用（选择方案问 题）
（二）突出数学建模思想，反映不等 式（组）与实际问题的联系
数学七年级下册第九章知识点
数学七年级下册第九章知识点平时数学考试会发现，马虎精彩导致算错，所以要想提高数学成绩，一定要注意细节。
在考试的过程做到不该丢的不能丢，分分计较。
下面是我整理的数学七年级下册第九章知识点，仅供参考希望能够帮助到大家。
数学七年级下册第九章知识点解不等式组的步骤1.分别将不等式组中的各不等式设上①②③....2.分别解出不等式格式为：解①得....解②得...(可以在数轴上分别表示出来)3.将原来的解联立起来形成解集4.若无解，则写上：此不等式组无解注意事项1.符号：不等式两边都乘以或除以一个负数，要改变不等号的方向。
2.确定解集：比两个值都大，就比大的还大;比两个值都小，就比小的还小;比大的大，比小的小，无解;比小的大，比大的小，有解在中间。
三个或三个以上不等式组成的不等式组，可以类推。
3.另外，也可以在数轴上确定解集：把每个不等式的解集在数轴上表示出来，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集。
有几个就要几个。
带=号的，数轴上的点是实心的，反之，就是空心的。
初中提高数学成绩诀窍方法善于发现数学规律要想提高数学成绩，在做数学题的过程中要善于发现规律。
不要总是硬套公式，可以尝试一下思维的转换，这样可能给自己带了不一样的转机，其实数学和其他的科目是一样，就比如语文一样的话，可以用其他的话代替，但是意思并没有转变，数学的公式也是一样，最终的答案是一个，不过你可以用其他的方法进行解答，所以善于发现数学的解题规律，转变思路也是提高数学成绩的一条有效途径。
高水平复习很重要要想提高数学成绩，在考试前一定要有高水平高效率的复习。
一道题，刚开始你不熟悉，那么，你需要做十遍甚至更多遍，把整个题目做到滚瓜烂熟。
这个时候，如果你还在不断地重复做这道题，那么就是低水平重复，高手们会当这道题熟悉了，他就开始放弃了，把大把时间拿来，去攻克自己不熟悉的题目，不断地把陌生转化为熟悉。
初一奥数 第九讲 代数式的概念
第十节 从1，2，3，4到a,b,c,d——代数式的概念【知识要点】1、代数式的意义用基本的运算符号（这里的运算符号是指加、减、乘、除、乘方、开方） 把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式．单独的一个字母或一 个数，也叫做代数式．2、怎样正确书写代数式书写代数式时，应注意以下几个方面：（1）字母与字母相乘时，乘号可以省略或写成“·”，字母之间的顺序可 以交换，但一般按字母表中的先后顺序写．（2）数字与字母相乘时，乘号省略，但应把数字写在字母前面，例如ab 5， 不要写成5ab ；若是分数与字母相乘时，一定要把带分数化成假分数，例如mn 35，不要写成mn 321．（3）数字与数字相乘时，乘号不能省略；若是相同字母相乘，可以写成 幂的形式．（4）两个代数式相除时，应写成分数形式，例如mn，不要写成m n ．3、算术与代数的联系与差别用字母表示数是代数的一个重要特点，用字母表示数具有简明、普遍的优越 性，从具体的数过渡 到用字母表示数，体现了从特殊到一般的数学思想．姓名： 日期：【典型例题】例1 一个生产车间共生产a个零件，原计划每天生产b个零件；如果每天多生产5个零件，可以提前几天完成？例2 学校锅炉房存了m天用的煤a吨，要使储存的煤比预定的时间多用n天，那么平均每天应当节约煤多少吨？例3 一辆快车与一辆慢车分别从甲、乙两地同时开出，它们相向而行．快车经过a小时到达乙地，慢车经过b小时到达甲地．已知平均每小时快车比慢车多行驶m千米，开出后多少时间两车相遇？例4 将m 克盐溶入n 克水中，现取这种盐水a 克，其中含盐多少克？例5 一个游泳池有甲、乙两根进水管和一根排水管丙．单独打开甲管进水，需m 小时将池注满水；单独打开乙管进水，需n 小时交池注满水；只打开丙管排水，3小时便可将水放完．如果将甲、乙两管同时打开4小时后，又将丙管打开2小时（进水管未关），试写出这时池中所蓄水量的代数式（m 、n 均大于8，且小于18）例6 容器A 中盛有浓度为a %的农药液m 升，容器B 中盛有浓度为b%的同类农药溶液m 升（b a ）．现将A 中药液的41倒入B 中，混合均匀后再由B 倒回A ，使A 中的药液恢复为m 升，互掺后A 、B 两溶液中的药量差比互掺前A 、B 两溶液中的药量差减少了多少升？例7 两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶子中酒精的容积和水的容积之比是1:p，另一个瓶子是1:q．如果这两瓶的全部溶液混合在一起，在这混合液中酒精的容积与水的容积之比是多少？例8 一个梯形的下底是上底的2倍，高比上底大5m．试用含一个字母的代数式来表示这个梯形的面积例9 如图，在长方形ABCD中，M是DC边的中点，DN 是以A为圆心的一段弧，NK是以B为圆心的一段弧，AN=a，NB=b．图中的阴影部分的面积是多少？M【经典练习】1、一辆汽车开动后，先用了20分行驶了a千米，后来以每小时b千米的速度又行驶了45分才到达目的地．求这辆汽车的平均速度．2、a与b是相邻的两个自然数，则a与b的最大公约数与最小公倍数之差的平方等于多少？3、A、B两地相距S千米，甲、乙的速度分别是a千a ）．甲、乙都从A到B去开米/时，b千米/时（b会，如果甲比乙先出发1小时，那么乙比甲晚到B 地多少小时？4、甲、乙两车分别用1V 千米/时．2V 千米/时（21V V >）的速度从相距S 千米的两地同向而行．如果甲先行2小时，甲开出几小时后追上乙？5、如图，半径OA=OB=r ，∠AOB=︒90，点M 在OB 上，OM=2MB ．阴影部分的面积是多少（用r 表示）？6、如图，P 是正方形ABCD 内的一点，三角形APD 的面积是a 平方厘米，三角形PBC 的面积是b 平方厘米．求正方形ABCD 的面积．AMDCNB p 2h 1h A7、含盐25%的盐水a千克，蒸发后，当盐水变为含盐35%的盐水时重量是多少8、轮船在静水中的速度是每小时a千米，水流速度为每小时b千米(b<a)，甲乙两码头间相距S千米，则轮船在甲乙两码头间往返一趟的平均速度为每小时千米。
初一下册奥数知识点总结
初一下册奥数知识点总结一、数学基础知识1.1、整数在初一下册奥数中，整数是一个基础而重要的概念。
学生需要掌握整数的基本性质，包括正整数、负整数、零以及它们的运算规律。
此外，还需要掌握整数的大小比较和绝对值的概念。
1.2、分数分数是初一下册奥数中的另一个基础知识点。
学生需要了解分数的概念、分子和分母的意义以及分数的运算法则，包括加减乘除。
1.3、小数小数也是初一下册奥数中的重要知识点之一。
学生需要熟练掌握小数的读法、写法和运算规则，包括小数的加减乘除和大于、小于、等于的比较。
1.4、比例比例是初一下册奥数需要学生了解的重要知识点。
学生需要了解比例的概念，掌握比例的性质和应用。
1.5、百分数百分数是初一下册奥数中的另一个重要知识点。
学生需要了解百分数的概念、性质及其运算法则，包括百分数的转化、加减乘除和应用。
1.6、代数代数是初一下册奥数中的重要知识点之一。
学生需要了解代数的基本概念、代数式、方程和不等式的性质，掌握代数式的运算法则和应用。
1.7、几何几何是初一下册奥数中的重要知识点之一。
学生需要了解几何的基本概念、图形的性质、平行线和相交线、角的度量和性质，掌握几何图形的运算法则和应用。
1.8、统计与概率统计与概率是初一下册奥数中的另一个重要知识点。
学生需要了解统计与概率的基本概念、频率分布表和统计图、概率的概念及其运算法则，掌握统计与概率的应用。
二、奥数解题方法2.1、整数的运算方法在初一下册奥数中，整数的运算方法是学生需要掌握的重要解题技巧之一。
学生需要了解整数的加减乘除的运算法则，掌握整数的绝对值和大小比较的技巧。
2.2、分数的运算方法分数的运算方法是初一下册奥数中的另一个重要解题技巧。
学生需要熟练掌握分数的加减乘除的运算法则，掌握分数的化简和比较大小的方法。
2.3、小数的运算方法小数的运算方法是初一下册奥数中的重要解题技巧之一。
学生需要了解小数的加减乘除的运算法则，掌握小数的化简和比较大小的技巧。
人教版初中数学七年级下册第九章课件
活动3：解下列不等式组， 并利用数轴确定其解集．
①
２．
②
Hale Waihona Puke 活动3：解下列不等式组， 并利用数轴确定其解集．
解： 解不等式① ，得x≤1． 解不等式② ，得x＜4． 在同一条数轴上表示不等式①、 ②的解集是：
所以，原不等式组的解集为x≤1．
活动3：解下列不等式组， 并利用数轴确定其解集．
①
②
活动3：解下列不等式组， 并利用数轴确定其解集．
解： 解不等式① ，得x＜－2． 解不等式② ，得x＞0． 在同一条数轴上表示不等式①、② 的解集是：
所以，原不等式组无解．
活动4
3个小组计划在10天内生产500件产 品（每天生产量相同），按原先的生产 速度，不能完成任务；如果每个小组每 天比原先多生产1件产品，就能提前完 成任务．每个小组原先每天生产多少件 产品？
活动4
〔解答〕设每个小组原来每天生产x 件产品，则有
310x 500 310(x1) 500
15 2 x 16 2
3
3
又x为整数，所以x＝16，即每个小
组原来每天生产16件产品．
谢谢聆听
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归纳：
（1）一般地，几个不等式的解集的 公共部分，就是这个不等式组的解集．
（2）求不等式组的解集的过程，就 是解不等式组．
活动3：解下列不等式组， 并利用数轴确定其解集．
① ②
活动3：解下列不等式组， 并利用数轴确定其解集．
解： 解不等式① ，得x＞2． 解不等式② ，得x＞3． 在同一条数轴上表示不等式 ①、② 的解集是：
人教版初中数学 七年级下册第九 章课件
七年级数学下册第9章不等式与不等式组9.1不等式9.1.1不等式及其解集课件新版新人教版
二、探究新知 (二)不等式的解、不等式的解集 问题3：我们曾经学过“使方程两边相等的未 知数的值就是方程的解”，我们也可以把使不等 式成立的未知数的值叫做不等式的解.刚才所说的 2 这些数，哪些是不等式 x＞ 50 的解？ 3
二、探究新知 (二)不等式的解、不等式的解集
2 问题4：以下各数中哪些是不等式 x＞50 的解？ 3
（5）比较解这个不等式与解方程 x 365 60% 70% 365 的步骤，两者有什么不同吗？
比去年至少要增加多少？ （3）与x有关的哪个式子的值应超过70%？这个式 子表示什么？
x 365 60% 70% 365
三、思考解决
例1 去年某市空气质量良好(二级以上)的天数与
全年天数(365)之比达到60%，若到明年(365天)这样
的比值要超过70%，那么，明年空气质量良好的天数
比去年至少要增加多少？ x 365 60% （4）怎样解不等式 70%? 365 去分母，得 x＋219＞255.5. 移项，合并同类项，得 x＞36.5. x应为正整数，得 x≥37.
二、探究新知 (一)不等式的概念
3.说说生活中的不等关系.
二、探究新00以前驶过A地， 你认为车速应该为多少呢？ x＞75 问题2：车速可以是每小时85千米吗？每小 √ 时82千米呢？每小时75.1千米呢？每小时74千 × √ √ 米呢？
四、小结与作业
小结：
1.不等式的概念. 2.不等式的解与不等式的解集. 3.不等式的解集在数轴上的表示．
四、小结与作业 作业： 1.必做题：习题9.1第1，2题． 2.选做题：习题9.1第3题．
第9章 不等式与不等式组
9.2 一元一次不等式
第2课时 列一元一次不等式解应用题
奥数第九讲作业
7.解析：把每个展室看作一个点，整个展厅的外部也看作一个点，两室之间有门相通，可以 看作两点之间有线相连．这样，展厅的平面图就转化成 b 图，一个实际问题也就转 化为这个图能否一笔画成的问题了，即能否从 A 出发，一笔画完此图，最后再回到 A ．图( b )中，所有的点都是偶点，因此，一定可以以 A 作为起点和终点而一笔画 完此图． 即游人可以从入口进， 一次不重复地穿过所有的门， 最后从出口出来． 下 面仅给出一种参观路线： A E B C E F C D F A ．
9.下图为某邮递员负责的邮区街道图，图中交叉点为邮户，每个小长方形的长为 180 米、宽 为 150 米． 如果邮递员每分钟行 200 米， 在每个邮户停留半分钟， 从邮局出发走遍所有邮户， 再回到邮局，最少要用 分钟．
150 邮局 180
兰海&姜付加&言言 |
3
四．杯赛演练：
10. “春蕾杯”小学数学邀请赛决赛 下面的图形，要求画过的线段不能重复画，那么这个图形最少 笔才能画出．
50m 60m 70m 300m 100m 图1 400m
A
兰海&姜付加&言言 |
6
11.(中国台湾小学数学竞赛选拔赛复赛) 有一个城市的街道图是由一些矩形所构成，如下图．一位警察要从 A 点出发巡逻，行经每一 条路段至少一次后回到 A 点．请问他至少要行走多少米？50m 60m 70m 30m 100m 第12题 400m
A
兰海&姜付加&言言 |
4
答案： 1.解析：第一个图形可以一笔画，第二个图形有 4 个奇点不可以一笔画。 2.解析：⑴、⑷可以，⑵、⑶不可以；其实我们不必把所有奇点都找出来，只要发现图中的 奇点多于 2 个就不能一笔画成了． 3.解析：⑴ 图中有四个点是奇点，所以不能一笔画成，要想使这个图形一笔画成，就要添 加一笔，使这个图形的奇点变成两个．如下图： （答案不唯一）
七年级奥数必练知识点下册
七年级奥数必练知识点下册奥数是许多学生都喜欢的一门学科，除了作为一种娱乐活动之外，奥数也可以培养学生的逻辑思维和创造力。
特别是针对七年级的学生来说，奥数也是一门必修课程之一。
因此，我们特别准备了下册的奥数必练知识点，希望能够帮助学生们更好地掌握这门学科。
第一章：代数基础代数基础是奥数的基础，也是所有奥数问题的解决之道。
在这一章中，学生需要掌握以下几个知识点：1. 多项式的定义和加减运算。
在这个知识点中，学生需要先了解多项式的概念，然后可以运用加减法的方式来简化多项式的表达式。
2. 乘法公式乘法公式常常用于简化多项式的表达式，学生需要理解乘法公式的运用和原理。
3. 因式分解因式分解常常用于简化多项式的表达式，学生需要理解因式分解的基本原理，掌握各种不同类型的因式分解方法。
第二章：方程与不等式在这一章中，学生需要掌握以下几个知识点：1. 一次方程与二次方程的解法。
一次方程与二次方程的解法是方程的基础知识，学生需要理解方程的基本原理，掌握运用公式和算法来解决方程的方法。
2. 不等式的定义和解法。
不等式的定义和解法是不等式的基础知识，学生需要掌握解决一元不等式、二元不等式和一组不等式的方法。
第三章：几何基础在这一章中，学生需要掌握以下几个知识点：1. 向量向量是几何基础的重要概念，学生需要了解向量的定义、起点和终点，熟练掌握向量的加、减、数乘等运算法则。
2. 圆、圆心角、正多边形等基本概念熟练掌握圆、圆心角、正多边形等基本概念是解决很多几何问题的基础，学生需要理解这些概念的定义和基本运算法则。
第四章：三角函数在这一章中，学生需要掌握以下几个知识点：1. 基本概念和基本公式学生需要了解三角函数的定义和基本公式，掌握正弦、余弦、正切等三角函数的运用方法。
2. 弧度制和角度制的转换学生需要了解弧度制和角度制的基本知识，掌握两种制度之间的转换方法。
3. 三角函数的图像学生需要掌握三角函数图像的绘制方法和基本特征，在解决各种三角函数问题时，需要运用图像特征和运算法则。
【最新】人教版数学七年级下册第九章《911不等式及其解集》精品课件.ppt
＞50,这时78就是
2x 3
＞50的解。这个不等式还有其他的解吗？
不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式 的解。
不等式的解集：一个不等式的所有解，组成这个不等式的 解的集合，简称为这个不等式的解集。
你能说说不等式的解与解集 之间的关系吗？
不等式的解集包括不等式全体的解， 解集中的任何一个数都是不等式的解.
练习
1.用 不等号 连接的式子叫做不等式。
2.含有 一 个未知数，未知数的次数是１次 的不等
式叫做一元一次不等式.
3.用不等式表示下列关系：
⑴a与1的和是正数ａ＋１＞０；
⑵y的2倍与1的和大于3 ２y＋１＞３ ；
⑶x的一半与x的2a与b两数的和不小于3 ａ＋ｂ≥３ ；
例题讲解
【例3】在数轴上表示下列不等式的解集 (1) x>-1; (2) x≥-1; (3) x<-1; (4) x≤-1
【解析】按画数轴,定界点,走方向的步骤答 【答案】如图：
试一试:
写出下列数轴所表示的不等式的解
集:
○
-3 0
●
02
⑴
⑵
X > -3
X≥2
○
-3 0 ⑶
X < -3
●
0a ⑷
X ≤a
；⑵2x<8的解集 ；⑷0.5x≤5的解集
； .
2.下列各数中，哪些是不等式ｘ＋３<６的解？哪些是不等式 3x>12的解？ －５，－４，－２，０，１，5.4，１０，１５.
3.数值－2，－1.5,-1,0,1.5,2中,能使不等式ｘ＋３>２成立 的数有( ). A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
课堂小结
【七年级奥数】第9讲 线段（例题练习）
第9讲线段——例题一、解答题1.已知O是△ABC中任意一点(如图)．求证：【答案】证明：在△OAB中，OA+OB>AB．在△OAC中，OA+OC>AC．在△OBC中，OB +OC>BC．三式相加，得2(OA+OB+OC)>AB+AC+BC，即(AB+AC+BC)<OA+OB+OC．【解析】【分析】根据三角形三边的关系：在△OAB中，OA+OB>AB，在△OAC中，OA+OC>AC，在△OBC中，OB +OC>BC，根据不等式的性质，把三个不等式相加即可得出答案。
2.在△ABC中，D是BC中点，证明AB+AC>2AD．【答案】解:如图，将△ABD拼到直线DC的下方，使D与D重合，B与C重合(由于BD=DC，这是可以做到的)．由于∠EDC=∠ADB，∠EDC+∠ADC=∠ADB+∠ADC=180°，所以A、D、E三点在一条直线上，AE=AD+DE=2AD．在△AEC中，AC+EC>AE．因为EC=AB，所以上式即①．【解析】【分析】将△ABD拼到直线DC的下方，使D与D重合，B与C重合，首先根据平角的定义判断出A、D、E三点在一条直线上，然后根据线段的和差得出AE=AD+DE=2AD．最后根据三角形三边的关系即可得出结论。
3.如图，图中A、B、C、D四点是某厂的四个生产车间，现在要厂里建一个仓库，使仓库到A、B、c、D四个生产车间的距离的和最小．问仓库应建在何处?【答案】解：如图，仓库应建在对角线AD与BC的交点P处．下面证明PA+PB+PC+PD是最小的．设点P′ 异于P点，要证明，PA+PB+PC+PD< P′A+ P′B+ P′C+ P′D，在△ P′ BC中，BC< P′C+ P′B，即PB+PC< P′C+P′B．在△ P′AD中，AD< P′A+ P′D，即PA+PD< P′A+ P′D．相加得，PA+PB+PC+PD< P′ A+ P′B+ P′C+ P′D．所以P点是所求的点．【解析】【分析】仓库应建在对角线AD与BC的交点P处．证明PA+PB+PC+PD是最小，设点P ′ 异于P点，此题实质就是证明PA+PB+PC+PD< P′A+P′ B+ P′C+ P′D，,根据三角形三边的关系可以得出BC< P′C+ P′B，AD< P′A+ P′D，即PB+PC< P′C+ P′B．PA+PD< P′A+ P′D，两式相加即可得出答案。
【七年级奥数】第9讲 线段（例题练习）
第9讲线段——练习题一、解答题1.如图，P为△ABC中任意一点．延长AP、BP、CP分别交BC、AC、AB于D、E、F．求证：AD+BE+CF> (AB+BC+CA)．2.如图，P为△ABC中任意一点．证明：AB+BC+CA>PA+PB+PC．3.如图，A点是牧马营地．每天牧马人都要从营地出发，赶着马群先到河边饮水，再到草地吃草，然后回到营地．问：怎样的放牧路线，路程最短?4.如图，在A、B两个营地之间有一条河(假定河岸是平行的直线)．如何在河上架一座与河岸垂直的桥，并从A、B分别修路到桥，使得路的总长最短?5.如图，已知K，M，N，H是线段AB的五等分点．（1）写出图中所有两个端点标了字母的线段．（2）点M是哪些线段的中点?（3）点N是哪些线段的一个三等分点?6.如图，点A，B，C，D，E在一直线上，AB=CD，E为CB的中点，那么点E是否也为AD的中点，为什么?7.如图，点C，D，E是线段AB的四等分点，点F，G,是线段AB的三等分点．AB=12cm．求线段CF+DF+EF的长．8.如图，已知线段AB=14．在AB上有C、D、M、N四点，满足AC：CD：DB=1：2：4，AM= AC，DN= DB．求MN的长度．9.如图，已知线段AB=CD，CB= AB，E、F分别是线段AB，CD的中点，且EF=12厘米．求AB 的长．10.如图，B，C是线段AD上任意两点，B在A，C之间．M、N分别是AB，CD的中点．已知AD=a，MN=b．求BC．11.已知P、Q为线段AB上的两点，AB=26 cm，AP=14 cm，PQ=13 cm．求BQ．12.已知A，B，C三点在同一条直线上，AB=16．D是BC中点，并且AD=12，求BC。
答案解析部分一、解答题1.【答案】证明：∵在△APF中，AP+PF＞AF，在△BPF中，PF+BP＞BF，在△BPD中，BP+PD＞BD，在△CPD中，PD+PC＞CD，在△CPE中，PC+PE＞CE，在△APE中，PE+AP＞AE，∴AP+PF+PF+BP+BP+PD+PD+PC+PC+PE+PE+AP＞AF+BF+BD+CD+CE+AE，2AP+2PF+2BP+2PD+2PC+2PE＞AB+BC+CA，2（AD+BE+CF）＞AB+BC+CA，∴AD+BE+CF＞（AB+BC+CA）.【解析】【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，再将所有式子相加、计算即可得证.2.【答案】证明：延长BP交AC于D，∵在△ABD中，AB+AD＞BP+PD，在△CPD中，PD+CD＞PC，∴AB+AD+PD+CD＞BP+PD+PC，即AB+AC＞BP+PC，∵在△CBD中，CB+CD＞BP+PD，在△APD中，PD+AD＞PA，∴CB+CD+PD+AD＞BP+PD+PA，即CB+AC＞BP+PA，同理可得：AB+BC＞CP+PA，∴AB+AC+CB+AC+AB+BC＞BP+PC+BP+PA+CP+PA，2AB+2AC+2BC＞2AP+2BP+2CP，∴AB+AC+BC＞AP+BP+CP.【解析】【分析】延长BP交AC于D，在△ABD和△CPD中，根据三角形三边之间的关系可推出AB+AC＞BP+PC，同理可得CB+AC＞BP+PA，AB+BC＞CP+PA，相加即可得证.3.【答案】解：如图：最短路线为：A—B—C—A.【解析】【分析】分别作点A关于河边和草地的对称点A1，A2，连结A1A2交河和草地于点B、C，即可得最短路线A—B—C—A.4.【答案】解：如图：过点B作BP⊥EF且使BP等于河宽，连结AP交CD于点M，作MN∥BP，最短路线即是AP，理由：两点之间线段最短.【解析】【分析】如图：使四边形BNMP是平行四边形，即BP⊥河岸且使BP等于河宽，连结AP 即可.5.【答案】（1）解：图中所有两个端点标了字母的线段如下：AK，AM，AN，AH，AB，KM，KN，KH，KB，MN，MH，MB，NH，NB，HB.（2）解：点M是线段FN，AH的中点.（3）解：点N是线段MB，KH的一个三等分点.【解析】【分析】（1）根据线段的定义和表示方法即可写出.（2）根据线段中点定义和性质即可得出答案.（3）根据线段三等分点定义即可得出答案.6.【答案】解：E是线段AD中点，理由如下：∵AB=CD，∴AC+CB=CB+BD，∴AC=BD，又∵E为CB中点，∴CE=BE，∴AC+CE=BD+BE，即AE=DE，∴E是线段AD中点.【解析】【分析】E是线段AD中点，理由如下：根据AB=CD得出AC=BD①，再由E为CB中点得CE=BE②，两式相加即可得E是线段AD中点.7.【答案】解：∵AB=12cm，点C，D，E是线段AB的四等分点，∴AC=CD=DE=EB=3cm，又∵AB=12cm，点F，G,是线段AB的三等分点，∴AF=FG=GB=4cm，∴CF=AF-AC=4-3=1cm，∴DF=CD-CF=3-1=2cm，∴CF+DF+EF=CE+DF=CD+DE+DF=3+3+2=8cm.【解析】【分析】根据线段三等分点和四等分点得出AF=FG=GB=4cm，AC=CD=DE=EB=3cm，从而求出CF，DF，计算即可.8.【答案】解：∵AC：CD：DB=1：2：4，AB=14，∴AC=2，CD=4，DB=8，又∵AM= AC，DN=DB，∴AM=CM=1，DN=2，∴MN=MC+CD+DN，=1+4+2，=7.【解析】【分析】根据题意可求得AC=2，CD=4，DB=8，从而可得CM=1，DN=2，再由MN=MC+CD+DN，代入数值计算即可.9.【答案】解：∵AB=CD，E、F分别是线段AB，CD的中点，∴AE=BE=CF=DF=AB，又∵EF=EB+BF，BC=AB，EF=12∴12=EB+BF+BC-BC，12=AB+CF-BC，12=AB+AB-AB，12=AB，∴AB=15厘米.【解析】【分析】根据AB=CD，E、F分别是中点可得BE=CF=AB，再由EF=EB+BF=12，BC=AB 代入计算即可求出AB.10.【答案】解：∵M、N分别是AB，CD的中点，∴BM=AB，CN=CD，又∵MN=MB+BC+CN=b，∴MN=AB+BC+CD=b，即AB+CD=2b-2BC，又∵AD=AB+BC+CD=a，∴BC+2b-2BC=a，∴BC=2b-a.【解析】【分析】根据M、N分别是中点得BM=AB，CN=CD，再由MN=MB+BC+CN=b，AD=AB+BC+CD=a，联立计算即可求得答案.11.【答案】解：如图：∵AB=26 cm，AP=14 cm，∴PB=AB-AP=26-14=12 cm，又∵PQ=13 cm，∴BQ=BP+PQ=12+13=25cm.【解析】【分析】根据题意可求得PB长，再由BQ=BP+PQ，代入数值计算即可.12.【答案】解：①如图：∵AB=16，AD=12，∴BD=AB-AD=16-12=4，又∵D是BC中点，∴BC=2BD=2×4=8，②如图：∵AB=16，AD=12，∴BD=AB+AD=16+12=28，又∵D是BC中点，∴BC=2BD=2×28=56.∴BC长为8或者56.【解析】【分析】分情况画出图形，根据AB，AD长求得BD长，再由D是BC中点，得BC=2BD，代入计算即可.。
第9讲：变倍问题
第8讲变倍问题专题简介1、所谓“变倍问题”，是指两个数量之间的倍数关系，随着一个或者两个数量的增加或者减少而发生改变的一类应用题。
解答“变倍问题”一般要用到这样一个规律：甲数是乙数的n倍，如果乙数增加或者减少ｍ,那么甲数就要增加或者减少mn，才能使甲数仍是乙数的n倍。
2、变倍问题牢固树立抓“不变量”的思想，变倍问题中的不变量，一般有三类，如下：①“甲是乙的2倍，甲是丙的3倍”——不变量是甲②“甲是乙的3倍，甲给乙2，甲变成乙的2倍”——不变量是甲、乙之和（给来给去和不变）③“甲是乙的3倍，甲、乙都减少2，甲变成乙的4倍”——不变量是甲、乙之差（同增同减差不变）3、解题方法：图像法、假设法例题精讲一、图像法例1、有甲、乙二人，今年甲的年龄是乙的5倍。
22年后，甲的年龄比乙的年龄的2倍少16岁。
今年甲、乙二人各多少岁？分析：根据题意画出如右的线段图：如果乙今年的年龄是一倍量，那么乙在22年后的年龄就是一倍量多22岁，甲22年后的年龄就是5倍量多22岁。
甲的年龄比乙的年龄的2倍少16岁，我们画出乙的2倍：同样，再去掉两个人的相同部分：这时，甲剩下3倍量，乙剩下6岁，由此可得，一倍量为6÷3=2岁。
所以，乙今年的年龄为2岁，甲今年的年龄就是2×5=10岁。
【练习一】1、7年前张老师的年龄是王英的21倍，11年后张老师的年龄是王英的3倍，问今年张老师和王英各多少岁？分析：用画线段的方法来解答比较直观。
先画出7年前的情况：7年前到11年后，一共经过了7＋11＝18（年），这18年中王英增长了18岁，张老师的年龄也增长了18岁。
在上图的基础上添加画出11年后的情况：11年后张老师的年龄是王英的3倍，即王英的3倍长应该和张老师的一样长。
因此，我们将代表王英年龄的线段再画出2个一样的，并使得它和代表张老师年龄的线段对齐。
然后将两人相同部分同时去掉，这时我们可以看到，王英还剩下2个18岁长的线段，张老师还剩下21－3=18倍线段。
初中数学七年级(初一)下册第 9 讲
七年级数学·第 九 讲1.选择题（1）如图1，已知AB ＝DB ，BC ＝BE ，欲证△ABE ≌△DBE ，则需增加条件（ ） （A ）∠A ＝∠D （B ）∠E ＝∠C （C ）∠A ＝∠C （D ）∠1＝∠2 ①有两边和一角对应相等的两个三角形全等。
②有两角和一边对应相等的两个三角形全等。
③腰和顶角对应相等的两个等腰三角形全等。
④有两角和两边分别相等的两个三角形全等。
（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个（3）如图，已知OA ＝OB ，OC ＝OD ，AD 与BC 交于点E ，则全等三角形的对数是（ ）（A ）5 （B ）4 （C ）3 D ）22.如图，已知∠BAC ＝∠DAE ，∠ABD ＝∠ACE ，BD ＝CE . 求证：AB ＝AC ，AD ＝AE .3.如图，已知AD ＝BC ，AB ＝DC .求证：∠A ＋∠D ＝180°.4.如图，已知AB ∥DE ，AC ∥DF ，BE ＝CF .求证：AB ＝DE ，AC ＝DF .5.如图，AB ⊥AC ，AD ⊥AE ，且AB ＝AC ，AD ＝AE ，CD 分别交AB 、BE 于点G ，F 。
求证：（1）∠A ＝∠C ；（2）BE ⊥CD 。
D EAC图121B ABCDEABCDABCEFDC AEBDFG图17CEA DB 21CD ABEO图14图15ABCE F D图216.如图，在△ABC 和△DBC 中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，P 是BC 上任意一点.求证：PA ＝PD .7.如图，△ABC过B 点作BD ⊥BC 交8.如图、已知AC ＝BC 求证：EF ＝BF －AE 。
9、在第8题中，已知F ，此时，EF ＝BF －AEABC P1 23 4参考答案：1、选择题（1）D （2）B （3）C2、提示：要证AB ＝AC ，AD ＝AE ，须证△ABD ≌△ACE ，已具备∠B ＝∠C ，BD ＝CE ，再利用等式相加减的性质，将∠BAC ＝∠DAE 转化为∠BAD ＝∠CAE ，不难证得△ABD ≌△ACE .3、提示：要证∠A ＋∠D ＝180°，可设法证明AB ∥CD ，而要证两直线平行，可寻求由AB 与CD 构成的内错角相等，尚缺第三条直线，故考虑连结AC ，证明△ABC ≌△CDA4、提示：要证AB ＝DE ，AC ＝DF ，只需证明△ABC ≌△DEF5、提示：运用SAS 判别法证得△CAD△△EAB 后，得△B ＝△C ，再由△AGC ＝△BGF 知，△GFB ＝△CAG ＝90°，所以BE△CD 。
初一下学期数学第九章的知识点归纳
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9.1 平行四边形的性质
1.平行四边形
2.平行四边形的性质,等腰梯形的性质与判定
9.2 平行四边形的判定
1.定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形
2.平行四边形的性质
(1)平行四边形的对边平行且相等;
(2)平行四边形的邻角互补，对角相等;
(3)平行四边形的'对角线互相平分;
9.3 菱形
菱形的判定定理：
1.一组邻边相等的平行四边形是菱形(rhombus)。
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
9.4 矩形正方形
矩形的性质：
①矩形的四个角都是直角.
②矩形的对角线相等.
③矩形具有平行四边形的所有性质.
9.5 梯形
一、梯形的定义、性质及判定：
1.定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形.两腰相等的梯形叫做等腰梯形;有一个角是直角的梯形叫做直角梯形.
9.6 多边形的内角和与外角和
【n 边形内角和公式】
n 边形内角和等于 (n-2)×180°.
【n 边形外角和定理】
n 边形的外角和等于360°.
9.7 平面图形的密铺
1.用形状、大小完全相同的三角形可以密铺.因为三角形的内角和为180°，所以，用6个这样的三角形就可以组合起来镶嵌成一个平面.
9.8 中心对称的图形
圆
1、定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合
2、点与圆的位置关系：
如果⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么
点P在圆内，则dr;
点P在圆上，则dr;
点P在圆外，则dr;反之亦成立。
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第九讲 平行线的性质与判定
一、知识点拨
1． 平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：相交和平行。
2． 两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交。
即，两条直线相交有且只有一个交点。
3． 垂直是相交的特殊情况。
有关两直线垂直，有两个重要的结论：
（1） 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （2） 直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。
4． 在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。
平行线中要理解平行公理，能熟练地找出“三线八角”
图形中的同位角、内错角、同旁内角，并会运用与“三线八角”有关的平行线的判定定理和性质定理。
5． 利用平行公理及其推论证明或求解。
二、典例选讲
例1．如图，直线a 与b 平行，∠1＝(3x+70)°,∠2=(5x+22)°,求∠3的度数。
例2．已知：如图8-2， AB ∥EF ∥CD ，EG 平分∠BEF ，∠B+∠BED+∠D =192°，∠B-∠D=24°，求∠GEF 的度数。
备注：
（1）从上题中可得到B ∠，D ∠与BED ∠具有什么样的关系： （2）若有图形8-3，则∠A 1+∠A 2+∠A3=∠B 1+∠B 2是否成立？
a
G
图8-2 图8-3
例3．如图8-4，已知AB ∥CD ，且∠B=40°，∠D=70°，求∠DEB 的度数。
例4．已知锐角三角形ABC 的三边长为a ，b ，c ，而h a ，h b ，h c 分别为对应边上的高线长，
求证：h a +h b +h c ＜a+b+c
例5．如图（8-5），直线AB 与CD 相交于O ，EF ⊥AB 于F ，GH ⊥CD 于H ， 求证EF 与GH 必相交。
图8-5
例6．如图,AB ∥ED,α=∠A+∠E, β=∠B+∠C+∠D.
证明: β=2α.
b
a c h
a
A F 图8-4 D E C
B A
例7．如图（8-7）,把ABC 纸片沿DE 折叠,当点A 落在四边形BCDE 内部时,则∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找一找这个规律，你发现的规律是___________________.
例8、两条直线相交于一点有 对对顶角；三条直线相交有 对对顶角；四条直线相交 有 对对顶角……；n 条直线相交有 对对顶角，试说明理由。
（没有三条直线相 交于一点）。
例9、如图所示，已知AB ∥CD ，分别探索下列四个图形中∠P 与∠A ，∠C 的关系，请你从所得的四个关系中任选一个加以说明．
B D E
【家庭作业】
1、两条平行线被第三条直线所截得到的角中，角平分线互相垂直的是（ ）． Ａ．同旁内角 Ｂ．内错角 Ｃ．同位角 Ｄ．内错角或同位角
2、互为邻补角的两个角的平分线所成的角度为______________．
3、如图： 已知a ∥b, ∠1, ∠2 互补, ∠3=1150 ,求∠4 的度数
4、如图 : 已知 a ∥b ， ∠1=(3x+70)0 ， ∠2=(5x+22)0 ，求∠1 的补角的度数 。
5、已知：BE//CF ，∠1=∠2，求证：AB//CD
2
1
b
a
2
1
D
F
C
E
B
A
4
3
2
1
b
a。