算法与程序实践2(递归1)

《算法与程序实践2》习题解答8——递归1让我们来看看计算n的阶乘的计算机程序的写法。

在数学上，求n的阶乘，有两种表示方法：（1）n!=n*(n-1)*(n-2)*…*2*1（2）n!=n*(n-1)! （0！=1）这两种表示方法实际上对应到两种不同的算法思想。

在第（1）种表示方法中，求n!要反复把1、2、3、…、（n-2）、（n-1）和n累乘起来，是循环的思想，很直接地我们会用一个循环语句将n以下的数都乘起来:int n,m = 1;for(int i = 2; i <= n; i++) m *= i;printf(“%d 的阶乘是%d\n”, n, m);在第（2）种表示方法中，求n！时需要用到（n-1）！，所以可以用下面的方法来求n 的阶乘：int factorial(int n){if(n <= 0) return(-1);if(n == 1) return 1;else return n*factorial(n - 1);}上面这两种实现方式体现了两种不同的解决问题的思想方法。

第一种通过一个循环语句来计算阶乘，其前提是了解阶乘的计算过程，并用语句把这个计算过程模拟出来。

第二种解决问题的思想是不直接找到计算n的阶乘的方法，而是试图找到n的阶乘和n-1的阶乘的递推关系，通过这种递推关系把原来问题缩小成一个更小规模的同类问题，并延续这一缩小规模的过程，直到在某一规模上，问题的解是已知的。

这样一种解决问题的思想我们称为递归的思想。

递归方法的总体思想是将待求解问题的解看作输入变量x的函数f(x)，通过寻找函数g，使得f(x) = g(f(x-1))，并且已知f(0)的值，就可以通过f(0)和g求出f(x)的值。

这样一个思想也可以推广到多个输入变量x，y，z等，x-1也可以推广到x - x1，只要递归朝着出口的方向走就可以了。

用递归的方法可以求解具有递推关系的问题，此外，还可以广泛应用在搜索领域和排列组合领域。

CS801：猴子吃桃（来源：程序设计方法及在线实践指导（王衍等） P263）问题描述：猴子第1天摘下若干个桃子，当即吃了一半，还不过瘾，又多吃了一个。

第2天又将剩下的桃子吃掉一半，又多吃了一个。

以后每天早上都吃了前一天剩下的一半另加一个。

到第10天早上想再吃时，就只剩下一个桃子了。

求第1天共摘了多少个桃子。

分析：假设Ai为第i天吃完后剩下的桃子的个数，A0表示第一天共摘下的桃子，本题要求的是A0.有以下递推式子：A0=2*（A1+1） A1：第1天吃完后剩下的桃子数A1=2*（A2+1） A2：第2天吃完后剩下的桃子数……A8=2*（A9+1） A9：第9天吃完后剩下的桃子数A9=1以上递推过程可分别用非递归思想（循环结构）和递归思想实现。

用循环结构实现：如果x1、x2表示前后两天吃完剩下的桃子数，则有递推关系：x1=（x2+1）*2。

从第9天剩下1个桃子，反复递推9次，则可求第1天共摘下的桃子数。

这里包含了反复的思想，可以用循环结构来实现，代码如下：#include <stdio.h>int main(){int day,x1,x2;day=9;x2=1;while(day>0){x1=(x2+1)*2;x2=x1;day--;}printf("total= %d\n",x1);// system("pause");return 0;}用递归思想实现：前面所述的递推关系也可以采用下面的方式描述。

假设第n天吃完后剩下的桃子数为A（n），第n+1天吃完后剩下的桃子数为A（n+1），则存在的递推关系：A(n)=(A(n+1)+1)*2。

这种递推关系可以用递归函数实现，代码如下：#include <stdio.h>int A(int n){if(n>=9) return 1;else return (2*(A(n+1)+1));}int main(){printf("total= %d\n",A(0));// system("pause");return 0;}CS802：最大公约数（来源：程序设计方法及在线实践指导（王衍等） P265）问题描述：输入两个正整数，求其最大公约数。

数论中有一个求最大公约数的算法称为辗转相除法，又称欧几里德算法。

其基本思想及执行过程为（设m为两正整数中较大者，n为较小者）：（1）令u=m,v=n；（2）取u对v的余数，即r=u%v，如果r的值为0，则此时v的值就是m和n的最大公约数，否则执行第（3）步；（3）u=v，v=r，即u的值为v的值，而v的值为余数r。

并转向第（2）步。

用循环结构实现，代码如下：#include<stdio.h>int gcd(int u,int v){int r;while((r=u%v)!=0){u=v;v=r;}return (v);}int main(){int m,n,t;printf("Please input two positive integers:");scanf("%d%d",&m,&n);if(m<n){t=m;m=n;n=t;}printf("The great common divisor of these two integers is %d\n",gcd(m,n));// system("pause");return 0;}用递归思想实现：int gcd(int u,int v){if(u%v==0) return v;else return gcd(v,u%v);}CS803：经典的Hanoi(汉诺塔)问题（来源：程序设计方法及在线实践指导（王衍等） P267）问题描述：有一个汉诺塔，塔有A,B,C三个柱子。

起初，A柱上有n个盘子，依次由大到小、从下往上堆放，要求将它们全部移到C柱上；在移动过程中可以利用B柱，但每次只能移到一个盘子，且必须使三个柱子上始终保持大盘在下，小盘在上的状态。

要求编程输出移动的步骤。

分析：先分析盘子数量很少的情形。

比如，当n=2时，只有2个盘子，只需要3步就可以完成整个移动操作。

A——>BA——>CB——>C又如，移动3个盘子的情况，需要7步：A——>CA——>BC——>BA——>CB——>AB——>CA——>C现在的问题是，当A柱上有n个盘子时，至少需要移动多少步？现按如下思路进行思考：将n个盘子从A柱移到C柱可以分解为以下3个步骤：（1）将A柱上n-1个盘子借助C柱先移到B柱上；（2）将A柱上剩下的1个盘子移到C柱上；（3）将B柱上的n-1个盘子借助A柱移到C柱上。

而n-1个盘子的移动又可以分解为两次n-2个盘子的移动和一次1个盘子的移动。

依次类推。

设移动n个盘子至少需要A(n)步，则存在递推式子：A(n)=2*A(n-1)+1。

这个递推式子结束条件是：当n=1时，只有一个盘子，只需一次移动即可。

因此移动n个盘子至少需要：A(n)=2n-1步。

这样我们可以描述为：将n个盘子从one柱上借助two柱子移动到three柱上。

这样，以上3个步骤可以表示为：第（1）步：将n-1个盘子从one柱子上借助three柱子移动到two柱子上；第（2）步：将one柱子上的盘子（只有一个）移动到three柱子上；第（3）步：将n-1个盘子从two柱子上借助one柱子移动到three柱子上。

n个盘子的移动分解成两次n-1个盘子的移动和一次1个盘子的移动，因此可以用递归函数实现：（1）hanoi函数：函数调用hanoi(n,one,two,three)实现将n个盘子从one柱子上借助two柱子移到three柱子的过程。

（2）move函数：函数调用move(x,y)实现把1个盘子从x柱子上移到y柱子上的过程。

x和y代表A、B、C柱子之一，根据不同情况分别以A、B、C代入。

代码如下：#include<stdio.h>int main(){void hanoi(int m,char one,char two,char three); //函数声明int m; //盘子个数printf("input the number of disks:");scanf("%d",&m);printf("The steps of moving %d disks:\n",m);hanoi(m,'A','B','C'); //调用hanoi函数实现将m个盘子从A柱移动到C柱（借助B 柱）return 0;}//将n个盘子从one柱移到three柱（借助two柱）void hanoi(int n,char one,char two,char three){void move(char x,char y); //函数声明if(n==1) move(one,three);else{hanoi(n-1,one,three,two);move(one,three);hanoi(n-1,two,one,three);}}void move(char x,char y) //将1个盘子从x柱移动到y柱{printf("%c --> %c\n",x,y);}**************递归存在的问题**************用递归思想的代价是十分巨大，它会消耗大量的存。

对于Fibonacci数列，调用到第20项时，递归次数达到21891次。

CS804：另一个Fibonacci数列（来源：ZOJ 2060，程序设计方法及在线实践指导（王衍等） P272）问题描述：定义另外一个Fibonacci数列：F(0)=7,F(1)=11,F(n)=F(n-1)+F(n-2)，（n≥2）。

输入：输入文件中包含多行，每行为一个整数n，n<1000000。

输出：对输入文件中的每个整数n，如果F(n)能被3整除，输出yes，否则输出no。

样例输入：123样例输出：nonoyesno解题分析：如果利用递归思想求Fibonacci数列的各项，本题中如果直接采用递归方法求F(n)对3取余得到的余数，则会超时。

我们可以尝试利用程序输出前30项对3取余的结果：#include<stdio.h>int f(int n){if(n==0) return 1;else if(n==1) return2;else return (f(n-1)+f(n-2))%3;}int main(){for(int i=0;i<30;i++)printf(“%d”,f(i));}前30项对3取余得到的余数分别为：1 2 0 2 2 1 0 11 2 0 2 2 1 0 11 2 0 2 2 1 0 1 1 2 0 2 2 1。