2017春九年级数学下册1.2第1课时二次函数y=ax2(a＞0)的图象与性质试题新版湘教版
1.2 第2课时 二次函数y=ax2(a＜0)的图象与性质
.
5.抛物线 y = ax ， |a| 越大，抛物线的开口越小．
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例题学习
例1：画二次函数 解：列表
x 0 0 1 2 3 4
1 y x 2 的图象. 4
1 y x2 4
1 4
－1
9 4
－4
描点和连线：画出图象在y轴右边的部分.
利用对称性画出y轴左边的部分.
－4 －2 －2 －4 2 4
2
5.抛物线 y = ax ，
|a| 越大，抛物线的开口越小．
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合作探究
(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？
一、列表
x y=-x2 … … -3 -9 -2 -4 -1 -1 0 0 1 -1 2 -4 3 -9 … …
y=x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
你能根据表格中的数据作 出猜想吗？
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二、描点
y x2
当x>0 (在对称轴的 右侧)时, y随着x的增大而 减小.
当x=0时,函数y 的值最大,最大值是0.
合作探究
二次函数y=-x2的图象与性质 1.图象开口向 下 ． 2.图象关于 y轴 对称，顶点（0，0） . 3.增减性：当x＜0时，y随x的增大而 增大 ，
当x＞0时，y随x的增大而减小 ，简称为左升右降 . 4.最值：函数有最 大 值，最 大 值等于 0 .
当x＞0时，y 随x的增大而增 大；当x＜0时， y随x的增大而 2 x 在同一坐标系中，画出函数 2
合作探究
的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点．
－4 归纳： 相同点：开口都向下，顶 点是原点而且是抛物线的 最高点，对称轴是 y 轴.
二次函数y=ax2的图象与性质--教学设计(王莉丹)
二次函数y=ax2的图象与性质--教学设计（王莉丹）广西桂林市宝贤中学王莉丹内容和内容解析1.内容湘教版义务教育课程标准实验教科书九年级下册第1章1.2节二次函数的图象与性质第一课时——二次函数y=ax2的图象与性质。
2.内容解析本章是继一次函数和反比例函数之后学习的一类新的函数模型——二次函数。
二次函数在研究内容和研究方法上与前两类函数类似，都是先从实际问题中抽象出函数模型，得出函数定义，然后借助图象研究函数的性质，再应用函数性质解决实际问题。
由于二次函数与一次函数的表达式都是整式，与一次函数一脉相承，所以二次函数的图象与性质主要类比一次函数来学习，即先从最特殊的一类二次函数y=ax2开始，遵循从特殊到一般的研究方法，运用数形结合、分类讨论等数学思想，着重研究a>0的图象和性质，再类比探究a<0的图象和性质，体会a的作用。
与一次函数相比，二次函数图象出现了新的特征和性质：如形状、开口方向和大小、对称性、分段讨论函数增减性等，在教学中可让学生体会一次函数与二次函数的联系与区别。
目标和目标解析目标〔1〕会用描点法画出形如y=ax2 的二次函数图象；〔2〕经历独学、对学、群学等方式，通过实验观察、分类讨论、归纳类比、抽象概括等方法理解二次函数y=ax2的图像特征和性质，体悟探究二次函数的思想与方法；〔3〕体验研究二次函数y=ax2 的规律与魅力，增强学习数学的信心与兴趣。
目标解析达到目标〔1〕的标志是：能合理地选择自变量的值进行描点，知道二次函数的图象是抛物线，能根据图象指出抛物线的对称轴和和顶点坐标；达到目标〔2〕的标志是：通过观察函数图象，能说出二次函数y=ax2的图象特征和性质：形状、位置、对称轴、增减性、最值等，能说出本节课研究二次函数y=ax2的函数图象和性质的基本方法和基本内容；达到目标〔3〕的标志是：学生主动探究，课堂气氛轻松愉快。
教学问题诊断分析学生已经历过一次函数和反比例函数的学习,对函数图象及性质的研究内容和研究方法有了一定的了解，但中间隔了一段时间，可能造成遗忘，需要唤醒他们的记忆。
湘教版九年级数学下册学案：1.2 二次函数y=ax2(a0)的图象与性质
湘教版九年级下册数学导学案127班（ ）第1章1.2二次函数y=ax 2(a>0)的图象与性质（1） 一、导入新课： 回答问题：1.一次函数与反比例函数的图解是什么？它们有什么性质？2.如何画一次函数与反比例函数的图象？ 二、探究新知：探究1：画二次函数y=ax 2(a>0)的图象，若a=2，画出它的图象。
列表：连线：探究2：画二次函数y=21x 2的图象。
（画在上面的坐标系中） 小结：二次函数y=ax 2(a>0)的图象与性质。
1.图象的开口向（ ）。
2.对称轴是（ ）轴，顶点是（ ），函数有最（ ）点。
3.当x>0时， ， 当x<0时，。
展示提升： 已知函数24(2)k k y k x +-=+是关于x 的二次函数.(1)求k 的值.(2)k 为何值时，抛物线有最低点，最低点是什么？在此前提下，当x 在哪个范围内取值时，y 随x 的增大而增大？三、本课小结：本节课你学到了什么？四、当堂作业：1、下列函数中，当x ＞0时，y 值随x 值增大而减小的是（ ） A.y=x 2B.y=x-1C. 34y xD.y=1x2.已知点（-1,y 1),(2,y 2),(-3,y 3)都在函数y=x 2的图象上，则（ ） A.y 1＜y 2＜y 3 B.y 1＜y 3＜y 2 C.y 3＜y 2＜y 1 D.y 2＜y 1＜y 3 3.抛物线y=13x 2的开口向 ，顶点坐标为 ，对称轴为 ，当x=-2时，y= ；当y=3时，x= ,当x ≤0时，y 随x 的增大而 ；当x ＞0时，y 随x 的增大而 .4.画出下列二次函数的图象：（1）y=x 2(2)y=43x 2湘教版九年级下册数学导学案127班（ ）第1章1.2二次函数y=ax 2(a<0)的图象与性质（2） 一、导入新课：1.二次函数y=ax 2(a>0)的图象的开口（ ），顶点坐标是（ ），对称轴是（），函数有（ ),当x>0时，y 随x （ ），当x<0，y 随x （ ）。
九年级数学下册 1.2 二次函数y=ax2(a＞0)的图象与性质(第1课时)教案 (新版)湘教版
1.2 二次函数的图象与性质第1课时二次函数y=ax2(a＞0)的图象与性质【知识与技能】1.会用描点法画函数y=ax2(a＞0)的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质.2.体会数形结合的转化,能用y=ax2(a＞0)的图象和性质解决简单的实际问题.【过程与方法】经历探索二次函数y=ax2(a＞0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯.【情感态度】通过动手画图，同学之间交流讨论，达到对二次函数y=ax2(a＞0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学生的积极性.【教学重点】1.会画y=ax2(a＞0)的图象.2.理解,掌握图象的性质.【教学难点】二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程.一、情境导入，初步认识问题1请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什么?二次函数图象是什么形状呢?问题2如何用描点法画一个函数图象呢?【教学说明】①略；②列表、描点、连线.二、思考探究，获取新知探究1画二次函数y=ax2(a＞0)的图象.画二次函数y=ax2的图象.【教学说明】①要求同学们人人动手,按“列表、描点、连线”的步骤画图y=x2的图象，同学们画好后相互交流、展示，表扬画得比较规范的同学.②从列表和描点中,体会图象关于y轴对称的特征.③强调画抛物线的三个误区.误区一:用直线连结,而非光滑的曲线连结,不符合函数的变化规律和发展趋势.如图(1)就是y=x2的图象的错误画法.误区二：并非对称点,存在漏点现象,导致抛物线变形.如图(2)就是漏掉点(0,0)的y=x 2的图象的错误画法.误区三:忽视自变量的取值范围,抛物线要求用平滑曲线连点的同时,还需要向两旁无限延伸,而并非到某些点停止.如图(3),就是到点(-2,4),(2,4)停住的y=x 2图象的错误画法.探究2 y=ax 2(a ＞0)图象的性质在同一坐标系中，画出y=x 2, 212y x =,y=2x 2的图象. 【教学说明】要求同学们独立完成图象,教师帮助引导,强调画图时注意每一个函数图象的对称性.动脑筋观察上述图象的特征(共同点),从而归纳二次函数y=ax2(a ＞0)的图象和性质.【教学说明】教师引导学生观察图象,从开口方向,对称轴,顶点,y 随x 的增大时的变化情况等几个方面让学生归纳，教师整理讲评、强调.y=ax 2(a ＞0)图象的性质1.图象开口向上.2.对称轴是y 轴，顶点是坐标原点，函数有最低点.3.当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，简称右升；当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，简称左降.三、典例精析，掌握新知例 已知函数24(2)kk y k x +-=+是关于x 的二次函数. (1)求k 的值.(2)k 为何值时，抛物线有最低点，最低点是什么？在此前提下，当x 在哪个范围内取值时，y 随x 的增大而增大？【分析】此题是考查二次函数y=ax 2的定义、图象与性质的，由二次函数定义列出关于k 的方程，进而求出k 的值，然后根据k+2＞0，求出k 的取值范围，最后由y 随x 的增大而增大，求出x 的取值范围. 解:(1)由已知得22042k k k +≠+-=⎧⎨⎩ ,解得k=2或k=-3. 所以当k=2或k=-3时，函数24(2)k k y k x +-=+是关于x 的二次函数.(2)若抛物线有最低点,则抛物线开口向上,所以k+2＞0.由（1）知k=2，最低点是（0,0),当x ≥0时，y 随x 的增大而增大.四、运用新知，深化理解1.（广东广州中考）下列函数中，当x ＞0时，y 值随x 值增大而减小的是（ ）A.y=x 2B.y=x-1C. 34y x =D.y=1x 2.已知点（-1,y 1),(2,y 2),(-3,y 3)都在函数y=x 2的图象上，则（ ）A.y 1＜y 2＜y 3B.y 1＜y 3＜y 2C.y 3＜y 2＜y 1D.y 2＜y 1＜y 33.抛物线y=13x 2的开口向 ，顶点坐标为 ，对称轴为 ，当x=-2时，y= ；当y=3时，x= ,当x ≤0时，y 随x 的增大而 ；当x ＞0时，y 随x 的增大而 .4.如图，抛物线y=ax2上的点B，C与x轴上的点A（-5，0），D（3，0）构成平行四边形ABCD，BC与y轴交于点E（0，6），求常数a的值.【教学说明】学生自主完成,加深对新知识的理解和掌握,当学生疑惑时，教师及时指导.【答案】1.D 2.A 3.上,(0,0),y轴，43，±3,减小，增大4.解：依题意得：BC=AD=8，BC∥x轴，且抛物线y=ax2上的点B，C关于y轴对称，又∵BC 与y轴交于点E（0，6），∴B点为（-4，6），C点为（4，6），将（4，6）代入y=ax2得：a=38.五、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾二次函数y=ax2(a＞0)图象的画法及其性质.2.通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问?请与同伴交流.1.教材P7第1、2题.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课是从学生画y=x2的图象，从而掌握二次函数y=ax2(a＞0)图象的画法，再由图象观察、探究二次函数y=ax2(a＞0)的性质，培养学生动手、动脑、探究归纳问题的能力.。
《第1课时 二次函数y=ax2(a＞0)的图象与性质》教案 (公开课)2022年湘教版数学
1．2 二次函数的图象与性质第1课时 二次函数y ＝ax 2(a >0)的图象与性质1．会用描点法画二次函数y ＝ax 2(a >0)的图象，理解抛物线的概念；(重点)2．掌握形如y ＝ax 2(a >0)的二次函数的图象和性质，并会应用其解决问题．(重点)一、情境导入自由落体公式h ＝12gt 2(g 为常量)，h 与t 之间是什么关系呢？它是什么函数？它的图象是什么形状呢？二、合作探究 探究点一：二次函数y ＝ax 2(a >0)的图象 y ＝(k ＋2)xk 2＋k 是二次函数． (1)求k 的值；(2)画出函数的图象．解析：根据二次函数的定义，自变量x 的最高次数为2，且二次项系数不为0，这样能确定k 的值，从而确定表达式，画出图象．解：(1)∵y ＝(k ＋2)xk 2＋k 为二次函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋k ＝2，k ＋2≠0，解得k ＝1；(2)当k ＝1时，函数的表达式为y ＝3x 2，用描点法画出函数的图象．描点：(－1，3)，(－12，34)，(0，0)，(12，34)，(1，3)． 连线：用光滑的曲线按x 的从小到大的顺序连接各点，图象如以下图．方法总结：列表时先取原点(0，0)，然后在原点两侧对称地取四个点，由于函数y ＝ax 2(a ≠0)图象关于y 轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，所以先计算y 轴右侧的两个点的纵坐标，左侧对应写出即可．变式训练：见?学练优?本课时练习“课后稳固提升〞第7题探究点二：二次函数y ＝ax 2(a >0)的性质 点(－3，y 1)，(1，y 2)，(2，y 3)都在函数y ＝x 2的图象上，那么y 1、y 2、y 3的大小关系是________．解析：方法一：把x ＝－3，1，2分别代入y ＝x 2中，得y 1＝9，y 2＝1，y 3＝2，那么y 1>y 3>y 2；方法二：如图，作出函数y ＝x 2的图象，把各点依次在函数图象上标出．由图象可知y 3>y 2；方法三：∵该图象的对称轴为y 轴，a >0，y 随x 的增大而增大，(－3，y 1)关于y 轴的对称点为(3，y 3)．又3>2>1，∴y 1>y 3>y 2.方法总结：比拟二次函数中函数值的大小有三种方法：①直接把自变量的值代入解析式中，求出对应函数值进行比拟；②图象法；③根据函数的增减性进行比拟，但当要比拟的几个点在对称轴的两侧时，可根据抛物线的对称轴找出某个点的对称点，转化到同侧后，然后利用性质进行比拟． 变式训练：见?学练优?本课时练习“课后稳固提升〞第2题探究点三：二次函数y ＝ax 2(a >0)的图象与性质的简单应用函数y ＝(m ＋2)xm 2＋m －4是关于x 的二次函数．(1)求满足条件的m 的值； (2)m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？解析：由二次函数的定义知：m 2＋m －4＝2且m ＋2≠0；抛物线有最低点，那么抛物线开口向上，即m ＋2>0.解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －4＝2，m ＋2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2或m ＝－3，m ≠－2，∴当m ＝2或m ＝－3时，原函数为二次函数；(2)假设抛物线有最低点，那么抛物线开口向上，∴m ＋2>0，即m >－2，∴取m ＝2.∴这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为(0，0)．当x >0时，y 随x 的增大而增大．方法总结：二次函数必须满足自变量的最高次数是2且二次项的系数不为0；函数有最低点即开口向上．变式训练：见?学练优?本课时练习“课堂达标训练〞第9题三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y ＝ax 2(a >0)的图象与性质，培养学生动手、动脑、探究归纳问题的能力.4．5 一次函数的应用第1课时 利用一次函数解决实际问题1．根据问题条件找出能反映出实际问题的函数；(重点)2．能利用一次函数图象解决简单的实际问题，开展学生的应用能力；(重点)3．建立一次函数模型解决实际问题．(难点)一、情境导入联通公司 话费收费有A 套餐(月租费15元，通话费每分钟0.1元)和B 套餐(月租费0元，通话费每分钟0.15元)两种．设A 套餐每月话费为y 1(元)，B 套餐每月话费为y 2(元)，月通话时间为x 分钟．(1)分别表示出y 1与x ，y 2与x 的函数关系式；(2)月通话时间为多长时，A 、B 两种套餐收费一样？(3)什么情况下A 套餐更省钱？ 二、合作探究探究点：一次函数与实际问题利用图象(表)解决实际问题 我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费的方法收费：月用水10t 以内(包括10t)的用户，每吨收水费a 元；月用水超过10t 的用户，10t 水仍按每吨a 元收费，超过10t 的局部，按每吨b 元(b >a )收费．设某户居民月用水x t ，应收水费y 元，y 与x 之间的函数关系如以下图． (1)求a 的值，并求出该户居民上月用水8t 应收的水费； (2)求b 的值，并写出当x >10时，y 与x 之间的函数表达式； (3)上月居民甲比居民乙多用4t 水，两家共收水费46元，他们上月分别用水多少吨？ 解析：(1)用水量不超过10t 时，设其函数表达式为y ＝ax ，由上图可知图象经过点(10，15)，从而求得a 的值；再将x ＝8代入即可求得应收的水费；(2)可知图象过点(10，15)和(20，35)，利用待定系数法可求得b 的值和函数表达式；(3)分别判断居民甲和居民乙用水比10t 多还是比10t 少，然后用相对应的表达式分别求出甲、乙上月用水量． 解：(1)当0≤x ≤10时，图象过原点，所以设y ＝ax .把(10，15)代入，解得ayx (0≤x ≤10)．当x ＝8时，y ×8＝12，即该户居民的水费为12元； (2)当x >10时，设y ＝bx ＋m (b ≠0)．把(10，15)和(20，35)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧10b ＋m ＝15，20b ＋m ＝35，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，m ＝－5，即超过10t 的局部按每吨2元收费，此时函数表达式为y ＝2x －5(x >10)； (3)因为10×1.5＋10×1.5＋4×2＝38<46，所以居民乙用水比10t 多．设居民乙上月用水x t ，那么居民甲上月用水(x ＋4)t.y 甲＝2(x ＋4)－5，y 乙＝2x ，得[2(x ＋4)－5]＋(2x －5)＝46，解得x t ，居民乙用水12t. 方法总结：此题的关键是读懂图象，从图象中获取有用信息，列出二元一次方程组得出函数关系式，根据关系式再得出相关结论．广安某水果店方案购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：元，那么这两种水果各购进多少千克？ (2)假设该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？ 解析：(1)根据方案购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，进而利用该水果店预计进货款为1000元，得出等式求出即可；(2)利用两种水果每千克的利润表示出总利润，再利用一次函数增减性得出最大值即可．解：(1)设购进甲种水果x 千克，那么购进乙种水果(140－x )千克，根据题意可得5x ＋9(140－x )＝1000，解得x ＝65，∴140－x ＝75(千克)．答：购进甲种水果65千克，乙种水果75千克； (2)由图表可得甲种水果每千克利润为3元，乙种水果每千克利润为4元．设总利润为W ，由题意可得W ＝3x ＋4(140－x )＝－x ＋560，故W 随x 的增大而减小，那么x越小，W 越大．∵该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，∴140－x ≤3x ，解得x ≥35，∴当x ＝35时，W 最大＝－35＋560＝525(元)，故140－35＝105(千克)． 答：当购进甲种水果35千克，购进乙种水果105千克时，此时利润最大为525元．方法总结：利用一次函数增减性得出函数最值是解题关键．如图①，底面积为30cm2的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体〞，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h(cm)与注水时间t(s)之间的关系如图②所示．请根据图中提供的信息，解答以下问题：(1)圆柱形容器的高为多少？匀速注水的水流速度(单位：cm3/s)为多少？(2)假设“几何体〞的下方圆柱的底面积为15cm2，求“几何体〞上方圆柱的高和底面积．解析：(1)根据图象，分三个局部：注满“几何体〞下方圆柱需18s；注满“几何体〞上方圆柱需24－18＝6(s)；注满“几何体〞上面的空圆柱形容器需42－24＝18(s)，再设匀速注水的水流速度为x cm3/s，根据圆柱的体积公式列方程，再解方程；(2)由图②知几何体下方圆柱的高为a cm，根据圆柱的体积公式得a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，于是得到“几何体〞上方圆柱的高为5cm，设“几何体〞上方圆柱的底面积为S cm2，根据圆柱的体积公式得5×(30－S)＝5×(24－18)，再解方程即可．解：(1)根据函数图象得到圆柱形容器的高为14cm，两个实心圆柱组成的“几何体〞的高度为11cm，水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体〞到注满用了42－24＝18(s)，这段高度为14－11＝3(cm)．设匀速注水的水流速度为x cm3/s，那么18·x＝30×3，解得x＝5，即匀速注水的水流速度为5cm3/s；(2)由图②知“几何体〞下方圆柱的高为a cm，那么a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，所以“几何体〞上方圆柱的高为11－6＝5(cm)．设“几何体〞上方圆柱的底面积为S cm2，根据题意得5×(30－S)＝5×(24－18)，解得S＝24，即“几何体〞上方圆柱的底面积为24cm2.方法总结：此题考查了一次函数的应用：把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题．【类型二】建立一次函数模型解决实际问题某商场欲购进A、B两种品牌的饮料共500箱，两种饮料每箱的进价和售价如下表所示．设购进A种饮料x箱，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为y元．(1)求y关于x的函数表达式；(2)如果购进两种饮料的总费用不超过20000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润．(注：利润＝售价－本钱)解析：由表格中的信息可得到A、B两种品牌每箱的利润，再根据它们的数量求出利润，进而利用函数的图象性质求出最大利润．解：(1)由题意，知B种饮料有(500－x)箱，那么y＝(63－55)x＋(40－35)(500－x)＝3xy＝3x＋2500(0≤x≤500)；(2)由题意，得55x＋35(500－x)≤x≤125.∴当x＝125时，y最大值＝3×125＋2500＝2875.∴该商场购进A、B两种品牌的饮料分别为125箱、375箱时，能获得最大利润2875元．方法总结：此类题型往往取材于日常生活中的事件，通过分析、整理表格中的信息，得到函数表达式，并运用函数的性质解决实际问题．解题的关键是读懂题目的要求和表格中的数据，注意思考的层次性及其中蕴含的数量关系．【类型三】 两个一次函数图象在同一坐标系内的问题为倡导低碳生活，绿色出行，某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行〞活动．自行车队从甲地出发，途经乙地短暂休息完成补给后，继续骑行至目的地丙地，自行车队出发1小时后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿自行车队行进路线前往丙地，在丙地完成2小时装卸工作后按原路返回甲地，自行车队与邮政车行驶速度均保持不变，，如图表示自行车队、邮政车离甲地的路程y (km)与自行车队离开甲地时间x (h)的函数关系图象，请根据图象提供的信息解答以下各题：(1)自行车队行驶的速度是________km/h ；(2)邮政车出发多少小时与自行车队首次相遇？(3)邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地多远？解析：(1)由速度＝路程÷时间就可以求出结论；(2)由自行车的速度就可以求出邮政车的速度，再由追击问题设邮政车出发a 小时两车相遇建立方程求出其解即可；(3)由邮政车的速度可以求出B 的坐标和C 的坐标，由自行车的速度就可以D 的坐标，由待定系数法就可以求出BC ，ED 的解析式就可以求出结论．解：(1)由题意得，自行车队行驶的速度是72÷3＝24km/h.(2)由题意得，邮政车的速度为24×2.5＝60(km/h)．设邮政车出发a 小时两车相遇，由题意得24(a ＋1)＝60a ，解得a ＝23.答：邮政车出发23小时与自行车队首次相遇；(3)由题意，得邮政车到达丙地所需的时间为135÷60＝94(h)，∴邮政车从丙地出发的时间为94＋2＋1＝214(h)，∴B (214，135)，C ，0)．自行车队到达丙地的时间为：135÷24＋0.5＝458＋0.5＝498(h)，∴D (498，135)．设BC的解析式为y 1＝k 1x ＋b 1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧135＝214k 1＋b 1，0k 1＋b 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－60，b 1＝450，∴y 1＝－60x ＋450，设ED 的解析式为y 2＝k 2x ＋b 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧72k 2＋b 2，135＝498k 2＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝24，b 2＝－12，∴y 2＝24xy 1＝y 2时，－60x ＋450＝24x －12，解得x ＝5.5.y 1＝－60×5.5＋450＝120.答：邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地120km.方法总结：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次方程的综合运用，解答时求出函数的解析式是关键．三、板书设计一次函数与实际问题1．建立一次函数模型解实际问题 2．利用图象(表)解决实际问题对于分段函数的实际应用问题中，学生往往无视了自变量的取值范围，同时解决有交点的两个一次函数图象的问题还存在一定的困难，有待在以后的教学中加大训练,力争逐步提高.。
九年级数学第二章二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质
二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质【学习目标】1．经历探索二次函数y=ax2和y=ax2＋c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．2．会作出y=ax2和y=ax2＋c的图象，并能比较它们与y=x2的异同，理解a与c对二次函数图象的影响．3．能说出y=ax2＋c与y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．4．体会二次函数是某些实际问题的数学模型．5.掌握二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c (a≠0)的图象之间的关系.【要点梳理】要点一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象二次函数y=ax2的图象（如图），是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.抛物线y=ax2（a≠0）的对称轴是y轴，它的顶点是坐标原点.当a＞ 0时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点.2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法——描点法描点法画图的基本步骤：列表、描点、连线.（1）列表：选择自变量取值范围内的一些适当的x的值，求出相应的y值，填入表中.（自变量x 的值写在第一行，其值从左到右，从小到大.）（2）描点：以表中每对x和y的值为坐标，在坐标平面内准确描出相应的点.一般地，点取的越多，图象就越准确.（3）连线：按照自变量的值由小到大的顺序，把所描的点用平滑的曲线连结起来.要点进阶：（1）用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值.（2）二次函数y=ax 2(a≠0)的图象，是轴对称图形，对称轴是y 轴．y=ax 2(a≠0)是最简单的二次函数.（3）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 3.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象的性质二次函数y=ax 2（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值y=ax 2a ＞0向上 （0，0） y 轴 x ＞0时，y 随x 增大而增大； x ＜0时，y 随x 增大而减小.当x=0时，y 最小=0y=ax 2a ＜0向下 （0，0） y 轴 x ＞0时，y 随x 增大而减小； x ＜0时，y 随x 增大而增大.当x=0时，y 最大=0要点进阶：顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a │相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a │越大，开口越小，图象两边越靠近y 轴，│a │越小，开口越大，图象两边越靠近x 轴. 要点二、二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象与性质 1.二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象 （1）0a >j xOy()20y ax c c =+>cjyxOc()20y ax c c =+<（2）0a <2.二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象的性质关于二次函数2(0)y ax c a =+≠的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：函数2(0,0)y ax c a c =+>> 2(0,0)y ax c a c =+<>图象开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，c) (0，c) 对称轴y 轴y 轴函数变化当0x >时，y 随x 的增大而增大；当0x <时，y 随x 的增大而减小.当0x >时，y 随x 的增大而减小；当0x <时，y 随x 的增大而增大.最大（小）值当0x =时，y c =最小值当0x =时，y c =最大值3.二次函数()20y axa =≠与()20y ax c a =+≠之间的关系j yxOc()20y ax c c =+>j y xOc()20y ax c c =+<()20y ax a =≠的图象向上（c ＞0）【或向下（c ＜0）】平移│c │个单位得到()20y ax c a =+≠的图象. 要点进阶：抛物线2(0)y ax c a =+≠的对称轴是y 轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线2(0)y ax a =≠的形状相同．函数2(0)y ax c a =+≠的图象是由函数2(0)y ax a =≠的图象向上（或向下）平移||c 个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x 轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x ＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a 的值不变，只是位置发生变化而已．【典型例题】类型一、二次函数y=ax 2（a ≠0）的图象与性质例1．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax 与y=ax 2的图象有可能是（ ）A ．B ．C ．D ．举一反三：【变式】在同一平面直角坐标系中，一次函数y ax c =+与二次函数2y ax c =+的图象大致为（ ）．例2.根据下列条件求a 的取值范围：(1)函数y ＝(a-2)x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大； (2)函数y ＝(3a-2)x 2有最大值； (3)抛物线y ＝(a+2)x 2与抛物线212y x =-的形状相同； (4)函数2a ay ax +=的图象是开口向上的抛物线．举一反三：【变式】二次函数y ＝mx 22-m 有最高点，则m ＝___________．例3. 二次函数223y x =的图象如图所示，点A 0位于坐标原点，点A 1，A 2，A 3，…，A 2013在y 轴的正半轴上，点B 1，B 2，B 3，…，B 2013在二次函数223y x =位于第一象限的图象上，若△A 0B 1A 1，△A 1B 2A 2，△A 2B 3A 3，…，△A 2012B 2013A 2013都为等边三角形，求△A 2012B 2013A 2013的边长．类型二、二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象与性质例4.关于二次函数y=2x 2+3，下列说法中正确的是（ ）A. 它的开口方向是向下；B. 当x ＜﹣1时，y 随x 的增大而减小；C. 它的对称轴是x=2；D. 当x=0时，y 有最大值是3.举一反三：【变式】如图所示，抛物线2(0)y ax c a =+<交x 轴于G 、F ，交y 轴于点D ，在x 轴上方的抛物线上有两点B 、E ，它们关于y 轴对称，点G 、B 在y 轴左侧，BA ⊥OG 于点A ，BC ⊥OD 于点C ．四边形OABC 与四边形ODEF 的面积分别为6和10，则△ABG 与△BCD 的面积之和为________．例5.有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m ，跨度为8m ，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）若要在隧道壁上点P （如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m ．求灯与点B 的距离．【巩固练习】一、选择题1.若抛物线210(2)m y m x-=+的开口向下，则m 的值为( )．A ．3B ．-3C ．23D ．23-2.抛物线24y x =--的顶点坐标，对称轴分别是( )． A ．(2，0)，直线x ＝-4 B ．(-2，0)，直线x ＝4 C ．(1，3)，直线x ＝0 D ．(0，-4)，直线x ＝03.两条抛物线2y x =与2y x =-在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（ ）A ．顶点相同B ．对称轴相同C ．开口方向相反D ．都有最小值4.关于213y x =，2y x =，23y x =的图像，下列说法中不正确的是（ ） A ．顶点相同 B ．对称轴相同 C ．图像形状相同 D ．最低点相同5．在同一直角坐标系中，函数y=kx 2﹣k 和y=kx+k （k ≠0）的图象大致是（ ）.A. B. C. D.6.图中是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 处时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m ， 水面宽4 m ．如图所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是( )．A ．22y x =- B ．22y x = C ．212y x =-D ．212y x =二、填空题7.抛物线23y x =-的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．8.将抛物线2y x =-向上平移5个单位后，得到的抛物线的解析式是____ ____．9.已知(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是抛物线2y ax =(a ≠0)上的两点．当210x x <<时，21y y <，则a 的取值范围是________．10. 对于二次函数y=ax 2，已知当x 由1增加到2时，函数值减少4，则常数a 的值是 ．11.抛物线2y ax c =+与23y x =的形状相同，其顶点坐标为（0，1），则其解析式为 ．12．如图，⊙O 的半径为2，1C 是函数212y x =的图象，2C 是函数212y x =-的图象，则阴影部分的面积是 .三、解答题13．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为多少米？14.已知直线1y x =+与x 轴交于点A ，抛物线22y x =-的顶点平移后与点A 重合．(1)求平移后的抛物线C 的解析式；(2)若点B(1x ，1y )，C(2x ，2y )在抛物线C 上，且1212x x -<<，试比较1y ，2y 的大小．15. 已知正方形周长为Ccm ，面积为S cm 2． （1）求S 和C 之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出S=1 cm 2时，正方形的周长； （3）根据图象，求出C 取何值时，S ≥4 cm 2．。
二次函数y=ax2的图象和性质
3.(2018湖北武汉硚口期中,16,★★☆)已知点M(2,3),F
0,
1 2
,点P(m,n)为
抛物线y= 1 x2上一动点,则用含m的式子表示PF为
2
;PF+PM的最
小值是
.
答案 1 (m2+1); 7
2
2
解析 ∵点P(m,n)为抛物线y=1 x2上一动点,∴n=1 m2,
2
2
∴点P的坐标为
2
同性质:
.
答案 对称轴是y轴(或顶点是原点) 解析 ∵函数y= 1 x2的图象开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,0);函
2
数y=x2的图象开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,0);函数y=-x2的图象
开口向下,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,0),∴三个函数的共同性质为:对
称轴是y轴,顶点是原点.
例 已知y=(k+1) xk22 是关于x的二次函数. (1)求满足条件的k的值; (2)k为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点.当x为何值时,y的值随x 值的增大而增大? (3)k为何值时,函数有最大值?最大值是多少?当x为何值时,y的值随x值 的增大而减小?
解析
(1)由题意,得
k
2
2
2,
解得k=±2.
k 1 0,
∴当k=±2时,原函数是二次函数.
(2)若抛物线有最低点,则抛物线的开口向上,
∴k+1>0,即k>-1,∴k=2.∴该抛物线的解析式为y=3x2,
∴抛物线的顶点坐标为(0,0),当x>0时,y随x的增大而增大.
(3)若函数有最大值,则抛物线的开口向下,∴k+1<0,∴k<-1,∴k=-2.∴抛
九年级数学二次函数y=ax2的图象和性质(沈贵芬)
x y=x2
-3 -2 -1
0 0
1
2 3 4 9
…… ……
9
4
1
1
解： 列表画图得： x y=x2
-3 -2 -1 9
y
0 0
1
2 3 4 9
…… ……
4
1
1
y=x2
(3,9)
(-3,9)
• 考虑下列几个问 题。（小组讨论 探索）
正比例函数 y=kx ( k≠0 ) 直线 一三 象限
y随x的增大而增大
一次函数 y=kx+b ( k≠0 ) 直线
K>0
K<0
二四 象限
y随x的增大而减小
引入
• 上节课我们学习了二次函数的一般 形式为y=ax² +bx+c（a ≠ 0），那么 它的图象是否也为直线呢？
作二次函数y=x2的图象（书本p29）
由①得:m>－1
∴ m=1 此时,二次函数为: y=2x2,
y=ax2 (a≠0) 图 象
O
a>0 y
O
a<0 y x
x
开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0 ,0) (0 ,0) 对称轴 y轴 y轴 当x<0时, 增 当x<0时， y随着x的增大而增大。 y随着x的增大而减小。 减 当x>0时， 当x>0时， y随着x的增大而减小。 y随着x的增大而增大。 性 x=0时,y最小=0 x=0时,y最大=0 极值 抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,抛物线的开口就越小.
练习：
九年级数学下册第五章二次函数的图象与性质二次函数y=ax2(a≠0)的图像和性质课件新版苏科版
当x=0 时,y最小值=0 当x=0 时,y 最大值=0
要点解读:
知2－讲
①判断二次函数的增减性的技巧:从抛物线的对称轴分开,自左
向右看,“上坡路”就是y随x的增大而增大,“下坡路”就是y
随x 的增大而减小.
②在二次函数y=ax(2a≠0)中,a的正负性决定开口方向, |a|决定开
口的大小．|a|越大,抛物线开口越小,反之,|a|越小,抛物线开口
的值要在坐标原点(0,0)的左右两边对称选取,
③连线时,按照自变量由小到大(或由大到小)的顺序,并且用光滑
的曲线顺次连接,初始点和末端点处要注意适当“向外延伸”,
切忌用线段连接或漏点、跨点连接
注意:
知1－讲
(1)由表格可知,在画y= 12x2的图像时,我们可以先描出
(03)连线:按自变量由小到大(或由大到小)的顺序,依次用平 滑的曲线连接各点.
知1－讲
2. 抛物线 二次函数y=ax2的图像是一条抛物线,抛物线的顶点在原 点、对称轴是y 轴. 当a＞ 0 时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点； 当a＜ 0 时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点.
特别提醒:
知2－讲
解:由抛物线的开口方向,知a＞0,b＞0,c＜0,d＜0,由抛 物线的开口大小,知|a|＞|b|,|c|＞|d|,因此a＞b,c＜d. ∴ a＞ b＞d＞c.
知2－讲
巧题妙解: 如图5.2-3,当x=1 时,四个函数值分别等于二次项系数, ∴ 直 线 x=1 与 四 条 抛 物 线 的 交 点 从 上 到 下 依 次 为
第5章 二次函数
5.2 二次函数的图像和性质
5.2.1 二次函数y=ax2(a≠0)的图像和性质
1 课时讲解 二次函数y=ax2 的图像的画法
第1课时二次函数y=ax2(a＞0)的图象与性质
1.2 二次函数的图象与性质第1课时二次函数y=ax2(a>0)的图象与性质要点感知1 画二次函数的图象的基本步骤是、、.要点感知2 二次函数y=ax2(a＞0)图象的性质：(1)函数图象开口，并且有最低点;(2)对称轴为;(3)在对称轴的左侧，y随x的增大而；在对称轴的右侧，y随x的增大而，简记为“左降右升”;(4)当x=0时，函数有最小值，其最小值为.预习练习2-1 对于函数y=2x2，下列结论正确的是( )A.当x取任何实数时，y的值总是正数B.y的值随x的增大而增大C.y的值随x的增大而减小D.图象关于y轴对称知识点1 二次函数y=ax2(a>0)的图象1.二次函数y=4x2的图象的开口向，对称轴是，顶点坐标是.2.2的图象时，列出了如下的表格：x -3 -2.5 0 1 3y 36 4 0 25 36(1)根据表格可知这个二次函数的关系式是；(2)将表格中的空格补全.3.已知二次函数y=ax2的图象经过点A(1，2).(1)求这个二次函数的解析式并画出其图象；(2)请说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴.知识点2 二次函数y=ax2(a>0)的性质4.二次函数y=12x2不具有的性质是( )A.对称轴是y轴B.开口向上C.当x＜0时，y随x的增大而减小D.有最大值5.已知点E(a,h1)，点F(b,h2)是二次函数y=13x2的图象不同的两个点，h1=h2，则a，b的大小关系是( )A.a=bB.a=-bC.a ＞bD.无法确定 6.下列四个二次函数：①y=x 2，②y=2x 2，③y=12x 2，④y=3x 2，其中二次函数图象口从大到小的排列顺序是 . 7.已知函数y=(m+2)24m m x+-是关于x 的二次函数.求：（1）满足条件的m 值；（2）m 为何值时，二次函数的图象有最低点？求出这个最低点，这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？8.已知原点是二次函数y=(m-2)x 2图象的最低点，则m 的取值范围是( )A.m ＞2B.m ＞-2C.m ＜2D.m ＜0 9.(2013·丽水)若二次函数y=ax2的图象过点P(-2,4)，则该图象必经过点( )A.(2,4)B.(-2,-4)C.(-2,4)D.(4,-2) 10.如图所示，在同一坐标系中，作出①y=3x 2，②y=23x 2，③y=43x 2的图象，则从里到外的二次函数的图象对应的函数依次是( )A.①②③B.①③②C.②③①D.②①③ 11.等边三角形的面积y 与边长x 之间的函数关系的大致图象是( )12.已知二次函数y=ax 2的图象经过点P(1，4)，则该函数的开口方向是 . 13.二次函数y=14x 2的图象开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它的图象有最 点，当x=2时，y= ；当y=1时，x= .14.已知正方形的周长为C cm ，面积为S cm 2，请写出S 与C 之间的函数关系式，并画出这个函数的图象.15.已知点A(2，m)是反比例函数y=6x和二次函数y=ax2的交点.(1)求此二次函数的解析式；(2)判断点B(4，8)是否也在此二次函数上，并说明理由.16.已知二次函数y=12x2，y=x2和y=2x2.(1)在如图所示的坐标系中画出它们的图象；(2)根据图象写出它们的顶点坐标、对称轴、开口方向；(3)函数y=12x2，y=x2和y=2x2的图象中开口最大的是哪个二次函数？开口最小的呢？挑战自我17.如图，点P是二次函数y=x2图象上第一象限内的一个点，点A的坐标为(3，0).(1)令点P的坐标为(x,y)，求△OPA的面积S与y的关系式；(2)S是y的什么函数？S是x的什么函数？参考答案课前预习要点感知1列表描点连线要点感知2(1)向上(0，0) (2)y轴或直线x=0 (3)减小增大(4)0预习练习2-1 D当堂训练1.上y轴(0，0)2.(1)y=4x2(2)-1 2.5 25 43.(1)y=2x2.图象略.(2)顶点坐标为(0,0)，对称轴为y轴.4.D5.B6.③①②④7.(1)m=2或m=-3;(2)当m=2时，二次函数的图象有最低点，这个最低点为（0，0），且当x>0时，y随x的增大而增大. 课后作业8.A 9.A 10.B 11.D 12.向上13.上y轴(0，0) 低 1 2或-214.由题意，得S=116C2(C＞0).列表：描点连线图象图略.15.(1)y=34x2.(2)当x=4时，代入y=34x2，得y=34×42=12≠8，所以点B(4，8)不在此二次函数上.16.(1)图略.(2)它们的顶点坐标都是(0，0)，对称轴都是y轴，开口都向上.(3)开口最大的是y=12x2，开口最小的是y=2x2.17.(1)过点P作PB⊥OA于点B,则PB=|y|,∵点P是抛物线y=x2上第一象限内的点,∴y＞0,∴PB=y.∴S=12PB·OA=12·y×3=32y(y＞0).(2)∵S=3 2 y,∴S是y的正比例函数. ∵y=x2,∴S=32y=32x2,∴S是x的二次函数.。
湘教版数学九年级下册第1课时二次函数y=ax2(a＞0)的图象与性质课件
y = 的图象关
于y轴对称,y轴就
是它的对称轴.x2yA Nhomakorabea9
B
6
A'
B'
3
-3
o
3
图象在y轴右边的部
分，函数值随自变量
取值的增大而增大，
简称为“右升”.
x
3. 连线：再用一条光滑曲线把原点和y轴右边各点顺
次连接起来；然后利用对称性，画出图象在y轴左边
的部分（把y轴左边的对应点和原点用一条光滑曲线
值范围为______．
k>－1
4．在同一直角坐标系中，画出y ＝ x2 ，
y＝2x2的图象．
解：列表：
x
… －2 －1
0
1
2
…
0
2
…
＝
…
2
描点：将表中的数据作为点的坐标在平
面直角坐标系中描出．
连线：用光滑的曲线
分别顺次连接
各对应点，
如图所示．
课堂小结
二次函数y=ax2
的(a＞0）图象
顺次连接起来），这样就得到了y = x2的图象.
y
9
6
3
-4
-2
o
2
4
x
函数y = x2性除了具有关于y轴对称和“右升”
外，还具有哪些性质？
y
y=x2
1.y＝x2的图象是一条曲线;
2.开口向上;
3.图象与对称轴的交点为原点(0,0);
o
4.x<0时，y随x的增大而减小，简称“左降”；
5.当x=0时，函数值最小，为0．
人教版九年级数学下册精品教案2套 二次函数y=ax2的图象和性质
22．1.2 二次函数y ＝ax 2的图象和性质教案11．会用描点法画出y ＝ax 2的图象，理解抛物线的概念．2．掌握形如y ＝ax 2的二次函数图象和性质，并会应用．一、情境导入自由落体公式h ＝12gt 2(g 为常量)，h 与t 之间是什么关系呢？它是什么函数？它的图象是什么形状呢？二、合作探究探究点一：二次函数y ＝ax 2的图象 【类型一】图象的识别已知a ≠0，在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 与y ＝ax 2的图象有可能是( )解析：本题进行分类讨论：(1)当a ＞0时，函数y ＝ax 2的图象开口向上，函数y ＝ax图象经过一、三象限，故排除选项B ；(2)当a ＜0时，函数y ＝ax 2的图象开口向下，函数y＝ax 图象经过二、四象限，故排除选项D ；又因为在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 与y ＝ax 2的图象必有除原点(0，0)以外的交点，故选择C.方法总结：分a ＞0与a ＜0两种情况加以讨论，并且结合一些特殊点，采取“排除法”． 【类型二】实际问题中图象的识别已知h 关于t 的函数关系式为h ＝12gt 2(g 为正常数，t 为时间)，则函数图象为( )解析：根据h 关于t 的函数关系式为h ＝12gt 2，其中g 为正常数，t 为时间，因此函数h ＝12gt 2图象是受一定实际范围限制的，图象应该在第一象限，是抛物线的一部分，故选A. 方法总结：在识别二次函数图象时，应该注意考虑函数的实际意义．探究点二：二次函数y ＝ax 2的性质 【类型一】利用图象判断二次函数的增减性作出函数y ＝－x 的图象，观察图象，并利用图象回答下列问题：(1)在y 轴左侧图象上任取两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，使x 2<x 1<0，试比较y 1与y 2的大小；(2)在y 轴右侧图象上任取两点C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，使x 3＞x 4＞0，试比较y 3与y 4的大小；(3)由(1)、(2)你能得出什么结论？解析：根据画出的函数图象来确定有关数值的大小，是一种比较常用的方法．解：(1)图象如图所示，由图象可知y 1＞y 2，(2)由图象可知y 3<y 4；(3)在y 轴左侧，y 随x 的增大而增大，在y 轴右侧，y 随x 的增大而减小．方法总结：解有关二次函数的性质问题，最好利用数形结合思想，在草稿纸上画出抛物线的草图进行观察和分析以免解题时产生错误．【类型二】二次函数的图象与性质的综合题已知函数y ＝(m ＋3)xm ＋3m －2是关于x 的二次函数．(1)求m 的值；(2)当m 为何值时，该函数图象的开口向下？(3)当m 为何值时，该函数有最小值？(4)试说明函数的增减性．解析：(1)由二次函数的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋3m －2＝2，m ＋3≠0，故可求m 的值． (2)图象的开口向下，则m ＋3＜0；(3)函数有最小值，则m ＋3＞0；(4)函数的增减性由函数的开口方向及对称轴来确定．解：(1)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋3m －2＝2，m ＋3≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m 1＝－4，m 2＝1，m ≠－3.∴当m ＝－4或m ＝1时，原函数为二次函数．(2)∵图象开口向下，∴m ＋3＜0，∴m ＜－3，∴m ＝－4.∴当m ＝－4时，该函数图象的开口向下．(3)∵函数有最小值，∴m ＋3＞0，m ＞－3，∴m ＝1，∴当m ＝1时，原函数有最小值．(4)当m ＝－4时，此函数为y ＝－x 2，开口向下，对称轴为y 轴，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．当m ＝1时，此函数为y ＝4x 2，开口向上，对称轴为y 轴，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小；当x ＞0时，y 随x 的增大而增大．方法总结：二次函数的最值是顶点的纵坐标，当a ＞0时，开口向上，顶点最低，此时纵坐标为最小值；当a ＜0时，开口向下，顶点最高，此时纵坐标为最大值．考虑二次函数的增减性要考虑开口方向和对称轴两方面的因素，因此最好画图观察．探究点三：确定二次函数y ＝ax 2的表达式【类型一】利用图象确定y ＝ax 2的解析式一个二次函数y ＝ax (a ≠0)的图象经过点A (2，－2)关于坐标轴的对称点B ，求其关系式．解析：坐标轴包含x 轴和y 轴，故点A (2，－2)关于坐标轴的对称点不是一个点，而是两个点．点A (2，－2)关于x 轴的对称点B 1(2，2)，点A (2，－2)关于y 轴的对称点B 2(－2，－2)．解：∵点B 与点A (2，－2)关于坐标轴对称，∴B 1(2，2)，B 2(－2，－2)．当y ＝ax 2的图象经过点B 1(2，2)时，2＝a ×22，∴a ＝12，∴y ＝12x 2；当y ＝ax 2的图象经过点B 1(－2，－2)时，－2＝a ×(－2)2，∴a ＝－12，∴y ＝－12x 2.∴二次函数的关系式为y ＝12x 2或y ＝－12x 2. 方法总结：当题目给出的条件不止一个答案时，应运用分类讨论的方法逐一进行讨论，从而求得多个答案．【类型二】二次函数y ＝ax 2的图象与几何图形的综合应用已知二次函数y ＝ax (a ≠0)与直线y ＝2x －3相交于点A (1，b )，求：(1)a ，b 的值；(2)函数y ＝ax 2的图象的顶点M 的坐标及直线与抛物线的另一个交点B 的坐标．解析：直线与函数y ＝ax 2的图象交点坐标可利用方程求解．解：(1)∵点A (1，b )是直线与函数y ＝ax 2图象的交点，∴点A 的坐标满足二次函数和直线的关系式，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a ×12，b ＝2×1－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1. (2)由(1)知二次函数为y ＝－x 2，顶点M (即坐标原点)的坐标为(0，0)，由－x 2＝2x －3，解得x 1＝1，x 2＝－3，∴y 1＝－1，y 2＝－9，∴直线与抛物线的另一个交点B 的坐标为(－3，－9)．【类型三】二次函数y ＝ax 2的实际应用如图所示，有一抛物线形状的桥洞．桥洞离水面最大距离OM 为3m ，跨度AB ＝6m.(1)请你建立适当的直角坐标系，并求出在此坐标系下的抛物线的关系式；(2)一艘小船上平放着一些长3m ，宽2m 且厚度均匀的矩形木板，要使小船能通过此桥洞，则这些木板最高可堆放多少米？解析：可令O 为坐标原点，平行于AB 的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则可设此抛物线函数关系式为y ＝ax 2.由题意可得B 点的坐标为(3，－3)，由此可求出抛物线的函数关系式，然后利用此抛物线的函数关系式去探究其他问题．解：(1)以O 点为坐标原点，平行于线段AB 的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的函数关系式为y ＝ax 2.由题意可得B 点坐标为(3，－3)，∴－3＝a ×32，解得a ＝－13，∴抛物线的函数关系式为y ＝－13x 2. (2)当x ＝1时，y ＝－13×12＝－13.∵OM ＝3，∴木板最高可堆放3－13＝83(米)． 方法总结：解决实际问题时，要善于把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型解决实际问题的思想．三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y ＝ax 2的图象与性质，体会数学建模的数形结合的思想方法.22.1.2 二次函数y=ax 2的图象和性质教案2教学目标：1、使学生会用描点法画出y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念。
九下数学(北师版)课件-二次函数y=ax2的图象与性质
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
3．对于函数 y＝4x2，下列说法正确的是( B )
A．当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小
B．当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小
C．y 随 x 的增大而减小
D．y 随 x 的增大而增大
4．(德州中考)给出下列函数：①y＝－3x＋2；②y＝x3；③y＝2x2；④y＝3x，
最小值是 0 .
7．不画图象，说出抛物线 y＝－43x2 的对称轴、顶点坐标、开口方向及最高 (低)点坐标． 解：抛物线 y＝－34x2 的对称轴是 y 轴，顶点坐标是(0,0)．∵a＝－43＜0，∴ 开口方向向下，最高点坐标是(0,0)．
8．二次函数 y＝x2 与一次函数 y＝－x－1 的图象在同一直角坐标系中(如图)， 大致应为( D )
自我诊断 1.若二次函数 y＝ax2 的图象经过点 P(－2,4)，则该图象必经过点
(A )
A．(2,4)
B．(－2，－4)
C．(－4,2)
D．(4，－2)
易错点：忘记由图象特征对所求的值进行判断取舍．
自我诊断 2.若二次函数 y＝(a－3)x2＋a2－2a－3 的图象如
图所示，试求 a 的值．
解：由题意可知：a2－2a－3＝0，a1＝－1，a2＝3，∵a－3＜0，∴a＝－1.
O 顺时针旋转 90°，得到△OCD，边 CD 与该抛物线交于点 P，则点 P 的坐
标为 ( 2，2) .
13．一个二次函数，它的图象的对称轴是 y 轴，顶点是原点，且经过点(－1， 13)． (1)求出这个二次函数的解析式； (2)画出这个二次函数的图象； (3)抛物线在对称轴左侧部分，y 随 x 的增大怎样变化？这个函数有最大值还是 最小值？ 解：(1)由题意可设抛物线解析式为 y＝ax2，将点(－1，13)代入得，a＝13，∴y ＝31x2； (2)略； (3)在对称轴左侧，y 随 x 的增大而减小，这个函数有最 小值．
湘教版九年级下册数学 第1章 二次函数y=ax2(a＜0)的图象与性质
B．y1>y3>y2
C．y3>y2>y1
D．y2>y1>y3
*13.【中考·咸宁】已知点 A(－1，m)，B(1，m)，C(2，m－
n)(n>0)在同一个函数的图象上，这个函数可能是( )
A．y＝x C．y＝x2
B．y＝－2x D．y＝－x2
【点拨】∵A(－1，m)，B(1，m)，∴点 A 与点 B 关于 y 轴对称．∵y＝x，y＝－2x的图象关于原点对称，∴A，B 错误．∵n>0，∴m－n<m， 由 B(1，m)，C(2，m－n)可推测，在 y 轴的右侧，y 随 x 的增大而减小，对于二次函数 y＝ax2 而言，只有 a<0 时， 在 y 轴的右侧，y 随 x 的增大而减小，∴D 正确．
解：由题意得a－2＜0，解得a＜2.
(2)函数y＝(3a－2)x2有最大值．
解：由题意得 3a－2＜0，解得 a＜23. (3)抛物线 y＝(a＋2)x2 与抛物线 y＝－12x2 的形状相同．
由题意得|a＋2|＝－12，解得 a1＝－52，a2＝－32.
(4)函数y＝axa2＋a的图象是开口向上的抛物线．
3．抛物线y＝－3x2的顶点坐标是( D ) A．(－3，0) B．(－2，0) C．(－1，0) D．(0，0)
4．若二次函数y＝ax2的图象过点P(2，－4)，则该图象必 经过点( ) B
A．(2，4) B．(－2，－4) C．(－4，2) D．(4，－2)
5．关于二次函数y＝2x2与y＝－2x2，下列叙述中正确的 有( ) A
【答案】D
14．函数y＝－x2(－2≤x≤1)的最大值为____0____，最小值 为___－__4___．
【易错总结】本题易忽略在取值范围中当x＝0时取得 最大值，最大值为0，而不是当x＝1时取得最大值．
苏科版数学九年级下册 二次函数y=ax2(a≠0)的图像与性质
5.2 二次函数y=ax2(a≠0)的图像与性质要点一、二次函数y=ax2（a≠0）的图像及性质1.二次函数y=ax2(a≠0)的图像用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图像，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图像的最低点。
因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.2.二次函数y=ax2(a≠0)的图像的画法用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图像时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x 的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图像越准确.画草图时应抓住以下几点：1）开口方向，2）对称轴，3）顶点，4）与轴的交点，5）与轴的交点.3.二次函数y=ax2(a≠0)的图像的性质二次函数y=ax2（a≠0）的图像的性质，见下表：x y函数图像开口方向顶点坐标对称轴函数变化最大（小）值y=ax2a>0 向上（0，0）y轴x>0时，y随x增大而增大；x<0时，y随x增大而减小.当x=0时，y最小=0y=ax2a<0 向下（0，0）y轴x>0时，y随x增大而减小；x<0时，y随x增大而增大.当x=0时，y最大=0类型一、2作出二次函数y=ax 的图象 1． ．画函数212y x =-的图像．类型二、2二次函数y=ax 的参数值 2．如图所示四个二次函数的图像中，分别对应的是① y ＝ax 2；② y ＝bx 2；③ y ＝cx 2；④ y ＝dx 2．则a 、b 、c 、d 的大小关系为_____．举一反三：【变式1】如图，已知点A （-4，8）和点B （2，n ）在抛物线y=ax 2上．求a 的值及点B 的坐标.【变式2】已知四个二次函数的图像如图所示，那么a 1，a 2，a 3，a 4的大小关系是_____．（请用“＞”连接排序）类型三、2二次函数y=ax 的开口方向、对称轴、顶点坐标、特殊点坐标 3、函数y=ax 2（a≠0）与直线y=2x -3的图像交于点（1，b ）．求：（1）a 和b 的值；（2）求抛物线y=ax 2的开口方向、对称轴、顶点坐标；（3）作y=ax 2的草图．举一反三：【变式】已知函数()2323m m y m x+-=+是关于x 的二次函数．（1）求m 的值．（2）当m 为何值时，该函数图像的开口向下？（3）当m 为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？类型四、2二次函数y=ax 的增减性 4、已知22(1)ky k x -=+是关于x 的二次函数.(1)求满足条件的k 的值； (2)k 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点.当x 为何值时，y 的值随x 值的增大而增大？(3)k 为何值时，函数有最大值？最大值是多少？当x 为何值时，y 的值随x 值的增大而减小？举一反三：【变式1】已知24(2)kk y k x +-=+ 是二次函数，且函数图像有最高点． （1）求k 的值；（2）求顶点坐标和对称轴，并说明当x 为何值时，y 随x 的增大而减少．【变式2】已知函数y ＝（k ﹣2）245kk x -+是关于x 的二次函数，求：（1）满足条件的k 的值；（2）当k 为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，x 为何值时，y 随x 的增大而增大？（3）当k 为何值时，函数有最小值？最小值是多少？这时，当x 为何值时，y 与x 的增大而减小？类型五、2二次函数y=ax 的综合应用 5、如图，梯形ABCD 的顶点都在抛物线2y x =-上，且////AB CD x 轴.A 点坐标为（a,-4），C 点坐标为（3,b ）.（1）求a ，b 的值；（2）求B ，D 两点的坐标；（3）求梯形的面积.。
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1．2 二次函数的图象与性质
第1课时 二次函数y ＝ax 2
(a >0)的图象与性质
知识要点 二次函数y ＝ax 2
(a >0)的图象与性质
(教材P7练习T2变式)在同一平
面直角坐标系中，画出函数y ＝x 2和y ＝2x 2
的图象，并比较它们的异同．
分析：首先画出二次函数的图象，然后根据抛物线的开口方向和大小、对称轴、顶点坐标等特征找出相同点和不同点即可．
方法点拨：注意作函数图象中列表、描
点、连线三步基本方法，作y ＝ax 2
最简单的方法是采用七点法，即找出距原点距离相等的三点，结合原点，共七点通过对称法作图即可．
已知二次函数y ＝2x 2
.
(1)若点(－2，y 1)与(3，y 2)在此二次函
数的图象上，则y1________y2(填“>”“＝”或“<”)；
(2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和．
分析：(1)把两点的横坐标代入二次函数表达式求出纵坐标，再比较大小即可得解；(2)由于函数图象经过点B，根据点B 的横坐标为2，代入表达式可求出点C的纵坐标，再根据二次函数图象关于y轴对称求出OA＝OB，即图象左边部分与右边部分对称，两个阴影部分面积相加等于右边第一象限内的矩形面积．
方法点拨：二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解．
1．抛物线y＝x2的顶点坐标是( )
A．(0，0) B．(1，1)
C．(－1，－1) D．(0，1)
2．二次函数y＝ax2的图象如下，则( ) A．a<0
B．对称轴为y轴 C．在对称轴的左边y随x的增大而增加 D．在对称轴的右边y随x
的增大而减小
3．二次函数y＝
1
3
x2图象的对称轴是________．当x<0时，y随x的增大而________；当x>0时，y随x的增大而________．
4．二次函数y＝ax2的图象经过点A(－3，12)和点B(3，m)，则m＝________．
参考答案：
要点归纳
知识要点：描点连线曲向上y(0，0) 减小增大0 小0 顶点
典例导学
例1 解：函数图象如图所示：
相同点：①开口都是向上；②都经过坐标原点；③对称轴都是y轴；
不同点：开口的大小不同．
例2 解：(1)<
(2)∵二次函数y＝2x2的图象经过点B，∴当x＝2时，y＝2×22＝8.∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它们的对称轴，∴OA＝OB，∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积，∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.
当堂检测
1．A 2.B 3.y轴减小增大 4.12。