辽宁省沈阳市2015届高三四校联考数学(文)试题 Word版含答案

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辽宁省沈阳市东北育才学校2015届高三上学期第一次模拟考试数学(文)试题含解析

第Ⅰ卷(共60分)【试卷综析】本试题是一份高三测试的好题，涉及范围广，包括集合、函数、导数、充要条件、不等式、简易逻辑、程序框图、数列、平面向量、三角函数、等高考核心考点，又涉及了集合、三角向量、简易逻辑、函数、导数应用等必考解答题型。

本题难易程度设计合理，梯度分明；既有考查基础知识的经典题目，又有考查能力的创新题目；从6,12等题能看到命题者在创新方面的努力，从18、21、22三题看出考基础，考规范；从20题可以看出考融合，考传统。

一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1.若集合}0|{≥=x x A ，且B B A = ，则集合B 可能是 A.}2,1{ B.}1|{≤x xC.}1,0,1{-D.R【知识点】集合及其运算A1 【答案解析】A 解析：A B B B A =⇒⊆，易知A 对【思路点拨】转化是关键。

【题文】2.下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3π=x 对称的是A.)62sin(π+=x y B.)32sin(π+=x yC.)32sin(π-=x yD.)62sin(π-=x y【知识点】三角函数的图像与性质 C3【答案解析】 D 解析：最小正周期为π，不起作用；把3π=x 带入解析式，函数取到最值，经检验D 符合。

【思路点拨】理解对称轴、对称中心在函数图像中的体现。

【题文】3.已知110a b<<，则下列结论错误的是A.22b a <B.2b aa b+> C.2b ab >D.2lg lg a ab <【知识点】不等式的概念与性质E1 【答案解析】C 解析：由110a b<<易得0b a <<两边都乘b ，且0b <，所以2ab b <，故C 错。

【思路点拨】不等式的性质要娴熟运用。

尤其倒数不等式的性质。

【题文】4.规定2,a b a b a b R +⊗=++∈　、，若14k ⊗=，则函数()f x k x =⊗的值域A.(2,)+∞ B ．),1(+∞ C ．7[,)8+∞ D ．7[,)4+∞ 【知识点】函数及其表示B1【答案解析】A 解析：由14k ⊗=得241k k +⇒=，()12f x k x x x ∴=⊗=⊗=222=>【思路点拨】新定义关键是会“套”模式，套的合适，准确。

2015届高三第四次全国大联考文科数学 PDF版含答案

{ } D. x | x⩽-2 D. b<c<a 1 D. x=1 6
2 抛物线 y=4 关于直线 x-y=0 对称的抛物线的准线方程是 3. x
右图是一个几何体的正 ( 主) 视图和侧( 左) 视图, 其俯视图是面积 4. A. 2 0+8 2 为 8 2的矩形 , 则该几何体的表面积是 B. 2 4+8 2 D. 1 6
命题 : 衡水点睛文化编辑部
本试卷分第 Ⅰ 卷 ( 选择题 ) 和第 Ⅱ 卷 ( 非选择题 ) 两部分 , 总分 1 考试时间 1 5 0分, 2 0 分钟。
第 Ⅰ 卷 ( 选择题 , 共 6 0分)
4 5 6 7 8
题号答案
1
2
3
9
1 0
1 1
1 2
一、选择题 ( 本大题共 1 每小题 5 分 , 共6 只有一项 2 个小题 , 0 分。在每小题给出的四个选项中 , 1) 2 x } , ( } , 设集合 M = { 集合 N = { 则 M ∪N = 1. x | x +3 x+2<0 x | ⩽4 2
x ] ( 若在区间 [ 上存在实数 x 使 2 则 a 的取值范围是 1 5. 0, 1 3 x+a) <1 成立 ,
x , ) ) ) ) 则 f( 的值为 1 + 2 + 3 +…+ 8 f( f( f( 9-x
。
。
上, 则此球的表面积为
已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点 , 且左、右焦点分别为 F1 、这两条曲线在第 1 6. F2 , 一象限的交点为 P, 椭圆与双曲线 △P F1F2 是以 P F1 为底边的等腰三角形。若| P F1 |=1 0, 的离心率分别为 e 则e e e 1、 2, 1· 2 的取值范围为。

2015年东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷(文科)

2015年东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷（文科）一、选择题（每题5分）1．（5分）已知集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|0≤x≤2}，则A∩B=（）A．[﹣1，0）B．[﹣1，0]C．[0，1]D．（﹣∞，1）∪[2，+∞）2．（5分）设复数z=1+i（i是虚数单位），则=（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i3．（5分）向量与满足||=1，||=，且，则||为（）A．B．C．2 D．24．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，bc=4，则△ABC的面积为（）A．B．1 C．D．25．（5分）x＜2是x2﹣3x+2＜0成立的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S为，则判断框中填写的内容可以是（）A．n=6 B．n＜6 C．n≤6 D．n≤87．（5分）如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．B．64 C．D．8．（5分）函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω≠0），对任意x都有f（+x）=f（﹣x），则f（）等于（）A．2或0 B．﹣2或2 C．0 D．﹣2或09．（5分）在平面直角坐标系中，若P（x，y）满足，则x+2y的最大值是（）A．2 B．8 C．14 D．1610．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=（x﹣1）与C交于A，B（A 在x轴上方）两点，若=m，则m的值为（）A．B．C．2 D．311．（5分）若关于x的方程|log a|x+b||=b（a＞0，a≠1），有且只有两个解，则（）A．b=1 B．b=0 C．b＞1 D．b＞012．（5分）对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）成为M函数：①对任意的x∈[0，1]恒有f（x）≥0；②当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，则下列函数不是M函数的是（）A．f（x）=x2B．f（x）=2x﹣1 C．f（x）=ln（x2+1）D．f（x）=x2+1二、填空题（每题5分）13．（5分）函数y=的单调递增区间是．14．（5分）将高一9班参加社会实践编分别为：1，2，3，…48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5，29，41学生在样本中，则样本中还有一名学生的编是．15．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）单调递增，且f（1）=0，则不等式f（x﹣2）≥0的解集是．16．（5分）如图，半球O内有一内接四棱锥S﹣ABCD，底面ABCD为正方形，SO⊥底面ABCD，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1+a7=﹣9，S9=﹣．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＞﹣．18．（12分）某校甲、乙两个班级各有5名编分别为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：（1）从统计数据看，甲、乙两个班哪个班的同学投篮水平更稳定（用数据说明）？（2）在本次训练中，从两班中分别任选一个同学，比较两人的投中次数，求甲班同学投中次数多于乙班同学投中次数的概率．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=45°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E为AB上一点，且=k，0＜k＜1，点F为PD中点．（1）若k=，求证：AF∥平面PEC；（2）是否存在一个常数k，使得三棱锥C﹣PEB的体积等于四棱锥P﹣ABCD的体积的，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上顶点为（0，2），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：过圆x2+y2=r2上一点Q（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2；（Ⅲ）过椭圆C上一点P向圆x2+y2=1引两条切线，切点分别为A，B，当直线AB分别与x轴、y轴交于M，N两点时，求|MN|的最小值．21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2，常数a∈R．（Ⅰ）若a=1，过点（1，0）作曲线y=f（x）的切线l，求l的方程；（Ⅱ）若函数y=f（x）与直线y=x﹣1只有一个交点，求实数a的取值范围．四、选修题[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图所示，AB为圆O的直径，BC为圆O的切线，连接OC，D为圆O上一点，且AD∥OC．（1）求证：CO平分∠DCB；（2）已知AD•OC=8，求圆O的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．2015年东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分）1．（5分）已知集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|0≤x≤2}，则A∩B=（）A．[﹣1，0）B．[﹣1，0]C．[0，1]D．（﹣∞，1）∪[2，+∞）【解答】解：∵A=[﹣1，1]，B=[0，2]，∴A∩B=[0，1]，故选：C．2．（5分）设复数z=1+i（i是虚数单位），则=（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i【解答】解：==1﹣i，故选：A．3．（5分）向量与满足||=1，||=，且，则||为（）A．B．C．2 D．2【解答】解：向量与满足||=1，||=，且，则，||===．共线：B．4．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，bc=4，则△ABC的面积为（）A．B．1 C．D．2【解答】解：∵a2=b2+c2﹣bc，∴由余弦定理可得：cosA===，又0＜A＜π，∴可得A=60°，sinA=，∵bc=4，=bcsinA==．∴S△ABC故选：C．5．（5分）x＜2是x2﹣3x+2＜0成立的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：解x2﹣3x+2＜0得：1＜x＜2，∵{x|x＜2}⊋{x|1＜x＜2}，故x＜2是x2﹣3x+2＜0成立的必要不充分条件，故选：A6．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S为，则判断框中填写的内容可以是（）A．n=6 B．n＜6 C．n≤6 D．n≤8【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=0，n=2满足条件，S=，n=4满足条件，S==，n=6满足条件，S==，n=8由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为，故判断框中填写的内容可以是n≤6，故选：C．7．（5分）如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．B．64 C．D．【解答】解：由三视图，该几何体是四个面都是直角三角形的三棱锥，V==．故选A．8．（5分）函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω≠0），对任意x都有f（+x）=f（﹣x），则f（）等于（）A．2或0 B．﹣2或2 C．0 D．﹣2或0【解答】解：由函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω≠0），对任意x都有f（+x）=f（﹣x），可得函数f（x）的图象关于直线x=对称，故f（）=±2，故选：B．9．（5分）在平面直角坐标系中，若P（x，y）满足，则x+2y的最大值是（）A．2 B．8 C．14 D．16【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A时，直线y=﹣的截距最大，此时z最大．由，得，即A（2，6），此时z的最大值为z=2+2×6=14．故选：C．10．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=（x﹣1）与C交于A，B（A 在x轴上方）两点，若=m，则m的值为（）A．B．C．2 D．3【解答】解：如图，联立，解得，∵A在x轴上方，∴，则|AF|=x A+1=4，|BF|=，由=m，得．故选：D．11．（5分）若关于x的方程|log a|x+b||=b（a＞0，a≠1），有且只有两个解，则（）A．b=1 B．b=0 C．b＞1 D．b＞0【解答】解：∵|log a|x+b||=b，∴log a|x+b|=b，或log a|x+b|=﹣b；①若b=0，则x=±1，成立；②若b＞0，则|x+b|=a b，|x+b|=a﹣b；此时有四个解；故不成立；故选B．12．（5分）对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）成为M函数：①对任意的x∈[0，1]恒有f（x）≥0；②当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，则下列函数不是M函数的是（）A．f（x）=x2B．f（x）=2x﹣1 C．f（x）=ln（x2+1）D．f（x）=x2+1【解答】解：A．f（x）=x2，该函数显然满足①，f（x1+x2）=≥f（x1）+f（x2），即满足②；∴该函数是M函数；B．f（x）=2x﹣1，x∈[0，1]时，显然f（x）≥0，即满足①；x1≥0，x2≥0，f（x1+x2）=，f（x1+x2）﹣[f（x1）+f（x2）]=≥0；∴该函数为M函数；C．f（x）=ln（x2+1），显然满足①；，f（x1）+f（x2）=；x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1；∴2x1x2≥（x1x2）•（x1x2）；∴f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2），即满足②；∴该函数是M函数；D．f（x）=x2+1，当x1=0，x2=1时，f（x1+x2）=2，f（x1）+f（x2）=3；∴不满足②；∴该函数不是M函数．故选：D．二、填空题（每题5分）13．（5分）函数y=的单调递增区间是[0，] ．【解答】解：化简可得y=sinxcos+cosxsin=sin（x+），由2kπ﹣≤x+≤2kπ+可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，当k=0时，可得函数的一个单调递增区间为[﹣，]，由x∈[0，]可得x∈[0，]，故答案为：[0，]．14．（5分）将高一9班参加社会实践编分别为：1，2，3，…48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5，29，41学生在样本中，则样本中还有一名学生的编是17．【解答】解：样本间距为48÷4=12，则另外一个编为5+12=17，故答案为：17．15．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）单调递增，且f（1）=0，则不等式f（x﹣2）≥0的解集是{x|x≥3或x≤1} ．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，f（1）=0，∴不等式f（x﹣2）≥0等价为f（|x﹣2|）≥f（1），即|x﹣2|≥1，即x﹣2≥1或x﹣2≤﹣1，即x≥3或x≤1，故不等式的解集为{x|x≥3或x≤1}，故答案为：{x|x≥3或x≤1}．16．（5分）如图，半球O内有一内接四棱锥S﹣ABCD，底面ABCD为正方形，SO⊥底面ABCD，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为．【解答】解：设球的半径为r，由题意可知SO=AO=OC=OD=OB=r．则AB=，四棱锥的体积为：=，解得r=，半球的体积为：=．故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1+a7=﹣9，S9=﹣．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＞﹣．【解答】（Ⅰ）解：设数列{a n}的公差为d，∵a1+a7=﹣9，S9=﹣，∴，解得，∴=﹣．（Ⅱ）证明：∵S n==，∴b n==﹣=﹣，∴数列{b n}的前n项和为T n=﹣+…+==．∴T n＞﹣．18．（12分）某校甲、乙两个班级各有5名编分别为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：（1）从统计数据看，甲、乙两个班哪个班的同学投篮水平更稳定（用数据说明）？（2）在本次训练中，从两班中分别任选一个同学，比较两人的投中次数，求甲班同学投中次数多于乙班同学投中次数的概率．【解答】解：（1）两个班数据的平均值都为7，..…（2分）甲班的方差=[（6﹣7）2+（5﹣7）2+（7﹣7）2+（9﹣7）2+（8﹣7）2]=2，..…（3分）乙班的方差=[（4﹣7）2+（8﹣7）2+（9﹣7）2+（7﹣7）2+（7﹣7）2]=，..…（4分）因为＜，甲班的方差较小，所以甲班的投篮水平比较稳定…（6分）（Ⅱ）甲班1到5记作a，b，c，d，e，乙班1到5记作1，2，3，4，5，从两班中分别任选一个同学，得到的基本样本空间为Ω={a1，a2，a3，a4，a5，b1，b2，b3，b4，b5，c1，c2，c3，c4，c5，d1，d2，d3，d4，d5，e1，e2，e3，e4，e5}，共25个基本事件组成，这25个是等可能的；..…（8分）将“甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数”记作A，则A={a1，b1，c1，d1，d2，d4，e1，e4，e5}，A由10个基本事件组成，..…（10分）所以甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率为=…（12分）19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=45°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E为AB上一点，且=k，0＜k＜1，点F为PD中点．（1）若k=，求证：AF∥平面PEC；（2）是否存在一个常数k，使得三棱锥C﹣PEB的体积等于四棱锥P﹣ABCD的体积的，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．【解答】（1）证明：作FM∥CD交PC于M．∴FM∥AE…（1分）∵点F为PD中点，∴FM=CD．∵k=，∴AE=AB=FM，∴AEMF为平行四边形，…（2分）∴AF∥EM，…（3分）∵AF⊄平面PEC，EM⊂平面PEC，∴直线AF∥平面PEC．…（5分）（2）解：V C=V P﹣CEB==…（7分）﹣PEB=…（9分）…（10分）所以存在常数k=…（12分）20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上顶点为（0，2），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：过圆x2+y2=r2上一点Q（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2；（Ⅲ）过椭圆C上一点P向圆x2+y2=1引两条切线，切点分别为A，B，当直线AB分别与x轴、y轴交于M，N两点时，求|MN|的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得b=2，e==，又c2=a2﹣b2，即有a=4，b=2，则椭圆C方程为+=1；（Ⅱ）证明：当切线的斜率k存在时，设切线方程为y﹣y0=k（x﹣x0），又因为k=﹣．故切线方程为y﹣y0=﹣（x﹣x0），即有x0x+y0y=r2．当k不存在时，切点坐标为（±r，0），对应切线方程为x=±r，符合x0x+y0y=r2，综上，切线方程为x0x+y0y=r2；（Ⅲ）设点P坐标为（x P，y P），PA，PB是圆x2+y2=1的切线，切点A（x1，y1），B（x2，y2），过点A的圆的切线为x1x+y1y=1，过点B的圆的切线为x2x+y2y=1．由两切线都过P点，x1x P+y1y P=1，x2x P+y2y P=1．则切点弦AB的方程为x P x+y P y=1，由题知x P y P≠0，即有M（，0），N（0，），|MN|2=+=（+）•（+）=++•+•≥++2=，当且仅当x P2=，y P2=时取等，则|MN|≥，|MN|的最小值为．21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2，常数a∈R．（Ⅰ）若a=1，过点（1，0）作曲线y=f（x）的切线l，求l的方程；（Ⅱ）若函数y=f（x）与直线y=x﹣1只有一个交点，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x3﹣x2，设切点P为（x0，y0），则，∴过P点的切线方程为．该直线经过点（1，0），∴有，化简得，解得x0=0或x0=1，∴切线方程为y=0和y=x﹣1；（Ⅱ）曲线y=f（x）与直线y=x﹣1只有一个交点，等价于关于x的方程ax2=x3﹣x+1只有一个实根．显然x≠0，∴方程只有一个实根．设函数，则．设h（x）=x3+x﹣2，h′（x）=3x2+1＞0，h（x）为增函数，又h（1）=0．∴当x＜0时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）为减函数；当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；∴g（x）在x=1时取极小值1．又当x趋向于0时，g（x）趋向于正无穷；当x趋向于负无穷时，g（x）趋向于负无穷；又当x趋向于正无穷时，g（x）趋向于正无穷．∴g（x）图象大致如图所示：∴方程只有一个实根时，实数a的取值范围为（﹣∞，1）．四、选修题[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图所示，AB为圆O的直径，BC为圆O的切线，连接OC，D为圆O上一点，且AD∥OC．（1）求证：CO平分∠DCB；（2）已知AD•OC=8，求圆O的半径．【解答】证明：（1）连接OD，BD，AB是直径，所以：AB⊥BD，OC⊥BD．…（1分）AD∥OC，所以：∠BOE=∠DOE设BD∩OC=E，且OD=OB，OE=OE，所以：△BOE≌△DOE，则：BE=DE，BD⊥OC，所以：CO平分∠DCB．（2）由于：AO=OD，所以：∠OAD=∠ODA，AD∥OC，所以：∠DOC=∠ODA，则：∠OAD=∠DOC，…（7分）所以：Rt△BDA∽Rt△CDO，所以：AD•OC=AB•OD=2OD2=8所以所求的圆的半径为2．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．【解答】解：（1）圆C的参数方程为（θ为参数）所以普通方程为（x﹣3）2+（y+4）2=4．（2分），x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得（ρcosθ﹣3）2+（ρsinθ+4）2=4，化简可得圆C的极坐标方程：ρ2﹣6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．（5分）（2）点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离为（7分）△ABM的面积所以△ABM面积的最大值为（10分）[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|=，当x＜﹣1时，不等式即﹣x﹣4＞2，求得x＜﹣6，∴x＜﹣6．当﹣1≤x＜2时，不等式即3x＞2，求得x＞，∴＜x＜2．当x≥2时，不等式即x+4＞2，求得x＞﹣2，∴x≥2．综上所述，不等式的解集为{x|x＞或x＜﹣6}．（Ⅱ）由以上可得f（x）的最小值为f（﹣1）=﹣3，若∀x∈R，f（x）≥t2﹣t恒成立，只要﹣3≥t2﹣t，即2t2﹣7t+6≤0，求得≤t≤2．。

2015年辽宁省沈阳市高考一模数学试卷(文科)【解析版】

2015年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，4}，N＝{2，3}，则集合（∁U M）∩N等于（）A．{2，3}B．{2，3，5，6}C．{1，4}D．{1，4，5，6} 2．（5分）设复数z满足（1﹣i）z＝2i，则z＝（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i3．（5分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）抛物线y＝4ax2（a≠0）的焦点坐标是（）A．（0，a）B．（a，0）C．（0，）D．（，0）5．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S n+2﹣S n＝36，则n＝（）A．5B．6C．7D．86．（5分）已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A．B．C．2cm3D．4cm37．（5分）已知x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．3B．﹣3C．1D．8．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为（）A．4B．5C．6D．79．（5分）已知函数，若，则f（﹣a）＝（）A．B．C．D．10．（5分）在△ABC中，若|+|＝|﹣|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC边的三等分点，则•＝（）A．B．C．D．11．（5分）函数y＝的图象与函数y＝2sinπx，（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．8B．6C．4D．212．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）＝4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.）13．（5分）若双曲线E的标准方程是，则双曲线E的渐进线的方程是．14．（5分）已知{a n}是等比数列，，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1＝．15．（5分）若直线l：+＝1（a＞0，b＞0）经过点（1，2），则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是．16．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若BC⊥AC，∠A＝，AC＝4，AA1＝4，M为AA1的中点，点P为BM中点，Q在线段CA1上，且A1Q＝3QC．则异面直线PQ与AC所成角的正弦值．三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17．（12分）已知函数f（x）＝sin2x+sin x cos x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．18．（12分）某班主任对全班50名学生学习积极性和参加社团活动情况进行调查，统计数据如表所示（Ⅰ）如果随机从该班抽查一名学生，抽到参加社团活动的学生的概率是多少？抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生的概率是多少？（Ⅱ）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与参加社团活动情况是否有关系？并说明理由．x2＝．19．（12分）如图，设四棱锥E﹣ABCD的底面为菱形，且∠ABC＝60°，AB＝EC＝2，AE＝BE＝．（Ⅰ）证明：平面EAB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求四棱锥E﹣ABCD的体积．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），e＝，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A、B，点A，B的中点横坐标为，且＝λ（其中λ＞1）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求实数λ的值．21．（12分）已知函数f（x）＝alnx（a＞0），e为自然对数的底数．（Ⅰ）若过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1﹣）；（Ⅲ）在区间（1，e）上＞1恒成立，求实数a的取值范围．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB 于E，BD交AC于G，交CE于F，CF＝FG．（Ⅰ）求证：C是劣弧的中点；（Ⅱ）求证：BF＝FG．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（1，2），倾斜角α＝．（Ⅰ）写出圆C的标准方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A、B两点，求|P A|•|PB|的值．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|≥m对一切实数x均成立，求m的取值范围．2015年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，4}，N＝{2，3}，则集合（∁U M）∩N等于（）A．{2，3}B．{2，3，5，6}C．{1，4}D．{1，4，5，6}【解答】解：由补集的定义可得∁U M＝{2，3，5，6}，则（∁U M）∩N＝{2，3}，故选：A．2．（5分）设复数z满足（1﹣i）z＝2i，则z＝（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【解答】解：∵复数z满足z（1﹣i）＝2i，∴z＝＝﹣1+i故选：A．3．（5分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．故选：B．4．（5分）抛物线y＝4ax2（a≠0）的焦点坐标是（）A．（0，a）B．（a，0）C．（0，）D．（，0）【解答】解：由题意知，y＝4ax2（a≠0），则x2＝，所以抛物线y＝4ax2（a≠0）的焦点坐标是（0，），故选：C．5．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S n+2﹣S n＝36，则n＝（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：由S n+2﹣S n＝36，得：a n+1+a n+2＝36，即a1+nd+a1+（n+1）d＝36，又a1＝1，d＝2，∴2+2n+2（n+1）＝36．解得：n＝8．故选：D．6．（5分）已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A．B．C．2cm3D．4cm3【解答】解：由三视图可知，该几何体为底面是正方形，且边长为2cm，高为2cm的四棱锥，如图，故，故选：B．7．（5分）已知x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．3B．﹣3C．1D．【解答】解：作图易知可行域为一个三角形，当直线z＝2x+y过点A（2，﹣1）时，z最大是3，故选：A．8．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：输出不满足条件S＝0+1+2+8+…＜100时，k+1的值．第一次运行：满足条件，s＝1，k＝1；第二次运行：满足条件，s＝3，k＝2；第三次运行：满足条件，s＝11＜100，k＝3；满足判断框的条件，继续运行，第四次运行：s＝1+2+8+211＞100，k＝4，不满足判断框的条件，退出循环．故最后输出k的值为4．故选：A．9．（5分）已知函数，若，则f（﹣a）＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）＝＝1+，∴f（﹣x）＝1﹣，∴f（x）+f（﹣x）＝2；∵f（a）＝，∴f（﹣a）＝2﹣f（a）＝2﹣＝．故选：C．10．（5分）在△ABC中，若|+|＝|﹣|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC边的三等分点，则•＝（）A．B．C．D．【解答】解：若|+|＝|﹣|，则＝，即有＝0，E，F为BC边的三等分点，则＝（+）•（+）＝（）•（）＝（+）•（+）＝++＝×（1+4）+0＝．故选：B．11．（5分）函数y＝的图象与函数y＝2sinπx，（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．8B．6C．4D．2【解答】解：函数y1＝，y2＝2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，如图，当1＜x≤4时，y1＜0而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在（1，）和（，）上是减函数；在（，）和（，4）上是增函数．∴函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H相应地，y1在（﹣2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D且：x A+x H＝x B+x G＝x C+x F＝x D+x E＝2，故所求的横坐标之和为8．故选：A．12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）＝4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）【解答】解：设g（x）＝e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）＝e x f（x）+e x f′（x）﹣e x＝e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y＝g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0＝4﹣1＝3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.）13．（5分）若双曲线E的标准方程是，则双曲线E的渐进线的方程是y＝x．【解答】解：双曲线E的标准方程是，则a＝2，b＝1，即有渐近线方程为y＝x，即为y＝x．故答案为：y＝x．14．（5分）已知{a n}是等比数列，，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1＝．【解答】解：由，解得．数列{a n a n+1}仍是等比数列：其首项是a1a2＝8，公比为，所以，故答案为．15．（5分）若直线l：+＝1（a＞0，b＞0）经过点（1，2），则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是3+2．【解答】解：∵直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）∴＝1，∴a+b＝（a+b）（）＝3+≥3+2，当且仅当b＝a时上式等号成立．∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为3+2．故答案为：3+2．16．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若BC⊥AC，∠A＝，AC＝4，AA1＝4，M为AA1的中点，点P为BM中点，Q在线段CA1上，且A1Q＝3QC．则异面直线PQ与AC所成角的正弦值．【解答】解：以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则由题意得A（0，4，0），C（0，0，0），B（4，0，0），M（0，4，2），A1（0，4，4），P（2，2，1），＝＝（0，4，4）＝（0，1，1），∴Q（0，1，1），＝（0，﹣4，0），＝（﹣2，﹣1，0），设异面直线PQ与AC所成角为θ，cosθ＝|cos＜＞|＝||＝，∴sinθ＝＝．故答案为：．三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17．（12分）已知函数f（x）＝sin2x+sin x cos x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．【解答】解：（I）f（x）＝sin2x+sin x cos x＝+sin2x…（2分）＝sin（2x﹣）+．…（4分）函数f（x）的最小正周期为T＝π．…（6分）因为﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，所以函数f（x）的单调递增区间是[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z，．…（8分）（Ⅱ）当x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]sin（2x﹣）∈[﹣，1]，…（10分）所以函数f（x）的值域为f（x）∈[0，1+]．…（12分）18．（12分）某班主任对全班50名学生学习积极性和参加社团活动情况进行调查，统计数据如表所示（Ⅰ）如果随机从该班抽查一名学生，抽到参加社团活动的学生的概率是多少？抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生的概率是多少？（Ⅱ）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与参加社团活动情况是否有关系？并说明理由．x2＝．【解答】解：（Ⅰ）积极参加社团活动的学生有22人，总人数为50人，所以随机从该班抽查一名学生，抽到参加社团活动的学生的概率是＝；抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生为20人，所以其概率为＝；（Ⅱ）x2＝≈11.7∵x2＞10.828，∴有99.9%的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动情况有关系．19．（12分）如图，设四棱锥E﹣ABCD的底面为菱形，且∠ABC＝60°，AB＝EC＝2，AE＝BE＝．（Ⅰ）证明：平面EAB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求四棱锥E﹣ABCD的体积．【解答】（I）证明：取AB的中点O，连结EO、CO．由AE＝BE＝，知△AEB为等腰直角三角形．故EO⊥AB，EO＝1，又AB＝BC，∠ABC＝60°，则△ABC是等边三角形，从而CO＝．又因为EC＝2，所以EC2＝EO2+CO2，所以EO⊥CO．又EO⊥AB，CO∩AB＝O，因此EO⊥平面ABCD．又EO⊂平面EAB，故平面EAB⊥平面ABCD．…（8分）（II）解：V E＝﹣ABCD＝＝．…（12分）20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），e＝，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A、B，点A，B的中点横坐标为，且＝λ（其中λ＞1）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求实数λ的值．【解答】解：（I）由条件可知c＝1，a＝2，故b2＝a2﹣c2＝3，椭圆的标准方程是．…（4分）（Ⅱ）由，可知A，B，F三点共线，设A（x1，y1），B（x2，y2），若直线AB⊥x轴，则x1＝x2＝1，不合题意．当AB所在直线l的斜率k存在时，设方程为y＝k（x﹣1）．由，消去y得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．①由①的判别式△＝64k4﹣4（4k2+3）（4k2﹣12）＝144（k2+1）＞0．因为，…（6分）所以＝，所以．…（8分）将代入方程①，得4x2﹣2x﹣11＝0，解得x＝．…（10分）又因为＝（1﹣x1，﹣y1），＝（x2﹣1，y2），，，解得．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）＝alnx（a＞0），e为自然对数的底数．（Ⅰ）若过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1﹣）；（Ⅲ）在区间（1，e）上＞1恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解答：（I）函数的f（x）的导数f′（x）＝，∵过点A（2，f（2））的切线斜率为2，∴f′（2）＝＝2，解得a＝4．…（2分）（Ⅱ）令g（x）＝f（x）﹣a（1﹣）＝a（lnx﹣1+）；则函数的导数g′（x）＝a（）．…（4分）令g′（x）＞0，即a（）＞0，解得x＞1，∴g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．∴g（x）最小值为g（1）＝0，故f（x）≥a（1﹣）成立．…（6分）（Ⅲ）令h（x）＝alnx+1﹣x，则h′（x）＝﹣1，令h′（x）＞0，解得x＜a．…（8分）当a＞e时，h（x）在（1，e）是增函数，所以h（x）＞h（1）＝0．…（9分）当1＜a≤e时，h（x）在（1，a）上递增，（a，e）上递减，∴只需h（x）≥0，即a≥e﹣1．…（10分）当a≤1时，h（x）在（1，e）上递减，则需h（e）≥0，∵h（e）＝a+1﹣e＜0不合题意．…（11分）综上，a≥e﹣1…（12分）选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB 于E，BD交AC于G，交CE于F，CF＝FG．（Ⅰ）求证：C是劣弧的中点；（Ⅱ）求证：BF＝FG．【解答】解：（I）∵CF＝FG∴∠CGF＝∠FCG∵AB圆O的直径∴∵CE⊥AB∴∵∴∠CBA＝∠ACE∵∠CGF＝∠DGA∴∴∠CAB＝∠DAC∴C为劣弧BD的中点（5分）（II）∵∴∠GBC＝∠FCB∴CF＝FB又因为CF＝GF∴BF＝FG（10分）选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（1，2），倾斜角α＝．（Ⅰ）写出圆C的标准方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A、B两点，求|P A|•|PB|的值．【解答】解：（I）消去θ，得圆的标准方程为x2+y2＝16．…（2分）直线l的参数方程为，即（t为参数）…（5分）（Ⅱ）把直线的方程代入x2+y2＝16，得（1+t）2+（2+t）2＝16，即t2+（2+）t﹣11＝0，…（8分）所以t1t2＝﹣11，即|P A|•|PB|＝11．…（10分）选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|≥m对一切实数x均成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）当x≥4时，f（x）＝2x+1﹣（x﹣4）＝x+5＞0，得x＞﹣5，所以x≥4成立；当﹣≤x＜4时，f（x）＝2x+1+x﹣4＝3x﹣3＞0，得x＞1，所以1＜x＜4成立；当x＜﹣时，f（x）＝﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以x＜﹣5成立．综上，原不等式的解集为{x|x＞1或x＜﹣5}；（2）令F（x）＝f（x）+3|x﹣4|＝|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣（2x﹣8）|＝9，当﹣时等号成立．即有F（x）的最小值为9，所以m≤9．即m的取值范围为（﹣∞，9]．。

东北三省四城市联考暨沈阳市2015届高三质量监测(二)数学(文科)试题

东北三省四城市联考暨沈阳市2015届高三质量监测（二）数学（文科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效。

3.考试结束后，考生将答题卡交回。

球的体积公式：343V R π=. 第Ⅰ卷一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合{11}A x x =-≤≤，{02}B x x =≤≤，则AB = （）（A ） [1,0]- （B ） ]2,1[ （C ） [0,1] （D ） (,1][2,)-∞⋃+∞2. 设复数1z i =+（i 是虚数单位），则2z=（）（A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+3. 已知,1=ab =2，且a b ⊥，则b a +为（）（A ）2 （B ）3 （C ） 2 （D ）224. 已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,222a b c bc =+-，4bc =，则△ABC 的面积为（）（A ）12（B ）1 （C ）3 （D ）25. 2x <是2320x x -+<成立的（）（A ）必要不充分条件（B ）充分不必要条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件6. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是( )（A ）6n = （B ）6n < （C ）6n ≤ （D ）8n ≤ 7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）（A ）323 （B ）64 （C ）3233（D ） 643 8. 函数()2cos()(0)f x x ωϕω=+≠对任意x 都有 ()()44f x f x ππ+=-，则()4f π等于( )（A ）2或0 （B ）2-或2 （C ）0 （D ）2-或09. 在平面直角坐标系中，若(,)P x y 满足44021005220x y x y x y -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，则2x y +的最大值是（）（A ）2 （B ）8 （C ）14 （D ）1610. 已知抛物线:C x y 42=的焦点为F ，直线3(1)y x =-与C 交于,(A B A 在x 轴上方）两点．若AF mFB =，则实数m 的值为（）（A ）3 （B ）32（C ）2 （D ）3 11. 若关于x 方程log (0,1)a x b b a a +=>≠有且只有两个解，则（）（A ） 1b = （B ）0b = （C ）1b > （D ） 0b > 12. 定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为M 函数：① 对任意的x ，总有()0f x ≥；② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则下列函数不是M 函数的是（）（A ）2()f x x = （B ）()21xf x =- （C ）2()ln(1)f x x =+ （D ）2()1f x x =+第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二. 填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上） 13. 函数13sin cos 22y x x =+([0,]2x π∈)的单调递增区间是__________.14. 将高一9班参加社会实践编号为：1，2，3,…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是 .15. 已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞单调递增，且(1)0f =，则不等式(2)0f x -≥的解集是 .16. 如图，半球内有一内接正四棱锥S ABCD -，该四棱锥的体积为423，则该半球的体积为 .三. 解答题：（本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足299,9971-=-=+S a a . （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设nn S b 21=，数列}{n b 的前n 项和为n T ，求证：43->n T .18.（本小题满分12分）某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：学生 1号 2号 3号 4号 5号甲班 6 5 7 9 8 乙班48977（Ⅰ）从统计数据看，甲乙两个班哪个班成绩更稳定（用数据说明）？（Ⅱ）在本次训练中，从两班中分别任选一个同学，比较两人的投中次数，求甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝45°，PD ⊥平面ABCD ，PD =AD =1，点E 为AB 上一点，且k ABAE=，点F 为PD 中点. （Ⅰ）若21=k ，求证：直线AF //平面PEC ；（Ⅱ）是否存在一个常数k ，使得平面PED ⊥平面PAB . 若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.20.（本小题满分12分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的上顶点为(0,2)，且离心率为32，（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）证明：过圆222x y r +=上一点00(,)Q x y 的切线方程为200x x y y r +=；（Ⅲ）从椭圆C 上一点P 向圆221x y +=上引两条切线，切点为,A B . 当直线AB 分别与x 轴、y 轴交于,M N 两点时，求MN 的最小值.21.（本小题满分12分）已知函数23)(ax x x f -=，常数a ∈R .（Ⅰ）若1a =，过点(1,0)作曲线()y f x =的切线l ，求l 的方程；（Ⅱ）若曲线)(x f y =与直线1y x =-只有一个交点，求实数a 的取值范围.请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图所示，AB 为圆O 的直径，BC ，CD 为圆O 的切线，B ，D 为切点.，（Ⅰ）求证： OC AD //；（Ⅱ）若圆O 的半径为2，求OC AD ⋅的值.23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=θθsin 24cos 23y x （θ为参数）（Ⅰ）以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）已知(2,0),(0,2)A B -，圆C 上任意一点),(y x M ，求△ABM 面积的最大值.24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数()222f x x x =+--．（Ⅰ）求不等式2)(>x f 的解集；（Ⅱ）若∈∀x R ，27()2f x t t ≥-恒成立，求实数t 的取值范围．2015年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量监测（二）数学（文科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题（1）C ；（2）A ；（3）B ；（4）C ；（5）A ；（6）C ；（7）D ；（8）B ；（9）C ；（10）D ；（11) B ；（12）D ．二.填空题（13）[0,]6π；（14） 17；(15) (,1][3,)-∞+∞；（16）423π. 三.解答题（17）解：（Ⅰ）设数列}{n a 的公差为d ，则由已知条件可得：⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+29936996211d a d a ， (2)分解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=1231d a ， …………………………4分于是可求得212+-=n a n . ………………………………6分（Ⅱ）因为2)2(+-=n n S n ，故)211(21)2(1+--=+-=n n n n b n ， ………8分于是)211123(21)]21514131()131211[(21+-+--=++⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++-=n n n n T n .……10分又因为211123+-+-n n 23<，所以43->n T . ………………………………12分 (18)解：(Ⅰ)两个班数据的平均值都为7， ……………………………………1分甲班的方差22222216-7+-7+-7+-7+-7=25s =（）（5）（7）（9）（8）， ……………3分乙班的方差2222222-7+-7+-7+-7+-714=55s =（4）（8）（9）（7）（7）， ……………5分因为2212s s <，甲班的方差较小，所以甲班的成绩比较稳定. ……………6分 (Ⅱ)甲班1到5号记作,,,,a b c d e ，乙班1到5号记作1,2,3,4,5，从两班中分别任选一个同学，得到的基本样本空间为Ω={1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5}a a a a a b b b b b c c c c c d d d d d e e e e e ，…………………8分Ω由25个基本事件组成，这25个是等可能的；将“甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数”记作A ，则{1,1,1,1,2,4,5,1,4,5}A a b c d d d d e e e =，A 由10个基本事件组成， …………10分所以甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率为102255=. …………12分 (19)解：(Ⅰ)证明：作FM ∥CD 交PC 于M . …………………………………2分 ∵点F 为PD 中点，∴CD FM 21=. ∵21=k ，∴FM AB AE ==21，…………4分 ∴AEMF 为平行四边形，∴AF ∥EM . ∵AF PEC EM PEC ⊄⊂平面，平面， ∴直线AF //平面PEC . ………………6分 (Ⅱ)存在常数22=k ，使得平面PED ⊥平面MFE BDCAPPAB . …………………………………7分 ∵k AB AE =，1AB =，22=k ，∴22AE =. ………………………………8分又∵∠DAB ＝45°，∴AB ⊥DE .又∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥AB . ………………………………10分又∵PD DE D ⋂=，∴AB ⊥平面PDE .∵PAB AB 平面⊂，∴平面PED ⊥平面PAB . …………………12分 (20) 解：(Ⅰ)2b =，3=2c e a =， 4,2a b ∴==， ∴椭圆C 方程为221164x y +=. …………………………………………………2分（Ⅱ）当切线的斜率k 存在时，设切线方程为00()y y k x x -=-. ………………3分又因为00x k y =-，故切线方程为0000()xy y x x y -=--，200x x y y r ∴+=. ……5分当k 不存在时，切点坐标为(),0r ±，切线方程为x r =±，符合200x x y y r +=. 综上，切线方程为200x x y y r +=. ………………………………………………6分（Ⅲ）设点P 坐标为(,)p p x y ，,PA PB 是圆221x y +=的切线，切点1122(,),(,)A x y B x y ，过点A 的圆的切线为111x x y y +=，过点B 的圆的切线为221x x y y +=.两切线都过P 点，112211p p p p x x y y x x y y ∴+=+=，. ……………………8分∴切点弦AB 的方程为1p p x x y y +=，由题知0P P x y ≠ ，1(0)p M y ∴，，1(,0)pN x ，22222221111=164p p p p p p x y MN x y x y ⎛⎫⎛⎫∴=++⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222222211111119=+++21641641646416p p p p p p p p x y x y y x y x ⋅+⋅≥+⋅⋅=，当且仅当2163Px =， 283P y =时取等号，34MN ∴≥，MN ∴的最小值为34. …………………12分(21) 解：（Ⅰ）设切点P 为00(,)x y ，则P 处的切线方程为23200000(32)()y x x x x x x =--+-. 该直线经过点(1,0)，所以有232000000(32)(1)x x x x x =--+-，化简得3200020x x x -+=，解得00x =或01x =，所以切线方程为0y =和1y x =-. …………………4分（Ⅱ）法一：由题得方程3210x ax x --+=只有一个根. ………………………5分设1)(23+--=x ax x x g ，则2'()321g x x ax =--，因为24120,a ∆=+>所以'()g x 有两个零点12,x x ，即23210ii x ax --=（1,2i =），且120x x <，2312i ix a x -=. …7分不妨设120x x <<，所以()g x 在12(,),(,)x x -∞+∞单调递增，在12(,)x x 单调递减，1()g x 为极大值，2()g x 为极小值，方程3210x ax x --+=只有一个根等价于1()0g x >且2()0g x >，或者1()0g x <且2()0g x <. ………………………………………………………………………9分又232323311()111(1,2)222i i i iii ii i i i x x g x x ax x x x x x i x -=--+=--+=--+=.设31()122x h x x =--+，所以231'()022h x x =--<，所以()h x 为减函数. 又(1)0h =，所以1x <时，()0h x >；1x >时，()0h x <，所以(1,2)i x i =大于1或小于1，由120x x <<知，(1,2)i x i =只能小于1，所以由二次函数2'()321g x x ax =--性质可得'(1)3210g a =-->，所以1a <. ……………………………………………………………………12分法二：曲线)(x f y =与直线1y x =-只有一个交点，等价于关于x 的方程231ax x x =-+只有一个实根. ………………………………………………5分显然0x ≠，所以方程211a x x x=-+只有一个实根. 设函数211()g x x x x =-+，则3233122'()1x x g x x x x+-=+-=. …………………7分设3()2h x x x =+-，2'()310h x x =+>，()h x 为增函数. 又(1)0h =，所以当0x <时，'()0g x >，()g x 为增函数；当01x <<时，'()0g x <，()g x 为减函数；当1x >时，'()0g x >，()g x 为增函数；所以()g x 在1x =时取极小值1. ……………9分又当x 趋向于0时，()g x 趋向于正无穷；又当x 趋向于负无穷时，()g x 趋向于负无穷；又当x 趋向于正无穷时，()g x 趋向于正无穷.所以()g x 图象大致如图所示：所以方程211a x x x=-+只有一个实根时，实数a 的取值范围为(,1)-∞. …………12分(22) 解： (1)连接CD CB OD BD ,,, 是圆O 的两条切线，OC BD ⊥∴，ο90=∠+∠∴DOC ODB ,又∵AB 为圆O 的直径，DB AD ⊥∴，ο90=∠+∠∴ODB ADO ODA OAD ∠=∠∴,DOC OAD ∠=∠∴,即得证，…………………………5分(2)OD AO =∴,DOC DAO ∠=∠∴,∴Rt △BAD ∽△COD ，8AD OC AB OD ⋅=⋅=. …………………………………………………………10分1O 1x y(23)解：（1）圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=θθsin 24cos 23y x （θ为参数）所以普通方程为4)4()3(22=++-y x . ……………………………………2分 ∴圆C 的极坐标方程：021sin 8cos 62=++-θρθρρ …………………5分（2）点),(y x M 到直线AB :02=+-y x 的距离为 ……………………6分 2|9sin 2cos 2|+-=θθd …………………………………………………7分△ABM 的面积|9)4sin(22||9sin 2cos 2|||21+-=+-=⨯⨯=θπθθd AB S……………………………………………………………………………………9分所以△ABM 面积的最大值为229+ ………………………………………10分(24) 解：（1）4,1()3,124,2x x f x x x x x --<-⎧⎪=-≤<⎨⎪+≥⎩， …………………………………2分当1,42,6,6x x x x <---><-∴<- 当2212,32,,233x x x x -≤<>>∴<< 当2,42,2,2x x x x ≥+>>-∴≥综上所述 2|63x x x ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或． ………………………………5分（2）易得min ()(1)3f x f =-=-，若∈∀x R ，t t x f 211)(2-≥恒成立，则只需22min 73()32760222f x t t t t t =-≥-⇒-+≤⇒≤≤，综上所述322t ≤≤． ……………………………………………10分。

东北三省三校2015届高三第一次高考模拟考试文科数学试卷 Word版含答案

哈尔滨师大附中 2015年高三第一次联合模拟考试文科数学试卷东北师大附中辽宁省实验中学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1．已知集合若，则b等于 A．1 B．2 C．3 D．1或2 2．复数 A．i B．-i C．D．1 + i 3．ΔABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则“a > b”是“cos2A < cos2B”的 A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．向量a，b满足，，，则向量a与b的夹角为 A．45° B．60° C．90° D．120° 5．实数m是区间上的随机数，则关于x 的方程有实根的概率为 A．B．C．D．6．已知三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是 A．B．C．D．7．椭圆两个焦点分别是F1、F2圆上任意一点，则的取值范围是 A．B．C．D．8．半径为1的球面上有四个点A、B、C、D，O为球心，AB过点O，CA=CB，DA=DB，DC=1，则三棱锥A - BCD的体积为 A．B．C．D．9．已知数列满足（），则a10=A．e26 B．e29 C．e32 D．e35 10．执行如图所示的程序框图，要使输出的S值小于1，则输入的t值不能是下面的 A．8 B．9 C．10 D．11 11．若函数在区间上为增函数，则实数m的取值范围是 A．B．C．D．12．函数的零点个数为 A．9 B．10 C．11 D．12 第II卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

全国大联考2015届高三第四次联考·文科数学试卷(附详解答案)

全国大联考2017届高三第四次联考·文科数学试卷考生注意:1.本试卷共150分.考试时间120分钟.2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚.3.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上.4.交卷时,可根据需要在加注“”标志的夹缝处进行裁剪.5.本试卷主要考试内容:前3次联考内容+立体几何+平面解析几何.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|x2≤2x},B={y|y>1},则A∩B等于A.{x|x≥2}B.{x|x>1}C.{x|0≤x<1}D.{x|1<x≤2}2.若双曲线x2-ay2=1的离心率为62,则正数a的值为A.3B.2C.4D.123.在下列四个图所表示的正方体中,能够得到AB⊥CD的是A.①②B.②③C.②④D.①③④4.若过点P(2,-1)的圆(x-1)2+y2=25的弦AB的长为10,则直线AB的方程是A.x-y-3=0B.2x+y-3=0C.x+y-1=0D.x-2y+5=05.设sin α+cos β=12,则sin α+sin2β的最小值为A.3 2B.-12C.-1D.346.已知某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为A.4+4πB.4+3πC.3+4πD.3+3π7.设m,n ∈R,若直线l:mx+ny-1=0与x 轴相交于点A,与y 轴相交于点B,且坐标原点O 到直线l 的距离为 3,则△AOB 的面积S 的最小值为A.1B.2C.3D.48.已知直线m ⊥平面α,直线n 在平面β内,给出下列三个命题:①“α∥β”是“m ⊥n ”的充分不必要条件;②“α⊥β”是“m ∥n ”的必要不充分条件;③“α⊥β”是“m ⊥n ”的充要条件.则其中真命题的个数为A.0B.1C.2D.39.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y 2=8x 相交于A 、B 两点,F 为C 的焦点,若|FA|=2|FB|,则k 等于A.1B. 2C.2D.2 2 10.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,且当x>0时,f(x)=52cos(π2x)+lo g 12x,则函数f(x)的零点个数为A.4B.6C.7D.911.半径为1的球内最大圆柱的体积为A.2 69π B. 34πC.2 33π D.4 39π12.双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A 、B,渐近线分别为l 1、l 2,点P 在第一象限内且在l 1上,若PA ⊥l 2,PB ∥l 2,则该双曲线的离心率为A. 5B.2C. 3D. 2第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卷中的横线上.13.一圆锥的侧面展开图是一半径为2的半圆,则该圆锥的体积为 ▲ .14.已知椭圆x 2+y 2=1(m>n>0)的离心率为1,且有一个焦点与抛物线y 2=16x 的焦点重合,则椭圆的短轴长为 ▲ .15.在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,已知a 2-b 2=c,且sin Acos B=2cos Asin B,则c= ▲ .16.正四面体ABCD 的棱长为1,其中线段AB ∥平面α,E,F 分别是线段AD 和BC 的中点,当正四面体绕以AB 为轴旋转时,线段EF 在平面α上的射影E 1F 1长的范围是 ▲ .三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)如图,这是一个半圆柱与多面体ABB 1A 1C 构成的几何体,平面ABC 与半圆柱的下底面共面,且AC ⊥BC,P 为A 1B 1 上的动点.(1)证明:PA 1⊥平面PBB 1;(2)设半圆柱和多面体ABB 1A 1C 的体积分别为V 1,V 2,且AC=BC,求V 1∶V 2.18.(本小题满分12分)已知点C 的坐标为(0,1),A,B 是抛物线y=x 2上不同于原点O 的相异的两个动点,且OA ·OB =0. (1)求证:AC∥BC ; (2)若AM =λMB (λ∈R),且OM ·AB =0,试求点M 的轨迹方程.19.(本小题满分12分)如图,在四棱台ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 是平行四边形,DD 1⊥平面ABCD,AB= 2AD,AD= 2A 1B 1,∠BAD=45°. (1)证明:BD ⊥AA 1;(2)证明:AA 1∥平面BC 1D.20.(本小题满分12分)已知数列{a n }中,a 1=5,a 2=2,且2(a n +a n+2)=5a n+1. (1)求证数列{a n+1-2a n }和{a n+1-12a n }都是等比数列; (2)求数列{2n-3a n }的前n 项和S n .21.(本小题满分12分)已知椭圆C 的中心在原点,一个焦点F(-2,0),且长轴长与短轴的比是2∶ 3.(1)求椭圆C 的方程;(2)设点M(m,0)在椭圆C 的长轴上,点P 是椭圆上任意一点,当|MP |最小时,点P 恰好落在椭圆的右顶点,求实数m 的取值范围.22.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=a-lnxx(a ∈R). (1)求f(x)的极值;(2)若函数f(x)的图像与函数g(x)=-1的图像在区间(0,e]上有公共点,求实数a 的取值范围.2015届高三第四次联考·数学试卷参考答案1.D 因为A={x|x 2≤2x}={x|0≤x ≤2},B={y|y>1},所以A ∩B={x|0≤x ≤2}∩{y|y>1}={x|1<x ≤2}.2.B 双曲线x 2-ay 2=1的方程可化为x 2-y 21a=1,得c 2=1+1a ,所以e 2=(1+1a )2=( 62)2,解得a=2.3.A 对于①,通过平移AB 到右边的平面,可知AB ⊥CD,所以①中AB ⊥CD;对于②,通过作右边平面的另一条对角线,可得CD 垂直AB 所在的平面,所以②中AB ⊥CD;对于③,可知AB 与CD 所成的角60°;对于④,通过平移CD 到下底面,可知AB 与CD 不垂直.所以能够得到AB ⊥CD 的是①和②.4.C 因为圆的直径为10,所以弦AB 为圆的直径,因为圆心为C(1,0),且直线AB 过点P(2,-1),由直线方程的两点式得y+1=x-2,即x+y-1=0.5.B 由sin α+cos β=12,得sin α=12-cos β,所以sin α+sin 2β=12-cos β+1-cos 2β=-(cos β+12)2+74,易知当cos β=1时,sin α+sin 2β取最小值-12,此时sin α=-12,满足题意. 6.A 由三视图可知,该几何体的上半部分是直径为1的球,其表面积为π,下半部分是底面半径为1,高为2的圆柱体的一半,其表面积为2×2+π×1×2+1×π×12×2=4+3π,所以该几何体的表面积为4+4π.7.C 由坐标原点O 到直线l 的距离为 3,可得22= 3,化简可得m 2+n 2=13,令x=0,可得y=1n ,令y=0,可得x=1m,故△AOB 的面积S=12·|1m ||1n |=12|mn|≥1m 2+n2=3,且当仅当|m|=|n|=6时,取等号. 8.C 对于①若α∥β,因为直线m ⊥平面α,所以直线m ⊥平面β,因为直线n 在平面β内, 所以直线m ⊥直线n,反之不成立,所以①是真命题;对于②,若m ∥n,因为直线m ⊥平面α,所以直线n ⊥平面α,因为直线n 在平面β内,所以α⊥β,反之不成立, 所以②是真命题;对于③,可知“α⊥β”是“m ⊥n ”的既不充分也不必要条件,所以③是假命题.所以真命题的个数为2.9.D 设抛物线C:y 2=8x 的准线为l:x=-2,直线y=k(x+2)(k>0)恒过定点P(-2,0), 如图过A 、B 分别作AM ⊥l 于M,BN ⊥l 于N,由|FA|=2|FB|,则|AM|=2|BN|,点B 为AP 的中点、连接OB,则|OB|=1|AF|,≨|OB|=|BF|,点B 的横坐标为1,故点B 的坐标为(1,2 2),≨k=2 2-0=2 2.10.C 当x>0时,函数f(x)=5cos(πx)+lo g 12x=5cos(πx)-log 2x 的零点个数,即函数y=52cos(π2x)与函数y=log 2x 的交点个数,如图所示有3个交点,又因为函数f(x)是定义在R 上的奇函数,则f(0)=0,所以函数f(x)的零点个数为3×2+1=7.11.D 设圆柱的底面半径为r,高为h,则有(h 2)2+r 2=12,所以圆柱的体积为V=πr 2h=π(1-h 2)h=π(-h 3+h),而V'=π(-3h 2+1),易知当h= 3时,V 取最大值π(-h 3+h)=π[-4( 3)3+ 3]=4 3π. 12.B 依题意有A(-a,0),B(a,0),渐近线方程分别为l 1:y=b a x,l 2:y=-bax,设P(x,y).由PB ∥l 2得y x-a =-b a,因为点P 在直线y=b a x 上,于是解得P 点坐标为P(a 2,b2),因为PA ⊥l 2,所以y-0x-(-a)·(-b a)=-1,即b 3a ·(-ba )=-1,所以b 2=3a 2,因为a 2+b 2=c 2,所以有c 2=4a 2,即c=2a,得e=2.13.3π3设圆锥的高为h,底面半径为r,母线长为l,则l=2,2πr=πl,得r=1,所以h= l 2-r 2= 4−1= 3,所以圆锥的体积为V=13πr 2h=3π3.14.8 3 由已知得m-n m =122=14,所以4n=3m,因为抛物线y 2=16x 的焦点为(4,0),而椭圆的右焦点为(c,0),所以c=4,得m-n=42=16,解得m=64,n=48,所以椭圆的短轴长为2 n =2 48=8 3.15.3 由sin Acos B=2cos Asin B 得a 2R ·a 2+c 2-b 22ac =2·b 2+c 2-a 22bc ·b2R ,所以a 2+c 2-b 2=2(b 2+c 2-a 2),即a 2-b 2=c 2,又a 2-b 2=c,解得c=3.16.[1, 2] 如图,取AC 中点为G,连接EG 、FG,≧E,F 分别是线段AD 和BC 的中点,≨GF ∥AB,GE ∥CD,在正四面体中,AB ⊥CD,≨GE ⊥GF, ≨EF= GE 2+GF 2=22,当四面体绕AB 旋转时, ≧GF ∥平面α,GE 与GF 的垂直性保持不变,当CD 与平面α垂直时,GE 在平面上的射影长最短为0,此时EF 在平面α上的射影E 1F 1的长取得最小值1;当CD 与平面α平行时,GE 在平面上的射影长最长为12,E 1F 1取得最大值 22;≨射影E 1F 1长的取值范围是[12, 22].17.证明:(1)在半圆柱中,BB 1⊥平面PA 1B 1,所以BB 1⊥PA 1.因为A 1B 1是底面圆的直径,所以PA 1⊥PB 1,因为PB 1∩BB 1=B 1,PB 1⊂平面PBB 1,BB 1⊂平面PBB 1,所以PA 1⊥平面PBB 1. ................................................................................. 5分 (2)因为AC ⊥BC,AC=BC,所以△ABC 是等腰直角三角形,且AB 2=BC 2+AC 2=2AC 2.所以半圆柱的体积V 1=12(12AB)2π·AA 1=π4AC 2·AA 1.多面体ABB 1A 1C 是以矩形ABB 1A 1为底面,以C 为顶点的四棱锥,其高为点C 到底面ABB 1A 1的距离,设这个高为h,在Rt △ABC 中,易得AB ·h=AC ·BC,所以h=AC ·BCAB ,所以V 2=13·AA 1·AB ·AC ·BC AB =13·AA 1·AC ·BC=13AA 1·AC 2.所以V 12=3π. ................................................................................................................................... 10分18.解:(1)设A(x 1,x 12),B(x 2,x 22),x 1≠0,x 2≠0,x 1≠x 2,因为OA ·OB =0,所以x 1x 2+x 12x 22=0,又x 1≠0,x 2≠0,所以x 1x 2=-1. 因为 AC =(-x 1,1-x 12),BC =(-x 2,1-x 22),且(-x 1)(1-x 22)-(-x 2)(1-x 12)=(x 2-x 1)+x 1x 2(x 2-x 1)=(x 2-x 1)-(x 2-x 1)=0,所以AC ∥BC. ................ 6分 (2)由题意知,点M 是直角三角形AOB 斜边上的垂足,又定点C 在直线AB 上,∠OMB=90°,所以点M 在以OC 为直径的圆上运动,其运动轨迹方程为x 2+(y-12)2=14(y≠0). ................................................................................................................................................. 12分19.证明:(1)因为AB= 2AD,∠BAD=45°,在△ABD 中,由余弦定理得BD 2=AD 2+AB 2-2AD ·ABcos 45°=AD 2,所以AD 2+BD 2=AB 2,因此AD ⊥BD,因为DD 1⊥平面ABCD,且BD ⊂平面ABCD,所以DD 1⊥BD,又AD ∩DD 1=D,所以BD ⊥平面ADD 1A 1.又AA 1⊂平面ADD 1A 1,所以BD ⊥AA 1. ................................................................................. 6分 (2)连结AC 、A 1C 1,设AC ∩BD=E,连结EC 1,因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AE=12AC,由棱台的定义及AB= 2AD=2A 1B 1知,A 1C 1∥AE,且A 1C 1=AE,所以四边形A 1C 1EA 是平行四边形,因此AA 1∥EC 1, 又因为EC 1⊂平面BC 1D,AA 1⊄平面BC 1D,所以AA 1∥平面BC 1D. .............................................................................................................. 12分20.解:(1)由2(a n +a n+2)=5a n+1得a n+2=5a n+1-a n ,所以a n+2-2a n+1=5a n+1-a n -2a n+1=1a n+1-a n =1(a n+1-2a n ).又因为a 2-2a 1=2-2×5=-8,所以数列{a n+1-2a n }是首项为-8,公比为12的等比数列.同理a n+2-12a n+1=52a n+1-a n -12a n+1=2a n+1-a n =2(a n+1-12a n ),又a 2-12a 1=2-52=-12,所以数列{a n+1-1a n }是首项为-1,公比为2的等比数列. ...................................................... 6分(2)由(1)知a n+1-2a n =-8×(12)n-1=-2-n+4,a n+1-12a n =-12×2n-1=-2n-2,将以上两式相减得到a n =25−n -2n-13(n ∈N +),所以2n-3a n =2n-3×25−n -2n-13=4−4n-23(n ∈N +),所以S n =4n 3-13(4-1+40+41+42+…+4n-2)=48n-4n+136. ............................................................ 12分21.(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0).由题意 a 2=b 2+c 2a ∶b =2∶ 3c =2.解得a 2=16,b 2=12.所以椭圆C 的方程为x 216+y 212=1. .............................................................................................. 6分(2)设P(x,y)为椭圆上的动点,由于椭圆方程为x 216+y 212=1,故-4≤x ≤4.因为MP=(x-m,y), 所以|MP|2=(x-m)2+y 2=(x-m)2+12×(1-x 2)=1x 2-2mx+m 2+12=1(x-4m)2+12-3m 2. 因为当|MP |最小时,点P 恰好落在椭圆的右顶点, 即当x=4m 时,|MP|2取得最小值,而x ∈[-4,4], 故有4m ≥4,解得m ≥1.又点M 在椭圆的长轴上,即-4≤m ≤4.故实数m 的取值范围是m ∈[1,4]. ......................................................................................... 12分22.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+≦),f'(x)=-1-(a-lnx)2,令f'(x)=0,得x=e 1+a , 当x ∈(0,e 1+a )时,f'(x)<0,f(x)是减函数; 当x ∈(e 1+a ,+≦)时,f'(x)>0,f(x)是增函数.所以当x=e 1+a 时,f(x)取得极小值,即极小值为f(x)=a-(a+1)e a+1=-e -1-a ,无极大值. ............. 6分 (2)①当e 1+a <e,即a<0时,由(1)知,f(x)在(0,e 1+a )上是减函数,在(e 1+a ,e)上是增函数,当x=e 1+a时,f(x)取得最小值,即f(x)最小值=-e -1-a ,又当x=e a 时,f(x)=0,当x ∈(0,e a )时,f(x)>0,当x ∈(e a ,e)时,f(x)∈(-e -1-a ,0),所以f(x)的图像与函数g(x)=-1的图像在区间(0,e]上有公共点,等价于-e -1-a ≤-1,解得a ≤-1,又a<0,所以a ≤-1.②当e 1+a ≥e,即a ≥0时,f(x)在(0,e]上是减函数,f(x)在(0,e]上的最小值为f(e)=a-1e,所以,原问题等价于a-1e≤-1,得a ≤1-e<0,又a ≥0,所以不存在这样的实数a.综上知实数a 的取值范围是a ≤-1. ....................................................................................................................... 12分。

2015年东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高考数学一模试卷(文科)

2015年东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（文科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．（5分）已知集合A={0，b}，B={x∈Z|x2﹣3x＜0}，若A∩B≠∅，则b等于（）A．1B．2C．3D．1或22．（5分）复数=（）A．i B．﹣i C．2（+i）D．1+i3．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则“a＞b”是“cos2A＜cos2B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）向量，满足||=1，||=，（+）⊥（2﹣），则向量与的夹角为（）A．45°B．60°C．90°D．120°5．（5分）实数m是[0，6]上的随机数，则关于x的方程x2﹣mx+4=0有实根的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）已知三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．7．（5分）椭圆两个焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则的取值范围是（）A．[1，4]B．[1，3]C．[﹣2，1]D．[﹣1，1] 8．（5分）半径为1的球面上有四个点A，B，C，D，球心为点O，AB过点O，CA=CB，DA=DB，DC=1，则三棱锥A﹣BCD的体积为（）A．B．C．D．9．（5分）已知数列{a n}满足•••…•=（n∈N*），则a10=（）A．e26B．e29C．e32D．e3510．（5分）执行如图所示的程序框图，要使输出的S的值小于1，则输入的t值不能是下面的（）A．8B．9C．10D．1111．（5分）若函数f（x）=2x3﹣3mx2+6x在区间（2，+∞）上为增函数，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，）D．（﹣∞，] 12．（5分）函数f（x）=lg（|x|+1）﹣sin2x的零点个数为（）A．9B．10C．11D．12二．填空题（本大题共4小题，每小题5分．）13．（5分）若等差数列{a n}中，满足a4+a6+a2010+a2012=8，则S2015=．14．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1，点P与双曲线C的焦点不重合，若点P 关于双曲线C的上、下焦点的对称点分别为A、B，点Q在双曲线C的上支上，点P关于点Q的对称点P1，则|P1A|﹣|P1B|=．16．（5分）若函数f（x）满足：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是R；（Ⅱ）对任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）+f（x1﹣x2）=2f（x1）f（x2）；（Ⅲ）f（1）=，则下列命题正确的是（只写出所有正确命题的序号）①函数f（x）是奇函数；②函数f（x）是偶函数；③对任意n1，n2∈N，若n1＜n2，则f（n1）＜f（n2）；④对任意x∈R，有f（x）≥﹣1．三.解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知△ABC的面积为2，且满足0＜•≤4，设和的夹角为θ．（1）求θ的取值范围；（2）求函数f（θ）=2sin2（+θ）﹣cos2θ的取值范围．18．（12分）空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m3）为0～50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50～100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100～150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150～200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200～300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．2015年1月某日某省x 个监测点数据统计如下：（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x ，y 的值，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）若A 市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，2个监测点为良．从中任意选取2个监测点，事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少？19．（12分）如图，多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是菱形，∠BCD=60°，四边形BDEF 是正方形且DE ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）求证：CF ∥平面ADE ；（Ⅱ）若AE=，求多面体ABCDEF 的体积V ．20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知动圆过点（2，0），且被y 轴所截得的弦长为4．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C1的方程；（Ⅱ）过点P（1，2）分别作斜率为k1，k2的两条直线l1，l2，交C1于A，B两点（点A，B异于点P），若k1+k2=0，且直线AB与圆C2：（x﹣2）2+y2=相切，求△PAB的面积．21．（12分）已知a是实常数，函数f（x）=xlnx+ax2．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线过点A（0，﹣2），求实数a的值；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），①求证：﹣＜a＜0；②求证：f（x2）＞f（x1）＞﹣．二、请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边上的中点，连接OD交圆O与点M．（1）求证：DE是圆O的切线；（2）求证：DE•BC=DM•AC+DM•AB．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，求实数m的取值范围．2015年东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．（5分）已知集合A={0，b}，B={x∈Z|x2﹣3x＜0}，若A∩B≠∅，则b等于（）A．1B．2C．3D．1或2【解答】解：∵集合B={x∈Z|x2﹣3x＜0}={1，2}，集合A={0，b}，若A∩B≠∅，则b=1或b=2，故选：D．2．（5分）复数=（）A．i B．﹣i C．2（+i）D．1+i【解答】解：复数==i，故选：A．3．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则“a＞b”是“cos2A＜cos2B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：在三角形中，cos2A＜cos2B等价为1﹣2sin2A＜1﹣2sin2B，即sinA ＞sinB．若a＞b，由正弦定理，得sinA＞sinB．充分性成立．若sinA＞sinB，则正弦定理，得a＞b，必要性成立．所以，“a＞b”是“sinA＞sinB”的充要条件．即a＞b是cos2A＜cos2B成立的充要条件，故选：C．4．（5分）向量，满足||=1，||=，（+）⊥（2﹣），则向量与的夹角为（）A．45°B．60°C．90°D．120°【解答】解：设向量与的夹角为θ．∵（+）⊥（2﹣），∴（+）•（2﹣）=+==0，化为cosθ=0，∵θ∈[0，π]，∴θ=90°．故选：C．5．（5分）实数m是[0，6]上的随机数，则关于x的方程x2﹣mx+4=0有实根的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵方程x2﹣mx+4=0有实根，∴判别式△=m2﹣16≥0，∴m≤﹣4或m≥4时方程有实根，∵实数m是[0，6]上的随机数，区间长度为6，[4，6]的区间长度为2，∴所求的概率为P==．故选：B．6．（5分）已知三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，AB=BC=CA=2，点P在侧面ABC的射影为O，OP=2．∴该三棱锥的体积V===．故选：B．7．（5分）椭圆两个焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则的取值范围是（）A．[1，4]B．[1，3]C．[﹣2，1]D．[﹣1，1]【解答】解：椭圆的焦点坐标F1（，0），F2（，0）．设P（2cosθ，sinθ）（θ∈∈[0，2π））．∴═（﹣﹣2cosθ，﹣sinθ）•（﹣2cosθ，﹣sinθ）=4cos2θ﹣3+sin2θ=3cos2θ﹣2，∵0≤cos2θ≤1，∴﹣2≤3cos2θ﹣2≤1．即的最大值与最小值分别是1，﹣2．故选：C．8．（5分）半径为1的球面上有四个点A，B，C，D，球心为点O，AB过点O，CA=CB，DA=DB，DC=1，则三棱锥A﹣BCD的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知图形如图：AB过点O，CA=CB，DA=DB，三角形ABD 与ACB都是等腰直角三角形，半径为1的球面上有四个点A，B，C，D，球心为点O，∴AD=BD=AC=BC=，DC=1，OD=0C=1，AB⊥OD，AB⊥OC，几何体的体积为：×S△OCD•（AO+OB）==故选：A．9．（5分）已知数列{a n}满足•••…•=（n∈N*），则a10=（）A．e26B．e29C．e32D．e35【解答】解：数列{a n}满足•••…•=（n∈N*），可知•••…•=，两式作商可得：==，可得lna n=3n+2．a10=e32．故选：C．10．（5分）执行如图所示的程序框图，要使输出的S的值小于1，则输入的t值不能是下面的（）A．8B．9C．10D．11【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+…+sin，k∈Z的值，∵sin的值以6为周期，且sin+sin+…+sin=0，∴当t=8时，S=sin+sin+…+sin=sin+sin+sin=＞1，故A符合要求；当t=9时，S=sin+sin+…+sin+sin=sin+sin+sin+sin=＜1，故B不符合要求；当t=10时，S=sin+sin+…+sin+sin+sin=sin+sin+sin+sin+sin=0＜1，故C不符合要求；当t=11时，S=sin+sin+…+sin+sin+sin+sin=0＜1，故D 不符合要求；故选：A．11．（5分）若函数f（x）=2x3﹣3mx2+6x在区间（2，+∞）上为增函数，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，）D．（﹣∞，]【解答】解：f′（x）=6x2﹣6mx+6；由已知条件知x∈（2，+∞）时，f′（x）≥0恒成立；设g（x）=6x2﹣6mx+6，则g（x）≥0在（2，+∞）上恒成立；∴（1）若△=36（m2﹣4）≤0，即﹣2≤m≤2，满足g（x）≥0在（2，+∞）上恒成立；（2）若△=36（m2﹣4）＞0，即m＜﹣2，或m＞2，则需：；解得；∴；∴综上得；∴实数m的取值范围是（﹣∞，]．故选：D．12．（5分）函数f（x）=lg（|x|+1）﹣sin2x的零点个数为（）A．9B．10C．11D．12【解答】解：函数f（x）=lg（|x|+1）﹣sin2x的零点个数即y=lg（|x|+1）与y=sin2x的图象的交点的个数，作函数y=lg（|x|+1）与y=sin2x的图象如下，结合图象及三角函数的最值知，图象在y轴左侧有6个交点，在y轴右侧有5个交点，在y轴上有一个交点；故选：D．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分．）13．（5分）若等差数列{a n}中，满足a4+a6+a2010+a2012=8，则S2015=4030．【解答】解：∵a2012+a4=a6+a2010=a1+a2015，a4+a6+a2010+a2012=8，∴2（a1+a2015）=8，∴a1+a2015=4，∴S2015==4030．故答案为：4030．14．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为﹣6．【解答】解：在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，目标函数z=x+2y，变化为y=﹣x+，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，由y=x﹣9与2x+y=3的交点得到A（4，﹣5）∴z=4+2（﹣5）=﹣6故答案为：﹣6．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1，点P与双曲线C的焦点不重合，若点P 关于双曲线C的上、下焦点的对称点分别为A、B，点Q在双曲线C的上支上，点P关于点Q的对称点P1，则|P1A|﹣|P1B|=﹣16．【解答】解：设双曲线的上下焦点分别为F，F'，连接QF，QF'．由点P关于双曲线C的上、下焦点的对称点分别为A、B，则F为PA的中点，F'为PB的中点，由点Q在双曲线C的上支上，点P关于点Q的对称点P1，则Q为PP1的中点，由中位线定理可得，|P1A|=2|QF|，|P1B|=2|QF'|，由双曲线的定义可得|QF'|﹣|QF|=2a=8，则|P1A|﹣|P1B|=2（|QF|﹣|QF'|）=﹣2×8=﹣16．故答案为：﹣16．16．（5分）若函数f（x）满足：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是R；（Ⅱ）对任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）+f（x1﹣x2）=2f（x1）f（x2）；（Ⅲ）f（1）=，则下列命题正确的是②③④（只写出所有正确命题的序号）①函数f（x）是奇函数；②函数f（x）是偶函数；③对任意n1，n2∈N，若n1＜n2，则f（n1）＜f（n2）；④对任意x∈R，有f（x）≥﹣1．【解答】解：令x1=1，x2=0，f（1+0）+f（1﹣0）=2f（1）f（0），即2f（1）=2f（1）f（0），∵f（1）=，∴f（0）=1．令x1=0，x2=x，则f（x）+f（﹣x）=2f（0）f（x）=2f（x），则f（﹣x）=f（x），故函数f（x）为偶函数，故②正确，①错误．∵f（1）=，∴f（1+1）+f（1﹣1）=2f（1）f（1），即f（2）=2f2（1）﹣f（0）=2×（）2﹣1=，f（2+1）+f（1）=2f（1）f（2），即f（3）=2f（1）f（2）﹣f（1）=2××﹣=，同理f（4）=，由归纳推理得对任意n1，n2∈N，若n1＜n2，则f（n1）＜f（n2）正确；故③正确，令x1=x2=x，则由f（x1+x2）+f（x1﹣x2）=2f（x1）f（x2）得f（2x）+f（0）=2f（x）f（x）=2f2（x），即f（2x）+1=2f2（x）≥0，∴f（2x）+1≥0，即f（2x）≥﹣1．∴对任意x∈R，有f（x）≥﹣1．故④正确．三.解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知△ABC的面积为2，且满足0＜•≤4，设和的夹角为θ．（1）求θ的取值范围；（2）求函数f（θ）=2sin2（+θ）﹣cos2θ的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得•=cbcosθ，∵△ABC的面积为2，∴bcsinθ=2，变形可得cb=，∴•=cbcosθ==，由0＜•≤4，可得0＜≤4解得tanθ≥1，又∵0＜θ＜π，∴向量夹角θ的范围为[，）；（2）化简可得f（θ）=2sin2（+θ）﹣cos2θ=2×﹣cos2θ=1+sin2θ﹣cos2θ=1+2sin（2θ﹣）∵由（1）知θ∈[，），∴2θ﹣∈[，），∴sin（2θ﹣）∈[，1]，∴1+2sin（2θ﹣）∈[2，3]，∴f（θ）的取值范围为：[2，3]18．（12分）空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m3）为0～50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50～100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100～150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150～200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200～300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．2015年1月某日某省x 个监测点数据统计如下：（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）若A市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，2个监测点为良．从中任意选取2个监测点，事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少？【解答】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图，得；0.003×50=，∴x=100；又∵15+40+y+10=100，∴y=35；…（2分）∴直方图中（50，100]对应矩形的高为=0.008，（100，150]对应矩形的高为=0.007，（150，200]对应矩形的高为=0.002；补全频率分布直方图，如图所示；…（5分）（Ⅱ）设A市空气质量状况属于轻度污染3个监测点为1，2，3，空气质量状况属于良的2个监测点为4，5，从中任取2个的基本事件分别为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10种，…（8分）其中事件A“其中至少有一个为良”包含的基本事件为（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共7种，…（10分）所以事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是P（A）=．…（12分）19．（12分）如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，四边形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：CF∥平面ADE；（Ⅱ）若AE=，求多面体ABCDEF的体积V．【解答】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵四边形BDEF是正方形，∴DE∥BF，∵BF∩BC=B，∴平面ADE∥平面BCF，∵CF⊂平面BCF，∴CF∥平面ADE．（Ⅱ）解：连结AC，交BD于O，∵四边形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD．∴DE⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DE，∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又BD∩DE=D，∴AC⊥平面BDEF，∵AE=，∠BCD=60°，∴AD=DE=BD=1，∴AO=CO=，∴多面体ABCDEF的体积：V=2V A﹣BDEF=2×=2×=．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知动圆过点（2，0），且被y轴所截得的弦长为4．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C1的方程；（Ⅱ）过点P（1，2）分别作斜率为k1，k2的两条直线l1，l2，交C1于A，B两点（点A，B异于点P），若k1+k2=0，且直线AB与圆C2：（x﹣2）2+y2=相切，求△PAB的面积．【解答】解：（Ⅰ）设动圆圆心坐标为（x，y），半径为r，由题可知，∴动圆圆心的轨迹方程为：y2=4x；（Ⅱ）设直线l1的斜率为k，则l1：y﹣2=k（x﹣1），l2：y﹣2=﹣k（x﹣1），点P（1，2）在抛物线y2=4x上，联立，消去x得：ky2﹣4y+8﹣4k=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），△＞0恒成立，即（k﹣1）2＞0，有k≠1，∴y1y P=，∵y P=2，∴y1=，代入直线方程可得：，同理可得：x2=，，k AB===﹣1，不妨设l AB：y=﹣x+b，∵直线AB与圆C相切，∴=，解得b=3或1，当b=3时，直线AB过点P，舍去，当b=1时，由，可得x2﹣6x+1=0，此时△=32，∴|AB|==8，∴P到直线AB的距离d=，△PAB的面积为=4．21．（12分）已知a是实常数，函数f（x）=xlnx+ax2．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线过点A（0，﹣2），求实数a的值；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），①求证：﹣＜a＜0；②求证：f（x2）＞f（x1）＞﹣．【解答】（1）解：由已知可得，f′（x）=lnx+1+2ax（x＞0），切点P（1，a），f（x）在x=1处的切线斜率为k=1+2a，切线方程：y﹣a=（2a+1）（x﹣1），把（0，﹣2）代入得：a=1；（2）证明：①依题意：f′（x）=0 有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），设g（x）=lnx+2ax+1 则：g′（x）=+2a（x＞0）当a≥0时，有g′（x）＞0，所以g（x）是增函数，不符合题意；当a＜0时：由g′（x）=0得：x=﹣＞0，列表如下：依题意：g（﹣）=ln（﹣）＞0，解得：﹣＜a＜0，综上可得，﹣＜a＜0得证；②由①知：f（x），f′（x）变化如下：由表可知：f（x）在[x1，x2]上为增函数，所以：f（x2）＞f（x1）又f′（1）=g（1）=1+2a＞0，故x1∈（0，1），由（1）知：ax1=，f（x1）=x1lnx1+ax12=（x1lnx1﹣x1）（0＜x1＜1）设h（x）=（xlnx﹣x）（0＜x＜1），则h′（x）=lnx＜0成立，所以h（x）单调递减，故：h（x）＞h（1）=﹣，也就是f（x1）＞﹣综上所证：f（x2）＞f（x1）＞﹣成立．二、请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边上的中点，连接OD交圆O与点M．（1）求证：DE是圆O的切线；（2）求证：DE•BC=DM•AC+DM•AB．【解答】证明：（1）连接BE，OE，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∵∠ABC=90°=∠AEB，∠A=∠A，∴△AEB∽△ABC，∴∠ABE=∠C，∵BE⊥AC，D为BC的中点，∴DE=BD=DC，∴∠DEC=∠DCE=∠ABE=∠BEO，∠DBE=∠DEB，∴∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°，∴∠OED=90°，∴DE是圆O的切线．（2）证明：∵O、D分别为AB、BC的中点，∴DM=OD﹣OM=（AC﹣AB），∴DM•AC+DM•AB=DM•（AC+AB）=（AC﹣AB）•（AC+AB）=（AC2﹣AB2）=BC2=DE•BC．∴DE•BC=DM•AC+DM•AB．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x．直线L的参数方程是（t为参数），消去参数t可得．（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为：+m2﹣2m=0，由△＞0，解得﹣1＜m＜3．∴t1t2=m2﹣2m．∵|PA|•|PB|=1=|t1t2|，∴m2﹣2m=±1，解得，1．又满足△＞0．∴实数m=1，1．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=，令f（x）=0，求得x=﹣，或x=3，故不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣，或x＞3}．（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，即f（x0）＜4m﹣2m2 有解，由（1）可得f（x）的最小值为f（）=﹣3•﹣1=﹣，故﹣＜4m﹣2m2 ，求得﹣＜m＜．。

辽宁省沈阳市2015届高三数学一模试卷文(含解析)

2015年某某省某某市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2015•某某一模）若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，则集合（∁U M）∩N等于（）A． {2，3} B． {2，3，5，6} C． {1，4} D． {1，4，5，6}【考点】：交、并、补集的混合运算．【专题】：集合．【分析】：根据集合的基本运算即可得到结论．【解析】：解：由补集的定义可得∁U N={2，3，5}，则（∁U N）∩M={2，3}，故选：A【点评】：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）（2015•某某一模）设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=（） A．﹣1+i B．﹣1﹣i C． 1+i D． 1﹣i【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：计算题．【分析】：根据所给的等式两边同时除以1﹣i，得到z的表示式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，得到结果．【解析】：解：∵复数z满足z（1﹣i）=2i，∴z==﹣1+i故选A．【点评】：本题考查代数形式的除法运算，是一个基础题，这种题目若出现一定是一个送分题目，注意数字的运算．3．（5分）（2014•某某）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】：充要条件．【专题】：计算题；简易逻辑．【分析】：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解析】：解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．故选：B．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）（2015•某某一模）抛物线y=4ax2（a≠0）的焦点坐标是（）A．（0，a） B．（a，0） C．（0，） D．（，0）【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：先将抛物线的方程化为标准式，再求出抛物线的焦点坐标．【解析】：解：由题意知，y=4ax2（a≠0），则x2=，所以抛物线y=4ax2（a≠0）的焦点坐标是（0，），故选：C．【点评】：本题考查抛物线的标准方程、焦点坐标，属于基础题．5．（5分）（2015•某某一模）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S n+2﹣S n=36，则n=（）A． 5 B． 6 C． 7 D． 8【考点】：等差数列的性质．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：由S n+2﹣S n=36，得a n+1+a n+2=36，代入等差数列的通项公式求解n．【解析】：解：由S n+2﹣S n=36，得：a n+1+a n+2=36，即a1+nd+a1+（n+1）d=36，又a1=1，d=2，∴2+2n+2（n+1）=36．解得：n=8．故选：D．【点评】：本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的通项公式，是基础题．6．（5分）（2015•某某一模）已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A． B． C． 2cm3 D． 4cm3【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由题目给出的几何体的三视图，还原得到原几何体，然后直接利用三棱锥的体积公式求解．【解析】：解：由三视图可知，该几何体为底面是正方形，且边长为2cm，高为2cm的四棱锥，如图，故，故选B．【点评】：本题考查了棱锥的体积，考查了空间几何体的三视图，能够由三视图还原得到原几何体是解答该题的关键，是基础题．7．（5分）（2015•某某一模）已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（） A． 3 B．﹣3 C． 1 D．【考点】：简单线性规划．【专题】：计算题．【分析】：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解析】：解：作图易知可行域为一个三角形，当直线z=2x+y过点A（2，﹣1）时，z最大是3，故选A．【点评】：本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．8．（5分）（2015•某某一模）执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为（）A． 4 B． 5 C． 6 D． 7【考点】：程序框图．【专题】：计算题；规律型；算法和程序框图．【分析】：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出输出不满足条件S=0+1+2+8+…＜100时，k+1的值．【解析】：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：输出不满足条件S=0+1+2+8+…＜100时，k+1的值．第一次运行：满足条件，s=1，k=1；第二次运行：满足条件，s=3，k=2；第三次运行：满足条件，s=11＜100，k=3；满足判断框的条件，继续运行，第四次运行：s=1+2+8+211＞100，k=4，不满足判断框的条件，退出循环．故最后输出k的值为4．故选：A．【点评】：本题考查根据流程图（或伪代码）输出程序的运行结果．这是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．9．（5分）（2015•某某一模）已知函数，若，则f（﹣a）=（） A． B． C． D．【考点】：函数的值．【专题】：计算题．【分析】：利用f（x）=1+，f（x）+f（﹣x）=2即可求得答案．【解析】：解：∵f（x）==1+，∴f（﹣x）=1﹣，∴f（x）+f（﹣x）=2；∵f（a）=，∴f（﹣a）=2﹣f（a）=2﹣=．故选C．【点评】：本题考查函数的值，求得f（x）+f（﹣x）=2是关键，属于中档题．10．（5分）（2015•某某一模）在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则•=（）A． B． C． D．【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：计算题；平面向量及应用．【分析】：运用向量的平方即为模的平方，可得=0，再由向量的三角形法则，以及向量共线的知识，化简即可得到所求．【解析】：解：若|+|=|﹣|，则=，即有=0，E，F为BC边的三等分点，则=（+）•（+）=（）•（）=（+）•（+）=++=×（1+4）+0=．故选B．【点评】：本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查向量共线的定理，考查运算能力，属于中档题．11．（5分）（2015•某某一模）函数y=的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A． 2 B． 4 C． 6 D． 8【考点】：奇偶函数图象的对称性；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．【专题】：压轴题；数形结合．【分析】：的图象由奇函数的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sinπx的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点个数为偶数，且每一对对称点的横坐标之和为2．由此不难得到正确答案．【解析】：解：函数，y2=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象如图当1＜x≤4时，y1＜0而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在和上是减函数；在和上是增函数．∴函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H相应地，y1在（﹣2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D且：x A+x H=x B+x G═x C+x F=x D+x E=2，故所求的横坐标之和为8故选D【点评】：发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口，讨论函数y2=2sinπx的单调性找出区间（1，4）上的交点个数是本题的难点所在．12．（5分）（2015•某某校级一模）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（3，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（3，+∞）【考点】：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【专题】：导数的综合应用．【分析】：构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解析】：解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．【点评】：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.）13．（5分）（2015•某某一模）若双曲线E的标准方程是，则双曲线E的渐进线的方程是y=x ．【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：求出双曲线的a，b，再由渐近线方程y=x，即可得到所求方程．【解析】：解：双曲线E的标准方程是，则a=2，b=1，即有渐近线方程为y=x，即为y=x．故答案为：y=x．【点评】：本题考查双曲线的方程和性质：渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．14．（5分）（2015•某某一模）已知{a n}是等比数列，，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=．【考点】：数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】：计算题．【分析】：首先根据a2和a5求出公比q，根据数列{a n a n+1}每项的特点发现仍是等比数列，根据等比数列求和公式可得出答案．【解析】：解：由，解得．数列{a n a n+1}仍是等比数列：其首项是a1a2=8，公比为，所以，故答案为．【点评】：本题主要考查等比数列通项的性质和求和公式的应用．应善于从题设条件中发现规律，充分挖掘有效信息．15．（5分）（2015•某某一模）若直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）则直线l 在x轴和y轴的截距之和的最小值是3+2．【考点】：直线的截距式方程．【专题】：直线与圆．【分析】：把点（1，1）代入直线方程，得到=1，然后利用a+b=（a+b）（），展开后利用基本不等式求最值．【解析】：解：∵直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）∴=1，∴a+b=（a+b）（）=3+≥3+2，当且仅当b=a时上式等号成立．∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为3+2．故答案为：3+2．【点评】：本题考查了直线的截距式方程，考查利用基本不等式求最值，是中档题．16．（5分）（2015•某某一模）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若BC⊥AC，∠A=，AC=4，AA1=4，M为AA1的中点，点P为BM中点，Q在线段CA1上，且A1Q=3QC．则异面直线PQ与AC所成角的正弦值．【考点】：异面直线及其所成的角．【专题】：空间角．【分析】：以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PQ与AC所成角的正弦值．【解析】：解：以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则由题意得A（0，4，0），C（0，0，0），B（4，0，0），M（0，4，2），A1（0，4，4），P（2，2，1），==（0，4，4）=（0，1，1），∴Q（0，1，1），=（0，﹣4，0），=（﹣2，﹣1，0），设异面直线PQ与AC所成角为θ，cosθ=|cos＜＞|=||=，∴sinθ==．故答案为：．【点评】：本题考查异面直线PQ与AC所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17．（12分）（2015•某某一模）已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．【考点】：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】：（I）先化简求得解析式f（x）=sin（2x﹣）+，从而可求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）先求2x﹣的X围，可得sin（2x﹣）的X围，从而可求函数f（x）的值域．【解析】：解：（I）f（x）=sin2x+sinxcosx=+sin2x …（2分）=sin（2x﹣）+．…（4分）函数f（x）的最小正周期为T=π．…（6分）因为﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，所以函数f（x）的单调递增区间是[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z，．…（8分）（Ⅱ）当x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]sin（2x﹣）∈[﹣，1]，…（10分）所以函数f（x）的值域为f（x）∈[0，1+]．…（12分）【点评】：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．18．（12分）（2015•某某一模）某班主任对全班50名学生学习积极性和参加社团活动情况进行调查，统计数据如表所示参加社团活动不参加社团活动合计学习积极性高 17 8 25学习积极性一般 5 20 25合计 22 28 50（Ⅰ）如果随机从该班抽查一名学生，抽到参加社团活动的学生的概率是多少？抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生的概率是多少？（Ⅱ）试运用独立性检验的思想方法【分析】：学生的学习积极性与参加社团活动情况是否有关系？并说明理由．x2=．P（x2≥k） 0.05 0.01 0.001K 3.841 6.635 10.828【考点】：独立性检验的应用．【专题】：计算题；概率与统计．【分析】：（Ⅰ）求出积极参加社团活动的学生有22人，总人数为50人，得到概率，不参加社团活动且学习积极性一般的学生为20人，得到概率．（Ⅱ）根据条件中所给的数据，代入求这组数据的观测值的公式，求出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到有99.9%的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动情况有关系．【解析】：解：（Ⅰ）积极参加社团活动的学生有22人，总人数为50人，所以随机从该班抽查一名学生，抽到参加社团活动的学生的概率是=；抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生为20人，所以其概率为=；（Ⅱ）x2=≈11.7∵x2＞10.828，∴有99.9%的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动情况有关系．【点评】：本题考查独立性检验的意义，是一个基础题，题目一般给出公式，只要我们代入数据进行运算就可以，注意数字的运算不要出错．19．（12分）（2015•某某一模）如图，设四棱锥E﹣ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=EC=2，AE=BE=．（Ⅰ）证明：平面EAB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求四棱锥E﹣ABCD的体积．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（I）取AB的中点O，连结EO、CO，由已知得△ABC是等边三角形，由此能证明平面EAB⊥平面ABCD．（II）V E﹣ABCD=，由此能求出四棱锥E﹣ABCD的体积．【解析】：（I）证明：取AB的中点O，连结EO、CO．由AE=BE=，知△AEB为等腰直角三角形．故EO⊥AB，EO=1，又AB=BC，∠ABC=60°，则△ABC是等边三角形，从而CO=．又因为EC=2，所以EC2=EO2+CO2，所以EO⊥CO．又EO⊥AB，CO∩AB=O，因此EO⊥平面ABCD．又EO⊂平面EAB，故平面EAB⊥平面ABCD．…（8分）（II）解：V E﹣ABCD===．…（12分）【点评】：本题考查平面与平面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．（12分）（2015•某某一模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），e=，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A、B，点A，B的中点横坐标为，且=λ（其中λ＞1）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）某某数λ的值．【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】：圆锥曲线中的最值与X围问题．【分析】：（I）由条件可知c=1，a=2，由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）由，可知A，B，F三点共线，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB⊥x轴，则x1=x2=1，不合意题意．当AB所在直线l的斜率k存在时，设方程为y=k（x﹣1）．由，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出实数λ的值．【解析】：解：（I）由条件可知c=1，a=2，故b2=a2﹣c2=3，椭圆的标准方程是．…（4分）（Ⅱ）由，可知A，B，F三点共线，设A（x1，y1），B（x2，y2），若直线AB⊥x轴，则x1=x2=1，不合题意．当AB所在直线l的斜率k存在时，设方程为y=k（x﹣1）．由，消去y得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．①由①的判别式△=64k4﹣4（4k2+3）（4k2﹣12）=144（k2+1）＞0．因为，…（6分）所以=，所以．…（8分）将代入方程①，得4x2﹣2x﹣11=0，解得x=．…（10分）又因为=（1﹣x1，﹣y1），=（x2﹣1，y2），，，解得．…（12分）【点评】：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的实数的值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．21．（12分）（2015•某某一模）已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数．（Ⅰ）若过点A（2，f（2））的切线斜率为2，某某数a的值；（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1﹣）；（Ⅲ）在区间（1，e）上＞1恒成立，某某数a的取值X围．【考点】：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）求函数的导数，根据函数导数和切线斜率之间的关系即可某某数a的值；（Ⅱ）构造函数，利用导数证明不等式即可；（Ⅲ）利用参数分离法结合导数的应用即可得到结论．【解析】：【解析】：（I）函数的f（x）的导数f′（x）=，∵过点A（2，f（2））的切线斜率为2，∴f′（2）==2，解得a=4．…（2分）（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣a（1﹣）=a（lnx﹣1+）；则函数的导数g′（x）=a（）．…（4分）令g′（x）＞0，即a（）＞0，解得x＞1，∴g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．∴g（x）最小值为g（1）=0，故f（x）≥a（1﹣）成立．…（6分）（Ⅲ）令h（x）=alnx+1﹣x，则h′（x）=﹣1，令h′（x）＞0，解得x＜a．…（8分）当a＞e时，h（x）在（1，e）是增函数，所以h（x）＞h（1）=0．…（9分）当1＜a≤e时，h（x）在（1，a）上递增，（a，e）上递减，∴只需h（x）≥0，即a≥e﹣1．…（10分）当a≤1时，h（x）在（1，e）上递减，则需h（e）≥0，∵h（e）=a+1﹣e＜0不合题意．…（11分）综上，a≥e﹣1…（12分）【点评】：本题主要考查导数的综合应用，要求熟练掌握导数的几何意义，函数单调性最值和导数之间的关系，考查学生的综合应用能力．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2015•某某一模）如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE ⊥AB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF=FG．（Ⅰ）求证：C是劣弧BD的中点；（Ⅱ）求证：BF=FG．【考点】：与圆有关的比例线段．【专题】：计算题．【分析】：（I）要证明C是劣弧BD的中点，即证明弧BC与弧CD相等，即证明∠CAB=∠DAC，根据已知中CF=FG，AB是圆O的直径，CE⊥AB于E，我们易根据同角的余角相等，得到结论．（II）由已知及（I）的结论，我们易证明△BFC及△GFC均为等腰三角形，即CF=BF，CF=GF，进而得到结论．【解析】：解：（I）∵CF=FG∴∠CGF=∠FCG∴AB圆O的直径∴∵CE⊥AB∴∵∴∠CBA=∠ACE∵∠CGF=∠DGA∴∴∠CAB=∠DAC∴C为劣弧BD的中点（5分）（II）∵∴∠GBC=∠FCB∴CF=FB同理可证：CF=GF∴BF=FG（10分）【点评】：本题考查的知识点圆周角定理及其推理，同（等）角的余角相等，其中根据AB 是圆O的直径，CE⊥AB于E，找出要证明相等的角所在的直角三角形，是解答本题的关键．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2015•某某一模）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（1，2），倾斜角α=．（Ⅰ）写出圆C的标准方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A、B两点，求|PA|•|PB|的值．【考点】：参数方程化成普通方程．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：（Ⅰ）利用同角的三角函数的平方关系消去θ，得到圆的普通方程，再由直线过定点和倾斜角确定直线的参数方程；（Ⅱ）把直线方程代入圆的方程，得到关于t的方程，利用根与系数的关系得到所求．【解析】：解：（I）消去θ，得圆的标准方程为2+y2=16．…（2分）直线l的参数方程为，即（t为参数）…（5分）（Ⅱ）把直线的方程代入x2+y2=16，得（1+t）2+（2+t）2=16，即t2+（2+）t﹣11=0，…（8分）所以t1t2=﹣11，即|PA|•|PB|=11．…（10分）【点评】：本题考查了圆的参数方程化为普通方程、直线的参数方程以及直线与圆的位置关系问题，属于基础题．选修4-5：不等式选讲24．（2015•某某一模）设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|＞m对一切实数x均成立，求m的取值X围．【考点】：绝对值不等式的解法；函数最值的应用．【专题】：计算题；压轴题；分类讨论．【分析】：（1）分类讨论，当x≥4时，当时，当时，分别求出不等式的解集，再把解集取交集．（2）利用绝对值的性质，求出f（x）+3|x﹣4|的最小值为9，故m＜9．【解析】：解：（1）当x≥4时f（x）=2x+1﹣（x﹣4）=x+5＞0得 x＞﹣5，所以，x≥4时，不等式成立．当时，f（x）=2x+1+x﹣4=3x﹣3＞0，得x＞1，所以，1＜x＜4时，不等式成立．当时，f（x）=﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以，x＜﹣5成立综上，原不等式的解集为：{x|x＞1或x＜﹣5}．（2）f（x）+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣（2x﹣8）|=9，当，所以，f（x）+3|x﹣4|的最小值为9，故 m＜9．【点评】：本题考查绝对值不等式的解法，求函数的最小值的方法，绝对值不等式的性质，体现了分类讨论的数学思想．。

新课标2015届高三第三次四校联考数学(文)试卷带答案

2015届高三年级第三次四校联考数学（文）试题一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)1.设全集为R ，集合A={}4|2<∈x R x ，B={}41|≤<-x x ，则 A =)(B C RA.()2,1-B.()1,2--C.(]1,2--D.()2,2- 2.已知复数iiz +-=11i (为虚数单位)，则z 的共轭复数是 A.i B.i +1 C.i - D.i -13.若等比数列{}n a 满足2031=+a a ，4042=+a a ，则公比q = A.1 B.2 C.2- D.44.若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21，则双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为A .x y 23±= B .x y 3±= C .x y 21±= D .x y ±= 5.已知命题:p ,x R ∃∈使23xx>；命题:(0,),tan sin 2q x x x π∀∈>，下列是真命题的是A.()p q ⌝∧B.()()p q ⌝∨⌝C.()p q ∧⌝D.()p q ∨⌝ 6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.π38 B.π316 C.π8 D.π364 7.在面积为S 的ABC ∆内部任取一点P ，则PBC ∆的面积大于4S的概率为 A .41 B .43C .94D .1698.如果执行如图的程序框图，那么输出的值是 A. 2016 B . 2C .12D .1- 9.已知函数133,(1),()log ,(1),x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数(1)y f x =-的大致图象是10.在半径为cm 10的球面上有C B A ,,三点，如果38=AB ，060=∠ACB ，则球心O 到平面ABC 的距离为A .cm 2B .cm 4C .cm 6D .cm 8 11.已知函数)2||,0)(2cos()(πϕωπϕω<>-+=x x f 的部分图象如图所示，则)6(π+=x f y 取得最小值时x 的集合为A .⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,6ππ B .⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,3ππC .⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,62ππ D .⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,32ππ12.已知点A 是抛物线y x 42=的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PB m PA =，当m 取最大值时，点P 恰好在以B A ,为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为A ．215- B ．212+ C ．12+ D ．15- 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上) 13.已知向量),1(x =，)2,1(-=x ，若b a //，则=x .14.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤+--≤8201223y x y x x y ，则1-x y 的最小值是 .15.设数列{}n a 满足1042=+a a ，点),(n n a n P 对任意的+∈N n ，都有向量)2,1(1=+n n P P ，则数列{}n a 的前n 项和n S = .16.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-)0()0(3)(x x x x f x ，若函数b x x f x g --=21)()(有且仅有两个零点，则实数b 的取值范围是 .三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)17. (本小题满分12分)在ΔABC 中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,. 若B A sin sin 4－2cos42BA -22-=. （1）求角C 的大小；（2）已知4sin sin =ABa ，ΔABC 的面积为8. 求边长c 的值.18. (本小题满分12分)如图所示,茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道数学题(满分12分)的得分情况.乙组某个数据的个位数模糊，记为x ，已知甲、乙两组的平均成绩相同. （1）求x 的值，并判断哪组学生成绩更稳定;（2）在甲、乙两组中各抽出一名同学，求这两名同学的得分之和低于20分的概率.19. (本小题满分12分)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上,矩形DCBE 所在的平面垂直于圆O 所在的平面,4=AB ，1=BE ．（1）证明：平面⊥ADE 平面ACD ；（2）当三棱锥ADE C -的体积最大时，求点C 到平面ADE的距离．0 1 甲乙 9 9 1 18 9 x 2（18题图）（19题图）20. (本小题满分12分)已知点)0,1(A ,点P 是圆C ：22(1)8x y ++=上的任意一点,，线段PA 的垂直平分线与直线CP 交于点E . （1）求点E 的轨迹方程；（2）若直线y kx m =+与点E 的轨迹有两个不同的交点P 和Q ，且原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围．21. (本小题满分12分)设函数xkx x f +=ln )(，R k ∈. (1) 若曲线)(x f y =在点))(,(e f e 处的切线与直线02=-x 垂直，求)(x f 的单调递减区间和极小值（其中e 为自然对数的底数）；（2）若对任意021>>x x ，2121)()(x x x f x f -<-恒成立，求k 的取值范围.24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设函数()f x =|2||2|x x ++-，R x ∈.不等式()6f x ≤的解集为M . （1）求M ；（22015四校三联文科数学试题答案一选择题 1-6 CABADB 7-12DBDCBC二填空题 13. 2或1- 14. 1 15. 2n 16. 210<<b 三解答题17.解：（１）由条件得B A sin sin 4=2（212cos 2--BA ）2+ 即B A sin sin 4=)cos(2B A -2+=)sin sin cos (cos 2B A B A +2+ ………………2分化简得 =+)cos(B A 22-, ………………………4分 ∵π<+<B A 0 ∴ 43π=+B A 又π=++C B A ∴ C ＝4π………………………6分（２）由已知及正弦定理得4=b ………………………8分又 S ΔABC =8，C=4π ∴ 128sin =C ab ，得24=a ………………………10分由余弦定理C ab b a c cos 2222-+=得 4=c . ………………………12分 18. （1），甲104111199=+++=x ，乙104012198=++++=x x ∴1=x ……………2分，又 1]10-111011()910()910[(4122222=+-+-+-=）（）甲S25]10-121011()910()810[(4122222=+-+-+-=）（）乙S ………………4分∴22乙甲S S <∴甲组成绩比乙组稳定。

2015届高三第二次四校联考数学文试题-Word版含答案

2015届高三第二次四校联考数学文试题-Word版含答案DD ．)13(4910--4. 已知函数xx x f 2)(2+=，若)2(2)()(f a f a f ≤+-，则实数a的取值范围是A ．[]2,2-B ．(]2,2-C ．[]2,4-D ．[]4,4-5．已知命题p ：()0,∞-∃x ，xx32<，命题q ：()1.0∈∀x ，0log2<x 则下列命题为真命题的是A. q p ∧ B ．)(q p ⌝∨ C ．qp ∧⌝)(D ．)(q p ⌝∧6．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A. 144 B ．36 C ．49D ．1697．已知向量b a ,满足1=a ，2=b ，3-=•，则与的夹角为A ．32πB ．3πC ．6πD ． 65π8．已知M 是ABC ∆内的一点，且AB AC 23⋅=BAC 30∠=，S S i=+0,1S i ==结束开始是否输出Si<13？2i i =+若MBC ∆，MCA ∆，MAB ∆的面积分别为x y 1,,2，则x y14+的最小值为（）A.20B.18C.16D.9 9．已知函数xx f x+=3)(，x x x g 3log )(+=，33log)(xx x h -=的零点分别为1x ，2x ，3x ，则1x ，2x ，3x 的大小关系是 A ．1x >2x >3x B ．2x>1x >3x C ．1x>3x >2xD ．3x>2x >1x10. 已知α是第二象限角,54)3sin(=-απ,函数)2cos(cos cos sin )(x x x f -+=παα的图像关于直线0x x =对称,则=0tan xA ．53- B. 34- C. 43- D. 54- 11. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．510+ B. 210+ C.6226++ D. 626++（第11题）正视图侧视图俯视图222 112. 已知函数⎩⎨⎧>≤-=-0,lg 0,22)(x x x x f x ，则方程)0()2(2>=+a a x xf 的根的个数不可能为A ．3 B．4C ．5D ．6二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上) 13.下列四个命题：①函数()()y f a x x R =+∈与()()y f a x x R =-∈的图像关于直线x a =对称； ②函数2()lg(2)f x ax x a =-+的值域为R ，则实数a 的取值范围为[0,1]；③在ABC ∆中，“30>A ”是“21sin >A ”的充分不必要条件； ④数列{}n a 的通项公式为22()n a n λn n N +=++ ∈，若{}na 是单调递增数列，则实数λ的取值范围为(3,)-+∞。

2015东北四市二模_东北三省四市教研联合体2015届高三第二次模拟考试数学(文)试题及答案

201５年哈尔滨市高三二模测试数学（文科）参考答案与评分标准一．选择题（1）C ；（2）A ；（3）B ；（4）C ；(5) A ；（6）C ；（7）D ；（8）B ；（9）C ；（10）D ；（11) B ；（12）D ．二.填空题（13）[0,]6π；（14）17；(15) (,1][3,)-∞+∞U ；（16）423π. 三.解答题（17）解：（Ⅰ）设数列}{n a 的公差为d ，则由已知条件可得：⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+29936996211d a d a ，……………2分解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=1231d a ，……………4分于是可求得212+-=n a n ，……………6分（Ⅱ）因为2)2(+-=n n S n ，……………7分故)211(21)2(1+--=+-=n n n n b n ， ……………8分)211123(21)]21514131()131211[(21+-+--=++⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++-=n n n n T n……………10分又因为211123+-+-n n 23<，……………11分所以43->n T ，……………12分(18)解：(Ⅰ)两个班数据的平均值都为7，..……………2分甲班的方差22222216-7+-7+-7+-7+-7=25s =（）（5）（7）（9）（8），..……………3分乙班的方差2222222-7+-7+-7+-7+-714=55s =（4）（8）（9）（7）（7），..……………4分因为2212s s <，甲班的方差较小，所以甲班的投篮水平比较稳定. ..……………6分(Ⅱ)甲班1到5号记作,,,,a b c d e ，乙班1到5号记作1,2,3,4,5，从两班中分别任选一个同学，得到的基本样本空间为Ω={1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5}a a a a a b b b b b c c c c c d d d d d e e e e e ，Ω由25个基本事件组成，这25个是等可能的；..……………8分将“甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数”记作A ，则{1,1,1,1,2,4,5,1,4,5}A a b c d d d d e e e =，A 由10个基本事件组成，..……………10分所以甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率为102255=...……………12分 (19)(Ⅰ)证明：作FM ∥CD 交PC 于M . FM ∴∥AE ……………1分 ∵点F 为PD 中点，∴CD FM 21=. ∵21=k ，∴FM AB AE ==21， ∴AEMF 为平行四边形，……………2分 ∴AF ∥EM ，……………3分∵AF PEC EM PEC ⊄⊂平面，平面，∴直线AF //平面PEC . ……………5分 (Ⅱ))1(1221221)1(2131k k V V EBC P PEB C -=⨯⨯⨯-⨯⨯==--……………7分621221131=⨯⨯⨯⨯=-ABCD P V ……………9分6231)1(122⨯=-∴k ……………10分所以存在常数31=k ……………12分 (20) 解：(Ⅰ) (Ⅰ) 2=b Θ，..……………1分3=2c e a =， 32,4==∴c a ，..……………3分 MFEBACDP∴椭圆C 方程为221164x y +=..……………4分（Ⅱ）当切线的斜率k 存在时，设切线方程为00()y y k x x -=- 又因为0x k y =-..……………5分故切线方程为0000()x y y x x y -=--， 200x x y y r ∴+=.……………6分当k 不存在时，切点坐标为(),0r ±，切线方程为x r =±，符合200x x y y r +=，.……………7分综上，切线方程为200x x y y r +=.……………8分（Ⅲ）设点P 坐标为(,)p p x y ，,PA PB 是圆221x y +=的切线，切点1122(,),(,)A x y B x y ，过点A 的圆的切线为111x x y y +=，过点B 的圆的切线为221x x y y +=Q 两切线都过P 点，112211p p p p x x y y x x y y ∴+=+=，∴切点弦AB 的方程为1p p x x y y +=，.……………9分由题知0P P x y ≠ ，1(0)p M y ∴，，1(,0)pN x ，.……………10分22222221111=164p p p p p p x y MN x y x y ⎛⎫⎛⎫∴=++⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222222211111119=+++21641641646416p p p p p p p p x y x y y x y x ⋅+⋅≥+⋅⋅=，当且仅当2163P x =， 283P y =时取等号，.……………11分34MN ∴≥，MN ∴的最小值为34..……………12分(21) 解：（Ⅰ）设切点P 为00(,)x y ，则P 处的切线方程为23200000(32)()y x x x x x x =--+-。

辽宁省沈阳市2015届高三教学质量监测(二)数学(文)试题 Word版无答案

辽宁省沈阳市2015届高三教学质量监测（二）数学（文）试题Word版无答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：22014年沈阳市高中三年级教学质量监测（二）数学(文科)命题：东北育才学校刘新风沈阳铁路实验中学倪生利沈阳市第11中学朱洪文沈阳市第20中学何运亮沈阳市第31中学李曙光东北育才学校牟欣主审：沈阳市教育研究院周善富注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数311i i z +-=（i 为虚数单位）对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.22. （本题满分10分) 选修4－1：几何证明选讲如图，ABC ∆内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，PA 是过点A 的直线，且ABC PAC ∠=∠.（1）求证：PA 是⊙O 的切线；（2）如果弦CD 交AB 于点E ，8=AC ，5:6:=ED CE ，3:2:=EB AE ，求直径AB 的长.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆C 的方程是0422=-+x y x ，圆心为C ．在以坐标原点为极点,以x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C 1：43sin ρθ=-与圆C 相交于,A B 两点．（1）求直线AB 的极坐标方程；（2）若过点C (2,0)的曲线C 2:32212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 是参数)交直线AB 于点D ，交y 轴于点E ，求|CD |:|CE |的值.24． (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()1f x x =-．（1）解不等式: 1()(1)2f x f x ≤+-≤；（2）若0＞a ，求证：()()f ax af x -≤()f a .。

高三数学月考试题及答案-沈阳市2015届高三四校联考模拟试题(理)

辽宁省沈阳市2015届高三四校联考模拟试题（理）一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2015•沈阳模拟）已知全集U=R，A={x||x|＜2}，B={x|x2﹣4x+3＞0}，则A∩（∁U B）等于（）A．{x|1≤x＜3} B．{x|﹣2≤x＜1} C．{x|1≤x＜2} D．{x|﹣2＜x≤3}【考点】：交、并、补集的混合运算．【专题】：集合．【分析】：求出A与B中不等式的解集确定出A与B，求出A与B补集的交集即可．【解析】：解：由A中不等式解得：﹣2＜x＜2，即A={x|﹣2＜x＜2}，由B中不等式变形得：（x﹣1）（x﹣3）＞0，解得：x＜1或x＞3，即B={x|x＜1或x＞3}，∴∁U B={x|1≤x≤3}，则A∩（∁U B）={x|1≤x＜2}，故选：C．【点评】：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）（2015•沈阳模拟）设a，b为实数，则“a＞b＞0是＜”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：推理和证明．【分析】：根据：若＜则﹣=＜0，a＞b＞0或0＞a＞b；由充分必要条件的定义可判断．【解析】：解：若a＞b＞0，则﹣=＜0，即＜出成立．若＜则﹣=＜0，a＞b＞0或0＞a＞b所以“a＞b＞0是＜”的充分不必要条件．故选：A【点评】：本题简单的考查了作差分解因式，判断大小；充分必要条件的判断方法．3．（5分）（2015•沈阳模拟）函数f（x）=lnx+x3﹣9的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】：函数零点的判定定理；二分法求方程的近似解．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，f（2）＜0，f（3）＞0，可得函数f（x）在区间（2，3）上有唯一的零点．【解析】：解：由于函数f（x）=lnx+x3﹣9在（0，+∞）上是增函数，f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3＞0，故函数f（x）=lnx+x3﹣9在区间（2，3）上有唯一的零点，故选：C．【点评】：本题主要考查函数的单调性，函数零点的判定定理，属于基础题．4．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=3，则=（）A． 2 B．C．D． 3【考点】：等比数列的前n项和．【分析】：首先由等比数列前n项和公式列方程，并解得q3，然后再次利用等比数列前n项和公式则求得答案．【解析】：解：设公比为q，则===1+q3=3，所以q3=2，所以===．故选B．【点评】：本题考查等比数列前n项和公式．5．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=（）A．335 B．338 C．1678 D．2012【考点】：函数的周期性；函数的值．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由f（x+6）=f（x）可知，f（x）是以6为周期的函数，可根据题目信息分别求得f （1），f（2），f（3），f（4），f（5），f（6）的值，再利用周期性即可得答案．【解析】：解：∵f（x+6）=f（x），∴f（x）是以6为周期的函数，又当﹣1≤x＜3时，f（x）=x，∴f（1）+f（2）=1+2=3，f（﹣1）=﹣1=f（5），f（0）=0=f（6）；当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，∴f（3）=f（﹣3）=﹣（﹣3+2）2=﹣1，f（4）=f（﹣2）=﹣（﹣2+2）2=0，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=1+2﹣1+0+（﹣1）+0=1，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）]+f（2011）+f（2012）=335×1+f（1）+f（2）=338．故选：B．【点评】：本题考查函数的周期，由题意，求得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（6）=是关键，考查转化与运算能力，属于中档题．6．（5分）（2015•沈阳模拟）已知函数f（x）=在区间（﹣∞，+∞）上是增函数，则常数a的取值范围是（）A．（1，2）B．（﹣∞，1]∪[2，+∞）C．[1，2]D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）【考点】：函数单调性的性质．【专题】：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】：由分段函数的单调性，考虑各段的情况，注意在R上递增，则有02≥03+a2﹣3a+2，解得即可．【解析】：解：由于f（x）=，且f（x）在区间（﹣∞，+∞）上是增函数，则当x≥0时，y=x2显然递增；当x＜0时，y=x3+a2﹣3a+2的导数为y′=3x2≥0，则递增；由f（x）在R上单调递增，则02≥03+a2﹣3a+2，即为a2﹣3a+2≤0，解得，1≤a≤2．故选C．【点评】：本题考查函数的单调性的运用，考查不等式的解法，属于基础题和易错题．7．（5分）（2015•沈阳模拟）已知函数，则不等式f（x﹣2）+f（x2﹣4）＜0的解集为（）A．（﹣1，6）B．（﹣6，1）C．（﹣2，3）D．（﹣3，2）【考点】：其他不等式的解法．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：本题要先判出f（x）为奇函数和增函数，进而把抽象不等式转化为关于x的一元二次不等式．【解析】：解：由题意可知f（x）的定义域为R．∵∴f（﹣x）+f（x）===0，即f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）为奇函数．又f（x）==，由复合函数的单调性可得f（x）为增函数，∴f（x﹣2）+f（x2﹣4）＜0可化为f（x﹣2）＜﹣f（x2﹣4）即f（x﹣2）＜f（4﹣x2），可得x﹣2＜4﹣x2，即x2+x﹣6＜0，解得﹣3＜x＜2，故选D【点评】：本题为函数的性质与不等式解法的结合，属中档题．8．（5分）（2015•沈阳模拟）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y=f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于直线x=对称【考点】：正弦函数的图象．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：由周期求出ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），再根据图象向右平移个单位后得到的函数y=sin（2x﹣+φ]是奇函数，可得φ=﹣，从而得到函数的解析式，从而求得它的对称性．【解析】：解：由题意可得=π，解得ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），其图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为y=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x﹣+φ]是奇函数，又|φ|＜，故φ=﹣，故函数f（x）=sin（2x﹣），故当x=时，函数f（x）=sin=1，故函数f（x）=sin（2x﹣）关于直线x=对称，故选：D．【点评】：本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题．9．（5分）（2015•沈阳模拟）已知函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线斜率为3，数列的前n项和为S n，则S2014的值为（）A．B．C．D．【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的求和．【专题】：计算题；导数的概念及应用．【分析】：可得f′（1）=2+b=3，解得b=1，进而可得f（x），然后由裂项相消法求和可得．【解析】：解：函数的导数f′（x）=2x+b，∵点A（1，f（1））处的切线的斜率为3，∴f′（1）=2+b=3，解得b=1．∴f（x）=x2+x=x（x+1），∴==，∴S2014=（1﹣）+（）+（）+…+（）=1﹣=故选C【点评】：本题考查数列的求和，涉及导数和曲线某点切线的斜率以及裂项相消法求和，属中档题．10．（5分）（2015•沈阳模拟）下列四个图中，函数y=的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】：函数的图象．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据四个选择项判断函数值的符号即可选择正确选项．【解析】：解：当x＞0时，y＞0，排除A、B两项；当﹣2＜x＜﹣1时，y＞0，排除D项．故选：C．【点评】：本题考查函数的性质与识图能力，属中档题，一般根据四个选择项来判断对应的函数性质，即可排除三个不符的选项．11．（5分）（2015•日照一模）已知定义域为R的奇函数f（x）的导函数为f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b【考点】：导数的运算；利用导数研究函数的单调性．【专题】：导数的概念及应用．【分析】：利用条件构造函数h（x）=xf（x），然后利用导数研究函数h（x）的单调性，利用函数的单调性比较大小．【解析】：解：设h（x）=xf（x），∴h′（x）=f（x）+x•f′（x），∵y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，∴h（x）是定义在实数集R上的偶函数，当x＞0时，h'（x）=f（x）+x•f′（x）＞0，∴此时函数h（x）单调递增．∵a=f（）=h（），b=﹣2f（﹣2）=2f（2）=h（2），c=（ln）f（ln）=h（ln）=h（﹣ln2）=h（ln2），又2＞ln2＞，∴b＞c＞a．故选：A．【点评】：本题主要考查如何构造新的函数，利用单调性比较大小，是常见的题目．本题属于中档题．12．（5分）（2015•沈阳模拟）定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）+f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）【考点】：函数零点的判定定理．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由题意可得函数f（x）的周期为2，当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，令g （x）=log a（x+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点，画出图形，数形结合，根据g（2）＞f（2），求得a的取值范围．【解析】：解：∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数，令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），又f（﹣1）=f（1），可得f（1）=0 则有，f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为2的偶函数．当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2，函数f（x）的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．∵函数y=f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，令g（x）=log a（x+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点．作出函数的图象，如图所示，∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1．要使函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则有g（2）＞f（2），即log a（2+1）＞f（2）=﹣2，∴log a3＞﹣2，∴3＜，解得﹣＜a＜．又a＞0，∴0＜a＜，故选：B．【点评】：本题主要考查函数周期性及其应用，解题的过程中用到了数形结合的方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题．二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）（2015•沈阳模拟）设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为6，则的最小值为．【考点】：简单线性规划；基本不等式．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，确定z取最大值点的最优解，利用基本不等式的性质，利用数形结合即可得到结论．【解析】：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=，则直线的斜率k=＜0，截距最大时，z也最大．平移直y=，由图象可知当直线y=经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大，由，解得，即A（4，6），此时z=4a+6b=6，即，∴=（）（）=，当且仅当，即a=时取等号，此时b=，a=3﹣时取等号．．故答案为：【点评】：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义先求出最优解是解决本题的关键，利用基本不等式的解法和结合数形结合是解决本题的突破点．14．（5分）f（x）=ax3﹣3x+1对于x∈[﹣1，1]总有f（x）≥0成立，则a=4．【考点】：利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】：计算题；压轴题．【分析】：这类不等式在某个区间上恒成立的问题，可转化为求函数最值的问题，本题要分三类：①x=0，②x＞0，③x＜0等三种情形．当x=0时，不论a取何值，f（x）≥0都成立；当x＞0时有a≥，可构造函数g（x）=，然后利用导数求g（x）的最大值，只需要使a≥g（x）max，同理可得x＜0时的a的范围，从而可得a的值．【解析】：解：①若x=0，则不论a取何值，f（x）≥0都成立；②当x＞0，即x∈（0，1]时，f（x）=ax3﹣3x+1≥0可化为：a≥设g（x）=，则g′（x）=，所以g（x）在区间（0，]上单调递增，在区间[，1]上单调递减，因此g（x）max=g（）=4，从而a≥4；③当x＜0，即x∈[﹣1，0）时，f（x）=ax3﹣3x+1≥0可化为：a≤，g（x）=在区间[﹣1，0）上单调递增，因此g（x）min=g（﹣1）=4，从而a≤4，综上a=4．答案为：4．【点评】：本题考查的是含参数不等式的恒成立问题，考查分类讨论，转化与化归的思想方法，利用导数和函数的单调性求函数的最大值，最小值等知识与方法．在讨论时，容易漏掉x=0的情形，因此分类讨论时要特别注意该问题的解答．15．（5分）（2015•沈阳模拟）在△AOB中，G为△AOB的重心（三角形中三边上中线的交点叫重心），且∠AOB=60°．若•=6，则||的最小值是2．【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：计算题；不等式的解法及应用；平面向量及应用．【分析】：设AB的中点为C，则点G在OC上，运用重心的性质和中点向量的表示，再由向量的数量积的定义，结合基本不等式即可求得最小值．【解析】：解：设AB的中点为C，则点G在OC上，且==•=（+），∵=|||•||•cos60°=6，∴||•||=12．则||=（|+|===≥==2，当且仅当||=||时，等号成立，故||的最小值是2，故答案为：2．【点评】：本题主要考查三角形的重心的定义和性质，考查向量的数量积的定义和性质及模，基本不等式的应用，属于中档题．16．（5分）（2015•沈阳模拟）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心；且“拐点”就是对称中心．”请你根据这一发现，函数f（x）=x3﹣3x2+3x+1对称中心为（1，2）．【考点】：导数的运算．【专题】：导数的概念及应用．【分析】：根据函数f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得函数f（x）=x3﹣3x2+3x+1对称中心．【解析】：解：（1）∵函数f（x）=x3﹣3x2+3x+1，∴f′（x）=3x2 ﹣6x+3，∴f″（x）=6x﹣6．令f″（x）=6x﹣6=0，解得x=1，且f（1）=2，故函数f（x）=x3﹣3x2+3x对称中心为（1，2），故答案为（1，2）．【点评】：本题主要考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查化简计算能力，函数的对称性的应用，属于基础题．三．解答题：（解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）（2015•沈阳模拟）已知函数f（x）=3cos2x+2sinxcosx+sin2x．（1）求f（x）的最大值，并求出此时x的值；（2）写出f（x）的单调区间．【考点】：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：（1）化简可得f（x）=，可得f（x）的最大值和此时x的值；（2）由和分别可解得函数的单调递增和单调递减区间．【解析】：解：（1）化简可得=sin2x+cos2x+2=∴f（x）的最大值为，此时2x+=2kπ+，解得；（2）由可解得；∴f（x）单调增区间为：；由可解得∴f（x）单调减区间为：【点评】：本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的最值和单调性，属基础题．18．（12分）（2015•沈阳模拟）已知f（x）=sin（π+ωx）sin（﹣ωx）﹣cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为T=π．（1）求f（）的值；（2）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若有（2a﹣c）cosB=bcosC，则求角B的大小以及f（A）的取值范围．【考点】：三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【专题】：三角函数的求值．【分析】：（1）先逆用两角差的正弦公式化成正弦型函数的标准形式，然后利用周期公式T=π，求ω的值，进而写出函数f（x）的解析式；求出f（）的值．（2）利用正弦定理，求出cosB的值，继而求出B的大小，再根据A为三角形的内角求出A的范围，继而求出f（A）的范围．【解析】：解：（1）∵f（x）=sin（π+ωx）sin（﹣ωx）﹣cos2ωx，=sinωxcosωx﹣cos2ωx，=sin2ωx﹣cos2ωx﹣，=sin（2ωx﹣）﹣∴函数f（x）的最小正周期为T=π．即：=π，得ω=1，∴f（x）=sin（2x﹣）﹣，∴f（）=sin（2×﹣）=sin﹣=﹣1，（2）∵（2a﹣c）cosB=bcosC，∴由正弦定理可得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBsinC，∴2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，∵sinA＞0，∴cosB=，∵B∈（0，π），∴B=，∵A+C=π﹣B=，∴A∈（0，），∴2A﹣∈（﹣，），∴sin（2A﹣）∈（﹣，1]，∴f（A）=sin（2A﹣）∈（﹣1，]，【点评】：本题考查了三角变换及解三角形，第（1）问解决的关键是化成正弦型函数的标准形式；第（2）的关键是把求角的范围转化成先求角的余弦值的范围．19．（12分）（2015•沈阳模拟）数列{a n}的前n项和为S n，a n是S n和1的等差中项，等差数列{b n}满足b1+S4=0，b9=a1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若c n=，求数列{c n}的前n项和W n．【考点】：数列的求和；等差数列的性质．【专题】：计算题；等差数列与等比数列．【分析】：（1）由a n是S n和1的等差中项，可得S n=2a n﹣1，再写一式，可得数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，可求数列{a n}的通项公式，求出等差数列{b n}的首项与公差，可得{b n}的通项公式；（2）利用裂项求和，可得数列{c n}的前n项和W n．【解析】：解：（1）∵a n是S n和1的等差中项，∴S n=2a n﹣1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2a n﹣1）﹣（2a n﹣1﹣1）=2a n﹣2a n﹣1，∴a n=2a n﹣1，当n=1时，a1=1，（2分）∴数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴a n=2n﹣1（6分）∴S n=2n﹣1；设{b n}的公差为d，b1=﹣S4=﹣15，b9=a1=﹣15+8d=1，∴d=2，∴b n=2n﹣17；（8分）（2）c n==（﹣），∴W n=[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1﹣）=（14分）【点评】：本题考查数列的通项与求和，考查裂项法，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．20．（12分）（2015•沈阳模拟）已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直．（1）求实数a，b的值；（2）若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，求m的取值范围．【考点】：函数的单调性与导数的关系；导数的几何意义．【专题】：计算题．【分析】：（1）将M的坐标代入f（x）的解析式，得到关于a，b的一个等式；求出导函数，求出f′（1）即切线的斜率，利用垂直的两直线的斜率之积为﹣1，列出关于a，b的另一个等式，解方程组，求出a，b的值．（2）求出f′（x），令f′（x）＞0，求出函数的单调递增区间，据题意知[m，m+1]⊆（﹣∝，﹣2]∪[0，+∝），列出端点的大小，求出m的范围．【解析】：解：（1）∵f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），∴a+b=4①式…（1分）f'（x）=3ax2+2bx，则f'（1）=3a+2b…（3分）由条件②式…（5分）由①②式解得a=1，b=3（2）f（x）=x3+3x2，f'（x）=3x2+6x，令f'（x）=3x2+6x≥0得x≥0或x≤﹣2，…（8分）∵函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增∴[m，m+1]⊆（﹣∝，﹣2]∪[0，+∝）∴m≥0或m+1≤﹣2∴m≥0或m≤﹣3【点评】：注意函数在切点处的导数值是曲线的切线斜率；直线垂直的充要条件是斜率之积为﹣1．21．（12分）（2015•沈阳模拟）已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+log a n，S n=b1+b2+…+b n，求S n．【考点】：数列的求和；等比数列的性质．【专题】：综合题；等差数列与等比数列．【分析】：（I）根据a3+2是a2，a4的等差中项和a2+a3+a4=28，求出a3、a2+a4的值，进而得出首项和a1，即可求得通项公式；（II）先求出数列{b n}的通项公式，然后分组求和，即可得出结论．【解析】：解：（I）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q∵a3+2是a2，a4的等差中项∴2（a3+2）=a2+a4代入a2+a3+a4=28，得a3=8∴a2+a4=20解得或∵数列{a n}单调递增∴a n=2n（II）∵a n=2n，∴b n=a n+log a n=a n﹣n，∴S n=﹣=2n+1﹣2﹣，【点评】：本题考查了等比数列的通项公式以及数列的前n项和，考查学生的计算能力，属于中档题．22．（12分）（2015•沈阳模拟）已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x2+x，g（x）=x•e x﹣x2﹣1（x＞0），且f（x）点x=1处取得极值．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=﹣x+b在区间[1，3]上有解，求b的取值范围；（Ⅲ）证明：g（x）≥f（x）．【考点】：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）通过求导得f'（1）=0，则得a=0．经检验符合题意；（Ⅱ）由题意得：．令，从而有，进而求出b的取值范围；（Ⅲ）证明：令F（x）=g（x）﹣f（x）=x•e x﹣lnx﹣x﹣1（x＞0），则=，得到F（x）≥F（c）=0，从而证得g（x）≥f（x）．【解析】：解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（x+a）﹣x2+x，∴∵函数f（x）=ln（x+a）﹣x2+x在点x=1处取得极值，∴f'（1）=0，即当x=1时，∴，则得a=0．经检验符合题意；（Ⅱ）∵，∴，∴．令，则．∴当x∈[1，3]时，h'（x），h（x）随x的变化情况表：x 1 （1，2）2 （2，3）…（8分）3h'（x）+ 0 ﹣h（x）↗极大值↘计算得：，，h（2）=ln2+3，∴所以b的取值范围为．（Ⅲ）证明：令F（x）=g（x）﹣f（x）=x•e x﹣lnx﹣x﹣1（x＞0），则=，令G（x）=x•e x﹣1，则∵G'（x）=（x+1）•e x＞0（x＞0），∴函数G（x）在（0，+∞）递增，G（x）在（0，+∞）上的零点最多一个，又∵G（0）=﹣1＜0，G（1）=e﹣1＞0，∴存在唯一的c∈（0，1）使得G（c）=0，且当x∈（0，c）时，G（x）＜0；当x∈（c，+∞）时，G（x）＞0．即当x∈（0，c）时，F'（x）＜0；当x∈（c，+∞）时，F'（x）＞0．∴F（x）在（0，c）递减，在（c，+∞）递增，从而F（x）≥F（c）=c•e c﹣lnc﹣c﹣1．由G（c）=0得c•e c﹣1=0即c•e c=1，两边取对数得：lnc+c=0，∴F（c）=0，∴F（x）≥F（c）=0，从而证得g（x）≥f（x）．【点评】：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，考查不等式的证明，是一道综合题．。

辽宁省沈阳市高三数学四校联考模拟试题文(含解析)

2015年辽宁省沈阳市四校联考高考数学模拟试卷（文科）一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2015•沈阳模拟）已知全集U=R，A={x||x|＜2}，B={x|x2﹣4x+3＞0}，则A∩（∁U B）等于（）A．{x|1≤x＜3} B． {x|﹣2≤x＜1} C．{x|1≤x＜2} D． {x|﹣2＜x≤3}【考点】：交、并、补集的混合运算．【专题】：集合．【分析】：求出A与B中不等式的解集确定出A与B，求出A与B补集的交集即可．【解析】：解：由A中不等式解得：﹣2＜x＜2，即A={x|﹣2＜x＜2}，由B中不等式变形得：（x﹣1）（x﹣3）＞0，解得：x＜1或x＞3，即B={x|x＜1或x＞3}，∴∁U B={x|1≤x≤3}，则A∩（∁U B）={x|1≤x＜2}，故选：C．【点评】：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）（2015•沈阳模拟）设a，b为实数，则“a＞b＞0是＜”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：推理和证明．【分析】：根据：若＜则﹣=＜0，a＞b＞0或0＞a＞b；由充分必要条件的定义可判断．【解析】：解：若a＞b＞0，则﹣=＜0，即＜出成立．若＜则﹣=＜0，a＞b＞0或0＞a＞b所以“a＞b＞0是＜”的充分不必要条件．故选：A【点评】：本题简单的考查了作差分解因式，判断大小；充分必要条件的判断方法．3．（5分）（2015•沈阳模拟）函数f（x）=lnx+x3﹣9的零点所在的区间为（） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【考点】：函数零点的判定定理；二分法求方程的近似解．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，f（2）＜0，f（3）＞0，可得函数f （x）在区间（2，3）上有唯一的零点．【解析】：解：由于函数f（x）=lnx+x3﹣9在（0，+∞）上是增函数，f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3＞0，故函数f（x）=lnx+x3﹣9在区间（2，3）上有唯一的零点，故选：C．【点评】：本题主要考查函数的单调性，函数零点的判定定理，属于基础题．4．（5分）（2009•辽宁）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=3，则=（） A． 2 B． C． D． 3【考点】：等比数列的前n项和．【分析】：首先由等比数列前n项和公式列方程，并解得q3，然后再次利用等比数列前n项和公式则求得答案．【解析】：解：设公比为q，则===1+q3=3，所以q3=2，所以===．故选B．【点评】：本题考查等比数列前n项和公式．5．（5分）（2012•山东）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=（）A． 335 B． 338 C． 1678 D． 2012【考点】：函数的周期性；函数的值．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由f（x+6）=f（x）可知，f（x）是以6为周期的函数，可根据题目信息分别求得f（1），f（2），f（3），f（4），f（5），f（6）的值，再利用周期性即可得答案．【解析】：解：∵f（x+6）=f（x），∴f（x）是以6为周期的函数，又当﹣1≤x＜3时，f（x）=x，∴f（1）+f（2）=1+2=3，f（﹣1）=﹣1=f（5），f（0）=0=f（6）；当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，∴f（3）=f（﹣3）=﹣（﹣3+2）2=﹣1，f（4）=f（﹣2）=﹣（﹣2+2）2=0，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=1+2﹣1+0+（﹣1）+0=1，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）]+f（2011）+f（2012）=335×1+f（1）+f（2）=338．故选：B．【点评】：本题考查函数的周期，由题意，求得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（6）=是关键，考查转化与运算能力，属于中档题．6．（5分）（2015•沈阳模拟）已知函数f（x）=在区间（﹣∞，+∞）上是增函数，则常数a的取值范围是（）A．（1，2） B．（﹣∞，1]∪[2，+∞） C． [1，2] D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）【考点】：函数单调性的性质．【专题】：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】：由分段函数的单调性，考虑各段的情况，注意在R上递增，则有02≥03+a2﹣3a+2，解得即可．【解析】：解：由于f（x）=，且f（x）在区间（﹣∞，+∞）上是增函数，则当x≥0时，y=x2显然递增；当x＜0时，y=x3+a2﹣3a+2的导数为y′=3x2≥0，则递增；由f（x）在R上单调递增，则02≥03+a2﹣3a+2，即为a2﹣3a+2≤0，解得，1≤a≤2．故选C．【点评】：本题考查函数的单调性的运用，考查不等式的解法，属于基础题和易错题．7．（5分）（2015•沈阳模拟）已知函数，则不等式f（x﹣2）+f（x2﹣4）＜0的解集为（）A．（﹣1，6） B．（﹣6，1） C．（﹣2，3） D．（﹣3，2）【考点】：其他不等式的解法．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：本题要先判出f（x）为奇函数和增函数，进而把抽象不等式转化为关于x的一元二次不等式．【解析】：解：由题意可知f（x）的定义域为R．∵∴f（﹣x）+f（x）===0，即f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）为奇函数．又f（x）==，由复合函数的单调性可得f（x）为增函数，∴f（x﹣2）+f（x2﹣4）＜0可化为f（x﹣2）＜﹣f（x2﹣4）即f（x﹣2）＜f（4﹣x2），可得x﹣2＜4﹣x2，即x2+x﹣6＜0，解得﹣3＜x＜2，故选D【点评】：本题为函数的性质与不等式解法的结合，属中档题．8．（5分）（2015•沈阳模拟）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y=f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称 B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称 D．关于直线x=对称【考点】：正弦函数的图象．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：由周期求出ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），再根据图象向右平移个单位后得到的函数 y=sin（2x﹣+φ]是奇函数，可得φ=﹣，从而得到函数的解析式，从而求得它的对称性．【解析】：解：由题意可得=π，解得ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），其图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为y=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x﹣+φ]是奇函数，又|φ|＜，故φ=﹣，故函数f（x）=sin（2x﹣），故当x=时，函数f（x）=sin=1，故函数f（x）=sin （2x﹣）关于直线x=对称，故选：D．【点评】：本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题．9．（5分）（2015•沈阳模拟）已知函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线斜率为3，数列的前n项和为S n，则S2014的值为（）A． B． C． D．【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的求和．【专题】：计算题；导数的概念及应用．【分析】：可得f′（1）=2+b=3，解得b=1，进而可得f（x），然后由裂项相消法求和可得．【解析】：解：函数的导数f′（x）=2x+b，∵点A（1，f（1））处的切线的斜率为3，∴f′（1）=2+b=3，解得b=1．∴f（x）=x2+x=x（x+1），∴==，∴S2014=（1﹣）+（）+（）+…+（）=1﹣=故选C【点评】：本题考查数列的求和，涉及导数和曲线某点切线的斜率以及裂项相消法求和，属中档题．10．（5分）（2015•沈阳模拟）下列四个图中，函数y=的图象可能是（）A． B． C．D．【考点】：函数的图象．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据四个选择项判断函数值的符号即可选择正确选项．【解析】：解：当x＞0时，y＞0，排除A、B两项；当﹣2＜x＜﹣1时，y＞0，排除D项．故选：C．【点评】：本题考查函数的性质与识图能力，属中档题，一般根据四个选择项来判断对应的函数性质，即可排除三个不符的选项．11．（5分）（2015•沈阳模拟）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示该四棱锥侧面积和体积分别是（）A． 4，8 B． 4， C． 4（+1）， D． 8，8【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由已知得该四棱锥为正四棱锥，底面边长AB=2，高PO=2，由此能求出该四棱锥侧面积和体积．【解析】：解：∵四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，∴该四棱锥为正四棱锥，其主视图为原图形中的△SEF，如图，由该四棱锥的主视图可知四棱锥的底面边长AB=2，高PO=2，则四棱锥的斜高PE==．∴该四棱锥侧面积S=4××2×=4，体积V=×2×2×2=．故选：B．【点评】：本题考查四棱锥侧面积和体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．12．（5分）（2015•日照一模）已知定义域为R的奇函数f（x）的导函数为f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A． a＜c＜b B． b＜c＜a C． a＜b＜c D． c＜a＜b【考点】：导数的运算；利用导数研究函数的单调性．【专题】：导数的概念及应用．【分析】：利用条件构造函数h（x）=xf（x），然后利用导数研究函数h（x）的单调性，利用函数的单调性比较大小．【解析】：解：设h（x）=xf（x），∴h′（x）=f（x）+x•f′（x），∵y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，∴h（x）是定义在实数集R上的偶函数，当x＞0时，h'（x）=f（x）+x•f′（x）＞0，∴此时函数h（x）单调递增．∵a=f（）=h（），b=﹣2f（﹣2）=2f（2）=h（2），c=（ln）f（ln）=h（ln）=h （﹣ln2）=h（ln2），又2＞ln2＞，∴b＞c＞a．故选：A．【点评】：本题主要考查如何构造新的函数，利用单调性比较大小，是常见的题目．本题属于中档题．二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）（2015•沈阳模拟）设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by （a＞0，b＞0）的最大值为6，则的最小值为．【考点】：简单线性规划；基本不等式．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，确定z取最大值点的最优解，利用基本不等式的性质，利用数形结合即可得到结论．【解析】：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=，则直线的斜率k=＜0，截距最大时，z也最大．平移直y=，由图象可知当直线y=经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大，由，解得，即A（4，6），此时z=4a+6b=6，即，∴=（）（）=，当且仅当，即a=时取等号，此时b=，a=3﹣时取等号．．故答案为：【点评】：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义先求出最优解是解决本题的关键，利用基本不等式的解法和结合数形结合是解决本题的突破点．14．（5分）（2015•沈阳模拟）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=BC=，PA=2，则此三棱锥外接球的体积为．【考点】：球的体积和表面积；棱锥的结构特征．【专题】：综合题；空间位置关系与距离．【分析】：解题思路：“找球心”（到三棱锥四个顶点距离相等等的点）．注意到PC是Rt△PAC 和Rt△PBC的公共的斜边，记它的中点为O，从而得出该三棱锥的外接球球心为O，半径为，从而计算出它的体积即可．【解析】：解：∵PC是Rt△PAC和Rt△PBC的公共的斜边，记它的中点为O，则OA=OB=OP=OC=PC=，即该三棱锥的外接球球心为O，半径为，故它的体积为：=．故答案为：【点评】：本题主要考查线线垂直、线面平行、求球的体积等立体几何知识，以及分析问题与解决问题的能力．本题还有方法二：“补体”，将三棱锥补成长方体，如图所示；它的对角线PC是其外接球的直径，从而即可求得球的体积．15．（5分）（2008•江苏）f（x）=ax3﹣3x+1对于x∈[﹣1，1]总有f（x）≥0成立，则a= 4 ．【考点】：利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】：计算题；压轴题．【分析】：这类不等式在某个区间上恒成立的问题，可转化为求函数最值的问题，本题要分三类：①x=0，②x＞0，③x＜0等三种情形．当x=0时，不论a取何值，f（x）≥0都成立；当x＞0时有a≥，可构造函数g（x）=，然后利用导数求g（x）的最大值，只需要使a≥g（x）max，同理可得x＜0时的a的范围，从而可得a的值．【解析】：解：①若x=0，则不论a取何值，f（x）≥0都成立；②当x＞0，即x∈（0，1]时，f（x）=ax3﹣3x+1≥0可化为：a≥设g（x）=，则g′（x）=，所以g（x）在区间（0，]上单调递增，在区间[，1]上单调递减，因此g（x）max=g（）=4，从而a≥4；③当x＜0，即x∈[﹣1，0）时，f（x）=ax3﹣3x+1≥0可化为：a≤，g（x）=在区间[﹣1，0）上单调递增，因此g（x）min=g（﹣1）=4，从而a≤4，综上a=4．答案为：4．【点评】：本题考查的是含参数不等式的恒成立问题，考查分类讨论，转化与化归的思想方法，利用导数和函数的单调性求函数的最大值，最小值等知识与方法．在讨论时，容易漏掉x=0的情形，因此分类讨论时要特别注意该问题的解答．16．（5分）（2015•沈阳模拟）在△AOB中，G为△AOB的重心（三角形中三边上中线的交点叫重心），且∠AOB=60°．若•=6，则||的最小值是 2 ．【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：计算题；不等式的解法及应用；平面向量及应用．【分析】：设AB的中点为C，则点G在OC上，运用重心的性质和中点向量的表示，再由向量的数量积的定义，结合基本不等式即可求得最小值．【解析】：解：设AB的中点为C，则点G在OC上，且==•=（+），∵=|||•||•cos60°=6，∴||•||=12．则||=（|+|===≥==2，当且仅当||=||时，等号成立，故||的最小值是2，故答案为：2．【点评】：本题主要考查三角形的重心的定义和性质，考查向量的数量积的定义和性质及模，基本不等式的应用，属于中档题．三．解答题：（解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）（2015•沈阳模拟）已知函数f（x）=3cos2x+2sinxcosx+sin2x．（1）求f（x）的最大值，并求出此时x的值；（2）写出f（x）的单调区间．【考点】：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：（1）化简可得f（x）=，可得f（x）的最大值和此时x的值；（2）由和分别可解得函数的单调递增和单调递减区间．【解析】：解：（1）化简可得=sin2x+cos2x+2=∴f（x）的最大值为，此时2x+=2kπ+，解得；（2）由可解得；∴f（x）单调增区间为：；由可解得∴f（x）单调减区间为：【点评】：本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的最值和单调性，属基础题．18．（12分）（2015•沈阳模拟）已知f（x）=sin（π+ωx）sin（﹣ωx）﹣cos2ωx （ω＞0）的最小正周期为T=π．（1）求f（）的值；（2）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若有（2a﹣c）cosB=bcosC，则求角B的大小以及f（A）的取值范围．【考点】：三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【专题】：三角函数的求值．【分析】：（1）先逆用两角差的正弦公式化成正弦型函数的标准形式，然后利用周期公式T=π，求ω的值，进而写出函数f（x）的解析式；求出f（）的值．（2）利用正弦定理，求出cosB的值，继而求出B的大小，再根据A为三角形的内角求出A 的范围，继而求出f（A）的范围．【解析】：解：（1）∵f（x）=sin（π+ωx）sin（﹣ωx）﹣cos2ωx，=sinωxcosωx﹣cos2ωx，=sin2ωx﹣cos2ωx﹣，=sin（2ωx﹣）﹣∴函数f（x）的最小正周期为T=π．即：=π，得ω=1，∴f（x）=sin（2x﹣）﹣，∴f（）=sin（2×﹣）=sin﹣=﹣1，（2）∵（2a﹣c）cosB=bcosC，∴由正弦定理可得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBsinC，∴2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，∵sinA＞0，∴cosB=，∵B∈（0，π），∴B=，∵A+C=π﹣B=，∴A∈（0，），∴2A﹣∈（﹣，），∴sin（2A﹣）∈（﹣，1]，∴f（A）=sin（2A﹣）∈（﹣1，]，【点评】：本题考查了三角变换及解三角形，第（1）问解决的关键是化成正弦型函数的标准形式；第（2）的关键是把求角的范围转化成先求角的余弦值的范围．19．（12分）（2015•沈阳模拟）数列{a n}的前n项和为S n，a n是S n和1的等差中项，等差数列{b n}满足b1+S4=0，b9=a1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若c n=，求数列{c n}的前n项和W n．【考点】：数列的求和；等差数列的性质．【专题】：计算题；等差数列与等比数列．【分析】：（1）由a n是S n和1的等差中项，可得S n=2a n﹣1，再写一式，可得数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，可求数列{a n}的通项公式，求出等差数列{b n}的首项与公差，可得{b n}的通项公式；（2）利用裂项求和，可得数列{c n}的前n项和W n．【解析】：解：（1）∵a n是S n和1的等差中项，∴S n=2a n﹣1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2a n﹣1）﹣（2a n﹣1﹣1）=2a n﹣2a n﹣1，∴a n=2a n﹣1，当n=1时，a1=1，（2分）∴数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴a n=2n﹣1（6分）∴S n=2n﹣1；设{b n}的公差为d，b1=﹣S4=﹣15，b9=a1=﹣15+8d=1，∴d=2，∴b n=2n﹣17；（8分）（2）c n==（﹣），∴W n=[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1﹣）=（14分）【点评】：本题考查数列的通项与求和，考查裂项法，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．20．（12分）（2015•沈阳模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱锥P﹣EAD的体积．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（Ⅰ）由已知得AC⊥PD，AC⊥BD，由此能证明平面EAC⊥平面PBD．（Ⅱ）由已知得PD∥OE，取AD中点H，连结BH，由此利用，能求出三棱锥P﹣EAD的体积．【解析】：（Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又∵PD∩BD=D，AC⊥平面PBD．而AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD．（Ⅱ）解：∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE，∴PD∥OE，∵O是BD中点，∴E是PB中点．取AD中点H，连结BH，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴BH⊥AD，又BH⊥PD，AD∩PD=D，∴BD⊥平面PAD，．∴==．【点评】：本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21．（12分）（2015•沈阳模拟）已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直．（1）求实数a，b的值；（2）若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，求m的取值范围．【考点】：函数的单调性与导数的关系；导数的几何意义．【专题】：计算题．【分析】：（1）将M的坐标代入f（x）的解析式，得到关于a，b的一个等式；求出导函数，求出f′（1）即切线的斜率，利用垂直的两直线的斜率之积为﹣1，列出关于a，b的另一个等式，解方程组，求出a，b的值．（2）求出f′（x），令f′（x）＞0，求出函数的单调递增区间，据题意知[m，m+1]⊆（﹣∝，﹣2]∪[0，+∝），列出端点的大小，求出m的范围．【解析】：解：（1）∵f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），∴a+b=4①式…（1分）f'（x）=3ax2+2bx，则f'（1）=3a+2b…（3分）由条件②式…（5分）由①②式解得a=1，b=3（2）f（x）=x3+3x2，f'（x）=3x2+6x，令f'（x）=3x2+6x≥0得x≥0或x≤﹣2，…（8分）∵函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增∴[m，m+1]⊆（﹣∝，﹣2]∪[0，+∝）∴m≥0或m+1≤﹣2∴m≥0或m≤﹣3【点评】：注意函数在切点处的导数值是曲线的切线斜率；直线垂直的充要条件是斜率之积为﹣1．22．（12分）（2015•沈阳模拟）已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+log a n，S n=b1+b2+…+b n，求S n．【考点】：数列的求和；等比数列的性质．【专题】：综合题；等差数列与等比数列．【分析】：（I）根据a3+2是a2，a4的等差中项和a2+a3+a4=28，求出a3、a2+a4的值，进而得出首项和a1，即可求得通项公式；（II）先求出数列{b n}的通项公式，然后分组求和，即可得出结论．【解析】：解：（I）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q∵a3+2是a2，a4的等差中项∴2（a3+2）=a2+a4代入a2+a3+a4=28，得a3=8∴a2+a4=20解得或∵数列{a n}单调递增∴a n=2n（II）∵a n=2n，∴b n=a n+log a n=a n﹣n，∴S n=﹣=2n+1﹣2﹣，【点评】：本题考查了等比数列的通项公式以及数列的前n项和，考查学生的计算能力，属于中档题．。

2015年东北三省四市联合体高三三模数学(文)试题及答案

2015年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（三）文科数学试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知全集=⋂===B A C B A U U ）则（},4,2{},4,1{},4,3,2,1{.A ∅ .B }2{ .C }4{ .D }4,3,2{ 2、若复数ibi++21是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b = .A 2- .B 12-.C 12.D 2 3、执行下面的程序框图，那么输出的S 等于.A 42 .B 56.C 72 .D 904、在区间[]5,3-上随机取一个实数a ，则使函数42)(2++=ax x x f 无零点的概率是.A 31 .B 21 .C 41 .D 815、设3log 3=a ，2ln =b ，215-=c ，则.A a b c >> .B c a b >> .C b c a >> .D c b a >>6、已知{}n a 为等差数列且公差0≠d ，其首项201=a ，且973,,a a a 成等比数列，n S 为{}n a 的前n 项和，*N n ∈，则10S 的值为( ).A 110-.B90-.C 90.D 1107、某抛物线的通径与圆0112422=-+-+y x y x 的半径相等，则该抛物线的焦点到其准线的距离为.A 2 .B 4 .C 6 .D 88、棱长均为4的三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为否是结束开始输出 SK = K +1S = S +2K K ≤ 8S =0K =1.A π38.B π6 .C π16 .D π249、函数)0,0(),sin()(>>+=ϖφϖA x A x f 的一个最高点坐标为（2,2），相邻的对称轴与对称中心之间的距离为2，则)2015(f =.A 1 .B 2 .C -1 .D 2-10.偶函数||log )(b x x f a +=在)0,(-∞上单调递减，则)2()1(b f a f -+与的大小关系是.A )2()1(b f a f ->+ .B )2()1(b f a f -=+.C )2()1(b f a f -<+ .D 不能确定11、F 为双曲线12222=-by a x 的右焦点，点P 在双曲线右支上， POF ∆（为坐标原点O ）是面积为3的等边三角形，则双曲线的离心率为.A 3 .B 2 .C 5 .D 13+12. 定义在R 上的函数()(2)()1,[0,1],()4xf x f x f x x f x +=+∈=满足且时，(1,2)x ∈时，(1)()f f x x=，令4)(2)(--=x x f x g ]2,6[-∈x ,则函数)(x g 的零点个数为（） .A 6 .B 7 .C 8 .D 9二填空题：本大题共4小题，每小题5分13、边长为2的正方形ABCD ，对角线的交点为E ，则⋅+)(= .14．如右图是一个空间几何体的三视图（俯视图外框为正方形），则这个几何体的体积为 .15、设y x z +=，其中实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≥+,0,0,02m y y x y x 若z 的最小值为-3，则z 的最大值为 .16、棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，点P N M ,,分别为111,,DD BC AB 的中点，给出下列结论：①异面直线11,BC AB 所成的角为3π ② MN ∥ABCD 平面 ③ 四面体N B A A 11-的体积为41 ④ MN ⊥BP则正确结论的序号为 . 17. （本小题满分12分）已知x x x f 2cos 22sin 3)(+=，ABC ∆的三边c b a ,,对应的角分别为C B A ,,，其中2)(=A f . (1) 求角A 的大小；（2）当2=a 时，求ABC ∆面积的最大值.18.（本小题满分12分）某地区有小学18所，中学12所，大学6所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1) 若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，求抽取的2所学校均为小学的概率；（2的估计值与实际值之间的差的绝对值.(附：回归直线+y b x a ∧∧∧=的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为: 1221,ni ii nii x y nx yb a y b x xnx∧∧∧==-==--∑∑)19. （本小题满分12分）如图：四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，平面PCD ⊥底面ABCD ，且a PD PC ==.(1) 求证：PD ⊥BC ；（2）当a 的值为多少时满足PC ⊥PAD 平面？并求出此时该四棱锥ABCD P -的体积.20.（本小题满分12分）已知椭圆)0(,12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，P 是短轴的一个顶点，21F PF ∆是顶角为π32且面积为3的等腰三角形. （1）求椭圆的标准方程；（2）过点)0,(a A -斜率为k 的直线交椭圆于点B .直线)(为坐标原点O BO 交椭圆于另一点C .若]1,21[∈k ，求ABC ∆的面积的最大值.21. （本小题满分12分）已知函数11ln )(+--=x x x a x f . （1）当1=a 时，求)(x f 在2=x 处的切线方程；（2）当1>x 时，0)(>x f ，求实数a 的取值范围；（3）证明：)1ln(211215131+<++++n n （*N n ∈）. 请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）如图，AD 是ABC ∆的高，AE 是ABC ∆的外接圆的直径，过点A 作圆的切线交BC 的延长线于点F（1）求证：ABE ∆∽ADC ∆；（2）若844===CF CD BD ，求ABC ∆的外接圆的半径.23. （本小题满分10分）直角坐标系中曲线C 的参数方程为)(sin 2cos 4为参数θθθ⎩⎨⎧==y x .（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）经过点)1,2(M 作直线l 交曲线C 于B A ,两点，若M 恰好为线段AB 的三等分点，求直线l 的斜率.24. （本小题满分10分）已知,1,1,1>>>c b a 且10=ab . (1) 求b a lg lg ⋅的最大值；（2）求证：c c c b a lg 4log log ≥+.2015年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（三）文科数学答案13、 414、15、16、①②④17.（1）……………（1分），……………（3分）又……………（4分），……………（5分）……………（6分）（2）……………（8分）又（当且仅当时取等号）……………（9分）面积……………（10分）所以面积的最大值为……………（12分）18. 解：（1）18:12:6=3:2:1，故抽取的6所学校中有3所小学、2所中学、1所大学，分别为，……………（1分）6所学校抽取2所所有基本事件为共15种，……………（2分）设事件A为抽取的2所学校均为小学，则A事件有共3种，……………（4分）故.答：抽取的2所学校均为小学的概率为.……………（5分）（2），……………（8分）……………（10分）时，.……………（12分）19.（1）⊥，=，且，⊥所以⊥，……………（3分）⊥……………（5分）（2）取的中点为，连接⊥，，=，且，⊥所以⊥……………（8分）由题意可得⊥，……………（10分）此时该四棱锥的体积为……………（12分）20.(1) 由题意可得……………（1分）的面积，……………（2分）得……………（3分）所以椭圆的标准方程为……………（4分）（2）设直线的方程为，代入椭圆方程得得……………（5分），……………（6分）的面积……………（8分）令，……………（9分），在[1,2]上单调递减，……………（10分）所以当时求的面积的最大值为……………（12分）21. （1）解：当时，，……………（1分）……………（3分）所以在处的切线方程为。