人教版普通高中数学B版必修第三册 第七章 - 教学设计 全
高中数学 第七章 三角函数 7.1.2 弧度制及其与角度制的换算学案(含解析)新人教B版必修第三册-
7．1.2 弧度制及其与角度制的换算[课程目标] 1.了解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．2．熟记特殊角的弧度数．[填一填]1．度量角的单位制(1)角度制：用度作单位来度量角的制度称为角度制，规定周角的1360为1度的角．其中60分等于1度，60秒等于1分．(2)弧度制：以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制．长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1_rad.2．角度制与弧度制的换算3．特殊角的弧度数4.弧度制下的公式如图所示，l 、r 、α分别是弧长、半径、弧所对圆心角的弧度数．(1)弧度数公式：α＝lr ；(2)弧长公式：l ＝αr ；(3)扇形面积公式：S ＝12lr ＝12αr 2.[答一答]比较弧度制与角度制的异同．提示：(1)弧度制是以“弧度”为单位来度量角的制度，角度制是以“度”为单位来度量角的制度．(2)1弧度等于长度为半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而1°等于圆的1360所对的圆心角的大小．(3)不管是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径的大小无关的定值．(4)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，这时弧度数在形式上虽是一个不名数，但我们应当把它理解为名数．如sin2是指sin(2弧度)，π＝180°是指π弧度＝180°；但如果以度(°)为单位表示角时，度(°)就不能省去．(5)用弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π写成小数．(6)弧度制和角度制一样，只是一种度量角的方法．弧度制与角度制相比有一定的优点．其一是在进位上，角度制在度、分、秒上是60进位制，不便于计算，而弧度制是10进位制，给运算带来方便；其二是在弧长公式与扇形面积公式的表达上，弧度制下的公式远比角度制下的公式简单，运用起来方便．(7)角的概念推广以后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(角度数或弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角和它对应.类型一概念的理解[例1]下列说法不正确的是()A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．1度的角是圆周的1360所对的圆心角，1弧度的角是圆周的12π所对的圆心角C．根据弧度的定义，180°一定等于π radD．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关[解析]根据角度、弧度的定义，可知无论角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径长短无关，而与弧长与半径的比值有关，所以D错误．[答案] D根据弧度、角度的定义，可知无论角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径的长短无关，而与弧长与半径的比值有关.[变式训练1]下列命题中，真命题是(D)A．1弧度就是1度的圆心角所对的弧B．1弧度是长度为半径的弧C．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位解析：弧度是度量角的大小的一种单位，1弧度是长度等于半径的圆弧所对圆心角的大小．类型二 角度制与弧度制的互化[例2] 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.[解] (1)20°＝20π180＝π9.(2)－15°＝－15π180＝－π12.(3)7π12＝712×180°＝105°. (4)－11π5＝－115×180°＝－396°.(1)进行角度与弧度换算时，要抓住关系：π rad ＝180°.(2)熟记特殊角的度数与弧度数的对应值.[变式训练2] (1)把112°30′化成弧度； (2)把－5π12化成度．解：(1)112°30′＝⎝⎛⎭⎫2252°＝2252×π180＝5π8. (2)－5π12＝－⎝⎛⎭⎫5π12×180π°＝－75°. 类型三 弧度制和角度制的简单应用[例3] 设角α1＝－570°，α2＝750°，β1＝35π，β2＝－73π.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们有相同终边的所有角． [分析] 由题目可获取以下主要信息：①用角度制给出的两个角－570°，750°，用弧度制给出的两个角35π，－73π；②与β角终边相同的角的表示．解答本题可先将－570°，750°化为弧度角再将其写成2k π＋α(k ∈Z,0≤α<2π)的形式． [解] (1)－570°＝－196π＝－4π＋56π，750°＝256π＝4π＋π6.∴α1在第二象限，α2在第一象限． (2)β1＝3π5＝108°，设θ＝k ·360°＋β1(k ∈Z )，由－720°<θ<0°，得－720°<k ·360°＋108°<0°， ∴k ＝－2或k ＝－1，∴在－720°～0°间与β1有相同终边的角是－612°和－252°.同理β2＝－73π＝－420°且在－720°～0°间与β2有相同终边的角是－60°和－420°.迅速进行角度与弧度的互化，准确判断角所在象限是学习三角函数知识的必备基本功.在某一指定范围内求具有某种特性的角，通常化为解不等式去求对应的k 值，也可使用赋值法，对k 在其本身取值范围内取特殊值.[变式训练3] 用弧度表示顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边在图中阴影部分(不包括边界)的角的集合．解：(1)题图(1)中，以OB 为终边的330°角与－30°角的终边相同， －30°＝－π6，而75°＝75×π180＝5π12，阴影部分(不包括边界)位于－π6与5π12之间且跨越x 轴的正半轴．所以，终边在阴影部分(不包括边界)的角的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α－π6＋2k π<α<5π12＋2k π，k ∈Z ；(2)题图(2)中，以OB 为终边的225°角与－135°角的终边相同，－135°＝－135×π180＝－3π4，而135°＝3π4，阴影部分(不包括边界)位于－3π4与3π4之间且跨越x 轴的正半轴． 所以，终边在阴影部分(不包括边界)的角的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α－3π4＋2k π<α<3π4＋2k π，k ∈Z .类型四 弧长公式与扇形面积公式的应用[例4] 求解下列各题．(1)若某扇形的圆心角为75°，半径为15 cm ，求扇形面积；(2)若一扇形的周长为60 cm ，那么当它的半径和圆心角各为多少时，扇形的面积达到最大，最大值是多少？[分析] 利用弧长公式及扇形面积公式，或应用公式建立方程组．求最值时可构造成面积关于r (或角θ)的二次函数．[解] (1)圆心角为75×π180＝5π12，扇形半径为15 cm.∴扇形面积S ＝12|α|r 2＝12×5π12×152＝3758π(cm 2)．(2)设扇形半径为r ，圆心角为θ，弧长为l ，面积为S . 则l ＋2r ＝60，∴l ＝60－2r .S ＝12lr ＝12(60－2r )r ＝－r 2＋30r ＝225－(r －15)2.当r ＝15时，面积S max ＝225(cm 2)． 此时θ＝l r ＝60－2r r ＝60－2×1515＝2.∴当半径为15 cm ，圆心角为2 rad 时，扇形面积最大，最大值为225 cm 2.(1)给出周长(即间接给出弧长)及面积，列方程组求弧长及半径，最后求得圆心角的弧度数.在以面积作等式时可以有弧度制和角度制下的两种方式.(2)求面积最值，本题可以以r 为变量建立面积关于半径r 的二次函数，也可以建立关于θ角的函数，求函数的最值方法较多，希望尽力把握.(3)使用弧度数公式|α|＝lr 时，应注意α是弧度数，且三个量l ，r ，α中知道其中任意两个可求另外一个；有些问题还要注意角α的方向和旋转的圈数.[变式训练4] (1)在半径为12 cm 的圆上，有一条弧的长是18 cm ，求该弧所对的圆心角的弧度数和该扇形的面积；(2)已知扇形OAB 的面积为1 cm 2，它的周长是4 cm ，求该扇形OAB 的圆心角AOB 的弧度数．解：(1)设该弧所对的圆心角为α，则α＝l r ＝1812＝32(rad)，该扇形面积为S ＝12lr ＝12×18×12＝108(cm 2)．(2)设该扇形的圆心角为α，半径为r ，周长为P ，依题意知：⎩⎪⎨⎪⎧S ＝12lr ＝1，P ＝l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2，∴α＝l r＝2 rad.所以该扇形OAB 的圆心角AOB 的弧度数为2 rad.类型五 弧度制的实际应用[例5] 视力正常的人，能读远处文字的视角不小于5′.试求： (1)离人10m 处，人所能阅读的最小文字的大小如何？(2)要看清长宽均为5m 的大字标语，人离标语最远距离为多少米？[分析] 解决实际问题的关键是构建数学模型，即如何将实际问题转化为数学问题．本题可转化为以眼睛为圆心，以视角为圆心角，距离为半径的弧长问题，第(1)问是已知半径、圆心角求弧长．第(2)问是已知弧长、圆心角求半径．[解] (1)设该文字的长宽均为l m ，则l ≈10α，其中视角α＝5′≈0.001 454弧度． ∴l ＝10×0.001 454＝0.014 54 m ≈1.45 cm.故视力正常的人，在10 m 远处能阅读最小为1.45 cm 见方的文字；(2)设人离标语x m 处，对5 m 见方的文字所张的视角是5′，约为0.001 454弧度，则x ≈lα≈50.001 454≈3 439 m.故视力正常的人，最远能在约3 439 m 远处看清5 m 见方的文字．本题包含两种意识：一是空间向平面转化的意识，因为人的眼睛看标语时是一个空间图形，我们把它抽象为平面图形；二是近似意识，当半径很大，圆心角较小时，圆心角所对的弧可近似看成一条线段(即文字的长度与宽度).[变式训练5] 如图，动点P 、Q 从点A (4,0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P 、Q 第一次相遇时所用的时间，相遇点的坐标及P 、Q 点各自走过的弧长．解：设P 、Q 第一次相遇时所用的时间是t ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪－π6＝2π，所以t ＝4(s)，即P 、Q 第一次相遇所用的时间为4 s ．设第一次相遇点为C ，第一次相遇时已运动到终边在π3·4＝43π的位置，则x C ＝－4·cos π3＝－2，y C ＝－4·sin π3＝－23，所以C 点的坐标为(－2，－23)．P点走过的弧长为43π·4＝163π；Q 点走过的弧长为83π.1．下列各式中，正确的是( D ) A ．π＝180 B ．－15°＝π12C ．1 rad ＝πD ．90°＝π2rad解析：π＝180°，单位为弧度可以省略，单位为度不能省略，故A 错；－15°＝－π12，故B 错；1 rad ＝180°π，故C 错．2．若α＝－4，则α是( B ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：由－32π<－4<－π，知－4是第二象限角．3．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( C ) A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或4解析：设此扇形的半径为r ，弧长是l ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.4．已知半径为100 mm的圆上，有一条弧的长是150 mm，则该弧所对的圆心角的弧度数的绝对值为1.5.解析：|α|＝lr＝150100＝1.5，即该弧所对的圆心角的弧度数的绝对值为1.5.。
高中数学人教B版必修三第七章 单位圆与三角函数线教学设计
《单位圆与三角函数线》教学目标：1、理解单位圆、有向线段的概念2、掌握正弦线、余弦线和正切线的准确作法3、能利用三角函数线解决简单的三角问题教学重点：三角函数线的准确作法教学难点：三角函数线的应用教学过程：一、复习引入对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切的另一种表示方法——几何表示法。
1、角α的正弦、余弦、正切是怎样定义的？cos sin tan .r y r y x ααα===，，2、角α 的正弦、余弦、正切值与终边上P 点的位置是否有关？所以x =______，y =_________，所以点p 坐标为____________。
当r=1时，x =______，y =_________，所以点p 坐标为____________。
y)二、新课讲授探究点1：单位圆的定义从定义看出：，为了简单地计算其正余弦、正切，我们可以分别令每个式子中的分母为1。
问题1：当r=1时，即P 点到原点的距离为1。
所有满足条件的点P 构成什么图形？定义：单位圆 __________________________________________________ 探究点2: 正弦线、余弦线 利用几何画板引导学生思考、观察给出正弦线、余弦线的定义问题2：随着α的变化，请同学们观察 sinα,cosα 的变化规律问题3：试比较sin π6 ,cos π6,sin π12 的大小。
总结1：探究点3：类比正弦线、余弦线给出正切线的定义问题4：类比正余弦的三角函数线定义，要探究正切线，应该令哪个量为1呢?(同学们探究讨论，合作研究) 问题:5：随着α的变化，请同学们观察 tanα 的变化规律问题6:试比较 sin π4 ,cos π4 ,tan π4 的大小。
总结2：()终边上异于原点的任意一点P ,,sin ,cos y x x y r r r ααα===当角的终边不在轴上时，tan yy x αα= oy三、例题精讲例1、作出5π6和π4的正弦线、余弦线和正切线，并利用三角函数线求出它们的正弦、余弦和正切.例2、（参见教科书）四、课堂练习（课后练习A组：1、3、4、）五、探索与研究尝试利用三角函数线研究：0<α<π2, sinα ,α ,tanα的大小关系六、课堂小结。
高中数学人教B版必修三第七章《7.3.2正弦型函数的性质与图象》第二课时教学设计
正弦型函数的性质与图象（第二课时）教学设计
一、教学目标：进一步理解()sin y A x ωϕ=+的性质与图像，掌握参数,,A ωϕ变化对图像的影
响。
二、教学重点：函数()sin y A x ωϕ=+的图像与函数sin y x =图像之间的关系。
三、教学难点：参数,,A ωϕ变化对图像的影响。
四、教学方法：启发式、探究式
例2：如图是函数()sin y A x ωϕ=+的部分图像，其中0,0,2
A πωϕ>><,试确定这个函数的解析
式。
例3：求下列函数的单调递增区间、单调递减区间、函数的最大值和最小值及取得最值时x 的值。
（1）2sin 23y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
（2）1sin 24y x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭
例4：设函数()()sin 2f x x ϕ=+ 02πϕ⎛⎫<< ⎪⎝
⎭，其图像的一条对称轴为直线8
x π
=.
(1)求ϕ的值；
(2)求函数()y f x =的单调递增区间； (3)求函数()y f x =在[0,
]2
π
上的最大值和最小值。
的图像。
2.如图是函数()sin y A x ωϕ=+的部分图像，其中
0,0,2
A π
ωϕ>><
,这个函数的解析式为______.。
高中数学第七章三角函数7.2任意角的三角函数7.2.2单位圆与三角函数线教案新人教B版第三册
7.2.2 单位圆与三角函数线(教师独具内容)课程标准：1.理解三角函数的正弦线、余弦线、正切线的定义.2.能作出角的三角函数线，并利用三角函数线观察三角函数的相关信息．教学重点：利用三角函数线观察三角函数的相关信息，体会数与形的结合． 教学难点：三角函数线的运用.【知识导学】知识点一 单位圆(1)一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足□01x 2＋y 2＝1的点组成的集合称为单位圆． (2)角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的□02横坐标和□03纵坐标． 知识点二 三角函数线如图，设单位圆的圆心在原点，角α的顶点在圆心O ，始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，点P 在x 轴上的正射影为M ，点P 在y 轴上的正射影为N ，过A (1,0)作单位圆的切线交α的终边OP 或其反向延长线于点T ，则(1)把向量OM →，ON →，AT →分别叫做α的□01余弦线、□02正弦线、□03正切线，正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线．(2)其中|cos α|＝□04|OM →|，|sin α|＝□05|ON →|，|tan α|＝□06|AT →|，其大小分别等于该坐标系下相应线段的长度，其正负是这样规定的：从起点到终点的方向与坐标轴的正方向相同时为正，相反时为负，即OM →的方向与x 轴的正方向相同时，表示cos α是正数，且cos α＝|OM →|，OM →的方向与x 轴的正方向相反时，表示cos α是负数，且cos α＝－|OM →|；ON →的方向与y 轴的正方向相同时，表示sin α是正数，且sin α＝|ON →|，ON →的方向与y 轴的正方向相反时，表示sin α是负数；且sin α＝－|ON →|；AT →的方向与y 轴的正方向相同时，表示tan α是正数，且tan α＝|AT →|，AT →的方向与y 轴的正方向相反时，表示tan α是负数，且tan α＝－|AT →|.【新知拓展】1．单位圆中的“单位”半径为1的圆是单位圆，这里的1不是1 cm ，不是1 m ，而是指1个单位长度，即作图时，规定的1的单位的长度．2．对三角函数线的几点说明(1)三角函数线是三角函数的图形表示．(2)在三角函数线中，点M ，N ，P ，A ，T 都是确定的，一般不可随意调换．P ——角的终边与单位圆的交点， M ——点P 在x 轴上的正射影， N ——点P 在y 轴上的正射影，A ——单位圆与x 轴正半轴的交点，坐标(1,0)， T ——过A 的垂线与角的终边(或其延长线)的交点．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角函数线的长度等于三角函数值．( ) (2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负．( ) (3)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× 2．做一做(1) 如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )A ．正弦线PM →，正切线A ′T ′→B ．正弦线MP →，正切线A ′T ′→C ．正弦线MP →，正切线AT →D ．正弦线PM →，正切线AT →(2)如果MP ，OM 分别是角α＝3π16的正弦线和余弦线的数量，则下列结论正确的是( )A ．MP <OM <0B ．MP >OM >0C ．OM <MP <0D ．OM >MP >0(3)已知α(0<α<2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为( ) A.3π4或π4 B.5π4或7π4 C.π4或5π4D.π4或7π4答案 (1)C (2)D (3)C题型一 画出角的三角函数线例1 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边．(1)sin α＝23；(2)cos α＝－35；(3)tan α＝2.[解] (1)作直线y ＝23交单位圆于P ，Q 两点，则OP 与OQ 为角α的终边，如图①.(2)作直线x ＝－35交单位圆于M ，N 两点，则OM 与ON 为角α的终边，如图②.(3)在直线x ＝1上截取AT ＝2，其中A 的坐标为(1,0)．设直线OT 与单位圆交于C ，D 两点，则OC 与OD 为角α的终边，如图③.金版点睛1．作三角函数线的四个步骤(1)确定角的始边，单位圆与x 轴交点A (1,0)． (2)确定角的终边与单位圆的交点P .(3)过P 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足为M ，N ，过A 作x 轴的垂线，与角的终边(或其反向延长线)交于T (T ′)．(4)得正弦线ON →，余弦线OM →，正切线AT →(或AT ′→)． 2．单位圆中求作角的终边的方法应用三角函数线可以求作满足形如f (α)＝m 的三角函数的角的终边，具体作法是先作出直线y ＝m 或x ＝m 与单位圆的交点，再将原点与交点连接所得射线即为所求角的终边．[跟踪训练1] 作出5π4的正弦线、余弦线和正切线．解 在直角坐标系中作以坐标原点为圆心的单位圆，如图所示，以x 轴的正半轴为始边作5π4的终边，与单位圆交于点P ，作PM ⊥x 轴于点M ，作PN ⊥y 轴于点N ，由单位圆与x 轴正方向的交点A 作x 轴的垂线与5π4的终边的反向延长线交于点T ，则ON →，OM →，AT →分别为5π4的正弦线、余弦线、正切线.题型二 利用三角函数线比较大小例2 利用三角函数线比较下列各组数的大小： (1)sin 2π3与sin 4π5；(2)cos 2π3与cos 4π5；(3)tan 2π3与tan 4π5.[解] 如图，在单位圆中，2π3的终边为OP 1，4π5的终边为OP 2，过P 1，P 2分别作x 轴的垂线，垂足为M 1，M 2，延长P 1O ，P 2O 交经过A (1,0)的单位圆的切线于T 1，T 2.(1)sin 2π3＝|M 1P 1→|，sin 4π5＝|M 2P 2→|，∵|M 1P 1→|>|M 2P 2→|，∴sin 2π3>sin 4π5.(2)cos 2π3＝－|OM 1→|，cos 4π5＝－|OM 2→|，∵－|OM 1→|>－|OM 2→|，∴cos 2π3>cos 4π5.(3)tan 2π3＝－|AT 1→|，tan 4π5＝－|AT 2→|，∵－|AT 1→|<－|AT 2→|，∴tan 2π3<tan 4π5.金版点睛三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，三角函数线的长度是三角函数值的绝对值，因此，对于同名三角函数值的大小比较，利用三角函数线求解比较直观、形象．(1)sin α与sin β：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边与单位圆的交点P 1，P 2，然后比较P 1，P 2两点纵坐标的大小即可得sin α与sin β的大小．(2)cos α与cos β：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边与单位圆的交点P 1，P 2，然后比较P 1，P 2两点横坐标的大小即可得cos α与cos β的大小．(3)tan α与tan β：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边，过点(1,0)作垂线，设与角α，β的终边所在直线分别交于点T 1，T 2，然后比较T 1，T 2两点的纵坐标的大小即可得tan α与tan β的大小．[跟踪训练2] 若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，则下列各式错误的是( ) A ．sin θ＋cos θ<0 B ．sin θ－cos θ>0 C ．|sin θ|<|cos θ| D ．sin θ＋cos θ>0答案 D解析 因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π，作出角的正弦线和余弦线如图所示，所以sin θ>0，cos θ<0，且|sin θ|<|cos θ|，所以sin θ＋cos θ<0，sin θ－cos θ>0.题型三 利用三角函数线证明不等式例3 已知α为锐角，求证：1<sin α＋cos α<π2.[证明] 如图，设角α的终边与单位圆相交于点P (x ，y )，过点P 作PQ ⊥Ox ，PR ⊥Oy ，Q ，R 为垂足，连接PA ，PB ， ∵y ＝sin α，x ＝cos α， 在△OPQ 中，|QP →|＋|OQ →|>|OP →|， ∴sin α＋cos α>1.∵S △OPA ＝12|OA →|·|PQ →|＝12y ＝12sin α，S △POB ＝12|OB →|·|PR →|＝12x ＝12cos α， S 扇形OAB ＝14×π×12＝π4，又四边形OAPB 被扇形所覆盖， ∴S △OPA ＋S △POB <S 扇形OAB ，∴12sin α＋12cos α<π4，即sin α＋cos α<π2. ∴1<sin α＋cos α<π2.金版点睛利用三角函数线证明不等式的策略一般先根据条件作出三角函数线，在进一步证明不等式的过程中往往需要借助于三角形和扇形的面积，按题意适当放大或缩小证明结论．[跟踪训练3] 已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求证：sin α<α<tan α. 证明 在单位圆中设∠AOP ＝α，则AP ︵的长度为α，角α的正弦线为MP →，正切线为AT →，∵△OPA 面积<扇形OPA 面积<△OAT 面积，∴12|OA →|·|MP →|<12|OA →|·α<12|OA →|·|AT →|， 即|MP →|<α<|AT →|，∴sin α<α<tan α.1．关于三角函数线，下列说法正确的是( ) A ．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B ．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在C ．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在D ．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在 答案 D解析 正弦函数和余弦函数的定义域是R ，所以任何角的正弦线、余弦线总是存在，正切函数的定义域不是R ，所以任何角的正切线不一定存在．2．已知角α的正弦线的长度为1，则角α的终边在( ) A ．x 轴上 B ．y 轴上 C ．x 轴的正半轴上 D ．y 轴的正半轴上答案 B解析 若正弦线长度为1，则sin α＝±1，所以角α终边为y 轴上．3.在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π 答案 B解析 利用单位圆和三角函数线解不等式．如图所示，∠P 2OM 2＝π6，∠P 1OM 1＝5π6，|P 1M 1→|＝|P 2M 2→|＝12，则图中阴影部分为所求，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6.4．角π6的终边与单位圆的交点的坐标是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫32，12 解析 cos π6＝32，sin π6＝12，所以角π6的终边与单位圆的交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.5．画出α＝2的正弦线、余弦线和正切线． 解 如图所示，MP →＝sin2，OM →＝cos2，AT →＝tan2.。
新教材人教B版高中数学必修第三册全册精品教学课件(共762页)
第2课时 诱导公式(二) P204
7．3 三角函数的性质与图像
7．3.1 正弦函数的性质与图像 P230 7．3.2 正弦型函数的性质与图像 P270
7．3函数的性质与图像 P376
7．3.5 已知三角函数值求角 P411
7．4 数学建模活动：周期现象的描述 P443
2．象限角 (1)使角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在 x 轴的正半轴 上，角的终边在第几象限，把这个角称为第几象限角． 如果终边在 坐标轴 上，就认为这个角不属于任何象限．
(2)①象限角的集合 第一象限角的集合{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝ β＋k·360°，0°<β<90°，k∈Z}． 第二象限角的集合 {α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z} ＝{α|α＝β＋k·360°，90°<β<180°，k∈Z}． 第三象限角的集合{α|180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z} ＝{α|α＝β＋k·360°，180°<β<270°，k∈Z}． 第四象限角的集合 {α|270°＋k·360°<α<360°＋k·360°，k∈Z} ＝{α|α＝β＋k·360°，270°<β<360°，k∈Z}．
②终边落在坐标轴上的角的集合 终边落在 x 轴正半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Z}． 终边落在 x 轴负半轴上的角的集合为
{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z} ． 终边落在 x 轴上的角的集合为{α|α＝k·180°，k∈Z}． 终边落在 y 轴正半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°＋90°，k ∈Z}． 终边落在 y 轴负半轴上的角的集合为
高中数学第七章三角函数7.3三角函数的性质与图像7.3.2正弦型函数的性质与图像学案含解析第三册
7．3.2 正弦型函数的性质与图像［课程目标］1。
了解正弦型函数y＝A sin（ωx＋φ)的实际意义及各参数对图像变化的影响，会求其周期、最值、单调区间等．2．会用“五点法”及“图像变换法”作正弦型函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像．［填一填］1．正弦型函数（1）形如y＝A sin(ωx＋φ)（其中A，ω,φ都是常数,且A≠0，ω≠0)的函数，通常叫做正弦型函数．（2）函数y＝A sin（ωx＋φ)(其中A≠0，ω>0，x∈R）的周期T＝错误!,频率f＝错误!，初相为φ，值域为[－｜A|，|A｜］，｜A|也称为振幅,|A|的大小反映了y＝A sin（ωx＋φ）的波动幅度的大小．2．正弦型函数的性质正弦型函数y＝A sin（ωx＋φ)( A〉0,ω〉0）有如下性质．(1）定义域:R。
(2)值域：［－A，A]．(3）周期:T＝错误!。
(4)单调区间：单调增区间由2kπ－错误!≤ωx＋φ≤2kπ＋错误!(k∈Z）求得，单调减区间由2kπ＋π2≤ωx＋φ≤2kπ＋32π(k∈Z）求得．3．利用图像变换法作y＝A sin（ωx＋φ)＋b的图像［答一答] 1．怎样得到y＝A sin（ωx＋φ)的图像？提示:(1)“五点法”画函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像：画函数y＝A sin(ωx＋φ）的简图,主要是先找出确定曲线形状时起关键作用的五个点．这五个点应该是使函数取得最大值、最小值及曲线与x轴相交的点，找出它们的方法是作变量代换．设X＝ωx＋φ，由X取0，错误!，π，错误!，2π来确定对应的x 值．(2）由函数y＝sin x图像变换到y＝A sin(ωx＋φ)的图像:步骤1:画出正弦曲线在长度为2π的某闭区间上的简图．步骤2：沿x轴平行移动，得到y＝sin(x＋φ）在长度为2π的某闭区间上的简图．步骤3：横坐标伸长或缩短，得到y＝sin（ωx＋φ)在长度为一个周期的闭区间上的简图．步骤4：纵坐标伸长或缩短,得到y＝A sin(ωx＋φ)在长度为一个周期的闭区间上的简图．步骤5：沿x轴伸展,得到y＝A sin（ωx＋φ），x∈R的简图．上述变换步骤概括如下：步骤1错误!步骤2错误!步骤3错误!步骤4―→步骤5其中相位变换中平移量为｜φ|单位,φ>0时向左移，φ<0时向右移;周期变换中的纵坐标不变,横坐标变为原来的错误!倍；振幅变换中，横坐标不变，而纵坐标变为原来的A倍．2．三角函数图像的平移变换和伸缩变换的规律是什么?提示：(1）平移变换：①沿x轴平移，按“左加右减"规律；②沿y轴平移，按“上加下减"规律．（2）伸缩变换:①沿x轴伸缩：ω>1时,横坐标缩短到原来的错误!倍，0<ω〈1时,横坐标伸长到原来的1ω倍，纵坐标保持不变；②沿y轴伸缩：当A>1时，把纵坐标伸长到原来的A倍,当0〈A〈1时，纵坐标缩短到原来的A倍，横坐标保持不变．3．怎样由图像或部分图像求正弦函数y＝A sin（ωx＋φ）的解析式？提示：关键在于确定参数A，ω，φ。
人教版普通高中数学B版必修第三册 第七章 7.3.2正弦型函数的性质与图像 - 教学设计
7.3.2正弦型函数的性质与图像教学课时：1课时教学目标：1、能根据解析式总结y＝Asinx(A>0)、y＝sin(x＋φ)、y＝sinωx(ω>0)、y＝Asin(ωx＋φ)的性质；2、能用五点法作上述函数的简图。
通过作图过程明确A、ω、φ对函数性质与图像的影响，概括出三角函数图像变换的实质和规律，并用图象变换画出函数y=Asin(ωx＋φ)的图像；3、结合观览车和弹簧实例，体会y＝Asin(ωx＋φ)这类函数模型与生活的联系，了解A、ω、φ的实际意义及周期、频率、初相的定义；4、通过对探索过程的体验，培养观察能力和探索问题的能力，体会数形结合以及从特殊到一般的数学思想，锻炼从具体到抽象的思维方法，达到从感性认识到理性认识的飞跃.教学重点：A、ω、φ对函数性质与图像的影响及y=sinx的图像到y=Asin(ωx＋φ)的图像变换过程.教学难点：y=sinx的图像到y=Asin(ωx＋φ)的图像的变换过程.教学过程：一、创设情境、引出问题问题1：如图，摩天轮圆C的半径为A，为圆C上一点，以射线C为终边的角为φ，点P从出发随着时间推移而逆时针运动，P点每秒转过的弧度为ω，记圆心C的高度为0.，你能用一个合适的函数模型刻画的高度y与时间x 的关系吗？【教师活动】用GGB展示摩天轮，提出问题1，先引导学生思考当φ=0时的纵坐标y，再将移动到图示所示位置，求y.【学生活动】当φ=0，由正弦函数的定义，得到y＝Asinωx；将置于如图所示位置，得到在时刻x秒时点P的纵坐标y＝Asin(ωx＋φ).问题2：y＝Asin(ωx＋φ)图像与学过的哪个函数图像相似？它们有何关系？【教师活动】用GGB动态展示纵坐标y随x变化形成的函数y＝Asin(ωx＋φ)图像，生活中的许多现象，例如弹簧振子在振动过程中离开平衡位置的位移，潮汐现象中水位的高度也是这类函数模型的应用，前面我们已经学习了正弦函数的性质与图像，今天我们就一起来探究正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图像.【学生活动】学生观察图像，回答老师问题.学生回答，和正弦函数相似.y＝sinx就是y＝Asin(ωx＋φ)在A=1，ω=1，φ=0时的情况.【设计意图】用数学的眼光观察世界，感悟函数y＝Asin(ωx＋φ)是刻画自然界周期现象的常见的数学模型，体会函数与生活的紧密联系，引导学生思考y ＝Asin(ωx＋φ)与y＝sinx的一般与特殊的关系.二、自主建构，解决问题问题1：你打算如何研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图像？【教师活动】用ppt展示y＝Asin(ωx＋φ)的图像，教师引导学生通过比较发现y＝Asin(ωx＋φ)的图像与正弦曲线形状很相似，但也有区别，引导学生思考如何分析参数A、ω、φ的影响.【学生活动】先固定其中的两个，研究另外一个参数对函数性质与图像的影响，分别探讨函数y＝Asinx(A>0)、y＝sin(x＋φ)、y＝sinωx(ω>0)的性质与图象，再综合分析.问题2：探究y=2sinx的定义域、值域和周期，并作出它在一个周期内的图像.【教师活动】教师提出问题，引导学生比较y=2sinx与y=sinx的性质，发现最值不同，引出下一问题.【学生活动】学生分析解析式得到函数性质，通过五点法作出函数图像.问题3：y=2sinx的图像如何由y=sinx的图像得到？【教师活动】教师引导学生结合五点法作图的表格找到两个函数的联系，可以提示同学们观察的关系.【学生活动】通过五点法的作图过程，比较两个函数图像的关键点，可以发现横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍.问题4：总结函数y=Asinx的性质，并结合GGB探究如何由y=sinx的图像得到y=Asinx的图像？【教师活动】教师提出问题，教师在GGB软件中选定在同一条竖线上的两点M、N，通过改变横坐标发现，两点纵坐标始终满足A倍关系.【学生活动】学生总结出函数y=Asinx的性质，定义域：R值域：[-A,A] 周期2π，通过平板操作GGB软件改变参数A的大小，通过观察点坐标的联系，分析得出函数图像之间的关系如下：【设计意图】本环节将需要解决的三个参数进行分解，先逐个分析参数对图像的影响，从参数A入手，引导学生从特殊到一般分析A对函数性质与图像的影响，探究过程中，借助GGB的动态展示，合理的展现了探究结论的过程，较好的突破了探究难点，激发了学生的探究欲望，提高了学生分析问题、解决问题的能力.三、类比方法，合作探究问题1：总结y＝sin(x＋φ)的性质，并探究如何由y＝sinx的图像得到y＝sin(x＋φ)的图像？【教师活动】引导学生通过换元的方法分析y＝sin(x＋φ)的性质，再借助GGB演示当φ变化时图像的变化情况，提问学生图像的变化规律.【学生活动】学生先总结y＝sin(x＋φ)的性质，再借助GGB进行数学实验，发现φ引起的是图像x轴方向的平移变换，规律为左加右减，总结出一般规律如下：问题2：总结y＝sin(ωx)的性质，并探究如何由y＝sinx的图像得到y＝sin(ωx)的图像？【教师活动】在分析函数周期时，教师要提醒学生从周期的定义出发，找到x的改变量为多少时，函数值重复出现，再引导学生借助GGB的动态演示功能，结合点坐标的变化，找到ω变化时图像的变化规律.【学生活动】学生类比之前的方法自主探究y＝sin(ωx)的性质，发现ω与周期成反比的规律，总结出，借助GGB进行数学实验，发现ω引起的是图像x轴方向的伸缩变换，观察出ω越大，周期越小，验证了分析函数性质时得到的结论，得到图像变换如下的结论：【设计意图】由具体到抽象，类比上一环节的探究过程，继续探究φ、ω对函数性质与图像的影响，图像变换的本质是图像上每个点的位置变化，而点的位置变化对应了点的坐标的变化，此处不仅从形的角度认识规律，更加突出从点的坐标这一数的本质去理解，实现思维水平的提升.四、综合应用、深化提升问题1：探究的定义域、值域和周期，并用五点法做出它在一个周期内的图像.【教师活动】教师提出问题，引导学生思考，能否用前面的方法分析函数的性质？作图时的五点如何选择？除了五点法作图，我们还可以用什么方法得到图像？引出下一问题.【学生活动】学生用整体分析的方法分析函数性质和五点作图，此外可以由y=sinx通过图像变换的方法得到图像.问题2：如何由函数y=sinx的图像变成的图像？【教师活动】教师提出问题，引导学生通过对比两个函数的性质与图像，提出综合应用图像变换的方案，用ppt分步骤展示图像的变换过程，对图像变换的难点和易错点，提醒学生对比图像坐标进行分析，通过引导学生发现和提出问题，激发学生的学习兴趣.【学生活动】结合与y=sinx的函数性质，并观察五点法作出的图像，提出不同方案：先伸缩后平移，先平移后伸缩.学生在先伸缩后平移时，可能会认为是左移个单位长度，但是通过分析点坐标的变化最后发现这样做是错误的，从而激发他们求知欲，加深对图像变换的理解，第二种变换的难点在伸缩变化中，φ是否受到影响，同样从本质出发，通过分析点的变化来理解，最后结合GGB来验证.巩固练习：1.如何由函数y=sinx的图像变成的图像？2.如何由函数的图像变成的图像？【教师活动】教师用ppt投影展示问题，随机提问两个小组回答。
7.3.3余弦函数的性质与图象教学设计-2024-2025学年高一数学人教B版(2019)必修第三册
3.学生可能遇到的困难和挑战：在学习了正弦函数后，学生可能会认为余弦函数与正弦函数类似，从而忽视了两者的差异。学生在分析余弦函数的性质和图象时，可能会遇到难以理解的概念和性质，如周期性、对称性和奇偶性。此外，学生可能对利用数学软件或绘图工具进行图象绘制和分析感到不熟悉，需要额外的指导和练习。
5.题型五：余弦函数的实际应用
题目：一辆物体以速度v做匀速直线运动，其运动方程为x=vt。如果物体在时间t=0时刻位于原点，求物体在时间t=π/2时刻的位置。
答案：将t=π/2代入运动方程x=vt，得到x=vπ/2。由余弦函数的性质可知，cos(π/2)=0，因此物体在时间t=π/2时刻位于原点下方，距离原点的距离为vπ/2。
二、新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解余弦函数的基本概念。余弦函数是……（详细解释概念）。它在……（解释其重要性或应用）。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了余弦函数在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调余弦函数的周期性和对称性这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
4.直观想象：通过观察和绘制余弦函数的图象，培养学生的空间想象能力，使其能够直观地理解和描述余弦函数的性质。
5.数学运算：在绘制和分析余弦函数图象的过程中，培养学生运用数学运算方法解决问题的能力。
学习者分析
1.学生已经掌握了相关知识：学生在之前的课程中已经学习了正弦函数的基本性质和图象特点，对函数的概念、定义域、值域等有了初步了解。此外，学生还掌握了基本的数学运算方法和逻辑推理能力。
人教B版高中同步学案数学必修第三册精品课件 第七章 三角函数 本章总结提升
+φ)(0<φ<π).
2
已知函数f(x)=2sin(
(1)若函数f(x)为偶函数,求φ的值;
(2)在(1)的条件下,求函数在[-π,π]上的单调递减区间.
解 (1)∵函数
(2)由(1)得
当
π
π
f(x)为偶函数,∴φ=2+kπ(k∈Z),∵0<φ<π,∴φ=2.
f(x)=2cos ,
2
x∈[-π,π]时,
等式求得.
(3)具体求解时注意两点:①要把ωx+φ看作一个整体,若ω<0,先用诱导公式
将式子变形,将x的系数化为正;②在A>0,ω>0时,将“ωx+φ”代入正弦(或余
弦)函数的单调区间,可以解得与之单调性一致的单调区间;当A<0,ω>0时
用同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间.
变式训练3
围,最后得最值.
变式训练4
函数y=sin 2x+cos x的最大值为
答案
.
5
4
1 2 5
+ ,故
2
4
解析 y=sin2x+cos x=-cos2x+cos x+1=- cos x-
1
2
5
4
cos x= 时,ymax= .
本 课 结 束
变式训练1
利用三角函数线,写出满足|cos α|>|sin α|的角α的集合.
解 如图,作出单位圆.
所以角 α 满足的集合为 α
π
π
kπ-4<α<kπ+4,k∈Z
.
专题三
【例 3】
高中数学 第七章 三角函数 7.1 任意角的概念与弧度制 7.1.1 角的推广教案 新人教B版第三册
7.1.1 角的推广(教师独具内容)课程标准：了解任意角的概念、理解象限角、终边相同的角的概念并会用集合符号表示这些角．教学重点：理解正角、负角、零角、象限角的概念，掌握终边相同的角的表示方法．教学难点：用集合符号表示终边相同的角.【知识导学】知识点一角的相关概念(1)一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角．这两条射线分别称为角的□01始边和□02终边．(2)按照角的旋转方向可将角分为如下三类：名称定义图示一条射线绕其端点按照□03逆时针方正角向旋转而成的角负角按照□04顺时针方向旋转而成的角零角一条射线□05没有旋转时形成的角知识点二象限角(1)若角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在□01x轴的正半轴上，则角的□02终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角．(2)若角的终边在□03坐标轴上，则认为这个角不属于任何象限．知识点三终边相同的角设α表示任意角，所有与角α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝□01α＋k·360°，k∈Z}．【新知拓展】对终边相同的角的理解(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；(2)k∈Z，即k为整数，这一条件不可少；(3)终边相同的角的表示不唯一．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点．( )(2)锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定是锐角．( )(3)象限角与终边落在坐标轴上的角的表示形式是唯一的．( )答案(1)×(2)√(3)×2．做一做(1)与600°角终边相同的角可表示为( )A．220°＋k·360°(k∈Z)B．240°＋k·360°(k∈Z)C．60°＋k·360°(k∈Z)D．260°＋k·360°(k∈Z)(2)若角α与角β终边相同，则α－β＝________.答案(1)B (2)k·360°，k∈Z题型一正确理解角的概念例1 下列命题正确的是( )A．终边与始边重合的角是零角B．终边和始边都相同的两个角一定相等C．在90°≤β<180°X围内的角β不一定是钝角D．小于90°的角是锐角[解析]终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，A错误；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，B错误；由于在90°≤β<180°X围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，D错误．故选C.[答案]C金版点睛理解与角的概念有关问题的关键关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．[跟踪训练1](1)经过2个小时，钟表上的时针旋转了( )A ．60°B ．－60°C ．30°D ．－30°(2)射线OA 绕端点O 顺时针旋转90°到OB 位置，接着逆时针旋转100°到OC 位置，然后再顺时针旋转240°到OD 位置，求∠AOD 的大小．答案 (1)B (2)见解析解析 (1)钟表的时针旋转一周是－360°，其中每小时旋转－360°12＝－30°，所以经过2个小时应旋转－60°.故选B.(2)如图，∠AOB ＝90°，∠BOC ＝100°，∠COD ＝360°－240°＝120°，∠AOD ＝∠BOC －∠AOB ＋∠COD ＝100°－90°＋120°＝130°.题型二象限角的判定例2 (1)已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x 轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①－75°；②855°；③－510°；(2)若α是第二象限角，则2α，α2分别是第几象限的角？[解](1)作出各角，其对应的终边如图所示：①由图a 可知：－75°是第四象限角． ②由图b 可知：855°是第二象限角． ③由图c 可知：－510°是第三象限角． (2)①∵α是第二象限角，∴90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z )， ∴180°＋k ·720°<2α<360°＋k ·720°(k ∈Z )，∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上． ②∵α是第二象限角，∴90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z )，∴45°＋k ·180°<α2<90°＋k ·180°(k ∈Z )．解法一：a.当k ＝2n (n ∈Z )时，45°＋n ·360°<α2<90°＋n ·360°(n ∈Z )，即α2是第一象限角；b ．当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，225°＋n ·360°<α2<270°＋n ·360°(n ∈Z )， 即α2是第三象限角．故α2是第一或第三象限角． 解法二：∵45°＋k ·180°表示终边为第一、三象限角平分线的角，90°＋k ·180°(k ∈Z )表示终边为y 轴的角，∴45°＋k ·180°<α2<90°＋k ·180°(k ∈Z )表示终边为如图中阴影部分图形的角．即α2是第一或第三象限角．金版点睛象限角的判定方法(1)根据图像判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°X 围内．在直角坐标平面内，在0°～360°X 围内没有两个角终边是相同的．(3)nα所在象限的判断方法确定nα终边所在的象限，先求出nα的X 围，再直接转化为终边相同的角即可． (4)αn所在象限的判断方法已知角α所在象限，要确定角αn所在象限，有两种方法：①用不等式表示出角αn的X 围，然后对k 的取值分情况讨论：被n 整除；被n 除余1；被n 除余2；…；被n 除余n －1.从而得出结论．②作出各个象限的从原点出发的n 等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n 个区域．从x 轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n 个区域依次循环标上1,2,3,4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是αn 的终边所落在的区域．如此，αn所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．[跟踪训练2] (1)若α为第三象限角，试判断90°－α的终边所在的象限； (2)若α为第四象限角，试判断α2的终边所在的象限．解 (1)因为α为第三象限角，所以180°＋k ·360°<α<270°＋k ·360°，k ∈Z ， 则－180°－k ·360°<90°－α<－90°－k ·360°，k ∈Z ， 所以90°－α的终边在第三象限． (2)由于α为第四象限角，即α∈(－90°＋k ·360°，k ·360°)(k ∈Z )， 所以α2∈(－45°＋k ·180°，k ·180°)(k ∈Z )．当k ＝2n ，n ∈Z 时，α2∈(－45°＋n ·360°，n ·360°)(n ∈Z )，α2是第四象限角；当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，α2∈(135°＋n ·360°，180°＋n ·360°)(n ∈Z )，α2是第二象限角．综上，可知α2的终边所在的象限是第二或第四象限.题型三终边相同的角的表示例 3 (1)写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β<360°的元素β写出来；(2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．[解](1)与角α＝－1910°终边相同的角的集合为{β|β＝－1910°＋k ·360°，k ∈Z }． ∵－720°≤β<360°，∴－720°≤－1910°＋k ·360°<360°，31136≤k <61136.故k ＝4,5,6，当k ＝4时，β＝－1910°＋4×360°＝－470°， 当k ＝5时，β＝－1910°＋5×360°＝－110°，当k ＝6时，β＝－1910°＋6×360°＝250°. (2)①{β|β＝k ·180°，k ∈Z }． ②{β|β＝135°＋k ·180°，k ∈Z }．[变式探究] 在与角1030°终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最小的正角； (2)最大的负角．解 1030°÷360°＝2……310°，所以1030°＝310°＋2×360°，所以与角1030°终边相同的角的集合为{α|α＝310°＋k ·360°，k ∈Z }．(1)所求的最小正角为310°.(2)取k ＝－1得所求的最大负角为－50°. 金版点睛在0°～360°X 围内找与给定角终边相同的角的方法(1)把任意角化为α＋k ·360°(k ∈Z 且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k .可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．(2)要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k 的值．[跟踪训练3] 已知－990°<α<－630°，且α与120°角的终边相同，则α＝________. 答案 －960°解析 ∵α与120°角终边相同，故有α＝120°＋k ·360°，k ∈Z .又－990°<120°＋k ·360°<－630°，即－1110°<k ·360°<－750°，解得－3112<k <－2112，又k ∈Z ，故k＝－3，∴α＝120°＋(－3)×360°＝－960°.题型四区域角的表示例4 写出终边落在阴影部分的角的集合．[解]设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成． ①{α|30°＋k ·360°≤α<105°＋k ·360°，k ∈Z }． ②{α|210°＋k ·360°≤α<285°＋k ·360°，k ∈Z }． ∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|30°＋k ·360°≤α<105°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|210°＋k ·360°≤α<285°＋k·360°，k∈Z}＝{α|30°＋2k·180°≤α<105°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|30°＋(2k ＋1)·180°≤α<105°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|30°＋2k·180°≤α<105°＋2k·180°或30°＋(2k＋1)·180°≤α<105°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}．[条件探究] 将本例改为下图，写出角的终边在图中阴影区域的角的集合(包括边界)．解(1){α|45°＋k·360°≤α≤90°＋k·360°，k∈Z}∪{α|225°＋k·360°≤α≤270°＋k·360°，k∈Z}＝{α|45°＋k·180°≤α≤90°＋k·180°，k∈Z}．(2)先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，得{α|－150°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．金版点睛区域角的写法可分三步(1)按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；(2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角；(3)用不等式表示区域内的角，组成集合．[跟踪训练4]写出终边落在图中阴影区域内(不包括边界)的角的集合．解(1)先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，得{α|135°＋k· 360°<α<300°＋k·360°，k∈Z}．(2){α|－60°＋k·360°<α<45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|120°＋k·360°<α<225°＋k·360°，k∈Z}＝{α|－60°＋k·180°<α<45°＋k·180°，k∈Z}．1．－215°是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案 B解析 ∵－215°＝145°＋(－360°)，而145°是第二象限角，∴－215°是第二象限角，故选B.2．下列说法正确的是( ) A ．终边相同的角一定相等 B ．钝角一定是第二象限角 C ．第一象限角一定不是负角 D ．小于90°的角都是锐角 答案 B解析 因30°和390°的终边相同，但两个角不相等，故A 项错误；钝角一定是第二象限角，故B 项正确；因－280°是第一象限角，但此角为负角，故C 项错误；因－60°是小于90°的角，但它不是锐角，故D 项错误．综上，选B.3．如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是________度，分针所转成的角度是________度．答案 －5 －60解析 将钟表拨快10分钟，则时针按顺时针方向转了10×360°12×60＝5°，所转成的角度是－5°；分针按顺时针方向转了10×360°60＝60°，所转成的角度是－60°.4．角α，β的终边关于y 轴对称，若α＝30°，则β＝________. 答案 150°＋k ·360°(k ∈Z )解析 ∵角α，β的终边关于y 轴对称，α＝30°， ∴β＝180°－30°＋k ·360°＝150°＋k ·360°(k ∈Z )．5．试写出终边在直线y ＝－3x 上的角的集合S ，并把S 中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．解 终边在直线y ＝－3x 上的角的集合S ＝{α|α＝120°＋k ·360°，k ∈Z )∪{α|α＝300°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝120°＋k ·180°，k ∈Z }，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.。
人教B版高中同步学案数学必修第三册精品课件 第七章 三角函数 7.3.1 正弦函数的性质与图象
7.3.1 正弦函数的性质与图象
内
容
索
引
01
基础落实•必备知识全过关
02
重难探究•能力素养全提升
03
学以致用•随堂检测全达标
课标要求
1.理解正弦函数的性质,会求正弦函数的周期、单调区间和最值,并能利用
正弦函数的性质与图象来解决相关的综合问题.
2.了解正弦函数图象的画法,能正确使用“五点法”“几何法”作出正弦函数
(-)
=-1(f(x)≠0)判断.
()
f(-x)+f(x)=0 或
变式训练2
判断函数
1-si n 2
f(x)=
的奇偶性.
2-|2-sin |
解 ∵f(x)的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},
∴f(x)的定义域关于原点对称.
又sin x<2,∴f(x)=
1-sin2
.
sin
∵f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.
时,f(x)有最大值为 1,令
π
3π
f(x)的单调递增区间为[ +2kπ, +2kπ],k∈Z.
2
2
2.求函数
1
y=sin 的定义域和值域.
-1
解 由题意可知x-1≠0,∴x∈R,且x≠1,
1
∴函数 y=sin-1的定义域为{x|x∈R,且x≠1},值域为[-1,1].
知识点2 正弦函数的图象
x≤1.
当 sin x=1 时 y 取最大值,ymax=5;当 sin
1
x=2时
y
5
取最小值,ymin=2.
1 2 3
t- + ,
2
2
人教B版高中数学必修第三册精品课件 第7章 三角函数 7.3.4 正切函数的性质与图象
求解;
(2)根据定义判断即可.
π
解:(1)由周期公式得,T=2 .
(2)定义域为 ≠ π +
π
,∈Z
2
,关于原点对称,
∵f(-x)=sin(-x)+tan(-x)=-sin x-tan x=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
1.正切函数f(x)=Atan(ωx+φ)周期的求解方法:
(1)定义法.
π π
- 的图象,再通过平移kπ(k∈Z)个单位
,
2 2
4.(1)函数 y=tan x ≠ π +
π
,∈Z
2
称为正切函数,其图象称为正切曲线.
(2)正切函数的图象、性质.
解析式
y=tan x
图象
定义域
值域
x x ≠ + k,k∈Z
2
R
解析式
y=tan x
周期
π
奇偶性
奇函数
单调性
零点
对称中心
答案:[-tan 1,tan 1]
π π
- ,
2 2
内是增函
5.求函数 y= 3tan-√3的定义域.
解:由 3tan x-√3≥0,得 tan
画出函数 y=tan
√3
x≥ 3 .
π π
x,x∈(- , )的图象及直线
2 2
由图象及函数 y=tan x 的周期性可知,
满足不等式的 x 的取值范围,即函数的
(∈Z),
,π (∈Z),
试求函数y=|tan x|的周期和单调区间.
解:由图象(图略)可知,函数y=|tan x|的最小正周期T=π,
单调递增区间为
高中数学人教B版必修三第七章《7.4 数学建模活动：周期现象的描述》教学设计
《7．4 数学建模活动：周期现象的描述》教学设计一、教学内容解析本节课是《普通高中教科书•数学（人教B版）》必修第三册第七章第四节《数学建模活动：周期现象的描述》．数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养．数学建模活动是基于数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动，是高中阶段数学课程的重要内容．数学建模搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学运用的重要形式．数学建模是应用数学解决实际问题的手段，也是推动数学发展的动力．数学建模和数学探究注重的是学习方式的转变、强调学习以知识接受为基本方式，以知识结果的获得为直接目的，对学生的动手动脑能力提出了更高的要求．二、教学目标设置根据教学内容以及学生现有的认知水平和数学能力，我把本节课的教学目标确定为以下四个方面：1.了解完整的数学建模过程，会建立函数模型解决实际问题；2.基于现实情境，构建数学模型，经历“发现问题—提出问题—分析问题—解决问题”的过程．体验数学在解决问题中的价值和作用．提高综合运用数学知识和方法解决实际问题的能力；3.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型；4.让学生重视学科之间的联系，感悟数学与现实之间的关联，学会用数学的眼光观察世界，发现问题，并用数学的方法解决实际问题．教学重点：掌握完整的数学建模活动过程．教学难点：利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．三、学生学情分析学生已经研究了正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质，能利用函数知识解决简单的数学应用问题．他们初步掌握了计算机软件的使用方法，能够进行简单的数据处理．四、教学策略分析本节课以微课的形式进行教学．通过情景引入、初步探索、综合运用、综合提升四个环节，引导学生经历选题、开题、做题、结题的过程，培养数学建模素养．五、教学过程 （一）创设情境，引入新课情景一：将下图所示的摩天轮抽象成下图所示的平面图形，然后以摩天轮转轮中心为原点O ，以水平线为横轴，建立平面直角坐标系．设O 到地面的高OT 为l m ，P 点为转轮边缘上任意一点，转轮半径OP 为r m ．记以OP 为终边的角为x rad ，点P 离地面的高度为y m ，那么y 是x 的函数吗？如果是，这个函数有什么性质？情境二：交变电流可以用三角函数表达为)sin(ϕω+=t A y ，其中t 表示时间，y 表示电流，A 表示最大电流，πω2表示频率，ϕ表示初相位． 情境三：单摆、弹簧等简谐振动可以用三角函数表达为)sin(ϕω+=t A y ，其中t 表示时间，y 表示位移，A 表示振幅，πω2表示频率，ϕ表示初相位．（1）教师对前几节遇到的实际问题进行梳理，引出本节课的课题——数学建模活动：周期现象的描述．设计意图：引领学生回顾前面教学中遇到的实例引入本节课题．（2）引导学生举出更多生活中的周期现象．设计意图：1、让学生体会数学源于生活，激发学生的学习兴趣．2、引出本节课的教学案例——潮汐现象．（二）初步探究，归纳步骤完整的数学建模活动一般要经历选题、开题、做题、结题四过程．选题：指根据要求选定合适的研究对象的过程；开题：指讨论与确定建模步骤的过程；做题：指按照讨论步骤进行实际建模的过程；结题：指总结与交流的过程．设计意图：梳理完整的建模过程，为接下来的学习提供思路．（三）综合应用，小结反思海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐。
人教B版高中同步学案数学必修第三册精品课件 第七章 三角函数 7.3.2 正弦型函数的性质与图象
解 (1)由题中函数 f(x)图象,可得
因为 ω>0,可得
2π
ω= =1,所以
又因为 f(x)图象过点
可得 2sin
又由
7π
+φ
6
π
0<φ< ,所以
2
7π
,-2
6
3
7π
π
A=2, T= +
4
6
3
=
3π
,所以
2
T=2π,
f(x)=2sin(x+φ),
,
7π
3π
=-2,所以 +φ= +2kπ,k∈Z,解得
∴函数 y=2sin
π
-x
4
的单调递增区间为
7π
3π
2kπ+ ,2kπ+
4
4
(k∈Z).
(2)由sin x>0,
得2kπ<x<2kπ+π,k∈Z.
1
∵2<1,∴函数
y=log 1 sin x 的单调递增区间即为 u=sin x 的单调递减区间.
2
π
∴2kπ+2 ≤x<2kπ+π,k∈Z.
π
1
g
∴函数 y=lo sin x 的单调递增区间为 2kπ+ 2 ,2kπ+π ,k∈Z.
π
C.x=4
π
x- 4
的图象的一条对称轴方程是(
)
π
B.x= 2
π
D.x=2
答案 C
解析 令
π
π
x- =kπ+ ,k∈Z,得到对称轴方程
4
2
人教B版高中数学必修第三册精品课件 第7章 三角函数 第2课时 π2±α,3π2±α诱导公式
第2课时
±
α,
±
α
诱导公式
内
容
索
引
01
自主预习 新知导学
02
合作探究 释疑解惑
03
随堂练习
课标定位素养阐释
π
3π
1.掌握角 2 ±α, 2 ±α与角α的三角函数值之间的关系.
2.能综合应用公式进行三角函数的求值、化简和证明.
3.培养直观想象、逻辑推理和数学运算素养.
自主预习 新知导学
3π
sin( +α),sin
-
4
4
.
探究三
利用诱导公式证明恒等式
3π
2
2sin -
【例 3】 求证:
1-2si n 2
-2cos ·sin -1
证明:左边= 2
co s -si n 2
-(sin +cos )2
=(cos -sin )(cos +sin )
sin +cos
π
π
π
=-sin + +cos - +
4
2
4
π
π
=-sin + +sin +
4
4
=0.
当 n 为奇数时,设 n=2k+1(k∈Z),
8+3
8+5
则原式=sin
π- +cos
π-
4
4
3π
5π
=sin 2π + 4 - +cos 2π + 4 -
3π
5π
=sin 4 - +cos 4 -
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台风气旋
放水漩涡
深入剖析，加深理解
问题7：在初中表示角的基础上，推广后的角该如何表示？ 表示角：（1） 450 ，（2） 630
深入剖析，加深理解
问题8：如何用图形来表示角的加减运算？
60 90 150
90 30 60
应用知识，把握本质
问题9：以同一条射线为始边作出下列角：45,126 ,210 ,60
呢？猜想当角 为任意角时， h 与 之间的关系式如何表示？
答案： h h0 + rsin20 ， h h0 + rsin40
猜想： h h0 + rsin
实例分析，角的推广
问题3：实际生活中，你能例举出和摩天轮一样的实例吗？ 汽车车轮的前进与后退； 汽车的方向盘顺时针和逆时针旋转； 拧螺丝时逆时针和顺时针方向分别越拧越松和越拧越紧； 校准钟表的指针快与慢
实例分析，角的推广
问题4：初中角的概念是否能准确地刻画上述生活中的这些角？ 如果不能，那刻画上述这些角的关键是什么？
象限角：角的顶点与坐标原点重合，
角的始边落在 x 轴的正半轴上，
角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角
象限界角：角的终边落在坐标轴上
应用知识，把握本质
问题12： （1）在同一直角坐标系中，能不能再找到一个和角 45,126 ,210 ,60，90
的终边分别相同的角？ （2）能找到几个角和角 45,126 ,210 ,60，90 的终边分别相同？
角的概念
角：一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形， 两条射线分别为角的始边和终边。
正角：按照逆时针方向旋转而成的角称为正角； 负角：按照顺时针方向旋转而成的角称为负角； 零角：当射线没有旋转时，也把它看成一个角。
由于旋转产生，也常称为转角。
深入剖析，加深理解
问题6：为什么会规定逆时针方向旋转而成的角为正角， 顺时针方向旋转而成的角为负角？
创设情境，引入新课
天津永乐桥摩天轮旋转视频
问题1：天津永乐桥摩天轮在持续不断地转动时， （1）摩天轮所转过的角度大小是否会超过 36？0 （2）如果甲、乙两人分别站在摩天轮的两侧观察，那么他们所看到的 摩天轮旋转方向相同吗？
创设情境，引入新课
问题2：初中学习过的角是如何定义的？角的范围是什么？
静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形称为角； 动态定义：角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到 另一个位置所形成的图形； 角的范围：0 ~ 360， 不超过一个周角（ 360）
象限角：
角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在 x 轴的正半轴上，这
时，角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角，如果 终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
问题10：回答上述四个角 45,126 ,2，10 ,60分别是第几象限角？
应用知识，把握本质
问题11：角 180 ,270 ,90,360 是否是象限角？
人教版普通高中数学B版必修第三册 第一章 教学课件 全
《角的推广》教学课件
创设情境，引入新课
天津永乐桥摩天轮
创设情境，引入新课
亚洲第一摩天轮是被称为“天津之眼 ”的天津永乐桥摩天轮，是一座跨河建 设、桥轮合一的摩天轮，兼具观光和交 通功用，是中国十大城市地标建筑之一 。这座摩天轮成为世界上唯一建在桥上 的摩天轮，它的直径为110米，最高点 距离地面的高度可达到120米左右，相 当于40层楼的高度，能看到方圆40公里 以内的景致。
答案： h h0 + rsin20 ， h h0 + rsin40
问题情境
本章导语中提到“天津之眼”的天津永乐桥摩天轮，设其半径
为 r m ，中心离地面高度为 h0m ，从水平位置 B 点出发，设半径 AB 转过的角度为 ， 问题 1：当 20时，B 点离地面的高度 h 如何表示？当 40
（3）从旋转绝对量和旋转方向思考每组终边相同的角有什么关系？ （4）如何表示与角 45 终边相同的所有的角？
与角 终边相同的所有的角又该如何表示呢？
应用知识，把握本质
终边相同的角的表示：S { | k 360 , k Z}
（1）k Z，不可缺少，集合中的角是取遍所有整数得到的， 数学语言刻画的周期现象；
呢？猜想当角 为任意角时， h 与 之间的关系式如何表示？
问题情境
本章导语中提到“天津之眼”的天津永乐桥摩天轮，设其半径
为 r m ，中心离地面高度为 h0m ，从水平位置 B 点出发，设半径 AB 转过的角度为 ， 问题 1：当 20时，B 点离地面的高度 h 如何表示？当 40
呢？猜想当角 为任意角时， h 与 之间的关系式如何表示？
基础知识：
梳理构建作业，能力提升
人教版普通高中数学B版必修第三册 第七章
《三角函数的定义》
问题情境
本章导语中提到“天津之眼”的天津永乐桥摩天轮，设其半径
为 r m ，中心离地面高度为 h0m ，从水平位置 B 点出发，设半径 AB 转过的角度为 ， 问题 1：当 20时，B 点离地面的高度 h 如何表示？当 40
（2）角 可以是任意角；
（3） k 360 (60 ) ； （4）终边相同的角与相等的角的区别
学以致用，检测反馈
学以致用，检测反馈
判断象限角的方法小结：
学以致用，检测反馈
学以致用，检测反馈
终边相同的角的方法小结：
学以致用，检测反馈
例3（课本第6页例3） 写出终边在第一象限内的角的集合。
旋转量、旋转方向
实例分析，角的推广
问题5：既要满足角的旋转量，又要满足角的旋转方向， 你会选择在角的哪个定义的基础上进行推广？ 如何推广？
旋转绝对量：超过 360 旋转的方向：两个相反意义的量
推广原则 （1）原来定义基础上添加，解决原来定义下不能解决的问题； （2）保留原来的角的性质和运算法则
实例分析，角的推广
变式 分别写出终边在第二象限、第三象限和第四象限角的集
学以致用，检测反馈
例3（课本第6页例3） 写出终边在第一象限内的角的集合
变式 分别写出终边在第二象限、第三象限和第四象限角的集合
学以致用，检测反馈
学以致用，检测反馈
例4（课本第6页例3） 写出终边在 x 轴上的角的集合
变式 写出终边在 y 轴上的角的集合