2017年河南省普通高中高考数学适应性试卷(理科)

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2017年河南省高考数学试卷及答案(理科)(全国新课标ⅰ)

2017年河南省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（）A．A∩B={x|x＜0}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1}D．A∩B=∅2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．3．（5分）设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p 3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=；p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p44．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．85．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]6．（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（）A．15 B．20 C．30 D．357．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A．10 B．12 C．14 D．168．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A．A＞1000和n=n+1 B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+29．（5分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C210．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16 B．14 C．12 D．1011．（5分）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440 B．330 C．220 D．110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|=．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i=1，2，…，16．用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s 作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z 服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ﹣3σ＜Z ＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．20．（12分）已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0），四点P 1（1，1），P 2（0，1），P 3（﹣1，），P 4（1，）中恰有三点在椭圆C 上．（1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为﹣1，证明：l 过定点．21．（12分）已知函数f （x ）=ae 2x +（a ﹣2）e x ﹣x ．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）若f （x ）有两个零点，求a 的取值范围．[选修4-4，坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为，（θ为参数），直线l 的参数方程为，（t 为参数）．（1）若a=﹣1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 距离的最大值为，求a ．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=﹣x 2+ax +4，g （x ）=|x +1|+|x ﹣1|．（1）当a=1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[﹣1，1]，求a 的取值范围．2017年河南省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（）A．A∩B={x|x＜0}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1}D．A∩B=∅【解答】解：∵集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}={x|x＜0}，∴A∩B={x|x＜0}，故A正确，D错误；A∪B={x|x＜1}，故B和C都错误．故选：A．2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积S=，则对应概率P==，故选：B3．（5分）设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p 3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=；p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4【解答】解：若复数z满足∈R，则z∈R，故命题p1为真命题；p2：复数z=i满足z2=﹣1∈R，则z∉R，故命题p2为假命题；p 3：若复数z1=i，z2=2i满足z1z2∈R，但z1≠，故命题p3为假命题；p4：若复数z∈R，则=z∈R，故命题p4为真命题．故选：B．4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{a n}的公差为4．故选：C．5．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．若f（1）=﹣1，则f（﹣1）=1，又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈[1，3]，故选：D6．（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（）A．15 B．20 C．30 D．35【解答】解：（1+）（1+x）6展开式中：若（1+）=（1+x﹣2）提供常数项1，则（1+x）6提供含有x2的项，可得展开式中x2的系数：若（1+）提供x﹣2项，则（1+x）6提供含有x4的项，可得展开式中x2的系数：由（1+x）6通项公式可得．可知r=2时，可得展开式中x2的系数为．可知r=4时，可得展开式中x2的系数为．（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为：15+15=30．故选C．7．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A．10 B．12 C．14 D．16【解答】解：由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个相同的梯形的面，S梯形=×2×（2+4）=6，∴这些梯形的面积之和为6×2=12，故选：B8．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A．A＞1000和n=n+1 B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+2【解答】解：因为要求A＞1000时输出，且框图中在“否”时输出，所以“”内不能输入“A＞1000”，又要求n为偶数，且n的初始值为0，所以“”中n依次加2可保证其为偶数，所以D选项满足要求，故选：D．9．（5分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选：D．10．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16 B．14 C．12 D．10【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为y=x﹣1，联立方程组，则y2﹣4y﹣4=0，∴y1+y2=4，y1y2=﹣4，∴|DE|=•|y1﹣y2|=×=8，∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为+θ，根据焦点弦长公式可得|AB|==|DE|===∴|AB|+|DE|=+==，∵0＜sin22θ≤1，∴当θ=45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，故选：A11．（5分）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z 【解答】解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴3y=，2x=，5z=．∵==，＞=．∴＞lg＞＞0．∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴==＞1，可得2x＞3y，==＞1．可得5z＞2x．综上可得：5z＞2x＞3y．解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系．故选：D．12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440 B．330 C．220 D．110【解答】解：设该数列为{a n}，设b n=+…+=2n+1﹣1，（n∈N+），则=a i，由题意可设数列{a n}的前N项和为S N，数列{b n}的前n项和为T n，则T n=21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣1=2n+1﹣n﹣2，），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，可知当N为时（n∈N+即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，A项，由=435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A 项符合题意．B项，仿上可知=325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．C项，仿上可知=210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D项，仿上可知=105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．故选A．方法二：由题意可知：，，，…，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1， (2)﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N=1+2+3+…+n=，所有项数的和为S n：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n=﹣n=2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有+2=3，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有+3=18，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有+4=95，不满足N＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有+5=440，满足N ＞100，∴该款软件的激活码440．故选A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|=2．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，∴=+4•+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴|+2|=2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形=+=+2；在△OAC中，由余弦定理得||==2，即|+2|=2．故答案为：2．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为﹣5．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A，联立，解得A（﹣1，1）．∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．故答案为：﹣5．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°=，可得：=，即，可得离心率为：e=．故答案为：．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为4cm3．【解答】解：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=BC，即OG的长度与BC的长度成正比，设OG=x，则BC=2x，DG=5﹣x，三棱锥的高h===，=3，则V===，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，令f′（x）≥0，即x4﹣2x3≤0，解得x≤2，则f（x）≤f（2）=80，∴V≤=4cm3，∴体积最大值为4cm3．故答案为：4cm3．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．=acsinB=，【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC∴3csinBsinA=2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC=；（2）∵6cosBcosC=1，∴cosBcosC=，∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣，∴cos（B+C）=﹣，∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=，∵===2R==2，∴sinBsinC=•===，∴bc=8，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣bc=9，∴（b+c）2=9+3cb=9+24=33，∴b+c=∴周长a+b+c=3+．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，∵AB∥CD，∴AB⊥PD，又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD；（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则：D（），B（），P（0，0，），C（）．，，．设平面PBC的一个法向量为，由，得，取y=1，得．∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，．∴cos＜＞==．由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．【解答】解：（1）由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974=0.0026，因为P（X=0）=×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，又因为X～B（16，0.0026），所以E（X）=16×0.0026=0.0416；（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（﹣3+3）之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（﹣3+3）之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．（ⅱ）由=9.97，s≈0.212，得μ的估计值为=9.97，σ的估计值为=0.212，由样本数据可以看出一个零件的尺寸在（﹣3+3）之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为（16×9.97﹣9.22）=10.02，因此μ的估计值为10.02．2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134，剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）≈0.008，因此σ的估计值为≈0.09．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P3（﹣1，），P4（1，）两点必在椭圆C上，又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1），∴P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，得：，解得a2=4，b2=1，∴椭圆C的方程为=1．证明：（2）①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，y A），B（m，﹣y A），∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，∴===﹣1，解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，，x1x2=，则=====﹣1，又b≠1，∴b=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1，当x=2时，y=﹣1，∴l过定点（2，﹣1）．21．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）e x ﹣1，当a=0时，f′（x）=﹣2e x﹣1＜0，∴当x∈R，f（x）单调递减，当a＞0时，f′（x）=（2e x+1）（ae x﹣1）=2a（e x+）（e x﹣），令f′（x）=0，解得：x=ln，当f′（x）＞0，解得：x＞ln，当f′（x）＜0，解得：x＜ln，∴x∈（﹣∞，ln）时，f（x）单调递减，x∈（ln，+∞）单调递增；当a＜0时，f′（x）=2a（e x+）（e x﹣）＜0，恒成立，∴当x∈R，f（x）单调递减，综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln）是减函数，在（ln，+∞）是增函数；（2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，当a＞0时，f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，当x→﹣∞时，e2x→0，e x→0，∴当x→﹣∞时，f（x）→+∞，当x→∞，e2x→+∞，且远远大于e x和x，∴当x→∞，f（x）→+∞，∴函数有两个零点，f（x）的最小值小于0即可，由f（x）在（﹣∞，ln）是减函数，在（ln，+∞）是增函数，∴f（x）min=f（ln）=a×（）+（a﹣2）×﹣ln＜0，∴1﹣﹣ln＜0，即ln+﹣1＞0，设t=，则g（t）=lnt+t﹣1，（t＞0），求导g′（t）=+1，由g（1）=0，∴t=＞1，解得：0＜a＜1，∴a的取值范围（0，1）．方法二：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）e x﹣1，当a=0时，f′（x）=﹣2e x﹣1＜0，∴当x∈R，f（x）单调递减，当a＞0时，f′（x）=（2e x+1）（ae x﹣1）=2a（e x+）（e x﹣），令f′（x）=0，解得：x=﹣lna，当f′（x）＞0，解得：x＞﹣lna，当f′（x）＜0，解得：x＜﹣lna，∴x∈（﹣∞，﹣lna）时，f（x）单调递减，x∈（﹣lna，+∞）单调递增；当a＜0时，f′（x）=2a（e x+）（e x﹣）＜0，恒成立，∴当x∈R，f（x）单调递减，综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣lna）是减函数，在（﹣lna，+∞）是增函数；（2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，②当a＞0时，由（1）可知：当x=﹣lna时，f（x）取得最小值，f（x）min=f（﹣lna）=1﹣﹣ln，当a=1，时，f（﹣lna）=0，故f（x）只有一个零点，当a∈（1，+∞）时，由1﹣﹣ln＞0，即f（﹣lna）＞0，故f（x）没有零点，当a∈（0，1）时，1﹣﹣ln＜0，f（﹣lna）＜0，由f（﹣2）=ae﹣4+（a﹣2）e﹣2+2＞﹣2e﹣2+2＞0，故f（x）在（﹣∞，﹣lna）有一个零点，假设存在正整数n0，满足n0＞ln（﹣1），则f（n0）=（a+a﹣2）﹣n0＞﹣n0＞﹣n0＞0，由ln（﹣1）＞﹣lna，因此在（﹣lna，+∞）有一个零点．∴a的取值范围（0，1）．[选修4-4，坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），化为标准方程是：+y2=1；a=﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣3=0；联立方程，解得或，所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（﹣，）．（2）l的参数方程（t为参数）化为一般方程是：x+4y﹣a﹣4=0，椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），所以点P到直线l的距离d为：d==，φ满足tanφ=，且的d的最大值为．①当﹣a﹣4≤0时，即a≥﹣4时，|5sin（θ+4）﹣a﹣4|≤|﹣5﹣a﹣4|=5+a+4=17解得a=8≥﹣4，符合题意．②当﹣a﹣4＞0时，即a＜﹣4时|5sin（θ+4）﹣a﹣4|≤|5﹣a﹣4|=5﹣a﹣4=1﹣a=17解得a=﹣16＜﹣4，符合题意．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=﹣x2+x+4，是开口向下，对称轴为x=的二次函数，g（x）=|x+1|+|x﹣1|=，当x∈（1，+∞）时，令﹣x2+x+4=2x，解得x=，g（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g（x）的解集为（1，]；当x∈[﹣1，1]时，g（x）=2，f（x）≥f（﹣1）=2．当x∈（﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（﹣1）=f（﹣1）=2．综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[﹣1，]；（2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，则只需，解得﹣1≤a≤1，故a的取值范围是[﹣1，1]．。

高考数学考点17三角函数的性质与应用试题解读与变式(new)

专题17 三角函数的性质与应用【考纲要求】（1）了解三角函数的周期性；（2）理解正弦函数、余弦函数在区间[]0,2π上的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等）；（3）理解正切函数在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的单调性．【命题规律】高考对本部分内容的考查以能力为主,重点考查三角函数的性质（周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值等）,体现数形结合的思想，函数与方程的思想等的应用，均可能出现选择题、填空题与解答题中，难度中低档为主，主要有两种考查题型:（1）根据三角函数的解析式确定其性质；（2）根据三角函数的性质求相关的参数值（或取值范围）．预计2018年高考对三角函数的性质的考查仍会集中在对称性、单调性、周期性和最值问题，体现整体思想的应用．【典型高考试题变式】（一）三角函数的周期性例1 【2017山东】函数cos2y x x =+最小正周期为（） A ．π2B ．2π3C ．πD ．2π 【答案】C【解析】∵1π2sin 2cos 22sin 2226y x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴2ππ2T ==，故选C ．【方法技巧归纳】求解三角函数的周期性的方法：（1)求三角函数的周期,通常应将函数式化为只有一个函数名,且角度唯一，最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期来求解．(2)三角函数的最小正周期的求法有：①由定义出发去探求；②公式法：化成sin()y A x ωϕ=+，或tan()y A x ωϕ=＋等类型后，用基本结论2||T πω=或||T πω=来确定；③根据图象来判断．【变式1】【例题中的解析式改变了,选择题改为填空题】函数()()21cos2sin f x x x =+的最小正周期是__________．【答案】2π 【解析】∵()()()2121cos2sin 122cos x f x x x cos x -=+=+⋅()2111cos 41cos 21222x x +⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭＝11cos 41cos 422244x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴函数()()21cos2sin f x x x =+的最小正周期是242T ππ==．【变式2】【例题中的解析式改为了含有参数的解析式，求解问题改为确定参数的值】已知函数()sin 3cos f x kx kx =+的最小正周期是3π，则正数k 的值为＿＿＿＿＿＿．【答案】6【解析】∵()2sin 3f x kx π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴263T k k ππ==⇒==． (二）三角函数的单调性例2 【2015新课标1】函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为( ）A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈B ．13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ C ．13(,),44k k k Z -+∈ D ．13(2,2),44k k k Z -+∈ 【答案】D【方法技巧归纳】求解三角函数的单调性的方法:（1）三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．（2)已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法:①子集法：求出原函数的相应单调区间,由已知区间是所求某区间的子集，列不等式（组)求解；②反子集法：由所给区间求出整体角的范围,由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集,列不等式(组)求解．【变式1】【例题中由图象先求解析式改为由文字条件求解析式，其它形式没改变】已知函数()()2sin 1(0,)f x x ωϕωϕπ=+-><的一个零点是3x π=，6x π=-是()y f x =的图像的一条对称轴，则ω取最小值时， ()f x 的单调增区间是( ）A ．713,3,36k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦B ．513,3,36k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦C ．212,2,36k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦D ．112,2,36k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】B【变式2】【例题中由图象先求解析式改为直接给出解析式，所求改为求某指定区间上的单调区间】函数()()sin 30f x x x x π=-≤≤的单调增区间是_________．【答案】,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】因为)3sin(2cos 3sin )(π-=-=x x x x f ,所以增区间为22322πππππ+≤-≤-k x k ,即65262ππππ+≤≤-k x k ,取0=k 可得656ππ≤≤-x ，又0≤≤-x π,故06≤≤-x π,应填答案,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．（三）三角函数的奇偶性例3 【2014安徽】若将函数x x x f 2cos 2sin )(+=的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ )A ．8π B.4π C ．83π D ．43π【答案】C【方法技巧归纳】求解三角函数的奇偶性的策略:(1）判断函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性，注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中,对每个函数而言，“同奇才奇、一偶则偶”．一般情况下,需先对函数式进行化简，再判断其奇偶性；（2）两个常见结论：①若函数()()sin f x A x ωϕ=+为奇函数，则()k k Z ϕπ=∈;若函数()()sin f x A x ωϕ=+为偶函数，则()2k k Z πϕπ=+∈;②若函数()()cos f x A x ωϕ=+为奇函数,则()2k k Z πϕπ=+∈；若函数()()cos f x A x ωϕ=+为偶函数,则()k k Z ϕπ=∈．【变式1】【命题中由先求解析式改为直接给出解析,且由偶函数改为奇函数,所求基本不变】若函数()[]()cos 0,233x f x x ϕπ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭是奇函数，则ϕ=( ）A ．2π B ．23π C ．32π D ．53π【答案】C【解析】因为函数()[]()cos 0,233x f x x ϕπ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭是奇函数,所以()332x k k Z ϕππ+=+∈,所以0k =时,[]30,22πϕπ=∈，故选C ．【变式2】【命题中解析式变为含有初相外的另一参数的非标准正弦型函数，所求解问题没有变】使函数()()()sin f x x x ωθωθ=++,22ππθ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦是奇函数,且最小正周期为π，则θ=＿＿＿．【答案】3π-【解析】函数()()()sin 22f x x x θθ=++=2sin 23x πθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭为奇函数,所以3k πθπ+=,即(),3k k Z πθπ=-∈．当0k =时，3πθ=-．（四)三角函数的对称性例4 【2016新课标2】若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图像的对称轴为（）A ．x =26k ππ-（k ∈Z ）B ．x =26k ππ+(k ∈Z )C ．x =212k ππ-（k ∈Z ) D ．x =212k ππ+(k ∈Z ）【答案】B【解析】由题意，将函数2sin 2y x =的图像向左平移π12个单位长度得函数π2sin 2()12y x =+＝π2sin(2)6x +的图像，则平移后函数图像的对称轴为ππ2π,62x k k +=+∈Z ,即ππ,62k x k =+∈Z ，故选B ．【方法技巧归纳】求解三角函数对称性的方法：（1）求函数sin()y A x ωϕ=+的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题：①由sin y x =的对称中心是(0)k π，，k ∈Z ，所以sin()y A x ωϕ=+的中心，由方程x k ωϕπ+=解出x即可；②因为sin y x =的对称轴是2x k ππ=+，k ∈Z ，所以可由2x k πωϕπ+=+解出x ,即为函数sin()y A x ωϕ=+的对称轴；(3)注意tan y x =的对称中心为1(,0)()2k k Z π∈；（2）对于函数sin()y A x ωϕ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验()0f x 的值进行判断．【变式1】【例题由正弦改为余弦，由求对称轴改为求对称中心】将函数π2cos 46y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π12个单位后，得到的图象的一个对称中心为（）A ．π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5π,012⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【解析】将函数2cos 46y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移12π个单位后，得到的2cos 42cos 42sin412636y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图象，令4x k π=，求得,4k x k Z π=∈，令1k =-，可得该函数的图象的一个中心对称中心为,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭,故选A ．【变式2】【由例题求函数的对称轴改为根据函数的对称性求解参数】如果函数()2sin 2y x ϕ=-的图像关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，那么ϕ的最小值为( ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C【解析】由题意，知42sin 203πϕ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭,得423k πϕπ⨯-=，()83k k Z πϕπ=-+∈,则由条件，知当3k =时，ϕ的最小值为3π，故选C ．（五)三角函数的最值例5 【2017课标II 】函数23()sin 4f x x x =-([0,])2x π∈的最大值是____________．【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，则()231cos 4f x x x =-+-＝21cos 4x x -++＝23(cos )12x --+，由[0,]2x π∈可得cos [0,1]x ∈，当3cos x =时，函数()f x 取得最大值1．【方法技巧归纳】求解三角函数的值域(最值）常见的题目类型及求解策略：（1）形如sin cos y a x b x k =++的三角函数化为sin()y A x k ωϕ=++的形式，再利用正弦曲线的知识求最值(值域）；（2）形如2sin sin y a x b x k =++的三角函数，可先设sin x t =，化为关于t 的二次函数求值域（最值)；(3）形如()sin cos sin cos y a x x b x x c =+±+的三角函数，可先设sin cos t x x =±,化为关于t 的二次函数求值域(最值）。

2017河南省普通高中毕业班高考适应性测试答案--理科数学参考答案

２０１７年河南省普通高中毕业班高考适应性测试理科数学试题参考答案及评分标准一㊁选择题（每小题５分，共６０分）题号（１）（２）（３）（４）（５）（６）（７）（８）（９）（１０）（１１）（１２）答案ＤＢＣＢＡＢＣＢＤＡＢＣ二㊁填空题（每小题５分，共２０分）（１３）７㊀㊀（１４）－１３㊀㊀（１５）２７４㊀㊀（１６）２ｎ＋ｎ三㊁解答题（１７）解：（Ⅰ）ｆ（ｘ）＝ａ㊃ｂ－１＝２ｃｏｓ２ｘ－１＋２３ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝ｃｏｓ２ｘ＋３ｓｉｎ２ｘ＝２ｓｉｎ（２ｘ＋π６），３分由２ｋπ＋π２ɤ２ｘ＋π６ɤ２ｋπ＋３π２得ｋπ＋π６ɤｘɤｋπ＋２π３，ｋɪＺ．所以函数ｆ（ｘ）的单调递减区间为［ｋπ＋π６，ｋπ＋２π３］，ｋɪＺ．６分（Ⅱ）由题意得ｔａｎＢ＝３Ｂ，从而ｓｉｎＢ＝３２，又０＜Ｂ＜π２，所以Ｂ＝π３．８分由于әＡＢＣ为锐角三角形，所以０＜Ｃ＜π２，０＜２π３－Ａ＜π２，又０＜Ａ＜π２，所以π６＜Ａ＜π２，１０分所以π２＜２Ａ＋π６＜７π６，所以ｆ（Ａ）＝２ｓｉｎ（２Ａ＋π６）ɪ（－１，２）．１２分（１８）解：（Ⅰ）由题意，ａ＝１００ˑ０．４＝４０，ｂ＝１００－２０－２０－４０＝２０，则表中分６期付款购车的顾客频率ｐ＝１５，２分所以Ｐ（Ａ）＝（１－ｐ）３＋Ｃ１３ｐ（１－ｐ）２＝１１２１２５．４分（Ⅱ）按分层抽样的方式抽取的５人中，有１位分３期付款，有３位分６期或９期付款，有１位分１２期付款．随机变量η可能取的值是５，６，７６分则Ｐ（η＝５）＝Ｃ１１㊃Ｃ２３Ｃ３５＝３１０，Ｐ（η＝７）＝Ｃ１１㊃Ｃ２３Ｃ３５＝３１０，Ｐ（η＝６）＝１－Ｐ（η＝５）－Ｐ（η＝７）＝４１０，所以随机变量η的分布列为η５６７ｐ０．３０．４０．３１０分ʑＥ（η）＝５ˑ０．３＋６ˑ０．４＋７ˑ０．３＝６（万元）即为所求．１２分（１９）（Ⅰ）证明：ȵ长方形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝２ＡＤ＝２２，Ｍ为ＤＣ的中点，ʑＡＭ＝ＢＭ＝２，ＡＭ２＋ＢＭ２＝ＡＢ２，ʑＢＭʅＡＭ．３分ȵＡＤʅＢＭ，ＡＤɘＡＭ＝Ａ，所以ＢＭʅ平面ＡＤＭ，又ＢＭ⊂平面ＡＢＣＭ，所以平面ＡＤＭʅ平面ＡＢＣＭ．５分（Ⅱ）解：以点Ｍ为坐标原点，ＭＡң方向为ｘ轴正方向建立如图空间直角坐标系Ｍ－ｘｙｚ，则Ａ（２，０，０），Ｂ（０，２，０），Ｄ（１，０，１），ＭＡң＝（２，０，０），ＭＢң＝（０，２，０），ＢＤң＝（１，－２，１），ＭＥң＝ＭＢң＋ＢＥң＝（ｔ，２－２ｔ，ｔ），设平面ＡＭＥ的一个法向量为ｍ＝（ｘ，ｙ，ｚ），由ＭＡң㊃ｍ＝２ｘ＝０，ＭＥң㊃ｍ＝ｔｘ＋（２－２ｔ）ｙ＋ｔｚ＝０，{取ｙ＝ｔ，得ｘ＝０，ｙ＝ｔ，ｚ＝２ｔ－２，所以ｍ＝（０，ｔ，２ｔ－２），８分由（Ⅰ）知平面ＡＭＤ的一个法向量ｎ＝（０，１，０），９分所以ｃｏｓ＜ｍ，ｎ＞＝ｍ㊃ｎ｜ｍ｜㊃｜ｎ｜＝ｔｔ２＋４（ｔ－１）２＝２２，解得ｔ＝２３或ｔ＝２（舍去），故存在ｔ＝２３为所求．１２分（２０）解：（Ⅰ）设所求抛物线方程为ｘ２＝２ｐｙ（ｐ＞０），Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），则｜ＡＢ｜＝｜ＡＦ｜＋｜ＢＦ｜＝ｙ１＋ｙ２＋ｐ＝８，又ｙ１＋ｙ２２＝３，所以ｐ＝２．即该抛物线的标准方程为ｘ２＝４ｙ．４分（Ⅱ）由题意，直线ｍ的斜率存在，不妨设直线ｍ：ｙ＝ｋｘ＋６，Ｐ（ｘ３，ｙ３），Ｑ（ｘ４，ｙ４），由ｙ＝ｋｘ＋６，ｘ２＝４ｙ，{消ｙ得ｘ２－４ｋｘ－２４＝０，即ｘ３＋ｘ４＝４ｋ，ｘ３㊃ｘ４＝－２４，{（∗）６分抛物线在点Ｐ（ｘ３，ｘ２３４）处的切线方程为ｙ－ｘ２３４＝ｘ３２（ｘ－ｘ３），令ｙ＝－１，得ｘ＝ｘ２３－４２ｘ３，所以Ｒ（ｘ２３－４２ｘ３，－１），８分而Ｑ，Ｆ，Ｒ三点共线，所以ｋＱＦ＝ｋＦＲ及Ｆ（０，１），得ｘ２４４－１ｘ４＝－１－１ｘ２３－４２ｘ３，即（ｘ２３－４）（ｘ２４－４）＋１６ｘ３ｘ４＝０，整理得（ｘ３ｘ４）２－４［（ｘ３＋ｘ４）２－２ｘ３ｘ４］＋１６＋１６ｘ３ｘ４＝０，１０分将（∗）式代入上式得ｋ２＝１４，即ｋ＝ʃ１２，所以所求直线ｍ的方程为ｙ＝ʃ１２ｘ＋６．１２分（２１）解：（Ⅰ）当ａ＝１时，ｆ（ｘ）＝ｌｎ（１＋ｘ）－ｘ１－ｘ，ｘɪ（－１，１）ɣ（１，＋ɕ），ｆᶄ（ｘ）＝１ｘ＋１－１（１－ｘ）２＝ｘ（ｘ－３）（ｘ－１）２（ｘ＋１），２分当－１＜ｘ＜０或ｘ＞３时，ｆᶄ（ｘ）＞０；当０＜ｘ＜１或１＜ｘ＜３时，ｆᶄ（ｘ）＜０．所以函数ｆ（ｘ）的单调递增区间是（－１，０），（３，＋ɕ），单调递减区间是（０，１），（１，３）．５分（Ⅱ）ｆᶄ（ｘ）＝（ｘ－１）２－ａ（ｘ＋１）（ｘ－１）２（ｘ＋１）＝ｘ２－（ａ＋２）ｘ＋（１－ａ）（ｘ－１）２（ｘ＋１），－１＜ｘ＜１，６分当ａɤ０时，ｆᶄ（ｘ）＞０恒成立，故０＜ｘ＜１时，ｆ（ｘ）＞ｆ（０）＝０，不合题意；８分当ａ＞０时，由ｆᶄ（ｘ）＝０得：ｘ１＝ａ＋２－ａ２＋８ａ２，ｘ２＝ａ＋２＋ａ２＋８ａ２，若０＜ａ＜１，此时０＜ｘ１＜１，对０＜ｘ＜ｘ１，有ｆᶄ（ｘ）＞０，即０＜ｘ＜ｘ１时，ｆ（ｘ）＞ｆ（０）＝０，不合题意；若ａ＞１，此时－１＜ｘ１＜０，对ｘ１＜ｘ＜０，有ｆᶄ（ｘ）＜０，即ｘ１＜ｘ＜０时，ｆ（ｘ）＞ｆ（０）＝０，不合题意；１０分若ａ＝１，由（Ⅰ）知，函数ｆ（ｘ）在ｘ＝０时取到最大值０，符合题意．１１分综上所述，ａ＝１即为所求．１２分（２２）解：（Ⅰ）曲线Ｃ１的普通方程为ｘ２４＋ｙ２１２＝１，表示焦点在ｙ轴上的椭圆．２分由ρ＝２ρｃｏｓθ－４ρｓｉｎθ，得ｘ２＋ｙ２＝２ｘ－４ｙ，整理得（ｘ－１）２＋（ｙ＋２）２＝５，即为曲线Ｃ２的普通方程，表示以（１，－２）为圆心，半径为５的圆．５分（Ⅱ）令ｙ＝０，得ｍ＝２，所以Ｐ（２，０），直线ｌʒｙ＝ｘ－２，将曲线Ｃ１的参数方程代入直线方程得：２３ｓｉｎθ＝２ｃｏｓθ－２，７分整理得ｃｏｓθ＋π３()＝１２，即θ＝２ｋπ，或θ＝４π３＋２ｋπ，ｋɪＺ，所以Ａ（２，０），Ｂ（－１，－３），｜ＡＢ｜＝３２．１０分（２３）（Ⅰ）解：ｆ（ｘ）＝２ｘ－１＋ｘ＋１２＝３ｘ－１２，ｘȡ１２，－ｘ＋３２，ｘ＜１２．ìîíïïïï３分所以ｆｘ()ｍｉｎ＝ｆ１２()＝１，即ｍ＝１．５分（Ⅱ）证明：由于ａ３＋ｂ３－ａ２ｂ－ａｂ２＝（ａ２－ｂ２）（ａ－ｂ）＝（ａ－ｂ）２（ａ＋ｂ）ȡ０，７分由于ａ＋ｂ＋ｃ＝１，所以ａ３＋ｂ３ȡａ２ｂ＋ａｂ２＝ａｂ（ａ＋ｂ）＝ａｂ（１－ｃ）＝ａｂ－ａｂｃ，同理可证：ｂ３＋ｃ３ȡｂｃ－ａｂｃ，ｃ３＋ａ３ȡｃａ－ａｂｃ，三式相加得２（ａ３＋ｂ３＋ｃ３）ȡａｂ＋ｂｃ＋ｃａ－３ａｂｃ．１０分。

新高考会考数学试卷

一、试卷结构本次新高考数学试卷共分为选择题、填空题、解答题三个部分，总分150分。

其中，选择题和填空题共40分，解答题共110分。

选择题共10题，每题4分，共40分。

题目涉及数学基础知识、数学思维能力、数学应用能力等方面。

填空题共10题，每题4分，共40分。

题目主要考查学生对数学概念、性质、定理的掌握程度。

解答题共10题，每题11分，共110分。

题目分为必做题和选做题两部分，其中必做题6题，选做题4题。

题目涉及数学基础知识、数学思维能力、数学应用能力等方面。

二、试卷内容1. 选择题（1）下列选项中，函数y=2x+3的图像是（）A. 一次函数图像B. 反比例函数图像C. 指数函数图像D. 对数函数图像（2）若a、b、c为等差数列，且a+b+c=9，则a^2+b^2+c^2的值为（）A. 27B. 36C. 45D. 542. 填空题（1）已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a1=2，d=3，则第10项an=______。

（2）函数f(x)=x^2-2ax+a^2的图像是（）A. 顶点在y轴上的抛物线B. 顶点在x轴上的抛物线C. 顶点在第一象限的抛物线D. 顶点在第二象限的抛物线3. 解答题（1）证明：对于任意实数x，都有x^2+1≥0。

（2）已知函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）的图像与x轴有两个交点，且顶点坐标为（1，2），求函数f(x)的解析式。

（3）某商品的原价为x元，售价为y元，已知y=2x-5，且利润率（利润/成本）为20%，求商品的成本。

（4）已知函数f(x)=x^3-3x+2，求函数f(x)的单调区间。

（5）已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a1=3，d=2，求第10项an及前10项和S10。

（6）已知函数f(x)=x^2-4x+4，求函数f(x)的图像的对称轴。

（7）某班有30名学生，其中男女生人数之比为2:3，求男生和女生的人数。

（8）已知数列{an}的通项公式为an=2n+1，求前10项和S10。

2014河南省普通高中毕业班高考适应性测试数学理科答案

= 3，
3 6. = AH 2
所以当 AH 最短时， ∠MHA 最大，……………………………………………………………………7 分即当 AH
⊥ PD 时， ∠MHA 最大，此时 tan ∠MHA = AM =
AH
因此 AH
= 2 .又 AD = 2 ，所以 ∠ADH = 45o ，于是 PA = 2 .………………………………8 分
N
A B
H
D
y
tan ∠MHA =
因此
AM 3 6 = = . AH AH 2
. 又
M
x
C
AH = 2
AD = 2
，所以
∠ADH = 45o
，于是
PA = 2 .……………………………8 分
如图建立空间直角坐标系，则 P(0,0, 2) ，
D(0,2,0) ， M ( 3,0,0) ， B( 3, −1,0) ， C ( 3,1,0) ， E ( 3 , 1 ,0) . 2 2
x2 = 2y
（16）
14 4
3a − 4 3a − 6 3 1 1 1 1 1 − = − = n − = n = . an+1 − 2 an − 2 8an − 12 − 2 an − 2 2an − 4 an − 2 2an − 4 2 3an − 4 1 1 3 = ，公差为的等差数列， a1 − 2 3 2
因为 PA ⊥ 平面 ABCD ， PA ⊂ 平面 PAC ，所以平面 PAC ⊥ 平面 ABCD .……………………………………………………………………………9 分
理数答第 2 页（共 7 页）
过 M 作 MO ⊥ AC 于 O ，则由面面垂直的性质定理可知： MO ⊥ 平面 PAC ，所以 MO ⊥ AN ，过 M 作 MS ⊥ AN 于 S ，连接 OS ， AN ⊥ 平面 MSO ，所以 AN ⊥ SO 则 ∠MSO 为二面角 M − AN − C 的平面角. ……………………………………………………………………………………………………10 分在 Rt ∆AOM 中，

2024年高考数学合格性考试仿真模拟卷02(全解全析)

2024年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试卷02一、选择题（本大题共20题，每小题3分，共计60分。

每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）1．设集合{}{}1,0,1,21,2,3M N =-=，，则M N ⋂=（）A ．{}1,2B ．{}1,2,3C ．{}1,0,1,2-D ．{}1,0,1,2,3-【答案】A【分析】根据交集运算求解.【详解】由题意可得：M N ⋂={}1,2.故选：A.2．命题：“2,340x x x ∀∈-+<R ”的否定是（）A ．2,340x x x ∃∉-+≥RB ．2,340x x x ∃∈-+>RC ．2,340x x x ∃∈-+≥RD ．2,340x x x ∀∉-+≥R 【答案】C【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得：命题“2,340x x x ∀∈-+<R ”的否定为：“2,340x x x ∃∈-+≥R ”.故选：C.3．设32i z =-+，则在复平面内z 对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限A B ．1C ．2D ．3，,2n x =，若//m n ，则（）A ．1BC ．D ．AB ．2C ．2D ．12A ．12B ．32C ．1D ．2【答案】C【分析】根据两角和的正弦公式求得正确答案.【详解】()sin30cos60cos30sin60sin 3060sin901︒︒+︒︒=︒+︒=︒=.故选：C8．要得到π3sin()6y x =+的图象只需将3sin y x =的图象（）A ．向左平移π6个单位B ．向右平移π6个单位C ．向左平移π2个单位D ．向右平移π2个单位【答案】A【分析】根据给定条件，利用图象的平移变换求解即得.A ．2B ．1C ．0D ．2-【答案】D【分析】令()0f x =，求出方程的解，即可得到函数的零点.【详解】解：令()0f x =，即20x +=，解得2x =-，所以函数()2f x x =+的零点为2-；故选：D10．不等式24120x x +-<的解集为（）A ．{}62x x -<<B ．{}26x x -<<C ．{}62x x -<<-D ．{}25x x <<2A ．2B ．3C ．1D ．-3【答案】B【分析】直接化简即可.【详解】由322log 8log 23==.故选：B.12．若函数()1y k x b =-+在()∞∞-+，上是增函数，则（）.A ．1k >B ．1k <C ．1k <-D ．1k >-【答案】A【分析】根据函数是增函数，求解参数范围.【详解】因为()1y k x b =-+在()-∞+∞，上是增函数，则10k ->,即1k >.A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A ．45-B ．45C．15D ．15-A ．()3f x x =+B ．2()3f x x =+C ．3()f x x =D ．1()f x x=16．已知函数()56,0f x x x ⎧+≥=⎨+<⎩，若()6f a =，则=a （）A ．0B ．2C ．3-D ．2或3【答案】B【分析】由题意分类讨论0a ≥，a<0，解方程可求解a .【详解】当0a ≥时，则()26f a a a =+=，解得：2a =或3a =-（舍去）当0a <时，则()566f a a =+=，解得：0a =（舍去）综上所述：2a =故选：B.17．已知事件M 表示“3粒种子全部发芽”，事件N 表示“3粒种子都不发芽”，则M 和N （）A ．是对立事件B ．不是互斥事件C ．互斥但不是对立事件D ．是不可能事件【答案】C【分析】利用互斥事件和对立事件的定义求解即可.【详解】事件M 表示“3粒种子全部发芽”，事件N 表示“3粒种子都不发芽”，所以事件M 和事件N 不会同时发生，是互斥事件，因为3粒种子可能只发芽1粒，所以事件M 和事件N 可以都不发生，则M 和N 不是对立事件.故选：C18．若0x >，则9x x+有（）A ．最小值6B ．最小值8C ．最大值8D ．最大值319．一组数据：1,1,3,3,5,5,7,7,,x y ，其中,x y 为正整数，且x y ≠．若该组数据的40%分位数为2.5，则该组数据的众数为（）A ．1B ．3C ．5D ．7人，进行理论知识和实践技能两项测试（每项测试结果均分为A B C ､､三等），取得各等级的人数如下表：实践技能等级理论知识等级AB C A m124B 20202Cn65已知理论知识测试结果为A 的共40人．在参加测试的100人中，从理论知识测试结果为A 或B ，且实践技能测试结果均为C 的人中随机抽取2人，则这2人理论知识测试结果均为A 的概率是（）A ．35B ．25C ．12D ．34【答案】B【分析】由题知理论知识测试结果为A ，且实践技能测试结果为C 的有4人，记为,,,A B C D ，理论知识测试结果为B ，且实践技能测试结果为C 的有2人，记为,a b ，再根据古典概型列举基本事件，求解概率即可.【详解】解：由题知理论知识测试结果为A 的共40人，故12440m ++=，解得24m =，21．已知幂函数()f x x α=的图象过点()3,9P ，则α=【答案】2【分析】将点()3,9P 代入函数()f x x α=，即可求解.【详解】因为幂函数()f x x α=的图象过点()3,9P ，所以()339f α==，解得2α=.故答案为：2.22．能说明“若a b >，则11a b<”为真命题的一组,a b 的值依次为=a ;b =．1111则该直三棱柱的体积为.【答案】24【分析】根据直三棱柱的体积公式直接求解即可.．以下函数中，图象经过第二象限的函数有①．1y x-=②．ln()y x =-③．23y x =④．exy =25．（7分）已知函数()sin 2f x x =+.(1)求函数()f x 的最小正周期；(2)当x ∈[0,2π]时，求函数()f x 的最大值及取得最大值时x 的值.分别是PA ，PB 的中点，求证：(1)//MN 平面ABCD ；(2)CD ⊥平面PAD .【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）根据三角形中位线性质和线面平行判定定理可证；（2）利用线面垂直的性质可知PA CD ⊥，然后由矩形性质和线面垂直的判定定理可证.【详解】（1）因为M ，N 分别是PA ，PB 的中点,所以//MN AB .又因为MN ⊄平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以//MN 平面ABCD .（2）因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥，因为四边形ABCD 是矩形，所以CD AD ⊥.又AD PA A ⋂=，,AD PA ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD .27．（7分）阅读下面题目及其解答过程，并补全解答过程．已知函数()2()f x x b b =-+∈R ．（Ⅰ）当0b =时，判断函数()f x 的奇偶性；（Ⅱ）求证：函数()f x 在R 上是减函数．解答：（Ⅰ）当0b =时，函数()f x 是奇函数．理由如下：因为()2f x x b =-+，所以当0b =时，()f x =①．因为函数()f x 的定义域是R ，所以x ∀∈R ，都有x -∈R ．所以()2()2f x x x -=--=．所以()f x -=②．所以函数()f x 是奇函数．（Ⅱ）证明：任取12,x x ∈R ，且12x x <，则③．因为()()11222,2f x x b f x x b =-+=-+，所以()()()()121222f x f x x b x b -=-+--+=④．所以⑤．所以()()12f x f x >．所以函数()f x 在R 上是减函数．以上解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的，并填写在答题卡的指定位置．空格序号选项①A ．2x -B ．2x ②A ．()f x B ．()f x -③A ．120x x -<B ．120x x ->④A ．()122x x -B ．()122x x --⑤A ．()()120f x f x -<B ．()()120f x f x ->【答案】①A ；②B ；③A ；④B ；⑤B ．【分析】根据选项一一判断即可．【详解】①中，当0b =时，()22f x x b x =-+=-，故选：A ；②中，()()2()2f x x x f x -=--==-，故选：B ；③中，12x x <，则120x x -<，故选：A ；④中，()()()()()1212121222222f x f x x b x b x x x x -=-+--+=-+=--，故选：B ；⑤中，()()()12122f x f x x x -=--，因为120x x -<，所以()()120f x f x ->，故选：B ．28．（7分）对于正整数集合{}()*12,,,,3n A a a a n n =⋅⋅⋅∈≥N ，如果去掉其中任意一个元素()1,2,,i a i n =⋅⋅⋅之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“平衡集”．(1)判断集合{}2,4,6,8,10Q =是否是“平衡集”并说明理由；(2)求证：若集合A 是“平衡集”，则集合A 中元素的奇偶性都相同；(3)证明：四元集合{}1234,,,A a a a a =，其中1234a a a a <<<不可能是“平衡集”．【答案】(1){}2,4,6,8,10Q =不是“平衡集”，利用见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据定义直接判断即可得到结论．（2）设12n a a a M ++⋯+=，由“平衡集”定义可知(1i M a i -=，2，⋯，)n 为偶数，所以(1i a i =，2，⋯，)n 的奇偶性相同．（3）依次去掉1a ，2a 可得12a a =，显然与12a a <矛盾，所以集合1{A a =，2a ，3a ，4}a 不可能是“平衡集”．【详解】（1）集合{}2,4,6,8,10Q =不是“平衡集”，理由如下：当去掉1或5或9时，满足条件，当去掉4时，21068+≠+，不满足条件，当去掉8时，21046+≠+，不满足条件，所以集合{}2,4,6,8,10Q =不是“平衡集”．（2）设集合1{A a =，2a ，⋯，}n a ，12n a a a M ++⋯+=，由于集合A 是“平衡集”，设去掉(N )i a i *∀∈,则{}12i A A A a =⋃⋃，其中12A A =∅ ，且12,A A 中的元素和相等，不妨设1A 中的元素和为,N n n ∈,所以i 2M n a =+，12(i M n a i -==，2，⋯，)n 为偶数，(1i a i ∴=，2，⋯，)n 的奇偶性相同，方可保证()i M a -一直为偶数，即集合A 中元素的奇偶性都相同．（3）若集合1{A a =，2a ，3a ，4}a 是“平衡集”，且1234a a a a <<<，去掉1a ，则234a a a +=，去掉2a ，则134a a a +=，12a a ∴=，显然与12a a <矛盾，∴集合1{A a =，2a ，3a ，4}a 不可能是“平衡集”．。

2024届高三新高考改革数学适应性练习(九省联考题型)(解析版)

加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好! 经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！12024届高三新高考改革数学适应性练习（九省联考题型）数学试题卷注意事项：1.本卷共4页，四大题19小题，满分150分，答题时间120分钟；2.答题时须在答题卡上填涂所选答案（选择题），或用黑色字迹的签字笔规范书写答案与步骤（非选择题），答在本试题卷上或草稿纸上的答案均属无效；3.考试结束时，考生须一并上交本试题卷，答题卡与草稿纸。

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．某校高三年级一名学生一学年以来七次月考物理成绩（满分100分）依次为84，78，82，84，86，89，96，则这名学生七次月考物理成绩的第70百分位数为（） A ．86 B ．84 C ．96 D ．895．在数列{}n a 中，已知132n n n a a ++=⋅，则{}n a 的前10项的和为（） A ．1023 B ．1024 C ．2046 D ．20476．瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，这7．已知函数()e ln x f x x x x a =−−−，若()f x 在(0,e)存在零点，则实数a 值可以是（）腰三角形．将长方体1111ABCD A B C D −的上底面1111D C B A 绕着其中心旋转45°得到如图2所示的十面体ABCD EFGH −．已二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．） 9．已知函数()22sin cos 2sin f x x x x =−，给出下列四个选项，正确的有（）.10．已知圆22:16O x y +=，点(,)P a b 在圆O 外，以线段OP 为直径作圆M ，与圆O 相交于,A B 两点，则（） A ．直线,PA PB 均与圆O 相切B ．若5,4a b ==−，则直线AB 的方程为54160x y −−=C ．当4PA PB ==时，点M 在圆228x y +=上运动D ．当3PA PB ==时，点P 在圆225x y +=上运动11．e 是自然对数的底数，m ∈R ，0n >，已知e ln ln m m n n n m +>+，则下列结论一定正确的是（） A ．若0m >，则0m n −> B ．若0m >，1n >，则e 0m n −> C ．若0m <，则ln 0m n +< D ．若0m <，则e 2m n +> 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12．已知集合{}{}1,0,1,0,1,2A B =−=，则A B ∪= ．13．如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，∠C 为直角，BC =2，EF ∥BC ，沿EF 把面AEF 折起，使面AEF ⊥面EFBC ，当四棱锥A -CBFE 的体积最大时，EF 的长为．四、解答题（本题共小题，共分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）周一周二周三周四周五周六周日序号x 1 2 3 4 5 6 7甲的阅读时间y/min 15 20 20 25 30 36 m乙的阅读时间z/min 16 22 25 26 32 35 35参考答案：。

河南省普通高中毕业班2024年高考适应性测试数学试题(含解析)

2024年河南省普通高中毕业班高考适应性测试数学本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考生号､姓名､考点学校､考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{4},{23,Z}M N x x x =<=-<≤∈∣，则M N ⋂=（）A ．{13}xx <≤∣B ．{}13x x ≤≤∣C ．{}2,3D ．{}1,2,32．在复平面内，复数1z 对应的点与复数2i1iz =+对应的点关于实轴对称，则1z =（）A ．11i22-B ．11i22+C ．11i22--D ．11i22-+3．已知lg20.3010,lg30.4771≈≈，则4log 12的值大约为（）A ．1.79B ．1.81C ．1.87D ．1.894．已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径和高分别相等，圆柱的轴截面是一个正方形，则这个圆柱的侧面积和圆锥的侧面积的比值是（）A B C D 5．函数()y f x =的图象由函数1π2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度得到，若函数()y f x =的图象关于原点对称，则ϕ的最小值为（）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．3π26．已知抛物线22y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，若AOF 的面积是BOF 的面积的两倍，则AB =（）A ．2B ．52C ．94D ．1147．已知ππtan tan 444αα⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan4α的值为（）A ．43-B ．43C ．85D ．28．对于数列{}n a ，定义11233n n n A a a a -=+++ 为数列{}n a 的“加权和”．设数列{}n a 的“加权和”3nn A n =⋅，记数列{}1n a pn ++的前n 项和为n T ，若5≤n T T 对任意的*n ∈N 恒成立，则实数p 的取值范围为（）A ．167,73⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．127,53⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．512,25⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．169,74⎡⎤--⎢⎥⎣⎦二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．约翰逊多面体是指除了正多面体､半正多面体（包括13种阿基米德多面体､无穷多种侧棱与底棱相等的正棱柱､无穷多种正反棱柱）以外，所有由正多边形面组成的凸多面体．其中，由正多边形构成的台塔是一种特殊的约翰逊多面体，台塔，又叫帐塔､平顶塔，是指在两个平行的多边形（其中一个的边数是另一个的两倍）之间加入三角形和四边形所组成的多面体．各个面为正多边形的台塔，包括正三､四､五角台塔．如图是所有棱长均为1的正三角台塔，则该台塔（）A ．共有15条棱B ．表面积为3+C D ．外接球的体积为4π310．已知定义在R 上的函数()f x ，满足()()()()222f x y f x y f x f y +-=+，且()11f =-，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．()f x 为偶函数C ．()()2f x f x =D ．2是函数()f x 的一个周期11．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅．已知点()2,0F ，直线9:2l x =，动点P 到点F 的距离是点P 到直线l 的距离的23．若某直线上存在这样的点P ，则称该直线为“最远距离直线”．则下列结论中正确的是（）A ．点P 的轨迹方程是22195x y +=B ．直线1:195x yl +=是“最远距离直线”C ．点P 的轨迹与圆22:20C x y x +-=没有交点D ．平面上有一点()1,1A -，则23PA PF +的最小值为332三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知圆221:4410C x y x y ++--=，圆222:2690C x y x y +--+=，直线l 分别与圆1C 和圆2C 切于,M N 两点，则线段MN 的长度为．13．7122x y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中23x y 的系数为．14．已知正实数a ，b 满足：1a b +=，则222a ba b a b +++的最大值是.四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15．已知ABC 中，角,,A B C的对边分别是,,,a b c c =22cos 1C C -=．(1)求角C 的大小；(2)若向量()1,sin m A = 与向量()sin ,2n B =-垂直，求a 的值．16．在如图所示的四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面,ABCD E 为线段PD 上的动点．(1)若//PB 平面AEC ，求PEPD的值；(2)在（1）的条件下，若1,2PA AD AB ===，求平面ABC 与平面AEC 夹角的余弦值．17．已知函数()2e ,R mxf x x mx m =+-∈．(1)求函数()f x 在点()()0,0f 处的切线方程；(2)若对于任意[]1,1x ∈-，都有()e f x ≤恒成立，求实数m 的取值范围．18．已知12,A A 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右顶点，122A A =，动直线l 与双曲线C 交于,P Q 两点．当//PQ x 轴，且4PQ =时，四边形12PQA A的面积为．(1)求双曲线C 的标准方程．(2)设,P Q 均在双曲线C 的右支上，直线1A P 与2A Q 分别交y 轴于,M N 两点，若2ON OM =，判断直线l 是否过定点．若过，求出该定点的坐标；若不过，请说明理由．19．甲､乙､丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙．初始时，球在甲手中．(1)设前三次投掷骰子后，球在甲手中的次数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望；(2)投掷n 次骰子后()*n ∈N ，记球在乙手中的概率为np，求数列{}n p 的通项公式；(3)设2231n n d p =--，求证：()*122311232n n d d d n nn d d d +-<+++<∈N ．【分析】首先求集合M ，再求M N ⋂.4<，即0116x ≤-<，得117x ≤<，即{}117M x x =≤<，且{}23,Z N x x x =-<≤∈,所以{}1,2,3M N = .故选：D 2．A【分析】根据复数的除法运算求得2i1iz =+对应的点，即可得1z 对应的点的坐标，从而可得答案.【详解】由题意得复数2i i(1i)1i 1i (1i)(1i)2z -+===++-，对应的点为11()22,，则复数1z 对应的点为11()22,-，则111i 22z =-，故选：A 3．A【分析】借助对数运算法则计算即可得.【详解】()22422211lg 30.4771log 12log 232log 2log 311 1.79222lg 220.3010=⨯=⨯+=+≈+≈⨯.故选：A.4．B【分析】设出底面半径，由题意可得高，即可计算圆柱的侧面积和圆锥的侧面积，即可得解.【详解】设这个圆柱和圆锥的底面半径为r ，由圆柱的轴截面是一个正方形，故其高2h r =，则圆柱的侧面积212π24πS r r r =⨯=，圆锥的侧面积22πS r =，则212S S ==故选：B.5．D【分析】首先利用平移规律求函数()f x 的解析式，再根据函数是奇函数的性质，即可求解ϕ【详解】由题意可知，()()1π2sin 24f x x ϕ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，因为函数()f x 关于原点对称，所以()1π02sin 024f ϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则1ππ24k ϕ+=，Z k ∈,得π2π,Z 2k k ϕ=-+∈，且0ϕ>，所以3π2ϕ=.故选：D 6．C【分析】有AOF 的面积是BOF 的面积的两倍可得122A B x x -=，设出直线方程联立曲线，得到相应韦达定理即可计算出A x 、B x ，即可得解.【详解】令d 为点O 到直线AB 的距离，则12AOF S d AF =⋅ ，12BOF S d BF =⋅ ,由12212AOFBOFd AF AF S S BF d BF ⋅===⋅ ，故2AF BF =，由抛物线定义可知，12A AF x =+，12B BF x =+，则有11222A B x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即122A B x x -=，设直线AB 方程为12x my =+，联立抛物线方程2212y xx my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，有2210y my --=，2440m ∆=+>，故2A B y y m +=，1A B y y =-，则()2144A BA By y x x ==，则有122B A x x =，故11222A B A A x x x x -=-=，有2210A A x x --=，故1A x =或12A x =-（负值舍去），则1144B A x x ==，故1119112244A B A x x B =+++=++=.故选：C.7．A【分析】首先利用两角和差的正切公式化解，并求得tan 2α，再根据二倍角的正切公式，即可化解求值.【详解】由条件可知，1tan 1tan 41tan 1tan αααα+--=-+，即22tan 21tan αα=-，则tan 22α=，所以22tan 244tan 41tan 2143ααα===---.故选：A 8．B【分析】借助n a 与n S 的关系可计算出数列{}n a 的解析式，即可得()()2226n p n p T n+++=，则分2p =-及2p ≠-两种情况分类讨论，当2p ≠-时，n T 为有特殊定义域的二次函数，结合二次函数的性质可得()2096112222p p p +<⎧⎪+⎨≤-≤⎪+⎩，解出即可得.【详解】当2n ≥时，()1113n n A n --=-⋅，则()()111313213n n n n n A n A n n ----=⋅-⋅⋅-=+，即()113213n n n a n --=+⋅，故21n a n =+，当1n =时，111133A a ===⋅，符合上式，故21n a n =+，则()122n a pn p n ++=++，故()()()22422226n p T p n n p n p n ++⎡⎤++++=+⎣⎦=，因为5≤n T T 对任意的*n ∈N 恒成立，当2p =-时，有210n ≤，即5n ≤，不符合要求，当2p ≠-时，则有()2096112222p p p +<⎧⎪+⎨≤-≤⎪+⎩，解得12753p -≤≤-.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题关键点在得到()()2226n p n p T n+++=后，可知当2p ≠-时，n T 为有特殊定义域的二次函数，即可结合二次的函数的性质解题.9．ACD【分析】由台塔的结构特征，数棱的条数，计算表面积和高，由外接球半径计算体积.【详解】台塔下底面6条棱，上底面3条棱，6条侧棱，共15条棱，A 选项正确；台塔表面有1个正六边形，3个正方形，4个正三角形，由所有棱长均为1，表面积为11611311411322222S =⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+，B 选项错误；上底面正三角形ABC 在下底面正六边形DEFGHI 内的投影为A B C ''' ，则O 点是正六边形DEFGHI 的中心，也是A B C ''' 的中心，A B C ''' 和ODE 都是正三角形，C '是ODE 的中心，由棱长为1，则3EC '=，所以台塔的高3CC '===，C 选项正确；设上底面正三角形ABC 的外接圆圆心为1O ，则半径1r =下底面正六边形DEFGHI 的外接圆圆心为2O ，则半径21r =，设台塔的外接球半径为R ，2OO a =，则有2222133a a ⎛⎫⎛+=++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭或2222133a a ⎫⎛+=-+⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得0a =，所以21R r ==，台塔的外接球体积344ππ33V R ==，D 选项正确.故选：ACD 10．ABD【分析】对A ：借助赋值法，令12x y ==，计算即可得；对B ：借助赋值法，令y x =-，结合偶函数定义即可得；对C ：计算出12f ⎛⎫⎪⎝⎭，其与()1f 不满足该关系即可得；对D ：借助赋值法，令12y x =-，结合12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值与周期函数的定义计算即可得.【详解】对A ：令12x y ==，则有()()()()21011f f f f =+，又()11f =-，故有()202f -=-，故()01f =，故A 正确；对B ：令y x =-，则有()()()()20222f f x f x f x =+-，又()01f =，故有()()22f x f x =-，即()()f x f x =-，又其定义域为R ，故()f x 为偶函数，故B 正确；对C ：令12x =，0y =，则有()()1121011022f f f f ⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又()11f =-，不符合，故C 错误；对D ：令12y x =-，则有()()112222122f x f f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故()()2210f x f x +-=，则()()10f x f x +-=，故()()10f x f x ++=，两式作差并整理得()()11f x f x +=-，故2是函数()f x 的一个周期，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用赋值法解决抽象函数问题，对D 选项，需借助102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，再令12y x =-，从而消掉所给式子中的一项，再结合周期函数的定义得解.11．AC【分析】对A ：设出(),P x y ，结合题意计算即可得；对B 、C ：联立两方程，借助∆判断有无交点即可得；对D ：借助题目定义，将PF 转化为点P 到直线l 的距离，从而得到2322PA PF PA PB +=+，计算出PA PB +的最小值即可得.【详解】对于A ，设(),P x y 2932x =-，整理可得22195x y +=，故点P 的轨迹方程是22195x y +=，故A 正确；对于B ，联立直线1l 与点P 的轨迹方程，有22195195x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得27451620x x -+=，24547162202545360∆=-⨯⨯=-<，故直线1l 与点P 的轨迹方程没有交点，则直线1:195x yl +=不是“最远距离直线”，故B 错误；对于C ，联立圆C 与点P 的轨迹方程，有222220195x y x x y ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩，可得2418450x x -+=，21844453247200∆=-⨯⨯=-<，故点P 的轨迹与圆22:20C x y x +-=没有交点，故C 正确；对于D ，过点P 作PB ⊥直线9:2l x =于点B ，由题意可得23PF PB =，故()23222PA PF PA PB PA PB +=+=+，则当A 、P 、B 三点共线，即AB ⊥直线9:2l x =时，有()min 911122PA PB +=+=，故23PA PF +的最小值为112112⨯=，故D 错误.故选：AC..【点睛】关键点点睛：本题中D 选项的判断需要注意结合题目所给定义，将PF 转化为点P 到直线l 的距离，从而得到2322PA PF PA PB +=+.12【分析】利用圆与圆的位置关系，结合图形和几何关系，即可求解.【详解】圆()()221:229C x y ++-=，圆心()12,2C -，半径13r =，圆()()222:131C x y -+-=，圆心()21,3C ，半径21r =，圆心距12C C3131-<<+，所以两圆相交，则MN =13．560-【分析】首先将12x x+看成一个整体，再结合23x y 的形式，利用二项式定理的通项公式求解.【详解】7122x y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的通项公式为()7171C 22r rr r T x y x -+⎛⎫=⋅+⋅- ⎪⎝⎭，当3r =时，()43333171C 22T x y x +⎛⎫=⋅-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，412x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭中，含2x 项的系数为13241C 22x x x ⋅⋅=，所以展开式中23x y 的系数为()337C 22560⋅-⋅=-.故答案为：560-14．33.【详解】试题分析：2222222111(1)1a b a a a a b a b a a a a a a -++=+=+++-+--+，由题意得，01a <<，令1(1,2)a t +=∈，∴221131(1)(1)13a t a a t t t t+==-+---++-1t a =⇒=-，2b =33，故填：33+.考点：基本不等式求最值.15．(1)π3C =(2)2【分析】（1）利用二倍角公式化解，再结合三角形内角的范围，即可求解角C 的大小；（2）根据向量垂直的坐标表示，再结合正弦定理边角互化，得到2b a =，再根据条件和（1）的结果，利用余弦定理，即可求解.【详解】（122cos 1C C -=()1cos21C C -+=，即12cos2222C C ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭．所以sin 216πC ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为C 是ABC 的内角，所以π3C =．（2）因为向量()1,sin m A = 与向量()sin ,2n B =- 垂直，所以sin 2sin 0B A -=．由正弦定理可得20b a -=．所以2b a =，由余弦定理可得2222cos ,c a b ab C c =+-=即22112(2)222a a a a =+-⋅⋅⋅．解得2312,2a a ==．所以a 的值为2．16．(1)12PE PD =(2)23【分析】（1）借助线面平行的性质定理可得线线平行，结合中位线的性质即可得；（2）建立适当空间直角坐标系，借助空间向量计算即可得.【详解】（1）如图1，连接BD ，交AC 于点O ，连接EO ．//PB 平面,AEC PB ⊂平面PBD ，平面PBD 平面AEC EO =，//EO PB ∴，又O 为BD 的中点，E ∴为PD 的中点，即12PE PD =，（2）如图2，以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．则()()()110,0,0,2,1,0,2,0,0,0,,22A C B E ⎛⎫ ⎪⎝⎭．()112,1,0,0,,22AC AE ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭PA ⊥ 平面ABCD ，∴平面ABC 的一个法向量可为()0,0,1m = ．设平面AEC 的法向量为(),,n x y z =r ，则2011022n AC x y n AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令=2y -，得()1,2,2n =-r ，2cos ,3m n m n m n ⋅∴== ，∴平面ABC 与平面AEC 的夹角的余弦值为23．17．(1)1y =(2)[]1,1-【分析】（1）求出导数以及切点坐标，根据导数的几何意义，即可求得答案.（2）将原问题转化为对于任意[]1,1x ∈-，都有()e f x ≤恒成立，即需max ()e f x ≤；从而结合函数的单调性，确定函数的最值在哪里取到，由此列出不等式e 1e e 1e m m m m -⎧+-≤⎨++≤⎩，构造函数()e e 1x h x x =--+，利用导数即可求解.【详解】（1）由于()2e ,R mx f x x mx m =+-∈，故()01f =，切点为()()0,1,e 2mx f x m x m =+'-，()00e 200f m m =+⨯-='，所以切线的斜率为0，()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为1y =．（2）令()()e 2mx g x f x m x m +'==-，则()2e 20mx g x m =+>'，所以()g x 为R 上单调递增函数，因为()()000g f '==，所以[)1,0x ∈-时，()(]0;0,1f x x <∈'时，()0f x ¢>，所以()f x 在[)1,0-单调递减，在(]0,1单调递增．若对于任意[]1,1x ∈-，都有()e f x ≤恒成立，即只需max ()e f x ≤．因为()f x 在[)1,0-单调递减，在(]0,1单调递增，所以()f x 的最大值为()1f -和()1f 中最大的一个，所以()()1e e 1e ,1e e 1e m m f m f m -⎧≤⎧+-≤⎪∴⎨⎨-≤++≤⎪⎩⎩，设()()e e 1,e 1x x h x x h x =+'--=-，当0x <时，()0h x '<，当0x >时，()0h x '>，所以()h x 在(),0∞-单调递减，在()0,∞+单调递增．()()110,12e 0eh h =-=+-<，故当[]1,1x ∈-时，()0h x ≤．当[]1,1m ∈-时，()()0,0h m h m ≤-≤，则e 1e e 1e m m m m -⎧+-≤⎨++≤⎩成立．当1m >时，由()h x 的单调性，得()0h m >，即e 1e m m -+>，不符合题意．当1m <-时，()e e 1(1)0m h m m h --=+-+>=，即e 1e m m -++>，也不符合题意．综上，m 的取值范围为[]1,1-.【点睛】关键点睛：本题考查了导数几何意义的应用以及利用导数解决恒成立问题，解答的关键是将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题.18．(1)2212y x -=(2)直线PQ 恒过定点()3,0【分析】（1）首先求点(),P P P x y 的坐标，根据坐标表示梯形的面积，即可求解双曲线方程；（2）首先根据条件设()()()0,,0,20M t N t t ≠，并利用方程联立求点,P Q 的坐标，并求直线PQ 的方程，化简后即可求定点坐标.【详解】（1）由122A A =知，()()121,0,1,0,1A A a -=．当//PQ x 轴时，根据双曲线的对称性，不妨设点(),P P P x y 在第一象限，则由4PQ =，可得2P x =．代入双曲线C 的方程，得p y ==．因为四边形12PQA A 的面积为，所以122422P PQ A A y ++⨯==解得b =所以双曲线C 的标准方程为2212y x -=．（2）因为2ON OM = ，所以可设()()()0,,0,20M t N t t ≠．直线1A P 的方程为()1y t x =+，直线2A Q 的方程为()21y t x =--．又双曲线C 的渐近线方程为y =，显然直线1A P 与双曲线C 的两支各交于一点，直线2A Q 与双曲线C 的右支交于两点，则有2t t ⎧⎪⎨⎪⎩t <<由()22112y t x y x ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩消去y ，得()()22222220t x t x t -+++=．设点(),P P P x y ，则()22212P t x t +⋅-=-．解得2222P t x t +=--．所以22224122P t t y t t t ⎛⎫+=-+=- ⎪--⎝⎭．由()222112y t x y x ⎧=--⎪⎨-=⎪⎩消去y ，得()()2222214210t x t x t --++=．设点(),Q Q Q x y ，则2221121Q t x t +⋅=-．解得222121Q t x t +=-．所以222214212121Q t t y t t t ⎛⎫+=--=- ⎪--⎝⎭．当直线PQ 不垂直于x 轴时，21P QPQ P Q y y t k x x t -==--．所以直线PQ 的方程为222242212t t t y x t t t ⎛⎫++=+ ⎪---⎝⎭．所以222242212t t t y x t t t ⎛⎫-+=++ ⎪---⎝⎭，也即()231t y x t =--．显然直线PQ 恒过定点()3,0．当直线PQ 垂直于x 轴时，由P Q x x =，得21t =．此时3P Q x x ==．直线PQ 的方程为3x =，恒过定点()3,0．综上可知，直线PQ 恒过定点()3,0．【点睛】思路点睛：一般求直线过定点问题，需求出直线方程，转化为含参直线过定点问题.19．(1)分布列见解析；期望为118(2)111332n n p ⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭(3)证明见解析【分析】（1）根据传球游戏的规则，可得0,1,2,3X =，再根据独立事件概率公式，求解概率，再结合分布列公式，即可求数学期望；（2）首先题意，可得关于数列{}n p 的递推公式，()1112n n p p +=-，再通过构造求数列的通项公式；（3）首先根据（2）的结果，求1n n d d +，并利用放缩法证明不等式.【详解】（1）由题意知，0,1,2,3X =．()12110,2326P X ==⨯⨯=()11211112151,22323223212P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=()3111111172,223222324P X ⎛⎫==+⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭()3113.28P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭所以随机变量X 的分布列为X0123P 1651272418随机变量X 的数学期望为()15711101236122488E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）由于投掷n 次骰子后球不在乙手中的概率为1n p -，此时无论球在甲手中还是球在丙手中，均有3162=的概率传给乙，故有()1112n n p p +=-．变形为1111323n n p p +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭．又112p =，所以数列13n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为11136p -=，公比为12-的等比数列．所以11111136232n n n p -⎛⎫⎛⎫-=⨯-=-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以数列{}n p 的通项公式111332n n p ⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭．（3）由（2）可得1222231n n n d p +=-=--，则12112221211122212222n n n n n n n n d d ++++---===<--⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以122312n n d d d n d d d ++++< ．又因为()()*11121111111121223222232221n n n n n n n n d n d +++-==-=-≥-⋅∈-⋅+--N ，所以122231111111112322223223n n n n d d d n n n d d d +⎛⎫⎛⎫+++≥-+++=-->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ．综上，()*122311232n n d d d n n n d d d +-<+++<∈N ．【点睛】关键点点睛：本题的关键是找到关于数列{}n p 的递推公式，从而可以利用数列的知识解决问题，第三问的关键是对通项合理的放缩，从而可以求和，证明不等式.。

河南省2017年普通高中毕业班高考适应性测试数学理 (含答案)word版

河南省2017年普通高中毕业班高考适应性测试数学试题（理）本试题卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效。

考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

[来源:高[考∴试﹤题∴库] 1．集合{|3},{1,0,1}x M y R y N =∈==-，则下列结论正确的是（）[来源:学优高考网] A ．{0,1}M N =B ．(0,)M N =+∞C ．()(,0)R C M N =-∞D ．(){1,0}R C M N =- 2．i 是虚数单位，复数31z i=+的虚部是（）A ．0B ． -1C ．1D ．-i3．261(1)()x x x x++-的展开式中的常数项为m ，则函数2y x y mx =-=与的图象所围成的封闭图形的面积为（）A ．6256 B ．2506C ．3756D ．12564．函数(01)||xxa y a x =<<的图象大致形状是（）5．已知函数(),(0,)mf x x x x=+∈+∞，若不等式()4f x <的解集是空集，则（）A ．4m ≥B ．2m ≥C ．4m ≤D ．2m ≤6．设实数x ，y 满足221x y +≤，则点(,)x y 不在区域11,11x y x y -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩内的概率是（）A ．14B ．21π-C ．2πD ．187．若点(cos ,sin )P θθ在直线20x y +=上，则cos 2sin 2θθ+= （）A ．15-B ．12-C ．15 D ．128．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当(],0x ∈-∞时，2()x f x e ex a -=-+，则函数()f x 在1x =处的切线方程为（）A ．0x y +=B ．10ex y e -+-=C ．10ex y e +--=D ．0x y -=9．ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C的对边，向量(1,(cos ,sin ),//p q B B p q ==且cos cos 2sin ,b C c B a A C +=∠则=（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒10．函数()sin()(0)f x M x ωϕω=+>，在区间[a ，b]上是增函数，且(),(),f a M f b M =-=则函数()cos()g x M x ωϕ=+在[a ，b]上（）A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值-M11．已知F 1，F 2分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若1290F PF ∠=︒，且22F PF ∆的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（）A ．2B ．3C ．4D ．512．已知函数731,,1,222()111,[0,],362x x x f x x x ⎧-⎛⎤∈ ⎪⎥⎪+⎝⎦=⎨⎪-+∈⎪⎩函数()s i n ()22(0)6g x a x a a π=-+>，若存在12,[0,1]x x ∈，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是（）A ．14[,]23B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．24[,]33D ．1[,1]2第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

核心素养视角下2024_年全国新高考适应性测试数学试题难度评析与备考启示

核心素养视角下2024年全国新高考适应性测试数学试题难度评析与备考启示文尚平1，2农雅婷2卢玉琦2杨璧华2（1.西北师范大学教师教育学院；2.南宁市第二中学）摘要：2024年全国新高考适应性测试试题的命题风格、试卷结构、难度系数、综合素养水平代表着高考改革的趋势和方向，将在2024年新高考中全面体现。

课题组借助喻平的数学关键能力评价框架和鲍建生的综合难度系数模型，分别对此次适应性测试试题所蕴含的数学核心素养水平和试题的综合难度进行分析，探寻两者之间的内在关系，通过对新高考命题的趋势、特点等开展实证研究，提出备考启示：深化基础，强化对数学学科本质的理解；注重素养，强化对数学教育内核的追求；改善教学，强化对数学思维能力的培养。

关键词：数学核心素养；综合素养水平；综合难度系数；适应性测试中图分类号：G63文献标识码：A 文章编号：0450-9889（2024）08-0053-06作者简介：文尚平，1983年生，广西桂林人，在读博士研究生，高级教师，研究方向为中学数学课程与教学论；农雅婷，1986年生，广西崇左人，本科，学士，一级教师，研究方向为中学数学教育教学；卢玉琦，1987年生，广西宾阳人，本科，学士，一级教师，研究方向为中学数学教育教学；杨璧华，1984年生，广西南宁人，本科，学士，高级教师，研究方向为中学数学教育教学。

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《课程标准》）系统提出了六大数学学科核心素养及水平的划分，明确了数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，拉开了数学学科核心素养从理念层面走向教学实践的序幕，并将数学科核心素养的培养贯穿新教材、新课程和新高考“三新”综合改革的全过程［1］。

2019年，《中国高考评价体系》明确提出高考命题要突出考查学生的必备知识、关键能力及学科思维，以核心素养为导向的基础教育考试评价日益成为社会关注的焦点。

核心素养的测评是以区分度为主要依据开展的，而试题的区分度与试题的难度又有着紧密的联系。

2024年新高考改革适应性练习(3)(九省联考题型)数学卷及答案

2024年新高考改革适应性练习（3）（九省联考题型）数学试题卷（2024.2.6）考生须知1. 本卷共4页，四大题19小题，满分150分，答题时间120分钟；2. 答题时须在答题卡上填涂所选答案（选择题），或用黑色字迹的签字笔规范书写答案与步骤（非选择题），答在本试题卷上或草稿纸上的答案均属无效；3. 考试结束时，考生须一并上交本试题卷，答题卡与草稿纸．一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 设样本空间ΩΩ={1,2,…,6}包含等可能的样本点，且AA={1,2,3,4}，BB={3,4,5,6}，则PP(AABB)= A．13B．14C．15D．162. 若复数zz满足zz2是纯虚数，则|zz−2|的最小值是A．1 B．√2C．2 D．2√23. 算术基本定理告诉我们，任何一个大于1的自然数NN，如果NN不为质数，那么NN可以唯一分解成有限个素因数的乘积的形式．如，60可被分解为 22×31×51，45可被分解为 32×51．任何整除NN的正整数dd都叫作NN的正因数．如，20的正因数有1，2，4，5，10，20．则4200的正因数个数是A．4 B．7 C．42 D．484. 已知点(aa,bb)在直线 2xx+yy−1=0 第一象限的图像上，则1aa+1bb的最小值是A．3+2√2B．2+2√2C．1+2√2D．2√25. 已知函数ff(xx)=sin xx，gg(xx)=cos xx，则ff�gg(xx)�和gg�ff(xx)�都单调递增的一个区间是A．�2ππ5,4ππ5�B．�4ππ5,6ππ5�C．�6ππ5,8ππ5�D．�8ππ5,2ππ�6. 已知直线ll过点(2,1)，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6，则满足条件的直线ll共有A．1条B．2条C．3条D．4条7. 我们记ff(nn)(xx)为函数ff(xx)的nn次迭代，即ff(1)(xx)=ff(xx)，ff(2)(xx)=ff�ff(xx)�，…，ff(nn)= ff�ff(nn−1)(xx)�．已知函数gg(xx)=xx|xx|，则gg(2024)(xx)=A．xx3|xx|2021B．xx4|xx|2020C．xx2|xx|2022D．xx20248. 若一四面体恰有一条长度大于1的棱，则这个四面体体积的最大值是A．√33B．12C．13D．√22二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．）9. 已知函数ff(xx)=xx3−2xx，下列说法正确的是A．函数gg(xx)=ff(xx)+ff′(xx)无零点B．直线 2xx+yy=0 与yy=ff(xx)相切C．存在无数个aa>0 ，ff(xx)在区间(−aa,aa)上不单调D．存在mm>0 ，使得对于任意nn，ff(nn)≤ff(nn+mm)10. 若一个人一次仅能爬1级或2级台阶，记aa nn为爬nn级台阶时不同的爬法数(nn∈NN∗)．关于数列{aa nn}，下列说法正确的是A．函数ff(nn)=aa nn单调递增B．aa1+aa3+aa5的值为12C．aa1+aa2+⋯+aa10=232D．2aa12+aa22+⋯+aa102=89×14411. 如右图，已知抛物线CC的焦点为FF，准线方程为ll:xx=−1 ，点PP是CC上的一动点．过点PP作ll的垂线，垂足为QQ．过点PP作CC的切线，该切线与xx,yy轴分别交于AA,BB两个不同的点．下列说法正确的是A．抛物线CC的标准方程为yy2=2xxB．QQ,BB,FF三点共线当且仅当|PPFF|=4C．当|PPFF|≠1 时，都有PPAA⊥QQFFD．当|PPFF|≠1 时，△PPAAFF恒为等腰三角形三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12. 在棱长为1的正方体AABBCCAA−AA1BB1CC1AA1中，三棱锥CC−AABB1AA1的体积是_________．13. 从集合{xx|−4≤xx≤2024}中任选2个不同的非零整数作为二次函数ff(xx)=aaxx2+bbxx的系数，则所有满足ff(xx)的顶点在第一象限或第三象限的有序数对(aa,bb)共有_________组．14. 已知向量aa,bb,cc满足aa+bb+cc=00，(aa−bb)⊥(aa−cc)，|bb−cc|=3 ，则|aa|+|bb|+|cc|的最大值是_________．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.（13分）已知正方体AABBCCAA−AA1BB1CC1AA1．（1）证明：AAAA1⊥AA1CC；（2）求二面角BB−AA1CC−AA．16.（15分）已知定义在RR上的函数ff(xx)=aaxx4+bbxx3+ccxx2+ddxx(aa≠0)．（1）若原点是ff(xx)的一个极值点，证明：ff(xx)的所有零点也是其所有极值点；（2）若ff(xx)的4个零点成公差为2的等差数列，求ff′(xx)的最大零点与最小零点之差．17.（15分）设点SS(1,1)在椭圆CC:xx2aa2+yy2bb2=1(aa>bb>0)内，直线ll:bb2xx2+aa2yy2−aa2bb2=0 ．（1）求ll与CC的交点个数；（2）设PP为ll PPSS与CC相交于MM,NN两点．给出下列命题：①存在点PP，使得1|PPPP|,1|PPPP|,1|PPPP|成等差数列；②存在点PP，使得|PPMM|,|PPSS|,|PPNN|成等差数列；③存在点PP，使得|PPMM|,|PPSS|,|PPNN|成等比数列；请从以上三个命题中选择一个，证明该命题为假命题．（若选择多个命题分别作答，则按所做的第一个计分．）18.（17分）2024部分省市的高考数学推行8道单选，3道多选的新题型政策．单选题每题5分，选错不得分，多选题每题完全选对6分，部分选对部分分（此处直接视作3分），不选得0分．现有小李和小周参与一场新高考数学题，小李的试卷正常，而小周的试卷选择题是被打乱的，所以他11题均认为是单选题来做．假设两人选对一个单选题的概率都是14，且已知这四个多选题都只有两个正确答案．（1）记小周选择题最终得分为XX，求EE(XX)．（2）假设小李遇到三个多选题时，每个题他只能判断有一个选项是正确的，且小李也只会再选1个选项，假设他选对剩下1个选项的概率是 pp 0�pp 0≥13� ，请你帮小李制定回答4个多选题的策略，使得分最高．19.（17分）信息论之父香农（Shannon ）在1948年发表的论文“通信的数学理论”中指出，任何信息都存在冗余，冗余大小与信息中每个符号（数字、字母或单词）的出现概率或者说不确定性有关．香农借鉴了热力学的概念，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算信息熵的数学表达式．设随机变量 XX 所有取值为 1,2,…,nn ，且 PP (xx =ii )=PP ii >0（ii =1,2,…,nn ），PP 1+PP 2+⋯+PP nn =1 ，定义 XX 的信息熵HH (XX )=−�PP ii log 2PP ii nn ii=1（1）当 nn =1 时，求 HH (XX ) 的值；（2）当 nn =2 时，若 PP 1∈�0,12� ，探究 HH (XX ) 与 PP 1 的关系，并说明理由；（3）若 PP 1=PP 2=12nn−1 ，PP kk+1=2PP kk (kk =2,3,⋯,nn ) ，求此时的信息熵 HH (XX ) ．2024年新高考改革适应性练习（3）（九省联考题型）数学参考答案一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D A D D B C二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．具体得分如【附】评分表．）题号91011答案BC ABD BCD【附】评分表三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）题号121314答案132023×2024+4×2024（或 2027×2024）3+3√10四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.（13分）以点AA1为坐标原点，AA1BB1��⃗为xx轴正方向，AA1DD1��⃗为yy轴正方向，AA1AA��⃗为zz轴正方向，建立空间直角坐标系OOxxyyzz，并令正方体AABBAADD−AA1BB1AA1DD1的棱长为1．（1）则AA1(0,0,0)，AA(1,−1,1)，AA1AA��⃗=(1,−1,1)；AA(0,0,1)，DD1(0,−1,0)，AADD1��⃗=(0,−1,−1)．所以AADD1��⃗·AA1AA��⃗=0+1+(−1)=0 ，即AADD1��⃗⊥AA1AA��⃗．故AADD1⊥AA1AA得证．（2）BB(1,0,1)，AA1BB��⃗=(1,0,1)，由（1）得AA1AA��⃗=(1,−1,1)，设平面AA1BBAA的一个法向量nn11=(xx1,yy1,zz1)，则nn11·AA1BB��⃗=nn11·AA1AA��⃗=0 ，即�xx1+zz1=0xx1−yy1+zz1=0令xx1=1 ，则�yy1=0zz1=−1，所以nn11=(1,0,−1)是平面AA1BBAA的一个法向量．同理可求得平面AA1AADD的一个法向量nn22=(0,1,1)，cos<nn11,nn22>=nn11·nn22|nn11|·|nn22|=−12又 <nn11,nn22>∈(0,ππ)，所以 <nn11,nn22>=2ππ3，即平面AA1BBAA与平面AA1AADD的所成角为2ππ3．故二面角BB−AA1AA−DD的大小为2ππ3．16.（15分）（1）ff(xx)=aaxx4+bbxx3+ccxx2+ddxx，ff′(xx)=aaxx3+bbxx2+ccxx+dd，由题意，原点是ff(xx)的一个极值点，即ff′(0)=0 ，代入得dd=0 ，所以ff(xx)=aaxx4+bbxx3+ccxx2=xx2(aaxx2+bbxx+cc)，ff′(xx)=aaxx3+bbxx2+ccxx=xx(aaxx2+bbxx+cc)，所以ff(xx)和ff′(xx)的零点（0除外）都是方程aaxx2+bbxx+cc=0 的根，即ff(xx)和ff′(xx)有共同零点，故ff(xx)的所有零点也是其所有极值点．（2）设ff(xx)的四个零点分别为mm−3 ，mm−1 ，mm+1 ，mm+3 ，则可以设ff(xx)=kk(xx−mm+3)(xx−mm+1)(xx−mm−1)(xx−mm−3)其中kk≠0 ，令tt=xx−mm，则ff(xx)=kk(tt+3)(tt+1)(tt−1)(tt−3)=kk(tt4−10tt+9)=gg(tt)gg′(tt)=kk(4tt3−20tt)=4kk(tt3−5tt)令gg′(tt)=0 得tt1=−√5 ，tt=0 ，tt=√5 ，所以 ff ′(xx )=0 的所有根为 xx 1=mm −√5 ，xx 2=mm ，xx 3=mm +√5 ，所以 ff ′(xx ) 的最大零点与最小零点之差为 |xx 3−xx 1|=2√5 ．17.（15分）（1）因为点 SS (1,1) 在 AA 内，所以 1aa 2+1bb 2<1 ，即 aa 2+bb 2−aa 2bb 2<0 ．联立 ll 与 AA 的方程，得 bb 2(aa 2+bb 2)xx 2−2aa 2bb 4xx +aa 4bb 2(bb 2−1)=0 ．判别式 Δ=4aa 4bb 8−4aa 4bb 4(aa 2+bb 2)(bb 2−1)=4aa 4bb 4(aa 2+bb 2−aa 2bb 2)<0 ，故该二次方程无解，即 ll 与 AA 交点个数为0．（2）可选择命题②或命题③（命题①无法证伪），证明其为假命题．记点 PP ,MM ,NN 的横坐标分别为 xx PP ,xx MM ,xx NN ，不妨设 PP ,MM ,SS ,NN 顺次排列．选择命题②的证明：当直线 MMNN 的斜率不存在时，MMNN :xx =1 ，分别与 ll ,AA 的方程联立可得 PP �1,bb 2−bb 2aa 2� ，MM �1,bb�1−1aa 2�,NN �1,−bb�1−1aa 2� ．若 |PPMM |,|PPSS |,|PPNN | 依次成等差数列，则 bb�1−1aa 2+�−bb�1−1aa 2�=2 ，显然矛盾，不满足题意．当直线 MMNN 的斜率存在时，设其斜率为 kk ，则 MMNN :yy =kk (xx −1)+1 ，与 ll 的方程联立可得 xx PP =aa 2�bb 2+kk−1�aa 2kk+bb 2；与 AA 的方程联立，得 (aa 2kk 2+bb 2)xx 2−2aa 2kk (kk −1)xx +aa 2[(kk −1)2−bb 2]=0 ，由韦达定理⎩⎨⎧xx MM +xx NN =2aa 2kk (kk −1)aa 2kk 2+bb 2xx MM xx NN =aa 2[(kk −1)2−bb 2]aa 2kk 2+bb 2则 2|PPSS |−(|PPMM |+|PPNN |)=√1+kk 2(2|xx PP −1|−|xx MM −xx PP |−|xx NN −xx PP |) . 不妨设 xx PP >1 ，则 xx PP >xx MM >1>xx NN ，所以原式=�1+kk 2[2(xx PP −1)−(xx PP −xx MM )−(xx PP −xx NN )]=�1+kk 2(xx MM +xx NN −2)=�1+kk 2⋅−2aa 2kk −2bb 2aa 2kk 2+bb 2<0因此 |PPMM |,|PPSS |,|PPNN | 不能成等差数列，从而②是假命题．选择命题③的证明：当直线 MMNN 的斜率不存在时，MMNN :xx =1 ，分别与 ll ,AA 的方程联立可得 PP �1,bb 2−bb 2aa 2� ，MM �1,bb�1−1aa 2�，NN �1,−bb�1−1aa 2�．若|PPMM |,|PPSS |,|PPNN |成等比数列，则��bb 2−bb 2aa 2�−bb �1−1aa 2�×��bb 2−bb 2aa 2�+bb �1−1aa 2�=��bb 2−bb 2aa2�−1�2即 aa 2+aa 2bb 2−bb 2=0 ，但 aa 2bb 2>aa 2+bb 2 ，因此 aa 2+aa 2bb 2−bb 2>2aa 2>0 ，矛盾，不满足题意．当直线 MMNN 的斜率存在时，设其斜率为 kk ，则 MMNN :yy =kk (xx −1)+1 ，与 ll 的方程联立可得 xx PP =aa 2�bb 2+kk−1�aa 2kk+bb 2；与 AA 的方程联立，得 (aa 2kk 2+bb 2)xx 2−2aa 2kk (kk −1)xx +aa 2[(kk −1)2−bb 2]=0 ，由韦达定理，⎩⎨⎧xx MM +xx NN =2aa 2kk (kk −1)aa 2kk 2+bb 2xx MM xx NN =aa 2[(kk −1)2−bb 2]aa 2kk 2+bb 2则|PPSS |2−|PPMM |⋅|PPNN |=�1+kk 2[(xx PP −1)2−(xx PP −xx MM )(xx PP −xx NN )] =�1+kk 2[(xx MM +xx NN −2)xx PP +1−xx MM xx NN ]=�1+kk 2��2aa 2kk (kk −1)aa 2kk 2+bb 2−1�⋅aa 2(bb 2+kk −1)aa 2kk +bb 2+1−aa 2[(kk −1)2−bb 2]aa 2kk 2+bb 2�=√1+kk 2aa 2kk 2+bb 2(aa 2+bb 2−aa 2bb 2)<0 因此 |PPMM |,|PPSS |,|PPNN | 不能成等比数列，故③是假命题．18.（17分）（1）由题意，对于单选题，小周每个单选题做对的概率为 14 ，对于多选题，小周每个多选题做对的概率为 12，设小周做对单选题的个数为 XX 1 ，做对多选题的个数为 XX 2 ，则XX 1∼BB �8,1�，XX 2∼BB �3,1� ，所以EE(XX1)=8×14=2 ，EE(XX1)=3×12=32，而小周选择题最终得分为XX=5XX1+3XX2，所以EE(XX)=5EE(XX1)+3EE(XX2)=5×2+3×32=292．（2）由题意他能判断一个选项正确，先把这个正确选项选上，如果他不继续选其他选项肯定能得三分，如果他继续选其它选项的话，设此时他的最终得分为XX3，则XX3的所有可能取值为0，6，则XX3的分布列为：XX30 6PP(XX3)1−pp0pp0那么这个题的得分期望是EE(XX3)=0×(1−pp0)+6pp0=6pp0,�pp0≥13�所以我们只需要比较3和 6pp0的大小关系即可，令 6pp0≥3，解得12≤pp0<1 ，此时四个多选题全部选两个选项得分要高，反之，若13≤pp0<12，此时四个多选只选他确定的那个选项得分最高．19.（17分）（1）若nn=1 ，则ii=1 ，PP1=1 ，因此HH(xx)=−(1×log21)=0 ．（2）HH(XX)与PP1正相关，理由如下：当nn=2 时，PP1∈�0,12�，HH(xx)=−PP1log2PP1−(1−PP1)log2(1−PP1)令ff(tt)=−tt log2tt−(1−tt)log2(1−tt)，其中tt∈�0,12�，则ff′(tt)=−log2tt+log2(1−tt)=log2�1tt−1�>0所以函数ff(tt)在�0,12�上单调递增，所以HH(xx)与PP1正相关．（3）因为PP1=PP2=12nn−1，PP kk+1=2PP kk(kk=2,3,⋯,nn)，所以PP kk =PP 2⋅2kk−2=2kk−22nn−1=12nn−kk+1 (kk =2,3,⋯,nn ) 故PP kk log 2PP kk =12nn−kk+1log 212nn−kk+1=−nn −kk +12nn−kk+1而PP 1log 2PP 1=12nn−1log 212nn−1=−nn −12nn−1于是HH (XX )=nn −12nn−1+�PP kk log 2PP kk nnkk=2=nn −12nn−1+nn −12nn−1+nn −22nn−2+⋯+222+12整理得HH (XX )=nn −12nn−1−nn 2nn +nn 2nn +nn −12nn−1+nn −22nn−2+⋯+222+12 令SS nn =12+222+323+⋯+nn −12nn−1+nn2nn 则12SS nn =122+223+324+⋯+nn −12nn +nn 2nn+1 两式相减得12SS nn =12+122+123+⋯+12nn −nn 2nn+1=1−nn +22nn+1 因此 SS nn =2−nn+22nn，所以 HH (XX )=nn−12nn−1−nn 2nn+SS nn =nn−12nn−1−nn 2nn+2−nn+22nn=2−12nn−2．。

河南省2022届普通高中毕业班高考适应性测试理科数学试题(含答案解析)

河南省2022届普通高中毕业班高考适应性测试理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合{}1,3M =，{}1,3N a =-，若{}1,2,3M N =，则a 的值是（）A ．-2B ．-1C ．0D ．12．已知复数z 满足()12i 32i z +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（）A ．15-B ．85-C ．1i 5-D ．8i 5-3．已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，11a =，15b =，且212134a b -=，则1111a b -的值为（） A ．-17B ．-15C ．17D ．154．“2021年12月2日”因其数字“20211202”的对称性被很多人晒到了朋友圈，类似这样的对称性在二十一世纪，我们还能再遇到（） A ．6次B ．7次C ．8次D ．9次5．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则该双曲线的离心率是（）AB C ．2D 6．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.若顾客实际购得的黄金为g m ，则（） A ．10m >B ．10m =C ．10m <D ．以上都有可能7．已知侧棱和底面垂直的三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为3，D 为侧棱1CC 的中点，M 为侧棱1AA 上一点，且11A M =，N 为11B C 上一点，且MN ∥平面ABD ，则1NB 的长为（） A ．1B ．2C ．32D ．128．如图，椭圆C ：22154x y +=的左､右焦点分别为1F ，2F ，过点1F ，2F 分别作弦AB ，CD .若//AB CD ，则12AF CF +的取值范围为（）A ．⎣B ．⎣C ．⎣D ．⎣ 9．若定义在R 上的偶函数()f x 的图象关于点()2,0对称，则下列说法错误的是（）A ．()()f x f x =-B ．()()220f x f x ++-=C ．()()35f f =D ．()()22f x f x +=-10．“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1，1，2，3，5，8，13，，则下列选项不正确的是（）A ．在第9条斜线上，各数之和为55B ．在第()5n n ≥条斜线上，各数自左往右先增大后减小C ．在第n 条斜线上，共有()2114nn +--个数D ．在第11条斜线上，最大的数是37C11．已知3log 2a =，11log 5b =，lg4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．a c b <<12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.为了纪念数学家高斯，人们把函数[]y x =，x ∈R 称为高斯函数，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[]2.13-=-，[]3.13=.那么函数()[][]2sin cos sin cos f x x x x x =⋅++的值域内元素的个数为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5二、填空题13．已知函数()3221f x ax a a x x =+-+-的极大值点是1-，则=a ___________.14．有两枚质地均匀，大小相同的正方体骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，同时掷两枚骰子，则两枚骰子朝上面的数字之积能被6整除的概率为___________.15．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()20a c b c -⋅-=，则c 的最大值是___________.16．已知三棱锥P ABC -中，ABC 是边长为PA PB a ==，且平面PAB ⊥平面ABC ，若三棱锥P ABC -的每个顶点都在表面积为654π的球面上，则=a ___________.三、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且222sin sin sin sin sin A B C B C =++.(1)求角A 的大小；(2)若1a =，b c λ+存在最大值，求正数λ的取值范围.18．如图，1l ，2l 是两条互相垂直的异面直线，点P 、C 在直线1l 上，点A 、B 在直线2l 上，M 、N 分别是线段AB 、AP 的中点，且==PC AC a ，PA =．（1）证明：PC ⊥平面ABC ；（2）设平面MNC 与平面PBC 所成的角为()090θθ︒<≤︒．现给出下列四个条件： ①12CM AB =；①AB =；①CM AB ⊥；①BC AC ⊥．请你从中再选择两个条件以确定cos θ的值，并求之．19．第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2月20日在中国举行，其中冰壶比赛项目是本届奥运会的正式比赛项目之一，1998年中国女子冰壶队第一次参加奥运会冰壶比赛就获得了铜牌．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线MN 的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN 将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O 的远近决定胜负．某学校冰壶队举行冰壶投掷测试，规则为：①每人至多投3次，先在点M 处投第一次，冰壶进入营垒区得3分，未进营垒区不得分；①自第二次投掷开始均在点A 处投掷冰壶，冰壶进入营垒区得2分，未进营垒区不得分；①测试者累计得分高于3分即通过测试，并立即终止投掷．已知投掷一次冰壶，甲得3分和2分的概率分别为0.1和0.5，乙得3分和2分的概率分别为0.2和0.4，甲，乙每次投掷冰壶的结果互不影响．（1）求甲通过测试的概率；（2）设Y 为本次测试中乙的得分，求Y 的分布列；（3）请根据测试结果来分析，甲，乙两人谁的水平较高？ 20．已知函数()()()ln 0f x x a x a =->. (1)当1a =时，判断函数()f x 的单调性；(2)证明函数()f x 存在最小值()g a ，并求出函数()g a 的最大值.21．已知抛物线C ：()220y px p =>，过点()2,0R 作x 轴的垂线交抛物线C 于G ，H两点，且OG OH ⊥（O 为坐标原点）. (1)求p ；(2)过()2,1Q 任意作一条不与x 轴垂直的直线交抛物线C 于A ，B 两点，直线AR 交抛物线C 于不同于点A 的另一点M ，直线BR 交抛物线C 于不同于点B 的另一点N .求证：直线MN 过定点.22．在平面直角坐标系xOy 中，1C 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩（t 为参数，0απ≤<），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，2C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(1)求2C 的直角坐标方程；(2)1C 与2C 相交于不同两点A 、B ，线段AB 中点为M ，点()0,1N -，若2MN =，求1C 参数方程中sin α的值.23．设函数()|||21|f x x a x a =-+++.(1)当0a =时，求不等式()2||1f x x <+的解集；(2)若0a >，且关于x 的不等式()2f x 有解，求实数a 的取值范围.参考答案：1．B 【解析】【分析】根据集合N 和并集，分别讨论a 的值，再验证即可. 【详解】因为{}1,2,3MN =，若110a a -=⇒=，经验证不满足题意；若121a a -=⇒=-，经验证满足题意. 所以1a =-. 故选：B. 2．B 【解析】【分析】根据复数的概念与复数的除法运算解题即可. 【详解】由题()()()()32i 12i 32i 18i 18i 12i 12i 12i 555z -----====--++-，所以z 的虚部为85- 故选：B 3．D 【解析】【分析】结合等差数列的通项公式可求得121910-=d d ，进而可求出结果. 【详解】因为数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，设数列{}n a ，{}n b 的公差分别为12,d d ，又11a =，15b =，且212134a b -=，则()()1112202034+-+=a d b d ，即121910-=d d ，所以()()()1111121112101041015=+-+=--+-=a d b d d a b d ，故选：D. 4．B【解析】【分析】根据题意，直接列举求解即可. 【详解】解：由对称性可知，前两位为20，后两位为02，因为每年有12个月，所以列举可得，在二十一世纪，有20011002,20100102，20111102,20200202,20211202， 20300302,20400402,20500502，20600602,20700702,20800802，20900902，所以在二十一世纪，我们还能再遇到7次. 故选：B 5．D 【解析】【分析】写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率【详解】双曲线的渐近线为by x a =±，易知b y x a=与直线230x y -+=平行，所以=2b e a ⇒==故选：D. 6．A 【解析】【分析】设天平的左臂长为a ，右臂长b ，则ab ，售货员现将5g 的砝码放在左盘，将黄金g x 放在右盘使之平衡；然后又将5g 的砝码放入右盘，将另一黄金g y 放在左盘使之平衡，则顾客实际所得黄金为()g x y +，利用杠杆原理和基本不等式的性质即可得出结论. 【详解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a ，右臂长为b ，则a b ，再设先称得黄金为g x ，后称得黄金为g y ，则5bx a =，5ay b =，5a x b ∴=，5b y a=，555510a b a b x y b a b a ⎛⎫∴+=+=+≥⨯ ⎪⎝⎭，当且仅当a bb a=，即a b =时等号成立，但a b ，等号不成立，即10x y +>.因此，顾客购得的黄金10m >. 故选：A. 7．B 【解析】【分析】通过构造面面平行，得到//MN 平面ABD ，再利用三角形相似，求得1NB 的长度. 【详解】如图，取1BB 上一点F ，11B F =，延长1DC 至点E ，使2DE =，连接EF ，使//EF BD ，11EFB C N =，连接ME ，//,BF DE BF DE =，∴四边形FBDE 是平行四边形，//EF BD ∴ EF ⊄平面ABD ，//EF ∴平面ABD ， MF AB //，同理//MF 平面ABD ，且MFEF F =，∴平面//MEF 平面ABD ，MN ⊂平面MEF ，//MN ∴平面ABD ，1112EC DE DC =-=，11B FN ENC ，111121B F B N EC NC ∴== 又113B C =，12NB ∴=故选：B【解析】【分析】分直线斜率不存在和存在两种情况，当直线AB 的斜率不存在，可求出点,A B 的坐标，从而可得12AF CF AB +=，当直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(1)(0)y k x k =+≠，然后将直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后利用根与系数的关系，表示出12x x +，从而可表示出1AF ，1BF ，进而可表示12AF CF + 【详解】解：由椭圆的对称性可知AB CD =，12AF DF =，12BF CF =. 设点()11,A x y ，()22,B x y .若直线AB的斜率不存在，则点A ⎛- ⎝⎭，1,B ⎛- ⎝⎭，所以AB =，所以12AF CF AB +==. 若直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(1)(0)y k x k =+≠，联立22(1),1,54y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()222245105200k x k x k +++-=，0∆>，则21221045k x x k +=-+. 又11AF =，同理可得12BF =，所以)1212||AF CF AB x x +==+==⎝，所以12AF CF +∈⎝. 综上，12AFCF +的取值范围为⎣，故选:C.【解析】【分析】由偶函数即可判断A 选项，由()f x 的图象关于点()2,0对称可判断B 、D 选项，特值检验即可判断C 选项. 【详解】因为()f x 为偶函数，则()()f x f x =-，故A 正确；因为()f x 的图象关于点()2,0对称，对于()f x 的图象上的点(),x y 关于()2,0的对称点()4,--x y 也在函数图象上，即()()4-=-=-f x y f x ，用2x +替换x 得到，()()422-+=-+⎡⎤⎣⎦f x f x ，即()()220f x f x ++-=，故B 正确；令1x =，则()()31f f =-，令3x =，则()()()511=--=-f f f ，则()()35f f =，故C 正确；由B 知，()()()222f x f x f x +=--=--，故D 错误；故选：D. 10．A 【解析】【分析】根据从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，…，得到数列规律为12n n n a a a +++=判断A 选项，再根据杨辉三角得到第n 条斜线上的数为：()012341123451,,,,,,,,k k n n n n n n k n k C C C C C C C --------+，进而判断BCD.【详解】从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，，其规律是12n n n a a a +++=，所以第9条斜线上各数之和为13+21=34，故A 错误；第1条斜线上的数：00C ，第2条斜线上的数：11C ；第3条斜线上的数：0121,C C ，第4条斜线上的数：0132,C C ，第5条斜线上的数：012432,,C C C ，第6条斜线的数：012543,,C C C ， ……，依此规律，第n 条斜线上的数为：()012341123451,,,,,,,,k kn n n n n n k n k C C C C C C C --------+，在第11条斜线上的数为0123451098765,,,,,C C C C C C ，最大的数是37C ，由上面的规律可知：n 为奇数时，第n 条斜线上共有12224n n ++=个数； n 为偶数时，第n 条斜线上共有共有224nn=个数，所以第n 条斜线上共()2114nn +--，故C 正确；由上述每条斜线的变化规律可知：在第(5)n n 条斜线上，各数自左往右先增大后减小，故B 正确. 故选：A. 11．B 【解析】【分析】利用对数的单调性进行判断即可. 【详解】因为235125,11==112311log 5lo 2113g b =>=，因为2233=23332log 2log 33<=，即23<a ，因为4=2310232lg 4lg103<=，即23c <，，因为3lg 2lg 2lg3lg 4lg 2(12lg3)lg 2(1lg9)log 2lg 4lg 40lg3lg3lg3lg3a c ----=-=-===>，所以a c >，即c ab <<，故选：B 【点睛】关键点睛：根据对数函数的单调性，结合特殊值法进行比较是解题的关键.12．C 【解析】【分析】化简函数解析式，判断函数值域，进而得解. 【详解】由()[][][]2sin cos sin cos sin 24f x x x x x x x π⎤⎛⎫=⋅++=++ ⎪⎥⎝⎭⎦，所以函数()f x 的周期2T π=，故只需求[)0,2x π∈的值域. 当0x =时，函数()011f x =+=，当0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，函数sin 2y x =与函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭均单调递增，所以(){}1,2f x ∈，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数sin 2y x =与函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减，所以(){}1,2f x ∈，当324x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，时，函数sin 2y x =与函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减，所以(){}0,1f x ∈，当34x π=时，函数()101f x =-+=-，当3,4x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数sin 2y x =单调递增，函数4y x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递减，所以(){}1,0f x ∈-，当x π=时， ()()011f x =+-=-，当5,4x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数sin 2y x =单调递增，函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减，所以(){}1,0f x ∈-，当54=x π时，()()110f x =+-=，当53,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数sin 2y x =单调递减，函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增，所以(){}1,0f x ∈-，当32x π=时，()()011f x =+-=-，当37,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数sin 2y x =单调递减，函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增，所以(){}1,0f x =-，当74x π=时，()()101f x =-+=-，当7,24x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，函数sin 2y x =单调递增，函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增，所以(){}1,0,1f x ∈-，综上所述(){}1,0,1,2f x ∈-，故选：C. 13．1 【解析】【分析】求导，由(1)0f '-=解出a ，检验1-是极大值点. 【详解】()232f x x ax a '=+-，由极大值点是1-，得(1)0f '-=，320a a --=，1a =.此时，()()232131(1)f x x x x x '=+-=-+ ，()f x 在()1,1,,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，极大值点是1-，满足题意.故答案为：1. 14．512【解析】【分析】根据题意，列举基本事件总数，和满足条件的基本事件数，进而根据古典概型求解即可. 【详解】解：两枚相同的正方体骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，同时掷两枚骰子，基本事件有：()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6，()()()()()()2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6，()()()()()()3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6，()()()()()()4,1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6，()()()()()()5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6，()()()()()()6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6，共有6636⨯=种，两枚骰子朝上面的数字之积能被6整除包含的基本事件有：(1,6),(2,3),(2,6),(3,2),(3,4),(3,6),(4,3),(4,6)，(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)，共15种，所以两枚骰子朝上面的数字之积能被6整除的概率为1553612P ==. 故答案为：51215【解析】【分析】首先根据数量积公式展开，再化简25cos c α=，利用三角函数的有界性求最值. 【详解】()()()220220a c b c a b a b c c-⋅-=⇔⋅-+⋅+=，则()222c a b c =+⋅，设()2a b +与c 的夹角为α，而222445a b a a b c +=+⋅+=，∴()2222cos 5cos c a b c a b c c αα=+⋅=+=，即25cos c α=，所以max52c=.16 【解析】【分析】取AB 的中点E ，连接,PE CE ，证得PE ⊥平面ABC ，CE ⊥平面PAB ，取ABC 的外心F ，作//FM PE ，取PAB △的外心H ，过点H 作EF 的平行线交FM 于点O ，得到点O 为三棱锥P ABC -外接球的球心，结合球的性质及勾股定理建立方程后可求得答案. 【详解】取AB 的中点E ，连接,PE CE ，则,PE AB CE AB ⊥⊥，因为平面PAB ⊥平面ABC ，所以可得PE ⊥平面ABC ，CE ⊥平面PAB ，取ABC 的外心F ，作//FM PE ，则,,,F M E P 四点共面，取PAB △的外心H ，过点H 作EF 的平行线交FM 于点O ，因为EF 垂直平面PAB ，则HO ⊥平面PAB ，所以点O 到,,,A B C P 四点的距离相等，所以点O 为三棱锥P ABC -外接球的球心，在PAB △中，22212cos 2a a APB a +-∠=，根据三角函数同角的平方关系可得sin APB ∠ 所以PAB △外接圆的半径PH =，连接OP ，可求得1OH EF ==，由三棱锥P ABC -外接球的表面积为654π，则有2265654416R R ππ=⇒=，所以2222216516R OP H O PH ==+=+=，解得a =17．(1)23π (2)1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由正弦定理边角互化，结合余弦定理可求得角A ；（2）利用正弦定理边角互化，将b c λ+的最大值转化为三角函数的最大值求解，从而列关于λ的不等式求解.(1)由正弦定理，222sin sin sin sin sin A B C B C =++可化为222a b c bc =++，所以222b c a bc +-=-.由余弦定理，得2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-. 又()0,A π∈，所以23A π=. (2)由正弦定理sin sin sin b c a B C A ===，得)()sin sin sin sin b c B C A C C λλλ+=+=++⎤⎦()1sin 2C C C λϕ⎤⎛⎫+-=+⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，其中2tan 12ϕλ=-因为0,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，要使b c λ+存在最大值，即2C πϕ+=有解，所以,62ππϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭>，即0213λ<-<，所以正数λ的取值范围为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.18．（1）证明过程见解析（2）cosθ=【解析】【分析】（I ）在△P AC 中根据PC ＝AC ＝a，PA =，三边满足勾股定理则PC ⊥AC ，根据题意可知PC ⊥AB ，又AC ∩AB ＝A ，满足线面垂直的判定定理，从而得证；（II ）本小问具有开放性，由选择确定cos θ的大小，根据AC ⊥BC ，且AB ，AC ＝a则BC ＝a ，以C 为坐标原点，CB 、CA 、CP 的方向为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系，CA =（0，a ，0）是平面PBC 的一个法向量，然后求出平面MNC 的法向量n ，然后根据cos n ＜，n CA CA n CA⋅=⋅＞，从而求出cos θ的值．【详解】证明：(1) 在△P AC 中∵PC ＝AC ＝a ，PA =． ∴PC 2+AC 2＝P A 2，∴PC ⊥AC∵l 1、l 2是两条互相垂直的异面直线，点P 、C 在直线l 1上，点A 、B 在直线l 2上， ∴PC ⊥AB ，又AC ∩AB ＝A ∴PC ⊥平面ABC（2）方案一：选择②④可确定cos θ的大小 ∵AC ⊥BC ，且AB =，AC ＝a ∴BC ＝a以C 为坐标原点，CB 、CA 、CP 的方向为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系则C （0，0，0），B （a ，0，0），A （0，a ，0），P （0，0，a ）又M 、N 分别是线段AB 、AP 的中点， ∴M （2a ，2a ，0），N （0，2a ，2a ）∵CA ⊥平面PBC∴CA =（0，a ，0）是平面PBC 的一个法向量设平面MNC 的法向量n =（x ，y ，z ）由n CN n CM ⎧⊥⎨⊥⎩得022022aa y z a a x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩取x ＝1，得n =（1，﹣1，1）为平面MNC 的一个法向量 ∴cos n ＜，3n CA a CA an CA⋅-===⋅＞∴cos θ方案二：选择①④可确定cos θ的大小,,CM AB BC AC a ⊥∴==又BC AC ⊥，下同方案一方案三：选择②①可确定cos θ的大小,,CM AB BC AC a ⊥∴==又2AB a =，BC AC ∴⊥，下同方案一.（注：①①等价，不能确定，①①可转化为①①，①①可转化为①①）【点睛】本题要求空间中二面角的余弦值，可以利用平面的法向量的夹角，从而求出二面角的余弦值，注意要建立适当的直角坐标系，属于中档题． 19．（1）0.3；（2）答案见解析；（3）甲. 【解析】【分析】（1）根据题意甲通过测试包括第一次没通过第二次和第三次通过，或者第一次通过，第二次或第三次有一次通过，故得分分别为4分或者5分，然后求出概率即可；（2）根据题意可求出乙的可能得分为0，2，3，4，5，然后依次求出概率即可得到分布列；（3）比较甲乙通过测试的概率即可得出结论. 【详解】解：（1）若甲通过测试，则甲的得分X 为4或5，()0.90.50.540.225P X =⨯==⨯，()50.10.50.50.10.50.0250.050.075P X ==⨯⨯+⨯=+=，所以()()0.2250.0750.345P P X X ===+=+=．（2）Y 的可能取值为0，2，3，4，5．()0.80.60.600.288P Y =⨯==⨯，()0.80.40.60.80.60.40.3842P Y =⨯⨯+⨯⨯==，()0.20.60.630.072P Y =⨯==⨯， ()40.80.40.40.128P Y ==⨯⨯=，()0.20.60.40.20.40.5128P Y =⨯⨯==+⨯．（3）甲水平高理由如下：乙通过测试的概率()()450.1280.1280.256P P Y P Y ==+==+= 甲通过测试的概率0.3大于乙通过测试的概率0.256．【点睛】求相互独立事件同时发生的概率的步骤：（1）首先确定各事件是相互独立的；（2）再确定格式件会同时发生；（3）求出每个事件发生的概率，再求积. 20．(1)在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增 (2)证明见解析，()max 0g a = 【解析】【分析】（1）将1a =代入后求导，利用导数判断原函数单调性即可.（2）通过二次求导证明()f x '单调递增，然后利用零点存在定理判断()f x '在区间)a 上存在唯一零点，然后利用隐零点思想得到最小值()g a ，最后再构造新函数()g a 求出其最大值，注意在判断零点所在区间时要合理利用放缩思想，这一步为此题难点. (1) 由题意知，()()1ln f x x x =-，()()1ln 10f x x x x '=+->，()210x f x x+''=>.所以函数()f x '单调递增.又()10f '=，所以当01x <<时()0f x '<，函数()f x 单调递减；当1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增.所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增. (2)由题意知，()()ln 10a f x x x x '=+->，()20x af x x+''=>. 所以函数()f x '单调递增. 令()ln 1h x x x =-+，则()1xh x x-'=. 当01x <<时，()0h x '>，函数()h x 单调递增；当1x >时，()0h x '<，函数()h x 单调递减. 所以()()max 10h x h ==，即ln 1≤-x x .所以()ln 1a af x x xx x'=+-≤-，即0f '≤=. 另一方面，()0e ln e 1110e e a aa a a f a '=+->+-=>，所以存在)at ∈，使得()ln 10a f t t t'=+-=，① 即当0x t <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，当x t >时，()0f x '>，()f x 单调递增. 所以函数()f x 存在最小值()()()ln f t g a t a t ==-.由①式，得ln a t t t -=.所以()()20t a g a t-=-≤（当且仅当a t =，即ln 0a =，1a =时，等号成立）.所以()()max 10g a g ==，即为所求. 【点睛】导数问题中，求导后发现导数无法因式分解，或者无法直接求出零点时的一个常用方法就是隐零点，利用设而不求思想得到最值，然后利用该隐零点所满足的等式关系进代换，从而能够方便的解题，例如本题中：ln a tt t-=即为可代换的式子. 21．(1)1p =(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由题意知2RG OR ==，不妨设()2,2G ，代入抛物线方程中可求出p 的值，（2）设211,2y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，233,2y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,2y N y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则可表示出直线AB ，AM ，BN 的方程，再由直线AB 过()2,1Q 及直线AM ，BN 过()2,0R 可得()121240y y y y -++=，13244y y y y ==-，再表示出直线MN 的方程，结合前面的式子化简可得结论(1)由题意知，2RG OR ==.不妨设()2,2G ，代入抛物线C 的方程，得44p =解得1p =.(2)由（1）知，抛物线C 的方程为22y x =. 设211,2y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，233,2y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,2y N y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则直线AB 的斜率为12221212222AB y y k y y y y -==+-. 所以直线AB 的方程为2111222y y x y y y ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭，即()121220x y y y y y -++=. 同理直线AM ，BN ，MN 的方程分别为()131320x y y y y y -++=，()242420x y y y y y -++=，()343420x y y y y y -++=，由直线AB 过()2,1Q 及直线AM ，BN 过()2,0R 可得()121240y y y y -++=，13244y y y y ==-.又直线MN 的方程为()343420x y y y y y -++=，即1212441620x y y y y y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭.所以直线MN 的方程为()1212280y y x y y y +++=.把()121240y y y y -++=代入()1212280y y x y y y +++=，得()12122480y y x y y y +++=， ()122)880(y y x y y +++=，所以由20x y +=，880y +=可得2x =，1y =-.所以直线MN 过定点()2,1-.22．(1)()()22112x y -+-= (2)35或1 【解析】【分析】（1）将曲线2C 的极坐标方程化为22cos 2sin =+ρρθρθ，再利用极坐标方程与普通方程之间的转换关系可得出曲线2C 的直角坐标方程；（2）设A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，将直线的方程代入曲线2C 的普通方程，根据已知条件结合韦达定理可得出关于sin α的二次等式，即可解得sin α的值.(1)解：由4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭得2cos 2sin =+，所以22cos 2sin =+ρρθρθ，将cos sin x yρθρθ=⎧⎨=⎩代入得2222x y x y +=+，即()()22112x y -+-=，所以2C 的直角坐标方程为()()22112x y -+-=；(2) 解：将cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩代入()()22112x y -+-=整理得()22cos 4sin 30t t αα-++= 设A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，则1t 、2t 是方程()22cos 4sin 30t t αα-++=的两根，所以122cos 4sin t t αα+=+，因为2MN =，所以1222t t +=，所以cos 2sin 2αα+=，此时()222cos 4sin 1242120αα∆=+-=⨯->，所以()221sin 41sin αα-=-，所以()()5sin 3sin 10αα--=，所以3sin 5α=或sin 1α=. 23．(1)(2,0)-(2)01a <<【解析】【分析】（1）分类讨论方式求绝对值不等式的解集.（2）分类讨论求绝对值不等式的含参解集，再根据不等式()2f x 有解，结合解集和对应x 的范围求参数范围，然后取并即可.(1)由题设，()|||21|2||1f x x x x =++<+，即|21|||1x x +-<，当12x <-时，211x x --+<，可得122x -<<-；当102x -≤<时，211x x ++<，可得102x -≤<；当0x ≥时，211x x +-<，无解；综上，20x -<<，即不等式解集为(2,0)-.(2)由题设，0a >，()|||21|2f x x a x a =-+++<有解，当12a x +<-时，312x --<，则1x >-，此时有解112a +->-，得：1a <；当12a x a +-≤<时，212x a ++<，则12x a <-，此时有解1122a a +-<-，得：1a <；当x a ≥时，312x +<，则13x <，此时有解13a <；综上，要使0a >，()2f x 有解，则01a <<.。

河南省部分学校2023届高三高考仿真适应性测试理科数学试题

一、单选题1. 已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围是（）A ．（2，3）B ．（2，3]C ．[2，3）D ．[2，3]2.抛物线：的准线与轴交于点，焦点为，点是抛物线上的任意一点，令，当取得最大值时，直线的斜率是A．B．C．D．3. 若从无穷数列中任取若干项（其中）都依次为数列中的连续项，则称是的“衍生数列".给出以下两个命题:（1）数列是某个数列的“衍生数列”；（2）若各项均为0或1，且是自身的“衍生数列”，则从某一项起为常数列.下列判断正确的是（）.A ．（1）（2）均为真命题B ．（1）（2）均为假命题C ．（1）为真命题，（2）为假命题D ．（1）为假命题，（2）为真命题4.若，则（）A．B．C．D．5. 已知随机变量服从正态分布, 且,则A．B．C．D．6. 设集合，，则A．B．C．D．7. 某地为方便群众接种新冠疫苗，开设了，，，四个接种点，每位接种者可去任一个接种点接种．若甲，乙两人去接种新冠疫苗，则两人不在同一接种点接种疫苗的概率为（）A．B．C．D．8.已知双曲线的左､右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为A ，若，则此双曲线的渐近线为（）A．B．C．D．9.已知，则（）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >c >aD ．c >a >b10. 已知函数，则的一个单调递减区间是( )A．B．C．D．11. 已知i 是虚数单位,若复数z满足,则=A ．-2iB ．2iC ．-2D ．212. 已知，，c =40.1，则（）A．B．C．D．河南省部分学校2023届高三高考仿真适应性测试理科数学试题二、多选题13. 已知某种垃圾的分解率为，与时间（月）满足函数关系式（其中，为非零常数），若经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，经过24个月，这种垃圾的分解率为20%，那么这种垃圾完全分解，至少需要经过（）（参考数据：）A ．48个月B ．52个月C ．64个月D ．120个月14.已知函数，则下列结论正确的是（）A ．是偶函数，递增区间是B．是偶函数，递减区间是C ．是奇函数，递减区间是D ．是奇函数，递增区间是15. 已知直线经过点，那么直线的斜率是（）A．B．C ．1D ．216. 若a 、b 为实数，则“0＜ab ＜1”是“a ＜”或“b＞”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件17. 若随机变量Ｘ服从两点分布，且，则（）A．B．C．D．18.如图所示，在长方体中，是的中点，直线交平面于点，则（）A ．三点共线B ．的长度为1C ．直线与平面所成角的正切值为D ．的面积为19. 已知异面直线与直线所成角为，过定点的直线与直线、所成角均为，且平面与平面的夹角为，直线与平面所成角均为，则对于直线的条数分析正确的是（）A ．当时，直线不存在B．当时，直线有3条C ．当时，直线有4条D ．当时，直线有4条20. 对于函数，下列说法正确的是（）A ．在处取得极大值B．有两个不同的零点C．D ．若在上恒成立，则三、填空题四、解答题21.设复数的共轭复数为，则下列结论正确的有（）A．B．C．D．22.已知正四面体的棱长为2，M ，N 分别为和的重心，为线段上一点，则下列结论正确的是（）A．若取得最小值，则B．若，则平面C ．若平面，则三棱锥外接球的表面积为D ．直线到平面的距离为23. 下列说法中的是（）A．B ．若且，则C ．若非零向量且，则D ．若，则有且只有一个实数，使得正确24.设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（）A．B．当时，的最大值为C．数列为等差数列，且和数列的首项、公差均相同D ．数列前项和为，最大25. 已知函数对任意的满足，且当时，，若有4个零点，则实数a 的取值范围是______．26.已知三棱锥的所有棱长都相等，点O 是的中心，点D 为棱PC 上一点，平面ABD 把三棱锥分成体积相等的两部分，平面ABD 与PO 交于点E ，若点P ，A ，B ，C都在球的表面上，点E ，A ，B ，C 都在球的表面上，则球与球表面积的比值为______．27. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，则面积的取值范围为______．28. 的展开式的各项二项式系数之和为32，各项系数和为1，则展开式中的系数为_________.29. 设点在单位圆的内接正六边形的边上，则的取值范围是__________.30.设函数是定义域为的奇函数，且，则____________．31. 点M （2，-2）到直线的距离为______.32. 函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数，对，均有，则______.33. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，已知曲线C上任意一点满足.(1)化简曲线的方程；(2)已知圆（为坐标原点），直线经过点且与圆相切，过点A 作直线的垂线，交于两点，求五、解答题面积的最小值.34. 已知数列是公比为2的等比数列，数列是等差数列，．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．35. 在△ABC 中，已知角A 为锐角，且.（1）将化简成的形式；（2）若，求边AC 的长.36. 已知椭圆C ：（）的离心率为，左顶点A 到右焦点的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆交于不同两点，（不同于A ），且直线和的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求在上的射影的轨迹方程.37. 已知，求下列各式的值(1)；(2)38.在中，，，．(1)求A 的大小；(2)求外接圆的半径与内切圆的半径．39. 如图所示，在三棱锥A -BCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，且.（1）在∠BDC 的角平分线上，是否存在一点O ，使得AO ∥平面EFC ？若存在，请作出证明；若不存在，请说明理由；（2）若平面BCD ⊥平面ADC ，BD ⊥DC ，，求二面角F -EC -D 的正切值.40.如图，在正方体中，E 是棱上的点（点E 与点C ，不重合）．(1)在图中作出平面与平面ABCD 的交线，并说明理由；(2)若正方体的棱长为1，平面与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值为，求线段CE 的长．41. 开学初学校进行了一次摸底考试，物理老师为了了解自己所教的班级参加本次考试的物理成绩的情况，从参考的本班同学中随机抽取名学生的物理成绩（满分100分）作为样本，将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如图所示，已知抽取的学生中成绩在内的有3人．（1）求的值，并估计本班参考学生的平均成绩；（2）已知抽取的名参考学生中，在的人中，女生有甲、乙两人，现从的人中随机抽取2人参加物理竞赛，求女学生甲被抽到的概率．42. 如图，已知平行六面体的底面是菱形，，，且.(1)试在平面内过点作直线，使得直线平面，说明作图方法，并证明：直线；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.43. 如图，在四棱锥中，平面，底面满足，且，，三角形的面积为(1)画出平面和平面的交线，并说明理由(2)求点到平面的距离44. 今年春节期间，在为期5天的某民俗庙会上，某摊点销售一种儿童玩具的情况如下表：日期天气2月13日2月14日2月15日2月16日2月17日小雨小雨阴阴转多云多云转阴销售量上午4247586063下午5556626567由表可知：两个雨天的平均销售量为100件/天，三个非雨天的平均销售量为125件/天.（1）以十位数字为茎，个位数字为叶，画出表中10个销售数据的茎叶图，并求出这组数据的中位数；六、解答题（2）假如明天庙会5天中每天下雨的概率为，且每天下雨与否相互独立，其他条件不变，试估计庙会期间同一类型摊点能够售出的同种儿童玩具的件数；（3）已知摊位租金为1000元/个，该种玩具进货价为9元/件，售价为13元/件，未售出玩具可按进货价退回厂家，若所获利润大于1200元的概率超过0.6，则称为“值得投资”，那么在（2）的条件下，你认为“值得投资”吗?45.如图，正四棱柱中，，点在上且．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．46.如图，正三棱柱中，，，，分别是棱，的中点，在侧棱上，且.（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.47.如图，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，为的中点．(1)求证：平面；(2)若，，求三棱锥的体积．48. 已知函数．（1）求的单调递增区间；（2）当时，求证：．49. 已知四边形ABCD 为平行四边形，E 为CD 的中点，AB =4，为等边三角形，将三角形ADE 沿AE 折起，使点D 到达点P 的位置，且平七、解答题面平面ABCE.(1)求证：；(2)试判断在线段PB 上是否存在点F ，使得平面AEF 与平面AEP 的夹角为45°.若存在，试确定点F 的位置；若不存在，请说明理由.50.已知数列的前n项和为，且，，数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：.51. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将个样本数据按、、、、、分成组，并整理得到如下频率分布直方图.(1)请通过频率分布直方图估计这份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.(2)以样本频率估计概率，若竞赛成绩不低于分，则被认定为成绩合格，低于分说明成绩不合格.从参加知识竞赛的市民中随机抽取人，用表示成绩合格的人数，求的分布列及数学期望.52. 中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验．房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁减而制为长方体形状，例如下图所示．材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W 来刻画梁的承重能力．对于两个截面积相同的梁，称W 较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如下表所列，圆形截面正方形截面矩形截面条件r 为圆半径a 为正方形边长h 为矩形的长，b 为矩形的宽，抗弯截面系数(1)假设上表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并具体说明；(2)宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为的观点．考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D，如下图所示，请问为何值时，其抗弯截面系数取得最大值，并据此分析李诫的观点是否合理．53. 某校举办歌唱比赛，七名评委对甲、乙两名选手打分如下表所示：评委选手甲91949692939795选手乙929590969491(1)若甲和乙所得的平均分相等，求的值；(2)在（1）的条件下，从七名评委中任选一人，求该评委对甲的打分高于对乙的打分的概率；(3)若甲和乙所得分数的方差相等，写出一个的值（直接写出结果，不必说明理由）．54. 某学校为了迎接党的二十大召开，增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛.现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中.(1)如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目，求第2题抽到的是填空题的概率；(2)若第二支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目.已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第二支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率.55. 随着生活节奏的加快､生活质量的提升，越来越多的居民倾向于生活用品的方便智能.如图是根据2016—2020年全国居民每百户家用汽车拥有量（单位：辆）与全国居民人均可支配收入（单位：万元）绘制的散点图.(1)由图可知，可以用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；（过程和结果保留两位小数）(2)已知2020年全国居民人均可支配收入为32189元，若从2020年开始，以后每年全国居民人均可支配收入均以6%的速度增长，预计哪一年全国居民每百户家用汽车拥有量可以达到50辆.参考数据：2.8232.560.46 5.27，，.参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.56. 甲乙二人均为射击队S中的射击选手，某次训练中，二人进行了100次“对抗赛”，每次“对抗赛”中，二人各自射击一次，并记录二人射击的环数，更接近10环者获胜，环数相同则记为“平局”．已知100次对抗的成绩的频率分布如下：“对抗赛”成绩（甲：乙）总计频数21136251510424100八、解答题这100次“对抗赛”中甲乙二人各自击中各环数的频率可以视为相应的概率．(1)设甲，乙两位选手各自射击一次，得到的环数分别为随机变量X ，Y，求，，，．(2)若某位选手在一次射击中命中9环或10环，则称这次射击成绩优秀，以这100次对抗赛的成绩为观测数据，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为甲的射击成绩优秀与乙的射击成绩优秀有关联？(3)在某次团队赛中，射击队S 只要在最后两次射击中获得至少19环即可夺得此次比赛的冠军，现有以下三种方案：方案一：由选手甲射击2次﹔方案二：由选手甲、乙各射击1次；方案三：由选手乙射击2次．则哪种方案最有利于射击队S 夺冠？请说明理由．附：参考公式：参考数据：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82857. 已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，短轴长为．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l 与椭圆C 相切于点A ，A 关于原点O 的对称点为点B ，过点B 作，垂足为M ，求面积的最大值．58.在中，已知.(1) 求的值；(2)若，求的面积.59.在中，内角的对边分别为，已知.(1)求角A 的大小；(2)若的面积为，且，求的周长.60. 已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)设函数有两个极值点，证明：．61. 年是决胜全面建成小康社会、决战脱贫攻坚之年，面对新冠肺炎疫情和严重洪涝灾害的考验.党中央坚定如期完成脱贫攻坚目标决心不动摇，全党全社会戮力同心真抓实干，取得了积极成效．某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示:土地使用面积（单位：亩）管理时间（单位：月）并调查了某村名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示;愿意参与管理不愿意参与管理男性村民女性村民（1）做出散点图，判断土地使用面积与管理时间是否线性相关;并根据相关系数说明相关关系的强弱．(若，认为两个变量有很强的线性相关性，值精确到) .参考公式：参考数据：（2）完成以下列联表，并判断是否有的把握认为该村的村民的性别与参与管理意愿有关.愿意参与管理不愿意参与管理合计男性村民女性村民62. 《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图所示，四面体中，平面，，是棱的中点．(I)证明：．并判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由．(Ⅱ)若四面体是鳖臑，且，求二面角的余弦值．。

2017年河南省高考数学适应性试卷(理科)含答案解析

2017年河南省普通高中高考数学适应性试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，B={x|lg（x﹣2）≤1}，则（∁R A）∪B=（）A．（﹣1，12）B．（2，3） C．（2，3]D．[﹣1，12]2．欧拉（Leonhard Euler，国籍瑞士）是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他发明的公式e ix=cosx+isinx（i为虚数单位），将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式在复变函数理论中占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e﹣4i表示的复数在复平面中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．下列命题正确的是（）A．∃x0∈R，sinx0+cosx0=B．∀x≥0且x∈R，2x＞x2C．已知a，b为实数，则a＞2，b＞2是ab＞4的充分条件D．已知a，b为实数，则a+b=0的充要条件是=﹣14．已知圆O：x2+y2=4（O为坐标原点）经过椭圆C： +=1（a＞b＞0）的短轴端点和两个焦点，则椭圆C的标准方程为（）A． +=1 B． +=1C． +=1 D． +=15．已知等差数列{a n}满足a1=1，a n﹣a n=6，则a11等于（）+2A．31 B．32 C．61 D．626．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3 B．C．D．7．已知函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m等于（）A．0 B．2 C．4 D．88．如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a，b的值分别是21，28，则输出a的值为（）A．14 B．7 C．1 D．09．已知函数y=x+1+lnx在点A（1，2）处的切线l，若l与二次函数y=ax2+（a+2）x+1的图象也相切，则实数a的取值为（）A．12 B．8 C．0 D．410．已知△ABC的三个顶点的坐标为A（0，1），B（1，0），C（0，﹣2），O为坐标原点，动点M满足||=1，则|++的最大值是（）A．B．C．﹣1 D．﹣111．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P是双曲线在第一象限内的点，直线PO，PF2分别交双曲线C的左、右支于另一点M，N，若|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=120°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．定义在R上的函数f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=4（1﹣|x﹣1|），且对于任意实数x∈[2n﹣2，2n+1﹣2]（n∈N*，n≥2），都有f（x）=f（﹣1）．若g （x）=f（x）﹣log a x有且只有三个零点，则a的取值范围是（）A．[2，10] B．[，]C．（2，10）D．[2，10）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知实数x，y满足条件若目标函数z=2x+y的最小值为3，则其最大值为．14．设二项式展开式中的常数项为a，则的值为．15．已知A，B，C是球O的球面上三点，且为该球面上的动点，球心O到平面ABC的距离为球半径的一半，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为．16．已知函数f n（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n，且f n（﹣1）=（﹣1）n n，n∈N*，设函数g（n）=，若b n=g（2n+4），n∈N*，则数列{b n}的前n （n≥2）项和S n等于．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx），函数f（x）=•﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，tanB=，对任意满足条件的A，求f（A）的取值范围．18．某品牌的汽车4S店，对最近100例分期付款购车情况进行统计，统计结果如表所示，已知分9期付款的频率为0.4；该店经销一辆该品牌的汽车．若顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为2万元；分12期付款，其利润为3万元．付款方式分3期分6期分9期分12期频数20 20 a b（1）若以表中计算出的频率近似替代概率，从该店采用分期付款购车的顾客（数量较大）中随机抽取3位顾客，求事件A：“至多有1位采用分6期付款”的概率P（A）；（2）按分层抽样的方式从这100位顾客中抽出5人，再从抽出的5人中随机抽取3人，记该店在这3人身上赚取的总利润为随机变量η，求η的分布列及数学期望E（η）．19．如图所示，已知长方体ABCD中，为DC的中点．将△ADM 沿AM折起，使得AD⊥BM．（1）求证：平面ADM⊥平面ABCM；（2）是否存在满足的点E，使得二面角E﹣AM﹣D为大小为．若存在，求出相应的实数t；若不存在，请说明理由．20．设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3．（1）求抛物线的标准方程；（2）设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点，连结QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PR恰与抛物线相切时，求直线m的方程．21．已知函数．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若﹣1＜x＜1时，均有f（x）≤0成立，求实数a的取值范围．四、请考生在第22、23两题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．4-4坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ﹣4sinθ．（1）化曲线C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）设曲线C2与x轴的一个交点的坐标为P（m，0）（m＞0），经过点P作斜率为1的直线，l交曲线C2于A，B两点，求线段AB的长．五、4-5不等式选讲23．已知f（x）=|2x﹣1|+x+的最小值为m．（1）求m的值；（2）已知a，b，c是正实数，且a+b+c=m，求证：2（a3+b3+c3）≥ab+bc+ca﹣3abc．2017年河南省普通高中高考数学适应性试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，B={x|lg（x﹣2）≤1}，则（∁R A）∪B=（）A．（﹣1，12）B．（2，3） C．（2，3]D．[﹣1，12]【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】首先化简集合A，B，进而算出∁R A，然后根据并集的定义进行求解．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}={x|x＜﹣1或x＞3}∴∁R A={x|﹣1≤x≤3}=[﹣1，3]∵B={x|lg（x﹣2）≤1}，∴，解得2＜x≤12，∴B=（2，12]∴（∁R A）∪B=[﹣1，12]故选：D．2．欧拉（Leonhard Euler，国籍瑞士）是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他发明的公式e ix=cosx+isinx（i为虚数单位），将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式在复变函数理论中占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e﹣4i表示的复数在复平面中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】e﹣4i=cos（﹣4）+isin（﹣4），再利用诱导公式与三角函数求值即可得出．【解答】解：e﹣4i=cos（﹣4）+isin（﹣4），∵cos（﹣4）=cos[π+（4﹣π）]=﹣cos （4﹣π）＜0，sin（﹣4）=﹣sin[π+（4﹣π）]=sin（4﹣π）＞0，∴e﹣4i表示的复数在复平面中位于第二象限．故选：B．3．下列命题正确的是（）A．∃x0∈R，sinx0+cosx0=B．∀x≥0且x∈R，2x＞x2C．已知a，b为实数，则a＞2，b＞2是ab＞4的充分条件D．已知a，b为实数，则a+b=0的充要条件是=﹣1【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据sinx+cosx=sin（x+）≤＜，判断A错误；举例说明x=2时2x=x2=4，判断B错误；根据a＞2，b＞2时ab＞4，判断充分性成立C正确；举例说明a=b=0时=﹣1不成立，判断D错误．【解答】解：对于A，∀x∈R，sinx+cosx=sin（x+）≤＜正确，∴该命题的否定是假命题，A错误；对于B，当x=2时，2x=x2=4，∴B错误；对于C，a，b为实数，当a＞2，b＞2时，ab＞4，充分性成立，是充分条件，C正确；对于D，a，b为实数，a+b=0时，若a=b=0，则=﹣1不成立，∴不是充要条件，D错误．故选：C．4．已知圆O：x2+y2=4（O为坐标原点）经过椭圆C： +=1（a＞b＞0）的短轴端点和两个焦点，则椭圆C的标准方程为（）A． +=1 B． +=1C． +=1 D． +=1【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据圆O：x2+y2=4（O为坐标原点）经过椭圆C： +=1（a＞b＞0）的短轴端点和两个焦点，可得b，c，a，【解答】解：∵圆O：x2+y2=4（O为坐标原点）经过椭圆C： +=1（a＞b ＞0）的短轴端点和两个焦点，∴b=2，c=2，则a2=b2+c2=8．∴椭圆C的标准方程为：，故选：B5．已知等差数列{a n}满足a1=1，a n﹣a n=6，则a11等于（）+2A．31 B．32 C．61 D．62【考点】等差数列的通项公式．【分析】由等差数列的性质依次求出a3，a5，a7，a9，a11．【解答】解：∵等差数列{a n}满足a1=1，a n+2﹣a n=6，∴a3=6+1=7，a5=6+7=13，a7=6+13=19，a9=6+19=25，a11=6+25=31．故选：A．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3 B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可得，几何体为底面为正视图，高为的四棱锥，即可求出几何体的体积．【解答】解：由三视图可得，几何体为底面为正视图，高为的四棱锥，体积为=，故选B．7．已知函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m等于（）A．0 B．2 C．4 D．8【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】设g（x）=，得到g（x）为奇函数，得到g（x）max+g（x）min=0，相加可得答案．【解答】解：f（x）==2+，设g（x）=，∴g（﹣x）=﹣g（x），∴g（x）为奇函数，∴g（x）max+g（x）min=0∵M=f（x）max=2+g（x）max，m=f（x）min=2+g（x）min，∴M+m=2+g（x）max+2+g（x）min=4，故选：C8．如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a，b的值分别是21，28，则输出a的值为（）A．14 B．7 C．1 D．0【考点】程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：由a=21，b=28，不满足a＞b，则b变为28﹣21=7，由b＜a，则a变为21﹣7=14，由b＜a，则a变为14﹣7=7，由a=b=7，则输出的a=7．故选：B．9．已知函数y=x+1+lnx在点A（1，2）处的切线l，若l与二次函数y=ax2+（a+2）x+1的图象也相切，则实数a的取值为（）A．12 B．8 C．0 D．4【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出y=x+1+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△=0得到a的值．【解答】解：y=x+1+lnx的导数为y′=1+，曲线y=x+1+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，则曲线y=x+1+lnx在x=1处的切线方程为y﹣2=2x﹣2，即y=2x．由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x，得ax2+ax+1=0，又a≠0，两线相切有一切点，所以有△=a2﹣4a=0，解得a=4．故选：D．10．已知△ABC的三个顶点的坐标为A（0，1），B（1，0），C（0，﹣2），O为坐标原点，动点M满足||=1，则|++的最大值是（）A．B．C．﹣1 D．﹣1【考点】平面向量的坐标运算．【分析】设点M的坐标是（x，y），由两点之间的距离公式化简||=1，判断出动点M的轨迹，由向量的坐标运算求出++，表示出|++|并判断几何意义，转化为圆外一点与圆上点的距离最值问题，即可求出答案．【解答】解：设点M的坐标是（x，y），∵C（0，﹣2），且||=1，∴，则x2+（y+2）2=1，即动点M的轨迹是以C为圆心、1为半径的圆，∵A（0，1），B（1，0），∴++=（x+1，y+1），则|++|=，几何意义表示：点M（x，y）与点A（﹣1，﹣1）之间的距离，即圆C上的点与点A（﹣1，﹣1）的距离，∵点A（﹣1，﹣1）在圆C外部，∴|++|的最大值是|AC|+1=+1=，故选A．11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P是双曲线在第一象限内的点，直线PO，PF2分别交双曲线C的左、右支于另一点M，N，若|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=120°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】由题意，|PF1|=2|PF2|，|PF1|﹣|PF2|=2a，可得|PF1|=4a，|PF2|=2a，由∠MF2N=120°，可得∠F1PF2=120°，由余弦定理可得4c2=16a2+4a2﹣2•4a•2a•cos120°，即可求出双曲线C的离心率．【解答】解：由题意，|PF1|=2|PF2|，由双曲线的定义可得，|PF1|﹣|PF2|=2a，可得|PF1|=4a，|PF2|=2a，由四边形PF1MF2为平行四边形，又∠MF2N=120°，可得∠F1PF2=120°，在三角形PF1F2中，由余弦定理可得4c2=16a2+4a2﹣2•4a•2a•cos120°，即有4c2=20a2+8a2，即c2=7a2，可得c=a，即e==．故选B．12．定义在R上的函数f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=4（1﹣|x﹣1|），且对于任意实数x∈[2n﹣2，2n+1﹣2]（n∈N*，n≥2），都有f（x）=f（﹣1）．若g （x）=f（x）﹣log a x有且只有三个零点，则a的取值范围是（）A．[2，10] B．[，]C．（2，10）D．[2，10）【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．【分析】由g（x）=f（x）﹣log a x=0，得f（x）=log a x，分别作出函数f（x）和y=log a x 的图象，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：当x∈[0，2]时，f（x）=4（1﹣|x﹣1|），当n=2时，x∈[2，6]，此时﹣1∈[0，2]，则f（x）=f（﹣1）=×4（1﹣|﹣1﹣1|）=2（1﹣|﹣2|），当n=3时，x∈[6，14]，此时﹣1∈[2，6]，则f（x）=f（﹣1）=×2（1﹣|﹣|）=1﹣|﹣|，由g（x）=f（x）﹣log a x=0，得f（x）=log a x，分别作出函数f（x）和y=log a x的图象，若0＜a＜1，则此时两个函数图象只有1个交点，不满足条件．若a＞1，当对数函数图象经过A时，两个图象只有2个交点，当图象经过点B 时，两个函数有4个交点，则要使两个函数有3个交点，则对数函数图象必须在A点以下，B点以上，∵f（4）=2，f（10）=1，∴A（4，2），B（10，1），即满足，即，解得，即2＜a＜10，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知实数x，y满足条件若目标函数z=2x+y的最小值为3，则其最大值为7．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z=2x+y的最小值为3，建立条件关系即可求出m的值，然后求解最大值即可．【解答】解：目标函数z=2x+y的最小值为3，∴y=﹣2x+z，要使目标函数z=﹣2x+y的最小值为3，作出不等式组对应的平面区域如图：则目标函数经过点A截距最小，由，解得A（2，﹣1），同时A也在直线﹣2x+y+m=0，解得m=5，目标函数z=2x+y经过B时取得最大值由，解得B（3，1），z的最大值为：7．故答案为：7．14．设二项式展开式中的常数项为a，则的值为﹣．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式定理的通项公式可得a，再利用微积分基本定理即可得出．==（﹣1）【解答】解：二项式展开式中的通项公式：T r+1r．令6﹣=0，解得r=4．∴常数项a==15，则=cos3xdx==﹣．故答案为：﹣．15．已知A，B，C是球O的球面上三点，且为该球面上的动点，球心O到平面ABC的距离为球半径的一半，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意画出图形，求出三角形ABC外接圆的半径，设出球的半径，利用直角三角形中的勾股定理求得球的半径，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值可求．【解答】解：如图，在△ABC中，∵，∴由余弦定理可得cosA=，则A=120°，∴sinA=．设△ABC外接圆的半径为r，则，得r=3．设球的半径为R，则，解得．∵，∴三棱锥D﹣ABC体积的最大值为．故答案为：．16．已知函数f n（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n，且f n（﹣1）=（﹣1）n n，n∈N*，设函数g（n）=，若b n=g（2n+4），n∈N*，则数列{b n}的前n（n≥2）项和S n等于2n+n﹣1．【考点】数列的求和．【分析】由分段函数，求得b n=a，再由函数f n（x），求得n=1时，a1=1，将n换为n﹣1，作差可得a n=2n﹣1，进而得到b n=2n﹣1+1，再由数列的求和方法：分组求和，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：由函数g（n）=，可得b n=g（2n+4）=g（2n﹣1+2）=g（2n﹣2+1）=a，由函数f n（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n，且f n（﹣1）=（﹣1）n n，可得﹣a1+a2﹣a3+…+a n（﹣1）n=（﹣1）n n，①n=1时，﹣a1=﹣1，可得a1=1；n≥2时，﹣a1+a2﹣a3+…+a n（﹣1）n﹣1=（﹣1）n﹣1（n﹣1），②﹣1①﹣②可得a n（﹣1）n=（﹣1）n n﹣（﹣1）n﹣1（n﹣1），化简可得a n=2n﹣1，对n=1也成立．则b n=a=2n﹣1+1，则数列{b n}的前n（n≥2）项和S n等于（1+2+4+…+2n﹣1）+n=+n=2n+n﹣1．故答案为：2n+n﹣1．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx），函数f（x）=•﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，tanB=，对任意满足条件的A，求f（A）的取值范围．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）=•﹣1．利用向量的数量积的运算求解f（x），结合三角函数的性质求解单调性即可．（Ⅱ）tanB=求解．【解答】解：（Ⅰ）向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx），函数f（x）=•﹣1．则f（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x）由，解得：≤x≤，（k∈Z）．故得函数f（x）的单调递减区间为[，]，（k∈Z）（Ⅱ）由tanB=，即：，∵cosB=∴sinB=．又∵△ABC是锐角，∴B=．则＜A＜由（Ⅰ）可知f（A）=2sin（2A）那么：2A∈（，）则sin（2A）∈（，1）故得f（A）的取值范围是（﹣1，2）18．某品牌的汽车4S店，对最近100例分期付款购车情况进行统计，统计结果如表所示，已知分9期付款的频率为0.4；该店经销一辆该品牌的汽车．若顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为2万元；分12期付款，其利润为3万元．付款方式分3期分6期分9期分12期频数20 20 a b （1）若以表中计算出的频率近似替代概率，从该店采用分期付款购车的顾客（数量较大）中随机抽取3位顾客，求事件A：“至多有1位采用分6期付款”的概率P（A）；（2）按分层抽样的方式从这100位顾客中抽出5人，再从抽出的5人中随机抽取3人，记该店在这3人身上赚取的总利润为随机变量η，求η的分布列及数学期望E（η）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）由=0.4，得a=40，20+a+20+b=100，解得b．记分期付款的期数为ξ，依题意即可得出其概率．进而定点“购买该品牌汽车的3为顾客中至多有1位采用3期付款”的概率P（A）．（2）按分层抽样的方式从这100位顾客中抽出5人，则顾客分3期付款与分6期付款的各为1人，分9期付款的为2人，分12期付款为1人．则η的可能取值为5，6，7．利用相互独立与互斥事件的概率计算公式可得其概率，进而得到分布列与数学期望．【解答】解：（1）由=0.4，得a=40，∵20+a+20+b=100，∴b=20记分期付款的期数为ξ，依题意得：P（ξ=3）==0.2，P（ξ=6）==0.2，P（ξ=9）==0.4，P（ξ=12）==0.2．则“购买该品牌汽车的3为顾客中至多有1位采用3期付款”的概率P（A）=+=0.896．（2）按分层抽样的方式从这100位顾客中抽出5人，则顾客分3期付款与分6期付款的各为1人，分9期付款的为2人，分12期付款为1人．则η的可能取值为5，6，7．P（η=5）=P（ξ=3）×P（ξ=6）×P（ξ=9）+P（ξ=3）×P（ξ=9）×P（ξ=9）=+=．P（η=6）=P（ξ=3）×P（ξ=6）×P（ξ=12）+P（ξ=6）×P（ξ=9）×P（ξ=9）+P （ξ=3）×P（ξ=9）×P（ξ=12）==，P（η=7）=P（ξ=6）×P（ξ=9）×P（ξ=12）+P（ξ=9）×P（ξ=9）×P（ξ=12）==．列表如下：η567P0.30.40.3所以η的数学期望E（η）=5×0.3+6×0.4+7×0.3=6（万元）．19．如图所示，已知长方体ABCD中，为DC的中点．将△ADM 沿AM折起，使得AD⊥BM．（1）求证：平面ADM⊥平面ABCM；（2）是否存在满足的点E，使得二面角E﹣AM﹣D为大小为．若存在，求出相应的实数t；若不存在，请说明理由．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出BM⊥AM，AD⊥BM，从而BM⊥平面ADM，由此能证明平面ADM⊥平面ABCM．（2）以M为原点，MA为x轴，MB为y轴，过M作平面ABCM的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出存在满足的点E，使得二面角E﹣AM﹣D为大小为，并能求出相应的实数t的值．【解答】证明：（1）∵长方形ABCD中，AB=2AD=2，M为DC的中点，∴AM=BM=2，AM2+BM2=AB2，∴BM⊥AM，∵AD⊥BM，AD∩AM=A，∴BM⊥平面ADM，又BM⊂平面ABCM，∴平面ADM⊥平面ABCM．解：（2）以M为原点，MA为x轴，MB为y轴，过M作平面ABCM的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（0，2，0），D（1，0，1），M（0，0，0），=（0，2，0），=（1，﹣2，1），==（t，2﹣2t，1），设平面AME的一个法向量为=（x，y，z），则，取y=t，得=（0，t，2t﹣2），由（1）知平面AMD的一个法向量=（0，1，0），∵二面角E﹣AM﹣D为大小为，∴cos===，解得t=或t=2（舍），∴存在满足的点E，使得二面角E﹣AM﹣D为大小为，相应的实数t的值为．20．设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3．（1）求抛物线的标准方程；（2）设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点，连结QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PR恰与抛物线相切时，求直线m的方程．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）设抛物线的方程为x2=2py（p＞0），求出准线方程，运用抛物线的定义和中位线定理，可得2（3+）=8，解得p，即可得到抛物线的方程；（2）设直线PQ的方程为y=kx+6，代入抛物线的方程，运用韦达定理，结合导数求得切线的斜率，再由两点的方斜率公式，以及三点共线的条件：斜率相等，化简整理解方程可得k的值，客人得到直线m的方程．【解答】解：（1）设抛物线的方程为x2=2py（p＞0），准线方程为y=﹣，由抛物线的定义可得|AF|+|BF|=|AB|=2（3+）=8，解得p=2，即有抛物线的方程为x2=4y；（2）设直线PQ的方程为y=kx+6，代入抛物线的方程，可得x2﹣4kx﹣24=0，设P（x1，），Q（x2，），可得x1+x2=4k，x1x2=﹣24，由y=x2的导数为y′=x，设R（t，﹣1），可得k PR==x1，可得t=x1﹣，再由Q，F，R共线，可得=，消去t，可得=，即有16x1x2=4（x12+x22）﹣16﹣（x1x2）2，即有16×（﹣24）=4[（4k）2+2×24]﹣16﹣242，解方程可得k=±，即有直线m的方程为y=±x+6．21．已知函数．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若﹣1＜x＜1时，均有f（x）≤0成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）当a=1时，f（x）的定义域为（﹣1，1）∪（1，+∞），求出f′（x）=，即可求单调区间；（Ⅱ）f′（x）=，分（1）a≤0，（2）当a＞0，讨论单调性及最值即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）的定义域为（﹣1，1）∪（1，+∞），f′（x）=，当﹣1＜x＜0或＞3时，f′（x）＞0，当0＜x＜1或1＜x＜3，f′（x）＜0，所以函数f（x）的增区间为（﹣1，0），（3，+∞），减区间为（0，1），（1，3）（Ⅱ）f′（x）=，当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，故0＜x＜1时，f（x）＞f（0）=0，不符合题意．当a＞0时，由f′（x）=0，得x1=，x2=．若0＜a＜1，此时0＜x1＜1，对0＜x＜x1，有f′（x）＞0，f（x）＞f（0）=0，不符合题意．若a＞1，此时﹣1＜x1＜0，对x1＜x＜0，有f′（x）＜0，f（x）＞f（0）=0，不符合题意．若a=1，由（Ⅰ）知，函数f（x）在x=0处取得最大值0，符合题意，综上实数a的取值为1．四、请考生在第22、23两题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．4-4坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ﹣4sinθ．（1）化曲线C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）设曲线C2与x轴的一个交点的坐标为P（m，0）（m＞0），经过点P作斜率为1的直线，l交曲线C2于A，B两点，求线段AB的长．【考点】参数方程化成普通方程．（1）根据sin2θ+cos2θ=1消去曲线C1的参数θ可得普通方程；根据ρcosθ=x，【分析】ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得曲线C2的普通方程；（2）令曲线C2的y=0，求解P的坐标，可得过P的直线方程，参数方程的几何意义求解即可．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为，消去参数可得：，表示焦点在y轴上的椭圆方程．曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ﹣4sinθ，可得ρ2=2ρcosθ﹣4ρsinθ，∴x2+y2=2x﹣4y，整理得（x﹣1）2+（y+2）2=5，表示以（1，﹣2）为圆心，半径r=5的圆．（2）曲线C2与x轴的一个交点的坐标为P（m，0）（m＞0），令y=0，解得x=2，∴P（2，0），可得直线l：y=x﹣2．将曲线C1的参数方程带入直线l可得：sinθ=2cosθ﹣2．整理可得：cos（）=，即θ=2kπ或，（k∈Z）．那么：A（2，0），B（﹣1，﹣3），∴|AB|=．五、4-5不等式选讲23．已知f（x）=|2x﹣1|+x+的最小值为m．（1）求m的值；（2）已知a，b，c是正实数，且a+b+c=m，求证：2（a3+b3+c3）≥ab+bc+ca﹣3abc．【考点】不等式的证明．【分析】（1）讨论当x≥时，当x＜时，去掉绝对值，运用一次函数的单调性，可得最小值；（2）由a+b+c=1，先证a3+b3≥a2b+b2a，由作差法可得，即有a3+b3≥ab﹣abc，同理可得b3+c3≥bc﹣abc，c3+a3≥ca﹣abc，累加即可得证．【解答】解：（1）当x≥时，f（x）=3x﹣递增，且f（x）≥﹣=1；当x＜时，f（x）=﹣x递减，且f（x）＞﹣=1；综上可得x=时，f（x）取得最小值1，即m=1；（2）证明：a，b，c是正实数，且a+b+c=1，由a3+b3﹣a2b﹣b2a=a2（a﹣b）+b2（b﹣a）=（a﹣b）（a2﹣b2）=（a+b）（a﹣b）2≥0，即有a3+b3﹣a2b﹣b2a≥0，即a3+b3≥a2b+b2a=ab（a+b）=ab（1﹣c）=ab﹣abc，可得a3+b3≥ab﹣abc，同理可得b3+c3≥bc﹣abc，c3+a3≥ca﹣abc，上面三式相加可得，2（a3+b3+c3）≥ab+bc+ca﹣3abc，当且仅当a=b=c=取得等号．2017年3月23日。

2024年高考适应性训练数学试题(三)

试卷类型: A2024年高考适应性训练数学试题（三）本试卷共19题，满分150分，共6页．考试用时120分钟．注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合(){}2,A x y y x ==，集合(){},B x y y x ==，则集合AB 子集的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4 2. 小王夫妇开设了一家早餐店，经统计，发现每天茶叶蛋的销量()2100050XN ，（单位：个），估计300天内每天茶叶蛋的销量约在950到1100个的天数大约为（附：若随机变量()2X Nμσ～,，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈，()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈）A ．236B ．246C ．270D ．2753. 已知单位向量,a b 满足1-=a b ，则a 在b 方向上的投影向量为A.12b B. bC.12a D. -aA. (1.5,2)B. (2,2.5)C. (2.5,3)D. (3,3.5) 5. 已知()()2f x xg x =为定义在R 上的偶函数，则函数()g x 的解析式可以为A. ()221ln 1x g x x +=-B. ()2121xg x =-+ C. ()22,0,,0x x x g x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩ D. ()|2||2|g x x x =--+6. 将函数()πcos 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上的所有点向左平移5π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，则A ．()2πcos 23g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．()g x 在ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．()g x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．直线π4x =是()g x 图象的一条对称轴 7. 设0.50.2a =，0.20.5b =，0.5log 0.2c =，则A. a c b >>B. c b a >>C. c a b >>D. b c a >>8．已知圆222 ()2p E x y r ++=:与抛物线22(0)C y px p =>:相交于两点,A B ，分别以,A B 为切点作E 的切线12,l l . 若12,l l 都经过C 的焦点F ，则cos AEB ∠=A.2B. 12- C. 2- D.12二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

2024年数学新高考改革适应性练习2(九省联考题型)及答案

2024年新高考改革适应性练习2（九省联考题型）数学试题卷考生须知1. 本卷共5页，四大题19小题，满分150分，答题时间120分钟；2. 答题时须在答题卡上填涂所选答案（选择题），或用黑色字迹的签字笔规范书写答案与步骤（非选择题），答在本试题卷上或草稿纸上的答案均属无效；3. 考试结束时，考生须一并上交本试题卷，答题卡与草稿纸．一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 某旅行社为迎节日搞活动旅游，经市场调查，某旅游线路销量YY（人）与旅游价格XX（元/人）负相关，则其回归直线方程可能是A．YY=−80XX+1600B．YY=80XX+1600C．YY=−80XX−1600D．YY=80XX−16002. 已知复数列{zz nn}满足zz nn=i nn（i 为虚数单位），则{zz nn}的前10项和是A．1+i B．1−i C．−1+i D．−1−i3. “”是“该棱柱为直棱柱”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4. 斐波那契数列指的是这样一个数列{FF nn}：FF1=FF2=1 ，FF nn=FF nn−1+FF nn−2(nn≥3)，记FF nn除以4的余数为GG nn，则GG2024=A．0 B．1 C．2 D．35. 曼哈顿距离（Manhattan Distance）是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和．同一平面上的两点AA(xx1,yy1)，BB(xx2,yy2)，其“曼哈顿距离”dd AAAA=|xx1−xx2|+|yy1−yy2|则所有与点(1,2)的“曼哈顿距离”等于2的点构成的图形的周长为A．8 B．8√2C．4 D．4√26. 已知以OO为中心的椭圆ΩΩ，其一个长轴顶点为MM，NN是ΩΩ的一个靠近MM的焦点，点PP在ΩΩ上，设ωω1是以PPNN为直径的圆，ωω2是以OOMM为半径的圆，则ωω1与ωω2的位置关系为A．相切B．相交C．相离D．无法确定7. 将函数ff(xx)=�xxee xx,xx≤0ln xx−xx+1,xx>0向下平移mm(mm∈RR)个单位长度得到gg(xx)．若gg(xx)有两个零点xx1,xx2(xx1<xx2)，则xx1+xx2的值不可能是A．1B．ee2−1ee C．ee−1ee+1D．ee−1ee−18. 过正四面体AABBAAAA的顶点AA作截面，若满足：①截面是等腰三角形：②截面与底面BBAAAA成 75°的二面角．这样的截面个数为A．6 B．12 C．18 D．24二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）9. 在正六边形AABBAAAAAAFF中，��⃗−AAAA��⃗=BBFF��⃗B．AAAA��⃗+AAAA��⃗=3AAAA��⃗A．AAAA��⃗·AABB��⃗=�AABB��⃗�2D．AAAA��⃗在AAAA��⃗上的投影向量为AAAA��⃗C．AAAA10. 已知直线AAAA与BBAA经过坐标原点OO，且AAAA⊥BBAA，AA,BB,AA,AA均在圆PP:xx2−6xx+yy2−8yy−9=0上，则以下说法正确的有A．圆心PP到直线AAAA的距离的最小值为5B．弦AABB,BBAA,AAAA,AAAA的中点满足四点共圆C．四边形AABBAAAA的面积的取值范围是�6√34,43�D．6|OOAA|+3|OOAA|≥2√2|OOAA|·|OOAA|11. 对正整数NN，若其不能被任意一个完全平方数整除，则称其为“无平方因子数”，并记其的素因子个数为dd nn．由所有“无平方因子数”构成的集合记作SS．则数论函数“缪比乌斯函数”定义如下μμ(nn)=�1 ,nn=1(−1)dd nn ,nn∈SS0 ,nn∉SS则下列运算正确的有A．μμ(1)+μμ(2)=0B．μμ(1)+μμ(2)+μμ(4)=1C．μμ(1)+μμ(2)+μμ(4)+μμ(8)=0D．μμ(1)+μμ(2)+⋯+μμ(2nn)=1 (nn≥4)三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）��⃗·AAAA��⃗的值是_________．12. 已知钝角△AABBAA的面积为3，AABB=4 ，AAAA=1 ，则AABB13. 若函数ff(xx)=(xx2−6xx+mm)(ee xx−3+ee3−xx−nn)的四个零点是以0为首项的等差数列，则mm+nn= _________．14. 若一个三位数中的任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”，则所有“平稳数”的个数为_________．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.（15分）已知在△AABBAA中，角AA,BB,AA所对的边分别为aa,bb,cc，且 tan AA+tan BB−√3tan AA tan BB+√3=0 ．（1）求AA；（2）若aa+bb=4 ，求△AABBAA面积SS的最大值．16.（17分）如图1，已知正方体AABBAAAA−AA′BB′AA′AA′的棱长为2，MM为BBBB′的中点，NN为AAAA的中点．（1）证明：BBNN//平面AAMMAA′；（2）求平面AAMMAA′与平面AA′BB′AA′AA′夹角的余弦值. 图117.（17分）已知抛物线yy2=2xx，直线ll:yy=xx−4 ，且点BB,AA在抛物线上．（1）若点AA,AA在直线ll上，且四边形AABBAAAA是菱形，求直线BBAA的方程；（2）若点AA为抛物线和直线ll的交点（位于xx轴下方），点AA在直线ll上，且四边形AABBAAAA是菱形，求直线BBAA的斜率．18.（17分）已知函数ff(xx)=aa xx−log aa xx ,aa∈(0,1)∪(1,+∞)．（1）若aa=ee，求yy=ff(xx)过点(0,1)的切线方程；（2）若ff(xx)在其定义域上没有零点，求aa的取值范围．19.（17分）概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属由两位俄国数学家马尔科夫和切比雪夫分别提出的马尔科夫（Markov）不等式和切比雪夫（Chebyshev）不等式．马尔科夫不等式的形式如下：设XX为一个非负随机变量，其数学期望为AA(XX)，则对任意εε>0 ，均有PP(XX≥εε)≤AA(XX)εε马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期望间的关系．当XX为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式的证明如下：设XX的分布列为PP(XX=xx ii)=pp ii(ii=1,2,…,nn)其中pp ii∈(0,+∞)，pp1+pp2+⋯+pp nn=1 ，xx ii∈[0,+∞)，则对任意εε>0 ，PP(XX≥εε)=�pp ii xxii≥εε≤�xx iiεεpp iixx ii≥εε=1εε�xx ii pp ii xxii≥εε≤1εε�xx ii pp ii nn ii=1=AA(XX)εε其中符号�AA ii xxii≥εε表示对所有满足xx ii≥εε的指标ii所对应的AA ii求和．切比雪夫不等式的形式如下：设随机变量的XX数学期望为AA(XX)，方差为AA(XX)，则对任意εε>0 ，均有PP(|XX−AA(XX)|≥εε)≤AA(XX)εε2【类比探究】（1）根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量XX成立；【实际应用】（2）已知正整数nn≥5 ．在一次抽奖游戏中，有nn个不透明的箱子依次编号为 1,2,…,nn，编号为ii(1≤ii≤nn)的箱子中装有编号为 0,1,…,ii的ii+1 个大小､质地均相同的小球．主持人邀请nn位嘉宾从每个箱子中随机抽取一个球，记从编号为ii的箱子中抽取的小球号码为XX ii，并记XX=�XX ii ii nn ii=1对任意的nn，是否总能保证PP(XX≤0.1nn)≥0.01（假设嘉宾和箱子数能任意多）？并证明你的结论．【理论拓展】（3）已知nn重伯努利试验中每次试验中事件AA出现的概率PP=0.75 ，请用切比雪夫不等式估计nn，使得事件AA出现的频率在0.74和0.76之间的概率不低于0.90．2024年新高考改革适应性练习2（九省联考题型）数学参考答案一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D C B B A D C二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）题号91011答案CD ABC BD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）题号121314答案2或-2ee+1ee或 8+ee3+1ee375四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.（13分）（1）由题意得，tan AA+tan BB−√3tan AA tan BB=−√3⟺tan AA+tan BB=−√3(1−tan AA tan BB)⟺tan AA+tan BB1−tan AA tan BB=−√3⟺tan(AA+BB)=−√3⟺tan CC=−tan(AA+BB)=√3⟺CC=ππ3所以CC=ππ3．（2）由正弦定理，SS=12sin CC aaaa=12·sinππ3·aaaa=√34aaaa由题意aa+aa=4 ，又aa,aa>0 ，由基本不等式得aa+aa=4≥2√aaaa解得aaaa≤4 ，所以SS=√34aaaa≤√34×4=√3故SS的最大值为√3 ，取等时aa=aa=2 ，即△AABBCC是一个正三角形．16.（15分）（1）取DDCC′中点EE，连接NNEE、MMEE、BBNN，如右图所示：∵EE、NN为中点，可得EENN//CCCC′//BBMM，又∵EENN=BBMM=1，∴四边形NNEEMMBB为平行四边形，∴BBNN//EEMM，又∵BBNN⊄平面DDMMCC′，EEMM⊂平面DDMMCC′，∴BBNN//平面DDMMCC′.（2）以DD点为原点，DDAA为xx轴，DDCC为yy轴，DDDD′为zz轴，建立空间直角坐标系，如右图所示：则DD(0,0,0)，CC′(0,2,2)，MM(2,2,1)，��⃗=(0,2,2)，DDMM��⃗=(2,2,1)，故DDCC′易知平面AA′BB′CC′DD′的一个法向量为mm��⃗=(0,0,1)，设nn�⃗⊥平面DDMMCC′，nn�⃗=(xx,yy,zz)，则�nn�⃗⋅DDCC′��⃗=2yy+2zz=0nn�⃗⋅DDMM��⃗=2xx+2yy+zz=0令zz=2，则yy=−2,xx=1，可得nn�⃗=(1,−2,2)，cos<mm��⃗,nn�⃗>=mm��⃗⋅nn�⃗|mm��⃗|⋅|nn�⃗|=23结合图形可知，平面DDMMCC′与平面AA′BB′CC′DD′夹角的余弦值为23.17.（15分）（1）由题意知AACC⊥BBDD，设直线BBDD:xx=−yy+mm．联立�xx=−yy+mmyy2=2xx得yy2+2yy−2mm=0，则yy BB+yy DD=−2,yy BB yy DD=−2mm，xx BB+xx DD=−(yy BB+yy DD)+2mm=2mm+2，则BBDD的中点(mm+1,−1)在直线yy=xx−4上，代入可解得mm=2，yy2+2yy−4=0,ΔΔ=20>0，满足直线与抛物线有两个交点，所以直线BBDD的方程为xx=−yy+2，即xx+yy−2=0．（2）当直线AABB,AADD的斜率为0或不存在时，均不满足题意．由�yy=xx−4yy2=2xx得�xx=2yy=−2或�xx=8yy=4（舍去），故AA(2,−2)．当直线AABB,AADD的斜率存在且不为0时，设直线AABB:xx−2=tt(yy+2)．联立�xx−2=tt(yy+2)yy2=2xx得yy2−2tt yy−4tt−4=0 ，所以yy AA+yy BB=2tt．所以BB(2tt2+4tt+2,2tt+2)．同理得DD�2tt2−4tt+2,−2tt+2�．由BBDD的中点在直线yy=xx−4 上，得12�2tt2+4tt+2+2tt2−4tt+2�−4=12�2tt+2−2tt+2�即tt2+1tt2+�tt−1tt�−4=0．令tt−1tt=pp，则pp2+pp−2=0 ，解得pp=−2 或pp=1 ．当pp=1 时，直线BBDD的斜率kk BBDD=2tt+2−�−2tt+2�2tt2+4tt+2−�2tt2−4tt+2�=1tt−1tt+2=13当pp=−2 时，直线BBDD的斜率不存在．综上所述,直线BBDD的斜率为13．18.（17分）（1）当aa=ee时，ff(xx)=aa xx−log aa xx=ee xx−ln xx(xx>0)，设yy=ff(xx)过点(0,1)的切线方程为ll:yy= ff′(xx0)(xx−xx0)+ff(xx0)(xx0>0)，ff(xx0)=ee xx0−ln xx0，ff′(xx0)=ee xx0−1xx0，代入切线方程得，yy =�ee xx 0−1xx 0�(xx −xx 0)+ee xx 0−ln xx 0=�ee xx 0−1xx 0�xx +ee xx 0(1−xx 0)−ln xx 0+1 因为 ll 过点 (0,1) ，所以 ee xx 0(1−xx 0)−ln xx 0+1=1 ，即 ee xx 0(1−xx 0)−ln xx 0=0 ，令 gg (xx )=ee xx (1−xx )−ln xx ，gg ′(xx )=−xxee xx −1xx <0 ，所以 gg (xx ) 单调递减，又 gg (1)=0 ，所以 gg (xx ) 有唯一零点 xx =1 ，即原方程的根为 xx =1 ，代回切线方程得yy =�eexx 0−1xx 0�xx +ee xx 0(1−xx 0)−ln xx 0+1=(ee −1)xx +1 故 yy =ff (xx ) 过点 (0,1) 的切线方程为 yy =(ee −1)xx +1 ．（2）因为 ff (xx ) 在 (0,+∞) 上连续，又 ff (1)=aa >0 ，所以要使 ff (xx ) 无零点，需使 ff (xx )>0 在其定义域上恒成立．则原问题转化为 ff (xx )=aa xx −log aa xx >0 ，求 aa 的取值范围，aa xx −log aa xx >0⟺aa xx >log aa xx ⟺aa xx >ln xxln aa⟺aa xx ln aa >ln xx ⟺aa xx xx ln aa >xx ln xx ⟺aa xx ln aa xx >xx ln xx (∗)令 ℎ(xx )=xxee xx (xx >0) ，ℎ′(xx )=(xx +1)ee xx >0 ，所以 ℎ(xx ) 单调递增，又由 (∗) 式得 ℎ(ln aa xx )>ℎ(ln xx ) ，所以 ln aa xx =xx ln aa >ln xx ，即 ln aa >ln xxxx恒成立．令 φφ(xx )=ln xxxx，φφ′(xx )=1−ln xxxx 2，令 φφ′(xx )=0 得 xx =ee ，当 0<xx <ee 时，φφ′(xx )>0 ，φφxx 单调递增；当 xx >ee 时，φφ′(xx )<0 ，φφ(xx ) 单调递减，所以 xx =ee 是 φφ(xx ) 的极大值点，φφ(xx )max =φφ(ee )=1ee，所以 ln aa >1ee，即 aa >ee 1ee．综上所述，aa 的取值范围为 �ee 1ee,+∞� ．19.（17分）（1）设 XX 的分布列为 PP (XX =xx ii )=pp ii (ii =1,2,…,nn ) 其中 pp ii ∈(0,+∞) ，pp 1+pp 2+⋯+pp nn =1 ，则对任意 εε>0 ，PP (|XX −EE (XX )|≥εε)=�PP ii |xx ii −μμ|≥εε≤��xx ii −EE (XX )�2εε2PP ii|xx ii −μμ|≥εε=1εε2��xx ii −EE (XX )�2PP ii |xx ii −μμ|≥εε≤1εε2��xx ii −EE (XX )�2PP ii nnii=1=DD (XX )εε2 （2）由切比雪夫不等式，EE (XX )=EE ��EE (XX ii )ii nn ii=1�=�EE (XX ii )ii nnii=1=nn2DD (XX )=EE ((XX −EE (XX ))2)=EE ��XX iiii −12�2nnii=1�=�EE nnii=1��XX ii ii −12�2�+2�EE 1⩽ii<jj⩽nn�XX ii ii −12�EE �XX jj jj −12�=�EE nn ii=1��XX ii ii −12�2�=�DD nnii=1�XX iiii�用到EE �XX ii ii −12�=0(1⩽ii ⩽nn )而DD �XX iiii�=∑�jj ii−12�2ii jj=0ii +1⩽14故 DD (XX )≤nn4 .当 nn =160 时，PP (XX ⩽0.1nn )<PP ��XX −nn 2�⩾0.4nn�⩽nn 40.16nn 2<0.01 因此，不能保证 PP (XX ⩽0.1nn )⩾0.01 . （3）由（1）已证得的切比雪夫不等式，PP (|XX −EE (XX )|≥εε)≤DD (XX )εε2 ⟺PP (|XX −EE (XX )|<εε)≥1−DD (XX )εε2 ②回到原题，设至少需要 nn 次试验，用 XX 表示 nn 次实验中 AA 出现的次数，则 XX ~BB (nn ,0.75) ，PP �0.74<XX nn<0.76�=PP ��XX nn−0.75�<0.01� ，因 EE �XX nn�=1nnEE (XX )=1nn·nn ·0.75=0.75 ，由切比雪夫不等式（②），PP �0.74<XX nn <0.76�=PP ��XXnn−0.75�<0.01� ≥1−DD �XXnn �0.012=1−1nn 2·nn ·0.75·0.250.012≥0.90解得 nn >18750 ，故应该至少做18750次试验．。

2024九省联考高中数学及专家点评

河南省2024年普通高考适应性测试数　学注意事项：1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.样本数据16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位数为A.14B.16C.18D.202.椭圆x 2a2+y 2=1a >1 的离心率为12,则a =A.233 B.2 C.3 D.23.记等差数列a n 的前n 项和为S n ,a 3+a 7=6,a 12=17,则S 16=A.120B.140C.160D.1804.设α,β是两个平面,m ,l 是两条直线,则下列命题为真命题的是A.若α⊥β,m ⎳α,l ⎳β,则m ⊥lB.若m ⊂α,l ⊂β,m ⎳l ,则α⎳βC.若α∩β=m ,l ⎳α,l ⎳β,则m ⎳lD.若m ⊥α,l ⊥β,m ⎳l ,则α⊥β5.甲、乙、丙等5人站成一排,且甲不在两端,乙和丙之间恰有2人,则不同排法共有A.20种B.16种C.12种D.8种6.已知Q 为直线l :x +2y +1=0上的动点,点P 满足QP =1,-3 ,记P 的轨迹为E ,则A.E 是一个半径为5的圆B.E 是一条与l 相交的直线C.E 上的点到l 的距离均为5D.E 是两条平行直线7.已知θ∈3π4,π,tan2θ=-4tan θ+π4 ,则1+sin2θ2cos 2θ+sin2θ=A.14 B.34 C.1 D.328.设双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1,F 2,过坐标原点的直线与C 交于A ,B 两点,F 1B =2F 1A ,F 2A ⋅F 2B =4a 2,则C 的离心率为A.2B.2C.5D.7二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。

2021年河南省高考数学适应性练习试卷(理科)

2021年河南省高考数学适应性练习试卷（理科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|1<x<4}，B={x|x2−2x−3≥0}，则A∩B等于()A. (−1,1]B. (−∞,−1]∪(1，+∞)C. [3,4)D. (−∞,−1]∪[3,+∞)2.已知复数z满足z=61+i，则|z|=()A. √2B. 2√2C. 3D. 3√23.已知向量a⃗=(1,3)，b⃗ =(m,4)，且b⃗ ⊥(2a⃗−b⃗ )，则m的值为()A. −2B. 2C. 4D. −2或44.如图，一个四棱柱形容器中盛有水，在底面ABCD中，AB//CD，AB=3，CD=1，侧棱AA1=4，若侧面AA1B1B水平放置时，水面恰好过AD，BC，B1C1，A1D1的中点，那么当底面ABCD水平放置时，水面高为()A. 2B. 52C. 3 D. 725.已知1+sin2α2cos2α+sin2α=2，则tan2α=()A. −34B. −43C. 34D. 436.魔方又叫鲁比克方块(Rubk′s Cube)，是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克⋅艾尔内于1974年发明的机械益智玩具，与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议.三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得.现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个，恰好抽到边缘方块的概率为()A. 29B. 827C. 49D. 127. 已知点F 是抛物线E ：y 2=2px(p >0)的焦点，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线E 上的两点，满足|FA|+|FB|=10，FA⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FO ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则p =( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 48. 定义在(−1,1)上的函数f(x)满足f(x)=g(x)−g(−x)+2，对任意的x 1，x 2∈(−1,1)，x 1≠x 2，恒有[f(x 1)−f(x 2)](x 1−x 2)>0，则关于x 的不等式f(3x +1)+f(x)>4的解集为( )A. (−14,+∞)B. (−14,0)C. (−∞,−14)D. (−23,0)9. 已知长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是DD 1的中点，则三棱锥B 1−C 1EC的外接球的表面积为( )A. 12πB. 20πC. 24πD. 32π10. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线的渐近线交于点A(A 在第一象限内)，以OA 为直径的圆与双曲线的另一条渐近线交于点B ，若BF//OA ，则双曲线C 的离心率为( )A. 2√33B. √2C. √3D. 211. 设f(x)=asin2x +bcos2x ，其中a >0，b >0，若f(x)≤|f(π6)|对任意的x ∈R 恒成立，则下列说法正确的是( )A. |f(7π10)|<|f(π5)|B. 对任意的x ∈R 有f(x)+f(5π6−x)=0成立 C. f(x)的单调递增区间是[kπ+π6,kπ+2π3](k ∈Z) D. 存在经过点(a,b)的直线与函数f(x)的图象不相交12. 若存在实数x ，y 满足lnx −x +3≥e y +e −y ，则x +y =( )A. −1B. 0C. 1D. e二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设x ，y 满足{x +y ≥02x −y ≤1x −2y ≥−2，则x −y 的最小值是______ ，最大值是______ ．14. 曲线y =lnx +ax 与直线y =2x −1相切，则a = ______ ．15. 过点P(2,√3)作圆C ：x 2+y 2−2x =0的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．16.如图所示，在平面四边形ABCD中，AB⊥BD，AB=BD，BC=CD，AD=2，在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若c2=2abcosC，则△ACD的面积为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设{a n}是各项都为正的单调递增数列，已知a1=4，且a n满足关系式：a n+1+a n=4+2√a n+1a n，n∈N∗．(1)求{a n}的通项公式；(2)若b n=1，求数列{b n}的前n项和S n．a n−118.现有两个全等的等腰直角三角板，直角边长为2，将它们的一直角边重合，若将其中一个三角板沿直角边折起形成三棱锥A−BCD，如图所示，其中∠ABD=60°，点E，F，G分别是AC，BC，AB的中点．(1)求证：EF⊥平面CDG；(2)求二面角F−AE−D的余弦值．19. 为了促进电影市场快速回暖，各地纷纷出台各种优惠措施.某影院为回馈顾客，拟通过抽球兑奖的方式对观影卡充值满200元的顾客进行减免，规定每人在装有6个白球、2个红球的抽奖箱中有放回的抽球，每次抽取一个，最多抽取3次.已知抽出1个白球减10元，抽出1个红球减30元，如果前两次减免之和超过30元即停止抽奖，否则抽取第三次． (1)求某顾客所获得的减免金额为40元的概率； (2)求某顾客所获得的减免金额X 的分布列及数学期望．20. 设椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，O 为坐标原点，点A(4,0)是x 轴上一定点，已知椭圆的长轴长等于|OA|，离心率为√32．(1)求椭圆的方程；(2)直线l ：y =kx +t 与椭圆C 交于两个不同点M ，N ，已知M 关于y 轴的对称点为M′，N 关于原点O 的对称点为N′，若M′，N′满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ′+μON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ′(λ+μ=1)，求证：直线l 经过定点．21. 已知函数f(x)=ax 2e x+12x 2−2x(a ∈R)(e =2.71828…是自然对数的底数)．(1)若f(x)在x ∈(0,2)内有两个极值点，求实数a 的取值范围；(2)a =1时，讨论关于x 的方程[f(x)−12x 2+2x]1xe x +b =|lnx|(b ∈R)的根的个数．22. 已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα(α为参数)以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(sinθ+cosθ)=1． (1)求圆C 普通方程和直线l 直角坐标方程；(2)点P 极坐标为(1,π2)，设直线l 与圆C 的交点为A ，B 两点A ，B 中点为Q ，求线段PQ 的长．23. 已知函数f(x)=b|x|+|x −a|(a >0)．(1)当b =1，a =2时，解不等式f(x)≤5；(2)当b =2时，若不等式f(x)≥3对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵B={x|x≤−1或x≥3}，A={x|1<x<4}，∴A∩B=[3,4)．故选：C．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法和区间的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：因为z=61+i =6(1−i)(1+i)(1−i)=62(1−i)=3−3i，所以|z|=3√2，故选：D．根据复数的运算性质求出复数的模即可．本题考查了复数的运算，考查复数求模问题，是基础题．3.【答案】D【解析】解：根据题意，得2a⃗−b⃗ =(2−m,2)，由b⃗ ⊥(2a⃗−b⃗ )，得m(2−m)+8=0，解得m=−2或m=4，故选：D．由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积公式，求得m的值．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量数量积公式，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：设四棱柱的底面梯形的高为2a，AD，BC的中点分别为F，E，所求的水面高为h，则水的体积V 水=S 四边形ABEF ⋅AA 1=(2+3)a 2⋅4=S 四边形ABCD ⋅ℎ=(1+3)⋅2a2⋅ℎ，所以ℎ=52，故选：B ．利用等体积法，转化求解水的高度即可．本题考查几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．5.【答案】A【解析】解：因为1+sin2α2cos 2α+sin2α=1+2sinαcosα2cos 2α+2sinαcosα=(sinα+cosα)22cosα(sinα+cosα)=sinα+cosα2cosα=12tanα+12=2，所以，tanα=3，从而可得tan2α=2tanα1−tan 2α=61−9=−34，故选：A ．由题意利用三角恒等变换，二倍角公式，化简所给的式子，可得结果．本题主要考查三角恒等变换，二倍角公式，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：沿等分线把正方体切开得到同样大小的小正方体共有27个，其中有3个面涂色的小正方体共有8个，只有2个面涂色的小正方体共有12个，只有1个面涂色的小正方体共有6个，所以恰好抽到只有2个面有色的小正方体的概率为1227=49．故选：C ．沿等分线把正方体切开得到同样大小的小正方体共有27个，其中有3个面涂色的小正方体共有8个，只有2个面涂色的小正方体共有12个，只有1个面涂色的小正方体共有6个，由此能求出恰好抽到只有2个面有色的小正方体的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．7.【答案】D【解析】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则|FA|+|FB|=x 1+p2+x 2+p2=x 1+x 2+p =10，① 由FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FO ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，知FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+x 2−3p 2,y 1+y 2)=0⃗ ，所以x 1+x 2=3p 2，②联立①②解得p =4，故选：D ．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，利用抛物线的性质以及FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FO ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，求解p ，即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．8.【答案】B【解析】解：对任意的x 1，x 2∈(−1,1)，x 1≠x 2，恒有[f(x 1)−f(x 2)](x 1−x 2)>0，所以f(x)是增函数，设ℎ(x)=f(x)−2=g(x)−g(−x)，则ℎ(x)为奇函数，且在(−1,1)上为增函数，所以不等式f(3x +1)+f(x)>4，等价于f(3x +1)−2+f(x)−2>0，即ℎ(3x +1)+ℎ(x)>0，亦即ℎ(3x +1)>−ℎ(x)=ℎ(−x)，可得{−1<3x +1<1−1<x <13x +1>−x ，解得−14<x <0，故选：B ．设ℎ(x)=f(x)−2=g(x)−g(−x)，判断ℎ(x)为奇函数，且在(−1,1)上为增函数，推出ℎ(3x +1)>−ℎ(x)=ℎ(−x)，列出不等式组，求解x 的范围即可．本题考查抽象函数的应用，函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，是中档题．9.【答案】B【解析】解：如图，因为在三棱锥B 1−C 1EC 中，B 1C 1⊥平面C 1EC 且△C 1EC 为直角三角形，所以外接球球心是B 1C 的中点，不妨设球的半径为R ，则2R =√4+16=√20，所以球的表面积S =4πR 2=20π．故选：B ．画出图形，利用已知条件求解几何体的外接球的半径，然后求解表面积即可．本题考查空间几何体的外接球的表面积的求法，求解外接球的半径是解题的关键，是中档题．10.【答案】A【解析】解：如图，因为AF⊥OF，所以点F在圆上，又BF//OA，F是AC的中点，所以∠AOF=∠OFB，而∠AOF=∠BOF，所以△OBF是等腰三角形，|OA|=2|OB|=2|BF|=2|AF|，所以∠AOF=30°，所以ba =tan30°=√33，所以e=√1+(ba )2=2√33，故选：A．画出图形，结合AF⊥OF，推出△OBF是等腰三角形，然后转化求解三角形，推出离心率即可．本题考查双曲线与圆的位置关系的应用，双曲线的离心率的求法，是中档题．11.【答案】B【解析】解：f(x)=asin2x+bcos2x=√a2+b2sin(2x+φ)≤√a2+b2(tanφ=ba)，又|f(π6)|=|asinπ3+bcosπ3|=|√32a+12b|，由题意f(x)≤|f(π6)|对任意的x∈R恒成立，且a>0，b>0，所以√a2+b2≤√32a+12b对任意的x∈R恒成立，即a2+b2≤34a2+14b2+√32ab⇒a2+3b2≤2√3ab恒成立，由基本不等式可知a2+3b2=2√3ab，所以a2+3b2≥2√3ab，此时a=√3b>0，所以f(x)=√3bsin2x+bcos2x=2bsin(2x+π6)．对于A选项，|f(7π10)|=|2bsin47π30|=2bsin13π30，|f(π5)|=|2bsin17π30|=2bsin13π30，所以|f(7π10)|=|f(π5)|，故A错误；对于B选项，因为f(x)=2bsin(2x+π6)，所以不妨令2x+π6=kπ,k∈Z，解得x=−π12+kπ2,k∈Z，当k=1时，x=5π12，所以(5π12,0)是f(x)的对称中心，故B正确；对于C选项，由2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2,k∈Z，知kπ−π3≤x≤kπ+π6,k∈Z，故C不正确；对于D选项，由题知a=√3b>0，要使经过点(a,b)的直线与函数f(x)的图象不相交，则此直线与横轴平行，又f(x)的振幅为2b>b，所以直线必与f(x)的图象有交点，故D不正确．故选：B．利用已知条件，通过不等式恒成立求解函数的解析式，通过函数的值比较大小判断A；利用函数的对称性判断B；函数的单调性判断C；判断函数的最值判断D的正误．本题考查命题的真假的判断，函数的单调性以及三角函数的最值的求法，函数的解析式的求法与应用，是中档题．12.【答案】C【解析】解：令f(x)=lnx−x+3，则f′(x)=1x −1=1−xx，所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，所以f(x)max=f(1)=ln1−1+3=2，令g(y)=e y+e−y，则e y+e−y≥2，当且仅当y=0时取等号，又lnx−x+3≥e y+e−y，所以lnx−x+3=e y+e−y=2，所以x=1，y=0，x+y=1，故选：C．令f(x)=lnx−x+3，求出函数的导数，根据函数的单调性求出f(x)的最大值，令g(y)=e y+e−y，根据基本不等式的性质求出x+y的值即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查转化思想，是中档题．13.【答案】−432 3【解析】解：不等式组满足的平面区域为阴影部分所示区域，联立{x −2y =−2x +y =0，解得A(−23,23)，联立{2x −y =1x +y =0，解得B(13,−13)，令z =x −y ，化为y =x −z ，当y =x −z 经过点A(−23,23)时，z =x −y 取到最小值−43；当y =x −z 经过点B(13,−13)时，z =x −y 取到最大值23．故答案为：−43；23．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．14.【答案】1【解析】解：设切点为P(x 0,y 0)，则y 0=lnx 0+ax 0，y 0=2x 0−1，① y =lnx +ax 的导数为y′=1x +a ，则切线的斜率k =f′(x 0)=1x 0+a =2，②由①②解得x 0=1，a =1．故答案为：1．设切点为P(x 0,y 0)，求得函数y =lnx +ax 的导数，可得切线的斜率，由切点的坐标满足切线方程和曲线方程，可得x 0，y 0，a 的方程，解方程可得所求值．本题考查导数的运用：求切线的方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．15.【答案】32【解析】解：由x 2+y 2−2x =0得(x −1)2+y 2=1，所以圆心C(1,0)，半径为1，点P(2,√3)所以|PC|=2,|PA|=|PB|=√3,∠APB =60°，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos60°=32．故答案为：32．求出圆的圆心与半径，求|PC|，然后利用向量的数量积求解即可．本题考查直线与圆的位置关系的应用，向量的数量积的求法与应用，是基础题．16.【答案】√22【解析】解：∵AB =BD ，AB ⊥BD ， ∴在等腰直角△ABD 中AD =√2AB =√2c ，在△ABC 中，由余弦定理得a 2+b 2−2abcosC =c 2，又已知c 2=2abcosC ， ∴a 2+b 2=2c 2，又∵a =BC =CD,b =AC,AD =√2c ， ∴AC 2+CD 2=AD 2， ∴AC ⊥CD ，作CF ⊥BD 分别交BD ，AD 于点F ，E ， ∵BC =CD ，E ，F 分别为线段AD ，BD 的中点， ∴∠CED =45°，CE =ED =1，∴S △ACD =2S △ECD =2×12×EC ×ED ×sin45°=√22．故答案为：√22．由已知利用勾股定理可求AD =√2AB =√2c ，由已知及余弦定理可得a 2+b 2=2c 2，结合题意可求AC 2+CD 2=AD 2，可得AC ⊥CD ，作CF ⊥BD 分别交BD ，AD 于点F ，E ，可求∠CED =45°，CE =ED =1，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了三角形中的几何计算，考查了勾股定理，余弦定理的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵a n+1+a n=4+2√a n+1a n,n∈N∗，∴a n+1+a n−2√a n+1a n=4，即(√a n+1−√a n)2=4，又{a n}是各项为正的单调递增数列，∴√a n+1−√a n=2，∴数列{√a n}是首项为2，公差为2的等差数列，∴√a n=2+2(n−1)=2n，∴a n=4n2；(2)由(1)可得：b n=1a n−1=14n2−1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，∴S n=b1+b2+⋯+b n=12(1−13)+12(13−15)+⋯+12(12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．【解析】(1)先由题设条件得到：√a n+1−√a n=2，进而说明数列{√a n}是首项为2，公差为2的等差数列，即可求得√a n，再求得a n即可；(2)先由(1)求得b n，再利用裂项相消法求得其前n项和即可．本题主要考查等差数列的定义及基本量的计算、裂项相消法在数列求和中的应用，属于中档题．18.【答案】解：(1)证明：根据已知得AD=BD，又G为AB的中点，所以DG⊥AB，(1分)因为AC=BC，G为AB的中点，所以CG⊥AB，(2分)又DG∩CG=G，DG⊂平面CDG，CG⊂平面CDG，所以AB⊥平面CDG.(3分)又因为AB//EF，所以EF⊥平面CDG.(4分)(2)因为CD⊥AD，CD⊥BD，所以CD⊥平面ABD，取BD中点H，连接AH，FH，则AH⊥平面BDC，又HF⊥BD，所以以H为原点，以HB，HF，HA所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，(5分)则A(0,0,√3),F(0,1,0),C(−1,2,0),E(−12,1,√32),D(−1,0,0)，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,1,−√32),AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−√3),AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,−√3). (6分) 设平面AEF 的法向量为n⃗ 1=(x 1,y 1,z 1)，则{n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12x 1+y 1−√32z 1=0n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =y 1−√3z 1=0，令z 1=1，得n ⃗ 1=(√3,√3,1). (8分) 设平面AED 的法向量为n⃗ 2=(x 2,y 2,z 2)，则{n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12x 2+y 2−√32z 2=0n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x 2−√3z 2=0令z 2=−1，得n ⃗ 2=(√3,0,−1). (10分) 所以cos〈n ⃗ 1,n ⃗ 2〉=2√7=√77，所以二面角F −AE −D 的余弦值为√77.(12分)【解析】(1)证明DG ⊥AB ，CG ⊥AB ，推出AB ⊥平面CDG.然后证明EF ⊥平面CDG ．(2)以H 为原点，以HB ，HF ，HA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面AEF 的法向量，平面AED 的法向量利用空间向量的数量积求解二面角F −AE −D 的余弦值即可．本题考查直线于平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，逻辑推理能力乙腈计算能力，是中档题．19.【答案】解：(1)若顾客所获得的减免金额为40元，则第一次抽白球、第二次抽红球或第一次抽红球、第二次抽白球．求得顾客所获得的减免金额为40元的概率为P =68×28+28×68=2464=38． (2)某顾客所获得的减免金额X 可能为30，40，50，60． P(X =30)=68×68×68=2764，P(X =40)=68×28+28×68=2464=38， P(X =50)=68×68×28=964， P(X =60)=28×28=116．所以X 的分布列为E(X)=30×2764+40×38+50×964+60×116=61516．所以某顾客所获得的减免金额的数学期望为61516．【解析】(1)由题意可以对减免的情况进行分类即可得出结果；(2)由题意减免的金额X可能取值为30，40，50，60，分别计算出对应的概率即可得出结论．本题考查了统计与概率，互斥事件的概率，学生的运算能力，属于基础题．20.【答案】解：(1)由题意得，a=2,c=√3，所以b2=a2−c2=1.(3分)所以椭圆C的方程为x24+y2=1.(4分)(2)证明：设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则M′(−x1,y1)，N′(−x2,−y2)，k AM′=y1−x1−4,k AN′=y24+x2．所以y1x1+4+y24+x2=y1(x2+4)+y2(x1+4)(x1+4)(x2+4)=0，整理得2kx1x2+(t+4k)(x1+x2)+8t=0.①(7分)由y=kx+t代入x24+y2=1，得(1+4k2)x2+8ktx+4t2−4=0，(8分)则x1+x2=−8kt1+4k2,x1x2=4t2−41+4k2.(9分)代入①整理得t=k，(11分)所以直线l的方程为y=kx+k，即直线l恒过定点(−1,0).(12分)【解析】(1)利用已知条件求解a，结合离心率求解c，求出b，得到椭圆方程．(2)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则M′(−x1,y1)，N′(−x2,−y2)，通过直线与椭圆联立，结合韦达定理，推出直线系方程，得到定点坐标即可．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，是难题．21.【答案】解：(1)由题意可求得f′(x)=a(2x−x2)e x +x−2=(x−2)(e x−ax)e x，因为f(x)在x∈(0,2)内有两个极值点，所以f′(x)=0在x∈(0,2)内有两个不相等的变号根，即e x−ax=0在x∈(0,2)上有两个不相等的变号根，设g(x)=e x−ax，则g′(x)=e x−a，①当a≤0时，x∈(0,2)，g′(x)=e x−a>0，所以g(x)在(0,2)上单调递增，不符合条件；②当a>0时，令g′(x)=e x−a=0得x=lna，当lna≥2，即a≥e2时，x∈(0,2)，g′(x)=e x−a<0，所以g(x)在(0,2)上单调递减，不符合条件，当lna≤0，即0<a≤1时，x∈(0,2)，g′(x)=e x−a>0，所以g(x)在(0,2)上单调递增，不符合条件，当0<lna<2，即1<a<e2时，g(x)在(0,lna)上单调递减，(lna,2)上单调递增，若要e x−ax=0在x∈(0,2)上有两个不相等的变号根，则g(0)>0且g(2)>0且g(lna)<0且0<lna<2，解得e<a<e22；综上所述，a的取值范围是(e,e22)；(2)设ℎ(x)=|lnx|−[f(x)−12x2+2x]1xe x−b=|lnx|−xe2x−b,x∈(0,+∞)，令y=xe2x ，则y′=1−2xe2x，所以y=xe2x在(0,12)上单调递增，在(12,+∞)上单调递减，(ⅰ)当x∈(1,+∞)时，lnx>0，则ℎ(x)=lnx−xe2x −b，所以ℎ′(x)=e−2x(e2xx+2x−1)，因为2x−1>0,e2xx>0，所以ℎ′(x)>0，因此ℎ(x)在(1,+∞)上单调递增，(ⅰ)当x∈(0,1)时，lnx<0，则ℎ(x)=−lnx−xe2x −b，所以ℎ′(x)=e−2x(−e2xx+2x−1)，因为e2x∈(1,e2)，e2x>1>x>0，2x−1<1，所以ℎ′(x)=e−2x(−e2xx+2x−1)<0，因此ℎ(x)在(0,1)上单调递减，综合(ⅰ)(ⅰ)可知，当x∈(0,+∞)时，ℎ(x)≥ℎ(1)=−e−2−b，当ℎ(1)=−e−2−b>0，即b<−e−2时，ℎ(x)没有零点，故关于x的方程根的个数为0，当ℎ(1)=−e−2−b=0，即b=−e−2时，ℎ(x)只有一个零点，故关于x的方程根的个数为1，当ℎ(1)=−e−2−b<0，即b>−e−2时，①当x∈(1,+∞)时，ℎ(x)=lnx−xe2x −b>lnx−(12e−1+b)>lnx−1−b，要使ℎ(x)>0，可令lnx−1−b>0，即x∈(e1+b,+∞)；②当x∈(0,1)时，ℎ(x)=−lnx−xe −b≥−lnx−(12e−1+b)>−lnx−1−b，要使ℎ(x)>0，可令−lnx−1−b>0，即x∈(0,e−1−b)，所以当b >−e −2时，ℎ(x)有两个零点，故关于x 的方程根的个数为2；综上所述：当b =−e −2时，关于x 的方程根的个数为0，当b =−e −2时，关于x 的方程根的个数为1，当b >−e −2时，关于x 的方程根的个数为2．【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的极值点的个数，从而确定a 的取值范围(2)设ℎ(x)=|lnx|−[f(x)−12x 2+2x]1xe x −b =|lnx|−xe 2x −b,x ∈(0,+∞)，令y =xe 2x ，通过讨论b 的范围，求出方程根的个数即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及方程根的情况，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．22.【答案】解：(1)由{x =2+2cosαy =2sinα(α为参数)，消去参数α，可得圆C 普通方程为(x −2)2+y 2=4，由ρ(sinθ+cosθ)=1，结合x =ρcosθ，y =ρsinθ，可得直线l 直角坐标方程为x +y −1=0． (2)由点P 极坐标为(1,π2)，得点P 直角坐标为(0,1)，设直线l 的参数方程为{x =−√22ty =1+√22t ，代入圆普通方程得t 2+3√2t +1=0，设A ，B 对应参数为t 1，t 2，则Q 对应的参数为t 1+t 22，故|PQ|=|t 1+t 22|=3√22．【解析】(1)把圆C 的参数方程中的参数消去，可得圆C 的普通方程，结合极坐标与直角坐标的互化公式，可得直线l 的直角坐标方程；(2)求出P 的直角坐标，写出直线l 的标准参数方程，代入圆C 的普通方程，化为关于t 的一元二次方程，再由根与系数的关系结合参数t 的几何意义求解．本题简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是中档题．23.【答案】解：(1)当b =1，a =2时，不等式f(x)≤5即为|x|+|x −2|≤5，当x ≥2时，可得x +(x −2)≤5，解得x ≤72，则2≤x ≤72；当0<x <2时，可得x −(x −2)≤5，即2≤5，所以0<x <2；当x ≤0时，可得−x −(x −2)≤5，解得x ≥−32，则−32≤x ≤0．综上可得，原不等式的解集为[−32,72]．(2)当b =2时，若不等式f(x)≥3对任意的x ∈R 恒成立，即为f(x)min ≥3，又f(x)={3x −a,x ≥ax +a,0<x <a a −3x,x ≤0，当x ≥a 时，f(x)≥f(a)=2a ；当0<x <a 时，a <f(x)<2a ；当x ≤0时，f(x)≥a ．故f(x)min =a ，则a ≥3，即a 的取值范围是[3,+∞)．【解析】(1)利用绝对值的定义，对x 的取值进行分类讨论，分别求解不等式即可；(2)利用绝对值的定义将函数f(x)转化为分段函数，然后将不等式恒成立转化为求解函数f(x)的最小值，分段求解即可得到f(x)的最小值，从而得到a 的取值范围．本题考查了含有绝对值的函数的应用，这类问题一般都是利用绝对值的定义去掉绝对值，转化为分段函数问题进行研究，同时要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．。

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2017年河南省普通高中高考数学适应性试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，B={x|lg（x﹣2）≤1}，则（∁R A）∪B=（）A．（﹣1，12）B．（2，3） C．（2，3]D．[﹣1，12]2．（5分）欧拉（Leonhard Euler，国籍瑞士）是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他发明的公式e ix=cosx+isinx（i为虚数单位），将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式在复变函数理论中占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e﹣4i表示的复数在复平面中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）下列命题正确的是（）A．∃x0∈R，sinx0+cosx0=B．∀x≥0且x∈R，2x＞x2C．已知a，b为实数，则a＞2，b＞2是ab＞4的充分条件D．已知a，b为实数，则a+b=0的充要条件是=﹣14．（5分）已知圆O：x2+y2=4（O为坐标原点）经过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴端点和两个焦点，则椭圆C的标准方程为（）A．+=1 B．+=1C．+=1 D．+=15．（5分）已知等差数列{a n}满足a1=1，a n+2﹣a n=6，则a11等于（）A．31 B．32 C．61 D．626．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3 B．C．D．7．（5分）已知函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m等于（）A．0 B．2 C．4 D．88．（5分）如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a，b的值分别是21，28，则输出a的值为（）A．14 B．7 C．1 D．09．（5分）已知函数y=x+1+lnx在点A（1，2）处的切线l，若l与二次函数y=ax2+（a+2）x+1的图象也相切，则实数a的取值为（）A．12 B．8 C．0 D．410．（5分）已知△ABC的三个顶点的坐标为A（0，1），B（1，0），C（0，﹣2），O为坐标原点，动点M满足||=1，则|++的最大值是（）A．B．C．﹣1 D．﹣111．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P是双曲线在第一象限内的点，直线PO，PF2分别交双曲线C的左、右支于另一点M，N，若|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=120°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）定义在R上的函数f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=4（1﹣|x﹣1|），且对于任意实数x∈[2n﹣2，2n+1﹣2]（n∈N*，n≥2），都有f（x）=f（﹣1）．若g（x）=f（x）﹣log a x有且只有三个零点，则a的取值范围是（）A．[2，10] B．[，]C．（2，10）D．[2，10）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知实数x，y满足条件若目标函数z=2x+y的最小值为3，则其最大值为．14．（5分）设二项式展开式中的常数项为a，则的值为．15．（5分）已知A，B，C是球O的球面上三点，且为该球面上的动点，球心O到平面ABC的距离为球半径的一半，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为．16．（5分）已知函数f n（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n，且f n（﹣1）=（﹣1）n n，n ∈N*，设函数g（n）=，若b n=g（2n+4），n∈N*，则数列{b n}的前n（n≥2）项和S n等于．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx），函数f（x）=•﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，tanB=，对任意满足条件的A，求f（A）的取值范围．18．（12分）某品牌的汽车4S店，对最近100例分期付款购车情况进行统计，统计结果如表所示，已知分9期付款的频率为0.4；该店经销一辆该品牌的汽车．若顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为2万元；分12期付款，其利润为3万元．（1）若以表中计算出的频率近似替代概率，从该店采用分期付款购车的顾客（数量较大）中随机抽取3位顾客，求事件A：“至多有1位采用分6期付款”的概率P（A）；（2）按分层抽样的方式从这100位顾客中抽出5人，再从抽出的5人中随机抽取3人，记该店在这3人身上赚取的总利润为随机变量η，求η的分布列及数学期望E（η）．19．（12分）如图所示，已知长方体ABCD中，为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得AD⊥BM．（1）求证：平面ADM⊥平面ABCM；（2）是否存在满足的点E，使得二面角E﹣AM﹣D为大小为．若存在，求出相应的实数t；若不存在，请说明理由．20．（12分）设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3．（1）求抛物线的标准方程；（2）设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点，连结QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PR恰与抛物线相切时，求直线m的方程．21．（12分）已知函数．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若﹣1＜x＜1时，均有f（x）≤0成立，求实数a的取值范围．四、请考生在第22、23两题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．4-4坐标系与参数方程22．（10分）在平面直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ﹣4sinθ．（1）化曲线C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）设曲线C2与x轴的一个交点的坐标为P（m，0）（m＞0），经过点P作斜率为1的直线，l交曲线C2于A，B两点，求线段AB的长．五、4-5不等式选讲23．已知f（x）=|2x﹣1|+x+的最小值为m．（1）求m的值；（2）已知a，b，c是正实数，且a+b+c=m，求证：2（a3+b3+c3）≥ab+bc+ca﹣3abc．2017年河南省普通高中高考数学适应性试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2017•河南模拟）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，B={x|lg（x﹣2）≤1}，则（∁R A）∪B=（）A．（﹣1，12）B．（2，3） C．（2，3]D．[﹣1，12]【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}={x|x＜﹣1或x＞3}∴∁R A={x|﹣1≤x≤3}=[﹣1，3]∵B={x|lg（x﹣2）≤1}，∴，解得2＜x≤12，∴B=（2，12]∴（∁R A）∪B=[﹣1，12]故选：D．2．（5分）（2017•河南模拟）欧拉（Leonhard Euler，国籍瑞士）是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他发明的公式e ix=cosx+isinx（i为虚数单位），将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式在复变函数理论中占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e﹣4i 表示的复数在复平面中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：e﹣4i=cos（﹣4）+isin（﹣4），∵cos（﹣4）=cos[π+（4﹣π）]=﹣cos （4﹣π）＜0，sin（﹣4）=﹣sin[π+（4﹣π）]=sin（4﹣π）＞0，∴e﹣4i表示的复数在复平面中位于第二象限．故选：B．3．（5分）（2017•许昌二模）下列命题正确的是（）A．∃x0∈R，sinx0+cosx0=B．∀x≥0且x∈R，2x＞x2C．已知a，b为实数，则a＞2，b＞2是ab＞4的充分条件D．已知a，b为实数，则a+b=0的充要条件是=﹣1【解答】解：对于A，∀x∈R，sinx+cosx=sin（x+）≤＜正确，∴该命题的否定是假命题，A错误；对于B，当x=2时，2x=x2=4，∴B错误；对于C，a，b为实数，当a＞2，b＞2时，ab＞4，充分性成立，是充分条件，C正确；对于D，a，b为实数，a+b=0时，若a=b=0，则=﹣1不成立，∴不是充要条件，D错误．故选：C．4．（5分）（2017•许昌二模）已知圆O：x2+y2=4（O为坐标原点）经过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴端点和两个焦点，则椭圆C的标准方程为（）A．+=1 B．+=1C．+=1 D．+=1【解答】解：∵圆O：x2+y2=4（O为坐标原点）经过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴端点和两个焦点，∴b=2，c=2，则a2=b2+c2=8．∴椭圆C的标准方程为：，故选：B5．（5分）（2017•许昌二模）已知等差数列{a n}满足a1=1，a n+2﹣a n=6，则a11等于（）A．31 B．32 C．61 D．62【解答】解：∵等差数列{a n}满足a1=1，a n+2﹣a n=6，∴a3=6+1=7，a5=6+7=13，a7=6+13=19，a9=6+19=25，a11=6+25=31．故选：A．6．（5分）（2017•许昌二模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3 B．C．D．【解答】解：由三视图可得，几何体为底面为正视图，高为的四棱锥，体积为=，故选B．7．（5分）（2017•许昌二模）已知函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m等于（）A．0 B．2 C．4 D．8【解答】解：f（x）==2+，设g（x）=，∴g（﹣x）=﹣g（x），∴g（x）为奇函数，∴g（x）max+g（x）min=0∵M=f（x）max=2+g（x）max，m=f（x）min=2+g（x）min，∴M+m=2+g（x）max+2+g（x）min=4，故选：C8．（5分）（2017•许昌二模）如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a，b的值分别是21，28，则输出a的值为（）A．14 B．7 C．1 D．0【解答】解：由a=21，b=28，不满足a＞b，则b变为28﹣21=7，由b＜a，则a变为21﹣7=14，由b＜a，则a变为14﹣7=7，由a=b=7，则输出的a=7．故选：B．9．（5分）（2017•许昌二模）已知函数y=x+1+lnx在点A（1，2）处的切线l，若l与二次函数y=ax2+（a+2）x+1的图象也相切，则实数a的取值为（）A．12 B．8 C．0 D．4【解答】解：y=x+1+lnx的导数为y′=1+，曲线y=x+1+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，则曲线y=x+1+lnx在x=1处的切线方程为y﹣2=2x﹣2，即y=2x．由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x，得ax2+ax+1=0，又a≠0，两线相切有一切点，所以有△=a2﹣4a=0，解得a=4．故选：D．10．（5分）（2017•许昌二模）已知△ABC的三个顶点的坐标为A（0，1），B（1，0），C（0，﹣2），O为坐标原点，动点M满足||=1，则|++的最大值是（）A．B．C．﹣1 D．﹣1【解答】解：设点M的坐标是（x，y），∵C（0，﹣2），且||=1，∴，则x2+（y+2）2=1，即动点M的轨迹是以C为圆心、1为半径的圆，∵A（0，1），B（1，0），∴++=（x+1，y+1），则|++|=，几何意义表示：点M（x，y）与点A（﹣1，﹣1）之间的距离，即圆C上的点与点A（﹣1，﹣1）的距离，∵点A（﹣1，﹣1）在圆C外部，∴|++|的最大值是|AC|+1=+1=，故选A．11．（5分）（2017•许昌二模）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P是双曲线在第一象限内的点，直线PO，PF2分别交双曲线C的左、右支于另一点M，N，若|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=120°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，|PF1|=2|PF2|，由双曲线的定义可得，|PF1|﹣|PF2|=2a，可得|PF1|=4a，|PF2|=2a，由四边形PF1MF2为平行四边形，又∠MF2N=120°，可得∠F1PF2=120°，在三角形PF1F2中，由余弦定理可得4c2=16a2+4a2﹣2•4a•2a•cos120°，即有4c2=20a2+8a2，即c2=7a2，可得c=a，即e==．故选B．12．（5分）（2017•许昌二模）定义在R上的函数f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=4（1﹣|x﹣1|），且对于任意实数x∈[2n﹣2，2n+1﹣2]（n∈N*，n≥2），都有f （x）=f（﹣1）．若g（x）=f（x）﹣log a x有且只有三个零点，则a的取值范围是（）A．[2，10] B．[，]C．（2，10）D．[2，10）【解答】解：当x∈[0，2]时，f（x）=4（1﹣|x﹣1|），当n=2时，x∈[2，6]，此时﹣1∈[0，2]，则f（x）=f（﹣1）=×4（1﹣|﹣1﹣1|）=2（1﹣|﹣2|），当n=3时，x∈[6，14]，此时﹣1∈[2，6]，则f（x）=f（﹣1）=×2（1﹣|﹣|）=1﹣|﹣|，由g（x）=f（x）﹣log a x=0，得f（x）=log a x，分别作出函数f（x）和y=log a x的图象，若0＜a＜1，则此时两个函数图象只有1个交点，不满足条件．若a＞1，当对数函数图象经过A时，两个图象只有2个交点，当图象经过点B 时，两个函数有4个交点，则要使两个函数有3个交点，则对数函数图象必须在A点以下，B点以上，∵f（4）=2，f（10）=1，∴A（4，2），B（10，1），即满足，即，解得，即2＜a＜10，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2017•许昌二模）已知实数x，y满足条件若目标函数z=2x+y的最小值为3，则其最大值为7．【解答】解：目标函数z=2x+y的最小值为3，∴y=﹣2x+z，要使目标函数z=﹣2x+y的最小值为3，作出不等式组对应的平面区域如图：则目标函数经过点A截距最小，由，解得A（2，﹣1），同时A也在直线﹣2x+y+m=0，解得m=5，目标函数z=2x+y经过B时取得最大值由，解得B（3，1），z的最大值为：7．故答案为：7．14．（5分）（2017•许昌二模）设二项式展开式中的常数项为a，则的值为﹣．【解答】解：二项式展开式中的通项公式：T r==（﹣1）+1r ．令6﹣=0，解得r=4．∴常数项a==15，则=cos3xdx==﹣．故答案为：﹣．15．（5分）（2017•许昌二模）已知A，B，C是球O的球面上三点，且为该球面上的动点，球心O到平面ABC的距离为球半径的一半，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为．【解答】解：如图，在△ABC中，∵，∴由余弦定理可得cosA=，则A=120°，∴sinA=．设△ABC外接圆的半径为r，则，得r=3．设球的半径为R，则，解得．∵，∴三棱锥D﹣ABC体积的最大值为．故答案为：．16．（5分）（2017•许昌二模）已知函数f n（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n，且f n（﹣1）=（﹣1）n n，n∈N*，设函数g（n）=，若b n=g（2n+4），n ∈N*，则数列{b n}的前n（n≥2）项和S n等于2n+n﹣1．【解答】解：由函数g（n）=，可得b n=g（2n+4）=g（2n﹣1+2）=g（2n﹣2+1）=a，由函数f n（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n，且f n（﹣1）=（﹣1）n n，可得﹣a1+a2﹣a3+…+a n（﹣1）n=（﹣1）n n，①n=1时，﹣a1=﹣1，可得a1=1；n≥2时，﹣a1+a2﹣a3+…+a n﹣1（﹣1）n﹣1=（﹣1）n﹣1（n﹣1），②①﹣②可得a n（﹣1）n=（﹣1）n n﹣（﹣1）n﹣1（n﹣1），化简可得a n=2n﹣1，对n=1也成立．则b n=a=2n﹣1+1，则数列{b n}的前n（n≥2）项和S n等于（1+2+4+…+2n﹣1）+n=+n=2n+n﹣1．故答案为：2n+n﹣1．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2017•许昌二模）已知向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx），函数f（x）=•﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，tanB=，对任意满足条件的A，求f（A）的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx），函数f（x）=•﹣1．则f（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x）由，解得：≤x≤，（k∈Z）．故得函数f（x）的单调递减区间为[，]，（k∈Z）（Ⅱ）由tanB=，即：，∵cosB=∴sinB=．又∵△ABC是锐角，∴B=．则＜A＜由（Ⅰ）可知f（A）=2sin（2A）那么：2A∈（，）则sin（2A）∈（，1）故得f（A）的取值范围是（﹣1，2）18．（12分）（2017•许昌二模）某品牌的汽车4S店，对最近100例分期付款购车情况进行统计，统计结果如表所示，已知分9期付款的频率为0.4；该店经销一辆该品牌的汽车．若顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为2万元；分12期付款，其利润为3万元．（1）若以表中计算出的频率近似替代概率，从该店采用分期付款购车的顾客（数量较大）中随机抽取3位顾客，求事件A：“至多有1位采用分6期付款”的概率P（A）；（2）按分层抽样的方式从这100位顾客中抽出5人，再从抽出的5人中随机抽取3人，记该店在这3人身上赚取的总利润为随机变量η，求η的分布列及数学期望E（η）．【解答】解：（1）由=0.4，得a=40，∵20+a+20+b=100，∴b=20记分期付款的期数为ξ，依题意得：P（ξ=3）==0.2，P（ξ=6）==0.2，P（ξ=9）==0.4，P（ξ=12）==0.2．则“购买该品牌汽车的3为顾客中至多有1位采用3期付款”的概率P（A）=+=0.896．（2）按分层抽样的方式从这100位顾客中抽出5人，则顾客分3期付款与分6期付款的各为1人，分9期付款的为2人，分12期付款为1人．则η的可能取值为5，6，7．P（η=5）=P（ξ=3）×P（ξ=6）×P（ξ=9）+P（ξ=3）×P（ξ=9）×P（ξ=9）=+=．P（η=6）=P（ξ=3）×P（ξ=6）×P（ξ=12）+P（ξ=6）×P（ξ=9）×P（ξ=9）+P （ξ=3）×P（ξ=9）×P（ξ=12）==，P（η=7）=P（ξ=6）×P（ξ=9）×P（ξ=12）+P（ξ=9）×P（ξ=9）×P（ξ=12）==．列表如下：所以η的数学期望E（η）=5×0.3+6×0.4+7×0.3=6（万元）．19．（12分）（2017•许昌二模）如图所示，已知长方体ABCD中，为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得AD⊥BM．（1）求证：平面ADM⊥平面ABCM；（2）是否存在满足的点E，使得二面角E﹣AM﹣D为大小为．若存在，求出相应的实数t；若不存在，请说明理由．【解答】证明：（1）∵长方形ABCD中，AB=2AD=2，M为DC的中点，∴AM=BM=2，AM2+BM2=AB2，∴BM⊥AM，∵AD⊥BM，AD∩AM=A，∴BM⊥平面ADM，又BM⊂平面ABCM，∴平面ADM⊥平面ABCM．解：（2）以M为原点，MA为x轴，MB为y轴，过M作平面ABCM的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（0，2，0），D（1，0，1），M（0，0，0），=（0，2，0），=（1，﹣2，1），==（t，2﹣2t，1），设平面AME的一个法向量为=（x，y，z），则，取y=t，得=（0，t，2t﹣2），由（1）知平面AMD的一个法向量=（0，1，0），∵二面角E﹣AM﹣D为大小为，∴cos===，解得t=或t=2（舍），∴存在满足的点E，使得二面角E﹣AM﹣D为大小为，相应的实数t的值为．20．（12分）（2017•许昌二模）设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB的中点到x 轴的距离是3．（1）求抛物线的标准方程；（2）设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点，连结QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PR恰与抛物线相切时，求直线m的方程．【解答】解：（1）设抛物线的方程为x2=2py（p＞0），准线方程为y=﹣，由抛物线的定义可得|AF|+|BF|=|AB|=2（3+）=8，解得p=2，即有抛物线的方程为x2=4y；（2）设直线PQ的方程为y=kx+6，代入抛物线的方程，可得x2﹣4kx﹣24=0，设P（x1，），Q（x2，），可得x1+x2=4k，x1x2=﹣24，由y=x2的导数为y′=x，设R（t，﹣1），可得k PR==x1，可得t=x1﹣，再由Q，F，R共线，可得=，消去t，可得=，即有16x1x2=4（x12+x22）﹣16﹣（x1x2）2，即有16×（﹣24）=4[（4k）2+2×24]﹣16﹣242，解方程可得k=±，即有直线m的方程为y=±x+6．21．（12分）（2017•许昌二模）已知函数．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若﹣1＜x＜1时，均有f（x）≤0成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）的定义域为（﹣1，1）∪（1，+∞），f′（x）=，当﹣1＜x＜0或＞3时，f′（x）＞0，当0＜x＜1或1＜x＜3，f′（x）＜0，所以函数f（x）的增区间为（﹣1，0），（3，+∞），减区间为（0，1），（1，3）（Ⅱ）f′（x）=，当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，故0＜x＜1时，f（x）＞f（0）=0，不符合题意．当a＞0时，由f′（x）=0，得x1=，x2=．若0＜a＜1，此时0＜x1＜1，对0＜x＜x1，有f′（x）＞0，f（x）＞f（0）=0，不符合题意．若a＞1，此时﹣1＜x1＜0，对x1＜x＜0，有f′（x）＜0，f（x）＞f（0）=0，不符合题意．若a=1，由（Ⅰ）知，函数f（x）在x=0处取得最大值0，符合题意，综上实数a的取值为1．四、请考生在第22、23两题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．4-4坐标系与参数方程22．（10分）（2017•许昌二模）在平面直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ﹣4sinθ．（1）化曲线C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）设曲线C2与x轴的一个交点的坐标为P（m，0）（m＞0），经过点P作斜率为1的直线，l交曲线C2于A，B两点，求线段AB的长．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为，消去参数可得：，表示焦点在y轴上的椭圆方程．曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ﹣4sinθ，可得ρ2=2ρcosθ﹣4ρsinθ，∴x2+y2=2x﹣4y，整理得（x﹣1）2+（y+2）2=5，表示以（1，﹣2）为圆心，半径r=5的圆．（2）曲线C2与x轴的一个交点的坐标为P（m，0）（m＞0），令y=0，解得x=2，∴P（2，0），可得直线l：y=x﹣2．将曲线C1的参数方程带入直线l可得：sinθ=2cosθ﹣2．整理可得：cos（）=，即θ=2kπ或，（k∈Z）．那么：A（2，0），B（﹣1，﹣3），∴|AB|=．五、4-5不等式选讲23．（2017•河南模拟）已知f（x）=|2x﹣1|+x+的最小值为m．（1）求m的值；（2）已知a，b，c是正实数，且a+b+c=m，求证：2（a3+b3+c3）≥ab+bc+ca﹣3abc．【解答】解：（1）当x≥时，f（x）=3x﹣递增，且f（x）≥﹣=1；当x＜时，f（x）=﹣x递减，且f（x）＞﹣=1；综上可得x=时，f（x）取得最小值1，即m=1；（2）证明：a，b，c是正实数，且a+b+c=1，由a3+b3﹣a2b﹣b2a=a2（a﹣b）+b2（b﹣a）=（a﹣b）（a2﹣b2）=（a+b）（a﹣b）2≥0，即有a3+b3﹣a2b﹣b2a≥0，即a3+b3≥a2b+b2a=ab（a+b）=ab（1﹣c）=ab﹣abc，可得a3+b3≥ab﹣abc，同理可得b3+c3≥bc﹣abc，c3+a3≥ca﹣abc，上面三式相加可得，2（a3+b3+c3）≥ab+bc+ca﹣3abc，当且仅当a=b=c=取得等号．参与本试卷答题和审题的老师有：whgcn；沂蒙松；742048；陈远才；zlzhan；lcb001；w3239003；双曲线；gongjy；铭灏2016；qiss；sxs123；左杰（排名不分先后）胡雯2017年4月7日。

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