数学人教版九年级上册图形中最短问题的解题策略(学生练习)

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人教版初中数学中考考点系统复习方法技巧微专题(八) 求几何最值的常见方法

考向2 两条线段和的最小值问题模型展示
P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得PN＋ MN最小.
要使PN＋MN最小，设法将PN，MN 转化在同一条直线上，作点P关于OB的对称点P'，即求P'N＋MN的最小值，因此只要P'M⊥OA，利用垂线段最短即可求解.
对点训练 9.如图，在矩形ABCD中，AD＝4，∠DAC＝30°，点P，E分别在AC，AD上，则
两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB的值最小. 将两定点同侧转化为异侧问题即可解决.可作点B关于l的对称点B'，连接AB'.
对点训练
B
C.2
D.4
考向2 异侧线段差最大值问题模型展示
两定点A，B位于直线l异侧，在直线上找一点P，使得｜PA－PB｜的值最大. 将异侧点转化为同侧点，即可解决.
对点训练 11.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E，F分别是AB，CD上的动点，且
EF⊥AC.连接EC，AF，则EC＋AF的最小值为 5 . ⁠
4
P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN 的周长最小.
要使△PMN的周长最小，即PM＋PN ＋MN的值最小.根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可.
对点训练 8.如图，∠AOB＝30°，M，N分别是射线OA，OB上的动点，OP平分∠AOB，且
OP＝5，则△PMN周长的最小值为 5 . ⁠
对点训练 7.如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于点A，B，交y轴于点C，在直线x＝1上有一
点D，使△ACD的周长最小，则点D的坐标为（1，－2） .在直线x＝1上有一 ⁠

初中几何中的最短路径与最值问题，快速解题思路及典型练习

初中几何中的最短路径与最值问题，快速解题思路及典型练习
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初中几何中最值问题的依据是:''两点之间,线段最短''、''垂线段最短''.在解决最值问题时,通常利用轴对称、平移等变换作出最值位置,从而把已知问题转化为容易解决的问题。

平面几何中最值问题综合性强、能力要求高.解题时要善于运用特殊与一般、转化、建模等数学思想，灵活运用特殊位置法、轴对称法、平移法、旋转法、构造三角形法、判别式法、配方法等各种数学方法，找到几何最值取得时的位置;或将问题转化成基本最短路径模型;或建立方程、函数模型，再求解。

两点在直线同侧的最短路径问题
给出一条直线，A、B两点在直线的同侧，要在直线上找到一个点，使这个点到A点和到B点的距离最短。

步骤：
①找到A（或B）关于直线的对称点P
②连接PB（PA）交直线于O，点O就是所要找的点
造桥选址问题
A、B在一条河的两岸，要在河上造一座桥MN，使A到B的路径AMNB最短。

步骤：
①作出河的宽度M′N′
②将M′N′平移，使M′向A点平移，N′向A′点平移，即AA′=M′N′
③连接A′B与河岸b交于N点
④过N点作直线a的垂线，垂足为M 。

则MN就是桥的位置.
涉及到两个动点的最短路径问题
给出一个正方形，已知两个定点和两个动点，
要在直线上找到这两个动点，使这四个点所围的四边形周长最小。

步骤：
①找到两个定点关于正方形的边的对称点，
②连接两个对称点，和正方形边的两边有两个交点。

③交点就是动点的位置
下面小编找了很多相关的练习，提供给老师、同学们去练习，只有见得多，练得多，才能熟能生巧哦！。

专题02 特殊平行四边形中的四种最值问题(解析版)-2024年常考压轴题攻略(9年级上册人教版)

专题02特殊平行四边形中的四种最值问题类型一、将军饮马（轴对称）型最值问题A ．5B ．【答案】B 【分析】作点E 关于BD 的对称点为∵E 关于BD 的对称点为'E ，∴'PE PE =，'BE BE =，∵正方形ABCD 的边长为2，点A．0B．3【答案】C【分析】要使四边形APQE的周长最小，由于在BC边上确定点P、Q的位置，可在与BC交于一点即为Q点，过A点作后过G点作BC的平行线交DC的延长线于长度．∵四边形ABCD 是矩形，∴8BC AD ==，90D Ð=°，∠QCE ＝90°，∵2PQ =，∴6DF AD AF =-=,∵点F 点关于BC 的对称点G ，∴FG AD⊥∴90DFG ∠=︒∴四边形FGHD 是矩形，∴GH ＝DF ＝6，∠H ＝90°,∵点E 是CD 中点，∴CE =2，∴EH ＝2+4＝6，∴∠GEH ＝45°，∴∠CEQ ＝45°，设BP ＝x ，则CQ ＝BC ﹣BP ﹣PQ ＝8﹣x ﹣2＝6﹣x ，在△CQE 中，∵∠QCE ＝90°，∠CEQ ＝45°，∴CQ ＝EC ，∴6﹣x ＝2，解得x ＝4．故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，是一道难度较大的题目，对学生提出了较高的要求．例3．如图，在矩形ABCD 中，26AB AD ==,，O 为对角线AC 的中点，点P 在AD 边上，且2AP =，点Q【答案】210【分析】①连接PO并延长交BC 明四边形APHB是矩形可得AB②过点O作关于BC的对称点PQ OQ+的最小值为PO'的长度，延长∵GO AD'⊥，点O是AC的中点，∴132AG AD==，【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及轴对称识是解题的关键．【变式训练1】如图，正方形ABCD的周长为24，P为对角线AC上的一个动点，E是CD的中点，则PE PD+的最小值为（）A ．35B ．32C ．6D ．5【答案】A 【详解】解：如图，连接BE ，设BE 与AC 交于点P'，∵四边形ABCD 是正方形，∴点B 与D 关于AC 对称，∴P'D =P'B ，∴P'D +P'E =P'B +P'E =BE 最小.即P 在AC 与BE 的交点上时，PD +PE 最小，即为BE 的长度.∵正方形ABCD 的周长为24，∴直角△CBE 中，∠BCE =90°，BC =6，CE =12CD =3，∴226335BE =+=故选A.【变式训练2】如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，动点P 满足S △PBC ＝14S 矩形ABCD ，则点P 到B ，C 两点距离之和PB +PC 的最小值为（）A 10B 13C 15D ．3【答案】B 【详解】解：设△PBC 中BC 边上的高是h ．∵S △PBC ＝14S 矩形ABCD ．∴12BC •h ＝14AB •AD ，∴h ＝12AB ＝1，∴动点P 在与BC 平行且与BC 的距离是1的直线l 上，如图，作B 关于直线l 的对称点E ，连接CE ，则CE 的长就是所求的最短距离．在Rt △BCE 中，∵BC ＝3，BE ＝BA ＝2，∴CE 2213+AB BC 即PB ＋PC 13故选：B ．【变式训练3】如图，在正方形ABCD 中，4AB =，AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且3BM =，P 为对角线BD 上一点，则PM PN -的最大值为_____________．【答案】1【分析】作N 关于BD 的对称点E ，连接PE ，ME ，过点M 作MQ ⊥AC ，垂足为Q ，可判定当点P ，E ，M 三点共线时，PM -PE 的值最大，为ME 的长，求出CE ，CQ ，得到EQ ，利用垂直平分线的性质得到EM =CM =1即可．【详解】解：如图：作N 关于BD 的对称点E ，连接PE ，ME ，过点M 作MQ ⊥AC ，垂足为Q ，∴PN =PE ，则PM -PN =PM -PE ，【答案】13【分析】连接CF、AF+=+，故当EF MN EF AF类型二、翻折型最值问题例1．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN 沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C，则A'C长度的最小值是（）【变式训练1】如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，E 在AB 上，1BE =，F 是线段BC 上的动点，将EBF △沿EF 所在的直线折叠得到'EB F △，连接'B D ，则'B D 的最小值是（）A ．6B ．4C ．2D ．1-【答案】D 【详解】解：如图，'B 的运动轨迹是以E 为圆心，以BE 的长为半径的圆．所以，当'B 点落在DE 上时，'B D 取得最小值．根据折叠的性质，△EBF ≌△EB’F ，∴E 'B ⊥'B F ，∴E 'B ＝EB ，∵1BE =∴E 'B ＝1，∵3AB =，4=AD ，∴AE =3-1=2，∴DE =D 'B ＝．故选：D ．【变式训练2】如图，在正方形ABCD 中，AB =6，E 是CD 边上的中点，F 是线段BC 上的动点，将△ECF 沿EF 所在的直线折叠得到EC F '△，连接AC '，则的最小值是AC '_______．【答案】3【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴6CD AB AD ===，∵E 是CD 边上的中点，∴132EC CD ==∵△ECF 沿EF 所在的直线折叠得到EC F '△，∴3EC EC '==，∴当点A ，C '，E 三点共线时，AC '最小，如图，在Rt ADE △中，由勾股定理得：AE ==3AE EC '-=-，∴AC '的最小值为3．类型三、旋转型最值问题【答案】353-【分析】过点M 作MP CD ⊥，垂足为P ，连接CM ，根据正方形的性质求出CE ，证明EDC DMP △≌△股定理求出CM ，根据CN MN CM +≥即可求出CN 【详解】解：过点M 作MP CD ⊥，垂足为P ，连接由旋转可得：DE DM =，3EF MN ==，90EDM ∠=例2．如图，长方形ABCD 中，6AB =，8BC =，E 为BC 上一点，且2BE =，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，将EF 绕着点E 顺时针旋转30°到EG 的位置，连接FG 和CG ，则CG 的最小值为______．【答案】2+【详解】解：如图，将线段BE 绕点E 顺时针旋转30°得到线段ET ，连接GT ，过E 作EJ CG ⊥，垂足为J ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD =6，∠B =∠BCD =90°，∵∠BET =∠FEG =30°，∴∠BEF =∠TEG ，在△EBF 和△TEG 中，EB ET BEF TEG EF EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBF ≌△ETG （SAS ），∴∠B =∠ETG =90°，∴点G 的在射线TG 上运动，∴当CG ⊥TG 时，CG 的值最小，∵∠EJG =∠ETG =∠JGT =90°，∴四边形ETGJ 是矩形，∴∠JET =90°,GJ =TE =BE =2，∵∠BET =30°，∴∠JEC =180°-∠JET -∠BET =60°，∵8BC =，∴226,3,3EC BC BE EJ CJ EC EJ =-===-=,∴CG =CJ +GJ =332+.∴CG 的最小值为332+.故答案为：332.【变式训练1】如图，已知正方形ABCD 的边长为a ，点E 是AB 边上一动点，连接ED ，将ED 绕点E 顺时针旋转90︒到EF ，连接DF ，CF ，则当DF CF +之和取最小值时，DCF 的周长为______．（用含a 的代数式表示）【答案】()51a +【分析】连接BF ，过点F 作FG AB ⊥交AB 延长线于点G ，先证明AED GFE △≌△，即可得到点F 在CBG ∠的角平分线上运动，作点C 关于BF 的对称点C '，当点D ，F ，C 三点共线时，DF CF DC +='最小，根据勾股定理求出DC DF CF '=+的最小值为35，即可求出此时DCF 的周长为353+．将ED绕点E顺时针旋转90︒到EF，=，∴⊥，EF DEEF DEDEA FEG DEA ADE∴∠+∠=∠+∠=︒，90∴∠=∠，ADE FEG又90，∠=∠=︒DAE FGE(1)试猜想线段BG 和AE 的数量关系，并证明你得到的结论；(2)将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；(3)若2BC DE ==，在（2）的旋转过程中，①当AE 为最大值时，则AF =___________．ABC 是等腰直角三角形，AD BC ∴⊥，BD CD =，90ADB ADC ∴∠=∠=︒．四边形DEFG 是正方形，DE DG ∴=．在BDG 和ADE V 中，BD AD BDG ADE GD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)ADE BDG ∴△≌△，BG AE ∴=；（2）（1）中的结论仍然成立，BG AE =，BG AE ⊥．理由如下：如图②，连接AD ，延长EA 交BG 于K ，交DG 于O ．在Rt BAC 中，D 为斜边BC 中点，AD BD ∴=，AD BC ⊥，90ADG GDB ∴∠+∠=︒．四边形EFGD 为正方形，DE DG ∴=，且90GDE ∠=︒，90ADG ADE ∴∠+∠=︒，BDG ADE ∴∠=∠．在BDG 和ADE V 中，BD AD BDG ADE GD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)BDG ADE ∴△≌△，BG AE ∴=，BGD AED ∠=∠，2，==BC DEBG∴=+=．213AE∴=．3在Rt AEF中，由勾股定理，得222=+=+3AF AE EF中，如图②中，在BDGBG∴-≤≤+，2112∴的最小值为1，此时如图④中，AE在Rt AEF中，2=AF EF【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，正方形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．类型四、PA+KPB型最值问题3A．27B．23【答案】C【分析】连接AC与EF相交于∵四边形ABCD是菱形，∠=∠，∴OAE OCFA．3B．22【答案】D【分析】连接AF，利用三角形中位线定理，可知四边形ABCD是菱形，∴==，AB BC23，H分别为AE，EF的中点，GGH∴是AEF△的中位线，【答案】51-【分析】连接BD交EF的中点，求出OB的长，得到AH AM MH>=-–51直线l平分正方形∴O是BD的中点，四边形ABCD是正方形，∴==，BD AB24【答案】26【分析】利用轴对称的性质作出如图的辅助线，在【详解】解：延长DC '''∴E F G H E '''、、、、在同一直线上时，四边形EFCH 作E K AB '⊥交AB 延长于点K ，则23EK BE CD A E AB CD '''=++=+=，E K BC '=+在△ABH中，∠AHB=90°，∠ABH过点D作DE∥AC交BC延长线于点E，作点C【点睛】本题考查了对称的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，最值问题，直角三角形的性质，多边形的面积，知识点较多，难度较大，解题的关键是作出辅助线，得出当且仅当B，D，F三点共线时，BD+CD取得最小值．。

初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧

初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧最短路径问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。

这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。

理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”。

教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开图”。

考的较多的还是“饮马问题”。

知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

“饮马问题”，“造桥选址问题”。

考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

一、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。

解：连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。

（根据：两点之间线段最短.）二、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．三、一点在两相交直线内部例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.解：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）解：1.将点B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E ，2.连接AE 交河对岸与点M, 则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。

数学人教版九年级上册最小值专题

O’ P
9．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点．如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．分析：四边形PAOC的周长 PA+AO+OC+PC PA+PC
10．如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（ B ）
A．
3
B．
2 3
C．
6
D．
2 6
模型：两定点和一动点一定直线PA+PB最小
①找出两定点和一定直线 ②作出一定点关于定直线的对称点 ③连接对称点及另一定点交定直线的交点
思考：什么样的背景下会出现这样的问题？
线段、角、菱形、矩形、正方形、等腰三角形、直角梯形、圆、平面直角坐标系、抛物线等轴对称图形
图1
图2
图3
最小值专题（一） ——PA+PB最小
学习目标： 1．掌握轴对称图形的性质； 2．体会PA+PB基本作图的重要性； 3．在构造直线问题中，确定两定点一动点和一定直线的过程，强调基本概念的重要性，培养学生的化归、分类讨论的数学思想；
一、讨论导入，引出课题
（1）如图1，点A、B是直线异侧的两点，请你在l上求作一个点P，使PA+PB最小．
（2）如图2，点A、B是直线l同侧的两点，请你在l上求作一个点P，使PA+PB最小．
P
图1
P
图2
二、建立模型巩固练习
3．如图3，已知正方形ABCD，点M为BC的中点，P为对角线 BD上的一动点，要使PM+PC的值最小，请确定点P的位置．

数学人教版九年级上册最短路径问题

l B 图(2)专题复习——最短路径问题永昌七中王继平教学目标:（1）知识与技能目标：通过马饮水的问题，以及它的变式训练，掌握最短路径类问题的解决方法，并能综合运用轴对称的性质，线段的性质，勾股定理，以及一些常用的轴对称图形的轴对称性，建构数学模型，解决问题。

（2）过程与方法目标：通过观察、分析、对比等方法，提高学生分析问题、解决问题的能力，进一步强化分类、归纳、综合的思想，发展应用和自主探究意识，并培养学生的综合能力。

教学重点：抓住问题本质，学会分析最短路径类问题，综合运用有关知识解决问题。

教学难点：找准本质，综合运用有关知识解决此类问题。

学法指导：自主学习，小组合作、交流探究。

教学过程一、问题引入：如图：一位牧马人在A 地放牧，傍晚来到一条笔直的河边l 饮马，然后回到在B 处的家中，你能帮牧马人想想，到河边的什么地方饮马，可使他所走的路径最短？二、合作交流、探究方法1.复习轴对称的性质。

2.公理：两点之间线段最短。

3.师生共同归纳几何模型。

几何模型归纳三、变式训练、巩固提高 1.变式训练1(1)如图，在菱形ABCD 中，点E 是AB 的中点，AB=2， ∠BAD=60°, P 是对角线AC 上的一个动点，求PE+PB 的最小值.(2) E 为边长是2的正方形ABCD 的边BC 的中点，在对角线AC 上有一点M ，BM+EM 的最小值是______。

2.变式训练2如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的顶点均在格点上，点A 、B 、C 的坐标分别是A （-2，3）、B （-1，2）、C （-3，1），△ABC 绕点O 顺时针旋转90°后得到△A 1B 1C 1。

A BA P l l（1）在正方形网格中作出△A 1B 1C 1；（2）求点A 经过的路径弧AA 1的长度；（结果保留π）（3）在x 轴上找一点D ，使DB+DB 1的值最小，并直接写出D点坐标。

3.变式训练3如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例y= （k 为常数，且k≠0）的图象交于A （1，a ），B 两点。

中考线段最小值问题四种常见解法

方法一：利用几何性质解决问题知识点1：垂线段最短（点到直线的距离，垂线段最短）知识点2：两点之间线段最短（即“将军饮马”问题）知识点3：利用“画圆”来确定动点问题解决最值问题运用画圆解决问题有两种情况：情况1：动点到某一定点的距离是定值（圆上的点到圆心的距离恒等于半径）情况2：动点为90°固定角的顶点（直径所对的圆周角恒定为90°）在中考中最常用的是“知识点2”、“知识点3”方法二：利用代数法直接证明知识点1：利用配方法求三次二项式的最值知识点2：运用二次函数中顶点求最值代数方法较为常见，所以我们本篇暂时不会涉及.接下来，我们来简单看一下每个几何知识点对应的问题知识点1：垂线段最短常出现几何图形问题中，通常在初二会见到，中考中不会涉及。

例：如图，在△ABC中有一点D在AC上移动，若AB=AC=5，BC=6则AD+BD+CD的最小值为_______.分析:题目中问“AD+BD+CD”的最小值，通过图形我们可以知道“AD+CD”是定值，所以问题可以转换为求BD的最小值.那么求BD的最小值即为求一点B到某一直线AC上的最小值，所以可以利用“垂线段最短”的性质来求解.过点B作AC垂线即可解决问题.知识点2：两点之间线段最短这类问题常出现在函数的大题中，考生如果函数知识不过关也不能拿到满分，因为仅作出图形别不能得出答案，还需要利用函数知识进行求点坐标.解题思路：通常做定点关于动点所在直线的对称点（两个动点所在直线就做两个对称点），然后连接对称点与另一点与动点所在直线的交点即为动点位置。

例1.如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，3）和（2，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是______.分析：典型的“将军饮马”问题。

通过作点B关于y轴的对称点即可解决问题.例2：如图所示，直线y=x+2与两坐标轴分别交于A、B两点，点C 是OB的中点，D、E分别是直线AB、y轴上的动点，则△CDE周长的最小值是_______.分析：本题中存在两个动点，分别是点D、点E所以我们只需要做点C关于直线AB、关于y轴的对称点即可解决问题.知识点3：利用“画圆”来确定动点问题解决最值问题例1：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF长的最小值是________.分析：由翻折得到，DF=DB=3.所以点F在以点D为圆心以3为半径的圆上.连接A与圆心D，AD与圆的交点即为F'所以AF的最小值是AD-DF'=5-3=2.例2：如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是________.分析：根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°.所以点H在以AB为直径的圆上，所以以AB中点为圆心，以AB长的一半为半径画圆，连接D与圆心交点即为点H.所以DH'=OD-OH'中考中常见的求最值方法就是上面所提到的这些。

人教版初三数学巧妙解题的技巧与策略

人教版初三数学巧妙解题的技巧与策略数学作为一门理科学科，对于初中生来说，可能是比较抽象和难以理解的一门学科。

但是，只要我们运用巧妙的解题技巧和策略，就能够轻松地解决各种数学难题。

本文将介绍一些人教版初三数学巧妙解题的技巧与策略，帮助同学们更好地应对数学考试。

一、思维转换法在解决数学问题时，我们经常会遇到一些较难的题目，这时候可以尝试使用思维转换法。

比如，某个问题需要用到代数方程，但是我们并不熟悉代数方程的解题方法，这时候可以将代数方程转换为几何图形或实际问题，再用几何图形或实际问题的解法来解决。

例如，题目要求求解一个线性方程组：⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪3x+y=74x-2y=5我们可以尝试将这个方程组转换为一道几何题：找到一个点使得它同时在两个直线上。

二、联立方程法联立方程法是解决一些有关联的多个未知量的问题时常用的方法。

主要思想是通过构建多个方程，从中找到未知量的解。

在使用联立方程法解题时，我们可以根据题目中的条件列出多个方程，然后通过联立方程求解未知量。

例如，现有一个三角形ABC，已知AB边长为3，BC边长为4，且角B为90度。

我们需要求解点B到AC边的距离h。

这时，我们可以设点C(x, y)为未知数，然后根据题目给出的条件列出两条方程：其中一条是点C到直线AB的距离为h，另一条是点C在直线AC上。

通过联立这两个方程，我们就可以求解出点C的坐标，进而求解出h的值。

三、巧用等式性质在解决一些数学问题时，我们可以利用等式性质来简化解题过程。

等式性质是指将一个数学式子转化为另一个具有相同意义但更易处理的式子的规则。

例如，题目要求解一个四则运算的表达式：(A + B) × (A - B)我们可以利用平方差公式进行简化：(A + B) × (A - B) = A^2 - B^2四、分析图形特点法在解决与几何图形相关的数学问题时，我们可以利用图形的特点来简化解题过程。

通过观察和分析图形的形状、大小、对称性等特点，我们可以得到一些有助于解题的信息。

2021年九年级中考数学几何重难点专题：平面展开—最短路径问题(一)

2021年中考数学几何教学重难点专题：平面展开—最短路径问题（一）1．如图1，一只蚂蚁要从边长为1cm正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？如果要爬行到顶点C呢？请完成下列问题：（1）图2是将立方体表面展开的一部分，请将正方体的表面展开图补充完整；（画一种即可）（2）在图2中画出点A到点B的最短爬行路线，最短路径为：；（3）在图2中标出点C，并画出A、C两点的最短爬行路线（画一种即可），最短路径为．2．如图所示，一个无盖四棱柱容器，其底面是一个边长为3cm的正方形，高为20cm．现有一根彩带，从底面A点开始缠绕四棱柱，刚好缠绕4周到达B点（假设彩带完美贴合四棱柱）．（1）请问彩带的长度是多少？（2）如图所示，一只蚂蚁在容器外A点发现容器的内部距离顶部2cm处有一滴蜂蜜，它想以最短的路程到达C处．请问蚂蚁走的最短路程是多少呢？（注：以上两问均要画出平面展开示意图，再解答）3．如图，长方体的长为20cm，宽为10cm，高为15cm，点B与点C之间的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖．（1）求出点A到点B的距离；（2）求蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是多少？4．如图，长方体的长AB＝5cm，宽BC＝4cm，高AE＝6cm，三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点A出发到点G处．蚂蚁甲的行走路径S甲为：翻过棱EH后到达G处（即A→P→G），蚂蚁乙的行走路径S乙为：翻过棱EF后到达G处（即A→M→G），蚂蚁丙的行走路径S丙为：翻过棱BF后到达G处（即A→N→G）．（1）求三只蚂蚁的行走路径S甲，S乙，S丙的最小值分别是多少？（2）三只蚂蚁都走自己的最短路径，请判断哪只最先到达？哪只最后到达？5．如图a，圆柱的底面半径为4cm，圆柱高AB为2cm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线：路线1：高线AB+底面直径BC，如图a所示，设长度为l1．路线2：侧面展开图中的线段AC，如图b所示，设长度为l2．请按照小明的思路补充下面解题过程：（1）解：l1＝AB+BC＝2+8＝10l2＝；∵l12﹣l22＝（2）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为2cm，高AB 为4cm”继续按前面的路线进行计算．（结果保留π）①此时，路线1：．路线2：．②所以选择哪条路线较短？试说明理由．6．已知：如图，观察图形回答下面问题：（1）此图形的名称为．（2）请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿AS处剪开，铺在桌面上，研究一下它的侧面展开是一个形．（3）如果点C是SA的中点，在C处有蜗牛想吃到的食品，恰好在A处有一只蜗牛，但它又不能直接爬到C处，只能沿圆锥曲面爬行，你能画出蜗牛爬行的最短路程的图形吗？（4）圆锥的母线长为10cm，侧面展开图的夹角为90°，请你求出蜗牛爬行的最短路程的平方．7．那长方体的最短路径呢？我们来看一下这题（如图）从A′到C，不经过A′B′C′D′和ABCD两面，怎样走最近？我们不如先不考虑第二个条件，从上题可知有六条最短路径，但此题与上题略有不同──长方体各面不相等，因此我们需比较那条路径最短．观察发现这六条路径，两两长度相等，即只比较这三条路径谁更短就可以了（如图）．8．如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．若AB＝4，BC＝4，CC1＝5，（1）请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；（2）求蚂蚁爬过的最短路径的长．9．一只螳螂在松树树干的A点处，发现它的正上方B点处有一只小虫子，螳螂想捕到这只虫子，但又怕被发现，于是按如图所示的路线，绕到虫子后面吃掉它．已知树干的半径为10cm，A、B两点的距离为40cm．（其中π取3）（1）若螳螂想吃掉在B点的小虫子，求螳螂绕行的最短距离．（要求画图）（2）螳螂得知又有一只虫子在点C处被松树油粘住不能动弹，这时螳螂还在A点，螳螂想吃掉虫子，求螳螂爬行的最短距离．（要求画图）（3）如果螳螂在点A处时，虫子在点E处不动，其中点E是CD的中点那么螳螂吃掉虫子的最短距离是多少cm？（要求画图）10．如图1，是一个长方体盒子，长AB＝4，宽BC＝2，高CG＝1．（1）一只蚂蚁从盒子下底面的点A沿盒子表面爬到点G，求它所行走的最短路线的长．（2）这个长方体盒子内能容下的最长木棒长度的为多少？解：（1）蚂蚁从点A爬到点G有三种可能，展开成平面图形如图2所示，由勾股定理计算出AG2的值分别为、、，比较后得AG2最小为．即最短路线的长是．（2）如图3，AG2＝AC2+CG2＝AB2+BC2+CG2＝42+22+12＝21．参考答案1．解：（1）如图所示，（2）如图所示，连接AB，线段AB的即为点A到点B的最短爬行路线，故答案为：线段AB；（3）如图所示，线段AC即为A、C两点的最短爬行路线，故答案为：线段AC．2．解：（1）如图，将长方体的侧面沿AB展开，取A′B′的四等分点C、D、E，取AB的四等分点C′、D′、E′，连接B′E′，D′E，C′D，AC，则AC+C′D+D′E+E′B′＝4AC为所求的最短细线长，∵AC2＝AA′2+A′C2，AC＝＝13，∴AC+C′D+D′E+E′B′＝4AC＝52，答：彩带的长度是52cm；（2）如图，将四棱柱展开，找到C的对称点C′，连接AC′，则AC′即为蚂蚁走的最段路程，在直角△AMC中，AM＝6cm，MC′＝20+（20﹣18）＝22cm，由勾股定理得：AC′2＝AM2+MC′2＝62+222＝520，则AC′＝2cm，答：蚂蚁走的最短路程是2cm．3．解：（1）将长方体沿CF、FG、GH剪开，向右翻折，使面FCHG和面ADCH在同一个平面内，连接AB，如图1，由题意可得：BD＝BC+CD＝5+10＝15cm，AD＝CH＝15cm，在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AB＝＝＝15cm；将长方体沿DE、EF、FC剪开，向上翻折，使面DEFC和面ADCH在同一个平面内，连接AB，如图2，由题意得：BH＝BC+CH＝5+15＝20cm，AH＝10cm，在Rt△ABH中，根据勾股定理得：AB＝＝＝10cm，则需要爬行的最短距离是15cm．连接AB，如图3，由题意可得：BB′＝B′E+BE＝15+10＝25cm，AB′＝BC＝5cm，在Rt△AB′B中，根据勾股定理得：AB＝＝＝5cm，综上所述，点A到点B的距离为：15cm，10cm，5cm；（2）由（1）知，∵点A到点B的距离为：15cm，10cm，5cm；∴15＜10＜5，∴则需要爬行的最短距离是15cm．4．解：（1）∵长AB＝5cm，宽BC＝4cm，高AE＝6cm，∴EF＝AB＝5cm，CF＝BC＝EH＝4cm，AE＝BF＝CG＝6cm，∴S 甲＝＝＝（cm）S 乙＝＝＝＝5（cm），S丙＝＝＝（cm），答：三只蚂蚁的行走路径S甲，S乙，S丙的最小值分别是cm，5cm，cm；（2）由（1）知，S甲＝（cm），S乙＝5（cm），S丙＝（cm），∵＞＞，∴蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达．5．解：（1）l1＝AB+BC＝2+8＝10，l2＝＝＝；∵l12﹣l22＝102﹣（4+16π2）＝96﹣16π2＝16（6﹣π2）＜0∴即l1＜l2所以选择路线11较短．（2）①l1＝8．∴l2＝＝故答案为：8、；②∵l12﹣l22＝82﹣（16+4π2）＝48﹣4π2＝4（12﹣π2）＞0．∴l12＞l22，即l1＞l2所以选择路线2较短．6．解：（1）由图示可得，此图形为圆锥；（2）圆锥的侧面展开图是扇形；（3）如图所示，AC为蜗牛爬行的最短路线；（4）由勾股定理得：AC2＝102+52＝125平方厘米，故蜗牛爬行的最短路程的平方为125平方厘米．7．解：设长方体长、宽、高分别为x、y、z，依题意，得：①，②，③，∵2xy＞2xz＞2yz，∴③＜②＜①，即走第三条路径最短．得到从A′到C的路径中从A′→BB′→C和A′→DD′→C最短，与第二个已知条件无关．8．解（1）如图，木柜的表面展开图是两个矩形ABC′1D和AA1C1C．蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC′1和AC1．（2）①蚂蚁沿着木柜表面爬过的路径的长是AC′1＝＝．②爬过的路径的长是AC 1＝＝．∵＜，∴最短路径的长是AC1＝．9．解：（1）如图1所示：AC＝2π×10＝20π≈60（cm），BC＝40cm，故AB＝＝＝20（cm）．答：螳螂绕行的最短距离为20cm；（2）如图2所示：AD＝×2π×10＝10π≈30（cm），DC＝40cm，故AC＝＝50（cm）．答：螳螂爬行的最短距离为50cm；（3）如图2所示：AD＝×2π×10＝10π≈30（cm），DE＝DC＝20cm，故AE＝＝10（cm），答：螳螂爬行的最短距离为10cm．10．解：（1）蚂蚁从点A爬到点G有三种可能，展开成平面图形如图2所示，由勾股定理计算出AG2的值分别为（4+2）2+12＝37、42+（1+2）2＝25、22+（4+1）2＝29，比较后得AG2最小为25．即最短路线的长是5．（2）如图3，AG2＝AC2+CG2＝AB2+BC2+CG2＝42+22+12＝21．故答案为37，25，29，5．。

人教版九年级中考专题复习微专题最短路径模型

2 ________.
1.“将军饮马”模型
【解析】如图，在△ABC内作∠MBA＝30°.
过点A作AE⊥BM于点E，BM交AC于点P，【解析】如图，连接BE.
当两定点A,B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使得
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∵∠BAC＝15°，
∵∠BAC＝15°， ∴PA+PB＝PA+PC.
【解析】如图，连接BE.
∴
的最小值是．
∴∠APE＝45°. 当两定点A,B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使得
∴BE＝CE.
∴点P的坐标为
.
Байду номын сангаас
【答案】4
∴ 2 ∵∠BAC＝15°， EP＝ AP. 过点A作AE⊥BM于点E，BM交AC于点P，
2
1.“将军饮马”模型当BP⊥AE时， 2 AP + PB PE PB 的值最小，最小值是 2
1.“将军饮马”模型根据两点之间，线段最短知，若使PA+PC最小，则点P与点E重合．所以PA+PB的最小值即为AC的长，为4．所以PA+PB的最小值为4．
【答案】4
1.“将军饮马”模型
例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，E 为AC上一点，且AE = 8 ，AD平分∠BAC交BC于D.若P是AD上
AB 5
∴ AH＝ AC 2-CH 2 = 62 - ( 24 )2 = 18 .
55
1.“将军饮马”模型
易知 AE' AE 8 .
5
∴ E' H AH AE' 2 26 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

初三数学做图形练习题技巧

初三数学做图形练习题技巧在初三数学中，图形练习题是我们经常遇到的一种题型。

掌握好做图形练习题的技巧，不仅能够提高解题效率，还能增强对数学概念的理解。

本文将为大家介绍一些初三数学做图形练习题的技巧。

一、理清题意，细致观察做图形练习题首先要理清题意，仔细观察图形的特征与要求。

掌握题意是解决问题的关键，只有正确理解题目的要求，才能采取合适的方法进行解答。

例如，当遇到一道要求计算面积的题目时，要先确定图形是什么类型的。

是矩形、三角形还是梯形？再根据所给条件计算出所需的边长或高度等信息，最后应用相应的公式计算出正确的答案。

二、图形画法要规范准确在做图形练习题时，图形的画法要规范准确。

应该使用直尺、量角器等工具来保证所画的图形的准确性。

例如，当遇到一道要求画一个直角三角形的题目时，要确保三边比例合理，三个角的度数正确，三个角的和为180度。

只有通过精确的画图，才能够确保题目解答的正确性。

三、善于应用几何定理几何定理是解决图形问题的有力工具。

在做图形练习题时，我们要善于应用几何定理，通过几何关系来解决问题。

例如，当遇到一道要求证明两个三角形相似的题目时，我们可以利用AA（或AAA）、SAS、SSS等相似三角形的判定条件进行推理证明。

只有熟练掌握各种几何定理，才能够在图形练习题中游刃有余。

四、灵活运用解析几何方法解析几何是一种重要的数学方法，在解决图形练习题时，我们可以适当地运用解析几何的方法，通过建立坐标系和利用坐标计算的手段来解决问题。

例如，当遇到一道要求证明平行线的题目时，我们可以通过引入坐标系，并利用平行线的性质和斜率的关系来进行证明。

灵活运用解析几何方法，能够更加直观地理解和解答图形练习题。

五、多做题，积累经验最后，多做图形练习题是提高解题能力的有效途径。

通过大量的练习积累，我们能够熟悉各类图形的性质和应用方法，不断改进自己的解题技巧。

除了课本上的习题，我们还可以找一些其他的题目进行练习，如参加奥数、竞赛题等。

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图形中一类“最短问题” 的解题策略初探
【学习目标】
1．进一步感悟几何基本事实在解决图形中最短问题的应用；
2．通过对具体问题的研究，学会用对称等变换将问题进行转化的解题策略； 3．体会转化思想、数形结合思想、分类讨论思想等在数学解题中的应用策略．【重点、难点】
重点：数学解题的策略；难点：数学思想在解题中的应用．【学习过程】
一、研究问题，感悟几何基本事实 1.解答以下一组问题：
（图1）（图2）（图3）
（1）如图1，已知A 和B 两点，请在平面内求作一点P ，使P A +PB 最短.
（说说你是怎样作的，为什么？）
（2）如图2，已知A 和B 两点和直线l ，请在直线l 上求作一点P ，使P A +PB 最短.
（你是怎样思考的，为什么？）
（3）如图3，已知A 和B 两点和直线l ，请在直线l 上求作一点P ，使P A +PB 最短. （思考本题与第2题有何不同？你的解题方法是什么？是否有何解题策略？）
在以上各题中，体现了怎样的几何基本事实？________________________________. 2.几何基本事实的应用
（1）如图4，已知点A 是∠MON 内一点.
①在∠MON 的两边上分别求作点B 、C ，使△ABC 的周长最短；
②在上题中，若∠MON=30°，OA =2，则△ABC 的最短周长是多少？
（图4）
请思考以下问题，并在小组内交流你的观点，倾听别人的见解.
你是怎样解决此类问题的？在此过程中运用了怎样的方法？有怎样的解题策略与别人分享.
二、研究新问题，再次感悟几何基本事实
1.（1）如图5，已知点A 和直线l ，在直线l 上求作一点P ，使线段AP 最短. 体现的几何基本事实是________________________.
（图5）（图6）
（2）如图6，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =3，点P 是斜边AB 上一动点，则线段PC 的
最小值为___________．
A B C P l B
A l
B
A B A
A l
2. 几何基本事实的应用
如图7，⊙O 的半径为2，点O 到直线l 的距离为3，点P 是直线l 上一动点，PB 切⊙O
于点B ，则PB 的最小值是_______________.
（图7）小组交流：
你是怎样解决此类问题的？在此过程中运用了怎样的方法？有怎样的解题策略与别人分享.
三、综合运用，深化数学思想，感悟解题策略
如图8，在菱形ABCD 中，AB =2，∠A =120°，点P 、Q 、K 分别在线段BC 、CD 、BD 上，则PK +QK 的最小值为_______.
（图8）
解答以上各题后，谈谈你的解题体会：
三、课堂小结
四、课堂练习
1.如图9，在五边形ABCDE 中，∠BAE =120°，∠B =∠E =90°，在BC 、DE 上分别作一点M 、N ，使得△AMN 的周长最小，此时∠AMN +∠ANM =________.
（图9）
2.如图10，在△ABC 中，AB =10，AC =6，BC =8，经过点C 且与边AB 相切的动圆O 与C A ，CB 分别相交于点P ，Q ，则线段PQ 长度的最小值是___________．（图10）
A
l
Q
A
B
C
D
P K
E
A
D
B
C。