2013上海市高中数学竞赛(新知杯)试卷

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上海市高中数学竞赛试题及参考答案

上海市高中数学竞赛一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1.如图,正六边形111111A B C D E F 的边长为1,它的6条对角线又围成一个正六边形222222A B C D E F ,如此继续下去,则所有这些六边形的面积和是 .2.已知正整数1210,,,a a a 满足:3,1102>≤<≤ji a i j a ,则10a 的最小可能值是 .3.若17tan tan tan 6αβγ++=，4cot cot cot 5αβγ++=-,cot cot αβ17cot cot cot cot 5βγγα++=-，则()tan αβγ++= .4．已知关于x 的方程()()lg 2lg 1=+kx x 仅有一个实数解，则实数k 的取值范围是 .5．如图，∆AEF 是边长为x 的正方形ABCD 的内接三角形，已知90∠=︒AEF ，,,==>AE a EF b a b ，则=x .6．方程1233213+⋅-+=m n n m 的非负整数解(),=m n .7．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 .（用数字作答）8．数列{}n a 定义如下：()1221211,2,,1,2,22+++===-=++n n n n na a a a a n n n .若201122012>+m a ，则正整数m 的最小值为 .E1C D 1二、解答题 9．（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB x =，1BC =，对角线AC 与BD 的夹角45BOC ∠=︒，记直线AB 与CD 的距离为()h x ．求()h x 的表达式，并写出x 的取值范围．10．（本题满分14分）给定实数1a >，求函数(sin )(4sin )()1sin a x x f x x++=+的最小值．11．（本题满分16分）正实数,,x y z 满足94xyz xy yz zx +++=，求证：（1）43xy yz zx ++≥；（2）2x y z ++≥．ODCBA12．（本题满分16分）给定整数(3)n ≥，记()f n 为集合{}1,2,,21n -的满足如下两个条件的子集A 的元素个数的最小值：（a ） 1,21n A A ∈-∈；（b ） A 中的元素（除1外）均为A 中的另两个（可以相同）元素的和．（1）求(3)f 的值；（2）求证：(100)108f ≤．上海市高中数学竞赛答案1、42、923、114、(){},04-∞526、()()3,0,2,27、258、40259．解由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得2222211()(1)22OB OC AB BC x +=+=+． ①…………………（2分）在△OBC 中，由余弦定理2222cos BC OB OC OB OC BOC =+-⋅∠，所以 221OB OC OC +⋅=， ②由①，②得 2OB OC ⋅=． ③…………………（5分）所以 144s i n 2A B C D O B C S S O B O C B O C ∆==⋅⋅∠OC =⋅212x -=，故 ()AB h x ⋅212x -=，所以 21()2x h x x-=． …………………（10分）由③可得，210x ->，故1x >．因为222OB OC OB OC +≥⋅，结合②，③可得221(1)22x +≥解得（结合1x >）11x <+．综上所述，21()2x h x x-=，11x <≤． …………………（14分）10．解 (sin )(4sin )3(1)()1sin 21sin 1sin a x x a f x x a x x++-==++++++．当713a <≤时，02≤，此时3(1)()1sin 221sin a f x x a a x-=++++≥++，且当(]()sin 11,1x =∈-时不等式等号成立，故min ()2f x a =+． …………………（6分）当73a >2>，此时“耐克”函数3(1)a y t t -=+在(0,内是递减，故此时min 3(1)5(1)()(1)2222a a f x f a -+==+++=．综上所述，min 72,1;3()5(1)7,.23a a f x a a ⎧+<≤⎪⎪=⎨+⎪>⎪⎩ …………………（14分）11．证（1）记t =)33223xy yz zx xyz ++⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭．…………………（4分）于是 324993xyz xy yz zx t t =+++≤+，所以 ()()2323320t t t -++≥，而23320t t ++>，所以320t -≥，即23t ≥，从而 43x y y zz x ++≥． …………………（10分）（2）又因为2()3()x y z xy yz zx ++≥++，所以 2()4x y z ++≥，故 2x y z ++≥． …………………（16分）12．解（1）设集合{}31,2,,21A ⊆-，且A 满足（a ），（b ）．则1,7A A ∈∈．由于{}()1,,72,3,,6m m =不满足（b ），故3A >．又 {}{}{}{}{}{}{}1,2,3,7,1,2,4,7,1,2,5,7,1,2,6,7,1,3,4,7,1,3,5,7,1,3,6,7, {}{}{}1,4,5,7,1,4,6,7,1,5,6,7都不满足（b ），故4A >．而集合{}1,2,4,6,7满足（a ），（b ），所以(3)5f =．…………………（6分）（2）首先证明(1)()2,3,4,f n f n n +≤+=． ①事实上，若{}1,2,,21n A ⊆-，满足（a ），（b ），且A 的元素个数为()f n ．令{}1122,21n n B A++=--，由于12221n n +->-，故()2B f n =+．又111222(21),211(22)n n n n +++-=--=+-，所以，集合{}11,2,,21n B +⊆-，且B 满足（a ），（b ）．从而(1)()2f n B f n +≤=+． …………………（10分）其次证明：(2)()1,3,4,f n f n n n ≤++=． ②事实上，设{}1,2,,21n A ⊆-满足（a ），（b ），且A 的元素个数为()f n ．令{}222(21),2(21),,2(21),21nn n n n B A=----，由于 222(21)2(21)2(21)21n n n n n -<-<<-<-，所以{}21,2,,21n B ⊆-，且()1B f n n =++．而12(21)2(21)2(21),0,1,,1k n k n k n k n +-=-+-=-，2212(21)(21)n n n n -=-+-，从而B 满足（a ），（b ），于是(2)()1f n B f n n ≤=++． …………………（14分）由①，②得 (21)()3f n f n n +≤++． ③ 反复利用②，③可得(100)(50)501(25)25151f f f ≤++≤+++(12)12377(6)6192f f ≤+++≤+++(3)3199108f ≤+++=． …………………（16分）。

历届最近十年 (新知杯)上海市初中数学竞赛试卷及答案(含模拟试题及解答)

新知杯模拟试题一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10题每题10分，共90分）1. 对于任意实数b a ,，定义b a *=b b a a ++)(，已知5.285.2=*a ，则实数a 的值是_________。

2. 在三角形ABC 中，，其中，，a CA a BC b AB 2122==-=b a ,是大于1的整数，则=-a b 。

3. 一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是。

4. 已知关于x 的方程02)2()3(2234=++++++k x k x k x x 有实根，并且所有实根的乘积为-2，则所有实根的平方和为。

5. 如图，直角三角形ABC 中1=AC ，2=BC ，P 为斜边AB 上一动点。

BC PE ⊥,CA PF ⊥，则线段EF 长的最小值为。

6. 设b a ,是方程01682=++x x 的两个根，d c ，是方程01862=+-x x 的两个根，则()()()()d b d a c b c a --++的值为。

7. 在平面直角坐标系中有两点()1,1-P ，()2,2Q ,函数1-=kx y 的图像与线段PQ 延长线相交（交点不包括Q ），则实数k 的取值范围是。

8. 方程2009=xyz 的所有整数解有组。

9. 如图，四边形ABCD 中CD BC AB ==,78=∠ABC ,162=∠BCD 。

设BC AD ,延长线交于E ，则=∠AEB _________________.EEC10. 如图，在直角梯形ABCD 中，90=∠=∠BCD ABC ,10==BC AB ,点M 在BC上，使得ADM ∆是正三角形，则ABM ∆与DCM ∆的面积和是________________。

二、（本题15分）如图，ABC ∆中，90=∠ACB ,点D 在CA 上，使得，，31==AD CD 并且，BAC BDC ∠=∠3求BC 的长。

2013年全国高中数学联赛试题及其解答

文武光华
2013 年全国高中数学联题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分。
1、设集合A = 2，0，1，3 ，集合B = x| − x ∈ A，2 − x ∉ A ，则集合B中所有元素的和为。解答：易知集合B = −2， − 3 ，所有集合B中所有元素的和为−5。 ⃑ · OB ⃑ = −4，F是抛 2、在平面直角坐标系xOy中，点 A、B 在抛物线y = 4x上，满足OA 物线的焦点，则S△ · S△ = 。 ⃑ · OB ⃑= 解答：根据抛物线解析式知OF = 1。设点A m ，2m ，点B n ，2n ，则OA m n + 4mn = −4 ⇒ mn = −2。于是知S△ · S△ =
| |·| |
·
|
|·|
|
= |mn| = 2。
3、在△ABC 中，已知sin A = 10 sin B sin C，cos A = 10 cos B cos C，则tan A的值为。解答：根据条件知：sin A − cos A = 10(sin B sin C − cos B cos C) = −10 cos(B + C) = 10 cos A ⇒ sin A = 11 cos A ⇒ tan A = 11。 4、已知正三棱锥P − ABC底面边长为1，高为√2，则其内切球半径为。解答：设△ABC 外心为 O，O 在 BC、CA、AB 上的垂足分别为 D、E、F，则OD = OE = OF =
10、（本题满分 20 分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的方程为 + = 1（a＞b＞0），A 、A 分别为椭圆的左、右顶点，F 、F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于A 和A 的任意一点。
交流知识

数学竞赛新知杯平面图形的切拼(专题)

平面图形的切拼（专题）历史上出现最早的拼图是起源于我国明朝的“七巧板”。

又名“益智图”。

它是由一个正方形分割成五个三角形和一个正方形、一个平行四边形，用这七块可以拼成各种几何图形，也可以拼出成千上万种有趣的形状，充分发挥人们的想象能力。

平面图形的拼图，就是将一个图形分成若干块，然后拼成各种有规则的图形。

这里讲的一些例子，就是图形按某种要求进行切拼，当然也是需要经过认真计算才行的。

例1、将任意一个三角形剪两刀，分成三块，并将它们拼成一个长方形，请问这两刀该怎么剪？解：如下图所示，将三角形两边的中点分别为E 和F ，过E 和F 做第三边垂线，得AF 和BF ，只要沿AF 和BE 剪开就可达到要求。

例2、把一张长12厘米、宽5厘米的长方形小纸条，裁成长3厘米、宽2厘米的长方形小纸条，最多裁成多少块？怎样裁法？例3、有一块花格布，如图（1），要把这缝制成一大一小的两个正方形坐垫如图（2）（3），请你把它剪成四块，拼成需要的四个正方形，而且花纹正好吻合，应怎样做？例4、把下面的这个不规则图形分成四个形状大小都相同的图形，然后把它们拼成一个正方形。

例5、一张长14厘米、宽11厘米的长方形纸片，最多能裁出多少个长4厘米、宽1厘米的纸条？怎样裁？画图说明？例6、试把五个同样的小正方形组成的“+”字形切两刀，使切得的各块能拼成一个正方形（如下图）。

习题1、把下列二个图形分别分成形状相同面积相等的两个图形。

2、任给一个三角形，（1）试剪一刀，把它剪成二块，用这两块拼成一个平行四边形；（2）试剪二刀，把它剪成三块，用这三块拼成一个长方形？3、如图所示，一个由36个大小一样的小正方组成的一个S 型图案，请把它分成形状面积都一样的四块，最后拼成一个大正方形。

4、下图是一个大广场的地面图案，要求用4根直线，把广场分为5个部分，且每一部分要有9个方块。

5、经过一个正六边形的一个顶点画两条线段，把这个正六边形面积三等分。

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图所示,则该四棱台的体积是
3R3
1的离心率为
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

2013年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题

2013年上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷(2013年3月31日星期日上午8:30–10:30)注意事项:1.解答本试卷不得使用计算器一.填空题(本题满分60分,前4小题每小题7分,后4小题每小题8分)1.若在区间[2,3]上,函数f(x)=x2+bx+c与g(x)=x+6x在同一点取相同的最小值,则函数f(x)在[2,3]上的最大值是.2.若a,b,c,d为整数,且a lg2+b lg3+c lg5+d lg7=2013,则有序数组(a,b,c,d)=.3.已知函数y=√(x2−2)2+(x−5)2+√(x2−3)2+x2,则该函数的最小值是.4.已知线段x+y=9(x≥0,y≥0)分别与y轴,指数函数y=a x的图像,对数函数y=log a x的图像,x轴交于点A,B,C,D,其中a>0,a=1.若中间两点恰好三等分线段AD,则a的值是.5.如图,已知椭圆C:x225+y2=1和⊙O:x2+y2=1,在椭圆内,且在⊙O外的区域内(包括边界)所含圆的最大半径是.6.关于m,n的方程1m+1n−1mn2=34的整数解(m,n)=.7.袋中有6只红球与8只白球,任意抓5只放入一个A盒中,其余9只球放入一个B盒中,则A盒中白球个数加B盒中红球个数之和不是质数的概率是(用数字作答).8.若在集合{1!,2!,3!,...,99!,100!}中删去一个元素后,余下元素的乘积恰好是一个完全平方数,则删去的这个元素是.二.解答题(本题满分60分)9.(本大题共12分)正整数列{a n }的前n 项和为b n ,数列{b n }的前n 项积为c n ,且b n +2c n =1(n ∈N ∗),求数列{1a n}中最接近2013的数.10.(本大题共12分)已知正数p 及抛物线C :y 2=2px (p >0),A(p6,0)为抛物线C 对称轴上一点,O 为抛物线C 的顶点,M 为抛物线C 上任意一点,求|OM ||AM |的最大值.11.(本大题共18分)已知不等式k(ab+bc+ca)>5(a2+b2+c2)..........................(∗)(1)若存在正数a,b,c,使不等式(∗)成立,求证:k>5;(2)求所有满足下列条件的整数k:存在正数a,b,c使不等式(∗)成立,且凡使不等式(∗)成立的任意一组正数a,b,c都是某个三角形的三边长.12.(本大题共18分)已知棱长为1的正方体ABCDEF GH(如图),P为它的8个顶点构成的集合,对n∈N∗,规定2n+1个有序顶点组(A0A1A2...A2n)满足A0=A,且对每个i∈{0,1,2,...,2n−1},A i+1与A i是P中的相邻顶点.(1)求顶点A2n所有可能的位置;(2)设S2n表示A2n=C的所有2n+1个有序顶点组(A0A1A2...A2n)的个数,求S2n.AB C DEF GH。

2013年新知杯上海市初中数学竞赛试题及参考答案

BC 2 2 ，
当且仅当 BD FC 时等号成立，此时
1 1 1 1 2 1 2 1 1 + + ， + + 的最大值是 1 ． 1 1 4 AB AC BC AB 4 AC BC 2 2
10.已知是不为 0 的实数,求解方程组: x (1) xy a y xy y 1 (2) x a 分析：可考虑两式相减，得：
=
1 4 1 ， ab = ， 3 3 (2 7 )(2 7 )
∴ a 3 a b 3 b = (a b)(a 2 ab b 2 ) (a b) = (a b)[(a b) 2 3ab) (a b) 4 4 64 1 4 = ( )[( ) 2 3( )] ( ) = . 3 3 27 3 3
11．已知 n 1 ， a1 , a 2 , a 3 ,…, a n 为整数且 a1 + a 2 + a 3 +…+ a n = a1 a 2 a 3 … a n =2013，求 n 的最小值．分析：既然 n 1 且 a1 , a 2 , a 3 ,…, a n 为整数，那么我们就从 n 2,3,4 试起，没有发现适合的．当 n 5 时，取 a1 = a 2 =-1, a 3 = a 4 =1, a5 2013 ，则有 a1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 =-1+(-1)+1+1+2013=2013, a1 a 2 a 3 a 4 a 5 =（-1）×(-1) ×1×1×2013=2013, 以下证明 n 4 时没有适合条件的．不妨设 a1 ≤ a 2 ≤ a 3 ≤…≤ a n , 分两种情况： ⑴当 a1 , a 2 , a 3 ,…, a n 均为正整数时：由 a1 a 2 a 3 … a n =2013 知， a1 , a 2 , a 3 ,…, a n 均为 2013 的正约数，注意到 2013=3×11×61，欲 a1 + a 2 + a 3 +…+ a n =2013 且 n 4 ，则 a n ≥671，所以 a n =671 或 2013，经验算，n=2,3,4 均不可能； ⑵当 a1 , a 2 , a 3 ,…, a n 中有负整数时：

2000-2017年(大同杯原新知杯)历年上海市初中数学竞赛试卷和参考答案

上海市大同杯（原新知杯、宇振杯）初中数学竞赛试题和参考答案目录2017年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题 3 2017年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题参考答案 6 2016年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题11 2016年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题参考答案14 2015年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题18 2015年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题详解22 2014年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题29 2014年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题参考答案31 2013年上海市初中数学竞赛（新知杯）试题35 2013年上海市初中数学竞赛（新知杯）试题参考答案38 2012年上海市初中数学竞赛（新知杯）试题43 2012年上海市初中数学竞赛（新知杯）试题详解46 2011年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷50 2011年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷详解53 2010年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷59 2010年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷详解61 2009年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷68 2009年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷参考答案71 2008年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷752008年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷参考答案79 2007年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷81 2007年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷答案详解83 2006年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷87 2006年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷答案详解90 2005年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷94 2005年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷参考答案97 2004年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷99 2004年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷参考答案101 2003年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷104 2003年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷参考答案106 2002年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷107 2002年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷参考答案108 2000年上海市初中数学竞赛（弘晟杯）试题110 2000年上海市初中数学竞赛（弘晟杯）试题参考答案1112017年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试卷一、填空题（每题10分，共80分）1. 已知抛物线c bx ax y ++=2过点（0，0），（22.5，2020.5），（62.5，1812.5），则抛物线与x 轴的另一交点的横坐标为（精确到0.001）。

2013年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)

2013年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2013A1、设集合{}3,1,0,2=A ,集合{}A x A x xB ∉-∈-=22,|，则集合B 中所有元素的和为◆答案：5-★解析：易得{}0,1,2,3---⊆B ，验证即可得{}2,3--=B ，所以所求为532-=--2013A 2、在平面直角坐标系xOy 中，点B A ,在抛物线x y 42=上，满足4-=⋅OB OA ，F 是抛物线的焦点，则OFA ∆与OFB ∆的面积之比为◆答案：2★解析：由题意得()0,1F ，设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121,4y y A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛222,4y y B ，代入4-=⋅OB OA 得821-=y y ，所以OFA ∆与OFB ∆的面积之比为241212=y y OF 2013A 3、在ABC ∆中，已知C B A sin sin 10sin ⋅=，C B A cos cos 10cos ⋅=，则A tan 的值为◆答案：11★解析：由于()()A C B C B C B A A cos 10cos 10cos cos sin sin 10cos sin =+-=-=-，即11tan =A 2013A 4、已知正三棱锥ABC P -的底面边长为1，高为2，则其内切球半径为◆答案：62★解析：如图，设球心O 在面ABC 和面ABP 内的射影分别是H 和K ，AB 中点为M ，内切球半径为r ，则M K P ,,共线，H O P ,,共线，090=∠=∠PKO PHM ，且r OK OH ==，r OH PH PO -=-=2，6363==AB MH ,635212122=+=+=PH MH PM ,所以51sin 2==∠==-MP MH KPO OP OK rr ,解得62=r 2013A 5、设b a ,为实数，函数b ax x f +=)(满足：对任意]1,0[∈x ，都有1)(≤x f ，则ab 的最大值为◆答案：1★解析：由题意得)0()1(f f a -=，)0(f b =所以()41)1(41)1(41)1(21)0()0()1()0(222≤≤+⎪⎭⎫⎝⎛--=-⋅=f f f f f f f ab ，当且仅当1)1()0(2±==f f ，即21±==b a 时，41=ab ，故所求最大值为41。

2000-2013年(新知杯)历年上海市初中数学竞赛试卷及答案(试题全与答案分开)

2013上海市初中数学竞赛(新知杯)（2013年12月8日上午9:00~11:00）题号一（1~8）二总分9 10 11 12 得分评卷复核一、填空题(每题10分) 1.已知721,721-=+=b a ，则.________33=-+-b b a a2.已知43214321//////,//////m m m m l l l l ，._______,20,100===EFGH ILKJ ABCD S S S 则3.已知F E AC AB A 、，,8,690==︒=∠在AB 上且3,2==BF AE 过点E 作AC 的平行线交BC 于D ，FD 的延长线交AC 的延长线于G ，则.__________=GF4.已知凸五边形的边长为)(,,,,,54321x f a a a a a 为二次三项式；当1a x =或者5432a a a a x +++=时，5)(=x f ，当21a a x +=时，,)(p x f =当543a a a x ++=时，q x f =)(，则.________=-q p5.已知一个三位数是35的倍数且各个数位上数字之和为15，则这个三位数为___________.6.已知关于x 的一元二次方程0)2)(1(2=++++m m ax x 对于任意的实数a 都有实数根，则m 的取值范围是_________________.7.已知四边形ABCD 的面积为2013，E 为AD 上一点，CDE ABE BCE ∆∆∆,,的重心分别为321,,G G G ，那么321G G G ∆的面积为________________.8.直角三角形斜边AB 上的高3=CD ，延长DC 到P 使得2=CP ，过B 作AP BF ⊥交CD 于E ，交AP 于F ，则._________=DE二、解答题（第9题、第10题15分，第11题、第12题20分）9.已知︒=∠90BAC ，四边形ADEF 是正方形且边长为1，求CABC AB 111++的最大值.10.已知a 是不为0的实数，求解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-ax y xy a yx xy 111.已知：,1>n n a a a a ,,,,321Λ为整数且2013321321=⋅⋅⋅⋅=++++n n a a a a a a a a ΛΛ，求n 的最小值.12.已知正整数d c a 、、、b 满足),13(),13(22-=+=d c b d c a 求所有满足条件的d 的值.答案： 1.27102- 2.60 3.265 4.0 5.735 6.12-≤≤-m 7.3671 8.599.CA BC AB 111++4221+≤ 10.经检验原方程组的解为：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=1122a y a a x ，⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=1122a y a a x .11.【解析】2013,1,1,554321===-===a a a a a n 当满足题设等式，下证当4≤n 时，不存在满足等式要求的整数，不妨设n a a a a ≤≤≤≤Λ321，(1)当4=n 时，611132013⨯⨯=，当4321,,,a a a a 中有负整数时，必为⎩⎨⎧==+⇒-==20132015,1434321a a a a a a ，若2013,143==a a 不满足条件，当20152671,344343<≤+⇒≤⇒≥a a a a a 无解.不可能，当4321,,,a a a a 中无负整数时，显然20134≠a ，6714≤a ，容易验证等式不可能成立.(2)当3=n 时，当321,,a a a 中有负整数时，必为,121-==a a 显然等式不成立，当321,,a a a 中无负整数时，同上容易验证等式不可能成立.(3)当2=n 时，21,a a 均为正整数，同上易验证等式不可能成立. 综上所述，n 的最小值为5.12.85=d2013上海新知杯初中数学竞赛答案2012年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷题号一（1~8）二总分9 10 11 12得分评卷复核解答本试卷可以使用科学计算器一、填空题（每题10分，共80分）1. 已知的边上的高为，与边平行的两条直线将的面积三等分，则直线与之间的距离为_____________。

上海新知杯预选赛试题.doc

2015上海新知杯预选赛试题 2015.10一、填空题（每题5分）1. 在三角形ABC 中，，其中，，a CA a BC b AB 2122==-=b a ,是大于1的整数，则=-a b 。

2. 一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是。

3. 已知关于x 的方程02)2()3(2234=++++++k x k x k x x 有实根，并且所有实根的乘积为-2，则所有实根的平方和为。

4. 如图，直角三角形ABC 中1=AC ，2=BC ，P 为斜边AB 上一动点。

BC PE ⊥,CA PF ⊥，则线段EF 长的最小值为。

5. 设b a ,是方程01682=++x x 的两个根，d c ，是方程01862=+-x x 的两个根，则()()()()d b d a c b c a --++的值为。

6. 在平面直角坐标系中有两点()1,1-P ，()2,2Q ,函数1-=kx y 的图像与线段PQ 延长线相交（交点不包括Q ），则实数k 的取值范围是。

7. 如图，四边形ABCD 中CD BC AB ==,ο78=∠ABC ,ο162=∠BCD 。

设BCAD ,延长线交于E ，则=∠AEB _________________.8. 如图，在直角梯形ABCD 中，ο90=∠=∠BCD ABC ,10==BC AB ,点M 在BC上，使得ADM ∆是正三角形，则ABM ∆与DCM ∆的面积和是________________。

ECAM二、（本题15分）如图，ABC ∆中，ο90=∠ACB ,点D 在CA 上，使得，，31==AD CD 并且，BAC BDC ∠=∠3求BC 的长。

BCB三、（本题15分）若两个实数b a ,使得22b a b a ++与都是有理数，称数对()b a ,是和谐的。

① 试找出一对无理数，使得()b a ,是和谐的；② 证明：若()b a ,是和谐的，且b a +是不等于1的有理数，则b a ,都是有理数； ③ 证明：若()b a ,是和谐的，且ba是有理数，则b a ,都是有理数。

上海市高中数学竞赛(新知杯).doc

上海市高中数学竞赛（新知杯）【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1. 设1210,,,(1,)a a a ∈+∞，则121012102009200920092009log log log log a a aa a a +++的最小值是。

2. 已知,*x y N ∈，且12121999x y -+++=++++，则将y 表示成x 的函数，其解析式是y = 。

3. 已知函数2()|2|f x x =-，若()()f a f b =，且0a b <<，则ab 的取值范围是。

4. 满足方程222213log [2cos ()]2cos ()4xy y y xy +=-++的所有实数对(,)x y = 。

5. 若 []a 表示不超过实数 a 的最大整数，则方程 2[tan ]2sin x x =的解是。

6.不等式223242x x ≤⋅+⋅的解集是。

7. 设A 是由不超过2009的所有正整数构成的集合，即{1,2,,2009}A =，集合L A ⊆，且L 中任意两个不同元素之差都不等于4，则集合L 元素个数的最大可能值是。

8. 给出一个凸10边形及其所有对角线，在以该凸10边形的顶点及所有对角线的交点为顶点的三角形中，至少有两个顶点是该凸10边形顶点的三角形有个。

二、解答题 9.（本题满分14分）设函数()f x 定义于闭区间[0,1]，满足(0)0,(1)1f f ==，且对任意,[0,1],x y x y ∈≤，都有22()(1)()()2x yf a f x a f y +=-+，其中常数a 满足01a <<，求a 的值。

10. （本题满分14分）如图，A 是双曲线2214x y -=的右顶点，过点A 的两条互相垂直的直线分别与双曲线的右支交于点,M N ，问直线MN 是否一定过x如果存在这样的定点P 试求出这个定点P 的坐标。

竞赛数学s试题及答案高中

竞赛数学s试题及答案高中竞赛数学试题及答案【试题一】题目：证明对于任意正整数\( n \)，\( 1^2 + 1 + 2^2 + 2 + ... + n^2 + n = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)。

解答：我们可以使用数学归纳法来证明这个等式。

首先，当\( n = 1 \)时，左边为\( 1^2 + 1 = 2 \)，右边为\( \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = 1 \)，显然不成立。

但我们可以假设对于某个正整数\( k \)，等式成立，即：\[ 1^2 + 1 + 2^2 + 2 + ... + k^2 + k = \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} \]接下来，我们需要证明当\( n = k + 1 \)时，等式仍然成立。

即：\[ 1^2 + 1 + 2^2 + 2 + ... + k^2 + k + (k + 1)^2 + (k + 1) =\frac{(k + 1)((k + 1) + 1)(2(k + 1) + 1)}{6} \]将假设的等式加上\( (k + 1)^2 + (k + 1) \)，我们得到：\[ \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} + (k + 1)^2 + (k + 1) \]\[ = \frac{k(k + 1)(2k + 1) + 6(k + 1)^2 + 6(k + 1)}{6} \]\[ = \frac{k(k + 1)(2k + 1) + 6k^2 + 12k + 6k + 6}{6} \]\[ = \frac{(k + 1)(2k^2 + 7k + 6)}{6} \]\[ = \frac{(k + 1)(2(k + 1) + 1)(k + 2)}{6} \]\[ = \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6} \]这证明了当\( n = k + 1 \)时，等式也成立。

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1 / 1 2013上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷
【说明】解答本试卷不得使用计算器
一、填空题（本题满分60分，前4题每小题7分，后4小题每小题8分）
1．若在区间2,3][上，函数c bx x x f ++=2)(与x
x x g 6)(+=在同一点取相同的最小值，则函数)(x f 在2,3][上的最大值是．
2．若d c b a ,,,为整数，且20137lg 5lg 3lg 2lg =+++d c b a ，则有序数组),,,(d c b a = ．
3．已知函数222222)3()5()2(x x x x y +-+-+-=，则该函数的最小值是．
4．已知线段9=+y x （0,0≥≥y x ）分别与y 轴，指数函数x a y =的图像，对数函数x y a log =的图
像，x 轴交于点D C B A ,,,，其中1,0≠>a a ，若中间两点恰好三等分线段AD ，则a 的值是．
5．如图，已知椭圆C ：125
22
=+y x 和⊙O ：122=+y x ，在椭圆内，且在⊙O 外的区域内（包括边界）所含圆的最大半径是．
6．关于n m ,的方程4
31112=-+mn n m 的整数解),(n m = ． 7．袋中有6 只红球与8 只白球, 任意抓5 只放入一个A 盒中，其余9 只球放入一个B 盒中，则A 盒中白球个数加B 盒中红球个数之和不是质数的概率是 (用数字作答)．
8．若在集合},100!,99!,,3!,2!{1!Λ中删去一个元素后，余下元素的乘积恰好是一个完全平方数，则删去的这个元素是．
二、解答题
9．（本题满分12分）正整数列}{n a 的前n 项和为n b ，数列}{n b 的前n 项积为n c ，且12=+n n c b （*N n ∈），求数列}1{
n a 中最接近2013 的数．
10．（本题满分12分）已知正数p 及抛物线C ：px y 22=（0>p ），)0,6
(p A 为抛物线C 对称轴上一点，O 为抛物线C 的顶点，M 为抛物线C 上任意一点，求|
|||AM OM 的最大值．
11．（本题满分18分）已知不等式)()(5)(222*++>++ΛΛΛΛc b a ca bc ab k
（1）若存在正数c b a ,,，使不等式)(*成立，求证：5>k ；
（2）求所有满足下列条件的整数k ：存在正数c b a ,,使不等式)(*成立，且凡使不等式)(*成立的任意一组正数c b a ,,都是某个三角形的三边长．
12．（本题满分18分）已知棱长为1 的正方体ABCDEFGH （如图），P 为它的8 个顶点构成的集合，对*N n ∈规定12+n 个有序顶点组)(2210n A A A A Λ满足A A =0，且对每个}12,,2,1,0{-∈n i Λ，1+i A 与i A 是P 中的相邻顶点．
（1）求顶点n A 2所有可能的位置；
（2）设n S 2表示C A n =2的所有12+n 个有序顶点组)(2210n A A A A Λ的个数, 求n S 2．。

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