河南省豫南豫北2018届高三第二次联考联评数学(文)试题

豫北豫南2017-2018学年第二次联考联评高三数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合}1|{},2|{-====x y x B y y A x ，则=⋂B A （ ）A ．}1|{>y yB ．}1|{≥y yC ．}0|{>y yD ．}0|{≥y y 2. 若原命题为：“若21,z z 为共轭复数，则||||21z z =”，则该命题的逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次为（ ）A ．真真真B ．真真假C ．假假真D ．假假假 3.函数x a x x f )1(2)(2-+-=与11)(+-=x a x g ，这两个函数在区间]2,1[上都是减函数的一个充分不必要条件是实数∈a （ ）A ．)2,1()1,2(⋃--B ．]2,0()0,1(⋃-C ．)2,1(D ．]2,1( 4.已知FE AC AB BAC ABC ,,1,2,60,===∠∆为边BC 的两个三等分点，则=⋅→→AF AE （ ） A ．45 B ．910 C. 815 D ．35 5.设02ln ln 2=--x x 的两根是βα、，则=+αββαlog log （ ）A ．23 B ．23- C. 25 D ．25-6. 一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为（ ）A ．π-24B ．π324- C. π+24 D ．π224- 7. 函数1,0,)21(|log |)(≠>-=a a x x f xa .若该函数的两个零点为21,x x ，则（ ） A ．121>x x B ．121=x x C. 121<x x D ．无法判定8.古代数学名著《九章算术》中的“盈不足”问题知两鼠穿垣.今有垣厚5尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问：何日相逢？题意是：由垛厚五尺（旧制长度单位，1尺= 10寸）的墙壁，大小两只老鼠同时从墙的两面，沿一直线相对打洞.大鼠第一天打进1尺，以后每天的速度为前一天的2倍；小鼠第一天也打进1尺，以后每天的进度是前一天的一半.它们多久可以相遇？ A ．1736天 B ．1737天 C. 1738天 D ．1739天 9. 线段的黄金分割点定义：若点C 在线段AB 上，且满足AB BC AC ⋅=2，则称点C 为线段AB 的黄金分割点，在ABC ∆中， 36,==A AC AB ，若角B 的平分线交边AC 于点D ，则点D 为边AC 的黄金分割点，利用上述结论，可以求出=36cos （ ）A ．415- B ．415+ C. 215- D ．215+ 10. 已知矩形3,4,==BC AB ABCD .将矩形ABCD 沿对角线AC 折成大小为θ的二面角D AC B --，则折叠后形成的四面体ABCD 的外接球的表面积是（ ）A ．π9B ．π16 C. π25 D ．与θ的大小无关11.已知直线1+=x y 与双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 交于B A ,两点，且线段AB 的中点M 的横坐标为1，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3 C. 2 D ．512.定义在R 上的偶函数)(x f 的导函数为)(x f '，且当0)(2)(,0<+'>x f x f x x .则（ ）A ．2)2(4)(e f e f > B ．)1()3(9f f > C. 2)3(9)(e f e f -< D ．2)2(4)(e f e f -< 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.过点)3,1(M 作圆4:22=+y x O 的切线方程是 ．14.已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-02012022y x y x y x ，则22)1(++=y x z 的取值范围为 ．15.下面结论中：①不等式01>-xx 成立的一个充分不必要条件是1>x ； ②对1),,0(+>+∞∈x e x x 恒成立；③若数列}{n a 的通项公式8079--=n n a n ，则数列}{n a 中最小的项是第8项；④在锐角三角形ABC 中，B A C C cos log sin log sin sin >； 其中正确的命题序号是 ．16.已知锐角ABC ∆的内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，其外接圆半径为2,332=b ，则ABC ∆的周长的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列}{n a 是首项11=a 的等比数列，且}{,0n n b a >是首项为1的等差数列，13,215335=+=+b a b a .（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）求数列}2{nna b 的前n 项和n S . 18. 某老师对全班50名学生学习积极性和参加社团活动情况进行调查，统计数据如下所示：（1）请把表格数据补充完整；（2）若从不参加社团活动的28人按照分层抽样的方法选取7人，再从所选出的7人中随机选取两人作为代表发言，求至少有一个学习积极性高的概率；（3）运用独立性检验的思想方法分析：请你判断是否有%9.99的把握认为学生的学习积极性与参与社团活动由关系？附：d c b a n d b c a d c b a bc ad n K +++=++++-=,))()()(()(2219. 如图，已知三棱锥BPC A -中，M BC AC PC AP ,,⊥⊥为AB 中点，D 为PB 中点，且PMB ∆为正三角形.（1）求证：平面⊥ABC 平面APC ；（2）若20,4==AB BC ，求三棱锥BCM D -的体积.20. 已知圆36)5(:22=++y x M ，定点)0,5(N ，点P 为圆M 上的动点，点Q 在直线NP 上，点G 在直线MP 上，且满足0,2=⋅=→→→→NP GQ NQ NP . （1）求点G 的轨迹C 的方程；（2）过点)0,2(作斜率为k 的直线l ，与曲线C 交于B A 、两点，O 是坐标原点，是否存在这样的直线l ，使得1≤⋅→→OB OA ，若存在，求出直线l 的斜率k 的取值范围；若不存在，请说明理由.21. 已知定义在正实数集上的函数b x a x g ax x x f +=+=ln 3)(,221)(22，其中0>a ，设两曲线)(),(x g y x f y ==有公共点，且在公共点处的切线相同. （1）若1=a ，求实数b 的值； （2）用a 表示b ，并求实数b 的最大值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=--=ty tx 2121（t 为参数），以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为)4sin(22πθρ+=.（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）P 为曲线1C 上任一点，过点P 作曲线2C 的切线PT （T 为切点），求||PT 的最小值. 23. 选修4-5：不等式选讲定义在A 上的函数A x x x f ∈∀21,),(，若21x x >，有)()(21x f x f ≥，则称函数)(x f 为定义在A 上的非严格单增函数；若21x x >，有)()(21x f x f ≤，则称函数)(x f 为定义在A 上的非严格单减函数.已知：|2|||)(---=x a x x g .（1）若函数)(x g 为定义在R 上的非严格单增函数，求实数a 的取值范围. （2）若函数)(x g 为定义在R 上的非严格单减函数，试解不等式2)(>x g .试卷答案一、选择题1-5:BCCDD 6-10:ACABC 11、12：BD 二、填空题13. 043=-+y x 14. ]9,59[ 15. ①②③ 16.]6,322(+三、解答题17.解：（1）设数列}{n a 的公比为}{,n b q 的公差为d ，则由已知条件得：⎩⎨⎧=++=+1341211224d q d q ，解之得：⎩⎨⎧-===)(222舍去或q q d122)1(1,21-=⨯-+==∴-n n b a n n n（2）由（1）知n n n n a b 2122-= n n n n n S 212232252321132-+-++++=∴- ①132212232232121+-+-+++=∴n n n n n S ② ①-②得：1322122222222121+--++++=n n n n S112212)212121(21+---++++=n n n 11212211])21(1[2121+-----+=n n n11212)21(121+----+=n n n . nn n S 2323+-=∴.18.解：（1）（2）28人选7人，其中学习积极性高的2人记为AB ，学习积极性一般的5人，记为12345，从12345AB 这7人中任选两人，共有以下21个等可能性基本事件：45,35,34,25,24,23,15,14,13,12,5,4,3,2,1,5,4,3,2,1,B B B B B A A A A A AB ，则至少有以为学习积极性高的事件有11个，所以至少有一位学习积极性高的概率2111=P . （3）828.10688.1128222525)852017(50))()()(()(222>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=++++-=d b c a d c b a bc ad n K 所以大约有%9.99的把握认为学生的学习积极性与参与社团活动由关系. 19.解：（1）M 为AB 中点，D 为PB 中点，AP MD //∴，PMB ∆ 为正三角形，且D 为PB 中点， PB MD ⊥∴得PB AP ⊥又⊥∴=⋂⊥AP P PB PC PC AP ,,平面⊂BC PBC ,平面PBC ，BC AP ⊥∴，又A AC AP BC AC =⋂⊥, ，⊥∴BC 平面APC ，又⊂BC 平面∴ABC 平面⊥ABC 平面PAC .（2）10,1020=∴=∴=PB MB AB又2128416100,4==-==PC BC2122124414121=⨯⨯=⋅==∴∆∆BC PC S S PBC BDC 又351020212122=-==AP MD . 710352123131=⨯⨯=⋅==∴∆--DM S V V BDC BCD M BCM D .20.解：（1）Q NP GQ NQNP ∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=→→→→02为线段PN 的中点且PN GQ ⊥，则GQ 为PN 的中垂线，故6||||||||||==+∴=PM GM GN GN PG ， 所以点G 的轨迹是以N M ,为焦点的椭圆，其中25,3=∴==b c a∴点G 的轨迹C 的方程是14922=+y x （2）设l 的方程为),(),,(),2(2211y x B y x A x k y -=，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=149)2(22y x x k y 得0)1(3636)49(2222=-+-+k x k x k ，49)1(36,4936,022212221+-=+=+>∆∴k k x x k k x x 4920]4)(2[)]2()][2([22212122121+-=++-=--=k k x x x x k x k x k y y则1493616222121≤+-=+=⋅→→k k y y x x OB OA ， 解得77027702≤≤-k . 故存在这样的直线l ，使得1≤⋅→→OB OA ，此时其斜率k 的取值范围是]7702,7702[-. 21.解：（1）设)(x f y =与)0)((>=x x g y 在公共点),(00y x 处的切线相同xx g x x f 3)(,2)(='+=' 由题意知)()(),()(0000x g x f x g x f '='=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+∴0000232ln 3221x x b x x x由0032x x =+得，10=x ，或30-=x （舍去） 即有25=b . （2）设)(x f y =与)0)((>=x x g y 在公共点),(00y x 处的切线相同xa x g a x x f 23)(,2)(='+='由题意知)()(),()(0000x g x f x g x f '='=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+0200202032ln 3221x a a x b x a ax x 由02032x a a x =+得，a x =0，或a x 30-=（舍去）即有a a a a a a a b ln 325ln 322122222-=-+=令)0(ln 325)(22>-=t t t t t h ，则)ln 31(2)(t t t h -='于是当0)ln 31(2>-t t ，即310e t <<时，0)(>'t h ； 当0)ln 31(2<-t t ，即31e t >时，0)(<'t h故)(t h 在),0(+∞的最大值为323123)(e e h =，故b 的最大值为3223e .22. 解：（1）2)1()1(;0222=-+-=++y x y x ；（2）由（1）知，曲线2C 为圆心)1,1(M ，半径为2的圆，故222||2||)2(||MP MP PT +--=+-=，当且仅当||MP 取得最小值时，||PT 取得最小值，222|211|||min =++=MP ，所以，6||min =PT .23. 解：（1）当2>a 时，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<++-≤-=---=a x a a x a x x a x a x x g ,22,222,2|2|||)(；当2<a 时，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<++-≤-=---=2,22,22,2|2|||)(x a x a a x a x a x a x x g ；当2=a 时，0)(=x g .因为)(x g 为定义在R 上的非严格单增函数，根据定义，可得：2≤a .（2）函数)(x g 为定义在R 上的非严格单减函数，由（1）知2≥a ，且]2,2[)(--∈a a x g . 所以，当42≤≤a 时，不等式2)(>x g 的解集为：∅； 当4>a 时，不等式2)(>x g 的解集为：}2|{ax x <.。