2019_2020学年高中数学第1章计数原理1.2.1排列(第1课时)排列及排列数公式课件新人教B版选修2_3

排列的列举问题 【例 2】 写出下列问题的所有排列． (1)从 1,2,3,4 四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同 的两位数？ (2)写出从 4 个元素 a，b，c，d 中任取 3 个元素的所有排列． 【精彩点拨】 (1)直接列举数字． (2)先画树形图，再结合树形图写出．
【解】 (1)所有两位数是 12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43， 共有 12 个不同的两位数．
5．将玫瑰花、月季花、莲花各一束分别送给甲、乙、丙三人，每人 一束，共有多少种不同的分法？请将它们列出来．
【解】 按分步乘法计数原理的步骤： 第一步，分给甲，有 3 种分法； 第二步，分给乙，有 2 种分法； 第三步，分给丙，有 1 种分法． 故共有 3×2×1＝6 种不同的分法．
1．解决本题的关键有两点：一是“取出元素不重复”，二是“与顺 序有关”．
2．判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序 的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里 的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化， 有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题．
【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√
教材整理 2 排列数与排列数公式 阅读教材 P10～P11，完成下列问题．
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所 排列数定义及
有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取 全排列的概念 n 个不同元素全部取出的一个排列
合作探究 提素养
排列的概念 【例 1】 判断下列问题是否为排列问题． (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假 设来回的票价相同)； (2)选 2 个小组分别去植树和种菜； (3)选 2 个小组去种菜；
(4)选 10 人组成一个学习小组； (5)选 3 个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (6)某班 40 名学生在假期相互通信． 【精彩点拨】 判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时， 是否与顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题．
的位置有关，故是排列问题．
【答案】 B
2．4×5×6×…×(n－1)×n 等于( )
A．A4n C．n！－4!
B．Ann－4 D．Ann－3
【解析】 4×5×6×…×(n－1)×n 中共有 n－4＋1＝n－3 个因式，
最大数为 n，最小数为 4，
故 4×5×6×…×(n－1)×n＝Ann－3.
【答案】 D
1．判断下列问题是否是排列问题． (1)从 1 到 10 十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐 标，可得多少个不同的点的坐标？ (2)从 10 名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽 取方法？ (3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出 来，不同的出入方式共有多少种？
2．由探究 1 知 A24＝4×3＝12，A34＝4×3×2＝24，你能否得出 A2n的 意义和 A2n的值？
【提示】 A2n的意义：假定有排好顺序的 2 个空位，从 n 个元素 a1， a2，…，an 中任取 2 个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就 得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此， 所有不同的填法的种数就是排列数 A2n.由分步乘法计数原理知完成上述填 空共有 n(n－1)种填法，所以 A2n＝n(n－1)．
2．(1)北京、广州、南京、天津 4 个城市相互通航，应该有________ 种机票．
(2)A，B，C，D 四名同学排成一排照相，要求自左向右，A 不排第一， B 不排第四，共有________种不同的排列方法．
【解析】 (1)列出每一个起点和终点情况，如图所示．
故符合题意的机票种类有： 北京→广州，北京→南京，北京→天津，广州→南京、广州→天津、 广州→北京，南京→天津，南京→北京，南京→广州，天津→北京，天津 →广州，天津→南京，共 12 种．
第一章 计数原理
1.2 排列与组合 1.2.1 排列
第1课时 排列及排列数公式
学习目标：1.理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排 列．(重点)2.会用排列数公式进行求值和证明．(难点)
自主预习 探新知
教材整理 1 排列的概念 阅读教材 P9，完成下列问题． 1．一般地，从 n 个不同元素中任取 m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排 成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列． 2．两个排列相同的含义为：组成排列的元素相同，并且 元素的排列顺序也相同.
2.5A！34 ＝________.
【解析】 5A！34 ＝5×44××33××22×1＝15.
【答案】
1 5
3．由 1,2,3 这三个数字组成的三位数分别是________． 【解析】 用树形图表示为
由“树形图”可知组成的三位数为 123,132,213,231,312,321，共 6 个．
【答案】 123,132,213,231,312,321
(2)由题意作树形图，如图．
故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca， bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc， dca，dcb，共有 24 个．
在排列个数不多的情况下，树形图是一种比较有效的表示方式.在操 作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分 类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个元 素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能不重不漏， 然后按树形图写出排列.
3．5 本不同的课外读物分给 5 位同学，每人一本，则不同的分配方 法有________种．
【解析】 利用排列的概念可知不同的分配方法有 A55＝120 种． 【答案】 120
4．A66－6A55＋5A44＝________. 【解析】 原式＝A66－A66＋A55＝A55＝5×4×3×2×1＝120. 【答案】 120
【例 3】 (1)计算：AA61590＋ －AA49510； (2)证明：Anm＋1－Amn ＝mAmn －1. 【精彩点拨】 第(1)题可直接运用排列数公式，也可采用阶乘式；第 (2)题首先分析各项的关系，利用 Anm＝n－n！m！进行变形推导．
【解】 (1)法一：AA61590＋ －AA49510＝505AA4949－＋1A049A49＝550＋－110＝230. 法二：AA61590＋ －AA49510＝14940！！ ！ ！＋ －9515！ ！ 0！！＝55××190！ ！＋ －91！0！＝46××190！！＝230.
3．你能写出 Amn 的值吗？有什么特征？若 m＝n 呢？ 【提示】 Amn ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N＋，m≤n)． (1)公式特征：第一个因数是 n，后面每一个因数比它前面一个少 1， 最后一个因数是 n－m＋1，共有 m 个因数； (2)全排列：当 n＝m 时，即 n 个不同元素全部取出的一个排列． 全排列数：Ann＝n(n－1)(n－2)·…·2·1＝n！(叫做 n 的阶乘)． 另外，我们规定 0！＝1. 所以 Amn ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n－n！m！＝AAnn－－nnmm.
3【．解求】3Ax8原＝方4A程x9－31中Ax8的＝4xA. x9－1可化为38×－8x！！＝140×－9x！！， 即38×－8x！！＝10－x4×99－×x8！8－x！，化简， 得 x2－19x＋78＝0，解得 x1＝6，x2＝13. 由题意知xx≤ －81，≤9， 解得 x≤8. 所以原方程的解为 x＝6.
(2)因为 A 不排第一，排第一位的情况有 3 类(可从 B，C，D 中任选一 人排)，而此时兼顾分析 B 的排法，列树形图如图．
所以符合题意的所有排列是： BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA， CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA 共 14 种． 【答案】 (1)12 (2)14
阶乘的概念 把 n·(n－1)·…·2·1 记作 n！，读作：n 的阶乘
Amn ＝ n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
排列数公式
n！
阶乘式 Amn ＝__n_－__m__！___(n，m∈N＋，m≤n)
特殊情况 Ann＝ n！，A0n＝ 1 ,0！＝ 1
1．A24＝________，A33＝________. 【解析】 A24＝4×3＝12； A33＝3×2×1＝6. 【答案】 12 6
(2)∵Amn＋1－Amn ＝n＋n＋1－1m！！－n－n！m！
＝n－n！m！·n＋n＋1－1 m－1
＝n－n！m！·n＋m1－m
＝m·n＋1n－！m！
＝mAmn －1， ∴Amn＋1－Amn
＝mAmn －1.
排列数的计算方法 1．排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意： 连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数， 而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用． 2．应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取 公因式，然后计算，这样往往会减少运算量．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个排列的元素相同，则这两个排列是相同的排列．( ) (2)从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种 选法属于排列问题．( ) (3)有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 属于排列问题．( )
(4)从 3,5,7,9 中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排 列问题．( )
【解】 (1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的， 不存在顺序问题，所以不是排列问题．
(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． (3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题． (5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在 顺序问题，属于排列问题． (6)A 给 B 写信与 B 给 A 写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于 排列问题． 所以在上述各题中，(2)(5)(6)属于排列问题．