有理数运算和整式运算[重点、难点]
人教版七年级数学上册重难点分析
人教版七年级数学上册重难点分析第一章 有理数主要内容：主要内容是有理数的有关概念及其运算。
首先；从实例引入负数；接着引进关于有理数的一些概念（数轴、相反数、绝对值、倒数等）；在此基础上；介绍有理数的加减法、乘除法和乘方运算的意义、法则和运算律。
重点：有理数的运算。
数轴的绘画以及运用。
绝对值以及相反数的运用。
科学记数法的掌握 难点：对有理数运算法则的理解；特别是对有理数乘法法则的理解。
实例：2008年莆田市初中毕业升学考试中涉及到有理数中的知识 1. ._______2＝-6.2008年北京奥运会的主场馆----“鸟巢”的建筑面积是258000平方米；将258000用 科学记数法表示应是____________________。
13.解集在数轴上表示如图所示的不等式组是（ ）A.21x x ≤-⎧⎨≥⎩B.21x x ≥-⎧⎨≥⎩C.21x x ≤-⎧⎨≤⎩D. 21x x ≥-⎧⎨≤⎩2009年莆田市初中毕业升学考试中涉及到有理数中的知识1．3-的相反数是 ．2．2009年莆田市参加初中毕业、升学考试的学生总人数约为43000人；将43000用 科学记数法表示是___________．3. 不等式组2410x x <⎧⎨+>⎩，的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2010年莆田市初中毕业升学考试中涉及到有理数中的知识1. 2-的倒数是（ ） A. 2 B.12 C. 12- D. 15- 10. 2009年我国全年国内生产总值约335000亿元；用科学记数法表示为__________元18. 解不等式213436x x --≤；并把它的解集在数轴上表示出来. 2011年莆田市初中毕业升学考试中涉及到有理数中的知识1 02 0 20 2 1- 0 21- 1- -2 0 -11. 2011-的相反数是（ ）A ． 2011-B ． 12011-C ． 2011D ． 120113. 已知点P （1a a -，）在平面直角坐标系的第一象限内；则a 的取值范围在数轴上可表示为（ ）9. 一天有86400秒；用科学记数法表示为____________ 秒；分析：从08到11年试卷的试题中出现的有关有理数的知识可以看出；每年的试题类型的 差不多这几种。
人教初一数学上册知识点
人教初一数学上册知识点一、知识概述1. 《有理数》①基本定义：有理数就是能够写成两个整数之比的数，简单来说就是整数、有限小数还有无限循环小数这一类的数。
比如2是有理数，也是，因为可以写成1/2，…（无限循环）写成1/3也是有理数。
②重要程度：在初一数学里超级重要。
它是学习后面各种计算、方程的基础。
很多数学概念和实际问题的解决都是基于有理数的运算。
③前置知识：在学有理数之前，得知道整数的概念，会简单的加减法等算术运算。
④应用价值：在生活中算钱的时候就会用到，假如买东西花了元，就是有理数，还有计算距离、速度啥的也用到有理数运算。
2. 《整式》①基本定义：像3x、-4y²这种数与字母的乘积形式就是整式。
单独的一个数或者一个字母也叫做整式，就好比5是整式，a也是整式。
②重要程度：这是代数的起步知识，以后学各种函数、方程等都会涉及到整式的相关知识。
③前置知识：要对有理数运算比较熟，还有知道字母可以表示数这个概念。
④应用价值：举个例子，如果要计算长方形面积，设长为x，宽为y，面积就是xy，这就是整式在生活几何中应用的例子。
二、知识体系1. 《有理数》①知识图谱：有理数在初一数学上册中属于数的概念范畴，是基础的基础，很多其他数的学习都和它相关或基于它拓展。
②关联知识：和后面要学的无理数合起来就是实数了。
有理数的运算规则对整式运算也有启发意义。
③重难点分析：对有理数的正负性在运算中的影响是个难点，像两个负数相乘得正数这种规则有些同学一开始很难理解。
关键点就是得牢记运算规则，多做练习。
④考点分析：考试中经常单独出题考查有理数的运算，要么就是和后面的知识结合一起考查。
考查方式从单纯的计算，到在应用题中的运算都有。
2. 《整式》①知识图谱：整式在代数部分处于起始位置，往后的多项式、因式分解等都以整式为基础。
②关联知识：和方程关系紧密，比如一元一次方程中的未知数就是整式的形式。
③重难点分析：整式的系数、次数概念容易混淆，这是难点。
数学 七年级上册 有理数、整式概念及运算
模块一 有理数概念及运算1、数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴．2、相反数的特点：若a ,b 是一对相反数，则a+b =0；反之亦成立．3、绝对值：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0．互为相反数的两个数的绝对值相等．4、倒数特点：若a ,b （a ,b 均不为零）互为倒数，则ab=1；反之亦成立；0没有倒数．5、科学记数法：把一个大于10的数表示成a x 10n（1≤a ＜ 10,n 是正整数）的形式．6、常见运算律：加法交换律：a b b a+=+加法结合律：()()a b c a b c ++=++乘法交换律：ab ba=乘法结合律：()()ab c a bc =分配律：()a b c ab ac⨯+=+1.在下列选项中，具有相反意义的量是（ ） A ．胜2局与负3局B ．盈利5万元与支出6万元C ．气温升高3℃与气温为﹣3℃D ．向东行20米和向南行30米2.在21,7.5,,0.9,153-+--中,负分数的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43.下列各对数中，相等的一对数是（）A ．(3)--与3--B ．22-与2(2)-C ． 3(2)-与32-D ．223与22()3易错1 有理数相关概念4.学习有理数后，四位同学聊了起来．甲说：“没有最大的正数，但有最大的负数．”乙说：“有绝对值最小的数，没有绝对值最大的数．”丙说：“有理数分为正有理数和负有理数．” 丁说：“相反数是它本身的数是正数．”你认为哪位同学说得对呢？（） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁1.计算下列各题：①31(2)(4)()2---÷- ；②23122(3)(1)6293--⨯-÷-；③111721(3)(37)7732222+⨯-⨯⨯ ；④753(20)()(6)1264-⨯--+⨯-． 2.计算：1(2)3(4)2019(2020)+-++-+⋅⋅⋅++-的结果是（）A ．0B ．1C ．1010-D ．10103.观察下列等式：313113113111,,,,,144474771071010131013=-=-=-=-⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯则1111114477101013100103++++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯⨯的值为（ ）A ．100103B ．34103C ．3450D ．50103易错2 混合运算4.已知一列数，123401232222,,,2222a a a a a a a a ====----，⋅⋅⋅，当03a =时，则2020a 的值为（ ）A ．3B ．2-C ．12D ．435.观察下列有规律的数：111111,,,,,2612203042⋅⋅⋅根据规律可知⑴第7个数是，第n 个数是（n 为正整数）；⑵1132是第个数； ⑶计算1111111261220304220202021+++++⋅⋅⋅+⨯． 1.将数轴上点A 先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，得到点B ，若点B表示的数为3-，则点A 表示的数为（ ）A ．2 B ．1- C ．2- D ．5-2.数轴上一个点到1-所表示的点的距离为4，那么这个点在数轴上所表示的数是 ．3.操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）⑴折叠纸面，使表示1的点与1-的点重合，则2-表示的点与表示的点重合； ⑵折叠纸面，使1-表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：①5表示的点与数表示的点重合； ②若数轴上,A B 两点之间距离为9（A 在B 的左侧），且,A B 两点经折叠后重合，此时点A 表示的数是 ,点B 表示的数是 ；⑶已知在数轴上点A 表示的数是a ，点A 移动4个单位，此时点A 表示的数和a 互为相反数，求a 的值．易错3 数轴相关问题1.若2(21)30x y +++=，则x y +的值为（）A ．52B ．52-C ．72D ．72-2.对于有理数,a b ，有以下四个判断：①若a b =，则a b =；②若a b >，则a b >； ③若a b =-，则a b =；④若a b <，则a b <．其中正确的判定个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．13.已知4,6m n ==，且m n m n +=+，则m n -的值是（）A ．10-B ．2-C ．2-或10-D ．24.若,,a b c 为有理数，且1a b c abc++=，则abc abc的值为 ．5.已知数轴上有,,A B C 三点，分别表示数,,a b c ，并且满足2(12)50a b +++=，b 与c 互为相反数．一只电子小蜗牛从A 点向正方向移动，速度为2个单位/秒．⑴请求出,,A B C 三点分别表示的数；⑵运动多少秒时，小蜗牛到点B 的距离为1个单位长度；⑶设点P 在数轴上点A 的右边，且点P 分别到点,A 点,B 点C 的距离之和是20，那么点P 所表示的数是 ．易错4 绝对值相关问题1.阅读下列运算程序，探究其运算规律：m n a = ，且()m n x a x +=- ，()3m x n a x +=+ ，若112=- ，则12= ，21= ，119= ，2019= ．2.在数学中，为了简便， 记1123(1),nk k n n ==+++⋅⋅⋅+-+∑1!1,2!21,3!321,,==⨯=⨯⨯⋅⋅⋅!(1)(2)321n n n n =⨯-⨯-⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯，则20202021112021!2020!k k k k ==-+∑∑= ．1.有20筐白菜，以每筐30千克为标准，超过或不足的分别用正、负来表示，记录如下：与标准质量的差（单位：千克）3-2- 1.5-01 2.5框数142 328⑴20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐要重多少千克？⑵与标准质量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？⑶若白菜每千克售价2元，则出售这20筐白菜可卖多少元？2.下表是某水位站记录的潮汛期某河流一周内的水位变化情况（“+”号表示水位比前一天上升，“﹣”号表示水位比前一天下降，上周末的水位恰好达到警戒水位）．星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化/m+0.20+0.81﹣0.35+0.13+0.28﹣0.36﹣0.01问题：⑴本周哪一天河流水位最高，哪一天河流水位最低，它们位于警戒水位之上还是之下，与警戒水位的距离分别是多少？⑵与上周末相比，本周末河流的水位是上升还是下降了？易错5 新定义易错6 有理数应用1.如图，已知数轴上点A 表示的数为8，B 是数轴上位于点A 左侧一点，且20AB =，⑴写出数轴上点B 表示的数； ⑵53-表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如3x -的几何意义是数轴上表示有理数x 的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索：①：若82x -=，则x ＝ ．②：2+8x x +-的最小值为 ．⑶动点P 从O 点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为(0)t t >秒．求当t 为多少秒时，,A P 两点之间的距离为2？⑷动点,P Q 分别从O ，B 两点，同时出发，点P 以每秒5个单位长度沿数轴向右匀速运动，Q 点以P 点速度的两倍，沿数轴向右匀速运动，设运动时间为(0)t t >秒．问当t 为多少秒时，,P Q 之间的距离为4？挑战1 绝对值几何意义BA O82.绝对值拓展材料：a 表示数a 在数轴上的对应点与原点的距离．如：5表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而550=-，即50-表示5，0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的，有：535(3)+=--表示5，3-在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A 、B 在数轴上分别表示有理数,a b ，那么,A B 之间的距离可表示为a b -．完成下列题目：⑴,A B 分别为数轴上两点，A 点对应的数为2-，B 点对应的数为4①,A B 两点之间的距离为；②折叠数轴，使A 点与B 点重合，则表示3-的点与表示的点重合；③若在数轴上存在一点P 到A 的距离是点P 到B 的距离的2倍，则点P 所表示的数是 ； ⑵求22x x -++的最小值为，若满足226x x -++=时，则x 的值是．定义：如果10b n =，那么称b 为n 的劳格数，记为()b d n =．⑴根据劳格数的定义，可知：(10)1d =，2(10)2d =，那么：3(10)d =．⑵劳格数有如下运算性质：若,m n 为正数，则()()()d mn d m d n =+；(()()md d m d n n=-．当(3)0.48,(2)0.3d d ==时，根据运算性质，填空：①(6)d =；②2(3d =，9()4d =．挑战2 新定义整式单项式多项式单项式的系数，如243x y -的系数是3-单项式的次数，如243x y -的次数是6多项式的项，如221x x -++的项是2,2,1x x -多项式的次数，如221x x -++的次数为2模块二 整式概念及运算1、整式2、主要运算法则⑴合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．⑵去括号法则：括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”去掉，括号里各项都不变号；括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项都改变符号.1.式子：①x -；②21x x +-；③n m ；④12m +；⑤12-；⑥3m y π；⑦21a a +；⑧2m n +．⑴请将上述式子的序号分别填在相应的圆圈内：单项式多项式⑵其中次数最高的多项式是次多项式；⑶其中次数最高的单项式的次数是，系数是．易错1 整式相关概念2.下列说法正确的是（ ）A ．32x π的系数是2，次数是4B ．2x y 的系数是1，次数是2 C ．223x y xy -+的次数是5D ．2421x y xy -+的次数是33.已知45m a b +-和23a b 是同类项，则m 的值是（ ）A ．2B ．2-C ．4-D ．44.已知12x ab +-与34ab -是同类项，222a b -的系数为y ，17m a b 的次数是4，先分别求出,,x y m的值，然后再计算226xy x my ++的值．1.化简：⑴22237431x x x x -+-++；⑵22222(8)3(28)xy x y x y xy -+--+2.已知有理数a 、b 、c 表示在数轴上如图所示，化简||a a b c a b c -++-++．易错2 整式化简1.关于,x y 的多项式3222539xy ax xy x +-+-不含2x 的项，则a 的值为．2.已知关于,x y 多项式22(26)(2351)x ax y bx x y +-+--+-．⑴当,a b 分别取什么值时，此多项式的值与字母x 的值无关；⑵在⑴的条件下，求多项式22223(2)2(2)a ab b a ab b ---++的值．1.已知2a b -=，则221a b --的值为（）A ．1B ．3-C ．3D ．5-2.若22(1)0m n -+-=，则2m n +的值为（）A ．1-B ．4C ．0D ．4-3.下列去括号正确的是（）A ．()a b c a b c ++=+-B ．()a b c a b c +-=++C ．()a b c a b c -+=-+D ．()a b c a b c--=-+4.当5x =时，式子31ax bx -+的值是2，当5x =-时，求式子32020ax bx -+的值_________． 易错3 无关与不含问题易错4 化简求值5.先化简，再求值：22222()3(1)24a b ab a b ab +----，其中12020,2020a b ==．1.按如图所示的运算程序，能使输出的结果为3的是（）A ．1,2x y ==B ．2,2x y =-=-C ．3,1x y ==D ．1,1x y =-=-2.某校组织师生去天童山进行社会实践活动．若学校租用30座的客车x 辆，则有15人无法乘坐；若租用45座的客车则可少租用2辆，且最后一辆车还没坐满．那么乘坐最后一辆45座客车的人数是 人（用含x 的式子表示）．易错5 整式应用输入输出结果否是3.把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为4.5cm，宽为4cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（ ）图①图②A．18cm B．16cm C．17cm D．15cm4.七年级开展演讲比赛，学校决定购买一些笔记本和钢笔作为奖品．现有甲、乙两家商店出售两种同样品牌的笔记本和钢笔．他们的定价相同：笔记本定价为每本20元，钢笔每支定价5元，但是他们的优惠方案不同，甲店每买一本笔记本赠一支钢笔；乙店全部按定价的9折优惠．已知七年级需笔记本20本，钢笔x支（不小于20支）．问：⑴在甲店购买需付款 元？在乙店购买需付款 元（用含x的式子表示）？⑵若30x=，通过计算说明此时到哪家商店购买较为合算？⑶当40x=时，如何购买最省钱？试写出你的购买方法，并算出此时需要付款多少元？已知关于x 的多项式4323ax bx cx dx e ++++，其中,,,a b c d 为互不相等的整数，且4abcd =当1x =时，这个多项式的值为64．⑴求a b c d +++的值；⑵求e 的值；⑶当1x =-时，求这个多项式的所有可能的值．如图在2019个“□”中依次填入一列数字1232019,,,,m m m m ⋅⋅⋅，使得其中任意四个相邻的“□”中所填的数字之和都等于10-．已知460,7m m ==-，则12019m m +的值为（）7-⋅⋅⋅A ．0B ．3-C ．10-D ．14-挑战1 整式综合挑战2 整式综合模块三 一元一次方程1、一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式．2、等式的性质1 ：等式两边加（或减）同一个数 （或式子），结果仍相等．等式的性质2 ：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．3、解一元一次方程的步骤：去分母——去括号——移项——合并同类项——系数化为1．下列方程中，是一元一次方程的是（ ）A ．224x x -=B ．213x x -=C ． 4x y +=D ．10xy -=1.已知5x =是方程43x a -+=的解，则a 的值是（）A ．1-B ．1C ．2D ．2-2.方程122x -=的解是（）A ．14x =-B ．4x =-C ．14x =D ．4x =3.已知3x =是关于x 的方程27x m -=的解，则m 的值是．易错1 一元一次方程概念 易错2 一元一次方程的解4.观察表格：x 的值3-2-1-0124ax -的值2-02468从表中可以看出当42ax -=时，x =，可以求出a = ．1.下列方程变形正确的是（）A ．由35x =-得35x =-B ．32x +=-得23x =--C ．由104y =得4y =D ．由46x ÷=得64x =÷2.下列结论中错误的有（）①若a b =，则33ac bc -=-；②若ax ay =，则x y =；③若a cb b =，则ac =；④若0.3250.2x -=，则32052x -=． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个易错3 等式的性质1.在解方程32123x xx ---=-时，去分母正确的是（ ）A ．3(3)162(2)x x x --=--B ．3(3)664x x x --=--C ．3(3)62(2)x x x --=--D ．3(3)662(2)x x x --=--2.方程2120mx x +-=是关于x 的一元一次方程，若此方程的解为正整数，则正整数m 的值有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3.解下列方程：⑴2(5)8x x -+=；⑵12136x x ---=． 定义：对于一个有理数x ，我们把[]x 称作x 的对称数．若0x ≥，则[]2x x =-；若0x <，则[]2x x =+．例：[][]1121,2220=-=--=-+=．⑴求32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，[]1-的值；⑵已知有理数0,0a b ><，且满足[][]a b =，试求式子3()22b a a b --+的值；⑶解方程：[][]211x x ++=．易错4 解一元一次方程 挑战1 新定义。
第一章有理数,第二章整式的加减法复习教案
砖_________块。
18、为鼓励节约用电，某地对居民用户用电收费标准作如下规定：每户每
月用电如果不超过100度，那么每度电价按a元收费；如果超过100度，那么
超过部分每度电价按b元收费。某户居民在一个月内用电160度，他这个月
应缴纳电费是
元（用含a、b的代数式表示）。
三、解答题（共46分）
待学 生完 成， 教师 批改 后， 选择 性的 进行 订正
梳理
2、 什么叫做单项式的系数、次数？什么叫做多项式的项、次数？
知识
3、 什么叫做同类项？怎样合并同类项？合并同类项的依据是什么？
点，
4、 怎样去括号？去括号的依据是什么？符号变化有什么规律？
教师
补充
一、选择题（共30分）
并列
1、用代数式表示a与-5的差的2倍是( )
举相
A、a-(-5)×2
B、a+(-5)×2
C、2(a-5） D、2(a+5）
应知
2、下面的式子，正确的是（ ）
识点
A、3a2+5a2=8a4 B、5a2b-6ab2=-ab2 C、6xy-9yx=-3xy D、2x+3y=5xy 的 例
数与式知识点总结
数与式知识点总结数与代数A、数与式1、有理数：①整数→正整数/0/负整数②分数→正分数/负分数数轴：①画一条水平直线，在直线上取一点表示0(原点)，选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。
②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。
在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。
④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。
正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
绝对值：①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。
两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
有理数的运算：加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。
②异号相加，绝对值相等时和为0;绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
③一个数与0相加不变。
减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。
②任何数与0相乘得0。
③乘积为1的两个有理数互为倒数。
除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。
②0不能作除数。
乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。
混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。
实数无理数无限不循环小数叫无理数平方根：①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。
②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。
③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。
④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。
立方根：①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。
②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。
③求一个数A 的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。
整式的运用知识点总结
整式的运用知识点总结整式是由数字、代数记号及其乘、除、加、减运算符号组成的代数表达式。
整式是代数学中的一个重要概念，它在数学中有着广泛的运用。
整式的运用涉及到代数的基本运算、因式分解、方程与不等式等内容。
下面将从整式的基本概念、代数运算、因式分解、方程与不等式等几个方面进行整式的运用知识点总结。
1. 整式的基本概念整式包括单项式和多项式两种形式。
单项式是指只包括一个项的代数式，例如：3x, -5y,2x^2。
多项式是指由若干个单项式相加或相减而成的代数式，例如：2x^2+3x-5, 4x^3-2x^2+7x-1。
整式中的项可以是常数、变量、常数与变量的乘积以及它们的运算。
整式的运算包括加法、减法、乘法和除法运算。
整式的加法和减法遵循交换律和结合律，整式的乘法满足分配律和结合律，整式的除法需要满足被除式不为零的条件。
2. 代数运算在代数运算中，整式的基本运算包括有理数运算、整式加减法、整式乘法、整式除法等。
有理数运算是代数中常见的计算方法，包括有理数的加减乘除。
整式的加减法是指将同类项相加或相减，保持同类项同类并合并同类项。
整式的乘法是指将每一个单项式与另一个多项式的每一项相乘，并进行合并同类项。
整式的除法是指将一个整式除以另一个整式，并进行化简，要求被除式不为零并且除式的次数不超过被除式的次数。
代数运算的目的是求出整式的值或者对整式进行化简。
3. 因式分解因式分解是将一个整式分解成几个整式乘积的形式。
因式分解是整式的重要运用之一，它可以帮助我们化简整式、求解方程和不等式等。
常见的因式分解方法包括提公因式法、分组法、换元法、代数除法法等。
提公因式法是指根据整式中的公因式进行因式分解，例如：2x^2+4x=2x(x+2)。
分组法是通过合理的分组来进行因式分解，例如：ab+ac+bc=a(b+c)+bc。
换元法是通过引入新的变量来进行因式分解，例如：a^2+b^2=(a+b)(a-b)。
代数除法法是通过长除法或者短除法来进行因式分解，例如：x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)。
有理数与整式知识点总结
有理数与整式知识点总结编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（有理数与整式知识点总结）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第一部分：有理数有理数知识点总结正数：大于0的数叫做正数。
1。
概念负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。
注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线,是整数,一、正数和负数自然数，有理数。
（不是带“-"号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。
)2.意义:在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。
有理数：整数和分数统称有理数。
1.概念整数：正整数、0、负整数统称为整数。
分数：正分数、负分数统称分数。
（有限小数与无限循环小数都是有理数。
）注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数,负整数和零统称为非正整数。
2。
分类：两种二、有理数⑴按正、负性质分类: ⑵按整数、分数分类:正有理数正整数正整数有理数正分数整数 0零有理数负整数负有理数负整数分数正分数负分数负分数3.数集内容了解1。
概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
三要素：原点、正方向、单位长度2。
对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的.三、数轴比较大小:在数轴上,右边的数总比左边的数大。
3。
应用求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。
（注意不带“+”“—”号）代数:只有符号不同的两个数叫做相反数。
（0的相反数是0）1.概念几何:在数轴上,离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。
2。
性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b;反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数。
初一数学有理数的要点归纳
初一数学有理数的要点归纳初一数学有理数的要点一、知识要点本章的主要内容可以概括为有理数的概念与有理数的运算两局部。
有理数的概念可以利用数轴来认识、理解，同时，利用数轴又可以把这些概念串在一起。
有理数的运算是全章的重点。
在具体运算时，要注意四个方面，一是运算法那么，二是运算律，三是运算顺序，四是近似计算。
根底知识：1、正数(positionnumber)：大于0的数叫做正数。
2、负数(negationnumber)：在正数前面加上负号"-"的数叫做负数。
3、0既不是正数也不是负数。
4、有理数(rationalnumber)：正整数、负整数、0、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
5、数轴(numbera某is)：通常，用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。
数轴满足以下要求：(1)在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点(origin);(2)通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向，从原点向左(或下)为负方向;(3)选取适当的长度为单位长度。
6、相反数(oppositenumber)：绝对值相等，只有负号不同的两个数叫做互为相反数。
7、绝对值(absolutevalue)一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。
记做|a|。
由绝对值的定义可得：|a-b|表示数轴上a点到b 点的距离。
一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.正数大于0，0大于负数，正数大于负数;两个负数，绝对值大的反而小。
8、有理数加法法那么(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
(2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
互为相反数的两个数相加得0.(3)一个数同0相加，仍得这个数。
加法交换律：有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变。
表达式：a+b=b+a。
加法结合律：有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。
有理数及整式加减的知识点分析
有理数运算知识点分析1、有理数的加法是有理数运算的重点，它比算术中的加法运算复杂，而且容易出错。
(1)有理数加法法则是进行有理数加法的依据，进行加法运算时，首先判断两个加数的符号，是同号？是异号或是有一个零，从而来确定用哪一条法则。
求和时，先确定和的符号，然后利用绝对值，把有理数转化为非负数按小学加法或减法求大小，再写出结果。
(2)有理数的加法满足交换律、结合律、进行有理数的加法运算时，可以任意交换加数的位置，也可以先把其中的几个数加起来，利用加法运算律，使计算简便。
2、有理数的减法(1)把相反数的概念应用在有理数的减法法则中，就可把减法运算转代为加法运算，所以在有理数中，加减法是统一的。
(2)在算术里做减法运算时，被减数一定要大于或等于减数。
现在学了有理数减法法则以后，因为有理数的加法运算算是可以进行的，所以有理数减法运算也总是可以进行的。
3、有理数的加减混合运算：(1)由于减法可以转化为加法，因此加减混合运算，都可以统一成加法运算。
像这样把加地统一写成加法的式子，叫做代数和。
代数和与算术的和的最主要区别就是代数和中的加数可以是负数。
(2)在一个代数和中，加号可以省略不写，即(-10)+(+3)+(+4)+(+5)+(+2)可以写成-10+3-4+5+2,读作“负10、正3、负4、正5、正2的和”，又可以读作“负10加2减4加5加2”。
可见在有理数的加减运算中，“+”“-”号可以当作运算符号，也可以当作性质符号。
(3)因为有理数加减法呆统一成加法，所以进行有理数的加减混合运算时，可以运用加法交换律与结合律，但要注意在交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换。
4、有理数的乘法(1)有理数做乘法运算时，若其中有一个数为零，则其积也为零。
若两个不为零的数相乘，则先确定积的符号(这与小学是不同的)，然后转化为绝对值相乘(即利用小的乘法运算)。
(2)小学学过的乘法运算律，在有理数内仍然适用。
5、有理数的除法(1)倒数小时已学过“乘积是1的两个数互为倒数”，在有理数范围内仍然这样定义。
初中数学重难点全解 七年级 用最简单的方法解最难的题
㊃1㊃本章的主要知识点可以概括为有理数的有关概念和有理数的运算两部分.有理数的有关概念包括有理数分类的原则和方法㊁相反数㊁数轴㊁绝对值的概念和特点.可以利用数轴来认识和理解有理数的有关概念.有理数的运算和运算律是本章的重点.运算包括有理数的加㊁减㊁乘㊁除㊁乘方及简单的混合运算;运算律包括加法交换律㊁加法结合律㊁乘法交换律㊁乘法结合律㊁乘法分配律等.科学计数法与乘方有关,近似数和有效数字在实际生活中有广泛意义.1.有理数是初中数学的基础内容,也是中考的重要考点之一,主要和其他知识联合考查.中考试题中分值约为3~6分,多以选择题㊁填空题㊁计算题的形式出现,属于简单题.近几年主要考查以下几个方面:(1)相反数,绝对值,倒数等相关概念;(2)负数的乘方,加减及混合运算.本章的重点是有理数概念的理解及有理数的运算和运算律.基本概念的考查频率很高,几乎每个地区的中考卷都会涉及.有理数运算和运算律一般融入其他运算一并考查,近似数和有效数字考试中涉及略少.例1 下面说法正确的是( ).A.0不是整数B .有理数包括正整数㊁负整数㊁正分数㊁负分数C .一个整数不是正整数,就是负整数D.整数和分数统称为有理数ʌ解析ɔ 此题必须明确有理数的意义和分类.整数包括正整数㊁0㊁负整数,因此选项A ㊁选项C 不正确.0是有理数,因此选项B 不正确.整数和分数统称为有理数,故选项D 正确.ʌ说明ɔ 有理数的分类方式有两种,可分为整数㊁分数;也可分为正数㊁0和负数.因此,有理数分类要按统一标准分类,做到既不重复,也不遗漏.另外,整数可以看作分母是1的分数.因此,有理数都可以化成分数,而能够化成分数的数就是有理数.π=3.1415926 是无限不循环小数,它不能化成分数,所以π不是有理数.练习1 下列说法中正确的有( ).①最小的自然数是1;②最小的正数是1;③最小的非负数是0;④0既不是奇数,也不是偶㊃2 ㊃数;⑤0表示没有海拔高度.A.1个B .2个C .3个 D.4个例2 在中央电视台 开心辞典 栏目中,主持人问嘉宾这样一道题目: 若数轴上的点A 和点B 表示互为相反数的两个数,并且它们到原点的距离之和是9.6,那么点A 和点B 表示两个什么样的数(A >B ) 你能帮嘉宾解决问题吗?ʌ解析ɔ 互为相反数的两个数,它们的绝对值相等,所以它们到原点的距离相等.两个数到原点的距离和是9.6,那么它们到原点的距离均为4.8,因此大数A 是4.8,小数B 是-4.8.ʌ说明ɔ 绝对值㊁相反数㊁数轴的概念难度不大,但极易混淆.有时也和定义新运算这类题目联系起来考查.数轴上任意两点间的距离是有关高中知识 空间距离 学习的基础.例如,表示数a的点A 与表示数b 的点B 之间的距离A B =a -b 或A B =|b -a |,与表示数m 的点的距离为a (a >0)的点有两个,分别是m +a 和m -a .练习2 数轴上表示整数的点称为整点.某数轴的单位长度是1厘米,若在这个数轴上任意画一条长为2015厘米的线段,则该线段盖住的整点的个数是( ).A.2012或2013 B .2013或2014 C .2014或2015 D.2015或2016例3 计算-17+17ː(-1)11-53ˑ(-0.2)3.ʌ解析ɔ 原式=-17+17ː(-1)-125ˑ(-0.008)=-17+(-17)-(-1)=-17-17+1=-33.ʌ说明ɔ 有理数运算是初中数学运算的基础,熟练地进行有理数运算是初一数学的重点.有理数混合运算区别于小学混合运算的根本点是符号的处理.在运算中要强调符号优先的原则,任何一种运算都要遵循先定符号后算数的原则,同时还要注意不同种运算之间的相互转化.减法先变为加法,除法先变为乘法后再运算.加法法则可先确定和的符号,再做绝对值的运算.异号两数相加较易出错,应加以注意.有理数乘法的重点仍然是确定符号,先确定好符号,然后把绝对值相乘;带分数相乘时,要先把带分数化为假分数;分数与小数相乘时,要统一化成小数或分数.练习3 计算-1-(-3)3-3+0.4ˑ-112æèçöø÷éëêêùûúúː(-2){}.2.本章的难点是负数概念的建立㊁有理数有关概念的深入理解以及有理数运算法则的理解和运用.正数和负数是表示相反意义的量,正和负具有相对性.有理数的运算是一切运算的基础,也㊃3 ㊃是必考内容.考试中的难题往往把有理数有关概念与计算相结合.突破方法:(1)牢固掌握有理数有关的概念,如相反数,倒数,绝对值等,真正掌握数形结合的思想.(2)熟练掌握有理数的各种运算法则,特别是有负数的运算.在混合运算中须特别注意符号和运算顺序.例1 从前有座庙,庙里有个小和尚,每天早晨都清扫庙门前的台阶.庙的门前一共有9级台阶,当他一步只能上1级台阶或2级台阶时,走完1级台阶只有1种方法;走完2级台阶共有2种方法;走完3,4,5,6,7级台阶,共分别有3,5,8,13,21种方法.那么,当他走完这9级台阶,一共有多少种方法呢ʌ解析ɔ 这是一道找规律题,当台阶分别是1,2,3,4,5,6,7时ˌˌˌˌˌˌˌ所对应的方法有1,2,3,5,8,13,21种经观察发现,每一种方法数目都是前面两种方法数目的和,所以,走完8级台阶有13+21=34(种)方法,走完9级台阶有21+34=55(种)方法.ʌ说明ɔ 规律题也是本章的一大难点.近年来,经常出现一类由特殊到一般,由具体到抽象的规律探究中考题,它涉及有理数的运算特点.例如增加相同的加数或相同的倍数,后面的数是前面几个数的和或正负数交替出现,相应的数是序号数的平方等.这类问题思路别致,具有启发思维㊁引导创新的意义.练习4 观察下列数据的变化规律,写出第n (n ȡ1)个数-2,4,-6,8,-10 则第n 个数为.例2 如图11,数轴上的三点A ,B ,C 分别表示有理数a ,b ,c ,化简|a +b |+|a -c |-|c -b |.OBAC图11ʌ解析ɔ 由题意得a <b <0<c ,|b |<|c |<|a |,所以a +b <0,a -c <0,c -b >0.所以原式=-(a +b )+[-(a -c )]-(c -b )=-a -b -a +c -c +b=-2a .ʌ说明ɔ 首先要全面理解绝对值的定义.绝对值有两层含义.①代数定义:正数的绝对值是它的本身,0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数;②几何定义:数a 的绝对值的几何意义是实数a 在数轴上所对应的点到原点的距离.其次,绝对值的化简要注意三个问题:①符号 || 是 非负数 的标志;②数a 的绝对值只有一个;③处理任何类型的题目,只要其中有 || 出现,其关键一步是去掉 || 符号.练习5 如图12,蚂蚁妈妈在数轴上的点A 处,已知数轴上点A 表示的数为6,B 是数轴上另一点,且A B =9.蚂蚁妈妈从点A 出发,以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,设运动时间为t (t >0)秒.㊃4 ㊃O BA 06图12(1)写出数轴上点B 表示的数,蚂蚁妈妈在运动过程中的某一点表示的数是(用含t 的代数式表示);(2)一只小蚂蚁从点B 出发,以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,若两只蚂蚁同时出发,问蚂蚁妈妈运动到多少秒时追上小蚂蚁?例3 下列等式成立的是( ).A .100ː13ˑ(-3)=100ˑ3ˑ(-3) B .100ː13ˑ(-3)=100ˑ3ˑ3B .100ː13ˑ(-3)=-100ː13ˑ3æèçöø÷D .100ː13ˑ(-3)=100ˑ13ˑ3ʌ解析ɔ 选项B 丢了负号;选项C 搞乱了运算顺序,乘除法是同级运算,应该从左往右按顺序运算,不应该先算后面的.选项D 弄错除法法则和漏掉负号,除以一个分数等于乘以这个分数的倒数.故选A .ʌ说明ɔ 此题考查运算顺序,做有理数混合运算,必须注意运算顺序:先乘方,再乘除,最后加减;同级运算从左向右进行;如果有括号,先做括号内的运算,按小括号㊁中括号㊁大括号的顺序依次进行.在进行混合运算时,若能用运算律则用运算律,使运算简捷.练习6 计算-100ˑ18-0.125ˑ32.5+17.5ˑ(-12.5%).3.本章的易错点比较细小,也比较多.例如,符号问题㊁混合运算的顺序㊁乘方运算的意义㊁科学计数法理解不透㊁有效数字和近似数弄错等.最大的易错点就是符号,学生往往忽视了符号在运算中所起的作用.任何一种运算都要先考虑符号,尤其是乘方运算,更要在注意符号的前提下,避免底数的运算错误.例1 计算-12-34ˑ-32ˑ-23æèçöø÷2-2éëêêùûúúː(-1)2013.ʌ解析ɔ 原式=-1-34ˑ-9ˑ49-2æèçöø÷ː(-1)=-1-34ˑ(-4-2)ː(-1)=-1-34ˑ(-6)ː(-1)㊃5 ㊃=-1-92=-112.ʌ说明ɔ 有理数的乘方运算是利用有理数乘法运算进行的,根据有理数的乘法法则得出:①负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;②正数的任何次幂都是正数;③0的任何次幂都是0.乘方运算经常在符号上出错,例如,-24=-16,(-2)4=16,前者 - 不发生4次方运算,因此结果仍然是负数,后者 - 发生了4次方运算,因此结果是正数,注意两者的区别.再者,解题一定要注意运算顺序的正确性,不可任意颠倒.练习7 计算-72+2ˑ(-2)2+(-6)ː-13æèçöø÷2.例2 一位知名企业家去看望幸福养老院的老人,带去了价值约1.35万元的日用品和价值约3.02ˑ105元的营养品.(1)请判断这两个近似数各精确到了哪一位?(2)它们各有几位有效数字?ʌ解析ɔ (1)题不要只看1.35,而忽略了单位 万 ,把1.35万还原为13500,再看数字5在哪个数位,因此答案是精确到百位.有3位有效数字.(2)题不要只看3.02,而忽略了 ˑ105 .把3.02ˑ105还原为302000,再看数字2在哪个数位,因此答案是精确到千位,有3位有效数字.ʌ说明ɔ 一般地,一个近似数四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.近似数最末尾的数字在什么数位上,就表明精确到什么数位.有效数字的位数是从左边第一个不是0的数字起到最后一个数字为止.但是一个用科学计数法表示的数,即a ˑ10n,有效数字只算a 中的位数;精确度是a 中最末一位数字,数位必须是这个数字在还原后的数中的数位.练习8 嫦娥三号 已成功发射,在行进中的某一时刻,测得距离它最近的三个星球的距离分别是下面的数值.请你用四舍五入法对下列各数按要求取近似值,并用科学计数法表示结果.(1)523600千米(精确到千位);(2)668954000千米(精确到千万位);(3)95288000千米(精确到万位).例3 计算(1)213-312+11336æèçöø÷ː-116æèçöø÷;(2)-130æèçöø÷ː12+43-16æèçöø÷.ʌ解析ɔ (1)先把除法转化为乘法,再利用乘法分配律计算.原式=73-72+4936æèçöø÷ˑ-67æèçöø÷=73ˑ-67æèçöø÷-72ˑ-67æèçöø÷+4936ˑ-67æèçöø÷=-2+3-76=-16;(2)先计算括号里面的,然后再把除法转化为乘法计算.㊃6 ㊃原式=-130æèçöø÷ː106=-130æèçöø÷ˑ610=-150.ʌ说明ɔ 灵活适当地运用运算律可以简化运算,从而提高解题速度.但减法和除法没有运算律,要先把减法转化为加法,除法转化为乘法之后,才可以使用运算律.例如上面第(2)题的除法就不能使用分配律.因此,计算不能急于求成,不能在违反运算顺序的情况下强行 简便 运算.计算题算出结果后,还要认真检查,防止出错.练习9 阅读计算过程:313-22ː12æèçöø÷2-(-3+0.75)éëêêùûúúˑ5.解:原式=313-22ː14-3+34æèçöø÷ˑ5 ①=313+4ː(-2)ˑ5②=313+25③=31115.回答下列问题:(1)步骤①错在;(2)步骤①到步骤②错在;(3)步骤②到步骤③错在;(4)此题的正确结果是.4.在充分理解有理数有关概念,正确掌握有理数运算法则和运算顺序㊁运算律后,就具备了解决一些综合性题目的能力.我们可以根据某些题目的特点,将算式灵活变形,对不同的算式可以采取运算顺序重新组合㊁因数分解㊁拆项裂项等不同的方法,达到优化解题㊁简化计算的目的.例1 若一台机器人站在数轴的原点处,按照指令分别向左右两个方向移动,右边是正方向,左边是负方向.先向右移动1米,再向左移动2米;然后再向右移动3米,向左移动4米.依次移动下去,每次方向相反,距离增加1米.当移动完2014次时,它位于原点的哪一侧?距离原点多远?ʌ解析ɔ 向右记为正数,向左记为负数.那么有1+(-2)+3+(-4)+ +2011+(-2012)+2013+(-2014),将此式中的数两两相加,原式=(-1)+(-1)+ +(-1)=-1007.即移动完2014次时,它位于原点左侧,距离原点1007米远.ʌ说明ɔ 运用加法的交换律㊁结合律,把某些具有相同属性的数分别结合在一起相加,例如,正数和负数分别相加;同分母分数相加;带分数把整数和分数部分拆开分别相加;相反数相加等.㊃7 ㊃这样可以很大程度地简化运算.练习10 计算1+2+3+4+5+6+ +998+999+1000.例2 现定义两种运算 * ә ,对于任意两个整数a ,b ,有a *b =a b -2,a әb =a +b +1,求式子5ә[(2*3)*(3ә4)]的值.ʌ解析ɔ 原式=5ә[(2ˑ3-2)*(3+4+1)]=5ә(4*8)=5ә(4ˑ8-2)=5ә30=5+30+1=36.ʌ说明ɔ 定义新运算中的符号 代表的是一种特定的运算,它是一种融合了几种基本运算在内的综合运算程序.在不同的题目中分别有不同的代表性,具体到每一道题,它首先会标明 符号 所代表的运算程序,我们只要在正确运算的基础上按照其程序运算即可.练习11 已知a ,b 为有理数,如果规定一种新的运算 ,即a b =a b +a -b +1.例如,2 3=2ˑ3+2-3+1=6.请你根据的定义计算下列各题:(1)(-2) 5; (2)(4 2) (-1).例3 已知a 1,a 2,a 3, ,a 2014都是正整数,且P =(a 1+a 2+a 3+ +a 2013)ˑ(a 2+a 3+ +a 2013+a 2014),Q =(a 1+a 2+ +a 2013+a 2014)ˑ(a 2+a 3+ +a 2013).那么P ㊁Q 的大小关系是( ).A .P >QB .P <QC .P =QD .无法确定ʌ解析ɔ P =(a 1+a 2+a 3+ +a 2013)ˑ(a 2+a 3+ +a 2013+a 2014)=(a 1+a 2+a 3+ +a 2013)ˑ(a 2+a 3+ +a 2013)+(a 1+a 2+a 3+ +a 2013)ˑa 2014,Q =(a 1+a 2+ +a 2013+a 2014)ˑ(a 2+a 3+ +a 2013)=(a 1+a 2+a 3+ +a 2013)ˑ(a 2+a 3+ +a 2013)+a 2014ˑ(a 2+a 3+ +a 2013),因为(a 1+a 2+a 3+ +a 2013)ˑa 2014>a 2014ˑ(a 2+a 3+ +a 2013),所以P >Q ,故选A .ʌ说明ɔ 这种题目就要把着眼点放在问题的整体结构上,通过对题目的整体分析,把其中的(a 1+a 2+a 3+ +a 2013)ˑ(a 2+a 3+ +a 2013)当作一个整体,只把a 2014分离出来,这样就在两个不同的式子之间找到了共同点,也就找到了突破点,然后只比较不同的部分即可.练习12 已知a ,b ,c 为整数,且a +b =26,c -a =15.若a <b ,则a +b +c 的最大值是多少?㊃8 ㊃5.在本章的学习中,基本的学习要求是熟练地掌握相反数㊁绝对值㊁数轴等定义,更重要的是了解其中蕴含的数学思想方法.本章中最常用的数学思想方法有方程思想㊁整体思想㊁数形结合思想㊁化归思想㊁分类讨论思想等.学习数学要不断去探索㊁猜想㊁不断总结规律方法,才会有所发现㊁有所创新.这就是人们常说的 举一反三 .例1 在数轴上表示p ,0,1,q 四个数的点如图13所示,已知O 为P Q 的中点.求p +q +pq+p +1的值.OPp 10Qq 图13ʌ解析ɔ 此题充分利用数轴的直观形象,理解一对相反数到原点的距离相等,因此一对相反数的和是0,而一对相反数的商是-1,此问题便迎刃而解.因为O 为P Q 的中点,则p +q =0,p =-q ,所以p +q =0,pq=1,由数轴可知p <-1,则p +1=-p -1,所以原式=0+1-p -1=-p .ʌ说明ɔ 本题所体现的是数形结合的思想.数轴是数形结合的重要工具.本章中,我们一直用数轴来定义或描述有理数的概念㊁运算等,数轴成为理解有理数及其运算的重要工具.在解决没有给出具体数值的有理数问题时,常常把 数 的问题通过数轴转化为 形 来表示,从而直观简捷地解决问题.练习13 如果a ,b ,c ,d 为互不相等的有理数,且|a -c |=|b -c |=|d -b |=1,则|a -d |=.例2 为了增加陌生人之间的友爱和关怀,社会上很多年轻人成立了 抱抱团 .如果 抱抱团 的一名成员分别去热情拥抱两名陌生人,而每名被拥抱的人再去拥抱另外两名陌生人,照这样依次拥抱下去,那么,当拥抱完2013次之后,这条线上所有参加过拥抱的一共有多少人?ʌ解析ɔ 发起人1名,一次拥抱结束后增加2人,两次拥抱结束后增加22人,以此类推,2013次拥抱结束后增加22013人.所以总人数为1+2+22+23+ +22011+22012+22013(人).此题运算的数多,且幂指数大,无法直接计算,必须先将其变形,应用错位相减法,消掉一些项再进行计算.设S =1+2+22+23+ +22011+22012+22013,故 2S =2ˑ(1+2+22+23+ +22011+22012+22013)=2+22+23+ +22011+22012+22013+22014.所以S =2S -S=(2+22+23+ +22011+22012+22013+22014)-(1+2+22+23+ +22011+22012+22013)=22014-1.㊃9 ㊃即当拥抱完2013次之后,这条线上所有参加过拥抱的一共有22014-1人.ʌ说明ɔ 本题体现的是化归思想方法,就是将所要解决的复杂问题转化为简单问题来解决.具体地说,就是把 旧知识 转化为 新知识 ,把 未知 转化为 已知 ,把 复杂 问题转化为 简单 问题.对于算式规律性问题,我们要注意观察各部分算式的变化规律以及各算式之间的关系.根据其规律将算式变形,转化为简单的关系来解决.练习14 已知a b -2+a -2=0,求1a b +1(a +1)(b +1)+1(a +2)(b +2)+ +1(a +2012)(b +2012)的值.例3 比较|p |+|q |与|p +q|的大小.ʌ解析ɔ 我们根据绝对值的法则,要化简绝对值符号,必须先判断绝对值符号里面的式子的正负性.即根据 先定正负后去号 的原则.式子中字母的取值,要分三种情况讨论.①当p ,q 符号相同时,无论同正还是同负,都有|p |+|q |=|p +q |;②当p ,q 符号相反时,无论p ,q 哪一个为负,都有|p |+|q |>|p +q |;③当p ,q 至少一个为0时,则有|p |+|q |=|p +q |.ʌ说明ɔ 本题所用的是分类讨论思想.当研究的问题包含多种可能时,不能一概而论,必须按可能出现的所有情况来分别讨论,得出相应的结论.本章在研究相反数㊁绝对值㊁有理数乘方运算的符号法则时,都是把有理数分为正数㊁负数㊁零三类分别进行研究的.例如绝对值化简的0段分类法㊁倒数中的分段讨论大小都是分类讨论思想.分类讨论必须遵循两条原则:①每一次分类的标准相同;②不重复,不遗漏.练习15 设y =|k -1|+|k +1|则下面四个结论中正确的是( ).A .y 没有最小值B .只有一个k 使y 取最小值C .有限个k (不止一个)使y 取最小值D .有无穷多个k 使y取最小值一㊁填空题(每小题2分,共28分)1.在-1.5,197,0,π3,0.131313 ,-25中,有理数的个数是.2.王老师家的冰箱冷冻室的温度是-4ħ,调高2ħ后的温度是ħ.3.多多同学写错了一个算式-5+12=17,请你在不改变数字的情况下,直接在算式中添加 括号 绝对值符号 或 负号 (不限定个数)使等式成立:.4.实验表明,一个成年人血液的质量占人体质量的6%~7.5%,某人体重65千克,那么他的血液质量范围在千克.(结果保留两个有效数字)㊃10 ㊃5.若|a |=2,则a +3=;若a 的相反数是最小的质数,b 是最大的负整数,则a +|-b |=.6.有理数a 等于它的倒数,有理数b 等于它的相反数,则a 2013+b 2013=.7.一个数与-3的乘积是-156的倒数,则这个数是.8.已知x ㊁y ㊁z 是不为0的有理数,化简x x +y y+zz 的值可能是.9.2008年北京奥运会火炬传递路线全长约为13700公里,用科学计数法表示为;精确到千位是.10.已知|a |=5,|b |=3,且ab<0,则a +b =,a b =.11.某种活性细胞在培养过程中,每半小时就分裂一次,由一个分裂成两个,经过3小时,这种细胞可由一个分裂成个.12.下列有四个结论①若a =b ,则a 2=b 2,②如果a >b ,那么a 2>b 2,③若a 2=b 2,则a =b ,④如果a 2>b 2,那么a >b .其中正确的有个.13.绝对值不大于10000的所有整数的和是,积是.14.计算(-1)4-16ˑ[2-(-3)2]=.二㊁选择题(每小题3分,共18分)15.下列说法中正确的是( ).A .同号两数相乘,符号不变B .两个数相加,和大于任何一个加数C .任何数与0相乘仍得这个数D .一个数与-1相乘,积为该数的相反数16.下面说法中错误的是( ).A .近似数2千万和2ˑ103万精确度相同B .近似数2千万和2ˑ103万的有效数字相同C .近似数2.013和2.010有效数字位数相同D .近似数2.013和2.010精确度不同17.下列说法中正确的是( ).A .若a =-b ,则|a |=-|b |B .若|a |=|b |,则a =bC .如果|a |>|b |,那么a 2>b 2D .如果a >b ,那么|a |>|b |18.小花猫捡到了一块蛋糕,被狐狸看到了,狡猾的狐狸就一口吃掉了蛋糕的一半,再一口吃掉了剩下的一半,就这样连续吃了五口,那么,小花猫还剩下蛋糕的( ).A .18B .116C .110D .13219.若a =-2ˑ32,b =(-2ˑ3)2,c =-(2ˑ3)2,则下列大小关系正确的是( ).A .a >b >cB .b >c >aC .b >a >cD .c >a >b20.已知A =-2011ˑ20122013ˑ2014,B =-2011ˑ20132012ˑ2014,C =-2011ˑ20142012ˑ2013,那么,A ,B ,C 的大小关系是( ).A .A >B >CB .A <B <CC .B >A >CD .B >C >A三㊁解答题(共54分)21.(6分)用简便方法计算下面各题㊂(1)-15+12-112æèçöø÷ˑ(-60); (2)(-4)ˑ25ˑ(-0.25)ˑ54.22.(6分)很久以前,有位英俊的王子中了老巫婆的魔咒,变成了一只青蛙,被扔到一口水井里.水面比井口低3米,青蛙从水面沿着井壁向上往井口爬,第一次往上爬了0.5米后,往下滑了0.1米;第二次往上爬了0.42米,却又下滑了0.15米;第三次往上爬了0.7米,却下滑了0.15米;第四次往上爬了0.75米,却下滑了0.1米;第五次往上爬了0.55米,没有下滑;第六次青蛙又往上爬了0.59米,问青蛙能够爬出井口吗?23.(6分)有下列三行数,第一行:1,-4,9,-16,25,-36 ;第二行:-1,2,-3,4,-5,6 ;第三行:0,3,8,15,24,35 .这三行数的规律各是什么?请取每行的第100个数,并计算它们的和.24.(6分)已知三个有理数a ,b ,c 的和是正数,它们的积是负数,当m =a a +b b +c c时,求代数式m 3+m 2+m +1的值.25.(6分)计算112-256+3112-41920+5130-64142+7156-87172+9190.26.(8分)若a,b,c为整数,且|a-b|100+|c-a|100=1,试求代数式|c-a|+|a-b|+|b-c|的值.27.(8分)小华有三个有理数1,a+b,a,小毛也有三个有理数0,b,b a,丽丽说: 你们俩的数是一样的,我有一个和你们不一样的数x,它的绝对值是2㊂请你计算(a+b)2013+(a b)2014+(a+b-a b)2015+x2.28.(8分)已知|a1-1|+|a2-2|+ +|a2013-2013|+|a2014-2014|=0,求2a1-2a2-2a3- -2a2013+2a2014的值.本章的主要知识点可以概括为列式表示数量关系㊁整式的有关概念及整式的加减运算.列式表示数量关系是建立在用字母表示数的基础之上的.整式的概念主要介绍单项式㊁多项式㊁整式及其相关概念.单项式概念是多项式概念的基础,而整式又是单项式和多项式的总称.整式的加减运算是在学习了合并同类项和去括号的基础上,研究整式加减的运算法则.本章进一步学习如何用字母表示数及数量关系,深刻体会用字母表示数㊁用含字母的式子表示数量关系的意义.合并同类项和去括号是进行整式加减的基础,是本章的重点.1.本章的重点是整式加减的运算,主要是利用合并同类项法则㊁去括号法则对整式进行化简.熟练地合并同类项首先必须掌握同类项概念,其次要会准确辨别同类项,即要掌握两条判断同类项的标准:字母和字母指数.中考命题中,本章主要考查用含字母的式子表示实际问题中的数量关系;同类项的概念等.多以填空题㊁选择题的形式出现,分值一般为3~6分.而合并同类项㊁去(添)括号也是考试重点,但考查时往往与其他知识相结合.另外,用式子表示规律题是近几年中考的热点.例1已知m=3,n=2,则下列式子是同类项的是().A.m x3y2与n a3b2B.3x m y3与n x2y3C.n x2m-1y4与m x5y n+2D.5a2m b5n与3b2m a5nʌ解析ɔ当m=3,n=2时,选项A中两项为3x3y2与2a3b2,字母不同,不是同类项.选项B 中两项为3x3y3与2x2y3,字母x的指数不同,不是同类项.选项C中两项为2x5y4与3x5y4,符合同类项定义,是同类项.选项D中两项为5a6b10与3b6a10,相同字母的指数不同,不是同类项,故选C.ʌ说明ɔ判断两个单项式是否为同类项,要抓住三个方面:①同类项与项中所含字母及其指数有关,与系数无关;②同类项与项中字母排列的先后顺序无关;③所有常数项都是同类项.另外,同类项中的相同字母可以是一个多项式的整体,例如,2(x+y)3与3(x+y)3也是同类项.练习1下列各组中的两项是同类项的有()个.①3x y与3x y z; ②62与a2; ③2x与3x; ④13与3; ⑤2πa与-3a;⑥3(x-y)2与2(x-y)2.A.1B.2C.3D.4例2一个多项式减去-8x y2-2x2y-2y4得5x2y+11x y2+3y4,求这个多项式.ʌ解析ɔ设这个多项式为A,首先是利用 被减式=差+减式 正确列出计算式,即A=(5x2y+11x y2+3y4)+(-8x y2-2x2y-2y4)=5x2y+11x y2+3y4-8x y2-2x2y-2y4=(5x2y-2x2y)+(11x y2-8x y2)+(3y4-2y4)=3x2y+3x y2+y4.ʌ说明ɔ此题先要把每一个多项式看作一个整体,计算前把每个多项式用括号括起来,再按照去括号法则去掉括号,寻找同类项进行合并.合并同类项时,首先,可在同类项下用 等符号标记不同种类的项,注意要包括该项的符号;其次,只将同类项的系数相加,字母以及字母的指数不变.练习2若两个单项式的和是2x2+x y+3y2,一个加式是x2-x y,求另一个加式.例3已知A=a2+b2-c2,B=-4a2+2b2+3c2,且A+B+C=0.求:(1)多项式C;(2)若a=1,b=-1,c=3,求A+B的值.ʌ解析ɔ(1)因为A+B+C=0,所以C=0-A-B=0-(a2+b2-c2)-(-4a2+2b2+3c2)=0-a2-b2+c2+4a2-2b2-3c2=(-a2+4a2)+(-b2-2b2)+(c2-3c2)=3a2-3b2-2c2;(2)A+B=(a2+b2-c2)+(-4a2+2b2+3c2)=a2+b2-c2-4a2+2b2+3c2=-3a2+3b2+2c2.把a=1,b=-1,c=3代入上式得原式=-3ˑ1+3ˑ(-1)2+2ˑ32=18.ʌ说明ɔ去括号与合并同类项都是整式加减的基础,均为本章的重点,对后面的解方程㊁因式分解㊁分式运算等内容起着重要作用.去括号注意两种情况:①括号前是 + ,把括号和它前面的 + 去掉,括号里各项都不变号.②括号前是 - ,把括号和它前面的 - 去掉,括号里各项都变号.练习3先化简,再求值:3x2-[x2-2㊃(3x-x2)],其中x=-7.2.本章的难点有两方面,一是用字母表示数及数量关系;二是去括号时符号的处理.用字母简明地表示实际问题中的数量关系比用具体数字表示的算式更有一般性;整式中用字母表示数,会使得整式的运算与数的运算具有一致性;用字母表示规律性的式子更有难度,不仅要分析出规律,还要用字母准确表达.去括号最大的难点是符号的处理,确切地说就是 - 问题,牢记当把括号和它前面的 - 去掉后,括号里各项都要变号.例1 小美家的固定电话月租金为15元,每次市内通话费平均为0.3元,每次长途通话费平均为1.6元,若她家半年内打市内电话m 次,打长途电话n 次,则她家应付电话费( )元.A .0.3m +1.6n B .15m n C .15+0.3m +1.6n D .15ˑ6+0.3m +1.6n ʌ解析ɔ 因为半年内打市内电话m 次,每次平均为0.3元,所以半年的市内电话费为0.3m元.因为半年内打长途电话n 次,每次平均为1.6元,所以半年的长途电话费为1.6n 元.而固定电话月租金为15元,半年内的租金为15ˑ6(元),故选D .ʌ说明ɔ 字母可以表示任意的数㊁特定意义的公式㊁符合条件的某一个数,甚至可以表示具有某些规律的数,总之字母可以简明地将数量关系表示出来.用字母表示数有助于揭示概念的本质特征,使数量之间的关系更加简明,更具有普遍意义.用字母表示数时,字母与字母相乘,乘号可以省略或用 ㊃ (点)表示;字母和数字相乘,省略乘号,并把数字放到字母前.例如,3ˑb =3㊃b =3b .练习4 上海市某文具厂今年9月产值为m 万元,10月比9月减少了110,11月比10月增加了15%,则11月产值是( ).A .m -110æèçöø÷(m +15%)万元B .1-110æèçöø÷㊃(1+15%)m 万元C .m -110+15%æèçöø÷万元D .1-110+15%æèçöø÷m 万元例2 如图21所示,①,②,③,④ ,是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行 广 字,按照这种规律,第5个 广 字中的棋子枚数是,第n 个 广 字中的棋子枚数是.图21ʌ解析ɔ 通过分析图21的前4幅图发现:①的棋子有7枚,②的棋子有9枚,③的棋子有11枚,④的棋子有13枚,规律是依次增加2枚.那么第5个 广 字的棋子即为15枚.①的棋子枚数是在5枚的基础上增加2枚,②的棋子枚数是在5枚的基础上增加4枚,即在5枚的基础上增加2ˑ2(枚),③的棋子枚数是在5枚的基础上增加3ˑ2(枚),以此类推,那么第n 个 广 字中的。
有理数与整式加减
《有理数》知识点一、正数与负数：1.正数：像+1.8，+420、+30、+10%等带有理数“+”号的数叫做正数。
为了强调正数，前面加上“+”号，也可以省略不写。
2.负数：像－3、－4754、－50、－0.6、－15%等带有“－”号的数叫做负数。
而负数前面的“－”号不能省略。
3.零既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界点。
注意：对于正数与负数，不能简单地理解为：带“+”号的数是正数，带“－”号的数是负数。
例如－a 不一定是负数，因为字母a 代表任何一个有理数，当a 是0时，－a 是0，当a 是负数时，－a 是正数；能用正数与负数表示相反意义的量，习惯上把增加、盈利等规定为正，它们相反意义的量规定为负，正、负是相对而言有理数。
二、有理数及其分类：有理数：整数与分数统称为有理数。
整数包括三类：正整数、零、负整数。
分数包括两类：正分数和负分数。
注意：小学学过的零表示没有，而引入负数后，就不能把“零”完全当作没有了，如0℃就是一个特定的温度；现在我们学过的数，除π和与π有关的数外，其他的数都是有理数；引入负数后，数的范围扩大为有理数，奇数和偶数的外延也由自然数扩大到整数。
按整数、分数的关系分类： 按正数、负数、零的关系分类：⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数 ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数零负整数负有理数负分数三、数轴：1.数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
注意：①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；②数轴有三要素：原点、正方向、单位长度三者缺一不可；③原点的位置、正方向的取向、单位长度的大小的选定，都是根据实际需要而定的。
2.数轴的画法：①画一条水平的直线；②在直线的适当位置选取一点作为原点，并用0表示这点；③确定向右为正方向，用箭头表示出来；④选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次为1，2，3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次为－1，－2，－3，…。
七年级数学上册重点难点题
七年级数学上册重点难点题一、有理数的运算1. 计算：公式解析：先计算指数运算：公式，因为负数的奇次幂是负数，公式。
公式，负数的偶次幂是正数。
然后进行乘除运算：公式。
公式，公式。
最后进行加减运算：原式公式先算加法：公式。
再算减法：公式。
2. 若公式，求公式的值。
解析：因为绝对值是非负的，一个数的平方也是非负的。
要使公式成立，则公式且公式。
由公式可得公式，所以公式。
由公式可得公式，所以公式。
则公式，因为公式的奇次幂是公式。
二、整式的加减1. 化简求值：公式，其中公式，公式。
解析：先去括号：原式公式。
然后合并同类项：公式。
当公式，公式时，代入可得：原式公式。
2. 已知公式，公式，求公式。
解析：首先把公式，公式代入公式。
则公式。
去括号得：公式。
合并同类项：公式。
三、一元一次方程1. 解方程：公式。
解析：首先去分母，方程两边同时乘以6，得到：公式。
然后去括号：公式。
接着移项：公式。
最后合并同类项并求解：公式。
2. 某班有学生45人，会下象棋的人数是会下围棋人数的3.5倍，两种棋都会及两种棋都不会的人数都是5人，求只会下围棋的人数。
解析：设会下围棋的有公式人，则会下象棋的有公式人。
全班人数等于会下围棋的人数加上会下象棋的人数减去两种棋都会下的人数再加上两种棋都不会下的人数。
可列方程：公式。
合并同类项得：公式。
解得公式。
只会下围棋的人数为会下围棋的人数减去两种棋都会下的人数，即公式人。
中考数学八大专题
中考数学八大专题中考数学考试是学生在初中阶段必须面临的一道关卡。
其中，数学八大专题是考生必须掌握和熟练运用的重点，涉及了代数、几何、概率、统计等多个方面。
本文将为大家一一介绍这八大专题的重点和难点。
一、代数运算代数运算是中考必考专题之一，主要包括整式运算、分式运算、方程与不等式等。
整式运算在初中阶段已经有了充分的训练，需要特别注意的是分式运算。
在分式运算中涉及到的有理数的最小公倍数和最大公因数的计算、分式的化简、分式方程的求解等，需要掌握相关的基本知识和运算方法。
二、初解方程与不等式初解方程和不等式也是中考必考的基础专题。
考生需要熟练掌握一元一次方程和一元一次不等式的解法和应用，同时还需要注意二次方程和一元二次不等式的解法和特点，以及可化为一元一次方程和不等式的降幂运算。
三、平面几何平面几何在初中阶段已经做了充分的训练，重点是对角线的性质、角平分线的性质、中线和垂线的性质等。
考生还需要掌握三角形的相关知识，如三角形面积公式、勾股定理等。
四、立体几何立体几何中考生需要掌握的内容包括立体图形的基本特征、重心、表面积、体积等。
难点在于长方体和正方体的算法，如重心与体积的计算，以及棱锥和棱柱的表面积和体积算法。
五、函数函数是代数专题的一部分，需要考生掌握对数函数、幂函数、指数函数的基本知识和定义，以及图像、变化规律、相关性质等。
需要注意的是函数的复合和反函数的应用。
六、统计统计专题主要包括数据的收集、整理、处理和分析。
中考中主要考查频数分布表和统计图的制作和分析，需要掌握相关的概念和方法，如频率、频率分布、累计频率分布等。
七、概率概率也是中考必考专题之一。
考生需要掌握基本的样本空间、事件和概率的概念，以及概率计算的方法，包括乘法定理、加法定理、条件概率等。
需要关注实际应用，如生日悖论和抽屉原理等。
八、数系数系包括自然数、整数、有理数、无理数、实数和复数等，中考主要考查有理数和实数的基本概念和运算法则，需要掌握加减乘除、分数化成整数、有理数的大小比较等。
七年级上册数学重点难点
七年级上册数学重点难点
一、有理数
1.重点：
-理解有理数的概念，包括正有理数、负有理数和零。
-掌握有理数的加减法、乘除法及混合运算规则。
-会比较有理数的大小。
2.难点：
-对负数概念的理解，特别是涉及到实际问题中的负数意义。
-有理数混合运算的顺序及准确性。
二、整式的加减
1.重点：
-认识单项式、多项式的概念。
-掌握整式的概念，包括同类项的识别与合并。
2.难点：
-准确识别同类项并进行合并。
-理解整式加减的实质是去括号与合并同类项。
三、一元一次方程
1.重点：
-理解一元一次方程的概念及方程的解的含义。
-掌握一元一次方程的解法。
-能运用一元一次方程解决实际问题。
2.难点：
-解方程过程中去分母、去括号等步骤的准确操作。
-从实际问题中抽象出数学模型，列出一元一次方程。
四、几何图形初步
1.重点：
-认识常见的几何图形，如点、线、面、体。
-掌握直线、射线、线段的概念及表示方法。
-会进行角的度量与角的运算。
2.难点：
-理解立体图形与平面图形之间的关系。
-角的度分秒的换算及复杂角度的计算。
初一数学上册必考知识点及重难点
初一数学上册必考知识点及重难点第一章有理数1.正数和负数2.有理数3.有理数的加减4.有理数的乘除5.有理数的乘方重点：数轴、相反数、绝对值、有理数运算、科学计数法、有效数字难点：绝对值易错点：绝对值、有理数运算中考必考：科学计数法、相反数(选择题)第二章整式的加减1.整式2.整式的加减重点：单项式与多项式的概念及系数和次数的确定、同类项、整式加减难点：单项式与多项式的系数和次数的确定、合并同类项易错点：合并同类项、运算失误、整数次数的确定中考必考：同类项、整数系数次数的确定、整式加减第三章一元一次方程1.从算式到方程2.解一元一次方程----合并同类项与移项3.解一元一次方程----去括号去分母4.实际问题与一元一次方程重点：一元一次方程(定义、解法、应用)难点：一元一次方程的解法(步骤)易错点：去分母时，不含有分母项易漏乘、解应用题时，不明白如何找等量关系第四章图形认识实步1.多姿多彩的图形2.直线、射线、线段3.角4.课题实习----设计制作长方形形状的包装纸盒要练说，得练听。
听是说的前提，听得准确，才有条件正确仿照，才能不断地把握高一级水平的语言。
我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我专门重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清晰，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，如此能引起幼儿的注意。
当我发觉有的幼儿不用心听别人发言时，就随时夸奖那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们用心听，用心记。
平常我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，如此幼儿学得生动爽朗，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了经历，又进展了思维，为说打下了基础。
重点：直线、射线、线段、角的认识、中点和角平分线的相关运算、余角和补角，方位角等难点：中点和角平分线的相关运算、余角和补角的应用我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一样在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。
七年级数学(上)重难点
1.3.2有理数的减法（二）重点：依据运算法则和运算律准确迅速地进行有理数的加减混合运算难点：省略加号的代数和的计算1.3.1有理数的加法（二）重点：有理数加法运算律及其运用难点：灵活运用运算律1.3.2有理数的减法（一）重点：有理数减法法则及应用难点：运用有理数减法法则解决数学问题1.3.1有理数的加法（一）重点：有理数的加法法则难点：异号两数相加的法则难点：根据相反数的意义化简符号重点：绝对值的概念难点：绝对值的几何意义1.2.4绝对值1.2.3相反数重点：求已知数的相反数1.2.1有理数1.2.2数轴第一章 有理数七年级（上）数学重难点重点：正、负数的概念难点：正确区分两种不同意义的量，深化对正负数概念的理解重点：正确理解有理数的概念难点：有理数的分类重点：正确理解数轴的概念和用数轴上的点表示有理数难点：数轴的概念和用数轴上的点表示有理数1.1正数和负数本章复习重点：有理数概念和有理数运算难点：对有理数运算法则和理解1.4.1有理数的乘法（一）重点：有理数的乘法法则难点：积的符号的确定1.4.1有理数的乘法（二）重点：多个有理数相乘的顺序，以及积的符号与负因数的个数关系难点：积的符号由负因数的个数确定难点：运用乘法法则和乘法运算律进行乘法运算教学过程：1.4.2有理数除法（一）重点：除法法则和除法运算难点：根据除法是乘法的逆运算，归纳出除法法则及商的符号的确定1.4.2有理数除法（二）重点：运算顺序的确定难点：灵活运用运算律进行有理数混合运算1.4.1有理数的乘法（三）重点：运用乘法运算律进行乘法运算1.5.3近似数重点：近似数、精确度、有效数字概念。
难点：由给出的近似数求其精确度及有效数字。
1.5.1乘方（一）重点：正确理解乘方的意义，能利用乘方的运算法则进行难点：会进行有理数的乘方运算，弄清（－a ）n 与－ａn 的区别1.5.1乘方（二）重点：有理数的混合运算的运算顺序难点：学会有理数混合运算1.5.2科学记数法重点：正确使用科学记数法表示大于10的数难点：正确掌握10n 的特征以及科学记数法中n 与数位的关系本章复习重点：有理数概念和有理数运算难点：对有理数运算法则和理解1.4.1有理数的乘法（一）重点：有理数的乘法法则难点：积的符号的确定1.4.1有理数的乘法（二）重点：多个有理数相乘的顺序，以及积的符号与负因数的个数关系难点：积的符号由负因数的个数确定难点：运用乘法法则和乘法运算律进行乘法运算教学过程：1.4.2有理数除法（一）重点：除法法则和除法运算难点：根据除法是乘法的逆运算，归纳出除法法则及商的符号的确定1.4.2有理数除法（二）重点：运算顺序的确定难点：灵活运用运算律进行有理数混合运算1.4.1有理数的乘法（三）重点：运用乘法运算律进行乘法运算1.5.3近似数重点：近似数、精确度、有效数字概念。
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熟练应用有理数的运算法则进行有理数运算和整式运算【问题精讲】1.要理解相反数、绝对值、倒数、平方、立方等概念的意义和它们之间的联系与区别，这样才能正确解决有关这些概念的问题。
例1. 相反数等于本身的数是0；绝对值等于本身的数是正数和零；倒数等于本身的数是1和-1；平方数等于本身的数是0和1；立方数等于本身的数是-1、0和1。
2.数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线，有了数轴就使得在数和表示形的最基本元素——点之间建立起了对应关系，为我们利用数形结合的思想解决数学问题奠定了基础。
通过对数轴上的点所在位置的观察和比较，我们可以知道这些点所表示的数的符号性质和大小关系，从而有利于问题的解决。
例2. a、b、c三数在数轴上对应点如图所示，其中|a|=|c|，则化简|b-c|-|a-b|-|a-c+2b|的结果是什么？（）解：由图可知：b<0，c<0，a>0，|a|=|c|，|b|>|c|∴b-c<0，a-b>0，a-c+2b=2a+2b<0∴|b-c|-|a-b|-|a-c+2b|=-(b-c)-(a-b)+(a-c+2b)=-b+c-a+b+a-c+2b=2b 化简绝对值的方法是看绝对值符号的式子的符号，而这一符号则又是通过数轴判断出来的。
3.有理数的运算顺序：（1）在加、减、乘、除和乘方五种运算中，加、减是一级运算，乘、除是二级运算，乘方是三级运算。
在没有括号的算式中，首先进行第三级运算，然后进行第二级运算，最后进行第一级运算。
即先乘方，再乘、除，最后再算加、减。
（2）如有括号，先进行括号的运算。
（3）如果只有同一级运算，就从左到右依次运算。
（4）根据运算律可以改变上述的运算顺序。
例3，计算：(1) (2)(3)解：(1)原式(2)：原式×(-7)×(-7)×7=49(3)：原式分析：有理数运算在掌握有理数运算法则的基础上要过两关：一是符号关；二是简便运算关。
在符号上要注意-22与(-2)2的不同，前者是2的平方的相反数，后者是-2的平方。
对于第（2）题要注意的是同级运算，要按从左向右的顺序进行计算，但不可以先算前两项，再算后两项，最后再除，这种运算顺序是错误的，因为对于除法来说没有结合律的。
第（3）题不要急于计算，要仔细观察题的特点，巧妙地运用乘法的分配律、交换律和结合律进行简便运算。
例4：计算：(1).已知：a-b=5，ab=-1求： (2a+3b-2ab)-(a+4b+ab)-(3ab+2b-2a)的值。
(2)已知：求：的值分析：这类是由给定条件来求值的题。
易出的错误是想从已知条件求出a、b（或x、y）的值来，然后代入求值。
但这种想法是难以实现的。
我们不妨把给定的条件看成整体，把整体代入求值。
这就需要我们化简、变形所求式子，构造出和给定条件一致的若干个整体，再代入求值。
解：(1) (2a+3b-2ab)-(a+4b+ab)-(3ab+2b-2a)=2a+3b-2ab-a-4b-ab-3ab-2b+2a=3a-3b-6ab=3(a-b)-6ab当a-b=5，ab=-1时原式=3(a-b)-6ab=3×5-6×(-1)=15+6=21(2)∵xy≠0当.即时：原式解法2：此类问题还可以把一个组合看成已知量，把另一个组合看成未知量求出来，再代入所求式子计算，以（2）为例。
xy=3(x+y)，代入所求式：得[强化练习]1.有理数a、b、c在数轴上对应的点分别为A、B、C，其位置如图所示，试化简：|c|-|c+b|+|a-c|+|b+a|2.计算：(1)(2)3.已知：a=3b，c=4a求：的值。
1.下列说确的是（）A.一个数的倒数等于本身的只有零B.一个数的绝对值等于本身的只有正数C.一个数的相反数等于本身的只有零D.一个数的平方数等于本身的只有12.a、b在数轴上的位置如图所示：则在a+b，b-2a，|a-b|，|b|-|a|中负数的个数是（）个A.1B.2C.3D.43. ( )A.1B.9C.-3D.34.（ ）A.21B.-21C.12D.-125.已知：-x+2y=5，则5(x-2y)2-3x+6y-60的值为（ ）A.80B.10C.210D.40有理数 整式 过关训练题一、选择题（每题2分，共20分） 1、－3的相反数是（ ）A ．31-B ．－3C ．31D ．32、下列四个数中，在－2到0之间的数是 （ ） A ．－3 B ． 3 C ．－1 D ．1 3．计算)3(3--的结果是 （ ）A ．6B ．3C ．0D ．6-4．3)2(-的值是 （ ）A ．5-B ．6-C ．8-D ．9-5．2008年5月27日，2008年奥运会火炬接力传递活动在境举行，火炬传递路线全程约12 900m ，把12 900m 用科学记数法可以记为（ ）A ．212910⨯ m B ．312.910⨯ m C ．41.2910⨯ m D ．50.12910⨯ m6．计算)51()5(51-÷-⨯，结果等于（ ） A ．5B ．5-C ．51D ．17.下列各题中的两项是同类项的是 （ ）A ．2ab 与b a 221-B ．3xy 与22y xC ． 2x 与2yD ．3与5-8．下列各式的计算，正确的是 （ ）A ．ab b a 523=+B ．23522=-y yC ．x x x 5712-=+-D ．mn mn n m 22422=-9. 全班同学排成长方形长队，每排的同学数为a ，排数比每排同学数的3倍还多2，那么全班同学数是 （ ）A. 23·+a aB. )2(3+a aC. 23++a aD. )23(+a a10．a 、b 互为倒数，x 、y 互为相反数且y 0≠，那么代数式： (a +b )(x +y )－ab －yx的值为 ( ) A.2； B.1； C.－1； D.0二、填空题（每题2分，共16分）11．如果＋3吨记为运入仓库的大米吨数, 那么运出5吨大米记为 吨 . 12．73的倒数是 ，-2.3的绝对值是 ． 13．绝对值小于3的所有整数的和是 .14．比较大小：(1) )]9([____)3(-+--- ; (2) 43___21--. 15．某银行今年五月份的储蓄额是a 亿元，比去年五月份的储蓄额少40亿元，那么去年五月份的储蓄额是 亿元． 16．根据如图所示的程序计算，若输入x 的值为1，则输出y 的值为 ．17．“24”点游戏，用2、6、9、9凑成24点（每一个数只用一次），算式是_()9962+-⨯________.18．现定义某种运算“*”，对给定的两个有理数a 、b （a ≠0），有a*b=a b，则(-3)*2= 。
三、计算与解答（每题5分，共30分）19．－3＋10－9-10． 20．)24()12131(-⨯--．21．(－1) ÷ (－34 ) × 14． 22． )]3(2[)6(43602--⨯--÷．23．化简：22323aabaab---．24．先化简，再求值：)313(3)2(22--++-aaaa，其中a=－2 ．四、综合与应用（第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分，共26分）25．在数轴上表示下列各数：0，–4.2，213，–2，+7，311，并用“<”号连接26. 小强有5卡片写着不同的数字的卡片：他想从中取出2卡片，使这2卡片上数字乘积最大.你知道应该如何抽取吗？最大的乘积是多少吗?27．某市出租车的收费标准是：3千米(含3千米)起步价为12.5元，3千米外每千米收费为2.4元。
某乘客坐出租车x千米，(1)试用关于x的代数式分情况表示该乘客的付费。
(2)如果该乘客坐了10千米，应付费多少元？28．如图所示：(1) 用代数式表示阴影部分的面积；(2) 当10=a，b=4时，π取值为3.14，求阴影部分的面积.－1 －8 0 +4－3五、解决问题（本题8分） 29． 观察下列等式111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434=-⨯， 把以上三个等式两边分别相加得：1111111113111223342233444++=-+-+-=-=⨯⨯⨯．（1）猜想并写出：1(1)n n =+ ．（2）直接写出下列各式的计算结果： ①111112233420082009++++=⨯⨯⨯⨯ ；②1111122334(1)n n ++++=⨯⨯⨯+ ．（3）探究并计算：111124466820062008++++⨯⨯⨯⨯．30.计算：2000 (43211)...432113211211+++++++++++++++的值。