有理数运算和整式运算[重点、难点]

熟练应用有理数的运算法则进行有理数运算和整式运算

【问题精讲】

1.要理解相反数、绝对值、倒数、平方、立方等概念的意义和它们之间的联系与区别，这样才能正确解决有关这些概念的问题。

例1

. 相反数等于本身的数是0；绝对值等于本身的数是正数和零；倒数等于本身的数是1

和-1；平方数等于本身的数是0和1；立方数等于本身的数是-1、0和1。

2.数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线，有了数轴就使得在数和表示形的最基本元素——点之间建立起了对应关系，为我们利用数形结合的思想解决数学问题奠定了基

础。

通过对数轴上的点所在位置的观察和比较，我们可以知道这些点所表示的数的符号性质和大小关系，从而有利于问题的解决。

例2. a、b、c三数在数轴上对应点如图所示，其中|a|=|c|，则化简|b-c|-|a-b|-|a-c+2b|的结果是什么？（）

解：由图可知：

b<0，c<0，a>0，|a|=|c|，|b|>|c|

∴b-c<0，a-b>0，a-c+2b=2a+2b<0

∴|b-c|-|a-b|-|a-c+2b|

=-(b-c)-(a-b)+(a-c+2b)

=-b+c-a+b+a-c+2b

=2b 化简绝对值的方法是看绝对值符号的式子的符号，而这一符号则又是通过数轴判断出来的。

3.有理数的运算顺序：（1）在加、减、乘、除和乘方五种运算中，加、减是一级运算，乘、除是二级运算，乘方是三级运算。在没有括号的算式中，首先进行第三级运算，然后进行第二级运算，最后进行第一级运算。即先乘方，再乘、除，最后再算加、减。（2）如有括号，先进行括号的运算。（3）如果只有同一级运算，就从左到右依次运算。（4）根据运算律可以改变上述的运算顺序。

例3，计算：

(1) (2)

(3)

解：(1)原式

(2)：原式×(-7)×(-7)×7=49

(3)：原式

分析：有理数运算在掌握有理数运算法则的基础上要过两关：一是符号关；二是简便运算关。

在符号上要注意-22与(-2)2的不同，前者是2的平方的相反数，后者是-2的平方。对于第（2）题要注意的是同级运算，要按从左向右的顺序进行计算，但不可以先算前两项，再算后两项，最后再除，这种运算顺序是错误的，因为对于除法来说没有结合律的。第（3）题不要急于计算，要仔细观察题的特点，巧妙地运用乘法的分配律、交换律和结合律进行简便运算。

例4：计算：

(1).已知：a-b=5，ab=-1

求： (2a+3b-2ab)-(a+4b+ab)-(3ab+2b-2a)的值。

(2)已知：

求：的值

分析：这类是由给定条件来求值的题。易出的错误是想从已知条件求出a、b（或x、y）的值来，然后代入求值。但这种想法是难以实现的。我们不妨把给定的条件看成整体，把整体代入求值。这就需要我们化简、变形所求式子，构造出和给定条件一致的若干个整体，再代入求值。

解：(1) (2a+3b-2ab)-(a+4b+ab)-(3ab+2b-2a)

=2a+3b-2ab-a-4b-ab-3ab-2b+2a

=3a-3b-6ab

=3(a-b)-6ab

当a-b=5，ab=-1时

原式=3(a-b)-6ab

=3×5-6×(-1)=15+6=21

(2)∵xy≠0

当.

即时：

原式

解法2：此类问题还可以把一个组合看成已知量，把另一个组合看成未知量求出来，再代入所求式子计算，以（2）为例。

xy=3(x+y)，代入所求式：

得

[强化练习]

1.有理数a、b、c在数轴上对应的点分别为A、B、C，其位置如图所示，试化简：

|c|-|c+b|+|a-c|+|b+a|

2.计算：

(1)

(2)

3.已知：a=3b，c=4a

求：的值。

1.下列说确的是（）

A.一个数的倒数等于本身的只有零

B.一个数的绝对值等于本身的只有正数

C.一个数的相反数等于本身的只有零

D.一个数的平方数等于本身的只有1

2.a、b在数轴上的位置如图所示：则在a+b，b-2a，|a-b|，|b|-|a|中负数的个数是（）个

A.1

B.2

C.3

D.4

3. ( )

A.1

B.9

C.-3

D.3

4.

（ ）

A.21

B.-21

C.12

D.-12

5.已知：-x+2y=5，则5(x-2y)2-3x+6y-60的值为（ ）

A.80

B.10

C.210

D.40

有理数 整式 过关训练题

一、选择题（每题2分，共20分） 1、－3的相反数是（ ）

A ．3

1-

B ．－3

C ．

3

1

D ．3

2、下列四个数中，在－2到0之间的数是 （ ） A ．－3 B ． 3 C ．－1 D ．1 3．计算)3(3--的结果是 （ ）

A ．6

B ．3

C ．0

D ．6-

4．3

)2(-的值是 （ ）

A ．5-

B ．6-

C ．8-

D ．9-

5．2008年5月27日，2008年奥运会火炬接力传递活动在境举行，火炬传递路线全程约12 900m ，把12 900m 用科学记数法可以记为（ ）

A ．2

12910⨯ m B ．3

12.910⨯ m C ．4

1.2910⨯ m D ．5

0.12910⨯ m

6．计算

)5

1

()5(51-÷-⨯，结果等于（ ） A ．5

B ．5-

C ．

5

1

D ．1

7.下列各题中的两项是同类项的是 （ ）