2刚体基本运动

1 r2 n1 i 2 r1 n2
2.齿轮传动
r11= –r22;
1 n1 i12 2 n2
r2 r1 z2 z1
r1
r2
3.齿轮箱传动
1 z2 ; 2 z1
3 z4 ; 4 z3
z1
4
z4
1
z2
上二式相乘，並有：2=3
3
i14
α r ω (ω r )
at an
12
z


例：一矢量 rAB 绕 z轴以角速度定轴转动， drAB 试证： dt ω rAB B z' 证明： r r r
rB rA rAB
k
AB
B
A
x
O' i y x'
A
j y'
drAB drB drA vB v A dt dt dt
l
vA
M
vM
vM v A
B
aM a A
vA l
其中 则

π π 0 cos t 4 4 π π v A l 0 cos t 4 4
16
方向垂直O1A
π π v A l 0 cos t 4 4
O1 φ O2
A点的切向加速度 2
l B
l
n A
a
O
a
A
角速度矢量：
大小:
d dt

表征转角变化
y x
方向: 转动方向，右手螺旋确定指向

ω k
单位:
rad/s
工程中转速n： 一分钟转过的圈数

2 n 60
角速度矢量： 角加速度矢量：
d 大小: dt
ω k

z

表征角速度变化
方向: 加速时与 同向，减速反向。

at
M

v
a
要得到叶轮的转动规律(t)，先要获得叶轮的角 加速度、积分后得角速度方程，再积分即得叶轮的 转动规律。
解: 叶轮上的各点均作圆周运动，则

at a sin 匀加速度转动，切向加速度为常数。 at t t a t 角加速度 d d t dt 而 0 0 0 r r 5 得 at 角速度方程 4 t 5 5 2 2 d a t d t ( t ) at 25 t 得 转动规律。 0 0 4 8 v2 an 25000 m/s 2 v t 5 100 m/s r
t (s) φ(rad) v (m· s－1)
π （水平向右） 0 4
at (m· s－2)
an (m· s－2)
π2 2 0 l （铅直向上） 16
0
2
0
φ0
0
π 0l 16
0
0
17
例
轮系传动
n1
v1
r1
v
n 2 r2
1.皮带轮传动
v1=v=v2 v1=r11;
传动比：
v2
v2= r22;
一般地，刚体可沿任意曲线作平移。
刚体作平移并不意味着刚体只能在平面内移动。
问题：平移刚体内各点速度、加速度有何关系？
4
平移刚体上任意两点运动关系
A A′
B
B′
刚体的平移
rA rB rBA
drBA 0, dt drA drB dt dt
O1
O2
A
A′
A〞
v A vB ,
a A aB
O
A
I
v1
B O2
2
II
解： AB平动故轮Ⅰ平动，轮Ⅱ定轴转动，接触点的速度： 轮Ⅰ： 轮Ⅱ：
v I v A O1 A 0 2 r 0
vI 2 2 0 r 2 v II＝ v I
加速度： 轮Ⅰ： a I a A 2 r 0 方向平行于O1A
轮Ⅱ：
d 2 t 2 0 a II 0 r 2 dt n n a II r 22 4 r 02 a II a II 4 r 02
9
加速度(大小) ：
at Rα
方向垂直于半径
2
an R
方向沿半径指向圆心
加速度(大小) ：
方向垂直于半径 方向沿半径指向圆心
at Rα
an R 2
全加速度： a at
大小： a
an
a at
an ;
2 at2 an R 2 ω4 ;

a
大小与到转轴的距离成正比
3 2
5 2
15t 19
t=4s时； =4 rad /s, =11 rad /s2；
v=R =80 cm/s； a=at=R =220 cm /s2； 重物的加速度:a=220 cm /s2。
P
1 2
v
a
14
例：汽轮机叶轮作无初速的匀加速转动。轮上点M离轴心r =0.4m，在某瞬时其全加速度的大小a=40m/s2，方向与点M和 轴心连线成=30°，试求叶轮的转动规律以及当t=5s时点M的 速度与法向加速度。
ω rB ω rA ω rAB
问题：动系O1 x y z 绕 z轴转动，角速度为 dj dk di ? ? ，基矢量为( i , j , k )。求 ? dt dt dt di ω i dt dj
dt ω j
dk ω k dt
泊松公式
13
例：垂直起降机的转动方程= 4t 9.5t 2 ,鼓轮半径R=20cm,求：当 t=4s时重物的速度、加速度，鼓轮的角速度、角加速度。 解: 10t 19t
O
rA rB
B
B′
B〞
平移的特点
平移刚体上各点的速度和加速度相同！
平移刚体上各点的运动轨迹也相同！
二
刚体的定轴转动
刚体运动时，体内或扩展部分，有一条直线保持不动。 ——刚体定轴转动(转动）
固定的直线就是转轴。
6
1、转动方程、角速度、角加速度 转动方程

z

f (t )
右手螺旋确定角度正负
at α tan 方向： an 2
与位置无关
10
例：刚体绕Oz轴转动，在垂直于转动轴的某平面上有A，B两点 ，已知OzA=2OzB，某瞬时aA=10m/s2，方向如图所示。则此时B 点加速度的大小为________________________ （方向要在图上表示出来）。
1 aB aA 5m / s 2 2
工程力学Ⅱ
刚体的基本运动
同济大学航空航天与力学学院 王华宁
z 2 z4 1 4 z1 z3
2
z3
例: 提升齿轮机械如图示，巳知：马达带动的齿轮1转速为： 700转/分 ，同模数的齿数z1=42，z2=132，z3=25，z4=128，鼓轮 半径:r=1m，试求小车上升速度。
解:
1 z 2 z 4 i14 4 z1 z 3
例： 荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。钢索长 为长l，单位为m。当荡木摆动时钢索的摆动规律 π 为 0 sin t ，其中 t 为时间，单位为s；转角φ0的单位为 4 rad，试求当t=0和t=2 s时，荡木的中点M的速度和加速度。
O1 φ l A O
（+）
O2
解： 荡木作平移
aB
60
11
速度与加速度的三维矢量表示法 z
三维定轴 转动刚体
考察三维定轴转动刚体


研究M点速度、加速度
O' R M an
vM at
M点速度
v ωr
v ω r sin ω R
大小：
r
x
O
方向： 轨迹圆切向 y
M点加速度
dv d ω dr r ω a dt dt dt
α k
单位:
y x

rad/s2

y
定轴转动刚体上各点的角速度和角加速度相同！ 问题：如何建立转动刚体上各点的速度、 加速度与角速度、角加速度的关系？

x
R
M
s
8
2、转动刚体上各点的速度与加速度
平面表示法
过该点并垂直于转轴的平面上研究该点运动 速度(大小)： v

R
M
v=R
方向垂直于半径，大小与到转轴的距离成正比
700 2 42 25 4 3 . 94 60 132 128
1
z3
v=4r=3.94 m/s
角速度: 4 / 1 =0.05
v
例：
已知： O1 A O2 B 2r, 0＝常数 ，齿轮半径均为r，且 O1O2 AB
,试求：轮Ⅰ与轮Ⅱ轮缘上任一点 O1 速度和加速度的大小。
t A
a
n M
aA
t
t a M M
dv A π π l 0 sin t dt 16 4
2
A点的法向加速度
aA
n
（+）
vA π2 2 2 π l 0 cos t l 16 4
代入t = 0和t = 2，就可求得这两瞬时A点的速度和加速度， 亦即点M在这两瞬时的速度和加速度。计算结果列表如下：
刚体运动
1
刚体运动学
研究： ◎刚体宏观运动特点
◎每一点的运动与宏观
运动的关系
2
刚体的基本运动
问题：这些刚体的运动有什么共同点？ 物块G
一
刚体的平行移动