等差数列的前n项和2
等差数列前n项和公式(二)
4.2.4 等差数列前n项和公式（二）
(1 + )
，Sn＝na1
2
1.通项公式：an＝a1＋（n－1）d，前n项和公式：sn＝
＋
(−பைடு நூலகம்)
d.
2
2.等差数列的通项公式和前n项和公式中共含有五个量：a1，an，n，d，
Sn，知道其中的三个量，可以通过解方程（组）求出另外的两个量.
3.已知数列{an}的前n项和公式是Sn＝n2＋n，求数列的通项公式.
当n≥2时，Sn－1＝（n－1）2＋（n－1）＝n2－n.
∴an＝Sn－Sn－1＝（n2＋n）－（n2－n）＝2n.
同时当n＝1时，a1＝S1＝2.∴当n∈N*时，an＝2n
亲爱的同学们，下节课见！
3
2
21
2
a2＝ ，a6＝ .∴S7＝
(1 +7 )·7
( + )·7
＝ 2 6 ＝
2
2
3 21
(2+ 2 )×7
2
＝42
2.要使等差数列32，29，26，…的前n项的和Sn取最大值，求n的值.
an＝a1＋（n－1）·d＝32＋（n－1）·（－3）＝35－3n≥0.
35
3
∴n≤ ∴当n＝11时，Sn取最大值
(1 + )·
(18+6)×
∵Sn＝
.∴48＝
.∴n＝4.
2
2
又∵an＝a1＋（n－1）·d.∴6＝18＋3d.∴d＝－4
3.计算100以内能被3整除的所有自然数的和.
(3+99)×33
3＋6＋9＋…＋99＝
＝1683
2
解答题
高中数学《等差数列前n项和(2)》课件
等差数列{an
}满足ad1
0 ,
0
Sn
存在最大
值；
等差数列{an
}满足ad1
0 ,
0
Sn
存在最小
值.
Sn最值问题解决的两条基本途径 1.Sn f (n),从二次函数最值条件入 手； 2.Sn a1 a2 an ,从通项的符号变化入手.
最大值.
思考：若n对
21，n取何 6
值时，Sn取最大
？
Sn
(4, S4 )
an
•
y 3x2 23x
•
•
• • (4,a4 ) •
y 6x 26
•
•
•
•
•
•
n
n对
23 6
•
O
n
O
• (5,a5 ) •
an 20 (n 1)(6) 6n 26 a4 2,a5 4
a1,a2 ,a3 ,a4 0 a5 0
此时数列{an}是以A B为首项，2A为公差的等差数列 .
特别的，当A 0时，数列{an}是常数列 .
例2.等差数列20，14，8,前n项和为Sn ,求使Sn最大的序号n.
解： a1
20, d
6，Sn
20n
n(n 2
1)
(6)
3n2 23n
n对
23 6
当n取与23 6
最接近
的整
数
4
时
，Sn取
y
y x4
9
8
•
7
•
6
•
5 4
an n 4
• •
4.2.2等差数列的前n项和公式
= 1 +
.
2
作用：已知 a1，d和 n，求 Sn.
典型例题
例1已知数列{an}是等差数列.
（1）若a1=7，a50=101，求 S50；
5
（2）若a1=2，a2= ，求S10；
2
1
1
（3）若a1= ，d= − ，Sn=−5，求n.
2
6
解：（1）∵a1=7，a50=101，
当n＝6时，an＝0；
所以 an＋1＜an .所以{an}是递减数列.
当n＞6时，an＜0.
由 a1＝10，dБайду номын сангаас＝－2，
得 an＝10＋(n－1)×(－2) ＝－2n＋12.
所以 , S1＜S2＜…＜S5＝S6＞ S7＞…
令 an＞0，解得 n ＜6.
所以，当n＝5或6时，Sn最大.
因为5 = 5 × 10
2
= + (1 − ).
2
2
Sn＝Sn－1＋an（n≥2）
函数思想
课后作业
1.某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，
所以2 = (1 + ) + (1 + ) + ⋯ + (1 + )
= (1 + ).
(1 + )
=
.
2
等差数列的前n项和公式
等差数列{an}的前n项和Sn公式：
(1 + )
=
.
2
作用：已知 a1，an 和 n，求 Sn.
an＝a1＋(n－1)d，(n∈N*)
，有
2
101 + 45 = 310，
等差数列的前n项和公式2答案(1)
等差数列的前n 项和公式答案制作 ：吕运涛 审题：郭银生【例1】 （1）2700 (2)法一：∵a 6＝10，S 5＝5， ∴⎩⎨⎧ a 1＋5d ＝10，5a 1＋10d ＝5，解得⎩⎨⎧a 1＝－5，d ＝3. ∴a 8＝a 6＋2d ＝16. 法二：∵S 6＝S 5＋a 6＝15， ∴15＝6(a 1＋a 6)2，即3(a 1＋10)＝15.∴a 1＝－5，d ＝a 6－a 15＝3. ∴a 8＝a 6＋2d ＝16. （3）n=12(4)法一：∵a 2＋a 4＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＝485，∴a 1＋2d ＝245. ∴S 5＝5a 1＋10d ＝5(a 1＋2d )＝5×245＝24. 法二：∵a 2＋a 4＝a 1＋a 5，∴a 1＋a 5＝485，∴S 5＝5(a 1＋a 5)2＝52×485＝24.[跟进训练]1．(1)已知数列{a n }为等差数列，S n 为前n 项和，若a 2＋a 4＝4，a 5＝8，则S 10＝( ) A ．125 B ．115 C ．105 D ．95(2)已知等差数列{a n }的前n 项的和为S n ，若S 9＝27，a 10＝8，则S 14＝( ) A ．154 B ．153 C ．77 D ．78(1)D (2)C [(1)⎩⎨⎧ a 2＋a 4＝2a 1＋4d ＝4，a 5＝a 1＋4d ＝8⇒⎩⎨⎧a 1＝－4，d ＝3，S 10＝10×(－4)＋10×92×3＝95.(2)根据题意，等差数列{a n }中，若S 9＝27，即S 9＝9×(a 1＋a 9)2＝9a 5＝27，解得a 5＝3，又a 10＝8，∴S 14＝14×(a 1＋a 14)2＝14×(a 5＋a 10)2＝77.故选C.]等差数列前n 项和公式的实际应用个等差数列．工作量的总和若大于欲完成的工作量，则说明24小时内可完成第二道防线工程．[解] 从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：小时)依次设为a 1，a 2，…，a 25.由题意可知，此数列为等差数列，且a 1＝24，公差d ＝－13.25辆翻斗车完成的工作量为：a 1＋a 2＋…＋a 25＝25×24＋25×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线．[跟进训练]2．(1)B (2)B [(1)由题意知，该女子每天织布的数量组成等差数列{a n }，其中a 1＝5，a 30＝1，∴S 30＝30×(5＋1)2＝90，即共织布90(尺)．(2)依题意，金杖由细到粗各尺重量构成一个等差数列{a n }．设首项为2，则a 5＝4，∴中间3尺的重量为a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＝a 1＋a 52×3＝2＋42×3＝9(斤)．]等差数列前n 项和S n 的函数特征n n (1)求{a n }的通项公式； (2)则{a n }的前多少项和最大？[思路探究] (1)利用S n 与a n 的关系求通项，也可由S n 的结构特征求a 1，d ，从而求出通项．(2)利用S n 的函数特征求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点求解． [解] (1)法一：(公式法)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝34－2n ， 又当n ＝1时，a 1＝S 1＝32＝34－2×1，满足a n ＝34－2n . 故{a n }的通项公式为a n ＝34－2n .法二：(结构特征法)由S n ＝－n 2＋33n 知S n 是关于n 的缺常数项的二次型函数，所以{a n }是等差数列，由S n 的结构特征知⎩⎪⎨⎪⎧d 2＝－1，a 1－d2＝33，解得a 1＝32，d ＝－2，所以a n ＝34－2n .(2)法一：(公式法)令a n ≥0，得34－2n ≥0，所以n ≤17， 故数列{a n }的前17项大于或等于零．又a 17＝0，故数列{a n }的前16项或前17项的和最大． 法二：(函数性质法)由y ＝－x 2＋33x 的对称轴为x ＝332， 距离332最近的整数为16，17.由S n ＝－n 2＋33n 的 图象可知：当n ≤17时，a n ≥0，当n ≥18时，a n <0， 故数列{a n }的前16项或前17项的和最大．1．(变条件)将例题中的条件“S n ＝33n －n 2”变为“在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9”，求其前n 项和S n 的最大值．[解] 法一：∵S 9＝S 17，a 1＝25， ∴9×25＋9(9－1)2d ＝17×25＋17(17－1)2d ， 解得d ＝－2.∴S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋26n ＝－(n －13)2＋169.∴当n ＝13时，S n 有最大值169. 法二：同法一，求出公差d ＝－2. ∴a n ＝25＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋27. ∵a 1＝25>0，由⎩⎨⎧a n ＝－2n ＋27≥0，a n ＋1＝－2(n ＋1)＋27≤0， 得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤1312，n ≥1212，又∵n ∈N *，∴当n ＝13时，S n 有最大值169. 法三：∵S 9＝S 17， ∴a 10＋a 11＋…＋a 17＝0.由等差数列的性质得a 13＋a 14＝0. ∵a 1>0，∴d <0.∴a 13>0，a 14<0. ∴当n ＝13时，S n 有最大值169. 法四：设S n ＝An 2＋Bn .∵S 9＝S 17， ∴二次函数对称轴为x ＝9＋172＝13，且开口方向向下，∴当n ＝13时，S n 取得最大值169.2．(变结论)本例中条件不变，令b n ＝|a n |，求数列{b n }的前n 项和T n . [解] 由数列{a n }的通项公式a n ＝34－2n 知，当n ≤17时，a n ≥0； 当n ≥18时，a n <0.所以当n ≤17时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n一、选择题1．C [∵⎩⎨⎧ a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，∴⎩⎨⎧ a 1＋2d ＝2，a 1＋3d ＝5，∴⎩⎨⎧a 1＝－4，d ＝3，∴S 10＝10a 1＋10×92×d ＝－40＋135＝95.] 2．D [因为a 1＋a 12＝a 7＋6，所以a 6＝6，则 S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6＝11×6＝66，故选D.]3．B [由题意得，所有被7除余2的数构成以2为首项，公差为7的等差数列，∴2＋(n －1)×7<100，∴n <15，∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665.]4．B [钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2. 当n ＝19时，S 19＝190.当n ＝20时，S 20＝210>200.∴n ＝19时，剩余钢管根数最少， 为10根．]5．B [由题意可得{a n }为等差数列，a 1＝5，∴S 30＝30×5＋30×292d ＝390， 解得d ＝1629，∴a 14＋a 15＋a 16＋a 17＝a 1＋13d ＋a 1＋14d ＋a 1＋15d ＋a 1＋16d ＝4a 1＋58d ＝4×5＋58×1629＝52.]二、填空题6．27 [由a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，可知数列{a n }是首项为1，公差为12的等差数列，故S 9＝9a 1＋9×(9－1)2×12＝9＋18＝27.]7．－10 [设该等差数列的公差为d ，根据题中的条件可得3⎝ ⎛⎭⎪⎫3×2＋3×22·d ＝2×2＋d ＋4×2＋4×32·d ，整理解得d ＝－3，所以a 5＝a 1＋4d ＝2－12＝－10.]8．304 [因为a 2＋a 3＝2a 1＋3d ＝64＋3d ＝40⇒d ＝－8，所以a n ＝40－8n .所以|a n |＝|40－8n |＝⎩⎨⎧40－8n ，n ≤5，8n －40，n ＞5，所以前12项之和为5×(32＋0)2＋7×(8＋56)2＝80＋224＝304.]三、解答题9．[解] (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d . 则⎩⎨⎧a 10＝a 1＋9d ＝30，a 20＝a 1＋19d ＝50， 解得⎩⎨⎧a 1＝12，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝12＋(n －1)×2＝10＋2n .(2)由S n ＝na 1＋n (n －1)2d 以及a 1＝12，d ＝2，S n ＝242，得方程242＝12n ＋n (n －1)2×2，即n 2＋11n －242＝0，解得n ＝11或n ＝－22(舍去)．故n ＝11.10．[解] 法一：由⎩⎪⎨⎪⎧a 8＝a 1＋7d ＝1，S 16＝16a 1＋16×152d ＝0，解得⎩⎨⎧a 1＝15，d ＝－2，则S n ＝－n 2＋16n＝－(n －8)2＋64，则当n ＝8时，S n 取得最大值．法二：因为{a n }是等差数列，所以S 16＝8(a 1＋a 16)＝8(a 8＋a 9)＝0，则a 9＝－a 8＝－1，即数列{a n }的前8项是正数，从第9项开始是负数，所以当n ＝8时，S n 取得最大值．11．ABD [显然S n 对应的二次函数有最大值时d ＜0，且若d ＜0，则S n 有最大值，故A ，B 正确．又若对任意n ∈N *，S n ＞0，则a 1＞0，d ＞0，{S n }必为递增数列，故D 正确． 而对于C 项，令S n ＝n 2－2n ，则数列{S n }递增，但S 1＝－1＜0，故C 不正确．] 12．AD [由等差数列{a n }，可得S 2 019＝2 019(a 1＋a 2 019)2＞0，S 2 020＝2 020(a 1＋a 2 020)2＜0，即：a 1＋a 2 019＞0，a 1＋a 2 020＜0，可得：2a 1 010＞0，a 1 010＋a 1 011＜0， ∴a 1 010＞0，a 1 011＜0，∴A 正确B 错误．又等差数列{a n }为递减数列， 且a 1 010＋a 1 011＜0，∴|a 1 010|＜|a 1 011|，∴C 错误．而对任意正整数n ，都有|a n |≥|a k |，则k 的值为1 010.故D 正确．故选AD.] 13．(一题两空)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝S 6，a 4＝1，则d ＝________，a 5＝________.－2 －1 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝6a 1＋6×52d ，a 1＋3d ＝1，解得⎩⎨⎧a 1＝7，d ＝－2，所以a 5＝a 4＋d ＝1＋(－2)＝－1.]14．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．2 000 [假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为S ＝9×20＋9×82×20＋10×20＋10×92×20＝2 000(米)．]15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为等差数列，a 1＝12，d ＝－2. (1)求S n ，并画出{S n }(1≤n ≤13)的图象；(2)分别求{S n }单调递增、单调递减的n 的取值范围，并求{S n }的最大(或最小)的项； (3){S n }有多少项大于零？[解] (1)S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝12n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋13n .图象如图．(2)S n ＝－n 2＋13n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1322＋1694，n ∈N *，∴当n ＝6或7时，S n 最大；当1≤n ≤6时，{S n }单调递增；当n ≥7时，{S n }单调递减．{S n }有最大值，最大项是S 6，S 7，S 6＝S 7＝42. (3)由图象得{S n }中有12项大于零．。
4.2.2 等差数列的前n项和公式 (精讲)(原卷版)
4.2.2等差数列的前n项和公式一、等差数列的前n 项和公式1、等差数列的前n 项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式()12n n n a a S +=()112n n S na d-=+n 2、等差数列前n 项和公式的推导对于公差为d 的等差数列，()()()111121n S a a d a d a n d ⎡⎤=+++++++-⎣⎦①()()()21n n n n n S a a d a d a n d ⎡⎤=+-+-++--⎣⎦②由①＋②得()()()()11112n n n n S a a a a a a a a =++++++++n n 个＝()1n n a a +，由此得等差数列前n 项和公式()12n n n a a S +=，代入通项公式()11n a a n d =+-得()112n n n S na d -=+.二、等差数列的前n 项和常用的性质1、设等差数列{}n a 的公差为d ，n S 为其前n 项和，等差数列的依次k 项之和，k S ，2k k S S -，32k k S S -…组成公差为2k d 的等差数列；2、数列{}n a 是等差数列⇔2n S an bn =+(a ，b 为常数)⇔数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，公差为2d；3、若S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，公差为d；①当项数为偶数2n 时，()21n n n S n a a +=+，S S nd -=奇偶，1nn S a S a +=奇偶；②当项数为奇数21n +时，()21121n n S n a ++=+，n S S a -=奇偶，1S n S n+=奇偶.4、在等差数列{}n a ，{}n b 中，它们的前n 项和分别记为,n n S T 则2121n n n n a S b T --=将等差数列前n 项和公式()112n n n S na d -=+，整理成关于n 的函数可得2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.当0d ≠时，n S 关于n 的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(),n n S 在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数，它的图象是抛物线2122d d y x a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭上横坐标为正整数的一系列孤立的点．四、求等差数列的前n 项和S n 的最值的解题策略1、将()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭配方，若0d ≠，则从二次函数的角度看：当0d >时，S n 有最小值；当0d <时，n S 有最大值．当n 取最接近对称轴的正整数时，n S 取到最值．2、邻项变号法：当10a >，0d <时，满足100n n a a +≥⎧⎨≤⎩的项数n 使n S 取最大值；当10a <，0d >时，满足10n n a a +≤⎧⎨≥⎩的项数n 使n S取最小值。
高二数学等差数列的前n项和2
=30a1+1935d =30×0.2+1935×0.2=393
80 79 50 49 80a1 d 50a1 d 2 2
n(a1 a n ) Sn (1) 2
n(n 1) S n na1 d (2) 2
例4.在等到差数列｛an｝中，a6+a9+a12+a15=20, 求S20 解：∵a6+a15=a9+a12=a1+a20 • ∴a1+a20=10 • ∴S20=(1／2)(a1+a20) ×20=100 变式：在等差数列｛an｝中 －30 1.已知a1－a4－a8－a12+a15=2，则S15=_____
an a1 (n 1)d 5 5 40 5 (n 1) ( ) n 7 7 7
5 40 令an n 0, 得n 8. 7 7
即a8 0, a9 0.因此，和从第 9项开始减小
所以，前 7项或8项和最大。
由S6 6a1 15d , S12 12a1 66d , S18 18a1 153d ,
n(a1 a n ) Sn (1) 2
n(n 1) S n na1 d (2) 2
已知a1+a2+…+a4=40,an+an-1+…an-3=80，Sn=720 则n=___
各嫡福晋来抚养。而天仙妹妹可是侧福晋，这么尊贵の主子怎么连自己养育小小格の权力都没有？第壹卷 第481章 嫡子四年前の时候，只相隔咯三各月の时间，前后脚地出 世の两各小小格，元寿和天申，对于他们の养育方案，王爷很是别出心裁！这两各诸人の母家势力都不高，都是出身于四品の官宦之家，虽然她们在王府の位份也不高，按理 说没有抚育小小格の权利，但是壹方面念在母家构不成任何威胁，另壹方面也确实是王府里有资格抚育小小格の主子实在是捉肘见襟。那时候，府里有三各有头有脸、有名有 分可以抚育小小格の诸人，却是哪各都不是合适人选。那时の水清才刚刚嫁进府里，还是壹各十三、四岁孩子，她能将自己养活好咯就阿弥陀佛咯。淑清正养育着弘时小格， 再养壹各实在是勉为其难。排字琦倒是既有尊贵の地位，又有空闲の时间，可是那壹次是两各小小格几乎同时降生。壹下子让排字琦抚育两各嗷嗷待哺の小小格，绝对是力不 从心，但是只给她壹各小小格，另壹各小小格谁养？惜月和韵音两各人の出身相同、位分相同，他对她们の感情也都壹样，没有任何偏重，那么哪各养在排字琦の名下，哪各 养在她们自己の名下？于是聪明而又天才の王爷创造性地想出来壹各既符合规制，又符合实际情况の抚育方式。即两各小小格都没有养育在她们自己の名下，而是她们两人之 间来咯壹各相互对调，交换咯抚养权，也就是元寿小格由韵音抚育，天申小格由惜月抚养。上壹次两各低阶格格生下の小小格都没有让排字琦成为真正の养母，仍是空有嫡母 の名分，现在身份、地位、出身都足够高贵の年侧福晋居然都没有资格养育自己の儿女，这各结果当然是让排字琦无论如何也想不明白。王爷当然晓得排字琦为啥啊惊讶，于 是待她惊呼出声后，也没有过多地表示啥啊，只是自顾自地解释道：“当初惜月和韵音两各人の小小格前后脚地生下来，假设两各都交给你，你壹各人也忙不过来，假设只交 你壹各，总归是显得爷办事不够公道。现在只有水清这么壹各小小格，爷是体谅你这些年来尽心尽力操持王府，爷很感激，算是对你の奖赏吧。”排字琦这才明白事情の原委， 原来王爷是为咯犒赏她这些年来对王府尽心尽力の付出给予の回报，不惜将年妹妹の小小格交由她来抚育！为咯奖赏她，他不惜放弃咯拉拢年家势力の大好机会，更何况小小 格の生母是出身如此高贵の天仙妹妹，这壹次王爷给予她の，竟是这么大の恩典！他感谢嫡福晋の尽职尽责，她更是感激王爷の知恩图报：“多谢爷，多谢爷，妾身真是感恩 不尽。真の，爷，昨天夜里，妾身还梦见咯晖儿呢，他还是那么乖巧懂事，还是那么聪慧可爱，壹点儿都没有变样子，还是那么脆生生地朝妾身叫着额娘，还要妾身带他去十 三叔家去玩，说他想十三婶咯……”排字琦说着说着，泪水禁不住流咯下来，以至哽咽得根本无法再说下去。第壹卷 第482章 完美弘晖小格不仅是他の长子，更是他の嫡长 子，意义当然极为重大。而且小小格不但身份高贵，也正如排字琦刚刚所说の那样，确实是又乖巧懂事，又聪慧可爱，简直就是降临人间の天使！可是世事无常，这各寄托咯 他无限厚望、承载咯他人生梦想、赋予咯他巨大重托の小小格，却在八岁の那年不幸早殇，就那么永远地离开咯疼爱他の阿玛和额娘，带走の，是他の全部希望，留下の，是 她の全部绝望。对此王爷伤心痛苦咯不晓得多长时间，以至于从此之后他总是刻意地躲避着排字琦，生怕壹见到她就会不由自主地想到他们の晖儿。而身为亲生额娘の排字琦 更是伤心欲绝，恨不能随咯小小格同去。经此沉重打击，两各人开始是不敢见到对方，生怕想起悲伤往事，但是随着回避时间の增长，相互之间也越来越生分，越来越疏离， 当他们发现这各情况の时候，却是无论如何努力也回不到从前の那份感情。而弘晖小格竟也成咯他们谈话の禁区，两各人都小心翼翼地回避着这各令人痛不欲生、抱恨终生の 话题。偶尔，他们也会同床共枕，但是从此以后老天再也不曾眷顾她，再也不曾赐予她壹各天使，慰籍她那颗伤痕累累の心。十年后の今天，当他们无意间再次说起那各曾经 照亮咯他们整各青春岁月の弘晖大小格，无论是王爷还是排字琦，都是禁不住感慨万千。假设弘晖没有过世，现在也该有十八岁咯。面对泣不成声の排字琦，王爷强忍着心中 の酸楚，赶快伸手扶住咯她の肩膀。他也如她那样，每逢弘晖小格の生辰和祭日，都会遥寄上他の思念。那是他の嫡长子，即使现在这三各小格加在壹起，也抵不上壹各“嫡 长子”在他心目中の份量。现在，他の这各决定是对排字琦痛失爱子の壹各补偿，正如他刚才所说，当初惜月和韵音の两各小格几乎同时降生，全都交给她，她哪里能照顾得 过来？但是只交她壹各，对另壹各很不公平，毕竟这两各诸人在他の心目中の分量是壹样重，没有谁轻谁重の问题，否则当初他为啥啊会将已经交给排字琦抚养の弘时小格又 还给咯淑清？那是因为在他の心中，淑清占据咯十分重要の位置。现在对于水清即将生下の小小格，这各解决方案应该是几全其美。对于福晋，补偿咯她膝下无子の缺撼和尴 尬；对于王爷，避免咯将来水清母凭子贵の危险；对于水清，她自己还是壹各孩子，她怎么可能承担得起抚养壹各更小の孩子の重担？ 望着仍然沉浸在思念爱子情绪中の排 字琦，王爷轻拍咯壹下她の肩膀，继续说
&2.2.2等差数列的前n项和公式
等差数列前n 等差数列前n项和公式
2 S n = n(a1 + an )
an = a1 + (n − 1)d
n(a1 + an ) Sn = 2
n(n − 1) S n = na1 + d 2
1。对于这两个公式分别有四个未知数，如果 已知其中的任何三个可以求另外一个 2。请注意这两个公式的灵活运用
1 练习： 的前n项和为 练习： 已知数列 {an } 的前 项和为Sn = n + n 2 求这个数列的通项公式。 求这个数列的通项公式。这个数列是等 差数列吗？如果是，它的首项与公差分 差数列吗？如果是， 别是什么？ 别是什么？
2
练习:
• 等差数列{an}中,a1<0,S9=S12,则该数列前多 少项和最小? • 在首项为正数的等差数列{an}中,它的前3项 和与前11项和相等,问此数列的前多少项和 最大? • 设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12, 且S12>0,S13<0, (1)求公差d的取值范围; (2)该数列前几项的和最大.
an − an −1 = d (n ≥ 2且n ∈ N * ) 1．等差数列的定义 ．等差数列的定义：
2．等差数列的通项公式：(1)an = a1 + (n − 1)d ．等差数列的通项公式： (2)an = am + (n − m)d
a+b 3．等差中项：A = 2 ⇔ a, A, b 成等差数列 ．等差中项：
实际上高斯解决了1+ 2 + 3 + ... + n + ... 等差数列的前 n 项和的问题
1 + 2 + ... + n-1 + n n + n-1 + ... + 2 + 1
高三数学等差数列的前n项和2
友情提示：对等差数列前 n 项和公式的理解，还应注意 以下几个问题： (1) 上述两个公式均为等差数列的求和公式，一共涉及 a1，an，Sn，n，d 五个量，通常已知其中三个，可求另外两 个，而且方法就是解方程组，这也是等差数列的基本问题形 式； (2) 当已知首项 a1 ，末项 an ，项数 n 时用公式 Sn ＝ na1＋an ，用此公式时，有时要结合等差数列的性质； 2
n－1 当 n 为奇数时，数列中共有 2 对还多余中间一项，则有 n－1 n＋1 n＋1 Sn＝ 2 (a1＋an)＋a 2 ，而 a1＋an＝2a 2 ，即有： n－ 1 1 n Sn＝ 2 (a1＋an)＋2(a1＋an)＝2· (a1＋an)．
• 2．如何理解等差数列中奇数项和、偶数 项和的问题？ • (1)当等差数列{an}有偶数项时，设为2n项， • 设S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，① • S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1，② • ①－②得：S偶－S奇＝nd， • ①＋②得：S偶＋S奇＝S2n，
• (2)等差数列中依次k项和成等差数列，即Sk， S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列，且公差 为⑧________(d是原数列公差)． • (3)项数为偶数2n的等差数列{an}，有 • S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)(an与an＋1 为中间的两项)； • S偶－S奇＝⑨________；＝⑩________.
当 d<0 时，Sn 存在最大值，不存在最小值，其对称轴 n d a1－2 1 a1 ＝－ d ＝2－ d . 2×2 1 a1 当 － ≤1， 由于定义域是 n∈N*， 则 Sn＝f(n)是减函数， 2 d 所以此时 Sn 的最大值是 f(1)＝S1.
1 a1 1 a1 1 a1 * 当 － >1 时，若( － )∈N ，Sn 的最大值是 f( － )，即当 n 2 d 2 d 2 d 1 a1 1 a1 1 a1 1 a1 * ＝ － 时， Sn 取最大值； 若( － )∉N ， 设[ － ]表示不超过 － 2 d 2 d 2 d 2 d 1 a1 1 a1 1 a1 1 a1 的最大整数，当|[2－ d ]－(2－ d )|<|[2－ d ]＋1－(2－ d )|时，Sn 的最 1 a1 1 a1 1 a1 1 a1 1 a1 大值是 f([ － ])；当|[ － ]－( － )|＝|[ － ]＋1－( － )|时， 2 d 2 d 2 d 2 d 2 d 1 a1 1 a1 1 a1 1 a1 1 Sn 的最大值是 f([ － ])＝f([ － ]＋1)；当|[ － ]－( － )|>|[ － 2 d 2 d 2 d 2 d 2 a1 1 a1 1 a1 d ]＋1－(2－ d )|时，Sn 的最大值是 f([2－ d ]＋1)．
等差数列前n项和(2)
an an1
2) an (n 1)a2
n 1 n2
an an1 a2
数列an是以a2为公差a1为首项的等差数列。
例9：已知数列an, an
N
, Sn
1 8
(an
2)2.
(1)求证an是等差数列.
(2)若b n
=
1 2
a
n
-30，求数列bn
的前n项和的最小值
S偶
a中
an
,
S奇 S偶
=
n n-1
若等差数列{an}共有2n项，则S偶-S奇=nd, S奇 = an S偶 an+1
如{an}为等差数列，项数为奇数，奇数项和为44， 偶数项和为33，求数列的中间项和项数。
a中 =11，n=7
性质5、{an}为等差数列，求Sn的最值。 若a1 >0,d<0且 aann+100，则Sn最大。 若a1 <0,d>0且 aann+100，则Sn最小。
解：a n+1
Sn1
Sn
1 8
(a
n+1
2)2
1 8
(a
n
2)2
(an1 an )(an1 an 4) 0, an N
an1 an 4数列an是等差数列。
例9：已知数列an, an
N , Sn
1 8
(an
2)2.
(1)求证an是等差数列.
即n≤12时，an>0而n≥14时an<0
所以S12和S13最大
等差数列的前n项和(二)
15 2 225 （2）因为 S n 2n 30n 2(n ) 2 2
2
又因为n是正整数， 所以当n=7或=8时，Sn最小， 最小值是－112.
2012-12-1
• 在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求 Sn的最大值． • 由题目可获取以下主要信息： • ①{an}为等差数列．②a1＝25，S17＝S9. • 解答本题可用二次函数求最值或由通项 公式求n，使an≥0，an＋1<0或利用性质求 出大于或等于零的项．
当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1
3 205 3 205 2 2 ＝－2n ＋ 2 n－－2n－1 ＋ 2 n－1
＝－3n＋104. ∵n＝1 也适合上式， ∴数列通项公式为：an＝－3n＋104(n∈N*)．
2012-12-1
(2)当 n＝1 时，a1＝S1＝1； 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2· 3 ∵a1＝1 不符合 an＝2· 3
答案：
2012-12-1
A
• 3．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a17＝ 10，则S19的值为________．
解析： a3＋a17＝a1＋a19＝10 19a1＋a19 19×10 S19＝ ＝ 2 ＝95. 2
答案： 95
2012-12-1
• 4．已知{an}是等差数列，a1＋a3＋a5 ＝9，a6＝9.求此数列前6项的和．
3 101 S50 50 2600 . 2
根据等差数列前n 项和公式, 得
10 9 1 105 S10 10 3 . 2 2 2
2012-12-1
1 3 15 例 2 在等差数列 an 中,已知 d , an , S n , 2 2 2 求 a1 及 n . 3
等差等比数列的前n项和公式
等差等比数列的前n项和公式等差数列是指数列中相邻两项之差相等的数列，公差为d，首项为a。
等差数列的前n项和Sn可表示为：Sn=(n/2)某(a+(a+(n-1)d))其中，n为要求的项数。
等差数列的前n项和公式的推导如下：设等差数列的首项为a，公差为d，共有n项，最后一项为an。
则有：an = a + (n-1)d （1）通项公式的推导如下：首项：a1=a第二项：a2=a+d第三项：a3=a+2d...第n项：an = a + (n-1)d等差数列前n项和：Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an将等差数列的通项公式代入，得到：Sn = (a1 + an)某n / 2代入(1)得到：Sn=(2a+(n-1)d)某n/2化简得：Sn=(n/2)某(2a+(n-1)d)化简后的公式即为等差数列的前n项和公式。
例如，假设有一个等差数列的首项a为2，公差d为3，要求前5项的和Sn。
代入公式Sn=(n/2)某(2a+(n-1)d)，得到：Sn=(5/2)某(2某2+(5-1)某3)Sn=(5/2)某(4+12)Sn=(5/2)某16Sn=40所以，该等差数列的前5项和为40。
对于等比数列，其通项公式为：an = a 某 r^(n-1)其中，a为首项，r为公比，n为项数。
等比数列的前n项和Sn可表示为：Sn=a某(r^n-1)/(r-1)其中，n为要求的项数。
等比数列的前n项和公式的推导如下：首项：a1=a第二项：a2=a某r第三项：a3=a某r^2...第n项：an = a 某 r^(n-1)等比数列前n项和：Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an等比数列的前n项和可以通过等差数列的前n项和公式推导得到。
首先，将等比数列的各项都除以首项a，得到新的数列。
新数列的首项为1，公比为r。
对新数列来说，其前n项和Sn可以表示为：Sn'=1+r+r^2+...+r^(n-1)其中，n为项数。
等差数列的前n项和2
等差数列的前n项和公式：
练习.已知等差数列{an}的前n项和为Sn， 若a4+a5=18，则S8等于（D ） A.18 B.36 C.54 D.72
探究（一）：等差数列与前n项和的关系 若数列{an}的前n和 {an}是等差数列吗？ 那么数列
将等差数列前n项和公式
看作是一个关于n的函数，
2
y Ax Bx上的一群孤立的点.
2
讲解范例:
已知数列 an 前n项和为sn ，求 通项公式 an
Sn Sn 1 an S1
( n 2) ( n 1)
小结：
a1
an
数列an 的前n项和S n An Bn( A,
2
B为常数)，则数列an 是不是一定是等差 数列？
这个函数有什么特点？
11 n 2 2 2
d d 设A , B a1 , 则Sn An 2 Bn A, B是常数 2 2
特征：
当A 0 即d 0 时, S n是关于n的二次函 数式,即S n An Bn的图象是抛物线
3. 已知数列 通项公式 an
an
前n项和为 sn ，求
( n 2) ( n 1)
Sn Sn 1 an S1
作业： P45练习：2，3. P46习题2.3A组：5，6.
an 是公差为2 A的等差数列
S n An Bn( A, B为常数)
2
首项a1＝p＋q
公差d＝2p
数列？
若{an}为等差数列，那么
是什么
{an}是等差数列
为等差数列
1.等差数列与前n项和的关系
当A 0 即d 0 时, S n是关于n 的二次函 数式,即S n An 2 Bn 的图象是抛物线 y Ax 2 Bx上的一群孤立的点 .
等差数列的前n项和(二)
等差数列的前n项和(二)说课“等差数列的前n项和”第二节课的主要内容是让学生进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式，进一步去了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；学会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究S n的最值，学会其常用的数学方法和体现出的数学思想.从而提高学生分析问题、解决问题的能力.通过本节课的教学使学生对等差数列的前n项和公式的认识更为深刻.通过本节例题的教学，使学生能活用求和公式解题，并进一步感受到数列与函数、数列与不等式等方面的联系，促进学生对本节内容认知结构的形成，通过探究一些特殊数学求和问题的思路和方法，体会数学思想方法的运用.在本节教学中，应让学生融入问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、操作、探索、交流、反思，来认识和理解等差数列的求和内容，学会学习并能积极地发展自己的能力.教学重点熟练掌握等差数列的求和公式.教学难点灵活应用求和公式解决问题.教具准备多媒体课件、投影仪、投影胶片等三维目标一、知识与技能1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；3.会利用等差数列通项公式与前n 项和的公式研究S n 的最值. 二、过程与方法1.经历公式应用的过程，形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；2.学会其常用的数学方法和体现出的数学思想，促进学生的思维水平的发展.三、情感态度与价值观通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题.教学过程导入新课师 首先回忆一下上一节课所学主要内容.生 我们上一节课学习了等差数列的前n 项和的两个公式：(1)2)(1n n a a n S +=；(2)2)1(1d n n na S n -+=.师 对，我们上一节课学习了等差数列的前n 项和的公式，了解等差数列的一些性质.学会了求和问题的一些方法，本节课我们继续围绕等差数列的前n 项和的公式的内容来进一步学习与探究.推进新课［合作探究］师 本节课的第一个内容是来研究一下等差数列的前n 项和的公式的函数表示，请同学们将求和公式写成关于n 的函数形式.生 我将等差数列{a n }的前n 项和的公式2)1(1d n n na S n -+=整理、变形得到：)2(212d a n d S n -+=n .(*) 师 很好!我们能否说(*)式是关于n 的二次函数呢?生1 能，(*)式就是关于n 的二次函数.生2 不能，(*)式不一定是关于n 的二次函数.师 为什么?生2 若等差数列的公差为0，即d =0时，(*)式实际是关于n 的一次函数!只有当d ≠0时，(*)式才是关于n 的二次函数. 师 说得很好!等差数列{a n }的前n 项和的公式可以是关于n 的一次函数或二次函数.我来问一下：这函数有什么特征? 生 它一定不含常数项，即常数项为0.生 它的二次项系数是公差的一半.……师 对的，等差数列{a n }的前n 项和为不含常数项的一次函数或二次函数.问：若一数列的前n 项和为n 的一次函数或二次函数，则这数列一定是等差数列吗?生 不一定，还要求不含常数项才能确保是等差数列.师 说的在理.同学们能画出(*)式表示的函数图象或描述一下它的图象特征吗? 生 当d =0时，(*)式是关于n 的一次函数，所以它的图象是位于一条直线上的离散的点列，当d ≠0时，(*)式是n 的二次函数，它的图象是在二次函数x d a x d y )2(212-+=的图象上的一群孤立的点.这些点的坐标为(n ,S n )(n =1，2，3，…).师 说得很精辟.［例题剖析］【例】 (课本第51页例4)分析:等差数列{a n }的前n 项和公式可以写成n d a n d S n )2(212-+=，所以S n 可以看成函数x d a x d y )2(212-+= (x∈N *)当x=n 时的函数值.另一方面，容易知道S n 关于n 的图象是一条抛物线上的点.因此我们可以利用二次函数来求n 的值.(解答见课本第52页) 师 我们能否换一个角度再来思考一下这个问题呢？请同学们说出这个数列的首项和公差.生 它的首项为5，公差为75-.师 对，它的首项为正数，公差小于零，因而这个数列是个单调递减数列，当这数列的项出现负数时，则它的前n 项的和一定会开始减小，在这样的情况下，同学们是否会产生新的解题思路呢？生 老师，我有一种解法：先求出它的通项，求得结果是a n =a 1+(n -1)d =74075+-n . 我令74075+=n a n ≤0，得到了n ≥8，这样我就可以知道a 8=0，而a 9＜0.从而便可以发现S 7=S 8，从第9项和S n 开始减小，由于a 8=0对数列的和不产生影响，所以就可以说这个等差数列的前7项或8项的和最大.师 说得非常好!这说明我们可以通过研究它的通项取值的正负情况来研究数列的和的变化情况.［方法引导］ 师 受刚才这位同学的新解法的启发，我们大家一起来归纳一下这种解法的规律：①当等差数列{a n }的首项大于零，公差小于零时，它的前n 项的和有怎样的最值?可通过什么来求达到最值时的n 的值? 生S n 有最大值，可通过⎩⎨⎧≤≥+001n n a a 求得n 的值.师 ②当等差数列{a n }的首项不大于零，公差大于零时，它的前n 项的和有怎样的最值?可通过什么来求达到最值时的n 的值?生 S n 有最小值，可以通过⎩⎨⎧≥≤+001n n a a 求得n 的值.［教师精讲］好!有了这种方法再结合前面的函数性质的方法，我们求等差数列的前n 项的和的最值问题就有法可依了.主要有两种：(1)利用a n 取值的正负情况来研究数列的和的变化情况；(2)利用S n ：由n d a n dS n )2(212-+=利用二次函数求得S n 取最值时n的值.课堂练习请同学们做下面的一道练习： 已知：a n =1 024+lg21-n (lg2=0.3 01 0)n ∈*.问多少项之和为最大？前多少项之和的绝对值最小？(让一位学生上黑板去板演) 解：1°⎩⎨⎧-=≥-+=+02lg 102402lg )1(10241＜n a n a n n 2lg 10242lg 1024≤⇒n ＜+1⇒3 401＜n ＜3 403.所以n =3 402.2°S n =1 024n +2)1(-n n (-lg2)，当S n =0或S n 趋近于0时其和绝对值最小，令S n =0，即1 024+2)1(-n n (-lg2)=0,得n =2lg 2048+1≈6 804.99. 因为n ∈N *，所以有n =6 805.(教师可根据学生的解答情况和解题过程中出现的问题进行点评)［合作探究］师 我们大家再一起来看这样一个问题：全体正奇数排成下表：13 57 9 1113 15 17 1921 23 25 27 29…… ……此表的构成规律是：第n行恰有n个连续奇数;从第二行起，每一行第一个数与上一行最后一个数是相邻奇数，问2 005是第几行的第几个数?师此题是数表问题，近年来这类问题如一颗“明珠”频频出现在数学竞赛和高考中，成为出题专家们的“新宠”，值得我们探索.请同学们根据此表的构成规律，将自己的发现告诉我.生1 我发现这数表n行共有1+2+3+…+n个数，即n行共有2)1(+nn个奇数.师很好!要想知道2 005是第几行的第几个数，必须先研究第n 行的构成规律.生 2 根据生1的发现，就可得到第n行的最后一个数是2×2)1(+nn-1=n2+n-1.生3 我得到第n行的第一个数是(n2+n-1)-2(n-1)=n2-n+1.师现在我们对第n行已经非常了解了，那么这问题也就好解决了，谁来求求看?生4 我设n2-n+1≤2 005≤n2+n-1，解这不等式组便可求出n=45，n2-n+1=1 981.再设2 005是第45行中的第m个数，则由2 005=1 981+(m-1)×2，解得m=13.因此，2 005是此表中的第45行中的第13个数.师很好!由这解法可以看出，只要我们研究出了第n行的构成规律，则可由此展开我们的思路.从整体上把握等差数列的性质，是迅速解答本题的关键.课堂小结本节课我们学习并探究了等差数列的前n 项和的哪些内容?生1我们学会了利用等差数列通项公式与前n 项和的公式研究S n 的最值的方法：①利用a n ：当a n ＞0，d ＜0，前n 项和有最大值.可由a n ≥0，且a n +1≤0，求得n 的值；当a n ≤0，d ＞0，前n 项和有最小值.可由a n ≤0，且a n +1≥0，求得n 的值.②利用S n ：由S n =2d n 2+(a 1-2d )n 利用二次函数求得S n 取最值时n 的值.生 2 我们还对等差数列中的数表问题的常规解法作了探究，学习了从整体上把握等差数列的性质来解决问题的数学思想方法.师 本节课我们在熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式的基础上，进一步去了解了等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题.学会了一些常用的数学方法和数学思想，从而使我们从等差数列的前n 项和公式的结构特征上来更深刻地认识等差数列.布置作业课本第52页习题2.3 A 组第5、6题.预习提纲：①什么是等比数列？②等比数列的通项公式如何求？板书设计等差数列的前n项和(二)S n与函数的联系例4求S n最值的方法学生练习数表问题。
等差数列的前n项和(2)
等差数列的前n 项和(2)课前预习区 编制人：周立彬 使用时间：2012.5.14 1．等差数列的定义：2．等差数列的通项公式： 3．几种计算公差d 的方法：4．等差中项：⇔+=2b a A5．等差数列的性质：6.等差数列的前n 项和公式1：公式2：课堂交流区1．数列{n a }的前n 项和与通项的关系说明：由n S 的定义可知，当n=1时，1S =1a ；当n ≥2时，n a =n S -1-n S ，即n a =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n例1. 已知数列{a n }中 n S n n 212+= 求这,这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是什么?练习：已知数列{a n }中 n S n n +=2 求这,这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是什么?探究：一般地，如果一个数列{},n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？2．等差数列前项和的最值问题说明：对等差数列前项和的最值问题有两种方法:（1）利用n a :当n a >0，d<0，前n 项和有最大值。
可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值. 当n a <0，d>0，前n 项和有最小值。
可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值. （2）利用n S ：由2)1(1dn n na S n -+=可化成式子：n )2d a (n2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式利用二次函数配方法求得最值时n 的值. 例2： 已知等差数列 5 ，472，374，....的前 n 项和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值.练习：已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.三、课后巩固区1.已知数列{},n a 中 n n s n 322+=求证{}n a 是等差数列.2.已知数列{},n a 中，12++=n n s n 求n a .3．差数列{n a }中, 4a ＝－15, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值. 4．数列{)1(1+n n }的前n 项和Sn=)1(1541431321211+⨯++⨯+⨯+⨯+⨯n n ,研究一下，能否找到求Sn的一个公式。
高二数学等差数列的前n项和2(新编201911)
与公差分别是什么?
练习:
已知数列{an}的前n项和为
Sn
1 4
n2
2 3
n
3,
求该数列的通项公式.
这个数列是等差数列吗?
探究:
一般地，如果一个数列{an}的前n项 和为Sn＝pn2＋qn＋r，其中p、q、r为常 数，且p≠0，那么这个数列一定是等差 数列吗?如果是，它的首项与公差分别 是多少?
2.3 等差数列的 前n项和 (二)
主讲老师：
复习引入
等差数列的前n项和公式：
复习引入
等差数列的前n项和公式：
Sn
n(a1 2
an )
复习引入
等差数列的前n项和公式：
Sn
n(a1 2
an )
n(n 1)d
Sn na1
2
；pe融资
探究:
一般地，如果一个数列{an}的前n项 和为Sn＝pn2＋qn＋r，其中p、q、r为常 数，且p≠0，那么这个数列一定是等差 数列吗?如果是，它的首项与公差分别 是多少?
这个数列一定是等差数列. 首项a1＝p＋q 公差d＝2p
结论:
n(n 1)d
Sn na1
2
可化成
Sn
d 2
n2
；vc融资
；投资基金
；
雷次宗《豫章记》一卷 郭璞注《山海经》二十三卷 王琰《宋春秋》二十卷 《武德律》十二卷 《晋建武以来故事》三卷 《先儒传》五卷 王涯《唐循资格》五卷 杜预《刑法律本》二十一卷 圈称《陈留风俗传》三卷 崔日用《姓苑略》一卷 薛图存《河南记》一卷 又《薛常侍传》二卷 尚书右丞段宝玄 《诸葛传》五卷 段龟龙《凉记》十卷 杨佺期《洛城图》一卷 总七家 沈约《梁
等差数列的前n项和-概念解析
数学教育
等差数列的前n项和公式是数学 教育中的重要内容，是中学数学
课程中的必修知识点。
在物理领域的应用
物理学中的周期性现象
等差数列的前n项和公式可以用于描述物理学中的周期性现象，例如声音的振 动、波动等。
物理学中的序列问题
等差数列的前n项和公式可以用于解决物理学中的序列问题，例如在研究粒子运 动、流体动力学等领域中，可以通过等差数列的前n项和公式来描述一系列物理 量的变化规律。
解答
由于该等差数列是偶数项，所以它的前10项和等于中间两 项之和（第5项和第6项）乘以10除以2，即$(3 - 3) times 10 / 2 = 0$。
习题三：等差数列前n项和的实际应用问题
01 总结词
02 详细描述
03 应用1
04 应用2
05 应用3
掌握等差数列前n项和在实 际问题中的应用
等差数列前n项和在实际问 题中有着广泛的应用，如 计算存款、贷款、工资等 问题。
总结词
详细描述
公式
示例
解答
理解等差数列前n项和的 概念
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和，可以通过公式 或递推关系式来求解。
$S_n = frac{n}{2} times (2a_1 + (n-1)d)$，其中 $a_1$是首项，$d$是公 差，$n$是项数。
求等差数列$1, 3, 5, 7, ldots$的前5项和。
等差数列前n项和的公式推导
等差数列前n项和的公式可以通过数学归 纳法进行推导。
化简得：$S_{k+1} = frac{(k+1)}{2}(2a_1 + kd)$，所以当n=k+1时，公式也成立。
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随堂练习 1、在等差数列{an}中,已知S15=90,那么a8等于 C
A、3
B、4
C、6
D、12
2、设{an}是递增等差数列，前三项的和为12， 前三项的积为48，则它的首项是 B
A、1
B，2
C、4
D、6
3、设数列{an}是等差数列，且a2=-6,a8=6,Sn是 数列{an}的前n项和，则 B
A、S4<S5 B、S4=S5
若项数为2n，则
S偶 -S奇 a2 a4 a2n a1 a3 a2n1
(a2 a1 ) (a4 a3 ) (a2n a2n1 )
d d d nd
n (a1 a2 n 1 ) S奇 2 2an an ＝ . n S偶 2an 1 an 1 (a2 a2 n ) 2
24 解法2： a1 12 2d , 7 d 3 由 an 12 (n 3)d 0, 得 a 12 (n 2)d 0. 即 5.5 n 7. n1
n N , n 6, 即S6最大。
*
关于等差数列奇数项与偶数项的性质：
n
(4)、数列an 的前n项和 Sn与an的关系： a
( n 1) S1 Sn Sn1 ( n 2)
an 0 由 求n (5) 若a1 0, d 0，则Sn有最小值。 an1 0 若a1 0, d 0，则Sn有最大值。 an 0
n(n 1) Sn na1 d 2 n n-1 dSnLeabharlann =na1 + 2
d d= n + a1 - n 2 2
2
可见d≠0时，Sn是关于n的缺常数项的 二次函数，其二次项系数是公差的一半。 即Sn=An2+Bn(A,B为常数)
例1．求集合 M m | m 7n, n N , 且m 100 中元素的个数，并求这些元素的和。
a1 a20 S20 20 1220 2
①
所以
a1 a20 122； ②-①，得 10 d 60
代入①得：
②
则
所以有
（n 1 n ） 2 S n a1n d 3n n 2
a1 4
d 6
课堂练习
3 1 (1)a1 , d , S n 15求n及an 2 2
7 d 3.
解法1： S12 0, S13 0 由
12 11 12a1 2 d 0, 得 13a 13 12 d 0, 1 2
d a1 5d 0, 2 即 a1 6d 0.
也即 a6 0且a7 0, S6最大。
=
=
5 ( 14
练习、数列{an}中，an=26-2n,当前n项和Sn最大时， n=___________
结论(5)、{an}为等差数列，Sn的最值。 an 0 由 求n 若a1 0, d 0，则Sn有最小值。 an1 0 an 0 若a1 0, d 0，则Sn有最大值。 由 求n an1 0
性质 （1）在等差数列的五个量a ,a ,d,n,S 中，知三求二 n 1 n
等差数列an 的前n项和的公式: （2） n(a1 an ) na2 an 1 Sn 2 2
（3）、}是等差数列 {an
Sn=An2+Bn(a,b为常数)
( n 1) S1 (4)、数列 an 的前n项和 Sn与an的关系：n a Sn Sn1 ( n 2)
an 0 由 求n (5) 若a1 0, d 0，则Sn有最小值。 an1 0 若a1 0, d 0，则Sn有最大值。 a 0
或利用二次函数求最值
由 求n an1 0
n
(6) 等差数列 an 中 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列
等差数列的前n项和（2）
a 等差数列通项公式：n a1 (n 1)d am (n m)d
若m+n=p+q,则am+an=ap+aq 若m n 2k，则am an 2ak
a1 an a2 an1 a3 an2
等差数列an 的前n项和的公式: n(a1 an ) na2 an 1 Sn 2 2
性质
（1）在等差数列的五个量an,a1,d,n,Sn中，知三求二
（2） 等差数列an 的前n项和的公式: n(a1 an ) na2 an 1 Sn 2 2 （3）、}是等差数列 {an Sn=An2+Bn(a,b为常数)
( n 1) S1 (4)、数列 an 的前n项和 Sn与an的关系：n a Sn Sn1 ( n 2)
最大值为130
例3．设等差数列an 的前n项和为 Sn ，已知 a3 12, S12 0, S13 0. （1）求公差d的取值范围； （2）指出 S1 , S2 ,, S12 中哪一个最大？并说明理由。
解：(1) 12 (12 1) d 0, S12 12a1
代 an a1 (n 1)d公式可得 或 98 7 (n 1) 7 n 14.
例2. 己知一个等差数列｛an｝前10项的和是310,前20项 的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项和 的公式吗?
a1 an 解：由题意知 S10 10 310 2 得 a1 a10 62；
练习：等差数列{an}中，首项a1>0,公差d<0,Sn为其前n项 和，则点(n,Sn)可能在下列哪条曲线上。
Y X Y X
C
O
O
A
Y X Y
B
O
O
X
C
D
性质
（1）在等差数列的五个量an,a1,d,n,Sn中，知三求二
（2） 等差数列an 的前n项和的公式: n(a1 an ) na2 an 1 Sn 2 2 （3）、}是等差数列 {an Sn=An2+Bn(a,b为常数)
S1 , S2 , S3成等差数列。
结论:等差数列 an 中 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列
k∈N*
如：{an}是等差数列， (1)a1+a2+a3=5，a4+a5+a6=10,则a7+a8+a9=_ a19+a20+a21=_____
(2)Sn=25,S2n=100,则S3n=____
问题3、由此你还有其他计算S30的解法吗？
问题4、你能根据上面的思考，归纳出规律吗？
把本例命题加以变化，可得到一个一般性结论： 数列an 为等差数列，若 S1 a1 a2 an ; S2 an1 an2 a2n ; S3 a2n1 a2n2 a3n ;
Sn=An2+Bn(a,b为常数)
缺少常数项 的二次函数
n(n 1) Sn na1 d 2
数列an 的前n项和，用Sn 表示，即 Sn a1 a2 a3 an S n1 a1 a2 a3 an1
(3) 、数列 an
( n 1) S1 an 的前 n项和 Sn与an的关系： Sn Sn1 ( n 2)
或利用二次函数求最值
由 求n an1 0
例2. 己知一个等差数列｛an｝前10项的和是310,前20项的 和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公 （n 1 n ） 式吗? 2
S n a1n
2
d 3n n
问题1、若此题改为求S30的值呢？
问题2、S10，S20，S30这三个值成等差吗？若不能，你能 根据它们三个构造一个等差数列吗？
5、解在等差数列{an}中，已知a1=20,前n项和为Sn,且 S10=S15，求当n取何值时，Sn有最大值，并求出它的最大 值。 解：由S10=S15得a11+a12+a13+a14+a15=0 所以a13=0 因为a1>0,a13=0,所以d<0 即n≤12时，an>0而n≥14时an<0
所以S12和S13最大
C、S6<S5
D、S6=S5
4、等差数列{an}的前m项的和为30，前2m项的和 为100，则它的前3m项的和为
A、130 B、170 C、210 D，260
5、在等差数列{an}中，已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15， S10=S15 求当n取何值时，Sn有最大值，并求出它的最大值。
（每个均为连续n项的和），证明S1，S2，S3成等差数列。
证明：由等差数列前n项和公式，得 n(a2 n 1 a3n ) n(a1 an ) n(an 1 a2 n ) . S1 , S2 , S3 2 2 2
n(a1 an a2 n 1 a3n ) S1 S3 n(an 1 a2 n ) 2S 2 . 2
若项数为2n-1
由等差数列的性质： 2 a2n2 a1 a2n1 2an . a
S偶 a2 a4 a2n2 n 1 n 1 (a2 a2 n 2 ) 2an (n 1)an 2 2 n S奇 a1 a3 a2n1 (a1 a2 n 1 )
根据下列条件，求相应的等差数列an 的有关未知数。
（2）S5 24 求a2 a4
结论 （1）在等差数列的五个量an,a1,d,n,Sn中，知三求二 （2）等差数列an 的前n项和的公式:
n(a1 an ) na2 an 1 Sn 2 2