八上数学导学手册答案

初二数学（八上）创新教育实验手册参考答案（苏科版）第一章轴对称图形1. 1 轴对称与轴对称图形【实践与探索】例1 请观察26个大写英文字母，写出其中成轴对称的字母．解：成轴对称的字母有：A、B、C、D、E、H、I、K、M、O、T、U、V、W、X、Y．注意：字母“N、S、Z”也具有对称的特点，但它们不是轴对称图形．例2 国旗是一个国家的象征，观察图1.1.1中的国旗，说说哪些是轴对称图形，并找出它们的对称轴．（略）【训练与提高】一、选择题：1．A2．D3．B4．A5．A二、填空题：6．（1）（2）（5）（6）7．2，3，1，4 8．10∶21三、解答题：9．如图：10．长方形、正方形、正五边形【拓展与延伸】1．（3）比较独特，有无数条对称轴B 1CBAC 1A 1图1.2.12．1.2 轴对称的性质（1）【实践与探索】例1 已知△ABC 和△A 1B 1C 1是轴对称图形，画出它们的对称轴．解： 连接AA 1，画出AA 1的垂直平分线L ，直线L 就是△ABC 和△A 1B 1C 1的对称轴．回顾与反思 连接轴对称图形的任一组对称点，再画对称点所连接线段的垂直平分线，就得该图形的对称轴．例2 如图1.2.2，用针扎重叠的纸得到关于L 对称的两个图案，并从中找出两对对称点、两条对称线段．解：可标注不同的对称点．例如：A 与A '是对称点，B 与B '是对称点． 对称线段有AB 与A 'B '，CD 与C 'D '等．回顾与反思 研究对称点是研究对称图形的基础，一般先研究对称点，再研究对称线段，这能更清楚地了解轴对称的性质． 【训练与提高】 一、选择题：1．B 2．D 3．B 4．A 二、填空题：5．轴对称，3条 6．略 7．810076 8．AB ＝CD BE ＝DE ∠B ＝∠D 三、解答题：9．2，4，5 10．略 11．不是，不是 12．略 13．在对称轴上 【拓展与延伸】 1．如图：图1.2.2图1.2.３（1） （2）图1．2．4 图1．2．52．如图：1.2轴对称的性质（2）【实践与探索】例1 画出图1.2.3中△ABC 关于直线L 的对称图形．解： 在图1.2.3（1）和图1.2.3（2）中，先分别画出点A 、B 、C 关于直线L 的对称点1A 、1B 和1C ，然后连接11B A 、11C B 、11A C ，则△111C B A 就是△ABC 关于直线L 对称的图形．回顾与反思 （1）如果图形是由直线、线段或射线组成时，那么在画出它关于某一条直线对称的图形时，只要画出图形中的特殊点（如线段的端点、角的顶点等）的对称点，然后连接对称点，就可以画出关于这条直线的对称图形； （2）对称轴上的点（如图1.2.3（1）中的点B ），其对称点就是它本身．例2 问题1：如图1.2.4，在一条笔直的河两岸各有一个居民点A 和B ，为方便往来，必须在河上架桥，在河的什么位置架桥，才能使A 和B 两地的居民走的路最短？问题2：如图1.2.5，在一条河的同岸有两个居民点A 和B ，现拟在岸上修建一个码头，问码头修在何处，才能使码头到A 和B 两地的总长最短？①②③④图1.2.4 问题1和问题2之间有联系吗？能从前一个问题受到启发来解决这个问题吗？ 探索：对问题1，显然只要连接AB ，AB 与a 的交点就是所要找的点． 对问题2，即要在直线a 上找一点C ，使AC ＋BC 最小． 分析： 我们用“翻折”———轴对称的方法．画点C ：（1）作点A 关于直线a 的对称点A '；（2）连结A 'B 交a 于点C ，点C 就是所求作的点．理由：如图1.2.4，如果C '是直线a 上异于点C 的任意一点，连A C '、B C '、A ' C '，则由于A 、A '关于直线a 对称，所以有'''',C A AC C A AC ==．所以 '''''BC C A BC AC +=+＞BC AC BC C A B A +=+=''． 这说明，只有C 点能使AC ＋BC 最小．【训练与提高】 一、选择题：1．C 2．C 3．B 4．A 二、填空题：5．（1）等腰三角形 （2）矩形 （3）等边三角形 （4）正方形 （5）五角星 （6）圆 6．不对称、不对称 7．5个 三、解答题： 8．略 9．略10．画图略 11．如图：12．画出点A 关于直线L 的对称点A '，连结A 'B 与直线L 的交点即为所求停靠点．【拓展与延伸】图1.3.11．图略 2．图略1.3设计轴对称图形【实践与探索】例1 剪纸，千百年来在民间时代流传，给我们的生活带来无限的美丽！动手学一学：观察一下，图1.3.1中最后的展开图是一个轴对称图形吗？它有几条对称轴？ 例2 如图1.3.2，以直线L 为对称轴，画出图形的另一半．图1.4.1【训练与提高】 一、选择题： 1．B 2．B 二、填空题： 3．M 、P 、N 、Q 三、解答题： 4．如图：5．略 6．如日本、韩国 、等 7．略 8．图略 【拓展与延伸】 1．图略2．图略，答案不唯一1.4 线段、角的轴对称性(1)【实践与探索】例1 如图1.4.1，在△ABC 中，已知边AB 、BC 的垂直平分线相交于点P ． (1)你知道点P 与△ABC 的三顶点有什么关系？ (2)当你再作出AC 的垂直平分线时，你发现了什么？解：(1)点P 与△ABC 的三顶点距离相等，即P A ＝PB ＝PC ． (2)如图，AC 的垂直平分线也经过P 点．即三角形的三条中垂线交于一点． 例2 如图1.4.2，在△ABC 中，已知AB ＝AC ，D 是AB 的中点，且DE ⊥AB ，交AC 于E ．已知△BCE 周长为8，且AB －BC ＝2，求AB 、BC 的长．分析：由题意可知，DE垂直平分AB，则有AE＝BE，因此△BCE的周长就转化为AC＋BC，问题即可解决．解：因为D是AB的中点，且DE上AB，所以AE＝BE，则△BCE的周长＝BE＋CE＋BC－AE＋CE＋BC＝AC＋BC＝8．又因为AB－BC＝2，AB＝AC，所以AC－BC＝2.由上可解得AC＝5，BC＝3．回顾与反思(1)本题中利用“E是线段AB的垂直平分线上的点”得到“AE＝BE”，从而实现了“线段BE"的转移，这是我们常用的方法；(2)利用“线段的中垂线的性质”可以说明两条线段相等．【训练与提高】一、选择题：1．C2．D3．D4．A二、填空题：5．无数个6．6，2 7．10，8 cm 8．9 cm三、解答题：9．24010．连结AB，作AB的中垂线交直线L于P，点P即为所求作的点11．24 cm 12．(1) 35 0（2）55 0【拓展与延伸】1．图略（1）只要任意找一个以A为顶点的格点正方形，过点Ａ的对角线或其延长线与BＣ的交点就是点Ｐ（2）找与A为顶点的正方形中与A相对的顶点．2．9 cm1.4 线段、角的轴对称性(2)【实践与探索】例1 如图1.4.3，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的角平分线相交于O．请问：(1)你知道点O与△ABC的三边之间有什么关系吗？图1.4.３(2)当你再作出∠A的平分线时，你发现了什么？图1.4.4解： (1)点O 到△ABC 的三边的距离相等；(2)如图1.4.3，∠A 的平分线也经过点D ，即三角形的三条角平分线交于一点．例2 已知：如图1.4.4， AD ∥BC ， DC ⊥BC ， AE 平分∠BAD ，且点E 是DC 的中点．问：AD 、BC 与AB 之间有何关系？试说明之．分析：此题结论不确定，从已知中收集有效信息，并大胆尝试 （包括用刻度尺测量）是探索、猜想结论的方法．(1)将“AE 平分∠BAD "与“DE ⊥AD "结合在一起考虑，可以联想到， 若作EF ⊥AB 于F ，就构成角平分线性质定理的基本图形，可得AF ＝AD ． (2)再结合“点E 是DC 的中点”，可得：ED ＝ EF ＝EC ．于是连接BE ，可证BF ＝BC ． 这样，AD ＋ BC ＝AF ＋ BF ＝AB ．解：AD 、BC 与AB 之间关系：AD ＋ BC ＝AB ．证明思路简记如下： 作EF ⊥AB ，连接BE ，易证△ADE ≌△AFE ( AAS )，∴AD ＝ AF ． 再由EF ＝ED ，EF ＝EC ，可得△BFE ≌△BCE ( HL )，∴ BF ＝BC ，AD ＋BC ＝AB ．回顾与反思 (1)根据例1的结论，我们可以在三角形内找到一点，使它到三角形三边距离都相等；(2)利用角平分线的性质，可以说明两条线段相等，这也是我们常用的办法．【训练与提高】 一、选择题：1．A 2．B 3．A 4．C 二、填空题：5．线段的垂直平分线、角平分线 6．3 7．900 三、解答题：8．略 9．过P 点分别作垂线 10．作图略 11．作MN 的中垂线，∠AOB 的平分线交点即是 12．6 cm 【拓展与延伸】图1.5.1BE D CFA1．600 2．略1.5 等腰三角形的轴对称性(1)【实践与探索】例1 (1)已知等腰三角形的一个角是1000，求它的另外两个内角的度数； (2)已知等腰三角形的一个角是800，求它的另外两个角的度数．分析： (1)由于等腰三角形两底角相等，且三角形的内角和为1800，所以1000的角一定是这个三角形的顶角；(2)等腰三角形的一个角是800，要分底角为800或顶角为800两种情况． 解：(1)由于等腰三角形两底角相等，且三角形的内角和等于1800，这个三角形的顶角等于1000，所以这个三角形的另两个内角应为21(1800 － 1000)＝400． (2)①底角为800时，另外两角分别为800和200；②顶角为800时，另外两角分别为500和500．回顾与反思 ：(1)当不知道已知的角是等腰三角形的顶角还是底角，此时须进行讨论；(2)若把已知角改为α，则这个等腰三角形另外两个角的度数是怎样的呢？例2 如图1.5.1，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点， DE ⊥AB ，垂足为E ， DF ⊥AC ，垂足为F ．试说明DE ＝DF 的道理． 分析：本题可以根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”来说明 DE ＝DF ．也可以利用△ADB 和△ACD 面积相等来说明DE ＝DF ， 或用全等来说明．【训练与提高】 一、选择题：1．A 2．C 3．C 4．C 5．A 二、填空题：图1．5．2图1.5.36．5 cm 7．6 cm ，2 cm ，或4 cm ，4 cm8．（1）12.5 （2）3>a ，120<<b 9．3，3，4或4，4，2 三、解答题：10．（1）700、400 或 550，550 （2） 300，300 11．750，750，300 12．33 cm 13．1080 14．BD ＝CE . 理由：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ．∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED ．∴∠ADB ＝∠AEC ．∴ΔABD ≌ΔACE ．∴BD ＝CE【拓展与延伸】 1．1000 2．略1.5 等腰三角形的轴对称性(2)【实践与探索】例1 如图1.5.2，在△ABC 中，已知∠A ＝360，∠C ＝720， BD 平分∠ABC ，问图中共有几个等腰三角形？为什么？ 解：图中共有3个等腰三角形． ∵∠A ＝360，∠C ＝720，∴∠ABC ＝1800一（∠A ＋∠C ）＝1800－ (360＋720) ＝720＝∠C ， ∴△ABC 是等腰三角形．又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ＝21∠ABC ＝360， ∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝360＋360＝720， 即有∠A ＝∠ABD ，∠BDC ＝∠C ．∴△ABD 和△BCD 都是等腰三角形． ∴图1.5.2中共有3个等腰三角形．例2 如图1.5.3所示，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝ 900．，M 、N 分别是AC . BD 的中点，试说明： (1)DM ＝BM ； (2)MN ⊥BD ．图1.5.4解： (1) ∵点M 是Rt △ABC 斜边的中点，∴BM ＝21AC ， 同理DM ＝21AC ，∴BM ＝BM ； (2) ∵N 是BD 的中点，又BM ＝DM ，∴MN ⊥BD ． 回顾与反思 (1)“等边对等角”和“等角对等边”是证明角相等或边相等的又一手段，要能够将这两条定理结合在一起灵活运用，要分清区别和联系；(2)看见直角三角形斜边的中点时，要联想“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，这是我们常用的思维方式之一． 【训练与提高】 一、选择题：1．D 2．B 3．D 4．C 二、填空题：5．等腰 6．8 7．350 ， 218．（1）ΔBDE 或ΔADE （2）ΔBCE（3）ΔAGF 三、解答题：9．等腰三角形 10．ΔABC ，ΔAEF ，ΔEBO ，ΔFCO ，ΔOBC BE ＝CF ＝21EF 11．平行 12．10 cm 【拓展与延伸】1．延长AE 交BC 延长线于F 2．略1.5 等腰三角形的轴对称性(3)【实践与探索】例1 如图1.5.4，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝ 1200，点D 、E 在BC 上，且BD ＝AD ，CE ＝AE ．判断△ADE 的形 状，并说明理由．解： △ADE 是等边三角形．理由：∵AB＝AC，∠BAC＝120．，∴∠B＝∠C＝300．∵BD＝AD，AE＝CE，∴∠B＝∠BAD＝300，∠C＝∠CAE＝300，∴∠ADE＝∠DAE＝∠AED ＝600.∴△ADE是等边三角形．例2 等腰三角形的底边长为5 cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分之差为3 cm，则腰长为( ) A．2 cm B．8 cm C．2 cm或8 cm D．以上都不对分析可以先画出草图，题中所给条件实质是腰长与底边长之差的绝对值为3 cm．因为底边长为5 cm，所以腰长可能为8 cm或2 cm，但由于2 cm ＋2 cm ＜5 cm，故腰长不能为2 cm，只能为8 cm．解：选B．回顾与反思涉及求等腰三角形边或角时，常会出现“两解”的情况．这样的“解”需要检验它是否满足三角形的三边或三角之间的关系．【训练与提高】一、选择题：1．D2．D3．C4．A5．C二、填空题：6．等边、等边7．150 8．1200三、解答题：9．cm1010、略11．（1）EC＝BD（2）添加条件：AB＝AC，是轴对称图形，此时，∠BOC＝1200，12．过D点作AC平行线【拓展与延伸】1．添辅助线，通过ΔACD≌ΔBCE来说明2．略1.6 等腰梯形的轴对称性(1)图1.6.1图1.6.2【实践与探索】例1 如图1.6.1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ， AB ＝CD ， 点E 在BC 上，DE ∥AB 且平分∠ADC ，△CDE 是什么三角形？ 请说明理由．解： △CDE 是等边三角形．因为AD ∥BC ， AB ＝CD ，所以∠B ＝∠C ．理由：“等腰梯形在同一底上的两个角相等”又因为AD ∥BC ，所以∠ADE ＝∠CED ．由DE 平分∠ADC ，可得∠ADE ＝∠CDE ， 于是∠CED ＝∠CDE .又因为AB ∥DE ，所以∠B ＝∠CED ，从而有∠C ＝∠CED ＝∠CDE ，所以△CDE 是等边三角形．回顾与反思 等腰梯形与等腰三角形有着紧密的联系．在研究等腰梯形时，要联想到等腰三角形中的知识．例2 如图1.6.2，在梯形纸片ABCD 中，AD ∥BC ， ∠B ＝600， AB ＝2，BC ＝6．将纸片折叠，使得点B 与点D 恰好重合，折痕为AE ，求AE 和CE 的长． 解 ∵点B 与点D 沿折痕AE 折叠后重合，∴△ABE ≌△ADE ， ∴ ∠1 ＝ ∠B ＝600， ∠3 ＝∠4. ∵AD ∥BC ， ∴∠1 ＝ ∠2＝600.而∠2 ＋ ∠3 ＋ ∠4＝ 1800， ∴ ∠3 ＋ ∠4 ＝1200， ∴ ∠3 ＝∠4＝600，而∠B ＝600，∴∠5 ＝600，因此，△ABE 是等边三角形． ∴AE － BE ＝AB ＝2， ∴CE ＝BC － BE ＝4.回顾与反思 解题过程中要把等腰梯形和一般梯形的特征区分开，不可误用． 【训练与提高】 一、选择题： 1．B 2．C 3．B图1.6.3BCFADE二、填空题：4．1080，1080，720 5．27 6．①②③④ 7．1 cm 8．150 三、解答题：9．∠A ＝∠E 10．72 0 、72 0 、108 0、108 0，11．成立 【拓展与延伸】 1．CE ＝21（AB ＋BC ） 过点C 作CF ∥DB ，交AB 的延长线于点F ，先证：ΔDCB ≌ΔFBC ，则CF ＝DB ，又四边形ABCD 是等腰梯形，则AC ＝DB ，故AC ＝CF ， 易证：∠AOB ＝∠ACF ，所以ΔACF 为等腰直角三角形． 又因为CE ⊥AB ，易证：CE ＝AE ＝EF ＝2BCAB ． 2．4，61.6等腰梯形的轴对称性（2）【实践与探索】例1 如图1.6.3，△ABC 中，∠ACB ＝900，D 是AB 的中点，DE ∥AC ，且DE ＝AC 21，点F 在AC 延长线上，且CF ＝AC 21，请说明四边形AFED 是等腰梯形．略证：先说明四边形CFED 是平行四边形．由CD ∥EF ，∠F ＝∠ACD ，且CD 是RT △ABC 斜边上的中线 得∠A ＝∠F ，证得四边形AFED 是等腰梯形回顾与反思 要证明梯形是等腰梯形时，只要证明同一底上的两个角相等．例2 阅读下面的分析过程，并按要求回答问题．已知在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AC ＝BD ，AD ≠BC .则四边形ABCD 是等腰梯形．你能说明理由吗？分析：要证明四边形ABCD 是等腰梯形，因为AB ＝DC ，所以只需证四边形ABCD(1)(2)(3)(4)图1.6.4是梯形即可；又因为AD ≠BC ，故只需证AD ∥BC ．现有如图1.6.4所示的几种添辅助线的方法，可以任意选择其中一种图形，对原题进行证明．友情提示：充分利用全等三角形与等腰三角形来完成．回顾与反思 在研究等腰梯形时，常常通过辅助线，使等腰梯形与等腰三角形、平行四边形联系起来． 【训练与提高】 一、选择题：1．C 2．C 3．B 4．B 5．C 二、填空题：6．24 7．50 0 、50 0 、130 0、130 0， 8．是 9．80 0 、80 0 、100 0， 等腰 三、解答题：10．略 11．ΔABC ≌ΔDCB12．是，理由：∵∠E ＝∠ACE ，∴AE ＝AC ∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠ACE ∴∠E ＝∠DAC ∵AD ＝BE ，∴ΔABE ≌ΔCDA ∴AB ＝CD ∴梯形ABCD 是等腰梯形．13．∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ．∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴∠BEC ＝∠CDB ＝900，BC ＝BC ∴ΔBEC ≌ΔCDB ．∴BE ＝CD ∴AE ＝AD ．∴AED ＝∠ADE ＝21800A ∠-．∵∠ABC ＝∠ACB ＝21800A∠-，∴∠AED ＝∠ABC .∴ED ∥BC .∵BE 与CD 相交于点A ，∴BE 与CD 不平行．∴四边形BCDE 是梯形．∵∠EBC ＝∠DCB ，∴梯形BCDE 是等腰梯形．M NF DCBA E 【拓展与延伸】 1．26，322．解：设经过x 秒后梯形MBND 是等腰梯形， ∵作ME ⊥BC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ．∴BE ＝FN ＝AM ＝x ．∴EF ＝MD ＝21－x ，CN ＝2x ，BN ＝24－2x ． ∴BN ＝2AM ＋MD ．即24－2x ＝2x ＋21－x ，∴x ＝1．第一章复习题A 组：1．A 2．C 3．B 4．D 5．C 6．、18或21，22 7．35 0 、35 0 ；40 0、100 0或700、700 8．3 cm 或7 cm 9．7，10或8.5， 8.5 10．（1）300， （2）19 11．1000 12．（1）400，（2）350，（3）360 13．450 1350 等腰 14．等腰梯形 15．3 B 组：16．略 17．略 18．27 300 19．提示：先证：ΔADE ≌ΔADC ，则DE ＝DC ，所以∠DEC ＝∠DCE ，又EF ∥BC ，所以∠DCE ＝∠FEC ，则∠FEC ＝∠DEC 20．51221．略 22．提示：连结CR 、BP ，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．第二章 勾股定理与平方根答案2.1 平方根⑴例1解： ⑴∵(±10)2＝100，∴100的平方根是±10，即10100±=±；⑵∵(±1.3)2＝1.69，∴1.69的平方根是±1.3，即3.169.1±=±； ⑶∵49412= ，(±23)2＝49，∴49的平方根是±23，即23412±=±； ⑷∵02＝0，∴0的平方根是0，即00=.回顾与反思：⑴正数的平方根有两个，它们互为相反数，要防止出现100的平方根是10的错误；⑵当被开方数是带分数时.应先将它化成假分数后再求平方根； ⑶ 0的平方根只有一个，就是0，负数没有平方根. 例2解： ⑴∵－64＜0，∴－64没有平方根；⑵∵(－4)2＝16＞0； ∴(－4)2有两个平方根，即416)4(2±=±=-±；⑶∵－52＝－25＜0， ∴－52没有平方根；⑷∵81表示81的正的平方根是9，∵9＞0， ∴81的平方根有两个是±3.回顾与反思：象(－4)2、81这样的数求平方根时，应先将这些数化简，再求化简后的数的平方根.例3解：⑴ ∵1962=x ，∴x 是196的平方根，即14196±=±=x ； ⑵ ∵01052=-x ，∴22=x ，x 是2的平方根，即2±=x ； ⑶ ∵()0253362=--x ， ∴()362532=-x ， ∴()3-x 是3625的平方根，即653±=-x ； ∴6231=x ，6132=x【训练与提高】1. B ； 2D ； 3B . 4.3； 5.±17；±4； 6.±15；54-； 7.－1； 49； 8.9；81； 9.0. 10．⑴－8；⑵±1.3；⑶35-；⑷－9；11.⑴±5；⑵±9；⑶21±；⑷3，－1；12.25； 13．±4.【拓展与延伸】1. ±9；2.±3. 2.1 平方根⑵例1分析：10000表示10000的_________根； 225121-表示225121的算术平方根的相反数； 8149±表示8149的__________根.解 ⑴100100100002==； ⑵ 1511)1511(2251212-=-=-； ⑶ 97)97(81492±=±=±. 回顾与反思：10000表示10000的算术平方根，要防止出现10000＝±100的错误. 探索：⑴发现： 当0≥a 时，a a =2)(. ⑵发现：当0>a 时，a a =2， 当0<a 时，a a -=2；当0=a 时， 02=a .即⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(||2a a a a a a a .例2解： ⑴ 2)3(-＝3； ⑵2)3(-＝3； ⑶ 当x ＞0时，x x =2)(；⑷当0<a 时，03<a ，a a a a 3|3|)3(922-===.回顾与反思：等式)0(2≥=a a a 和⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(||2a a a a a a a ，是算术平方根的两个重要性质.以后经常会用到它们. 【训练与提高】1.B ；2.A ；3.B4.D ；5.D ；6.C .7.⑴±15，15；⑵127± ， 127；⑶±0.1，0.1；⑷17,17±.⑸±2，2；8.169；3± 9.0≥a ，2；10.9=x ；11.－1； 12.－3，互为相反数. 13.⑴ 1；⑵65-； ⑶136±；⑷0.17；⑸.5；⑹.－0.3；⑺954.⑻152.【拓展与延伸】1. ±5，±1 ；12. 5. 2.2立方根例1分析 因为立方与开方互为逆运算，因此我们可以用立方运算来求一个数的立方根，也可以通过立方运算来验证一个数是否为另一个数的立方根.例1解 ⑴∵278)32(3=，∴322783=； ⑵∵278)32(3-=-，∴322783-=-；⑶、⑷、⑸略.例2解 ⑴34)34(2764271023333-==-=--； ⑵52)52(125812583333===--. ⑶略.回顾与反思：⑴当被开方数带“－”号时，可把“－”提取到根号外后再计算； ⑵当被开方数是带分数时，应先化成假分数； ⑶当被开方数没化简时，应先化简后再求值.例3解 ⑴28,8,16233-=-=-=-=3x x x ；⑵略回顾与反思：平方根与立方根的区别如下：⑴表示的意义不同；⑵a 与3a 中的被开方数a 的取值范围不同，a 中的a 应满足a ≥0，3a 中的a 可为任何数；⑶一个数的平方根与立方根的个数也不同，一个数的平方根最多有两个，也可能是一个或者不存在，而它的立方根总有且只有一个；⑷负数没有平方根，但负数有立方根. 【训练与提高】1. B ；2.C ；3.D ；4.B ；5.±8，4，8；6.－1，5，65-，23. 7. 100；±8； 8．7，－3； 9.⑴－10； ⑵45-；⑶72；⑷23；⑸34-；⑹3. ⑺0.3；⑻6. 10.⑴56-.⑵8；⑶－16；⑷－4. 11.⑴5；⑵39；⑶－4；⑷－2. 【拓展与延伸】 1.39； 2. 37.5㎝2.2.3实数⑴例1如图将两个边长为1的正方形分别沿它的对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形，容易知道，这个大正方形的面积是2，所以大正方形的边长是2.这就是说，边长为1的正方形的对角线长是2，利用这个事实，我们容易在数轴上画出表示2的点，如图2.3.2所示.图2.3.1例2分析 无理数有两个特征：一是无限小数，二是不循环.因此，要判定一个数是不是无理数，应从它的定义去判断，而不是从表面上去判断.如带根号的数不一定是无理数，而我们熟悉的圆周率π就是无理数.解 有理数有－3.1415926，113335， ∙31.0 ，3625.无理数有π-，39 ，22， 0.1010010001…. 回顾与反思：有理数与无理数的区别是：前者是有限小数或无限循环小数，而后者一定是无限不循环小数.例3解 ⑴ 不正确.如∙∙53.2是无限小数，但它不是无理数； ⑵ 不正确. 如∙∙53.2是有理数，但它是无限小数；⑶ 正确.因为无理数是无限不循环小数，当然是无限小数； ⑷ 不正确.如4是有理数. 【训练与提高】1.B ；2. C ；3.C .4.实数；5.25 ，722，0，252252225 ，∙64.3； 5.121121121…，2π，18-，32. 6．6；7.±5. 【拓展与延伸】 1. C ； 2. 8. 2.3实数⑵例1分析 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义与有理数范围内的意义完全相同.所以我们可以用在有理数范围内的同样方法来求一个实数的相反数、绝对值.解 ⑴ ∵4646433-=-=-，∴364-的相反数是4，绝对值是4；π-3的相反数是3-π，∵π-3＜0，∴3|3|-=-ππ.⑵ ∵3|3|=，3|3|=-，∴这个数是±3解 由图可知，,0<a ∴a a -=.∵c b <，∴0>-b c ，∴b c b c -=- ∵0,0<<b a ，∴b a b a --=+，∴c b a b c a b a b c a b a b c a =++-+-=----+-=+--+)()(回顾与反思：⑴根据实数在数轴上的位置可以确定各数的符号以及这些数的大小关系； ⑵在求一个数的绝对值时，首先要确定这个数的符号，然后根据“正数和零的绝对值是本身，负数和零的绝对值是它的相反数”来求出它的绝对值.⑶每个有理数都可以用数轴上的点来，但数轴上的点并不都表示有理数，数轴上的点与实数是一一对应的，即每个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来数轴上的每一个点都表示一个实数.例3解： （1）∵5)5(2= ，425)25(2=，又4255<， ∴ 255<. （2）∵255<，∴2315<-， ∴43215<- 回顾与反思：比较两个无理数的大小，通常可以用计算器求它们的近似值再进行比较.估算一个无理数的大小 ，还可以用与它相近的有理数逐步逼近的方法来实现.【训练与提高】1. D ；2.B ；3.⑴2，2；⑵ 312，312；⑶－3，3；⑷25-， 25-. 4． ＜， ＜，＜； 5.－1，0，1； 6.37-； 7.⑴2.02；⑵－10.95；⑶－0.98 ；⑷1.29； 8.⑴－5；⑵－4；⑶535--；⑷－9. 9.b －2 a －2c . 10＜； ＜； ＜； ＞. 【拓展与延伸】1. 2a －b .2. 4－2. 2.3近似数与有效数字例1分析 生活中形形色色的数， 哪些是近似数？哪些是准确数?需要我们仔细去辨别.脱离了现实背景的数，有时则无法区分.解 略.例2解 ⑴ 43.8精确到十分位(即精确到0.1)，有3个有效数字， 分别为4、3、8. ⑵ 0.03086精确到十万分位，有4个有效数字，分别为3、0、8、6. ⑶ 2.40万精确到百位，有3个有效数字，分别为2、4、0.回顾与反思：由于2.40万的单位是万，所以不能看成精确到百分位，另外2.4万和2.40万作为近似数，它们是不一样的.例3解 ⑴3.4802≈3.48 ； ⑵ 3.4802≈3.480； ⑶3.1415926≈3.14； ⑷ 26802≈2.7×104. 回顾与反思：（1）本题⑴、⑵小题，由于精确度要求不同，同一个数的近似结果是不一样的，所以第⑵题中3.480后面的0不能省略不写；反之同一个近似结果所对应的原数也不一定相同，你能举例说明吗?（2）第⑷小题中若把结果写成27000，就看不出哪些是保留的有效数字，所以此时要用科学计数法，把结果写成2.7×104. 【训练与提高】1. D ；2.C ；3.A ；4.略；5. ⑴ 百分位，4个； ⑵ 个位，2个； ⑶ 千分位，3个； ⑷ 个位，5个；⑸ 万分位，3个； ⑹万位，3个； ⑺ 百分位，3个； ⑻百万位，3个.【拓展与延伸】 ⑴1×102；⑵－0.54；⑶－3.64×103；；⑷3.5. 2.4 勾股定理（1）例1解：⑴在Rt △ABC 中， ∠C ＝90°，∴a 2＋b 2＝c 2，∵a ＝6，c ＝10，∴b 2＝c 2－a 2＝64，∴b ＝8.(b ＝－8舍去) ⑵在Rt △ABC 中， ∠C ＝90°，∴a 2＋b 2＝c 2，∵a ＝40， b ＝9，∴c 2＝a 2＋b 2＝1681，∴c ＝41. .(c ＝－41舍去) ⑶在Rt △ABC 中， ∠C ＝90°，∴a 2＋b 2＝c 2，∵b ＝15，c ＝25， ∴a 2＝c 2－b 2＝400， ，∴a ＝20. .(a ＝－20舍去) ⑷在Rt △ABC 中， ∠C ＝90°，∴a 2＋b 2＝c 2，∵3a ＝4b ，∴a ︰b ＝4︰3， ∴设a ＝4k ，b ＝3k ，则c ＝5k .∵c ＝2.5，∴k ＝0.5，∴a ＝2，，b ＝1.5. 回顾与反思：勾股定理反映直角三角形．．．．．中三边的关系，运用勾股定理在直角三角形的三边中已知任意两边就可以求出第三边.例2解 ①∵△ABC 中， ∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1， ∴AB ＝2112222=+=+BC AC ，②∵△ABC 中， ∠ACB ＝90°， BC ＝1，AB ＝2，∴AC ＝3122222=-=-BC AB回顾与反思：运用勾股定理的前提是三角形必须是直角三角形．若已知条件中没有直角三角形时，应构造直角三角形后方可运用勾股定理． 【训练与提高】1.D ；2.A ；3. 13，60；4. 225，39， 225；5. 5，76.5；7. 49；8.13；9. a 3【拓展与延伸】4. 2.4 勾股定理（2）例1略例2解：由题意得∠AOB ＝90°，AO ＝30，BO ＝40.5040302222=+=+=BO AO AB (海里)答：1小时后两舰相距50海里例3分析 此题首先要解决△ABC 的面积，为此，可考虑作AD ⊥BC 于D .解 过A 作AD ⊥BC 于D ，则AD 2＝AB 2－BD 2＝AC 2－CD 2. 设BD ＝x ，则CD ＝14－x ，∴132―x 2＝152―(14－x )2， ∴x ＝5即BD ＝5，∴AD 2＝144.∴AD ＝12，S △ABC ＝21BC ·AD ＝84m 2. ∴费用84×50＝4200元. 回顾与反思：（1）勾股定理揭示了直角三角形的三边之间的关系，已知直角三角形中任意两边就可以依据勾股定理求出第三边.在实际问题中若存在现成的直角三角形，就可以直接运用勾股定理解决问题.（2）涉及面积计算往往需要添加辅助线(高)来构造直角三角形，从而运用勾股定理求得相应的线段，进而求出所需面积. 【训练与提高】1. D ． 2．D . 3．4，6 ，2. 4. 7 ，1.8 ； 5. 3㎝； 6. 略. 【拓展与延伸】 1.图略； 2. 图略. 2.5 神秘的数组（例1解 ⑴∵22222225625247c b a ===+=+.根据直角三角形的判定条件知，由a 、b 、c 为三边组成的三角形是直角三角形，且∠C ＝90°.⑵∵2222225.225.65.12a c b ===+=+.根据直角三角形的判定条件知，由a 、b 、c 为三边组成的三角形是直角三角形，且∠A ＝90°.⑶∵c ＞ a ， c ＞ b ， 16411452222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+b a ，而9253522=⎪⎭⎫ ⎝⎛=c ，∴222c b a ≠+，根据直角三角形的判定条件知，由a 、b 、c 为三边组成的三角形不是直角三角形.回顾与反思：要判定一个三角形是否为直角三角形，只要计算两条较短边的平方和，以及最长边的平方，然后看它们是否相等即可.例2解 ∵在△ABD 中，AB 2＋AD 2＝9＋16＝25＝BD 2，∴△ABD 是直角三角形，∠A 是直角.∵在△BCD 中，BD 2＋BC 2＝25＋144＝169＝CD 2， ∴△BCD 是直角三角形，∠DBC 是直角. ∴这个零件符合要求.回顾与反思：像(3，4，5)、(6，8，10)、(5，12，13)等满足a 2＋b 2＝c 2的一组正整数，通常称为勾股数．利用勾股数可以构造直角三角形.例3解 ∵12412)2()1(2422422222++=++-=+-=+n n n n n n n b a . 222)1(c n =+=根据直角三角形的判定条件，得∠C ＝90°. 【训练与提高】1. B ；2.B ；3.C ；4. C ；5.C ；6. 直角三角，B ；7. 12，13，5；直角三角形；8. 直角三角形，略9. ∵AB ⊥BC ，∴∠B ＝90°，∴AC 2＝AB 2＋BC 2＝5，又∵AC 2＋CD 2＝5＋4＝9＝AD 2.∴∠ACD ＝90°，∴AC ⊥CD . 10.是，略； 11.连接AC ，∵∠ADC ＝90°，AD ＝4，CD ＝3，∴AC 2＝AD 2＋CD 2＝25，∴AC ＝5，∵AB ＝13，BC ＝12，∴AC 2＋BC 2＝25＋144＝169＝AB 2，∠ACB ＝90°，S ＝30－6＝24. 【拓展与延伸】1. 连结EC ，∵D 是BC 的中点，DE ⊥BC 于D ，交AB 于E ，∴BE ＝CE ∵BE 2－EA 2＝AC 2，∴CE 2－EA 2＝AC 2，∴CE 2＝EA 2＋AC 2∴∠A ＝90°.2.略 2.6 勾股定理的应用（1）例1分析 ⑴根据勾股定理，直角三角形中若两直角边长分别为1个单位和3个单位，则斜边长为10个单位，因此，以原点为圆心，10个单位长为半径画圆与数轴的交点表示的数即分别为±10.解：⑴如图图2.6.1①； ⑵如图图2.6.1②例2分析：几何应用问题重在将实际问题转化为数学问题，此题若设AE ＝x km ，由△DAE 、△EBC 均为直角三角形，且它们的斜边相等，运用勾股定理可建立方程.解：设AE ＝x km ，则BE ＝(25－x )km. ∵CE ＝DE ，∴CE 2＝DE 2 .由勾股定理得 152＋x 2＝(25－x ) 2＋102解得 x ＝10 . 答：E 站应建在距A 站10km 处.回顾与反思：（1）运用勾股定理的前提是三角形必须是直角三角形．若已知条件中没有直角三角形时，应构造直角三角形后方可运用勾股定理．（2）勾股定理是直角三角形中三边数量之间的一个关系式，也常被用作列方程的等量关系；【训练与提高】1. B .2.C ；3.34；4. 5，13；5. 24，4.8.6. 2.7. 能，略8. 能，略； 9. 略； 10.10； 11. 4； 12. 25 . 【拓展与延伸】1. 19.5m ；2. 作AD ⊥BC 于D ，设BD ＝x ，由题意10―x 2＝172―(x ＋9)2，解得x ＝6.由勾股定理得AD ＝8.2.6 勾股定理的应用⑵例1分析：设EC ＝x ，则DE ＝8－x ，由于折叠长方形的边AD ，且D 落在点F 处，故△AFE 和△ADE 全等，则EF ＝8－x ，AF ＝AD ＝10，在Rt △EFC 中，运用勾股定理得到关于x 的方程，可以求出x 的值.解：设EC ＝x cm ，则DE ＝(8－x )cm ，∵D 、F 关于AE 对称∴△AFE ≌△ADE ， ∴AF ＝AD ＝BC ＝10，EF ＝ DE ＝8－x .在Rt △ABF 中，6222=-=AB AF BF∴FC ＝BC －BF ＝4.在Rt △EFC 中，由勾股定理得：222)8(4x x -=+ ，解得 x ＝3.答：EC 长为3cm.. 回顾与反思：（1）折叠问题和轴对称密切相关，要注意翻折图形的特征；（2）从应用勾股定理解决实际问题中，我们进一步认识到把直角三角形中三边关系“a 2＋b 2＝c 2”，看成一个方程，只要依据问题的条件把它转化为我们会解的方程，就把实际问题的条件转化为解方程.例2分析 求证的结论中出现平方的形式，我们常可联想勾股定理.要运用勾股定理，首先要找到与结论中的线段有关的直角三角形，若题中没有现成的直角三角形，则需要构造直图2.6.1A FECDB图2.6.3角三角形.解 作AE ⊥BC 于E ，则在△ADE 中，AD 2＝DE 2＋AE 2； 又∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴AE ＝BE ＝CE . ∵BD 2＋CD 2＝(BE －DE )2＋(CE ＋DE )2＝BE 2＋CE 2＋2DE 2＝2AE 2＋2DE 2＝2AD 2，∴BD 2＋CD 2＝2AD 2. 回顾与反思：（1）在三角形中若要说明某个角是直角，常常想到勾股定理的逆定理. （2）说明含某些线段的平方形式的问题，常通过作垂线构造直角三角形，运用勾股定理来解决.【训练与提高】1. 1.5. 2．直角三角形；2.5. 3．不一定，也可能只是a ＝b ； 4.略； 5⑴3，⑵设CD ＝x ，由题意62＋x 2＝ (8－ x )2，解得x ＝47∴CD ＝47. 【拓展与延伸】 1. 2a 2； 2.略.第二章复习题1. ±8；8；4；±5. 2．π,93- . 3．－1，0，1. 4.＜，＞. 5. 32-，32-. 6. ±4. 7. ±1，±2. 8. 12. 9. 2，3. 10.233+. 11. 0≥x . 任何实数.12. ⑴52. ⑵32，⑶10，24. 13. 41. 14. 30. 15. B ．16.C . 17.B . 18.B . 19.C . 20.C . 21.⑴2±.⑵－3.⑶3，－1； 22.直角三角形. 23. 5㎝. 24. 43.4. 25. ±1. 26. 2. 27. 2010.28. x ＝6. 29. 2，74. 30. 3. 31. 132. 32. 2，5，10，17，21n +. 33. 12.34. 102，106. 35. 2n. 36. 6(提示：设CD ＝x ，由勾股定理得x 2＋92＋x 2＋42＝132). 37. 327. 38. ＜，＞.第三章 中心对称图形（一）参考答案3．1 图形的旋转例1 如图3．1．1，△ABC 是等边三角形，D 是BC 上的一点，△ABD 经过旋转后达到△ACE 的位置．⑴旋转中心是哪一点？ ⑵旋转了多少度？ ⑶如果M 是AB 的中点，那么经过上述旋转后点M 转到了什么位置？ ⑷图中相等的线段有哪些？相等的角有哪些？分析 解决本题只需利用旋转的定义及其特征． 解 ⑴旋转中心是点A ； ⑵旋转了60°；⑶点M 转到了AC 的中点位置上；⑷相等的线段有：AB=BC=AC ，AD=AE ，BD=CE ；相等的角有：∠B=∠BCA=∠CAB=∠DAE=60°，∠BAD=∠CAE ，∠BDA=∠CEA ．回顾与反思：本题应用了旋转的定义及特征，知道旋转图形哪些变，哪些不变．本题的难点在于旋转角度，注意图中∠DAC 不是旋转角度．另外，注意到对应线段AB 、AC 所在直线的夹角是60°（旋转角度），那么对应线段BD 、CE 所在直线的夹角呢？由此你想到什么？例2 已知，如图3．1．2，△ABC 中，∠BAC=120°，⑴以点A 为旋转中心，将△BAC 逆时针旋转60°得△ADE ，画出△ADE ；⑵设题⑴中AD 、BC 交于F ，AC 、DE 交于点G ，请你猜想旋转后△ABF 能否与△ADG 重合？为什么？解 ⑴△ADE 如图所示（画法略）；⑵△ABF 能与△ADG 重合，理由如下：∵∠BAC=120°，∠BAD=60°，∴∠DAG=60°=∠BAF ；又由旋转知∠B=∠D ，BA=DA ，∴△ABF ≌△ADG （ASA ）．回顾与反思：观察一下△AFC 与△AGE 是否也具备这样的关系？本题中△ABF 与△ADG 能够重合是由∠BAC 及旋转角的特殊性导致的，如果，将△ADE 再绕点A 逆时针旋转过1°，则∠BAD=59°，∠DAG=61°，结论就不成立．【训练与提高】1．D 2．点A ，逆时针旋转45° 3．⑴点A ，⑵△AEF 是等腰直角三角形，⑶略 4．⑴110°或290°，⑵180° 5．以A 为中心逆时针旋转120°得△AEF ，以C 为中心顺时针旋转120°得△CED ，以AC 中点为中心旋转180°得△ACE 6．417．图略8．图略，用SAS 证△EAC ≌△BAD ，再证BD ⊥EC【拓展与延伸】1．图略．△A′′B′′C′′可由△ABC 绕点P 旋转2∠P 得到 2．图略3．2 中心对称与中心对称图形⑴例1 如图3．2．1，已知△ABC 和点O ，试画出△DEF ，使△DEF 和△ABC 关于点O 成中心对称．解 ①连接AO 并延长AO 到D ，使OD =OA ，得到点A 的对称点D ；②同样方法画出点B 、C 的对称点E 、F ； ③顺次连接DE 、EF 、FD ． 所以，△DEF 即为所求的三角形．回顾与反思：画出一个别图形关于某一点成中心对称图形，关键在图3．1．2GF EDCBA 图3．2．1EB。