河北省石家庄市高三数学一模考试文科试题版含答案

2017届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(文科)A 卷 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|05A x x =≤≤,{}*|12B x N x =∈-≤,则A B =( )A ．{}|13x x ≤≤B ．{}|03x x ≤≤C ．{}1,2,3D ． {}0,1,2,32.设1sin()3πθ-=,则cos 2θ=( )A ．B ．79C ．D ．79-3.若z 是复数,121iz i-=+,则z z ⋅=( )A B C ．52D ．14.下列说法错误的是( ) A ．回归直线过样本点的中心(,)x yB ．两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1C ．在回归直线方程0.20.8y x =+中,当解释变量x 每增加1个单位时,预报变量y 平均增加0.2个单位D ．对分类变量X 与Y ,随机变量2K 的观测值k 越大,则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小5.若定义在R 上的函数()f x 当且仅当存在有限个非零自变量x ，使得()()f x f x -=，则称()f x 为类偶函数，则下列函数中为类偶函数的是（ ） A ．()cos f x x =B ．()sin f x x =C ．2()2f x x x =- D ．3()2f x x x =-6.已知三个向量a ，b ，c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅=，则||a b c +-的取值范围是（ ）A．1⎤⎦B．⎡⎣C．1,1⎤⎦D．7.某几何体的三视图如图所示（在如图的网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的表面积为（ ） A ．48B ．54C ．60D ．648.已知函数()f x 的图象关于1x =-对称，且()f x 在(1,)-+∞上单调，若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且5051()()f a f a =，则{}n a 的前100项的和为（ ） A ．200-B ．100-C ．50-D ．09.已知抛物线22(0)y px p =>过点1(2A ，其准线与x 轴交于点B ，直线AB 与抛物线的另一个交点为M ，若MB AB λ=，则实数λ为（ ） A ．13B ．12C ．2D ．310.已知x ，y 满足约束条件20,220,220,x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩且2b x y =--，当b 取得最大值时，直线20x y b ++=被圆22(1)(2)25x y -+-=截得的弦长为（ ）A ．10B．C．D．11.祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖出一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（ ） A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④12.已知函数()xe f x kx x=-（e 为自然对数的底数）有且只有一个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(0,2)B ．2(0,)4eC ．(0,)eD ．(0,)+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知命题p ：n N ∀∈，22n n <，则p ⌝为 ．14.程序框图如图所示，若输入1S =，1k =，则输出的S 为 ．15.已知1F 、2F 分别为双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，点P 为双曲线右支上一点，M 为12PF F ∆的内心，满足1212MPF MPF MF F S S S λ∆∆∆=+，若该双曲线的离心率为3，则λ= （注：1MPF S ∆、2MPF S ∆、12MF F S ∆分别为1MPF ∆、2MPF ∆、12MF F ∆的面积）．16.已知等比数列{}n b 满足1132n n n a a -++=⋅，*n N ∈.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若不等式2n n S ka >-对一切*n N ∈恒成立，则实数k 的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin sin sin C a bA B a c+=--. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）点D 满足2BD BC =，且线段3AD =，求2a c +的最大值.18.在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DBA ∠=︒，30SAD ∠=︒，AD SD ==，4BA BS ==.（Ⅰ）证明：BD ⊥平面SAD ； （Ⅱ）求点C 到平面SAB 的距离．19.某港口有一个泊位，现统计了某月100艘轮船在该泊位停靠的时间（单位：小时），如果停靠时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足1小时按1小时计时，以此类推，统计结果如表：停靠时间 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 轮船数量12121720151383（Ⅰ）设该月100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为a 小时，求a 的值；（Ⅱ）假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠a 小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率．20.已知椭圆C ：2212x y +=的左顶点为A ，右焦点为F ，O 为原点，M ，N 是y 轴上的两个动点，且MF NF ⊥，直线AM 和AN 分别与椭圆C 交于E ，D 两点． （Ⅰ）求MFN ∆的面积的最小值； （Ⅱ）证明：E ，O ，D 三点共线. 21.已知函数21()ln 2f x x x a x =-+，a R ∈. （Ⅰ）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）当209a <<时，函数()f x 的两个极值点为1x ，2x ，且12x x <.证明：12()51ln 3123f x x >--. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系，将曲线1C 上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，1C 的极坐标方程为2ρ=．（Ⅰ）求曲线2C 的参数方程；（Ⅱ）过原点O 且关于y 轴对称的两条直线1l 与2l 分别交曲线2C 于A 、C 和B 、D ，且点A 在第一象限，当四边形ABCD 的周长最大时，求直线1l 的普通方程． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|24|||f x x x a =++-．（Ⅰ）当2a <-时，()f x 的最小值为1，求实数a 的值； （Ⅱ）当()|4|f x x a =++时，求x 的取值范围．2017届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(文科)A 卷答案一、选择题1-5:CBCDD 6-10:ACBCB 11、12：CB 二、填空题13.0n N ∃∈，0202nn ≥ 14.57 15.1316.(,2]-∞ 三、解答题 17.解：（Ⅰ）∵sin sin sin C a b A B a c +=--，由正弦定理得c a ba b a c+=--， ∴()()()c a c a b a b -=+-， 即222a c b ac +-=，又∵2222cos a c b ac B +-=， ∴1cos 2B =， ∵(0,)B π∈，∴3B π=．（Ⅱ）在ABC ∆中由余弦定理知：222(2)22cos 603c a a c +-⋅⋅⋅︒=， ∴2(2)932a c ac +-=⋅，∵ 222()2a c ac +≤， ∴223(2)9(2)4a c a c +-≤+，即2(2)36a c +≤，当且仅当2a c =，即32a =，3c =时取等号，所以2a c +的最大值为6．18.（Ⅰ）证明：在ABD ∆中，sin sin AB ADADB DBA=∠∠，由已知60DBA ∠=︒，AD =4BA =，解得sin 1ADB ∠=，所以90ADB ∠=︒，即AD BD ⊥，可求得2BD =． 在SBD ∆中，∵SD =4BS =,2BD =,∴222DB SD BS +=,∴SD BD ⊥,∵BD ⊄平面SAD ,SD AD D =,∴BD ⊥平面SAD ．（Ⅱ）由题意可知，//CD 平面SAB ，则C 到面SAB 的距离等于D 到面SAB 的距离， 在SAD ∆中，易求6SA =，1sin1202SAD S ∆=⨯︒=，且162SAB S ∆=⨯=BD ⊥面SAD ， 则B SAD D SAB V V --=，即11233h ⨯=⨯，则h =， 即点C 到平面ABF的距离为h =． 19.解：（Ⅰ） 2.512312 3.517420 4.515513 5.58634100a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==．（Ⅱ）设甲船到达的时间为x ，乙船到达的时间为y ，则024,024,x y <<⎧⎨<<⎩若这两艘轮船在停靠该泊位时至少有一艘船需要等待，则||4y x -<，所以必须等待的概率为22201112436P =-=．答：这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率为1136． 20.解：（Ⅰ）设(0,)M m ，(0,)N n ，∵MF NF ⊥，可得1mn =-，11||||||22AMFN S AF MN MN ==， ∵222||||||2||||MN MF NF MF NF =+≥⋅，当且仅当||||MF NF =时等号成立． ∴min ||2MN =， ∴min 1()||12MFN S MN ==， ∴四边形AMFN 的面积的最小值为1．（Ⅱ）∵(A ，(0,)M m ，∴直线AM的方程为y x m =+，由22,22,y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得2222(1)2(1)0m x x m +++-=，由222(1)1E m x m -=+，得E x =，①同理可得221)1D n x n -=+，∵1m n ⋅=-，∵221()11()1D m x m⎤-⎥⎣⎦=+=② 故由①②可知：E D x x =-，代入椭圆方程可得22E D y y =∵MF NF ⊥，故M ，N 分别在x 轴两侧，E D y y =-， ∴E DE Dy y x x =，∴E ，O ，D 三点共线． 21.解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞．由题意'()1a f x x x=-+2x x a x -+=，0x >，14a ∆=-.①若140a ∆=-≤，即14a ≥，则20x x a -+≥恒成立，则()f x 在(0,)+∞上为单调减函数；②若140a ∆=->，即14a <，方程20x x a -+=的两个根为1x =，2x =，当21(,)2x x ∈时，'()0f x <，所以函数()f x 单调递减，当2(,)x x ∈+∞时，'()0f x >，所以函数()f x 单调递增，不符合题意．综上，若函数()f x 为定义域上的单调函数，则实数a 的取值范围为14a ≥. （Ⅱ）因为函数()f x 有两个极值点，所以'()0f x =在0x >上有两个不等的实根，即20x x a -+=有两个不等的实根1x ，2x ，可得14a <，且12121,x x x x a +=⎧⎨⋅=⎩，因为2(0,)9a ∈，则1120(1)9x x <-<，可得11(0,)3x ∈.2211111121122211ln ln ()22x x a x x x x x x f x x x x -+-+==21111112ln 1x x x x x -=+-， 11(0,)3x ∈.令212()ln 1x x g x x x x -=+-，212()1x xh x x-=-，()ln m x x x =， ∵211'()02(1)2h x x =--<-，又'()1ln m x x =+，1(0,)x e∈时，'()0m x <，而113e <，故'()0m x <在1(0,)3x ∈上恒成立， 所以'()()()0g x h x m x =+<在1(0,)3x ∈上恒成立，即212()ln 1x xg x x x x-=+-在1(0,)3x ∈上单调递减，所以151()()ln 33123g x g >=--，得证．22.解：（Ⅰ）2214x y +=，2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）． （Ⅱ）设四边形ABCD 的周长为l ，设点(2cos ,sin )A q q ，8cos 4sin l θθ=+))θθθϕ==+，且cos ϕ=，sin ϕ=， 所以，当22k πθϕπ+=+（k Z ∈）时，l 取最大值，此时22k πθπϕ=+-，所以，2cos 2sin θϕ==sin cos θϕ==此时，A ，1l 的普通方程为14y x =．23.解：（Ⅰ）当2a <-时，函数34,,()|24|||4,2,34, 2.x a x a f x x x a x a a x x a x -+-<⎧⎪=++-=---≤≤-⎨⎪-+>-⎩可知，当2x =-时，()f x 的最小值为(2)21f a -=--=，解得3a =-． （Ⅱ）因为()|24||||(24)()||4|f x x x a x x a x a =++-≥+--=++， 当且仅当(24)()0x x a +-≤时，()|4|f x x a =++成立， 所以，当2a <-时，x 的取值范围是{}|2x a x ≤≤-； 当2a =-时，x 的取值范围是{}2-；当2a >-时，x 的取值范围是{}|2x x a -≤≤．。