函数的最值
求函数最值问题常用的10种方法
较大小，确定最值．
解析 因为f′(x)＝3x2－3，所以令f′(x)＝0，得x＝
－1(舍正)．又f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，
比较得，f(x)的最大值为3，最小值为－17.故填3， －17. 点评 (1)利用导数法求函数最值的三个步骤：第一， 求函数在(a，b)内的极值；第二，求函数在端点的函 数值f(a)、f(b)；第三，比较上述极值与端点函数值 的大小，即得函数的最值．(2)函数的最大值及最小 值点必在以下各点中取得：导数为零的点，导数不存 在的点及其端点．
三、换元法 换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换 原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决 的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有 两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体 问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复 杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从 而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2 ＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．
【例 4】设 x，y，z 为正实数，x－2y＋3z＝0，则 y 2 xz
的最小值为________． 分析 先利用条件将三元函数化为二元函数，再利用基 本不等式求得最值．
解析 因为x－2y＋3z＝0，
x＋3z
y2 x2＋9z2＋6xz
所以y＝
2
，所以 ＝ xz
4xz
.
y2 6xz＋6xz
又x，z为正实数，所以由基本不等式，得 ≥
∴Δ＝(3y＋3)2－4(y－1)(4y4)≥0，11
解得7≤y≤7(y≠1)．综上得ymax＝7，ymin＝7.
点评 判别式法的应用，对转化的(y－1)x2＋(3y＋3)x ＋4y－4＝0来说，应该满足二次项系数不为0，对二次 项系数为0时，要另行讨论，对本题若y－1＝0，即 y＝1，有(3＋3)x＋4－4＝0，所以x＝0.一般来说， 利用判别式法求函数的最值，即根据g(y)x2＋h(y)x＋
求函数最值的10种方法
函数y＝f(x)的最大值；如果存在实数N ，满足：
① 对任意x∈I，都有f(x)≥N ，②存在x0∈I，使得 f(x0)＝N ，则称N 为函数y＝f(x)的最小值． 我们直接利用函数最值的定义，可以判断函数最值 的相关问题．
x 没有最大值，也没有最小值．
二、配方法 配方法是求二次函数最值的基本方法，如 F (x)＝ af2(x)＋bf(x)＋c 的函数的最值问题，可以考虑用配 方法．
【例 2】 已知函数 y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R， a≠0)，求函数 y 的最小值．
分析 将函数表达式按ex＋e－x配方，转化为关于变量 ex＋e－x的二次函数．
六、导数法（以后学） 设函数 f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内 可导，则 f(x)在[a，b]上的最大值和最小值应为 f(x)在(a，b)内的各极值与 f(a)、f(b)中的最大值 和最小值．利用这种方法求函数最值的方法就是导 数法．
【例 6】 函数 f(x)＝x3－3x＋1 在闭区间[－3,0]上 的最大值、最小值分别是________．
【例 3】 设 a，b∈R，a2＋2b2＝6，则 a＋b 的最小值 是______． （以后学） 分析 由条件a2＋2b2＝6的形式知，可利用三角换元法 求a＋b的最值． 解析 ∵a，b∈R，a2＋2b2＝6，
∴令a＝ 6cos α， 2b＝ 6sin α，α∈R. ∴a＋b＝ 6cos α＋ 3sin α＝3sin(α＋φ)．
【例 4】设 x，y，z 为正实数，x－2y＋3z＝0，则 y2 xz
函数最大值的求法
函数最大值的求法
---------------------------------------------------------------------- 函数最值分为函数最小值与函数最大值。
简单来说，最小值即定义域中函数值的最小值，最大值即定义域中函数值的最大值，下面是求最大值和最小值的方法。
一、求函数的最大值和最小值：
f(x)为关于x的函数，确定定义域后，应该可以求f(x)的值域，值域区间内，就是函数的最大值和最小值。
一般而言，可以把函数化简，化简成为:
f(x)=k (ax+b)2+c的形式，在x的定义域内取值。
当k>0时，k(ax+b)2≥0，f(x)有极小值c。
当k<0时，k(ax+b)2≤0，f(x)有最大值c。
二、常见的求函数最值方法有：
1、配方法:形如的函数,根据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值。
2、判别式法:形如的分式函数,将其化成系数含有y的关于x的二次方程.由于, 0,求出y的最值，此种方法易产生增根,因而要对取得最值时对应的x值是否有解检验。
3、利用函数的单调性﹒首先明确函数的定义域和单调性，再求最值。
4、利用均值不等式，形如的函数，及，注意正,定,等的应用条件，即: a，b均为正数，是定值,a=b的等号是否成立。
5、换元法:形如的函数,令,反解出x,代入上式,得出关于t的函数,注意t的定义域范围，再求关于t的函数的最值。
求函数最值的12种方法
求函数值域的12种方法一、常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。
1.函数),0(R x k b kx y ∈≠+=的值域为R；2.二次函数),0(2R x a c bx ax y ∈≠++=当0>a 时值域是[ab ac 442-，+)∞，当0<a 时值域是(,-∞ab ac 442-]；3.反比例函数)0,0(≠≠=x k xky的值域为}0|{≠y y ；4.指数函数),1,0(R x a a a y x ∈≠>=且的值域为+R ；5.对数函数x y a log =)0,1,0(>≠>x a a 且的值域为R；6.函数)( cos ,sin R x x y x y ∈==的值域为[-1，1]；函数 ),2k (x tan Z k x y ∈+≠=ππ,cot xy =),(Z k k x ∈≠π的值域为R；7.对勾函数)0,0(≠>+=x a xa x y 的值域为),2[]2,(+∞⋃--∞a a ；8.形如)0,0(≠>-=x a xa x y 的值域为}0|{≠y y ；渐近线为y=x二、求值域的方法1.直接法(观察法)通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域例1求函数3422+-=x x y （x ∈[30,]）的最值解：∵1)1(22+-=x y ，∴当3x =时，max y 1x 9==,时，min y =1.例2求函数323y x =+-的值域。
解：由算术平方根的性质，知23x -≥0，故323y x =+-≥3.∴函数的值域为)∞+,3[.2.反函数法求值域对于形如)0(≠++=a bax dcx y 的值域，用函数和它的反函数定义域和值域关系，通过求反函数的定义域从而得到原函数的值域。
例3求函数12x y x +=+的值域。
解：显然函数12x y x +=+的反函数为:121y x y -=-,其定义域为y≠1的实数,故函数y 的值域为｛y ∣y≠1,y∈R｝。
函数的最值及其几何意义-高中数学知识点讲解
函数的最值及其几何意义
1．函数的最值及其几何意义
【知识点的认识】
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
【解题方法点拨】
①基本不等式法：如当x＞0 时，求 2x +8
的最小值，有 2x +
푥
8
푥≥ 2 2푥
⋅
8
푥
= 8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5 和x＝3 的距离之和，易知最小值为 2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．
【命题方向】
本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识点未来将仍
然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参
数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．
1/ 1。
函数的最大值最小值
最小值．
x 1
解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2,
则
f (x1)
f
(x2 )
2 x1 1
2 x2 1
2[(x2 1) (x1 1)] (x2 1)(x1 1)
2(x2 x1) (x2 1)(x1 1)
由于2<x1<x2<6,得x2- x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,于是
结论：闭区间上的单调函数的最值在区间 的端点处取得。
利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法
1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值
2. 利用图象求函数的最大(小)值
3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函 数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值 f(b如) 果；函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区 间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值 f(b)；
课堂练习
1、函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-∞，6]内递减，
则a的取值范围是( ) D
A、a≥3
B、a≤3
C、a≥-3
D、a≤-3
2、在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在(-∞，-2]上 递减，在[-2,+∞)上递增，则f(x)在[1,2]上的 值域__[2_1_,_3_9_] _____.
例3、“菊花”烟花是最壮 观的烟花之一.制造时一般是 期望在它达到最高点时爆裂. 如果在距地面高度h m与时 间t s之间的
关系为:
h(t)= -4.9t2+14.7t+18 ，
函数的极值与最值的区别
函数的极值与最值的区别一、前言二、函数的极值函数的极值是指函数在一定区间内取得的最大值或最小值。
根据函数的定义，可以得出一个结论：如果函数在某一点的导数等于0，那么这一点可能成为函数的极值点。
换句话说，在一个函数图像中，函数的极值往往出现在函数图像上呈现出拐点的位置。
回到导数的定义上，导数表示函数随着自变量变化而变化的速率。
在一个函数图像上，如果某一点的导数为0，那么这一点就是函数的极值点。
如果导数为正，那么这一点就是函数的局部最小值，如果导数为负，则是函数的局部最大值。
这种情况通常要注意函数的定义域和值域，还要注意函数的单调性。
函数的最值是指函数在定义域内能够取到的最大值和最小值，包括局部最值和全局最值。
与函数的极值不同的是，函数的最值并不要求函数在某个点的导数等于0，而是所有可能点的函数值的极值。
在数学中，一个函数的最值可以通过指定函数的定义域并计算所有在该定义域内的函数值进行比较而得出。
比如说，对于 +x^2+3x+4 这个函数，其定义域是实数集合，该函数的最小值为（-1,6）时的函数值，最大值为（- \infty，+\infty）时的函数值。
需要注意的是，在某些情况下，函数有可能没有最大值和最小值。
函数的极值一般需要用到导数，因为导数可以告诉我们一个函数在某一点的斜率是多少，从而判断该点是否是局部最大值或最小值。
但是函数的最值并不需要用到导数，而是通过指定定义域并计算所有的函数值进行比较。
函数的极值和最值是非常重要的数学概念，在不同的数学应用场景中都起着重要的作用。
理解这两个概念的异同点，能够对学生们更深入地理解函数及其相关概念。
五、函数极值和最值的应用函数的极值和最值在数学上有着广泛的应用。
其中函数极值主要用于解决函数最大值和最小值的问题，常见的例子包括数学建模中的最优化问题、物理学中的牛顿力学问题和经济学中的生产问题等。
而函数的最值则是应用于优化问题，例如在经济学中，最大化利润和最小化成本都涉及到函数的最值。
函数的单调性与极值、最值
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金融问题
在投资组合理论中，凹凸性可以用来描述投资组合的风险和回报之间的关系。投资者可以根据自己的风 险承受能力和投资目标，选择合适的投资组合策略。
05 函数的拐点
函数拐点定义
函数拐点是指函数图像上凹凸 性发生变化的点，即函数的一 阶导数在该点为零或不存在的 点。
在数学上，函数拐点的定义是 函数在某点的二阶导数为零的 点，即$f''(x)=0$。
最值的求法
代数法
通过求导数、找驻点、判断单调性等方法来求解 最值。
无穷区间法
利用极限的思想，将函数在无穷区间上的最值转 化为有限区间上的最值。
几何法
通过函数图像，直观地观察函数的最大值和最小 值。
最值在实际问题中的应用
01
优化问题
在生产、运输、分配等实际问题 中，常常需要通过求解最值来达 到最优解。
定义法
通过比较任意两点之间的函数值来判断函数的单调性。如 果任意两点之间的函数值都满足增减性条件，则函数在该 区间内单调。
图像法
通过观察函数的图像来判断函数的单调性。如果在图像上 随着$x$的增大，$y$的值也增大（或减小），则函数在该 区间内单调递增（或递减）。
Hale Waihona Puke 单调性在实际问题中的应用单调性与最值
单调性与优化问题
在解决优化问题时，可以利用函数的单调性来找到最优解。例如，在求解最大值或最小值 问题时，可以利用函数的单调性来确定搜索区间，从而缩小搜索范围，提高求解效率。
02 函数的极值
函数极值的定义
极值点
函数在某点的值比其邻近点的值大或小的点。
极大值
函数在某点的值比其左侧邻近点的值大，比 其右侧邻近点的值小。
如何求最大值函数
如何求最大值函数在数学中，求解一个函数的最大值是一项基本的技能。
无论是在求解实际问题中的最优解，还是在理论数学推导中的应用，找出函数的最大值都是一个重要的问题。
在本文中，我们将讨论几种常用的方法来求解一个函数的最大值。
方法一：导数法导数法是求解函数最大值最常用的方法之一。
要求一个函数的极值，首先需要求出这个函数的导数。
然后将导数为0的点作为候选值，再通过二阶导数测试确定极值点是极大值还是极小值。
这种方法通常适用于多项式函数和一些具有封闭形式的函数。
方法二：图形法对于一些简单的函数，我们可以通过观察函数的图形来确定最大值点。
在函数图像上找到最高的点，就是函数的最大值。
这种方法适用于一些简单的函数，可以帮助我们直观地理解函数的最大值问题。
方法三：约束条件法有时候，我们并不是直接求解函数的最大值，而是在一些约束条件下求解函数的最大值。
这就需要用到约束条件法。
我们首先建立带约束条件的函数，然后通过拉格朗日乘子法或者其他方法来求解函数的最大值。
这种方法在优化问题中经常被使用。
方法四：数值方法对于一些复杂的函数，求解最大值可能没有解析解，这时候我们可以借助数值方法来求解函数的最大值。
常用的数值方法包括梯度下降法、牛顿法等。
这些方法可以通过迭代的方式逼近函数的最大值。
结论求解最大值函数是数学中一个重要而常见的问题。
通过导数法、图形法、约束条件法和数值方法，我们可以灵活地求解各种函数的最大值。
不同的方法在不同的场景下都有其独特的优势，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解函数的最大值。
这些方法可以帮助我们更好地理解函数的性质，解决实际问题中的优化和最大化等应用。
求函数最值的方法总结
求函数最值的常用以下方法：1．函数单调性法先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法．这种求解方法在高考中是必考的，且多在解答题中的某一问中出现．例1 设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________.【思路】 先判断函数在指定区间上的单调性，再求出函数的最值，然后利用条件求得参数a 的值． 【解析】 ∵a >1，∴函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上是增函数，∴函数在区间[a,2a ]上的最大值与最小值分别为log a 2a ，log a a ＝1.∴log a 2＝12，a ＝4.故填4.【讲评】 解决这类问题的重要的一步就是判断函数在给定区间上的单调性．这一点处理好了，以下的问题就容易了．一般而言，对一次函数、幂函数、指数函数、对数函数在闭区间[m ，n ]上的最值：若函数f (x )在[m ，n ]上单调递增，则f(x)min＝f(m)，f(x)max＝f(n)；若函数f(x)在[m，n]上单调递减，则f(x)min＝f(n)，f(x)max＝f(m)；若函数f(x)在[m，n]上不单调，但在其分成的几个子区间上是单调的，则可以采用分段函数求最值的方法处理．2．换元法换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．例2 (1)函数f(x)＝x＋21－x的最大值为________．【解析】方法一：设1－x＝t(t≥0)，∴x＝1－t2，∴y＝x＋21－x＝1－t2＋2t＝－t2＋2t＋1＝－(t－1)2＋2，∴当t＝1即x＝0时，y max＝2.方法二：f(x)的定义域为{x|x≤1}，f′(x)＝1－11－x，由f′(x)＝0得x＝0.0＜x≤1时，f′(x)＜0，f(x)为减函数．x＜0时，f′(x)＞0，f(x)为增函数．∴当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝2.(2)求函数y＝x＋4－x2的值域．【解析】换元法：由4－x2≥0得－2≤x≤2，∴设x＝2cosθ(θ∈[0，π])，则y＝2cosθ＋4－4cos2θ＝2cos θ＋2sin θ＝22sin(θ＋π4)，∵θ＋π4∈[π4，5π4]∴sin(θ＋π4)∈[－22，1]，∴y ∈[－2,22]．3.配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如F (x )＝af 2(x )＋bf (x )＋c 的函数的最值问题，可以考虑用配方法． 例3 已知函数y ＝(e x －a )2＋(e －x －a )2(a ∈R ，a ≠0)，求函数y 的最小值． 【思路】 将函数表达式按e x ＋e －x 配方，转化为关于变量e x ＋e －x 的二次函数． 【解析】 y ＝(e x －a )2＋(e －x －a )2 ＝(e x ＋e －x )2－2a (e x ＋e －x )＋2a 2－2. 令t ＝e x ＋e －x ，f (t )＝t 2－2at ＋2a 2－2.∵t ≥2，∴f (t )＝t 2－2at ＋2a 2－2＝(t －a )2＋a 2－2的定义域为[2，＋∞)．∵抛物线y ＝f (t )的对称轴为t ＝a ，∴当a ≤2且a ≠0时，y min ＝f (2)＝2(a －1)2； 当a <0时，y min ＝f (a )＝a 2－2.【讲评】 利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量的取值范围，同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系．如本题化为含参数的二次函数后，求解最值时要细心区分：对称轴与区间的位置关系，然后再根据不同情况分类解决．4．不等式法利用不等式法求解函数最值，主要是指运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法．常常使用的基本不等式有以下几种：a 2＋b 2≥2ab (a ，b 为实数)；a ＋b2≥ab (a ≥0，b ≥0)；ab ≤(a ＋b2)2≤a 2＋b 22(a ，b 为实数)．例4 设x ，y ，z 为正实数，x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值为________．【思路】 先利用条件将三元函数化为二元函数，再利用基本不等式求得最值． 【解析】 因为x －2y ＋3z ＝0， 所以y ＝x ＋3z2，所以y 2xz＝x 2＋9z 2＋6xz4xz.又x ，z 为正实数，所以由基本不等式， 得y 2xz ≥6xz ＋6xz 4xz ＝3， 当且仅当x ＝3z 时取“＝”．故y 2xz的最小值为3.故填3.【讲评】 本题是三元分式函数的最值问题，一般地，可将这类函数问题转化为二元函数问题加以解决．在利用均值不等式法求函数最值时，必须注意“一正二定三相等”，特别是“三相等”，是我们易忽略的地方，容易产生失误．5．平方法对含根式的函数或含绝对值的函数，有的利用平方法，可以巧妙地将函数最值问题转化为我们熟知的、易于解决的函数最值问题．例5 已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则mM的值为( )A.14B.12C.22D.32【思路】 本题是无理函数的最值问题，可以先确定定义域，再两边平方，即可化为二次函数的最值问题，进而可以利用二次函数的最值解决．【解析】由题意，得⎩⎨⎧1－x ≥0，x ＋3≥0，所以函数的定义域为{x |－3≤x ≤1}． 又两边平方，得y 2＝4＋21－x ·x ＋3＝4＋21－xx ＋3.所以当x ＝－1时，y 取得最大值M ＝22；当x ＝－3或1时，y 取得最小值m ＝2，∴选C【讲评】 对于形如y ＝a －cx ＋cx ＋b 的无理函数的最值问题，可以利用平方法将问题化为函数y 2＝(a ＋b )＋2a －cx cx ＋b 的最值问题，这只需利用二次函数的最值即可求得．6．数形结合法数形结合法，是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图像求函数最值的一种常用的方法．这种方法借助几何意义，以形助数，不仅可以简捷地解决问题，又可以避免诸多失误，是我们开阔思路、正确解题、提高能力的一种重要途径．因此，在学习中，我们对这种方法要细心研读，认真领会，并正确地应用到相关问题的解决之中．例6对a ，b ∈R ，记max |a ，b |＝⎩⎨⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，函数f (x )＝max ||x ＋1|，|x －2||(x ∈R )的最小值是________．【思路】 本题实质上是一个分段函数的最值问题．先根据条件将函数化为分段函数，再利用数形结合法求解． 【解析】由|x ＋1|≥|x －2|，得(x ＋1)2≥(x －2)2，所以x ≥12.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ |x ＋1|，x ≥12，|x －2|，x <12，其图像如图所示． 由图形易知，当x ＝12时，函数有最小值， 所以f (x )min ＝f (12)＝|12＋1|＝32. 7．导数法设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，在区间(a ，b )内可导，则f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值应为f (x )在(a ，b )内的各极值与f(a)、f(b)中的最大值和最小值．利用这种方法求函数最值的方法就是导数法．例7 函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是________．【思路】先求闭区间上的函数的极值，再与端点函数值比较大小，确定最值．【解析】因为f′(x)＝3x2－3，所以令f′(x)＝0，得x＝1(舍去)．又f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，比较得，f(x)的最大值为3，最小值为－17.【讲评】(1)利用导数法求函数最值的三个步骤：第一，求函数在(a，b)内的极值；第二，求函数在端点的函数值f(a)、f(b)；第三，比较上述极值与端点函数值的大小，即得函数的最值．(2)函数的最大值及最小值点必在以下各点中取得：导数为零的点，导数不存在的点及其端点．8．线性规划法线性规划法，是指利用线性规划的基本知识求解函数最值的方法．线性规划法求解最值问题，一般有以下几步：(1)由条件写出约束条件；(2)画出可行域，并求最优解；(3)根据目标函数及最优解，求出最值．例8 已知点P(x，y)的坐标同时满足以下不等式：x＋y≤4，y≥x，x≥1，如果点O为坐标原点，那么|OP|的最小值等于________，最大值等于________．【思路】本题实质上可以视为线性规划问题，求解时，先找出约束条件，再画可行域，最后求出最值．【解析】由题意，得点P (x ，y )的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1.画出可行域，如图所示．由条件，得A (2,2)，|OA |＝22； B (1,3)，|OB |＝10；C (1,1)，|OC |＝ 2.故|OP |的最大值为10，最小值为 2.。
函数的极值与最大值最小值
函数的极值与最大值最小值在数学中，对于一个给定的函数，我们常常关心它的极值以及最大值和最小值。
这些概念在微积分中扮演着重要的角色，不仅在数学理论中有着深刻的意义，也在实际问题中有着广泛的应用。
1. 极值的定义极值是指函数在某个区间内取得的局部最大值或最小值。
具体来说，设函数f(x)在区间I上有定义，若存在$x_0 \\in I$，使得对任意$x\\in I$，有$f(x)\\leqf(x_0)$或者$f(x) \\geq f(x_0)$，则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的一个极大值或极小值。
2. 求极值的方法常见求函数极值的方法有：•导数法：通过求函数的导数（一阶导数或高阶导数）来找到函数的驻点，然后通过二阶导数的符号来判断是极大值还是极小值。
•边界法：求出函数在区间端点处的函数值，以及在可能的间断点处的函数值，然后比较这些值来确定最大值和最小值。
•微分中值定理：借助中值定理的思想，将函数f(x)在区间I上的极值归结为函数导数在该区间上的零点问题。
3. 最大值与最小值与极值类似，函数的最大值和最小值是指函数在定义域内取得的最大值和最小值。
最大值可以是有限值，也可以是无穷大；最小值也可以是有限值，也可以是负无穷。
4. 求最大值最小值的方法确定函数的最大值和最小值，主要采用以下方法：•导数法：同样利用导数的性质来判断函数的最大值和最小值，这一点与求极值的方法类似。
•二次型法：当函数为二次函数时，可以通过完全平方的方式将其转化为标准形式，进而求得最值。
•辅助线法：有时候在求最值的过程中，通过引入一条辅助线，并考虑其和原函数之间的关系，来得到最值的情况。
5. 总结函数的极值和最值是微积分中一个重要的概念，通过对函数的极值和最值进行研究，我们可以更好地理解函数的性质，优化问题和实际问题也经常涉及到函数的极值和最值。
因此，熟练掌握求解函数极值和最值的方法是数学学习中的关键一环。
函数求最大值和最小值公式
函数求最大值和最小值公式
函数求最大值和最小值公式包括两个公式，分别用于求解函数在给定区间内的最大值和最小值。
这两个公式是：
1. 函数在闭区间[a,b]上的最大值为：
f(c_max) = max{f(x)|x∈[a,b]}
其中，c_max为函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值点。
2. 函数在闭区间[a,b]上的最小值为：
f(c_min) = min{f(x)|x∈[a,b]}
其中，c_min为函数f(x)在闭区间[a,b]上的最小值点。
这两个公式可以通过求解函数在给定区间内的一阶导数和二阶导数来得到。
具体来说，如果函数在闭区间内是连续可导的，那么其最大值和最小值点必然是其一阶导数为0的点和二阶导数为负的点。
因此，我们可以通过求解一阶导数和二阶导数，找到函数的极值点和拐点，并判断它们是否在闭区间内，从而得到函数在闭区间内的最大值和最小值。
- 1 -。
函数最值的求解方法及应用
函数最值的求解方法及应用函数最值问题是数学中常见且重要的问题。
函数的最值包括最大值和最小值，通常涉及函数的图像及其性质。
本文将介绍几种常见的函数最值的求解方法，并通过实例说明其应用。
一、函数最值的求解方法1.导数法导数法是求函数最值的常用方法。
对于定义在闭区间[a,b]上的函数f(x)，其最值一定发生在函数的驻点或者区间的端点处。
-首先，求出f(x)的导数f'(x)。
-然后，求出f'(x)=0的解，即找到函数的驻点。
-最后，比较函数在驻点及端点处的取值，找到最大值和最小值。
2.二次函数的最值对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），可以通过求导数的方法得到它的最值。
- 首先，求出f'(x)=2ax+b=0的解，即找到函数的驻点。
-如果a>0，则驻点为极小值点，此时f(x)的最小值为f(驻点)。
-如果a<0，则驻点为极大值点，此时f(x)的最大值为f(驻点)。
3.梯度下降法梯度下降法是一种可用于求解无约束最优化问题的迭代算法。
它的基本思想是通过迭代的方式逐步接近函数的最值。
-首先，选择任意一个起始点x_0。
-然后，根据函数的梯度(即导数的向量)，沿着梯度的反方向更新参数x。
-重复上述步骤，直到满足停止条件为止。
二、函数最值的应用1.经济学中的应用函数最值在经济学中有重要的应用。
例如，生产函数描述了产出与生产要素之间的关系，通过求函数最值可以确定生产要素的最佳配置方案，实现最大化的产出。
供求函数描述了市场上商品的供给和需求关系，通过求函数最值可以确定市场的平衡价格和数量。
2.优化问题的求解优化问题是数学中的一个重要分支，涉及到在一定约束条件下求解一些目标函数的最值。
例如，在资源有限的情况下，如何合理分配资源以最大化利润或最小化成本是一个常见的优化问题。
3.最大似然估计最大似然估计是概率统计中的一种参数估计方法，通过求解似然函数的最值来选择模型的参数。
似然函数描述了给定参数下观测数据出现的可能性，通过求似然函数的最大值可以得到最优的参数估计值。
函数最大值最小值
函数最大值最小值函数的最大值和最小值是函数分析中的重要概念。
在数学和科学领域，函数最大值和最小值的确定经常用于解决实际问题。
在这篇文章中，我们将探讨函数最大值和最小值以及它们在数学和科学中所起的重要作用。
让我们来了解什么是函数最大值和最小值。
在数学中，函数的最大值和最小值是指函数在定义域内的最大和最小值。
换句话说，当一个函数在定义域内达到其最大值或最小值时，我们称该函数具有最大值或最小值。
这些点称为函数的极值点。
在数学中，函数的最大值和最小值可以用求导数来求解。
求导数是函数的导数，它代表了函数在某一点的斜率。
函数的最大值和最小值出现在导数为零或不存在的点。
这些点称为函数的临界点。
通过对函数求导并找到所有临界点，我们可以确定函数的最大值和最小值。
在科学领域，函数的最大值和最小值有很多应用。
例如，在物理学中，通过确定物体的运动方程式，可以确定运动物体的最大高度和最小速度。
在经济学中，通过确定收入函数，可以确定财务分析中的最大利润和最小成本。
在生物学中，函数的最大值和最小值可以用于确定生物体的最佳生长条件。
通过确定生物体的生长率函数，可以确定生物体的最适生长条件。
这些条件可以通过确定生物体的最大值和最小值来确定。
在计算机科学中，函数的最大值和最小值可以用于确定算法的最大效率和最小时间。
通过确定算法的最大值和最小值，可以确定最优解决方案。
这些解决方案可以通过找到函数的最大值和最小值来确定。
函数的最大值和最小值是数学和科学中的重要概念。
它们可以用于解决各种实际问题，如物理学、经济学、生物学和计算机科学中的问题。
通过确定函数的最大值和最小值，可以确定最优解决方案。
因此，了解和应用函数的最大值和最小值对于解决实际问题至关重要。
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2.10 函数的最值●知识梳理求函数最值的常用方法有：（1）配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值；（2）判别式法：若函数y =f （x ）可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程a （y ）x 2+ b （y ）x +c （y ）=0，则在a （y ）≠0时，由于x 、y 为实数，故必须有Δ=b 2（y ）－4a （y ）·c （y ）≥0， 从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的x 值.（3）不等式法：利用平均值不等式取等号的条件确定函数的最值.（4）换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.（5）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出函数的最值. （6）函数的单调性法. ●点击双基1.（2003年春季北京）函数f （x ）=)1(11x x --的最大值是（ ）。
A.54B.45C.43D.34 解析：∵1－x （1－x ）=1－x +x 2=（x －21）2+43≥43，∴f （x ）=)1(11x x --≤34，f （x ）max =34.2.若x 2+y 2=1，则3x －4y 的最大值为（ ）。
A.3B.4C.5D.6解析：∵x 2+y 2=1，∴可设x =cos α，y =sin α.∴3x －4y =3cos α－4sin α=5sin （α+ϕ）≤5. 3.（2004年春季安徽）函数y =x －x （x ≥0）的最大值为___________________. 答案：414.设x ＞0，y ＞0且3x +2y =12，则xy 的最大值是___________. 解析：∵x ＞0，y ＞0，∴3x ·2y ≤（223y x +）2＝62⇒xy ≤6（当且仅当3x ＝2y 时等号成立）. 5.函数y =|x －1|+|x －3|的最小值是______________.解析：在数轴上，设1、3、x 对应的点分别是A 、B 、P ，∴y =|x －1|+|x －3|=|PA |+|PB |≥|AB |=2. 答案：2 ●典例剖析【例1】 （2004年上海，18）某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x 、y （单位：m ）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m 2，问x 、y 分别为多少时用料最省？（精确到0.001 m ）xy解：由题意得x ·y +21·x ·2x =8，∴y =x x 482-=x 8－4x （0＜x ＜42）.于是，框架用料长度为 L =2x +2y +2（22x ）=（23+2）x +x16≥2)223(16+=4246+. 当且仅当（23+2）x =x 16，即x =2234+=8－42时，等号成立. 此时，x ≈2.343，y =22≈2.828.故当x 为2.343 m ，y 为2.828 m 时，用料最省.【例2】 设f （t ）=⎪⎩⎪⎨⎧∈≤≤+-∈<≤+),,4020(41),,200(1121N N t t t t t t g （t ）=－31t +343（0≤t ≤40，t ∈N *）.求S =f （t ）g （t ）的最大值.解：当0≤t ＜20时，S =（21t +11）·（－31t +343）=－61（t +22）（t －43）.∵22243-=10.5， 又t ∈N ，∴t =10或11时，S max =176.当20≤t ≤40时，S =（－t +41）（－31t +343）=31（t －41）（t －43）.∴t =20时，S max =161.综上所述，S 的最大值是176.【例3】 设0＜a ＜1，x 和y 满足log a x ＋3log x a －log x y ＝3，如果y 有最大值42，求这时a 和x 的值. 解：原式可化为log a x ＋x a log 3－x y a a log log ＝3，即log a y ＝log a 2x －3log a x ＋3＝（log a x －23）2＋43， 知当log a x ＝23时，log a y 有最小值43.∵0＜a ＜1，∴此时y 有最大值a 43.根据题意有a 43＝42⇒a ＝41.这时x ＝a 23＝（41）23＝81.评述：本题是已知函数的最值，求函数式中的字母参数的值.这类问题，也是常见题型之一.深化拓展已知f （x ）=2+log 3x （1≤x ≤9），求函数g （x ）=［f （x ）］2+f （x 2）的最大值与最小值. 解：由f （x ）的定义域为［1，9］可得g （x ）的定义域为［1，3］.又g （x ）=（2+log 3x ）2+（2+log 3x 2）=（log 3x +3）2－3，∵1≤x ≤3，∴0≤log 3x ≤1. ∴当x =1时，g （x ）有最小值6；当x =3时，g （x ）有最大值13. 答案：当x =1时，g （x ）有最小值6；当x =3时，g （x ）有最大值13. ●闯关训练 夯实基础1.若奇函数f （x ）在［a ，b ］上是增函数，且最小值是1，则f （x ）在［－b ，－a ］上是（ ）。
A.增函数且最小值是－1 B.增函数且最大值是－1 C.减函数且最小值是－1D.减函数且最大值是－1解析：f （a ）=1，∴f （－a ）=－1.答案：B2.（2003年北京）将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形.要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为______________.解析：设正方形周长为x ，则圆的周长为1－x ，半径r =π21x -.∴S 正=（4x ）2=162x ，S 圆=π·22π4)1(x -. ∴S 正+S 圆=π16484)(π2+-+x x （0＜x ＜1）.∴当x =4π4+时有最小值.答案：4π4+3.（2005年北京海淀模拟题）设函数f （x ）的定义域为R ，若存在常数M ＞0，使|f （x ）|≤M |x |对一切实数x 均成立，则称f （x ）为F 函数.给出下列函数：①f （x ）=0；②f （x ）=x 2；③f （x ）=2（sin x +cos x ）；④f （x ）=12++x x x；⑤f （x ）是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x 1、x 2，均有|f （x 1）－f （x 2）|≤2|x 1－x 2|.其中是F 函数的序号为___________________. 答案：①④⑤ 4.函数y =xx213+-（x ≥0）的值域是______________. 解析：由y =xx213+-（x ≥0），得x =123+-y y ≥0.∴－21＜y ≤3.答案：（－21，3］5.求函数y =|x |21x -的最值. 解：三角代换.设x =cos θ，θ∈［0，2π］， （f （x ）是偶函数，不必取θ∈［0，π］）则y =21sin2θ.∴y max =21，y min =0. 培养能力6.设函数f （x ）=x 2+x +21的定义域是［n ，n +1］（n ∈N ），问f （x ）的值域中有多少个整数？ 解：∵f （x ）=（x +21）2+41的图象是以（－21，41）为顶点，开口向上的抛物线，而自然数n ＞－21，∴f （x ）的值域是［f （n ），f （n +1）］，即［n 2+n +21，n 2+3n +25］.其中最小的整数是n 2+n +1，最大的整数是n 2+3n +2，共有（n 2+3n +2）－（n 2+n +1）+1=2n +2个整数.7.已知函数g （x ）=lg ［a （a +1）x 2－（3a +1）x +3］的值域是R ，求实数a 的取值范围. 解：由题意知，应使h （x ）=a （a +1）x 2－（3a +1）x +3能取到一切正实数.①a =0时，h （x ）=－x +3，显然能取到一切正实数；②a =－1时，h （x ）=2x +3，也能取到一切正实数； ③a ≠0且a ≠－1时，∵h （x ）=a （a +1）x 2－（3a +1）x +3是二次函数，∴必须有⎩⎨⎧≥+-+=>+.0)1(12)13(,0)1(2a a a Δa a 解得3323--≤a ＜－1或0＜a ≤3323+-. 综上所述，a 的取值范围是［3323--，－1］∪［0，3323+-］. 探究创新8.已知函数f （x ）=x （1－x 2），x ∈R .（1）当x ＞0时，求f （x ）的最大值；（2）当x ＞0时，指出f （x ）的单调性，并用定义证明；（3）试作出函数f （x ）（x ∈R ）的简图.解：（1）∵x ＞0，欲求f （x ）的最大值，必有1－x 2＞0，y 2=x 2（1－x 2）2=21·2x 2（1－x 2）（1－x 2）≤21·［3)1()1(2222x x x -+-+］3=274，∴y ≤332=932.当且仅当2x 2=1－x 2，即x =33时，取“=”，即f （x ）max =f （33）=932.（2）由（1）知，当x ∈（0，33］时，f （x ）单调递增，x ∈［33，+∞）时，f （x ）单调递减. 设x 2＞x 1＞0，则f （x 2）－f （x 1）=－x 23+x 2－（－x 13+x 1）=（x 2－x 1）－（x 2－x 1）（x 22+x 1x 2+x 12）=（x 2－x 1）［1－（x 22+x 1x 2+x 12）］.当0＜x 1＜x 2≤33时，x 2－x 1＞0，1－（x 22+x 1x 2+x 12）＞0. ∴f （x 2）＞f （x 1）.∴f （x ）在（0，33］上递增.当33≤x 1＜x 2时，x 2－x 1＞0，1－（x 22+x 1x 2+x 12）＜0，∴f （x 2）＜f （x 1）.∴f （x ）在［33，+∞）上递减.（3）注：图象过点（－1，0）、（0，0）、（1，0），关于原点对称.评述：第（1）题也可用导数解决.∵f '（x ）=1－3x 2，令f '（x ）=0，∴x =±33.又x ＞0，∴x =33. 通过检验单调性知，当x =33时，f （x ）取得最大值，其最大值为932，以下解法同上. ●思悟小结1.求函数的最值与求函数的值域是同一类问题，都必须熟练掌握本文开头列出的六种方法.2.利用判别式法及不等式法求最值时，都需检验等号能否取到.另外，利用判别式法解决问题时，一定要考虑二次项系数可否为零.当二次项系数为零时，不能用判别式法解决问题.拓展题例【例1】 已知二次函数y =f （x ）的最大值等于13，且f （3）=f （－1）=5，求f （x ）的解析式. 解：∵f （3）=f （－1），∴抛物线y =f （x ）有对称轴x =1.故可设f （x ）=a （x －1）2+13， 将点（3，5）代入，求得a =－2.∴f （x ）=－2（x －1）2+13=－2x 2+4x +11. 【例2】 已知函数f （x ）的定义域为R ，且对一切x ∈R ，都有f （x +2）=f （2－x ），f （x +7）=f （7－x ）.（1）若f （5）=9，求f （－5）的值；（2）已知x ∈［2，7］时，f （x ）=（x －2）2，求当x ∈［16，20］时，函数g （x ）=2x －f （x ）的表达式，并求出g （x ）的最大值和最小值.解：（1）由f （x +2）=f （2－x ），f （x +7）=f （7－x ）可以发现函数f （x ）的图象关于直线x =2，x =7对称，且f （x ）=f ［（x －2）+2］=f ［2－（x －2）］=f （4－x ）=f ［7－（3+x ）］= f ［7+（3+x ）］=f （10+x ）.∴f （x ）是以10为周期的周期函数.∴f （－5）=f （－5+10）=f （5）=9.（2）根据周期性、图象的对称性，结合图象可得到f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧--22)22()12(x x ].20,17(],17,16[∈∈x x ∴g （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧----22)22(2)12(2x x x x ].20,17(],17,16[∈∈x x∵x ∈［16，17］时，g （x ）的最大值为16，最小值为9；x ∈（17，20］时，g （x ）＞g （17）=9，g （x ）的最大值为g （20）=36，∴［g （x ）］max =36，［g （x ）］min =9.。