第二章22 力矩与力偶
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力系的简化和平衡-2.2力矩和力偶
定理叙述：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩等
于各分力对同一点力矩的代数和
n
M o FR
M o Fi
i 1
定理证明：
FR
F1
r
A
O
Fn
F2 Fi
若 n 个力汇交于A点，则其合力为：
n
FR F1 F2 Fn Fi
i 1
r 用 同时矢积上式两端
r FR
r F1
zFx
xFz
j
xFy yFx k
由此可得：
M x
F
yFz zFy
M y
F
zFx xFz
M z F xFy yFx
Fz Fx Fy
18
力矩的单位： N m 或 kN m
B
Mo(F)
r
O
h
F
A
③力对点之矩矢的性质： a) 当力沿其作用线移动时，
M O F 保持不变。
12
①力对点之矩矢的概念 力对刚体产生的绕点转动效应取决于三要素： a.强度：力与力偶臂乘积 b.方位：转动轴的方位 c.方向：转动方向
13
力矩矢量的方向
MO
r
F
按右手定则
MO r F
14
②力对点之矩矢的矢量积和解析表达式
B
Mo(F)
r
O
h
F
A
力矢： F Fx , Fy , Fz
求： 光滑螺柱AB所受水平力。
解：由力偶只能由力偶平衡的 性质，其受力图为：
M 0
FAl M1 M 2 M 3 0
解得
FA
FB
M1
M2 l
M3
200N
第二章 力 力矩 力偶
G
1.画出AC、CG、CD、DE、结点D、C的受力图
本章重点：
熟练画受力图
C A
1.画出AC、BC的受力图 2.BC为二力体，AC不是二力体
B
本章重点：
熟练画受力图
小结
熟记4类支座 熟记3类结点 作用力与反作用力 二力体与二力杆 绳索、皮带 光滑接触面 已知荷载不能漏
本章重点：
本章重点：
熟练画受力图
第二章 力 力矩 力偶
§2.1 力的性质
1、力的三要素：大小、方向、作用点 力为矢量，其表示方法：书上用 黑体 字表示， 手写可用
F
本章重点：
熟练画受力图
§2.1 力的性质
对于刚体力的三要素：大小、方向、作用线
刚体：力具有可传性 （沿力的作用线） 变形体：力不具有可传性 同一物体在不同的场合有时看做刚体，有时为变形体
2）所谓代数和是指带正负号的。
3）该定理重在会应用。
2.2力矩
4.力矩的平衡 所有力对同一点矩的代数和等于0
M
A
0
已知宽度为4m，混凝土密度为2600kg/m3,砖密度为1900kg/m3,在雨 篷边缘有一施工荷载1kN
3000
350 70
A
240
1000
2.3力偶
1.力偶的定义：
大小相等、方向相反、作用线不同、 作用在同一的物体上 一对平行力
D A E
4.当DE为一绳索和为一杆时有啥区别
B
本章重点：
熟练画受力图
理想光滑接触面约束
本章重点：
熟练画受力图
C
B
D
1.画出AB、BC、BD、DE的受力图
G
2--力、力矩、力偶
第2章 力、力矩、力偶
2021/3/10
1
牛顿三定律：指牛顿运动定律Newton's laws of motion， 牛顿第一运动定律即惯性定律、牛顿第二运动定律和牛顿 第三运动定律三大经典力学基本运动定律的总称。
牛顿第一定律
牛顿第二定律
牛顿第三定律
第一定律说明了力的含义：力是改变物体运动状态的
原因；第二定律指出了力的作用效果：力使物体获得加速
2021/3/10
15
定律2.2 力的平行四边形法则
图2-4(P.10图2-1)，作用于物体上同一点上的两个力， 其合力也作用在该点上，至于合力的大小和方向则由以这 两个力为边所构成的平行四边形的对角线来表示，如图24a 所示，而原来的两个力称为这个合力的分力。
2021/3/10
图2-4
16
图示平行四边形法则( 三角形法则)
2021/3/10
22
原理2.2 力的可传性原理：作用于刚体上的力， 可沿其作用线任意移动而不改变它对刚体的作用外效 应。例如，图2-9中在车后A点加一水平力推车，如在 车前B点加一水平力拉车，对于车的运动效应而言， 其效果是一样的。
图2-9
2021/3/10
23
例题 2-1
求如图所示平面共点力系的合力。 其中：F1 = 200 N，F2 = 300 N，F3 = 100 N，F4 = 250 N。
力的大小、方向（包括方位和指向）和作用点， 这三个因素称为力的三要素。
力的三要素可以用一个有向的线段即矢量表示。
2021/3/10
11
1)力是矢量。力是一个既有大小又有方向的量，力的 合成与分解需要运用矢量的运算法则，因此它是矢量（或 称向量）。
2021/3/10
1
牛顿三定律：指牛顿运动定律Newton's laws of motion， 牛顿第一运动定律即惯性定律、牛顿第二运动定律和牛顿 第三运动定律三大经典力学基本运动定律的总称。
牛顿第一定律
牛顿第二定律
牛顿第三定律
第一定律说明了力的含义：力是改变物体运动状态的
原因；第二定律指出了力的作用效果：力使物体获得加速
2021/3/10
15
定律2.2 力的平行四边形法则
图2-4(P.10图2-1)，作用于物体上同一点上的两个力， 其合力也作用在该点上，至于合力的大小和方向则由以这 两个力为边所构成的平行四边形的对角线来表示，如图24a 所示，而原来的两个力称为这个合力的分力。
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图2-4
16
图示平行四边形法则( 三角形法则)
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22
原理2.2 力的可传性原理：作用于刚体上的力， 可沿其作用线任意移动而不改变它对刚体的作用外效 应。例如，图2-9中在车后A点加一水平力推车，如在 车前B点加一水平力拉车，对于车的运动效应而言， 其效果是一样的。
图2-9
2021/3/10
23
例题 2-1
求如图所示平面共点力系的合力。 其中：F1 = 200 N，F2 = 300 N，F3 = 100 N，F4 = 250 N。
力的大小、方向（包括方位和指向）和作用点， 这三个因素称为力的三要素。
力的三要素可以用一个有向的线段即矢量表示。
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11
1)力是矢量。力是一个既有大小又有方向的量，力的 合成与分解需要运用矢量的运算法则，因此它是矢量（或 称向量）。
力矩与力偶
第2章力矩与力偶2.1力对点的矩从实践中知道，力对物体的作用效果除了能使物体移动外，还能使物体转动，力矩就 是度量力使物体转动效果的物理量。
力使物体产生转动效应与哪些因素有关呢？现以扳手拧螺帽为例，如图 2.1所示。
手加在扳手上的力F ，使扳手带动螺帽绕中心 0转动。
力F 越大，转动越快；力的作用线离转动中心越远，转动也 越快；如果力的作用线与力的作用点到转动中心0点的连线不垂直，则转动的效果就差；当力的作用线通过转 动中心0时，无论力F 多大也不能扳动螺帽， 只有当力 的作用线垂直于转动中心与力的作用点的连线时，转动 效果最好。
另外，当力的大小和作用线不变而指向相反 时，将使物体向相反的方向转动。
在建筑工地上使用撬 杠抬起重物，使用滑轮组起吊重物等等也是实际的例子。
通过大量的实践总结出以下的规律：力使物体绕某点转 动的效果，与力的大小成正比，与转动中心到力的作用线的垂直距离 d 也成正比。
这个垂直距离称为力臂，转动中心称为力矩中心 (简称矩心)。
力的大小与力臂的乘积称为力F 对点0之矩(简称力矩)，记作m °(F)。
计算公式可写为m °(F)二-F d式中的正负号表示力矩的转向。
在平面内规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时,力矩为正；力使物体作顺时针方向转动时，力矩为负。
因此，力矩是个代数量。
力矩的单位是N m 或kNm 。
由力矩的定义可以得到如下力矩的性质:(1)力F 对点0的矩，不仅决定于力的大小，同时与矩心的位置有关。
矩心的位置不 同，力矩随之不同;(2)当力的大小为零或力臂为零时，则力矩为零；⑶力沿其作用线移动时，因为力的大小、方向和力臂均没有改变，所以，力矩不变。
(4)相互平衡的两个力对同一点的矩的代数和等于零。
例2.1分别计算图2.2中F ,、F 2对0点的力矩。
解 从图2 - 2中可知力F 1和F 2对0点的力臂是h 和|2。
(2.1)\P图2, 1故 m °(F)= ± F i l 1 = F i l 1 sin30° =49 X 0.1 X 0.5=2.45N.mm o(F)= ± F 2 l 2 = — F 2 l 2 = — 16.3 X0.15=2.45N.m必须注意：一般情况下力臂并不等于矩心与 力的作用点的距离，女口F 1的力臂是h ，不是11 。
第二章 力、力矩、力偶
P*4Sin30° P*4Sin30°=2*4*1/2 =4 (KN·M) Py*4= P*Sin30º* 4=2*1/2*4=4(KN·M) Py*4=
第二节 力矩 ★力矩的平衡: 作用在物体上同一平面的 力矩的平衡: 各力, 各力,对支点或转轴之矩的代数和为零。
第三节 力偶 ★力偶的定义:作用在同一物体上的一对等 力偶的定义: 值、反向、不共线的平行力。 例如:拧笔帽, 例如:拧笔帽,握方向盘。
第二章 力、力矩、力偶
第一节 力的性质 ★定义: ★定义: 力是物体之间相互的机械作用。 常用单位：牛（N）和千牛（KN） 常用单位：牛（N）和千牛（KN） ★力的三要素: 大小、方向、作用点。 力的三要素:
F F/2 F F
第一节 力的性质 ★力的可传性 a.对刚体作用效果相同 a.对刚体作用效果相同
第二节 力矩 ★定义： F对矩心0点的矩 对矩心0 ★表达式：M= Fh( ★表达式：M= ±Fh(力×力臂) 力臂)
方向: 逆时针为正; 方向: 逆时针为正;顺时针为负。 矢量的方向: 矢量的方向:由右手螺旋法则确定。
第二节 力矩 ★合力矩定理: 平面内合力对某一点之矩 合力矩定理: 等于其分力对同一点之矩的代数和. 等于其分力对同一点之矩的代数和.
b.对变形体力一般不可移动 b.对变形体力一般不可移动
第一节 力的性质 ★作用力与反作用力定律: 作用力与反作用力定律: 大小相等,方向相反, 大小相等,方向相反,作用线相同，作用在两 个物体上. 个物体上. （见书中图2 （见书中图2-3） ★力的合成与分解 力的合成：图解法
第一节 力的性质 数解法： 余弦定理： 正弦定理： 力的分解: 力的分解: 如有一合力,可有任意组解, 如有一合力,可有任意组解,为便于力的分析 和计算,所以一般规定两分力必须垂直, 和计算,所以一般规定两分力必须垂直,即在 座标中的投影. 座标中的投影.
建筑力学 第2章 力力矩力偶解读
动铰支座。 支座特点：限制了杆件的竖向位移，但允许结构绕铰作
相对转动，并可沿支座平面方向移动。 约束反力：作用点确定，即通过铰中心并与支承平面相
垂直，但指向未知。
6.固定端支座
把构件和支承物完全连接为一整体，构件在固定端既不 能沿任意方向移动，也不能转动的支座称为固定端支座。
支座特点：既限制构件的移动，又限制构件的转动。所 以，限制了杆件的竖向位移，但允许结构绕铰作相对转动， 并可沿支座平面方向移动。
约束反力方向：沿着链杆中心线，指向未定，或为拉 力，或为压力，用FN表示。
A
B
B FNB
C C FNC
4.固定铰支座
用圆柱铰链把结构或构件与支座底板连接，并将底板固定在 支承物上构成的支座称为固定铰支座。
支座特点：允许结构绕A转动，但不能移动。 约束反力：通过铰A的中心，但指向和大小均未知。
5. 可动铰支座 在固定铰支座下面加几个辊轴支承于平面上，就构成可
约束反力：包括水平力、竖向力和一个阻止转动的力偶。
例1-1 重量为W的圆球，用绳索挂于光滑墙上，如图示， 试画出圆球的受力图。
A
FTA
B
o
W
FNA
O
W
解 （1）取圆球为研究对象。 （2）画主动力。 （3）画约束反力。
例 1-2 梁AB上作用有已知力F，梁的自重不计，A 端为固定铰支座，B端为可动铰支座，如图所示，试画 出梁AB的受力图。
任意一点，并不改变该力对刚体的作用。
图 (a)
图 (b)
图 (c)
推论 三力平衡汇交定理
作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中任意两个力 的作用线汇交于一点，则第三个力的作用线必交于同一点， 且三个力的作用线在同一平面内。
相对转动，并可沿支座平面方向移动。 约束反力：作用点确定，即通过铰中心并与支承平面相
垂直，但指向未知。
6.固定端支座
把构件和支承物完全连接为一整体，构件在固定端既不 能沿任意方向移动，也不能转动的支座称为固定端支座。
支座特点：既限制构件的移动，又限制构件的转动。所 以，限制了杆件的竖向位移，但允许结构绕铰作相对转动， 并可沿支座平面方向移动。
约束反力方向：沿着链杆中心线，指向未定，或为拉 力，或为压力，用FN表示。
A
B
B FNB
C C FNC
4.固定铰支座
用圆柱铰链把结构或构件与支座底板连接，并将底板固定在 支承物上构成的支座称为固定铰支座。
支座特点：允许结构绕A转动，但不能移动。 约束反力：通过铰A的中心，但指向和大小均未知。
5. 可动铰支座 在固定铰支座下面加几个辊轴支承于平面上，就构成可
约束反力：包括水平力、竖向力和一个阻止转动的力偶。
例1-1 重量为W的圆球，用绳索挂于光滑墙上，如图示， 试画出圆球的受力图。
A
FTA
B
o
W
FNA
O
W
解 （1）取圆球为研究对象。 （2）画主动力。 （3）画约束反力。
例 1-2 梁AB上作用有已知力F，梁的自重不计，A 端为固定铰支座，B端为可动铰支座，如图所示，试画 出梁AB的受力图。
任意一点，并不改变该力对刚体的作用。
图 (a)
图 (b)
图 (c)
推论 三力平衡汇交定理
作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中任意两个力 的作用线汇交于一点，则第三个力的作用线必交于同一点， 且三个力的作用线在同一平面内。
2-第二章 力矩与力偶理论
连解方程组得
2)解析法：(适应于多力汇交平衡)
(1)简化
根据合力投影规律：
(2)平衡：
若力系为平面汇交力系，则：
例2： 如图2-4所示机构，不计轮重及轮的尺寸、大小，求AB、BC杆的内力。
解：不计轮的尺寸，则可看成B点的受力为汇交力，AB和BC杆件为二力杆，以轮B为研究对象，则B受力如图2-4c。
例3：两轮A和B，各重为 ， ，杆AB为L，连接两轮，可自由地在光滑面滚动，不计杆重，试求当物体系统处于平衡时，杆AB与水平线的夹角。
(2)力沿其作用线运动，力对轴之矩不变。
二、力对轴的矩与力对点的矩之间的关系定理：
定理：力对点的矩矢在通过该点的轴上投影，等于力对轴的矩，即：
证明：从2.2中得力FΒιβλιοθήκη Z轴的矩：∴同理有
结论：
分析：求力对轴之矩有两种方法：
(1)根据定义：将力F投影在与轴垂直的平面→ ，再求力 对汇交点O之矩，
(2)如果投影很困难，则：首先求出力F对轴上任意一点之矩 再对该轴进行投影，即 。
结论：空间力偶可以在平行平面内任意移动而不影响力偶对刚的效应。
所以：力偶矩矢是一个自由矢量(而力对点的矩是一个定位矢量)
(1)与矩的无关
(2)可在作用平面内任意转移
(3)其作用平面内可以任意平移。
注：力偶的可移动性，只适应于一个刚体内的移动.
三、合力偶矩定理：
合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和：
提示：合力投影定律：
以矩心为原点，建立直角坐标系OXYZ
设： F在x、y、z轴上投影为X、Y、Z
注意：在平面中力矩是代数量(因为方位确定)
规定：逆时钟转动为正，顺时钟转动为负。
二、合力矩定理：合力对某点的矩等于各力对同一点的矩的矢量和。
2)解析法：(适应于多力汇交平衡)
(1)简化
根据合力投影规律：
(2)平衡：
若力系为平面汇交力系，则：
例2： 如图2-4所示机构，不计轮重及轮的尺寸、大小，求AB、BC杆的内力。
解：不计轮的尺寸，则可看成B点的受力为汇交力，AB和BC杆件为二力杆，以轮B为研究对象，则B受力如图2-4c。
例3：两轮A和B，各重为 ， ，杆AB为L，连接两轮，可自由地在光滑面滚动，不计杆重，试求当物体系统处于平衡时，杆AB与水平线的夹角。
(2)力沿其作用线运动，力对轴之矩不变。
二、力对轴的矩与力对点的矩之间的关系定理：
定理：力对点的矩矢在通过该点的轴上投影，等于力对轴的矩，即：
证明：从2.2中得力FΒιβλιοθήκη Z轴的矩：∴同理有
结论：
分析：求力对轴之矩有两种方法：
(1)根据定义：将力F投影在与轴垂直的平面→ ，再求力 对汇交点O之矩，
(2)如果投影很困难，则：首先求出力F对轴上任意一点之矩 再对该轴进行投影，即 。
结论：空间力偶可以在平行平面内任意移动而不影响力偶对刚的效应。
所以：力偶矩矢是一个自由矢量(而力对点的矩是一个定位矢量)
(1)与矩的无关
(2)可在作用平面内任意转移
(3)其作用平面内可以任意平移。
注：力偶的可移动性，只适应于一个刚体内的移动.
三、合力偶矩定理：
合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和：
提示：合力投影定律：
以矩心为原点，建立直角坐标系OXYZ
设： F在x、y、z轴上投影为X、Y、Z
注意：在平面中力矩是代数量(因为方位确定)
规定：逆时钟转动为正，顺时钟转动为负。
二、合力矩定理：合力对某点的矩等于各力对同一点的矩的矢量和。
人教版高中物理选修2-2：力矩和力偶_课件1
1.如图所示，T字形轻质支架abO可绕过O点的水 平轴在竖直平面内自由转动，支架受到图示方向 的F1、F2和F3的作用，则关于O点 ( AC ) A. F1和F3的力矩同方向.
B. F2和F3的力矩同方向.
C. 若三个力矩不平衡，为使它平衡，在a点施力 可使力最小.
D. 为使加在a点的2N的力产生最大力矩可使此力 方向与ab杆垂直.
力学上把这种大小相等,方向相反,不共 线的两个平行力组成的系统,叫做力偶 (couple).
力偶两个力的作用线间的距离d叫力偶臂.
由实践可知,组成力偶的力越大,或力偶臂越大, 则力偶使物体发生转动的效应越强;反之,就越弱.这 说明力偶的转动效应不仅与两个力的大小有关,而 且还与力偶臂的大小有关.
因此,我们用力偶中的一个力F与力偶臂d的 乘积F×d来度量力偶对物体的转动效应,称为力 偶矩(moment of couple),用符号M表示,即
M=F×d
力偶对物体的作用效应与力对物体的作用
效应是不同的.原来静止的物体在一个力的作用 下可以发生平动,也可以既平动又绕某一轴转动; 但一个力偶却只能使原来静止的物体产生转动, 而不产生平动.
例如,顺时针转动螺母时,螺母向前,逆时针转动 螺母时,螺母向后.
可见,讨论力矩时,只说明力矩的大小是不够的, 还必须说明力矩是顺时针还是逆时针的.
图中,力F1的力矩
M1具有使杠杆向逆时
针方向转动的趋势,力
F2的力矩M2则具有
A
使杠杆向顺时针方向
转动的趋势.如果这两 F1 个力矩的大小相等,杠
杆将保持平衡,这就是
在物理学中,把力和力臂的乘积叫做力矩 (moment of force).如果M表示力矩,则有
M = F×L
B. F2和F3的力矩同方向.
C. 若三个力矩不平衡，为使它平衡，在a点施力 可使力最小.
D. 为使加在a点的2N的力产生最大力矩可使此力 方向与ab杆垂直.
力学上把这种大小相等,方向相反,不共 线的两个平行力组成的系统,叫做力偶 (couple).
力偶两个力的作用线间的距离d叫力偶臂.
由实践可知,组成力偶的力越大,或力偶臂越大, 则力偶使物体发生转动的效应越强;反之,就越弱.这 说明力偶的转动效应不仅与两个力的大小有关,而 且还与力偶臂的大小有关.
因此,我们用力偶中的一个力F与力偶臂d的 乘积F×d来度量力偶对物体的转动效应,称为力 偶矩(moment of couple),用符号M表示,即
M=F×d
力偶对物体的作用效应与力对物体的作用
效应是不同的.原来静止的物体在一个力的作用 下可以发生平动,也可以既平动又绕某一轴转动; 但一个力偶却只能使原来静止的物体产生转动, 而不产生平动.
例如,顺时针转动螺母时,螺母向前,逆时针转动 螺母时,螺母向后.
可见,讨论力矩时,只说明力矩的大小是不够的, 还必须说明力矩是顺时针还是逆时针的.
图中,力F1的力矩
M1具有使杠杆向逆时
针方向转动的趋势,力
F2的力矩M2则具有
A
使杠杆向顺时针方向
转动的趋势.如果这两 F1 个力矩的大小相等,杠
杆将保持平衡,这就是
在物理学中,把力和力臂的乘积叫做力矩 (moment of force).如果M表示力矩,则有
M = F×L
第二章力系的简化理论
M
z
F1
x
O
F3
a
C
b
y
0
A
B
M O ( Fa Fc)i Fbj
15
2-3 力偶
16
1. 力在轴上投影是代数量,力对轴之矩是代数量。 2. 刚体上的力是滑移矢量；
力对点之矩是定位矢量；
力偶矩矢是自由矢量。
16
2-3 力偶
17
作业：P7 2；P8 5
17
18
2-4 力系的简化理论
(2)对轴
M x (FR ) M x (Fi )
合力对任一点（轴）之矩等于各分力对 同一点（轴）之矩的矢量（代数）和。
8
2-3 力偶
1.力偶的概念 1)定义: 两个等值、反向、不共线平行力，记为 (F , F ) 2)实例:
9
F
F
力偶不能合成为一个力，也不能与一个力平 衡，是产生转动效果的度量，是一个基本力学量。
23
1.空间一般力系向任一点简化 （1）过程: 选O点为简化中心
z
z
Fn
rn r2 O r1
F2
MOn
y
Fn
x
O
F1
MO2 F2 F1 M O1
y
x
z
空间汇交力系：
FR
O
Fi Fi
空间力偶系： M Oi M O ( Fi )
y
MO
合力 力偶
Fi Fi FR
M O M Oi M O ( Fi )
y
500 N
0.8 m 80 N m
100 N 0.6 m
O
1m 200 N
1m
z
F1
x
O
F3
a
C
b
y
0
A
B
M O ( Fa Fc)i Fbj
15
2-3 力偶
16
1. 力在轴上投影是代数量,力对轴之矩是代数量。 2. 刚体上的力是滑移矢量；
力对点之矩是定位矢量；
力偶矩矢是自由矢量。
16
2-3 力偶
17
作业：P7 2；P8 5
17
18
2-4 力系的简化理论
(2)对轴
M x (FR ) M x (Fi )
合力对任一点（轴）之矩等于各分力对 同一点（轴）之矩的矢量（代数）和。
8
2-3 力偶
1.力偶的概念 1)定义: 两个等值、反向、不共线平行力，记为 (F , F ) 2)实例:
9
F
F
力偶不能合成为一个力，也不能与一个力平 衡，是产生转动效果的度量，是一个基本力学量。
23
1.空间一般力系向任一点简化 （1）过程: 选O点为简化中心
z
z
Fn
rn r2 O r1
F2
MOn
y
Fn
x
O
F1
MO2 F2 F1 M O1
y
x
z
空间汇交力系：
FR
O
Fi Fi
空间力偶系： M Oi M O ( Fi )
y
MO
合力 力偶
Fi Fi FR
M O M Oi M O ( Fi )
y
500 N
0.8 m 80 N m
100 N 0.6 m
O
1m 200 N
1m
建筑力学-第2章 力、力矩、力偶
解 由式（1-2）可得出各力在x、y轴上的投影为
F1x =F1cos45=100N×0.707=70.7N F1y =F1sin45 =100N×0.707=70.7N
y A。2
F1
F2x=-F2cos30=-150N×0.866=-129.9N F2 60
F2y=-F2sin30=-150N×0.5=-75N F3x =F3cos90=0
第二章 力、力矩、力偶 理论力学部分
刚体 and 质点
第1节 力和力偶
力的概念
力是物体之间的相互机械作用，这种作用使物体的运动状态
发生变化（运动效应），或者使物体的形状发生改变（变形效
应）。 力的效应
运动效应 变形效应
平动效应 转动效应
力的三要素
大小 方向 作用点
力的单位
牛顿（N） 千牛（kN）
F' d
力偶的性质
必须指出，力偶的搬移或用等效力偶替代，
1)力力偶偶对作物为体一只种产特生殊对转力物动系体效，的应具运，有动而如效不下应产独没生特有移的影动性响效质，应：但，影因响此对，物一体个 力偶既不能用一个力代的替变，形也效不应能。和一个力平衡（力偶在任何一个
坐标轴上的投影等于零）。力与力偶是表示物体间相互机械作用的
力的性质
力是一个有大小和方向的量，所以力是矢量。 通过力作用点并沿着力方向的直线，称为力的作用线。
F
A 50N
F2 D F
B
A F1 C
作用于物体上同一点的两个力可以合成为一个合力，合力也 作用于该点，合力的大小、方向由这两个力为邻边所构成的平行 四边形的对角线来表示。
力的平行四边形法则
F=F1+F2
解 （1）构件的简化。 （2）支座的简化。 （3）荷载的简化。
力偶与力偶矩
§3.2 力偶与力偶矩
一、 力偶
由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的 力系称为力偶，记作
No Image
§3.2 力偶与力偶矩
二、力偶矩
力偶中两力所在平面称为力偶作用面 力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂 两个要素 a.大小：力与力偶臂乘积 b.方向：转动方向
力偶矩
No Image
§3.2 力偶与力偶矩
三、力与力偶矩的性质
(1).力偶在任意坐标轴上的投影等于零.
(2).力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡. (3) .力偶对任意点取矩都等于力偶矩， 不因矩心的改变而改变.
§3.2 力偶与力偶矩
No Image
No Image
No Image
力矩的符号
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力偶矩的符号 M
一、 力偶
由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的 力系称为力偶，记作
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§3.2 力偶与力偶矩
二、力偶矩
力偶中两力所在平面称为力偶作用面 力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂 两个要素 a.大小：力与力偶臂乘积 b.方向：转动方向
力偶矩
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§3.2 力偶与力偶矩
三、力与力偶矩的性质
(1).力偶在任意坐标轴上的投影等于零.
(2).力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡. (3) .力偶对任意点取矩都等于力偶矩， 不因矩心的改变而改变.
§3.2 力偶与力偶矩
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力矩的符号
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力偶矩的符号 M
建筑力学(王志)第二章
2.1 力的性质
F1
A 力的平行四边 形法则对刚体 和变形体都适 用，但是对于 刚体则可以利 用力的可传性 原理。 O F2 O B F2 刚体 F1 R
2.1 力的性质
推论2 三力平衡汇交定理
作用于刚体上三个相互平衡的 力，若其中两个力的作用线汇 交于一点，则此三力必在同一 平面内，且第三个力的作用线 通过汇交点。 证明：如图，在刚体的 A，B，C 三点上，分别作用三个相互平衡的 力F1，F2，F3。
刚体保持平衡的必要和充分条件
是：这两个力的大小相等，方向 相反，且作用在同一直线上。
二力体
二力杆
工程中的桁架结构（二力杆）
工程中的桁架结构（二力杆）
2.1 力的性质
公理1 加减平衡力系原理 在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，并不 改变原力系对刚体的作用。
2.1 力的性质
推论： 力的可传性 作用于刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移到 刚体内任意一点，并不改变该力对刚体的作用。
约束特点： 轴在轴承孔内，轴为非自由体、轴承孔 为约束。
约束力： 当不计摩擦时，轴与孔在接触为光滑 接触约束——法向约束力。 约束力作用在接触处，沿径向指向轴心。 当外界载荷不同时，接触点会变，则约束力的大小 与方向均有改变。
可用二个通过轴心的正交分力 Fx , Fy 表示。
光滑圆柱铰链 约束特点：由两个各穿孔的构件及圆柱销钉组成， 如剪刀。
HA RA RB RC NDE RC N’DE R’A H’A
例6:画图示结构各构件及整体受力图。设接触处摩擦不计， 结构自重不计。
例7结构自重不计，试画结构整体及各部件受力图。 （1）设轮C带销钉，此时杆AC、BC互不接触，都与销钉 （即轮C）接触，杆AC、BC对销钉的作用力都作用在轮C上。
第二章-力-力矩-力偶
动的状态。
§2-1-2 力学基本公理
公理：是人类经过长期实践和经验而得到的结论，它被 反复的实践所验证，是无须证明而为人们所公认的结论。
公理1 二力平衡公理（P17 性质四）
作用于刚体上的两个力，使刚体平衡的必要与充分条件是：
这两个力大小相等 | F1 | = | F2 | , ( F1 = F2 )
d
Pn
D 2
cos
75.2 N m
②应用合力矩定理
MO (Pn ) MO (P ) MO (Pr )
Pn
cos
D 2
0
75.2 N m
§2-3-1 力偶（P25 §2-3 ）
一、 力偶的定义 两个大小相等，作用线不重合的反向平行力叫力偶。 二、力偶的性质 1 性质1 力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。
作用于物体上同一点的两个力可合成 一个合力，此合力也作用于该点，合力的 大小和方向由以原两力矢为邻边所构成的 平行四边形的对角线来表示。
R F1 F2
推论2：三力平衡汇交定理 刚体受三力作用而平衡，若其中两力作
用线汇交于一点，则另一力的作用线必汇交 于同一点，且三力的作用线共面。（不平行 的三个力平衡的必要条件）
m 0 m1 m2 NA l cos 0
解得：
m2 m1 cos 2
§2-3-3 空间力对点之矩与空间力偶
一、力对点的矩 ⒈ 空间力对点之矩三要素
决定力对刚体的作用效应,除力矩的大小、力矩的转向外, 还须考虑力与矩心所组成的平面的方位，方位不同，则力对物 体的作用效应也不同。所以空间力对 刚体的作用效应取决于下列三要素：
力矩和力偶
●力矩、力偶矩 的区别
1）力矩 MO(F) = ± F ·r --- 其大小、转向 与矩心的选择有关。 2）力偶矩 M = ± Fd --- 其大小、转向与矩心无关。
r
力的平移定理
F' F' F O d O d F O M d
F''
M = + Fd = MO(F)
平移定理：作用于刚体上的力，可平移到刚体上的 任一点，但必须附加一力偶，其附加力偶矩等于原
注意：分力有方向
1、力F 在坐标轴x、y轴上的 投影
(1）力F 在X轴上投影--- FX 表示
在Y轴上投影 --- FY 表示
FX= + F cos α Fy= + F sin α
注意： 投影只有大小
（2）正负规定 ：投影的指向与坐标轴正向一致为正值； 反之为负。
2、 平衡力系的平衡条件
平衡条件： 作用于刚体上的合力 FR =0
2、力矩大小 与哪些因素 有关？
实例： 扳手拧螺母的过程：
① 力 F 越大，转动越快 ② 力臂 r 大，转动也越快；
r r
力矩大小 --- 与 力F 、力臂 r
有关
r ——力臂，O点到力F作用线的垂直距离
O点 （矩心） 力臂 r
F
3、力矩 的计算公式
MO(F) = ± F ·r
F ——力的大小
二、合力矩定理
合力
在力臂不容易求出时
Mo（F) = Mo(Fh) + Mo(Fr)
合力 分力
任务三：小结 --- 求力矩的方法
方法1
在力臂已知或容易求出时，按力矩定义 计算
力矩计算公式： MO(F) = ±F r 方法2 在力臂不容易求出时，按合力矩定理求解 。
理论力学--力矩-平面力偶系
示位置处于平衡。已知OA=r，DB=2r，α=30°，不计
杆重。试求：M1和M2间的关系。
B
A O
α
M1 M2
D
§2-2 平面力对点之矩 · 平面力偶 解：（1）先以杆OA为研究对象。
M1 FAB rcos 0 (a)
（2）再取杆DB为研究对象。 A O
FBA FAB
A
B α
M1 M2
M 2 2 FBA rcos 0 (b)
O
O i
Fy
A (x,y)
F
Fx y Fy x yF cos xF sin
(2)合力矩的解析表达式 上式代入 M O FR 得,
Fx
x
M F
M O FR xi Fyi yi Fxi
§2-2 平面力对点之矩 · 平面力偶 例 2-5 已知：如图 F, Q, α, l , 求： MO (F ) 和 MO (Q)。 解：① 用力对点的矩法
受力分析：主动力— M
约束力— FA , FB 列平衡方程：
D
45
M A B
l
M 0,
M FA l cos 45 0
FA
A
M B
解得： FA FB 2M
l
d
FB
§2-2 平面力对点之矩 · 平面力偶 例 2-10
图示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA和
BD上分别作用着矩为M1和M2的力偶，而使机构在图
C
F d x F x Fd M 2 S ABC
理论力学课件 力矩、主矩、力的作用量、力偶
力对轴之矩正负由右手法则确定，从轴正向看，逆时针为正，顺时针为负。
FxFyr三、平面上力对点的矩平面上力对点的矩为代数量。
()()kF r F M xy xy O v v vv ⋅×=例1-9 已知α，AO =h ，OC =r ，求水平力F 对C 点的矩。
()ααcos sin Fh Fr r F h F F M y x C −=+−=vxFyF 解F v分解力αcos F F x =αsin F F y =板式的、均匀的，且沿翁。
绘出不倒翁的重心大体在什么范围才能保证不倒翁真正不倒？门轴略内倾。
这种柜子可以自动关门，定性说明其原因。
思考题1、如图所示的楔形块A、B自重不计，接触处光滑，则A、B的平衡情况是怎样的？不平衡2、根据力的可传性,可以将力F沿其作用线移至那里?A，B二、力偶的特征量0v v v v =′+=F F F V F r F r r OB OA v v v v v ×=×−=)()(F r F r OB OA v v v v −×+×=力偶的主矢为对任意点主矩恒等于矢量积，而与矩心的位置无关。
F r v v ×主矩与矩心无关,力偶只能使刚体转动主矢为零.力偶不能使刚体移动力偶对任意点O 的主矩为F r F r M OB OA O v v v v v ′×+×=力偶矩矢量是自由矢量（大小、方向）4.01+×−×=F F F m。
第2章 2.2平面力偶系
1、合理确定研究对象并画该研究对象的受力图；
2、由平衡条件建立平衡方程；
3、由平衡方程求解未知力。
目录
2.2.1力矩 2.2.2力偶 2.2.3平面力偶系的合成与平衡
单元学习目标
1、理解力对点之矩的概念； 2、掌握力矩的计算方法，学会应用合力矩定理； 3、理解力偶的概念，掌握其性质； 4、掌握平面力偶系的合成方法与平衡条件。
2.2.1 力矩
2、力矩的性质 1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有
关。力矩随矩心的位置变化而变化。 2）力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而
改变。 3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。
2.2.1 力矩
3、合力矩定理
平面汇交力系的合力对该平面上任一点之矩等于各个 分力对该点之矩的代数和。
解法二：应用合力矩定理计算。
将力F在C点分解为两个正交的分力，由合力矩定理可得： MA(F)=MA(Fx)+MA(Fy)=－Fxb+Fya =－Fbcosα ＋Fasinα =F(asinα -bcosα )
例3 如图所示，求力对A点之矩。
解：将力F沿坐标轴方向分解为两 个分力，由合力矩定理得：
M A Fxdx +Fyd y
将其推广到平面内n个力偶的情形 平面力偶系可以合成为一个力偶，即合力偶，其合力偶矩 等于各分力偶矩的代数和。 合力偶矩计算公式：
M M1 M2
Mn Mi
例4 某物体受三个共面力偶 的作用,试求其合力偶。 已知F1=9kN,d1=1m， F2=6kN,d2=0.5m， M3=-12kN·m
2.2 平面力偶系的计算
2.2.1力矩 1、力对点之矩的概念 力对刚体的作用效应——运动效应
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2.2 力矩与力偶
解析法求力对轴之矩：
用解析方法表示，可得如下公式(图2-26):
m Z(F )m oF xy m oF xm oF y
xYyX
F对x和y轴之矩也可类似地求出，也可按坐标x (X), y (Y) ,z (Z)
轮换的方法直接写出: mz (F ) xY yX
mx (F )
高速铁路新型板式轨道设计理论与力学性能研究《建筑力学》 第二章：力系的简化与平衡
2.2 力矩与力偶
力对点之矩（力矩） 力对物体的作用效果
移动 转动
力的大小、方向 力矩的大小、方向
力矩:度量力使物体转动效果的物理量
高速铁路新型板式轨道设计理论与力学性能研究《建筑力学》 第二章：力系的简化与平衡
2.2 力矩与力偶
2.2 力矩与力偶
了解：空间力系中力对点之矩
B
力矩的大小:
z
mo(F) F1
F
mo(F) =2OAB面积=Fh
A
力矩的方向：右手螺旋法则
h
y
O
x
mo(F1)
力矩的三要素:力矩的大小;力矩平面的方位;
力矩在力矩平面内的转向.
高速铁路新型板式轨道设计理论与力学性能研究《建筑力学》 第二章：力系的简化与平衡
力和力偶是组成力系的两个基本物理量。
高速铁路新型板式轨道设计理论与力学性能研究《建筑力学》 第二章：力系的简化与平衡
2.2 力矩与力偶
力偶的性质：
(2) 力偶对其作用平面内任一点的矩都等于其力偶矩本
身的大小；
F
x
h
o
F’
m O F ,F F ( h x ) F F x m h
(3)只要不改变力偶的转向和力偶矩的大小, 力偶可在其 作用平面内（包括在其平行平面内）任意移动和转动,而 且也可任意改变其力和力偶臂的大小。
本节内容
2.2 力矩与力偶 *** 作 业
高速铁路新型板式轨道设计理论与力学性能研究《建筑力学》 第二章：力系的简化与平衡
第二章 力系的简化和平衡
2.2 力矩与力偶
高速铁路新型板式轨道设计理论与力学性能研究《建筑力学》 第二章：力系的简化与平衡
2.2 力矩与力偶
内容：
力矩 力偶及其性质 力偶系的合成与平衡
2.2 力矩与力偶
力矩的性质：
(1) 力对点之矩，不仅取决于力 的大小，还与矩心的位置有关。 力矩随矩心的位置变化而变化。
力矩是定位矢量
(2) 力对任一点之矩，不因该力 的作用点沿其作用线移动而改 变。
(3) 力的大小等于零或其作用线 通过矩心时，力矩为零。
moFFh
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力对轴之矩正、负号由右
O
手螺旋法则确定。
mz(F)=±2ABC面积
B A
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2.2 力矩与力偶
力对//它的轴的矩为零。即力F与轴共面时，力对轴之矩为零。
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F1 F2
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2.2 力矩与力偶
力偶矩矢量：
A
m
F F hB
m
力偶矩可以用矢量m表示：矢长表示力偶矩的大小，矢量 方向与力偶作用平面垂直，指向按右手螺旋规则决定。
力偶矩矢量是一个自由矢量：
由于力偶可以在其平面及其平行平面任意移动而不影 响作用效果，因此力偶矩矢量的作用点不再重要。只要 力偶矩矢量相互平行，力偶矩的效应不变。
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2.2 力矩与力偶
力偶常用下图所示的符号表示。
力矩
力矩：力使物体绕某点转动力
o
学效应，称为力对该点之矩，简
F
称力矩。
表达式： moFFh单位: N m 或 k N m
O — 力矩点， h —力臂
在平面内规定逆时针转向的力矩 为正，反之为负。
大小：矢长
△OAB面 积的2倍
力矩是矢量 方向：右手螺旋法则
作用点：力矩点（O）
高速铁路新型板式轨道设计理论与力学性能研究《建筑力学》 第二章：力系的简化与平衡
yZ
zY
my (F )
zX
xZ
高速铁路新型板式轨道设计理论与力学性能研究《建筑力学》
第二章：力系的简化与平衡
2.2 力矩与力偶
力偶和力偶矩
在日常生活和工程实际中经常见到物体受到大小相等、方向 相反，作用线互相平行的两个力作用情况。
F
力偶臂
F
力偶：一对等值、反向而不共线的平行力。 作用效果：引起物体的转动；
与两个力的大小及两力间的垂直距离（力 偶臂）成正比。
高速铁路新型板式轨道设计理论与力学性能研究《建筑力学》 第二章：力系的简化与平衡
2.2 力矩与力偶
力偶矩：力与力偶臂的乘积; 是力偶对物体转动效应的量度。 F
表达式： m=±F·h 单位: N m 或 k N m
力偶臂h
在平面内规定逆时针转
F
向为正，反之为负。
力偶对物体的转动效果取决于三个因素：
力偶矩的大小；
力偶的转向；
力偶的作用平面。
高速铁路新型板式轨道设计理论与力学性能研究《建筑力学》 第二章：力系的简化与平衡
2.2 力矩与力偶
力偶的性质：
(1) 力偶没有合力；只能与力偶平衡；
力偶是一对等值、反向的 平行力，在任意坐标轴上 的投影为零，即无合力；
✓力偶只能使物体产生转动，不能产生移动效应， 因此力偶是独立与力之外的另一种最简单的力系， 它不能再简化；力偶只能用另一个力偶平衡。
2.2 力矩与力偶
平面汇交力系的合力矩定理：
平面汇交力系的合力对其平面内任一点的矩等于所
有各分力对b Y1
C F2
R
F1 B
m oR m oF 1 m oF 2
D
推广到平面内多个力：
m oR m oF i
m oF 1 O b O A Y 1O A m o F 2 O cO A Y 2O A m oR O dO A R yO A
Ry Y1 Y2
合力矩定理建立了合力对点之矩与 分力对同一点之矩的关系。这个定理 也适用于有合力的其它力系。
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2.2 力矩与力偶
力对轴之矩：
定义:力对轴之矩等于此力在垂 直于该轴平面内的分力对该轴 和平面的交点之矩。
mz(F) = mo(Fxy) = ±Fxyh