三角函数图像和性质教案总结练习题

三角函数图像与性质基础梳理 1．“五点法”描图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0) ⎝⎛⎭⎫π2，1 (π，0) ⎝⎛⎭⎫32π，－1 (2π，0) (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1) 2.三角函数的图象和性质都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)对函数周期性概念的理解周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域范围的每一个x 值都满足f (x ＋T )＝f (x )，其中T 是不为零的常数.如果只有个别的x 值满足f (x ＋T )＝f (x )，或找到哪怕只有一个x 值不满足f (x ＋T )＝f (x )，都不能说T 是函数f (x )的周期. 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为 2π|ω|， y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x 、cos x 的有界性； 关于正、余弦函数的有界性由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于∀x ∈R ，恒有－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1，所以1叫做y ＝sin x ，y ＝cos x 的上确界，－1叫做y ＝sin x ，y ＝cos x 的下确界.(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y ＝sin 2x －4sin x ＋5，令t ＝sin x (|t |≤1)，则y ＝(t －2)2＋1≥1，解法错误.5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x 所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x 系数的正负号) (1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4；(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x .四．典例解析题型1：三角函数的图象例1．（2000全国，5）函数y ＝－xc os x 的部分图象是（ ）解析：因为函数y ＝－xc os x 是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A 、C ，当x ∈（0，2π）时，y ＝－xc os x ＜0。

答案为D 。

题型2：三角函数图象的变换例2．试述如何由y =31sin （2x +3π）的图象得到y =sin x 的图象。

解析：y =31sin （2x +3π） ）（纵坐标不变倍横坐标扩大为原来的3πsin 312+=−−−−−−−−−→−x y x y sin 313π=−−−−−−−−→−纵坐标不变个单位图象向右平移x y sin 3=−−−−−−−−−→−横坐标不变倍纵坐标扩大到原来的另法答案：（1）先将y =31sin （2x +3π）的图象向右平移6π个单位，得y =31sin2x 的图象；（2）再将y =31sin2x 上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得y =31sin x 的图象；（3）再将y =31sin x 图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到y =sin x 的图象。

例3．（2003上海春，15）把曲线yc os x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2π个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（ ）A ．（1－y ）sin x +2y －3=0B ．（y －1）sin x +2y －3=0C ．（y +1）sin x +2y +1=0D ．－(y +1)sin x +2y +1=0解析：将原方程整理为：y =xcos 21+，因为要将原曲线向右、向下分别移动2π个单位和1个单位，因此可得y =)2cos(21π-+x －1为所求方程.整理得（y +1）sin x +2y +1=0.点评：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。

如果对平移有深刻理解，可直接化为：（y +1）c os （x －2π）+2（y +1）－1=0，即得C 选项。

题型3：三角函数图象的应用例4．（2003上海春，18）已知函数f （x ）=A sin （ωx +ϕ）（A >0，ω>0，x ∈R ）在一个周期内的图象如图所示，求直线y =3与函数f （x ）图象的所有交点的坐标。

解析：根据图象得A =2，T =27π－（－2π）=4π，∴ω=21，∴y =2sin （2x +ϕ）， 又由图象可得相位移为－2π，∴－21ϕ=－2π，∴ϕ=4π.即y =2sin （21x +4π）。

根据条件3=2sin （421π+x ），∴421π+x =2k π+3π(k ∈Z )或421π+x =2kπ+32π（k ∈Z ），∴x =4k π+6π（k ∈Z ）或x =4k π+65π（k ∈Z ）。

∴所有交点坐标为（4k π+3,6π）或（4k π+3,65π）（k ∈Z ）。

点评：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。

题型4：三角函数的定义域、值域例5．（1）已知f （x ）的定义域为［0，1］，求f （c os x ）的定义域；（2）求函数y =lgsin （c os x ）的定义域； 分析：求函数的定义域：（1）要使0≤c os x ≤1，（2）要使sin （c os x ）＞0，这里的c os x 以它的值充当角。

解析：（1）0≤c os x ＜1⇒2k π－2π≤x ≤2k π+2π，且x ≠2k π（k ∈Z ）。

∴所求函数的定义域为{x ｜x ∈［2k π－2π，2k π+2π］且x ≠2k π，k ∈Z }。

（2）由sin （c os x ）＞0⇒2k π＜c os x ＜2k π+π（k ∈Z ）。

又∵－1≤c os x ≤1，∴0＜c os x ≤1。

故所求定义域为{x ｜x ∈（2k π－2π，2k π+2π），k ∈Z }。

点评：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线。

题型5：三角函数的单调性 例6．求下列函数的单调区间： （1）y =21sin （4π－32x ）；（2）y =－｜sin （x +4π）｜。

分析：（1）要将原函数化为y =－21sin （32x －4π）再求之。

（2）可画出y =－|sin （x +4π）|的图象。

解：（1）y =21sin （4π－32x ）=－21sin （32x －4π）。

故由2k π－2π≤32x －4π≤2k π+2π。

⇒3k π－8π3≤x ≤3k π+8π9（k ∈Z ），为单调减区间；由2k π+2π≤32x －4π≤2k π+2π3。

⇒3k π+8π9≤x ≤3k π+8π21（k∈Z ），为单调增区间。

∴递减区间为［3k π－8π3，3k π+8π9］， 递增区间为［3k π+8π9，3k π+8π21］（k ∈Z ）。

（2）y =－|sin （x +4π）|的图象的增区间为［k π+4π，k π+4π3］，减区间为［k π－4π，k π+4π］。

题型6：三角函数的奇偶性例7．（2001上海春）关于x 的函数f （x ）=sin （x +ϕ）有以下命题： ①对任意的ϕ，f （x ）都是非奇非偶函数； ②不存在ϕ，使f （x ）既是奇函数，又是偶函数； ③存在ϕ，使f （x ）是奇函数； ④对任意的ϕ，f （x ）都不是偶函数。

其中一个假命题的序号是_____.因为当ϕ=_____时，该命题的结论不成立。

答案：①，k π（k ∈Z ）；或者①，2π+k π（k ∈Z ）；或者④，2π+k π（k ∈Z ）解析：当ϕ=2k π，k ∈Z 时，f （x ）=sin x 是奇函数。

当ϕ=2（k +1）π，k ∈Z 时f （x ）=－sin x 仍是奇函数。

当ϕ=2k π+2π，k ∈Z 时，f （x ）=c os x ，或当ϕ=2k π－2π，k ∈Z 时，f （x ）=－c os x ，f （x ）都是偶函数.所以②和③都是正确的。

无论ϕ为何值都不能使f （x ）恒等于零。

所以f （x ）不能既是奇函数又是偶函数。

①和④都是假命题。

点评：本题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力，注意k ∈Z 不能不写，否则不给分，本题的答案不惟一，两个空全答对才能得分。

题型7：三角函数的周期性例8．设)0(cos sin )(>+=ωωωx b x a x f 的周期π=T ，最大值4)12(=πf ，（1）求ω、a 、b 的值；（2）的值终边不共线，求、、的两根，为方程、、若)tan(0)(βαβαβα+=x f 。

解析：(1) )sin()(22ϕω++=x b a x f ， π=∴T ， 2=∴ω，又 )(x f 的最大值。

4)12(=πf ， 224b a +=∴ ① ，且122cos b 122sin a 4π+π=②，由 ①、②解出 a =2 , b =3.(2) )32sin(42cos 322sin 2)(π+=+=x x x x f ， 0)()(==∴βαf f ，)32sin(4)32sin(4πβπα+=+∴， 32232πβππα++=+∴k ， 或)32(232πβπππα+-+=+k ，即 βπα+=k (βα、 共线，故舍去) ， 或 6ππβα+=+k ，33)6tan()tan(=+=+∴ππβαk )(Z k ∈。

点评：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性。

题型8：三角函数的最值例9．（2000京、皖春理，10）函数y ＝xx cos sin 21++的最大值是（ ）A ．22－1 B ．22＋1 C ．1－22D ．－1－22 解析：B ；221221)4sin(221cos sin 21+=-≤+++++=πx xx y。