人教A版高中数学 必修五 3.1不等式与不等关系(第一课时)课件 (共32张PPT)
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高中数学人教A版必修5《3.1.1不等关系与不等式1》课件
二、新课讲授 1、用不等式来表示生活中的不等关系：
例1、右图是限速40km/h的路标，
指示司机在前方路段行驶时，应使 汽车的速度v不超过40km/h ，写
成不等式是：__v_≤_4_0____
40
例2、某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中 脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，用不等式可以表示为：( )
（分子）有理化等； 3. 判断符号； 4. 作出结论．
四、课后小结
• 本节课我们巩固了初中所学的二元一次不等式及二元一次不等式 组，并且用它来解决现实生活中存在的大量不等关系的实际问题。
• 用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系时，思维要严密、 规范。
• 书本P75，习题3.1 • A组第2、4、5题 • 预习P82，不等式性质
►1Our destiny offers not the cup of despair, but the chalice of opportunity. ►So let us seize it, not in fear, but in gladness. · 命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。 因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运
500x 600y 4000 x3x0y y 0 x,y∈N
考虑到实际问题的意义，还应有x,y∈N
练习：若需在长为4000mm圆钢上，截出长 为698mm和518mm的两种毛坯，问怎样写 出满足上述所有不等关系的不等式组？
698x 518y 4000 x 0 y 0 x, y N
分析：若杂志的定价为x元，则销售量减少： x 2.5 0.2万本 因此，销售总收入为：
0.1
(8 x 2.5 0.2)x万元 用不等式表示为：
最新高中数学人教A版必修5课件：3.1 不等关系与不等式
探究四
探究一用不等式(组)表示不等关系
1.不等关系与不等式 不等关系强调的是量与量之间的关系,可以用符号“>”“<”“≠”“≥”或“≤”表示; 而不等式则是用来表示不等关系的式子,可用“a>b”“a<b”“a≠b”“a≥b”或“a≤b”等 式子表示,不等关系是通过不等式来体现的.
2.文字语言与数学符号之间的转换
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X 新知导学 Z 重难探究
INZHI DAOXUE
HONGNAN TANJIU
D 当堂检测
ANGTANG JIANCE
学习目标 1.会用不等式 (组)表示实际 问题中的不等 关系. 2.掌握不等式 的有关性质. 3.能利用不等 式的性质进行 数或式的大小 比较或不等式 证明.
思维脉络
-3-
3.1 不等关系与不等式
3.1 不等关系与不等式
配套精品教学课件/人教版
高中数学(必修五)
授课老师：XX XX XX 授课日期：201X.XX.XX
-1-
3.1 不等关系与不等式
高中数学必修五（人教版） 配套精品教学课件
第三章 不等式
3.1 不等关系与不等式
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
-2-
3.1 不等关系与不等式
HONGNAN TANJIU
D 当堂检测
ANGTANG JIANCE
2.不等式的性质 (1)如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)如果a>b,b>c,那么a>c.即a>b,b>c⇒a>c. (3)如果a>b,那么a+c>b+c.即a>b⇒a+c>b+c. (4)如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac<bc. (5)如果a>b,c>d,那么a+c>b+d. (6)如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.
人教A版高中数学必修五第三章第一节《3.1不等关系与不等式》(第一课时)课件
2．课外探究： （1）有一个两位数大于50而小于60，其个位数字比 十位数字大2.试用不等关系表示上述关系，并求出这 个两位数（用a和b分别表示两位数的个位数字和十位 数字）。 （2）一辆汽车原来每天行驶 x km，如果这辆汽车每 天行驶的路程比原来多19 km，那么8天内它的行程就 超过2200 km，写出不等式为_______________;如果 它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8 天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为 _______________.
x
x 14
练习3：观察以下图形，写出图中存在的 不等关系：
例1：
某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以 售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1 元，销售量就可能相应减少2000本。若把 提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式 表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ （总收入＝单价×销售量）
还可以得到一个关于a,b的不等式:
a b 2ab
2 2
练习2：请同学们自己举出现实世
界和日常生活中存在的一些不等关 系。
二 用不等式表示不等关系
观察下表，请同学们说出x、y、z的范围:
年份
GDP（x GDP增长 人均GDP（z 万亿元） 率（y%） 万元）
2006 2007 2008 2009 2010 2011
1.用不等式(组）表示下面的不等关系：
用不等式(组）表示下面的不等关系：
2.某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中的 脂肪含量 f 应不少于2.5%，蛋白质的含 量 p 应不少于2.3%．
2
f 2.5% p 2.3%
3.如图，在一个面积为350m 矩形地基上建造个仓库， 四周是绿地．仓库的长 L 大于宽 W 的四倍．
x
x 14
练习3：观察以下图形，写出图中存在的 不等关系：
例1：
某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以 售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1 元，销售量就可能相应减少2000本。若把 提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式 表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ （总收入＝单价×销售量）
还可以得到一个关于a,b的不等式:
a b 2ab
2 2
练习2：请同学们自己举出现实世
界和日常生活中存在的一些不等关 系。
二 用不等式表示不等关系
观察下表，请同学们说出x、y、z的范围:
年份
GDP（x GDP增长 人均GDP（z 万亿元） 率（y%） 万元）
2006 2007 2008 2009 2010 2011
1.用不等式(组）表示下面的不等关系：
用不等式(组）表示下面的不等关系：
2.某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中的 脂肪含量 f 应不少于2.5%，蛋白质的含 量 p 应不少于2.3%．
2
f 2.5% p 2.3%
3.如图，在一个面积为350m 矩形地基上建造个仓库， 四周是绿地．仓库的长 L 大于宽 W 的四倍．
3.1 不等关系与不等式 第1课时 课件(人教A版必修5)
人
教
A
第三章
不等式
3．若a，b∈R，则在a＝b，a>b，a<b三种关系中， 有且仅
有一 种关系成立．
4．若a，b∈R，则 a－b>0 ⇔a>b， a－b＝0
a－b<0 ⇔a<b.
⇔a＝b，
人
教
A
第三章
不等式
1．设M＝x2，N＝x－1，则M与N的大小关系为 ( A．M>N B．M＝N
)
C．M<N
D．与x有关
人
教
A
第三章
不等式
4．已知x<1，则x2＋2与3x的大小关系为________．
解析：(x2＋2)－3x＝(x－1)(x－2)．
∵x<1，∴x－1<0，x－2<0， ∴(x－1)(x－2)>0，∴x2＋2>3x. 答案：x2＋2>3x
人
教
A
第三章
不等式
5．在日常生活中，“糖水加糖更甜”，即加糖溶化后，糖
又( 15)2－42＝－1<0， ∴2( 15－4)<0，则 3＋ 5<4.
人
教
A
第三章
不等式
[点评] 要比较大小的两个实数中有无理数，不能直接作差，
可作它们的平方差．
人
教
A
第三章
不等式
迁移变式 2
比较 3＋ 7与 2 5的大小．
解：( 3＋ 7)2－(2 5)2＝(10＋2 21)－20＝2( 21－5)． ∵( 21)2－52＝21－25＝－4<0， ∴2( 21－5)<0，∴ 3＋ 7<2 5.
人
教
A
高中数学第三章不等式31不等关系与不等式课件新人教A版必修5
D．5
【解题探究】判断不等关系的真假，要紧扣不等的性
质，应注意条件与结论之间的联系． 【答案】C
【解析】①c 的范围未知，因而判断 ac 与 bc 的大小缺乏 依据，故该结论错误．
②由 ac2>bc2 知 c≠0，则 c2>0，
∴a>b，∴②是正确的．
③a<b， ⇒a2>ab，a<b， ⇒ab>b2，
【答案】M>N
【解析】M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝ a1(a2 － 1) － (a2 － 1) ＝ (a1 － 1)(a2 － 1) ， 又 ∵ a1∈(0,1) ， a2∈(0,1) ， ∴ a1 － 1<0 ， a2 － 1<0.∴(a1 － 1)(a2 － 1)>0 ， 即 M － N>0.∴M>N.
用不等式表示不等关系
【例1】 某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成 500 mm 和600 mm两种规格，按照生产的要求，600 mm 钢管 的数量不能超过500 mm钢管的3倍．试写出满足上述所有不等 关系的不等式．
【解题探究】应先设出相应变量，找出其中的不等关 系，即①两种钢管的总长度不能超过4 000 mm；②截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍；③两种钢管 的数量都不能为负．于是可列不等式组表示上述不等关系．
比较大小要注重分类讨论
【示例】设 x∈R 且 x≠－1，比较1＋1 x与 1－x 的大小． 【错解】∵1＋1 x－(1－x)＝1－1＋1－x x2＝1＋x2 x，而 x2≥0，∴ 当 x＞－1 时，x＋1＞0，1＋x2 x≥0，即1＋1 x≥1－x； 当 x＜－1 时，x＋1＜0，1＋x2 x≤0，即1＋1 x≤1－x.
高中数学必修五：3.1《不等关系与不等式(1)》ppt课件
第三章
3.1 第1课时 不等关系与不等式 不等关系与不等式的性质
1
课前自主预习
2
课堂典例探究
3
课 时 作 业
课前自主预习
购买火车票有一项规定：随同成 人旅行， 身高超过 1.1m(含 1.1m)而不 超过 1.5m 的儿童，享受半价客票、 加快票和空调票 ( 简称儿童票 ) ，超 1.5m 时应买全价票．每一成人旅客 可免费携带一名身高不足 1.1 米的儿 童，超过一名时，超过的人数应买儿 童票．从数学的角度，应如何理解和 表示“不超过”“超过”呢？
实数的两个特征 ①任意实数的平方不小于0，即对任意a∈R，都有a2≥0； ②任意两个实数可以比较大小．
(2)比较两个实数大小的方法 作差比较法 a－b>0⇔a>b a－b<0⇔a<b a－b＝0⇔a ＝b 若数(式)的符 号不明显，作 差后可化为 积商的形式 ①作差 ②变形 ③判断符号 ④下结论 作商比较法 乘方比较法 a a>0， b>0， 且b>1⇒a>b；a2>b2 且 a>0， a b>0⇒a>b a>0，b>0 且b<1⇒a<b 同号两数比较大小或 指数式之间比较大小 ①作商 ②变形 ③判断商值与 1 的大小 ④下结论 要比较的两 数(式)中有根 号 ①乘方 ②用作差比 较法或作商 比较法
成才之路 · 数学
人教A版 · 必修5
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章
不等式
化归与转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种 方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通 过变换加以转化，进而解决问题的思想．转化是将数学命题 由一种形式向另一种形式变换的过程，化归是把待解决的问 题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的 问题．化归转化思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数 学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题 过程的各个环节中．转化有等价转化与不等价转化．等价转 化后的新问题与原问题实质是一样的，不等价转化，则部分 地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要地修正，进 而得到原问题的解．
3.1不等式与不等关系课(共32张PPT)
探究点1
不等式的性质
（对称性) (1)a > b b < a; (传递性) (2)a > b,b > c a > c；
(可加性) (3) a > b a + c > b + c；
由性质（3）可得：
a + b > c a + b +( - b )> c +( - b ) a > c - b .
解：因为15 < b < 36,所以 - 36 < -b < -15. 又因为12 < a < 60,所以12 - 36 < a - b < 60 - 15， 所以 - 24 < a - b < 45. 1 1 1 12 a 60 因为 < < ,所以 < < ， 36 b 15 36 b 15 1 a 所以 < < 4. 3 b
2.某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量 f应不少于2.5％ ，蛋白质的含量p应不少于2.3％，
f≥2.5% 写成不等式组为 p≥2.3% .
【即时练习】 某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120km/h.
行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不
等式表示为( B )
A．v≤120 (km/h)或 d≥10 (m)
2.设M=x2，N=x-1，则M与N的大小关系为 ( A ) A．M>N C．M<N B．M=N D．与x有关
【解析】 ∵M－N＝x2－(x－1)＝x2－x＋1 1 3 ＝x －x＋ ＋ 4 4
2
12 3 ＝(x－ ) ＋ >0. 2 4 ∴M>N.
高中数学人教版必修5课件：3.1不等关系与不等式(共27张PPT)
性质7：a b 0 a n b n(n N * ,n 2 )
性质8：ab0 nanb(n N *,n2 )
(可开方性)
例 １ :已 知 a>b>0,c<0,求 证 a cb c
已a知 b0,cd0,求证 a： b dc
课堂练习
若a、b、c R，a b，则下列不等式成
立的是
（C ）
A. 1 1 ab
迹往往是执著者造成的。许多人惊奇地发现，他们之所以达不到自己孜孜以求的目标，是因为他们的主要目标太小、而且太模糊不清，使自己失去动力。如果你的主要 实现就会遥遥无期。因此，真正能激励你奋发向上的是确立一个既宏伟又具体的远大目标。实现目标的道路绝不是坦途。它总是呈现出一条波浪线，有起也有落，但你 你的时间表，框出你放松、调整、恢复元气的时间。即使你现在感觉不错，也要做好调整计划。这才是明智之举。在自己的事业波峰时，要给自己安排休整点。安排出 是离开自己挚爱的工作也要如此。只有这样，在你重新投入工作时才能更富激情。困难对于脑力运动者来说，不过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛。 很难在生活中找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会动力陡生。所以，困难不可怕，可怕的是回避困难。大多数人通过别人对自己的印象和看法来看自 尤其正面反馈。但是，仅凭别人的一面之辞，把自己的个人形象建立在别人身上，就会面临严重束缚自己的。因此，只把这些溢美之词当作自己生活中的点缀。人生的 上找寻自己，应该经常自省。有时候我们不做一件事，是因为我们没有把握做好。我们感到自己“状态不佳”或精力不足时，往往会把必须做的事放在一边，或静等灵 些事你知道需要做却又提不起劲，尽管去做，不要怕犯错。给自己一点自嘲式幽默。抱一种打趣的心情来对待自己做不好的事情，一旦做起来了尽管乐在其中。所以， 要尽量放松。在脑电波开始平和你的中枢神经系统时，你可感受到自己的内在动力在不断增加。你很快会知道自己有何收获。自己能做的事，放松可以产生迎接挑战的 社会，面对工作，一切的未来都需要自己去把握。人一定要靠自己。命运如何眷顾，都不会去怜惜一个不努力的人，更不会去同情一个懒惰的人，一切都需要自己去努 一时的享受也只不过是过眼云烟，成功需要自己去努力。当今社会的快速发展，各行各业的疲软，再加上每年几百万毕业生涌向社会，社会生存压力太大，以至于所有 高自己。看着身边一个个同龄人那么优秀，看着朋友圈的老同学个个事业有成、买房买车，我们心急如梵，害怕被这个社会抛弃。所以努力、焦躁、急迫这些名词缠绕 变自己，太想早一日成为自己梦想中的那个自己。收藏各种技能学习资料，塞满了电脑各大硬盘；报名流行的各种付费社群，忙的人仰马翻；于是科比看四点钟的洛杉 早起打卡行动。其实……其实我们不觉得太心急了吗？这是有一次自己疲于奔命，病倒了，在医院打点滴时想到的。我时常恐慌，害怕自己浪费时间，就连在医院打点 浪费。想快点结束，所以乘着护士不在，自己偷偷的拨快了点滴速度。刚开始自己还能勉强受得了，过了差不多十分钟，真心忍不住了，只好叫护士帮我调到合适的速 就在想，平时做事和打点滴何尝不是一样，都是有一个度，你太急躁了、太想赶超，身体是受不了的。身体是革命的本钱，我们还年轻，还有大把的时间够我们改变， 前面的那个若是1都不存在了，后面再多的0又有什么用？我是一个急性子，做事风风火火的，所以对于想改变自己，是比任何人都要心急。这次病倒了，个人感觉完全 乎才导致的，病倒换来的努力根本是一钱不值。生病的那几天，我跟自己的大学老师打了一个电话，想让老师帮我解惑一下，自己到底是怎么了。别人也很努力啊，而 为啥他们反到身体倍棒而一无所获的自己却病倒了？老师开着电脑，�
性质8：ab0 nanb(n N *,n2 )
(可开方性)
例 １ :已 知 a>b>0,c<0,求 证 a cb c
已a知 b0,cd0,求证 a： b dc
课堂练习
若a、b、c R，a b，则下列不等式成
立的是
（C ）
A. 1 1 ab
迹往往是执著者造成的。许多人惊奇地发现，他们之所以达不到自己孜孜以求的目标，是因为他们的主要目标太小、而且太模糊不清，使自己失去动力。如果你的主要 实现就会遥遥无期。因此，真正能激励你奋发向上的是确立一个既宏伟又具体的远大目标。实现目标的道路绝不是坦途。它总是呈现出一条波浪线，有起也有落，但你 你的时间表，框出你放松、调整、恢复元气的时间。即使你现在感觉不错，也要做好调整计划。这才是明智之举。在自己的事业波峰时，要给自己安排休整点。安排出 是离开自己挚爱的工作也要如此。只有这样，在你重新投入工作时才能更富激情。困难对于脑力运动者来说，不过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛。 很难在生活中找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会动力陡生。所以，困难不可怕，可怕的是回避困难。大多数人通过别人对自己的印象和看法来看自 尤其正面反馈。但是，仅凭别人的一面之辞，把自己的个人形象建立在别人身上，就会面临严重束缚自己的。因此，只把这些溢美之词当作自己生活中的点缀。人生的 上找寻自己，应该经常自省。有时候我们不做一件事，是因为我们没有把握做好。我们感到自己“状态不佳”或精力不足时，往往会把必须做的事放在一边，或静等灵 些事你知道需要做却又提不起劲，尽管去做，不要怕犯错。给自己一点自嘲式幽默。抱一种打趣的心情来对待自己做不好的事情，一旦做起来了尽管乐在其中。所以， 要尽量放松。在脑电波开始平和你的中枢神经系统时，你可感受到自己的内在动力在不断增加。你很快会知道自己有何收获。自己能做的事，放松可以产生迎接挑战的 社会，面对工作，一切的未来都需要自己去把握。人一定要靠自己。命运如何眷顾，都不会去怜惜一个不努力的人，更不会去同情一个懒惰的人，一切都需要自己去努 一时的享受也只不过是过眼云烟，成功需要自己去努力。当今社会的快速发展，各行各业的疲软，再加上每年几百万毕业生涌向社会，社会生存压力太大，以至于所有 高自己。看着身边一个个同龄人那么优秀，看着朋友圈的老同学个个事业有成、买房买车，我们心急如梵，害怕被这个社会抛弃。所以努力、焦躁、急迫这些名词缠绕 变自己，太想早一日成为自己梦想中的那个自己。收藏各种技能学习资料，塞满了电脑各大硬盘；报名流行的各种付费社群，忙的人仰马翻；于是科比看四点钟的洛杉 早起打卡行动。其实……其实我们不觉得太心急了吗？这是有一次自己疲于奔命，病倒了，在医院打点滴时想到的。我时常恐慌，害怕自己浪费时间，就连在医院打点 浪费。想快点结束，所以乘着护士不在，自己偷偷的拨快了点滴速度。刚开始自己还能勉强受得了，过了差不多十分钟，真心忍不住了，只好叫护士帮我调到合适的速 就在想，平时做事和打点滴何尝不是一样，都是有一个度，你太急躁了、太想赶超，身体是受不了的。身体是革命的本钱，我们还年轻，还有大把的时间够我们改变， 前面的那个若是1都不存在了，后面再多的0又有什么用？我是一个急性子，做事风风火火的，所以对于想改变自己，是比任何人都要心急。这次病倒了，个人感觉完全 乎才导致的，病倒换来的努力根本是一钱不值。生病的那几天，我跟自己的大学老师打了一个电话，想让老师帮我解惑一下，自己到底是怎么了。别人也很努力啊，而 为啥他们反到身体倍棒而一无所获的自己却病倒了？老师开着电脑，�
人教A版数学必修五 第三章 3.1《不等关系与不等式》课件
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研一研·问题足几个不等关系时，应用不等式
组来表示它们之间的不等关系，另外若问题有几个变量， 则选用几个字母分别表示这些变量即可． (2)解决这类有多个不等关系的问题时，要注意根据题设将 所有不等关系都找出来． (3)若有表格、图象等，读懂表格、图象对解决这类问题很 关键．
解 依题意得 c＝11x＋9y＋4z，
又 x＋y＋z＝100，∴c＝400＋7x＋5y，
600x＋700y＋400z≥56 由 800x＋400y＋500z≥63 2x＋3y≥160 得 3x－y≥130
本 讲 栏 目 开 关
000 ，及 z＝100－x－y， 000
.
2x＋3y≥160 3x－y≥130 ∴x，y 所满足的不等关系为 x≥0 y≥0
⇔－2x＋9<8x－1 (不等式两边都乘以 12,不等式方向不改变) ⇔－2x<8x－10 (不等式两边都加上－9) ⇔－10x<－10 (不等式两边都加上－8x) 1 ⇔x>1 (不等式两边都乘以－ ，不等式方向改变) 10
本 讲 栏 目 开 关
研一研·问题探究、课堂更高效
【典型例题】 例 1 已知甲、乙、丙三种食物的维生素 A、B 含量及成本 如下表： 甲 维生素 A(单位/kg) 维生素 B(单位/kg) 成本(元/kg) 600 800 11 乙 700 400 9 丙 400 500 4
本 讲 栏 目 开 关
研一研·问题探究、课堂更高效
如果 a－b 等于零，那么a＝b. 以上结论反过来也成立，即 a>b⇔ a－b>0 ； a＝b⇔ a－b＝0 ； a<b⇔ a－b<0 .
本 讲 栏 目 开 关
研一研·问题探究、课堂更高效
高中数学第三章不等式3.1不等关系与不等式第1课时不等关系与不等式的性质课件新人教A版必修5-推荐ppt版本
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不等式
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(4)性质4：①如果a>b，c>0那么ac___>___bc. ②如果a>b，c<0，那么ac___<___bc. (5)性质5：如果a>b，c>d，那么a＋c___>___b＋d. (6)性质6：如果a>b>0，c>d>0，那么ac___>___bd. (7)性质7：如果a>b>0，那么an__>____bn，(n∈N，n≥2)．
(8)性质8：如果a>b>0，那么n a___>___n b，(n∈N，n≥2)．
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A
– 第二级
• 第三级
[解析] M－– N第＝四x2级＋x＋1＝(x＋12)2＋34>0， ∴M>N，故选A»．第五级
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命题方向3 ⇨不等式性质的应用
例题 3 对于实数a、b、c，有下列结论：
①若a＞b，则ac＜bc；
②若ac2＞bc2，则a＞b；
③若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2；
④若c＞a＞b＞0，则c－a a＞c－b b；
⑤若a＞b，1a＞1b，则a＞0，b＜0.
其中正确结论的个数
A．2
B．3
C．4
高中数学第三章不等式3.1不等关系与不等式课件新人教A版必修5
• 答案： B
• 2．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( )
• A．－2<α－β<0
B．－2<α－β<－1
• C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1
• 解析： ∵－1<β<1，∴－1<－β<1.
• 又－1<α<1，∴－2<α＋(－β)<2，
• 又α<β，∴α－β<0，即－2<α－β<0.故选A.
• 1．实数比较大小的注意事项
• (1)符号“⇔”表示“等价于”，即可以互相推 出．“⇔”的右边反映的是两个实数a，b的大小关 系，左边反映的是实数的运算性质，三个等价式子 体现的是实数的大小顺序和实数的运算性质之间的 关系．
• (2)比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b 与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较 两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能 够确认差a－b的符号，变形的常用方法有配方、分 解因式等．
[提示] 如果该汽车每天行驶的路程比原来多 19 km，那么 在 8 天内它的行程为 8(x＋19)km，因此，不等关系“在 8 天内 它的行程将超过 2 200 km”可以用不等式 8(x＋19)>2 200 来表 示；如果它每天行驶的路程比原来少 12 km，那么它原来行驶 8 天的路程现在所花的时间为x－8x12，因此，不等关系“它原来行 驶 8 天的路程现在就得花 9 天多的时间”可以用不等式x－8x12>9 来表示．
第 三 章 不等式
•3.1 不等关系与不等式
自主学习 新知突破
• 1．通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存 在着大量的不等关系，会用不等式及不等式组表示 不等关系．
人教A版高中数学必修5精选优课课件 3.1 不等关系与不等式(1)[ 高考]
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工欲善其事，必先利其器
3.1 不等关系与不等式（第一课时）
• 作差比较法（研究不等式的基本方法）
比较两个实数的大小
作差比较法是研究不等关系的一个出 发点和解决不等式问题的基本方法
工欲善其事，必先利其器
提升基本方法
3.1 不等关系与不等式（第一课时）
• 等式的基本性质 1、
2、
3、 4、
5、
6、 7、
某钢铁厂要把长度 为4 000mm的钢管 截成500mm和600 mm两种,按照生产 的要求，600mm钢 管的数量不能超过 500mm钢管的3倍. 设截得500mm和 600mm的钢管分别 x根、y根，怎样用 不等式表示x、y之 间的不等关系?
现有两种规格的地 砖，一种是长为x cm，宽为y cm的 长方形砖，一种是 边长为x+y cm的正 方形砖，每4块长 方形砖的价格等于 1块正方形砖，从 节省花费的角度， 你会选哪一种呢？
初探不等模型
3.1 不等关系与不等式（第一课时）
问题3
比较
与
的大小！
现有两种规格的地 砖，一种是长为x cm，宽为y cm的 长方形砖，一种是 边长为x+y cm的正 方形砖，每4块长 方形砖的价格等于 1块正方形砖，从 节省花费的角度， 你会选哪一种呢？
初探不等模型
3.1 不等关系与不等式（第一课时）
因为截得500 mm的钢管x根，截 得600 mm的钢管y根.根据题意， 应当有如下不等关系：
初探不等模型
3.1 不等关系与不等式（第一课时）
从节省花费的角度，应比较相同价 格下两种地砖的面积大小关系： 4块长方形砖面积： 且 1块正方形砖面积：
问题3
现有两种规格的地 砖，一种是长为x cm，宽为y cm的 长方形砖，一种是 边长为x+y cm的正 与 的大小！ 方形砖，每4块长 比较 方形砖的价格等于 1块正方形砖，从 节省花费的角度， 你的结论是？？？ 你会选哪一种呢？
高中数学人教A版必修五3.1【教学课件】《不等关系与不等式》
a b，c d a c b d
性质６:可乘性 (正数同向不等式可相乘)
a b 0，c d 0 ac bd
性质７:乘方法则
a b （ 0 n N ） a b 0
v
)不小于第一宇宙速度(记作 v2 ),且小于第二
宇宙速度(记
v1 v v2 v1）。
p 2. 3 % 2 .5 %
(3)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，
蛋白质的含量p应不少于2.3%。 f
人民教育出版社 高中 | 必修五
新课讲授
问题1：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若 单价每提高0.1元销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x
a b
a b
b a
ab a a－b a－b b－a 解： b a＝a b ＝( ) ， ab b a ∵ a＞b ＞0，∴ ＞ 1， a－b ＞0， b
a a－b ab ∴ ( ) ＞1，即 b a＞1 ， b ab
又∵a＞ b＞0， ∴ a b ＞a b 。
a b b a
a b
人民教育出版社 高中 | 必修五
探究二：不等式的基本性质
性质１:对称性
性质２:传递性
a<b
b>a
a b，b c a c
a b ac bc
性质３:可加性
a b，c 0 ac bc 性质４:可乘性 a b，c 0 ac bc
人民教育出版社 高中 | 必修五
性质５:可加性 (同向不等式可相加)
作差比较法
这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是推导不等式的性质的基础。 作差比较法其一般步骤是:作差→变形→判断符号→确定大小。
高中数学新人教A版必修5课件 3.1 不等关系与不等式1
a 1ab b a 1ab b a 1ab b
a 0，b 0
a 1ab b a 1ab b a 1ab b
同号两数比较大小
或指数之间比较大小
(1)作商； (2)变形； (3)判断商值与1的大小； (4)下结论
第三页，编辑于星期一：点 五分。
思维拓展
拓展1：比较下列两组数的大 小 （1）2 3 7与4； （2） 7 10与 3 14。
到哪些比大小的方法？ 比较两个实数的大小，基本方法有作差
法，作商法。
第二页，编辑于星期一：点 五分。
作差法
依
a–b>0b
a–b=0a=b
据 a–b<0a<b
应用 若数(式)的符号不 范围 明显，则作差后可
化为积，商的形式
步
(1)作差；
骤
(2)变形；
(3)判断差的符号
(4)下结论
作
第四页，编辑于星期一：点 五分。
拓展2：若0 ， sin cos
4
a， sin cos b，则（ ）
A. a b B. a b C. ab 1 D. ab 2
第五页，编辑于星期一：点 五分。
问题探究
探究1：在数轴上不同的点 A与点B分别 表示两个不同的实数 a与b，右边的点表示的 数比左边的点表示的数 大。
BA
A (B)
AB
ba
x
a (b) x
ab
x
从数轴上两点的位置（如图3-1-1）可以
看出a，b之间具有哪些性质。
第一页，编辑于星期一：点 五分。
探究2：任意给出两个实数a，b你能想
a 0，b 0
a 1ab b a 1ab b a 1ab b
同号两数比较大小
或指数之间比较大小
(1)作商； (2)变形； (3)判断商值与1的大小； (4)下结论
第三页，编辑于星期一：点 五分。
思维拓展
拓展1：比较下列两组数的大 小 （1）2 3 7与4； （2） 7 10与 3 14。
到哪些比大小的方法？ 比较两个实数的大小，基本方法有作差
法，作商法。
第二页，编辑于星期一：点 五分。
作差法
依
a–b>0b
a–b=0a=b
据 a–b<0a<b
应用 若数(式)的符号不 范围 明显，则作差后可
化为积，商的形式
步
(1)作差；
骤
(2)变形；
(3)判断差的符号
(4)下结论
作
第四页，编辑于星期一：点 五分。
拓展2：若0 ， sin cos
4
a， sin cos b，则（ ）
A. a b B. a b C. ab 1 D. ab 2
第五页，编辑于星期一：点 五分。
问题探究
探究1：在数轴上不同的点 A与点B分别 表示两个不同的实数 a与b，右边的点表示的 数比左边的点表示的数 大。
BA
A (B)
AB
ba
x
a (b) x
ab
x
从数轴上两点的位置（如图3-1-1）可以
看出a，b之间具有哪些性质。
第一页，编辑于星期一：点 五分。
探究2：任意给出两个实数a，b你能想
高中数学 3.1 不等式与不等关系课件 新人教A版必修5
如果(rúguǒ) a-b 是负数，则 a <b；如果 (rúguǒ)
a <b，则a-b为a负数b. a b 0
第三十一页，共43页。
例1．比较(bǐjiào)x2－x与x－2的大小.
解：(x2－x)－(x－2)
… … … …作差
= x2－2x +2 = (x－1)2 +1，… … … …变形
第十三页，共43页。
分析：设需A型卡车x辆，B型卡车y辆，依据题意应有如下不等关 系：
（1）出车辆数不得超过10辆； （2）运输(yùnshū)物资不得少于180吨； （3）每种类型的车辆数受实际条件限制。
我们还可以借助表格使问题(wèntí)明朗化， 表格如下:
A型
B型
限制
车辆数
x
y
10
运输物资
第八页，共43页。
“东方红一号”与“神舟七号”部分参数的对比见下表，请把表格补充 (bǔchōng)完整。
“东方红一号”与“神舟七号”部分(bù fen)参数对比表
近地点
s/km
远地点
s/km
绕地球一 周t/min
质量m/kg
“东方红
一号” 439
2384
114
173
（a）
“神舟七 号”（b）
200
分析： a m a bm b
第十二页，共43页。
典型例题： 例1、某运输公司(ɡōnɡ sī)接受了向抗震救 灾地区每天至少送180吨支援物资的任务。 已知该公司(ɡōnɡ sī)有8辆载重6吨的A型卡 车和4辆载重为10吨的B型卡车，有10名驾驶 员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次， B型卡车3次。列出调配车辆的数学关系式。
2x 8y 12000
a <b，则a-b为a负数b. a b 0
第三十一页，共43页。
例1．比较(bǐjiào)x2－x与x－2的大小.
解：(x2－x)－(x－2)
… … … …作差
= x2－2x +2 = (x－1)2 +1，… … … …变形
第十三页，共43页。
分析：设需A型卡车x辆，B型卡车y辆，依据题意应有如下不等关 系：
（1）出车辆数不得超过10辆； （2）运输(yùnshū)物资不得少于180吨； （3）每种类型的车辆数受实际条件限制。
我们还可以借助表格使问题(wèntí)明朗化， 表格如下:
A型
B型
限制
车辆数
x
y
10
运输物资
第八页，共43页。
“东方红一号”与“神舟七号”部分参数的对比见下表，请把表格补充 (bǔchōng)完整。
“东方红一号”与“神舟七号”部分(bù fen)参数对比表
近地点
s/km
远地点
s/km
绕地球一 周t/min
质量m/kg
“东方红
一号” 439
2384
114
173
（a）
“神舟七 号”（b）
200
分析： a m a bm b
第十二页，共43页。
典型例题： 例1、某运输公司(ɡōnɡ sī)接受了向抗震救 灾地区每天至少送180吨支援物资的任务。 已知该公司(ɡōnɡ sī)有8辆载重6吨的A型卡 车和4辆载重为10吨的B型卡车，有10名驾驶 员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次， B型卡车3次。列出调配车辆的数学关系式。
2x 8y 12000
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B.d≥10 m C．v≤120 (km/h) D．d≥10 (m)
二、请看下面数学中的问题:
问题1 设点A与平面α 的距离为d，B为平面α 上的 任意一点，则d ≤ |AB|（填“≤”，“≥”）．
A
B
d
Ｏ
B
B
问题2 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出 8万本.据市场调查，若单价每提高0.1元,销售量就可 能相应减少2 000本.若把提价后杂志的定价设为x元， 怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式
第1课时 不等关系与比较大小
实际生活中: 长短
轻重
大小
高矮
你能发现下列成语、谚语中反映的不等关系吗? 1.雷声大，雨点小； 2.捡了芝麻，丢了西瓜; 3.道高一尺，魔高一丈; 4.三个臭皮匠，顶个诸葛亮.
1.了解现实世界和日常生活中存在着的不等关 系； 2.会从实际问题中找出不等关系，并能列出不 等式与不等式组.（重点） 3.学会用作差法比较两个实数的大小，掌握作 差法比较大小的步骤.(重点、难点）
f应不少于2.5％ ，蛋白质的含量p应不少于2.3％， f≥2.5%
写成不等式组为 p≥2.3% .
【即时练习】 某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120km/h. 行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不 等式表示为( B )
A．v≤120 (km/h)或 d≥10 (m) v≤120 km/h
所以 b m b 0, 所以 b m b .
am a
am a
【变式练习】 比较x2－x与x－2的大小.
【解析】(x2－x)－(x－2)=x2－2x+2 =(x－1)2+1，
因为(x－1)2≥0，
作差，变
形，判断
所以(x2－x)－(x－2)>0，
因此x2－x > x－2.
【规律总结】
如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零， 那么a=b；如果a－b是负数，那么a<b.反过来也对.
这可以表示为
ab0 ab; ab0 ab; a b0 ab .
【即时练习】 比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小．
【解析】因为 (a 3)(a 5) (a 2)(a 4)
(2)当 1＋x<0，即 x<－1 时，1＋x2 x<0， ∴1＋1 x<1－x. (3)当 1＋x>0 且 x≠0， 即－1<x<0 或 x>0 时，1＋x2 x>0， ∴1＋1 x>1－x.
实际问题：不等关系
抽象 概括
刻画
数学问题：不等式
【即时练习】 写出满足下列条件的不等式: （1）今天的天气预报说：明天早晨的最低温度为 7 ℃，明天白天的最高温度为13 ℃．
7 ℃≤t≤13 ℃
（2）某公路立交桥对通过车辆的 高度h“限高５m”．
h5m
探究点2 作差法比较两个实数大小
关于实数a,b大小的比较，有以下事实：
分析 : 若杂志的定价为x元，则销售的总收入为
(8
x
2.5 0.2)x 0.1
万元.
那么不等关系“销售的总收入不低于20万元” 可以表示为不等式 （8-x-0.21.50.2）x≥20.
问题3 某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成 500 mm和600 mm两种.按照生产的要求，600 mm钢 管的数量不能超过500 mm钢管的3倍.怎样写出满足 上述所有不等关系的不等式组呢？
探究点1 用不等式表示不等关系 在数学中，我们怎样来表示不等关系？ 提示：用不等式表示.
一、请看下面现实生活的例子: 1.右图是限速40 km/h的路标，
指示司机在前方路段行驶时， 40
应使汽车的速度v不超过km/h，
写成不等式就是：_v_≤__4_0__k_m_/_h_.
2.某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量
am a
证明: 因为 b m b (b m)a (a m)b
am a
(a m)a
ab ma ab bm m(a b) .
(a m)a
(a m)a
因为 a ，b ，m 都是正数,且 a b , 所以 m 0, a m 0, a 0, a b 0 .
作差比较法的步骤是： 1. 作差； 2. 变形：配方、因式分解、通分、分母（分子）
有理化等； 3. 判断符号； 4. 作出结论．
【易错点拨】
设 x∈R 且 x≠－1，比较1＋1 x与 1－x 的大小． 【错解】 ∵1＋1 x－(1－x)＝1－1＋1－xx2＝1＋x2 x，而 x2≥0.∴当 x>－1 时，x＋1>0，1＋x2 x≥0，即1＋1 x≥1 －x.当 x<－1 时，x＋1<0，1＋x2 x≤0，即1＋1 x≤1－ x.
500x+600y≤ 4 000; 3x≥ y; x N;
y N.
【提升总结】 将实际的不等关系写成对应的不等式时，应
注意实际问题中关键性的文字语言与数学符号间
的正确转换.
文字语言 数学符号 文字语言 数学符号
大于
＞
至多
≤
小于
＜
至少
≥
大于等于 ≥ 不少于 ≥
小于等于 ≤ 不多于 ≤
【规律总结】
分析:假设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢 管y根.
根据题意，应有如下的关系： (1)截得两种钢管的总长度不能超过4 000 mm；
(2)截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管 数量的３倍； (3)截得两种钢管的数量为自然数.
要同时满足上述三个关系，可以用下面的不等式 组来表示：
(a2 2a 15) (a2 2a 8) 7，
所以 (a 3)(a 5) (a 2)(a 4) <0， 所以 (a 3)(a 5) (a 2)(a 4).
例 已知 a ，b ，m 都是正数,且 a b ,求证: b m b .
【错因分析】 作差比较大小，变形后的结果难以
确定时，一般要分类讨论，但需要有统一的分类标 准．这里分类不完全，在 x<－1 时，x2>0，不应有1＋x2 x ≤0，最好把 x＝0 分一类进行讨论，这样比较恰当．
【正解】 ∵1＋1 x－(1－x)＝1＋x2 x， 而 x2≥0， (1)当 x＝0 时，1＋x2 x＝0，∴1＋1 x＝1－x.
二、请看下面数学中的问题:
问题1 设点A与平面α 的距离为d，B为平面α 上的 任意一点，则d ≤ |AB|（填“≤”，“≥”）．
A
B
d
Ｏ
B
B
问题2 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出 8万本.据市场调查，若单价每提高0.1元,销售量就可 能相应减少2 000本.若把提价后杂志的定价设为x元， 怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式
第1课时 不等关系与比较大小
实际生活中: 长短
轻重
大小
高矮
你能发现下列成语、谚语中反映的不等关系吗? 1.雷声大，雨点小； 2.捡了芝麻，丢了西瓜; 3.道高一尺，魔高一丈; 4.三个臭皮匠，顶个诸葛亮.
1.了解现实世界和日常生活中存在着的不等关 系； 2.会从实际问题中找出不等关系，并能列出不 等式与不等式组.（重点） 3.学会用作差法比较两个实数的大小，掌握作 差法比较大小的步骤.(重点、难点）
f应不少于2.5％ ，蛋白质的含量p应不少于2.3％， f≥2.5%
写成不等式组为 p≥2.3% .
【即时练习】 某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120km/h. 行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不 等式表示为( B )
A．v≤120 (km/h)或 d≥10 (m) v≤120 km/h
所以 b m b 0, 所以 b m b .
am a
am a
【变式练习】 比较x2－x与x－2的大小.
【解析】(x2－x)－(x－2)=x2－2x+2 =(x－1)2+1，
因为(x－1)2≥0，
作差，变
形，判断
所以(x2－x)－(x－2)>0，
因此x2－x > x－2.
【规律总结】
如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零， 那么a=b；如果a－b是负数，那么a<b.反过来也对.
这可以表示为
ab0 ab; ab0 ab; a b0 ab .
【即时练习】 比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小．
【解析】因为 (a 3)(a 5) (a 2)(a 4)
(2)当 1＋x<0，即 x<－1 时，1＋x2 x<0， ∴1＋1 x<1－x. (3)当 1＋x>0 且 x≠0， 即－1<x<0 或 x>0 时，1＋x2 x>0， ∴1＋1 x>1－x.
实际问题：不等关系
抽象 概括
刻画
数学问题：不等式
【即时练习】 写出满足下列条件的不等式: （1）今天的天气预报说：明天早晨的最低温度为 7 ℃，明天白天的最高温度为13 ℃．
7 ℃≤t≤13 ℃
（2）某公路立交桥对通过车辆的 高度h“限高５m”．
h5m
探究点2 作差法比较两个实数大小
关于实数a,b大小的比较，有以下事实：
分析 : 若杂志的定价为x元，则销售的总收入为
(8
x
2.5 0.2)x 0.1
万元.
那么不等关系“销售的总收入不低于20万元” 可以表示为不等式 （8-x-0.21.50.2）x≥20.
问题3 某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成 500 mm和600 mm两种.按照生产的要求，600 mm钢 管的数量不能超过500 mm钢管的3倍.怎样写出满足 上述所有不等关系的不等式组呢？
探究点1 用不等式表示不等关系 在数学中，我们怎样来表示不等关系？ 提示：用不等式表示.
一、请看下面现实生活的例子: 1.右图是限速40 km/h的路标，
指示司机在前方路段行驶时， 40
应使汽车的速度v不超过km/h，
写成不等式就是：_v_≤__4_0__k_m_/_h_.
2.某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量
am a
证明: 因为 b m b (b m)a (a m)b
am a
(a m)a
ab ma ab bm m(a b) .
(a m)a
(a m)a
因为 a ，b ，m 都是正数,且 a b , 所以 m 0, a m 0, a 0, a b 0 .
作差比较法的步骤是： 1. 作差； 2. 变形：配方、因式分解、通分、分母（分子）
有理化等； 3. 判断符号； 4. 作出结论．
【易错点拨】
设 x∈R 且 x≠－1，比较1＋1 x与 1－x 的大小． 【错解】 ∵1＋1 x－(1－x)＝1－1＋1－xx2＝1＋x2 x，而 x2≥0.∴当 x>－1 时，x＋1>0，1＋x2 x≥0，即1＋1 x≥1 －x.当 x<－1 时，x＋1<0，1＋x2 x≤0，即1＋1 x≤1－ x.
500x+600y≤ 4 000; 3x≥ y; x N;
y N.
【提升总结】 将实际的不等关系写成对应的不等式时，应
注意实际问题中关键性的文字语言与数学符号间
的正确转换.
文字语言 数学符号 文字语言 数学符号
大于
＞
至多
≤
小于
＜
至少
≥
大于等于 ≥ 不少于 ≥
小于等于 ≤ 不多于 ≤
【规律总结】
分析:假设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢 管y根.
根据题意，应有如下的关系： (1)截得两种钢管的总长度不能超过4 000 mm；
(2)截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管 数量的３倍； (3)截得两种钢管的数量为自然数.
要同时满足上述三个关系，可以用下面的不等式 组来表示：
(a2 2a 15) (a2 2a 8) 7，
所以 (a 3)(a 5) (a 2)(a 4) <0， 所以 (a 3)(a 5) (a 2)(a 4).
例 已知 a ，b ，m 都是正数,且 a b ,求证: b m b .
【错因分析】 作差比较大小，变形后的结果难以
确定时，一般要分类讨论，但需要有统一的分类标 准．这里分类不完全，在 x<－1 时，x2>0，不应有1＋x2 x ≤0，最好把 x＝0 分一类进行讨论，这样比较恰当．
【正解】 ∵1＋1 x－(1－x)＝1＋x2 x， 而 x2≥0， (1)当 x＝0 时，1＋x2 x＝0，∴1＋1 x＝1－x.