北师大版高中数学选修2-2同步配套课件：3.2导数在实际问题中的应用3.2.1
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北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》导数与函数的最大(小)值 课件
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的最大值和最小值.
法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二 次函数单调性处理
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的极值与最值 法二、 解、 f ’(x)=2x-4 得x=2。 令f ’(x)=0，即2x-4=0， x 1 （1，2） 2 （2，5） 5
y
'
3
0 2
y
+
11
故函数f(x) 在区间[1，5]内有极小值为2， 最大值为11，最小值为2
函数的最值一般有两种情况：
（1） 如果函数 f (x)在[a, b]上单调增加(减少)，
则 f (a)是 f(x)在[a, b]上的最小值(最大值)，f (b)
是 f (x)在[a, b]上的最大值(最小值)。
x [3,1] [2,4] x (1,2)
解方程 f ( x ) 0, 得
3 x1 2
不可导点为 1,2 x
计算 f (3) 20
3 1 f( ) ; 2 4
f (1) 0;
f ( 2) 0
f (4) 6;
， 比较得 最大值 f (3) 20
最小值 f (1) f (2) 0.
一、教学目标：1、知识与技能：会求函数的 最大值与最小值。2、过程与方法：通过具体 实例的分析，会利用导数求函数的最值。3、 情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到 抽象，由特殊到一般的思想方法。 二、教学重点：函数最大值与最小值的求法 教学难点：函数最大值与最小值的求法 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程：
结合课本练习思考
极大值一定比极小值大吗？
法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二 次函数单调性处理
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的极值与最值 法二、 解、 f ’(x)=2x-4 得x=2。 令f ’(x)=0，即2x-4=0， x 1 （1，2） 2 （2，5） 5
y
'
3
0 2
y
+
11
故函数f(x) 在区间[1，5]内有极小值为2， 最大值为11，最小值为2
函数的最值一般有两种情况：
（1） 如果函数 f (x)在[a, b]上单调增加(减少)，
则 f (a)是 f(x)在[a, b]上的最小值(最大值)，f (b)
是 f (x)在[a, b]上的最大值(最小值)。
x [3,1] [2,4] x (1,2)
解方程 f ( x ) 0, 得
3 x1 2
不可导点为 1,2 x
计算 f (3) 20
3 1 f( ) ; 2 4
f (1) 0;
f ( 2) 0
f (4) 6;
， 比较得 最大值 f (3) 20
最小值 f (1) f (2) 0.
一、教学目标：1、知识与技能：会求函数的 最大值与最小值。2、过程与方法：通过具体 实例的分析，会利用导数求函数的最值。3、 情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到 抽象，由特殊到一般的思想方法。 二、教学重点：函数最大值与最小值的求法 教学难点：函数最大值与最小值的求法 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程：
结合课本练习思考
极大值一定比极小值大吗？
高中数学 第三章 导数应用 3.2导数在实际问题中的应用 3.2.2.2 导数在实际问题中的应用课件 北师大版选修22
题型一 题型二 题型三 题型四
解:(1)因为次品率
3������
p=4������+32,
所以当每天生产 x 件时,有 x·4������3+������32件次品,
有x
1-
3������ 4������+32
件正品.
所以
T=200x· 1-
3������ 4������+32
-100x·4������3+������32=25·64���������+���-8������2(x∈N+).
用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=
������ 3������ +
5
(0≤x≤10).若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层
建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式;
(2)当隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.
第2课时 导数在实际问题中的应用
1.了解导数在解决实际问题中的作用. 2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.
1.解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数,把“问题情 境”译为“数学语言”,找出问题的主要关系,抽象成数学问题,然后用 可导函数求最值的方法求最值.
2.解决优化问题的基本思路.
反思解决此类有关利润的实际应用题,应灵活运用题设条件,建立 利润的函数关系,常见的基本等量关系有:
(1)利润=收入-成本;
(2)利润=每件产品的利润×销售件数.
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练 2】 某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量 x(单位:吨)与每吨产品的价格 p(单位:元/吨)之间的关系式为 p=24 200-15x2,且生产 x 吨的成本为 R=50 000+200x(元).问该厂每月生产 多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少万元?
北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》导数在实际问题中的应用(二) 课件
2013-8-20
3
2
课堂小结：
1、解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建 立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质， 提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数 往往是一个有利的工具。 2、导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大 值、最小值的实际问题， 主要有以下几个方面：（1）、与几何有关的最值问题； （2）、与物理学有关的最值问题；（3）、与利润及其 成本有关的最值问题；（4）、效率最值问题。
L( x ) x (3 x )2 1.52 (3 x ) x 2 1 (3 x )2 1.52 x2 1 0,
x (3 x )2 1.52 (3 x ) x 2 1 , 1.25 x 2 6 x 9 0. 解得 x 1.2 和 x 6 (舍去). 答： ……
2013-8-20
实际生活中的很多优化问题的解决都可归结 为寻求一个量的最值问题,一个量的最值问题转化 为数学问题通常都是求一个函数的最值问题,而函 数的最值问题的解决导数是一个强有力的工具.
利用导数解决优化问题的基本思路： 优化问题
建立数学模型
用函数表示数学问题
解决数学模型
优化问题的答案
2013-8-20
E A D 600 b C
分析:设法把湿周l 求出来,这是关键
B
h
2013-8-20
1 解：由梯形面积公式，得 S= (AD+BC)h,其中 AD=2DE+BC， 2 E D A 3 2 3 DE= h,BC=b∴AD= h+b, 3 3 h 1 2 3 3 600 h 2b)h ( h b)h ① ∴S= ( B C 2 3 3 b h 2 2 h ,AB=CD.∴l= h ×2+b② ∵CD= cos30 3 3
3
2
课堂小结：
1、解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建 立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质， 提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数 往往是一个有利的工具。 2、导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大 值、最小值的实际问题， 主要有以下几个方面：（1）、与几何有关的最值问题； （2）、与物理学有关的最值问题；（3）、与利润及其 成本有关的最值问题；（4）、效率最值问题。
L( x ) x (3 x )2 1.52 (3 x ) x 2 1 (3 x )2 1.52 x2 1 0,
x (3 x )2 1.52 (3 x ) x 2 1 , 1.25 x 2 6 x 9 0. 解得 x 1.2 和 x 6 (舍去). 答： ……
2013-8-20
实际生活中的很多优化问题的解决都可归结 为寻求一个量的最值问题,一个量的最值问题转化 为数学问题通常都是求一个函数的最值问题,而函 数的最值问题的解决导数是一个强有力的工具.
利用导数解决优化问题的基本思路： 优化问题
建立数学模型
用函数表示数学问题
解决数学模型
优化问题的答案
2013-8-20
E A D 600 b C
分析:设法把湿周l 求出来,这是关键
B
h
2013-8-20
1 解：由梯形面积公式，得 S= (AD+BC)h,其中 AD=2DE+BC， 2 E D A 3 2 3 DE= h,BC=b∴AD= h+b, 3 3 h 1 2 3 3 600 h 2b)h ( h b)h ① ∴S= ( B C 2 3 3 b h 2 2 h ,AB=CD.∴l= h ×2+b② ∵CD= cos30 3 3
3.2 导数在实际问题中的应用 课件(高中数学北师大版选修2-2)
问题2
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最 高等问题,这些问题通常称为 优化 问题.导数是求
函数最大(小)值的有力工具,可以运用导数解决一
些生活中的优化问题.
问题3
利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各个量之间的关系,列出实际问题的
数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x); (2)求函数的 导数f'(x) ,解方程f'(x)=0; (3)比较函数在区间端点和 最大(小)者为最大(小)值.
利润最大问题
某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售 量 y(单位:千克)与销售价格 x(单位:元/千克)满足关系式 a y= +10(x-6)2,其中 3<x<6,a 为常数.已知销售价格为 5
x -3
元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. (1)求 a 的值; (2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售量价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
4 x
2
x 16-x
16-x 4
)=
8
2
4 4 x 2 -16x+128 8
,其面积和为 ,0<x<16.
令 S'=
2x -16 x -8
=
4
=0 得 x=8,当 0<x<8 时,S'<0,当
8<x<16 时,S'>0,所以 x=8 时,面积和 S 取极小值,也 是最小值,最小值为 8.
2
要做一个圆锥形漏斗,其母线长 20 cm,要使其体积 最大,则其高是( A ).
3.2 导数在实际问题中的应用
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最 高等问题,这些问题通常称为 优化 问题.导数是求
函数最大(小)值的有力工具,可以运用导数解决一
些生活中的优化问题.
问题3
利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各个量之间的关系,列出实际问题的
数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x); (2)求函数的 导数f'(x) ,解方程f'(x)=0; (3)比较函数在区间端点和 最大(小)者为最大(小)值.
利润最大问题
某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售 量 y(单位:千克)与销售价格 x(单位:元/千克)满足关系式 a y= +10(x-6)2,其中 3<x<6,a 为常数.已知销售价格为 5
x -3
元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. (1)求 a 的值; (2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售量价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
4 x
2
x 16-x
16-x 4
)=
8
2
4 4 x 2 -16x+128 8
,其面积和为 ,0<x<16.
令 S'=
2x -16 x -8
=
4
=0 得 x=8,当 0<x<8 时,S'<0,当
8<x<16 时,S'>0,所以 x=8 时,面积和 S 取极小值,也 是最小值,最小值为 8.
2
要做一个圆锥形漏斗,其母线长 20 cm,要使其体积 最大,则其高是( A ).
3.2 导数在实际问题中的应用
北师版高中同步学考数学选修2-2精品课件 第二章 §3 计算导数
π
(4)y=log3x;(5)y=sin 2 + .
解:(1)y'=-5x-5-1=-5x-6.
(2)y'=4xln 4.
(3)∵y= =(x
1
)2
=
3 -1
= 4 4.
1
.
(4)y'=(log3x)'=
ln3
π
(5)∵y=sin + =cos
2
3 3-1
∴y'=4 4
∴y'=-sin x.
5
=
(4)∵y=log2x2-log2x=log2x,
1
∴y'=(log2x)'=x2 .
x
x
(5)∵y=-2sin2 1-2 2 4
x
x
=2sin 2 2 2 4 -1
x
=
x
=2sin 2cos 2=sin x,
∴y'=cos x.
3 -2
5
5
=
.
3
5
5
x2
.
探究学习
探究一
探究二
分析熟练掌握导数的基本公式.运用有关性质或公式将问题转化为
基本初等函数后再求导数.
探究学习
探究一
探究二
解:(1)y'=(x
(2)y'=
(3)y'=(
1
4
5
思想方法
3
3 3-1
x)'=(x 2 )'= 2
2
3
2
.
4
5
'=(x-4)'=-4x-4-1=-4x-5=3
3
(4)y=log3x;(5)y=sin 2 + .
解:(1)y'=-5x-5-1=-5x-6.
(2)y'=4xln 4.
(3)∵y= =(x
1
)2
=
3 -1
= 4 4.
1
.
(4)y'=(log3x)'=
ln3
π
(5)∵y=sin + =cos
2
3 3-1
∴y'=4 4
∴y'=-sin x.
5
=
(4)∵y=log2x2-log2x=log2x,
1
∴y'=(log2x)'=x2 .
x
x
(5)∵y=-2sin2 1-2 2 4
x
x
=2sin 2 2 2 4 -1
x
=
x
=2sin 2cos 2=sin x,
∴y'=cos x.
3 -2
5
5
=
.
3
5
5
x2
.
探究学习
探究一
探究二
分析熟练掌握导数的基本公式.运用有关性质或公式将问题转化为
基本初等函数后再求导数.
探究学习
探究一
探究二
解:(1)y'=(x
(2)y'=
(3)y'=(
1
4
5
思想方法
3
3 3-1
x)'=(x 2 )'= 2
2
3
2
.
4
5
'=(x-4)'=-4x-4-1=-4x-5=3
3
高二数学北师大版选修2-2课件：3.2.1 实际问题中导数的意义
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z 重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D 典例透析 IANLI TOUXI
1234
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D 典例透析 IANLI TOUXI
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是反映一次降雨大小的一个重要指标. (3)在经济学中,通常把生产成本y关于产量x的函数y=f(x)的导函数称为边际成
本,f'(x0)指的是当产量为x0时,生产成本的增加速度,也就是当产量为x0时,每增加一 个单位的产量,需要增加f'(x0)个单位的成本.
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⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
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是反映一次降雨大小的一个重要指标. (3)在经济学中,通常把生产成本y关于产量x的函数y=f(x)的导函数称为边际成
本,f'(x0)指的是当产量为x0时,生产成本的增加速度,也就是当产量为x0时,每增加一 个单位的产量,需要增加f'(x0)个单位的成本.
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高中数学北师大版选修2-2《导数在实际问题中的应用》第一课时参考课件
在实际问题中，如果函数 f ( x )在某区间内
只有一个x0 使f ´(x0)=0,而且从实际问题本身又可
以知道函数在 这点有极大(小)值，那么不与端点
比较， f ( x0 )就是所求的最大值或最小值.(所说
区间的也适用于开区间或无穷区间)
例2. 要生产一批带盖的圆柱形铁桶，要求每个铁桶的容积为定值 V，怎样设计桶的底面半径才能使材料最省？此时高与底面半径 比为多少？ V 解:设桶底面半径为R, 则桶高为h R2 V 2 桶的用料为 S ( R) 2 R 2 R R2 h
1、实际问题中的应用.
在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求函数的 最大(小)值的问题.建立目标函数,然后利用导数的方法 求最值是求解这类问题常见的解题思路. 在建立目标函数时,一定要注意确定函数的定义域. 在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个 点使 f ( x ) 0 的情形,如果函数在这个点有极大(小)值, 那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值. 这里所说的也适用于开区间或无穷区间. 满足上述情况的函数我们称之为“单峰函数”.
1 利润L R C 25q q 2 (100 4q ) 8 1 ' L q 21 1 q 2 21q 100 (0 q 200) 4 8 1 令L' 0，即 q 21 0 求得唯一的极值点 q 4
84
(0 x 100 ).
令y t (
5x 400 x
2
3) 0 ,在 0 x 100 的范围内有
唯一解x=15. 所以,当x=15(km),即D点选在距A点15千米时,总运 费最省. 注:可以进一步讨论,当AB的距离大于15千米时,要找的 最优点总在距A点15千米的D点处;当AB之间的距离 不超过15千米时,所选D点与B点重合. 练习4:已知圆锥的底面半径为R,高为H,求内接于这个 圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h. 答:设圆柱底面半径为r,可得r=R(H-h)/H.易得当h=H/3 时, 圆柱体的体积最大.
【精编】高考数学 3.2导数在实际问题中的应用课件 北师大版选修2-2-精心整理
令 y'=0,即 3x2-3(8-x)2=0,得 x=4.
当 0≤x<4 时,y'<0;当 4<x≤8 时,y'>0.
所以当 x=4 时,y 最小.
答案:B
12345
2.用边长为 48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各截去
一个面积相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒,当所做的铁盒容
当 x>5 时,y=12-0.25x<12-0.25×5=10.75(万元).
∴年产量是 475 台时,工厂所得利润最大.
12345
1.将 8 分为两数之和,使其立方之和为最小,则分法为( )
A.2 和 6
B.4 和 4
C.3 和 5 D.以上都不对
解析:设其中一个数为 x,则另一个数为
8-x,y=x3+(8-x)3,0≤x≤8,y'=3x2-3(8-x)2,
答案:B
12345
3.函数 f(x)=x3-3ax+a 在(0,1)内有最小值,则 a 的取值范围为( )
A.0≤a<1
B.0<a<1
C.-1<a<1
解析:f'(x)=3x2-3a,∵f(x)在(0,1)内有最小值,
D.0<a<12
∴f'(0)<0,f'(1)>0,
∴-a<0,3-3a>0,∴0<a<1.
造费用与 20 年的能源消耗费用之和为
f(x)=20C(x)+C1(x)=20×3���4���+05+6x=38������0+05+6x(0≤x≤10) (2)f'(x)=6-(32������4+050)2,令 f'(x)=0,即(32������4+050)2=6, 解得 x1=5,x2=-235(舍去),当 0<x<5 时,f'(x)<0,当 5<x<10 时,f'(x)>0,故 x=5 是 f(x)的最小值点,对应的最小值为 f(5)=6×5+1850+05=70,即当隔热层修建 5 cm 厚时,总费用达到最小值 70 万元.
高中数学 3.2 导数在实际问题中的应用课件 北师大版选修2-2
2 3
由于在(0,R)内,函数只有一个极值点,根据题意知,最大值存在,∴当
-5-
§2 导数在实际问题中的应用
首 页
X 新知导学 Z 重难探究
INZHI DAOXUE
HONGNAN TANJIU
D 当堂检测
ANGTANG JIANCE
探究一
探究二
探究三
探究一求函数的最值
1.求函数 y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤 第 1 步:求 f(x)在开区间(a,b)内所有使 f'(x)=0 的点. 第 2 步:计算函数 f(x)在区间内使 f'(x)=0 的所有点和端点的函数值,其 中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 2.利用导数法求最值,实质是比较某些特殊的函数值来得到最值.因此, 我们可以在导数法求最值的基础上进行变通,令 f'(x)=0 得到方程的根 x1,x2,…,直接求得函数值 f(x1),f(x2),…,然后去与端点的函数值比较就可以了, 省略了判断极值的过程.当然导数法与函数的单调性结合,也可以求最值.
已知函数 f(x)=
得 x2=1-ln x,显然 x=1 是方程的解, 令 g(x)=x2+ln x-1,x∈(0,+∞),
则 g'(x)=2x+ >0,∴函数 g(x)在(0,+∞)上是增加的,
∴x=1 是方程 f'(x)=0 的唯一解. ∵当 0<x<1 时,f'(x)= ������2 -1>0, 当 x>1 时,f'(x)<0,∴函数 f(x)在(0,1)上是增加的,在(1,+∞)上是减少的, ∴当 x=1 时,函数有最大值 f(x)max=f(1)=-1.
由于在(0,R)内,函数只有一个极值点,根据题意知,最大值存在,∴当
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§2 导数在实际问题中的应用
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X 新知导学 Z 重难探究
INZHI DAOXUE
HONGNAN TANJIU
D 当堂检测
ANGTANG JIANCE
探究一
探究二
探究三
探究一求函数的最值
1.求函数 y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤 第 1 步:求 f(x)在开区间(a,b)内所有使 f'(x)=0 的点. 第 2 步:计算函数 f(x)在区间内使 f'(x)=0 的所有点和端点的函数值,其 中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 2.利用导数法求最值,实质是比较某些特殊的函数值来得到最值.因此, 我们可以在导数法求最值的基础上进行变通,令 f'(x)=0 得到方程的根 x1,x2,…,直接求得函数值 f(x1),f(x2),…,然后去与端点的函数值比较就可以了, 省略了判断极值的过程.当然导数法与函数的单调性结合,也可以求最值.
已知函数 f(x)=
得 x2=1-ln x,显然 x=1 是方程的解, 令 g(x)=x2+ln x-1,x∈(0,+∞),
则 g'(x)=2x+ >0,∴函数 g(x)在(0,+∞)上是增加的,
∴x=1 是方程 f'(x)=0 的唯一解. ∵当 0<x<1 时,f'(x)= ������2 -1>0, 当 x>1 时,f'(x)<0,∴函数 f(x)在(0,1)上是增加的,在(1,+∞)上是减少的, ∴当 x=1 时,函数有最大值 f(x)max=f(1)=-1.
北师大数学选修2-2配套课件：第三章 导数应用 §2 第2课时
第三章 导数应用
• 本章知识概述：导数应用包括两个方面： 一是利用导数作为一种工具在解决函数问 题中应用；二是导数在分析和解决实际问 题中的应用，在教科书中分为两节．
• 第一部分主要是利用导数来研究函数的单 调性与极大、极小值，是导数在研究和处 理函数性质问题的一个重要应用．
• 第二部分主要是应用导数方法解决现实中 的变化趋势和最优化问题，解决这类问题 的关键是函数模型的建立，从导数角度看 ，主要是导数在数学上的研究成果的应用 ．导数在现实生活中有着广泛的应用，在 物理学中的力学、电学、运动、做功、受 热膨胀等问题的解决都离不开导数．在日 常生活中，利用导数处理最优化问题简单 方便．导数是人们在解决现实生活问题中 的伟大发明．
为视)角_，_则__α＝__γ－_β_，_ta.nγ＝3x.2，tanβ＝1x.8，tanα＝tan(γ－β)
＝1t＋anγta－nγttaannββ＝1＋3x.23－.2×x12x.81.8
＝x2＋1.45x.76(x>0)， 令(tanα)′＝1.4x2＋x52.＋765.－762x2×1.4x＝0， 解得 x＝2.4 或 x＝－2.4(舍去)， 在 x＝2.4 附近，导数值由正到负， 所以在 x＝2.4 时，tanα 取得最大值，α 也取得最大值．
3．已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单位：万件)的函数关
系式为 y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为
(C)
A．13 万件
B．11 万件
C．9 万件
D．7 万件
• [解析] 本题考查了导数的应用及求导运算
，∵x>0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)，令
实际问题的答案 用_导__数__解决数学问题
• 本章知识概述：导数应用包括两个方面： 一是利用导数作为一种工具在解决函数问 题中应用；二是导数在分析和解决实际问 题中的应用，在教科书中分为两节．
• 第一部分主要是利用导数来研究函数的单 调性与极大、极小值，是导数在研究和处 理函数性质问题的一个重要应用．
• 第二部分主要是应用导数方法解决现实中 的变化趋势和最优化问题，解决这类问题 的关键是函数模型的建立，从导数角度看 ，主要是导数在数学上的研究成果的应用 ．导数在现实生活中有着广泛的应用，在 物理学中的力学、电学、运动、做功、受 热膨胀等问题的解决都离不开导数．在日 常生活中，利用导数处理最优化问题简单 方便．导数是人们在解决现实生活问题中 的伟大发明．
为视)角_，_则__α＝__γ－_β_，_ta.nγ＝3x.2，tanβ＝1x.8，tanα＝tan(γ－β)
＝1t＋anγta－nγttaannββ＝1＋3x.23－.2×x12x.81.8
＝x2＋1.45x.76(x>0)， 令(tanα)′＝1.4x2＋x52.＋765.－762x2×1.4x＝0， 解得 x＝2.4 或 x＝－2.4(舍去)， 在 x＝2.4 附近，导数值由正到负， 所以在 x＝2.4 时，tanα 取得最大值，α 也取得最大值．
3．已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单位：万件)的函数关
系式为 y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为
(C)
A．13 万件
B．11 万件
C．9 万件
D．7 万件
• [解析] 本题考查了导数的应用及求导运算
，∵x>0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)，令
实际问题的答案 用_导__数__解决数学问题
2015高中数学北师大版选修2-2课件：《导数在实际问题中的应用》
当 0<x<9 时,W'(x)>0,当 9<x<10 时,W'(x)<0.
∴x=9 时,W(x)max=38.6. 当 x>10 时,W(x)单调递减,此时 W(x)<-
19+170=113≈37.7.
33
∴当年产量为 9 千件时,该公司所获年利润最大. 第十九页，编辑于星期五：十二点 十二分。
导. 学. 固. 思
面边长的比值为1.
2
第十三页，编辑于星期五：十二点 十二分。
导. 学. 固. 思
成本最低问题
如图,某工厂拟建一座平面图为矩形,且面积为 200 平 方米的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过 16 米.如果池四周壁建造单价为每米 400 元,中间两条隔墙 建造单价为每米 248 元,池底建造单价为每平方米 80 元,无 盖.
2
积的最小值.
【解析】设梯形 ABCD 的面积为 S,点 P 的坐标为(t,-
1t2+2)(0<t≤2).由题意得点 Q 的坐标为(0,2),
2
直线 BC 的方程为 y=2.
∵y=-1x2+2,
2
∴y'=-x,∴y'|x=t=-t
.
直线 AB 的方程为 y-(-1t2+2)=-t(x-t), 即 y=-tx+1t2+2 .
当 0<x<20 3时,V'>0,当20 3<x<20 时,V'<0,所以 x=20 3cm
3
3
3
时,圆锥形漏斗的体积最大.
第七页，编辑于星期五：十二点 十二分。
导. 学. 固. 思
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(1)收入函数为R(q)=490q. (2)利润函数为L(q)=R(q)-C(q)=490q-(2 000+450q+0.02q2)=-2 000+40q-0.02q2. (3)利润函数的导数为L'(q)=(-2 000+40q-0.02q2)'=40-0.04q. 利润函数的导数称为边际利润,其经济意义为当产量达到q时,再 增加单位产量后利润的改变量.
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物理 课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举 一反三，事半功倍。
2019/7/9
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谢谢欣赏！
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(3)在经济学中,通常把生产成本y关于产量x的函数y=f(x)的导函 数称为边际成本,边际成本f'(x0)指的是当产量为x0时,生产成本的增 加速度,也就是当产量为x0时,每增加一个单位的产量,需要增加f'(x0) 个单位的成本.
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
【变式训练】 假设某国家在20年间通货膨胀率为5%,物价p(单
位:元)与时间t(单位:年)有如下函数关系:p(t)=p0(1+5%)t,其中p0为 t=0时的物价.假定某种商品的p0=1,则在第10个年头,这种商品价格 的上涨速度大约是多少?(精确到0.01元/年)
§2 导数在实际问题中的应用
-1-
2.1 实际问题中导数的意义
-2-
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D 典例透析 IANLI TOUXI
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1.理解平均变化率与导数的关系. 2.理解导数的实际意义. 3.体会导数的意义在实际生活中的应用.
的瞬时速度为0 m/s?(g≈9.8 m/s2,结果精确到0.1 s)
解:小球的运动方程为 h(t)=100t-12gt2,
则 h'(t)=100-gt.
令
h'(t)=0,得
t=10������0
≈
100 9.8
≈10.2(s).
故小球被弹射约 10.2 s 后,瞬时速度为 0 m/s.
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二、听思路。
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行解 答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
解:因为p0=1,所以p(t)=(1+5%)t=1.05t.
根据基本初等函数的导数公式,得p'(t)=(1.05t)'=1.05t×ln 1.05, 所以p'(10)=1.0510×ln 1.05≈0.08(元/年).
故在第10个年头,这种商品价格的上涨速度约为0.08元/年.
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的初速度是
.
解析:s'(t)=3-2t,s'(0)=3,即该物体的初速度是3.
答案:3
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345
4.竖直向上弹射一个小球,小球的初速度为100 m/s,试求小球何时
B.230
C.-1
D.-8
解析:∵f'(t)=t2-2t=(t-1)2-1,
∴当 t=1 时,f'(t)取得最小值-1.
答案:C
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3做直线运动的某物体,其位移s与时间t的关系是s(t)=3t-t2,则该物体
答案:B
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2 如果降雨量关于时间 t 的函数为 f(t)=13t3-t2+8(0≤t≤5),那么这段时间 内降雨强度的最小值是( )
A.8
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D 典例透析 IANLI TOUXI
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生活中的变化率问题
(1)在物理学中,通常称力在单位时间内做的功为功率,它的单位 是瓦特.
(2)在气象学中,通常把在单位时间(如1时、1天等)内的降雨量称 作降雨强度,它是反映一次降雨大小的一个重要指标.
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345
1如果质点A按规律s(t)=3t2运动,那么在t=3时的瞬时速度为( )
A.6 B.18 C.54 D.81
解析:∵瞬时速度v(t)=s'(t)=(3t2)'=6t, ∴v(3)=6×3=18.
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12345
5某企业每天的产品均能售出,售价为490元/吨,其每天的成本C与 每天的产量q之间的函数关系为C(q)=2 000+450q+0.02q2. (1)写出收入函数; (2)写出利润函数; (3)求利润函数的导数,并说明其经济意义. 解:设收入函数为R(q),利润函数为L(q).
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题型 实际问题中导数的意义
【例题】 做自由落体运动的物体的运动方程为 s=s(t)=12gt2(s 的单 位为 m,t 的单位为 s).
(1)求 t 从 3 s 变到 3.1 s 时,s 关于时间 t 的平均变化率,并解释它 的实际意义;
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解:(1)因为
Δs=s(3.1)-s(3)=12g×3.12-12g×32=0.305g(m),Δt=3.1-3=0.1(s),
所以Δ������
������
=
0.300.15������=3.05g(m/s).
它表示在 t=3 s 到 t=3.1 s 这段时间内,做自由落体运动的物体的
四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”的 研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进行 叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元法； 因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
平均速度为 3.05g(m/s).
(2)因为 s'=gt,所以 s'(3)=3g(m/s).它表示做自由落体运动的物体
在 t=3 s 时的瞬时速度为 3g m/s.
反思路程对时间的导数是速度,速度对时间的导数是加速度.
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(2)求 s'(3),并解释它的实际意义. 分析:(1)求 s 关于 t 的平均变化率,即求ΔΔ������������; (2)先求出 s'(t),再计算 s'(3),然后阐述它的实际意义
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编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物理 课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举 一反三，事半功倍。
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(3)在经济学中,通常把生产成本y关于产量x的函数y=f(x)的导函 数称为边际成本,边际成本f'(x0)指的是当产量为x0时,生产成本的增 加速度,也就是当产量为x0时,每增加一个单位的产量,需要增加f'(x0) 个单位的成本.
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【变式训练】 假设某国家在20年间通货膨胀率为5%,物价p(单
位:元)与时间t(单位:年)有如下函数关系:p(t)=p0(1+5%)t,其中p0为 t=0时的物价.假定某种商品的p0=1,则在第10个年头,这种商品价格 的上涨速度大约是多少?(精确到0.01元/年)
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-1-
2.1 实际问题中导数的意义
-2-
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1.理解平均变化率与导数的关系. 2.理解导数的实际意义. 3.体会导数的意义在实际生活中的应用.
的瞬时速度为0 m/s?(g≈9.8 m/s2,结果精确到0.1 s)
解:小球的运动方程为 h(t)=100t-12gt2,
则 h'(t)=100-gt.
令
h'(t)=0,得
t=10������0
≈
100 9.8
≈10.2(s).
故小球被弹射约 10.2 s 后,瞬时速度为 0 m/s.
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二、听思路。
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行解 答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
解:因为p0=1,所以p(t)=(1+5%)t=1.05t.
根据基本初等函数的导数公式,得p'(t)=(1.05t)'=1.05t×ln 1.05, 所以p'(10)=1.0510×ln 1.05≈0.08(元/年).
故在第10个年头,这种商品价格的上涨速度约为0.08元/年.
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的初速度是
.
解析:s'(t)=3-2t,s'(0)=3,即该物体的初速度是3.
答案:3
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4.竖直向上弹射一个小球,小球的初速度为100 m/s,试求小球何时
B.230
C.-1
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解析:∵f'(t)=t2-2t=(t-1)2-1,
∴当 t=1 时,f'(t)取得最小值-1.
答案:C
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3做直线运动的某物体,其位移s与时间t的关系是s(t)=3t-t2,则该物体
答案:B
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2 如果降雨量关于时间 t 的函数为 f(t)=13t3-t2+8(0≤t≤5),那么这段时间 内降雨强度的最小值是( )
A.8
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生活中的变化率问题
(1)在物理学中,通常称力在单位时间内做的功为功率,它的单位 是瓦特.
(2)在气象学中,通常把在单位时间(如1时、1天等)内的降雨量称 作降雨强度,它是反映一次降雨大小的一个重要指标.
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1如果质点A按规律s(t)=3t2运动,那么在t=3时的瞬时速度为( )
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解析:∵瞬时速度v(t)=s'(t)=(3t2)'=6t, ∴v(3)=6×3=18.
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5某企业每天的产品均能售出,售价为490元/吨,其每天的成本C与 每天的产量q之间的函数关系为C(q)=2 000+450q+0.02q2. (1)写出收入函数; (2)写出利润函数; (3)求利润函数的导数,并说明其经济意义. 解:设收入函数为R(q),利润函数为L(q).
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题型 实际问题中导数的意义
【例题】 做自由落体运动的物体的运动方程为 s=s(t)=12gt2(s 的单 位为 m,t 的单位为 s).
(1)求 t 从 3 s 变到 3.1 s 时,s 关于时间 t 的平均变化率,并解释它 的实际意义;
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解:(1)因为
Δs=s(3.1)-s(3)=12g×3.12-12g×32=0.305g(m),Δt=3.1-3=0.1(s),
所以Δ������
������
=
0.300.15������=3.05g(m/s).
它表示在 t=3 s 到 t=3.1 s 这段时间内,做自由落体运动的物体的
四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”的 研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进行 叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元法； 因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
平均速度为 3.05g(m/s).
(2)因为 s'=gt,所以 s'(3)=3g(m/s).它表示做自由落体运动的物体
在 t=3 s 时的瞬时速度为 3g m/s.
反思路程对时间的导数是速度,速度对时间的导数是加速度.
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(2)求 s'(3),并解释它的实际意义. 分析:(1)求 s 关于 t 的平均变化率,即求ΔΔ������������; (2)先求出 s'(t),再计算 s'(3),然后阐述它的实际意义
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