正弦型函数的图像与性质46166ppt课件

π 2
，x∈R)的
图象的一部分如图所示．求函数f(x)的解析式．
第三章 第4讲
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[解] (1)由图象可知34T＝34·2ωπ＝152π－(－3π)＝34π⇒T＝π，则
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1个特别提醒——图象平移时必须注意的一个问题 由y＝Asinωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移的单 位数应为|ωφ |，而不是|φ|.原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
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考向一 三角函数图象的平移问题
例1 [2013·安徽高考]设函数f(x)＝sinx＋sin(x＋π3)．
(1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合；
(2)不画图，说明函数y＝f(x)的图象可由y＝sinx的图象经过
怎样的变化得到．
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考向二 求y＝Asinωx＋φ解析式的常用方法
例2
(1)[2013·四川高考]函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－
π 2
<φ<2π)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是(
)
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考点 2 变换作图法作 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象
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[解]
(1)因为f(x)＝sinx＋ 12 sinx＋
3 2
cosx＝
3 2
sinx＋
3 2
cosx＝
3sin(x＋π6)，
所以当x＋
π 6
＝2kπ－
π 2
，即x＝2kπ－
2π 3
(k∈Z)时，f(x)取最小
值－ 3.
此时x的取值集合为{x|x＝2kπ－23π，k∈Z}．
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(2)先将y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍
(横坐标不变)，得y＝ 3 sinx的图象；再将y＝ 3 sinx的图象上所
有的点向左平移π6个单位，得y＝f(x)的图象．
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考点1 函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图及物理意义
1.五点法作y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图
找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线
与x轴的交点．其步骤为：
(1)先确定周期T＝2ωπ，在一个周期内作出图象；
(2)令X＝ωx＋φ，令X分别取0，2π，π，32π，2π，求出对应的
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解析：由题意得43π＝kT＝k·2ωπ，可利用43π为周期的整数倍求
解较简单，则有 ω＝32k(k∈Z)，而 ω>0，那么当 k＝1 时，ω 取最
小值32.
答案：C
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01抓住2个必备考点
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A. 2，－3π
B. 2，－6π
C. 4，－π6
D. 4，π3
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(2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<
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解析：利用函数图象的平移和伸缩的变换规律逐步完成．y
＝cos2x＋1 通过伸缩、平移变换后得到 y＝cos(x＋1)，对应图象
为 A 项．
答案：A
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位得到的．(√)
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02突破3个热点考向
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由此可得五个关键点；
(3)描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别
扩展，从而得到y＝Asin(ωx＋φ)的简图．
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2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的物理意义
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在进行三角函数图象的左右平移时，应注意以下几点：一要 弄清是平移哪个函数图象，得到哪个函数的图象；二要注意平移 前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先用诱导公式化为 同名函数；三是由 y＝Asinωx 的图象得到 y＝Asinωx＋φ的图象 时，有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
x值，列表如下：
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当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈[0，＋∞))表示一个
简谐振动时，则A叫做振幅，T＝
2π ω
叫做周期，f＝
1 T
叫做频率，
ωx＋φ叫做相位，x＝0时的相位φ叫做初相．
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[填一填]
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2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三 角函数解决一些简单的实际问题.
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ω＝2Tπ＝2.又图象过点(152π，2)，∴f(152π)＝2，则2sin(56π＋φ)＝2⇒
sin(56π＋φ)＝1，∵－2π<φ<π2，∴3π<56π＋φ<43π，故56π＋φ＝π2，即φ
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2个熟知变换——平移变换与伸缩变换 (1)平移变换：①沿x轴平移，按“左加右减”法则；②沿y轴平 移，按“上加下减”法则． (2)伸缩变换：①沿x轴伸缩时，横坐标x伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1) 为原来的ω1 倍(纵坐标y不变)；②沿y轴伸缩时，纵坐标y伸长(A>1) 或缩短(0<A<1)为原来的A倍(横坐标x不变)．
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[学以致用]
1. [2012·浙江高考]把函数 y＝cos2x＋1 的图象上所有点的横
坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，然后向左平移 1 个单位长
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(3)把 y＝sin12x 的图象上点的横坐标变为原来的 2 倍得到 y＝
sinωx 的图象，则 ω 的值为14.(√)
(4)y＝sin(x－4π)的图象是由 y＝sin(x＋π4)的图象向右移π2个单
[判一判] 判断下列说法是否正确(请在括号内填“√”或
“× ”)．
(1)将 y＝sin2x 的图象向左平移4π个单位，得到 y＝sin2x＋4π的 图象．(×)
(2) 在 图 象 变 换 时 运 用 “ 先 平 移 后 伸 缩 ” 与 “ 先 伸 缩 后 平
移”两种途径，向左或向右平移距离一样．(×)
度，再向下平移 1 个单位长度，得到的图象是( )
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(2)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中 A>0，|φ|<π2，ω>0)的图 象如图所示，则函数 f(x)的解析式为 y＝sin(2x＋π3) ，它的振幅
1
π
为 1 ，频率为 π ，初相为 3 .
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3种必会方法——由函数图象求解析式的方法 (1)如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定函数表达式y＝ Asin(ωx＋φ)中的参数A和ω，再选取“第一零点”(即五点作图法 中的第一个点)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一 点是“第一零点”)求得φ. (2)通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω， φ.依据是五点法． (3)运用逆向思维的方法，根据图象变换可以确定相关的参数.
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(1)用五点法作函数 y＝sin(x＋π6)在一个周期内的
图象时，主要确定的五个点是 (－6π，0)，(3π，1)，(56π，0)，(43π，－1)，(161π，0) ．
第三章 第4讲
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第4讲 正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
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1．了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义，能画出函数y＝Asin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A、ω、φ对函数图象变化的影响．
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2. 设 ω>0，函数 y＝sin(ωx＋3π)＋2 的图象向右平移43π个单位
长度后与原图象重合，则 ω 的最小值是( )
2
4
A. 3
B. 3
3
C. 2
D. 3
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第三章 三角函数、解三角形
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