全国青年教师素养大赛一等奖函数的极值教学设计完美版
全国青年教师素养大赛一等奖函数的极值教学设计
《函数的极值》教学设计焦作市第十一中学韩甲子《函数的极值》教学设计教材：北师大版高中《数学》选修1-1第四章第一节第二课时授课教师：焦作市第十一中学韩甲子教学内容分析：一、背景分析1．教材分析本章导数的应用，是中学数学的重要内容之一，导数是研究函数变化率的量，因此本章的主要内容是借助导数研究函数的变化规律。
利用导数研究函数的极值是本节课的核心内容。
2．学情分析学生的优势：知识上已经学习了导数的基础知识，掌握了导数的几何意义和导数与原函数的关系。
能力上具有一定的形象思维与抽象概括能力；思想方法上已经具有一定的数形结合能力、归纳、特殊到一般等数学思想。
不足：对于文科学生而言，函数本身就是学习的难点，而利用导数解决原函数的性质对于学生来说更加抽象，因此容易出现对概念的理解不够深刻，运用概念解决实际问题的能力相对薄弱的情况。
二、目标分析教学目标：1．知识目标：理解函数极值的定义，掌握导数与函数极值的关系，能利用导数求函数的极值。
2．能力目标：让学生通过利用导数研究函数极值的过程，掌握利用导数研究函数性质的方法。
总结求函数极值的一般步骤，认识到导数在研究函数性质中的作用。
3．情感目标：通过用导数方法研究函数性质，认识到不同数学知识之间的内在联系。
以及导数的应用价值。
三、教学重难点：重点：会利用导数求函数的极值。
难点：函数极值点的判断与求解。
教学策略分析一、教学理念教师是课堂教学的组织者和引导者，突出学生的主体地位，鼓励学生积极参与教学活动。
在学生学习过程中，以体验为红线，思维为主攻，让学生在自主、合作、探究中学习知识。
2．策略设计以“发现——探究”为主导，在“诱思探究教学”模式下，设计了三个认知层次：一、创设情境，引入新课；二、合作交流，探究新知；三、学以致用，巩固提高。
探究过程分为五个环节：探索发现、大胆猜想、深入探究、形成结论、适度拓展。
认知层次层层深入，探究过程环环相扣。
学生在动眼看、动耳听、动手做、动口说、动脑思中愉悦的学习知识。
函数的极值与导数资料教学设计一等奖
函数的极值与导数资料教学设计一等奖教学设计：函数的极值与导数一、教学目标：1.理解函数的极值的概念和求解方法。
2.掌握函数求导的方法和运用。
3.能够通过导数求解函数的极值问题。
二、教学准备：1.教师准备PPT课件、白板和黑板笔、教材和练习题等。
2.学生准备课本、笔记本和作业本等。
三、教学过程：Step 1：导入与激发1.进行一次小组讨论，向学生提出如下问题：-你们对函数的极值有怎样的理解？-如何用导数的概念来解释函数的极值？2.引入函数求极值的概念：通过引入一个实际生活中的例子，比如讨论在段时间内一些班级的学生人数随时间变化的函数，了解函数曲线的极点和极值的概念。
Step 2：函数的极值概念的引入1.定义函数的极大值和极小值：介绍函数的局部极大值和局部极小值的概念，并举例说明。
2.引入达到极值的必要条件：导数等于零的点是函数的极值点的必要条件，让学生思考为什么这是成立的。
Step 3：求解函数的极值1.引入函数求极值的方法：通过求解函数的导数为零的方程来求解函数的极值点，给出求解的步骤。
2.给出一些函数求极值的例题，进行操练。
Step 4：函数的极值应用1.引入函数的应用：通过提供一些实际问题和函数的表达式，让学生分析问题，求解函数的极值问题。
2.教师示范解题，然后学生自主解题，并与同伴交流讨论。
Step 5：总结与拓展1.总结函数的极值求解方法以及极值的概念。
2.引导学生思考函数的极值问题在实际问题中的应用，并给出一些拓展问题进行讨论。
四、作业布置：1.针对不同层次的学生，布置不同的作业。
2.作业内容可以是课后习题，也可以是相关实际问题的解答。
五、教学反思：本教学设计通过引入实际问题的例子，结合理论知识进行讲解，加深学生对函数极值和导数的理解。
通过练习题和实际问题的解答，锻炼学生求解函数极值问题的能力和运用能力。
引导学生思考函数极值问题的实际应用，提高学生的综合素养和数学建模能力。
同时，通过让学生分组讨论和同伴交流，培养学生的合作学习能力和解决问题的能力。
函数的极值教学设计
《函数的极值》教学设计单位：武屯中学姓名：王莉时间：2014 年 4 月 28 日3.1.2函数的极值一、背景分析1.教材分析本节课是选修2-2 教材中导数应用的第二节，通过第一节利用导数判断函数的单调性的学习，学生已经了解了导数在函数中的初步应用，为了培养学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力，本节课将继续学习如何应用导数知识解决较复杂函数的单调性和极值问题，让学生在了解极值点、极值的概念和取得极值的条件，并在此基础上重点学会如何求函数的极值。
是上节内容的延续和深化，为下节利用导数知识求函数的最值做了铺垫，在本章起着承上启下的作用。
2、学情分析高二学生正处于从感性思维过渡到理性思维的阶段，并由此向逻辑思维发展，思维不成熟、不严密、意志力薄弱，故而整个教学环节总是创设恰当的问题情境，引导学生积极思考，培养他们的逻辑思维能力。
使之正确掌握取得极值的条件，灵活应用导数去解决有关函数极值方面的问题，并逐步养成用数形结合的思想方法去分析和解决问题的习惯，此为本节课的难点所在。
二、目标分析 ----知识、能力、情感目标（1）知识与技能：了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与其导数的关系，并会灵活应用；了解可导函数在某点取得极值的（导数在极值点两侧异号）；（2）过程与方法：通过对具体问题的观察、分析来增强学生数形结合的思维意识，提高学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力，及灵活运用类比、归纳、化归等数学方法的能力。
（3）情感态度与价值观：通过设立问题情境，激发学生的学习动机和好奇心理，使其主动参与交流活动。
通过对问题的提出、思考、解决培养学生自信、自立、自强的优良心理品质。
通过教师对例题的讲解培养学生良好的学习习惯及科学的学习态度。
教学重点：利用导数求函数的极值；教学难点 : 函数极值点的判断和求解.三、教学环节（一）回忆旧知，引入新课（二）观察对比，归纳特征（三）对比抽象，重新定义（四）例题讲解，巩固新知（五）练习反馈，巩固提高（六）学生讨论，引导小结（七）布置作业，强化落实四、过程分析教学环节教学活动设计意图（一）回顾：如何利用导数研究函数单调性？从学生现回忆旧知巩固：有的经验与认引入新课已知 y f x 的图像，画出 y f x 的草识出发，激发图？学生学习新知识的积极性，符合学生的认知规律。
高中数学函数极值点教案
高中数学函数极值点教案一、教学目标：1. 理解函数极值点的定义和判定方法。
2. 掌握求解函数极值点的步骤和方法。
3. 能够应用所学知识解决实际问题。
二、教学重点和难点：1. 函数极值点的判定方法和求解步骤。
2. 实际问题中如何利用函数极值点进行分析和求解。
三、教学内容：1. 函数极值点的定义和判定方法。
2. 求解函数极值点的步骤和方法。
四、教学准备：1. 教材《高中数学》相关章节内容。
2. 教学课件和实例题目。
3. 学生练习题和解析。
五、教学流程：1. 引入：通过展示一个简单的函数图像，引导学生思考什么是函数的极值点，为什么要研究函数的极值点。
2. 概念讲解：介绍函数极值点的定义，极大值点和极小值点的概念，以及如何通过导数来判定函数的极值点。
3. 求解方法：讲解如何通过求导数和解方程的方法来求解函数的极值点，并通过具体的例题进行讲解和演示。
4. 实例分析：通过几道实际问题来演示如何利用函数的极值点来解决实际问题，引导学生理解函数极值点在实际中的应用。
5. 练习操练：让学生进行一定数量的练习题目，巩固所学知识和方法。
6. 总结提升：小结函数极值点的求解方法和应用，并展示一些拓展题目，引导学生进一步思考和学习。
六、课后作业：1. 完成课堂练习题目。
2. 自选若干道拓展题目进行尝试解答。
3. 阅读教材相关章节内容，复习和巩固所学知识。
七、教学反思：通过本节课程的教学，学生应能够正确理解函数的极值点概念和判定方法，掌握求解函数极值点的步骤和方法，能够灵活运用所学知识解决实际问题。
在教学过程中，要注重引导学生思考和讨论，激发学生学习兴趣，提高学生的学习效果。
《函数的极值与导数》教案完美版
《函数的极值与导数》教案完美版第一章：极值的概念与性质1.1 极值的定义引入极值的概念，解释函数在某一点的局部性质。
通过图形和实例直观展示极值的存在。
1.2 极值的判定条件介绍函数的导数与极值的关系，讲解导数为零的必要性和充分性。
分析导数为正和导数为负时函数的单调性，得出极值的判定条件。
1.3 极值的判定定理介绍罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理在极值判定中的应用。
证明极值的判定定理，并通过实例进行验证。
第二章：导数与函数的单调性2.1 导数的定义与计算引入导数的概念，解释导数表示函数在某一点的瞬时变化率。
讲解导数的计算规则，包括常数函数、幂函数、指数函数和三角函数的导数。
2.2 导数与函数的单调性分析导数正负与函数单调性的关系，得出单调递增和单调递减的定义。
通过实例和图形展示导数与函数单调性的联系。
2.3 单调性的应用讲解利用单调性解决函数极值问题的方法。
分析函数的单调区间和极值点，得出函数的单调性对极值的影响。
第三章：函数的极值点与导数3.1 极值点的定义与判定引入极值点的概念，解释极值点是函数导数为零或不存在的点。
讲解极值点的判定方法，包括导数为零和导数不存在的条件。
3.2 极值点的求解方法介绍求解极值点的方法，包括解析法和数值法。
讲解如何利用导数和图形求解函数的极值点。
3.3 极值点的应用分析极值点在实际问题中的应用，如最优化问题。
举例说明如何利用极值点解决实际问题。
第四章：函数的拐点与导数4.1 拐点的定义与判定引入拐点的概念，解释拐点是函数导数由正变负或由负变正的点。
讲解拐点的判定方法，包括导数的正负变化和二阶导数的符号。
4.2 拐点的求解方法介绍求解拐点的方法，包括解析法和数值法。
讲解如何利用导数和图形求解函数的拐点。
4.3 拐点的应用分析拐点在实际问题中的应用，如曲线拟合和物体的运动。
举例说明如何利用拐点解决实际问题。
第五章：函数的极值与图像5.1 极值与函数图像的关系分析极值点在函数图像中的位置和特征。
全国青年教师素养大赛一等奖函数的极值
f ' x2 0
f (x)<0
f (x)<0f ( x1 ) 0
O a x1
f (x)>0
x2 b x
已知函数f(x)在点x0处是连续的，且 f (x0)=0则
1、如果在x0附近的左侧 f ( x) 0 ，右侧f ( x) 0 ， 则f (x0)是极大值；
2、如果在x0附近的左侧 f ( x) 0 ，右侧 f ( x) 0，则f (x0)是极小值；
四、深入探讨——提高认识
若 x0 是可导函数 f x 的极值点
？
f ' x0 0
探究：
X=0是否为函数 y x 的极值点？为什么？
3
f ( x) x 在x=0左右两侧，导函数的正负
3
没有发生变化。X=0不是极值点。
f ' x0 0
x0 两侧导数异号
x0为可导函数 f x 的极值点
(一)、复习引入——形成概念
1、复习：利用导数求函数单调区间的步骤（口述）
观察右图 函数图像，请说出函数的单调区间
2、引入：右图为函数 y f ( x)的 图象, 请比较函数在X=0的函数值 与它附近所有各点的函数值的大小 关系，函数在X=2的函数值与它附 近所有各点的函数值的大小。
0 y
y f ( x)
3、利用导数求极值的方法和步骤。
思维拓展：
函数y=|x|是否有极值？若有极值，则极值 点是否可导?
八、布置作业： 教材习题3-1 A组 第1,2题
选做： 已知函数当 f ( x) ax bx ， 当 x=1时取极大值3，求a、b的值及这个函数 的极小值。
3 2
六、课堂练习：
数学教案导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用
数学教案-导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用教案章节：一、函数的极值概念与判定1. 学习目标：理解函数极值的概念，掌握函数极值的判定方法。
2. 教学内容：介绍函数极值的定义，分析函数极值的判定条件，举例说明函数极值的判定方法。
3. 教学过程：(1) 引入函数极值的概念，解释函数在某一点取得最大值或最小值的意义。
(2) 讲解函数极值的判定条件，如导数为零或不存在，以及函数在该点附近的单调性变化。
(3) 举例说明函数极值的判定方法，如通过导数的正负变化来判断函数的增减性。
二、函数的最值问题1. 学习目标：理解函数最值的概念，掌握函数最值的求解方法。
2. 教学内容：介绍函数最值的概念，分析函数最值的求解方法，举例说明函数最值的求解过程。
3. 教学过程：(1) 引入函数最值的概念，解释函数在整个定义域内取得最大值或最小值的意义。
(2) 讲解函数最值的求解方法，如通过导数的研究来确定函数的极值点，进而求得最值。
(3) 举例说明函数最值的求解过程，如给定一个函数，求其在定义域内的最大值和最小值。
三、导数的综合运用1. 学习目标：掌握导数的综合运用方法，能够运用导数解决实际问题。
2. 教学内容：介绍导数的综合运用方法，分析导数在实际问题中的应用，举例说明导数的综合运用过程。
3. 教学过程：(1) 讲解导数的综合运用方法，如通过导数研究函数的单调性、极值、最值等。
(2) 分析导数在实际问题中的应用，如优化问题、速度与加速度的关系等。
(3) 举例说明导数的综合运用过程，如给定一个实际问题，运用导数来解决问题。
四、实例分析与练习1. 学习目标：通过实例分析与练习，巩固函数极值与最值的求解方法，提高导数的综合运用能力。
2. 教学内容：分析实例问题，运用函数极值与最值的求解方法，进行导数的综合运用练习。
3. 教学过程：(1) 分析实例问题，引导学生运用函数极值与最值的求解方法来解决问题。
(2) 进行导数的综合运用练习，让学生通过实际问题来运用导数，巩固所学知识。
函数的极值与导数(教案
函数的极值与导数第一章：函数极值概念的引入1.1 教学目标让学生了解极值的概念，理解极大值和极小值的区别。
学会通过图像来观察函数的极值。
掌握利用导数求函数极值的方法。
1.2 教学内容函数极值的定义利用图像观察函数极值利用导数求函数极值1.3 教学步骤1. 引入极值的概念，让学生通过具体的例子来理解极大值和极小值。
2. 通过图像来观察函数的极值，引导学生学会从图像中找出极大值和极小值。
3. 讲解利用导数求函数极值的方法，让学生通过例题来掌握这个方法。
1.4 作业布置f(x) = x^3 3x^2 + 3x 1g(x) = x^2 4x + 4第二章：函数的单调性2.1 教学目标让学生理解函数单调性的概念，学会判断函数的单调性。
掌握利用导数来判断函数的单调性。
2.2 教学内容函数单调性的定义利用导数判断函数单调性2.3 教学步骤1. 引入函数单调性的概念，让学生通过具体的例子来理解函数单调性。
2. 讲解利用导数来判断函数单调性的方法，让学生通过例题来掌握这个方法。
2.4 作业布置h(x) = x^3 3xk(x) = x^2 4x + 3第三章：函数的极值定理3.1 教学目标让学生了解函数的极值定理，学会应用极值定理来解决问题。
3.2 教学内容函数的极值定理3.3 教学步骤1. 讲解函数的极值定理，让学生理解极值定理的意义。
2. 通过例题让学生学会应用极值定理来解决问题。
3.4 作业布置求函数f(x) = x^3 3x^2 + 3x 1 的极大值和极小值。
第四章：函数的拐点4.1 教学目标让学生了解拐点的概念，学会通过导数来找函数的拐点。
4.2 教学内容拐点的定义利用导数找拐点4.3 教学步骤1. 引入拐点的概念，让学生通过具体的例子来理解拐点。
2. 讲解利用导数来找拐点的方法，让学生通过例题来掌握这个方法。
4.4 作业布置m(x) = x^3 3xn(x) = x^2 4x + 4第五章：函数的单调性与极值的应用5.1 教学目标让学生学会运用函数的单调性和极值来解决实际问题。
函数的极值教学设计
《函数的极值》教学设计1.2《函数的极值》教学设计龙南中学李小珍教村分析：本节内容出自北师大版普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2第三章《导数应用》1.2函数的极值。
本节课是导数应用中的第二节，已经了解了导数的一点用途，思想中已有一点运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力，本节课将继续加强这方面的能力，而且还有函数的最值问题，因此本节课还要起到承上启下的作用。
教学目标（1）知识技能目标：1、了解函数极值的概念，会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强学生数形结合的思维意识；2、掌握求可导函数的极值的一般方法；了解函数极值点与f﹐(X)=0的逻辑关系；提高学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力。
（2）过程与方法目标：1、通过图象的观察，从函数的单调性与导数值的变化，让学生感受极值的特点，进而分析并总结如何判断极值2、培养学生观察分析探究归纳得出数学概念和规律的学习能力。
（3）情感与态度目标：1、培养学生爱国精神，面对挫折不言放弃的决心。
2、体会渗透在数学中的局部与整体的关系。
3、感受数学建模的意义及数形结合思想的应用。
教学重点和难点重点：理解函数极值的定义，掌握求可导函数的极值的一般方法。
难点：函数极值与相关概念的关系辨析及利用导数判断函数的极值。
教学方法与教学手段1、师生互动探究式教学，遵循教师为主导、学生为主体的原则，从感性认识到理想感知，结合高中学生的求知心理和已有的认知水平开展教学。
2、运用多媒体课件、视频、电子白板等教学手段，直观地向学生展示极值的相关问题的探究。
教学过程设计：一、创设情景，引入新课1、简单回顾函数单调性与导数的关系。
2、新课引入，观看高台跳水视频激发学生爱国热情，体会数学建模在现实生活中的作用，引导学生热爱数学，学习数学。
3、探究活动建立二次函数数学模型，分析运动员在最高点的情况。
（1）运动员在最高点的瞬时速度是多少？（2）在最高点的左侧和右侧函数单调性如何变化？与函数的导数有什么关系？二、新课讲解1、函数极值定义：教师根据函数图像，直观说明极值的定义。
《函数的极值与导数》教案完美版
《函数的极值与导数》教案完美版第一章：极值的概念与定义1.1 极值的概念引入极值的概念，让学生了解函数在某一点取得局部最值的含义。
通过图像和实际例子来说明极值的存在和重要性。
1.2 极值的定义介绍极值的定义，包括局部极值和全局极值。
解释极值的必要条件和充分条件。
第二章：导数与极值的关系2.1 导数的定义与性质复习导数的定义和基本性质，包括导数的符号变化与函数单调性的关系。
2.2 导数与极值的关系引入导数与极值的关系，讲解导数为零的点可能是极值点的原理。
通过实例来说明导数在判断极值中的作用。
第三章：一元函数的极值判定3.1 判定极值的存在性介绍判定极值存在性的方法，包括罗尔定理和拉格朗日中值定理。
3.2 判定极值的具体方法讲解利用导数符号变化判断极值的方法，包括导数单调性和零点存在性定理。
第四章：多元函数的极值4.1 多元函数极值的概念引入多元函数极值的概念，让学生了解多元函数在不同维度上的极值问题。
4.2 多元函数极值的判定讲解多元函数极值的判定方法，包括拉格朗日乘数法和海森矩阵。
第五章：实际应用中的极值问题5.1 应用背景介绍通过实际例子介绍极值在各个领域中的应用，如优化问题、物理学、经济学等。
5.2 实际应用案例分析分析具体案例，让学生了解如何运用极值理论和方法解决问题。
第六章：利用极值解决实际问题6.1 优化问题概述介绍优化问题的概念，解释最小值和最大值在优化问题中的作用。
举例说明优化问题在工程、经济等领域的应用。
6.2 利用极值解决优化问题讲解如何利用函数的极值解决优化问题，包括确定最优解的方法和步骤。
通过实际案例分析，让学生掌握优化问题的解决技巧。
第七章：函数极值的存在性定理7.1 拉格朗日中值定理复习拉格朗日中值定理的内容，解释其在函数极值存在性判断中的应用。
利用拉格朗日中值定理证明函数极值的存在性。
7.2 罗尔定理与极值存在性讲解罗尔定理的内容及其在函数极值存在性判断中的应用。
结合罗尔定理和拉格朗日中值定理，证明函数极值的存在性。
函数的极值问题 教学设计
函数的极值问题教学设计概述本教学设计旨在帮助学生理解和解决函数的极值问题。
通过本课程，学生将研究如何找到函数的最大值和最小值，并应用这些知识解决实际问题。
本教学设计适用于高中或大学的数学课程。
目标通过本课程，学生将能够：- 理解函数的极值概念；- 学会使用导数方法找到函数的最大值和最小值；- 掌握应用函数的极值解决实际问题。
教学内容1. 函数的极值概念介绍- 通过实例引入函数的极值概念；- 解释什么是最大值和最小值；- 引导学生思考为什么找到函数的极值很重要。
2. 寻找函数的最大值和最小值- 介绍如何使用导数方法找到函数的极值；- 解释找到极值的步骤；- 提供实例进行练。
3. 应用函数的极值解决实际问题- 引导学生思考函数的极值在实际问题中的应用；- 通过实例演示如何应用函数的极值解决实际问题；- 提供练题让学生巩固应用能力。
教学方法- 讲授：通过讲解理论知识，引导学生理解和掌握函数的极值概念和寻找极值的方法。
- 实例演示：通过实际问题的例子，展示如何应用函数的极值解决问题。
- 练：提供练题和问题让学生运用所学知识进行实践。
教学评估- 练题：设计一些练题，检验学生对函数极值的理解和应用能力。
- 应用题：提供一些实际问题，让学生运用函数的极值进行解决。
参考资料- 高等数学教材- 数学教学相关网站和资源结论通过本教学设计，学生将能够全面理解和解决函数的极值问题。
他们将学会使用导数方法找到函数的最大值和最小值，并能够应用这些知识解决实际问题。
这将为他们的数学学习和实际应用提供良好的基础。
2022年 《学案5.3.2函数的极值与最大小值》优秀教案
函数的极值与最大小值第1课时函数的极值与导数1．极值点与极值1极小值点与极小值假设函数＝f 在点＝a的函数值f a比它在点＝a附近其他点的函数值都小，f ′a＝0，而且在点＝a附近的左侧f ′＜0，右侧f ′＞0，就把点a叫做函数＝f 的极小值点，f a叫做函数＝f 的极小值．2极大值点与极大值假设函数＝f 在点＝b的函数值f b比它在点＝b附近其他点的函数值都大，f ′b＝0，而且在点＝b附近的左侧f ′＞0，右侧f ′＜0，就把点b叫做函数＝f 的极大值点，f b叫做函数＝f 的极大值．3极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．思考：导数为0的点一定是极值点吗？[提示]不一定，如f ＝3，f ′0＝0，但＝0不是f ＝3的极值点．所以，当f ′0＝0时，要判断＝0是否为f 的极值点，还要看f ′在0两侧的符号是否相反．2．求可导函数＝f 的极值的方法解方程f ′＝0，当f ′0＝0时：1如果在0附近的左侧f ′＞0，右侧f ′＜0，那么f 0是极大值；2如果在0附近的左侧f ′＜0，右侧f ′＞0，那么f 0是极小值．1．判断正误正确的打“√〞，错误的打“×〞1极大值一定比极小值大．2每一个函数都至少有一个极大值或极小值．3假设f ′0＝0，那么0一定是极值点．4单调函数不存在极值．[提示]1极大值不一定比极小值大，∴1错误；2有的函数可能没有极值．∴2错；3假设f ′0＝0，只有导函数的变号零点，0才是极值点，故3错误；4正确．[答案]1×2×3×4√2．函数f 的定义域为R，导函数f ′的图象如下图，那么函数fA．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点C[设＝f ′的图象与轴的交点从左到右横坐标依次为1，2，3，4，那么f 在＝1，＝3处取得极大值，在＝2，＝4处取得极小值．]3．多项选择题以下四个函数中，在＝0处取得极值的函数是A．＝3B．＝2＋1C．＝|| D．＝2BC[对于A，′＝32≥0，∴＝3单调递增，无极值；对于B，′＝2，＞0时′＞0，＜0时′＜0，∴＝0为极值点；对于C，根据图象，在0，＋∞上单调递增，在－∞，0上单调递减，∴C符合；对于D，＝2单调递增，无极值．应选BC]4．函数f ＝＋2co 在错误!上的极大值点为A．0B．错误!C．错误!D．错误!B[f ′＝1－2in ．令f ′＝0，∵∈错误!，∴＝错误!，∈错误!时f ′＜0，∈错误!时，f ′＞0∴＝错误!是f 在错误!上的极大值点．]不含参数的函数求极值【例1】求以下函数的极值：1＝3－32－9＋5；2＝3－52[解]1∵′＝32－6－9，令′＝0，即32－6－9＝0，解得1＝－1，2＝3当变化时，′，的变化情况如下表：－∞，－1－1－1，333，＋∞′＋0－0＋↗极大值↘极小值↗∴当＝－1时，函数＝f 有极大值，且f －1＝10；当＝3时，函数＝f 有极小值，且f 3＝－222′＝32－52＋23－5＝52－3－5．令′＝0，即52－3－5＝0，解得1＝0，2＝3，3＝变化时，′与的变化情况如下表：－∞，000，333，555，＋∞′＋0＋0－0＋↗无极值↗极大值108↘极小值0↗∴＝0不是的极值点；＝3是的极大值点，极大值＝f 3＝108；＝5是的极小值点，极小值＝f 5＝0一般地，求函数＝f的极值的步骤1求出函数的定义域及导数f′；2解方程f′＝0，得方程的根0可能不止一个；3用方程f′＝0的根，顺次将函数的定义域分成假设干个开区间，可将，f′，f 在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；4由f′在各个开区间内的符号，判断f在f′＝0的各个根处的极值情况：如果左正右负，那么函数f在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数f在这个根处取得极小值；如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点[跟进训练]1．求函数f ＝33－3＋1的极值．[解] f ′＝92－3，令f ′＝0，得1＝－错误!，2＝错误!当变化时，f ′，f 的变化情况如下表：错误!－错误!错误!错误!错误!f ′＋0－0＋f ↗极大值↘极小值↗1错误!3错误!错误!＝错误!为函数f ＝33－3＋1的极小值点，极小值为f 错误!＝1－错误!2含参数的函数求极值[思路探究]错误!―→错误!―→错误!―→错误![解]∵f ＝163－2021＋8a2－a3，其中a≠0，∴f ′＝482－40a＋8a2＝862－5a＋a2＝82－a3－a，令f ′＝0，得1＝错误!，2＝错误!①当a＞0时，错误!＜错误!，那么随着的变化，f ′，f 的变化情况如下表：错误!错误!错误!错误!错误!f ′＋0－0＋f ↗极大值↘极小值↗错误!错误!错误!当＝错误!时，函数f 取得极小值，为f 错误!＝0②当a＜0时，错误!＜错误!，那么随着的变化，f ′，f 的变化情况如下表：错误!错误!错误!错误!错误!f ′＋0－0＋f ↗极大值↘极小值↗∴当＝错误!时，函数f 取得极大值，为f 错误!＝0；当＝错误!时，函数f 取得极小值，为f 错误!＝错误!综上，当a＞0时，函数f 在＝错误!处取得极大值错误!，在＝错误!处取得极小值0；当a＜0时，函数f 在＝错误!处取得极大值0，在＝错误!处取得极小值错误!函数极值的注意点1求函数的极值需严格按照求函数极值的步骤进行，重点考虑两个问题：一是函数的定义域，注意判断使导数值为0的点是否在定义域内，如果不在定义域内，需要舍去；二是检查导数值为0的点的左右两侧的导数值是否异号，假设异号，那么该点是极值点，否那么不是极值点2求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想才能解决问题讨论的依据有两种：一是看参数是否对f′的零点有影响，假设有影响，那么需要分类讨论；二是看f′在其零点附近的符号确实定是否与参数有关，假设有关，那么需要分类讨论[跟进训练]2．假设函数f ＝－a n a∈R，求函数f 的极值．[解]函数f 的定义域为0，＋∞，f ′＝1－错误!＝错误!1当a≤0时，f ′＞0，函数f 在0，＋∞上单调递增，函数f 无极值．2当a＞0时，令f ′＝0，解得＝a当0＜＜a时，f ′＜0；当＞a时，f ′＞0∴f 在＝a处取得极小值，且f a＝a－a n a，无极大值．综上可知，当a≤0时，函数f 无极值；当a＞0时，函数f 在＝a处取得极小值a－a n a，无极大值．由极值求参数的值或取值范围A．4或－3B．4或－11C．4 D．－32假设函数f ＝错误!2＋a－1－a n 没有极值，那么A．a＝－1 B．a≥0C．a＜－1 D．－1＜a＜0[思路探究]1由f ′1＝0且f 1＝，b，注意检验极值的存在条件．2求导分解因式主要对参数分类讨论．按根的大小1C2A[1∵f ＝3＋a2＋b＋a2，∴f ′＝32＋2a＋b由题意得得即错误!解得错误!，或错误!当错误!，时，f ′＝32－6＋3＝3－12≥0，故函数f 单调递增，无极值，不符合题意．∴a＝2f ′＝－1错误!，＞0，当a≥0时，错误!＋1＞0，令f ′＜0，得0＜＜1；令f ′＞0，得＞在＝1处取极小值．当a＜0时，方程错误!＋1＝0必有一个正数解＝－a，①假设a＝－1，此正数解为＝1，此时f ′＝错误!≥0，f 在0，＋∞上单调递增，无极值．②假设a≠－1，此正数解为≠1，f ′＝0必有2个不同的正数解，f 存在2个极值．综上，a＝－]函数极值求参数的方法对于可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号1可导函数的极值求参数问题的解题步骤：①求函数的导数f′；②由极值点的导数值为0，列出方程组，求解参数注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件2对于函数无极值的问题，往往转化为f′≥0或f′≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立[跟进训练]3．假设＝2是函数f ＝－m2的极大值点，求函数f 的极大值．[解]∵f ′＝－m3－m，且f ′2＝0，∴m－2m－6＝0，即m＝2或m＝61当m＝2时，f ′＝－23－2，由f ′＞0得＜错误!或＞2；由f ′＜0得错误!＜＜2∴＝2是f 的极小值点，不合题意，故m＝2舍去．2当m＝6时，f ′＝－63－6，由f ′＞0得＜2或＞6；由f ′＜0得2＜＜6∴＝2是f 的极大值，∴f 2＝2×2－62＝32即函数f 的极大值为321．如何画出函数f ＝23－32－36＋16的大致图象．[提示] f ′＝62－6－36＝62－－6＝6－3＋2．由f ′＞0得＜－2或＞3，∴函数f 的递增区间是－∞，－2和3，＋∞．由f ′＜0得－2＜＜3，∴函数f 的递减区间是－2，3．由得f －2＝60，f 3＝－65，f 0＝16∴结合函数单调性及以上关键点画出函数f 大致图象如下图．2．当a变化时，方程23－32－36 ＋16＝a有几解？[提示]方程23－32－36＋16＝a解的个数问题可转化为函数＝a与＝23－32－36＋16的图象有几个交点的问题，结合探究点1可知：1当a＞60或a＜－65时，方程23－32－36＋16＝a有且只有一解；2当a＝60或a＝－65时，方程23－32－36＋16＝a有两解；3当－65＜a＜60时，方程23－32－36＋16＝a有三解．【例4】函数f ＝3－3＋aa为实数，假设方程f ＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围．[思路探究]求出函数的极值，要使f ＝0有三个不同实根，那么应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a的取值范围．[解]令f ′＝32－3＝3＋1－1＝0，解得1＝－1，2＝1当0；当－11时，f ′>0所以当＝－1时，f 有极大值f －1＝2＋a；当＝1时，f 有极小值f 1＝－2＋a因为方程f ＝0有三个不同实根，所以＝f 的图象与轴有三个交点，如图．由应有错误!解得－2<a<2，故实数a的取值范围是－2，2．1．改变条件本例中，假设方程f ＝0恰有两个根，那么实数a的值如何求解？[解]由例题知，函数的极大值f －1＝2＋a，极小值f 1＝－2＋a，假设f ＝0恰有两个根，那么有2＋a＝0，或－2＋a＝0，所以a＝－2或a＝22．改变条件本例中，假设方程f ＝0有且只有一个实根，求实数a的范围．[解]由例题可知，要使方程f ＝0有且只有一个实根，只需2＋a＜0或－2＋a＞0，即a＜－2或a＞23．变条件、变结论讨论方程错误!＝a的根的情况．[解]令f ＝错误!，那么定义域为0，＋∞，f ′＝错误!令f ′＝0，得＝e当变化时，f ′与f 的变化情况如下表：因此，＝e是函数f 的极大值点，极大值为f e＝错误!，函数f 没有极小值点．其图象如图．∴当0＜a＜错误!时，错误!＝a有两个不同的根；当a＝错误!或a≤0时，错误!＝a只有一个根；当a＞错误!时，错误!＝a没有实数根．利用导数求函数零点的个数1利用导数可以判断函数的单调性；2研究函数的极值情况；3在上述研究的根底上突出函数的大致图象；4直观上判断函数的图象与轴的交点或两个图象的交点的个数假设含有参数，那么需要讨论极值的正负1．假设函数＝f 在区间a，b内有极值，那么＝f 在a，b内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．2．函数的极值情况，逆向应用确定函数的解析式，研究函数性质时，需注意两点：1常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．2因为函数在一点的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证极值点的合理性．3．函数零点方程根的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：1直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；2别离参数法，先将参数别离，转化成求函数值域问题加以解决；3数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数＝g，＝h的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为＝a，＝g的图象的交点个数问题．1．函数f 的定义域为R，它的导函数＝f ′的局部图象如下图，那么下面结论错误的选项是A．在1，2上函数f 为增函数B．在3，4上函数f 为减函数C．在1，3上函数f 有极大值D．＝3是函数f 在区间[1，5]上的极小值点D[由题图可知，当1＜＜2时，f ′＞0，当2＜＜4时，f ′＜0，当4＜＜5时，f ′＞0，∴＝2是函数f 的极大值点，＝4是函数f 的极小值点，故A，B，C正确，D错误．]2．设函数f ＝e，那么A．＝1为f 的极大值点B．＝1为f 的极小值点C．＝－1为f 的极大值点D．＝－1为f 的极小值点D[令f ′＝e＋·e＝1＋e＝0，得＝－＜－1时，f ′＜0；当＞－1时，f ′＞＝－1时，f 取得极小值．]3．函数f ＝3＋3a2＋3a＋2＋1既有极大值又有极小值，那么实数a的取值范围是________．－∞，－1∪2，＋∞[f ′＝32＋6a＋3a＋2，∵函数f 既有极大值又有极小值，∴方程f ′＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝36a2－36a＋2＞0，即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1]4．函数f ＝2e f ′en －错误!，那么函数f 的极大值为________．2n 2[f ′＝错误!－错误!，故f ′e＝错误!－错误!，解得f ′e＝错误!，所以f ＝2n －错误!，f ′＝错误!－错误!由f ′＞0得0＜＜2e，f ′＜0得＞在0，2e单调递增，在2e，＋∞单调递减，故f 的极大值为f 2e＝2n 2e－2＝2n 2]。
函数的极值教学设计教案
函数的极值教学设计教案
课题：函数的极值
一、课前准备
1. 教学目标
（1）掌握函数的极大值和极小值的概念；
（2）学会利用数学原理及算法求函数的极值；
2. 教学媒体准备
多媒体投影仪。
二、课堂活动
1. 介绍
（1）向学生介绍本节课的内容，即求函数的极值；
（2）让学生回答一些基本的问题，以检查他们对极大值和极小值的概念的理解程度，如：a. 极大值有什么特点；b. 极小值有什么特点；c. 极大值和极小值的应用；等等。
（2）讲解解极值的性质，如极值的存在条件、极大值与极小值的关系等；
（3）分别讨论一元函数与二元函数的极值，如关于一元函数求极值时函数与一阶导
数的关系，以及关于二元函数求极值时函数与二阶导数的关系；
（4）引出Kuhn-Tucker条件，推广函数极值问题，从而引出相关的实例和应用；
3. 求函数的极值
（1）利用对偶形式解决有约束的函数极值问题；
（2）利用搜索方法，如穷举法、梯度下降法、牛顿法等，求函数的极值；
（5）给出练习题，让学生利用所学的概念进行求解，并组织学生练习。
三、课后巩固
留出半课的时间让学生复习本节课所学的内容，教师设置一些考核题，贴近实际，鼓
励学生发挥想象力，提出一些新题，将所学知识付诸实践，巩固学生在本节课内容上的知
识点。
《函数的极值》教学设计-【名师经典教学设计课件】
追求卓越普通高中课程标准实验教科书（选修2-2）《函数的极值》教学设计超越自我·争创辉煌3．1．2函数的极值一、教材分析：本课取自普通高中课程标准实验教科书数学（选修2-2·北京师范大学出版社）第三章《导数的应用》第一节、第2课时《函数的极值》，所需课时为1课时。
1.地位和作用本节内容是导数在研究函数性质方面的应用的继续深入，它是上一节的继续并为下节做准备，是本章的重要知识点，也是导数应用的关键知识点，通过对函数极值的判定，可使学生加深对函数单调性与其导数关系的理解；掌握了函数极值的判别方法，就为学生下一节学习函数最大、最小值的判定铺平了道路。
2.教学目标（1)认知目标：①能发现函数)(x f 在0x x 处的函数与其附近点的函数值的关系；②能说出函数)(x f 在0x x =处的导数值；③能发现函数)(x f 在0x x =处的左右的导数值的特征.（2）能力目标：①能从几何直观理解函数的极值与其导数的关系，并会灵活应用； ②会正确判断极值点附近的导数值的正负号；③能正确的求出极值.（3）德育目标：①提高学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力；②渗透数形结合的数学思想。
③算法思想的应用3.教学重点、难点重点:正确理解函数极值的概念，学会用导数判别函数极值的方法，并能灵活应用。
难点:灵活应用导数去解决有关函数极值方面的问题，渗透用数形结合的思想方法去分析和解决问题。
二、教法：启发、探究、合作式三、学法：数形结合法，归纳总结法，化归法四、教具：课件，投影仪，直尺五、教学过程：（一）情景导入（投影出一幅山脉图片）观察图片并动态演示人物登山的过程.让学生观察登山过程中人从P 到Q 再到R 的图像变化趋势、及P 、Q 、R 的位置特点.PRQ由此引出课题（板书）设计意图：让学生从生活中发现数学、发现生活中所蕴含的数学知识，激发学生的求知欲望。
（二）、新课探究1、阅读活动阅读课本第59页的内容并思考以下问题：(1)极值是否为函数的最值?(2)极值点能为区间端点吗?（3极大值比极小值大吗?(4)在区间上的单调函数是否有极值?设计意图：通过对教材的阅读让学生带着问题去思考、去理解概念、去体会、去领悟。
数学课教案求函数的极值
数学课教案求函数的极值教案：求函数的极值问题引言：函数的极值问题是数学中非常重要的一个概念，在实际应用中具有广泛的应用。
学生在学习这个问题时可能会遇到一些困难，因此本节课将通过一些实例来帮助学生理解极大值和极小值的定义、求解方法与应用，使学生能够熟练应用求函数的极值。
一、理论讲解1. 极大值和极小值的概念- 定义：函数 f(x) 在某一区间上的一点 x0，若存在一个邻域使得对于任何与 x0 在该邻域内的点 x，都有f(x0) ≥ f(x)，则称 f(x0) 是函数在该区间上的极大值；类似地，若f(x0) ≤ f(x)，则称 f(x0) 是函数在该区间上的极小值。
- 说明：函数极值的定义可以帮助学生理解极值的基本概念，引导学生思考极值与函数图像的关系。
2. 求解函数的极值- 定理：若函数 f(x) 在一点 x0 处可导，且在该点的左右两侧导数符号相反，即 f'(x0-) * f'(x0+) < 0，则 f(x) 在 x0 处取得极值。
- 说明：该定理是求解函数极值的关键，可以通过具体的例子帮助学生理解和掌握求解函数极值的方法。
3. 求函数极值的步骤- 步骤一：求导数 f'(x)；- 步骤二：解 f'(x) = 0 方程，求出导数的零点；- 步骤三：根据零点及导数的符号，确定函数取得极大值或极小值的点；- 步骤四：代入原函数 f(x) 计算得到极值。
二、例题解析通过具体例题的解析，帮助学生掌握求解函数极值的方法。
例题一：求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 在区间 [-1, 3] 上的极值点及极值。
解析：1. 求导数 f'(x) = 3x^2 - 6x；2. 解方程 f'(x) = 0，得到 x = 0 或 x = 2；3. 根据导数的符号可知，当 x < 0 时，f'(x) < 0；当 0 < x < 2 时，f'(x) > 0；当 x > 2 时，f'(x) < 0；4. 代入原函数计算得到 f(-1) = 4，f(0) = 0，f(2) = -4，f(3) = 0；5. 综上，函数的极小值为 -4，对应的 x 值为 2。
《函数的最值》示范教学方案
《函数的最值》教学设计◆教学目标1．能从特殊到一般抽象出最大（小）值的定义，理解函数最大（小）值的定义，提升学生的数学抽象素养．2．能根据函数图象直观判断得出函数的最大（小）值，提升学生的直观想象素养．3．理解函数的最大（小）值与函数单调性的联系，对已经学习过的简单函数，能根据函数最大（小）值的定义求出其最大（小）值，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．◆教学重难点◆教学重点：能用函数图象和最大（小）值的定义得出函数的最大（小）值．教学难点：根据函数最大（小）值的定义求出其最大（小）值．◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、问题导入问题1：观察图1中的三个函数图象，你能发现它们的共同特征吗？图1师生活动：学生观察容易发现这三个图象都有最高点，老师顺势引出课题．预设的答案：图象的共同特征是它们都有最高点．设计意图：直接引出课题，形成对函数最大值的直观感受．引语：我们总是对函数图象中最高点格外关注，本节课我们就来一起学习与之相关的函数性质--单调性与最大（小）值．（板书：单调性与最大（小）值）设计意图：以具体的函数为例，借助图象直观感受函数的最大值的特征．同时将图形语言转化为函数语言，为后续定量刻画做准备．2．定量刻画函数的最大（小）值问题3：你能用符号语言刻画函数f(x)＝－x2＋1的最大值吗？师生活动：学生根据问题2的铺垫，可以总结出最大值的部分特征：∀x∈R，都有f(x)≤1．老师针对学生遗漏的部分再做启发和引导，最后强调1必须是值域中的元素．预设的答案：（1）∀x∈R，都有f(x)≤1；（2）1是值域中的元素，即存在自变量0，使得f(0)＝1．追问1：你能用符号语言刻画函数f(x)的最大值吗？师生活动：学生类比f(x)＝－x2＋1的例子进行尝试，老师完善．预设的答案：设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）∀x∈I，都有f(x)≤M；（2）∃x0∈I，使得f(x0)＝M．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．追问2：你能仿照最大值的定义，给出函数f(x)的最小值的定义吗？图3师生活动：学生在类比的过程中若有困难，老师可以举具体的例子加以引导直至学生完整地阐述．预设的答案：设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）∀x ∈I ，都有f (x )≥m ；（2）∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝m ．那么，我们称m 是函数y ＝f (x )的最小值．设计意图：问题3以学生熟悉的二次函数为素材，挖掘最大值的本质；追问1实现了从特殊到一般的跨越，抽象出最大值的概念；追问2是让学生学会用类比的方法获得最小值的概念．3．最大（小）值的应用例1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距底面的高度h （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的关系为h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18，那么烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距底面的高度是多少（精确到1m ）？师生活动：在处理应用题时，首先是从题目中抓取关键信息，即引导学生思考什么是“爆裂的最佳时刻”，学生带着问题阅读题目，确定爆裂的最佳时刻就是烟花轨迹最高点对应的时间，然后将实际问题转化为二次函数的最大值问题．接着，学生根据二次函数的相关知识就可以顺利解答．预设的答案：解：画出函数h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18的图象（图3）．显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度．由二次函数的知识，对于函数，我们有：当t ＝－14.72×(－4.9)＝1.5时，函数有最大值h ＝4×(－4.9)×18－14.724×(－4.9) ≈29． 于是，烟花冲出去1.5 s 是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29 m ．追问：你能说说计算烟花爆裂的最佳时刻的意义吗？（烟花设计者就可以根据这个数据设定引信的长度，以达到施放烟花的最佳效果．）设计意图：根据函数图象确定函数的最大值，提升学生的直观想象素养；体会函数模型可以用来刻画现实世界中的现象，从而借助函数性质就可以进行有效的规划和设计，感受学习函数的意义．例2已知函数f(x)＝2x－1(x ∈[2，6])，求函数的最大值和最小值．师生活动：学生极有可能直接将2，6代入解析式求值，并误以为求解了本题．老师通过问题的方式启发学生明确函数的最大值和最小值是整体性的性质，需要单调性作衬托才能凸显．追问1：有同学计算f（2）＝2，f（6）＝0.4，f（2）＞f（6），则最大值是2，最小值是0.4，你能说说这个做法有什么问题吗？（f（2）＞f（6），这个式子只说明x＝2时的函数值比x＝6时的函数值大，并不能说明它与区间(2，6)上的其它函数值的大小关系，没有验证最大值定义中的第一条．）追问2：为了解决上述解法中的问题，你认为应该借助函数的什么性质研究最大(小)值？（要说明f（2）与f(x)（∀x1，x2∈(2，6)）的大小关系，我们只要将两者作差判断符号即可．更一般地，对于∀x1，x2∈[2，6]，且x1＜x2，都可以判断f(x1)－f(x2)的符号，本质上就是先确当函数的单调性，弄清楚这个函数在区间[2，6]上的增减情况才能把握在哪里取到最大（小）值．）追问3：如何确定该函数的单调性？（图象法探路，先描点画图，然后用软件绘制函数f(x)＝2x－1(x∈[2，6])的图象（图4），可知函数f(x)＝2x－1在[2，6]上单调递减；再用单调性定义证明．）预设的答案：解：∀x1，x2∈[2，6]，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝2x1－1－2x2－1＝2[(x2－1)－(x1－1)](x1－1)(x2－1)＝2(x2－x1)](x1－1)(x2－1)．由2≤x1＜x2≤6，得x2－x1＞0，(x1－1)(x2－1)＞0，于是f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．所以，函数f(x)＝2x－1在区间[2，6]上单调递增．因此，函数f(x)＝2x－1在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值与最小值．在x＝2时取得最大值，最大值是2；在x＝6时取得最小值，最小值是0.4．图4设计意图：通过例2掌握根据函数最大（小）值的定义求解其最大（小）值的思路，培养学生数学表达的严谨性和书写过程的规范性，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．三、归纳小结，布置作业问题4：本节课我们主要学习了函数的最大（小）值，什么是函数的最大（小）值？你能说说求解函数的最大（小）值需要注意什么吗？师生活动：师生一起总结．预设的答案：概念略；因为是函数的整体性质，所以必须先确定函数在整个定义域上的单调性，才能求解最大（小）值．设计意图：通过梳理本节课的内容，让学生明确最值与单调性的联系．四、目标检测设计1．整个上午（8：00~12：00）天气越来越难，中午时分（12：00~13：00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多．暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18：00）才又开始转凉．画出这一天8：00~20：00期间气温作为时间函数的一个可能的图象（示意图），并说出所画函数的单调区间．设计意图：训练学生讲文字语言转化为图象语言的能力，考查单调性的定义．2．设函数f (x )的定义域为[－6，11]．如果f (x )在区间[－6，－2]上单调递减，在区间[－2，11]上单调递增，画出f (x )的一个大致的图象，从图象上可以发现f (－2)是函数f (x )的一个________．设计意图：考查最小值的定义．3．已知函数f (x )＝1x，求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值． 设计意图：考察用单调性定义求解函数的最大（小）值．参考答案：1．单调递增区间为[8，12]，[13，18]；单调递减区间为[12，13]，[18，20]．2．最小值．3．最大值是12，最小值是16，证明略． 第1题答案。
〖2021年整理〗《素养评价5.3.2函数的极值与最大小值》优秀教案9
十八函数的最大小值25分钟·50分一、选择题每小题5分,共2021多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分=3-6||e时,′0,所以极大值=fe=e-1,在定义域内只有一个极值,所以ma=e-132021·开封高二检测若函数f=2in ,则当∈[0,π]时,f的最大值为A 2B 3C 2 D【解析】选′=12co,当00,f单调递增;当1时,′>0,=1时,min=n 1=1>0,所以g′>0,所以g在0,∞上单调递增,故f=n 具有M性质;对于B,f=21,则g=ef=e21,g′=e212e=e12>0在实数集R上恒成立,所以g=ef在定义域R上是增函数,所以f=21具有M性质;对于C,f=in ,则g=ein ,g′=ein co =ein,显然g不单调;对于D,f=3,则g=ef=e3,g′=e33e2=e332=e23,当1,-1≤co ≤1,即f′>0所以f递增,于是f min=f0=1答案:1=e-,∈[0,2]的最大值是______【解析】f′=′==,当∈[0,1时,f′>0,f是增函数;当∈1,2]时,f′0,函数f单调递增,所以函数f的极小值为f2=e2-2e2=-e2,无极大值2f′=e-a,①当a≤0时,f′>0恒成立,即函数f在[0,1]上单调递增,所以函数f在[0,1]上的最小值为f0=1;②当a>0时,令f′=0得到=n a,若n a≤0,即00,即函数f在[0,n a上单调递减,在n a,1]上单调递增,所以函数f在[0,1]上的最小值为fn a=a-an a,综上所述,当a≤1时,函数f在[0,1]上的最小值为1;当10,函数f单调递增,且f0=2,画出函数f的大致图象,如图所示:所以函数f的最小值为2,故2错误,3正确,4错误35分2021·南通高二检测函数f=-in ,∈[0,π]的最小值为________【解析】f′=-co ,所以∈时,f′0,f单调递增;所以f min=f=-答案:-45分2021·南京高二检测函数f=的最小值为________【解析】f′====,由f′=0可得co =2in ,即tan =,又因为00时,若f在区间上的最小值为-2,求a的取值范围【解析】1a=1,f=2-3n ,定义域为,又f′=2-3= =当>1或00;当0, 所以a≥-2在[1,∞上恒成立,令h=-2,∈[1,∞,因为h′=--2021因为g′=62a,当a≥0时, g′>0恒成立,所以g在0,∞上单调递增,无最小值,不合题意,所以a<0,令g′=0,则=舍负值,由此可得,g在上单调递减,在上单调递增,则=是函数的极小值点,g最小=g=-6,解得a=-6,所以f=2-6n。
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导数的应用--函数的极值
教学设计
一、 教材分析：
本节课是在用导数判断函数的单调性之后学习的，为其后利用导数求函数的最值问题，研究不等式恒成立、方程根的讨论、函数图像交点、函数零点等问题奠定基础，因此本节课起到承上启下的作用。
二、学情分析：
学生们已经了解了导数的一些用途，思想中已有了一点运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的意识，本节课将继续加强这方面的意识和能力的培养。
三、教学目标：
1、知识目标：掌握函数极值的定义，会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系；掌握利用导数求可导函数的极值的一般方法； 了解可导函数极值点0x 与0()0f x '=的逻辑关系。
2、技能目标：培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力；增强学生的数形结合意识，提升思维水平；培养学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力.
3、情感目标：培养学生层层深入、一丝不苟研究事物的精神；体会数学中的局部与整体的辩证关系。
四、教学目标教学重难点： 教学重点：利用导数求函数的极值。
教学难点：极值概念的理解，0x 为函数极值点与0()0f x '=的逻辑关系.
五、教学方法及教学手段分析
师生互动探究式教学以及讲练结合的教学方法，利用幻灯片给出重要结论。
六、教学过程
（一）复习引入——形成概念
1、复习：利用导数求函数单调性的步骤 观察右图 函数图像，请说出函数的单调区间
2、 引入：右图为函数()y f x =的图象, 请比较函数
在X=0的函数值与它附近所有各点的函数值的大小关系，函数在X=2的函数值与它附近所有各点的函数值的大小。
3、函数极值的定义：
一般地，设函数()y f x =在点0x 及附近有定义如果对0x 附近的所有的点,都有0()()f x f x > ，则 0x 是函数()y f x =的一个极大值, 0x 称为极大值点；如果对0x 附近的所有的点,都有0()()f x f x <，则0x 是函数()y f x =的一个极大值, 0x 称为极大值点。
极大值点与极小值点统称为极值点。
极大值与极小值统称为极值。
4、问题回归 定义重述 上图问题中请指出极值点和极值 （二）讨论研究——深化概念 请认真观察下图： ①c 是极值点吗？
②图中有哪些极值点和极值？ ③极大值一定比极小值大吗？ ④极大值一定是函数的最大值吗？ 探究结果归纳：
①端点处一定不是极值点；
③极值描述的是函数在一个适当区间内的局部性质，不是整体性质，即极值不一定是最值。
（三）即时训练—巩固新知
观察与思考：可导函数极值与导数有何关系？ 已知函数()f x 在点0x 处是连续的，且0()0f x '=1、如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<则0()f x 是极大值；
2、如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>则0()f x 是极小值；
思考：如何求函数的的极值？
例1：求函数32()23365f x x x x =--+的极值。
解：定义域为R ，2()66366(2)(3)f x x x x x '=--=+-
由()0f x '=可得x=-2或 x=3当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：
x
因此，当x=-2时，49y =极大值 当x=2时，
=-76y 极小值
思考：你能总结出求函数极值的方法和步骤吗？我们在求函数极值时可能会遇到什么问题？（提问） （四）深入探讨——提高认识
若0x 是可导函数()f x 的极值点
()'
0f x =
探究：
0x =是否为函数3
y x =的极值点？为什么？（学生思考）
3()f x x =在x=0左右两侧，导函数的正负没有发生变化，
X=0不是极值点。
()'0000
()f x x f x x ⎫=⎪
⇒⎬⎪⎭
为可导函数的极值点两侧导数异号
例2 求函数432
8181y x x x =-+-的极值。
（教师板书）
解：定义域为R ，322424364(3)y x x x x x '=-+=-
由y ′=0可得120,3x x ==
当x 变化时，y ′ , y 的变化情况如下表：
因此，当x=0时，=-1y 极小值
归纳总结：0x 是否为极值点必须判断0x 两侧导数是否异号 五、总结归纳——梳理步骤
通过例2的练习总结出求函数极值的步骤
(3,+3(0,3)0
↗
无极值
↗极小值
↘y
+
+0－
y ′∞)(-∞,0)x。